סטטיסטיקה הסתברות והתפלגות נורמאלית
0 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג ספר המאגר לשאלון20853 : פרק 1.1 פונקציות וגרפים פרק 1.3 סדרות חשבונית וסדרות הנדסית פרק 1.2 גדילה ודעיכה פרק 3.1 סטטיסטיקה כולל פתרונות מלאים מסודר לפי המאגר של משרד החינוך פרק 3.3 הסתברות פרק 3.2 התפלגות נורמלית פרק 2.1 טריגונומטריה במישור. פרק 2.3 טריגונומטריה יישומים במרחב. כתב וערך :יוסי דהן פרק 2.1סטטיסטיקה 0 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 1 שאלה מספר .1 לפניכם קבוצה של ארבעה מספרים. 7 , 10 , 11 , 11 : לקבוצה מוסיפים מספר נוסף , xשערכו בין 10ל.11 - מהו המספר , xאם נתון שהממוצע של חמשת המספרים (ארבעת המספרים הנתונים ו ) x -שווה לחציון שלהם. פתרון: נתוניםx x : . 7 , 10 , x , 11 , 11 מהו המספר , xאם נתון שהממוצע של חמשת המספרים (ארבעת המספרים הנתונים ו ) x -שווה לחציון שלהם. נבנה טבלת שכיחות ציון מספר התלמידים f i xi 16 16 1 15 15 1 10 10 1 1x x 1 n 1 5 1 3 2 2 x3חציון x x3 12 חציון x 7 7 1 7 10 x 15 16 x 5 xx 5 x 48 x 4 x 48\ : 4 x 12 תשובהx 12 : תשובה סופית: x = 12 פרק 2.1סטטיסטיקה 1 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 2 שאלה מספר .3 בטבלה שלפניכם מוצגת התפלגות הציונים בבחינת סיום במתמטיקה בכיתה יב: 10 7 ציון מספר התלמידים f i xi 70 x 00 1 00 11 (א) ממוצע הציונים בכיתה זו היה . 72.1חשב את . x (ב) מהו חציון הציונים ? נמק. (ג) מהו הציון השכיח ? מהי סטיית התקן של הציונים? (ד) בוחרים באקראי תלמיד .מה ההסתברות שהציון של התלמיד יהיה 00ומעלה ? (ה) פתרון: (א) ממוצע הציונים בכיתה זו היה . 53.0חשב את . x 420 70 x 880 90 x 1 11 x 7 00 000 70x 020 1390 70 x 00 00 70 10 ציון x i 72.5 19 x 1 11 x 7 מספר התלמידים f i 72.5 (19 x) 1390 70 x 1377.5 72.5 x 1390 70 x 72.5 x 70 x 1390 1377.5 2.5 x 12.5\ : 2.5 x5 n 1 11 5 7 24 n 1 24 1 חציון x 12.5 2 2 x12חציון x x13 תשובהx 5 : מהו חציון הציונים? נמק את תשובתך. (ב) . x13 80 תשובה: (ג) x12 70 x x 70 80 13 12חציון x 75 2 2 75חציון x 75חציוןx מהו הציון השכיח ? 80שכיחx תשובה 80 :שכיחx (ד) מהי סטיית התקן של הציונים ? ( x x)2 f ...... ( xn x)2 f n 1 1 S N (60 72.5)2 7 (70 72.5)2 5 (80 72.5)211 (90 72.5)2 1 24 תשובה: (ה) S 9.24 2050 85.42 9.24 24 בוחרים באקראי תלמיד .מה ההסתברות שהציון של התלמיד יהיה 85ומעלה ? 12 תשובה 0.5 : 24 11 1 12 0.5 24 24 p p תשובה סופית: (א) x 5 (ב) 75חציוןx פרק 2.1סטטיסטיקה (ד) (ג) 80שכיחx 2 S 9.24 12 p (ה) 0.5 24 כתב וערך :יוסי דהן S S לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 3 שאלה מספר .2 בכיתה שיש בה 21תלמידים נערך מבחן בשני טורים. הציון הממוצע במבחן של כל התלמידים בכיתה היה .1.0 הציון הממוצע במבחן של 11התלמידים שישבו בטור א היה .7.1 מה היה הציון הממוצע במבחן של 10התלמידים שישבו בטור ב? פתרון: מה היה הציון הממוצע במבחן של 15התלמידים שישבו בטור ב? 112.1 7.1 11 ציון מספר התלמידים f i xi תשובהx 6 : 10x x 10 x 6.9 6.9 112.5 10 x 25 172.5 112.5 10 x \ 112.5 172.5 112.5 10 x 60 10 x \ :10 6 x תשובה סופית: x6 פרק 2.1סטטיסטיקה 3 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 0 שאלה מספר .4 שקלו 00שקיות אבקת מרק ,ומצאו שמשקלן הממוצע הוא 23גרם. לאחר מכן ,התברר שהייתה טעות בשקילה של 10השקיות הראשונות ,ויש להוסיף 2גרם למשקל שהתקבל מכל אחת מהשקיות האלה. חשבו את המשקל הממוצע של 00השקיות של אבקת המרק לאחר תיקון הטעות. פתרון: חשבו את המשקל הממוצע של 45השקיות של אבקת המרק לאחר תיקון הטעות. 020 סה"כ 23 משקל x i 00 מספר שקיות f i סה"כ משקל השקיות לפני ההוספה הוא 020לאחר מכן נוסיף את משקל 10 x 2 = 20החסר נקבל 000ג' 020+20=940 x 00 סה"כ משקל x i מספר שקיות f i x 940 23.5 40 תשובה: 23.5גרם x תשובה סופית: 23.5גרם x פרק 2.1סטטיסטיקה 0 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 1 שאלה מספר .0 במפעל יש שתי דרגות שכר 21 .פועלים מקבלים שכר לפי הדרגה הנמוכה ,ו 71 -פועלים מקבלים שכר לפי הדרגה הגבוהה. השכר בדרגה הגבוהה גדול ב ₪ 10 -לשעה מן השכר לשעה בדרגה הנמוכה. השכר הממוצע במפעל הוא ₪ 31לשעה. (א) .חשבו את השכר לשעה בכל אחת משתי הדרגות. (ב) .מהו השכר השכיח לשעת עבודה? (ג) .מהו חציון השכר עבור שעת עבודה במפעל? נמקו. פתרון: (א) .חשבו את השכר לשעה בכל אחת משתי הדרגות. משכורת מספר עובדים f i xi תשובה: 25x x 21 נמוכה 750+75x 10+x 71 גבוהה x 35 35.0שקל 25.0 ,שקל . (ב) .מהו השכר השכיח לשעת עבודה ? 35 750 75x 25x 100 3500 750 100 x \ 750 2750 100 x 27.5 x 37.5שכיחx תשובה 37.5 :שכיחx (ג). מהו חציון השכר עבור שעת עבודה במפעל ? נמק. n 100 x x n 1 100 1 55 56 55.5 2 2 2 37.5 37.5 חציוןx x 37.5 חציון 2 חציוןx תשובה: 37.5חציוןx תשובה סופית: (א) ( ₪ 37.1 , ₪ 27.1ב) 37.5שכיח( xג) 37.5חציוןx פרק 2.1סטטיסטיקה 1 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 1 שאלה מספר .6 בשתי כיתות מקבילות ערכו מבחן. בכיתה אחת נבחנו 20תלמידים ,והציון הממוצע היה .00 הציון הממוצע בכיתה האחרת היה .70 הציון הממוצע של כלל הנבחנים משתי הכיתות היה .70 כמה תלמידים נבחנו בכיתה האחרת? פתרון: כמה תלמידים נבחנו בכיתה האחרת? ציון מספר תלמידים f i xi 1100 00 20 כיתה א' 70x 70 x כיתה ב' תשובה 30 :תלמידים נבחנו בכיתה האחרת. x 74 74 1600 70 x )(20 x 74 (20 x) 1600 70 x 1480 74 x 1600 70 x 4 x 120 x 30 תשובה סופית: 30תלמידים פרק 2.1סטטיסטיקה 1 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 7 שאלה מספר .5 הציון הממוצע של תלמיד ב 1 -מבחנים הוא .72 (א) .התלמיד נבחן במבחן נוסף .התלמיד רוצה שממוצע ציוניו בששת המבחנים יהיה .71 האם ציונו במבחן השישי צריך להיות גדול /קטן /שווה לממוצע של 1המבחנים? נמקו. (ב) .מה צריך להיות ציונו במבחן השישי ,כדי שממוצע הציונים שלו בששת המבחנים יהיה ?71 פתרון: (א) .התלמיד נבחן במבחן נוסף .התלמיד רוצה שממוצע ציוניו בששת המבחנים יהיה .50 האם ציונו במבחן השישי צריך להיות גדול /קטן /שווה לממוצע של 0המבחנים? נמקו. ככול שנוסיף ציונים כגודל הציון הממוצע .ציון הממוצע לא ישתנה ככול שנוסיף ציונים גבוהים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יגדל ככול שנוסיף ציונים קטנים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יקטן תשובה :הציון הממוצע של תלמיד ב 1 -מבחנים הוא .72התלמיד רוצה שממוצע ציוניו בששת המבחנים יהיה .71לכן הציון במבחן השישי צריך להיות גדול מהציון .72 (ב). מה צריך להיות ציונו במבחן השישי ,כדי שממוצע הציונים שלו בששת המבחנים יהיה ?50 ציון מספר מבחנים f i xi 310 72 1 1x x 1 75 360 1x 6 450 360 x x 90 x 75 תשובה :ציון המבחן השישי צריך להיות 00כדי לקבל ציון ממוצע 71בששת המבחנים תשובה סופית: (א) גדול מהממוצע (ב) .00 פרק 2.1סטטיסטיקה 7 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 0 שאלה מספר .8 חישבו את ההוצאה החודשית הממוצעת של משפחה במשך 11חודשים. נמצא כי ממוצע ההוצאות לחודש היה ,₪ 0,100וסטיית התקן הייתה .₪ 100 לאחר מכן הוסיפו לחישובים את ההוצאות של חודש נוסף (החודש ה ,)12 -והתברר שהממוצע נשאר בלי שינוי. מה היו ההוצאות של החודש הנוסף (החודש ה ?)12 -נמק. (א). האם סטיית התקן של כל 12החודשים גדולה או קטנה מסטיית התקן של 11חודשים? (ב). (אין צורך בחישוב אלגברי). פתרון: (א). מה היו ההוצאות של החודש הנוסף (החודש ה ?)13 -נמק. ככול שנוסיף ציונים כגודל הציון הממוצע .ציון הממוצע לא ישתנה ככול שנוסיף ציונים גבוהים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יגדל ככול שנוסיף ציונים קטנים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יקטן תשובה :הממוצע נשאר בלי שינוי .לכן בחודש ה 12 -כמו הממוצע ₪ 0100 (ב) .האם סטיית התקן של כל 13החודשים גדולה או קטנה מסטיית התקן של 11חודשים? (אין צורך בחישוב אלגברי). ככול שנוסיף ציונים כגודל הציון הממוצע .סטית התקן תקטן חישוב סטיית התקן החדשה של כל 12החודשים A ...... ( x x)2 f 12 12 12 S 110,000 (4500 4500)2 1 12 S 110,000 9166,66 12 S ( x x)2 f ...... ( xn x)2 f n 1 1 N S A ( x x)2 f ...... ( xn x)2 f n 1 1 A 11 A 11 S 95.74 100 10,000 110,000 A תשובה :סטיית התקן של כל 12החודשים קטנה יותר. תשובה סופית: (א) .₪ 0,100הסבר :הנתון הנוסף צריך להיות שווה לממוצע. (ב) סטיית התקן של כל 12החודשים קטנה יותר. הסבר :ההוצאה של החודש הנוסף שווה לממוצע ,ולכן הסטייה מהממוצע של חודש זה היא .0מכאן, סכום ריבועי הסטיות מהממוצע לא השתנה ,אבל הממוצע שלהם קטן (כי מחלקים סכום זה במספר גדול יותר של חודשים). פרק 2.1סטטיסטיקה 0 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 0 שאלה מספר .9 מורה חישב ומצא שממוצע הציונים של 20תלמידים הוא ,10וסטיית התקן היא .1.0 לאחר מכן הוסיף המורה ציון של תלמיד נוסף (התלמיד ה ,)21-והתברר שהממוצע של כל התלמידים נשאר ,10ורק סטיית התקן השתנתה. א .מהו הציון של התלמיד הנוסף (התלמיד ה ?)21 -נמקו. ב .האם סטיית התקן של כל התלמידים (כלומר של 21התלמידים) גדולה או קטנה מסטיית התקן של 20התלמידים? (אין צורך בחישוב אלגברי). פתרון: (א) .מהו הציון של התלמיד הנוסף (התלמיד ה ?)31 -נמקו. ככול שנוסיף ציונים כגודל הציון הממוצע .ציון הממוצע לא ישתנה ככול שנוסיף ציונים גבוהים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יגדל ככול שנוסיף ציונים קטנים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יקטן תשובה :הציון של התלמיד הנוסף (התלמיד ה )21 -הוא .10כגודל הציון הממוצע. (ב) .האם סטיית התקן של כל התלמידים (כלומר של 31התלמידים) גדולה או קטנה מסטיית התקן של 35התלמידים? (אין צורך בחישוב אלגברי). ככול שנוסיף ציונים כגודל הציון הממוצע .סטית התקן תקטן חישוב סטיית התקן החדשה של כל 21תלמידים. A...... ( x x)2 f 21 21 21 S 64.8 (60 60)2 1 21 S 64.8 3.085 21 ( x x)2 f ...... ( xn x)2 f n 1 1 N S A ( x x)2 f ...... ( xn x)2 f n 1 1 S A 20 1 .8 S 1.756 A 20 3.24 64.8 A תשובה 1.8 : 20 S תשובה סופית: (א) 10 S 1.756סטיית התקן קטנה. 21 (ב) סטיית התקן של 21תלמידים קטנה יותר. הסבר :הציון של התלמיד הנוסף שווה לממוצע ,ולכן הסטייה מהממוצע של ציון זה היא .0מכאן, סכום ריבועי הסטיות מהממוצע לא השתנה ,אבל הממוצע שלהם קטן (כי מחלקים סכום זה במספר גדול יותר של תלמידים). פרק 2.1סטטיסטיקה 0 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 10 שאלה מספר .15 לפניכם רשימת הציונים של 0תלמידים בכיתה יב בשני מקצועות שונים א ו -ב. התפלגות הציונים במקצוע א היא.10 , 0 , 0 , 7 , 7 , 7 , 1 , 1 , 0 : התפלגות הציונים במקצוע ב היא.10 , 10 , 0 , 0 , 7 , 1 , 1 , 0 , 0 : (א) .מהו הציון השכיח בכל אחד מהמקצועות? (ב) .מהו חציון הציונים בכל אחד מהמקצועות? (ג) .מהו הציון הממוצע בכל אחד מהמקצועות האלה? (ד) .באיזה משני המקצועות (מקצוע א או מקצוע ב) פיזור הציונים גדול יותר? נמקו. פתרון: מקצוע א' ציון מספר התלמידים f i xi מקצוע ב' ציון מספר התלמידים f i xi 0 0 1 12 1 2 21 7 3 11 0 2 10 10 1 0 0 2 1 1 1 1 1 1 7 7 1 0 0 1 (א) .מהו הציון השכיח בכל אחד מהמקצועות ? תשובה :הציון השכיח במקצוע א' הוא 7שכיחx (ב). 4 12 21 16 10 9 63 x 7 9 x 9 9 1 20 10 2 8 5 6 7 8 9 20 9 63 x 7 9 x במקצוע ב' הוא 4 ,10שכיחx מהו חציון הציונים בכל אחד מהמקצועות ? מקצוע א' 7חציוןx n 1 9 1 5 2 2 מקצוע ב' n9 חציוןx תשובה :הציון החציון במקצוע א' הוא 7חציוןx n 1 9 1 5 2 2 במקצוע ב' הוא 7חציוןx n9 חציוןx 7חציוןx (ג) .מהו הציון הממוצע בכל אחד מהמקצועות האלה? תשובה :הציון הממוצע בכל אחד מהמקצועות הממוצע הוא x 7 (ד). באיזה משני המקצועות (מקצוע א או מקצוע ב) פיזור הציונים גדול יותר? נמקו. ( x x) 2 f ...... ( xn x) 2 f n 1 1 N (4 7) 2 1 (6 7) 2 2 (7 7) 2 3 (8 7) 2 2 (10 7) 2 1 22 2.44 1.56 9 9 (4 7)2 2 (5 7)2 1 (6 7)2 1 (7 7)2 1 (8 7)2 1 (9 7)2 1 (10 7)2 2 46 5.11 2.26 9 9 S א S ב S תשובה סופית: (א) השכיח במקצוע א הוא ,7והשכיחים במקצוע ב' הם 0ו.10 - (ב) בכל אחד מהמקצועות החציון הוא ( .7ג) בכל אחד מהמקצועות הממוצע הוא .7 (ד) במקצוע ב הפיזור גדול יותר ,כי במקצוע א סטיית התקן היא 1.11ובמקצוע ב סטיית התקן היא .2.21 פרק 2.1סטטיסטיקה 10 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 11 שאלה מספר .11 לפניכם ההתפלגות של יבול עגבניות בטונות ,במספר מסוים של חלקות שדה: יבול בטונות שכיחות f i 0 x xi 1 8 7 7 9 7 8 12 ממוצע היבול לחלקה הוא 7טון. (א) .מצאו בכמה חלקות שדה יבול העגבניות היה 0טון? (ב) .מהו חציון היבול? (ג) .מהי סטיית התקן של יבול העגבניות? פתרון: (א) .מצאו בכמה חלקות שדה יבול העגבניות היה 4טון? יבול בטונות שכיחות f i xi 4x 0 x 48 1 0 49 7 7 96 0 12 63 0 7 x7 תשובהx 6 : 4 (ב) .מהו חציון היבול ? 7 4 x 48 49 96 63 7 12 7 8 x 256 4 x 7 34 x 7 (34 x) 256 4 x 238 7 x 256 4 x 3x 18 x6 n 40 x x 21 7 7 7 20חציוןx 2 2 תשובה: n 1 40 1 20.5 2 2 7חציוןx חציוןx 7חציוןx (ג) .מהי סטיית התקן של יבול העגבניות? ( x x) 2 f ...... ( xn x) 2 f n 1 1 N (4 7) 2 6 (6 7) 2 8 (7 7) 2 7 (8 7) 2 12 (9 7) 2 7 102 2.55 1.596 40 40 תשובהS 1.596 : תשובה סופית: (א) x 6 4 (ב) 7חציוןx פרק 2.1סטטיסטיקה (ג) . S 1.596 11 כתב וערך :יוסי דהן S S לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 12 שאלה מספר .13 ציוניהם של תלמידים במבחן במתמטיקה היו ,70 ,10ו 00 -בלבד. ו 1 -תלמידים קיבלו את הציון .00 0תלמידים קיבלו את הציון 0 ,10תלמידים קיבלו את הציון ,70 1תלמידים ,שנעדרו מהמבחן ,נבחנו במבחן במועד מיוחד .כל אחד מחמשת התלמידים האלה קיבל את הציון .00המורה צירף ציונים אלה לציוניהם של שאר התלמידים ,ומצא את הממוצע החדש ,את השכיח החדש ואת חציון הציונים החדש. (א) .האם ממוצע הציונים החדש גדל ,קטן או לא השתנה? נמקו. (ב) .האם הציון השכיח השתנה? נמקו. (ג) .האם חציון הציונים השתנה? נמקו. פתרון: לפני התוספת ציון מספר התלמידים f i xi 000 130 200 00 70 10 10 0 0 אחרי התוספת ציון x i מספר התלמידים f i 000 130 200 00 70 10 1 0 0 (א) .האם ממוצע הציונים החדש גדל ,קטן או לא השתנה? נמקו. 400 630 240 18 1270 x 70.55 18 240 630 800 23 1670 x 72.6 23 x x תשובה :הממוצע יגדל לאחר תוספת התלמידים. (ב) .האם הציון השכיח השתנה? נמק. תשובה :הציון השכיח לפני התוספת 70ואילו לאחר תוספת התלמידים הציון השכיח הוא .00 (ג) .האם חציון הציונים השתנה? נמק n 23 70חציוןx n 1 23 1 12 2 2 חציוןx n 18 70חציוןx תשובה :לא ,כי חציון x x 70 70 9 10 חציוןx 70 2 2 n 1 18 1 9.5 2 2 חציוןx הציונים נשאר 70 .חציוןx תשובה סופית: (א) הממוצע גדל כי כל הציונים שנוספו היו מעל הממוצע. (ב) כן ,כי בהתחלה הציון השכיח היה 70ולאחר הוספת התלמידים ,שנבחנו במועד מיוחד ,הציון השכיח הוא .00 (ג) לא ,כי חציון הציונים נשאר .70 פרק 2.1סטטיסטיקה 12 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 13 שאלה מספר .12 לפניכם מתוארת ההתפלגות של מספר המכוניות הפרטיות שיש למשפחה ביישוב מסוים. 0 2 מספר המכוניות מספר המשפחות f i xi 2 10 1 x 4 6 3 2 (א) .ידוע שהשכיחות היחסית של משפחות שיש להן מכונית אחת היא . 1 4 לכמה משפחות ביישוב יש מכונית אחת? (ב) .מהו השכיח של מספר המכוניות למשפחה? (ג) .מהו החציון של מספר המכוניות למשפחה? (ד) .מה מספר המכוניות הממוצע למשפחה? (ה) .בוחרים באקראי משפחה אחת מהיישוב. מה ההסתברות שבמשפחה זו מספר המכוניות גבוה מהממוצע ? פתרון: (א) .ידוע שהשכיחות היחסית של משפחות שיש להן מכונית אחת היא יש מכונית אחת? תשובה :ל – 0אנשים יש מכונית אחת. . 1לכמה משפחות ביישוב 4 1 x 4 24 x 1 (24 x) 4 x 24 3x 8 x (ב) .מהו השכיח של מספר המכוניות למשפחה ? 2מכוניות הוא השכיח של מספר המכוניות. (ג) .מהו החציון של מספר המכוניות למשפחה ? תשובה: n 32 x x 22 16 17 חציוןx 2 2 2 2חציוןx n 1 32 1 16.5 2 2 2חציוןx חציוןx (ד) .מה מספר המכוניות הממוצע למשפחה ? סה"כ מספר המכוניות מספר המשפחות f i xi 0 0 2 8 1 0 28 2 10 6 3 2 24 4 6 0 8 28 6 24 32 66 x 2.06 32 x תשובהx 2.06 : בוחרים באקראי משפחה אחת מהיישוב .מה ההסתברות שבמשפחה זו מספר המכוניות (ה). גבוה מהממוצע ? 8 p 0.25 8 32 p תשובה 0.25 : 32 תשובה סופית: (א) ( x 8ב) השכיח הוא שתי מכוניות( .ג) החציון הוא שתי מכוניות( .ד) 2.0121 פרק 2.1סטטיסטיקה 13 כתב וערך :יוסי דהן 1 (ה) 4 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 10 שאלה מספר .14 במפעל בו עובדים 00פועלים ,יש שלוש דרגות שכר חודשיות , ₪ 1,000 , ₪ 1,100 :ו. ₪ 1,700 - השכר החודשי הממוצע של כל פועלי המפעל הוא .₪ 1,110 10פועלים משתכרים ₪ 1,100בחודש ,כל אחד. (א) .כמה עובדים משתכרים כל אחד ₪ 1,700בחודש? (ב) .מהו השכר החודשי השכיח במפעל? (ג) מהו חציון השכר החודשי? (ד) .בוחרים באקראי פועל אחד .מה ההסתברות שמשכורתו קטנה מהשכר החודשי הממוצע? פתרון: (א) .כמה עובדים משתכרים כל אחד ₪ 0,555בחודש ? סה"כ שכר מספר פועלים f i xi 51000 1100 10 5400x 1000 x תשובה: x 5,550 5700 (70 x) 5400 x 51000 80 תשובה: 20פועלים משתכרים 1000 10פועלים משתכרים 1700 (ב) .מהו השכר החודשי השכיח במפעל? )5700(70-x 1700 70-x 5550 444000 399000 5700 x 5400 x 51000 300 x 6000 x 20 1700הוא השכר החודשי השכיח (ג) מהו חציון השכר החודשי ? n 80 x x 41 5700 5700 5700 40חציוןx 2 2 תשובה: 5,700חציוןx n 1 80 1 40.5 2 2 5,700חציוןx חציוןx (ד) .בוחרים באקראי פועל אחד .מה ההסתברות שמשכורתו קטנה מהשכר החודשי הממוצע ? 30 תשובה 0.375 : 80 p 30 0.375 80 p תשובה סופית: (א) ( 10ב) השכיח ( ₪ 1,700 -ג) החציון – ₪ 1,700 פרק 2.1סטטיסטיקה 10 3 (ד) 8 כתב וערך :יוסי דהן 11 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .10 בכיתה מסוימת לומדים 11בנים ו 13 -בנות. ממוצע הגבהים של הבנים הוא 112ס"מ וממוצע הגבהים של הבנות הוא 110ס"מ. לכיתה הצטרף תלמיד אחד ותלמידה אחת. כאשר מדדו את הגבהים של שני התלמידים שהצטרפו ,התברר שהגובה הממוצע של הבנים לא השתנה וגם הגובה הממוצע של הבנות לא השתנה. (א) .מה הגובה של התלמיד שהצטרף? מה הגובה של התלמידה שהצטרפה? (ב) .דפנה אמרה ,שגם הגובה הממוצע של כלל תלמידי הכיתה בוודאי לא השתנה לעומת הממוצע שחושב יום קודם .האם דפנה צודקת? נמקו. (א) .מה הגובה של התלמיד שהצטרף? מה הגובה של התלמידה שהצטרפה? ככול שנוסיף ציונים כגודל הציון הממוצע .ציון הממוצע לא ישתנה ככול שנוסיף ציונים גבוהים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יגדל ככול שנוסיף ציונים קטנים מהציון הממוצע .ציון הממוצע יקטן תשובה :לכן גובה התלמיד 112ס"מ וגובה התלמידה 110ס"מ. (ב) .דפנה אמרה ,שגם הגובה הממוצע של כלל תלמידי הכיתה בוודאי לא השתנה לעומת הממוצע שחושב יום קודם .האם דפנה צודקת? נמק. ( )1נחשב את הממוצע לפני הצטרפות התלמידים סה"כ גובה מספר ילדים f i xi 2030 112 11 בנים 2010 110 13 בנות 2054 2430 x 28 x 160.14 ( )2נחשב את הממוצע לאחר הצטרפות התלמידים סה"כ גובה מספר ילדים f i xi 2102 112 11 בנים 2212 110 10 בנות 2592 2212 x 30 x 160.13 תשובה :לא ,דפנה לא צדקה ,כי הממוצע החדש היה 110.13ס"מ והממוצע הקודם הוא 110.10ס"מ. תשובה סופית: (א) גובה התלמיד הוא 112ס"מ ,וגובה התלמידה הוא 110ס"מ. (ב) לא ,דפנה לא צדקה ,כי הממוצע החדש היה 110.13ס"מ והממוצע הקודם הוא 110.10ס"מ. פרק 2.1סטטיסטיקה 11 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 11 שאלה מספר .16 יובל חוגג את יום הולדתו השישי עם כל בני משפחתו :הוריו משה ומרים בני ה ,31 -אחיו ניר בן ה0 - ואחותו הדס בת ה.0 - (א) .מהו הגיל השכיח במשפחה? (ב) .מהו הגיל הממוצע במשפחה? (ג) .מהו חציון הגילים של המשפחה? (ד) .מאוחר יותר הגיעו לחגיגת יום ההולדת סבא וסבתא של יובל .סבא וסבתא של יובל נולדו באותה שנה. הגיל הממוצע החדש של החוגגים הוא .30 ( )1מה הגיל של סבא וסבתא של יובל? ( )2האם הגיל השכיח של הנוכחים במסיבה השתנה? נמקו. ( )3האם חציון הגילים של הנוכחים במסיבה השתנה? נמקו. פתרון: סה"כ גיל מספר אנשים f i xi 1 1 1 יובל 0 0 1 הדס (א) .מהו הגיל השכיח במשפחה ? (ב) .מהו הגיל הממוצע במשפחה ? 70 35 2 הורים 8 8 1 ניר תשובה :הגיל השכיח הוא 31 4 6 8 70 17.6 5 תשובה: (ג) .מהו חציון הגילים של המשפחה ? תשובה: 8חציוןx x n5 n 1 5 1 3 2 2 חציוןx (ד) .מאוחר יותר הגיעו לחגיגת יום ההולדת סבא וסבתא של יובל .סבא וסבתא של יובל נולדו באותה שנה .הגיל הממוצע החדש של החוגגים הוא .25 2x 70 8 1 0 סה"כ x 35 8 1 0 גיל x i 2 2 1 1 1 מספר אנשים f i x 30 סבים הורים ניר יובל הדס ( )1מה הגיל של סבא וסבתא של יובל ? תשובה :הגיל של סבא וסבתא של יובל הוא 11שנים. 4 6 8 70 2 x 7 210 88 2 x 122 2 x x 61 30 ( )3האם הגיל השכיח של הנוכחים במסיבה השתנה? נמק. תשובה :השכיח כעט בטבלה הוא 11ו – .31 ( )2האם חציון הגילים של הנוכחים במסיבה השתנה? נמק. תשובה :כן ,החציון החדש הוא: n7 35חציוןx 35חציוןx n 1 7 1 4 2 2 תשובה סופית: (ג) גיל . 0 (א) הגיל ( 31ב) גיל 17.1 (ד) ( )2( 11 )1כן .עכשיו יש שני שכיחים 31 :ו )3( . 11 -כן ,החציון הוא .31 פרק 2.1סטטיסטיקה 11 כתב וערך :יוסי דהן חציוןx לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 17 שאלה מספר .15 לפניכם ההכנסות מייצוא ממדינת הדלנד ,בין השנים 1996ל.2000 - שם המטבע במדינה זו הוא הד. סך ההכנסות מייצוא (במיליוני הדים) 20.0 21.0 27.1 37.0 02.1 שנה 1001 1007 1000 1000 2000 (א) .מה היה ממוצע ההכנסות של מדינת הדלנד מייצוא בין השנים 1001ל?2000 - (ב) .באילו שנים סך ההכנסות מייצוא היה גבוה מהממוצע? (ג) .חשבו את סטיית התקן של ההכנסות של מדינת הדלנד מהייצוא בשנים אלה. פתרון: (א) .מה היה ממוצע ההכנסות של מדינת הדלנד מייצוא בין השנים 1996ל?3555 - סה"כ סך הכנסות מספר שנים f i xi תשובהx 30.68 : (ב). 20.4 20.4 1 1996 25.4 25.4 1 1997 27.1 27.1 1 1998 37.9 37.9 1 1999 42.6 37.9 27.1 25.4 20.4 30.68 5 42.6 42.6 1 2000 x באילו שנים סך ההכנסות מייצוא היה גבוה מהממוצע? תשובה :בשנת 1000ובשנת 2000סך ההכנסות מייצוא היה גבוה מהממוצע (ג) .חשבו את סטיית התקן של ההכנסות של מדינת הדלנד מהייצוא בשנים אלה. ( x x)2 f ...... ( xn x)2 f n 1 1 N S (20.4 30.68)2 1 (25.4 30.68)2 1 (27.1 30.68)2 1 (37.9 30.68)2 1 (42.6 30.68)2 1 5 S 340.588 S 68.11 8.25 תשובהS 8.25 : 5 תשובה סופית: (א) 30.10מיליוני הדים (ב) בשנים 1000ו( 2000 -ג) 0.21מיליוני הדים. פרק 2.1סטטיסטיקה 17 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 10 שאלה מספר .18 (א) .מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן של כל אחת מסדרות הציונים (.)0( -)1 (1, 0 )1 (1, 7, 7, 7, 0 )2 (1, 7, 7, 7, 7, 7, 0 )3 (1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 0 )0 (ב) .מה ניתן לומר על הממוצע של כל אחת מסדרות הציונים האלו? נמקו. (ג) .מה ניתן לומר על סטיות התקן של סדרות הציונים האלו? (ד) .כמה פעמים צריך להופיע הציון ,7בין הציון 1לציון ,0כדי שסטיית התקן תהיה בדיוק ?1נמקו. (ה) .האם ניתן על-ידי הוספה של ציון 7מספר פעמים (בין הציון 1לציון )0להגיע לסטיית תקן ?0 נמקו. פתרון: (א) .מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן של כל אחת מסדרות הציונים (.)4( -)1 59 (5 7)2 1 (9 7)2 1 x 7 S 2 ()1 2 2 ()2 ()3 ()0 5 73 9 7 5 x (5 7)2 1 (7 7)2 3 (9 7)2 1 1.264 5 5 75 9 7 7 x (5 7)2 1 (7 7)2 5 (9 7)2 1 1.06 7 5 7 10 9 7 12 x (5 7)2 1 (7 7)2 10 (9 7)2 1 0.816 12 S S S (ב) .מה ניתן לומר על הממוצע של כל אחת מסדרות הציונים האלו? נמקו. תשובה :הממוצע של כל אחת מן הסדרות הוא .7ההסבר :הממוצע של שני הציונים 1ו 0 -הוא ,7 וכל הוספה של ציון השווה לממוצע לא משפיעה על הממוצע. (ג) .מה ניתן לומר על סטיות התקן של סדרות הציונים האלו? תשובה :סטיית התקן הולכת וקטנה ככל שמוסיפים יותר פעמים את המספר ,7שהוא הממוצע. (ד) .כמה פעמים צריך להופיע הציון ,5בין הציון 0לציון ,9כדי שסטיית התקן תהיה בדיוק ?1 נמק 2 2 2 7 פעמים 1 תשובה: (5 7) 1 (7 7) 6 (9 7) 1 1 8 S (ה) .האם ניתן על-ידי הוספה של ציון 5מספר פעמים (בין הציון 0לציון )9 להגיע לסטיית תקן ?5נמקו. תשובה :לא .סטיית תקן 0מתקבלת רק כאשר כל הציונים שווים לממוצע ,ובסדרה הנתונה יש שני מספרים ( 1ו )0 -השונים מהממוצע. תשובה סופית: (א) (s 0.816 , x 7 )0( s 1.069 , x 7 )3( s 1.265 , x 7 )2( s = 2 , x 7 )1 (ב) הממוצע של כל אחת מן הסדרות הוא .7ההסבר :הממוצע של שני הציונים 1ו 0 -הוא ,7 וכל הוספה של ציון השווה לממוצע לא משפיעה על הממוצע. (ג) סטיית התקן הולכת וקטנה ככל שמוסיפים יותר פעמים את המספר ,7שהוא הממוצע. (ה) לא .סטיית תקן 0מתקבלת רק כאשר כל הציונים שווים לממוצע ,ובסדרה (ד) 1 הנתונה יש שני מספרים ( 1ו )0 -השונים מהממוצע. פרק 2.1סטטיסטיקה 10 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 10 שאלה מספר .19 בשני בתי ספר נערך מבחן משווה בכיתות ח. בבית הספר "נרקיסים" הציון הממוצע היה 17והשכיח .07 בבית הספר "כלניות" הציון הממוצע היה גם כן 17והשכיח .11 הגרפים שלפניכם Iו II -מתארים את התפלגות הציונים בכל אחד מבתי הספר. I שכיחות ~ ציון 100 II ~ ציון 100 00 שכיחות 00 ~ ~ (א) .סמנו בכל גרף על ציר הציון את השכיח. (ב) .איזה גרף הוא של בית הספר "נרקיסים" ואיזה גרף הוא של בית הספר "כלניות" .נמקו. תשובה סופית: (א) .סמנו בכל גרף על ציר הציון את השכיח. תשובה: II I (ב) .איזה גרף הוא של בית הספר "נרקיסים" ואיזה גרף הוא של בית הספר "כלניות" .נמק תשובה :בית הספר "נרקיסים" – גרף ,IIבית הספר "כלניות" – גרף I פרק 2.1סטטיסטיקה 10 כתב וערך :יוסי דהן 20 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .35 לפניכם רשימת ציונים.72 ,71 ,70 ,00 ,02 ,00 ,00 : (א) .חשבו את ממוצע הציונים ואת סטיית התקן. (ב) .הוסיפו ציון כך שהממוצע לא ישתנה .האם ,לאחר הוספת המספר ,סטיית התקן גדלה? קטנה? או שלא השתנתה? נמקו(.נמקו במילים או בדרך אלגברית). (ג) .יואב טען שאם יתווסף הציון 00הממוצע יגדל .האם הוא צודק? נמקו. (ד) .איזה ציון יש לצרף לרשימה המקורית כדי שהחציון לא ישתנה? פתרון: (א) .חשבו את ממוצע הציונים ואת סטיית התקן. 72 76 78 80 82 84 88 560 80 7 7 x (72 80)2 1 (76 80)2 1 (78 80)2 1 (80 80)2 1 (84 80)2 1 (88 80)2 1 7 164 S 23.42 4.84 7 x 80 S 4.84 S תשובה: (ב) .הוסיפו ציון כך שהממוצע לא ישתנה .האם ,לאחר הוספת המספר ,סטיית התקן גדלה? קטנה? או שלא השתנתה? נמקו(.נמקו במילים או בדרך אלגברית). תשובה :נוסיף ציון בגודל הממוצע 00 -:לאחר הוספת ציון בגודל הממוצע סטיית התקן תקטן. (בגלל שמחלקים את סכום סטיות מהממוצע ביותר מספרים) (ג) .יואב טען שאם יתווסף הציון 84הממוצע יגדל .האם הוא צודק? נמקו. תשובה :כן יובל צודק הציון 00גדול יותר מציון הממוצע לכן הממוצע גדל. (ד) .איזה ציון יש לצרף לרשימה המקורית כדי שהחציון לא ישתנה? תשובה :החציון מתוך 7הציונים הוא הציון הרביעי : 00 -:אם נוסיף ציון 00החציון לא ישתנה תשובה סופית: (א) ( s 4.9 x 80ב) , 00סטיית התקן קטנה .ההסבר :הציון שהתווסף שווה לממוצע ,ולכן הסטייה מהממוצע של ציון זה היא .0מכאן ,סכום ריבועי הסטיות מהממוצע לא השתנה ,אבל הממוצע שלהם קטן (כי מחלקים סכום זה במספר גדול יותר של ציונים). (ג) כן כי הציון הנוסף גבוה מהציון הממוצע( .ד) .00 פרק 2.1סטטיסטיקה 20 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 21 שאלה מספר .31 למסיבת חנוכה התכנסו תושבי היישוב בבית העם .בתחילת המסיבה נכחו: 17משתתפים בני גיל .00 21משתתפים בני גיל ,32 30משתתפים בני גיל ,21 (א) מהו הגיל הממוצע של המשתתפים במסיבה? (ב) מהו הגיל השכיח של המשתתפים במסיבה? (ג) מהו חציון הגילים של המשתתפים? (ד) כעבור זמן מה מתחילת המסיבה הגיעו 0תלמידי תיכון כדי להופיע בפני משתתפי המסיבה. האם ממוצע הגילים של כל הנוכחים במסיבה גדל ,קטן ,או נשאר ללא שינוי? נמקו. פתרון: (א) מהו הגיל הממוצע של המשתתפים במסיבה? סה"כ גיל מספר משתתפים f i xi 680 672 750 2102 30.91 30 21 17 68 תשובהx 30.91 : (ב) 710 21 30 172 32 21 100 40 17 x מהו הגיל השכיח של המשתתפים במסיבה? תשובה 21 :הוא הגיל השכיח. (ג) מהו חציון הגילים של המשתתפים? n 68 x x 35 32 32 32 34חציוןx 2 2 תשובה 32 :חציוןx (ד) n 1 68 1 34.5 2 2 32חציוןx חציוןx כעבור זמן מה מתחילת המסיבה הגיעו 8תלמידי תיכון כדי להופיע בפני משתתפי המסיבה. האם ממוצע הגילים של כל הנוכחים במסיבה גדל ,קטן ,או נשאר ללא שינוי? נמק. תשובה: 0תלמידי תיכון משמעות שהם מתחת לגיל 10והם יקטינו את גיל הממוצע. תשובה סופית: (א) 30.01שנה (ב) גיל 21 (ג) 32 (ד) הממוצע קטן ,כי כל המצטרפים הם בגיל הנמוך מהממוצע. פרק 2.1סטטיסטיקה 21 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 22 שאלה מספר .33 (א) .חמישה תלמידים נבחנו במבחן של מיומנות בחישוב. לפניכם פירוט של מספר שגיאות החישוב שעשה כל אחד מהם במבחן0 ,1 ,7 ,12 ,10 : (מספר אחד מתאים לכל אחד). חשבו את הממוצע ואת סטיית התקן של מספר השגיאות שעשו חמשת התלמידים. לאחר לימוד ותרגול במשך שבוע ,ניתן מבחן חוזר לאותם חמשת התלמידים. (ב). כל אחד מהתלמידים עשה 3שגיאות חישוב פחות ממה שעשה במבחן הקודם. ( )1מה ממוצע השגיאות החדש? ( )2הסבירו מדוע סטיית התקן לא השתנתה. פתרון: (א) .חמישה תלמידים נבחנו במבחן של מיומנות בחישוב. לפניכם פירוט של מספר שגיאות החישוב שעשה כל אחד מהם במבחן4 ,0 ,5 ,13 ,14 : (מספר אחד מתאים לכל אחד). חשבו את הממוצע ואת סטיית התקן של מספר השגיאות שעשו חמשת התלמידים. סה"כ מס שגיאות מספר תלמידים f i xi 0 0 1 1 1 1 7 7 1 12 12 1 14 14 1 14 12 7 5 4 42 8.4 5 5 x (14 8.4)2 1 (12 8.4)2 1 (7 8.4)2 1 (5 8.4)2 1 (4 8.4)2 1 5 x 8.4 77.2 S 15.44 3.929 5 S תשובהS 3.929 : (ב). לאחר לימוד ותרגול במשך שבוע ,ניתן מבחן חוזר לאותם חמשת התלמידים. כל אחד מהתלמידים עשה 2שגיאות חישוב פחות ממה שעשה במבחן הקודם. ( )3הסבירו מדוע סטיית התקן לא השתנתה. ( )1מה ממוצע השגיאות החדש? סה"כ מס שגיאות מספר תלמידים f i xi 1 1 1 2 2 1 0 0 1 0 0 1 11 11 1 11 9 4 2 1 27 5.4 5 5 x (11 5.4)2 1 (9 5.4)2 1 (4 5.4)2 1 (2 5.4)2 1 (1 5.4)2 1 5 77.2 S 15.44 3.929 5 x 5.4 S תשובהS 3.929 : תשובה סופית: (א) ( s 3.93 x 8.4ב) (x 5.4 )1 ( )2סטיית התקן לא השתנתה כי ההפרש בין כל אחד מהנתונים לבין הממוצע לא השתנה. פרק 2.1סטטיסטיקה 22 כתב וערך :יוסי דהן 23 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .32 דיאגרמת העמודות שלפניכם מתארת את התפלגות הציונים בביולוגיה שקיבלו תלמידים בתיכון "קסטל": (א) .מהו הציון השכיח? (ב) .מהו מספר התלמידים שלומדים ביולוגיה בתיכון "קסטל"? (ג) .חשבו את ממוצע הציונים של התלמידים. (ד) .מהו חציון ציוני התלמידים? (ה) .חמישה תלמידים הגישו ערעור על הציונים שקיבלו .המורה קיבל את הערעור רק של שלושה מהתלמידים שציוניהם היו 71 ,70ו ,00 -ושלושת הציונים תוקנו ל.01 - ( )1האם יש שינוי בחציון הציונים לאחר התיקון? נמקו. ( )2האם יש שינוי בממוצע הציונים לאחר התיקון? נמקו. פתרון: 630 765 100 010 020 321 סה"כ 100 90 85 00 71 70 11 10 ציון xi 7 9 0 1 1 1 3 מספר תלמידים f i 380 95 4 200 380 630 765 640 450 420 325 180 3990 79.8 2 47986653 50 200 100 2 x (א) .מהו הציון השכיח ? תשובה :הציון השכיח הוא .01 (ב) .מהו מספר התלמידים שלומדים ביולוגיה בתיכון "קסטל"? תשובה :סה"כ 10תלמידים (ג) .חשב את ממוצע הציונים של התלמידים .הממוצע הוא 70.0 תשובהx 79.8 : (ד) .מהו חציון ציוני התלמידים? n 50 x x 26 80 80 80 25חציוןx 2 2 תשובה: 80חציוןx פרק 2.1סטטיסטיקה 23 n 1 50 1 25.5 2 2 80חציוןx חציוןx כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 20 (ה) .חמישה תלמידים הגישו ערעור על הציונים שקיבלו .המורה קיבל את הערעור רק של שלושה מהתלמידים שציוניהם היו 50 ,55ו ,85 -ושלושת הציונים תוקנו ל.80 - סה"כ ציון מספר תלמידים f i xi 100 10 3 321 11 1 371 71 5 350 70 1 110 00 7 1020 85 12 630 90 7 380 95 4 200 380 630 1020 560 375 350 325 180 4020 80.4 2 47986653 50 x 26 85 x 25 80 x x 80 85 26 25חציון x 82.5 2 2 82.5חציון x n 50 n 1 50 1 25.5 2 2 x 25חציון x x 26 חציון x ( )1האם יש שינוי בחציון הציונים לאחר התיקון? נמקו. תשובה )1( :יש שינוי בחציון הציונים לאחר התיקון החציון החדש הוא 02.1 ( )3האם יש שינוי בממוצע הציונים לאחר התיקון? נמקו. תשובה )2( :יש שינוי בממוצע הציונים לאחר התיקון הממוצע החדש הוא 00.0 תשובה סופית: (א) ( 01ב) 10תלמידים (ג) x 79 .8 (ד) 00 (ה) ( )1כן ,החציון החדש הוא )2( .02.1כן ,הממוצע החדש הוא .00.0 פרק 2.1סטטיסטיקה 20 כתב וערך :יוסי דהן 200 100 2 x לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 21 שאלה מספר .34 חברת הבנייה "מגורים" בנתה פרויקט שבו היו דירות למגורים בנות שניים ,שלושה ,ארבעה ,וחמישה חדרים. הדיאגרמה שלפניכם מתארת את התפלגות הדירות בפרויקט זה: (א) .מהו מספר החדרים השכיח בפרויקט? (ב) .מהו החציון של מספר החדרים בדירה בפרויקט? (ג) .חשבו את מספר החדרים הממוצע בדירה בפרויקט. בטבלה שלפניכם מוצגים מחירי הדירות בנות 0חדרים: מחיר הדירה מספר דירות ₪ 000,000 1 ₪ 1,000,000 31 ₪ 1,110,000 20 (ד) .חשבו את המחיר הממוצע של דירה בת 0חדרים בפרויקט. (ה) .מהו החציון של מחירי הדירות בנות 0חדרים בפרויקט? פתרון: 100 71 סה"כ 20 0 3 2 כמות חדרים xi 01 21 10 מספר אחוזים f i ₪ 1,300,000 12 100 1 20 20 75 180 100 375 3.75 100 100 תשובהx 3.75 : x (א) .מהו מספר החדרים השכיח בפרויקט? תשובה :מספר החדרים השכיח בפרויקט 0חדרים (ב) .מהו החציון של מספר החדרים בדירה בפרויקט? n 100 x x 56 4 4 4 55חציוןx 2 2 תשובה: 4חציוןx n 1 100 1 55.5 2 2 4חציוןx חציוןx (ג) .חשבו את מספר החדרים הממוצע בדירה בפרויקט. תשובה :מספר החדרים הממוצע הוא 3.71 פרק 2.1סטטיסטיקה 21 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 21 בטבלה שלפניכם מוצגים מחירי הדירות בנות 4חדרים: סה"כ מחיר הדירה מספר הדירות f i 0,100,000 000,000 1 xi 31,000,000 1,000,000 31 32,200,000 1,110,000 20 11,100,000 1,300,000 12 (ד) .חשבו את המחיר הממוצע של דירה בת 4חדרים בפרויקט. 15,600,000 32,200,000 35,000,000 4,500,000 87,300,000 1,091,250 12 28 35 5 80 x תשובהx 1,091,250 : (ה) .מהו החציון של מחירי הדירות בנות 4חדרים בפרויקט ? n 80 x x 41 1,000,000 1,150,000 40חציוןx 2 2 תשובה: n 1 80 1 40.5 2 2 1,075,000חציוןx חציוןx 1,075,000חציוןx תשובה סופית: (א) 0חדרים (ב) 0חדרים (ג) 3.71חדרים (ד) ( ₪1,001,210ה) ₪ 1,071,000 פרק 2.1סטטיסטיקה 21 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 27 שאלה מספר .30 ביישוב "מרום" יש 120תלמידים המתנדבים במקומות שונים בקהילה. לפניכם התפלגות התלמידים המתנדבים במקומות השונים: (א) .מלאו את המשבצות הריקות בטבלה .פרטו את החישובים. (ב) .סרטטו דיאגרמת מקלות המייצגת את הנתונים שבטבלה. (ג) .מהו מקום ההתנדבות השכיח ? (ד) .מה ההסתברות שאם נבחר באקראי מתנדב, הוא מתנדב בצער בעלי-חיים או מתנדב בחברה להגנת הטבע? פתרון: (א) .מלאו את המשבצות הריקות בטבלה .פרטו את החישובים. (ב) .סרטטו דיאגרמת מקלות המייצגת את הנתונים שבטבלה. (ג) .מהו מקום ההתנדבות השכיח ? תשובה :מוסדות ציבוריים הוא מקום ההתנדבות השכיח. (ד) .מה ההסתברות שאם נבחר באקראי מתנדב ,הוא מתנדב בצער בעלי-חיים או מתנדב בחברה להגנת הטבע ? 48 תשובה 0.4 : 120 p תשובה סופית: (א) ראה טבלה פרק 2.1סטטיסטיקה 18 30 48 0.4 120 120 (ב) ראה דיאגרמה. p (ג) מוסדות ציבוריים 27 (ד) 4.0 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 20 שאלה מספר .36 דיאגרמת העיגול שלפניכם מציגה את מספר שעות ההתנדבות בשבוע של 00תלמידים המתנדבים במוסדות ציבוריים: (א) .כמה תלמידים מתנדבים במשך 0שעות? (ב) .חשבו את הממוצע של מספר שעות ההתנדבות במוסדות ציבוריים. (ג) .מהו מספר שעות ההתנדבות השכיח? מה משמעותו? (ד) .מהו החציון של מספר שעות ההתנדבות? (ה) .חשבו את סטיית התקן של מספר שעות ההתנדבות. פתרון: 48 6 10 30 2 (א) .כמה תלמידים מתנדבים במשך 4שעות? תשובה 3 :תלמידים (ב) .חשבו את הממוצע של מספר שעות ההתנדבות במוסדות ציבוריים. סה"כ מחיר שעות מספר מתנדבים f i xi 10 1 10 10 3 1 10 2 30 0 0 2 10 60 18 8 96 2 48 48 תשובהx 2 : x (ג) .מהו מספר שעות ההתנדבות השכיח? מה משמעותו? תשובה 2 :שעות הם מספר שעות התנדבות השכיח. (ד) .מהו החציון של מספר שעות ההתנדבות? תשובה: 2חציוןx n 48 x x 41 2 2 40חציוןx 2 2 n 1 48 1 24.5 2 2 2חציוןx חציוןx (ה) .חשבו את סטיית התקן של מספר שעות ההתנדבות. (1 2)2 10 (2 2)2 30 (3 2)2 6 (4 2)2 2 48 24 S 0.5 0.707 48 S תשובה: S 0.707 תשובה סופית: (ב) שעתיים (א) 2מתנדבים (ג) שעתיים .המשמעות :הכי הרבה תלמידים מתנדבים במשך שעתיים במוסדות הציבוריים. (ה) .0.71 (ד) שעתיים פרק 2.1סטטיסטיקה 20 כתב וערך :יוסי דהן 20 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .35 קבוצה של תלמידים ,חברי תנועת הנוער ,מתכננת טיול בחופשת חג. בתנועה ערכו סקר בקרב תלמידים אלה, כדי להחליט לגבי מיקום הטיול. דיאגרמת העיגול שלפניכם מציגה את תוצאות הסקר: (א) .מהו מקום הטיול השכיח בקרב תלמידים אלה? (ב) .פי כמה גדול מספר התלמידים שהעדיפו לנסוע לאזור אילת, ממספר התלמידים שהעדיפו לנסוע לנגב? (ג) .ידוע כי מספר התלמידים שהעדיפו לטייל בנגב הוא .20 מה מספר התלמידים המתכננים לצאת לטיול? בסקר נשאלו התלמידים גם לגבי מספר ימי הטיול שהם מעדיפים .להלן התוצאות: מס' ימים מס' התלמידים 3 2 32 0 1 32 (ד) .ידוע כי החציון של מספר ימי הטיול המועדף הוא 3.1ימים .כמה תלמידים העדיפו 3ימים וכמה העדיפו 0ימים? (השלימו את הטבלה). (ה) .תלמיד אחד ,שבהתחלה העדיף טיול של 3ימים ,שינה את דעתו ל 0 -ימים .האם החציון של מספר ימי הטיול המועדף השתנה? אם כן ,מהו החציון החדש .אם לא ,נמקו. פתרון: (א) .מהו מקום הטיול השכיח בקרב תלמידים אלה? תשובה :אזור אילת מקום הטיול השכיח בקרב תלמידים (ב) .פי כמה גדול מספר התלמידים שהעדיפו לנסוע לאזור אילת, ממספר התלמידים שהעדיפו לנסוע לנגב? תשובה :לאזור אילת 00%לאזור הנגב 20%לכן פי 2 (ג) .ידוע כי מספר התלמידים שהעדיפו לטייל בנגב הוא .38 מה מספר התלמידים המתכננים לצאת לטיול? 20% 28 תשובה: 100% 140 (ד) .ידוע כי החציון של מספר ימי הטיול המועדף הוא 2.0ימים .כמה תלמידים העדיפו 2ימים וכמה העדיפו 4ימים? (השלימו את הטבלה). 1 0 3 2 מס' ימים 32 30 30 32 מס' התלמידים תשובה: 140 64 38 2 (ה) .תלמיד אחד ,שבהתחלה העדיף טיול של 2ימים ,שינה את דעתו ל 4 -ימים .האם החציון של מספר ימי הטיול המועדף השתנה? אם כן ,מהו החציון החדש .אם לא ,נמקו. תשובה :כן החציון הוא לאחר השינוי 0ימים. תשובה סופית: (א) אזור אילת (ב) פי 2 פרק 2.1סטטיסטיקה (ג) 100תלמידים (ד) ראה טבלה (ה) כן .החציון לאחר השינוי הוא 0ימים. 20 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 30 שאלה מספר .38 חברת טלפונים סלולריים מציעה ללקוח לבחור באחד ממסלולי ההטבות: גלישה חינם באינטרנט, מספר מסרונים בלתי מוגבל, שיחות מוזלות, מסלול לשומרי מסורת, אף מסלול.החברה בדקה את המסלולים אותם בחרו 210 מבין הלקוחות שלה .לפניכם התוצאות: 8% (א) .מהו המסלול השכיח? שיחות מוזלות 30%המסלול השכיח. תשובה: (ב) .מה ההסתברות שאם נבחר באקראי אחד מהלקוחות האלה ,הוא יהיה הלקוח שבחר במסלול של שומרי מסורת או הלקוח שבחר במסלול של המסרונים? תשובה: 38 0.38 100 8 30 38 0.38 100 100 p p 16% 40 (ג) .כמה לקוחות בחרו במסלול האינטרנט? 100% 250 לפניכם התפלגות מספר שעות הגלישה באינטרנט של דני בארבעת החודשים ינואר עד אפריל: (ד) .מה ממוצע שעות הגלישה של דני בארבעת החודשים? 60 40 90 70 260 65 4 4 x תשובהx 65 : (ה) .מהו חציון שעות הגלישה של דני בארבעת החודשים האלו? n4 60 70 n 1 4 1 חציון 2.5 x 2 2 2 65חציוןx חציוןx תשובה 65 :חציוןx (ו). תשובה: סה"כ שעות גלישה מספר חודשים f i xi 00 00 1 10 10 1 70 70 1 00 00 1 מהי סטיית התקן? (40 65)2 1 (60 65)2 1 (70 65)2 1 (90 65)2 1 4 1300 S 325 18.027 4 S S 18.027 תשובה סופית: (א) מסלול שיחות מוזלות (ב) ( 0.30ג) 00לקוחות( .ד) 11שעות (ה) 11שעות פרק 2.1סטטיסטיקה 30 (ו) 10.03שעות. כתב וערך :יוסי דהן 31 לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג שאלה מספר .39 לפניכם צריכת המים (במ"ק) של משפחת לוי ושל משפחת כהן ,בכל אחת מן העונות: (א) )1( .באיזו עונה צרכה משפחת לוי את הכמות הגדולה ביותר של מים? תשובה :משפחת לוי צרכה את הכמות הגדולה ביותר בעונת הקיץ ( )3באיזו עונה צרכה משפחת כהן את הכמות הגדולה ביותר של מים? האם זו אותה עונה? תשובה :משפחת כהן צרכה את הכמות הגדולה ביותר בעונת הקיץ אותה עונה כמו משפחת לוי. (ב) .האם באחת העונות צריכת המים של משפחת לוי ושל משפחת כהן שווה? תשובה :כן בעונת החורף שתי המשפחות צרכו 20מ"ק (ג) .באיזו משפחה ממוצע צריכת המים בשנה היה גדול יותר? נמקו. ממוצע משפחת לוי: 30 35 25 20 100 27.5 4 4 ממוצע משפחת כהן: 15 30 15 20 80 20 4 4 x x תשובה :הממוצע של משפחת לוי 27.1מ"ק גדול יותר מהממוצע של משפחת כהן 20מ"ק (ד) .באיזו משפחה סטיית התקן גדולה יותר ? סטיית תקן משפחת לוי: סטיית תקן משפחת כהן: (30 27.5)2 (35 27.5)2 (25 27.5)2 (20 27.5)2 4 1125 S 31.25 5.59 4 (15 20)2 (30 20)2 (15 20)2 (20 20)2 4 150 S 37.5 6.12 4 S S תשובה סופית: (א) שתי המשפחות צרכו בעונת הקיץ את הכמות הגדולה ביותר של מים( .ב) כן ,בחורף. (ג) צריכת המים הממוצעת של משפחת לוי גדולה יותר מהצריכה הממוצעת של משפחת כהן. הנימוק :בכל אחת מן העונות ,צריכת המים של משפחת כהן קטנה או שווה לצריכת המים של משפחת לוי ,ולכן גם ממוצע צריכת המים של משפחת לוי קטן מממוצע צריכת המים של משפחת כהן .נימוק אפשרי אחר :ממוצע צריכת המים של משפחת לוי הוא 27.1מ"ק, ושל משפחת כהן הוא 20מ"ק. (ד) סטיית התקן במשפחת לוי 1.10 :מ"ק ,סטיית התקן במשפחת כהן 1.12 :מ"ק. לכן ,סטיית התקן גדולה יותר במשפחת כהן. פרק 2.1סטטיסטיקה 31 כתב וערך :יוסי דהן לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג 32 שאלה מספר .25 לפניכם התשלום עבור צריכת החשמל ששילמה משפחת דוד ומשפחת שמואלי, בשנה מסוימת ,לפי עונות השנה: (א) )1( .באיזו עונה שילמה משפחת דוד את הסכום הקטן ביותר? תשובה :בעונת החורף .₪ 010 ( )3באיזו עונה שילמה משפחת שמואלי את הסכום הקטן ביותר? האם זו אותה עונה? תשובה :בעונת האביב ₪ 110לא באותה עונה באיזו משפחה ההוצאה הממוצעת לעונה ,עבור צריכת החשמל ,היא גדולה יותר? (ב). ממוצע משפחת שמואלי: ממוצע משפחת דוד: 1200 1450 1100 950 4700 1175 4 4 x 630 700 750 1150 3230 807.5 4 4 x תשובה :הממוצע במשפחת דוד 1171גדול יותר מהממוצע של משפחת שמואלי 007.1 (ג). חשבו את סטיית התקן של צריכת החשמל בארבע עונות השנה במשפחת דוד. (1200 1175)2 (1450 1175)2 (1100 1175)2 (950 1175)2 4 132500 S 33125 182 4 S תשובה: S 182 תשובה סופית: (א) ( )1משפחת דוד שילמה את הסכום הקטן ביותר בחורף (סכום של .)₪ 010 ( )2משפחת שמואלי שילמה את הסכום הקטן ביותר באביב (סכום של .)₪ 130לכן ,זו לא אותה העונה. (ב) ההוצאה הממוצעת במשפחת דוד הייתה .₪ 1,171ההוצאה הממוצעת במשפחת שמואלי (ג) .₪ 102 הייתה .₪ 007.1לכן ,ההוצאה הממוצעת במשפחת דוד הייתה גדולה יותר. פרק 2.1סטטיסטיקה 32 כתב וערך :יוסי דהן
© Copyright 2024