‫) – חורף תשע"א‬440032( ‫מבוא לסטטיסטיקה‬ :‫פונקצית התפלגות מצטברת‬ . :‫שונות וסטיית תקן‬ :‫הגדרה‬ Fx ( x )  P ( X  x ) .‫לא יורדת‬ . lim . :‫רציף‬ f x ( x ) dx  Fx ( x )  )2 Fx ( x ) d fx ( x )  )5 Fx ( x ) dx lim  Fx ( x )  1 )1 Fx ( x )  0 )3 x   .‫רציפה מימין‬ .‫לכל פונקציה‬ F ‫וגם‬ . V ar ( c ) f ‫קבוע אמ"מ‬  0 SD ( X )   x , y : PX Y  x , y   PX  x  PY  y  ‫אם הסתברות משותפת היא מכפלת שתי‬ ,y ‫ והשנייה של‬x ‫ האחת של‬,‫פונקציות‬ ‫תלות‬-‫ אזי ניתן להסיק שקיימת אי‬f ( x )  g ( y ) .‫בין המשתנים‬ ‫קבוצות זרות של מ"מ‬-‫ פונקציות ותת‬:‫הערה‬ .‫בלתי תלויים הן בלתי תלויות‬ Var ( X )   Y  E  Y | X   2 | X  :‫שונות מותנית‬ )6 U ni [ 0 , 1 ] :‫תלות מ"מ בדידים‬-‫אי‬ ‫מ"מ הם ב"ת אם"ם‬ ‫אם‬ X ,Y  V ar (Y V ar  Y   E X)   V ar  E  Y X   x z Z  2 z 1 2 e 2 Z ‫נורמלי‬ N ( 0 , 1) :‫ואריאנס‬-‫קו‬ C ov ( X , X )  Var ( X )   X  C ov ( X , Y )  E   Y  Y   x  E  XY   E  X  E  X  E Y  )    P Z a X      a P a Z b      C ov  X ,Y     b   a N ( ,  Y 2 -‫ו‬ ) 2 . N ( ,  X 1 N ( X  Y 2   , 1 :‫סכום נורמלים‬ ) 1 2 2   1 2 ‫ גאמא‬: -‫ נורמלי ב‬.‫ מתפלגת קושי‬:‫מנת נורמלים‬ ,‫ ש"ה‬,‫ב"ת‬ X  n N , 2   n    n lim X    , E X   2 :‫נגדיר‬ Xi Var i i 1  X :‫משפט הגבול המרכזי‬ n n 1  n X 1 , X 2 , ..., X n  S n  n  P     X i  / x  P( X  x)   x X 1 , X 2 , ..., X  nx x f m in  ) d  c S   n   S n 1 e  S dS   n 1 !   n  1 x   X   a , b    P  a X b    a  a U ni [ 0, x ]  b f x ( x ) dx 1  (X | Y  y)   x  P(X  x | Y  y) x  (Y )    (Y | X  x )  P ( X  x ) x ‫פונקצית צפיפות של‬ . :‫סטנדרטיזציה‬  V ar  X  1   ‫ ותמיד‬ fx ( x )  0 ‫אם‬ fx ( x ) f x ( x ) dx  1 E X xf X  x y  dx Y :‫תוחלת של רציף‬ x  f x ( x ) dx  E g X   .N ‫ מ‬n ‫ ובוחרים‬n1 P (n  E Y   x  f x ( x ) dx   ‫התוחלת קיימת רק כאשר‬     f x ( x )  y  fY     ‫ב"ת‬ , X i exp(  ) S E  X Y | X Y    y x  dy  dx     EX 0   exp  p :‫אז‬ P (T  t  s T t )  P (T  s )      2 V ar  X    x  f X  x dx    x  f X  x  dx        .Y  Gamma n ,  X 1 , X 2 , ..., X  ,Y n :Gamma ‫התפלגות‬ n   Xi ‫ נגדיר‬, X i 1 ˆ  X 2 1     2    n    n 1    n  1     n , . X   Gamma r ,  X  Y Gamma  r  s ,   ‫כנ"ל יתקיים‬ X,Y n  exp Y X Y XiX (X  Y Y )  (X Y )  Y ˆ  1 X     Beta r , s (X  2 2 )   ( ( X ‫אז נקבל‬ | Y  y )  V ar ( X | Y  y )  (  ( X Y  y )) ‫ מ"מ ב"ת‬N .  exp 1/   ‫תצפיות‬  Xi  2 Xi :wald ‫משפט‬ XN , Xi -‫בכל ה‬ … f  :‫ס"מ לשונות כשהתוחלת ידועה‬ :‫ס"מ לתוחלת כשהשונות ידועה‬ - B er  p  , exp    , P o is      X :QQ-PLOT n pa   ...   N  n    Nk   nk         B in  M n, N M  e  k  .‫האירוע האחרון‬ k! :‫מירוץ פואסון‬ ‫משני מאורעות בהסתברויות‬ pb  1 1   e 1  X X 1   xi    1 n n   xi   1      e e   :  -‫ ס"מ ל‬. S   X i :  -‫ס"מ ל‬   ,   -‫ ס"מ ל‬. S  i / n 1  X I{X 1  1   } .) h  x   1 ( S  X 1  ,  X i F  x X  p  x F X    P  X    p p f p  X    1  xi S  1 n  2  p     p  2 Xi  X 2  1 n   n   xi  x i or  XiX  2   X i   2    X i  X     X   2  1  ln xi p .‫ הנחת ההתפלגות נכונה‬-‫קו ישר בגרף‬  :2-‫דוגמא‬ -‫ שברונית תיאורטיים‬:x ‫ציר‬ i / n 1 .‫ תצפיות ממוינות לפי הסדר‬:y ‫ציר‬ :‫דוגמא‬ ‫מוצאים כיצד לבטא‬ p  i / n 1 ‫ ע"י‬ p  ‫מוסיפים‬  n  :‫סטטיסטי מספיק‬ X 1 exp     -‫ ס"מ ל‬   , ‫ב"ת‬ 2 E  S N   EX EN   EN U  0 , B er  p    Xi   EX i   S N  X1 i i/n+1 p X 2 j  k)     N2   n   2  . P o is ( p a   ), P o is ( p b   ) ‫מ"מים ב"ת שמתפלגים‬ ‫ מתקיים פיצול לכל שתי אפשרויות של‬:!‫ב"ת‬ !‫ אלו שני פואסון ב"ת‬.‫"האנשים" שמגיעים‬ ‫ כל ערך מתוך טווח‬:Uni(k,n) ‫התפלגות אחידה‬ .‫ מתקבל באותה הסתברות‬,‫ערכים מסוים‬ :‫ דוגמא‬-‫סטטיסטי מספיק‬  ( X Y )   (  ( X Y | Y  y )) | Y  y )) P o is    B in  n , p    X i2 ,  X i  2  2 pˆ  X ‫כאשר‬ Gamma s ,   (X    N1   n   1 | Y  y )  y   ( X | Y  y )  ( XY | Y )  Y   ( X | Y ) ‫התפלגות‬ N  , 2   2X ˆ  X   ‫ עבור‬:Gamma ‫חילוק‬ X n  n x0  ‫ אם‬:Gamma ‫חיבור‬ ‫ב"ת אז‬ .‫ המנה והסכום בשני הנ"ל ב"ת‬. ‫©ענת עציון‬   G am m a 1 ,   n 1 ! : ‫שלם‬ ˆ  X     e   x  x n 1  e   x  x n 1       f X  x    n   n 1  !  otherw ise 0 1  ˆ  X E xp  i ‫מומנטים‬.‫ש‬ 2 ‫כאשר‬:‫מרובה סוגים‬  n k ‫ קטן אז‬p-‫ גדול ו‬n ‫ כאשר‬:‫קירוב פואסוני לבינומי‬ .   np ‫ניתן לקרב את הבינומי לפואסוני עם‬ !‫מג"מ‬-‫הערה! ניתן לעשות קירוב נורמלי לבינומי‬ Y P ois (  ) , X P ois (  ) :‫סכום פואסונים ב"ת‬ . ( X  Y ) P ois (    ) ‫ ואז מתרחש אחד‬Z P ois (  ) ‫ אם‬:‫פיצול פואסון‬ f x ( x ) E ( Y X  x ) dx (X  Y | Y  y)  (X | Y  y)  y ˆ  ..  n    X 1| X 1  X 2  n Bin  n , 1 1   2   :‫נוסחאות נוספות‬  P ( X  x ) dx ‫נוסחת הזנב‬ 0 ‫אנ"מ‬ of type 1  ‫אם‬ X ‫ אם‬. G ( t )  P ( T  t ) ‫ נגדיר‬, T ‫ נתון מ"מ‬:‫משפט‬ . T ~ E xp (  ) ‫ כך ש‬ ‫ קיים‬, G ( t  s )  G ( t )  G ( s ) ,‫מ"מ ב"ת‬  .  1 ‫ אז‬, F  x  0 ‫ באזורים בהם‬:‫לב‬-‫לשים‬ :‫ שונות של רציף‬ ( X Y   j n  N, D  N   N     n  p  k     1 Fx ( x )  dx  :‫סכום עם גיאומטרי‬ N  X i i 1  N P(X  Y )  ‫ לא היה‬t ‫ אם נתון כי עד רגע‬:‫תכונת חוסר זיכרון‬ ‫ אז הזמן עד למופע הבא מתחיל מהתחלה‬,‫מופיע‬ .  :‫תחרות בין אקספוננציאלים‬ X ,Y X ~ E xp (  ), Y ~ E xp (  )  N Geo ( p ) E X    N D   nk    ‫ מספר האירועים‬:Pois(  )‫התפלגות פואסון בדידה‬ ‫ אם ידוע כי הם מתרחשים בקצב‬,‫ביחידת זמן נתונה‬ ‫ ובאופן ב"ת בפרק הזמן מאז‬  0 ‫ממוצע קבוע‬  X ~ Exp (  ), Y ~ Exp (  )  M in ( X , Y ) ~ Exp (    )   D k    X ~ HG (n, N , M )  X   X  km11 p m q k  m ‫ גדול מאוד‬N ‫ כאשר‬:‫קירוב בינומי להיפר גיאומטרי‬ ‫ אזי תוצאת החישוב עם ההחזרה‬, n -‫ביחס ל‬ ‫(הבינומית) קרובה לתוצאת החישוב בלי החזרה‬ . p  D / N , n  n .)‫(ההיפר גיאומטרית‬ ‫אז‬ ‫במקרה הרציף‬ g  x  f x ( x ) dx p k  ‫ בכד‬:HG(N,D,n) ‫גיאומטרית‬-‫התפלגות היפר‬ .‫ כדורים לבנים‬M -‫ כדורים שחורים ו‬N ‫נמצאים‬ ‫ ההסתברות‬.‫ כדורים באקראי ללא החזרה‬n ‫מוציאים‬ .‫ כדורים שחורים‬k ‫שבין הכדורים שהוצאו נמצאים‬  ( X )  (  ( X |Y ))  ( g ( Y ))  .  :‫במקרה הרציף‬  ( X | Y )  g (Y )   B (n, p) k 1 ‫אם‬ :‫נוסחת ההחלקה‬ :‫הסת' שלמה‬  :‫מינימום של אקספוננט הוא אקספוננט‬ k X B (m  n, p)  ( X )    ( X | Y  y )  P (Y  y ) y   X ,Y     (X | Y  y)  k . ‫ב"ת אז‬ ( X | Y )  ( X )   f X  x    f X |Y  x |Y  k  P  Y  k  2   x x0 f X  x   e otherw ise  0  e :‫תוחלת מותנית‬ , ‫הסתברות הצלחה‬ p p . p ‫הסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא‬ ‫ אם ידוע שלא הייתה הצלחה עד לניסוי‬:‫חוסר זיכרון‬ ‫ הינה‬m+k ‫ אז ההסתברות כי היא תקרה בניסוי‬m-‫ה‬ .‫עדיין כמו בנוסחה‬ :NB(m,p) ‫התפלגות בינומית שלילית‬ ‫ית בדיוק‬- m -‫ההסתברות לקבל את ההצלחה ה‬ . p ‫ כאשר לכל ניסוי הסת' הצלחה‬k -‫בניסיון ה‬ :‫נוסחת הזנב‬  X :‫מעבר לאקספוננט‬ X  E f x ( x ) dx P  a X b   P  X b   P  X  a  n 1 exp       0  ( X )   P( X  k ) k 1 ( X  a FX ( x )  P ( X  a )  .   P  lim | X n   |  0  1  x   )    dx  0  U [ 0 , 1] ba    bin / n ‫ אם‬:‫סכום בינומים‬ : ‫ בשניהם) אז‬p ‫(אותו‬ :Geo(p) ‫התפלגות גיאומטרית‬ -‫ההסתברות להצלחה ראשונה בנסיון ה‬ X  Y P(k )  :‫ אז‬EX i P |X n   |  0 :‫החזק‬ 2 2  b X a ,   ln 1U   x ‫וגם‬ B (m, p) ‫כאשר‬  nk  p k q n  k ‫כמו סכום של גיאומטרי‬ 1 n  n i 1 X i   a otherw ise  m in|m ax  x   b a xb ‫ אם‬:‫סטטיסטי הסדר‬ n 1 x e  y) Var  X   pq EX  p ‫ עבור‬:‫חוק המספרים הגדולים‬ ‫ לכל‬:‫החלש‬ :‫פונקצית הצפיפות‬ 2  1  f ( x )  ba x 0  U  0 ,1  n U [a, b]   e :‫תקנון‬ Xi :‫התפלגויות רציפות‬ P P(X  a)  e  a  X b    x, Y x y -‫ב"ת ו‬ :‫אינטגרלים‬ d x 1 0 ‫ זמן בין מאורעות‬:‫התפלגות אקספוננציאלית‬ .‫פואסון‬ P x  aE X  b  ( XY )  ( X ) ( Y ) ‫ ב"ת אז‬X , Y ‫ אם‬:‫כלל הכפל‬ .‫ בלתי מתואמים‬:‫זוג מ"מ שמקיים את הנוסחה‬ E  XY     xyP  X  x ,Y  y  :‫לכל שני מ"מ‬ ‫) לכל‬6 a X a  b ( X )  E ( X m in )   ,   e  Y  x) 0 Xi i 1 b  a 2 n 1 U [ 0 ,1 ]  ( g ( X ))   g ( x )  P ( X x  2 e  z dz   E aX  b  ( g ( X , Y ))    g ( x , y )  P ( X x y n n X ‫קבוע‬ X  X X * :‫ כאשר‬,  ‫מ"מ רציף אז‬  ( X m ax )  )5  X *Y *   2 N (n   , n  12 n 1   E  :)‫התפלגות אחידה (יוניפורמית‬ (b  a )  Z )  C ov ( Y , X )  C ov ( X , Z )  0   EX  EY ‫) אם‬1 X )4 . C ov ( X , a ) ‫כלומר‬   (a) -‫ו‬  b , cY  d )  acC ov ( X , Y ) 0  0 ,1 FX  P ( c  X  d )  :‫ב"ת‬  i 1 n :‫אז‬ C orr  X ,Y  a   n U [ 0 ,1] f X  x  1 V ar ( X )  n  . C ov ( aX . C ov ( X , Y    N 0 ,1  n 1  N n X n  ‫כלומר‬ Y .)‫ (ההפך לא בהכרח נכון‬.‫ בלתי מתואמים‬ ‫ב"ת‬ .‫ סימטריות‬- C ov ( X , Y )  C ov ( Y , X ) )3  i  X Y  E ‫ב"ת אז‬  0 .‫ ב"ת‬X , Y  Cov ( X , Y )  0 ‫בד"כ ההיפך לא נכון‬ .‫ בלתי מתואמים‬X , Y ‫ אז‬C ov ( X , Y )  0 ‫) אם‬2 ‫ב"ת אז‬ ) 2 . C ov ( X , Y ) 2 f m ax  V ar  X  Y  V ar  X  V ar  Y   1 2 2 P  k  p k  q x F . ‫ ההסתברות לקבל‬:Bim(n,p) ‫התפלגות בינומית‬ ‫ ניסויים שלכל אחד‬n ‫ הצלחות בסדרה של‬k ‫בדיוק‬ :‫תוחלת‬ xP  X  x   x R X :‫פונקצית הסתברות של מ"מ‬  1 ‫ ניסוי בעל שתי תוצאות‬:Ber(p) ‫ניסוי ברנולי‬ : F -'‫ ו'כישלון‬S -'‫ 'הצלחה‬:‫האפשריות‬ :‫התפלגות שולית‬ PX  x    PXY  x , y  y  :‫ניסויים ב"ת והתפלגויות בדידות‬ P  X  x ,Y  y   PX Y  x , y  . Var  X |Y Var  X  c SD ( aX  b )  | a |  SD ( X ) )4 Fx ( x ) :‫ב"ת‬  0  p X x ‫ חיתוך המאורעות‬:‫התפלגות משותפת‬ 2   (( X   ( X )) ) Var ( X  Y )  Var ( X )  Var ( Y ) x  1  F ( x )   0 . lim ‫ אז‬E  X    ‫אם‬ ‫ שימוש בטבלה עבור מ"מ‬:‫התפלגות נורמלית‬ x  2  Var ( X ) V a r (Y X )  E x X )  (  ( X )) V ar ( X  Y ) V ar ( X ) V ar ( Y )  2 C ov ( X ,Y ) .0 Fx ( x )  1 x  :‫בדיד‬ P ( X t ) t x  2 Var ( aX  b )  a x  Fx ( x )  2 V ar ( X )   ( X :‫התפלגות משותפת ושולית‬ 2 ‫מבוא לסטטיסטיקה (‪ – )440032‬חורף תשע"א‬ ‫רווח סמך‪:‬‬ ‫ר"ס להפרש תוחלות בשני מדגמים מזווגים‪:‬‬ ‫בונים מדגם של הפרשים‬ ‫ר"ס לתוחלת במדגם מהתפלגות נורמאלית‪:‬‬ ‫כאשר ‪ ‬לא ידוע‪:‬‬ ‫כאשר ‪ ‬ידוע‪:‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪N  0 ,1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪/ n‬‬ ‫‪t  n 1 ‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪  X  z1  / 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪ Di‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪SD‬‬ ‫‪S/ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  X  t  n 1  ,1  / 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫גודל המדגם הדרוש כדי שבביטחון של ‪1  ‬‬ ‫הסטייה בין ממוצע המדגם ל ‪ ‬לא תעלה על ‪: d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2d  n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1/ n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B in  n , p ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ Xi n‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪pˆ  1  pˆ ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  / 2‬‬ ‫‪F  m  1 , n 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z1  / 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 .2 5 , n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪pˆ  p‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n , / 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z1  / 2 pˆ  1  pˆ ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ XiX ‬‬ ‫‪  n 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ n  1  S 2 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  n 1  , / 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n 1 S 2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Yi‬‬ ‫‪G am m a  n ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ˆ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 n  , / 2   2 n  ,1  / 2‬‬ ‫‪ Yi‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ר"ס להפרש תוחלות בשני מדגמים ב"ת‪:‬‬ ‫כאשר ‪ ‬ידוע‪:‬‬ ‫‪N  0 ,1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ X Y     X  Y ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪nm2‬‬ ‫‪ X Y     X  Y ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ X  Y   t  df ,1 / 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SY‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪ n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪14%‬‬ ‫זוגי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0 ,1 ‬‬ ‫‪ 2n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  Zi ‬‬ ‫‪Wn  n‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  n 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  n 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪M X‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תחום בין רבעונים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫התפלגות שונות המדגם‪:‬‬ ‫תוחלת ידועה‪:‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪i‬‬ ‫לא ידועה‪ X i  X  :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ XiX ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ Xi X‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ Q‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ˆ 2  ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ Xi  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Q ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S ‬‬ ‫‪t k ‬‬ ‫‪ X  Y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ k k 2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 0 , V ar T‬‬ ‫‪ S2 S2‬‬ ‫‪df   X  Y‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪E T‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪ n 1‬‬ ‫‪S/ n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫*‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ M SE‬‬ ‫‪ ‬אבל עדיין‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪M SE‬‬ ‫עקיבות‪ :‬אומד שה‪ MSE-‬שלו שואף ל‪.0-‬‬ ‫‪M SE  0‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ˆ  ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫אם לכל ‪   0‬האמד‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim P |ˆ   |    1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫הערה‪ :‬בד"כ כשה‪ MSE-‬לא שואף ל‪ ,0-‬לא עקיב‪.‬‬ ‫משפט‪ :‬אם ˆ‪ ‬עקיב ל‪  -‬אז לפונקציה רציפה‬ ‫‪   ˆ ‬עקיב ל‪( .     -‬ליניארית שומרת אח"ה)‪.‬‬ ‫סטטיסטי מספיק‪:‬‬ ‫פונקציה שבה כל המידע במדגם ביחס לפרמטר‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x | ‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪  x   1  x d x ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 M 1‬‬ ‫‪ 2  ˆ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .1‬אם ˆ‪ ‬אנ"מ ל ‪ ‬אז ˆ‪ ‬הוא פו' של ס"מ ‪. S‬‬ ‫משפט הפירוק‪ :‬סטטיסטי ‪ S‬מספיק ביחס ל ‪‬‬ ‫אם ‪ g  S  x1 .. x n | ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V a r ˆ  V a r  X 1 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ n ˆ‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ n 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫בתצפיות ו‪ g -‬שתלויה ב‪ ,  -‬כאשר ‪ S‬היא‬ ‫המידע מהתצפיות בתוך ‪. g‬‬ ‫משפט‪ :‬אנ"מ תלוי במדגם מקרי דרך ס"מ‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪  e  I { X   } S  X‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆ  M 1  X‬‬ ‫‪:) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ˆ  S    X i  X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫שיטת הנראות המירבית‪:‬‬ ‫בחירת הערך ‪ p‬עבורו ההסתברות של תוצאות‬ ‫המדגם היא הגדולה ביותר‪.‬‬ ‫פונקצית נראות‪ :‬פו' צפיפות משותפת‪-‬‬ ‫‪  f  xi ‬‬ ‫‪ x1 .. x n ‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ h x1 .. x n‬‬ ‫‪ x1 .. x n | ‬‬ ‫‪f‬‬ ‫כלומר‪ :‬מפרקים את ‪ f‬ל‪ h -‬שתלויה רק‬ ‫אמידת התוחלת (הפרמטר הוא‪:)  -‬‬ ‫‪E ˆ  ‬‬ ‫*‬ ‫‪S‬‬ ‫ס"מ וגם ‪ f  S ‬ס"מ כאשר ‪ f‬חח"ע‪.‬‬ ‫‪1  E‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ P  X 1  x1 .. X n  x n | S  s ‬לא תלויה ב ‪.  s , ‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .2‬ס"מ אינו יחיד‪ ,‬אם ‪ , S  g  S * ‬גם‪:‬‬ ‫‪.Mk ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  1  x‬‬ ‫אמידת השונות (הפרמטר הוא‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬סימטרית סביב ‪0.‬‬ ‫‪ .2‬זנבות עבים משל הנורמאלית‪.‬‬ ‫‪t  n  ,0 .1   t  n  ,0 .9‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k  E X‬‬ ‫‪ X ik‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,0  x  1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪Wk / k‬‬ ‫אמד מוטה‪ .‬אח"ה‪:‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫שואף לפרמטר בהסת' ‪:1‬‬ ‫השיטה‪ :‬מבטאים את הפרמטר ע"י המומנטים של‬ ‫האוכלוסייה ואז מציבים במקומם את המומנטים‬ ‫של המדגם‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ V ar ˆ  E ˆ  ‬‬ ‫אמידה נקודתית‪:‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫התפלגות ‪:t‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪M SE ˆ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם"ם הצפיפות ‪ f  X 1 .. X n | S  s ‬או התפלגות‬ ‫‪E   n 1   n  1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נעדיף את האמד‬ ‫שבו ה‪MSE-‬‬ ‫הקטן ביותר‪.‬‬ ‫‪ :LW‬התצפית המינימאלית שגדולה מ‪.LF-‬‬ ‫‪ :UW‬התצפית המקסימאלית שקטנה מ‪.UF-‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪ Xi  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪I{X‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫הגדרה‪ S  S  X 1 ,,, X n  :‬סטטיסטי מספיק‬ ‫המומנט ה‪ k-‬באוכלוסיה‪:‬‬ ‫ˆ‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪V a r   n 1   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפי ה‪:MSE-‬‬ ‫מומנטים הם עקיבים‬ ‫וח"ה‪ ,‬וגם אמד שהוא‬ ‫פו' רציפה שלהם‪.‬‬ ‫‪step ‬‬ ‫המומנט ה‪ k-‬המדגמי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  e‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪  } e‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ E ˆ  ‬‬ ‫‪IQ R  Q‬‬ ‫סטטיסטי‪ :‬פונקציה של התצפיות במדגם‪.‬‬ ‫פרמטר‪ :‬גודל שהוא מאפיין מסכם של האוכלוסייה‪.‬‬ ‫אמד‪ :‬סטטיסטי שאיתו אומדים את הפרמטר‪.‬‬ ‫אומדן‪ :‬הערך של האמד‪ ,‬המחושב מהמדגם‪.‬‬ ‫שיטת המומנטים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪    xi  ‬‬ ‫בהתפלגות אחידה‪ :‬האנ"מ עדיף ל ‪ n  3‬אבל הוא‬ ‫‪L F  Q1  step U F  Q 3  step‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‪ n V ar W n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  e‬‬ ‫‪n‬‬ ‫השגיאה הריבועית הממוצעת‪-‬תוחלת הסטייה‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ Q3  Q1 ‬‬ ‫‪E Wn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   xi‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪I{X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪L ‬‬ ‫אמד חסר הטייה אם‪. E  ˆ    :‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫}‪ ‬‬ ‫‪ˆ  X 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:BOX-PLOT‬‬ ‫‪W‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪‬‬ ‫} ‪I { xi  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   xi  ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שונות המדגם‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫בקירוב לערך הפרמטר אותו רוצים לאמוד‪ˆ .‬‬ ‫רבעון שלישי‪:Q3-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L ‬‬ ‫כאשר ‪ x‬מוגבל ע"י הפרמטר‪ ,‬מכניסים אינדיקטור‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Q  X‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪3 4   3  n 1   4   3  n 1  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪34%‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪l     ln  L  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  ln  x i   0  ˆ  ‬‬ ‫חציון‪:M-‬‬ ‫‪P | X   | d‬‬ ‫כאשר השונות לא ידועה‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ P  W n  n 1      P W n  n 1    ‬‬ ‫כאשר ‪ ‬לא ידוע והשונויות שונות‪:‬‬ ‫‪SX‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ההסתברות שאנ"מ לשונות במדגם נורמאלי‬ ‫יסטה ממנה בסטייה יחסית שינה עולה על ‪: ‬‬ ‫‪ X   Y   X  Y   t  n  m  2 ,1  / 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  , 2 / n ‬‬ ‫‪ Xi  ‬‬ ‫‪  N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ln x i‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אי‪-‬זוגי‪:‬‬ ‫‪nm ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n  1  S X2   m  1  S Y2‬‬ ‫‪ m 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/ n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪    1  xi    1 ‬‬ ‫‪   n ln    1     ln  x i ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪L ‬‬ ‫חוסר הטייה‪ :‬ממוצע האומדנים יהיה שווה‬ ‫‪1  r  x  k   rx  k 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ ‬לא ידוע והשונויות זהות‪:‬‬ ‫‪ S2 S2 ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪ Y ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Xn ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  xi ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P X  P‬‬ ‫רבעון ראשון‪:Q1-‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪ G am m a  , ‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪SP   ‬‬ ‫‪n m‬‬ ‫‪, X‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪F  k ,m ‬‬ ‫שגיאת דגימה‪ :‬שגיאה כתוצאה מכך שנאספו‬ ‫נתונים על מדגם שהינו חלק מכלל האוכלוסייה‪.‬‬ ‫גודלה תלוי בשיטת הדגימה ובגודל המדגם‪.‬‬ ‫ממוצע קטום‪ :‬ממוצע ללא הנמוך והגבוה‪.‬‬ ‫‪n  1 p    n  1  p ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n Z‬‬ ‫‪1  / 2 d ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪SP   ‬‬ ‫‪n m‬‬ ‫‪ k ,m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הערך ש‪ p% -‬מהאוכלוסייה מתחתיו‪.‬‬ ‫חישוב השברון המדגמי‪:‬‬ ‫‪X ,‬‬ ‫‪ d‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪ / n‬‬ ‫‪ n 1 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪nm 2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ X   Y   X  Y   z1  / 2  ‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ pˆ X‬‬ ‫‪F‬‬ ‫בראש הטבלה‪:‬‬ ‫הסתברות‪ .p-‬בפנים‪:‬‬ ‫‪P  X  a  p a‬‬ ‫‪F0.05‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Y   ln  X  , Y‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ m ,k ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ˆ‪.  ‬‬ ‫‪    ‬יהיה‪:‬‬ ‫סטטיסטיקה תיאורית ושיטות גרפיות‪:‬‬ ‫קשר ל‪ Gamma-‬ולנורמאלי‪:‬‬ ‫‪ ln X i‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪Q  2   Yi G am m a  n ,     2 n  , f X   x‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ Yi‬‬ ‫‪pˆ X  1  pˆ X‬‬ ‫‪ pˆ Y   z1 / 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .4‬אדטיביות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  n 1  ,1  / 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪pˆ X 1  pˆ X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ pˆ X‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫התפלגות חי‪-‬בריבוע‪:‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬צפיפות לא סימטרית עם זנב ימני‪.‬‬ ‫‪ .2‬התפלגות חיובית‪.‬‬ ‫‪ .3‬עבור ‪ ,n>50‬קרוב לנורמאלי‪.‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪pˆ Y 1  pˆ Y‬‬ ‫‪2%‬‬ ‫‪ n 1 S‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ m ,k ‬‬ ‫חוק התקנון‪   ,  2  ,2   3  :‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אינו רווח סמך אופטימאלי עבור רמת סמך נתונה‪.‬‬ ‫‪ .2‬רווח סמך עבור סטיית תקן‪ :‬שורש על שני הקצוות‪.‬‬ ‫ר"ס ל‪  -‬במדגם מהתפלגות ‪)Gamma( F  x   x ‬‬ ‫‪exp    ,‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כאשר ‪ ‬לא ידוע‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ pˆ Y    p X  p Y‬‬ ‫‪V ar  F  ‬‬ ‫‪k m 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F0.95‬‬ ‫גודל המדגם כדי ש‪- P  | X   |  d   1   :‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הסתברות שהסטייה המוחלטת לכל היותר ‪: d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  n ,1 / 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ /2‬‬ ‫‪F m  1 , n  1  ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫התפלגות הממוצע‪:‬‬ ‫‪ 0 ,1 ‬‬ ‫‪  X i    n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  X i    ,   X i    ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SX‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SY‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪2m‬‬ ‫‪.3 t  k ‬‬ ‫‪F 1, k‬‬ ‫‪X 0.95  Z 0.95    Z 0.15   Z 0.85‬‬ ‫‪Xi‬‬ ‫ר"ס לשונות במדגם מהתפלגות נורמאלית‪:‬‬ ‫כאשר ‪ ‬ידוע‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SY‬‬ ‫‪pˆ Y 1  pˆ Y‬‬ ‫‪  , 2 ‬‬ ‫‪pˆ 1  pˆ ‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪k m 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F  k ,m ‬‬ ‫‪ .3‬אם ˆ‪ ‬אנ"מ ל‪  -‬אז לכל פו ‪ ,    ‬אנ"מ ל‪-‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬התפלגות לא סימטרית עם ד"ח במונה ובמכנה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SY ‬‬ ‫‪Wm / m‬‬ ‫‪m 4‬‬ ‫התפלגות נורמאלית‪:‬‬ ‫גודל המדגם כדי שבביטחון של ‪ 1  ‬הסטייה בין‬ ‫הפרופורציה במדגם ל ‪ p‬לא תעלה על ‪: d‬‬ ‫‪, p 1 p‬‬ ‫‪E F‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SD‬‬ ‫התפלגויות דגימה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SX‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SY ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Wk / k‬‬ ‫שברון ‪ p‬באוכלוסייה‪,  p :‬‬ ‫‪B er  p  , pˆ  X ‬‬ ‫‪N  0 ,1  p  pˆ  z1  / 2‬‬ ‫‪SX Y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪SX 1‬‬ ‫‪F n 1 , m 1 ‬‬ ‫‪2z‬‬ ‫ר"ס לפרופורציה במדגם מהתפלגות נורמאלית‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  Di  D ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫ר"ס להפרש פרופורציות בשני מדגמים ב"ת‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q X‬‬ ‫‪,  ‬‬ ‫‪ n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ר"ס ל‪  -‬במדגם מהתפלגות אחידה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪px  p y ‬‬ ‫‪1 / 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ D  D  t  n 1,1 / 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ר"ס ליחס שונויות בשני מדגמים ב"ת‪:‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬זהו רווח סמך הקצר ביותר ברמת סמך נתונה‪.‬‬ ‫‪ .2‬אורכו קבוע מראש רק כאשר השונות ידועה‪.‬‬ ‫‪ .3‬אורך הרווח עולה עם הגדלת רמת הסמך והשונות‪.‬‬ ‫‪ .4‬אורך הרווח קטן עם עליה בגודל המדגם‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  / 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫התפלגות ‪:F‬‬ ‫‪ X   Y   D D i N  D , D D ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תכונות‪:‬‬ ‫‪ .1‬אנ"מ אינו בהכרח יחיד‪.‬‬ ‫‪ .2‬לפעמים קל יותר למקסם את ‪l     ln L   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪g X 1  | ‬‬ ‫משפט ‪ ˆ :Rao-Blackwell‬אמד ו‪ S -‬ס"מ‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪  *  E  ˆ | S  .1‬הוא אמד‪. E  *  E  ˆ  .2 .‬‬ ‫‪( M S E *     M S E ˆ    .3‬שוויון ‪ ˆ -‬כבר‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫מבוסס על הס"מ)‪.‬‬ ‫דוגמא‪, B er  p  , exp    :‬אומד‪ . X 1 :‬שיפורו‪:‬‬ ‫‪ X‬‬ ‫‪ xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P X 1 1|  x i  s‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪L  | x1 .. x n‬‬ ‫מוצאים אמד שימקסם את ‪ L   ‬ע"י גזירה‬ ‫והשוואה ל‪.0-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h x ‬‬ ‫‪: Pois   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪B in s , 1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ X 1 |  xi ‬‬ ‫‪ X 1 |S ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪‬‬ ‫©ענת עציון‬