אונ` בן – סה דנ מכינה לה – מתמטיקה גוריון
מתמטיקה – מכינה להנדסה – אונ' בן גוריון 1 תלמידים יקרים ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה לבחינות הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים ,הן בבתי הספר הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות. שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה. הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית הלימודים של משרד החינוך .הניסיון מלמד כי לתרגּול בקורס זה חשיבות יוצאת דופן ,ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו. לכל התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר www.bagrut.co.il הפתרונות מוגשים בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי ,כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית ,שיטתית ופשוטה ,ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי .הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה. תקוותי היא שספר זה ישמש מורה-דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם להצלחה. יוחאי טוויג © www.bagrut.co.il 2 תוכן העניינים פרק – 1מבוא לאלגברה5 ......................................................................................... : פרק – 2טכניקה אלגברית21 .................................................................................... : פירוק הטרינום21 ............................................................................................................... : משוואות22 ........................................................................................................................ : משוואה ממעלה ראשונה22 ............................................................................................. : מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה23 ..................................................... : משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון25 .................................................................... : משוואה ממעלה שנייה25 ................................................................................................ : משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו-ריבועיות26 ......................................................... : משוואות עם פרמטרים26 ................................................................................................ : משוואות עם שורשים27 .................................................................................................. : משוואות עם ערך מוחלט27 ............................................................................................. : מערכת משוואות ממעלה שנייה29 ....................................................................................: תשובות סופיות29 ........................................................................................................... : אי שוויוניים32 ................................................................................................................... : אי-שוויונים ממעלה ראשונה32 ........................................................................................ : אי-שוויונים ממעלה שנייה32 ........................................................................................... : אי-שוויונים ממעלה שלישית34 ........................................................................................ : אי-שוויונים עם מנה34 .................................................................................................... : אי-שוויונים כפולים -מערכת וגם34 ................................................................................. : שאלות מסכמות – אי -שוויונים36 .................................................................................... : תשובות סופיות36 ........................................................................................................... : תחום הגדרה37 ............................................................................................................... : תשובות סופיות37 ........................................................................................................... : פרק – 3חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות ולוגריתמיות39 ................................................ : חוקי חזקות39 .................................................................................................................... : שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים39 ...................................................................... : משוואות מעריכיות40 ......................................................................................................... : שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות40 .......................................................................... : משוואות לוגריתמיות41 ...................................................................................................... : שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות42 .......................................... : אי שוויונים מעריכיים45 ..................................................................................................... : 3 אי-שוויונים לוגריתמיים45 ..................................................................................................: תירגול נוסף46 .................................................................................................................... : חזרה על חוקי חזקות ושורשים46 .................................................................................... : תשובות סופיות48 ........................................................................................................... : משוואות מעריכיות49 ..................................................................................................... : תשובות סופיות52 ........................................................................................................... : הגדרת הלוגריתם ומשוואות לוגריתמיות יסודיות53 ......................................................... : תשובות סופיות57 ........................................................................................................... : חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות58 ..................................................................... : תשובות סופיות62 ........................................................................................................... : מעבר מבסיס לבסיס ומשוואות לוגריתמיות63 ................................................................. : תשובות סופיות 65 .......................................................................................................... : אי-שוויוניים לוגריתמיים66 ............................................................................................ : תשובות סופיות66 ........................................................................................................... : פרק – 4גאומטריה אוקלידית67 ................................................................................: רקע ,קווים וזוויות ,משולשים67 ......................................................................................... : משולש כללי ,משולש שווה שוקיים ,משולש ישר זווית67 ...................................................... : חפיפת משולשים69 ............................................................................................................. : זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית70 ........................................................................ : קטעים מיוחדים במשולש72 ................................................................................................ : מרובעים73 ......................................................................................................................... : המעגל81 ............................................................................................................................ : פרופורציה דמיון88 ............................................................................................................. : שאלות שונות104................................................................................................................. : שאלות ללא פרופורציה104............................................................................................... : שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון107.............................................................................. : תשובות סופיות117.......................................................................................................... : פרק – 5טריגונומטריה במישור118 ............................................................................ : משולש ישר זווית118........................................................................................................... : זהויות טריגונומטריות122................................................................................................... : משוואות טריגונומטריות125................................................................................................ : טריגונומטריה במישור130................................................................................................... : 4 פרק – 1מבוא לאלגברה: בסרטון זה הסבר על פעולות חשבון במספרים )1סמנו את המספרים הבאים על ציר המספרים בהתאמה: 1 1 1 1 1 1 1 , , 3 , 3 , 1 , 2 , , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )2 6 1 )3 6 1 )4 6 1 )5 6 1 )6 5 13 9 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )7 5 7 23 1 )8 5 8 12 17 בסרטון זה הסבר על כפל וחילוק במספרים מכוונים חשב את ערכי הביטויים הבאים: )9 2 5 )11 25 2 5 )11 2 5 )12 2 3 4 )13 2 3 4 )14 8 : 4 )15 50 : 10 )16 15 : 3 )17 6 : 2 )18 חשב את ערכי הביטויים הבאים: 25 : 5 )19 30 : 3 )21 5 7 2 )21 )22 32 4 )23 12 3 0 : 5 )24 2 0 )25 בסרטון זה הסבר על חזקה ושורש חשב את ערכי הביטויים הבאים: )26 )27 24 2 )29 4 23 )28 )31 3 26 2 24 )31 2 )32 23 )33 4 )34 64 )35 64 32 )36 5 )37 16 )38 64 4 )39 64 )41 64 )41 34 3 8 3 3 4 חשב את ערכי הביטויים הבאים: 42 )43 )42 169 )44 2 4 )45 3 3 )46 27 3 625 )47 4 )48 16 4 32 5 )51 2 )49 5 בסרטון זה הסבר על סדר פעולות חשבון חשב את ערכי הביטויים הבאים: 196 5 22 20 : 2 )51 )53 )52 : 2 10 2 3 4 2 64 : 4 2 42 32 10 )54 32 4 5 4 7 2 900 6 7 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )55 2 144 20 : 4 3 2 )56 3 4 3 4 2 10 6 4 3 3 : 9 5 2 )57 9 52 : 4 1 24 :12 3 )58 25 : 8 42 3 5 )59 27 4 32 2 33 )61 6 14 10 13 15 )61 2 15 20 : 4 3 2 )63 3 )62 3 64 2 4 5 243 3 8 32 8 2 3 3 72 4 5 2 בסרטון זה הסבר על שברים המירו את השברים המדומים לשברים מעורבים: )64 3 2 )65 8 5 המירו את השברים המעורבים לשברים מדומים: 3 )66 8 )67 2 2 5 12 איזה שבר גדול יותר? )68 3 5 או 7 7 )69 3 3 או 5 7 )71 3 4 או 4 5 המירו את השברים העשרוניים לשברים פשוטים: 0.3 )71 0.02 )72 1.012 )73 2.75 )74 המירו את השברים הפשוטים לשברים עשרוניים: )75 1 10 )79 12 1000 1 )76 1 100 )77 3 1000 )78 12 1000 )81 3 50 )81 7 20 )82 5 6 8 9 המירו את האחוזים לשברים פשוטים: 25% )84 50% )83 המירו את השברים הפשוטים לאחוזים: )85 4 10 )86 5 20 המירו את השברים המדומים לשברים מעורבים: )87 20 3 )88 19 4 איזה שבר גדול יותר? )89 )91 4 3 או 10 10 5 2 או 6 3 )91 )92 7 7 או 6 8 7 5 או 12 18 בסרטון זה הסבר על חיבור וחיסור שברים חשב את ערכי הביטויים הבאים: )93 1 3 4 4 )94 5 7 2 4 )95 3 1 5 2 4 8 )96 2 5 1 3 9 6 )97 3 5 7 4 6 5 )98 1 11 1 8 12 )99 1 23 1 2 9 27 2 3 3 )111 21 14 10 1 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )111 )113 )115 )117 2 5 6 8 8 8 5 7 2 4 2 8 3 1 8 1 4 5 20 7 1 5 6 8 2 )112 )114 )116 1 4 2 3 5 1 2 6 9 2 1 3 4 3 4 בסרטון זה הסבר על כפל וחילוק שברים חשב את ערכי הביטויים הבאים: )118 )111 )112 )114 )116 )118 2 2 3 5 1 1 2 1 3 4 2 5 : 3 6 3 6: 4 5 1 :3 9 3 33 4 )119 )111 )113 )115 2 5 1 2 3 2 3 5 2 :4 5 2 1 2 :1 3 5 4 3 )117 )119 3 4 9 1 1 1 1 1 : 20 3 4 2 חשב את ערכי הביטויים הבאים: )121 )122 )124 )126 4 2 3 7 6 2 9 5 3 4 5 :3 6 3 12 8 : 2 20 )121 )123 )125 11 1 1 5 : 3 6 1 2 3 4 2 5 3 5 3 :5 4 8 12 בסרטון זה הסבר על הצבה בתבנית מספר :חשב את ערכי הביטויים הבאים a 3a a 7 , a 1 5 4 3 x y )128 3 , x 5 y 4 )127 1 1 n 2 3 )129 16m2 9n2 , m :הצב את הערכים המספריים במקום הפרמטרים וחשב את ערך תבנית המספר a 2c a x 3 2 4a 2 3b c 4 2 a 2, c 2 )131 3 x 2b x 5, b 1 )133 a a 1, b 2, c 4 a 2 2ab b2 x3 2 xy y 4 )131 a 3, b 5 )132 x 2, y 1 )134 בסרטון זה הסבר על כינוס איברים :כנס איברים דומים a5 a5 )136 5x 3x 12 x )135 1 b2 2b 3 2b2 )138 7m 11 9m 2 )137 x2 y xy 3 y 2 x 9 xy 5xy 2 )141 4ab 3a2b 3b2 a 5ab )139 10m2 n 3mn2 m2 n 2m 5 5a2b 8ab2 20a2b 14ab2 )143 13 )141 :כנס איברים דומים 8a2 10a 5a 2 11a a 2 )142 בסרטון זה הסבר על פתיחת סוגריים :פשט את הביטויים הבאים ע"י פתיחת סוגריים x x 5 )145 2 x 4 )144 2 b 2 x )147 7 a 3 )146 2 6x 3 y 3 )149 x x 2 3x 2 )148 3x 2 y 5 )151 5 y 7 )151 3x 2 x y )152 x 5 2 x 1 )153 x 3 5 x )155 x 4 x 5 )154 2 x 5 2 x 5 )157 a a 2b c )159 3 x 1 x 3 )156 4 3x 2 2 x 1 3x 5 )158 בסרטון זה הסבר על נוסחאות כפל מקוצר :פשט את הביטויים הבאים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר 2 2 x 2 )161 a 3 )161 1 c 4 5 y 4t 2 2 )163 b 1 )165 2m 5 x y 11 2 2 )162 2 )164 2 )166 :פשט את הביטויים הבאים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר 2 2 x 4 )167 5 x )168 2m 4c 2 )171 9 x 9 x )172 4 x 2 2 )169 x 7 x 7 )171 3x 4 3x 4 )173 14 15 בסרטון זה הסבר על פירוק לגורמים פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף: )174 2x 4 )175 3x 6 )176 80 4x )177 64 8a )178 x 2 3x )179 x3 x )181 x5 2 x 2 )181 4 x3 12 x2 בסרטון זה הסבר על פירוק לפי נוסחאות פשט את הביטויים הבאים ע"י הוצאת גורם משותף ושימוש בנוסחאות הכפל המקוצר: )182 x2 6 x 9 )183 9a 2 12a 4 )184 12 x2 60 x 75 )185 x2 16 x 64 )186 a 2 10a 25 )187 2 x2 36 x 162 )188 a2 9 )189 x 2 16 )191 81 x 2 )191 100 x2 49 )192 49x x3 )193 x3 x )194 x2 10 x 25 )195 m2 9 בעיות יסודיות באחוזים )196בכיתה 30תלמידים 60% .מתוכם בנות. א .כמה בנות בכיתה? ב .כמה בנים בכיתה? )197בכיתה 28בנות המהוות 70%מכלל התלמידים בכיתה. א .כמה תלמידים בכיתה? ב .כמה בנים בכיתה? )198מחיר בגד -ים הוא .₪ 300בסוף העונה הוא נמכר ב 20%-הנחה. א .מהו מחירו בסוף העונה? 16 ב .מה גודל ההנחה? )199מחיר ההשקה של בושם מסוים הוא .₪ 500לאחר מכן מועלה מחירו ב.8%- א .מה מחירו הסופי? ב .מה גודל ההתייקרות? )211מחיר ליטר דלק הוא ₪ 5לליטר .בחנוכה מוגל מחירו ב.7%- בפסח מועלה מחירו ב .7%-מה מחירו בסוף השנה? )211מוצר מסויים מתייקר בסוכות ב .12%-בפורים מוזל המוצר ב .12%- מחירו בסוף השנה הוא .₪ 394.24מה מחירו בתחילת השנה? )212באולם קולנוע 200צופים ,מתוכם 176בנים .מה אחוז הבנים בקהל? )213בכיתה 30תלמידים ,מתוכם 18בנות .מה אחוז הבנות בכיתה? )214מחיר מוצר התייקר מ ₪ 80-ל .₪ 120-בכמה אחוזים התייקר המוצר? )215מחיר מוצר הוזל מ ₪ 120-ל .₪ 80-בכמה אחוזים הוזל המוצר? )216מחיר מוצר התייקר מ ₪ 150-ל .₪ 200-בכמה אחוזים התייקר המוצר? )217מחיר מוזל הוזל מ ₪ 200-ל .₪ 150-בכמה אחוזים הוזל המוצר? 17 :פתרונות )1 .10 )11 .10 )9 .2 )8 .10 )7 .9 )6 . 5 )5 . 7 )4 . 5 )3 . 7 )2 .3 )18 .5 )17 .5 )16 .2 )15 . 24 )14 . 24 )13 . 10 )12 . 10 )11 .64 )27 .16 )26 .0 )25 .0 )24 . 4 )23 . 8 )22 .14 )21 . 10 )21 . 5 )19 .2 )36 .4 )35 .8 )34 .16 )33 .8 )32 . 16 )31 . 8 )31 .16 )29 . 8 )28 .16 )44 . 16 )43 .13 )42 . 83 )41 . 4 )41 .) בח"מ39 . 2.8 )38 .) בח"מ37 .88 )52 . 24 )51 .25 )51 . 2 )49 .) בח"מ48 .5 )47 . 3 )46 . 27 )45 .21 )61 .5 )59 .14 )58 .31 )57 . 37 )56 .19 )55 . 20 )54 . 79 )53 5 62 19 3 1 )68 . )67 . )66 .1 )65 .1 )64 . 20 )63 . 44 )62 . 16 )61 7 8 5 5 2 3 3 1 3 4 3 . 0.01 )76 . 0.1 )75 . 2 )74 .1 )73 . )72 . )71 . )71 . )69 4 250 10 5 5 50 1 . )83 . 0.833 )82 . 0.35 )81 . 0.06 )81 .1.012 )79 . 0.012 )78 . 0.003 )77 2 5 7 4 3 2 1 . )91 . )91 . )89 . 4 )88 . 6 )87 . 25% )86 . 40% )85 . )84 6 6 10 4 3 4 1 13 5 5 7 7 . 2 )99 .1 )98 . )97 . 2 )96 . 5 )95 .1 )94 .1 )93 . )92 20 8 12 18 6 27 11 5 13 5 19 1 5 . 7 )116 . 2 )115 . )114 . )113 .1 )112 .1 )111 . 2 )111 15 24 16 12 42 18 42 1 4 11 3 4 5 .8 )114 . )113 . )112 .8 )111 . 2 )111 .1 )119 . )118 . )117 10 5 5 15 8 12 8 1 3 27 1 2 . 32 )121 . )121 . 3 )119 . 6 )118 . )117 . )116 . 2 )115 10 4 64 6 9 21 2 5 2 4 3 )129 . 4 )128 .1 )127 . 20 )126 . )125 . )124 .15 )123 .1 )122 3 18 5 5 1 . 4a 2 a )135 . 5 )134 . 71 )133 . 4 )132 . 644 )131 . )131 2 . . 4x )138 . 2x )137 . 25a2b 22ab2 )136 ab 3a 2b 3b2a )142 b2 2b 2 )141 2m 9 )141 2a5 )139 . 7a 21 )146 . x2 5x )145 15m2 n 3mn2 10m )144 2 y 2 x 8xy x2 y )143 .15x 10 y )151 . 5 y 7 )151 . 4 x 2 y )149 . x3 3x2 )148 . 2b 4 x )147 . x2 2 x 15 )155 . x2 9 x 20 )154 .11x 5 )153 . 6 x2 3xy )152 18 . a2 2ab ac )159 . 6 x2 5x 3 )158 . 4 x2 25 )57 . 3x2 12 x 9 )156 . x2 4 x 4 )163 .16 x2 16 x 4 )162 . 25 10x x2 )161 . x2 8x 16 )161 4m2 20m 25 )167 c 2 c 1 )166 b2 2b 1 )165 a2 6a 9 )164 2 16 . 4m2 16mc 16c2 )171 x4 y 2 22 x2 y 121 )169 25 y 2 40 yt 16t 2 )168 . 3 x 2 )175 . 2 x 2 )174 . 9 x2 16 )173 . 81 x2 )172 . x2 49 )171 . x 2 x3 2 )181 . x x 2 1 )179 . x x 3 )178 . 8 8 a )177 . 4 20 x )176 . x 8 )185 . 3 2 x 5 )184 . 3a 2 )183 . x 3 )182 . 4 x2 x 3 )181 2 2 2 2 . x 4 x 4 )189 . a 3 a 3 )188 . 2 x 9 )187 . a 5 )186 2 2 . x 7 x 7 x )192 . 10 x 7 10 x 7 )191 . 9 x 9 x )191 .12 . ב.18 .) א196 . m 3 m 3 )195 . x 5 )194 . x x 2 1 )193 .4.9755 )211 .40 . ב.540 .) א199 .60 . ב.240 .) א198 .12 . ב.40 .) א197 2 .33.33% )216 .33.33% )215 .50% )214 .60% )213 .88% )212 .400 )211 .25% )217 19 20 : – טכניקה אלגברית2 פרק :פירוק הטרינום :פרק את הביטויים הבאים לפי פירוק טרינום 2 x2 7 x 15 )2 4 x2 8x 3 )1 6 x2 5x 1 )4 3x2 11x 6 )3 x2 5x 4 )6 2 x2 x 6 )5 x2 33x 62 )8 x2 8x 15 )7 :פרק את הביטויים הבאים 4 x2 8x 3 )9 6 x2 5x 1 )11 x2 5x 4 )11 :תשובות סופיות 3x 2 x 3 )3 2 x 3 x 5 )2 2 x 1 2 x 3 )1 x 1 x 4 )6 x 2 2 x 3 )5 3x 1 2 x 1 )4 2 x 1 2 x 3 )9 x 2 x 31 )8 x 3 x 5 )7 . x 1 x 4 )11 3x 1 2 x 1 )11 21 :משוואות :משוואה ממעלה ראשונה 2 x x 24 7 2x 7 .ג :) פתור את המשוואות הבאות1 .ב 6 x 2 8 .א 7 x 5 2 x 4 x 13 .ה 2x 6 8 x .ד 2 5x 7 3x 8 .ז 6 x 3 5 7 x x 5x 7 .ו :) פתור את המשוואות הבאות2 7 x 4 3 4x x .ב 3 x 1 4 2 .א 5x 3x 7 4 21 .ד 6 4 x 6 x 3x .ג .ו x x 5 x 2 7 x 8 .ה 7 x 1 x x 3 2 0 :) פתור את המשוואות הבאות3 4 x 3x 1 15 10 5 x 1 6 x 1 3x 1 1 6 5 4 x x 5 x 1 3 7 x x 4 .א 3 9 2 4 7 .ג x x x 3 5 15 2 3 x 3 4 x x 2 . ה 5 15 .ב .ד .ו :) פתור את המשוואות הבאות4 1 x 0 .ב 2 x 1 5 4 .ד 2 x 1 3x 2 1 2 0 .א 4 x 3 1 .ג x x2 x5 1 1 .ה 3x 2 6 x x 22 :) פתור את המשוואות הבאות5 x2 2 3x 1 .א 2 3x 5 x 9 x 15 3 5 0 .ג 2 2 x 12 3x 2 7 2 3 0 .ב 2 x 1 x 1 2 2x 4 x 2 24 x 36 12 .ד x 3 :מערכת שתי משוואות בשני נעלמים ממעלה ראשונה :) פתור את המשוואות הבאות6 5 x 2 y 14 .ב 5 x 3 y 23 x 3y 5 .א x 3y 3 :) פתור את המשוואות הבאות7 5 x 2 y 2 .ג x 4 y 4 3x 2 y 16 .ב x 5 y 14 y x 3 .ה y 2x 4 3x y 11 .א y 5 2 x 3 y 5 .ד 5 x 7 y 11 :) פתור את המשוואות הבאות8 x 3 x y y 1 16 4 .ב 8 3 2 x y 4 x 11 0 3 y x 2 4 x 2 3 y .א 2 x 3 y 5 y 4 x 3 3 3x 1 2 4 5 x y 10 x 3 x 1 y 1 4 2 .ג :) פתור את המשוואות הבאות9 7 4 x y 3 .ג 2 5 x 7 y 3 3 x y 2 .ב 9 4 7 x y 23 3 1 x y 4 .א 5 1 4 x y 24 )11פתור את המשוואות הבאות: x y 2 y xy 5 א. x y 2 xy 20 ב. y 3x 4 20 5 x 4 xy 22 ג. 6 x xy 20 משוואות עם אינסוף פתרונות וללא פתרון: )11פתור את המשוואות הבאות: א6 x 2 2 x 5 4 x . ב5 x 3 x 4 x 2 x 3 . 2 x y 4 y 1 x ד. 2 7 y x 3 x y x 2 y 1 ג. 4 x 8 y 5 משוואה ממעלה שנייה: )12פתור את המשוואות הבאות: אx2 3x 10 0 . ב x2 10 x 16 0 . ד2 x 2 6 x 5 0 . ג25x2 20 x 4 0 . )13פתור את המשוואות הבאות: א4 x2 5x 7 4 x2 3 . ב x x 5 1 3x 1 x 4 . ג2 x 5 2 x 3 10 x 21 . 2 2 )14פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת :) b ב32 x2 18 0 . אx2 36 0 . )15פתור את המשוואות הבאות (משוואה חסרת :) c ב5 x 2 x 0 . א7 x2 14 x 0 . 25 :) פתור את המשוואות הבאות16 4x 1 x 2 2 .א 3 2 x 3 2x 5 4 0 .ג 2 2 x 2 2 x 1 1 x 2 x 9 x x 2 18 .ב x3 2 :ריבועיות-משוואות ממעלה שלישית ומשוואות דו :) פתור את המשוואות הבאות17 x 4 3x 2 2 0 . ב 5x4 3x2 8 0 .א 2 x3 5 x 2 2 x 5 0 . ד 2 x3 7 x 2 7 x 2 0 . ג :משוואות עם פרמטרים :) פתור את המשוואות הבאות18 mx 3m 5x 1 .א 1 1 a 3x ax 3 .ב 3 a x 2a x 2b x2 2 a2 b2 .ג m 1 m 1 .ד x 1 x 1 x 1 ax x 2 3 3 .ה 2 a a 2a 2a 4a 2a a 2a 2 a 2 :) פתור את מערכות המשוואות הבאות19 ax y 2 .ב x ay 4 x my 1 .א x y m m 1 x 2m 3 y 5 .ד m 2 x 2m 1 y 10m x ym .ג m x m2 y 1 2a b x 2a b y 8ab .ה 2 2 2a b x 2a b y 8a 2b 26 :) פתור את המשוואות הריבועיות הבאות21 x2 2 x 4a a 2 3 .ב x2 2mx m2 1 0 .א 1 1 1 0 .ד ax a ax x2 m x 10 2m2 5x .ג a 1 x b x b a m .ו 2 1 x 2 m2 x 1 0 .ה x 1 a b a b x a b a b .ז :משוואות עם שורשים :) פתור את המשוואות הבאות21 x2 x .ב 4x 3 5 .א 2 x 16 3 x 1 .ד 3x 1 x 13 .ג x2 5x 12 2 6 x .ו 3x 5 x 17 .ה 2x 1 3 7 x 1 .ח x 1 2 x 5 11 x 2 .ז 2x 3 3 x 2 .י 9 x 8 3 x 4 2 .ט 2 x 2 5 x 4 3x 2 .יב x 3 x 2 4 x 1 .יא 3 x 1 2 x 3 2 x 2 .יג :משוואות עם ערך מוחלט 3x 24 x .ב :) פתור את המשוואות הבאות22 2 x 11 7 .א 2 x 8 x 10 .ד 12 x 3x .ג 14 3x 2 x 5 .ו 4 x 5 2 x 13 .ה x 2 6 2x 4 .ח x 7 2x .ז 27 10 3x x 4 2 x 6 x 2 2x 6 4x 8 .י 28 .ט :מערכת משוואות ממעלה שנייה :) פתור את מערכות המשוואות הבאות23 2 x 2 y 2 36 2 x 3 y 10 .ב x 2 y 2 20 x y 6 .א x 2 2 y 2 17 xy 10 .ד 3x 2 4 y 2 16 2 2 5 x 3 y 17 .ג 2 2 x 2 xy 8 y 8 2 3xy 2 y 4 .ו x 2 xy 20 y 2 0 x 6 y 1 .ה 16 x 2 y 2 391 4 x y 23 .ח x 2 y 2 33 x y 11 .ז 3 3 x y 91 2 2 x y xy 30 .י x3 y 3 243 x y 9 .ט xy 24 2 y x 7 y x 10 0 x y 10 x 3 y 2 2 x y 9 xy 25 3 5 x y 21 .יא 8 1 13 x y .יב 2 2 x y xy 84 2 2 x 2 xy y 5 x 5 y 24 .יד .יג :תשובות סופיות 1 . זx 3 . וx 2 . הx 2 . דx 8 . גx 0 . בx 1 2 1 1 . x 1 . וx 4 . הx 1 . דx 2 . גx . בx 3 4 2 . x 21 . וx 10 . הx 1 . דx 1 . גx 30 . בx 18 . x 2 . הx 2 . דx 3 . גx 1 . בx 8 4 1 . ,9 . ב 4, .) א6 . x 6 , x 3 . דx 7 . גx 7 . בx 6 5 3 .x 29 .) א1 .) א2 .) א3 .) א4 .) א5 .x 1 . זx 3 .ו 2 7, 10 . ה 2,3 . ד 0,1 . ג 4, 2 . ב 2,5 .) א7 . 1,1 . ג 3,1 . ב1,1 .) א9 7, 2 . ג 7,1 . ב 6,5 .) א8 2, 4 . ג 2,10 . ב 1, 3 .) א11 אין פתרון למערכת המשוואות.ג אינסוף פתרונות. אין פתרון ב.) א11 . אינסוף פתרונות.ד 2 . גx1 2 , x2 8 . בx1 2 , x2 5 .) א12 5 1 . x1 1 , x2 10 . גx1 1 , x2 1 . בx1 0 , x2 1 .) א13 4 1 3 x1 0 , x2 . בx1 0 , x2 2 .) א15 x . בx 6 .) א14 5 4 . x1 0 , x2 5 . גx 5 , x 3 . בx1 2 , x2 1.2 .) א16 . אין פתרון למשוואה. דx . x1 1 , x2 1 , x3 2 1 1 . דx1 1 , x2 2 , x3 . גx 1 . בx 1 .) א17 2 2 a2 9 3m 1 . בx .) א18 6a m5 m 1 2a 4 4a 2 , 2 2m 1, m 2 . ד m2 m 1, . ב m 1, 1 .) א19 . ג 2 m a 1 a 1 . x a 1 . הx m . דx a b . גx x m 5, 2m .ג x a 1,3 a .ב x m 1, m 1 .) א21 2a b, 2a b .ה a b a b a 1 . זx , ab . וx 1, 2 . הx a 3 .ד , a b a b b m 1 x 5 . חx 3 . זx 4, 3 . וx 6 . הx 5 . דx 8 . גx 2 . בx 7 .) א21 .x 8 9 . x 2 . יגx 1 . יבx 6 . יאx 2, 2 . יx 12 .ט x 7 . זx 24, 4 1 . וx 9, 1 . הx 6 . דx 3 . גx 6,12 . בx 2,9 .) א22 5 3 1 . x 0 . יx 0, 12 . טx 12, 1 .ח 3 . 5, 2 , 5, 2 . ד 2, 1 . ג 4, 2 . ב 2, 4 , 4, 2 .) א23 . 5, 3 . ח 7, 4 .ז 1 1 5 1 1 3, , 3, , 2,1 , 2, 1 . ו 2, , , .ה 2 2 11 11 2 1 1 . , . יא 6,5 , 5, 6 . י 3,6 , 6,3 .ט 2 3 . 4,6 , 6, 4 , 3,8 , 8, 3 .יב . 1.65,6.35 , 6.35,1.65 7, 4 , 4, 7 .יג 30 . 5, 45 , 5, 45 , 45,5 , 45, 5 .יד 31 אי שוויוניים: מה מותר? .1לחבר או לחסר כל מספר או ביטוי. .2לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי חיובי. מה אסור? .1לכפול או לחלק בביטוי שלא יודעים את סימנו. .2להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף שלילי. .3לכפול או לחלק בכל מספר או ביטוי שלילי תוך הפיכת סימן אי-השוויון. .4להעלות בחזקה אי זוגית. .5להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי אי-השוויון אינם שליליים. אי-שוויונים ממעלה ראשונה: פתור את אי-השוויונים הבאים: 45x 26 109 )1 )3 )5 )7 1 4x 6 2 8 x 4 9 x 1 2 3 x6 x4 12 x 3 4 2 x 5 )2 6 x 2 3x 1 )4 4 x 2 20 )6 4 6 x 8 8 3x 4 )8 7 x 3x 1 x 4 7 10 5 3 2 2 x 2 אי-שוויונים ממעלה שנייה: פתור את אי-השוויונים הבאים: )9 x 2 144 )11 x 12 x 32 2 x 2 x 5 0 )11 x 2 x 4 35 )12 x2 13x 30 0 )13 x 3 x 7 8x 56 )14 )15 x x 2 89 )17 3x2 12 x 0 )19 x 1 x 6 x 2 3x 2 x 5 2 x 3 32 4 x 3 2 5x 6 )16 2 )18 x2 10 x 25 0 )21 2 x2 2 x 24 0 33 :שוויונים ממעלה שלישית-אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x 1 x 2 x 3 0 )21 x x 2 x 1 0 )22 x 2 x3 25x 0 )24 2x 8x 20 3x 5 0 )26 x x3 6 x 2 9 x 0 2 3x 2 x 1 0 )23 2 3x 5 x 2 0 )25 x )28 2 x 6 x 1 0 )27 x x 2 x 4 x 1 0 )31 2 6 x 3 0 )29 :שוויונים עם מנה-אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x 1 0 )31 x2 9 x 1 3 )32 3x 2 x 3 0 )34 2 x 10 x 12 1 0 x 16 )33 1 0 3 x 1 2x 1 0 x 5 )35 2 2 )36 1 0 )38 x 5x 6 x 1 1 )37 x2 1 0 )41 2 x 8 x 12 x2 7 x 6 0 )39 x 2 3x 7 2 : מערכת וגם- שוויונים כפולים-אי 0 0 6 1 2 )42 x4 :השוויונים הבאים-פתור את אי 3 x 1 5 )41 8 3x 4 )44 5 2x 2 x 10 7 x 20 )46 3 5 4 x 5 3x 8 9 x 11 )48 15 5 3 34 1 x 1 1 )43 x 1 6x 38 x 3 5x 7 )45 1 2x 6 x 2 4 3 )47 35 :שוויונים-שאלות מסכמות – אי :השוויונים הבאים-פתור את אי x x 5 3x 15 2 x 1 x(4 x) )51 x x 5 3x 1 0 )52 2 x x 7 x 4 x 2 0 )51 x 1 2 x 3 x 12 0 )53 x 1 4 x x x 3 2 x 5 0 )54 5 2x x 8 2 3 2 x 5 0 x 8 )49 4 x 6 x 1 0 )55 2 0 )56 x2 x 3 0 )57 x2 2 x 4x 0 )58 x 2x 3 x7 0 )61 2 x x3 2 2 x2 6x 9 0 )59 x3 x x 1 1 )61 2 x 4 x2 x2 2 x2 x x )62 2 x 6x 8 x 4 x 2 3 2 1 1 0 )64 x 1 x x 3 1 x x2 3x 10 6 5x x 2 )63 1 ? g x x 1 2 )65 x4 x 1 x מעל הפונקציהf x נמצאת הפונקציהx ) לאלו ערכי66 x3 x 3 :תשובות סופיות . x 13 )8 x 12 )7 x ) אף6 x 5 )5 x 2 )4 x ) אף3 x ) כל2 x 3 )1 . 9 x 3 )12 5 x 2 )11 x 4 , x 8 )11 12 x 12 )9 . 4 x 0 )16 4 x 8 )15 x 7 , x 11 )14 x 2 , x 15 )13 . x ) כל21 x 3 , x 5 )19 x 5 , x 5 )18 0 x 4 )17 1 )23 x 0 )22 1 x 2 אוx 3 )21 2 2 . x 3 )29 x 0 , x 3 )28 x 2 , 1 x 3 )27 x 1 )26 x 2 )25 3 2 1 . x , x )32 3 x 1 , x 3 )31 x 1 , 2 x 4 )31 3 2 5 x 0 , x 5 )24 2 x 1 , x 36 . x 2 )37 x 1 )36 1 x 5 )35 2 x 3 , x 3 )34 x 4 , x 4 )33 2 1 2 . x 0 )43 x 3 )42 2 x 4 )41 x 2 , x 6 )41 1 x 6 )39 2 x 3 )38 3 5 2 2 )49 . )48 1 x 13 )47 x 10 )46 x 7 )45 x 2 , x 2 )44 3 5 3 4 1 x 7 , x 2 , 5 x )52 x 2 , 1 x 4 )51 x 4 )51 3 .8 x 1 , 2 x 6 , 6 x )55 x 3 , 0 x 2.5 )54 . 1 x 1.5 , 4 x 12 )53 . x 3 , 0 x 1 , x 4 )58 3 x )57 2.5 x 8 , 8 x )56 . x 2 , 2 x 4 )61 7 x )61 1 x 0 , 1 x 3 , 3 x )59 . x 7 )65 x 1 )64 x ) אף63 x 0 , 1 x 2 , 4 x )62 3 . 3 x , 3 x )66 5 2 x :תחום הגדרה :) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות1 f x 2 x 3 .ב f x x .א 5x x4 x2 .ד f x 3x 1 2 x .ג .ו f x x 2 3x 10 .ה x 1 x 2 x .ז f x f x x3 9 x f x :) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות2 f x 1 x x6 x2 5x 6 f x x 1 f x .ב f x .ד x 2 3 .א 2x2 x 3 x2 5x 9 .ג :תשובות סופיות x 5 , x 2 . הx 4 . דx 1 . גx 3 . בx 0 .) א1 2 . x 2 , 2 x 1 , 1 x 2 . ז3 x 0 , x 3 .ו 37 1 2 . x 3 , 2 x 1 . דx 1 , x 1 . ג6 x 2 . בx 7 .) א2 38 : – חוקי חזקות ומשוואות מעריכיות ולוגריתמיות3 פרק :חוקי חזקות :סיכום חוקי החזקות a n a m a nm a b a b m m a b m b a a1 a .3 m a n m .6 m a am .9 n m 1 am a 0 1 .1 .2 .5 an a nm m a .8 am a bm b .4 m .7 :סיכום חוקי השורשים n m 1 an a m n m .3 a m n a 1 a am .2 a ma m b b .5 m a a2 m .6 a m b m a b m .1 .4 :שאלות יסודיות – חוקי חזקות ושורשים :) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים1 93 27 2 39 81 .ב 23 25 .ד 23 2 7 2 4 25 109 255 81 403 1255 .א .ג :) פשט את הביטויים הבאים2 k k 2a b ab 2 m 2 k 13m 3 1 7 m4 k .ב 1 x n 3 x n 5 x2 x n2 .ד 2m 5 . 2 3 3 2 4 a2 4ab b 4b 3 4b 1 4b 2 .א 2 .ג 22 8 :) חשב ללא מחשבון את ערך הביטוי הבא3 5 128 39 :) הכנס לתוך שורש את המספרים החופשיים4 36 2 63 .ג 5 3 .ב 3 2 .א x x .ה 23 3 .ד :) הוצא מהשורש את הכופל הגדול ביותר5 48 .ב 12 .א .ג 3 .ה x5 54 .ד :משוואות מעריכיות . x y : הואa x a y : פתרון כללי של משוואת מעריכית מהצורה.1 . a x 1 a0 : שכןx 0 : הואa x 1 : פתרון של משוואה מהצורה.2 ללא תלותa x b x 1 : שכןx 0 : הואa x b x : פתרון של משוואה מהצורה.3 .בבסיסים :שאלות יסודיות – משוואות מעריכיות :פתור את המשוואות הבאות 25 0.2 2x 2 1 x 1 125 1 2 32 8 )8 2x 13 x e e x 3 x 1 1 x e )13 2 6 x 6 x 2 6 x 1 227 )17 5 3x 3x1 162 )16 22 x 6 2 x 8 0 )21 e2 e x e x 1 e 1 )19 x 4 5 3 9 2 2 x 1 35 x 3 33 x 7 )6 )7 1 27 9 3 )11 3 3x 5x )11 2 x 2 x 16 )14 x 2x 3 4 2 x 3x 4 9 3 16 1 53 x 8 7 x )9 2 x /3 2 )12 e x 2e x 3e4 )15 1 x 2 5 x 25 2 5 x 1 145 )18 2 )23 3 6 x 4 6 x 3 0 )22 5 25x 26 5x 5 0 )21 e1 x e1 x e2 1 )26 e2 x e x 2 0 )25 20 8 )24 3 x 9 1 9 1 40 x תשובות סופיות: 2b3 1 5 1 .ב . k .ג. )1א . 2 .ב . .ג . .ד )2 . 40 .א. a 5 8 3 1 x . 3ד. 2 )3 . x . )4א . 18 .ב . 75 .ג . 9 .ד . 3 24 .ה. x3 . )5א . 2 3 .ב . 4 3 .ג . 3 7 .ד . 3 3 2 .ה. x 1 )7 . x 5 )6 . x 2 x . 1 1 )13 . x 3 )12 . x 0 )11 . x )11 . x 2 )9 . x 1 )8 6 2 . x 1, 2 )21 . x 1 )19 . x 2 )18 . x 1 )17 . x 4 )16 . x 4 )15 . x 3 )14 . x 1, . x 1 )21 1 )24 . x 0,1 )23 . x 0 )22 2 . x 1 )26 . x 0 )25 . x 1, משוואות לוגריתמיות: .1הגדרת הלוגריתם a x b loga b x :כאשר. a , b 0 , a 1 : לוגריתם על בסיס aשל bמוגדר כחזקה שיש להעלות את aעל מנת שיהיה שווה ל . b -ערך חזקה זו הוא . xערך לוגריתם יכול להיות חיובי ,שלילי או אפס .נפתור משוואות לוגריתמיות ע"י מעבר לפי ההג דרה למשוואה מעריכית מתאימה. .2דוגמאות כלליות: . 23 8 log 2 8 3 . 34 81 log3 81 4 . 102 100 log10 100 2 . 16 4 log16 4 0.5 1 1 log5 2 25 25 . 52 . 60 1 log6 1 0 .3חוקי יסוד בלוגריתמים: אlog a a 1 . ב. log a 1 0 . .4חוקי הלוגריתמים: א .מכפלה לסכום. log a x y log a x log a y : x ב .מנה להפרש. log a log a x log a y : y ג .מקדם למעריך. loga bn n loga b : 41 .5חזקה לוגריתמית. alog x x : a log m b .6מעבר מבסיס לבסיס: log m a , log a b כאשר. a , m 0 ; a , m 1 ; b 0 : .7לוגריתם על בסיס eנקרא הלוגריתם הטבעי ומסומן. loge x ln x : שאלות יסודיות – חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות: )1חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמים הבאים: גlog 25 5 . אlog 2 32 . בlog1000 . ד. log8 4 ז. 1 a a ה. 1 16 ו. log 4 log a a 4 log a )2חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הלוגריתמיים הטבעיים הבאים: א. ב. ln e 2 1 e4 ג. ln 1 e e ln )3פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג): בlog 2 x 16 . אlog36 6 x . ג. log 1 x 1.5 ד. 9 log x 64 3 ה. log x 25 2 ו. log x 3x 4 2 ז. ln x 2 ח. 1 2 ln x )4חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שימוש בחוקי הלוגים): ב2log 2 log 25 . אlog6 8 log6 9 log6 2 . ג. log3 2 log3 4 3log3 6 2 log 3 12 42 )5נתון . log3 2 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים: א. log3 16 בlog3 6 . ד. log3 1.5 . גlog3 24 . )6נתון . log2 3 a , log 2 5 b :הבע באמצעות aו b -את ערכי הביטויים הבאים: אlog 2 45 . בlog 2 60 . ג. log 2 7.5 . )7חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (חזקה לוגריתמית): ב4log 5 . ד. e2 ln 3 . גeln 3 . א6log 8 . 6 2 )8נתון . log2 3 a , log3 5 b :הבע באמצעות aו b -את ערכי הביטויים הבאים: אlog3 50 . בlog 2 30 . גlog5 22.5 . )9פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוג מספר פעמים): א. log x x 2 6 x 3 ב. log3 log x x 2 6 x 1 ג. log5 log 2 x 2 7 0 ד. log5 25x 20 x )11פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בחוקי הלוגריתמים): א. 1 ln e2 x ln 2 x 2 ג. 2log 2 2 x 2 log 2 16 x log 2 x 1 1 ב. log5 4 x 3 log5 7 )11פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הצבת tוקבלת משוואה ריבועית): ב3ln 2 x ln x 2 . אlog 22 x log 2 x 2 0 . ג. ה. log 4 x log x 4 2.5 1 ln ex 2 x ד. ln e2 x3 ln 43 log x log x 10 x 2 :)) פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (הוצאת לוג משני אגפי המשוואה12 25 x .ב x log3 x 81 .א 4 x .ד x ln x e6 x .ג 1 x1ln x e .ו log5 x x 1 1 1 log5 x x 1 log 5 x x 1 .ה x log5 x x 1 x 2 3ln x log 2 x 6 4 :)) פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (בסיסים שונים13 e 2 .ג 5 x 8 .ב 2 x 5 .א x e x 1 .ה ex 1 2 .ד :תשובות סופיות 2 1 . ד. . ג.3 . ב.5 .) א1 3 2 1 . x e2 . ז. x 4 . ו. x 5 . ה. x 4 . ד. x 27 . ג. x 65,536 . ב. x .) א3 2 1 .1 a . ד.3a 1 . ג. a 1 . ב. 4a .) א5 .3 . ג. 2 . ב. 2 .) א4 . x .ח e 1 1 1 .9 . ד.3 . ג. 25 . ב.8 .) א7 . a b . ג. 2 a b . ב. 2a b .) א6 2 2 2 2 1 1 a ab 1 . 1 . ג. . ב. 2b .) א8 b ab 2 2 2 a . x 1 . ד. x 3 . ג. x 3 . ב. x 3 .) א9 . x 6 . ג. x 2.5 . ב. x 0 .) א11 1 1 1 1 1 ,10 . ד. x 16, 2 . ג. x 3 e2 , . ב. x 4, .) א11 . x 3 , . ה. x 100 e 2 e e . 1.5 . ג. 4 . ב. 2 .) א2 . 1.5 . ז.4 . ו. 2 . ה. 1 4 1 1 1 x ,5 . ב. x 9, .) א12 2 . ג. e 25 9 . . ה. x 0.693 . ד. x 0.693 . ג. x 1.292 . ב. x 2.322 .) א13 . x e , e . ו. x 3 . ה. x 16, . ד. x e3 , 44 :אי שוויונים מעריכיים . 0 a 1 : עבורx y - וa 1 : עבורx y : הואa x a y :השוויון- פתרון אי :פתור את אי השיוויונים הבאים 2 4 x x 2 1 1 4 1 1 x 3 32 x 1 27 )2 e 3 )4 x e 5x 25 5 6 5 x x x 1 e 2 x )3 13 x 1 1 7 7 )6 e2 x 2e x 1 0 )8 )1 )5 e2 x 5e x 4 0 )7 :תשובות סופיות x 1 )5 8 x ln 3 )4 0 x 1 )3 . x 0 )8 1 2 x 1 1 x )2 x )1 4 3 x 0 ln 4 x )7 0 x 1 )6 :שוויונים לוגריתמיים-אי . 0 a 1 : עבורx y - וa 1 : עבורx y : הואloga x log a y :השוויון- פתרון אי :השוויונים הבאים-פתור את אי log6 x 2 5 x 1 )2 log 2 x log 2 5x 20 )1 log 1 1 3x log 1 7 x )4 log3 x log9 15 2 x )3 2 2 ln x 3 )6 ln x ln x 2 12 )5 6 1 2 )8 2 ln x ln x ln 2 x 6ln x 7 )7 :תשובות סופיות 2 3 x 4 )5 3 x 1 1 )4 3 x 7 )3 1 x 0 , 5 x 6 )2 x 5 )1 3 2 . x 1 וגם 1 e3 45 x e 2 )8 1 x e7 )7 0 x e3 )6 e :תירגול נוסף :חזרה על חוקי חזקות ושורשים : a n a m a nm , an a n m :פשט את הביטויים הבאים לפי הכללים am a12 a 2 a 4 a3 )3 a 4 a 5 a 9 )2 a 2 a 6 )1 a 3a8 )6 a4 a16 a7 )5 a8 a3 a 2b3a8b12 )9 a 7 b9 323334 )12 b10b12 b 2b 6b 7 )8 b 2 b 7 b3 )7 b 5b 4 )4 26 22 )11 a16b 4 a10b8 a 6b12 )11 a3b5 a 2b 2 a 4 217 35 )14 21434 316 )13 314 31952456 )17 530318 46 7 4 7 3 )16 7 6 4 4 43 21251336 )15 2936512 : a n a nm :פשט את הביטויים הבאים לפי הכלל m a a a a a a a b a 2 4 3 3 7 2 2 8 4 6 6 2 2 3 6 5 12 a 23b 28 2 3 4 5 5 7 335 240 )23 220 )26 )29 a a 6 4 )21 a2 a 2 6 )19 5 8 2 a14 3 3 3 3 3 5 3 5 5 3 5 3 2 3 2 4 2 6 31 7 2 10 11 18 a13 4 )21 a )22 2 3 4 )25 2 2 29 a 20 a 3 b5 4 )28 a 30b15 b3 3 2 7 )24 6 )27 5 510 53 39516 46 )18 2 )31 n : ab a nbn , n :פשט את הבאים לפי הכללים b b a n a b 4 8 4 an a b 6 3 2 )33 2 a8 2 )35 b a 2 a 7b9 3 6 4 )39 b a b 30 a 6b10 3 4 5 )38 a b b 54 2 36 )42 35 57 2 3 18 39 )41 3 2 a 3b7 4 )36 b 2 40 20 a b 2 )32 3 )31 4 a5 4 )34 b 3 12 a 4b10 3 8 )37 ab 20 a 2 3 b 20 )41 a 5 b 2 7 3 3 2 35 26 22 6 5 2 )43 3 2 3 :a n 1 a n , a b n 60 33 )46 6 5 b a n :פשט את הבאים לפי הכללים 32 )44 23 )45 2 1 )49 1 )48 3 4 )52 5 2 )51 3 4 )51 7 )55 ab )54 2433 2 )53 32 a 24b 25 )58 a 3 6 b 2 2 b 20 a 2 4 a 3b12b 4 )57 a11b15 2 a4 3 b 3 5 1024 4 3 4 1 24 )47 2 3 2 5 3 a 4 a 2b 6 )56 6 ab 8 :)) חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים (שורשים59 25 .ב 49 .א .ג .ו 2 252 .ט 3 2 4 6 16 47 7 128 .ה .ח 5 243 3 .ד .ז י. יג. 2 2 25 טז. 2 32 יט. 16 7 8 יא. 4 1000 84 3 1000 6 טו. 2 18 יז. 4 5 20 יח. 9 5 27 כ. 72 2 כא. 2 יד. 7 6 יב. 3 32 5 81 3 5 3 3 )61הכנס לתוך השורש את המקדם שלפניו: א. 5 2 ב. 3 6 ג. 24 2 ד. 75 5 ה. 4 300 10 ו. 34 7 ז. 45 3 ח. 2 3 20 5 )61הוצא מתוך השורש את השלם הגדול ביותר: ג. ב50 . א40 . 3 ז. ו108 . ה250 . 5 4 י162 . ט972 . ד. ח. 320 56 3 90 160 5 )62חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים: 2 א. ה. ב. 83 1 3 3 4 81 64 ו. 3 5 1 2 1.5 1 25 1 3 ג. 32 2 3 343 100 ז. 1 2 ד. 5 2 1 2 4 1 4 16 8 4 תשובות סופיות: 256 )11 a 23b17 )11 a3b6 )9 b 7 )8 b3 )7 a 7 )6 a 9 )5 a 5 )4 a 21 )3 a18 )2 a 8 )1 a 4 )22 a 45 )21 a 23 )21 a 24 )19 a12 )18 3 )17 7/4 )16 40 )15 24 )14 9 )13 39 )12 b2 )26 37 )25 2 )24 a 22 )23 3 a a 32 a15 ) 35 )34 b8 b12 a16b32 )33 a12b6 )32 a 6b3 )31 35 )31 1 )29 3 )28 a 2 )27 225 )42 5832 )41 a3b18 )41 a90b60 )39 a36b12 )38 a 20b40 )37 a 6b6 )36 48 25 27 49 25 1 1 1 1 64 )52 )51 )51 )49 3 )48 )47 )46 )45 )44 )43 8 16 27 8 9 729 16 36 16 1 1 1 1 1 b12 ) 58 ) 57 ) 56 )55 2 2 )54 6 )53 6 5 15 16 ab b a ab 6 a -8 . יב . יא5 . י . ט . ח- 27 . ז16 . ו4 .ה -2 . ד2 . ג- 5 . ב7 .) א59 10 . יד100 .יג .3 . כא6 . כ2 . יט3 . יח20 . יז8 . טז6 .טו 32 .ח 25 .3 5 3072 .ז 4 567 .ו 48 .ה 3 .ד 6 .ג 54 .ב 50 .) א61 . 3 4 2 . י3 5 4 . ט2 5 5 . ח2 3 7 . ז3 3 4 . ו5 10 . ה3 10 . ד8 5 . ג5 2 . ב2 10 .) א61 . 1 10 27 32 1 .ז .ו .ה . ד125 .ג .ב 2 49 4 243 8 4 .) א62 :משוואות מעריכיות :)פתור את המשוואות הבאות (שימוש בחוקי החזקות היסודיים 25 5x 2 x 5x )12 4x 2x1 )13 2 3x 10 x 10 6 2 36 x1 x x 3 3 )14 100 )15 3 x 3x 3x )16 27 3 2 x 32 )1 32 x 27 )2 5x 25x1 625 )3 4 8 )4 3x 81x2 92 x1 )5 100x 10000 x1 )7 5 2x 1 )8 27 9 4 x 125 x2 4 1 )11 25 x3 3 2 8 x2 4 )9 x 2 )11 x1 2 32 x 5 3 4 x 1 2 )6 :)פתור את המשוואות הבאות (הבסיס הוא שבר 3 8 2 2 4 7 3 27 5 2 x 1 2 x2 9 x 5 49 7 x 1 2 3 7 2 5 3 3 x2 x x2 27 )25 3 x x 8 49 )26 125 )27 46 x 25 )28 2 x 43 x 1 )22 83 x 2 2 x 4 4 3x 4 2 )23 25 5 3 27 2 49 3x )21 2 2 x 7 7 5 3 1 16 23 x 5 8x 5 4 4 x1 8 )24 1 )17 27 x 1 x 4 8 )18 2 1 27 9 x 2 x 8 1 x 32 2 )19 4 x 1 )21 m .) n a m a n : (תזכורת:)פתור את המשוואות הבאות (שימוש בחוקי שורשים x 1 5x 25 )41 3 8x 2 32 x 5 1024 )35 27 x 81 3x )42 5 100 10 x x 2 3 10, 000 )43 x 1 9 x 3 )44 27 32 2 x x 1 )45 8 4 x 2 1 9 125 )31 5x 2x )36 256 4 8x 3 22 x 1 4 x 64 256 )31 x 3 5 27 x 1 )37 102 x 1 1000 3 10 x )38 81 3 27 8 4 1 )46 x 8 2 x 3x 2 81 )29 x 54 x 3 4 x9 )39 9 27 x 3x 2 125 5x 1 25x 1 )32 9 5 3 x 5 )33 x 25x 2 )41 1 7 343x 7 x )34 125 49 :)פתור את המשוואות הבאות (מכפלת בסיסים שונים 3x2 20 405 2 x )51 2x 5x 1000 )47 7 106 )54 5 3x4 2187 5x2 )51 4 3x 2x 144 )48 3x1 2x2 5x3 0.02 )55 2 x 1 3x 2 7 x 392 )52 5x 1 3x 2 125 )49 3x 2x 729 103 5 x )53 7x x 2 1 10x 2 4 :)פתור את המשוואות הבאות (משוואות עם פעולות חיבור וחיסור 23x1 64 2 2 x 3 2 x 25 3 x 1 3 x 1 3 3.75 )71 1 x 3 1 2 x 5 2178 27 10 2 6 10 5 3 17 )64 16 5x 6 5x 875 )57 124 )72 x2 )73 1 2 x 8x 2 3x 1 410 4 2 6 x 3 )75 3 x 1 3x 3x 18 )56 2 x 3 2 x 1 4 )71 468 6x 2x2 3x1 )74 x 1 3x2 3x2 240 )63 x 1 4 x 1 )76 3x2 3x3 54 )65 81x1 18 34 x3 245 )66 3 x2 5 3 125 28 )67 x 22 x1 4x2 66 )68 16 x 1 2 4 2 x 50 1 2 14 )69 2x 4 2x 80 )58 7 10x 10x 600 )59 7 3x 2 3x 5 )61 27 8x 8x2 1040 )61 2 x 2 x5 1056 )62 :)פתור את המשוואות הבאות (משוואות עם פעולות חיבור וחיסור 7x 8 x 3 )91 x 7 4 7 5 36 x 7 6 x 6 0 )84 2x2 2 x 8.5 )77 16x2 96 4x1 1 )85 3x 32 x 8 )78 8 77 3 x )91 9 4 81 16 2 24 x1 3 4x 1 )86 5x 52 x 26 )79 41.5 x1 3 26 x3 56 )87 7 x4 7 x 350 )81 x x2 x 3 6 3 x x )92 x 3 3 2 3 2 3 1 2x 2 1 3 25 2 x 68 5 2 x 2 82 )93 2x 2 2x 3 2 x 3 3 1 x2 2 3 2 1 x 1 3 1 26 3 1 )88 1 x 4 22 x 7 2x 8 0 )81 9x 36 3x 243 0 )82 3 )89 16x1 65 4x 4 0 )83 :פתור את מערכות המשוואות הבאות x 1 y 1 2 3 17 )111 x 1 y 3 2 3 21 x 3 y 8 2 )97 2 x7 y 3 81 y x 1 )94 x y 3 3 36 x y 3 7 20 )111 x y 9 3 49 582 3 x 7 y 7 7 )98 2 x 12 y 256 2 x y 3 0 )95 x y 2 2 2 2 x 5 y 29 )112 x y 3 4 2 25 1298 2 x 3 y 5 )99 x y 2 3 1 2 x 1 y )96 x y2 4 3 3 15 :השוויונים המעריכיים הבאים-פתור את אי . a x a y x y : אז0 a 1 : ואםa x a y x y : אזa 1 : אם:תזכורת 3x2 27 )114 2 x 16 )113 )116 16 x 8x1 )115 2 16 x 32 x 1 )118 27 x 3x 3x3 )117 0.36 x1 0.313 x )111 1 64 x 1024 2 1 52 x1 25 x 2 2 x 51 )119 1 32 x 1 1 4 3 2 x 0.6x 1 0.6x )112 2 81 3 3 x 1 2 x2 3 x 2 8 3 3 2 1 )111 x2 x 1 x2 5 )114 625 4 27 9 2 1 x1 27 3 9 2 x 1 100 )116 5 4 2 4 x 16 )118 1 3x 2 27 )121 9 )113 x 2 1 2 x 1 10001 x 25 5 16 125 3 5x 58 x 3 )115 x 2 )117 )119 1 )122 1 42 x1 2x1 128 )121 0 25x 5x 5 625x )124 0 8x 2x 16 )123 10 x 2 3 9 0 )126 9 16x 4x 12 0 )125 2 x 3 24 x 2 )127 1 125 5x 5x 3 9x 2 2 16 2 x 6 2 x 5x )128 5 7 2 x 5 x2 343 )129 :תשובות סופיות 2 )11 - 2.5 )9 2 )8 - 2 )7 3 2 - 0.5 )18 -3 )17 1 , - )16 1 , -2 3 2 1 2 , -3 )28 , -4 )27 . )26 )25 3 3 2 5 1 3.75 )38 )37 - 1.44 )36 )35 17 6 1 -40.5 )6 - 10 )5 1.75 )4 2 )3 1.5 )2 5 )1 )15 7 , -1 )14 0.5 , 1 )13 )12 1 , 1 )11 4 2 )23 2 )22 - 4 )21 2 )21 0.8 )19 3 2 8 )34 6.5 )33 - )32 2 )31 2 )31 6 )29 9 15 - 1 )24 52 2 )48 3 )47 1 , -3 )46 -2 )45 )44 3 , -1 )43 4 , -1 )42 -2 )41 -3 2 )41 -8 )39 3 -3 )61 2 )59 4 )58 3 )57 2 )56 1 )55 2 )54 3 )53 2 )52 3 )51 2 )51 2 )49 1 1 1 1 4 )73 )72 1 )71 0 )71 )69 .1 )68 0 )67 )66 6 )65 -3 )64 3 )63 5 )62 )61 3 2 2 4 3 .2,3 )82 3 )81 -3 , -1 )81 2 , 0 )79 2 )78 1 , 3 )77 2 )76 0 )75 2 )74 1 )91 1 )91 -4 )89 - 6 , -3 )88 1 )87 -1 )86 - 2.5 )85 -1 , 0 )84 - 2 , 1 )83 2 1,1 )99 2, 1 )98 9, 2 )97 1,1 )96 2,1 )95 2,3 )94 3 )93 1 )92 x 4 )113 2, 2 , 4.26,1.418 )112 3,1 , 3.182,1.318 )111 2,1 )111 x 1 , x 0.25 )118 x 3 , x 1 ) 117 x 0.25 )116 x 3 )115 x 5 )114 1 1 x 1 )113 x )112 x 1 , x 2 )111 x 2 )111 x 2 )119 4 9 9 1 1 1 x )119 x 4 , x )118 x 1.5 )117 x 1 )116 x 1 )115 8 2 2 3 4 x 1 )123 3 x 1 , x 2 )122 x 2 )121 4 x 1 )121 5 . x 1 , x 2 )129 x 6 )128 x 3 )127 0 x 2 )126 x 1 )125 x 1 )124 x 4 , x 0 )114 :הגדרת הלוגריתם ומשוואות לוגריתמיות יסודיות :חשב את ערכי הלוגריתמים הבאים .) b 0 , a 0 1 : (כאשרa b loga b x : הגדרת הלוגריתם:תזכורת x log5 5 )3 log3 81 )2 log 2 8 )1 log125 5 )6 log32 8 )5 log9 243 )4 )8 log 49 7 )7 log 1 16 )9 log32 64 2 log 1 4 1 )12 8 log 1 625 )11 25 53 log 1 27 )11 3 log 1 3 3 4 log 1 1 )15 9 3 )18 27 log 5 1 3 25 log 0.01 4 125 )21 10 )24 1000 27 )14 125 3 log 5 log 3 7 log log 3 5 125 )16 81 )21 log 1 5 128 )19 3 5 3 9 )13 4 1 )17 343 1 27 log log 2 8 100 )23 10 log 10 )22 1000 : במשוואות הלוגריתמיות הבאותx מצא את log6 x 1 )27 log 2 x 5 )26 log3 x 2 )25 log7 x 0 )31 log 4 x 2 )29 log3 x 3 )28 1 )33 3 log 3 x 4 )32 log 1 x 2 )31 x 2 0 )36 7 log128 x 3 0 )35 log 1 x 8 log 5 5 3 4log9 x 2 0 )34 : במשוואות הלוגריתמיות הבאותx מצא את log x 25 2 )39 log x 6 1 )38 log x 3 1 )37 log x 64 3 )42 log x 625 4 )41 log x 64 2 )41 log x 1 4 )45 81 log x 4 2 )44 9 log x 1 3 )43 8 :)פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם log5 6 7 x 3 )48 log 64 x 3 1 )51 3 log 2 x 5 4 )47 log5 x 1 1 )46 1 )51 2 log6 3x 2 0 )49 log 4 4 x 1 54 log0.2 2 x 1 2 )54 3 7 x 2 2 )53 log 5 3x 1 4 )52 2 log3 x 2 x 3 )57 9 log6 13x x 2 2 )56 log 4 10 x x 2 2 )55 log3 x 2 x 2 28 3 )61 log 2 x 2 6 x 13 3 )59 log 2 x 2 6 x 10 1 )58 log7 x 4 80 0 )63 log3 x3 44 4 )62 log 4 x3 11 2 )61 log 2 x2 5 2 )66 x log3 20 x 68 2 )65 5x 2 log 4 3x 1 1 )64 x2 log x 2 x 2 6 x 5 2 )69 log x 3x 2 5 x 3 2 )68 log x 2 x 2 9 x 2 )67 log x2 4 x 5 2 )72 log x 2 x 2 x 6 2 )71 log x 4 x 2 3x 2 )71 log log log x 1 x 2 x 2 2 8 log x 4 )74 x )75 4 3x 3x 2 )78 2 x2 3 log x 3 x 5 4 )77 log x3 3x 11 2 )73 log 4 10 x x 2 2 )76 פתו ר את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם מספר :)פעמים 2log9 log5 2 x 1 1 )81 log 1 log3 x 2 7.5 x 1 )82 2 log 2 log3 x 3 30 5 )81 log 25 2 5x 2 x 2 )84 1 log 2 log 0.25 x 2 1 )83 4 16 log3 log 2 x 1 )79 log5 4 log 6 3 log 4 x 2 15 1 )86 55 log5 log3 log3 5 x 2 7 0 )85 :)פתו ר את המשוואות הלוגריתמיות הבאות (מתקבלת משוואה מעריכית log3 5 2 x 1 4 )88 log 2 5x 3 7 )87 log5 5x 120 x 2 )91 log 2 12 2 x x 1 )89 log9 10 3x 9 x )92 log 4 5 2 x1 16 x )91 log 4 17 4x x 2 )94 log5 30 5x x 3 )93 log 2 5 2x 1 1 2 x 4 )96 log5 49 5x 120 2 x 1 )95 x 1 log8 3 23 83 x 6 x 1 )97 3log 2 9 2 3 1 15 2 x )98 :פתור את המשוואות הלוגריתמיות הבאות והחזר את ההצבהt פתור משוואה עבור, log a x t : היעזר בהצבה של:הדרכה . עפ"י הגדרת הלוגריתםx למציאת log2 x log3 x 16 2 log 2 x 15 0 )111 6 1 log 7 x )112 2 log 4 x 5 log 4 x 3 )111 6 )114 12 2 3 log3 x 1 log3 x )113 log16 x log16 x 2 2 )116 log3 x log3 x 2 )115 2 log 7 x 5 log 64 x 1 log64 x 2 2 2 log3 x 56 2 log3 x 2 27 3 )99 )117 :תשובות סופיות 6 1 1 )8 )7 )6 0.6 )5 2.5 )4 1 )3 4 )2 3 )1 5 2 3 8 7 1 -2.5 )22 -0.9 )21 )21 )19 )18 -9 )17 .9 )16 6 )15 - 3 )14 -2 )13 9 15 12 81 1 1 1 0.5 )33 )32 9 )31 1 )31 . )29 )28 6 )27 32 )26 9 )25 )24 - 0.1 )23 625 16 27 8 1 1 1 )45 1.5 )44 )43 4 )42 5 )41 8 )41 5 )39 )38 3 )37 0.2 )36 8 )35 3 )34 3 2 6 1 4,9 )56 2,8 )55 12 )54 )53 8 )52 1 )51 0.25 )51 1 )49 -17 )48 11 )47 4 )46 7 1 1 1 - 1,5 )66 2 )65 -9 )64 3 )63 5 )62 3 )61 1, )61 1,5 )59 4,2 )58 , )57 2 3 9 .-1 )77 8,2 )76 3 )75 2 )74 5 )73 1 )72 2 )71 )71 5 )69 1.5 )68 9 )67 1.5 )12 - 2 )11 -3 )11 -4 )9 7 )86 2 )85 -2 )84 1 1 )83 - 6,13.5 )82 6 )81 63 )81 8 )79 1, )78 2 2 -3,-1 )96 0.974 ,1 )95 2,0 )94 1,2 )93 2,0 )92 1,3 )91 1 )91 2 )89 4 )88 3 )87 3 3,9 )113 1 1 1 1 1 ,343 )112 , 64 )111 ,8 )111 ,81 )99 -12,- 3 )98 )97 49 2 3 32 81 1 . , 27 )117 2 )116 3 )115 4,8 )114 27 57 :חוקי הלוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות :תזכורת – חוקי הלוגריתמים log a x log a y log a x y log a x log a y log a x y log a x n log a x n :חשב את ערכי הביטויים הבאים log 2 10 log 2 6.4 )3 log8 4 log8 16 )2 log3 6 log3 1.5 )1 log 2 768 log 2 6 )6 log 4 192 log 4 3 )5 log5 150 log5 6 )4 log0.25 80 log0.25 5 )9 log0.2 2 log0.2 10 3log3 6 log3 3.375 )12 )8 log81 120 log81 40 )7 log 4 1.6 2log 4 10 )11 2log6 2 log6 9 )11 log 4 24 log 4 5 log 4 10 log 4 3 )14 log3 18 log3 6 log3 4 )13 log6 10 log6 5 log6 288 log 6 4 )16 log5 50 log5 20 log5 2 log 5 4 )15 1 5 1 log 1 log 1 2 log 1 10 log 1 8 )18 2 5 2 3 5 5 5 1 log 3 25 2log 3 2 log 3 60 )17 2 1 log 7 81 2log 7 6 log 7 84 )21 4 1 1 3 log 3 2 6 log 3 2 3 log 3 2 4 )19 2 2 2 :חשב את ערכי הביטויים הבאים k log a a k : הפוך את המספרים השלמים לביטוי לוגריתמי לפי:טיפ .וחבר אותם לביטויים הנוספים לפי חוקי הלוגריתמים . 3 log2 2 log 2 8 :2 לביטוי לוגריתמי על בסיס של3 נהפוך את:דוגמא 3 log 7 4 log 7 8 )23 log 7 2 log 4 125 )22 log 4 5 log 3 16 )21 log 3 8 log 7 5 log 7 3 4 )26 log 7 225 log 2 256 log 2 5 log 2 2 1 )25 log 2 200 3 log3 6 2 )24 log3 108 log3 2 log 4 18 log 4 2 log 4 36 )28 2log 4 6 3log 4 8 4 2 3log 5 log 50 )27 1 log128 5log 2 2 2log3 4 log3 8 89 4 log3 0.01 2log3 18 )29 58 :)10 חשב את ערכי הביטויים הבאים (הלוגריתם לפי בסיס log 8 )32 log 8 log 8 )31 log16 log 36 0.5log 6 )35 log12 log 2 log 72 log 8 )34 log 27 log 27 )31 log 9 log 24 log 3 )33 log 2 1 log 5 )36 log 2 2 log 5 :)10 ) הוכח את נכונות השוויוניים הבאים (לפי בסיס37 log125 1 log 2 1 log 5 1 log 2 2 log 25 2log8 6 log 3 16 log 9 2log 5 log 4 2 log10 log 2 log 6 .א .ב .ג :)פתור את המשוואות הבאות (איחוד ביטויים באמצעות חוקי הלוגריתמים log15 x log15 x 2 1 )39 log 4 x log 4 x 6 2 )38 log35 x 8 log35 x 6 1 )41 log 2 x log 2 x 3 2 )41 log3 x 105 log3 x 1 3 )43 log 2 x 14 log 2 x 3 )42 log 2 2 x 8 2 log 2 5 x )45 log 2 3x 4 log 2 x 2 1 )44 log 2 11x 4 log 2 2 x 1 log 2 2 x 3 )47 log3 x 2 11 1 log3 2 x 1 )46 log5 30 x 9 log5 4 x 5 log5 3x 2 )48 2log5 x 1 log5 2 x 3.5 log5 x )49 log 2 x 4 log 2 x 2 log 2 x 3 3 )51 log 7 12 x 35 1 )51 2 log 7 x 59 :)פתור את המשוואות הבאות (שימוש בהגדרת הלוגריתם וקבלת משוואה מעריכית log 2 5x 19 3 log 2 8 5x )53 log3 2x 2 log3 2 x 14 2 )52 log3 25x 8 2 x log3 5 )55 1 x 2 log3 2 log3 4 x 32 )54 x log 2 4 log 2 2x 28 x 3 )57 log3 9x3 1 x 5 log3 3x3 1 )56 :)פתור את המשוואות הבאות (פתיחה באמצעות חוקי הלוגריתמים log 4 16 x log 4 64 x 12 )59 log3 x log3 3x 6 )58 x 2 )61 8 log 2 32 x log 2 128x 48 )61 16 log 4 4 x )63 x 27 log3 log3 81x 10 )62 x log3 3x2 1 )65 16 log 2 x 2 log 2 8 x log 2 )64 x log 2 x log 2 log 4 x 2 log 4 log3 3x 2 81 log3 27 x3 log3 3x 2 log3 3 )67 x log5 25x 2 log5 25 x 2 1 )66 x3 x 125 2log5 x log5 2 2 )69 log 2 log 2 32 x 2 log 2 2 )68 x 128 2 343 log 7 2 x 1 0 )71 2 log 7 x 4 125 log5 x 2 log5 2 2 )71 x :תרגילי הבעה – חוקי הלוגריתמים : את הביטויים הבאיםa הבע באמצעות. log 2 7 a :) נתון72 log 2 14 .א log 2 49 .ב : את הביטויים הבאיםa הבע באמצעות. log3 5 a :) נתון73 log3 125 .א log3 0.2 .ב 60 )74נתון . log 24 6 a :הבע באמצעות aאת הביטויים הבאים: אlog 24 2 . בlog 24 3 . )75נתון . log 4 a :הבע באמצעות aאת הביטויים הבאים: אlog16 . בlog 2 . גlog8 . )76נתון . log3 5 b , log3 6 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים: אlog3 30 . בlog3 1.2 . גlog3 150 . )77נתון . log4 5 b , log4 3 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים: אlog 4 0.12 . בlog 4 2.4 . )78נתון . log7 5 b , log7 8 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים: אlog 7 40 . בlog7 320 . )79נתון . log5 2 b , log5 3 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים: אlog5 6 . ב. log5 3 72 )81נתון . log8 3 b , log8 10 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים: א. log8 0.03 ב. 10 27 5 log8 )81נתון . log3 8 b , log3 7 a :הבע באמצעות aו b -את הביטויים הבאים: א. 64 343 log 3 49 ב. 512 . log3 4 61 : alog b b :חשב את ערכי הביטויים הבאים באמצעות הנוסחה a 3 1 7 3 log 22log2 3 )86 10log 2 )85 0.24log0.24 6 )84 5log5 12 )83 2log2 3 )82 32log2 3 )91 8log2 3 )91 27log3 2 )89 9log3 4 )88 33log3 4 )87 5 49 log5 64 )96 81 5 1 8 log log 2 243 9 )111 3 3log 2 8 5 )116 )95 3 log3 16 )94 log36 4 )93 125 log5 3 )92 64log2 5 )98 3log9 2 )97 32log3 6 )113 51log5 2 )112 6 4 )111 5log125 8 )99 271log3 2 )115 4 log 4 9 2 )114 :תשובות סופיות 1 )14 3 )13 6 )12 2 )11 2 )11 - 2 )9 1 )8 0.5 )25 1 )24 5 )23 3 )22 1 )7 7 )6 3 )5 2 )4 6 )3 2 )2 2 )1 4 4 )21 - 2 )21 10.5 )19 -1.5 )18 - 2 )17 -2 )16 3 )15 3 4 )34 .3 )33 .2 )32 .0.75 )31 1.5 )31 0.5 )29 2 )28 1 )27 0.5 )26 3 -0.25 ,1 )47 2,4 )46 2 )45 )44 3 )43 2 )42 13 )41 4 )41 5 )39 8 )38 .1 )36 .2.5 )35 . )56 0,1.292 )55 2,3 )54 1 )53 4 )52 5,7 )51 8 )51 0.5 )49 2, 1 1 )64 2 )63 )62 16 9 1 1 , )48 3 4 1 1 1 4 , 6 )59 9 , )58 2 )57 13 )61 2 4 27 1 1 1 , 3 )65 )68 )67 0.2 )66 5 )69 1 , 4 9 3 2,4 )61 2 , 49 , 76 )71 5 , 5 )71 3a 1 1 a .ב .) א74 a . ב3a .) א73 2a . בa 1 .) א72 2 2 2a b . בa b .) א78 a 1 b . בa 2b .) א77 a 2b . גa b . בa b .) א76 2a 3b a 3b b 2a 2 ab 3 )82 . ב2b 3a .) א81 .ב .) א81 b a .ב .) א79 4 5 2 3 2 1 )92 243 )91 27 )91 8 )89 16 )88 64 )87 9 )86 2 )85 6 )84 12 )83 27 1 2 )97 4 )96 27 )95 4 )94 4 4 )93 )111 0.25 )111 2 )99 56 )98 81 2 216 )115 3 )114 1.5 )113 10 )112 .9 )116 25 1.5a . ג0.5a . ב2a .) א75 62 :מעבר מבסיס לבסיס ומשוואות לוגריתמיות :חשב ללא מחשבון את ערכי הביטויים הבאים . a, m 0 1 , b 0 , log a b log m b :תזכורת log m a log 2 5 log 25 4 )2 log3 6 log6 3 )1 log0.1 5 log 25 100 )4 log 27 4 log 2 3 )3 log5 8 log7 25 log 2 49 )6 log 3 7 log log81 49 log32 3 log7 2 )8 log 4 169 log9 64 log13 243 )7 343 9 )5 :הוכח את השוויוניים שלפניך 1 log 6 log 2 6 3 )11 8 log 7 25 log5 7 2 )9 log3 8 log5 3 log 2 5 3 )12 log 4 25 log5 4 2 )11 log16 3 log5 4 log3 25 1 )14 log3 5 log5 8 log3 2 log 2 5 log3 40 )13 log a b logc a logb a logc b log c ab )16 log 2 25 log5 9 log81 2 1 )15 :פתור את המשוואות הבאות log81 x log3 x 5 )18 log 2 x log8 x 4 )17 log3 x 3log 27 x 2 3 )21 5log5 x log 1 x 11 )19 log5 x log125 x 3 )22 log 2 x 4log16 x 8 )21 x 7 log3 81x log 27 )24 9 3 log 2 8x log16 x 7 )23 log x 2 log 2 x 2 )26 4 log 2 32 x 2 log8 3 12 )25 x 4 log x 5 3 2 log 25 x )28 log x 3 6log 27 x 1 )27 log6 16 x 3 log x 5 6 2 )31 log3 6 x log x 3 2 )29 25 3 63 log5 x 4.5 log5 x 125 )31 log 2 4 x log8 x 4 3.5 )32 log x 4 3log 4 x 16 4 )33 1 4 log x 27 x log81x 0 )34 3 5 2log 4 x 8 log x 16 x 9 )35 6 x log36 x 4 )36 2 5 )37 25 x 2 log 2 log x 5 log5 x 5 x תרגילי הבעה – נוסחת המעבר בין בסיסים: )38נתון . log 2 5 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים: א. log5 2 ב. log 4 5 ג. log16 5 )39נתון . log 4 6 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים: א. log 2 3 ב. log32 36 ג. log 216 96 )41נתון . log3 5 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים: א. log3 15 ב. log15 3 ג. log9 25 )41נתון . log 2 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים: אlog80 . ב. log8 40 ג. log80 2000 64 x 3 log )42נתון . log5 6 a :הבע באמצעות aאת ערכי הביטויים הבאים: א. log36 30 ב. log 216 180 ג. log 1 125 6 )43נתון . log 2 0.3 :חשב את ערכי הביטויים הבאים: אlog 2 100 . ב. log8 40 ג. log 1 5 4 )44 1 א .הוכח כי לכל a, b 0 1מתקיימת הטענה הבאה: logb a b ב .נתון . log a 5 b :הוכח כי מתקיים: logb 5 . log a b . log a b ג .נתון. 2 log3 a log(bc ) 3 1 : הוכח כי לכל a, b, c 0 1 :מתקיים. a2 b c : פתור את המשוואות הבאות (הוצאת לוג משני אגפים): xlog2 x 16 )45 xlog3 x 3 )46 x1log3 x 729 )47 x3log5 x2 5 )48 x2log3 x8 81x )49 x )51 8 x93log2 x תשובות סופיות : 2 2 )5 - 1 )4 )3 1 )2 1 )1 3 3 1 1 1 1 , 3 )27 2 )26 0.07 ,4 )25 , 27 )24 , 16 )23 , 125 )22 4 )21 3 243 128 125 1 1 1 , 5 )28 , 2 )32 , 55 )31 0.2 ,3 )31 2 )29 .3 )34 4 )33 625 4 2 5 5 3 )21 25 )19 81 )18 8 )17 0.1 )8 15 )7 12 )6 2 65 a2 a a 1 . ג0.8a . ב2a 1 .) א39 . ג. ב.) א38 3a 4 2 a 1 1 1 , 66 )36 ) 37 , 4 )35 3 3 36 25 128 1.5 2a 1 a 1 a3 2a 1 1 .ג .ב .) א42 .ג . ב3a 1 .) א41 a .ג . בa 1 .) א41 a 3a 2a 3a a 1 3a 1 1 1 1 1 1 7 1 3, )49 3 5 , )48 9 , )47 3 , )46 0.25 ,4 )45 . 1 . ג1 . ב13 .) א43 81 5 27 3 3 6 9 1 . 8 , 3 )51 2 :שוויוניים לוגריתמיים-אי log5 x 2 1 )2 :השוויוניים הבאים-פתור את אי log 4 x 3 0 )1 log x 4 log 10 2 x )4 log 1 x 2 3 log 1 x 5 )6 3 3 log0.5 3 x 2 )3 log 2 x 2 log 2 2 x 3 )5 log 2 x 2 3x 2 0 )8 log 4 x3 1 )11 x2 2 log 24 x 3log 4 x 2 0 )12 1 log 1 x 2 x 1 )7 2 2 9 log 2 x 2 0 )9 16 log 2 x 5 1 )11 x2 :תשובות סופיות 1 x 2 )6 x 5 )5 2 x 5 )4 x 1 )3 2 x 7 )2 3 x 4 )1 5 3 3 5 1 1 x , x )9 x 1 , x 4 )8 x 0 , x 1 )7 4 4 4 4 2 2 . 0 x 4 , x 16 )12 9 x 2 )11 2 x 7 )11 66 פרק – 4גאומטריה אוקלידית: רקע ,קווים וזוויות ,משולשים: שאלות: )1נתון, CAB DAC : O O . EAB 80 , FAD 60 חשב את הזויות הבאות: FAE 2 EAD . FAB , EAC , CAB )2חשב את סכום הזויות הבאות (נמק): . 2 4 6 )3מצא את זוגות הישרים המקבילים בשרטוט הבא (נמק). תשובות סופיות: FAB 120 , EAC 50 , CAB 30 )1 . d c , a c , e f )3 180 )2 משולש כללי ,משולש שווה שוקיים ,משולש ישר זווית: משפטים כלליים במשולשים: .1סכום הזוויות במשולש הוא .180O .2סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית. .3במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך. במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך. במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך. 67 משפטים במשולש שווה שוקיים: .1במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו. (משפט הפוך) משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים. .2במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש ,הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדים. (משפט הפוך) משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה או חוצה זווית הוא גם תיכון או גובה הוא גם תיכון הוא משולש שווה שוקיים. משפטים במשולש שווה צלעות: הגדרה :משולש שבו כל הצלעות שוות הוא משולש שווה צלעות. .1במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות . 60 ( .2משפט הפוך) משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות. שאלות: A )4המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB=AC AGחוצה את זווית . A Mהיא נקודה כלשהי על .AG הוכח כי.BM = CM : C )5המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB=AC ו BP-חוצים את הזוויות Aו ABC -בהתאמה. הנקודה Qנמצאת על המשך .AG P נתון.GM = GQ : הוכח. B1 B3 : C M G A M 1 2 G Q 68 B 3 B חפיפת משולשים: הגדרה: משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם בהתאמה. D AB DE , AC DF , BC EF ABC DEF A D, B E, C F A F E C B משפטי החפיפה: .1משפט חפיפה צלע-זווית -צלע (צ.ז.צ) :אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. .2משפט חפיפה זווית-צלע -זווית (ז.צ.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות והצלע שביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. .3משפט חפיפה צלע-צלע-צלע (צ .צ.צ) :אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות בהתאמה אז המשולשים חופפים. .4משפט חפיפה צלע-צלע -והזווית הגדולה (צ.צ.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים. שאלות: A )6בציור נתון. AC EC , DC BC : הוכח: א. CDE CBA . ב. ADE ABE . D C )7בציור נתון. DBC ACB , ABC DCB : הוכח. AB DC : E B A D E C B A )8בציור נתון. AC DE , AB BE AD : הוכח :הנקודה Dהיא אמצע הצלע . BC C B D 69 E זווית חיצונית למשולש ומשולש ישר זווית: זווית חיצונית למשולש: הגדרה: זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע במשולש להמשך צלע הסמוכה לה. משפט :זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. משפטים במשולש ישר זווית: .1סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא . 90 .2במשולש שזוויותיו , 30 , 60 , 90הניצב שמול הזווית של ה 30 -שווה למחצית היתר. ( .3משפט הפוך ל ) 2-אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול ניצב זה היא בת . 30 .4במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר. ( .5משפט הפוך ל :) 4-אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, אז המשולש ישר זווית (כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה). .6משפט פיתגורס :במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. כלומר(2 :יתר) = (2ניצב) (2 +ניצב). ( .7משפט הפוך למשפט פיתגורס) אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית ,אז המשולש ישר זווית. שאלות: )9הוכח את המשפט" :זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה". A )11המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה צלעות. נתון.AN = BM : הוכח. NQC 60o : N Q M 70 C B )11המשולש ABCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(AB = AC נתון 18 , ABD 30o , DAC 90o :ס"מ = .BC חשב את אורכו של הקטע .BD A C B D )12המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) ABC 90o BQהוא הגובה ליתר ACו BP-הוא התיכון ליתר .AC B נתון. BQ 12 BP : חשב את גודלה של הזווית . C Q C A P )13המשולש BDCשבציור הוא משולש שווה שוקיים ).(BD=DC B ACחוצה את הזווית . BAEנתון. DC AE : חשב את גודלה של הזווית . ACB C D E AD )14הוא גובה במשולש .ABC נתון. BC 25cm , AC 20cm , AB 15cm : A A א .מצא את אורכו של ADואת שטח המשולש .ABC ב .האם המשולש ABCישר זווית? נמק. C )15המשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB AC על השוק ACועל הבסיס BCבונים משולשים שווי צלעות ACEו.BCD- מחברים את הנקודה Dעם הקדקודים Aו.E- א .הוכח. ABD ACD : ב .ידוע גם כי. DE BC : הוכח. ADE 90 : תשובות סופיות: 71 D B C 75 )12 BD 6cm )11 ACB 90 )13 )14א SABC 150cm , AD 12cm .ב .כן. 2 קטעים מיוחדים במשולש: קטע אמצעים במשולש: הגדרה :קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש. .1קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. ( .2משפט הפוך :) 1קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית חוצה את הצלע השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים במשולש). ( .3משפט הפוך :) 2קטע המחבר שתי צלעות במשולש ,מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש. מפגש התיכונים במשולש: .1שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון ביחס של 1:2כך שהחלק הקצר קרוב לצלע. .2אם נקודה מחלקת תיכון (אחד) במשולש ביחס של 1:2כך שהחלק הקצר קרוב לצלע ,נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש. .3נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש. A שאלות: )16הקטע MNהוא קטע אמצעים במשולש . ABC AQהוא גובה לצלע .BC הוכח. N1 N2 : AF )17הוא גובה לצלע BCו CG -הוא תיכון לצלע במשולש . ABCהקטע GHמאונך לצלע . BC א .הוכח. BH HF : ב .נתון בנוסף כי הגובה AFחוצה את התיכון GCושגודלו של AFהוא 12ס"מ. P 1 N 2 3 C M B Q A AB G E C B H F A חשב את אורך הקטע . EF )18המשולש ABCשבציור הוא מש"ש ( ) AB AC שבו AHהוא הגובה לבסיס ,CD .BCהתיכון 72 Q D M C H B לשוק ,ABיוצר זווית של 30oעם הבסיס .BC נתון . DQ BC , BC 12 3 cm :חשב את אורך הקטע .MQ תשובות סופיות: )16בEF 3cm . . MQ 3cm )17 מרובעים: הגדרה :מרובע הוא מצולע בעל 4צלעות. משפט :סכום הזוויות במרובע הוא . 360o מקבילית: הגדרה :מקבילית היא מרובע שבו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. תכונות המקבילית: .1במקבילית כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו. A B .2במקבילית כל שתי זוויות נגדיות שוות. .3במקבילית סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא .180 D C .4במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה. .5היקף מקבילית סכום הצלעות ,שטח מקבילית צלע גובה לצלע. כדי להוכיח כי מרובע הוא מקבילית נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית. .2מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית. .3מרובע שבו זוג צלעות שוות ומקבילות הוא מקבילית. .4מרובע שבו כל זוג זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית. .5מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית. מלבן: הגדרה :מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. B (מסקנה :מלבן הוא סוג של מקבילית). A 73 C D תכונות המלבן (בנוסף לתכונות המקבילית): .1ארבע זוויות המלבן שוות והן זוויות ישרות. .2האלכסונים במלבן שווים זה לזה .3היקף מלבן סכום הצלעות ,שטח מלבן צלע גובה לצלע. כדי להוכיח כי מרובע הוא מלבן נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן. .2מקבילית שבה זווית ישרה היא מלבן. .3מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן. מעוין: A הגדרה :מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. (מסקנה :מעוין הוא סוג של מקבילית). תכונות המעוין (בנוסף לתכונות המקבילית): A B B C D D .1במעוין כל הצלעות שוות. C .2במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה. .3במעוין האלכסונים הם חוצי זוויות. .4היקף מעוין צלע ,4 שטח מעוין צלע גובה לצלע (/2 אלכסון אלכסון). כדי להוכיח כי מרובע הוא מעוין נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מרובע שבו כל הצלעות שוות הוא מעוין. .2מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. .3מקבילית שבה האלכסונים מאונכים זה לזה היא מעוין. .4מקבילית שבה אלכסון חוצה זווית היא מעוין (מספיק אחד). B A ריבוע: הגדרה :ריבוע הוא מרובע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. (מסקנה :ריבוע הוא סוג של מקבילית ,סוג של מלבן וסוג של מעוין). C 74 D מכאן ,שבנוסף לתכונות שבהגדרת הריבוע מתקיים כי אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה ,שווים זה לזה ,מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע. היקף ריבוע צלע ,4 שטח ריבוע (2 צלע) (2/2 אלכסון) כדי להוכיח כי מרובע הוא ריבוע נשתמש באחת הדרכים הבאות: .1מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע. .2מלבן שבו אלכסון חוצה זווית הוא ריבוע. .3מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. .4מעוין שבו האלכסונים שווים הוא ריבוע. .5מעוין שבו זווית ישרה הוא ריבוע. טרפז: הגדרה :טרפז הוא מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות. היקף טרפז סכום הצלעות ,שטח טרפז (/2 גובה סכום הבסיסים). טרפז כללי: טרפז ישר זווית: טרפז שווה שוקיים: משפטים הנוגעים לטרפז שווה שוקיים: .1בטרפז שווה שוקיים הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו. ( .2משפט הפוך) טרפז שבו הזוויות שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז שווה שוקיים. .3בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה. ( .4משפט הפוך) טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים. 75 קטע אמצעים בטרפז: הגדרה :קטע אמצעים בטרפז הוא קטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז. .1קטע אמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם. ( .2משפט הפוך) קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים ,חוצה את השוק השנייה (כלומר הוא קטע אמצעים בטרפז). A דלתון: הגדרה :דלתון הוא מרובע שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. (מסקנה :דלתון הוא מרובע שניתן לפרק לשני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף). B D C תכונות האלכסונים בדלתון: .1האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זוויות הראש ,חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו. .2האלכסון הראשי אינו בהכרח גדול מהאלכסון המשני. .3היקף דלתון סכום הצלעות ,שטח דלתון (/2 אלכסון אלכסון). משפחת המרובעים: 76 77 A שאלות: )1המשולשים ABCו ACD -שבציור הם משולשים שווי שוקיים ( .) AB AC AD נתון. BAD 80o : חשב את גודלה של הזווית . BCD B D C )2נתונה מקבילית ABCDשאלכסוניה נפגשים בנקודה . M נתון. AC 20cm , BC 12 DB , DQ AC : חשב את אורך הקטע . AQ B A Q M C D )3את הצלע ABבמקבילית ABCDהאריכו כאורכה עד לנקודה . T הוכח BTCD :מקבילית. A B M )4נתון מלבן ABCDשבו . DM MC הוכח. MAB MBA : D C )5נתונה מקבילית ABCDובה CM , BQ , APו DN -הם חוצי הזוויות C , B , Aו D -בהתאמה. הוכח TRLS :מלבן. )6נתון מעוין ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M האריכו את הצלע ABעד לנקודה Eכך B שמתקיים. ED DB : הוכח. AD AE : A M C D )7נתון מלבן ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M האריכו את הצלע ABכאורכה עד לנקודה Fואת E הצלע ADכאורכה עד לנקודה Eכמתואר בשרטוט. הוכח :המרובע EBDFהוא מעוין. A B 78 M C E D F )8המרובע ABCDהוא מקבילית שבה אורך הצלע AB גדולה פי 2מהצלע .ADממשיכים את הצלע ADעד לנקודה Kומחברים אותה לקודקוד .B מעבירים את הקטע FEכך ש F-היא אמצע הקטע .BK EFחותך את הצלע ABבנקודה Gומקביל לצלע .AD א .הוכח כי המרובע AGEDהוא מעוין. ב .שטח המעוין AGEDהוא 20סמ"ר. חשב את שטח המרובע DCBK אם ידוע כי Aהיא אמצע הקטע .DK E B )9בריבוע ABCDנתון כי . AE BF הוכח. DE AF : A M F D C A )11נתון מעוין ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . M E 1 נתון. EBA 15o , MB AB , AE FC : 2 הוכח :המרובע EBFD B הוא ריבוע. M D F C )11נתון טרפז ABCDשאורכי צלעותיו נתונים בשרטוט. חשב את שטח הטרפז (פתור כתרגיל חישוב). B 5cm A 13cm 20cm D C 26cm A B )12נתון מלבן ABCDשאלכסוניו נפגשים בנקודה . O נתון. MN DC : הוכח DMNC :טרפז שווה שוקיים. N O C 79 M D )13המרובע ABCDהוא טרפז ישר זווית . A 90הנקודה Mנמצאת על אמצע האלכסון BDשל הטרפז וממנה מעבירים את הקטעים MEו MF-השווים זה לזה ומחברים אותה עם הקודקוד .A נתון כי ME MF :וכי. DFM 90 : א .הוכח. AFM MBE : ב .נתון כי. AE FD 1 , BC 32 : כמו כן. AM BC : .1מצא את אורך הקטע .BE .2חשב את שטח הטרפז .ABCD KN )14הוא קטע אמצעים בטרפז ישר זווית ( ) AD AB , AB DCשאלכסוניו נפגשים בנקודה . O ABCD A B O נתון. AD 12cm , DC 2 AB , ADB 45O : חשב את אורך הקטע . LM N M K L D C A )15בדלתון ABCDהאריכו את האלכסון המשני משני צדיו כמתואר בשרטוט כך שמתקיים: . KD BL הוכח :המרובע ALCKהוא דלתון. L B M C תשובות סופיות: BCD 140 )1 186 )11סמ"ר = S )8 AQ 5cm )2ב 60 .סמ"ר. )13ב 3 .1 .ס"מ 24 .2 .סמ"ר. LM 6cm )14 . 80 D K המעגל: הגדרות: מעגל – המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע. הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל. רדיוס – קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל. מיתר – קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל. קוטר – מיתר העובר במרכז המעגל. מרכז המעגל היקף מעגל = . 2 R מיתר שטח מעגל = . R 2 קשת – חלק מהיקף המעגל. גזרה – חלק משטח המעגל. זווית מרכזית – זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים. זווית היקפית – זווית שקדקודה על היקף המעגל ושוקיה מיתרים. משפטים במעגל: משפטים העוסקים במיתרים במעגל: .1מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות ולהפך. .2על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהפך. .3מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים ממרכז המעגל. ( .4משפט הפוך ל ) 3-מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל שווים. .5אנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר. ( .6משפט הפוך ל ))1( 5-רדיוס החוצה מיתר מאונך לו. ( .7משפט הפוך ל )) 2( 5-קטע היוצא מאמצע מיתר ומאונך לו ,עובר במרכז המעגל. 81 משפטים העוסקים בזוויות במעגל: .8שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת/קשתות שוות ,שוות ביניהן. ( .9משפט הפוך ל ) 8-זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות. .10זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. .11זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה. ( .12משפט הפוך ל ) 11-מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר. משפטים העוסקים במשיק למעגל ושני משיקים למעגל: .13משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. ( .14משפט הפוך ל )13-קטע המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל. .15שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. .16קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את הזווית בין המשיקים. .17הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני. משפטים העוסקים בשני מעגלים: .18קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. .19קטע המרכזים (או המשכו) של שני מעגלים משיקים עובר בנקודת ההשקה. משפטים העוסקים במעגל חוסם ומעגל חסום: .20מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים במשולש. .21מרכז מ עגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזווית במשולש. .22במרובע החסום במעגל ,סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא .180o ( .23משפט הפוך ל )22-אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא ,180oהמרובע בר חסימה במעגל. .24במרובע החוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. ( .25משפט הפוך ל ) 24-אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני אז ניתן לחסום בתוכו מעגל. .26כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל וניתן לחסום בתוכו מעגל. 82 83 שאלות: AB ,CD )1ו KL-הם מיתרים במעגל שמרכזו , Oוהם חותכים את הקטע ,MGהעובר במרכז המעגל ,בנקודות E ,F ו M-בהתאמה .נתון. KL CD , CF FD : א .הוכח. KM ML : ב .נתון בנוסף כי , AB MG הוכח. MO OE : G A K C O E F . ML EB M D L B 550 )2חשב את גודל הזוויות ו -במעגל הנתון. β 500 400 AB )3ו BC-הם מיתרים במעגל שמרכזו . O נתון. BA OC , AGC 60o : חשב את גודלה של הזווית . AOC BC ,AD ,AC ,AB )4ו CD-הם מיתרים במעגל שמרכזו ( Oהמיתר ADעובר ב.)O- הקטע BEחותך את המיתר ACבנקודה .G נתון. BE CD , BG GE : הוכח. BC CD : )5המרובע ABCDהוא מלבן החסום במעגל. מהקדקוד Dמעבירים את המיתר DFהחותך את הצלע ABבנקודה .Eידוע כי. AF CF : הצלע ADשל המלבן תסומן ב. a - א .הוכח כי המשולש DAEהוא שווה שוקיים. ב .נתון גם כי. BC BF : .1הבע באמצעות aאת רדיוס המעגל. .2חשב את הזוויות המרכזיות של הקשתות( AB ; BC :אין צורך לסרטט אותן). 84 α A G C B O A B G C O E D )6מהנקודה Aשעל היקף המעגל מעבירים את המיתרים AC , ABו .AD-הקטע BEחותך את המיתר ADבנקודה Eכך שהקטעים DEו BC-שווים. המיתרים ACו BD-שווים זה לזה. א .הוכח. ABC BED : ב .1 .הוכח כי המשולש ABEהוא שווה שוקיים. .2הוכח כי. BAE CBA 180 : B )7הצלעות AD ,ABו DC-של המקבילית ABCDמשיקות למעגל בנקודות L , Bו K-בהתאמה (ראה שרטוט). נתון. KC 6cm , BC 14cm : חשב את היקף המקבילית. A L C K D A )8הצלעות ACו BC-של המשולש ABCמשיקות למעגל שמרכזו , Oבנקודות Kו B-בהתאמה. הצלע ABעוברת בנקודה .O נתון. AB 15cm , AK KC : א .חשב את גודלה של זווית . A ב .חשב את אורכו של רדיוס המעגל. K O C B H B )9הקדקודים Bו C-של המלבן ABCDמונחים על מעגל. הצלע ADמשיקה למעגל בנקודה Gוהצלע AB חותכת את המעגל בנקודה .Hהוכח. C2 C3 : (הדרכה :סמן .) AGH G 2 1 3 C AB )11הוא קוטר במעגל שמרכזו .O מהנקודה Aמעבירים את המיתרים ACו AG-ואת המשיק ADכך שהמשולש ACDשווה שוקיים. הישר CDחותך את היקף המעגל בנקודה ,Eאת המיתר AGבנקודה Fועובר דרך מרכז המעגל .O המיתר BGמקביל לישר החותך .CD 85 A D א. ב. ג. חשב את זוויות המשולש .ACD הוכח כי. AF FG : רדיוס המעגל יסומן ב . R -הוכח כי. DC 3R : )11המעגלים שמרכזיהם Mו G-משיקים מבחוץ זה לזה ומשיקים מבפנים למעגל שמרכזו .O נתון כי רדיוס המעגל שמרכזו Oהוא . 8cm חשב את היקף המשולש . OMG O M G AD )12הוא התיכון לצלע BCבמשולש .ABC א .הוכח :אם מרכז המעגל החסום במשולש ABC נמצא על ADאז המשולש ABCהוא שווה שוקיים. ב .בהמשך לסעיף א' ,האם מרכז המעגל החוסם את משולש ABCנמצא על ?AD )13חשב את גודלה של הזווית בשרטוט הבא: 350 550 500 α 300 )14בטרפז ישר זווית ABCDשבו השוק ADמאונכת לבסיסים ABו DC-הנקודות Kו L-נמצאות על הצלעות DCו AD-בהתאמה ,כך שהקטעים BKו CL-הם חוצי הזוויות ו C -בהתאמה .חוצי הזוויות נפגשים בנקודה .M הוכח :את המרובע DKMLניתן לחסום במעגל. )15המרובע ABCDחסום במעגל. המשכי המיתרים ABו ED-נפגשים בנקודה .F הקטע FDחותך את היקף המעגל בנקודה Eכך שמתקיים. AB AE : נתון כי הזווית BCDהיא ישרה. א .הוכח כי הקטע DFשווה לקוטר המעגל. נתון כי DF BF :וכי רדיוס המעגל הוא 12ס"מ. ב .הוכח כי המרובע AEDBהוא טרפז. ג .חשב את היקף הטרפז .AEDB )16חשב את גודלו של xבשרטוט הבא: 86 B 87 תשובות סופיות: . AOC 40 )3 35 , 95 )2 2 )5ב 1.3a .1 . 2 )8אA 30 . 70 )13 AB 135 .2 R a 1 ; BC 45 ב 5 .ס"מ )11 .א30 , 30 , 120 . 48 )7ס"מ = . P 16 )11ס"מ = . P )15ג 60 .ס"מ. x 2 )16 . פרופורציה דמיון: פרופורציה: משפט תאלס: .1שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים. .2משפט הפוך :אם שני ישרים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים הישרים מקבילים. AD AE .3משפט תאלס +ההפוך: DB EC E . DE BC AD AE DE .4משפט תאלס המורחב +ההפוך: AB AC BC A D C . DE BC BE AE AB .5משפט תאלס "שעון חול" +ההפוך: ED EC DC B A B . AB DC E D C משפט חוצה הזווית: .6חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס הזהה ליחס בין הצלעות שביניהן הוא כלוא ולהפך. אםA1 A2 : AB AC אז: BD DC ולהיפך. 88 A 2 1 C D B 89 דמיון משולשים: הגדרה: משולשים דומים הם משולשים ששווים זה לזה בכל זוויותיהם ושצלעותיהם שומרות בהתאמה על אותו יחס. DEF F E, C A ABC D, B AB AC BC DE DF EF D A F E C B משפטי הדמיון: .1משפט דמיון זווית -זווית (ז.ז) :אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות אז המשולשים דומים. .2משפט דמיון צלע -זווית -צלע (צ.ז.צ) :אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות על אותו יחס והזוויות שבניהן שווה אז המשולשים דומים. .3משפט דמיון צלע -צלע -צלע (צ.צ.צ) :אם בין שני משולשים שלוש הצלעות שומרות על אותו יחס אז המשולשים דומים. .4משפט דמיון צלע -צלע -והזווית הגד ולה (צ.צ.ז) :אם בין שני משולשים שתי לצעות שומרות על אותו יחס והזווית שמול הצלע הגדולה מביניהם שווה אז המשולשים דומים. יחס בין גדלים במשולשים דומים: .1בין שני משולשים דומים היחס בין הגבהים ,התיכונים ,חוצי הזווית ,ההיקפים, רדיוס המעגל החוסם ורדיוס המעגל החסום הוא כיחס הדמיון. .2היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון. 90 פרופורציות במשולש ישר זווית: .1במשולש ישר זווית ,הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים על היתר. .2במשולש ישר זווית ,ניצב בריבוע שווה למכפלת היתר והיטל הניצב על היתר. ( .3משפט הפוך ל ) 1-אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות האחרות על צלע זאת ,המשולש ישר זווית. פרופורציות במעגל: .1אם שני מיתרים מחתכים במעגל ,אז מכפלת קטעי המיתר האחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני. .2אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל ,אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. .3אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל ,אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק. שאלות: )1מצא את ערכו של xבשרטוטים הבאים: )2בטרפז ABCDהאלכסונים נפגשים בנקודה .Q בנקודה Qהעבירו קטע המקביל לבסיסי הטרפז וחותך את שוקי הטרפז בנקודות Mו N-כמתואר בשרטוט. נתון. QB 3cm , DQ 9cm , DC 18cm : C חשב את גודל הקטע . MQ 91 A B N Q M D 92 AK MC AL )3בשרטוט נתון: KC BM LB A . א .הוכח :המרובע KLMCהוא מקבילית. ב .נתון. BC 10cm , AL 1.5BL : K L חשב את אורך הקטע .LK C B M H )4הטרפז ABCDהוא שווה שוקיים. חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות F ,Eו G-כמתואר באיור. הקטעים DFו CE-חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה .M א .הוכח כי הנקודה Mהיא מרכז המעגל החסום. ב .חשב את זוויות הטרפז. ג .ממשיכים את GFואת ADכך שהם נפגשים בנקודה .H EM חשב את היחס FH G B A E F M C D . )5במשולש ABCמעבירים את התיכונים BDוCE- אשר נפגשים בנקודה .Mבמשולש BDCמעבירים את התיכונים CLו BK-הנפגשים בנקודה .O א .הוכח כי. 3LM BL : ב .הוכח כי. AC MO : ג .נתון . SBLC 27 :חשב את שטח המשולש .MOL A )6הנקודות C ,B ,Aו D-מונחות על היקפו של מעגל שמרכזו .O הרדיוס DOחוצה את הזווית . BOC נתון. BC 10cm , AC 12cm , AB 8cm : חשב את אורכו של הקטע .MN O C M D 93 N B )7במעגל שרדיוסו הוא 10ס"מ המיתרים ABו BC-מאונכים זה לזה. הנקודה Dהיא אמצע הקשת . BC הקטע ADחותך את המיתר BCבנקודה .E אורך המיתר ABהוא 12ס"מ. א .חשב את אורך הקטע .BE מהנקודה Dמעבירים מיתר החותך את המיתר BC בנקודה Fומקביל למיתר .AB ב .הוכח כי מיתר זה עובר דרך מרכז המעגל. ג .חשב את אורך הקטע .FE )8נתון משולש .ABCהקטע AEחוצה את זווית Aשל המשולש. ממשיכים את AEעד לנקודה Dכך שנוצר המשולש .BDC Fהיא נקודה על הצלע BCהמקיימת. DF FE DC : הצלע ABמקבילה לצלע .DC א .הוכח כי. AC EF : ב. AB FE הוכח: BE CE ג. הָ ְמשך את הקטע DFעד לנקודה Hשעל הצלע .AB ידוע כי המרובע ACDHהוא בר חסימה. חשב את זוויות המשולש .DEF . )9במשולש ABCהעבירו את הקטע הוכח. AKB ABC : BK כך ש. AKB ABC - A K B C A . BKMCהמשיכו את הצלע BK )11נתונה מקבילית הקטע ACחותך את הצלע הוכח. LC BC LM AC : KM עד לנקודה . A בנקודה . L L M C 94 K B )11מעבירים משיק AEלמעגל הנתון באיור. מנקודת ההשקה מעבירים את המיתרים ABוAC- כך שנוצר המשולש .ABCידוע כי. AC BC : המשך המיתר BCנפגש עם המשיק בנקודה .E המיתר ABחוצה את זווית . CBD א .הוכח כי הקטע BDמקביל למיתר .AC ב .הוכח ABD CBA :וכתוב את יחס הדמיון. ג. DE BD הוכח: BE AB . )12נתון משולש .ABCעל הצלע ABשל המשולש ABCבונים משולש שווה צלעות .ABD הצלע ACחותכת את הצלע BDבנקודה Eאשר ממנה מעבירים ישר EFהמקביל לצלע .BCנתון כי. DCB 40 , DBC 80 : א .הוכח כי המשולשים ABEו CDE-דומים. ב .הוכח. FC CE AE DF : ג .נתון כי. BC 1.5 EF : AE 1 .1הוכח : CE 2 . S ABE .2חשב את יחס השטחים: SCDE . )13מהקדקוד Cשל המשולש BCDמעבירים את הקטע AC כך שהמשולש ACDהוא שווה שוקיים . AC AD הנקודה Fנמצאת על הצלע CDכך שמתקיים: . D CBF , 3 ACD BEC א .הוכח כי הקטע BFחוצה את זווית . B ב .הוכח כי.AEB FEC : BE AE ג .הוכח כי: BC FC . )14המעגלים שמרכזם בנקודות Mו N-משיקים זה לזה מבפנים בנקודה Aכך שהיקף המעגל הפנימי עובר בנקודה .M דרך הנקודה Aמעבירים משיק. ABהוא קוטר במעגלים ו C-היא נקודה הנמצאת על היקף המעגל הפנימי כך שהמיתר BDמשיק למעגל הפנימי בנקודה זו. 95 א .הוכח ABD CBN :וחשב את יחס הדמיון. ב .נתון כי . AD 8 :חשב את רדיוס המעגל הגדול. ג .הוכח. 2CD BC : )15נתונים שני מעגלים בעלי רדיוס זהה Mו.N- מעבירים שני משיקים למעגלים ABו CD-הנחתכים בנקודה .K מעבירים את הרדיוסים ANו DN-במעגל השמאלי ו BM-ו CM-במעגל הימני. א .הוכח. KN KM : ב .הוכח כי המרובע ACMNהוא טרפז שווה שוקיים. ג .רדיוס המעגלים הוא Rוידוע כי המשולש BKCהוא שווה צלעות. הבע באמצעות Rאת היקף הטרפז .ACMN )16על הצלעות של המשולש ABCהקצו את הנקודות Dו E-כך שהמרובע AEDB הוא בר חסימה .הנקודה Dמחלקת את הצלע BCכך שהקטע BDגדול פי 3מהקטע .DC א .הוכח. ABC DEC : ב .נתון גם כי. AC CE 36 : חשב את אורך הקטע .DC ג .מעבירים מהקודקוד Aאת הקטע AFהמקביל לקטע .DEנתון כי. AC 9 : DF חשב את היחס: BC . )17הישרים ABו AC-חותכים את המעגל בנקודות Dו E-בהתאמה כך שהמיתרים BDו BC-מאונכים זה לזה .הקטע CGחוצה את הקשת הקטנה BGDוחותך את המיתר BDבנקודה .F AC 13 נתון: AB 12 .נסמן. AB t : א .הבע באמצעות tאת אורך המיתר .BC BF 3 ב .נתון כי רדיוס המעגל הוא 5ס"מ וכי: DF 5 חשב את אורך הקטע .AB ג .חשב את. A : )18המשולש ABCחסום במעגל. Aגובה לצלע BCו AE-קוטר במעגל. א .הוכח. BAD EAC : 96 . נתון גם כי. CE 21 , AD 6 , CD 8 : ב .חשב את רדיוס המעגל. )19הקטע ABמשיק למעגל בנקודה .Aמהנקודה Bמעבירים ישר חותך למעגל החותך אותו בנקודות Cו.D- Eהיא נקודה על המעגל כך ש . AEC 90 - נתון כי המיתר ACחוצה את זווית .BCE א .הוכח. ABC EAC : ב. ג. BC CE נסמן ב R -את רדיוס המעגל .הוכח: 2 .R איזה מרובע יהיה המרובע ADCE אם יתקיים . 2CE BC :נמק. )21במשולש ABCהנקודות Dו E-נמצאות על הצלעות BCו AB-בהתאמה. נתון כי. ADC BED , DE AC : א .הוכח כי המשולשים ADCו BED-דומים. ב .הוכח. AD BD AB DE : ג .ידוע כי הנקודה Dמחלקת את BD 4 הצלע BCבאופן הבא : DC 5 וכי. AD BD 16 : חשב את המכפלה. AB AC : . A )21המשולש ABCחסום במעגל שמרכזו . Oהצלע BC היא קוטר המעגל .הקטע BMמאונך לרדיוס . OD נתון. AC 2OM : C O א .הוכח. AB 2BD : ב. S BOM חשב את היחס: S BAC M B . D ABC )22הוא משולש שווה שוקיים ( ) AB ACשבו השוק גדולה פי 2מהבסיס .המשיכו את הבסיס משני צדדיו עד לנקודות D ו E-כך שמתקיים BC CEו. D CAE - נתון. SABC m : בטא באמצעות mאת שטח המשולש .ADE 97 E C A B D )23המרובע ABCDהוא טרפז. AB CD , מעבירים את קטע האמצעים EFהחותך את אלכסון הטרפז BDבנקודה .K ידוע כי הקטע AKמקביל לשוק BCשל הטרפז. 98 א .הוכח כי המרובע ABFKהוא מקבילית. ב .נסמן . SBKF S :הבע באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD )24בין המשיקים המקבילים mו n -מעבירים מעגל כך ש AB-הוא הקוטר היוצא משתי נקודות ההשקה שלהם .הנקודות Dו C-נמצאות על המשכי המשיקים כך שהמרובע ABCDהוא טרפז. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה Eשנמצאת על היקף המעגל .ידוע כי. SABC 3 SDAB : שטח המשולש ADEיסומן ב . S - בטא באמצעות Sאת שטח הטרפז .ABCD )25נתון משולש .ABCעל הצלע BCשל המשולש ABC בונים משולש נוסף .BDCהצלעות DCו AB-נחתכות בנקודה .Mהצלע ABחוצה את זווית B וידוע כי. 2 ACD B : א .הוכח. ACM DBM : AC AM ב .הוכח: BC CM AM 8 וכי אורך הצלע BDהוא 6ס"מ. ג .נתון כי : CM 5 . S BDM סכום הצלעות ACו BC-הוא 19.5ס"מ .חשב את היחס: S BMC . AB )26הוא קוטר במעגל שמרכזו .Oמהנקודה Cשעל היקף המעגל מעבירים את הרדיוס COואת המיתר CDהחותך את הקוטר בנקודה . E מהנקודה Dמעבירים את המיתרים BDו .AD- AD AE ידוע כי המיתר CDמקיים: BD BE א. ב. ג. .נתון. AD DE : הוכח כי הרדיוס COמאונך לקוטר .AB הוכח. COE BDA : נתון כי אורך המיתר BDהוא 16.2ס"מ ואורך הקטע CEהוא 10ס"מ. .1חשב את רדיוס המעגל. SCOE .2חשב את היחס: S BDA . 99 100 AB )27הוא קוטר במעגל .מהנקודה Aמעבירים מיתר .AC הנקודה Dנמצאת מחוץ למעגל וממנה מעבירים משיק CDוישר חותך .DEידוע כי הישר DEחותך את הקוטר ABבנקודה Gומאונך למיתר ACבנקודה .H א .הוכח. ACD BGE : ב. S AH 4 נתון כי AHG :חשב את היחס: AC SGHCB 5 . AB )28ו CD-הם קטרים במעגל שמרכזו .O מעבירים מיתר החותך את ABבנקודה Mכך שמתקיים2AM BM : ואת CDבנקודה Fכך שמתקיים . FM CD :ידוע כי זווית BMFהיא . 30 מעבירים את המיתרים ACו AD-כך שנוצר המשולש .ACD א .הוכח. CAB BMF : ב .1 .הוכח כי המשולשים ADCו FOM-דומים. .2פי כמה קטן הקטע FOמרדיוס המעגל? ג .מעבירים מהקדקוד Dשל המשולש ACDקטע העובר דרך הנקודה Mוחותך את המיתר AC בנקודה .Gחשב פי כמה גדול שטח המשולש DGCמשטח המשולש .MOF )29מצא את ערכם של xו y -בשרטוט הבא: )31במשולש ישר זווית שאורכי ניצביו mו n -נתון כי אורך הגובה ליתר הוא . h 1 1 1 הראה שמתקיים 2 2 : 2 h m n (אין צורך ברישום מסודר של הוכחה). )31הוכח את המשפט :אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות האחרות על צלע זאת ,המשולש ישר זווית. 101 102 )32חשב את גודלם של xו y -בשרטוטים הבאים: ב. א. 2 4 2 3 4 8 5 )33הוכח את המשפט :אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל, מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק. )34הוכח את המשפט :אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל, מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני. תשובות סופיות: 2 3 )1א x 1 .ב )3 MQ 4.5cm )2 x 2 .ב )4 LK 6cm .ב 60 ,120 .ג. . )5ג )7 MN 1cm )6 3 .א BE 6 .ג )8 EF 2 .ג72 , 72 , 36 . SABE 1 )12ג .2 . SCDE 4 5 )17א BC t .ב AB 14.4 .ג )18 A 22.61 .ב 5.5 .ס"מ )19ג .ריבוע. 12 SBOM 1 )23 SADE 6m )22ב. 16S )24 6S . )21ג )21 AB AC 36 . SBAC 4 SCOE 25 AH 2 S )27ב . . )25ג )26 BDM 0.8 .ג.2 R 9 .1 . SBDA 81 AC 3 SBMC BF 7 )14ב 4 .ס"מ )15 .ג )16 9R .ב 3 .ס"מ ג. BC 16 )28ב .2 .קטן פי 6ג .שטח המשולש DGCגדול פי 18משטח המשולש .MOF )32 y 6 , x 52 )29א y 2 , x 3 .ב. x 5 , y 3 . 103 שאלות שונות: שאלות ללא פרופורציה: )1במשולש ABCמעבירים את שלושת הגבהים. AD , BE , CF : הגבהים נפגשים בנקודה . Q א .הוכח. ACF ABE : ב .הוכח כי מרובע QDCEהוא מרובע בר-חסימה. ג. הוכח. ADF ADE : )2במשולש E , ABCאמצע F , ABעל BCו EFמקביל ל. AC - Gעל ACו EG -מקביל ל. BC - בלי להשתמש במשפטים על קו אמצעים במשולש הוכח: א .המשולש AEGוהמשולש EBFחופפים. ב .על פי הסעיף הקודם ,הוכח כי קטע במשולש החוצה צלע של המשולש ומקביל לצלע השלישית במשולש הוא קטע אמצעים. )3במשולש שווה שוקיים , ( AB AC ) ABC BDהוא תיכון לשוק . CBD 30 , AC א .הוכח כי משולש ABCהוא משולש שווה צלעות. (הדרכה :הורד אנכים AFו DE -לבסיס BC 1 1 2 2 A D והוכח כי) DE AF BD : ב .אם נתון כי אורך התיכון BDהוא aס"מ, חשב אם אורך צלע המשולש ואת שטחו. B C A )4במשולש ) C 90 ( ABCהנקודה Eמונחת על היתר . ABמהנקודה Eמעבירים אנך ליתר, החותך את המשך הניצב BCבנקודה Fואת הניצב AC בנקודה . D E D נתון כי 10 :ס"מ 12 , AD ס"מ 8 , EB ס"מ . AE הוכח כי. ADE DFC : B 104 C DF )5מנקודה Mהנמצאת מחוץ למעגל מעבירים חותך MPQ M ומשיק . MNמנקודה Kהנמצאת בהמשך MPQמעבירים ישר מקביל למיתר , QNהחותך את המשך המשיק MN בנקודה . L א .הוכח כי. QNL NPQ : ב .הוכח כי המרובע KPNLהוא בר-חסימה. P Q N K L )6נתונה מקבילית . ABCD על הצלע ABבונים ריבוע ABEFועל F E הצלע ADריבוע . ADKMהוכח כי M המשולש KCEהוא משולש שווה A B שוקיים וישר -זווית. )7 א. K D C הוכח :אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, M אזי המשולש הוא משולש ישר זווית. ב. בציור הנתון RS :הוא קטע אמצעים R S O במשולש NO . MNPהוא חוצה זווית . MNP הוכח כי. MON 90 : P N )8הוכח כי :במשולש ישר זווית ,התיכון ליתר שווה למחצית היתר. נסח והוכח את המשפט ההפוך למשפט שבסעיף א. )9בטרפז . ( BC AD) ABCD נתון כי :נקודה Eנמצאת באמצע אלכסון AC ונקודה Fנמצאת באמצע אלכסון . BD א .הסבר מדוע קטע האמצעים של הטרפז ABCD עובר דרך הנקודות Eו. F - ב .נתון כי . AD 4 EF :הוכח כי. AD 2 BC : )11נתון מלבן MNPQשבו . QN 2 NP אלכסוני המלבן נפגשים בנקודה . O האריכו את הקטע MQכאורכו ) . (MQ QT א .הוכח כי. MO OT : 105 C B F E D A N M O P Q T ב .הוכח כי. OT PQ : )11במעגל שבציור נתון כי המיתר ACמאונך למיתר . BD שני המיתרים נחתכים בנקודה . F דרך הנקודה Fמורידים אנך למיתר . AB המשכו של האנך חותך את המיתר DCבנקודה . E D E A C F הוכח כי. DE EC : B )12הוכח את המשפט :שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת חיצונית ,שווים באורכם AB .ו AC -הם שני משיקים למעגל. . AC aנקודה Mנמצאת על הקשת . CB QPמשיק למעגל בנקודה . M A הוכח כי :היקף המשולש APQלא תלוי המקומה של B P M Q C הנקודה Mעל הקשת CBוהוא גודל קבוע השווה ל. 2a - )13טרפז ( AB DC) ABCDחסום במעגל כך שמרכז המעגל Oנמצא מחוץ לטרפז. נתון כי 9 :ס"מ 21 AB ס"מ , CD גובה הטרפז הוא 8ס"מB . רדיוס המעגל הוא . R C א .הבע באמצעות Rאת המרחק ממרכז המעגל : O .1לבסיס הקטן של הטרפז . AB .2לבסיס הגדול של הטרפז . CD ב .חשב את גודלו של רדיוס המעגל . R A D C )14במשולש ישר זווית , ( ABC 90 ) ABCחוסמים מעגל כך שנקודות ההשקה הן P , M :ו. Q - M כמו כן ,נתון כי AQ 2a :ו. QC a - הבע את היקף המשולש ABCבאמצעות . a A 106 B P Q C שאלות הכוללות פרופורציה ודמיון: )15שני מעגלים משיקים זה לזה בנקודה . M רדיוס המעגל הגדול הוא Rורדיוס המעגל הקטן הוא . r מעבירים משיק משותף לשני המעגלים. MNהוא המרחק שבין נקודת ההשקה של שני המעגלים לבין המשיק המשותף שלהם. 2R r הוכח כי: Rr M R r N MN )16א .הוכח כי :במשולש ישר זווית בעל זווית חדה בת , 30הניצב שמול הזווית שווה למחצית היתר. ב .בטרפז שווה שוקיים ABCDהאלכסונים ניצבים לשוקיים. הוכח כי :אם הזווית החדה בטרפז שווה ל , 60 -אזי נקודת מפגש האלכסונים מחלקת כל אלכסון ביחס .1: 2 KMN )17הוא משולש שווה שוקיים ) . ( KM KNמנקודה כלשהי Pהנמצאת על הבסיס MNמורידים אנך לשוק KM K ואנך לשוק KNהחותכים אותן בנקודות Aו B -בהתאמה. א .הוכח כי KAPBהוא מרובע בר חסימה. ב .הסבר מדוע הנקודה Eהנמצאת באמצע הבסיס , MN נמצאת על היקף המעגל החוסם את המרובע . KAPB )18נסח והוכח את משפט קטע אמצעים בטרפז. MNהוא קטע אמצעים בטרפז . ( AB CD) ABCD A B N E P C D M N נסמן. CD b , AB a : M F E B 1 2 הוכח כי. EF (a b) : A )19שני מעגלים שווים O1 ,ו , O2 -שמחוגיהם שווים ל 10 -ס"מ, נחתכים בנקודות Aו . B -מהנקודה Cשעל המשך המיתר המשותף ABשל שני המעגלים יוצא המשיק CDלאחד מהמעגלים .נתון כי 9 5 :ס"מ CD ו 16 -ס"מ . O1O2 חשב את אורך הקטע . CB C B D O2 O1 A 107 (היעזר בעובדה ש AB -חוצה את הקטע O1O2ומאונך לו). B C , B , A )21ו D -הן נקודות על המעגל K .היא נקודה על BCכך ש . BK CD -נתון. AB AD : א .הוכח. BAK DAC : ב .המשך הקטע AKחותך את המעגל בנקודה . N הוכח. BN CD : K A C D M )21במשולש MNPהגבהים NQו PR -נפגשים בנקודה . O נתון כי. OR OQ : א .הוכח כי . NO OP ב .הוכח כי :משולש MNPשווה שוקיים. ג .הוכח כי. MQ MR : Q R N P )22א .הוכח את המשפט :שני מיתרים הנחתכים בתוך מעגל מחלקים זה את זה, כך שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעי האחר. ב .במעגל שרדיוסו , Rהקוטר ABמאונך למיתר . CD הקוטר והמיתר נחתכים בנקודה . Eנתון כי . AE : EB 1: 4 הבע את שטח המשולש ADCבאמצעות . R )23א .הוכח כי :במרובע חסום במעגל ,סכום הזוויות הנגדיות שווה ל.180 - ב .מרובע ABCDחסום במעגל AC .חוצה את הזווית . DAB בנקודה Cמעבירים משיק למעגל .המשכי הצלעות ABוAD - A חותכים את המשיק בנקודות Eו F -בהתאמה. .1הוכח כי. CDF ABC : .2הוכח כי. ABC CDF : ג .נתון 9ס"מ 4 , AB ס"מ . DF חשב את אורך הקטע . BC B E D C F )24מעגל Oמשיק לישר lבנקודה CD . Eהוא קוטר במעגל. בנקודה Cמעבירים משיק למעגל החותך את הישר lבנקודה . B בנקודה Dמעבירים משיר למעגל החותך את הישר lבנקודה . A א .הוכח כיAOB 90 : 108 O D C B E A l ב .הוכח כי. AOE OBE : ג .נתון כי 6 :ס"מ 13 , R ס"מ . EB AE , AB חשב את אורכי הקטעים EBו. AE - )25במשולש ABCנתון כי AD :הוא התיכון לצלע . BC DEהוא חוצה הזווית DF , ADBהוא חוצה הזווית ADC A F E (ראה ציור) .הוכח כי. EF BC : C )26בריבוע ABCDנתון כי :אלכסוניו נפגשים בנקודה . M BEחוצה את הזווית DBAוחותך את האלכסון ACבנקודה ( Nראה ציור). DE MN ואת היחס א .מצא את היחס EA NA B D D C M E . N B ב .הוכח כי המשולש ENA :הוא משולש שווה שוקיים. ג .הוכח כי. DE 2 MN : )27במשולש שווה שוקיים ABCנתון כי: 20ס"מ 24 , AC BC ס"מ . AB במשולש זה חסום מעגל ,המשיק לשתי השוקיים A C E F בנקודות Eו . F - א .הוכח כי EF :מקביל לבסיס. ב .חשב את אורך הקטע . EF B )28במשולש ישר זווית ( PST 90) PSTחסום חצי מעגל שמרכזו Oנמצא על יתר . PT א .הוכח כי OSחוצה את הזווית . PST ב .נתון כי 18 :ס"מ PS ו 24 -ס"מ . TS חשב את אורכי הקטעים OPו. OT - A P O N S )29במשולש , ABCבו , B 90 נתון כי 6 :ס"מ 12 , FC ס"מ 16 , BC ס"מ AB הקטע FMמאונך ליתר , ACוהקטע MNמקביל ליתר . AC חשב את אורך הקטע . MN T M B M N F A )31משולש MPNחסום במעגל .ישר NQמשיק למעגל זה בנקודה . N נתון כי( NP RQ :ראה ציור). M 109 P N R Q C א .הוכח כי. QRN MRQ : ב .נתון כי 5 :ס"מ MN ו 4 -ס"מ . RN חשב את . RQ )31בטרפז . ( AB DC) ABCD נתון כי 9 :ס"מ 18 , DC ס"מ . AB דרך נקודת מפגש האלכסונים , Eמעבירים ישר MN המקביל לבסיסי הטרפז. מצא את אורכו של . MN D C M N E A B )32א .הוכח :חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית חלוקה פנימית לפי היחס של שתי הצלעות הכולאות את הזווית. ב .המעגל החסום במשולש ABCמשיק בנקודה Fלצלע . CB A נתון כי 4 :ס"מ 7 BF ס"מ , AD .CF חוצה הזווית Aמחלק את הקטע CBלשני קטעים המתייחסים זה לזה כמו . 3 : 2 חשב את אורכי הצלעות ACו. AB - B D F )33משולש שווה שוקיים ( AB AC) ABCחסום במעגל. דרך קדקוד Bעובר משיק למעגל .דרך קדקוד Cעובר ישר המקביל ל , AB -וחותך את משיק בנקודה ( Eראה ציור). CBE A BAC א .הוכח: ב .נתון כי 27 :ס"מ AC ו12 -ס"מ . CE חשב את אורך הקטע . BC )34בטרפז ( AB CD) ABCDנתון כי. AB 3 CD : אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . O דרך הנקודה Aמעבירים מקביל ל , BD -החותך את המשך הצלע CDבנקודה ( Eראה ציור). נסמן את שטח המשולש DOCבאמצעות . S הבע את שטח הטרפז ABCEבאמצעות . S 110 C C B E A B O C D E ABCD )35הוא טרפז שווה שוקיים ). ( AD BC , AB CD Oהוא מרכז המעגל החסום בטרפז ו E -היא נקודת ההשקה של השוק BCעם המעגל ( Oראה ציור). א .הוכח כי. OE 2 BE EC : ב .הוכח כי :הגובה בטרפז שווה שוקיים החוסם מעגל הוא הממוצע ההנדסי של שני הבסיסים של הטרפז. )36במשולש ישר -זווית ( PQR 90) PQRנתון: hהוא הגובה ליתר x ,ו y -הם הניצבים, aו b -הם היטלי הניצבים xו y -בהתאמה (ראה ציור). y א .הוכח כי הגובה ליתר הוא ממוצע גאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. h a b : R b A B E O D C Q x h N P M ב .הוכח כי כל ניצב הוא ממוצע גאומטרי של היתר והיטל הניצב על היתר. y b (a b) , x a (a b) : ג. מקדקוד Qמעבירים חוצה זווית החותך את היתר PRבנקודה . M הוכח כי. PM : MR a : b : )37במשולש ABCהתיכון BEוהקטע ALנחתכים בנקודה . K הקטע EFמקביל ל ( AL -ראה ציור) .נתון כי. LC 5 BL : א .הוכח כי. LF 2.5 BL : ב. BK 2 הוכח כי : BE 7 A E K . C F L )38א .הוכח את המשפט :היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדימיון. G ב .במקבילית ABCDנקודה Eנמצאת על הצלע , BCכך ש. BE : CE 2 : 3 - המשך הקטע AEחותך את המשך הצלע DC E בנקודה . Gנתון 18סמ"ר . SCEG C .1חשב את שטח המשולש . ABE .2חשב את שטח המשולש . ABC B B A D )39א .הוכח כי :במשולשים דומים היחס בין הגבהים המתאימים שווה ליחס הדמיון של המשולשים. C 111 Q B E P D A ב .במשולש ABCחסום חצי מעגל שרדיוסו 6ס"מ. קוטר המעגל PQמקביל לצלע CD . ABהוא גובה במשולש ABCוחותך את הקוטר PQבנקודה ( Eראה ציור). נתון כי 20 :ס"מ . AB חשב את אורך הקטע . CE 112 ABCD )41הוא טרפז ) . ( BC ADהצלעות BCו CD -הן מיתרים במעגל. הצלע ABמשיקה למעגל בנקודה ( Bראה ציור). C א .הוכח כי. ABD DCB : ב .נתון כי 5 :ס"מ 12.8 , BC ס"מ . AD חשב את אורך האלכסון . BD D )41מנקודה Aהנמצאת מחוץ למעגל שרדיוסו , Rמעבירים חותך וחותך , AODשעובר דרך מרכז המעגל , O כך ש . CDB BDA BAD - נתון גם. BC n , AB m : A B A ABC C B O הוכח כי. DC 2 n2 m n : )42א .הוכח כי :חותכים למעגל היוצאים מנקודה אחת מחוץ למעגל יוצרים קטעים פרופורציוניים כך שמכפלת כל החותך בחלקו מחוץ למעגל היא גודל קבוע. A ב .נתון משולש . ABCמעגל העובר דרך הקדקודים Aו, B - חותך הצלעות ACו BC -בנקודות Fו M -בהתאמה. F .1הוכח כי. ACM BCF : .2נתון כי 48 :ס"מ 40 , BC ס"מ , AC C 16ס"מ . AF מצא את אורך המיתר . BM )43בטרפז ABCDאורך הבסיס ABהוא aואורך הבסיס CDהוא .b אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה . O דרך הנקודה Oמעבירים מקביל לבסיסים החותך את ADבנקודה Eואת BCבנקודה . F a b הוכח כי מתקיים: ab . EO OF B M B F C 113 A a A E O b )44מנקודה Aמעבירים שני חותכים למעגל ,חותך ABCוחותך , ADE כך שהנקודה Bנמצאת באמצע הקשת , CDו CED 2 CAD - (ראה ציור). B א .הוכח. ECB ACE : ב .נתון כי 4 :ס"מ 9 ,CB ס"מ . AC חשב את אורך הקטע . CE D D D C E MN )45הוא קטע במעגל שמרכזו ב. O - PKמשיק למעגל בנקודה Pומאונך ל. NQ - Q P הנקודה Qנמצאת על המשך המיתר ( MPראה ציור). K N א .הוכח כי. MP KN PK PN : ב .הוכח כי. MP PQ : O C A )46בציור נתון כי. AB EF CD : 1 1 1 הוכח כי: EF AB CD M E . D F A )47א .הוכח כי :הגובה ליתר במשולש ישר-זווית מחלק את המשולש לשני משולשים ,שכל אחד מהם דומה למשלוש כולו. T ב .מעויין ABCDחוסם מעגל שמרכזו ב . O - נתון כי :אורך הרדיוס המעגל OTהוא 24ס"מ B D B O ואורך צלע המעויין הוא 50ס"מ. מצא את אורך האלכסון . ( BD AC ) BD C )48משולש ABCחסום במעגל .חוצה זווית BACחותך את המעגל בנקודה Dואת הצלע BCבנקודה ( Fראה ציור). מנקודה Dהורד אנך על הצלע CBהחותך אותה בנקודה . Eנתון כי. AB : AC 5 : 3 : הוכח כי. BC 8 EF : C A E B F D )49נקודה Dהיא אמצע היתר ACהמשולש ישר זווית . ( B 90) ABC בנקודה Dמעלים אנך לצלע ACהחותך את הניצב ABבנקודה E (ראה ציור). נתון כי 8 :ס"מ . AB m , AC D הבע את CEו BE -באמצעות . m A E C 114 B )51במשולש ABCנתון כי15 :ס"מ , AB AC 18ס"מ . CB דרך מרכז המעגל Oהחסום במשולש עובר הקטע EFהמקביל לבסיס FN . BCוEM - A O F E הם אנכים לבסיס . BC חשב את שטח המלבן . EFNM B N C M )51א .הוכח כי :הזווית הכלואה בין משיק ומיתר בעלי נקודה משותפת, שווה לזווית ההיקפית הנשענת על מיתר זה. E ב .שני מעגלים משיקים מבחוץ בנקודה . A F דרך נקודה זו עוברים שני ישרים ,החותכים A M את המעגלים בנקודות M , E , Fו . N - הוכח כי. AMN AFE : N E )52במשולש ישר -זווית , ( GEF 90) EFG EPהוא הגובה ליתר . GF נתון כי 24 :ס"מ 32 , EF ס"מ . GE F חשב את אורכי הקטעים GP , PF , GF :ו. EP - P G MQ )53הוא התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים . (MN MP) MNP Sהיא נקודה על המשך הצלע . MN M המשך התיכון MQחותך את הקטע PSבנקודה . E הקטע EFמקביל ל ( NP -ראה ציור). א .הוכח כי. MP : MS NF : FS : ב .נתון כי 20 :ס"מ 4 , MP ס"מ . NF חשב את אורך הקטע . FS P M Q E N F S 115 N M NP )54הוא קוטר במעגל , MT , MN . Oו SP -הם משיקים למעגל Oבנקודות T , Nו P -בהתאמה. א .הוכח כי. MOS 90 : ב .הוכח כי רדיוס המעגל שווה ל. MN SP - T O S P DE )55הוא קוטר במעגל .בנקודה Dמעבירים משיק למעגל. מנקודה , Aשעל המעגל ,מעבירים ישר המקביל לקוטר . DE הישר חותך את המשיק למעגל בנקודה ( Fראה ציור). א .הוכח כי. AD2 AF DE : E ב .נתון 4ס"מ 9 , AF ס"מ . DE חשב את שטח הטרפז . AFDE A D N )56א .הוכח כי המחוג המאונך למיתר המעגל חוצה אותו. ב .בציור שלפניך המיתרים EFו MN -מאונכים זה לזה. O נתון כי 3 :ס"מ 8 , EB ס"מ 4 , BF ס"מ . MB .1חשב את אורך הקטע . NB .2מצא את המרחק המיתר EFממרכז המעגל . O F F A B E M C )57מעגל שמרכזו בנקודה Oחסום במשולש ישר-זווית ). ( C 90 E נתון כי 30 :ס"מ 18 , AB ס"מ . AC D חשב את אורך הקטע . ED O A B )58במשולש PS MPQחוצה את הזווית . ST MP , MPQ נתון כי 27 :ס"מ 45 , MP ס"מ . QP חשב את אורך הקטע . TP M S P T Q 116 :תשובות סופיות 1 3 . 3 a 2 : שטח המשולש, . a (3 17) )14 . R ס"מ10.625 .ב . BC ס"מ6 .) ג23 2 3 a : אורך צלע המשולש.) ב3 3 R 2 10.52 .2 . SACD 8 25 R 2 4.52 .1 .) א13 R 2 .) ב22 . CB ס"מ15 )19 MN 2 DE , 2 .) א26 . AE ס"מ9 , EB ס"מ4 .) ג24 NA 2 EA OT ס"מ 120 90 , OP ס"מ .) ב28 . EF ס"מ9.6 .) ב27 7 7 . MN ס"מ12 )31 1 . RQ ס"מ6 .) ב31 . MN ס"מ3 )29 3 . AC ס"מ9 , AB ס"מ6 .) ב32 . S ABCE 28 S )34 . BC ס"מ18 .) ב33 .CE ס"מ9 .) ב39 . SABC סמ"ר20 .2 SABE סמ"ר8 .1 .) ב38 . CE ס"מ6 .) ב44 . BM ס"מ28 .) ב42 . BD ס"מ8 .) ב41 m2 32 32 , CE )49 m m . BD ס"מ60 .) ב47 . BE . SEFNM סמ"ר50.625 )51 . EP ס"מ19.2 , GP ס"מ25.6 , PF ס"מ14.4 , GF ס"מ40 )52 . S AFDE סמ"ר29.07 .) ב55 . FS ס"מ6 .) ב53 .TP = ס"מ16.875 )58 .DE = ס"מ3 )57 . ס"מ1 .2 117 NB ס"מ6 .1 .) ב56 פרק – 5טריגונומטריה במישור: משולש ישר זווית: הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות: הניצב שמול הזווית היתר הניצב שליד הזווית היתר הניצב שמול הזווית הניצב שליד הזווית משפט פיתגורס. a2 b2 c2 : שאלות: )1מצא את ערכו של / xבמשולשים ישרי הזווית הבאים: 750 400 700 A )2המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o ADהוא התיכון לניצב . BC נתון. AB 6cm , C 28o : מצא. AD ? , BAD ? : C )3המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o BDהוא התיכון ליתר ו AE -הוא חוצה הזווית . A נתון. BC 8cm , BD 5.6cm : מצא. BE ? , BAE ? : 118 C B D A D E B )4מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו 24ס"מ ו 18-ס"מ. D A )5המשולש ABCחסום במעגל כך שהצלע ACהיא קוטר המעגל. המשיק למעגל בנקודה Aוהמשך הצלע CBנפגשים בנקודה . D נתון. DAB 32o , BD 4cm : מצא את אורכו של רדיוס המעגל. B C )6במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב 4 -ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש היא . 34.92oמצא את שטח המשולש. A )7המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o נתון. AB a , A : הבע באמצעות ו a -את היקף המשולש. C B A )8המשולש ABCשבציור הוא משולש ישר זווית ( .) B 90o ADהוא התיכון לניצב . BC נתון. AB b , C : הבע באמצעות ו b -את אורכי הקטעים BDו . AD - C B D )9במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא ואורך חוצה זווית זו הוא . k הבע באמצעות ו k -את שטח המשולש ואת אורך היתר. )11טרפז ABCDהוא טרפז ישר זווית ( .) B C 90o הנקודה Gנמצאת על השוק BCכך ש. AG DG - נתון. BAG , AG DG m : הבע באמצעות ו m -את שטח הטרפז. )11המשולש ABCהוא ישר זווית . A 90 הקטעים ADו AE-הם בהתאמה גובה ליתר וחוצה זווית. מסמנים. DAE , DE k : א .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש .ABC ב .חשב את שטח המשולש ABC אם ידוע כי 30 :ו . k 2 - 119 B A G C D 120 )12במלבן ABCDמסמנים את הנקודות Eו F-הנמצאות על הצלעות ABו BC-בהתאמה כך שE- מקיימת 3AE BE :ו F-היא אמצע הצלע .BC אורך הצלע ADשווה לאורך הקטע .BE מעבירים את הקטעים DF , EFו DE-כך שנוצר במשולש .DEF א .סמן ב t -את אורך הקטע AEוהבע באמצעות t את אורכי צלעות המשולש .DEF ב .חשב את זוויות המשולש .EDF )13משולש שווה שוקיים שאורך שוקו kוזווית הבסיס שלו היא חוסם מעגל. הבע באמצעות ו k -את רדיוס המעגל. )14בטרפז ישר זווית חסום מעגל .אורך השוק הארוכה בטרפז היא bוהזווית שהיא יוצרת עם הבסיס הגדול היא .הבע באמצעות ו b -את אורכו של הבסיס הגדול בטרפז ואת שטחו. * הערה :השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד: )15דרך הקדקודים C , Aו D-של המקבילית ABCD מעבירים מעגל .היקף המעגל חוצה את הצלע AB בנקודה .(AE=BE) Eנתון כי DCהוא קוטר במעגל וכי המיתר DEחוצה את זווית .D א .הוכח כי המיתר CEחוצה את זוויות .C ב .רדיוס המעגל יסומן ב. R -הבע באמצעות Rאת היקף המקבילית. ג .מצא את רדיוס המעגל אם ידוע כי שטח המקבילית הוא 16 3סמ"ר. )16מהנקודה Aשמחוץ למעגל מעבירים משיק ABוישר חותך .ACD מעבירים את המיתרים השווים BCו .BE-כמוכן מעבירים את המיתר .DEאורך המיתר CEשונה מאורך המשיק .AB א .הוכח כי המרובע ABECהוא טרפז. ב .הוכח כי. 2 BEC EDC : ג .איזה מרובע יהיה המרובע BEDC אם יתקיים? EDC 90 : ד .נתונים 6 , A 40 :ס"מ = 9 ,ACס"מ = 8 , ABס"מ = .CE 121 .ABEC חשב את שטח המרובע :תשובות סופיות . 29.745 . ה 40.005 . דx 3.931cm . גx 8.114cm . בx 15.665cm .) א1 . BE 3.294cm , BAE 22.792 )3 AD 8.236cm , BAD 43.24 )2 . S 28.618cm )6 R 6.04cm )5 73.74, 73.74, 106.26, 106.26 )4 2 . AD b2 b2 4 tan 2 b 2 tan , BD )8 P a 1 tan 1 )7 cos tan 2 )9 cos 2 2 m sin m cos k2 . סמ"ר24 . בS .) א11 )11 2 cos 2 tan 2 . 81.86 , 51 , 47.14 . בDE t 10 , EF t 11.25 , DF t 18.25 .) א12 1 b sin 1 1 , S b2 sin 1 sin )14 R k cos tan )13 b sin 2 2 2 2 tan 2 . סמ"ר34.43 . ד. ריבוע.) ג16 . ס"מ4 . ג6R .) ב15 . AC k cos 2 ,S k 2 cos 2 :זהויות טריגונומטריות :זהויות של סכום והפרש זוויות :זהויות היסוד :זהויות של זווית כפולה :המעגל הטריגונומטרי המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה .)1 (מעגל קנוני שרדיוסו 122 :טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות לזוויות המיוחדות 0 sin cos 0 1 45 60 0 2 30 1 1 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 2 90 1 0 tan 0 3 3 1 3 cot 3 1 3 3 0 4 2 0 2 : 90 ערכים עבור זוויות בכפולות של sin 0o 0 cos 0o 1 tan 0o 0 sin 90o 1 cos 90o 0 tan 90o sin180o 0 cos180o 1 tan180o 0 sin 270o 1 cos 270o 0 tan 270o :הזהויות של המעגל הטריגונומטרי tan 180o tan cos 180o cos sin 180o sin tan 180o tan cos 180o cos sin 180o sin tan tan cos cos sin sin 123 :שאלות :) הוכח את הזהויות הבאות1 sin tan sin 90 cos3 3 o tan 2 sin 2 tan 2 sin 2 cos3 cos sin 2 cos .ב sin 2 sin 2 2 1 cos 1 cos .ד . tan tan sin cos cos .א .ג :) הוכח את הזהות הבאה2 :) הוכח את הזהויות הבאות3 4sin cos cos 2 sin 4 sin 3 cos3 sin cos .ב 2 1 sin 2 .א 1 sin 6 .ד cos4 sin 4 cos 2 .ג cos sin 2cot 2 sin cos .ו cos 2 2sin 2 cos 2 1 cot 2 sin 4 2 .ה 2 :) ענה בלי להשתמש במחשבון4 cos 45o tan 225o sin150o sin 510o cos930o sin 315o cos120o cos 210o tan120o tan 225o . tan 30o sin 180o sin 90o cos 2 sin 330o 1 :) הוכח את הזהות הבאה5 cos sin 124 משוואות טריגונומטריות: תזכורת – פתרון כללי של משוואה טריגונומטרית: פתרון כללי של המשוואה sin x sin :הוא מהצורה. x1 2 k , x2 2 k : פתרון כללי של המשוואה cos x cos :הוא מהצורה. x1,2 2 k : פתרון כללי של המשוואה tan x tan :הוא מהצורה. x k : שאלות: )1פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן: 1 א. 2 ג. 3 2 1 ה. 2 ז. 0 x 2 : sin x 0 x 2 : sin x 0 x 2 : cos x 1 3 0 x 2 : tan x 2 ב. 2 1 ד. 2 ו. 0 x 2 : sin x 0 x 2 : sin x 3 2 0 x 2 : cos x ח0 x 2 : tan x 1 . ט0 x 2 : sin x 0.7 . י0 x 2 : cosx 0.6 . יא0 x 2 : tan x 5 . יב0 x 2 : sin x 1.85 . )2פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן: א0 x : 2sin 3x 1 . ב0 x : 2cos 2 x 3 . ג0 x 0.25 : tan5x 1 . ד0 x : 3sin 2 x 2 . ה0 x : 3cos3x 1 . ו0 x 0.5 : 2 tan 4 x 1 . 125 :) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן3 0 x 2 : sin x 1 .ב 0 x 2 : sin x 0 .א 0 x 2 : cos x 0 .ד 0 x 2 : sin x 1 .ג 0 x 2 : cos x 1 .ו 0 x 2 : cos x 1 .ה 0 x 2 : tan x 1 .ח 0 x 2 : tan x 0 .ז :)) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן (זווית מורכבת4 2 5 0 x : cos 3x .ב 12 2 3 0 x 2 : sin 2 x .א 6 2 0 x : sin 2 x sin x .ד 6 5 0 x : tan x 1.3 .ג 18 0 x 2 0 x 2 : sin x sin x .ה 3 : tan2 x tan x .ו 2 3 : sin x sin 3x .ח 4 0 x 2 : cos x cos x .ז 18 0 x : tan x tan 3x .י 0 x 2 : cosx cos3x .ט 0 x 2 :)) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן (טכניקה אלגברית5 0 x : sin 2 x 1 .ב 4 0 x : cos 2 x 3 .א 4 0 x : sin x cos3x 0 .ד 0 x 0.5 : tan 2 2 x 3 .ג 0 x : 2cos2 x 3 cos x 0 .ו 0 x : sin 2 x 2sin 2 2 x 0 .ה 0 x 2 : 3sin 2 x sin x 2 .ח 0 x 2 : 2sin 2 x sin x 1 0 .ז 0 x 2 : cos2 x 2cos x 3 .י 0 x 2 : 6sin 2 x sin x 1 0 .ט 0 x : tan 2 x 4 tan x 1 .יב 0 x 2 : tan 2 x 3tan x 4 0 .יא 126 :)) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן (שימוש בזהויות יסוד6 0 x 2 : 2cos2 x 3sin x .ב 2 0 x 2 : cos x sin 2 x .א 3 0 x 2 : cos2 x sin 2 x sin x .ד 0 x 2 : sin 2 x cos x 1 4 .ג .ו 0 x : sin 2 x 2cos2 x 1.5 .ה 0 x 2 : sin x tan x 0 .ח 0 x 2 : tan x 2sin x .ז 0 x : 2sin 2 x 3cos 2 x 3 4 0 x : sin 2 x cos x 3 .י 0 x 2 : sin x cos x .ט 4 0 x : cos x sin 0.9 3x .יב 0 : 2 : cos x-0.3 sin 0.4 -x .יא : cos x -) פתור את המשוואות הבאות ע"י חלוקה ב7 0 x 2 : sin x cos x .ב 0 x 2 : sin x cos x .א 0 x 2 : 3sin x cos x .ד 0 x 2 : sin x 2cos x .ג .ו 0 x 2 : 4sin x 7cos x .ה 0 x : 3sin 2 x cos2 x .ח 0 x : sin 2 x 8cos2 x .ז 0 x 2 : 2sin x 5cos x :)) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן (שימוש בזהויות ממעגל היחידה8 0 x : cos 2x cos3x .ב 0 x : sin x sin 3x .א 0 x : sin x cos x 6 0 x : sin 2 x cos x .ד 4 0 x 2 : sin x cos 0.3 2 x .ו .ג 0 x : sin 3x cos x .ה :)) פתור את המשוואות הבאות בתחום המצוין לידן (שימוש בזהויות של זווית כפולה9 2 sin x sin 2 x 0 .ב 0 x 2 : sin x sin 2x 0 .א 0 x : 2cos 2x sin 4 x 0 .ד 0 x 2 : 4cos x sin 2 x .ג 0 x 2 : 0 x : cos 2 x 2sin x .ו 0 x 2 : 3cos x cos 2 x 0 .ה 0 x 2 : 2sin 2 x cos 2 x 2 .ח 0 x 2 : sin x cos 2x 1 .ז 0 x : 4cos 2 x 6sin x 5 .י x 2 : cos 2 x 4sin 2 x-sin x .ט 127 0 x 2 : cos 4 x 1 3sin 2 x .יא 0 x : cos 4 x sin 2 x 1 .יב :תשובות סופיות 11 5 4 3 5 . דx , . גx , . בx , .) א1 3 6 3 3 4 4 6 6 3 7 5 . x 0.7 . יx 0.753 ,0.246 . טx . חx , . זx .ו 4 6 6 6 . אין פתרון. יבx 1.437 ,0.437 .יא .x 7 6 . הx , 5 23 5 13 , . בx , , .) א2 12 36 18 18 18 . x 0.036 ,0.28 . וx 0.13 ,0.53 . הx 0.11 ,0.38 .ד . x 0.15 ,0.25 . גx x . וx 0, 2 . הx 5 .x , 6 18 , 3 3 , . דx . גx . בx 0, , 2 .) א3 2 2 2 2 5 . x , . חx 0, , 2 .ז 4 4 17 2 13 8 7 3 . דx 0.0135 . גx , , , . בx , .) א4 18 18 9 18 9 12 4 10 4 4 . x 0, . חx , . זx , . וx , .ה 4 9 9 9 9 3 3 . x 0,0.5 , . יx 0,0.5 , ,1.5 , 2 .ט 5 2 5 , , 0.05 . הx 0, , . דx , . גx . בx , .) א5 12 12 3 6 3 6 6 6 7 11 5 . x 0.5 ,1.23 ,1.76 . חx , , . זx , .ו 6 6 2 6 2 3 7 5 . x 0.08 ,0.416 . יבx , . יאx 2 ,0 . יx , ,1.1 ,1.89 .ט 4 4 6 6 .x x 3 5 3 5 5 5 , . הx , , . דx , . גx , . בx , .) א6 4 4 6 6 2 3 3 6 6 3 3 9 5 2 . x , . טx 0, , 2 . חx , , 0, , 2 . זx , .ו 8 8 3 3 3 3 5 5 17 . x 0.1 ,0.2 . יבx 1.1 ,0.1 . יאx , , .י 18 6 18 128 3 7 5 x 0.1 ,1.1 . דx 0.35 ,1.35 . גx , . בx , .) א7 4 4 4 4 x 5 , . חx 0.608 ,0.39 . זx 1.62 ,0.62 . וx 0.33 ,1.33 .ה 6 6 .x x 3 , 4 4 5 2 2 3 . דx . גx , , . בx 0,, , , , 2 .) א8 12 3 5 5 2 2 4 14 8 9 5 . x , , , . וx , , .ה 15 15 5 5 8 8 4 3 3 4 5 4 5 3 . דx , . גx , , 0, , 2 . בx , , 0, , 2 .) א9 2 2 3 5 x , , 0, , 2 . זx 0.12 ,0.88 . וx 0.59 ,1.41 .ה 6 6 5 2 4 5 x , , 0.08 , 0.91 . יx 1.89 ,1.1 . טx , , , .ח 6 6 3 3 3 3 5 13 17 . x 0,0.38 ,0.615 , . יבx , , , .יא 12 12 12 12 129 טריגונומטריה במישור: משפט הסינוסים: הגדרה: במשולש ,צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם. a b c בצורה מתמטית 2 R : sin sin sin . משפט הקוסינוסים: c2 a 2 b2 2ab cos או a 2 b2 c 2 2ab . cos מתי נשתמש בכל משפט: נשתמש במשפט הסינוסים כאשר: א .נתונות שתי זוויות וצלע. ב .נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן. ג .נתון רדיוס המעגל החוסם וצלע/זווית נוספת. נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר: א .נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן. ב .נתונות שלוש צלעות. כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני המשפטים .בבחירת המשפט שבו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים ייתכנושתי תשובות לזווית ,גם אם בפועל רק אחת נכונה ,ובמשפט הקוסינוסים תתקבל בוודאות הזווית הנכונה. שטחים של משולשים ומרובעים: a h ab sin a sin sin שטח משולש ניתן לחישוב ע"י: 2 2 2sin k k sin .S 1 2 שטח מרובע ניתן לחישוב ע"י אלכסוניו: 2 2 130 . S 131 שאלות: )1מצא את ערכו של / x / yבמשולשים הבאים ( Rהוא רדיוס המעגל החוסם ,נתוני הצלעות בס"מ): ב. א. 1150 420 560 ד. ג. 220 ה. 600 )2מצא את ערכו של / xבמשולשים הבאים: א. ד. ג. ב. 530 )3נתון משולש שווה שוקיים ) AB AC ( ABCשאורך השוק שלו הוא ס"מ וגודלה של זווית הבסיס בו הוא CD . 70oהוא חוצה זווית הבסיס . C מצא את אורכו של הקטע . AD 132 133 )4אלכסוני המלבן ABCDנפגשים בנקודה . M הנקודה Gנמצאת על המשך הצלע . AD נתון. DG 1.2cm , AB 4cm , AD 3cm : מצא את גודלו של הקטע . GM )5מרובע שאורכי אלכסוניו 8ס"מ ו 11-ס"מ חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא 6ס"מ. חשב את זוויות המרובע. A )6הצלע ABבמשולש ABCהיא מיתר במעגל שמרכזו . O הצלע ACעוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט. נתון. BAC 38o , OC 3cm , BC 9cm : מצא את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע . AB O B C )7אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של 30oעם צלע אחת של המקבילית וזווית של 61.05עם הצלע הסמוכה לה .אחת מצלעות המקבילית גדולה ב3- ס"מ מהצלע הסמוכה לה .חשב את היקף המקבילית. )8המשולש ABDחסום במעגל שרדיוסו . Rהמשך הצלע ADוהמשיק למעגל בנקודה Bנפגשים בנקודה .C נתון. ADB , C : הבע באמצעות , Rו -את אורך הקטע . BC D C B BE )9ו CF-הם תיכונים במשולש ABCהנפגשים בנקודה .M מהנקודה Fמעבירים קטע GDכך שמתקיים AC DC :ו. GD BE - א. AG 3 הוכח : BD 4 . ב .נתון כי 4 :ס"מ . ME חשב את אורך הקטע .DG ג .נתון כי. ACD 48.189 : הוכח כי המשולש DGCהוא שווה שוקיים. )11נתון משולש .ABCהקודקודים Bו C-של המשולש ABCנמצאים על מעגל שמרכזו .Oמרכז המעגל Oמונח על הצלע .AC אורך הצלע ABהוא 12ס"מ ואורך הקטע AOהוא 4.5ס"מ. זווית BACהיא . 60 א .חשב את רדיוס המעגל. ב .מעבירים את הקוטר BDואת הקטע ADכך שנוצר המשולש .ADBחשב את זווית .ADB 134 A )11המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC החסום במעגל שרדיוסו . Rהנקודה Eהיא אמצע הבסיס BCוהנקודה D היא אמצע הקשת . AB ידוע כי זווית הבסיס של המשולש היא . 80 א .הבע באמצעות Rאת הקטעים CDו.DE- ב r .הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש .CED הבע באמצעות Rאת . r AC ,AB )12ו AD-הם מיתרים במעגל המקיימים. BC BD : מהנקודה Eשעל המעגל מעבירים את המיתרים AEו .BE- המיתרים BEו AD-נחתכים בנקודה .F נתון כי. AC AF EF : א .הוכח. ABF ABC : ב .נתון גם. 3 CAB DAE : הוכח כי המשולש AFEהוא שווה צלעות. )13המרובע ABCDהוא טרפז שווה שוקיים . AB CD , AD BC מידות הטרפז הן 12 :ס"מ 8 , CD ס"מ 6 , BC ס"מ . AB א .מצא את זווית ( Cעגל למספר שלם). ב .מצא את אורך אלכסון הטרפז. ג .חשב את רדיוס המעגל החוסם את הטרפז. )14המרובע ABCDהוא טרפז ישר זווית . AB CD , B 90 מסמנים את הבסיס AB t :וידוע כי. AD 3t , DC 1.6t : היקף הטרפז הוא 40 :ס"מ. א .הבע באמצעות tאת אורך האלכסון .AC ב .ידוע גם כי. D 60 : .1חשב את אורך הקטע .AC .2חשב את שטח הטרפז. 135 )15המשולש ABCהוא שווה שוקיים AB AC בעל זווית ראש 36החסום במעגל שקוטרו 16ס"מ .מעבירים תיכון לשוק .BD א .מצא את אורך הבסיס BCבמשולש. ב .חשב את אורך התיכון .BD ג .מסמנים: - r1רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ABD - r2רדיוס המעגל החוסם את המשולש .BCD r1 הוכח את היחס הבא 2cos 36 : r2 . )16המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD מעבירים את האלכסון BDהמקיים. BCD ADB : נתון כי 20 :ס"מ 10 , CD ס"מ 5 , AD ס"מ . AB כמו כן ידוע כי השוק BCגדולה פי 2מהאלכסון .BD א .הראה כי השוק BCשווה לבסיס .CD ב .חשב את זווית .C ג .ממשיכים את שוקי הטרפז ADו BC-עד לנקודה Eשמחוץ לטרפז. חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש .CDE )17באיור שלפניך נתון המרובע .ABCDידוע כי . D 90 :נסמן את הצלעות באופן הבא. AB 6 x , BC 5x , CD 8x , AD 3x : א .חשב את זווית .BDC ב E .היא נקודה הנמצאת על אמצע הצלע .BC מעבירים את הקטעים AEו DE-כך שDE- S ABE מקביל ל .AB-חשב את היחס הבא: S ECD 136 . )18מהנקודה Oמעבירים את הקטעים OC , OB , OAו.OD- ידוע כי זווית AOBשווה לזווית CODוהיא מסומנת ב. - המשולש CODהוא ישר זווית . CDO 90 נתונים האורכים. AO 8 , BO 9 , DO 10 : מסמנים. BC 1.4m , CD 1.5m : א .הבע באמצעות mאת . sin (העזר במשולש CODובטא תחילה את .)CO ב .נתון גם כי . AB m :מצא את mאם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את 2 המשולש AOBהוא 3 ג. .8 חשב את זווית .BOC )19במשולש ABCהזווית Aהיא בת . 60 מעבירים את הקטע ADכך שנוצרת זווית. ADB 60 : ידוע כי AB 28וכי הצלע ADבמשולש ABDגדולה פי 1.5מהצלע .BD א .מצא את אורך הצלע .BD ב .היקף המשולש ABCהוא. P 5 7 7 : .1סמן DC t :והבע באמצעות tאת אורך הצלע .AC .2מצא את . t ג .חשב את שטח המשולש .ABC )21מהנקודה Aמעבירים את הקטעים ABו .AC-הנקודה D היא אמצע ACוממנה מעבירים את DEהמקביל ל.AB- הנקודות E , Cו F-נמצאות על אותו הישר. ידוע כי המשולשים DEF , ABDו DCE-הם שווי שוקיים. AB BD , DC CE , EF DE : נתון כי. AD 8 : א .חשב את אורך הקטע .BF ב .מחברים את הנקודות Bו.C - חשב את אורך הצלע .BC A )21בשרטוט נתון. AD 5cm , AC 8cm , AB 6cm : הנקודה Dהיא אמצע הצלע . BC חשב את אורך הקטע . BC 137 C D B 138 )22הצלע ACבמשולש ABCגדולה פי 4מהצלע . AB הנקודה Eהיא אמצע הצלע ACוהנקודה Dנמצאת על הצלע BC כך שמתקיים . DC 2BDנתון. BC b , AB a : הבע באמצעות aו b -את אורך הקטע . DE A E C B D )23המשולש ABDחסום במעגל שרדיוסו . R המשך הצלע ADוהמשיק למעגל בנקודה Bנפגשים בנקודה .C נתון. ADB , C : הבע באמצעות , Rו -את אורך הקטע . BC A D C B AC )24ו BD -הם מיתרים במעגל שרדיוסו , Rשנפגשים בנקודה . M זווית Bהיא זווית ישרה. נתון. DC q , DM p , AB k : הבע באמצעות p , k , Rו q -את אורך הקטע . MC A D M C )25חשב את שטחי המשולשים הבאים: 240 320 480 )26חשב את שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו 8ס"מ והוא יוצר זווית של 15עם הבסיסים. )27אורכו של מלבן הוא mורוחבו . nהזווית שבין אלכסוני המלבן היא . 2mn הוכח כי מתקיים: m2 n 2 . sin )28במשולש ישר זווית ) B 90o ( ABC נתון. A , AB m : הבע באמצעות ו m -את שטח המשולש . BCD BD חוצה את הזווית B )29באיור שלפניך נתון משושה משוכלל ששטחו הכולל הוא. S : א .הבע באמצעות Sאת אורך צלע המשושה. ב .מעבירים אלכסונים במשושה כך שנוצר המלבן .BFEC ג .הבע באמצעות Sאת שטח המלבן. 139 . B )31המשולש ABCהוא שווה שוקיים בעל זווית ראש . AB AC , אורך הבסיס BCהוא . kעל השוק ABבונים משולש ישר זווית ABD ובו . D 90 א .הבע באמצעות kו -את אורך שוק המשולש .ABC ב .הניצב ADבמשולש ABDשווה ל 0.85k -וכי. ABD 40 : מצא את זוויות המשולש .ABC ג .חשב את שטח המרובע ABCDאם ידוע כי . k 6 )31במשולש ABCאורך הצלע ACהוא 8ס"מ ואורך הצלע ABהוא 10ס"מ. הנקודה Eהיא אמצע הצלע ACוהנקודה Dמקיימת :ס"מ . AD 3 DE 2 ידוע כי : BC 5 . א .מצא את אורך הקטע .DE ב .חשב את רדיוס המעגל החוסם את המשולש .ADE ג .חשב את שטח המרובע .BCED )32המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD הקטע ACהוא אלכסון בטרפז. מסמנים. AC m , ACD , ADC : א .הבע באמצעות , ו m -את אורך הבסיס הגדול .DC ב. SADC נתון כי האלכסון ACמקיים 3 : SABC ג. חשב את שטח הטרפז אם ידוע כי 40 , 60 :ו. m 8 - .הבע באמצעות , ו m -את הבסיס .AB )33המרובע ABCDהוא מלבן .מעבירים את האלכסון BD וממשיכים אותו עד לנקודה Eשמחוץ למלבן. מחברים את הנקודה Eעם הקודקוד .C ידוע כי אורך הצלע ADשל המלבן הוא 6ס"מ וכי אורך הקטע BEהוא 9ס"מ .הזווית CBEהיא .115 א .מצא את אורך הקטע .CE ב .מצא את אורך האלכסון .BD ג .חשב את שטח המשולש .DCE 140 )34המרובע ABCDהוא טרפז . AB CD ממשיכים את השוקיים ADו BC-עד לפגישתם בנקודה .E ידוע כי. DE CE : מעבירים את האלכסון ACאשר חוצה את זווית .C מסמנים את הבסיס הגדול DCב k -ואת. ACD : א .הבע באמצעות kו -את הבסיס הקטן של הטרפז .AB ב .הבע באמצעות kו -את שטח המשולש .ABC ג .חשב את שטח המשולש ABCכאשר 12 , 15 :ס"מ . k )35נתונה מקבילית ABCDובה מעבירים את האלכסונים ACו BD-אשר נחתכים בנקודה Mכמתואר באיור. מסמנים. AB k , BDC , ACD : א. AC sin הוכח כי אלכסוני המקבילית מקיימים: BD sin . ב .1 .הבע באמצעות , ו k -את שטח המשולש .DMC .2הבע באמצעות , ו k -את שטח המקבילית .ABCD ג. AC 4k 2 sin 2 נתון כי 2 : .הראה כי שטח המקבילית הוא: BD sin )36המרובע ABCDהוא מעוין ובו . D 60מעבירים את האלכסון ACואת הקטע CEכך שהנקודה Eנמצאת על BE הצלע ABומחלקת אותה ביחס 4 : AE . א .חשב את זווית .AEC ב .נתון כי שטח המשולש AECהוא 8.66סמ"ר. חשב את שטח המעוין. )37הקטע DEמקביל לצלע BCבמשולש ABCכמתואר באיור. נתון כי. BD 129 , BC 15 , CE 13 : ידוע כי זווית AEDהיא . 60 א .חשב את אורך הקטע DEאם ידוע כי הוא קטן מ 10-ס"מ. ב .חשב את שטח המשולש .ADE 141 . )38המשולש ABCחסום במעגל כך ש AB-הוא קוטר. הנקודה Dהיא אמצע הקשת BCוממנה מעבירים את המיתרים ADו BD-ומעלים גובה DEלצלע . BC מסמנים DE k :ונתון כי. ABC 10 : א .הבע באמצעות kאת רדיוס המעגל. ב .הבע באמצעות kאת שטח המשולש .ABF ג .מצא את kאם ידוע כי שטח המשולש ABFהוא 15.363סמ"ר. )39במשולש ABCהקטע BEחוצה את זווית .B הנקודה Dהיא אמצע הצלע ABומקיימת. DE CE : ידוע כי. BC 6 , BE 8 , BD 9 : א .מצא את זווית .B ב .חשב את שטח המשולש .ADE )41נתון המעוין .ABCDאורך האלכסון הגדול במעוין ACגדול פי 1.8מצלע המעוין. א .חשב את זוויות המעוין. מהקודקוד Dמעבירים את הקטע DEשאורכו הוא . m הקטע DEחותך את האלכסון ACבנקודה .G הזווית EDCתסומן ב . - ב .הבע באמצעות mו -את אורך הקטע .CE ג .הבע באמצעות mו -את שטח המשולש .EGC )41המשולש ABCחסום במעגל כמתואר באיור. מעבירים את המיתר ADהחוצה את זווית .BAC ידוע כי . BAC 40 , ACB 60 :מסמנים. AD k : א .הבע באמצעות kאת אורך המיתר .BD ב .ידוע כי שטח המשולש ABDהוא 7.368סמ"ר. מצא את ( kעגל למספר שלם). )42המשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB AC ממשיכים את הצלע ACעד לנקודה Dכך שאורך שוק המשולש גדולה פי 3.8 מהקטע .ADידוע כי . D 60 :אורך הקטע BDהוא 21ס"מ. א .מצא את אורך הקטע .AD ב .חשב את שטח המשולש .ABC 142 )43במקבילית ABCDאורך האלכסון ACהוא 79ס"מ. היקף המקבילית הוא 20ס"מ וידוע כי. B 120 : א .מצא את אורכי צלעות המקבילית. ב .חשב את שטח המקבילית. ג .מסמנים נקודה Eעל האלכסון ACכך שהמרובע CBEDהוא בר חסימה. חשב את רדיוס המעגל החוסם את המרובע .CBED )44המרובע ABCDהוא מלבן החסום במעגל .מהקדקוד Dמעבירים את המיתר DFהחותך את הצלע ABבנקודה .E ידוע כי . AF CF :הצלע ADשל המלבן תסומן ב. a - א .הוכח כי המשולש DAEהוא שווה שוקיים. ב .נתון גם כי. BC BF : .1הבע באמצעות aאת רדיוס המעגל. .2חשב את הזוויות המרכזיות של הקשתותAB ; BC : (אין צורך לסרטט אותן). )45המרובע ABCDחסום במעגל כמתואר באיור. ידוע כי. AB b , BC a , CD a , AD 3b : א .הבע באמצעות aו b -את . cos BCD ב .הוכח כי אם BDקוטר אז מתקיים. a b 5 : ג .נתון כי רדיוס המעגל הוא 3ס"מ. הסתמך על סעיף ב' וחשב את שטח המרובע .ABCD )46המשולש ABCהוא ישר זווית C 90ובו. B 2 : מעבירים מעגל שרדיוסו Rדרך הקדקודים Bו C-אשר חותך את צלעות המשולש בנקודות Dו.E- המיתר BEחוצה את זווית .B א .הבע באמצעות Rו -את שטח המשולש .ABE ב .ידוע כי המשולש ABEהוא שווה שוקיים וכי אורך המיתר CEהוא 6ס"מ .חשב את שטח המשולש .ABE 143 )47במשולש שווה שוקיים ) AB AC ( ABCשאורך השוק בו הוא kוזווית הבסיס שלו היא BE , חוצה את זווית Bו CD -הוא הגובה לשוק . AB הוכח כי שטח המשולש ADEהוא: sin 4 2 k 2 sin 3 4sin 2 . SADE )48נתון משולש שווה שוקיים AB AC ABCהחסום במעגל. מהקדקוד Cמעבירים את המיתר CEהחותך את השוק AB בנקודה .Dידוע כי Eהיא אמצע הקשת ABוהיחס בין הקטעים BDו CD-הוא .4:7מסמנים. ACD : א .מצא את זוויות המשולש ( ABCעגל למספרים שלמים). ב .חשב את אורך המיתר BEאם ידוע כי רדיוס המעגל החוסם שווה ל 8-ס"מ. AC )49ו BD-הם מיתרים במעגל שרדיוסו , Rשנפגשים בנקודה . M זווית Bהיא זווית ישרה. נתון. MCB , MBC : א .הבע באמצעות , Rו -את שטח המשולש . BDC 1 2 ב .נתון . SBDC R 2 , 2 :חשב את . A D M C )51בטרפז שווה שוקיים ,שאורך השוק שבו הוא bוהזווית שליד הבסיס הגדול היא נתון שהאלכסונים מאונכים זה לזה. א .הבע באמצעות ו b -את אורכי בסיסי הטרפז. ב .חשב את אם ידוע שהבסיס הגדול ארוך פי 3מהבסיס הקטן. )51המיתר ABהוא קוטר במעגל שרדיוסו Rו AD-הוא מיתר. ממשיכים את המיתר BDומעבירים משיק מהנקודה .A המשיק והמשך המיתר נפגשים בנקודה .C מסמנים. BAD : א .הבע באמצעות ו R-את שטח המשולש .ABD ב .הבע באמצעות ו R-את שטח המשולש .ACD ג .מצא את אם ידוע כי שטח המשולש ABDקטן פי 4משטח המשולש .ACD 144 B )52המרובע ABCDהוא מקבילית .הקטע AEמקצה על הצלע DCקטעים המקיימים. 3CE DE : מעבירים תיכון DFלצלע AEבמשולש .ADE ידוע כי . ADF CDF :מסמנים. CE k : א .הבע באמצעות kו -את אורך הקטע .AE ב .מעבירים את האלכסון .AC הבע באמצעות kו -את היקף המשולש .ACE ג .היקף המשולש ACEהוא . 4.5kמצא את . *הערה :השאלות הבאות משלבות ידע בגיאומטריה ובטריגונומטריה יחד: )53המרובע ABCDהוא מלבן .מעבירים את האלכסונים ACו .BD- הנקודה Eנמצאת על הצלע ABשל המלבן ומחלקת אותה כך ש . 2BE AE -ידוע כי הקטע OEמאונך לאלכסון AC ושווה ל .BE-הקטע CEחותך את האלכסון BDבנקודה .G א .הוכח כי הקטע CEמאונך לאלכסון .BD ב .הוכח כי מתקיים. 4GE AE : ג .נתון כי שטח המשולש BEGהוא 5סמ"ר. חשב את שטח המלבן .ABCD )54באיור שלפניך נתון מחומש משוכלל ACBDE (כל זוויותיו הן )108בעל אורך צלע . a א .הבע באמצעות aאת אלכסון המחומש .AD ב .הבע באמצעות aאת רדיוס המעגל החוסם את המחומש. ג .הבע באמצעות aאת שטח המחומש. ד .אורך רדיוס המעגל החוסם את המחומש הוא 6ס"מ. חשב את שטח המחומש. )55במשולש ABCהזווית Cהיא. 60 :מעבירים את הקטע ADכך שנוצרים המשולשים ACDו.ABD- ידוע כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ACDהוא 3 :ס"מ . R1 כמו כן רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABDהוא 3 :ס"מ . R2 א .הוכח כי המשולש ABCהוא ישר זווית. ב .היקף המשולש ABCהוא12 4 3 :ס"מ . P חשב את שטח המשולש. 145 )56המשולש ABCהוא שווה צלעות .הקטע DEעובר דרך הקדקוד Aכך שנוצרים שני משולשים ABDו .ACE-ידוע כי ACחוצה את זווית DCEבמשולש .DCE א .הוכח. AB CE : ב .הוכח. BC DE DC AE : ג .נתון 8 :ס"מ DC וכי. AC DE : .1חשב את שטח המשולש .DCE .2חשב את שטח המשולש .ABD )57מהנקודה Aמעבירים את הקטעים AD , AC , ABו AE-כך שמתקיים BAC CAD :ו . AB AE - מעבירים את האלכסון BEבמחומש .ABCDE מתקיים . BE CD :ידוע כי המרובע BCDEהוא בר חסימה. א .הוכח כי המרובע BCDEהוא טרפז שווה שוקיים. ב .נתון כי המשולש ACDהוא ש"ש ( .) AC AD הוכח כי. ABD ACE : ג .ידוע כי ADC 3 2.5 :ו. ADE 3 10 - הוכח כי משולש ADEהוא ישר זווית. ד .נסמן. AB m : .1הבע באמצעות mאת צלעות הטרפז .BCDE .2הבע באמצעות mאת שטח המחומש .ABCDE .3מצא את mאם ידוע כי שטח המחומש ABCDEהוא 46.284סמ"ר. (עגל למספר שלם). )58הטרפז ABCDהוא שווה שוקיים .חוסמים מעגל בתוך הטרפז אשר משיק לו בנקודות F ,Eו G-כמתוארבאיור. הקטעים DFו CE-חוצים את זוויות הטרפז ונחתכים בנקודה .M א .הוכח כי הנקודה Mהיא מרכז המעגל החסום. ב .חשב את זוויות הטרפז. ג .ממשיכים את GFואת ADכך שהם EM נפגשים בנקודה .Hחשב את היחס FH . )59המרובע BDECהוא טרפז . BC DE המשכי השוקיים BDו CE-נפגשים בנקודה Aכך 146 C H B G A E F M D שהמשולש ABCהוא שווה שוקיים . AB BC נתון 18 :ס"מ . ADE 30 , AB א .סמן את אורך הבסיס DEב x -ואת שטח הטרפז BDECב . S -הבע את Sבאמצעות . x ב .על הקטע ADבונים ריבוע .ידוע כי שטחו קטן ב 1-סמ"ר משטח הטרפז .BDEC S ADE חשב את היחס: S ABC . )61במעגל שמרכזו Oמעבירים את הקטרים ABו CD-המאונכים זה לזה. Eהיא נקודה על היקף המעגל המקיימת 15 :ס"מ . BE DE מעבירים את המיתר .AEהקטע OMמאונך למיתר AE ושווה למיתר .DE א .הוכח כי המרובע OMEBהוא טרפז ישר זווית. ב .מצא את אורך המיתר .BE נתון כי שטח הטרפז הוא 90סמ"ר. ג .מצא את רדיוס המעגל. ד .חשב את זווית .B )61דרך הנקודה Aמעבירים שני משיקים למעגל ABו.AC- הנקודות Dו E-נמצאות על היקף המעגל ומהן מעבירים את המיתרים DE , DCו .BD- ממשיכים את המיתר BEעד לנקודה Fשמחוץ למעגל כך ש DF-מאונך למיתר BD ושווה באורכו לרדיוס המעגל .נתון כי. BFD BDC : א .הוכח כי. BFD ABC : ב .הוכח כי המרובע ADFBהוא טרפז. אורך המשיק ACהוא 8ס"מ ואורך המיתר CDהוא 6ס"מ. ג .חשב את שטח הטרפז. ד .חשב את זוויות הטרפז. BD )62הוא אלכסון במרובע הבר-חסימה .ABCDהנקודות Eו F-הן בהתאמה אמצעי הצלעות ADו AB-במרובע .מעבירים את הקטעים BEוCF- כך ש . BE CD :נתון כי הזוויות Aו BFE -משלימות ל .180 - א .הוכח. BCD BFE : 147 . GE HD 17 1 : וכיBE 7.5 :נתון כי 15 .FE חשב את אורך הקטע.ב BED נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש.ג . EBD מצא את זווית.R = ס"מ4.001 :הוא :תשובות סופיות 138.618 או 41.382 . ג 34.231 . בx 18.585cm , y 22.199cm .) א1 . 73.898, x 3.606cm . ה 24.474 או 155.526 .ד . AD 13.064cm )3 90 . ד 105.962 . ג 20.742 . בx 5.646cm .) א2 . 66.444, 113.556, 41.810, 138.190 )5 GM 3.360cm )4 . R 5.395cm , AC 10.790cm )8 P 22cm )7 R 9.242cm , AB 14.56cm )6 . r 1.15R . בDE 1.48R CD R 3 .) א11 24.32 . ב.R = ס"מ10.5 .) א11 DG 18 .) ב9 . R ס"מ6.29 . ס"מ ג11.66 . ב68 .) א13 . סמ"ר78 .2 . ס"מ13 .1 . בAC 32.36t 2 448t 1600 .) א14 . SABE 0.934 . ב37.72 .) א17 R 13.77 .ג SECD C 28.9 .) ב16 ס"מ10.1 . ס"מ ב9.4 .) א15 . 56.89 . גm 16 . בsin 1.5m 100 2.25m2 .) א18 . ס"מ17.19 . ס"מ ב4.94 .) א21 S 18.18 . ג3 .2 1.5 28 3 t .1 . ב4 .) א19 . BC . S 16cm )26 2 2 R sin sin sin )23 DE 1 2 b a 2 )22 BC 10cm )21 9 S 8.641cm2 . בS 75.801cm2 .) א25 2 . S .ב 3 2S 0.62S .) א29 27 SBCD MC p2 q2 pqk )24 R m2 tan 2 sin 45 cos 2sin 45 . S 37.18 . ג44.4 , 67.78 , 67.78 .ב )28 k .) א31 2sin 2 . S 21.48 . גR 2 . בDE 1.6 1.26 .) א31 . SABCD 31.2 . גAB m sin m sin . בDC .) א32 3sin sin . ס"מ63.05 . ס"מ ג14.19 . ס"מ ב12.75 .) א33 148 . k 2 tan 2 sin 2 k tan 2k 2 sin sin k 2 sin sin .2 .1 .) ב35 S סמ"ר7.754 .ג .ב .) א34 2 2 tan 2 tan 2 sin 2sin . סמ"ר34.48 . ס"מ ב7 .) א37 S 86.6 . ב109.1 .) א36 . k 6 . גS . k 2 sin10 k 0.426k 2 . בR 1.21k .) א38 3 2sin 50sin 40 2sin 2 40 . S 12.52 . ב40.72 .) א39 0.35m2 sin 2 sin 128.32 . ג1.27m sin . ב128.32 ; 51.68 .) א41 sin 25.84 . S 172.77 . ס"מ ב5 .) א42 k 7 . בBD .R k sin 20 .) א41 sin100 37 . גS סמ"ר18.18 . בAB= ס"מ7 - וBC = ס"מ3 .) א43 3 . 45 , 135 .2 R a 1 . S 36 . בS R tan 2 .) א46 2 2 1.3a .1 .) ב44 2 a 2 5b2 סמ"רS 14.4 . גcos BCD 2 .) א45 a 3b2 . BE 7.75 . ב58 , 58 , 64 .) א48 . 22.5 . בS 2R2 sin cos sin 90 .) א49 . 75 .ב b sin 135 . 26.56 . גS sin 45 , b sin 45 sin 45 .) א51 2R 2 cos3 . בS R 2 sin 2 .) א51 sin . סמ"ר120 .) ג53 14.47 . גPACE k 6k sin k 25 24cos 2 . בAE 6k sin .) א52 S 8 3 .) ב55 . S 85.57 . ד1.72a 2 . ג0.85a . ב1.618a .) א54 . SABD 4 3 .2 SCDE =16 3 .1 .) ג56 . BC 0.4663m , DE 0.4663m , CD 0.4776m , BE 1.2175m .1 .) ד57 . 2 .ג 3 60 ,120 .) ב58 m ס"מ8 .3 0.7232m2 .2 . B=67.38 . דR 13 . גBE 10 .) ב61 .16.73 .ג FE 4 S ADE 16 . בS 81 0.25x2 .) א59 S ABC 81 .) ב62 26.56,116.56,59.19,120.8 .) ד61 149
© Copyright 2025