‫תשובות לעבודה מס' ‪ 1‬להגשה‪:‬‬ ‫‪ .1‬בכל אחת מהשאלות הבאות ‪,‬נא להעריך את הקוד‪ MATLAB .‬יש להשתמש ב ‪ MATLAB‬כדי‬ ‫לבדוק את התשובות שלכם‪.‬‬ ‫א‪ .‬נימוק‪ :‬סדר פעולות במטלב תמיד משמאל לימין ולא תמיד מתלכד עם סדר פעולות במתמטיקה!‬ ‫הביטוי ‪ 10<x<20‬הוא תמיד נכון! כי ‪ ((10<x)<20) =10<x<20‬והביטוי ‪ 10<x‬שווה או ל‪ 0‬או ‪1‬ל ואז ז‪.‬א‪ .‬ש‬ ‫‪ {0,1}<20‬תמיד נכון! ואז התשובה היא ‪ :‬במקום משהיה כתוב בשאלה ‪1‬א‪ .‬מספיק לכתוב כי‪:‬‬ ‫‪if x < 10000‬‬ ‫‪y = 2‬‬ ‫‪else‬‬ ‫)‪y = 2 + 0.1*(x - 10‬‬ ‫‪end‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪a. 2<4<3‬‬ ‫‪b. 3 ^ 2 ^ 3‬‬ ‫‪c. 2 + round(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3‬‬ ‫‪2<4<3‬‬ ‫)‪((2<4)=1)< 3 = 1 (1=true‬‬ ‫‪3 ^ 2) ^ 3=729‬‬ ‫‪3 ^ (2 ^ 3)= 6561‬‬ ‫‪=2.5000,(6 / 9 + 3 * 2)=6.6667, round(6.6667)=7‬‬ ‫‪rounds to the nearest integers‬‬ ‫‪=2,(6 / 9 + 3 * 2)=6.6667, floor(6.6667)=6‬‬ ‫‪rounds to the nearest integers towards minus‬‬ ‫‪infinity‬‬ ‫‪rounds to the nearest integers towards infinity‬‬ ‫;)‪(round(-6.667)=-7; ceil(-6.667)=-6‬‬ ‫)‪3.9917e+292, (eps*realmin= 4.9407e-324‬‬ ‫)אבל‪:‬‬ ‫‪e. 2 + ceil(6 / 9 + 3 * 2) / 2 – 3‬‬ ‫‪f. eps*realmax‬‬ ‫‪g. 1/0‬‬ ‫)‪h. dec2bin(3^2/4‬‬ ‫‪Inf (1/0*0=NaN‬‬ ‫( ‪10‬‬ ‫)תשובה נכונה ‪:‬‬ ‫מצה התאמה של הביטוי‬ ‫הבאים‪:‬‬ ‫;]‪0.2890‬‬ ‫‪d. 2 + floor(6 / 9 + 3 * 2) / 2 - 3‬‬ ‫‪0.8711,‬‬ ‫בעזרת פקודת ‪ MATLAB nlinfit‬לנתונים‬ ‫;]‪>> x= [-1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2‬‬ ‫‪y=[12.8201, 6.0157, 3.0, 1.5809,‬‬ ‫;)‪>> f=@(b,x)b(1)*exp(b(2)*x)+b(3)*exp(b(4)*x‬‬ ‫)]‪>> b=nlinfit(x,y,f,[1 1 1 1‬‬ ‫= ‪b‬‬ ‫‪1.9904‬‬ ‫‪-0.9981‬‬ ‫‪1.0098‬‬ ‫‪-1.9945‬‬ ‫;)‪>> g=b(1)*exp(b(2)*x)+b(3)*exp(b(4)*x‬‬ ‫)'‪>> plot(x,y,'ro',x,g,'b‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫באופן ויזואלי רואים שקירוב מספיק טוב!‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪ .3‬נתון ש ]‪- x = [1 4 8], y = [2 5 3‬ו ‪ A=[7 2 5;1 2 6;4 1 3] ,‬נא לקבוע איזה מבין הפעולות‬ ‫הבאות נכונות ואם כן נכונות ‪,‬נא לבצע אותה ולקבל את התוצאה ב‪MATLAB .‬‬ ‫אם הפקודה לא תפעל ‪,‬נא להסביר למה שזה יקרה‪.‬‬ ‫חילוק מצד שמול‪[2.000, 1.25, 0.375] :‬‬ ‫‪Error using ==> plus‬‬ ‫‪Error using ==> plus‬‬ ‫‪Error using ==> minus‬‬ ‫‪]1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫[‪3‬‬ ‫‪]1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫;‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫]‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מינוס ‪ 2‬בכל המקומות ‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שורה אחרונה‬ ‫‪A‬‬ ‫אותה מטריצה‬ ‫מערכים לשרשר אופקי‬ ‫מערכים לשרשר אנכי‬ ‫סכום עבור עמודות‬ ‫סכום עבור שורות‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.4200‬‬ ‫הסבר‬ ‫‪:n.‬‬ ‫‪ x/A‬קיים‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x .\ y‬‬ ‫‪x + A‬‬ ‫‪x' + y‬‬ ‫]'‪A - [x' y‬‬ ‫]‪[x , y‬‬ ‫]‪[x ; y‬‬ ‫‪A – 2‬‬ ‫‪a.‬‬ ‫‪b.‬‬ ‫‪c.‬‬ ‫‪d.‬‬ ‫‪e.‬‬ ‫‪f.‬‬ ‫‪g.‬‬ ‫)‪h. A(end,:‬‬ ‫)‪i. A(1:3,:‬‬ ‫])‪j. [A ; A(1:2,:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪[14‬‬ ‫‪9‬‬ ‫’]‪8‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.2800‬‬ ‫‪-0.7000‬‬ ‫(דורשת תשומת לב!)‬ ‫אך ‪ A\y‬לא קיים‪ .‬על‪-‬פי כלל במטלב‪(x/A)\y=x/A\y :‬‬ ‫])‪k. [A,A(:,1‬‬ ‫)‪l. sum(A‬‬ ‫)‪m. sum(A,2‬‬ ‫‪n. x/A\y‬‬ ‫וגם‪:‬‬ ‫‪A is an M-by-N tall matrix where M > N, A \ B is the same as (A'*A) \ (A'*B).‬‬ ‫‪If‬‬ ‫)‪A is an M-by-N wide matrix where M < N, A \ B is the same as A' * ((A*A') \ B‬‬ ‫‪If‬‬ ‫‪ .4‬צייר ב‪:MATLAB‬‬ ‫א ‪.‬משתך בתלת ממד כפתרון של משוואה ‪exp(3 * (x -1)^2 + (y + 2)^2) - z^2 =0 :‬‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫בציור חשוב מאוד לבחור נכון זום‪ ,‬זווית‪ ,‬נקודת המבט וכן הלאה‬ ‫לא לבצע זום ונקודת המבט קרוב מדי‪ :‬במצב כזה האובייקט "יברח" מהמסך‪.‬‬ ‫•‬ ‫לא לבצע זום ונקודת המבט רחוק מדי‪ :‬במצב כזה האובייקט "יזניח" מהמסך‪.‬‬ ‫•‬ ‫כאן אפשר להשתמש לדוגמה תחום ‪ 0<x<2, -3<y<-1,‬כי ‪ EXP‬לא גבוה מדי ‪:‬‬ ‫)]‪>> ezsurf('-exp(3/2 * (x -1)^2 + (y + 2)^2/2)',[0,2,-3,-1‬‬ ‫;‪>> hold on‬‬ ‫)]‪>> ezsurf('exp(3/2 * (x -1)^2 + (y + 2)^2/2)',[0,2,-3,-1‬‬ ‫)‪exp(3/2 (x -1)2 + (y + 2)2/2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-1.5‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫אם בחרת\ה זום לא נכון אז תרשים גם לא יהיה נכון או אפילו יהיה שגוי‪ .‬לדוגמה‪:‬‬ ‫)]‪<ezsurf('exp(3/2 * (x -1)^2 + (y + 2)^2/2)',[0,10,0,10‬‬ ‫‪<Warning: Axis limits outside float precision, use ZBuffer or Painters instead. Not rendering.‬‬ ‫פונקציות )‪ sin(x‬ו)‪arcsin(x‬‬ ‫ב ‪.‬גרף של שתי‬ ‫‪ . 1‬בשני תרשימים זה על יד זה‪,‬‬ ‫תשובה‪ :‬חשוב מאוד לקחת בחשבון תחום הגדרה של פונקציות‪ .‬כאן אפשר להשתמש לדוגמה ב‪:‬‬ ‫‪asin‬‬ ‫;)'‪ezplot('sin‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.5‬‬ ‫‪-0.5‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫;)‪>> subplot(1,2,1‬‬ ‫;)‪>> subplot(1,2,2‬‬ ‫;)'‪ezplot('asin‬‬ ‫‪ .2‬בתרשים אחת) גרף אחד מעל השני(‬ ‫תשובה‪ :‬חשוב לקחת בחשבון תחום הגדרה של כל פונקציות‪,‬‬ ‫ואז‪ ,‬אפשר להשתמש לדוגמה גם בפקודה‪:‬‬ ‫)]‪ezplot('(sin(t)-x)*(asin(t)-x)',[-1,1‬‬ ‫‪(sin(t)-x) (asin(t)-x) = 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-0.2‬‬ ‫‪-0.4‬‬ ‫‪-0.6‬‬ ‫‪-0.8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫ג ‪.‬גרף של אליפסה בקואורדינטות פולריות )‪ (r, t‬באמצעות נוסחה‬ ‫תשובה‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪-0.2‬‬ ‫‪-0.4‬‬ ‫‪-0.6‬‬ ‫‪-0.8‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫))‪r (t) =a (1 – e^2) / (1 – e* cos(t‬‬ ‫בקואורדינטות פולריות משוואת אליפסה‪ ,‬פרבולה והיפרבולה בעלת מוקד אחד בראשית הצירים היא ‪r (t) =a (1 – e^2) / (1 – e* cos(t)) :‬‬ ‫לאליפסה‪:‬‬ ‫‪ -a‬מחצית מהציר הראשי של האליפסה‪.‬‬ ‫‪ - e‬האקסצנטריות של האליפסה (מספר בין ‪ 0‬ל ‪ ,1‬ככל שקרוב יותר ל‪ 0-‬האליפסה יותר מעגלית וככל שקרוב ל‪ 1-‬האליפסה יותר צרה)‬ ‫שימו לב! רדיוס בקואורדינטות פולריות ובתוכנות מטלאב תמיד חיובי!‬ ‫כאן אפשר להשתמש לדוגמה בתוכנת מטלאב‪:‬‬ ‫)'))‪ezpolar('1/(1-0.4*cos(t‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪1.5‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪150‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪210‬‬ ‫‪330‬‬ ‫‪300‬‬ ‫))‪r = 1/(1-0.4 cos(t‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪240‬‬