1. No category

Mønster er temaet i dette heftet av Tangenten.
Vi har valgt å tolke mønsterbegrepet vidt. I tillegg til tallmønster og geometriske mønster ser vi
også på musikalske mønster og mønster i språk/
kommunikasjon. Vi har samarbeidet med våre
svenske og danske søskentidsskrift (Nämnaren
og Matematik) og slikt fått et rikt stofftilfang.
Derfor finner dere artikler både på dansk og
svensk i dette heftet. De andre tidsskriftene vil
også ha temahefte om mønster denne våren.
For mange er mønster selve sjelen i matematikken. Å jakte på mønstre, å avsløre mønstre, å
skape mønstre, ja det er for mange kjernen i vår
disiplin. Det virker som om målet med å finne et
mønster i for eksempel en tall- eller figurrekke er
å komprimere informasjonen av en ofte uendelig mengde objekter til en kort beskrivelse ved
hjelp av symmetri eller formler. Mønsteret er
ikke gjennomskuet før vi klarer å presentere den
kompakte, korte sammenhengen som ligger bak
mengden av enkeltelementer i mønsteret. Det
kan se ut som vi har både en kulturell og indre
drivkraft til å gå på jakt etter slike forenklinger,
Eller skal vi kalle dem for abstraksjoner?
Gjenkjenning er et avgjørende steg i arbeid
med mønster. Å kjenne igjen en figur som et
kvadrat og å kunne fokusere nettopp på denne
ene egenskapen i en mengde av objekter, er en
abstraksjonsprosess. Vi kan velge en eller flere
egenskaper til objektene og holder dem fast og
se om de gjentar seg i mønsteret. Gjentakelse er
tangenten 2/2011
vesentlig. Kan vi finne egenskaper som ikke er
spesifikke for et av objektene og som går igjen og
igjen? Neste steg kan vi gjerne kalle for bortvalg.
Noen av egenskapene til elementene i rekken er
gjerne ikke avgjørende for mønsteret. Kanskje er
plasseringen av elementene uvesentlig hvis vi skal
avsløre mønsterets kjerne. Så er det også en form
for abstraksjon som må til, for å kunne formulere mønsterets innhold. Det siste er gjerne en
språklig eller matematisk formulering av essensen i mønsteret. Mønster opptrer altså i mange
fasetter. De synlige og umiddelbart gjenkennelige geometrisk mønstre, tabellmønstre eller
tallmønstre er en side av saken, den bakenforliggende abstraksjonen som gjerne inneholder en
kortversjon, en komprimert utgave av helheten
er en annen side. Mønster som inneholder de
nevnte kvalitetene kan gjerne bli estetisk vakre.
Det skal for eksempel ikke mange speilinger til
før en tilsynelatende kaotisk samling av prikker
og streker plutselig blir til et utgangspunkt for en
tapet eller et gardinstoff som vi kan tenke oss å
ha rundt oss og glede oss over, behagelig for øyet.
Om hjernen vår avslører hemmeligheten i mønsteret bevisst eller om den bare ubevisst sanser
skjønnheten kan være to sider av samme sak.
I dette heftet finner du et mangfold av mønster som gir rikelig anledning til kreativitet,
beundring og abstraksjon. Og finner du ikke nok
stoff her, ta en titt på Nämnaren og Matematik.
1
Gert M. Hana
Tatami-matte
Gulv i japanske hus har tradisjonelt vært dekket
av tatamimatter. Disse mattene, som er laget
av vevet strå, kan være utgangspunkt for mye
matematikk. Mattenes form er enkel å beskrive:
de er rektangelformete med langsiden dobbelt så
lang som kortsiden, altså to kvadrater satt inntil
hverandre. Her skal jeg se på hvordan tatamimatter kan brukes til å se nærmere på areal­
begrepet. Til slutt i artikkelen ser jeg også litt
på mønstrene som dannes når en setter sammen
tatamimatter.
Tatamimattene har vært standard gulv­
bekledning i Japan i mange hundre år, og fortsatt er det vanlig å ha minst ett rom dekket
med tatamimatter. Se figur 2 neste side. Mattenes størrelse er omtrent 90×180 cm. Et rom
blir alltid prøvd fylt med så mange hele matter
som mulig, eventuelt med en halv matte i til_ legg (en hanjo). Da tatamimattene er store og
dekker gulvflaten, er det enkelt å telle antall
matter på et gulv. Dette har gjort at romstørrelse i Japan som oftest blir oppgitt i antall tatamimatter det er plass til. Typiske romstørrelser
er seks eller åtte matter. Et japansk terom, som
fortsatt alltid er tatamibelagt, har en størrelse
på fire og en halv matter. Ved tatamimatter er
Gert M. Hana
Høgskolen i Bergen
Gert.Monstad.Hana@hib.no
2
koblingen mellom areal og det å fylle en flate
med kopier av en enhet ekstra sterk. I motsetning til kvadrat­meter som kan virke abstrakt og
være uvant å se for seg plassert utover en flate,
blir tatamimatter konkret plassert utover en
flate. Denne konkretiseringen kan virke fjern
for norske elever som ikke møter tatamimatter
i hverdagen. Allikevel vil det å møte situasjoner hvor en konkret ser at areal er antallet av en
enhet det er plass til, kunne være til hjelp med
å utvikle forståelse for arealbegrepet, og spesielt
med å knytte kvadratmetermål til hvor mange
ganger det er plass til en kvadratmeterrute.
De fleste måleenheter har en bakgrunn
i menneskekroppen. Tatamimatter er intet
unntak. En halv matte er passe plass for en stående eller sittende person, mens en hel matte
er passe plass til en liggende person (figur 1).
Dette har tilknytning til tatamimattenes opprinnelse: de ble til å begynne med brukt som
et portabelt gulvdekke til å legge over jordgulv
Figur 1: Tatamimattens størrelse er basert på plassen
en person trenger for å kunne sove komfortabelt
(illustrasjon fra Yagi, 1982).
2/2011 tangenten
Figur 2: Japansk rom innredet med tatamimatter. Fra: commons.wikimedia.org/wiki/File:Takagike_
Kashihara_JPN_001.jpg#filelinks.
når det var behov for å sitte eller ligge (Engel,
1985).1 At størrelsen på mattene er koblet til sitting og ligging, gjør mattene egnet til å beregne
hvor mange det er plass til i et rom med et
bestemt formål. Et trematters rom har plass til
to sovende samt en ledig matte. Et kvadratisk
bord med sidekanter som er lik kortlengden
til tatamimattene har plass til fire (se figur 3).
På denne måten kan en bruke antall matter til
å regne ut om rommet er stort nok til ønsket
formål. Når en japaner får oppgitt størrelsen på
rom i et hus i antall matter, har hun da allerede
et godt grunnlag for å si hva det er plass til i de
forskjellige rommene. Det er ofte ikke nødvendig å kjenne målestokken til plantegninger av
japanske hus ettersom tatamimattene gjerne er
tegnet inn (figur 4).
Det finnes et liknende konkretiseringsmateriell som er spesielt lett tilgjengelig i norske
klasserom: A4-arket. A4-ark er knyttet opp
tangenten 2/2011
til det metriske system, da 16 (eller 24) slike
ark har areal på akkurat en kvadratmeter.2 På
denne måten er A4-ark fine å bruke både som
ikke-standardisert enhet og koblet opp mot den
Figur 3: En halv tatamimatte er den plassen som
trengs for at en person skal sitte komfortabelt.
Dersom en har sidekantene gitt i forhold til størrelsen
på tatamimattene kan en da avgjøre hvor mange
det er plass til rundt bordet. Et kvadratisk bord med
sidekanter lik kortsiden til en tatamimatte har da plass
til fire personer (illustrasjon fra Yagi, 1982).
3
A) Japansk hus med hage.
B) Plantegning av bygårder (machiya) fra Kyoto.
Figur 4: Plantegninger av japanske hus. Størrelsen på
rommene er gitt ved å telle antall tatamimatter i de
forskjellige rommene, her er det ikke nødvendig å måle
lengder eller bruke målestokk. Dersom en derimot vil
finne målestokken kan en finne denne fra målene på
tatamimatten (illustrasjoner fra Yagi, 1982).
standardiserte enheten kvadratmeter. Eksempelvis har en flate med plass til 36 A4 ark arealet
36/16 m2 = 2,25 m2. Dersom en ønsker å bruke
et konkretiseringsmaterial som er formlikt med
tatamimattene kan en bruke dominobrikker.
Størrelsen på tatamimattene er nært knyttet
opp mot andre japanske mål, spesielt lengdemålet ken.3 En ken er lengden til langsiden av
tatamimatten, og er omtrent 1818 mm. Faktisk
er en ken eksakt 60/33 m. I 1891 ble nemlig de
japanske måleenhetene justert slik at konverteringsforholdet til metriske enheter skulle være
rasjonale tall.4 Størrelsen på tatamimattene har
4
derimot aldri blitt standardisert som en nasjonal enhet: det er fortsatt regionale forskjeller
og noen plasser til og med forskjeller knyttet til
hvilken type bygning matten skal brukes i. Størrelsen ble derimot standardisert i den forstand
at de etter hvert ble produsert i faste størrelser.
Dette gjorde at lengden til langsiden av tatamimatten også ble brukt som mål for avstanden
mellom stenderne som danner veggkonstruksjonene i japanske hus (jf. figur 2). Når tatamimattene er koblet til stenderavstanden gir
de ytterligere informasjon om arkitektoniske
element i rommet, som bredden på skyvedører
og vinduer.
Ordet ken blir også brukt om den karakteristiske modulære formen for japansk arkitektur som baserer seg på lengdemålet ken. Denne
arkitekturen baserer seg i stor grad på struktur
og orden. Grunnstammen i denne ordenen er
stolper med avstand én ken i mellom seg. Hus
og rom ble konstruert etter til dels faste regler.
Eksempelvis skulle takhøyden være lik antall
tatamimatter ganger 0,3.
Arealmål som baserer seg på en kvadratisk
grunnenhet har flere fordeler. En av disse er at
det er lett å benytte kvadrat til å dekke en flate.
Denne egenskapen er også oppfylt dersom en
benytter rektangler, som tatamimatter, som
grunnenhet. Arealmål med kvadratiske grunnenheter har derimot andre fordeler. F.eks. kan
arealmodellen for multiplikasjon brukes. Spesielt vil arealformler som lengde gange bredde
være gyldige for kvadratiske arealmål (dersom
en baserer seg på en lengdeenhet lik sidekanten
i kvadratet). Dette gjelder ikke for tatamimatter. Derfor bruker også japanerne arealenheten
tsubo, som er arealet av to tatamimatter. En
tsubo tilsvarer da arealet til ett kvadrat med
sidelengde én ken.
Når en legger sammen tatamimatter, ser en
fort at det dukker opp mange vakre mønstre
(se figur 5). De mulige mønstrene blir gjerne
delt opp i gunstige og ugunstige mønstre (se
figur 6). I enkelte sammenhenger – jeg har ikke
helt greid å finne ut hvilke – skal det bringe
2/2011 tangenten
Antall mulige gunstige mønstre for et rektangulært rom av vilkårlig størrelse er en sum av
binomialkoeffisienter. For et rom av størrelse m×n hvor 3 £ m £ n er antallet gunstige måter å legge
tatamimatter på gitt ved:
Dersom m er odde
Dersom m er jevn
Her settes binomialkoeffisientene lik null dersom brøkene ikke gir heltall.5
ulykke å legge mattene i et ugunstig mønster. Å
finne mulige (gunstige) tatamimønstre for forskjellige romstørrelser og ikke minst argumentere for at det ikke finnes andre, kan være en fin
utforskende aktivitet som gir rom for matematisk argumentasjon. Problemstillinger kan være
av typen «finn (gunstige) tatamimønstre med
6 matter» eller «finn (gunstige) tatamimønster
som passer i et 2×3-rektangel.» Disse problemstillingene kan generaliseres. Noen generelle
problemstillinger å bryne seg på er: «For hvilke
n og m kan en lage (gunstig) tatamimønster i
et n×m-rektangel?» eller «Kan en alltid lage et
(gunstig) tatamimønster i et n×m-rektangel
dersom n er jevn?»
Å finne et generelt uttrykk for antall mulige
gunstige mønstre for et rektangulært rom av
vilkårlig størrelse er derimot ikke så enkelt.
Dette problemet ble nylig – 2009 – løst av Frank
Ruskey og Jennifer Woodcock. Uttrykket er en
Figur 6: I et ugunstig mønster møtes fire tatamimatter
i ett punkt. På hvilke andre måter kan fire tatamimatter
møtes i et punkt?
sum av binomialkoeffisienter. Se rammen for
formlene.
Figur 5: Forskjellig mønstre med tatamimatter. Her er
det eksempler på både gunstige og ugunstige mønstre
(fra Ching, 2007).
(fortsettes side 32)
tangenten 2/2011
5
Volker Berthold
Næsehornsstenen
Målet med enhver undervisning må være at
udvikle elevens forståelse for sin hverdag og
forberede den enkelte på den fremtidige anvendelse i sit eget liv. Hvis undervisningen samtidig
kan bidrage med inspiration og udvikling af den
omkringliggende virkelighed, så nærmer den sig
ud fra mit syn, den perfekte undervisning. Vigtige elementer i sådan en vurdering er:
– Emnet relaterer til en konkret situation
eller problemstilling fra hverdagen.
– Eleven kan se værdien i problemstillingen.
– Eleven engagerer sig emotionelt og fagligt i
forløbet.
– Læreren vurderer sammenhæng til de faglige mål.
– Emnet har et forløb over en periode med
skiftende indfaldsvinkler, som f.eks.
oplevelse, analyse, refleksion, samarbejde,
kommunikation, problem- og færdighedsløsning.
– Der er progression i processen.
– Der er en naturlig differentiering (selvdifferentiering) i forløbet.
– Der er dialog i processen, idet læreren
følger elevernes vej (med-læring; læreren og
eleven er fælles om ejerskab til processen).
Volker Berthold
Spjellerup Friskole
Volker.Berthold@skolekom.dk
6
– Afslutningen skaber forandringen ved at
elevernes arbejde har indflydelse på hverdagssituationen.
Næsehornsfliser – en dansk belægningssten – har
givet mig, tre klasser og producenten sådan en
helheds­oplevelse. Vi har arbejdet undersøgende
og med faste opgavesæt, bevæget os fra virkeligheden over semi-virkeligheden til ren matematik og tilbage igen. (Undersøgelseslandskaber, Ole
Skovsmose, Rapport fra LAMIS’ sommerkurs
1998). Ministeriets krav om arbejde med kompetencer ses opfyldt på mange områder. Det er
især modelleringskompetencen, jeg har fokus på
i denne sammenhæng (Fælles Mål, matematiske
kompetencer). Eleverne har arbejdet i skoletiden
og desuden inddraget frikvarter/fritid ind i processen (Leg og læring). På alle klassetrin kan der
stilles opgaver, som løses intuitivt og med brug
af fysisk aktivitet, samtidig med at forventningerne til enkelte elever eller grupper, kan flyttes
til formelle løsningsmodeller.
Virkelighedens udgangspunkt
Mit eget udgangspunkt var behovet for at lægge
nogle pæne fliser ved havebordet i min private
have. Mit ønske var, ikke at bruge en af de populære rektangulære fliser. Mødet med næsehornsstenen gav dette resultat på hjemmesiden:
2/2011 tangenten
Næsehornet® er seks cm tyk og måler elleve
cm på alle sider. Alle vinkler er enten 45°
eller 90°. Disse mål betyder, at to sten kan
lægges sammen på 43 forskellige måder.
Dette giver mulighed for et uendeligt antal
forskellige mønstre. (Beskrivelse af stenen
fra producentens hjemmeside www.sandgaardbeton.dk)
Her blev mit matematiske hjerte tændt. Alle
disse oplysninger fra hjemmesiden er interessante i forhold til en matematisk betragtning.
Der er:
– faktaoplysninger, som kan måles efter,
– oplysning om kombinationer, som mangler
dokumentation og kræver egne under­
søgelser (kontrol)
– påstande om en mønster-uendelighed,
som betyder, at man kan blive ved med
at finde på nye mønstre. Dette er for mig
en indirekte opfordring til efterprøvning.
Tal og påstande skal kontrolleres. Uendelighedsstilstanden er også en matematisk
udfordring, idet den kræver planlægning,
overblik og systematisering.
Dermed var idéen til et undervisningsforløb født
– uden helt at kende indholdet. Men Fælles Mål
2009 (se rammen) gav sit begejstrede tilsagn.
Materialeudgangspunkt
Der er mønsterbeskyttelse på formen, som både
er enkelt og samtidig genialt, idet mangfoldighederne er store ud fra den simple struktur. Næsehornet® er en seks kantet belægningssten, som
er sammensat af to kendte matematiske grundformer: et kvadrat og en rombe. Alle sider er lige
lange. Alle vinkler er 45° eller en mangedobling
af den.
Med en ens kantlængde opstår der mange
forskellige muligheder for samlinger. Da alle
vinkler bygger på basisvinklen 45° og 45° går
op i cirklens 360°, er det let at samle stenene
omkring et hjørne, uanset forståelsen af matematikken bagved.
tangenten 2/2011
Fra Fælles Mål 2009
Formålet med undervisningen er, at eleverne
udvikler matematiske kompetencer og
opnår viden og kunnen således, at de bliver
i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i
matematikrelaterede situationer vedrørende
dagligliv, samfundsliv og naturforhold.
Stk. 2 Undervisningen tilrettelægges, så
eleverne selvstændigt og gennem dialog
og samarbejde med andre kan erfare, at
arbejdet med matematik fordrer og fremmer
kreativ virksomhed, og at matematik rummer
redskaber til problemløsning, argumentation
og kommunikation.
www.faellesmaal.uvm.dk
Producenten tilbyder
også to hjælpefliser til
Næsehornet® i sit program. De skal hjælpe til
at mønstre kan gå op,
men de er også med til
at skabe nye muligheder. Det drejer sig om
et kvadrat og en rombe.
Fra mellemtrinnet bør
man starte undervisningen uden hjælpefliser og først inddrage
dem, når mønstre ikke
går op. Hjælpefliserne
er i mine afprøvninger
valgt i en anden farve
end hovedflisen.
Undervisningsidéer med Næsehornsflisen
I det følgende vil jeg beskrive gennemførte
afprøvninger og idéer til kommende timer.
Udgangspunktet for alt arbejde med denne
belægningssten, er bevægelsen fra intuitionen
til matematisk analyse. Dette betyder at det hele
7
starter med eksperimentet og processen peger
hen imod en beskrivelse af de undersøgte forhold – med hverdagsord eller som faglig analyse.
Det vigtige er, at man
skaber sit eget forløb
ud af de mange muligheder – eller bedre:
vælge få opgavestillinger og derefter, i samarbejde med eleverne,
udvikle klassens forløb.
Materiale­behov: ca. 4–5
m2 fliser. Laminerede
efter­ligninger har suppleret til en indendørs undervisning.
ståelsen for at der ikke skal være huller mellem
stenene er næsten selvsagt. Spejlinger og symmetrier kommer ofte af sig selv, men kan også
fremprovokeres gennem yderligere spørgsmål:
Hvornår er et mønster flot? Kan det samme
mønster ses, uanset hvilken side man kommer
fra?
Digital affotografering er oplagt, da antallet af sten hurtig giver en begrænsning, når en
hel klasse arbejder med 5 m2. I arbejdet med de
mindste klasser har jeg tilladt brugen af de 2
hjælpesten uden nogen begrænsning.
Da der var fint sand til rådighed, gik flere
hold i gang med at feje den ned i mellem­
rummene. Nogen må have set det derhjemme
og virkeligheden blev afprøvet i timerne.
1. Fra intuition til formelt skolearbejde
A. Elevkonstruktioner
Vinkler, længder og højden kan måles på stenen,
men de kan også udleveres for at få eleverne til
at konstruere stenen med lineal og vinkelmåler – eller endnu bedre, med lineal og passer.
Samme konstruktion kan også finde sted i et
geometriprogram på computer.
Udskrevne elevproduktioner kan bruges
til indendørs arbejde, gennemførelse af større
mønstre i mindre format – eller når fremhævning af mønstre ønskes understøttet af stærke
farver.
B. At lægge fantasiens mønstre
Børn elsker at arbejde med geometriske
former. Mit eget udgangspunkt med haven var
en oplagt baggrund for at stille spørgsmålet:
Kan I komme med en idé til et mønster? For8
C. Fantasi og billeder med grundformen
Opgavens formulering kan tage udgangspunkt i spejlingsmønstre. Når tanken om
billed­kunst suppleres opstår der hurtig indre
billeder og henfører tanker til visuelle fantasier
med tangram-brikkerne.
Hvad kan stenenes kontur forestille?
Kan alle se udtrykket
eller skal det males?
Navnet Næsehornet
stammer fra ophavsmanden Lennart Petersen. Hans næsehorn er
konstrueret af fire sten.
D. Udvikle egne grundmønstre
Store mønstre er enten bygget op af mindre
enheder som tesselerer, eller tager udgangspunkt
i mange flere fliser, før de kan sættes sammen.
Eleverne skal have mulighed for at lægge netop
deres mønster. Her er det en fordel at starte med
at tænke i symmetrier, som kan være basis for
en flisebelægning.
En måde at organisere denne mønster­
opgave på er, at udfordre mønsterdannelse med
udgangspunkt i et bestemt antal.
– ”Tag otte næsehornsfliser og byg et symmetrisk mønster.”
2/2011 tangenten
– ”Tag 20 fliser, heraf mindst 12 næsehornsfliser og byg et symmetrisk mønster.”
– ”Byg et mønster, hvor højst hver tredje
(eller hver fjerde) sten må være en hjælpeflise.”
– ”Byg et mønster med alle de næsehornsten,
du skal bruge – men uden hjælpesten.”
E. Udfyldning af en kontur
Opgaven løses nemmest i en papirversion,
hvor næsehornsten skal passe ind i en fastlagt
ramme. Ofte kan elever lægge forskellige løsninger på samme udfordring.
2. Fra kombinatorik til mønsterdannelse
A. At forske i konstruktionerne (kombinationer)
”To sten kan lægges sammen på 43 forskellige måder”. Her kan eleverne stilles overfor
spørgsmålet: Er denne påstand rigtig? Forsøg
tangenten 2/2011
at finde de mange forskellige måder. Findes
der 43 forskellige? Hvordan skal undersøgelsen
foretages for at holde styr på dem alle. Hvilken
fremgangsmåde er brugbart for at frasortere
drejninger og spejlinger? Hvor betydningsfuld
er det, at en flise kan vendes. Dokumentationen
og sammenligningen kan finde sted med digitale billeder.
I lighed med kombinationer af siderne, kan
opgavestillingen forandres med udgangspunkt
i vinklerne.
Hvor mange sten skal der til, for at samle
360° i et punkt?
Kan man finde antal af kombinations­
muligheder? Sorter og undgå gengangere.
B. Finde basismønstre
Ved at lægge 2 eller flere sten sammen, skabes
nye enheder. Nogle af dem tesselerer, dvs. de
passer sammen, når man lægger dem igen og
igen ved siden af hinanden og dækker en flade
uden at der skabes huller.
Hvor mange af disse basismønstre findes
med to sten? Er der flere med tre eller fire sten?
En interessant undersøgelse er, om alle
kombinationer fra pkt. A. kan være grundlag
for flise­dækninger, hvis de må kombineres med
deres egne spejlinger.
C. Tesselering
Mønstre kan bygges op som en regelmæssig
flisedækning. Dvs. at samme mønster bliver gentaget ved siden af sig selv (tesselering). Dette er
typisk for indkørsler og terrasser. Producenten
har forskellige forslag på hjemmesiden, som kan
inspirere til nye flisedækninger – eller de kan
være udgangspunkt for at arbejde med målet:
Kan man lægge andre mønstre? Er nogen af dem
9
øge mønstrets fremtoning.
Producenten har ikke nogen forslag til denne
type mønstre på sin hjemmeside.
Allerede med valget af centrets opbygning er
der mange muligheder. Men betyder dette en
uenliglighedsdimension eller vil der på et tidspunkt indgå en regelmæssighed og dermed en
gentagelse?
3. Fra virkelighed til virkelighed
så gode, at vi vil foreslå dem til producenten?
Tesselering bygger på kombinationer og
basismønstre som gentages, men kan også
skabes af større enheder (f.eks. fire eller otte
sten).
A. Efterligning af bestående mønstre
På producentens hjemmeside gives der forslag til forskellige flisedækninger. Disse mønstre
kan printes ud. Opgaven består i at arbejde som
anlægsgartner og lægge kundens ønske i indkørslen. En efterligningsopgave, som kan sammenlignes med at lægge puslespil.
B. Beregning af arealet og rumfang
Beregn flisens areal. Dette kan foregå ud fra
målinger på stenen. Men hvordan kan det lade
sig gøre i et computerprogram, eller helt uden?
Hvilke data er svære at få fat i? Stenen er ikke
lige til at måle areal på.
Til indkøb af fliser til en belægningsopgave
tages udgangspunkt i m2. Hvor mange fliser skal
der bruges til 1 m2?
Der kan yderligere beregnes flisernes samlede
rumfang mht. transport på lastbil. Her støder
man ind i problemstilling, at stabling til transport kræver valg af et ”transportmønster”, som
mindsker spildplads.
D. Centriske mønstre
En anden måde at arbejde på er centrisk. Det
vil sige, at mønstret gentager sig ud fra et centrum og består af lige enheder i samme afstand
til midten. Mønstret vil forandre sig, jo længere
man kommer væk fra centrum, men antal gentagelser har en talmæssig regelmæssighed. Hvor
mange er normalt og hvorfor?
Et sådan mønster er velegnet til mindre terrasser eller til optiske strukturer på udvalgte
arealer. Stenenes indfarvninger kan yderligere
10
C. Konkret forslag til et stykke af skolegården
(fortsettes side 20)
2/2011 tangenten
Frode Rønning
Symmetrier i islamske mønstre
I kunst og arkitektur kan en lett finne eksempler
som kan kobles til matematiske begreper, særlig
begreper fra geometri. Det er kjent at kunstnere
gjennom tidene bevisst har brukt begreper som
naturlig kan sies å høre hjemme i matematikken,
slik som for eksempel forholdstallet Det gylne
snitt. Selv om matematiske sammenhenger ikke
nødvendigvis har vært styrende for kunstnerens
utforming, kan bevissthet om dem tre fram når
man i ettertid betrakter kunstverket med et
matematisk blikk. Man kan si at man da matematiserer kunsten. Det er naturligvis bare én av
mange mulige måter å nærme seg et kunstverk
på. Min påstand er at en slik matematisering har
verdi fordi den bringer inn et matematisk språk
som man kan snakke om kunsten i. Ved hjelp
av dette språket kan man trenge inn i detaljer
ved kunstverket som man kanskje ellers ikke
ville ha blitt oppmerksom på. I en skolesammenheng mener jeg at en slik innfallsvinkel vil
være verdifull både for matematikkfaget og for
faget kunst og håndverk. Eksempler på dette er
vist i (Rønning, 2003). Slike koblinger er også
understreket gjennom at læreplanen fremholder det å regne som en grunnleggende ferdighet som skal komme inn i alle skolefag. Det å
Frode Rønning
Høgskolen i Sør-Trøndelag
frode.ronning@hist.no
tangenten 2/2011
regne tolkes ulikt i ulike fag, og i faget kunst
og håndverk omfatter det å regne mye mer enn
tallbehandling (Rønning, 2009).
I denne artikkelen vil jeg se nærmere på
begrepet symmetri og spesielt studere symmetrier i mønstre fra islamsk kultur. Symmetri,
og begreper knyttet til dette (speiling, rotasjon, parallellforskyvning), er sterkt vektlagt i
gjeldende læreplan der det for eksempel er formulert at elevene allerede etter fjerde skoleår
skal kunne gjenkjenne og bruke speilsymmetri
og parallellforskyvning i konkrete situasjoner
(Utdanningsdirektoratet, 2006).
Islamske dekorasjoner
Islamske byggverk er ofte rikt dekorert med
mønstre som dekker store flater. I disse mønstrene finner man ofte inskripsjoner fra Koranen, men også geometriske figurer spiller en
viktig rolle. Man oppdager fort at det er enkelte
grunnleggende figurer som går igjen svært ofte,
med ulike variasjoner. En figur som forekommer ofte er laget på grunnlag av to kvadrater
innskrevet i en sirkel, der det ene kvadratet er
dreid 45 grader i forhold til det andre (figur 1).
Denne figuren kalles Khatem Sulemani, som
betyr Salomons segl. Ved å sette fire slike figurer sammen, som vist i figur 2, dannes det et
korsformet område mellom dem, og elementet
i figur 2 kan brukes som byggestein for et flatedekkende mønster.
11
Figur 1
Figur 3
Figur 2
Figur 4
Figur 1 viser den grunnleggende Khatem Sulemani. Den blir mer spennende dersom den
utvikles litt, og her er det verdt å merke seg
at denne utviklingen skjer ved å innføre flere
konsentriske sirkler i den grunnleggende figuren. I figur 3 kan man se at det er lagt inn to
mindre, konsentriske sirkler, og mellom disse
to er det laget en åttetakket stjerne. Ved å fjerne
hjelpelinjer og legge på farger, kan man her få
et mønster som vist i figur 4. I figur 5 er vist et
bilde fra det indiske monumentet Taj Mahal der
man kan se mønsteret i figur 4 som en del av et
frisemønster.
Gjennom å variere forholdet mellom radiene
på den innerste og den nest innerste sirkelen, vil
mønsteret i figur 4 endre seg. Ved å konstruere
figur 3 i Cabri og bruke Compass-funksjonen
for å lage sirklene, kan en variere radiene og
dermed se denne effekten. En mye brukt versjon
av mønsteret i figur 4 er når forholdet mellom
de to radiene er slik at to og to sider i de åtte
sekskantene er parallelle. Det kan se ut til at
figuren på bildet fra Taj Mahal er slik.
Man kan finne flere konstruksjoner som
12
Figur 5
grunnlag for islamske mønstre der sirkler er
brukt på en ganske avansert måte. Dette fortjener en liten kommentar. Det er godt dokumentert at astronomi på et tidlig tidspunkt var
høyt utviklet i den arabiske (islamske) kulturen. Abas og Salman (1995, s. 11) hevder at det
første astronomiske observatoriet ble bygget i
Maraghah i Iran på 1200-tallet, og der gjorde
man både observasjoner og beregninger. Det er
lett å forestille seg behovet for å kunne navigere i forhold til himmellegemene i denne
kulturen. For en muslim er det viktig alltid å
kunne peke ut retningen til Mekka. Man kan
også tenke seg at det å kunne navigere hadde et
praktisk formål siden det her dreier seg om folk
2/2011 tangenten
som beveget seg over store avstander på havet
og på landjorda, særlig i ørkenstrøk der det er
lite av natur­formasjoner å orientere seg etter. I
forbindelse med navigasjon spiller konstruksjoner med bruk av sirkler en viktig rolle, så det er
naturlig at man her var spesielt opptatt av, og
dermed utviklet god kunnskap om, geometri
knyttet til sirkler.
Symmetri i uendelige mønstre
I matematikk er symmetri knyttet til det
som gjerne kalles isometrier eller kongruens­av­bild­ninger. Det er forflytninger av figurer som
er slik at figuren bevarer både størrelse og form.
Begrepet isometrier omfatter både speiling
(refleksjon), rotasjon og translasjon. I tillegg
opererer man med en fjerde isometri, kalt glidespeiling. Den kan oppfattes som en translasjon
etterfulgt av en refleksjon. Det er egenskapen
«å bevare størrelse og form» som er det matematiske grunnlaget for å organisere disse fire
begrepene under samme overordnede begrep,
altså isometri.
Refleksjonene viser seg å spille en spesiell
rolle i den forstand at de kan oppfattes som
bygge­steiner for alle isometrier. Det er et velkjent resultat at enhver isometri enten er en
refleksjon eller så kan den beskrives som en
sammensetning av to eller tre refleksjoner. Mer
presist er det slik at en sammensetning av to
refleksjoner gir en rotasjon, eller en translasjon dersom refleksjonsaksene er parallelle. En
sammen­setning av tre refleksjoner kan be­skrives
som én refleksjon dersom refleksjonsaksene har
et felles skjæringspunkt. Hvis dette ikke er tilfelle, kan denne sammensetningen beskrives
som en glidespeiling.
Et flatedekkende mønster (en tessellering)
som dannes ved å repetere en grunnfigur,
betraktes som et uendelig mønster. Her skiller
en mellom mønstre som oppstår når grunn­
figuren repeteres langs én retning, og når den
repeteres langs to (ikke-parallelle) retninger. De
mønstrene som oppstår på denne måten, kalles
ofte for frisemønster, henholdsvis tapetmønster.
tangenten 2/2011
Det er tapetmønstrene som blir studert nærmere i denne artikkelen. Tapet­mønstrene klassifiseres etter hvilke kombinasjoner av isometrier
de inneholder. Det er et velkjent, men kanskje
noe overraskende resultat, at det finnes nøyaktig 17 ulike kombinasjoner av isometrier som
kan opptre i et tapetmønster. Et viktig element
i avgrensningen av antallet tapetmønstre er
knyttet til at det er begrenset hvilke rotasjoner
som er mulige i et slikt mønster. Det viser seg
at bare rotasjoner på 60, 90, 120 og 180 grader
kan opptre, og at 90-graders rotasjon ikke kan
opptre i samme mønster som en 60 eller 120
graders rotasjon (se for eksempel Martin, 1982).
Det er verdt å merke seg forskjellen fra symmetrier i endelige figurer. Man vil kunne realisere
rotasjonssymmetri på 360/n grader for et hvilket som helst naturlig tall n ved å lage en regulær n–kant. En tabell som viser prototyper på
hvert av de 17, mønstrene finnes for eksempel i
boka til Martin (1982). Slike tabeller kan også
finnes på en rekke vevadresser, for eksempel
www.clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html
(David, u.å.).
Tapetmønstre i islamske dekorasjoner
Som nevnt er byggverk knyttet til islamsk
kultur ofte svært rikt dekorert med flate­
dekkende mønstre. Jeg har tidligere nevnt Taj
Mahal i India, og i Vest-Europa er palasset
Alhambra ved Granada i Spania, og også den
store moskeen i Córdoba, gode eksempler på
byggverk med rike dekorasjoner. Det er ikke så
unaturlig at man i møte med den overflod av
dekorasjoner som disse bygningene inneholder,
vil stille seg spørsmålet om man kan finne alle
de 17 mulighetene. Det kan synes som om flere
personer på ulike tidspunkt, mer eller mindre
i en bisetning og uten videre dokumentasjon,
har skrevet at svaret på dette spørsmålet er «ja».
For eksempel skriver Martin at «[a]lthough it
would not have occured to the Moors to classify a design by its symmetry group, all of the
seventeen groups were implicitly known to the
Moors in the decorations of the Alhambra.»
13
Akse A
Akse B
Punkt C
Akse C
Punkt A
Figur 6
(1982, s. 111). Spørsmålet om man kan finne
alle 17 ble på 1980-tallet til dels ganske heftig
diskutert av flere forfattere, og jeg vil i denne
artikkelen gjennom noen eksempler vise hvilke
problemstillinger som kan oppstå når man
skal avgjøre om alle 17 mønstrene kan finnes
i islamske dekorasjoner, eller for den del i selve
Alhambra. For å kunne avgjøre dette, er det
nødvendig å ha klare kriterier for hva man skal
se på. Ett viktig kriterium vil være hvordan man
tar hensyn til bruk av farger. Dekorasjonene i
Alhambra er ofte fargerike, og det vil være
nødvendig å avgjøre om, og i tilfelle på hvilken
måte, man skal ta hensyn til fargene når man
avgjør symmetriegenskapene.
Mønsteret i figur 6 kan brukes som eksempel på fargenes rolle. Mønstret består av rekker
med stjerner (Khatem Sulemani) der annenhver
horisontal rekke består bare av blå stjerner. I de
mellomliggende rekkene er annenhver stjerne
sort og rød-brun. Mellom stjernene er det ulike
dekorasjoner i sort og hvitt. Ser man etter isometrier som tar hensyn til fargene, dvs. som
avbilder for eksempel en blå stjerne på en blå
stjerne, ser det ut til å være to typer refleksjons14
akser som står vinkelrett på hverandre, merket Akse B
og Akse D på figuren. Akse A og Akse
C vil her ikke være
Punkt B
ref lek sjon sa k ser
fordi de vil avbilde
en sort stjerne på en
rød-brun. Om man
Akse D
derimot ser bort fra
fargene og bare ser
på selve mønstret,
vil også disse bli
refleksjons­a kser. På
figuren er merket
to punkter, A og B.
Disse er sentre for
rotasjoner i mønstret. Dersom man
tar hensyn til fargene, er de begge sentre for 180
graders rotasjoner, men dersom man ser bort fra
fargene, blir de begge sentre for en 90 graders
rotasjon. Uten hensyn til farger kommer også
punket C fram som et rotasjonssenter, for en
180 graders rotasjon.
Det er imidlertid mer med dette mønstret,
som muligens ikke er synlig på bildet. Dersom
man går nærmere inn på området rundt en av
stjernene, vil en kunne se at mønstret har en
tredimensjonal effekt i det at de hvite stripene
ser ut til å være flettet i et over/under-mønster.
I figur 7 er det mulig å se dette. Denne effekten gjør at mønsteret faktisk ikke vil ha noen
speilinger i det hele tatt. Hvis en tar hensyn til
Figur 7
2/2011 tangenten
flettingen, er mønsteret i figur 6 et eksempel på
ett av de mønstrene som det har vært diskusjon
om virkelig finnes i Alhambra.
I figur 8 er det vist et eksempel på et annet
mønster som det også har vært diskusjon om
virkelig finnes i Alhambra. Her er det ingen
problemer med kategoriseringen. Mønstret
har to ulike 180 graders rotasjonssentre og to
glidespeilings­a kser (markert med rødt i figuren). Det har altså ingen speilinger. Dilemmaet
her er imidlertid at dette er et svært vanlig mønster som finnes overalt. Bildet i figur 8 har jeg
tatt på en gangvei i Malmö, men det kunne ha
vært tatt hvor som helst. Så spørsmålet er da,
om det tilfeldigvis finnes på et gulv i Alhambra,
skal det kunne regnes med? Det vil i alle fall
være vanskelig å argumentere for at dette er et
typisk islamsk mønster?
Figur 8
Betydning for matematikk i skolen
Den diskusjonen jeg har lagt opp til i denne
artikkelen er klart matematisk, men allikevel av
en annen karakter enn det man vanligvis forbinder med matematikk i skolen. Jeg løfter dette
fram fordi at jeg tror det kan være verdifullt å
få fram denne siden ved matematikkfaget. Dette
er med på å koble matematikk til sentrale elementer i kunst og kultur. Selve dekorasjonene
er flerfaglige i seg selv, også uten tanke på matematikken. De er ikke kunst for kunstens egen
skyld, men de er sterkt knyttet til en bestemt
religiøs kultur. Samtidig kan de lett knyttes til
kunstneriske uttrykk utenfor en religiøs kontangenten 2/2011
tekst. Kunstneriske uttrykk med utgangspunkt i
flatedekkende mønstre er godt kjent, for eksempel gjennom den hollandske kunstneren M.C.
Escher. Og her er det direkte forbindelser til
den islamske kulturen. Escher tilbrakte en god
del tid i Alhambra (Abas, 2003), der han tegnet
av mønstre som senere ble inspirasjon for hans
egne verker.
Jeg mener at dette er en del av matematikk­
faget som er verdifull fordi det viser en annen
side av matematikken enn den vanlige. Dette
kan være viktig for mange elever, og det kan
også være viktig for mange lærere. Kanskje kan
det være aktuelt og viktig ikke minst for lærere
som arbeider med andre fag enn matematikk.
Referanser
Abas, S. J. (2003). Islamic patterns: The spark
in Escher’s genius. I D. Schattschneider &
M. Emmer (Red.), M. C. Escher’s legacy. A
centennial celebration (ss. 100–112). Berlin:
Springer.
Abas, S. J., & Salman, A. S. (1995). Symmetries
of Islamic geometrical patterns. Singapore:
World Scientific Publishing Co.
David, H. (u.å.). 17 wallpaper groups. Lastet
ned 2. juni 2010 fra www.clowder.net/
hop/17walppr/17walppr.html
Martin, G. E. (1982). Transformation geometry.
An introduction to symmetry. New York:
Springer.
Rønning, F. (2003). En katedral för lärande i geometri. Nämnaren, 30(4), 3–8.
Rønning, F. (2009). Å regne i kunst og håndverk.
I J. Fauskanger, R. Mosvold, & E. Reikerås
(Red.), Å regne i alle fag (ss. 186–189).
Oslo: Universitetsforlaget.
Utdanningsdirektoratet (2006). Læreplanverket
for Kunnskapsløftet. Midlertidig utgave juni
2006. Oslo: Forfatteren.
Alle fotografier ved forfatteren.
Artikkelen er en forkortet versjon av «Symmetrier
i islamska mönster» trykt i Nämnaren nr. 1,
2011: ncm.gu.se
15
Nils Kr. Rossing
Symmetri og ornamentikk
Våren 2009 ble det i et samarbeid mellom
Norden­fjeldske Kunstindustrimuseum og Vitensenteret i Trondheim, gitt et tre timers tilbud til
alle elever på femte trinn innen temaet matematikk og ornamentikk. Mens Viten­senteret
hadde fokus på matematikken i ornamenter, så
tok Kunstindustrimuseet for seg den kunst- og
håndverksmessige siden ved temaet. Elevene var
halvannen time på hvert sted. I denne artikkelen vil vi fokusere på matematikken og det som
ble gjort på Vitensenteret.
«Kjenn» på båndsymmetriene
Når elevene kommer til Vitensenteret blir de
møtt av de sju båndsymmetriene, illustrert
med fotavtrykk på yogamatter. Ved å bevege
føttene etter mønstrene på mattene, kjenner de
med hele kroppen hvordan disse mønstrene er
bygget opp. Noen er enkle mens andre krever
god balanse og koordinering.
Når de kommer inn i aktivitetsrommet får
de et postkort som viser alle båndsymmetriene
(figur 2).
Figur 1: De sju båndsymmetriene illustrert med
fotavtrykk.
dekorasjon eller utsmykning for å gjøre noe pent.
Det kan være laget av blomster, geometriske figurer eller andre ting, og er ofte symmetrisk. Et
ornament kan også ha en spesiell betydning. Et
fotavtrykk er egentlig ikke et ornament, men
brukt på spesielle måter kan det bli en del av et
ornament eller mønster.
Hva er egentlig et ornament?
Speil- og båndsymmetri
Et ornament er et mønster som kan være en
Det er hovedsakelig symmetrien i et ornament
som knytter det til matematikken. De fleste forbinder symmetri med speilsymmetri (aksesymmetri). Når elevene drar tilbake til skolen skal
de ha fått et utvidet symmetribegrep. Dessuten
skal de kunne finne grunnfiguren i et mønster
Nils Kr. Rossing
NTNU/Vitensenteret i Trondheim
nils.rossing@svt.ntnu.no
16
2/2011 tangenten
Figur 2: Postkort med båndsymmetriene.
og vite at mønster kan ha forskjellige grunnfigurer og likevel være matematisk like. Denne
abstraksjonen er en krevende øvelse. Grunnfiguren er den minste delen av ornamentet som
trengs for å gjenskape hele ornamentet, Dette
kan man gjøre ved å speile, gli og rotere denne
grunnfiguren.
Med utgangspunkt i avtrykket av venstre fot,
bruker elevene plane speil for å frambringe det
speilsymmetriske høyre fotavtrykket. Ved hjelp
av speiling har de fått både høyre og venstre fotavtrykk. Dermed vet de nok til å forstå hvordan én av de sju båndsymmetriene bygges opp,
nemlig «gange» (horisontal glidespeiling). Her
ser vi hvordan både speiling om en horisontal
akse, gliding og kopiering inngår i det man kan
kalle det «utvidete» symmetribegrepet. Her er
det viktig å vise at fotavtrykket er én av uendelig
mange ulike grunnfigurer.
tangenten 2/2011
Figur 3: Horisontal glidespeiling.
Eksempler på speilsymmetri (aksesymmetri)
Elevene oppmuntres til å nevne eksempler på
ting som er speilsymmetriske. Kroppen og
ansiktet er hyppig nevnte eksempler, men også
dagligdagse ting som vinduer, dører, skilt m.m. I
oppgave 2 bruker elevene plane speil til å utforske symmetri i ansikter. Elevene får utdelt flere
eksempler på kjente ansikter og skal finne hvilket som er mest speilsymmetrisk.
Ved å gi oppgaven på denne måten oppdager
elevene at ansikter er symmetriske, men ikke
helt. Dessuten skjønner de at når ansiktet vris
litt, blir symmetrien mindre fremtredende.
Det er likevel fascinerende at den menneskelige
hjerne lett gjenkjenner et ansikt selv om det sees
17
speil til å se hvordan det speilsymmetriske
Figur 4: Undersøk speilsymmetri i ansikter (oppgave 2).
fra svært ulike vinkler.
Noe annet som ofte er speilsymmetrisk er
mønster på votter. Elevene får se eksempler på
vottemønster og utfordres i oppgave 3 til å tegne
sitt eget speilsymmetriske vottemønster på en
vottemal (figur 5).
Elevene utfordres først til bare å tegne den ene
halvparten av mønsteret for så å bruke et plant
Figur 5 A) Eksempel på vottemønster.
18
Figur 5 B) Elevoppgaven.
mønsteret blir seende ut. Mønsteret tegnes ved
å fargelegge eller skravere et utvalg av de kvadratiske rutene (5×5 mm) i malen. Deretter
speiler de mønsteret om midtaksen. For at de
Figur 5 C) Vottemal.
2/2011 tangenten
skal kunne tegne det speilsymmetriske mønsteret, må de plassere de skraverte rutene speilsymmetrisk om aksen, hvilket krever forståelse av
hva speilsymmetri er. Oppgaven viste seg å være
mer populær enn vi første hadde trodd. Elevene
ville ikke avslutte før de var helt ferdige. De fikk
med seg mønstrene og kunne fortsette hjemme
eller i klasserommet.
Hva er rotasjonssymmetri?
Etter speilsymmetriske er det nok rotasjonssymmetriske mønster som er mest kjent blant
elevene. For å skape gjenkjennelse introduseres
begrepet ved å vise et bilhjul.
Figur 6: Bilhjul, et eksempel på rotasjonssymmetri.
Ved en enkel animasjon i PowerPoint vises
hvordan bilhjulet er femfoldig rotasjonssymmetrisk. Det kan dreies fem ganger og for hver
dreining faller det eksakt over seg selv før det
igjen er tilbake til utgangspunktet. Ventilen gjør
at hjulet ikke er eksakt symmetrisk, samtidig
som den gjør at det er lettere å observere dreiningen.
I oppgave 4 skal elevene utforske rotasjonssymmetri ved hjelp av fleksible vinkelspeil.
Dette er to pleksiglasspeil (10×15 cm) som er
hengslet langs en kortside. Vinkelspeilet egner
seg godt til å utforske rotasjonssymmetriske
ornamenter. I oppgave 4 får elevene tre grunnfigurer og tre komplette ornamenter bygget opp
av grunnfigurene. Ved hjelp av vinkelspeilet skal
tangenten 2/2011
Figur 7: Plasser vinkelspeilet på figurene nederst slik at
du ser de øverste ornamentene i speilet (oppgave 4B).
de framstille hele ornamentet av grunnfiguren.
Dette krever at de må velge riktig plassering og
vinkel mellom speilene.
Selv om det er nærliggende å prøve seg
fram så oppmuntres det til å tenke systematisk. Det første en da må gjøre er å finne ut
hvor mange ganger grunnfiguren gjentar seg
i ornamentet. Dersom den gjentar seg åtte
ganger skal vinkelåpningen til speilet være:
360° : 8 = 45°. Dernest undersøkes om ornamentet er «åpent» eller «lukket», dvs. om ornamentet
har et hvitt felt i midten. Et «åpent» ornament
krever at toppunktet i hjørnespeilet ligger utenfor grunnfiguren. Er ornamentet lukket, ligger
toppunktet langs kanten av grunnfiguren.
Inspirert av det flotte rosevinduet i Nidarosdomen, lar vi elevene i oppgave 5 utforske rotasjonssymmetriske rosetter ved hjelp av passer.
Det varierer svært fra klasse til klasse om elever
på femte trinn har brukt passer. Det er derfor
nødvendig å gjennomgå bruken. Spesielt hvordan elevene åpner og lukker passeråpningen,
hvordan de holder den slik at åpningen ikke
endrer seg når de tegner, og hvordan de lager
sirkler uten at passerspissen glipper fra papiret.
Elevene lærte dette fort og hadde stor glede av
å tegne rosetter. Det ble lagt opp til en ganske
detaljert gjennomgang i PowerPoint, men de
fleste skjønte fort og valgte og utforske metoden på egen hånd.
19
Figur 8: Tegning av rosetter med passer, trinn for trinn.
Etter at rosetten var ferdig, fikk de lov til å
fargelegge de ulike områdene i tegningen. Det
ble ikke satt noe krav til fargesymmetri, men de
fleste valgte rotasjonssymmetrisk fargelegging.
Elevene ble utfordret til å finne rosettens grunnfigur for så å bruke vinkelspeilet til å gjenskape
hele rosetten.
lærerne tilbudt kurs for å bli kjent med opplegget slik at de lettere kunne gjennomføre for- og
etterarbeid og være en ressurs under gjennomføringen. Informasjon om opplegget og materiell til etterarbeid, ble lagt ut på nettsiden til
Den kulturelle skolesekk. Både lærere og elever
evaluerte opplegget etter besøket. Resultatene
viste at en svært stor del av elevene hadde fått
økt forståelse for hva ornamenter var og hvilken
rolle symmetri har i forholdet mellom matematikk og ornamentikk.
Hele opplegget er grundig dokumentert med
en egen video, en idé- og tipsbok for læreren
(Rossing m.fl. 2009) og en PowerPoint-presentasjon for bruk i klasserommet. Opplegget ligger
tilgjengelig på følgende nettadresse: www.viten.
ntnu.no/matematikk.php
Referanser
Rossing, N. Kr., Larsen, I.-M., Adsen, Å., Øien,
V. D., Torsen, E. (2009): Matematikk og
ornamentikk – Lærerveiledning, Vitensenteret i Trondheim
Figur 9: A) Fargelegging av rosetten.
(fortsatt fra side 10)
Figur 9: B) Rosettens grunnfigur.
Oppsummering
På dette tidspunktet i opplegget var det ofte gått
ca. 90 min og det var naturlig å oppsummere de
tre symmetriene som var gjennomgått: Speilsymmetri (aksesymmetri), rotasjonssymmetri
og båndsymmetri for så å avslutte aktivitetene.
Opplegget var innkjøpt av Trondheim kommune til samtlige 2000 elever på 5. trinn som en
del av Den kulturelle skolesekk. Før oppstart ble
20
Et sted på skolens areal kunne indrettes med
Næsehornsfliser. Mønstret skal kunne stimulere
synet, men også inspirere til aktiviteter. Brug
af forskellige indfarvninger kan understøtte
resultatet.
Elevgrupper skal komme med konkrete forslag på et udpeget areal, som skal dækkes. Målet
er at finde det bedste forslag som samlet svarer
bedst til æstetik og anvendelse. Her kan forløbet
med næsehornsflisen slutte med ejerskabet til
fysiske forhold på egen skole.
Ved afslutning af forløbet, har jeg sendt eleveksempler på mønstre til producenten. Han
meldte tilbage at have brugt dem siden hen på
nye kunder. Det var især de nye mønstre med
centrum, som kunne få anvendelse i kundernes
haver. Her ligger en helt anden dimension for
tilbagemelding til eleverne, som normalt afleverer til lærere, forældre og portofoliemapper.
God fornøjelse.
2/2011 tangenten
Torgeir Onstad
Tallet 41 —
med skjulte overraskelser
For en stund siden gjorde Ragnar Solvang meg
oppmerksom på en oppgave i et lite, dansk tidsskrift MatematikMagasinet. Leserne ble bedt om
å forklare følgende egenskap:
Hvis et femsifret tall er delelig med 41, er
også de femsifrede tall som framkommer
ved syklisk ombytting av sifrene, delelige
med 41.
Dette kunne jeg ikke huske å ha sett noen gang,
og jeg ble spontant nysgjerrig. Aller først laget
jeg meg et eksempel. Å finne et femsifret tall
som er delelig med 41, er lett. Det er bare å multiplisere 41 med et passe stort tall, for eksempel
mellom 1000 og 2000. Slik fant jeg 65067:
65067 = 41·1587.
En syklisk ombytting av sifrene kan for eksempel bety å flytte første siffer sist: 50676. Og sannelig, dette tallet er også delelig med 41:
50676 = 41·1236.
Jeg fortsatte:
06765 = 41·165
67650 = 41·1650
76506 = 41·1866
Torgeir Onstad
Universitetet i Oslo
torgeir.onstad@ils.uio.no
tangenten 2/2011
Slike eksempler styrker troen på at påstanden
faktisk stemmer. Men de ga meg ikke noen innsikt i hvorfor. Jeg tenkte: Er det noe spesielt med
41, eller med femsifrede tall, eller er det kombinasjonen av disse? Det er lett å finne eksempler
på at 41 ikke virker generelt: Det tosifrede tallet
82 er delelig med 41, men 28 er det ikke. Like
enkelt er det å prøve delelighet av femsifrede tall
med andre tall enn 41, og se at deleligheten ikke
bevares ved syklisk ombytting av sifrene. Det
ser altså ut til at det er noe spesielt med akkurat
41 brukt på akkurat femsifrede tall.
Men er dette enestående? Eller fins det andre
tall enn 41 som har samme egenskap? Fins det
noen tall som har en tilsvarende delingsegenskap, med firesifrede tall, eller med sekssifrede
tall? Jeg ønsket å grave dypere. Her er hva jeg
fant.
La T være et femsifret tall:
T = abcde = a ·104 + b ·103 + c ·102 + d ·10 + e
La S være det femsifrede tallet som framkommer ved å sette det første sifferet i T sist:
S = bcdea = b ·104 + c ·103 + d ·102 + e ·10 + a
Ved å multiplisere T med 10, får S og T mye
felles:
10T = a ·105 + b ·104 + c ·103 + d ·102 + e ·10
Da blir
10T – S = a ·105 – a = (100000 – 1)·a = 99999·a
21
Ved overflytting og faktorisering får vi
S = 10T – 99999·a = 10T – 9·11111·a
= 10T – 3·3·41·271·a
Her dukker altså 41 opp! Og vi ser med en gang
at dersom T er delelig med 41, så blir 41 en felles
faktor på høyresiden, slik at også S må være
delelig med 41.
Å flytte det første sifferet sist er et eksempel
på en syklisk ombytting av sifrene i tallet. En
vilkårlig syklisk ombytting av sifrene kan vi
få ved å gjenta denne operasjonen et passende
antall ganger. Beviset ovenfor gjelder derfor for
alle sykliske ombyttinger.
Dermed er for så vidt oppgaven i det danske
tidsskriftet løst. Men samtidig ser vi at vi kan
si mye mer. Det vi nå gjør, minner om Polyas
råd om å ”se seg tilbake” etter at man har løst
et problem.
For det første ser vi at 271 spiller en helt
tilsvarende rolle som 41 i uttrykket vårt. Med
andre ord, dersom et femsifret tall er delelig med 271, er også de femsifrede tallene som
framkommer ved syklisk ombytting av sifrene,
delelige med 271.
Men det er ikke bare primfaktorer som kan
brukes. En hvilken som helst faktor i 99999 har
samme egenskap. Tallet 99999 har følgende 12
faktorer:
1, 3, 9, 41, 123, 271, 369, 813, 2439, 11111,
33333 og 99999
Noen av disse faktorene er nærmest banale i
vår sammenheng. Ethvert heltall er delelig med
1. Delelighet med 3 og med 9 avhenger bare
av tverrsummen (siffersummen) til tallet, og
den forandres ikke ved permutasjon av sifrene.
Dersom T er femsifret og delelig med 99999,
må T = 99999 og S = T = 99999. For de øvrige
faktorene trengs derimot et resonnement som
ovenfor.
Her er et eksempel med faktoren 813:
22
78861= 813·97
88617= 813·109
86178= 813·106
61788= 813·76
17886= 813·22
Nå har vi skaffet oss god oversikt over situasjonen med femsifrede tall. Men vi kan si enda
mer! Hovedidéen i resonnementet er ikke
avhengig av antall sifre. Resultatet
S = 10T – 99999 ·a = 10T – 9 ·11111 ·a
gir et mønster som kan gjennomføres for et vilkårlig antall sifre. La derfor T være et n-sifret
tall. Da kan vi på helt tilsvarende måte som
ovenfor utlede formelen
S = 10T – 999…9 ·a = 10T – 9 ·111…1 ·a
Her betegner 999…9 og 111…1 tallene med henholdsvis n niere og n enere.
De tallene som har den egenskapen at delelighet med dem bevares ved syklisk ombytting
av sifrene i et n-sifret tall, er altså nettopp faktorene i det tallet som består av n niere. Og skal vi
finne disse faktorene, må vi primtallsfaktorisere
det tallet som består av n enere. Da åpner en ny
verden seg. (Et bevis for flytting av det første
sifferet sist blir et bevis for alle sykliske ombyttinger av sifrene, slik vi kommenterte for tilfellet
med fem sifre ovenfor.)
La oss først ta et eksempel med n = 6. Da må
vi faktorisere 111111:
111111 = 3·7·11·13·37
Her er et eksempel med faktoren 37:
727864 = 37·19672
278647 = 37·7531
786472 = 37·21256
864727 = 37·23371
647278 = 37·17494
472786 = 37·12778
Alle mulighetene i det sekssifrede tilfellet får vi
med de forskjellige faktorene i
999999 = 9·111111 = 3·3·3·7·11·13·37
2/2011 tangenten
Det blir i alt 64 faktorer. Her er starten og slutten på lista:
1, 3, 7, 9, 11, 13, 21, 27, 33, 37, 39, 63, 77, 91,
99, 111, …, 90909, 111111, 142857, 333333,
999999
(For den som er interessert i mønstre, kan det
nevnes at over en tredel av faktorene i denne
lista er palindrome.)
Nøkkelen til å løse oppgaven vår er altså faktorisering av tall av typen 111…1, der samtlige
sifre er 1. Slike tall kalles «repunits» (fra engelsk
repeated unit). I 1997 publiserte Trygve Breiteig
og Christoph Kirfel en artikkel som handlet om
repunits. De studerte tallfølgen
1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, …
og beviste følgende setning:
Hver repunit (bortsett fra 1) inneholder et
nytt primtall, det vil si et primtall som ikke
er faktor i noen av repunitene tidligere i
følgen.
De første har følgende primtallsfaktori­
seringer:
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
U8
U9
U10
=1
= 11 = 11
= 111 = 3·37
= 1111 = 11·101
= 11111 = 41·271
= 111111 = 3·7·11·13·37
= 1111111 = 239·4649
= 11111111 = 11·73·101·137
= 111111111 = 3·3·37·333667
= 1111111111= 11·41·271·9091
Her har jeg brukt betegnelsen Un for repunit
nummer n, altså for det tallet som består av n
enere. De nye primtallene i hver linje er markert med fete typer.
Her dukker forresten nye mønstre opp: 11 er
med i annenhver linje, og 3 er med i tredjehver
linje. Fortsetter det slik? (Svaret er ja i begge tilfellene; kan du begrunne det?) Kanskje vi er på
tangenten 2/2011
spor av mer her? Så langt lista går, ser vi at 37 er
med i hver tredje linje, 101 i hver fjerde linje, og
41 og 271 i hver femte linje. Denne idéen lar jeg
ligge til ytterligere utforsking.
Jeg skal heller avslutte i en litt annen retning.
Vi har nå bokstavelig talt fått en uendelighet
av muligheter. Velg et vilkårlig naturlig tall n
(for eksempel n = 5). Da kan vi finne et tall t
(for eksempel t = 41) med følgende egenskap:
Dersom t går opp i et n-sifret tall T, så vil t også
gå opp alle de n-sifrede tallene som framkommer ved sykliske ombyttinger av sifrene i T. Og
siden repunitene inneholder uendelig mange
forskjellige primfaktorer, kan vi få til slike situasjoner for uendelig mange faktorer t.
Repunitene inneholder altså uendelig mange
forskjellige primfaktorer. Det er naturlig å
spørre: Inneholder de alle primtall som faktorer?
Vil ethvert primtall p forekomme som faktor i
(minst) en Un ?
Svaret er åpenbart nei. Verken 2 eller 5 kan
være faktor i noen Un . Men hva med de andre
primtallene; kan svaret være ja for dem? Jeg skal
avslutte denne artikkelen med å bevise at det
faktisk er tilfelle:
La p være et primtall forskjellig fra 2 og 5.
Da vil minst én av de p første repunitene
U1, U2, U3, …, Up ha p som faktor.
Divider U1, U2, U3, …, Up med p. Hver divisjon
Un : p gir en rest rn . Det er nøyaktig p mulige
rester når vi dividerer med p: 0, 1, 2, …, p–1. Vi
kan nå tenke oss to muligheter:
1) Alle de p restene r1, r2, r3, …, r p er forskjellige. Da må én av dem være 0; la oss si
rk = 0 med 1 ≤ k ≤ p. At rk = 0, betyr at U k
er delelig med p.
2) Dersom ikke alle de p restene er forskjellige, må (minst) to av dem være like. Anta
derfor at rk = rm for 1 ≤ k < m ≤ p. Da har vi
altså to divisjoner som gir U k = ap + r og
Um = bp + r med samme rest r (mens a og b
er de to kvotientene). Subtraksjon gir
(fortsettes side 30)
23
Per Berggren
Fibonacci och algebra
I höstas tog vi emot nya 6:or. (6:or på svensk
er sjetteklassinger på norsk, 6:an er sjetteklasse.
Red. anm.) Som vanligt var det spännande
eftersom de kom från olika skolor och därför
hade skilda erfarenheter med sig. Redan innan
vi träffade klassen hade jag och min kollega
Maria Lindroth bestämt oss för att vi denna
gång skulle se till att eleverna ofta och återkommande fick utmaningar som låg inom området
Mönster och algebra. Vi har en uttalad ambition
att denna klass ska gå ut grundskolan med en
säkerhet om vad algebra är, vad det kan användas till och med kunskap om olika algebraiska
verktyg. Ja, vi vet, det kanske är att gapa över
mycket, men skam den som ger sig. Sedan tidigare har vi ett flertal utmaningar inom området men det finns en sak som vi inte riktigt har
hittat: Hur vi kan introducera uppgifter som
får eleverna att fråga efter verktyg att lösa problemet med och att det verktyget är algebra?
Kanske har vi hittat ett nu …
Om vi stannar upp ett tag och funderar över
hur algebra ofta presenteras för eleverna i läromedel så är en uppgift av slaget 5 + x = 13 inte
helt ovanlig. Vem i hela världen skulle använda
Per Berggren
Trädgårdsstadsskolan – Växthuset
per.berggren@edu.botkyrka.se
24
algebra som ett verktyg för att lösa detta problem? Det här är matematik som hör hemma i
de allra tidigaste skolåren och inte i högstadiet.
Uppgiften hör inte till algebra, det är ren taluppfattning. Vilket tal ska adderas till 5 för att
summan ska bli 13? När uppgiften ska illustreras eller representeras med hjälp av matematiskt
symbolspråk kan variabeln x användas, men
det betyder inte att det är en algebraisk uppgift.
Nej, en algebraisk uppgift måste komma från
ett problem där eleverna på något sätt ska ge
namn åt ett okänt tal för att genom logiskt resonemang komma fram till vilket talet är. Om ni
nu protesterar och säger att algebra är så mycket
mer så håller jag med, men för att introducera
algebra och ekvationer som ett verktyg, är jag
övertygad om att detta är ett måste.
I början på sommaren hade jag förmånen att
vara med på Sveriges Matematiklärarförenings
sommarkurs i Mullsjö (www.smal-matte.com ) .
Ingvar O Persson hade en föreläsning där han
visade hur han använder Fibonacci-serier för
att introducera algebra. Fibonaccis serie som
börjar med 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … där varje nytt
tal är summan av de två föregående, är förmodligen den mest kända. Det finns mycket att
berätta om den, förutom historien om personen
Fibonacci. Serien beskriver t ex hur antal kaniner eller bin förökas och antalet spiraler i mitten
av en solros är alltid två på varandra följande
tal i serien. Om du räknar ut kvoten mellan två
2/2011 tangenten
tal efter varandra i serien kommer den, ganska
snart, att motsvara måttet för det gyllene snittet 0,618 eller 1,618 beroende på om det mindre
eller större talet är täljare. Mer om Fibonacci
finns på www.fibonacci.se.
Fibonacci-serier behöver inte börja med
1, 1, … den kan börja med vilka två tal som
helst, men utifrån dem kommer resten att vara
summan av de två föregående. En serie som
börjar med 1, 10, … blir 1, 10, 11, 21, 32, 53, …
Eftersom serierna kan börja hur som helst är
variationerna oändliga. Det är detta som är så
fantastiskt. Utifrån samma sätt att tänka kan
uppgifterna varieras i all oändlighet.
Första lektionen vi träffade våra nya 6:or
skrev vi upp 1, 1, 2, 3, __ __ __ och frågade
vilka tal de tyckte skulle kunna stå på de markerade platserna. Det blev många diskussioner
om det skulle vara 1, 1, 2, 3, 2, 1, 1 för att det
skulle bli symmetri eller 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5 för
att det skulle följa ett mönster, men det tog inte
lång tid innan någon föreslog alternativet med
summan av de två föregående talen. Vi höll då
en kort föreläsning om Fibonacci och hans serie
som samtidigt som det är en lek med tal också
beskriver flera olika samband i naturen. Vi provade att göra en ny serie som startade med något
annat än 1, 1, … för att eleverna själva skulle få
prova hur det gick till.
När detta var klart för alla så kom den första
utmaningen. Vi skrev:
5 __ __ __ 31
och frågade eleverna vad det skulle stå på de
tomma platserna.
ALLA elever blev som uppslukade av detta
och började med att gissa och prova. Ganska
snart hittade de lösningen och det gör du också
om du inte gjort det redan.
–Vi vill ha en till! nästan skrek eleverna.
Vilken tur att vi hade några extra på lager …
9 __ __ __ 78
2 __ __ __ 304
8 __ __ __ 43
tangenten 2/2011
Nu började det hända saker. Många, kanske de
flesta, ägnade sig åt att gissa och prova. Men
några elever började se mönster och system i
det som hände. En elev sa, att när han provade
med ett tal på andra platsen för att se om det gav
rätt tal på femte platsen, så använde han det för
att tänka ut hur talet skulle ändras. Om det inte
blev rätt, vilket det sällan blev, så tog eleven reda
på hur stor differensen var mellan det femte
talet i hans serie och det tal som det skulle ha
blivit. Om han dividerade differensen med tre
så visste han hur han skulle anpassa sin första
gissning för att den andra ”gissningen” skulle
bli korrekt. Detta skedde i slutet av en lektion
och det blev en läxa för klassen att fundera på.
Hur kunde differensen mellan det femte gissade talet och det korrekta talet hjälpa oss så att
nästa gissning inte var en gissning utan alltid
blev rätt?
Detta har inte varit innehållet i det avsnitt
som vi arbetar med. Elevernas första avsnitt
handlar om tal, taluppfattning och räkning
men som ett moment utanför detta återkommer vi nu och då åt denna problem.En omväxling som eleverna tycker mycket om. Efter 3–4
veckor hade eleverna kommit så långt att de förstod hur differensen kunde användas, men det
hjälpte ändå inte alla att lösa problemet på en
gång. De behövde fortfarande en gissning först,
vilket de inte ville ha. Eftersom de visste att den
första gissningen, oavsett vad den var, gav rätt
svar på den andra så borde det gå att göra rätt
redan på den första. Men hur skulle det gå till,
vilka samband finns i detta sätt att tänka?
I detta skede hade vi en diskussion om problemet. Kärnan i problemet är att få fram det
andra talet så att summorna av de två föregående talen ger det tal som står som nummer
fem. Jag föreslog då att vi istället för att gissa
talet bara skulle kalla det för talet. Det tal som
kom efter blev då första talet plus talet. Här
måste man stanna upp, gå tillbaka, fråga igen så
att alla får en chans att hänga med för detta är
en stor abstraktion som kan kräva tid, visuellt
stöd och kanske konkret material för att förstå.
25
Ett bra sätt är att eleverna tar en lapp som motsvarar det okända talet, men där detta står på
baksidan. Nästa tal blir då talet plus det tal
som står framför. På samma sätt blir då nästa
tal det okända talet plus talet tillsammans med
det första talet. Börjar det låta krångligt? Det är
meningen. Skriv istället ett exempel:
2 __
__
__
25
2 talet talet + 2 talet + (talet + 2) 25
Här slutade vi vår genomgång men lät frågan
och genomgången hänga kvar i luften. Vi var
inte klara med detta men vi kände att vi hade
hittat ett bra sätt som intresserade eleverna och
som tydligt ledde fram till algebraiskt tänkande
med hjälp av ekvationer. Inte som ett föremål
att lära sig utan som ett verktyg för att lösa olika
problem. Utvecklingen av detta kan ske med fler
okända tal mellan det första och sista kända talet
i serien. Tal som inte ger hela tal utan decimaltal. Tal som kräver negativa tal. Variationerna är
som tidigare sagt oändliga. Och tänk vad roligt
att arbeta med detta när hela klassen tycker att
det är en spännande utmaning.
… ur en liten annan vinkel
Några veckor, ja till och med månader senare
återkom vi till samma innehåll men ur ett lite
annat perspektiv. Denna gång fick såväl 6:or
som 8:or och 9:or prova på denna övning.
Övningen ser förrädiskt enkel ut men blir med
små variationer utmanande så att 9:or får möjlighet att visa kvaliteter för det högsta betyget,
Mycket väl godkänd, samtidigt som elever i 6:an
får en uppgift som lätt klaras av alla elever.
För att visa hur uppgiften kan ”förkrånglas”
börjar vi med en lättare variant som passar förskoleklass–2. Rita en kvadrat med en ring i varje
hörn. I mitten av kvadraten skrivs talet 7.
7
I varje cirkel ska det skrivas in ett tal så att
summan av talen blir 7. På hur många sätt kan
det göras om man inte tänker på i vilket hörn
talen står, så att 1, 1, 3, 2 är samma som 1, 2,
3, 1? Svaret kommer att variera ganska mycket
beroende på om eleverna får använda en eller
flera nollor. Utan nollor blir det inte så många
lösningar, vilket gör undersökningen lite lättare.
Om nollor får användas blir det betydligt fler
kombinationer, vilket gör uppgiften lite svårare.
Det här är en uppgift som lämpar sig mycket
bra för frågan:
– Hur många lösningar finns det och hur vet
du om du har hittat alla?
Vi använde den här uppgiften som uppvärmning för kommande utmaningar. De började lite
försiktigt med: vilket tal ska stå i cirklarna om
alla tal ska vara samma? Det finns egentligen
ingen gräns för hur denna uppgift kan varieras
men här är ett antal uppgifter som vi gav eleverna:
– De två övre talen är samma och de två
undre talen är samma, men de övre talen
är dubbelt så stora som de undre. Vilka är
talen?
– Börja med talet i övre vänstra hörnet och
gå medurs. Differensen mellan varje tal ska
vara samma. Kan du hitta fler än en lösning?
– Börja med talet i övre vänstra hörnet och
gå medurs. Differensen till nästa tal är 0,5.
Kan du hitta fler än en lösning? (Det går
inte, men det är bra att eleverna själva får
visa att det är så.)
– Om talet i övre vänstra hörnet är 2/5 och
differensen är samma mellan varje tal
medurs, vilka är de övriga talen?
Oavsett vilka uppgifter du väljer så är det ett
algebraiskt tankesätt som ligger till grund för
lösning av uppgifterna. Det blev väldigt tydligt
när Ludvig i 6:an förklarade sin lösning på den
första utmaningen.
(fortsettes side 36)
26
2/2011 tangenten
Mogens Hestholm, Christoph Kirfel
Fibonaccis mønsterrekke
1
8
89
987
10946
121393
1346269
14930352
1
13
144
1597
17711
196418
2178309
24157817
2
21
233
2584
28657
317811
3524578
39088169
Del 1
Jeg er en 15 år gammel gutt med stor interesse
for dataprogrammering (ActionScript 3). En av
de første tingene jeg prøvde å lage, var et program for å teste ut hva jeg kunne klare å lage
med de få formlene jeg da kunne. Jeg hadde hørt
om Fibonacci-tallene som lager en interessant
tallfølge, og ville prøve å lage et program som
kunne regne ut mange tall i tallfølgen, flere enn
hva en vanlig kalkulator kunne. Jeg satte i gang,
og etter noen minutter hadde jeg det klart.
Jeg brukte følgende formelsammenheng:
F0 = 0, F1 = 1, Fn + 1 = Fn + Fn – 1.
Mogens Hestholm
Hop ungdomsskole
moghest@hotmail.com (del 1)
Christoph Kirfel
Universitetet i Bergen
christoph.kirfel@math.uib.no (del2)
tangenten 2/2011
3
34
377
4181
46368
514229
5702887
63245986
5
55
610
6765
75025
832040
9227465
102334155
Tallfølgen inneholder mønster som er helt
unike. Disse mønstrene var i utgangspunktet
for meg kun kjent som mønstre mellom tall,
men kan disse mønstrene også sees grafisk? Jeg
ble ganske forundret over hva jeg fikk se (tabellen).
Tallene danner mønster mellom seg! Det kan
være rette linjer, eller svake buer (det kommer
litt an på skrifttypen). Jeg aner ikke hvorfor det
er slik. Det er tre unntak, i det siste tallet i femte
kolonne øker det med to siffer, i motsetning
til ett siffer slik det ellers er. Det samme skjer
i overgang fra fjerde til femte rekke i kolonne
en. Det andre tallet i første kolonne har ingen
økning. Kanskje det betyr at det ikke er helt
rette linjer, men svake buer?
Observasjon: Alt i alt kan det se ut som om
lengden på Fibonacci-tallene øker jevnt med
nummeret på tallet. Omtrent hvert femte Fibonacci-tall får ett nytt siffer.
27
Del 2
I første del av denne artikkelen lurte Mogens
Hestholm på om vekstmønsteret som han oppdaget hos Fibonaccitallene er korrekt. Omtrent
hvert femte Fibonacci-tall får et nytt siffer. Kan
det virkelig stemme? Formelen for Fibonaccitallene:
F0 = 0, F1 = 1, Fn + 1 = Fn + Fn – 1
kaller vi en rekursiv formel siden beregningen av
et nytt ledd i følgen bygger på foregående ledd.
Det finnes flere former for formler for å beskrive
følger. Tar vi eksempelvis følgen av oddetall:
1, 3, 5, 7, 9 … kan denne også beskrives med en
rekursiv formel der det nye leddet beregnes ved
å legge 2 til det foregående.
T2431 = 2 · 2431 + 1 = 4862 + 1 = 4863.
Det hadde tatt lang tid å benytte seg av den
rekursive formelen og beregne alle foregående
ledd før man hadde kommet frem til T2431. Vi ser
altså at det kan være en enorm fordel å kunne
arbeide med eksplisitte formler fremfor rekursive.
Finnes det også en eksplisitt formel for
Fibonacci-tallene?
Det gjør det, og denne formelen har fått navn
etter Jacques Philippe Marie Binet som utviklet
den i 1843. For å finne denne formelen tar vi
utgangspunkt i en litt annen tallfølge som bygger
på Fibonacci-tallene. Vi ser på følgen av tall Fn +
1 – aFn , der a er et fast tall som vi skal bestemme
senere. Det viser seg nemlig at denne nye følgen
blir mye enklere enn selve Fibonacci-tallfølgen
når vi velger a på en lur måte. Vi skriver:
28
Vi velger nå a på en lur måte, nemlig slik at
. I tillegg setter vi b = 1 – a. Da får vi
Fn + 1 – aFn = b(Fn – aFn – 1)
Vi ser at venstre side av likningen og høyre side
får samme struktur (et Finonacci-tall minus a
ganger forgjengeren). På høyre siden har vi riktignok ganget med en faktor (1 – a) = b.
Denne gjentagende strukturen gjør det mulig
å bruke formelen om igjen og om igjen:
T1 = 1, T2 = 3, Tn + 1 = Tn + 2.
I tillegg kan tallfølgen beskrives med en eksplisitt formel: Tn = 2n + 1. Fordelen med den
eksplisitte formelen er at man kan beregne et
ledd i følgen med et gitt nummer direkte. Man
trenger ikke beregne de foregående leddene.
For eksempel er oddetall nummer 2431 lett å
beregne siden
Den nye tallfølgen vi studerer er en geometrisk
følge, det vil si en følge der leddene er potenser
av et fast grunntall, hos oss b = (1 – a). Det må
kunne sies å være en enkel tallfølge.
Vi skal nå se på de kravene vi stilte til tallet a
underveis i prosessen:
. Vi finner en pas-
sende løsning ved å løse likningen
x2 – x – 1 = 0, som gir
eller
. Noen vil
kjenne dette igjen som det gylne snitt. Setter
vi
så blir
og vi
ser at både a og b er løsninger av likningen
x2 – x – 1 = 0. Dermed kan vi på nøyaktig samme
måte som oppe få Fn + 1 – bFn = an, og vi har plutselig to formler for Fn + 1, nemlig Fn + 1 = aFn + bn
og Fn + 1 = bFn + an . Setter vi dem lik hverandre
kan vi skrive:
2/2011 tangenten
nonchalant slik:
eller
Vi har fått Binets formel for Fibonacci-tallene
som er differansen mellom to geometriske
følger. Dette er en eksplisitt formel fordi Fibonaccitallene nå kan beregnes utelukkende
med utgangspunkt i nummeret n uten å måtte
beregne tidligere ledd i følgen.
Vi tar nå en nærmere titt på potensene som
inngår i Binets formel.
Siden tallverdien av
er mindre enn 1, vil potensene av dette tallet
danne en følge som
blir Fibonacci-tallene selv så å si en geometrisk
følge i alle fall når man ser på størrelsesordenen.
Det manglende leddet gir oss alltid en korreksjon som er langt under en enhet.
Denne erkjennelsen om størrelsesordenen av
Fibonacci-tallene kan nå hjelpe oss når vi skal
uttale oss om deres «lengde» når vi skriver dem
i vårt tallsystem.
Før vi kommer frem til hovedpoenget skal
vi kort studere en meget enkel tallfølge der
det blir lett å uttale seg om lengden av leddene. Vi ser på tallfølgen Hn = 10n, altså tierpotensene. Følgen ser slik ut: 1, 10, 100, 1000,
10 000, 100 000, osv. Lengden av leddene vokser
med en enhet for hvert nytt ledd. Vi kan si
at lengden av Hn er lik n + 1. Der er altså en
direkte forbindelse mellom lengden av tallene
og eksponenten i uttrykket, eller rettere sagt
tierlogaritmen av Hn = 10n . Tierlogaritmen av
et tall forteller oss først og fremst hvor mange
siffer tallet har foran komma, for eksempel
log10 (5243) ª 3,71957986… Se også i tabellen
nedenfor:
går raskt mot null. Allerede
Tall
321
6577
129776
og dermed er det andre leddet i Binets formel
for n = 10 gitt ved
.
Vi ser at det andre leddet i Binets formel er
veldig liten. På den andre siden vet vi at Fibonacci-tallene er voksende heltall, så hovedparten
av et Fibonacci-tall må komme fra den første
potensen
og dermed
Antall
siffer
3
4
6
Tierlogaritmen
2,50650503
3,81802784
5,11319438
Å spørre etter lengden av Fibonacci-tallene
eller antall siffer i Fibonacci-tallene er altså det
samme som å etterlyse tierlogaritmen av dem.
Vi ser altså på
. Det andre leddet er bare
ansvarlig for noen siffer langt, langt bak kommaet og vi kan formulere vår observasjon litt
tangenten 2/2011
29
(fortsatt fra side 23)
Dette betyr at Fibonacci-tallenes lengde vokser
med konstant fart med indeksen eller nummeret på Fibonacci-tallet. Dette bekrefter observasjonen beskrevet i del 1 av artikkelen av
Mogens Hestholm. Vi ser at «stigningstallet»
er 0,20898764 ª 1/5 som forteller oss at vi for
omtrent hvert femte Fibonacci-tall kan forvente
oss ett nytt siffer slik som tabellen i del 1 viser.
En annen forklaring som ikke tar logaritmer i bruk kan se slik ut: I følge vår omtrentlige
«approksimasjonsformel»
er
. Det betyr at Fn + 5 er litt
større enn det tidoble (ellevedoble) av Fn og det
betyr at Fn + 5 har nokså sikkert ett siffer mer enn
Fn . På et enda enklere nivå kunne man argumentert slik:
Fn + 5= Fn + 4 + Fn + 3 = 2Fn + 3 + Fn + 2
= 2(Fn + 2 + Fn + 1) + Fn + 2 =3Fn + 2 + 2Fn + 1
= 5Fn + 1 + 3Fn
> 8Fn.
På akkurat samme måte kan vi finne at
Fn + 5 = 8Fn + 5Fn – 1 < 13Fn .
Dermed ser vi veldig fort at Fn + 5 er minst åtte
ganger så stor som Fn men mindre enn 13
ganger Fn og at Fn + 5 sannsynligvis har ett siffer
mer enn Fn .
30
Um – Uk = bp – ap = (b – a)p
Med andre ord, Um – U k er delelig med p. Siden
k < m, blir denne differansen
Um – Uk = 111…1000…0
= 111…1·1000…0 = Um–k·10k
Siden p ikke er 2 eller 5, går p ikke opp i 10k. Da
må primtallet p gå opp i Um – k . Siden m – k < p,
er setningen bevist.
Selv om repunitene dermed inneholder
samtlige primtall bortsett fra 2 og 5, er det langt
mellom de repunitene som selv er primtall. I
vår liste gjelder det U2. Det er bare fire til som
er kjent, nemlig U19, U23, U317 og U1031. Men det
antas at også U49081, U86453, og U109297 kan være
primtall. Se nettstedet primes.utm.edu/glossary/
xpage/Repunit.html.
David Wells har skrevet en bok som kan gi
mange idéer til utforsking av tall og tall­mønstre.
Der står det blant annet at 41 har den egen­
skapen som denne artikkelen startet med.
Jeg takker redaktøren for kommentarer til
første utkast til denne artikkelen.
Referanser
Breiteig, T. & Kirfel, C. (1997). Primtall i rekursive
følger. Normat, 45, 103–112.
Wells, D. (1986): The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Books.
2/2011 tangenten
Nils Kr. Rossing
Elevoppgave om
flatedekkende mønster
Våren 2009 ble det i et samarbeid mellom
Norden­f jeldske Kunstindustrimuseum og
Vitensenteret i Trondheim, gitt et tre timers
tilbud til alle elever på femte trinn innen temaet
matematikk og ornamentikk.
Denne elevoppgaven er en del av under­
visningsopplegget «Symmetri og ornamentikk»
som også beskrives i dette nummeret. Oppgaven
er en introduksjon til tessellering med utgangspunkt i eksempler fra Escher (se figur 1 og 2).
Oppgaven gikk ut på at elevene ved hjelp av
seks kvadrater og 18 likesidete trekanter skulle
dekke en avgrenset flate fullstendig (se figur 3).
Det ble brukt Jovo-brikker til oppgaven. For
å få til dette måtte elevene tenke logisk mht.
summer av vinkler og hva som kan tillates for
å unngå å overskride det avgrensede området.
Eleven fikk utdelt det avgrensede området på et
A4-ark (figur 3).
De oppdaget snart at det bare var mulig å
plassere trekanter langs kantene. Når disse er
plassert ser de tydelig hvor de seks kvadratene
skal stå. Til slutt er det noen få trekanter igjen
som finner sin naturlige plass. Her kan en lett
bringe inn summen av vinklene i trekantene og
kvadratene som grenser opp til et «hjørne» i den
Nils Kr. Rossing
NTNU/Vitensenteret i Trondheim
nils.rossing@svt.ntnu.no
tangenten 2/2011
Figur 1: Et eksempel hentet fra Escher.
Figur 2: Tessellering, trinn for trinn.
tessellerte figuren (figur 5).
La elevene selv legge sammen ulike former
med heldekkende mønster, tegne omrisset og
utfordre hverandre til å finne ut hvordan brikkene skal legges sammen for at de skal dekke
31
Figur 3: Avgrenset område.
Figur 5: En mulig løsning.
flaten innenfor omrisset helt.
Er det mulig å finne omriss som har flere
løsninger?
Figur 4: Kvadrater og likesidete trekanter.
(fortsatt fra side 5)
Noter
Referanser
1
Ching, F. (2007). Architecture: Forms, Space, &
Order (3. utg). Hoboken, NJ: Wiley.
Engel, H. (1985). Measure and construction of
the Japanese house. Tokyo: Tuttle Publishing.
Ruskey, F. & Woodcock, J. (2009). Counting
Fixed-Height Tatami Tilings. The Electronic
Journal of Combinatorics, 16. Tilgjengelig
på: www.combinatorics.org/Volume_16/
PDF/v16i1r126.pdf.
Yagi, K. (1982). A Japanese touch for your home.
(K. Kuwata, illustrasjoner). Tokyo: Kondasha International Ltd.
2
3
4
5
32
Tatamimatter er blitt brukt i over åtte
hundre år som portabelt gulvbelegg, i seks
hundre år som gulvbelegg hos adelen og
tre hundre år som gulvbelegg hos allmuen.
Arealet til ett A4-ark blir da 0,0625 m2.
De metriske måleenheten har offisielt overtatt for de eldre japanske målene i løpet
av det tyvende århundret. Enheten ken er
derfor nå lite brukt, selv om romstørrelse
nesten alltid blir oppgitt som antall tatamimatter i tillegg til eller i stedet for antall
kvadratmeter.
Jeg er fascinert av det følgende forholdet:
_
den japanske volumenheten sho er eksakt
2401/1331 liter.
For den som lurer på hvorfor min formel
avviker fra Ruskey og Woodcock sin, så
skyldes det en liten feil i deres artikkel.
2/2011 tangenten
Michael Naylor
Vedvarende mønstre
Pascals talltrekant er en av de mest berømte trekanter vi kjenner til. Denne trekanten er full av
spennende mønstre. Talltrekanten ble studert av
kinesiske og persiske matematikere lenge før den
ble gjenoppdaget av Blaise Pascal in 1654, men
den ble gitt Pascals navn på grunn av de mange
vidunderlige egenskaper han fant og beviste. I
dag lar matematikkinteresserte seg begeistre av
mulighetene til å utforske de mange mønstrene
i trekanten – til og med skjulte mønstre utenfor
trekanten!
Talltrekanten blir vanligvis presentert med
1 i øverste rad og 1-tall nedover ytterst til venstre og ytterst til høyre. Tallene inne i trekanten
blir funnet ved å summere de to tallene som
befinner seg i raden over – nærmest til venstre
og til høyre. I figur 1 ser vi noen få rader.
I den nederste raden er for eksempel 6
summen av 1 og 5 fra raden ovenfor, mens 15
er summen av 5 og 10 osv. Ved å fortsette på
denne måten kan vi generere tall i uendelig
mange rader nedover.
Michael Naylor
Matematikksenteret
mike.naylor@matematikksenteret.no
Artikkelen er oversatt fra engelsk av
Tor Andersen
Matematikksenteret
tor.andersen@matematikksenteret.no
tangenten 2/2011
1
1
1
1
1
1
1
3
4
5
6
1
2
1
3
6
10
15
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
Figur 1: Pascals trekant
Pascals talltrekant kan blant annet bli benyttet til å utvikle uttrykk av typen (a + b) n . Den
n-te raden i talltrekanten (merk at øverste rad
er nummer null) består nemlig av koeffisientene til uttrykket vi får når vi utvider (a + b) n .
Eksem­pel­v is har vi at
(a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4.
Koeffisientene 1, 4, 6, 4, og 1 finner vi altså i
fjerde rad i talltrekanten.
Vi kan også bruke Pascals talltrekant til å
finne antall kombinasjoner. Tallet som står i r-te
kolonne i n-te rad forteller oss på hvor mange
måter vi kan trekke r objekter fra n objekter
uten tilbakelegging. Antall kombinasjoner og
tallet i trekanten kan regnes ut ved hjelp av
. På kalkulatorer bruker vi kommandoen nCr. Antall lottorekker finner vi altså
ved nCr(34, 7), som viser seg å være 5 379 616.
Dette svære tallet finner vi altså i 34. rad og 7.
kolonne i Pascals talltrekant.
33
Vi oppdager ganske fort at summen av alle
tallene i n-te rad er 2n . Hundrevis av mønstre
ligger og venter på den nysgjerrige.
0
En helt ny verden
Mange av mønstrene i talltrekanten er relativt
godt kjent blant dem som har arbeidet med trekanten. Men hva med «den skjulte verden» med
«negative rader» som åpenbarer seg når vi utvider talltrekanten oppover istedenfor nedover?
For å oppnå dette må vi først utvide trekanten til venstre og høyre. Dette gjør vi ved å følge
regelen om at hvert tall i en rad er summen av
de nærmeste tallene i raden over. Det er ganske
opplagt at vi får 0 på flankene.
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
følger det at denne raden må inneholde alternerende 1 og –1. Da blir summen som er tallet i
raden nedenfor, lik 0, slik det skal være.
0
1
2
3
0
0
0
1
3
0
0
1
0
0
For å konstruere rad nummer –1 må vi sørge
for at hvert par av tall i denne raden er summen
av korresponderende tall i rad 0. Vi kunne for
eksempel plassere 1/2 og 1/2 over 1-tallet i rad
0, eller 10 og –9 eller et hvilket som helst tallpar
med sum lik 1. Men for å oppfylle at det første
tallet forskjellig fra 0 skal være 1, må vi velge 0
og 1 som sentraltall i rad nummer –1.
Straks vi har plassert 0 og 1 i rad nummer –1,
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
–1
0
0
1
3
6
0
0
0
–1
0
0
0
0
0
28
7
1
0
0
0
–21
0
0
–126
–56
–6
–1
0
0
35
0
0
126
70
15
1
0
0
–1
0
0
–56
5
0
0
0
1
0
0
1
–35
–10
–1
0
1
0
2
–20
–4
0
0
1
4
6
1
–1
1
21
15
10
3
0
1
1
–6
–5
–3
1
0
0
0
1
0
Noe ekstraordinært begynner etter hvert å
hende. Mysteriet forsterker seg når vi generer
rad nummer –2 og finner at denne inneholder
elementene … 0, 1, –2, 3, –4, 5, … Fortsetter vi
på denne måten, vil en «usynlig» verden av tall
komme til syne (se figur 1).
En ny talltrekant ser dagens lys. Den kan bli
oppfattet som et speilbilde av den nedre trekanten, men med alternerende positive og negative
tall. Mange egenskaper gjelder både for den
nedre og øvre talltrekanten – slik som:
– Det første tallet (posisjon 0) i hver rad er 1
– Det andre tallet (posisjon 1) i rad n er lik n
– Det tredje tallet (posisjon 2) i rad n er
trekanttallet n(n – 1)/2. Legg merke til at
dette kvadratiske uttrykket vil generere
kun positive tall og at det er to nuller i
raden hvor n =0 og n = 1.
– Det fjerde tallet (posisjon 3) i rad n er
pyramidetallet n(n – 1)(n – 1)/6. Legg
merke til at dette kubiske uttrykket er lik
–4
–2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
Figur 1
34
2/2011 tangenten
0 for n = 0, 1, og 2. For n < 0 har dette
uttrykket en negativ verdi.
Vi innser at tallet i rad n og i posisjon r er gitt
ved
er lik
. Dette uttrykket
, men vi velger den første
skrivemåten for å unngå fakultet av negative
tall.
Egenskaper ved de negative radene
Det kan være en fascinerende aktivitet å
prøve å finne egenskaper til talltrekanten med de negative radene. Gir de negative
radene koeffisientene vi får når vi utvider
(a + b) n ? Er summen av tallene i rad n fortsatt
lik 2n ? Grundig analyse av disse spørsmålene
fører til overraskende svar. La oss først se på
(a + b)4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4. Legg
merke til at a i første ledd er opphøyd i n og at b
er opphøyd i 0. I påfølgende ledd vil eksponenten til a avta med 1 for hvert ledd til den blir lik
0. Eksponenten til b vil øke med 1 for hvert ledd
til den blir n.
Hva så med n = –1? Dukker koeffisientene i
(a + b) –1 opp i de negative radene? La oss utvikle
ved hjelp av divisjonen:
Ja, som vi kunne forvente. Koeffisientene vi får
når vi utvider (a + b) –1 er 1, –1, 1, –1, 1, …
Hvis a = b = 1 får vi opplagt at (1 + 1) –1 =
–1
2 = 1/2. Resultatet ovenfor gir faktisk samme
svar. Da får vi nemlig at
(1 + 1) –1 =1 – 1 + 1 – 1 + … = 1/2.
Men hvordan i all verden kan det være tilfelle?
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), en av
grunnleggerne av differensialregningen, hadde
mye moro med denne rekken. Leibniz trodde på
«vedvarende mønstre». Vil et mønster bestå selv
om vi foretar oss ett eller annet, slik vi har gjort
med å utvide Pascals talltrekant oppover?
Leibniz bemerket at summen kan grupperes
slik:
(1 – 1) + (1 – 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
Eller slik:
1 + (– 1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + … = 1.
Istedenfor å drukne seg i dette paradokset,
foreslo Leibniz at siden summen er 0 for de n
første leddene når n er et oddetall og 1 når n er
et partall, må den forventede sum i den uendelige rekken være 1/2.
Spøkte Leibniz med omgivelsene sine? Han
fortsatte argumentasjonen med at
S = 1 – 1 + 1 – 1 + … fi S = 1 – S
fi 2S = 1 fi S = 1/2.
Vi kan kontrollere divisjonen ved å multiplisere
kvotienten med divisor og undersøke om svaret
blir lik dividenden, nemlig 1. Altså:
tangenten 2/2011
Dessuten er den uendelige rekken 1 – 1 + 1 – ···
en geometrisk rekke med a1 = 1 og k = –1. Kan
vi for en gangs skyld ignorere kravet om at
|k| < 1 og sette
?
35
Til slutt – en kvikk divisjon bekrefter resultatet:
Rad nummer –1 gir altså ikke bare koeffisientene i (a + b) –1, men i tillegg «summen» av tallene i raden. Kan dette gjelde for n-te rad?
Rad –2 ser litt mer arbeidsom ut. Er det mulig
at den uendelige summen 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
er lik 2–2 = 1/22 = 1/4? Og er koeffisientene
1, –2, 3, –4, 5, …?
Siden
uendelige rekker og summer, men det er klart
at Leibniz sin tro på «vedvarende mønstre» er
rettferdiggjort. Ved å følge disse mønstrene kan
vi havne i en merkelig og spennende verden.
Hvilke andre sammenhenger ligger og venter på
å bli oppdaget i de skjulte radene utenfor Pascals
talltrekant?
Referanse
Rhodes, F. (1971). 1 – 1 + 1 –1 + … = 1/2?
Mathematical Gazette, 55(392), 298–305.
, kan
vi utføre en polynomdivisjon. Kvotienten produserer virkelig de koeffisientene som vi håpet
at vi skulle få. La oss utføre samme type divisjon på 1 : (1 + 2 + 1). Da får vi:
(fortsatt fra side 26)
– Jag tänkte att de två undre talen var
samma som ett tal uppe och då kunde jag
dela 7 på 3. Sedan behövda jag bara dela
det på två för att veta vad de undre talen
skulle vara.
På samme måten kan vi regne ut
1 : (1 + 3 + 3 + 1) ved divisjon for å produsere
tallene i rad –3 i Pascals talltrekant. Polynomdivisjonen produserer elementene i den generelle
raden –n. En uventet og deilig overraskelse!
Kommentar
Vi må alltid være forsiktige når vi arbeider
med uendelighet slik at vi unngår paradokser.
I denne framstillingen har vi kanskje vært litt
uforsiktig og lekende med vår håndtering av
36
Att Anton sedan hade en helt annan förklaring
gjorde inte saken sämre.
– Så tänkte inte jag. Jag tänkte att talen uppe
var två stycken tal där nere, då fick jag 6
tal så jag delade 7 med 6. Fast det blir ju
förstås samma sak ungefär.
Det var många som fick en aha-upplevelse och
gärna ville ha fler utmaningar med andra tal
och nya villkor. Det var inte alla som löste uppgifterna med formell algebra men de var helt
medvetna om att de använde sig av ett algebraiskt tänkande. Det ska bli mycket intressant
att se hur denna klass kommer att utvecklas
som redan nu har en så välutvecklad algebraisk
förståelse. Vi hoppas vi kan få tillfälle att återkomma och berätta hur det går.
2/2011 tangenten
Leif Bjørn Skorpen
Visualisering av
intervall i musikk
Historisk og innhaldsmessig er det sterke band
mellom matematikk- og musikkfaget (Garland
og Kahn, 1995; Haspang, 2010; Wollenberg,
2006). I tidlegare publikasjonar har eg fokusert på nokre av koplingane ein finn mellom
matematikk og musikk, blant anna ved å sjå
på korleis intervall mellom tonar kan uttrykkast som forhold mellom tal, og ved å studere
oppbygginga av ulike skalatypar. (Skorpen,
2004a, 2004b). I artikkelen «Å rekne i musikk»
(Bjørlykke og Skorpen, 2009), peikar Reidun
Åslid Bjørlykke og eg på samanhengen mellom
musikk og matematikk innanfor LK06 sine
rammer. I denne artikkelen vil eg vise korleis
matematikken kan brukast til å visualisere og
analysere intervall, akkordar og slektskapen
mellom akkordar i musikken.1
Innleiing
Å lytte til musikk har både ei estetisk og ei analytisk side. På den estetiske sida vil det i hovudsak vere dei auditive sansane som vert stimulerte. Musikk er primært bygd opp av kombinasjonar av lyd og ikkje lyd. Den som lyttar til
musikk vil i ulik grad kunne danne seg indre
bilete med utgangspunkt i dei musikalske oppLeif Bjørn Skorpen
Høgskulen i Volda
leifbjorn.skorpen@hivolda.no
tangenten 2/2011
levingane. Slike bilete vil i høgste grad vere personlege og individuelle, og vil ikkje bli nærare
kommenterte i denne samanheng. Innanfor den
analytiske sida av musikkopplevinga har matematikkfaget mykje å bidra med (Bjørlykke og
Skorpen, 2009). I det vidare arbeidet skal me
prøve å visualisere ein liten del av musikkteorien, ved blant anna å sjå korleis ulike intervall
kan bli representerte gjennom geometriske
figurar. På den måten får me fram ein del vakre
figurar. Desse figurane kan både nytast reint
estetisk, og dei kan nyttast til enkle analysar
av intervall, akkordar og samanhengar mellom
akkordar. I nettutgåva av artikkelen, som ein
finn på adressa: www.caspar.no/tangenten/2011/
visualisering.pdf, er det knytt lydfilar til nokre
av figurane. Det er altså eit ynskje å få det estetiske og det analytiske til å møtast i ei visuell
oppleving.
Å visualisere musikalske intervall ved hjelp
av geometriske figurar, har lange historiske
tradisjonar som går heilt tilbake til dei greske
filosofane for om lag 2500 år sidan. I tidlegare
tider var det også vanleg å kople saman musikkteori med astrologi og astronomi. Den greske
astronomen Klaudios Ptolomaios (ca. 90–168)
kopla saman musikalske konsonansar med
astrologiske aspekt i geometriske figurar av liknande type som dei me etter kvart skal sjå på
(Field, 2006, s. 32). Johannes Kepler (1571–1630)
utvikla tredimensjonale modellar av solsyste37
met, der også musikkteorien var inkludert. Blant
anna søkte han etter harmoniar i oppbygginga
av universet og innførte omgrepet «planet­
akkordar», der forholdet mellom omlaups­farten
til dei ulike planetane vart samanlikna med forholda mellom tonane i akkordar (Field, 2006;
Haspang, 2010).
Den tempererte «tolvtonesirkelen»
La oss ta utgangspunkt i den tempererte tolv­
toneskalaen, som alle vanlege tempererte
instrument i dag byggjer på. I denne skalaen
er oktaven delt inn i tolv like store halvtonetrinn. Skalaen kan visualiserast på ulike måtar.
Ein kan sjå føre seg ein serie av til saman tolv
etterfølgjande kvite og svarte tangentar på eit
piano eller orgel, eller tolv etterfølgjande band
oppover gitarhalsen. Denne skalaen kan også
visualiserast ved å bruke ein sirkel delt inn i tolv
like store delar,2 sjå figur 1.
Notenamn:
C
Ciss/Dess
D
Diss/Ess
E
F
Fiss/Gess
G
Giss/Ass
A
Aiss/B
H
c
Intervall:
Prim
Liten sekund
Stor sekund
Liten ters
Stor ters
Kvart
Tritonus
Kvint
Liten sekst
Stor sekst
Liten septim
Stor septim
Oktav
Figur 2: Intervall som i sum vert lik ein oktav.
I denne figuren er intervall som i sum blir
lik ein oktav kopla saman gjennom linjene
til høgre i figuren. Til dømes vil summen av
ein liten sekund og ein stor septim bli lik ein
oktav. Denne symmetrien finn ein også igjen
i tolvtonesirkelen. Ei omdreiing rundt sirkelen
gjev ein oktav. Eit vilkårleg punkt på sirkelen
vil dele sirkelen i to delar (to sirkelsektorar).
Kvar av desse to delane (sektorane) vil danne
intervall som i sum utspenner heile sirkelen,
og dei tilhøyrande intervalla vil dermed i sum
bli lik ein oktav. Figur 3 viser denne relasjonen
Figur 1: Sirkel som illustrerer dei tolv halvtonane
innanfor ein oktav.
Når ein startar med ein C på toppen og les
med urvisaren, finn ein i første punktet Ciss
(= Dess), som ligg ein halv tone over C. Dette
intervallet vert i musikkteorien omtala som
«liten sekund». I neste punkt finn ein D som ligg
ein halv tone over Ciss, og ein heil tone over C.
Intervallet mellom C og D er ein «stor sekund».
Neste punkt, Diss (= Ess), ligg tre halve tonar
over C og vert kalla ein «liten ters». Ved å lese
med urvisaren finn ein intervalla som er lista
opp i figur 2.
38
Figur 3: Regulær sekskant som viser koplinga mellom
seks par av store sekundar og små septimar, med
startpunkt på C, D, E, Fiss, Giss og B.
2/2011 tangenten
mellom store sekundar og små septimar. Intervallet frå C til D er ein stor sekund. Intervallet
frå D til C spenner over ti halvtonar, og er ein
liten septim. Tilsvarande er intervallet frå D til
E ein stor sekund, og intervallet frå E til D er ein
liten septim. Den regulære sekskanten i figur 3
illustrerer altså seks par av store sekundar og
små septimar.
Ved å la tilsvarande intervall starte på halvtonane mellom dei tonane som dannar hjørna i
den regulære sekskanten i figur 3, får ein fram
ein ny sekskant, sjå figur 4.
Til saman vil desse to regulære sekskantane
utspenne alle dei tolv para av store sekundar og
små septimar innanfor oktaven,3 sjå figur 5.
På tilsvarande måte kan ein få fram relasjonane mellom liten ters og stor sekst. I figur 6 ser
ein at intervallet frå C til Diss spenner over tre
halvtonar – og utgjer ein liten ters, medan intervallet frå Diss til C spenner over ni halvtonar
– og utgjer ein stor sekst. Frå Diss til Fiss er det
også ein liten ters, og frå Fiss til Diss er det ein
stor sekst. Tilsvarande relasjonar får ein knytt
til kvart av hjørna i den regulære firkanten.
Figur 4: Regulæar sekskant som viser koplinga mellom
seks par av store sekundar og små septimar, med
startpunkt på Ciss, Diss, F, G, A og H.
Figur 6: Regulær firkant som viser fire par av små tersar
og store sekstar, med startpunkt på C, Diss, Fiss og A.
Denne regulære sekskanten illustrerer også seks
ulike par av store sekundar og små septimar.
Figur 5: To regulære sekskantar som til saman gjev alle
tolv para av store sekundar og små septimar innanfor
oktaven.
tangenten 2/2011
Hjørna frå tre slike regulære firkantar vil til
saman dekke alle dei tolv punkta i sirkelen, sjå
figur 7.
Figur 7: Dei tre regulære firkantane viser alle tolv para
mellom små tersar og store sekstar innanfor oktaven.
39
I figur 7 er alle dei tolv para av små tersar og
store sekstar innanfor oktaven teikna inn i
sirkelen ved hjelp av tre regulære firkantar. På
tilsvarande måte kan ein i figur 8 sjå samanhengen mellom store tersar og små sekstar. Her vil
den regulære trekanten illustrere tre par av store
tersar og små sekstar. Frå C til E er det ein stor
ters, og frå E til C er det ein liten sekst. Frå E til
Giss er det ein stor ters, og frå Giss til E er det
ein liten sekst. Tilsvarande er det frå Giss til C
ein stor ters, og frå C til Giss ein liten sekst.)
sirkelen. Fire regulære trekantar får til saman
fram alle dei tolv para av store tersar og små
sekstar innanfor oktaven, sjå figur 9.
Frå C til F er det ein kvart, og frå F til C er
det ein kvint. Frå G til C er det ein kvart og frå
C til G er det ein kvint. Sidene CF og GC i den
likebeina trekanten i figur 10 kan illustrere to
sett med par av kvartar og kvintar med tilknyting til C.
Figur 10: Likebeina trekant som knyt saman to par av
kvartar og kvintar med tilknyting til C
Figur 8: Den regulære trekanten viser samanhengane
mellom tre par av store tersar og små sekstar, med
startpunkt på C, E og Giss.
Tre nye regulære trekantar, med hjørna plasserte i kvart av dei ni ledige punkta på sirkelen i
figur 8, vil saman med den innteikna trekanten
i figur 8 dekke alle dei tolv halvtonepunkta på
Ved å teikne inn seks slike likebeina trekantar
som bind saman dei seks para av kvartar og
kvintar, blir alle dei tolv halvtonane i oktaven
involvert. Resultatet ser ein i figur 11:
Figur 11: Dei seks para av kvartar og kvintar innanfor
oktaven.
Figur 9: Fire regulære trekantar illustrerer alle dei tolv
para av store tersar og små sekstar innanfor oktaven.
40
Figur 11 ser gjerne litt overlessa og rotete ut. For
å få betre fram dei vakre symmetriane i denne
figuren, kan me endre litt på den likebeina tre2/2011 tangenten
kanten i figur 10 ved å ta bort grunnlinja4 og
omforme trekanten til ein firkant som inkluderer origo i sirkelen, sjå figur 12:
vil til saman utspenne eit kvintintervall i høve
til grunntonen. I mollakkordane kjem den vesle
tersen først, etterfølgd av den store tersen. La
oss starte med ein c-moll akkord. Frå C til Ess
er det ein liten ters, frå Ess til G er det ein stor
ters, og frå C til G er det ein kvint. Til saman
dannar dei tre tonane C, Ess og G ein c-moll
akkord, sjå figur 14.
Figur 12: Modifisert utgåve av kvart- og kvintpara.
Viss me no teiknar inn dei seks para av kvartar
og kvintar som skal til for å inkludere kvart av
dei tolv halvtoneintervalla innanfor oktaven, får
me fram den vakre stjerna i figur 13.
Figur 13: Viser modifisert utgåve av dei seks para av
kvartar og kvintar innanfor oktaven.
Enkle akkordar
Med utgangspunkt i den same tolvtonesirkelen,
kan me også visualisere ulike akkordar, og på
ein enkel og oversiktleg måte sjå slektskapen
mellom ulike akkordar. Frå musikkteorien veit
me at ein durakkord er bygd opp av ein stor
ters med startpunkt i grunntonen i akkorden,
og deretter ein liten ters som går vidare frå sluttonen i det store tersintervallet. Dei to tersane
tangenten 2/2011
Figur 14: C-moll akkord.
På same måte kan ein teikne inn trekantane til
alle dei tolv moglege mollakkordane innanfor
oktaven. Dei tolv trekantane vil vere kongruente. Alle mollakkordane vil høyrast like ut i
den tempererte skalaen, berre tonehøgda varierer frå toneart til toneart. Akkordar som kling
likt, bortsett frå tonehøgde, vil altså gje opphav
til geometriske figurar som er kongruente og
roterte i høve til kvarandre.
Viss ein startar med C og går opp ein stor
ters i staden for ein liten ters, kjem ein til E. Frå
E til G er det ein liten ters, og frå C til G er det
ein kvint. Ein får då fram ein C-dur akkord, sjå
figur 15. Samanliknar ein figurane 14 og 15, ser
ein at dei to trekantane er kongruente, og at dei
er spegla om linja som skjærer sirkelperiferien i
midtpunktet mellom Ess og E og i midtpunktet
mellom A og B. Det at trekantane til dur- og
mollakkordane er spegla i høve til kvarandre
representerer ein geometrisk ulikskap. Musikalsk sett finn ein den geometriske ulikskapen igjen ved at det i durakkorden er det store
tersintervallet som er relatert til grunntonen,
41
medan det i mollakkorden er det vesle tersintervallet som er relatert til grunntonen. Ulike
tersintervall i høve til grunntonen fører til ulik
klang mellom dur- og mollakkordar.
Til saman utspenner desse tre tersane eit stort
septimintervall i høve til grunntonen. Innteikna
i oktavsirkelen vert det ein firkant. I figur 17 ser
ein den vanlege C-dur-septim akkorden (C7),
og i figur 18 den store C-dur-septim akkorden
(Cmaj7), teikna inn i oktavsirkelen.
Figur 15: C-dur akkord.
Ein dim-akkord er bygd opp av to små tersar,
som til saman dannar eit «tritonusintervall»
(også omtalt som forstørra kvart- eller forminska kvintintervall). I figur 16 ser ein at innteikna
i oktavsirkelen, blir dim-akkorden ein likebeina
trekant innanfor den eine halvsirkelperiferien.
Figur 17: C-dur-septim akkord (C7).
Figur 18: C-dur-stor-septim akkord (Cmaj7)
Figur 16: C-dim akkord (C0).
Septimakkordar
I ein septimakkord inngår det tre tersintervall.
Ein «vanleg» dur-septim akkord er bygd opp
av ein stor ters, etterfølgd av to små tersar. Til
saman utspenner desse tre tersane eit lite septimintervall i høve til grunntonen. Ein «stor»
dur-septim akkord (maj-akkord) er bygd opp av
ein stor ters, ein liten ters og til slutt ein stor ters.
42
Dei store tersane i starten og slutten av den store
septimakkorden, fører til at firkanten i figur 18
vert symmetrisk om ei linje som går gjennom
midtpunktet mellom H og C og gjennom midtpunktet mellom F og Fiss.
Alle enkle dur- og mollakkordar er bygde opp
av tre tonar, og vert av den grunn også omtalt
som treklangar. Septimakkordane er bygde opp
av fire tonar, og vert omtalt som firklangar. Når
desse ulike akkordane vert teikna inn i oktavsirklane, skjønar me lett at alle treklangar vert
representerte av trekantar og alle firklangar vert
representerte av firkantar. Innanfor kvar «fami2/2011 tangenten
lie» av ulike treklangar (dur-, moll-, og dimakkordar) og firklangar (dei ulike septimane)
vil det vere tolv ulike akkordar innan­for oktaven. Kvar av desse akkordfamiliane vil kunne
bli representerte av tolv kongruente trekantar
eller firkantar som er roterte i høve til kvarandre innanfor oktavsirkelen.
Toneartar
Teiknar me inn ein durakkord og den parallelle
mollakkorden, til dømes C-dur og a-moll, får
me i figur 19 fram ein figur som inneheld ein
interessant symmetri. Som tidlegare nemnd er
ein durakkord bygd opp av ein stor ters med
startpunkt på grunntonen i akkorden, etterfølgd
av ein liten ters. Dei to tersane vil til saman
utspenne eit kvintintervall i høve til grunntonen. I mollakkordane kjem den vesle tersen
først, etterfølgd av den store tersen. I C-durakkorden startar den store tersen på C og går opp
til E, og den vesle tersen går vidare frå E til G. I
a-moll akkorden startar den vesle tersen på A og
går opp til C, og den store tersen går vidare frå
C til E. Den store tersen frå C til E er altså felles
for begge akkordane. I figur 19 ser ein tydeleg
denne tersslektskapen ved at dei to trekantane i
oktavsirkelen får tersintervallet som felles side,
CE. Den samla figuren er symmetrisk om linja
gjennom D og Giss/Ass.
Figur 19: C-dur og a-moll.
Ved å teikne dei tre hovudtreklangane innan­
for ein toneart inn i den same oktavsirkelen, vil
ein også tydeleg få fram slektskapen mellom dei
tangenten 2/2011
ulike akkordane. I figur 20 ser ein dei tre hovudtreklangane i tonearten C-dur: C (tonika), F
(subdominant) og G (dominant). Me ser at
grunntonen i dominantakkorden (G) fell saman
med kvinten i tonikaakkorden, og at kvinten i
subdominantakkorden fell saman med grunntonen i tonikaakkorden (C). Dette viser tydeleg
kvintslektskapen mellom dominant og tonika,
og mellom subdominant og tonika.
Figur 20: Hovudtreklangane innanfor tonearten C-dur
(C, F og G).
Om ein no utvidar dominantakkorden til ein
septimakkord, medfører det at tonen F vert
inkludert i G-durakkorden, sjå figur 21. Denne
tonen er som kjend grunntonen i subdominantakkorden, og knyter dermed slektskapsband
mellom dominant- og subdominantakkorden.
Tilsvarande kan ein også teikne inn dei parallelle mollakkordane til kvar av dei tre hovud­
treklangane. Me ser frå figur 21 at hjørna i dei
tre nye trekantane fell saman med hjørna i dei
eksisterande trekantane frå figur 20. Det tyder
at det er dei same tonane som samla inngår i
dei tre hovudtreklangane og deira parallelle
mollakkordar. Me ser vidare frå figur 21 at den
vesle tersen i a-mollakkorden (intervallet frå A
til C) fell saman med den vesle tersen i F-durakkorden. Tilsvarande ser me at den vesle tersen
i e-mollakkorden (intervallet frå E til G) fell
saman med den vesle tersen i C-durakkorden.
Dette viser molltersslektskapen mellom tonika
sin parallelle mollakkord og subdominant­
akkorden, og mellom tonika og dominanten
43
sin parallelle mollakkord.
Figur 21: Hovudtreklangane med tilhøyrande parallelle
mollakkordar i C-dur.
Figur 21 visualiserer tydeleg at hovudtreklangane i C-dur, med tilhøyrande parallelle mollakkordar, inneheld berre – og alle – stamtonane
(dei kvite tangentane på pianoklaviaturet).
Gjennom desse vakre figurane og enkle analysane, håper eg å ha fått fram at musikken også
kan nytast visuelt.
Fotnoter
1
2
3
4
Grunnlaget for denne artikkelen vart utvikla
i samband med ei kursrekke om Matematikk i musikken som eg heldt på oppdrag
frå Nasjonalt senter for kunst og kultur i
opplæringen.
Alle sirkelfigurane er teikna ved hjelp av
GeoGebra.
Idéen til desse figurane er henta frå Ashton
(2003).
Grunnlinja i den likebeina trekanten inngår
ikkje direkte i kvint-kvart-para som vert
danna av dei to sidene FC og GC.
Referansar
Ashton, A. (2003). Harmonograph: a visual guide
to the mathematics of music. New York:
Walker Publishing.
Bjørlykke, R. Å., og Skorpen, L. B. (2009). Å
rekne i musikk. I J. Fauskanger, R. Mosvold
og E. Reikerås (Eds.), Å regne i alle fag (s.
225-236). Oslo: Universitetsforlaget.
44
Field, J. V. (2006). Musical cosmology: Kepler
and his readers. I J. Fauvel, R. Flood og R.
Wilson (Eds.), Music and mathemaics. From
Pythagoras to Fractals. New York: Oxford
University Press.
Garland, T. H., og Kahn, C. V. (1995). Math and
Music. Parsippany: Dale Seymour Publications.
Haspang, P. (2010). Musikkens Matematik.
Samsø: Forlaget Matematik.
Skorpen, L. B. (2004a). Å lytte til musikk frå tal.
Tangenten 15(4). Retrieved from www.
caspar.no/tangenten/2004/lytte_til_musikk_
fraa_tal.doc.doc
Skorpen, L. B. (2004b). Å uttrykke musikk ved
hjelp av tal. Tangenten, 15(4).
Wollenberg, S. (2006). Music and mathematics:
an overview. I J. Fauvel, R. Flood og R.
Wilson (Eds.), Music and mathematics.
From Pythagoras to Fractals. New York:
Oxford University Press.
Tallmønster 1. Se innsiden av omslaget.
9 · 9 + 7= 88
98 · 9 + 6= 888
987 · 9 + 5= 8888
9876 · 9 + 4= 88888
98765 · 9 + 3= 888888
987654 · 9 + 2= 8888888
9876543 · 9 + 1= 88888888
98765432 · 9 + 0= 888888888
Tallmønster 2. Se innsiden av omslaget.
1 · 1= 1
11 · 11= 121
111 · 111= 12321
1111 · 1111= 1234321
11111 · 11111= 123454321
111111 · 111111= 12345654321
1111111 · 1111111= 1234567654321
11111111 · 11111111= 123456787654321
111111111 · 111111111= 12345678987654321
2/2011 tangenten
H. Aschehoug & Co. har mer enn 130 års tradisjon
som ledende og uavhengig norsk forlagshus.
Virksomheten omfatter forlagene Aschehoug,
Universitetsforlaget og Oktober samt Norligruppen. Videre er forlagshuset deleier
i De norske Bokklubbene, Kunnskapsforlaget, Forlagsentralen og Spektrum Forlag.
Driftsinntektene var i 2009 på 1,7 mrd. kr.
Aschehoug Undervisning søker
���������� � ����������
Har du lyst til å bidra til elevenes læring i matematikk,
er dette muligheten du bør gripe!
Aschehoug Undervisning utvikler et nyskapende digitalt læringsverktøy
i matematikk for grunnskolen 1–7. I den forbindelse søker vi forfattere
som brenner for matematikkfaget og som er opptatt av god formidling.
Prosjektet du skal være med på å utvikle tar matematikkutfordringene i
skolen på alvor og gir elevene hjelp til å forstå og mestre matematikk.
Som forfatter i Aschehoug Undervisning vil du lage oppgaver og læringsressurser til konkrete deler av prosjektet, men også være med i konseptutviklingen. Du inngår i en prosjektgruppe og blir del av et kreativt og
spennende miljø. Gode samarbeidsevner, klasseromserfaring fra barnetrinnet og solid faglig kompetanse vil bli vektlagt. Arbeidsmengden vil
variere, men kan være stor i perioder. Honorar eller royalty etter avtale.
Spørsmål om stillingen kan rettes til prosjektleder Stein Dillevig på
telefon 22 400 433/996 36 773, e-post: stein.dillevig@aschehoug.no eller
forlagsredaktør Nina Pettersen, e-post: nina.pettersen@aschehoug.no.
Søknad med CV sendes på e-post til stein.dillevig@aschehoug.no
innen 1. mai 2011
eller per post til:
H. Aschehoug & Co.
Undervisning v/Stein Dillevig
Boks 363 Sentrum,
0102 OSLO
Vennligst merk søknaden
”Forfatter matematikk – Aschehoug Undervisning”
tangenten 2/2011
45
Vi hjelper deg med
å få elevene til å lykkes
Tredje generasjon
teknologi er her!
Nyheter:
• Håndholdt med touchpad, bakgrunnslys og
farger – slank og elegant.
• Dokumenter kan lages og lagres i Word-liknende
dokumentformat – publish View.
• Navigator – trådløs klasseromsløsning for både
pc-klasserom og håndholdt-klasserom. Må prøves!
• Integrert datalogging med Vernier’s Dataquest
som applikasjon – plugg inn og logg!
• Flere matematikkfunksjoner – retningsdiagram,
3D-plotting, etc.
• Player – software som gir mulighet for distribuering
av interaktive matematikkdokumenter uten å ha
TI Nspire programvare installert. Legg det inn på
nettsider, eller presenter spillbare filer direkte.
Like enkelt, enda mer komplett!
Vil du vite mer? Kontakt undervisningskonsulent
Anders Øverbye på telefon 92665313 elle send
en mail til a-overbye@ti.com
46NO_Ad_20x14 v3.indd
1
02/03/2011
10:47
2/2011 tangenten
Anne Fyhn
Noe som følger et mønster
Språket vårt er et redskap for å formidle til
andre mennesker hvordan vi tenker. Ordene
i språket er uttrykk for hvordan vi tenker og
hvordan vi organiserer våre tilværelser. Det
fins ulike måter å organisere tilværelsene våre
på, ut fra hva som er hensiktsmessig og hvilken
kultur­bakgrunn vi har.
Det norske ordet mønster lar seg ikke uten
videre oversette direkte til samisk1. Dette er
viktig å tenke på for norsktalende som skal
forholde seg til mønster i samiske kontekster.
Dersom vi oversetter andre veien, fra samisk til
norsk, finner vi at det samiske ordet girji har tre
betydninger (Nielsen, 1979). ’Bok’ og ’bokstav’
er to av betydningene, mens den tredje er ’mønster’.2 Ordet girji brukes også i flere sammenhenger enn de norske ordene bok og bokstav,
som navn på en flekkete hund: girje eller girjjis,
som navn på ei kvit ku med røde eller svarte
flekker: girju. Verbet girjjodit betyr å bli flekket/spraglet, å begynne å få grå eller brunaktige flekker (både om dyr og om hodet til folk).
Girjjodit brukes også om rypa når den begynner å få brunaktige flekker om våren. Om haren
brukes derimot et annet verb, fordi der er fargen
jevn over det hele (ibid.).
Anne Fyhn
Universitetet i Tromsø
anne.fyhn@uit.no
tangenten 2/2011
Gaski (1998) forklarer hvordan ordet
girji får tilføyd endelser og dermed blir til
girjjálašvuohta, som betyr «noe som følger et
mønster» eller «noe som har noe med en bok
å gjøre».
Begrepet kommer av substantivet girji, som
betyr både mønster og bok. Til substantivet
føyer en så adjektivendelsen –las og får
dermed adjektivet ’mønsterlig’ (altså noe
som følger et mønster eller har noe med
et mønster å gjøre) i den ene betydningen, og ’boklig’ (noe som minner om en
bok eller er knyttet til det boklige) i den
andre. Av adjektivet girjjalas kan en igjen
skape et substantiv ved å føye til endelsen
–vuohta, slik at den direkte oversettelsen av
girjjálašvuohta ville bli ’mønsterlighet’ og
’boklighet’, altså noe som følger et mønster
eller har noe med en bok å gjøre. (ibid.,
s. 34)
Den vanligste norske oversettelsen av
girjjàlašvuohta er ’litteratur’. I følge Gaski (ibid.)
åpner det samiske begrepet for litteratur for en
mye videre tolking enn det norske ’litteratur’,
som er begrenset til det som er bokstavrelatert.
Det samiske begrepet er videre enn det norske.
Det inkluderer muntlige fortellinger, som også
følger et mønster og har sin struktur, på samme
vis som en bok.
47
Joik
Gaski (ibid.) hevder at fordi joikelyrikken er
oppbygd etter et mønster, faller joik inn under
litteraturbegrepet på samisk. Joikemelodiene er
bygd opp av små melodisk-rytmiske motiv som
står i forhold til hverandre, og hvert melodiskrytmiske motiv utgjør et melodiavsnitt (Graff,
2001). «En joik består av flere avsnitt i rekkefølge, hvor motivene står i bestemte forhold til
hverandre.»(ibid., s. 206) Graff (ibid.) bruker
termen ’rytmisk motiv’ som navn på en struktur
som forekommer hyppig i joikemelodier. Melodiene kan deles inn på ulike vis: For eksempel
kan seksdelte joiker betraktes som firedelte, men
med to innskutte avsnitt. En åttedelt melodi kan
vurderes som firedelt, den kan betraktes som en
16-takters melodi i viseform (ibid.). Mønstre i
joikemelodier leder til antagelsen om at joiking
kan gi en intuitiv forståelse av det å finne felles
nevner for to eller flere brøker. Elever som har
erfart at en 16-takters melodi kan deles i både
åtte og i fire like lange deler, kan ha et grunnlag
for arbeid med uensbenevnte brøker. Samiske
matematikklærere har muligheter til å bygge
undervisningen om brøk på elevenes erfaringer
med joik.
Graff (ibid.) skriver at forskere har fokusert
på joik som tekst, som melodi og rytme, eller
som meningsutveksling. Men primært handler
joik om meningsformidling i samhandlings­
situasjoner. Å joike en person betyr å framføre
en bestemt joik som er tilegnet vedkommende.
«Joik brukt som kommunikasjon forutsetter
både ferdighet i joiking og sosial ferdighet.»
(ibid., s. 53). Gaski (1998) understreker at det
er problematisk å analysere joikens tekstdel isolert fra den situasjonsbetingete framføringen av
den. En forståelse av joiken krever blant annet
grundig kunnskap om joikens musikalske sider
og dens tekstlige innhold.
Duodji/duodje/duedtie3
Dunfjeld (2001) analyserer sørsamisk ornamentikk. På sørsamisk fantes det verken noen
generell betydning eller overgripende term som
48
samsvarte med begrepet ornamentikk. Samenes forståelse av egen ornamentikk er dessuten forskjellig fra en ren formal forståelse av
ornamentikk slik vi finner det i Vest-Europa.
Dunfjeld (ibid.) innførte derfor begrepet tjaalehtjimmie som har en betydning utover det å
være ren dekor: «Det er sammensetning av tegn,
ornamenter og symboler som til sammen kan
gi mening.» (ibid., s. 102) Dunfjeld bruker ordet
geometri gjentatte ganger i sine beskrivelser
av samisk ornamentikk, men hun kunne like
gjerne brukt ordet algebra.
Tr e k a n t s t i k k e t
skjæres ut i tre, bein
eller horn og lages
ved en teknikk som er
særegen blant samer.
En kniv eller en annen
spiss gjenstand brukes
til å lage tre snitt eller
skår mot et felles Figur 1: Trekantstikket.
punkt (ibid.). Dette
felles punktet ligger ikke midt i figuren, men
nærmere ett av hjørnene. Stikket ser nærmest ut
som en skeiv pyramide sett ovenfra. Når snittet
er farget med aske eller bark framtrer et trekantformet ornament.
I følge Dunfjeld (ibid.) er trekantstikket et
symbol som bærer et budskap, og budskapets
innhold må sees i relasjon til den konteksten det
er satt inn i. Meningen må tolkes ut fra den konteksten gjenstanden er laget i og skal fungere i.
Selve trekantstikket er et gammelt symbol som
er utbredt blant samer og andre urfolk.
Meningen til et ornament som trekant­
stikket, kan avgjøres ut fra dets plassering og
organisering i forhold til andre symboler i en
komposisjon (ibid.), slik figur 2 viser eksempler på. Både matematikere og andre kan la seg
begeistre over sammenhengene mellom symmetri og språk i denne figuren. Matematikklærere og duedtielærere i sørsamiske områder har
muligheter til å utarbeide spennende matematikkundervisning med utgangspunkt i eksempelet i figur 2.
2/2011 tangenten
Figur 2. Hvordan trekantstikk kan symbolisere
personlige pronomen i første og andre person i entall
og totall. Utsnitt av figur fra Dunfjeld (2001, s. 109)
I duodji/duodje/duedtie finner vi ulike mer
og mindre avanserte flettede og vevde båndmønstre, for eksempel slik figur 3 viser. Båndene må
sees i sammenheng med konteksten de opptrer
i. Blant annet forteller båndene hvilket kjønn
brukeren har, hvor vedkommende kommer fra
og hvorvidt personen er gift eller ugift.
Innenfor matematikk er fletting et begrep
i gruppeteori og i topologi. Det matematiske
begrepet flettegruppe ble eksplisitt introdusert
av den østerrikske matematikeren Emil Artin
i 1925 (Wikipedia, 2011). Flettegruppen eller
«braid group» med n tråder, Bn, er en gruppe
som har intuitiv geometrisk representasjon og
som på et vis representerer symmetrigruppen
Sn (ibid.).
En operasjon der elementer bytter plass i
en symmetrigruppe, kalles en permutasjon.
Dersom kun to elementer bytter plass, kalles
operasjonen en transposisjon. Hvis for eksempel seks personer sitter rundt et bål og tre av
dem bytter plass, kalles det for en permutasjon
på matematikkspråket. En relevant oppgave for
elever i ungdomsskolen er å finne fram til en
formel for hvor mange forskjellige måter fire
personer kan plassere seg på rundt et bål. Hvor
mange forskjellige permutasjoner finnes? Videre
kan de bruke formelen til å regne ut hvor mange
måter seks personer kan plassere seg på. I en
flettegruppe er reglene for en transposisjon at
det dessuten ikke er likegyldig hvilken tråd som
krysser på for- og baksiden av den andre. Tilsvarende regler gjelder for fletting av samiske
bånd.
Fyhn (2007) beskriver hvordan man flet-
Figur 3. Et lite utvalg samiske vevde og flettede båndmønstre (Eira Buljo, 1995).
tangenten 2/2011
49
ter hår ved først å dele håret i tre like deler.
Fletteprosedyren kan beskrives som gjentatte
repetisjoner av «Ta høyre del og kryss den over
midt­erste del. Ta deretter venstre del og kryss
den over midterste del.» Den høyre delen, uansett hvilken det måtte være, kan referere til alle
de tre delene av håret. Tilsvarende gjelder for
midterste del og venstre del. I følge Lakoff og
Núñez (2000) er det dette vi forstår ved metonymi. Dette eksisterer utenfor matematikken,
men det er viktig for å forstå algebra. En vei til
å forstå abstrakt algebra er at vi kan generalisere på bakgrunn av konkrete erfaringer fra
dagliglivet. Hvis Per har 120 kr og Marit har
50 kr så kan vi telle oss fram til at de har 170 kr
til sammen, enten vi teller Per eller Marit sine
penger først.
This everyday conceptual metonymy …
plays a major role in mathematical thinking: It allows us to go from concrete
(case by case) arithmetic to general algebraic thinking … This everyday cognitive
mechanism allows us to state general laws
like «x + y = y + x», which says that adding
a number y to another number · yields the
same result as adding · to y. It is this metonymic mechanism that makes the discipline of algebra possible, by allowing us
to reason about numbers or other entities
without knowing which particular entities
we are talking about. (ibid., s. 74–75)
I 1942 skrev Solveig Skullerud avhandlingen
Finnmarksfinnernes ornamentikk i karvskurd og
ristning. Avhandlingen hennes er basert på et
studium av Etnografisk Museums samlinger
(Skullerud, 1971). Motsatt av Dunfjeld (2001)
analyserte hun duodjigjenstander løsrevet fra
den sammenhengen hvor de ble laget og hadde
sin funksjon. Dette fikk konsekvenser for analysene hennes. Mens Dunfjeld (ibid.) framhever
at organiseringen av trekantstikkene har betydning for meningsinnholdet, betrakter Skullerud
samisk ornamentikk som ren dekor. Skullerud
50
skriver heller ikke noe om hvorvidt sentrum i
trekantstikkene er plassert i et hjørne eller midt
i figurene.
Det eiendommelige ved Pasvik- og Suenjelsamenes ornamentikk er nå at den utelukkende
er bygd på trekanten og de variasjonene som
fremkommer ved trekantsammenstillinger. Og
det har virkelig lyktes for disse samene på et så
snevert grunnlag å skape en ornamentikk som
både er særegen og virkningsfull (Skullerud,
1971, s. 49).
Fordi Skulleruds analyser kun forholder seg
til gjenstander på et museum, så ble hennes
analyser av trekantstikket svært annerledes enn
de analysene Dunfjeld (2001) gjorde. Skulle­
ruds arbeid må imidlertid leses i lys av når det
ble utført. 1942 var i slutten av nasjonalismens
glansperiode og på den tiden sto fornorskingen
av samene sterkt. Samer deltok ikke selv i forsk­
ning på den tiden, de ble forsket på av andre
(Evjen, 2009).
Samisk læreplan
Elever som følger samisk læreplan har egne
fagplaner i musikk og i duodji/duodje/duedtie,
men ikke i matematikk. Derfor blir det opp til
den enkelte matematikklærer og den enkelte
skole å bygge matematikkundervisning på
er­faringer elevene har med seg hjemmefra, og
fra de estetiske fagene. Lærebøkene inneholder
ingen eksempler. Et mål med denne teksten er å
vise noen eksempler på muligheter for å bygge
matematikkundervisning for samiske elever på
elevenes kompetanse og erfaring fra estetiske
fag. Et annet mål er å vise hvordan mønstre i
samiske kulturuttrykk kan betraktes ut fra et
matematisk og et matematikkdidaktisk perspektiv.
I følge kompetansemålene i musikk, samisk
plan, for sjuende trinn skal elevene blant
annet kunne «joike et utvalg dyre-, person- og
stedsjoiker, … improvisere med stemme og
instrumenter med utgangspunkt i enkle rytmiske, melodiske og harmoniske mønstre»
(KD, 2006c). I matematikkfaget er kompetanse­
2/2011 tangenten
målene blant annet at elevene skal kunne
finne felles­nevner og legge sammen brøk. De
skal kunne utforske og beskrive strukturer og
forandringer i enkle tallmønster, og de skal
kunne bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle
bereg­n­­inger (KD, 2006d). Samiske matematikklærere har muligheter til å sette disse kompetansemålene i matematikk i sammenheng med
målene for joik. Fordi samiske elever følger
samme fagplan i matematikk som øvrige elever
i norsk skole, inneholder lærebøkene ikke noe
om slike muligheter.
Arbeid med trekantstikk passer godt inn for
å nå kompetansemålene i duodji/duodje/duedtie: etter fjerde årstrinn skal elevene kunne
eksperimentere med enkle geometriske grunnformer og mønstre fra duodji/duodje/duedtie
både i konstruksjon og som dekorative formel­
ementer (KD, 2006b). Etter tre år på mellomtrinnet skal elevene kunne bruke ornamenter
fra duodji/duodje/duedtie i eget skapende arbeid
(ibid.). Parallelt med dette legger kompetansemålene i geometri (KD, 2006d) til rette for å
bygge undervisningen på elevenes erfaringer fra
timene i duodji/duodje/duedtie. Etter fjerde årstrinn skal elevene kunne kjenne igjen og bruke
speilsymmetri og parallellforskyving i konkrete
situasjoner. Etter sjuende årstrinn skal de kunne
beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og
parallellforskyving (ibid.). Organiseringen av
trekantstikkene i figur 2 er velegnet til å studere speilsymmetri og rotasjonssymmetri. Fordi
senteret i trekantstikket står i et av hjørnene, er
de sammensatte figurenes symmetriegenskaper
ekstra tydelige.
Dunfjelds (2001) avhandling gir flere matematikkfaglig relevante eksempler på parallell­
forskyving i tillegg til speiling og rotasjon.
Fagplanen i matematikk (KD, 2006d) åpner
for at skoler i sydsamiske områder (og andre
steder) kan gjøre utstrakt bruk av trekantstikk
i matematikkundervisningen. Fordi det ikke
er ut­arbeidet egne læreverk i matematikk for
samiske elever, er det opp til den enkelte skoles
matematikklærere å bygge undervisningen på
tangenten 2/2011
elevenes erfaringer med trekantstikk.
Fletting av bånd går igjen i kompetanse­
målene i duodji/duodje/duedtie for de ulike
trinnene i grunnskolen. Etter andre årstrinn
skal elevene kunne eksperimentere med form,
farge og rytme i border ved bruk av mønstre fra
duodji/duodje/duedtie. Etter fjerde årstrinn er
kravene økt. Elevene skal nå kunne «eksperimentere med enkle geometriske grunnformer
og mønstre fra duodji/duodje/duedtie både
i konstruksjon og som dekorative formelelementer» (KD, 2006b). Etter sjuende årstrinn
skal elevene også kunne mer om båndenes tilknytning til ulike kontekster, de skal kunne lage
bånd til ulike funksjoner (ibid.).
Samiske elever lærer mye om fletting av
bånd. Praktisk og systematisk arbeid med
fletting fører til at elevene tilegner seg en god
del matematisk kunnskap som de ikke finner
noe om i mate­matikkbøkene sine. Samiske
matematikk­læreverk er kun direkte oversettelser av norske bøker og elevene får derfor ikke
vite at fletting også er matematikk. En årsak til
dette er at fletting av bånd har en helt annen
plass i tradisjonell norsk kultur enn i tradisjonell samisk kultur. ‘Braid group’ eller fletting
er imidlertid velkjent blant matematikere fordi
dette er et eget forskningsfelt innenfor matematikk. Ved Universitetet i Tromsø har Hilja Huru
skrevet doktoravhandling i matematikk om flettinger. Mange matematikere synes dette emnet
er interessant, og kan derfor en del om flettinger
ut fra et teoretisk perspektiv. De som arbeider
med flettinger innenfor duodji/duodje/duedtie
kan også en god del om flettinger. Flettinger
blir forhåpentligvis også etter hvert inkludert
i samisk matematikkundervisning. Her er det
mulig­heter for mange spennende prosjekter.
Noter
1
2
De mest utbredte samiske språkene er
nordsamisk, sørsamisk og lulesamisk.
Denne teksten referer til nordsamisk språk
dersom ikke annet er spesifisert.
K. Nielsens ordbok beskriver betydningen
51
3
av ordet ‘girji’ slik på engelsk: «Spot of
another colour (on an animal); (plur.) ornamental patterns (coloured).» (Nielsen, 1979,
s. 117)
Duodji/duodje/duedtie er en betegnelse
for samisk håndverk og kunsthåndverk på
henholdsvis nord-/lule- og sørsamisk
Referanser
Dunfjeld, M. (2001). Tjaalehtjimmie. Form og innhold i sørsamisk ornamentikk. Avhandling
for dr. art.-graden. Universitetet i Tromsø,
Norway: Institutt for kunsthistorie, Det
humanistiske fakultet.
Eira Buljo, K. M. (1995). Árbeviroláš cˇ uoldagat
ja bárgidivvun bàittit. Guovdageaidnu/
Kautokeino: Sámi oahpahusráðði/Samisk
utdanningsråd.
Evjen, B. (2009). Research on and by ‘the Other’.
Focusing on the Researcher’s Encounter
with the Lule Sami in a Historically Changing Context. I Acta Borealia, vol 26, (2),
s. 175-193
Fyhn, A (2007). Sámi Culture as Basis for Mathematics Teaching. I C. Bergsten, B. Grevholm, H.S. Måsøval & F. Rønning (Red.)
Proceedings of Norma 05, 4th Nordic Conference on Mathematics Education . s. 245256. Trondheim: Tapir Academic Press
Gaski, H. (1998). Den hemmelighetsfulle teksten.
Joikelyrikken som litteratur og tradisjon. I
Vinduet, vol 52, (3), s 33-39
Graff, O. (2001). Joik på nordkysten av Finnmark.
Undersøkelser over en utdødd sjøsamisk
joiketradisjon. (Joik at the northern coast
of Norway. Investigations about an extinct
Sea-Sámi joik tradition), Tromsø, N: Tromsø
University Museum.
KD, Kunnskapsdepartementet (2006a). Parallelle, likeverdige læreplaner – grunnskole og
gjennom­gående fag. Lastet ned 4. februar
2011 fra www.udir.no/Artikler/_Lareplaner/
Samisk/Parallelle-likeverdige-lareplaner--grunnskolen-og-gjennomgaende/
KD, Kunnskapsdepartementet (2006b). Lære-
52
plan i duodji. Kompetansemål. Lastet ned
4. februar 2011 fra www.udir.no/grep/Larepl
an/?laereplanid=147569&visning=5
KD, Kunnskapsdepartementet (2006c). Læreplan
i musikk, samisk plan. Kompetansemål.
Lastet ned 4. februar 2011 fra www.udir.no/
grep/Lareplan/?laereplanid=152328&visni
ng=5
KD, Kunnskapsdepartementet (2006d). Læreplan
i matematikk fellesfag. Kompetansemål
etter 7. årssteget. Lastet ned 9. februar
2011 fra www.udir.no/grep/Lareplan/?laere
planid=1101832&visning=5&sortering=2&k
msid=1101841
Lakoff, G. & Núñez, R. (2000). Where mathematics comes from. How the embodied mind
brings mathematics into being. New York:
Basic Books.
Nielsen, K. (1979). Lappisk (samisk) ordbok.
Grunnet på dialektene i Polmak, Karasjok
og Kautokeino. Bind II G–M. Oslo: Universitetsforlaget, 2. opplag. Første opplag
1932–1962.
Skullerud, S. (1971). Finnmark-samenes ornamentikk i karveskurd og ristning. I A. Nesheim & H. Eidheim, (Red.) Sámi ællin Sámi
Særvi jakkigir’ji 1967–1970/ Sameliv Samisk
Selskaps Årbok 1967–1970. Oslo: Universitetsforlaget, s. 31–92. Omredigert versjon
av S. Skullerud (1942) Finnmarksfinnernes
ornamentikk i karveskurd og ristning, Nordnorske samlinger III
Wikipedia (2011). Braid group. Lastet ned
4. februar 2011 fra en.wikipedia.org/wiki/
Braid_group
2/2011 tangenten
Geometri, mønster
og måling – med
kenguruoppgaver
Susanne Gennow & Karin Walby:
Geometri, mønster og måling
– med kenguruoppgaver
Geometri och rumsuppfatning – med
Känguruproblem
ISBN 978-9185143-18-4
Pris: SEK 385,–
Endelig har noen tatt seg tid til å samle gode,
gamle oppgaver fra Kengurukonkurransen
mellom to permer! I løpet av de årene denne
internasjonale matematikkonkurransen har
eksistert, er det blitt laget så mange kenguruoppgaver at de to forfatterne har kun konsentrert seg om oppgaver innenfor emnet geometri og romforståelse. Karin Walby arbeider ved
Nationellt centrum för matematikkutbildning
og Susanne Gennow jobber til daglig som lærer
i videregående skole. Begge har vært ansvarlige for Kengurukonkurransen i Sverige siden
1999.
Forfatterne henvender seg først og fremst til
lærere, som i tillegg til læreboka, vil ha en samtangenten 2/2011
ling med problemløsingsoppgaver for å kunne
berike og variere egen undervisning.
Kenguruoppgaver er i første rekke laget for
å stimulere elevers interesse og motivasjon for
matematikk. Innholdet og formuleringen er
tilpasset til elever på ulike nivåer. Oppgaver
tiltenkt elever på barnetrinnet, handler ofte
om Robert, Rebekka, en hund eller en kenguru
som bygger, maler, hopper, tegner, løper, pusler,
spiser eller legger et mønster. Så støter de på et
eller annet problem som de trenger hjelp til å
løse. Oppgaver beregnet for elever på ungdomstrinnet og i videregående skole går mer rett på
sak, men mange av problemstillingene har en
særegen vri som kanskje vil motivere elevene.
Kvaliteten her er etter min mening at elevene
blir utfordret på sentrale begreper i matematikk.
Hovedkapittelet i boka består av en oppgave­
samling sortert etter innhold. Geometriske
former, operasjoner med former, måling, mønster og klassisk geometri er her fem under­
kapitler. Hvert underkapittel deles igjen inn i
sentrale geometriske tema. På denne måten er
det enkelt å finne problemløsingsoppgaver som
for eksempel omhandler sirkler, skjæringspunkter, linjer, vinkler, areal, volum eller forholdsregning. En CD med alle oppgavene følger
med boka. Om teksten må oversettes for norske
elever, kan bilder og tegninger kopieres direkte.
53
Bak i boka er det fasit med løsningsforslag til
alle de 382 oppgavene.
I hvert kapittel under «förslag för undervisningen» gis det tips til læreren hvordan elevene kan arbeide med problemene. Det kan være
forslag til variasjoner, bruk av konkretiserings­
materiell, koblinger til lignende problemstillinger eller spørsmål til å diskutere og arbeide
videre med. Dette er en av styrkene til boka.
Ettersom tema for dette nummeret av Tangenten er mønster, avslutter jeg med en oppgave
fra mønsterkapittelet i boka:
Maksimalt antall ruter
Hvis vi tegner 9 linjestykker (5 vannrette og 4
loddrette) får vi et rutenett med 12 ruter. Se
tegningen:
Med 6 vannrette og 3 loddrette linjestykker blir
det bare 10 ruter.
Hvis vi tegner til sammen 15 linjestykker på
samme måte, hva er det maksimale antall
ruter vi da kan få?
A) 22 B) 30 C) 36 D) 40 E) 42
Løsningsforslag
Riktig svaralternativ (på originaloppgaven) er E.
Vi trenger 4 linjestykker for å lage en rute. Lar vi
de 11 resterende linjestykkene være loddrette får
vi 12 ruter. Lar vi et linjestykke være vannrett
og 10 loddrette får vi 2 · 11= 22 ruter, med to
vannrette og 9 loddrette 3 · 10 = 30 ruter, videre
4 · 9 = 36, 5 · 8 = 40 og 6 · 7 = 42 ruter som vi får
med 5 vannrette og 6 loddrette linjestykker.
Tegner vi linjestykkene slik at vi får maksimalt antall ruter får vi følgende tabell:
Antall linjer
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Max ant. ruter
1
2
4
6
9
12
16
20
25
30
Mål
1x1
1x2
2x2
2x3
3x3
3x4
4x4
4x5
5x5
5x6
Anne-Gunn Svorkmo
Tips til hvordan elevene kan arbeide med dette
problemet:
– Hva er det minste antall linjestykker vi
trenger for å tegne ei rute?
– Hvordan skal vi tegne et linjestykke for at
antall ruter skal øke mest?
– Hvordan kan vi med samme antall linjestykker få ulikt antall ruter?
– Hvordan kan vi få et bestemt antall ruter
med ulikt antall linjestykker?
– Hvor mange ruter gir m vannrette og n
loddrette linjestykker?
54
2/2011 tangenten
Matematikk – fra
mønster til bevis
Hva er matematikk? Det er et ganske dypt
spørsmål og det finnes et hav av svar på dette
spørsmålet. På den ene siden kan faget bli sett
på som en samling av fakta og ferdigheter. Å
lære matematikk vil ut fra et slikt syn si å kunne
mestre algoritmer, kunne gjengi teoremer og
huske ulike definisjoner. Det vil si at vi har
fokus på fagets produkter. På den andre siden
kan vi si at matematikk er «vitenskapen om
mønster» (engelsk: «science of patterns»). Ut
fra dette synet går matematikk ut på å lete etter
mønster og sammenhenger. Hvilket syn vi har
på faget vil selvsagt farge vårt syn på hva som
er god undervisning i faget. Har vi et fokus på
fagets produkter vil vi vektlegge disse. Har vi et
prosessorientert syn vil vi vektlegge dette mer i
vår undervisning.
Heldigvis trenger det ikke å være noen motsetninger mellom disse to syna. Matematikk
er mer enn fakta og ferdigheter, men disse er
også viktige deler av faget. Vi søker å finne sammenhenger og algoritmer. Når vi har funnet en
Tor Espen Kristensen
Stord vidaregåande skule
tork73@gmail.com
tangenten 2/2011
sammenheng, prøver vi å bevise denne ut fra
visse formelle spilleregler. Når dette er gjort og
vi således har klart å bevise resultatet sier vi at vi
har et teorem. Denne måten å tenke på er etter
mitt syn i tråd med formålet med faget, slik vi
får det beskrevet i Kunnskapsløftet. Der leser
vi at «Opplæringa vekslar mellom utforskande,
leikande, kreative og problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening.» (LK06)
Det er interessant å studere hvordan matematiske sammenhenger oppdages og bevises i
et historisk perspektiv. Leser du en tekstbok i
matematikk, virker matematikken strømlinjeformet og logisk oppbygget. Vi kan få inntrykk
av at matematikeren har startet med noen
definisjoner og ut fra disse og tidligere kjente
resultater bygget opp en teori steg for steg. Alt er
strukturert og vakkert og jeg må innrømme at
dette fascinerer meg veldig og var trolig grunnen
til at jeg valgte ren matematikk når jeg studerte.
Men det vi leser i en slik tekstbok er et ferdig
produkt som er resultatet av årelange prosesser der matematikeren har jobbet utforskende
og letet etter mønster og sammenhenger. Det
å skape matematikk fordrer kreativitet og ikke
minst en god idé.
Hvordan blir denne prosessorienterte siden
ved faget vektlagt i skolematematikken?
Selv om det er mange gode unntak for det jeg
her skriver, vil jeg påstå at lærebøkene legger
55
lite opp til at elevene skal utforske og oppdage
sammenhenger. Fokuset er i hovedsak på fagets
produkter og lite på de matematiske prosessene. Elevene blir presentert ulike regler og
eksempler på hvordan disse kan brukes, deretter kommer oppgaver der eleven skal gjøre
noe tilsvarende. Med en slik tilnærming blir
også den formelle siden ved faget neglisjert.
La meg ta et eksempel som illustrerer hva jeg
mener. Elevene får allerede i ungdomsskolen
lære at når du ganger sammen to negative tall,
vil svaret bli et positivt tall – eller som det ofte
heter: «minus og minus er pluss». Men hvordan kan elevene «vite» at dette stemmer? Her
er en måte som jeg har hatt suksess med i min
undervisning. Start med to positive tall, la oss
si 4 og 5. Spør elevene hva du får når du ganger
dem sammen. Svaret er 20. Reduser systematisk
det ene tallet slik at du får følgende liste med
regnestykker:
4·5 = 20
4·4 = 16
4·3 = 12
4·2 = 8
Hva er sammenhengen her? Er det noe mønster i svarene? Her er tanken at elevene selv skal
se at svaret reduseres med 4 nedover og at de
to neste tallene er 4 og 0. Hva blir da 4·(–1)?
Det er 4 mindre enn 0 ikke sant? Altså –4. Hva
med 4·(–2)? Det blir –8. En sammenheng som
kan oppdages er: Et positivt tall multiplisert
med et negativt tall er et negative tall, nemlig
det negative av tallet du hadde fått dersom du
i utgangspunktet ser bort fra fortegna. Når
denne sammenhengen er oppdaget fortsetter
vi å utforske hva som skjer om vi starter med
et negativt og et positivt tall, for eksempel 6 og
–4. Vi gjentar oppsettet over og spør hva vi får
når vi ganger sammen disse. Svaret blir -24 ikke
sant? Så reduserer vi det positive tallet med én
nedover:
56
6·(–4) = –24
5·(–4) = –20
4·(–4) = –16
3·(–4) = –12
Hva er sammenhengen her? Jo, når vi reduserer
tallene til venstre, øker svaret med 4 nedover og
de neste tallene er –8, –4 og 0. Spørsmålet er da:
Hva blir (–1)·(–4)? Det er vel 4 mer enn 0 det
da! Akkurat! Da kan vi fortsette:
2·(–4) = –8
1·(–4) = –4
0·(–4) = 0
(–1)·(–4) = 4
(–2)·(–4) = 8
Hvilken sammenheng ser vi? At et negativt tall
multiplisert med et negativt er et positivt tall!
Hvordan vet vi dette? Vi har oppdaget et mønster! Noen elever vil være fornøyd med dette.
De har nå fått en viss forståelse for at dersom
du ganger et negativt tall med et negativt, blir
svaret positivt.
Hva så med den formelle siden? Hvordan
beviser vi en slik sammenheng? Noen vil kanskje synes at det nå vil være unødvendig med et
bevis. Men vi har ikke sikker kunnskap i matematikken før et bevis er ført. Vi har tross alt
kun sett på noen konkrete eksempler! Jeg synes
også at det er viktig å få elevene til å formulere
resultatet vi har funnet på en mer presis måte. I
dette tilfellet vil jeg at elevene skal komme fram
til at sammenhengen kan uttrykkes som
(–a)·(–b) = a·b.
Hvordan beviser vi dette? Vi starter med å se på
a·(–b). Vi ønsker å vise at dette blir –(a·b). En
fin måte å gjøre dette på er å vise at når du adderer a·(–b) og a·b, så får du 0 til svar. Vi får dette
til ved å bruke den distributive lov (faktorisere
ut en felles faktor – i dette tilfellet a):
a·(–b) + a·b = a·(–b + b) = a·0 = 0
Dette viser at a·(–b) = –a·b. La oss så gå
(fortsatt side 62)
2/2011 tangenten
David Fielker
Stjernemønstre
Når man arbejder meget med mønstre, er det
muligt at man bliver lidt træt af de sædvanlige,
og man prøver derfor at finde noget nyt. En idé
som jeg har beskæftiget mig med, er at bruge
stjerner. Det er ikke muligt at sætte selve stjernerne sammen uden at man får andre former
indimellem, men så kan man undersøge de
forskellige ‘huller’ man kan skabe mellem stjernerne.
Den nemmeste stjerne er måske en sekstakket fordi den kan laves af regulære trekanter,
og de kan tegnes på isometrisk papir (trekantpapir).
Den nemmeste måde et par kan sættes sammen
på, er sådan:
David Fielker
Educational consultant, London
fielker@waitrose.com
tangenten 2/2011
Hvad sker der når vi fortsætter på den måde?
Ja, det er pænt nok! Før vi forlader denne, så lad
os se hvad vi får når vi fjerner nogle stjerner:
Kan man fortsætte på den måde?
For at lave andre mønstre kan man først
undersøge andre måder to stjerner kan sættes
sammen på.
Tag hvert par og undersøg hvilke andre mønstre
der kan laves når flere stjerner sættes sammen
57
på den samme måde. Somme tider er der flere
muligheder.
og man kan fortsætte:
Prøv med andre muligheder:
Og hvad kan laves med den her?
Det er temmelig nemt at konstruere en firetakket stjerne ved at sætte regulære trekanter rundt
omkring et kvadrat.
Det er ikke nødvendigt at den sekstakkede
stjerne har vinkelspidser der er 60 grader. En
interessant mulighed er den her hvor de udvendige vinkler mellem takkerne er rette vinkler.
(Man kan selvfølgelig regne størrelsen af vink­
lerne i stjernetakkerne ud.)
Dette mønster viser nogle af de måder de kan
sættes sammen på.
Nu er det muligt at danne kvadrater:
58
2/2011 tangenten
Her er nogle andre forslag:
Andre muligheder er måske mere ligetil:
Men hvis man sætter to sider sammen, får man
nye muligheder:
Man kan lave en ottetakket stjerne ved at sætte
to kvadrater sammen som vist herunder
Når man sætter disse sammen, kan det blive
dejlig indviklet!
tangenten 2/2011
Jamen. Der findes en masse muligheder for
undersøgelser, for fantasi, for eksperimenter, for
problemløsning osv. Oven i købet får man en
følelse for symmetri, og man kan forstå hvorfor
vinkler på 90 og 60 grader er vigtige i denne
sammenhæng. Men somme tider føler man som
lærer at det ikke er rigtig matematik hvis der
ikke er noget at regne ud, dvs. hvis tal og regning ikke dukker op i billedet!
Men bag spørgsmålene er der altid ’rigtig’
matematik. Fx følgende spørgsmål til vinklerne:
59
”Er der en sammenhæng mellem størrelsen af
stjernetakkerne og de udvendige vinkler mellem
takkerne?”
Lad os starte med et specielt tilfælde. Den
sidste stjerne vi kiggede på, var ottetakket
med en stjernetak på 90 grader. Hvad hvis de
udvendige vinkler mellem stjernetakkerne er 90
grader i stedet? Hvor mange grader er stjernetakkerne så?
Man kan konstruere stjernen sådan:
Men lad os undersøge noget mere udfordrende.
Er det muligt at lave en tretakket stjerne?
Måske tænker man først på en trekant,
men det er svært at betragte den som en stjerne
med takker på 60 grader og vinkler mellem takkerne på 180 grader. Hvad hvis vinklerne var 30
grader i stedet for 60? Hvor store er så de udvendige vinkler mellem stjernetakkerne?
og så er det klart hvad stjernetakkerne må være!
Også selv om man begynder med stjernen,
Og endelig kan man spørge: Findes der en
formel for bestemmelse af vinklerne mellem
stjernetakkerne hvis stjernen har n takker og
størrelsen af takkerne er x grader?
er det nemt at tegne hjælpelinjer:
Nu er det temmelig nemt at se hvor mange
grader stjernetakkerne er.
Ja, det er måske mere interessant at lege med
mønstrene!
60
2/2011 tangenten
Per E. Manne
Matematikk med et smil i 1645
Geir Botten har skrevet en fornøyelig bok om
den første norske læreboken i regning, Arithmetica Danica av Tyge Hansøn, publisert i 1645.
En av oppgavene til Hansøn har vært spesielt
gjenstridig, og Botten har etterlyst en løsning
(2009a, s. 114 og 2009b). I sin anmeldelse av
Bottens bok har Smestad og Martinussen (2011)
kommet med et forslag til løsning. Vi gir her
en annen mulig løsning som, hvis den er riktig,
kan ha fått Hansøns lesere til å trekke på smilebåndet. Først oppgaven:
Item 3. hunder Øxsen store oc smaa /
En Øxdriffuer monn kiøbe :
3. for (63) Daler fik hand daa /
Igien i kiøbet Lod løbe :
3. for (63.) Daler dem solde hen /
Magre oc Fede tillige.
Daler vant hand igien /
Huor ded tilgick mig sige? Respons
Huo det vil regne betencke ret /
Oc sagen vel begrunde
Da vorder ded saa gandske let
At regne for en Bunde.
Selv etter at man har trengt gjennom de arkaiske
språkformene kan det være vanskelig å komme
Per E. Manne
Norges Handelshøyskole
per.manne@nhh.no
tangenten 2/2011
til klarhet her. Tilsynelatende kjøper og selger
bonden oksene for samme pris, og likevel gjør
han en fortjeneste. Hvordan kan dette gå opp?
Hvis 3 okser koster 63 daler så vil 300 okser
koste 6300 daler. Vi finner at
er nøyaktig
en åttendedel av 6300, slik at hvis bonden har
lagt på prisen på hver okse med 1/8 så blir fortjenesten akkurat det oppgitte. Men hvordan få
dette til å rime med opplysningen om at han
solgte 3 okser for 63 daler?
Det er noen ledetråder i teksten her. Hvorfor
står det at prisen er 63 daler for 3 stk, i stedet
for 21 daler for hver? Legg merke til at bonden
kjøper både store og små okser, og han selger
både magre og fete okser. Kanskje er store okser
det samme som fete okser, og små okser er det
samme som magre okser. Men prisen på store
okser bør vel ikke være det samme som prisen
på små okser.
Kan det være slik at vi har med en luring av
en bonde å gjøre? Er det mulig at han først har
kjøpt okser til priser hvor to fete og en mager
okse kostet 63 daler, og deretter lagt på prisen
med 1/8 og solgt dem med fortjeneste? Men når
han blir kritisert for prisen han har tatt, så forsvarer han seg: «Jeg solgte dem for det samme
som jeg kjøpte dem for!» Det han unnlater å
nevne er at med de høyere prisene er det en fet
og to magre okser som koster 63 daler!
Vi kan løse oppgaven med tolkningen ovenfor ved å sette opp to ligninger med to ukjente
61
størrelser. La p være prisen bonden betaler for
en fet okse og la q være prisen han betaler for en
mager okse. Da har vi
Her multipliserer vi andre ligning med 8/9 og får
at p + 2q = 56. Vi kan ta differansen mellom den
første og denne ligningen, og får da p – q = 7. Legg
sammen dette med den første ligningen, og vi får
3p = 70, eller
, og
. Dette
blir da prisene bonden kjøper okser for, mens
han selger dem for henholdsvis
daler og
daler pr. stk.
Svarene kan se litt upraktiske ut, men når
vi vet at det på denne tiden er 96 skilling i en
daler (Botten, 2009a, s. 45) ser vi at det går jevnt
opp. Bonden kjøpte altså 200 fete okser for 23
daler 32 skilling pr. stk, og 100 magre okser for
16 daler 32 skilling pr. stk. Han solgte de fete
oksene for 26 daler 24 skilling pr. stk, og de
magre for 18 daler 36 skilling pr. stk. Da stemmer alle opplysningene, og vi har ingen åpenbare urimeligheter i løsningen.
Oppgaver med gode poenger er ofte vandreoppgaver. Mens generelle idéer og metoder kan
oppdages flere ganger uavhengig av hverandre,
vil spesielle oppgaver med partikulære tall være
sterkere vitner om lån eller felles kilder. Denne
oppgaven kunne godt ha vært en vandreoppgave, og jeg har søkt etter den i andre eldre
kilder, men så langt uten hell.
Referanser
Geir Botten (2009a). Min Lidle Norske Regnebog.
Noen dypdykk i ei lærebok i matematikk fra
1645. Universitetsforlaget.
Geir Botten (2009b). Dypdykk i gammel bok.
Tangenten, (20) 4, 49 – 51.
Bjørn Smestad og Geir Martinussen (2011). Min
Lidle Norske Regnebog. Tangenten, (22) 1,
47–48.
62
Tallmønster 3. Se innsiden av omslaget.
1 · 8 + 1= 9
12 · 8 + 2= 98
123 · 8 + 3= 987
1234 · 8 + 4= 9876
12345 · 8 + 5= 98765
123456 · 8 + 6= 987654
1234567 · 8 + 7= 9876543
12345678 · 8 + 8= 98765432
123456789 · 8 + 9= 987654321
Tallmønster 4. Se innsiden av omslaget.
1 · 9 + 2= 11
12 · 9 + 3= 111
123 · 9 + 4= 1111
1234 · 9 + 5= 11111
12345 · 9 + 6= 111111
123456 · 9 + 7= 1111111
1234567 · 9 + 8= 11111111
12345678 · 9 + 9= 111111111
123456789 · 9 +10= 1111111111
(fortsatt fra side 56)
videre og se på (–a)·(–b). Vi vil vise at dette
er lik a·b. Det kan vi gjøre ved å vise at
(–a)·(–b) + (–a·b) = 0. Nå vet vi at andre leddet
på venstresiden i dette uttrykket er lik a·(–b).
Vi får derfor
(–a)·(–b) + (–a·b) = (–a)·(–b) + a·(–b)
= (–a + a)·(–b)
= 0·(–b)
= 0
Dette viser altså at (–a)·(–b) = a·b.
Mitt poeng med dette leserinnlegget er å
vise et eksempel på at matematikk er mer enn
å kunne memorere ulike definisjoner og regler.
For meg er det viktig at elevene får oppdage alle
sidene med faget.
2/2011 tangenten
Rune Herheim
Kommunikasjonsmønster
Når elevar arbeider i par, korleis veit me at dei
samarbeider? Korleis kan me vita at det ikkje er
individuelt arbeid i par men at elevane verkeleg har ein felles, matematisk samtale? I denne
teksten vert det trekt fram kommunikasjonsmønster som kan fortelja oss noko om korleis to
elevar samarbeider, og som kan illustrera nokre
av kjenneteikna til det Skjervheim (1996a, 1996b)
kallar genuin deltaking og ekte dialog. Skjervheim
vektlegg at for å kunne seia at to personar verkeleg deltek i eit samarbeid, i ein samtale, må dei
ha eit felles engasjement om det aktuelle temaet
og dei må gå inn i kvarandre sine idéar og forslag. Rommetveit (1992) vektlegg noko av det
same når han trekk fram at elevane må justera
perspektiva sine i høve til kvarandre, og dei må
prøva å etablera eit felles fokus og eit «midlertidig delt forståingsrom». Døma i teksten er henta
frå samarbeidet mellom to niandeklassingar som
var med i eit prosjekt der elevane arbeidde i par
og kvart par brukte éin PC.
Før ein set i gong og diskuterer
kommunikasjons­mønster, så kan ein sjå etter
andre teikn: Korleis sit elevane? Kvar ser dei?
Korleis artar bruken av mus og tastatur seg? Elevane på bilete nr. 1 samarbeider godt, og arbeiRune Herheim
Universitetet i Bergen
rune.herheim@psych.uib.no
tangenten 2/2011
det deira kan skildrast slik som dette: dei er to
elevar som sit tett saman, fokuset deira er vekselvis retta mot PC-en og mot partnaren. I den
eine augneblinken nyttar ein av dei tastaturet og
den andre nyttar musa, og like etter kan rollane
vera bytt. Til tider er det fire hender på tastaturet
sam­stundes. Dei delar på ein PC, som er plassert
midt framfor dei. Elevane sit frampå kanten av
stolane sine og lener seg litt mot PC-en og litt
mot partnaren sin. Dei to elevane og PC-en er,
som ein av lærarane i prosjektet sa, som i ei boble.
Det ser ikkje ut til at noko kan forstyrra dei.
Bilete 1: Anne og Kari.
I tabell 1 er ei oversikt over fem mønster som kan
fortelja noko om kor vidt to elevar klarar å dra
fordel av å arbeida i lag.
63
1
Munnleg aktiv
2
Framdrift
3
Adressering
4
Ole, Dole og Doffen-snakking
5
Humør
Tabell 1: Kommunikasjonsmønster.
Munnleg aktiv
Det fyrste ein kan sjå på er i kva grad to elevar
som samarbeider er munnleg aktive. Det er
dokumentert både nasjonalt og internasjonalt
(t.d. Alseth, Breiteig, & Brekke, 2003; Newton,
Driver, & Osborne, 1999) at i matematikk spesielt og i realfag generelt er det meir vanleg å
sitje éin og éin, enn at elevar sit saman og diskuterer faglege samanhengar. Det å uttrykkja
seg munnleg vert òg trekt fram som ein av dei
fem grunnleggjande dugleikane i Kunnskapsløftet (2006). Dei to elevane på bilete 1 var svært
munnleg aktive. Dei sa høgt både uferdige idéar
og forslag, i tillegg til at dei sa kva dei gjorde på
PC-en. Elevane forklarte det slik: «Me kan ikkje
lesa kva den andre tenkjer – då er det lettare å
seia det høgt slik at den andre kanskje forstår
kva me tenkjer.»
Eit døme på låg grad av munnleg aktivitet
er når ein elev i eit anna par, etter ein lang taus
periode, sa: «Eg har det!» Han flytta PC-en bort
til seg sjølv og starta å skriva utan å seia noko om
kva han skreiv eller kva det var han hadde kome
på – den tause perioden heldt fram. Å seia at «ein
har det» signaliserer òg at no er det ikkje noko
meir å diskutera. Når ein i tillegg tek PC-en bort
til seg sjølv, vert det fort slik at den andre eleven
ikkje vert involvert. Når den eine jobbar, koplar
den andre ut. Arbeidet til dette sistnemnde paret
kan karakteriserast som ei form for stafettarbeidsdeling. Fyrst arbeider den eine med ei
oppgåve fram til fyrste veksling. Då leverer han
vekslingspinnen (PC-en) til den andre som fortset på neste etappe (oppgåve). Arbeidet deira kan
betre karakteriserast som arbeids­deling enn som
64
ekte samarbeid. I det fylgjande vert det derimot
trekt fram fleire døme som viser kva som kan
kjenneteikna ei meir felles, genuin deltaking.
Framdrift
Det er fleire kommunikasjonsmønster ein kan sjå
på for å finna ut noko om samarbeidet mellom
to elevar. Eit av desse handlar om det å ha framdrift i arbeidet. Dette vert gjerne ekstra tydeleg
når ein har løyst eit delproblem, når ein står fast
eller når ein har vorten avbroten. Viss ein finn
kommunikasjonsmønster slik som i ytringane
under, er det teikn på at eit par har progresjon
i arbeidet sitt (tala i parentes er minutt, sekund
og hundredelar):
[09:57.22]Anne: Okei, lat oss fortsetja.
[10:31.26] Kari: Okei, me dreg (i hjørna på ein
geometrisk figur).
[25:15.13] Anne: To, eg trur me gjorde det, me
valde 1 der. Uansett, me fortset.
I desse tre enkeltytringane ser me at elevane seier
at dei vil fortsetja. Elevane driv sjølve arbeidet
sitt framover. Det er ikkje læraren som må ta
ansvar for at dei har framdrift i arbeidet. I desse
ytringane ser me òg at elevane brukar pronomen
som oss og me. Ein slik språkbruk vitnar om ei
underliggjande haldning om at dette er noko dei
gjer i lag. Når den eine seier at dei skal fortsetja,
så gjeld det begge elevane. Viss samarbeidet til to
elevar haltar, manglar dei gjerne ei felles framdrift, og ofte må læraren ta ansvar for framdrifta
deira.
Adressering
Det at elevar seier ting som «lat oss gjera det»,
«lat oss prøva det» eller «ja, me gjer det»,
gjer det naturleg å trekkja fram eit tredje
kommunikasjons­mønster: adressering. Å adressere handlar om å retta ytringane sine til den
andre, og om å knyta det ein seier opp mot det
som er sagt tidlegare. Når desse elevane skal seia
noko om kva dei har gjort eller kva dei skal gjera
vidare, nyttar dei pronomen som oss og me. Den
sosiale dimensjonen er tydeleg i arbeidet deira.
2/2011 tangenten
Dei stiller spørsmål til kvarandre, og ytr­ingar er
enten retta mot den andre eller til begge. Paret
ser ut til å sjå på seg sjølv som «ei eining». Det
er òg lettare for ein lærar å adressera begge elevane når det er eit par som samarbeider så tett
som dette. Når elevpar arbeider meir individuelt,
høyrer ein gjerne pronomen som eg og meg. Då
er det òg fort gjort for ein lærar å berre snakka
med éin av elevane.
Ole, Dole og Doffen-snakking
Eit fjerde kommunikasjonsmønster viser seg
når elevane framstår som to synkronsymjarar.
Dei både snakkar i kor og fullfører kvarandre
sine setningar. Det kan mest samanliknast med
dei tre nevøane til Donald Duck: Ole, Dole og
Doffen. Dei er kjende for å fullføre setningar til
kvarandre, og dei komponerer setningar der kvar
av dei vekselvis kjem med korte bidrag. Det neste
dømet viser korleis dei to elevane gjorde dette:
[25:46.06]Kari: Grunnline
[25:47.12] Anne: grunnline
[25:48.06]Kari: gange med
[25:48.24]Anne: høgd
[25:50.02]Kari: delt på
[25:50.20]Anne: 2
[25:51.07] Begge: er lik (i kor)
I den siste ytringa snakkar elevane i kor og fullfører setninga i lag. Dei seks fyrste ytringane viser
korleis elevane vekselvis deltek i ein felles samtale. Ein ser at det er ikkje berre ein felles samtale
på eit overordna nivå, det er òg felles heilt ned på
setningsnivå. Når ein ser slike kommunikasjonsmønster hjå elevar, kan ein vera rimeleg sikker
på at elevane har eit felles fokus, at dei verkeleg samtalar. Ein elev klarar ikkje å fullføra den
andre si setning på ein fornuftig måte utan at
ho både har lytta til den andre, og i tillegg har
forstått mykje av korleis den andre tenkjer. Noko
tilsvarande ser ein viss elevar, slik som i dei to
fyrste ytringane i dømet over, nyttar ei språkleg
vending (grunnline) som den andre har introdusert. Dette er særleg påfallande viss det er eit litt
spesielt omgrep eller vending som vert teke opp
tangenten 2/2011
i språket til den andre eleven.
Eit språkleg aspekt som kan relaterast til dette
kommunikasjonsmønsteret er bruk av nykelord.
Det kan vera ord som går att fleire gonger og som
vert nytta av begge elevane. Her er seks enkelt­
ytringar som viser korleis ordet vent vart brukt
av dei to elevane:
[11:55.24] Anne: Ja. Gange, vent. Pluss.
[14:05.07] Kari: Vent, vent, vent, gange, kvar er
plussen?
[16:57.27] Anne: Den, oops … er lik, ja. Nei,
vent, vent, vent.
[17:41.13] Anne: Nei, vent litt. Grunnline pluss
s pluss s3?
[20:51.08]Kari: Ah … vent, vent litt, treng
lengda òg.
[26:09.16] Anne: Okei, vent då, må berre, eg
føler eg mistar litt kontroll her.
Ordet vent vert brukt ofte av desse to elevane, og
det er brukt med eit bestemt føremål. Dette ser
ein kanskje mest tydeleg i den andre og fjerde
ytringa. Når det er noko elevane ikkje forstår, så
ber dei om ein pause for å få oppklara det som
måtte vera uklart. Dei byggjer ikkje ukritisk på
kvarandre sine ytringar. Den hyppige bruken av
ord som vent vitnar om at det er etablert eit samarbeid der det er rom for diskusjon, der ein òg
kan seia i frå viss det er noko ein ikkje forstår.
Humør
Eit siste mønster som kan trekkjast fram i denne
teksten handlar om humør. Det handlar om å
kunna le og å ha det kjekt i lag – samstundes
som ein gjer fag. I dømet under ser me at dei
to elevane prøver å gjera justeringar på ein av
figurane på PC-en:
[07:53.20]Anne: (Latter). Denne er truleg feil.
[07:58.15] Kari: Nei, nei, gå litt lenger.
[08:00.03]Anne: Nei, det er ikkje det. Oi!
[08:02.06]Begge: (Latter).
Det ser ut som at dei har det triveleg og at dei
set pris på å vera med på dette arbeidet. Dei ler i
lag. Det positive humøret sveisar elevane saman,
65
og ser ut til å fremma samarbeidet deira. Ser ein
vitsing og latter saman med kroppsspråk, kan
det fortelja noko om kor vidt elevar er avslappa
og komfortable med å arbeida saman. Lite kommunikasjon og lite latter er teikn på at to elevar
ikkje klarar å dra fordel av det å samarbeida. Eit
tema som kan relaterast til humør handlar om
å vera støttande og å anerkjenna både eigne og
partnaren sine bidrag:
[11:40.15] Kari: Der.
[11:41.26] Anne: Flott!
----------[12:08.02]Kari: Klarar du å gjera den?
[12:09.59]Anne: Ja.
[12:11:00]Kari: (gjev tommel-opp til Anne)
----------[21:20.21] Begge: («High five» og latter)
Ytringar som «Flott!» og gestar som tommelopp og «high five» er støttande og oppmuntrar
til at ein skal fortsetja med å koma med forslag
og idéar. Det er med på å oppretthalda gløden i
samarbeidet.
Avsluttande merknadar
I denne teksten er det trekt fram
kommunikasjons­mønster som kan fortelja noko
om elevar sitt samarbeid. Mønster som viser at
elevar er munnleg aktive, har god framdrift i
arbeidet, adresserer kvarandre, fullfører setningar i lag og har godt humør er viktige faktorar
for at elevar skal ha utbyte av å arbeida i par.
Skjervheim (1996a, 1996b) legg vekt på at genuin
deltaking og ekte dialog krev eit felles, fagleg
engasjement. Mønstra i denne teksten viser meir
sosiale strukturar enn faglege, men godt utvikla
sosiale strukturar legg til rette for faglege strukturar. Både Skjervheim og Rommetveit (1992)
viser verdiar ved at elevane tek tak både i eigne
og den andre sine idéar, forslag og perspektiv,
og ved at dei prøver å etablera det Rommetveit
kallar eit «midlertidig delt forståingsrom».
Kommunikasjonsmønstra som er trekte fram i
denne teksten heng tett saman med desse teoretiske tilnærmingane. Det at elevane snakkar om
66
me og oss i staden for eg og meg, vitnar om at det
er etablert eit fellesskap. Når elevane snakkar i
kor og fullfører den andre sine setningar, er det
endå eit teikn på at dei har eit felles rom der dei
kan dela tankar og idéar. Og til sist, å ha eit felles
fagleg engasjement er svært vanskeleg utan at ein
er komfortabel og trivst med å arbeida i lag.
Viss ein ynskjer å lesa ein meir detaljert diskusjon om desse kommunikasjonsmønstra, og
det metodiske som ligg bak, kan ein lesa artikkelen av Herheim og Krumsvik (2011).
Referansar
Alseth, B., Breiteig, T., & Brekke, G. (2003). Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn
for videre planlegging og justering: Matematikkfaget som kasus. Notodden: Telemarksforsking.
Herheim, R., & Krumsvik, R. (2011). Verbal Communication at a Stand-alone Computer.
Journal for Educational Research Online,
2(1).
Kunnskapsdepartementet (2006). Læreplan for
den 13-årige grunnopplæringa (LK06). Oslo:
Statens forvaltningsteneste.
Newton, P., Driver, R., & Osborne, J. (1999). The
place of argumentation in the pedagogy
of school science. International Journal of
Science Education, 21(5), 553-576.
Rommetveit, R. (1992). Outlines of a Dialogically
based Social-Cognitive Approach to Human
Cognition and Communication. I A. Wold
(Red.), The Dialogical Alternative: Towards
a Theory of language and Mind (s. 19-45).
Oslo: Scandinavian Press.
Skjervheim, H. (1996a). Deltakar og tilskodar. I H.
Skjervheim (Red.), Deltakar og tilskodar og
andre essays (s. 71-87). Oslo: Idè og tanke,
Aschehoug.
Skjervheim, H. (1996b). Eit grunnproblem i
pedagogisk filosofi. I H. Skjervheim (Red.),
Deltakar og tilskodar og andre essays (s.
214-229). Oslo: Idè og tanke, Aschehoug.
2/2011 tangenten
Einar Jahr
Litt om gotiske katedraler
Matematikk i arkitektur er ikke noe nytt tema,
men det er evig aktuelt. Jeg vil kort skissere
noen utviklingstrekk fra romansk til gotisk
arkitektur, og gi noen idéer til oppgaver med
å konstruere mønstre vi finner i gotiske katedraler.
Gotiske katedraler
En iøynefallende forskjell på romansk og gotisk
arkitektur er formen på buene; romanske buer
er runde, gotiske er spisse. Sammenliknet
med romanske kirker er det slående hvordan
lyset slippes inn i gotiske katedraler. Mens en
romansk kirke kan oppleves som et kjellerhvelv,
virker en gotisk katedral som å være under åpen
himmel. Den gotiske stilen gjorde det også
mulig å montere store glassmalerier som kunne
gjengi Bibelens fortellinger til en menighet som
ikke kunne lese skrift.
Da jeg gikk på skolen, lærte vi utvikling
fra romansk til gotisk stil bare som stiltrekk
hørende til forskjellige tidsepoker i middel­
alderen. Men denne utviklingen hadde ikke
bare med estetikk å gjøre; overgangen fra runde
til spisse buer forutsatte løsning av mekaniske
problemer, der geometri spilte en viktig rolle.
Einar Jahr
Pensjonert lærerutdanner
einjahr@hotmail.no
tangenten 2/2011
Figur 1
En konstruksjon for overdekning over et rom
der det bare brukes teglstein (eller annen stein)
og mørtel, kalles et hvelv. Er hvelvet omtrent
halvsylindrisk, kalles det tønnehvelv (figur 1).
Rommet under et tønnehvelv kan i prinsippet
gjøres så høyt en vil, så lenge bygningen bare
strekker seg i én retning horisontalt.
I løpet av den romanske perioden ønsket man
å bygge kirker med korsformet grunnplan, og da
oppsto et problem ved at to hvelv måtte krysse
hverandre. Når to tønnehvelv krysset hverandre,
ble snittfiguren en halv ellipse (figur 2).
Denne formen ga et større sidetrykk (utoverrettet kraft ved foten av buene). Siden både
hovedskipet og tverrskipet skulle være åpent,
måtte hele krysshvelvet bæres bare i de fire
hjørnene. For at slike konstruksjoner ikke skulle
rase sammen, bygde man tykke murer og søyler,
som er typisk for romansk arkitektur.
For å få til de store lysåpningene som kjen67
Fotograf: Nina Aldin Thune
Figur 2
netegner gotisk stil måtte middelalderens arkitekter og ingeniører forstå hvordan tyngdekreftene forplanter seg i veggene. Ved å forlate
tønne­hvelvet som utgangspunkt og gjøre buen
i tverrsnittet spiss, reduserte man sidetrykket
vesentlig. Siden det ikke trengtes stein der hvor
det ikke virket noen krefter, ble det mulig med
høye og slanke konstruksjoner.
Det vil føre for langt å gå inn på de matematiske beregningene knyttet til statikken
som ligger til grunn for de gotiske bygnings­
konstruksjonene. Jeg vil i stedet se på geo­
metrien i noen bygningsformer og ornamenter.
Det kan være en artig oppgave å finne ut hvordan disse geometriske formene kan konstrueres
med passer og linjal. Man kan også beregne
vinkler, avstander og arealer. Vi bruker koret
i Lincolnkatedralen (figur 3), englekoret, som
kan være et av forbildene til skipet i Nidarosdomen, som utgangspunkt for konstruksjon med
passer og linjal.
Figur 3: Bilde fra internettsiden www.kunsthistorie.com
av AF, FD, AD og DB. I Lincolnkatedralen er det
også tilsvarende todeling av de minste buene,
men det er utelatt her for enkelhets skyld.
Å konstruere buene som beskrevet ovenfor,
kan være en passende oppgave for å lære elementær bruk av passer og linjal.
Problemet er nå å konstruere det største
rosevinduet som en sirkel som tangerer begge
buene AC og BC innvendig, og de to buene DJ
og DK utvendig. Tilsvarende skal en konstruere
det mindre rosevinduet med sentrum i I. Det
kan virke som om A, I og E ligger på en rett
linje. Er det eksakt slik, eller bare nesten? Leseren oppfordres til å prøve å løse dette problemet
selv uten å se for mye på hjelpelinjene på figuren
Konstruksjon av gotisk spissbuevindu med
rosevinduer
Konstruksjonen i figur 4 gir et vindu som er
en god modell for hvordan vinduet i koret i
Lincoln­katedralen er laget.
ABC er en likesidet trekant. AC og BC er
erstattet av sirkelbuer med sentre i henholdsvis
A og B. D er midtpunktet på AB, F er midtpunktet på AD og G er midtpunktet på DB. Spissbuer
som er formlike med ABC er konstruert på basis
68
Figur 4
2/2011 tangenten
her. Som lærer kan en dele opp denne oppgaven
i mange mindre oppgaver som etter hvert leder
fram til den ferdige konstruksjonen.
Merknad: Betegnelsen rosevindu kommer fra
en forvanskning av fransk roue, som betyr hjul.
Det har med andre ord ingen ting med roser å
gjøre, og vi burde heller ha kalt det hjulvindu.
La oss se på en løsning av denne oppgaven:
Siden buene BC og DJ har felles sentrum i A,
må sentrum E i den søkte sirkelen ligge midt
mellom disse buene, dvs. på en sirkel om A
gjennom G. På grunn av symmetrien må E
også ligge på sirkelen om B gjennom F. E er
altså skjærings­punktet mellom disse sirklene.
Dermed er vinkel BAE bestemt. AE trekkes og
forlenges til skjæring med buen BC. Den søkte
sirkelen må dermed gå gjennom dette punktet.
Nøyaktig samme konstruksjon gir det
mindre rosevinduet med sentrum i I. Da må
vinkel HAI være lik vinkel BAE, og dermed
ligger A, I og E på en rett linje, og de to sirklene
om E og I tangerer buen DJ i samme punkt.
Så gjelder det å konstruere de små sirklene i
rosevinduet. For å få en kroppslig opplevelse av
hvordan de sju små sirklene ligger, kan en ta sju
kronestykker (eller andre sirkelformede ting) og
legge helt inntil hverandre. Det er fint å kjenne
at dette gir en figur helt uten «slark».
Figur 5 er resultatet av en slik konstruksjon.
Figur 6
Den store sirkelen er gitt. De sju små sirklene
skal tangere hverandre, og de seks ytterste
skal samtidig tangere den store sirkelen innvendig. Hvor store skal de små sirklene være?
Det er nøkkelspørsmålet. Vi ser at radien i de
små sirklene må være en tredel av radien i den
store. Sentrene i de seks ytterste av disse må
derfor ligge på en sirkel med radius to tredeler
av radien i den store. Denne kan så deles i seks
like store buer ved å avsette radien seks ganger
rundt. Det er egentlig nok med to ganger for
å kunne trekke tre diametre. Da kan de seks
sirklene og den innerste sirkelen konstrueres.
Figur 6 har hjelpelinjene inntegnet unntatt de
linjene som kreves for å tredele radien.
Oppgaver til leseren
1. Vis at tangeringspunktene mellom de seks
ytterste sirklene ligger på en sirkel, og finn
radien i denne uttrykt ved rosevinduets
radius R. Hvordan kan denne sirkelen konstrueres?
2. Finn (uttrykt ved R) arealet av den delen av
rosevinduet som ikke er dekket av de små
sirklene.
Figur 5
tangenten 2/2011
69
Nasjonalt senter
for matematikk
i opplæringen
Realfagbygget A4, NTNU
7491 Trondheim
Telefon: +47 73 55 11 42
Faks: +47 73 55 11 40
merete.lysberg@matematikksenteret.no
Vi blir bedre sammen!
– 7K-prosjektet i Vestfold
Lisbet Karlsen og Mona Røsseland
Det er ikke bare elevene som lærer mye når
de samarbeider, det gjelder også for lærere.
Vestfold-prosjektet 7K er et godt eksempel
på dette. I flere år har syv kommuner i Vestfold (Andebu, Hof, Holmestrand, Lardal, Re,
Stokke og Tjøme) samarbeidet når det gjelder
kompetanse­heving av lærere, og høsten 2010
startet et spennende matematikkprosjekt. I følge
forskning (McKinsey&Company (2007): How
the world’s best-performing school systems come
out on top.) på hva som skal til for å lykkes med
en satsing på matematikk, blir det fremhevet at
et av suksesskriteriene er at lærere får mulighet
til å lære av hverandre. Skolesystemer med gode
resultater har innsett at den eneste måten å forbedre læringsutbyttet til elevene, er å forbedre
undervisningen, det vil si å satse på lærerne. Det
gjør en best gjennom å gi lærerne veiledning der
de opplever at de trenger det mest, nemlig i sin
daglige praksis.
Dette ønsket 7K å ta tak i, og de tok kontakt med Matematikksenteret for å få hjelp til å
etterutdanne to lærere fra hver skole i de sam70
arbeidende kommuner, til å bli ressurslærere på
egen skole. Tidligere hadde både Matematikk­
senteret og Høgskolen i Vestfold holdt kurs og
veiledning for lærere i disse kommunene, og det
var naturlig å bygge videre på dette. Dermed
var grunnlaget lagt for enda et spennende sam­
arbeid i prosjektet, nemlig mellom Matematikksenteret ved Mona Røsseland og Høgskolen i
Vestfold ved Lisbet Karlsen.
Gjennom kurs, veiledning og mye egenarbeid
i nettverksgrupper har ressurslærerne arbeidet
frem et felles grunnsyn på læring og undervisning i matematikk. De har fått anledning til å
utvikle seg til å bli drivkrefter på egen skole til
å endre matematikkundervisningen i tråd med
hva forskning sier er god matematikkunder­
visning. Videre har de gjennom arbeidet i nettverksgruppene fått trening i å bli veiledere og
gode refleksjonspartnere med egne kolleger.
Et annen viktig suksesskriterium er å satse på
sterke skoleledere, som også kan være på­drivere
og veilede lærerne i deres daglige pedagogiske
arbeid. I prosjektet har derfor rektorene og
andre fra ledelsen ved skolene vært delaktige.
De har vært med på samlingene, og de ulike
skolene har samkjørt seg for hvordan de vil
bruke ressurslærerne.
Som et ledd i satsingen har også alle de
andre matematikklærerne i de syv kommu2/2011 tangenten
Nasjonalt senter for matematikk
i opplæringen
nene vært på kurs, der de fikk presentert både
hvilken funksjon ressurslærene kan ha, med en
felles ramme for hvor en er på vei i forhold til
matematikk­undervisningen. En annen viktig
gruppe i forhold til barns matematikklæring,
er foreldrene. Det er blitt gjennomført foreldrekveld og ressurspersonene har fått tips og idéer
til hvordan de kan engasjere foreldrene til å bli
positive drivkrefter i barnas læringsprosess.
Sett fra kursholdernes side er dette prosjektet
forbilledlig i den forstand at det er svært godt
planlagt og følges tett opp av en prosjektgruppe
(med representanter fra hver av de sju kommunene). Prosjektgruppen er flink til å stille krav
om oppfølging i alle ledd fra hver enkelt lærer,
skolenes ledelse og skolefaglig ansvarlig i kommunene. Dette medfører at vi som veiledere og
kursansvarlige kan holde fokus på vår viktigste oppgave; nemlig å videreutvikle lærerne.
Ressurs­lærerne deltar i prosjektet etter eget
ønske og vi opplever et stort engasjement og
solid arbeidsinnsats fra dem.
Kort utdrag fra programmet
Jon Walstad fra Matematikksenteret åpnet konferansen. Han presenterte senterets mandat og
orienterte om at senteret er opptatt av og har
et ansvar for å bidra til å lede og koordinere
utvikling og spredning av små barns matematikklæring.
Barnehagekonferanse
Tidlig matematikkglede – stor effekt
Gerd Åsta Bones, prosjektleder
Matematikksenteret
I desember 2010 arrangerte Matematikksenteret for første gang en egen konferanse om
mate­matikk i barnehagen. Konferansen ble
arrangert i samarbeid med DMMH, Dronning
Mauds Minne Høgskole for førskolelærerutdanning. Vi ville lage en konferanse som var tankevekkende, inspirerende og nyttig for alle som er
opptatt av barns matematikklæring.
Deltagerne
kom
fra
barnehager,
førskolelærer­utdanninger, barnehageeiere og
Utdanningsdirektoratet.
Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen
Solveig Hareide og Kari Hansen fra NRK Kosinus kom for å informere om det nye TV-programmet for barn i alderen 3–6 år og hvordan
de opplever og tenker når det gjelder å underholde med matematikk. For de som ikke kjenner
programmet så handler det om Dragen Kosinus
som er så glad i tall at han stadig vekk havner i
trøbbel og må ha hjelp av Solveig for å komme
ut av de vanskelige situasjonene. Matematikk­
71
senteret har et samarbeid med NRK om å
komme med faglige innspill i forhold til matematikken og matematikkoppgavene i programmet. Det var derfor ekstra kjekt at programleder
og produsent tok seg tid til å bidra på konferansen. Innlederne satte fokus på om underholdning, matematikklæring og matematikkglede er
og kan være sider av samme sak?
Dr. Tessa Livingstone,
kjent produser fra BBC,
presenterte klipp fra
den kjente dokumentaren «Child of our
time». TV-serien følger
livet til 25 barn fra fødselen i 2000 og frem til
de er 20 år. Klippene vi
får se, gir innsikt i hvordan barn av vår tid opplever kommunikasjon, kartlegging og tester og
hvilke konsekvenser dette har for barnets tidlige læring. Mange ble berørt av denne tanke­
vekkende presentasjonen og gikk ut med større
forståelse for at det er mange faktorer som spiller inn når det handler om små barns læring.
Janet Mock fra Western
Washington University,
Seattle, holdt et spennende foredrag som
handlet om hva vi kan
gjøre for at barna skal
utvikle matematiske
idé­er fra lek og hverdagsaktiviteter, og hva slags
spørsmål vi kan stille for å oppmuntre barn til
å engasjere seg mer i matematikk. Janet er en
levende og engasjert foredragsholder. Hennes
innlegg ble fulgt opp med et nyttig verksted om
skygger og matematikk.
Tone Dalvang fra Sørlandet Kompetansesenter (samarbeidspartner
med Matematikksen­
teret) presenterte MIO
(Matematikken mellom
individet og omgivelsene). Dette observa72
sjonsmateriellet er ment som støtte til arbeidet
med matematikk i barnehagen og for å tilrettelegge for en god utvikling av barnas tallforståelse og glede av å arbeide med egnede matematiske oppgaver. Det kan også brukes til å
fange opp de barna som trenger mer oppfølging
enn andre. Tone Dalvang gjorde oppmerksom
på at MIO er et observasjonsmateriell, ikke et
kartleggingsmateriell, og at MIO kan misbrukes. Barns kunnskaper og ferdigheter kan ikke
dokumenteres og normaliseres alene gjennom
et skjema.
Else Devold fulgte opp foredraget om MiO
og gjennomførte mange praktiske, morsomme
og lærerike aktiviteter i tilknytning til obeservasjonsmateriellet med deltagerne på sitt verksted.
Mike Naylor, Anne Nakken og Gerd Åsta
Bones var ansvarlige for både innhold og gjennomføring av konferansen. Gruppa hadde også
et eget verksted om matematikkglede i praksis
med mange aktiviteter deltagerne kunne ta med
seg og gjennomføre vel tilbake i barne­hagen.
Faglige og didaktiske refleksjoner ble tatt opp
underveis.
Evalueringer i etterkant viste at deltagerne
var svært positive. Dette gir oss pågangsmot og
forståelse for at det er behov for denne type konferanse. Det er allerede bestemt at vi kommer til
å invitere til en ny konferanse som kommer til å
finne sted ved DMMH i oktober.
2/2011 tangenten
Nasjonalt senter for matematikk
i opplæringen
Matematikk i
barnehagen
Idéhefte og erfaringer fra et
kompetansehevingsprosjekt
Gerd Åsta Bones, Matematikksenteret
Heftet kan lastes ned gratis eller kjøpes til selvkostpris fra våre hjemmesider:
www.matematikksenteret.no
I heftet er det samlet erfaringer fra et
kompe­tansehevingsprosjekt som er gjennomført i samarbeid med Trondheim Kommune.
Matematikk­senteret er faglig ansvarlig for prosjektet.
Heftet er ment som inspirasjon til å komme
i gang og som støtte til å utvikle egne planer,
mål og tiltak.
Alle barnehagene i kommunen er med fra
starten. I videreføringen er to barnehager involvert, Svartlamon kunst- og kulturbarnehage
og Nardo barnehage. Vi har samarbeidet med
personalet i de to barnehagene om utvikling og
gjennomføring av denne delen av prosjektet.
I forbindelse med kompetanseheving i matematikk, er målet at deltagerne får en faglig fordypning sammen med en didaktisk forståelse.
Det som skjer i et kompetansehevingsprogram,
skal vekke glede og interesse for matematikk og
føre til høy faglig kompetanse.
Målet med vårt prosjekt er å bidra til at
personalet ser muligheter for å engasjere seg
i barnas matematikklæring på en slik måte at
personalet er
– gode støttespillere,
– stiller gode spørsmål,
– motiverer og stimulerer,
– lærer av barna og med barna.
– potensielle vanskelige områder i matematikk,
– hva helhetlig matematisk kompetanse er.
Fra innholdslisten i heftet:
– Innledning
– Små barns matematikklæring
– Kompetanseheving i matematikk
– Matematikkrom og konkretiseringsutstyr
– Forslag til aktiviteter
Vi håper at heftet kan vekke lyst til å utvikle
og løfte både den faglige kompetansen og til å
finne idéer som kan vekke lyst og interesse for
matematikklæring hos barn i førskolealder.
Forsiden på boka, og utdrag fra en side om
volum finner du på de to neste sidene.
Personalet må få innsikt i
– hvordan små barn lærer matematikk,
Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen
73
M ATEM ATIK K I B A RNEHA GEN
Idéhefte og erfaringer fra et kompetansehevingsprosjekt
8
NASJONALT SENTER FOR MATEMATIKK I OPPLÆRINGEN
www.matematikksenteret.no
Karen Omland og Gerd Åsta Bones
74
2/2011 tangenten
Nasjonalt senter for matematikk
i opplæringen
Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen
75
uru en
g
n
ke
sid e
Tor Andersen og Anne-Gunn Svorkmo
Årets Kengurukonkurranse er over når dette
leses. I alle fall for de som holder de gitte fristene og ønsker å delta i konkurransen ved å
registrere sine resultater på nett. I begynnelsen
av mai blir årets oppgavesett lagt ut på nett og
de kan da brukes fritt.
Oppgavene inneværende år er som alltid en
blanding av lette, middels og vanskelige opp­
gaver. Vi streber hvert år etter en jevn fordeling
av vanskegrad.
Konkurransen har et eget oppgavesett for
elever på 8.–10.trinn. Dette settet heter CADET.
I 2011-utgaven av CADET finner vi følgende
oppgave:
I uttrykket
representerer hver bokstav et siffer forskjellig
fra null. Hva er det minste positive hele tallet
uttrykket kan være?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
For å kunne løse denne oppgaven må elevene
først og fremst forstå begrepene siffer og positive hele tall. Oppgaven krever i tillegg at elevene dokumenterer god algebra- og tallforståelse.
Forståelse av brøkers verdi avhengig av verdiene til teller og nevner, er helt essensiell med
tanke på å kunne løse denne oppgaven. Hver
bokstav representerer altså et siffer fra 1 til og
76
med 9. Elevene må innse at brøken får minst
opp­nåelige verdi ved å sørge for at telleren blir
minst mulig og nevneren størst mulig. Det betyr
at elevene må la bokstavene i teller bli representert av sifrene med minst verdi og bokstavene i
nevner av sifrene med størst verdi. Siden bokstaven O er faktor to ganger i teller, er det opplagt
at vi må la O bli erstattet med det aller minste
sifferet, nemlig 1. Etter å ha (på lovlig vis) forkortet brøken får vi:
Så setter vi inn sifrene i samsvar med den skisserte strategien. Da får vi at
Hmm … Her fikk vi dessverre ikke et helt tall til
svar. Men 2 er det nærmeste hele tallet til brøken
vi fikk som svar. Hvilke grep må vi gjøre for om
mulig å få 2 til svar? Ved å beholde 2 · 4 i teller
og 8 i nevner, kan vi fortsatt forkorte med 8. Da
står vi igjen med 9 i nevneren. Ved å beholde
faktoren 3 i teller, kan vi fortsatt forkorte med 3.
Det betyr at vi ender opp med 3 i nevneren. For
å få 2 til svar må altså sørge for at telleren får
verdi 6. Ja vel, det oppnår vi enkelt ved å bytte
ut 5 med 6 i telleren. Slik:
Da var vi endelig i mål. Mye tenking og lite regning. Vi krysser av B for riktig svaralternativ.
Hvordan kan denne oppgaven forenkles slik
at elever på lavere trinn kan arbeide med den?
Vi tenker oss følgende problemstillinger:
1. Hva hvis vi har ?
Hvilke sifre vil vi da at de to bokstavene skal
representere for at uttrykket skal bli et minst
mulig positivt heltall? Kan uttrykket bli 1? Nei,
da må teller og nevner være lik. Det minste
2/2011 tangenten
Nasjonalt senter for matematikk
i opplæringen
positive heltallet som er mulig å få, er 2. Det er
faktisk flere alternativer som gir samme løsning:
. Interessant!
2. Hva hvis vi har
?
4. Hva med
?
Er det mulig å få 1 til svar? Hvis r = 8 og u = 9
er det mulig å finne fire gjenværende sifre som
multiplisert med hverandre gir 72? Ja, det er
det!
Dersom teller og nevner er like, vil vi få 1 til
svar. Da vil vi være veldig fornøyd ettersom 1 er
det minste positive heltallet! Er det her mulig?
Hvis k = 2, e =4 og r = 8 gir det at
.
Samme løsning får vi om vi setter inn sifrene 2,
3 og 6 på denne måten:
3. Hva hvis uttrykket er
.
?
Er det her mulig å få 1 til svar? Ja, både
og
gir løsning 1.
Vi føyer til enda en faktor i telleren, og vi
begynner å nærme oss den opprinnelige oppgaven:
Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen
Om dette er den eneste løsningen, det får leseren fundere videre på.
Vi har vist et eksempel på hvordan en
kenguru­oppgave kan forenkles. Mange av
kenguru­oppgavene bygger på en matematisk idé
som kan være interessant å arbeide med på flere
nivåer og på ulike trinn. Det er kun små grep
som må til for å gjøre en litt vanskelig oppgave
enklere eller en enkel oppgave noe mer avansert.
Vi oppfordrer brukerne av de ulike kenguru­
settene – Ecolier, Benjamin og Cadet – til å
bearbeide oppgavene slik at de kan benyttes på
tvers av skoletrinn.
77
LAMIS
Landslaget for matematikk i skolen
v/Randi Håpnes
NTNU, Realfagbygget, A4
7491 Trondheim
post@lamis.no · www.lamis.no
Bankgiro: 7878 0500882 Organisasjonsnr: 980 401 103
Fra formålsparagrafen
Det overordnede målet for
Lands­laget for matematikk i
skolen er å heve kvaliteten på
matematikk­undervisningen
i
grunnskolen, den videregående
skole og på universitet/høyskole.
Landslaget skal stimulere til
kontakt og samarbeid mellom
lærere på ulike utdannings­nivåer
og mellom lærere og andre som
er opptatt av matematikk.
Styret for LAMIS
Fra førskole/barnehage
Else H. Devold, Oslo
Fra barnetrinnet
Dordi Askildsen, Stavanger
Fra ungdomstrinnet
Tommy Nordby, Skien
Fra videregående skole
Ann-Mari Jensen, Meløy,
Sidsel Ødegård, Stavanger (leder)
Fra høgskole/universitet
Anders Sanne, Trondheim
Varamedlemmer
Grete Tofteberg, Våler i Østfold,
Øyvind Bjørkås, Bodø
Medlemskontingent
Skole/institusjon
650,–
Enkeltmedlem
380,–
Husstandsmedlem 150,–
Studenter
150,–
Studenter får gratis medlemskap første året. Tangenten
inngår i kontingenten. (Gjelder
ikke husstandsmedlemmer.)
Organisasjonssekretær
Gro Berg, org.sek@lamis.no
41562324 / 72521715
Årsmøte
Årsmøte i LAMIS avholdes i forbindelse med sommerkurset torsdag 11. august kl. 15.45–17.45 på
Radisson Blu Hotel i Bodø.
Saksliste og eventuelle andre aktuelle sakspapirer legges ut på hjemmesiden www.lamis.no i juni. Frist
for inkomne saker er 11. juni. Adresse for innsending av saker: org.sek@lamis.no.
78
Landslaget for matematikk i skolen
Lederen har ordet
Sidsel Ødegård
Mens det våres der ute skjer det
spennende ting i skolen. I mitt
daglige virke som lærer i videre­
gående har jeg vært så heldig
å bli min skoles representant i
Ny Giv prosjektet. Jeg skal ikke
beskrive dette prosjektet i detalj,
for den informasjonen finnes
andre steder, men jeg vil dele
mine opplevelser som deltager.
Kort fortalt er dette et porsjekt i
tre deler igangsatt av Udir. Jeg
deltar i «overgangsprosjektet»
som handler om elever og overgangen mellom ungdomstrinn og
videregående skole. Elever som
er i faresonen for å droppe ut
fra videregående skole blir kartlagt i regning og lesing/skriving
allerede i 10. klasse. De vil få en
tettere faglig oppfølging der, og
vil bli møtt i videregående skole
med ekstra oppmerksomhet.
Dette prosjektet er nå igangsatt
i utvalgte kommuner i alle fylker
og vil etter en periode på tre år
inkludere alle kommuner i alle
fylker. Dette må kalles en storsatsing! Vi som allerede er i gang
har fått en kurspakke på tre pluss
to dager denne våren samt en
Landslaget for matematikk i skolen
dag til høsten. Til nå har vi hatt
de første tre dagene av kursing
der NSMO har vært den sentrale
aktøren i forhold til matematikklærerne. Gode ressurspersoner
fra matematikksenteret skapte
engasjement og undring gjennom ulike foredrag og aktiviteter.
Som deltager der fikk jeg noen
minutter til å presentere LAMIS,
og det er tydelig at det enda er
mange som ikke kjenner til oss
og at informasjonen fra oss ikke
når ut. Mange kom med spørsmål i etterkant, så det er klart det
ikke er mangel på interesse. Som
følge av dette har vi nå fått lov
til å ha utstilling på de neste Ny
Giv-samlingene i april. Da vil vår
organisasjonsekretær Gro Berg
være tilstede med informasjon
til lærere fra ungdomsskoler og
videregående skoler i alle fylker.
Vi mener dette er en god måte å
nå ut til lærere som ikke er sterkest representert i vår organisasjon, så vi er veldig glad for at vi
får lov til å komme.
Våren er jo også tiden for lansering av programmet for nytt
sommerkurs. Det meste er nå på
plass og vi kan se fram til spennende dager i Bodø i august.
Med tittelen «Matematikk i ulike
rom» gir det signaler om mange
spennende muligheter i aktuelle
tema. Sommerkurskomitéen har
gjort et grundig arbeid og har
fått på plass dyktige og spennende fellesforelesere. Siste kort
i verkstedkabalen er enda ikke
lagt, men så langt ser også dette
veldig solid ut. Jeg oppfordrer alle
til å følge med på våre nettsteder
som vil oppdateres fortløpende.
Påmelding starter ganske snart,
og det er lov å være tidlig ute.
Sommerkurs er også tid for årsmøte og valg av nytt styre. I år er
det valg av leder og da er det på
tide å få inn en ny person. Jeg har
hatt fire lærerike og spennende
år som leder av LAMIS. Det har
vært utfordrende, men ikke minst
har det vært lærerikt. Det har gitt
meg mange nye erfaringer som
er flott å ha med seg videre. Så
dersom noen av dere blir spurt
om å stille til valg til nytt styre, så
grip sjansen og si ja. Med dette
vil jeg benytte anledningen til å
takke for meg i denne spalten.
79
Regneark i grunnskolen
Anne Karin Wallace
De fleste, både barn og voksne,
er vant til å bruke tekst­
behandlingsprogram. Vi har ikke
problem med å se nytten av å
bruke datamaskina når vi skriver,
både privat og i sammenheng
med skole eller jobb. Når det
gjelder regneark derimot, ser de
fleste av oss ikke noe umiddelbart behov for å ta i bruk dette
verktøyet. Regneark brukes
imidlertid så mye i arbeidslivet
at opplæring i bruk av regneark hører hjemme i grunn­opp­
lær­ingen. I flere skolefag kan vi
dessuten ha stor nytte og glede
av å bruke regneark som didaktisk verktøy. Matematikk er ett av
disse fagene. Regneark i grunnskolen, hefte nr. 5 i Lamis sin
skriftserie, kan forhåpentligvis
både bidra til økte ferdigheter i
bruk av regneark og gi noen tips
til aktiviteter i klasserommet.
80
Regneark er et kontor­
støtteverktøy som har stor
ut­bredelse både i private og
offentlige virksomheter. I rute­
nettet er det relativt enkelt å sette
opp beregninger på en for­ståelig
måte. Regnearket er dynamisk.
Endrer vi forutsetninger vil svaret
automatisk oppdateres. Vi har
mange formateringsmulighete­r,
noe som gjør modellene lett
lesbare og brukervennlige.
Regne­arket håndterer store
data­mengder. En kan enkelt
importere og eksportere data.
Muligheter for programmering
tillater avanserte applikasjoner.
Når vi skal skrive med et tekstbehandlingsprogram er barrieren
for å komme i gang svært lav.
Teksten vi skriver dukker umiddelbart opp på skjermen. Etter
hvert blir vi vant til for eksempel å
klippe og lime, å formatere tekst
som overskrift, og å bruke ulike
fonter og skriftstørrelser. Effekten
av handlingene våre vises umiddelbart i dokumentet. Når det
gjelder regneark, ligger det en
noe mer komplisert modell bak
det som kommer fram på skjermen. I en celle i regne­arket vises
en verdi. Verdien er ofte framkommet på bakgrunn av bruk
av en formel som er skrevet inn
i cellen. I tillegg vil det også ofte
knyttes en formatkode til cellen.
Formatkoden bestemmer hvor-
dan verdien skal presenteres for
den som leser regnearket.
Det kan kanskje virke vel
ambisiøst å starte opplæringen i et så komplisert verktøy
allerede på mellomtrinnet. Selv
om verktøyet har utrolig mange
muligheter og bruksområder, er
terskelen for å komme i gang
med å bruke regneark lav. Heftet
Regneark i grunnskolen er tenkt
som verktøyopplæring for læreren, slik at hun skal bli i stand
til å lage gode oppgaver, der
elevene bruker regnearket på
en enkel måte i tråd med læreplanmålene. Eksemplene som er
brukt i heftet er hentet fra Veiledning til læreplanen i matematikk
(Utdannings­direktoratet) og fra
læreverket Multi for sjuende trinn
(Alseth, Nordberg, & Røsseland,
2009).
I læreplanen i matematikk, sjuende trinn formuleres målet for
opplæringen slik (Utdanningsdirektoratet, Læreplan i matematikk):
Landslaget for matematikk i skolen
«Eleven skal kunne beskrive
referansesystemet og notasjonen som blir nytta for
formlar i eit rekneark, og
bruke rekneark til å utføre
og presentere enkle berekningar.»
Eleven må da starte med å bli
kjent med hvordan en refererer til
bestemte celler. I veildeningen til
læreplanen foreslås det å bruke
en oppgave med farge­legging
av celler i et bestemt mønster.
Heftet gjennomgår i detalj hvordan læreren kan tilrettelegge
regnearket, og foreslår hvordan
eleven ved bruk av få tastetrykk
kan utføre denne oppgaven slik
at fokuset blir å skjønne hvilken
celle som menes med for eksempel E5.
I regneark kan en gjerne
arbeide med formler som representerer tallmønster. Heftet viser
noen eksempel fra vei­ledningen
Landslaget for matematikk i skolen
til læreplanen og gir tips til
lærer­en om hvordan hun kan
bruke regne­arket til å lage tilsvarende oppgaver til elevene.
Areal og volum kan gjerne
beregnes ved hjelp av regneark.
Slike modeller inneholder både
tekst, tall og formler. Eksempel
på hvordan en modell kan settes
opp er gjennomgått detaljert.
Regnearkmodeller egner seg
godt til å utforske sammenhengen mellom ulike størrelser. Et
eksempel er å beregne volumet av ei eske som er laget av
et A4-ark når høyden på eska,
x, varierer. Eksemplet illustrerer
også hvordan sammenhengen
mellom høyde og volum kan
presenteres som et ryddig diagram.
x
x
Budsjett og handlelister kan
settes opp i regneark. I forbindelse med et slikt eksempel
introduseres funksjonen SUM. I
regneark er det en mengde innebygde funksjoner. Det er ikke lagt
vekt på bruken av disse i heftet,
men hjelp-funksjonaliteten i
regnearket gjør sitt til at leseren kan fortsette utforskingen
på egen hånd. Presentasjon av
statistiske data i diagram av ulike
typer blir illustrert med utgangspunkt i datainnsamling elevene
kan gjøre.
Det er nødvendig å velge et
verktøy når en skal forklare hvordan ulike operasjoner utføres i
regnearket. Open Office 2.3 ble
valgt som verktøy i heftet. Denne
kontorstøttepakken kan lastes
ned gratis og det fins versjoner
for ulike operativsystem. I tillegg
til at det fins ulike regnearkprogram, kommer de i nye utgaver
med jevne mellomrom. Blant de
siste nå er Excel 2010 og Open
Office 3.2. De nye versjonene
av programpakkene blir stadig
mer brukervennlige og har gode
hjelpe­funksjoner. Selv om du
bruker et annet regnearkprogram
enn det som er brukt i heftet vil
du kunne finne igjen funksjon­ali­
teten omtrent på samme måten
som det er beskrevet i heftet.
Når læreren skal bruke regneark som verktøy i undervis­ningen
må forståelsen av hvordan regnearket fungerer og hvordan det
brukes være på plass. Med noe
trening i bruk av formler, hvordan en refererer til celler og hvordan en kan formatere celler vil
de fleste kunne lage sine egne
oppgaver og undervisningsopplegg. Da kan en bruke regne­
arket som et pedagogisk verktøy
både i matematikk og andre fag
i grunnskolen. Et eksempel på
slik bruk finner du på nettstedet
Skole i praksis (Snøball film AS,
2009). Evert Dean bruker Excel i
åttende­klasse i en undervisnings­
økt der temaet er prosent. Filmen
fokuserer på didaktikken rundt
bruk av regneark, mens Regneark i grunnskolen fokuserer først
og fremst på de ferdighetene
Evert Dean har når han lager
regnearkmodellene som brukes
i filmen.
(fortsettes side 83)
81
Lokallagsseminar 2011
Anne-Mari Jensen
29.–30. januar var satt av til
lokallagsseminar i Lamis. Ca. 60
representanter fra 25 lokallag
møttes på Gardermoen til to
dager med tett program. Målet er
at lokallagsrepresentantene skal
informeres om aktuelle saker,
de skal få tid til snakke sammen
om felles utfordringer, problemer
eller gode idéer, og det skal være
plass til faglig påfyll.
Harald Lynum og Siri Merethe Dahl Hermstad fra Fokus
bank innledet samlingen. Lamis
har inngått en omfattende
samarbeidsavtale med Fokus
bank. Banken støtter Lamis
økonomisk, og vi samarbeider bl.a. om undervisnings­
opplegg i økonomi. Ved siden
av mer tradisjonelle satsnings­
områder, satser banken på å ta
et tydelig samfunnsansvar. Det
er her samarbeidet med Lamis
kommer inn. Undervisnings­
oppleggene er gratis tilgjengelig
på nettet. «Pengeby» er utviklet
for de yngste klasse­trinnene.
For 5.–10. trinn heter materiellet
«Cashkontroll». Det lages også
et program for voksen ungdom:
«Mind yor money».
Vi fikk også presentert annet
undervisningsmateriell: Svein
Torkildsen har skrevet heftet
«Et ess i ermet – 60 aktiviteter
for matematikkunder­visningen
med en vanlig kortstokk», og
Else Devold er forfatter av heftet
«Fem til Åtte – matematikk i overgangen fra barnehage til skole»
sammen med Kjersti Melhus.
Dette er hefter i Lamis’ skrift­
serie som kan bestilles via Lamis’
hjemmesider.
Anne-Mari Jensen presenterte heftet «Under­søkende
matematikk­undervisning i vid­
ere­gående skole» som hun har
skrevet sammen med Kjersti
Wæge. Heftet inneholder undervisningsopplegg og en CD med
filmer fra undervisningssituasjoner. Dette materiellet er utgitt
av Matematikk­senteret og kan
Harald Lynum, Fokus bank
Siri Merethe Dahl Hermstad,
Fokus bank
82
Sommerkurskomitéen i Bodø: Sissel Omdal Nikolaisen, Thor Hallvard
Nilsen og Hege Fjærvold
Landslaget for matematikk i skolen
Leder i LAMIS, Sidsel Ødegård og
organisasjonssekretær Gro Berg.
bestilles derfra.
Årets Matematikkdaghefte er
laget av LAMIS Sunnmøre. Det
ble presentert av Henrik Kirkegaard og Bente Emma Austnes.
Vi fikk prøve oss på flere av aktivitetene, og vi er overbevist om
at det blir mange spennende
matematikkdager på skoler over
hele landet.
Lamis’ sommerkurs skal i
år være i Bodø. Sett av 9.–12.
august. En entusiastisk komité,
ved Thor Hallvard Nilsen, Sissel
Omdal Nikolaisen og Hege
Fjærvold, presenterte arbeidet
og planene så langt. De har god
kontroll, og vi kommer til å få
noen meget fine dager i Bodø,
både faglig og sosialt.
Den
nye
organisasjons­
sekretæren i Lamis, Gro Berg,
fikk anledning til å hilse på og
bli litt kjent med representanter
fra lokallagene. Hun la vekt på at
en av hennes viktige oppgaver er
å støtte lokallagene, og hun vil
gjerne at de bruker henne. For
øvrig var seminaret en anledning
for lokallagsfolk fra alle kanter
Landslaget for matematikk i skolen
av landet til å lufte
tanker og idéer, og
kanskje drøfte felles
problemer. Det er
nok å snakke om!
Faglig påfyll fikk
vi gjennom to foredrag. Lill Sørensen
la fram resultater fra
rapporten «Sammenheng mellom
læreres
kompe­
tanse og elevers
læring». Her var det
mye vi kunne nikke
gjenkjennende til, men også
punkter som skapte debatt. Bjørn
Aarrestad avsluttet seminaret
med et foredrag om vurderingsarbeid i skolen. Vi fikk konkrete
idéer og praktiske eksempler på
hvordan man kan legge opp vurderingen av skriftlige prøver. Han
har utviklet et system som både
tester og gir elevene en realistisk tilbakemelding om graden av
måloppnåelse.
Så reiser vi hjem igjen, med
mange inntrykk som skal
be­arbeides. Sentralstyret håper
seminaret har gitt den enkelte
noe som kan være til inspirasjon og nytte i hverdagen, og at
lokallagene har fått litt påfyll i sitt
arbeid. Så ønsker vi lokallagene
lykke til med arbeidet utover i
vårsemesteret!
(fortsatt fra side 81)
Referanser
Alseth, B., Nordberg, G., &
Røsseland, M. (2009).
Multi 7b Lærerens bok.
Oslo: Gyldendal Norsk
Forlag.
Snøball film AS (2011).
Skole i praksis. Hentet
30.01.2011 fra www.
skoleipraksis.no/matematikk-8-1
Utdanningsdirektoratet (2009).
Læreplan i matematikk.
Hentet 07.10.2009 fra
www.utdanningsdirektoratet.no/grep/Lareplan/­
?laereplanid=212147
Utdanningsdirektoratet (2009).
Veiledning til læreplanen i
matematikk, tall og algebra. Hentet 07.10.2009
fra www.skolenettet.no/
Web/Veiledninger/Templates/Pages/Area3Dim.­
aspx?id=58498&­
epslanguage=NO
83
Lokallagsseminaret
på Gardermoen
Tommy Nordby
I forbindelse med samlingen på
Gardermoen ønsket vi å høre litt
fra deltakerne om hvordan de
opplevde å være på lokallagssamling.
Navn: Heidi Camilla Ertsås
Skole: Rosløkken skole, Hamar
Lokallag: Mjøsregionen
Har du vært på lokallagsseminar
før? Eventuelt hvor mange?
– Ja, jeg har vært på lokallagsseminar før. Dette var mitt fjerde
lokallagsseminar.
Hva synes du har vært bra?
Hvorfor?
– Jeg synes veldig mye er, og
har vært, bra! Det er faglig påfyll
som alltid er kjærkomment. Og
så blir det mange interessante
diskusjoner. Dessuten får man
alltid mange tips og idéer i løpet
84
av en slik helg. Veldig bra å møte
andre representanter fra lokal­
lagene rundt om i landet.
Ellers er jo det sosiale også
viktig! Det er utrolig hyggelig å
bli kjent med nye og selvfølgelig treffe «gamle kjente», som
man ellers bare møter en eller
to ganger i året. Det blir derfor
mye erfarings­utveksling i løpet
av kveldene.
Navn: Jan Egil Sørensen
Skole: Gjerpen ungdomsskole
Lokallag: Telemark
Har du vært på lokallagsseminar
før? Eventuelt hvor mange?
– Nei dette er første gang jeg
er på en slik samling.
Hva synes du har vært bra?
Hvorfor?
– Det faglige innholdet på
seminaret var variert og interes-
sant. Det er alltid inspirerende å
få noen input gjennom et foredrag
eller gjennom en diskusjon.
Sosialt var denne samlingen
helt topp. Mange hyggelige mennesker fra hele landet som er lett
å komme i kontakt med.
Navn: Knut Stølås
Skole: Sælen oppveksttun Lokallag: Bergen og omegn
lokallag
Har du vært på lokallagsseminar
før? Eventuelt hvor mange?
– Ja, jeg har vært på lokallagsseminar tidligere. Dette er
fjerde gangen. Jeg deltok ikke
på Gardermoen i fjor, men har
ellers vært på de andre som har
vært arrangert.
Hva synes du har vært bra?
Hvorfor?
– Det er alltid givende og interLandslaget for matematikk i skolen
essant å møte representantene
fra de andre lokallagene. Noen
ansikt går igjen, men det er
alltid en del nye. Begge deler er
flott – viktig med rekruttering av
nye, men også godt med kontinuitet. LAMIS er en forening av
ivrige idealister med fokus på
matematikk som fellesnevner,
og på kveldstid er de en sosial
og livlig gjeng som har det gøy
sammen.
I tillegg til det rent LAMISke,
er det lagt inn foredrag med
faglig vinkling. På årets seminar
synes jeg Bjørn Aarrestads «Vurderingsarbeid i skolen» var det
mest interessante. Selv om han
virker i ungdomsskolen og har
sin erfaringsbakgrunn derfra, var
det en del også for oss på barnetrinnet. Både måten å bygge
opp spørsmål til prøver og tester
i forhold til gitte læringsmål, og
bruken av regnearket han presenterte i forbindelse med retting og til­bakemelding, går an å
tilpasse og bruke med forstand
langt ned på barnetrinnet.
Alt i alt, en fin LAMISk helg!
Sommerkurset 9.–12. august
Anette Figenschou
Nedtellingen fortsetter. I skrivende stund er det rundt 100 dager igjen til alle matematikkglade lærere
tar turen til Bodø. Tre dager med engasjement, inspirasjon og latter. Tanken på sommerkurset gjør
meg sprudlende glad!
Vi er stolte over å ha fått fire dyktige plenumsforelesere. Tom Lindstrøm, Therese Hagfors, Ole Enge
og Mona Røsseland vil med ulike innfallsvinkler snakke om «Matematikk i ulike rom». I tillegg har flere
kursledere for parallellsesjonene meldt sin interesse. Vi tror at dette blir et fantastisk sommerkurs, slik
tradisjonen er!
På hjemmesiden til Lamis finner du en lenke til sommerkursets hjemmeside. Påmeldingen er straks i
gang, og du vil finne praktisk informasjon om overnatting, reisemuligheter og kurstilbud. Ta turen innom
vår virtuelle infoskranke. Send en e-post dersom noe skulle være uklart (sommerkurs2011@exile.no). I
Bodø er vi klar for å besvare dine spørsmål og å oppfylle deltakernes ønsker så godt som mulig.
Påmeldingen til sommerkurset skjer gjennom vår hjemmeside. I år registrerer man hvilke kurs man
ønsker å delta på, samtidig som man melder seg på. Hotell og reise bestiller deltageren selv. Deltageravgiften på 2200 kr dekker kurstilbud, mat og underholdning for alle dagene. Erfaringsvis får man
valuta for pengene .
Spre det glade budskap til andre potensielle optimister. Kanskje kan vi være med på å gjøre matematikkskoleåret 2011/2012 bedre for over 2000 elever. Det er en glede å arbeide med sommerkurset
når jeg har det i bakhodet.
Velkommen til Bodø!
Landslaget for matematikk i skolen
85
Lamis Rogaland
Gro Berg, organisasjonssekretær i LAMIS
På Lokallagssamlinga på Garder­
moen i slutten av januar fikk jeg
møte mange flotte representanter fra lokallagene våre. I løpet
av samlinga benyttet jeg anled­
ningen til å invitere meg på besøk
rundt til lokallagene, slik at vi kan
bli litt bedre kjent. Det er interessant å se hva som skjer i de
forskjellige lokallagene. Ja, for
det er nettopp det. De er forskjellige, og de har ulik tilnærming til
lokallagsaktiviteter. Noen lokallag har stor medlemsmasse og
noen har liten, mye er avhengig
av geografisk beliggenhet og
hvor ildsjelene er. Etter å ha
lest Kurt Klungland sin artikkel
i Tangenten nr. 1/2011, må jeg
tilstå at min nysgjerrighet på det
lokallaget (Rogaland, red. anm.)
ble vekket. Da jeg etter lokallagssamlinga mottok en e-post med
invitasjon til å komme på besøk
til lokallagskveld i Rogaland var
jeg lett å be. Anledningen var
en lokallagskveld med Svein H.
Torkildsen i februar. Tema for
møtet var: «Prinsipper for en
god matematikkundervisning».
Svein er en «gammel traver» i
Lamis-sammen­heng, og han
har gjort og gjør en kjempejobb
som ambassadør for LAMIS og
matematikkfaget i skolen. Han
86
setter ting på spissen på en elegant
måte for å få oss
til å tenke over hva
vi egentlig gjør i
undervisningen
vår, og han kom i
løpet av sitt foredrag i Stavanger
med gode innspill
til en bedre undervisningspraksis.
Av de nær 60
som møtte opp,
er jeg sikker på at
mange satt igjen
med gode idéer
til videre undervisning.
Etter det jeg
forstår er det
ikke uvanlig at så
mange som 60
personer møter
opp på lokallagskvelder i Rogaland. Jeg er helt sikker på at de
som var der fikk en flott opplevelse, og det er artig å se mattelærere med stjerner i øynene,
treffe andre, diskutere problemer
og få «aha-opplevelser». Det er
fint å få mulighet til å være med
på slike arrangementer, jeg setter
pris på å bli kjent med alle dere
som gjør en kjempejobb for
LAMIS. Takk til Rita Høie og
Asle Schanke Grude som inviterte meg og tok godt imot meg
i Stavanger. Jeg håper jeg får
komme på besøk til flere lokallag
framover, slik at jeg kan bli bedre
kjent med dere og arbeidet dere
frivillig legger ned for LAMIS.
Landslaget for matematikk i skolen
Matematikkens dag 2011
Henrik Kirkegaard
Akkurat som julenissen og
17. mai, er matematikkens dag
kommet for å bli. En etter hvert
ti år lang tradisjon har spiret og
grodd til en flott markering hvert
år.
Det er de forskjellige lokallag
i LAMIS, som i tur og orden tar
på seg ansvaret for heftet knyt-
Landslaget for matematikk i skolen
tet til matematikkens dag. Jeg er
sikker på at her ligger styrken til
fremtidige matematikkdager. At
heftet går på skift blant lokallagene betyr at det blir mange ulike
innfallsvinkler. Her bør det være
plass til også å eksperimentere
litt, og prøve ut nye opplegg
rundt temaer og organisering. Er
det ikke en fornøyelse – nye idéer
oppstår, nye temaer prøves ut,
nye typer organisering forsøkes
og så videre. Vi har nå en rekke
hefter som forhåpentligvis ikke
står og støver ned på lærerrommet; men blir brukt i den daglige
undervisningen. Å bla i gamle
hefter gir inspirasjon til mange
flotte matematikktimer.
La oss se på arbeidet vårt i
LAMIS Sunnmøre frem til matematikkens dag 2011.
Da lokallaget hadde takket ja
til forespørselen om å lage heftet,
begynte vi å finne personer som
kunne ta på seg oppgaven. Vi
var klar på at det måtte være
representanter fra barnehagen,
barneskolen, ungdomsskolen,
videregående og høyskolen i
arbeidsgruppen. I begynnelsen
av november 2009 møttes vi for
første gang til et kveldsmøte. Vi
var to fra barnehagene, to fra
barne­skolen, en fra ungdoms­
87
årsaker delte vi oss i
en barnehagedel, en
barneskoledel og en
ungdomsskole/videregående/høgskoledel. I mai møttes vi
igjen og gikk igjennom det vi hadde
skrevet. Etter et par
uker med retting og
korrigering var vi faktisk ferdige
med heftet før sommerferien i
juni. Da gjensto det å redigere,
lage innholdsfortegnelse, skrive
forord og så videre. Denne siste
delen tar forholdsvis mye tid.
Underveis fikk vi hele tiden god
oppfølging av organisasjonssekretæren i LAMIS. Først var det
Anja Glad von Zernichow og
etterpå Gro Berg.
skolen, en fra videre­gående og
en fra høgskole. Vi begynte ikke
å diskutere ulike idéer, men vi
hadde et forslag om en organi­
sering med stasjoner på et
sporløp, som vi jobbet ut ifra.
Jeg tror at dette sparte oss mye
tid. Vi slapp en masse innledende disku­sjoner før prosjektet
begynte å ta form. I mars 2010
var vi på hyttetur en helg. Vi kom
med forslag til innhold på stasjonene, fordelte arbeidsoppgaver,
gikk tur sammen, koste oss
med mat og vin, og ikke minst
fant vi tonen sammen. Frem mot
mai jobbet vi hver for oss med
vår del av heftet. Av praktiske
Avsluttende skal det sies at
det var spennende og interessant å være med på et slikt prosjekt. Dels fikk du selv en faglig
og didaktisk utvikling i samarbeidet med resten av gruppen, dels
var det veldig interessant å se de
tre forskjellige gruppenes utforming av de samme stasjonene,
og dels var det kjekt å få lov å
lage et opplegg som ble brukt
av skoler i hele Norge.
Det tok lang tid å få til et hefte
og vi jobbet ganske mye. Men
jeg synes bestemt at det var det
verdt.
88
Landslaget for matematikk i skolen