‫פיזיקה תרמית‪:‬‬ ‫פתרון מבחן מועד א' תש"ע‬ ‫גרסה ‪ ,1.0‬יולי ‪2011‬‬ ‫ברק שושני‬ ‫‪baraksh@gmail.com | http://baraksh.co.il/‬‬ ‫חלק א'‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫לאטום פחמן נייטרלי יש מצב יסוד עם ניוון ‪ .9‬למצב המעורר הראשון ניוון ‪ 5‬ואנרגיה של ‪ 0.82 eV‬מעל‬ ‫מצב היסוד‪ .‬במדידות ספקטרוסקופיות של כוכב מרוחק נמצא כי ‪ 10%‬מאטומי הפחמן הנייטרלי נמצאים‬ ‫במצב המעורר‪ .‬מספר האטומים ברמות גבוהות יותר ניתן להזנחה‪ .‬מהי בערך טמפרטורת הכוכב‪ ,‬בהנחה‬ ‫שהוא בשיווי משקל תרמי?‬ ‫פתרון‬ ‫תהי ‪ ε0‬האנרגיה במצב היסוד ו־‪ ε0 + ∆ε‬האנרגיה במצב המעורר הראשון )כאשר ‪ .(∆ε = 0.82 eV‬פונקציית החלוקה‬ ‫היא‪:‬‬ ‫‪Z (τ ) = 9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬ ‫לכן ההסתברות שאטום יהיה במצב המעורר היא‪:‬‬ ‫‪5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬ ‫‪= 10% = 0.1‬‬ ‫‪9 e−ε0 /τ +5 e−(ε0 +∆ε)/τ‬‬ ‫= )‪P (ε0 + ∆ε‬‬ ‫נצמצם את אנרגיית היסוד‪:‬‬ ‫‪5 e−∆ε/τ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪= 0.1‬‬ ‫=‬ ‫‪9 + 5 e−∆ε/τ‬‬ ‫‪9 e∆ε/τ +5‬‬ ‫מכאן ‪ ,e∆ε/τ = 5‬ולכן‪:‬‬ ‫‪∆ε‬‬ ‫‪≈ 0.5 eV‬‬ ‫‪log 5‬‬ ‫=‪τ‬‬ ‫נחלק בקבוע בולצמן כדי לקבל את הטמפרטורה במעלות קלווין‪:‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪≈ 5800 K‬‬ ‫‪kB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪T‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫צפיפות אלקטרוני ההולכה בנחושת היא ‪ ,8.5 × 1028 m−3‬ומסת האלקטרון היא ‪.9.1 × 10−31 kg‬‬ ‫א‪ .‬מהי הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר ב־‪?τ = 0‬‬ ‫ב‪ .‬הנחושת מחוממת לטמפרטורה של ‪ .1160 K‬כמה אלקטרונים בממוצע נמצאים ברמה שהיא ‪ 0.1 eV‬מעל האנרגיה‬ ‫שמצאתם בסעיף א'?‬ ‫פתרון‬ ‫הרמה המאוכלסת הגבוהה ביותר כאשר ‪ τ = 0‬נקבעת לפי אנרגיית פרמי‪:‬‬ ‫‪2/3‬‬ ‫‪~2‬‬ ‫‪3π 2 n‬‬ ‫‪≈ 7.05 eV‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫= ‪εF‬‬ ‫כאשר ‪ n‬היא הצפיפות ו־‪ m‬היא המסה‪ .‬מספר החלקיקים הממוצע בטמפרטורה ‪ (τ = 0.1 eV) T = 1160 K‬במצב בעל‬ ‫אנרגיה ‪ ε − µ = 0.1 eV‬נקבע לפי התפלגות פרמי־דיראק‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≈ 0.27‬‬ ‫‪e +1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪ε−µ‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪exp‬‬ ‫= )‪f (ε‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נתונים שני לוחות אינסופיים המוחזקים בטמפרטורות שונות‪ .Tcold < Thot :‬בין שני הלוחות יש ריק‪.‬‬ ‫מכניסים לוח שלישי דק מאוד המבודד מהסביבה‪ .‬פי כמה ירד או יעלה קצב פליטת החום נטו מהלוח החם‬ ‫ללוח הקר כתוצאה מהכנסת הלוח הדק ביניהם?‬ ‫פתרון‬ ‫האנרגיה ליחידת שטח הנפלטת ע"י כל לוח היא ‪ ,J = σB T 4‬כאשר ‪ σB‬הוא קבוע סטפן־בולצמן‪ .‬לפני הכנסת הלוח‬ ‫האמצעי‪ ,‬קצב פליטת החום נטו מהלוח החם ללוח הקר הוא‪:‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪J1 = σB Thot‬‬ ‫‪− Tcold‬‬ ‫תהי ‪ T‬טמפרטורת הלוח האמצעי‪ .‬הוא קולט ופולט קרינה בשני הכיוונים‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Thot‬‬ ‫‪+ Tcold‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪T4‬‬ ‫⇒=‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2σB T 4 = σB Thot‬‬ ‫‪+ Tcold‬‬ ‫לפיכך אחרי הכנסת הלוח האמצעי‪ ,‬קצב פליטת החום מהלוח החם ללוח הקר יהיה‪:‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪Thot − Tcold‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪J2 = σB Thot‬‬ ‫‪− T 4 = σB‬‬ ‫‪= J1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫כלומר‪ ,‬קצב פליטת החום מהלוח החם יקטן פי ‪.2‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫אילו מהמשפטים הבאים לא נכונים‪:‬‬ ‫א‪ .‬מים ואדים נמצאים במיכל בטמפרטורה של ‪ 100 ◦ C‬בלחץ של ‪ .1 atm‬אם הטמפרטורה נשמרת קבועה ונפח המיכל‬ ‫מוקטן מעט‪ ,‬הלחץ יגדל מעט‪.‬‬ ‫ב‪ .‬אם שתי מערכות מבודדות נמצאות במגע תרמי ודיפוזיוני במהלך הגעה לשיווי משקל‪ ,‬החלקיקים ינועו מהפוטנציאל‬ ‫הכימי הגבוה לנמוך‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬אם מקררים גז אידאלי )חסר אינטראקציה( לטמפרטורה אפס אזי האנרגיה יורדת לאפס‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נתונה מערכת מבודדת הנשמרת בטמפרטורה ולחץ קבועים‪ .‬המערכת תגיע לשיווי משקל כאשר אנרגיית גיבס‬ ‫מינימלית‪.‬‬ ‫ה‪ .‬גז אידאלי קלאסי מפר את החוק השלישי של התרמודינמיקה‪.‬‬ ‫◦‬ ‫ו‪ .‬נגד מחובר לסוללה חשמלית ומחמם מים מטמפרטורה התחלתית של ‪ .100 C‬האדים מפעילים מטען הטוען חזרה‬ ‫את הסוללה וכך מתעבים חזרה למים החוזרים למיכל‪ .‬התהליך יכול להתבצע לאט כרצוננו וברכיבים אידאליים‬ ‫)אין בזבוזי אנרגיה במערכת והיא כולה מבודדת לחלוטין מהסביבה(‪ .‬אין תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך‬ ‫ולפעול עד אין קץ‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪ .‬לא נכון‪ :‬הטמפרטורה הקריטית של מים היא ‪ ,647.1 K‬לפיכך אנו נמצאים מתחת לטמפרטורה הקריטית‪ ,‬באזור‬ ‫הדו־פאזתי בו הלחץ קבוע‪ ,‬אך הנפח עשוי להשתנות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נכון‪ :‬זוהי הגדרת הפוטנציאל הכימי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬לא נכון‪ :‬לא כתוב שהגז הוא גז אידאלי קלאסי‪ .‬אם הוא גז פרמיונים‪ ,‬למשל‪ ,‬אז בטמפרטורה אפס האנרגיה תהיה‬ ‫אנרגיית פרמי‪.‬‬ ‫ד‪ .‬נכון‪ :‬זה נובע ישירות מהגדרת אנרגיית גיבס‪.‬‬ ‫ה‪ .‬נכון‪ :‬החוק השלישי של התרמודינמיקה קובע כי האנטרופיה של המערכת מתקרבת לערך קבוע כאשר הטמפרטורה‬ ‫מתקרבת לאפס‪ .‬גז אידאלי מקיים את משוואת ‪:Sackur-Tetrode‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪nQ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪σ = N log‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= N C + log τ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ C‬הוא קבוע‪ .‬מתקיים ∞‪ ,σ (0) → −‬לפיכך החוק השלישי מופר‪) .‬אף גז הוא לא באמת גז אידאלי‪ ,‬לכן‬ ‫אין כאן בעיה‪(.‬‬ ‫ו‪ .‬נכון‪ :‬לא יכול להיות תכנון של המערכת בו היא יכולה להמשיך ולפעול עד אין קץ‪ ,‬מכיוון שגם במצב אידאלי יעילות‬ ‫‬ ‫התהליך לא יכולה להיות גבוהה יותר מיעילות קרנו‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫לסידן פחמתי ‪ CaCO3‬שתי צורות גבישיות נפוצות‪ :‬קלציט וארגוניט‪ .‬נתונה טבלת נתונים בטמפרטורת‬ ‫החדר ובלחץ אטמוספרי עבור שתי הפאזות של אנרגיית גיבס‪ ,‬נפח ואנטרופיה פר מול של חומר‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪G kJ mol−1‬‬ ‫‪V cm3 mol−1‬‬ ‫‪S J K−1 mol−1‬‬ ‫קלציט‬ ‫‪−1128.8‬‬ ‫‪36.93‬‬ ‫‪92.9‬‬ ‫ארגוניט‬ ‫‪−1127.8‬‬ ‫‪34.14‬‬ ‫‪88.7‬‬ ‫מי היא הפאזה היציבה בתנאים אלה‪ ,‬ובאיזה לחץ בערך )בטמפרטורת החדר( הפאזה השנייה תהיה יציבה‬ ‫יותר?‬ ‫פתרון‬ ‫הפאזה היציבה היא קלציט‪ ,‬מכיוון שאנרגיית גיבס שלה נמוכה יותר‪ .‬למציאת הלחץ בו ארגוניט תהיה יציבה יותר‪ ,‬נשים‬ ‫לב כי אנרגיית גיבס מקיימת את הקשר‪:‬‬ ‫‪dG = µ dN − σ dτ + V dp‬‬ ‫בטמפרטורה קבועה ומספר חלקיקים קבוע נקבל ‪ .dG = V dp‬נבדוק מתי אנרגיות גיבס של שתי הפאזות משתוות‪:‬‬ ‫‪GA − GC‬‬ ‫‪= ∆p‬‬ ‫‪VC − VA‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪GC + VC ∆p = GA + VA ∆p‬‬ ‫כאשר ‪ C‬מתייחס לקלציט ו־‪ A‬לארגוניט‪ .‬מכאן‪:‬‬ ‫‪1 kJ mol−1‬‬ ‫‪≈ 3537 atm‬‬ ‫‪2.79 cm3 mol−1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪∆p‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫גז חנקן דליל דו־אטומי נדחס לאט בטמפרטורה קבועה מנפח התחלתי של ‪ 0.3 m3‬לנפח סופי של ‪.0.1 m3‬‬ ‫מספר מולקולות החנקן הוא ‪ .1024‬פי כמה השתנה מספר המצבים המיקרוסקופיים של הגז בתהליך?‬ ‫פתרון‬ ‫האנטרופיה היא הלוגריתם של מספר המצבים‪ ,σ ≡ log g ,‬ולכן ‪ .g = eσ‬ממשוואת ‪ ,Sackur-Tetrode‬האנטרופיה של גז‬ ‫אידאלי היא‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪nQ‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪σ = N log‬‬ ‫‪+‬‬ ‫) ‪= N (C + log V‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ C‬קבוע‪ .‬לפיכך מספר המצבים הוא‪:‬‬ ‫‪g = eN C V N‬‬ ‫‪24‬‬ ‫אם נקטין את הנפח פי ‪ ,3‬מספר המצבים יקטן פי ) ‪.3N = 3(10‬‬ ‫‬ ‫חלק ב'‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫מוליך־על בשדה מגנטי‬ ‫כאשר מוליך־על )מסוג ראשון( נמצא תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני‪ ,‬השדה המגנטי נדחה מן החומר‬ ‫מוליך־העל עד שהשדה מגיע לערך קריטי הנקרא גם השדה הקריטי ) ‪ .Hc (τ‬עבור ‪ H > Hc‬החומר הופך‬ ‫למתכת רגילה )מצב נורמלי( ועבור ‪ H < Hc‬החומר במצב מוליך־על‪.‬‬ ‫נתון כי צורת קו הדו־קיום )השדה הקריטי( המפריד את הפאזה הנורמלית והפאזה מוליכת־העל של חומר‬ ‫מסוים היא פרבולה‪ ,‬והיא ניתנת כפונקציה של הטמפרטורה על־ידי‪:‬‬ ‫! ‪ 2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪Hc (τ ) = H0 1 −‬‬ ‫‪τc‬‬ ‫א‪ .‬קבלו משוואה אנלוגית למשוואת קלאוזיוס־קלפיירון עבור קו הדו־קיום‪.‬‬ ‫ב‪ .‬השתמשו בעובדה שבתוך מוליך־העל השדה ‪ B = 0‬ובקשר ‪ B = H + 4πm‬כדי לחשב את החום הכמוס ליחידת‬ ‫נפח במעבר בין המצב מוליך־העל למצב הנורמלי כפונקציה של ‪.τ‬‬ ‫‬ ‫‪ CH = τ ∂σ‬כדי למצוא את הקפיצה בקיבול החום הסגולי ליחידת נפח כאשר חוצים את קו‬ ‫ג‪ .‬השתמשו בקשר ‪∂τ H‬‬ ‫הדו־קיום בשדה קבוע‪.‬‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫כדי לפתח את משוואת קלאוזיוס־קלפיירון‪ ,‬נתחיל מהיחס )יחס גיבס־דוהם(‪:‬‬ ‫‪dµ = −s dτ + v dp‬‬ ‫המתקיים עבור כל אחת מהפאזות בנפרד‪ ,‬כאשר ‪ µ‬הוא הפוטנציאל הכימי‪ s ≡ σ/N ,‬היא האנטרופיה למולקולה‪τ ,‬‬ ‫היא הטמפרטורה‪ v ≡ V /N ,‬הוא הנפח למולקולה‪ p ,‬הוא הלחץ ו־ ‪ N‬הוא מספר המולקולות‪ .‬על קו הדו־קיום מתקיים‬ ‫‪ ,dµ1 = dµ2‬לכן‪:‬‬ ‫‪−s1 dτ + v1 dp = −s2 dτ + v2 dp‬‬ ‫מכאן‪:‬‬ ‫‪(v1 − v2 ) dp = (s1 − s2 ) dτ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ולפיכך‪:‬‬ ‫‪dp‬‬ ‫‪∆s‬‬ ‫=‬ ‫‪dτ‬‬ ‫‪∆v‬‬ ‫נחליף את הלחץ ‪ p‬בשדה המגנטי ‪ H‬ואת הנפח ‪ v‬במגנטיזציה ‪ ,−m‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪dH‬‬ ‫‪∆s‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪dτ‬‬ ‫‪∆m‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫החום הכמוס מוגדר כך‪:‬‬ ‫‪L ≡ τ ∆s‬‬ ‫לפי המשוואה מסעיף א'‪:‬‬ ‫‪dH‬‬ ‫‪dτ‬‬ ‫‪L = −τ ∆m‬‬ ‫‪dH‬‬ ‫‪dτ‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪∆s = −∆m‬‬ ‫נתון כי‪:‬‬ ‫! ‪2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪τc‬‬ ‫‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪Hc (τ ) = H0‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪dH‬‬ ‫‪2τ‬‬ ‫‪= −H0 2‬‬ ‫‪dτ‬‬ ‫‪τc‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬במצב מוליך־העל מתקיים‪:‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪m=−‬‬ ‫‪B = H + 4πm = 0‬‬ ‫⇒=‬ ‫ובמצב הנורמלי מתקיים‪:‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪m=0‬‬ ‫‪B = H + 4πm = H‬‬ ‫לפיכך‪:‬‬ ‫! ‪2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪τc‬‬ ‫‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H0‬‬ ‫= ‪∆m‬‬ ‫=‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫ובסה"כ נקבל‪:‬‬ ‫! ‪4‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪τc‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪−‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪τc‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪H2‬‬ ‫‪L= 0‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ג'‬ ‫מתוך הקשר‬ ‫‪∂σ‬‬ ‫‪∂τ H‬‬ ‫‬ ‫‪ CH = τ‬נקבל‪:‬‬ ‫‪∂∆σ‬‬ ‫ ‪∂τ‬‬ ‫‪∂ L‬‬ ‫‪=τ‬‬ ‫‪∂τ τ‬‬ ‫‪∆CH = τ‬‬ ‫‪∂L‬‬ ‫‪∂τ τ‬‬ ‫‪−L‬‬ ‫‪τ2‬‬ ‫‪∂L L‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪∂τ τ‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4τ 3‬‬ ‫‪H02 τ‬‬ ‫‪τ3‬‬ ‫‪2τ‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪2π τc2‬‬ ‫‪τc4‬‬ ‫‪2π τc2‬‬ ‫‪τc4‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪3τ 3‬‬ ‫‪H02 τ‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2π τc2‬‬ ‫‪τc4‬‬ ‫‪=τ‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫שדה חיצוני‬ ‫מוצק שבו אטומים בעלי ספין ‪) 1/2‬חסרי אינטראקציה הדדית( נמצא בשדה מגנטי ‪ .B = 3 T‬המומנט‬ ‫המגנטי הוא ‪.µ = 9.3 × 10−23 J T−1‬‬ ‫א‪ .‬מהי הטמפרטורה אשר מתחתיה יותר מ־‪ 75%‬ספין מקביל לשדה?‬ ‫ב‪ .‬קליטה של קרינה אלקטרומגנטית יכולה לעורר מעבר בין שתי רמות האנרגיה אם תדירות הקרינה היא ‪f = 2µB/h‬‬ ‫כאשר ‪ h‬קבוע פלאנק‪ .‬נניח כי המוצק בשיווי משקל תרמי וכן ‪ ,µB τ‬והוא מוקרן בקרינה כזו‪ .‬מהי התלות‬ ‫בטמפרטורה של ההספק הנקלט במוצק?‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫אטום יכול להיות בעל אנרגיה ‪ ,−µB‬אם הספין שלו מקביל לשדה‪ ,‬או ‪ ,µB‬אם הספין שלו מנוגד לשדה‪ .‬לפיכך פונקציית‬ ‫החלוקה היא‪:‬‬ ‫‪Z = e−µB/τ + eµB/τ‬‬ ‫הסיכוי של אטום להיות עם ספין מקביל לשדה יהיה‪ ,‬אם כן‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪eµB/τ‬‬ ‫= ‪= 75%‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+ eµB/τ‬‬ ‫‪e−µB/τ‬‬ ‫= )‪P (−µB‬‬ ‫לפיכך‪:‬‬ ‫‪2µB‬‬ ‫‪= 5.08 × 10−22 J‬‬ ‫‪log 3‬‬ ‫=‪τ‬‬ ‫⇒=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪e−2µB/τ‬‬ ‫נחלק בקבוע בולצמן כדי למצוא את הטמפרטורה‪:‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫‪= 36.8 K‬‬ ‫‪kB‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪T‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫באמצעות קליטת פוטון בעל אנרגיה ‪ ,2µB‬האטום יכול לעבור מרמת אנרגיה ‪) −µB‬ספין מקביל לשדה( לרמת אנרגיה‬ ‫‪ .µB‬הסיכוי שזה יקרה הוא‪ ,‬כפי שראינו‪:‬‬ ‫‪eµB/τ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= −2µB/τ‬‬ ‫‪−µB/τ‬‬ ‫‪µB/τ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫= )‪P (−µB‬‬ ‫אם ‪ µB τ‬אז ‪ µB/τ → 0‬ולכן נוכל לרשום‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪µB‬‬ ‫≈ )‪P (−µB‬‬ ‫=‬ ‫≈‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪(1 − 2µB/τ ) + 1‬‬ ‫‪2 1 − µB/τ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪τ‬‬ ‫ההספק הנקלט במוצק תלוי בהסתברות לעירור‪ ,‬ולכן התלות בטמפרטורה תהיה ‪.1/τ‬‬ ‫‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫חלקיקים אחרים‬ ‫נתונים ‪ N‬חלקיקים שלכל אחד מהם ‪ 3‬מצבי אנרגיה אפשריים‪ .0, ε, 2ε :‬למערכת נפח קבוע ‪ V‬והיא‬ ‫מצומדת לאמבט חום בטמפרטורה ‪ .τ‬אין אינטראקציה בין החלקיקים‪ ,‬והסטטיסטיקה הרלוונטית היא‬ ‫סטטיסטיקת בולצמן‪.‬‬ ‫א‪ .‬כתבו את פונקציית החלוקה עבור חלקיק יחיד‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי האנרגיה הממוצעת שלו?‬ ‫ג‪ .‬בגבול ‪ ,τ ε‬מהי ההסתברות שהרמה המעוררת העליונה מאוכלסת ומהי האנרגיה הממוצעת?‬ ‫ד‪ .‬באיזו טמפרטורה יש במצב היסוד פי ‪ 1.1‬חלקיקים מברמה העליונה?‬ ‫ה‪ .‬מצאו את קיבול החום הסגולי‪ .‬נתחו תשובותיכם בגבול ‪ τ ε‬ו־‪ .τ ε‬שרטטו באופן סכמטי את קיבול החום‬ ‫כפונקציה של ‪.τ‬‬ ‫פתרון סעיף א'‬ ‫הפונקציה היא‪:‬‬ ‫‪Z = 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ב'‬ ‫האנרגיה הממוצעת היא‪:‬‬ ‫‪ε e−ε/τ +2ε e−2ε/τ‬‬ ‫‪1 + e−ε/τ + e−2ε/τ‬‬ ‫=‪U‬‬ ‫‬ ‫פתרון סעיף ג'‬ ‫כאשר ‪ τ ε‬ההבדל בין שלוש רמות האנרגיה זניח‪ ,‬לכן כל רמה תהיה מאוכלסת במספר שווה של חלקיקים‪ .‬לפיכך‬ ‫‬ ‫‪ P (2ε) = 1/3‬ו־‪.U = ε‬‬ ‫‪7‬‬ '‫פתרון סעיף ד‬ :‫ההסתברות למצוא חלקיק במצב היסוד היא‬ 1 Z P (0) = :‫וברמה העליונה‬ −2ε/τ P (2ε) = e Z :‫ ונקבל‬1.1 ‫נדרוש שהיחס יהיה‬ 1.1 = P (0) 1 = −2ε/τ P (2ε) e =⇒ τ= 2ε log 1.1 '‫פתרון סעיף ה‬ :‫קיבול החום בנפח קבוע הוא‬ ∂U ∂τ V ∂ ε e−ε/τ +2ε e−2ε/τ = N ∂τ 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ ε e−βε +2ε e−2βε 1 2 ∂ = −β N β≡ τ ∂β 1 + e−βε + e−2βε 2 −βε −ε e −4ε2 e−2βε 1 + e−βε + e−2βε − ε e−βε +2ε e−2βε −ε e−βε −2ε e−2βε 2 = −β N 2 (1 + e−βε + e−2βε ) e−βε +4 e−2βε + e−3βε = β 2 ε2 N 2 (1 + e−βε + e−2βε ) CV ≡ = N ε2 e−ε/τ +4 e−2ε/τ + e−3ε/τ 2 τ2 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ :‫והוא נראה כך‬ CV ê N 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2 4 6 8 10 eêt :1 ‫ ולכן האקספוננטים הם בקירוב‬ε/τ → 0 ‫ נקבל‬τ ε ‫בגבול‬ CV → N ε2 1 + 4 + 1 2N ε2 = τ 2 (1 + 1 + 1)2 3τ 2 :‫ ולכן האקספוננטים מתאפסים בקירוב‬ε/τ → ∞ ‫ נקבל‬τ ε ‫בגבול‬ CV = N ε2 e−ε/τ 1 + 4 e−ε/τ + e−2ε/τ N ε2 e−ε/τ 2 → 2 τ τ2 1 + e−ε/τ + e−2ε/τ 8