Osnove verjetnosti in statistike Polona Oblak Fakulteta za raˇ cunalniˇstvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2. april 2010 Zvezno porazdeljene sluˇcajne spremenljivke Streljamo v okroglo tarˇco polmera 1. Naj bo X sluˇcajna spremenljivka, ki meri oddaljenost zadetka (znotraj tarˇce) od srediˇsˇca tarˇce. Kako bi opisali porazdelitev sluˇcajne spremenljivke X ? Gostota verjetnosti Sluˇcajna spremenljivka X je zvezno porazdeljena, ˇce obstaja gX : R → R, da velja Zx2 P(x1 < X ≤ x2 ) = gX (x)dx , x1 (G1) gX je integrabilna funkcija, (G2) gX (x) ≥ 0 za vse x ∈ R, Z ∞ (G3) gX (x)dx = 1. −∞ gX imenujemo gostota verjetnosti sluˇcajne spremenljivke X . Gostota verjetnosti Opomba: I P(X = x) = 0 , I P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) Porazdelitvena funkcija Funkcijo Zx FX (x) = P(X ≤ x) = gX (t)dt . −∞ imenujemo porazdelitvena funkcija sluˇcajne spremenljivke X . Velja: I FX je povsod zvezna, I FX je naraˇsˇcajoˇca, I FX je enaka 0 na spodnji meji ZX ter 1 na zgornji meji ZX , I FX je odvedljiva, kjer je gX zvezna in velja FX0 (x) = gX (x), Z b P(a < X ≤ b) = gX (x)dx = FX (b) − FX (a) . I a Gostota verjetnosti Zgled:  x < 0,  0 2 cx 0 ≤ x ≤ 3, g (x) =  0 x > 3. Za katere c ∈ R je g gostota verjetnosti neke sluˇcajne spremenljivke? Za tak c naj bo gX (x) = g (x). Izraˇcunajmo P(1 ≤ X ≤ 2). Kaj je porazdelitvena funkcija sluˇcajne spremenljivke X ? Matematiˇcno upanje in disperzija Sluˇcajna spremenljivka X naj bo opisana z gostoto verjetnosti gX (x). Z ∞ I E (X ) = t gX (t)dt Z−∞ ∞ 2 I E (X ) = t 2 gX (t)dt −∞ Z ∞ I D(X ) = E (X 2 ) − E (X )2 = t 2 gX (t)dt − E (X )2 −∞ I σ(X ) = p D(X ) Zgled Denimo, da nakljuˇcno streljamo v tarˇco polmera 1. Koliˇsna je priˇcakovana razdalja zadetka od centra tarˇce? Zgled Opazujemo 380 km dolg optiˇcni kabel med Ljubljano in Dunajem. X meri razdaljo od Ljubljane pa do toˇcke, pri kateri lahko pride do prekinitve. Predpostavimo, da je prekinitev kjerkoli med Ljubljano in Dunajem enako verjetna. I Kolikˇsna je verjetnost, da pride do prekinitve med Mariborom in Gradcem, torej med 130-tim in 200-tim kilometrom? I Kje je priˇcakovano mesto prekinitve? Zgled Opazujemo 380 km dolg optiˇcni kabel med Ljubljano in Dunajem, na katerem se je zgodila prekinitev. Predpostavimo, da je prekinitev kjerkoli med Ljubljano in Dunajem enako verjetna. Y meri razdaljo od toˇcke, pri kateri pride do prekinitve, pa do tistega kraja (Ljubljana ali Dunaj), ki ji je bliˇzje. Doloˇcimo E (Y ) in σ(Y ). Enakomerna porazdelitev Zvezna sluˇcajna spremenljivka X je razporejena enakomerno na intervalu [a, b], ˇce je njena gostota verjetnosti gX enaka 1 x ∈ [a, b], b−a gX (x) = 0 sicer. Oznaˇcimo: X ∼ U[a, b]. Velja E (X ) = in a+b 2 (b − a)2 D(X ) = . 12 Eksponentna porazdelitev X . . . preteˇceni ˇcas do prve pojavitve dogodka v Poissonovem procesu s parametrom λ (tudi ˇcas med dvema pojavitvama) ZX = [0, ∞) FX (x) = 1 − e −λx gX (x) = λe −λx E (X ) = σ(X ) = 1 λ Eksponentna porazdelitev Slika: Gostota verjetnosti eksponentne porazdelitve Eksponentna porazdelitev Slika: Porazdelitvena funkcija eksponentne porazdelitve Eksponentna porazdelitev Prijavljanje uporabnikov na informacijski sistem lahko modeliramo s Poissonovo porazdelitvijo. V povpreˇcju se prijavi 25 uporabnikov na uro. I Kolikˇsna je verjetnost, da je naslednja prijava med 2 in 3 minutami? I Kolikˇsna je verjetnost, da se nihˇce ne prijavi v 6 minutah? I Kolikˇsen je ˇcasovni interval, da je verjetnost, da ne bo nobene prijave, enaka 0.9? “Limita” binomske porazdelitve Opazujmo vse “binomske” porazdelitve z matematiˇcnim upanjem µ in disperzijo σ 2 . Te porazdelitve se pribliˇzujejo zvezno porazdeljeni sluˇcajni spremenljivki X z gostoto verjetnosti enako . . . Normalna porazdelitev Sluˇcajna spremenljivka X ima normalno porazdelitev s parametroma µ ∈ R in σ > 0, ˇce ima gostoto porazdelitve enako (x−µ)2 1 − gX (x) = √ e 2σ2 σ 2π I Oznaˇcimo X ∼ N(µ, σ) I I I ZX = (−∞, ∞). E (X ) = µ, D(X ) = σ 2 . Normalne porazdelitve s σ = 1 Slika: N(−3, 1), N(−1, 1), N(0, 1), N(1, 1), N(3, 1) Normalne porazdelitve z µ = 0 Slika: N(0, 56 ), N(0, 1), N(0, 32 ), N(0, 2), N(0, 3) Standardna normalna porazdelitev Sluˇcajna spremenljivka Z je porazdeljena standardno normalno, Z ∼ N(0, 1), ˇce ima gostoto 1 − x2 gZ (x) = √ e 2 2π Normalna porazdelitev Izrek Naj bo X poljubna sluˇcajna spremenljivka, katere E (X ) = µ in σ(X ) = σ. Potem za X −µ Y = σ velja E (Y ) = 0 in σ(Y ) = 1. Pravimo, da smo sluˇcajno spremenljivko X standandizirali. Posledica ˇ je X ∼ N(µ, σ), je Z = Ce X −µ σ ∼ N(0, 1). Standardna normalna porazdelitev ˇ vemo, da je X porazdeljena normalno, lahko za raˇcunanje Ce verjetnosti problem prevedemo na standardno normalno sluˇcajno spemenljivko Z ∼ N(0, 1). Zanjo velja 1 Φ(x) = P(Z ≤ x) = √ 2π I I I R nedoloˇcenega integrala e Uporabimo tabelo za Φ. Φ(−x) = 1 − Φ(x) Z x t2 e − 2 dt −∞ 2 − t2 dt ne znamo izraˇcunati. Standardna normalna porazdelitev Za Z ∼ N(0, 1) je P(α < Z ≤ β) = Φ(β) − Φ(α) . Zgledi: Naj bo Z ∼ N(0, 1). Izraˇcunajmo I P(Z ≤ 1/2), P(Z ≤ 3/2) in P(Z ≤ −2). I P(Z ≥ 1), P(Z ≥ 2, 14) in P(Z ≥ −1/2). I P(1 ≤ Z ≤ 2) I P(−1 ≤ Z ≤ 5/2) Normalna porazdelitev Za X ∼ N(µ, σ) je P(a < X ≤ b) = Φ b−µ σ −Φ a−µ σ . Primeri 1. Naj bo X porazdeljena normalno z matematiˇcnim upanjem E (X ) = 10 in standardno deviacijo σ(X ) = 2. Doloˇcimo P(9 ≤ X ≤ 12). Primeri 2. Pri sprejemu signala imamo ˇsum, ki je normalno porazdeljen, µ = 0V , σ = 0, 45V . Sistem potrdi sprejem signala, ˇce je napetost veˇcja od 0.9V . I I Kolikˇsna je verjetnost, da napaˇcno potrdimo signal? Kolikˇsna je verjetnost, da zgreˇsimo signal? Primeri 3. Potreben ˇcas reˇsevanja kolokvija iz OVS je porazdeljen normalno s povpreˇcjem 75 minut in standardnim odklonom 7,6 minut. Koliko ˇcasa moramo nameniti ˇstudentom, da bo vsaj 97, 5% ˇstudentov reˇsilo naloge pred potekom ˇcasa?