‫מכללת אורט כפר‪-‬סבא‬ ‫מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים‬ ‫תרגיל מס' ‪24‬‬ ‫פתרו את השאלות הבאות‪ .‬יש לסיים את התרגיל עד יום א' )‪.(1.3‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫הכרנו מספר אלגוריתמים הפותרים את בעיית המסלול הקצר ביותר‪ :‬סריקה לרוחב )‪,(BFS‬‬ ‫דייקסטרה )‪ ,(Dijkstra‬מסלולים קצרים ביותר בגמ"ל )‪ ,(DAG-Shortest-Paths‬בלמן‪-‬פורד‬ ‫)‪ .(Bellman-Ford‬עבור כל אחד מהגרפים הבאים‪ ,‬קבע איזה מן האלגוריתמים הנ"ל הוא‬ ‫המתאים לו ביותר‪:‬‬ ‫א‪ .‬גרף מכוון וממושקל עם משקלים שליליים על הקשתות )אך ללא מעגל שלילי(‪.‬‬ ‫ב‪ .‬גרף לא ממושקל‪.‬‬ ‫ג‪ .‬גרף מכוון וממושקל שאין בו מעגלים‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫מממשים עץ חיפוש בינארי מאוזן‪ ,‬כך שכל אחד מהקודקודים מכיל שדה בשם ‪ ,size‬השומר את‬ ‫מספר הצמתים בתת‪-‬העץ שקודקוד זה הוא שורשו‪ .‬לדוגמא‪ ,‬נתון עץ החיפוש הבינארי המאוזן‬ ‫הבא‪ ,‬והמספר שכתוב לצד כל קודקוד הוא ערך שדה ה‪ size-‬שלו‪:‬‬ ‫‪7 4‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4 7‬‬ ‫‪2 10‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 18‬‬ ‫א‪ .‬נניח שנתון עץ חיפוש בינארי מאוזן‪ ,‬אשר בכל אחד מקודקודיו קיים שדה ‪ ,size‬אולם‬ ‫ערכו טרם נקבע‪ .‬תארו פונקציה רקורסיבית המקבלת מצביע לשורש העץ הזה‪ ,‬וממלאת‬ ‫את ערכי ה‪ size-‬עבור כל אחד מקודקודיו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬תארו כיצד ניתן להשתמש במבנה הנתונים המתואר בשאלה זו‪ ,‬על מנת לבצע פעולת סדר‬ ‫סטטיסטי על קבוצת נתונים )כלומר‪ :‬על מנת לבצע פעולת ‪ ,Select‬אשר מקבלת מספר ‪,k‬‬ ‫ומחזירה את איבר המיקום ה‪ k-‬בקבוצת הנתונים(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫נתון גרף פשוט‪ ,‬קשיר‪ ,‬לא ממושקל ולא מכוון )‪ ,G = (V,E‬ונתונים זוג קודקודים ‪ . s, t ∈ V‬הגרף‬ ‫מיוצג בזיכרון המחשב על‪-‬ידי רשימת סמיכוּת )שכנוּת(‪ .‬לפניך אלגוריתם יעיל אשר מחשב את‬ ‫אורך המסלול הזוגי הקצר ביותר מ‪ s-‬ל‪.t-‬‬ ‫האלגוריתם‪:‬‬ ‫צעד ‪:1‬‬ ‫נבנה גרף חדש )'‪ ,G' = (V',E‬כאשר‪:‬‬ ‫}‪V' = {v1 , v 2 | v ∈ V‬‬ ‫}‪E' = {(u 1 , v 2 ), (u 2 , v 1 ) | (u, v) ∈ E‬‬ ‫כלומר‪ ,‬עבור כל קודקוד ‪ v‬בקבוצת הקודקודים ‪ V‬של הגרף המקורי ‪ ,G‬ניצור‬ ‫בגרף החדש '‪ G‬שני קודקודים‪ ,‬שיסומנו ‪ v1‬ו‪ .v2-‬ועבור כל קשת המחברת בין‬ ‫הקודקוד ‪ u‬לקודקוד ‪ v‬בקבוצת הקשתות ‪ E‬של הגרף המקורי ‪ ,G‬ניצור בגרף‬ ‫החדש '‪ G‬שתי קשתות – אחת שמחברת בין ‪ u1‬ו‪ ,v2-‬ואחת שמחברת בין ‪ u2‬ו‪.v1-‬‬ ‫צעד ‪:2‬‬ ‫נריץ את אלגוריתם‬ ‫צעד ‪:3‬‬ ‫נחזיר את אורך המסלול שהאלגוריתם מצא‪ ,‬המסתיים בצומת ‪.t2‬‬ ‫על '‪ G‬החל מהצומת‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫באלגוריתם הנתון חסרים שני ביטויים המסומנים בספרות )‪ .(2)-(1‬התשובה הנכונה בעבור כל‬ ‫אחד מהביטויים החסרים מופיעה בסעיפים שלהלן‪:‬‬ ‫א‪ .‬התשובה הנכונה עבור ביטוי )‪ (1‬לעיל היא‪:‬‬ ‫‪ .1‬סריקה לרוחב )‪(BFS‬‬ ‫‪ .2‬פרים )‪(Prim‬‬ ‫‪ .3‬דייקסטרה )‪(Dijkstra‬‬ ‫‪DAG-SHORTEST-PATHS .4‬‬ ‫ב‪ .‬התשובה הנכונה עבור ביטוי )‪ (2‬לעיל היא‪:‬‬ ‫‪s 1 .1‬‬ ‫‪s 2 .2‬‬ ‫‪t 1 .3‬‬ ‫‪t 2 .4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ג‪ .‬סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם הנתון היא‪:‬‬ ‫‪Θ(| V | ⋅log | V |) .1‬‬ ‫‪Θ(| E | ⋅log | V |) .2‬‬ ‫‪Θ(| V | ⋅ | E |) .3‬‬ ‫‪Θ(| V | + | E |) .4‬‬ ‫שאלה ‪) 4‬ממבחן של משרד החינוך(‬ ‫מגדירים אלגוריתם הנקרא רמה‪-‬בבנים)‪ (T‬המקבל עץ בינארי ‪ .T‬בכל צומת בעץ שני ערכים –‬ ‫האחד הוא מספר שלם שהוא ערך הצומת‪ ,‬והאחר מציין את רמת הצומת‪.‬‬ ‫האלגוריתם מחזיר 'אמת' אם לכל צומת בעץ‪ ,‬פרט לשורש העץ‪ ,‬מתקיים שערך הצומת הוא הרמה‬ ‫של אביו‪ .‬אחרת – האלגוריתם מחזיר 'שקר'‪.‬‬ ‫לדוגמא‪ ,‬עבור העץ ‪ T‬הבא יוחזר 'אמת'‪:‬‬ ‫כתבו אלגוריתם מילולי המבצע את רמה‪-‬בבנים)‪.(T‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫נתון גרף פשוט‪ ,‬ללא מעגלים‪ ,‬קשיר ומכוון )‪ ,G = (V,E‬עם משקלות אי‪-‬שליליים על הקשתות‪,‬‬ ‫ונתונים זוג קודקודים ‪ s, t ∈ V‬וקשת ‪ . e ∈ E‬הגרף מיוצג בזיכרון המחשב על‪-‬ידי רשימת‬ ‫סמיכוּת )שכנוּת(‪.‬‬ ‫כזכור‪ ,‬מגדירים משקל של מסלול בתור סכום המשקלות על הקשתות המהוות את המסלול‪.‬‬ ‫מסלול מסוים בין ‪ s‬ל‪ t-‬ייקרא מסלול קל ביותר‪ ,‬אם לא קיים מסלול בין ‪ s‬ל‪ t-‬שמשקלו קטן יותר‬ ‫ממשקל מסלול זה‪ .‬בין שני קודקודים יכולים להיות מספר מסלולים קלים ביותר‪.‬‬ ‫לפניך אלגוריתם יעיל אשר בודק האם הקשת ‪ e‬נמצאת על כל המסלולים הקלים ביותר מ‪ s-‬ל‪.t-‬‬ ‫האלגוריתם‪:‬‬ ‫צעד ‪:1‬‬ ‫נריץ את אלגוריתם‬ ‫‪ x‬את‬ ‫צעד ‪:2‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫ניצור גרף חדש )‬ ‫על הגרף ‪ G‬החל מצומת ‪ ,s‬ונשמור במשתנה‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫( = '‪ , G‬כלומר גרף שקבוצת קודקודיו זהה לזו‬ ‫)‪(3‬‬ ‫של הגרף ‪ ,G‬וקבוצת קשתותיו זהה לזו של ‪ ,G‬פרט לקשת ‪ e‬שאינה כלולה בו‪.‬‬ ‫צעד ‪:3‬‬ ‫נריץ את אלגוריתם‬ ‫במשתנה ‪ y‬את‬ ‫צעד ‪:4‬‬ ‫אם‬ ‫)‪(4‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫על הגרף '‪ G‬החל מצומת ‪ ,s‬ונשמור‬ ‫‪.‬‬ ‫אזי הצג כפלט‪" :‬ישנו מסלול קל ביותר בין ‪ s‬ל‪ t-‬שאינו‬ ‫כולל את ‪ ."e‬אחרת – הצג כפלט‪" :‬כל מסלול קל ביותר בין ‪ s‬ל‪ t-‬כולל את ‪."e‬‬ ‫באלגוריתם הנתון חסרים ארבעה ביטויים המסומנים בספרות )‪ .(4)-(1‬התשובה הנכונה בעבור כל‬ ‫אחד מהביטויים החסרים מופיעה בסעיפים שלהלן‪:‬‬ ‫א‪ .‬מהי התשובה הנכונה בעבור ביטוי )‪ (1‬לעיל?‬ ‫‪ .1‬דייקסטרה )‪(Dijkstra‬‬ ‫‪ .2‬סריקה לרוחב )‪(BFS‬‬ ‫‪ .3‬פרים )‪(Prim‬‬ ‫‪ .4‬מסלולים קצרים ביותר בגמ"ל )‪(DAG-SHORTEST-PATHS‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ב‪ .‬מהי התשובה הנכונה בעבור ביטוי )‪ (2‬לעיל?‬ ‫‪ .1‬משקל הקשת הקלה ביותר המחברת את הקודקוד ‪ s‬עם הקודקוד ‪.t‬‬ ‫‪ .2‬משקל העץ המינימלי מבין העצים הפורשים ש‪ s-‬הוא שורשם‪ ,‬ו‪ t-‬הוא אחד מהעלים‪.‬‬ ‫‪ .3‬המשקל המינימלי של קשת המחברת בין הרק"ח של ‪ s‬לרק"ח של ‪.t‬‬ ‫‪ .4‬משקל המסלול הקל ביותר המוביל מקודקוד ‪ s‬לקודקוד ‪.t‬‬ ‫ג‪ .‬מהי התשובה הנכונה בעבור ביטוי )‪ (3‬לעיל?‬ ‫‪V , E ∪ {e} .1‬‬ ‫‪V – {e} , E – {e} .2‬‬ ‫‪V , E .3‬‬ ‫‪V , E – {e} .4‬‬ ‫ד‪ .‬מהי התשובה הנכונה בעבור ביטוי )‪ (4‬לעיל?‬ ‫‪x = y .1‬‬ ‫‪) |x-y| = w(e) .2‬ההפרש בין ‪ x‬ל‪ ,y-‬בערכו המוחלט‪ ,‬שווה למשקל הקשת ‪(e‬‬ ‫‪x < y .3‬‬ ‫‪x > y .4‬‬ ‫ה‪ .‬מהי סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם שלעיל?‬ ‫‪Θ(| V | 3 ) .1‬‬ ‫‪Θ(| E | ⋅log | V |) .2‬‬ ‫‪Θ(| V | 2 ) .3‬‬ ‫‪Θ(| V | + | E |) .4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫שאלה ‪6‬‬ ‫יהי )‪ G = (V,E‬גרף ממושקל עם פונקציית משקל }‪ , w : E → {0,1,2,... K − 1‬כאשר ‪ K‬הוא‬ ‫קבוע שלם אי‪-‬שלילי כלשהו‪ .‬תארו כיצד ניתן לשנות את המימוש של תור קדימויות‪ ,‬כך‬ ‫שאלגוריתם דייקסטרה ירוץ בזמן ריצה של )|‪ ,Θ(K·|V|+|E‬במקום בזמן ריצה ))|‪.Θ(|E|·log(|V‬‬ ‫הדרכה‪ :‬במקום לממש את תור הקדימויות באמצעות ערימת מינימום‪ ,‬ממשו אותם באמצעות‬ ‫מערך‪ ,‬שבו התא עם האינדקס ‪ i‬יחזיק רשימה מקושרת של צמתים ששדה ה‪ distance-‬שלהם‬ ‫מכיל כרגע את הערך ‪. i‬התא האחרון במערך יאחסן רשימה מקושרת של כל הצמתים ששדה ה‪-‬‬ ‫‪ distance‬שלהם מכיל כרגע את הערך ∞ )אינסוף(‪.‬‬ ‫חשבו‪ :‬מה צריך להיות גודלו של המערך? איך נממש את הפעולה של שליפת איבר בעל ‪distance‬‬ ‫מינימאלי מתור הקדימויות )שורה ‪ 8‬באלגוריתם של דייקסטרה(? מה נעשה כאשר מעדכנים את‬ ‫ערך ה‪ distance-‬של איבר הנמצא כרגע בתור הקדימויות )שורה ‪?(12‬‬ ‫שאלה ‪) 7‬ממבחן של משרד החינוך(‬ ‫תזכורת‪ :‬הסימן המתמטי ∀ פירושו "לכל" )‪.(for all‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שאלה ‪) 8‬ממבחן של משרד החינוך(‬ ‫נקודה למחשבה‪ :‬מהי סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם? היעזרו לשם כך בתשובתכם לשאלה‬ ‫‪ 6‬בתרגיל זה‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫שאלה ‪) 9‬ממבחן של משרד החינוך(‬ ‫‪8‬‬