אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
-1-
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק
קוראים יקרים
לפניכם אוסף של 125תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונותיהם .תרגילים אלה הוצעו ונאספו במסגרת של פרויקט
פיתוח הספר באנליזה למורה אשר התקיים בטכניון במשך מספר שנים והסתיים בהוצאה לאור של הספר בשם "ללמוד וללמד
אנליזה" .אוסף זה לא הוצא לאור והוא מוגש לקהל המורים על ידי מפתחותיו ,בנדיבות הפרויקט וברשות הנהלתו .היות
ואנליזה כמקצוע מתמטי קיים בזכות עצמו ואינו תלוי בהצגתו בספר זה או אחר ,תרגילים אלה עשויים ללוות כל ספר לימוד
באנליזה שהמורה משתמש בו בעבודתו בהוראת מקצוע זה בבית ספר תיכון.
התרגילים שבאוסף נועדים בראש ובראשונה להבהרת מושגים ועובדות בסיסיים באנליזה .כל תרגיל מלווה בפתרון ,וההנחה
וההמלצה הן שהקורא ינסה קודם לפתור את התרגיל בעצמו ואחר כך ישווה את פתרונו עם הפתרון המוגש .המיוחדות של
התרגילים המוצעים היא בכך שהדגש בהם מושם על עניינים קונצפטואליים ולא ביצועיים .כך ,אין תרגילים לפיתוח מיומנויות
גזירה ואינטגרציה אלא יש תרגילים המתייחסים לתכונות של נגזרת ואינטגרל ויישומן.
התרגילים נועדים למורים אשר מלמדים או מתכוננים ללמד אנליזה בחטיבה העליונה של בית ספר תיכון ,ומטרתם היא חידוד
והעמקת הידע במקצוע זה .אחדים מהם יכולים לשמש נקודות מוצא לעבודת מחקר של המורה ,או לעבודות מיני -מחקר של
התלמידים המתקדמים בהנחיית המורה.
התרגילים באוסף ממוספרים ברצף תחת כותרות של הנושאים להם שייכים .הטבלה להלן מציגה את פיזור התרגילים לפי
הנושאים.
נושאים
מספרי תרגילים
פונקציות
25 – 1
גבולות
30 -26
רציפות פונקציות
48 - 31
נגזרת ראשונה בנקודה ומושגים נלווים
53 - 49
הפונקציה הנגזרת וחוקי הגזירה
65 - 54
הקשר בין תכונות פונקציה ותכונות
75 - 66
הפונקציה הנגזרת.
נגזרות מסדר n ≥ 2והקשר בין
תכונותיהן ותכונות הפונקציה
90 - 76
פונקציה קדומה
101 - 91
אינטגרל בלתי מסוים
107 - 102
אינטגרל מסוים
125 – 108
אנו מקוות שעבודתנו תועיל לפעילותם והשתלמותם של המורים למתמטיקה בחטיבה העליונה ונודה על כל תגובה והערה
שתגענה לכתובותינו:
naomibuch@gmail.com
shmukler1@013.net
נובמבר 2014
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-2-
תרגילים בנושא "פונקציות"
.1בטבלה להלן מתוארות סיטואציות בהן מוגדרות שתי קבוצות Aו . B -בכל
מקרה נא לענות על השאלות הבאות:
•
האם הקבוצה Aהיא קבוצה סופית או אינסופית?
•
כנ"ל לגבי הקבוצה . B
•
מהו האופי של ההתאמה בין הקבוצה Aלבין הקבוצה :? Bהתאמה חד-ערכית או רב-
ערכית?
•
האם ההתאמה הנ"ל היא פונקציה? אם כן ,מהו התחום שלה? ומהם הטווח
וקבוצת הערכים שלה?
•
האם לפונקציה הנ"ל ,במקרה וקיימת ,יש פונקציה הפוכה? אם כן ,איך ניתן
לתאר אותה? מה הם מאפייניה :התחום ,הטווח ,קבוצת הערכים?
#
סיטואציה
1
במפעל מסוים הוחלט להעניק לקראת השנה החדשה לכל עובד
קבוצה
פרס כספי כאשר גודל הפרס תלוי בהיקף ואיכות עבודתו של
A
קבוצת כל העובדים
קבוצה
B
קבוצת כל הפרסים
העובד
2
בתוכנית חיסכון דו – שנתית של לקוח בנק מסוים הוכנס סכום
כסף התחלתי .הבנק מחשב ריבית בסוף כל חודש
קבוצת 24חודשים בהם
קבוצת 24סכומי כסף
פועלת התוכנית
בחשבון הלקוח בסופי
החודשים בהם פועלת
התוכנית
3
בבית מרקחת גדול התור נקבע על ידי תלישת מספרים
מהמתקן ליד הכניסה.
4
קבוצת כל מבקרי בית
קבוצת כל המספרים
המרקחת במשך היום
שנתלשו במשך היום
רופא המשפחה במרפאה מקבל חולים בכל אחד מימי החול
א' -ה' משעה 8עד שעה .12ליד חדר הקבלה שלו תלויה כל
קבוצת כל החולים
יום רשימת החולים שנרשמו ליום זה וסדר כניסתם לרופא הוא
שהתקבלו על ידי הרופא
כמו סדר הופעתם ברשימה .בין החולים שהתקבלו בחודש יולי
במשך חודש יולי השנה.
קבוצת כל ערכי הזמן
t
משעה 8עד שעה ,12כלומר
הקטע
≤ 12
.8 ≤ t
היו כאלה שבאו לרופא מספר פעמים לבדיקה.
5
שני רצים מתחילים לרוץ בו -זמנית מנקודה אחת באותו כיוון
בשביל עגול ,די רחב כדי להימנע מהיתקלות .הרץ שיחזור
ראשון לאותה הנקודה ינצח.
קבוצת רגעי הזמן
קבוצת המרחקים בין הרצים
מתחילת הריצה עד סיומה
הנמדדים בכל רגע במשך
על ידי אחד הרצים
הריצה )בכיוון הריצה(
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-3פתרון
)(1
הקבוצות A, Bהן קבוצות סופיות .לכל איבר של קבוצה ) Aהעובד( מותאם איבר אחד של הקבוצה
) Bפרס כספי -סכום הכסף( .ההתאמה היא חד-ערכית ,ולכן היא פונקציה .התחום שלה הוא קבוצת
העובדים Aוהטווח הוא קבוצת הפרסים Bשהיא גם קבוצת הערכים של הפונקציה .ייתכנו שני מקרים:
א .הפונקציה A → Bאינה חד -חד -ערכית כלומר יש עובדים שונים שקיבלו אותו סכום כסף .במקרה זה
לפונקציה A → Bאין פונקציה הפוכה .ב .הפונקציה A → Bכן חד-חד-ערכית ,כלומר עובדים שונים
קיבלו פרסים שונים .במקרה זה קיימת פונקציה הפוכה B → Aאשר מתאימה לכל פרס שהוענק את
העובד אשר קיבל אותו .התחום של פונקציה זו הוא קבוצת הפרסים , Bהטווח שלה הוא קבוצת
העובדים , Aוגם קבוצת הערכים שלה היא הקבוצה . A
) (2
הקבוצות A, Bהן קבוצות סופיות :כל אחת מכילה 24איברים .לכל איבר בקבוצה ) Aכל חודש במשך
שנתיים( מותאם איבר של הקבוצה ) Bסכום הכסף הנצבר בחשבון בסוף החודש( .ההתאמה היא חד-
ערכית ולכן היא פונקציה עם התחום Aוהטווח וגם קבוצת הערכים . Bפונקציה זו חד-חד-ערכית,
בהנחה שהריבית שונה מאפס ,כי סכום כסף הנצבר בסוף כל חודש גדול מהסכום הנחסך בסוף החודש
הקודם .לכן לפונקציה A → Bיש פונקציה הפוכה B → Aאשר מתאימה לסכום ביניים הנחסך
בתהליך החיסכון את מספר החודש בו הוא נחסך .התחום של הפונקציה ההפוכה הוא קבוצת הסכומים
הנצברים בסופי החודשים והטווח שלה וגם קבוצת הערכים שלה מתלכדים ,כל אחד ,עם קבוצת 24
החודשים בהם פעלה תוכנית החיסכון.
)(3
הקבוצות A, Bהן קבוצות סופיות .לכל איבר של הקבוצה ) Aמבקר בית המרקחת במשך היום( מותאם
איבר של הקבוצה ) Bמספר הכרטיס הנתלש על ידיו מהמתקן( .ההתאמה היא חד-ערכית ולכן היא
פונקציה .התחום שלה הוא ) Aקבוצת כל מבקרי בית המרקחת במשך היום( ,הטווח הוא קבוצת כל
המספרים שהיו על הכרטיסים במתקן ביום זה וקבוצת הערכים היא ) Bקבוצת כל המספרים שנתלשו
במשך היום( .ההתאמה A → Bהיא התאמה חד-חד-ערכית ולכן קיימת פונקציה הפוכה . B → A
פונקציה זו מתאימה לכל מספר הנתלש את האדם שתלשו.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-4)(4
הקבוצה Aהיא קבוצה סופית ,כי מספר החולים שהתקבלו על ידי הרופא במשך חודש יולי הוא מספר
סופי .הקבוצה Bהיא קבוצה אינסופית כי יש אינסוף רגעי זמן בין השעה 8לבין השעה 12אף ביום אחד.
לכל איבר בקבוצה ) Aהחולה שהתקבל על-ידי הרופא ביולי( מותאמים רגעי הזמן של כניסתו לרופא.
היות ויש חולים שנכנסו לרופא מספר פעמים ,ההתאמה היא לא חד-ערכית ולכן היא לא פונקציה.
)(5
הקבוצה Aהיק קבוצה אינסופית ,הקבוצה Bיכולה להיות סופית ,כאשר יש מספר סופי של מרחקים
שונים בין הרצים במשך הריצה ,ויכולה להיות אינסופית כאשר יש אינסוף מרחקים כאלה .לכל איבר של
הקבוצה ) Aרגע זמן( מותאם איבר אחד של הקבוצה ) Bהמרחק בין הרצים באותו רגע( .ההתאמה
A → Bהיא התאמה חד-ערכית ולכן היא פונקציה .התחום שלה הוא הקבוצה Aשל כל רגעי הזמן
מהתחלת הריצה עד סופה .הטווח הוא קבוצת כל המרחקים בין כל שתי נקודות במסלול הריצה .קבוצת
הערכים היא הקבוצה Bשל המרחקים בין הרצים בכל רגעי הריצה .אם היו רגעים שונים בריצה בהם בין
הרצים היה אותו מרחק ,הפונקציה A → Bאינה חד-חד-ערכית ובמקרה זה אין לה פונקציה הפוכה.
אם ברגעים שונים המרחקים בין הרצים היו שונים ,אזי הפונקציה A → Bכן חד-חד-ערכית ועבורה
קיימת פונקציה הפוכה . B → Aפונקציה זו מתאימה לכל מרחק בין הרצים מהקבוצה Bאת אותו רגע
זמן בו הושג מרחק זה .התחום של פונקציה זו היא הקבוצה Bשל המרחקים בין הרצים ,וקבוצת
הערכים היא הקבוצה Aשל רגעי זמן הריצה.
.2הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת בשלושה קטעים נפרדים ,מונוטונית בכל אחד מהם,
אבל אינה מונוטונית בכל תחום הגדרתה.
פתרון
1
1
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות:
+
x x −1
= ) . f ( xפונקציה זו מוגדרת בשלושה קטעים:
1
1
ו-
∞ < . −∞ < x < 0, 0 < x < 1, 1 < xבכל אחד מקטעים אלה כל אחת משתי פונקציות
x −1 x
היא פונקציה יורדת .היות וסכום של פונקציות יורדות בקטע מסוים הוא גם פונקציה יורדת באותו קטע,
1
1
הפונקציה הנתונה
+
x x −1
= ) f ( xיורדת בכל אחד משלושת הקטעים הנ"ל .אבל היא אינה יורדת
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-51
1
1
1
+
= ), f (1.1כאשר = 0
+
בכל תחומה ,כי למשל> 10 ,
0.5 0.5 − 1
1.1 0.1
= ) , f ( 0.5כך ש-
. f (1.1) > f ( 0.5) .
.3הוכח כי כל מספר ממשי השונה מ 0-הוא מחזור של פונקציה ממשית ) f ( xאם ורק
אם ) f ( xהיא פונקציה קבועה.
פתרון
כיוון ראשון :נניח כי ) f ( xפונקציה קבועה .אזי ) f ( x + T ) = f ( xלכל xממשי וכל Tממשי ,ולכן
כל מספר ממשי T ≠ 0הוא מחזור של ) . f ( x
כיוון שני :נניח כי כל T ≠ 0הוא מחזור של ) . f ( xאזי ) f (T ) = f ( 0לכל Tממשי .מכאן
f ( x ) = f ( 0 ) = cלכל xממשי ,כלומר ) f ( xהיא פונקציה קבועה.
.4הבא דוגמה של פונקציה ממשית מחזורית אשר אינה קבועה ואין לה מחזור יסודי.
פתרון
תהי ) f ( xפונקצית דיריכלה ,כלומר f ( x ) = 1לכל xרציונלי ו f ( x ) = 0 -לכל xאי-רציונלי .אז כל
מספר רציונלי Tהוא מחזור של ) . f ( xהיות ובין המספרים הרציונליים חיוביים אין מספר מינימלי,
לפונקציה לא קיים מחזור יסודי.
.5הוכח כי במתיחה/כיווץ של פונקציה מחזורית מתקבלת פונקציה מחזורית .איך משתנה המחזור
היסודי של הפונקציה בפעולות אלה?
פתרון
אם מתיחה/כיווץ של פונקציה מחזורית מבוצעת/מבוצע בכיוון אנכי ,המחזור היסודי אינו משתנה כלל .אם
מתיחה/כיווץ של פונקציה מחזורית ) f ( xמבוצעת/מבוצע בכיוון אופקי ,כלומר עוברים לפונקציה
T
) f ( axכאשר , a > 0כל מחזור Tשל ) f ( xעובר למחזור
a
של ) , f ( axכי התנאי
) f ( x + T ) = f ( xלכל xממשי גורר ש-
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-6T
) = f ( ax + T ) = f ( ax
a
f a x +לכל xממשי.
בכך הוכח כי במתיחה/כיווץ של פונקציה מחזורית מתקבלת פונקציה מחזורית
בדומה ניתן להוכיח כי אם T1הוא מחזור של ) , f ( axאז aT1הוא מחזור של ) . f ( xמכאן נובע כי אם
T
Tהוא המחזור היסודי של ) f ( xאז
a
הוא המחזור היסודי של ) , f ( ax
לבסוף נציין כי מחזור Tשל ) f ( xהוא לא בהכרח מחזור של ) . f ( axלמשל T = 2π ,הוא מחזור
3
של f ( x ) = sin xאבל T = 2πלא מהווה מחזור של x
2
. f (1.5 x ) = sin
.6הבא דוגמה למשפחת פונקציות ממשיות המוגדרות לכל x ∈ ℝאשר בה כל בת משפחה ניתנת
להצגה מדויקת וחד-משמעית על ידי טבלת ערכיה בשלוש נקודות.
פתרון
במשפחת פונקציות ריבועיות מהצורה , a ≠ 0 , f ( x ) = ax 2 + bx + cכל פונקציה מוצגת במדויק
וחד-משמעית על ידי טבלת ערכיה בשלוש נקודות שונות ,כלומר בהינתן טבלה כזו ניתן לשחזר פונקציה
אחת ויחידה מהמשפחה ,בעלת ערכים אלה .לשם כך יש לפתור מערכת של שלוש משוואות ליניאריות
בלתי תלויות עם שלושה נעלמים a, b, cמהצורה
k = 1, 2,3
. axk 2 + bxk + c = yk ,
כאשר ( k = 1, 2,3) xk , ykהם הערכים הנתונים בטבלה.
.7הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית מחזורית אשר חסומה מלמעלה ולא
חסומה מלמטה.
פתרון
1
אחת מאינסוף תשובות אפשריות:
sin 2 x
. f ( x) = −
.8הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית אשר מוגדרת ,חסומה ומונוטונית ב. ℝ -
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-7פתרון
אחת מאינסוף תשובות אפשריות . f ( x ) = arctan x :לפי ההגדרה של פונקציה זו ,התחום שלה הוא
∞ < ℝ : −∞ < xוקבוצת הערכים היא הקטע
π
2
<<y
π
2
. −הפונקציה אי-זוגית ועולה בכל התחום,
כפי שרואים בהצגתה הגרפית:
.9הוכח כי כל פונקציה ממשית המוגדרת ב ℝ -ניתן להציג כסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי-
זוגית.
פתרון
תהי ) f ( xמוגדרת לכל מספר ממשי . xנגדיר
)f ( x) − f ( −x
)f ( x) + f (−x
= ) , f2 ( x
2
2
= ) . f1 ( x
קל לבדוק כי ) f1 ( xהיא פונקציה אי-זוגית ,ו f 2 ( x ) -היא פונקציה זוגית .הסכום של פונקציות אלה היא
פונקצית המוצא:
) . f1 ( x ) + f 2 ( x ) = f ( x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-8 .10הצג את הפונקציה f ( x ) = e xכסכום של פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית.
פתרון
לפונקציה הנתונה f ( x ) = e xנגדיר
)f ( x) − f (−x
e x − e− x
=
= sinh x,
= ) f1 ( x
2
2
f ( x ) + f ( − x ) e x + e− x
=
= cosh x.
= ) f2 ( x
2
2
נקבל:
, f ( x ) = e x = sinh x + cosh x
כאשר sinh xהיא פונקציה אי-זוגית ו - cosh x -פונקציה זוגית.
.11רשום את סדרת הפעולות של הזזה/מתיחה/כיווץ /שיקוף אשר מעבירה את הפונקציה
f ( x ) = sin xלפונקציה . g ( x ) = 5sin ( 6 − 3x ) + 10
פתרון
את המעבר מהפונקציה f ( x ) = sin xלפונקציה
g ( x ) = 5sin ( 6 − 3 x ) + 10 = 5sin ( −3 ( x − 2 ) ) + 10
ניתן לבצע על ידי הפעולות הבאות :א .שיקוף ביחס לציר ה , y -ב .כיווץ אופקי פי , 3
ג .הזזה אופקית ב 2-ימינה ,ד .מתיחה אנכית פי , 5ה .הזזה אנכית ב 10 -למעלה.
.12תאר את תחום ההגדרה והמחזור היסודי של הפונקציה . f ( x ) = sin x + cos x
פתרון
תחום ההגדרה של ) f ( xהוא אוסף של קטעים נפרדים
π
2
2π k , 2π k +כאשר kמספר שלם
כלשהו .המחזור היסודי של ) f ( xהוא . T = 2π
.13מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה המורכבת . f ( x ) = 1 − x + ln x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
-9פתרון
1
תהי . g ( x ) = 1 − x + ln xפונקציה זו מוגדרת בתחום . x > 0הפונקציה הנגזרת
x
g ′ ( x ) = −1 +
חיובית בקטע 0 < x < 1ושלילית בקרן . x > 1מכאן נובע כי בנקודה x = 1הפונקציה ) g ( xמקבלת
את הערך המקסימלי שלה בכל התחום והוא . g (1) = 0לכן
g ( x ) = 1 − x + ln x < 0כאשר x > 0, x ≠ 1ו. g (1) = 0 -
)*(
מ (*)-נובע כי ) g ( x
= ) f ( xמוגדרת רק עבור , x = 1כלומר תחום הגדרתה הוא }. D = {1
הערה
דרך אחרת לקביעת אי השוויון )*( ,הנמצאת גם במסגרת החשבון הדיפרנציאלי ,אבל ללא שימוש
במבחני קיצון ,מתבססת על העובדות הבאות (1) :המשיק לגרף y = ln xבנקודה ) (1, 0הוא הישר
1
(2) , y = x − 1הגרף y = ln xקעור כלפי מטה ,היות ו< 0 -
x2
y′′ = −לכל . x > 0
גרף הקעור כלפי מטה ממוקם מתחת לכל משיקו ,בכל נקודה ,למעט נקודת ההשקה.
בפרט ,הגרף y = ln xנמצא מתחת לישר y = x − 1כאשר
, x ≠ 1 , x > 0כפי שרואים בתמונה של שני הגרפים.
לכן:
⇐ g ( x ) = 1 − x + ln x < 0לכל , x > 0
ln x < x − 1
למעט . x = 1
.14ציין ,עבור אילו ערכים טבעיים של nהנוסחה
( ) = n ln x
n
ln xנכונה ועבור אילו – לא נכונה .נמק את טענותיך.
פתרון
הנוסחה נכונה לכל nאי-זוגי ) ( n = 1,3, 4,...ואינה נכונה לכל nזוגי ). ( n = 2, 4,6,...
נימוק :שוויון פונקציות כולל את התלכדות תחומי הגדרתן .כאשר nזוגי ,הפונקציה
) (
n
ln xמוגדרת
לכל xממשי ,למעט , x = 0והפונקציה ln xמוגדרת רק עבור . x > 0
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 10cos x
.15קיימות שתי דרכים להגדרת הפונקציה . f ( x ) = cot xדרך אחת:
sin x
1
tan x
= , cot xדרך אחרת:
= . cot xהאם שתי הגדרות אלה שקולות? נמק את תשובתך.
פתרון
1
cos x
= ) f ( xו-
ההגדרות אינן שקולות ,כי לפונקציות
tan x
sin x
= ) g ( xיש תחומי הגדרה שונים.
הפונקציה ) f ( xמוגדרת לכל xממשי ,למעט , x = kπכאשר kשלם כלשהו .הפונקציה ) g ( x
π
מוגדרת לכל xממשי ,למעט x = kπוגם + kπ
2
= , xכאשר kשלם כלשהו.
2
.16נתונה פונקציה מורכבת . y = esin xתאר את תחום הגדרתה ,קבוצת ערכיה ואת כל תכונותיה
הבסיסיות.
פתרון
2
תחום ההגדרה של f ( x ) = esin xהוא ∞ < . ℝ : −∞ < xהיות והפונקציה sin 2 xמקבלת את כל
הערכים בין 0ל ,1-קבוצת הערכים של הפונקציה
sin 2 x
f ( x ) = eהיא הקטע . 1 ≤ y ≤ eהפונקציה
הנתונה רציפה ,חסומה ,זוגית ומחזורית .המחזור היסודי הוא . T = π
π
3π
.17מצא את הפונקציה ההפוכה לפונקציה tan xבתחום
<<x
2
2
.
פתרון
π
π
הפונקציה arctan xהפוכה לפונקציה tan xבקטע < < x
2
2
. −מכאן ניתן להסיק כי הפונקציה
π
3π
g ( x ) = π + arctan xהפוכה לפונקציה f ( x ) = tan xבקטע
<<x
2
2
.אכן קבוצת הערכים ℝ
π
3π
של f ( x ) = tan xהיא תחום ההגדרה של , g ( x ) = π + arctan xותחום ההגדרה
<<x
2
2
) f ( xהיא קבוצת הערכים של ) . g ( xבנוסף ,לכל x ∈ ℝמתקיים:
)
(
. f g ( x ) = tan (π + arctan x ) = tan ( arctan x ) = x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
של
- 11 -
π
3π
בכך,הפונקציה g ( x ) = π + arctan xאכן הפוכה לפונקציה f ( x ) = tan xבקטע
<<x
2
2
.
.18פעולת חשבון בשתי פונקציות אלמנטריות מביאה תמיד לפונקציה אלמנטרית .האם פעולות
חשבון בשתי פונקציות לא אלמנטריות תמיד מביאה לפונקציה לא אלמנטרית?
פתרון
התשובה לשאלה היא שלילית .דוגמה :הפונקציות ) f ( x ) = x החלק השלם של ( xו-
g ( x ) = x + x אינן פונקציה אלמנטריות .אבל פונקצית ההפרש g ( x ) − f ( x ) = xהיא פונקציה
אלמנטרית.
.19הבא דוגמה של שתי פונקציות ממשיות f ( x ) :המוגדרת ב ℝ : −∞ < x < ∞ -וg ( x ) -
(
)
המוגדרת ב , ℝ + : 0 ≤ x < ∞ -כאלה שהרכבתן ) g f ( xמוצגת על ידי סדרה אינסופית של
נקודות מבודדות.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריותx :
)
= ) . f ( x ) = − sin 2 x, g ( xהפונקציה המורכבת
(
g f ( x ) = − sin 2 xמוגדרת רק בנקודות , x = kπכאשר kמספר שלם כלשהו .גרף פונקציה זו
הוא סדרה אינסופית של נקודות מבודדות ) , ( kπ , 0כאשר . k = 0, ±1, ±2,...
)
(
.20נתונות שתי פונקציות קבועות f ( x ) = c1ו g ( x ) = c2 -לכל xממשי .מצא את ) f g ( xו-
)
(
) . g f ( xהאם הרכבת שתי פונקציות קבועות היא פעולה חילופית?
פתרון
)
(
)
(
מהגדרת הפונקציות ) f ( xו g ( x ) -נובע כי f g ( x ) = c1ו . g f ( x ) = c2 -מכאן נובע כי פעולת
ההרכבה של שתי פונקציות קבועות שונות אינה פעולה חילופית.
.21באיזה תנאי הרכבת שתי פונקציות ליניאריות f ( x ) = ax + bו g ( x ) = mx + n -היא פעולה
חילופית?
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 12פתרון
אם f ( x ) = ax + bו g ( x ) = mx + n -אז:
f ( g ( x ) ) = a ( mx + n ) + b = amx + an + b
g ( f ( x ) ) = m ( ax + b ) + n = m ⋅ ax + mb + n
)
(
)
(
מכאן נובע כי ) f g ( x ) = g f ( xאם ורק אם an + b = mb + nאו . ( a − 1) n = ( m − 1) b
בפרט ,הרכבת פונקציות f ( x ) = x + bו g ( x ) = x + n -חילופית והרכבת פונקציות f ( x ) = ax + b
ו g ( x ) = mx -אינה חילופית כאשר . m ≠ 1, b ≠ 0
אכן ,במקרה זה:
)
(
)
(
. f g ( x ) = amx + b ≠ g f ( x ) = amx + mb
.22תאר את תחום ההגדרה ,קבוצת הערכים ואת כל התכונות הבסיסיות של הפונקציה
. f ( x ) = x− 2
פתרון
הפונקציה y = x − 2היא פונקצית חזקה עם מעריך אי -רציונלי שלילי .פונקציה זו מוגדרת בתחום
∞ < . 0 < xקבוצת הערכים שלה היא ∞ < . 0 < yהפונקציה יורדת בכל התחום ויש לה שתי
אסימפטוטות :אופקית y = 0ואנכית . x = 0
.23נתונה משפחת פונקציות לוגריתמיות f ( x ) = log a xכאשר aהוא מספר חיובי כלשהו השונה
מ .1-גרף של כל פונקציה מהמשפחה חותך את הישר x = eבנקודה אחת .הוכח כי שיעור ה-
yשל נקודה זו הוא פונקציה אלמנטרית של המשתנה . aמצא תבנית מפורשת ,תחום
ההגדרה וקבוצת הערכים של פונקציה זו.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 13פתרון
1
לפי הנתון,
ln a
= . y = log a eהפונקציה ln aהיא פונקציה אלמנטרית בסיסית של הארגומנט a
1
ולכן הפונקציה
ln a
היא פונקציה אלמנטרית של . aתחום ההגדרה של פונקציה זו הוא:
. a > 0 , a ≠ 1קבוצת הערכים היא. −∞ < y < ∞, y ≠ 0 :
.24הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית ממעלה רביעית אשר חסומה מלמעלה והגרף שלה אינו
חותך את ציר ה. x -
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות. f ( x ) = − x 4 − 1 :
.25הבא דוגמה של תבנית עם פרמטר שהוא מספר טבעי כלשהו ,המתארת משפחת פונקציות
רציונליות ,כאשר כל אחת מהן מקיימת את התנאים הבאים:
(1מוגדרת בכל ה, ℝ -
(2זוגית,
(3חסומה,
(4מתאפסת בנקודה , x = 0
(5בעלת אסימפטוטה אופקית y = −1ב. ±∞ -
פתרון
x2n
התבנית
, f ( x ) = − 2 nעם פרמטר טבעי n = 1, 2,3,...מתארת אינסוף פונקציות אשר כל אחת
x +1
מהן מקיימת את התנאים (5-(1דלעיל.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 14 -
תרגילים בנושא "גבולות"
.26מצא גבולות של הסדרות הבאות:
}
∞
n =1
{
( −1)n n
)(2
} {2
} ( 6 ) {− n
∞ n
n =1
∞
n =1
∞
( −1)n
(1)
n n =1
( 3) {n}∞n=1
)( 4
}
∞
2
n =1
{
( 5) ( −1)n 2n
פתרון
)(1
∞
1
הסדרה
n n =1
שואפת ל 0-והסדרה
} ){( −1
∞ n
n =1
n
חסומה .לכן = 0
)( −1
n
. lim
∞→ n
)(2
תת-סדרה של הסדרה הנתונה ,המכילה איברים עם ערכי nזוגיים ,שואפת ל ∞ -ותת-סדרה עם ערכי
nאי-זוגיים שואפת ל . ( −∞ ) -לכן לסדרה אין גבול ,לא סופי ולא אינסופי.
)(4) ,(3
הגבול של סדרה הוא ∞ .
)(5
לסדרה אין גבול .הנימוק כמו ב.(2)-
)(6
) (
היות ו n 2 -שואפת ל ∞ -כאשר ∞ → , nמתקיים. lim − n 2 = −∞ :
.27הבא דוגמה של סדרה }) { f ( n
∞→ n
,כאשר ) f ( xהיא פונקציה אלמנטרית ,שיש בה תת-סדרה
המתכנסת ל 0-ותת-סדרה השואפת ל . ∞ -מה ניתן לומר לגבי גבול הסדרה?
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 15פתרון
בסדרה }) { f ( n
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות. f ( n ) = n − (−1) n n :
כל האיברים עם nזוגי
שווים 0ולכן גבול של תת-הסדרה של איברים אלה הוא ,0וכל האיברים עם nאי-זוגי שווים 2nוגבול
של תת-הסדרה של איברים אלה הוא ∞ .לכן לסדרה השלמה אין גבול.
.28הבא דוגמה של סדרה }) { f ( n
,כאשר ) f ( xהיא פונקציה אלמנטרית ,שיש בה תת-סדרה
המתכנסת ל ,0-תת-סדרה המתכנסת ל 1-ותת-סדרה המתכנסת ל .(-1)-מה ניתן לומר לגבי
גבול הסדרה?
פתרון
∞
nπ
. f ( n ) = sinכל האיברים בתת-סדרה של
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא
2 n =1
)f (n
עם n = 2, 4, 6,8,...שווים ל 0-ולכן הגבול של תת-סדרה זו הוא .0בתת-סדרה של ) f ( n
עם n = 1,5,9,13,...כל האיברים שווים ל 1-ולכן הגבול של תת-סדרה זו הוא .1בתת-סדרה של ) f ( n
עם n = 3, 7,11,15,...כל האיברים שווים ל ( −1) -ולכן הגבול של תת-סדרה זו הוא ) . ( −1לסדרה
כולה אין גבול.
.29על סמך שיקולים איכותניים וחישוביים ,שער גבולות של כל אחת מהפונקציות הבאות בשפת
תחום הפונקציה .השווה את התוצאות עם תוצאות קריאת גבולות מהגרף הממוחשב.
אf ( x ) = ln 2 x .
ג.
ה.
1
x3
x
1
ב.
ln x
= )f ( x
ד.
f ( x) = e
ו.
cos x
ז.
x
= )f ( x
1
4
x
1
x3
−
= )f ( x
= )f ( x
f ( x) = e
1
חf ( x ) = sin .
x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 16פתרון
א .תחום ההגדרה של f ( x ) = ln 2 xהוא . 0 < x < ∞ :גבולות בשפת התחום:
. lim ln 2 x = ∞ ,
∞ = lim ln 2 x
x →0 +
∞→x
1
ב .תחום ההגדרה של הפונקציה
ln x
= ) f ( xהוא איחוד של הקטע 0 < x < 1והקרן ∞ < . 1 < x
הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם:
1
1
1
1
= 0, lim−
= −∞, lim+
= ∞. lim
=0
x
∞→
1
1
x
→
x
→
ln x
ln x
ln x
ln x
. lim+
x →0
1
ג .תחום ההגדרה של f ( x ) = 3הוא איחוד של שתי קרניים −∞ < x < 0 :ו. 0 < x < ∞ -
x
הגבולות בשפת תחום ההגדרה הם:
1
∞=
x3
lim+
x→0
1
1
= 0, lim− 3 = −∞,
3
x →±∞ x
x →0 x
. lim
1
ד .תחום ההגדרה של f ( x ) = 4הוא איחוד של שתי קרניים −∞ < x < 0 :ו-
x
∞ < . 0 < xהגבולות בשפת תחום ההגדרה הם:
1
∞=
x4
lim+
x →0
1
1
= 0, lim− 4 = ∞,
4
x →0 x
x
. lim
∞x →±
ה .תחום ההגדרה של הפונקציה f ( x ) = e xהוא הקרן החצי סגורה ∞ < . 0 ≤ xהגבולות
בשפת תחום ההגדרה הם:
∞=
ו .תחום ההגדרה של הפונקציה
1
x3
−
x
= e 0 = 1, lim e
∞→ x
x
. lim+ e
x →0
f ( x ) = eהוא איחוד של שתי קרניים −∞ < x < 0 :ו-
∞ < . 0 < xהגבולות בשפת תחום ההגדרה הם:
=0
1
− 3
x
lim+ e
x →0
= ∞,
1
− 3
x
= 1, lim− e
x →0
1
− 3
x
. lim e
∞x →±
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 17cos x
ז .תחום ההגדרה של הפונקציה
x
= ) f ( xהוא איחוד של שתי קרניים −∞ < x < 0 :ו-
∞ < . 0 < xהגבולות בשפת תחום ההגדרה הם:
cos x
∞=
x
lim
x → 0+
cos x
cos x
= 0, lim−
= −∞,
0
x
→
x
x
. lim
∞x →±
1
ח .תחום ההגדרה של הפונקציה
x
f ( x ) = sin הוא איחוד של שתי קרניים −∞ < x < 0 :ו-
∞ < . 0 < xהגבולות בשפת תחום ההגדרה הם:
1
x
1
x
, lim sin = 0
∞x →±
1
x
lim− sin אינו קיים lim+ sin ,אינו קיים,
x →0
x →0
כדי לאשר שתי טענות אחרונות ,נבחר בסדרת ערכי ה: x -
1
+ kπ
π
= xk
2
כאשר . k = 1, 2,3,...סדרה זו שואפת ל x = 0 -כאשר ∞ → . kיחד עם זאת
מתקיים:
k −1
π
) = sin + kπ = ( −1
2
ולסדרה }= {1, −1,1, −1,...
} ){( −1
∞ k −1
k =1
1
f ( xk ) = sin
xk
אין גבול .מכאן נובע כי הגבול ) lim+ f ( xלא קיים .היות
x →0
1
והפונקציה f ( x ) = sin אי-זוגית ,מסיקים כי הגבול ) lim− f ( xגם הוא לא קיים.
x →0
x
.30לכל אחד מהסעיפים א'-ה' להלן ,נא להביא דוגמה של פונקציה רציונלית אשר מקיימת את כל
התנאים הנתונים בסעיף .שרטט את הגרף הממוחשב של הפונקציה ובדוק אם התנאים
הדרושים אכן מתקיימים.
אlim f ( x ) = −∞ .
x → 2−
בlim f ( x ) = 1 .
∞x→−
lim f ( x ) = ∞,
x →2+
lim f ( x ) = ∞,
x →0
lim f ( x ) = 1, lim f ( x ) = ∞,
גlim f ( x ) = −∞ .
x →1+
x →1
lim f ( x ) = ∞,
x →1−
∞→x
lim f ( x ) = 0,
∞→x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 18דlim f ( x ) = ∞ .
x →1+
הf ( x ) = ∞ .
+
lim f ( x ) = 0,
lim f ( x ) = −∞,
x →1−
f ( x ) = −∞,
lim
) x→( −2
−
x →0
lim
) x→( −2
lim f ( x ) = 1,
∞x→−
פתרון
בכל סעיף מובאת דוגמה אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות:
1
1
. f ( x) = 2 +
א.
x−2
x
x2
ב.
x2 + 1
+
1
2
)( x − 1
1
ג.
1− x
= ). f ( x
x
ד.
x −1
= ). f ( x
1
x2
ה.
+ 2
x + 2 x +1
= ). f ( x
= ). f ( x
תרגילים בנושא "רציפות פונקציות"
.31מצא ואפיין את נקודות אי-הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
1
א.
x
ב.
1
2
1
ג.
x
x
ד.
x2 − 1
2
x − 3x + 2
פתרון
כל הפונקציות הנתונות הן פונקציות אלמנטריות .לפונקציה אלמנטרית נקודות אי-רציפות הן נקודות אי-
הגדרה הנמצאות בשפת תחום ההגדרה .סוג אי-הרציפות נקבע על ידי בדיקת גבולות חד-צדדיים
בנקודות כאלה .הבדיקה מביאה לתשובות הבאות:
א'-ג'.
לפונקציה יש נקודת אי-רציפות יחידה x = 0והיא נקודת אי-רציפות מסוג שני.
ד.
לפונקציה יש שתי נקודות אי-רציפות - x = 1 :נקודת אי-רציפות סליקה ו - x = 2 -נקודת אי-
רציפות מסוג שני.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 19 -
.32מצא ואפיין את נקודות אי-הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
א.
1
x
−
e
ב.
1
2
x
e
1
1
3
x
e
ג.
−
x −1
דe ( ) .
2
פתרון
א'-ג'.
הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות מסוג שני.
ד.
הנקודה x = 1היא נקודת אי-רציפות סליקה.
.33מצא ואפיין את נקודות אי-הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
1
א.
sin x
1
ב.
1
ד.
cos x
1
ג.
cos x
2
sin x
פתרון
לפונקציה יש אינסוף נקודות אי-רציפות x = kπכאשר kמספר שלם כלשהו .כולן נקודות אי-
א,ב
רציפות מסוג שני.
לפונקציה יש אינסוף נקודות אי-רציפות + kπ
ג,ד.
π
2
= , xכאשר kמספר שלם כלשהו .כולן
נקודות אי-רציפות מסוג שני.
.34אתר ואפיין את נקודות אי-הרציפות של כל אחת מהפונקציות הבאות:
1
א.
ln x
1
ב.
ln x
= )f ( x
) (
הf ( x ) = ln x 2 .
דf ( x ) = ln 2 x .
)
(
= )f ( x
זf ( x ) = ln 1 − x 2 .
ח.
)
1
2
(
ln x + 1
= )f ( x
1
ג.
ln x
= )f ( x
(
)
וf ( x ) = ln x 2 − 1 .
ט.
1
) (
2
= )f ( x
ln x
פתרון
כל הפונקציות הנתונות הן פונקציות אלמנטריות .לפונקציה אלמנטרית נקודות אי-רציפות הן נקודות אי-
הגדרה הנמצאות בשפת תחום ההגדרה .סוג אי-רציפות נקבע על ידי בדיקת גבולות חד-צדדיים בנקודות
כאלה .הבדיקה מביאה לתשובות הבאות:
א .לפונקציה יש שלוש נקודות אי-רציפות . x = 0, x = 1, x = −1 :הנקודות x = 1ו-
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 20 x = −1הן נקודות אי-רציפות מסוג שני ,הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות
סליקה.
ב .לפונקציה יש שתי נקודות אי-רציפות . x = 0, x = 1 :הנקודות x = 1היא נקודת אי-רציפות מסוג
שני ,הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות סליקה.
ג .לפונקציה יש נקודת אי-רציפות יחידה x = 1שהיא נקודת אי-רציפות מסוג שני.
ד .לפונקציה יש נקודת אי-רציפות יחידה x = 0והיא נקודת אי-רציפות מסוג שני.
ה .כנ"ל.
ו.
לפונקציה יש שתי נקודות אי-רציפות , x = 1, x = −1שתיהן נקודות אי-רציפות מסוג שני.
ז .כנ"ל
ח .לפונקציה אין אף נקודת אי-רציפות.
ט .לפונקציה יש שלוש נקודות אי-רציפות . x = 0, x = 1, x = −1 :הנקודות x = 1ו x = −1 -הן נקודת
אי-רציפות מסוג שני ,הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות סליקה.
.35הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית ) f ( xאשר יש לה נקודת אי-רציפות אחת בלבד ובתחום
הגדרתה היא זהה לפונקציה ליניארית.
פתרון
הפונקציה
( x − 1)2
x −1
= )f ( x
מוגדרת לכל x ≠ 1
ובתחום זה היא זהה לפונקציה ליניארית
. g ( x ) = x − 1לפונקציה ) f ( xיש נקודת אי-רציפות יחידה x = 1שהיא נקודת אי-רציפות סליקה.
.36הבא דוגמה של פונקציה אלמנטרית ) f ( xאשר יש לה נקודת אי-רציפות אחת בלבד ובתחום
הגדרתה היא זהה לפונקציה ריבועית.
פתרון
הפונקציה
2
x − 1)3
(
=
x −1
)f ( x
מוגדרת לכל x ≠ 1
ובתחום זה היא זהה לפונקציה ריבועית
) . g ( x ) = ( x − 1לפונקציה ) f ( xיש נקודת אי-רציפות יחידה x = 1שהיא נקודת אי-רציפות סליקה.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 21 -
.37האם ניתן לטעון כי אם x = x0היא נקודת אי-רציפות של שתי פונקציות ) , g ( x ) , f ( xאזי
כל אחת מהפונקציות ) f ( x ) − g ( x ) , f ( x ) + g ( xאינה רציפה בנקודה ? x = x0נמק את
תשובתך.
פתרון
לא ניתן לטעון כך .למשל לפונקציה ) f ( x ) = x החלק השלם של ( xולפונקציה g ( x ) = x − x
)החלק השברי של ( xיש אינסוף נקודות אי-רציפות . x = 0, ±1, ±2, ±3,...אבל לפונקצית הסכום
f ( x ) + g ( x ) = xאין אף נקודת אי-רציפות.
נציין ,כי בדוגמה לעיל ,בתור ) f ( xניתן לבחור כל פונקציה אשר מוגדרת לכל xממשי ויש לה נקודות
כאשר ) s ( xמוגדרת
אי-רציפות ,אחת לפחות ,ובתור ) - g ( xפונקציה ) g ( x ) = s ( x ) − f ( x
ורציפה לכל xממשי.
.38האם ניתן לטעון כי אם x = x0היא נקודת אי-רציפות של לפחות אחת מהפונקציות
) , g ( x ) , f ( xאזי היא גם נקודת אי-רציפות של לפחות אחת מהפונקציות
) ? s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , r ( x ) = f ( x ) − g ( xנמק את תשובתך.
פתרון
טענה זו נכונה .נניח ששתי הפונקציות ) s ( x ) = f ( x ) + g ( xו r ( x ) = f ( x ) − g ( x ) -רציפות
בנקודה . x = x0אזי כל אחת מהפונקציות '
)s ( x) + r ( x
2
= ), f ( x
)s ( x) − r ( x
2
= ) , g ( xרציפה
בנקודה . x = x0מכאן נובע כי אם בנקודה x = x0לפחות אחת מהפונקציות ) g ( x ) , f ( xאינה
רציפה ,אזי בנקודה זו לפחות אחת מהפונקציות ) r ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , s ( x ) = f ( x ) + g ( xאינה
רציפה.
.39הבא דוגמא של פונקציה אלמנטרית אשר יש לה חמש נקודות אי-רציפות בדיוק,כולן מסוג שני,
בעלות האופי הבא:
(1נקודת אי-רציפות עם אסימפטוטה חד-צדדית בכיוון מעלה,
(2נקודת אי-רציפות עם אסימפטוטה חד-צדדית בכיוון מטה,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 22 (3נקודת אי-רציפות עם אסימפטוטה דו-צדדית בכיוון מעלה,
(4נקודת אי-רציפות עם אסימפטוטה דו-צדדית בכיוון מטה,
(5נקודת אי-רציפות עם אסימפטוטה דו-צדדית בכיוונים שונים מצדדים שונים.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא:
1
x−5
+
1
2
)( x − 4
−
1
2
)( x − 3
1
1
. f ( x ) = e x −1 − e x −2 +
הנקודות x = 5 , x = 4 , x = 3 , x = 2 , x = 1מקיימות את התנאים (5 -(1בהתאמה.
.40תהי ) f ( xפונקציה זוגית או אי-זוגית .הוכח כי ל f ( x ) -יש מספר אי-זוגי של נקודות אי-
רציפות אם ורק אם הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות של ) . f ( x
פתרון
אם ) f ( xהיא פונקציה זוגית או אי-זוגית ו x0 ≠ 0 -היא נקודת אי-רציפות של ) , f ( xאזי גם הנקודה
(
)
− x0היא נקודת אי-רציפות של ) . f ( xמכאן נובע כי מספר נקודות אי-רציפות של ) f ( xהשונות מ-
0הוא בהכרח מספר זוגי .לכן ל f ( x ) -יש מספר אי-זוגי של נקודות אי-רציפות אם ורק אם ) f ( x
הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות של ) . f ( x
.41הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת בכל ℝויש לה נקודת רציפות יחידה . x = 1
פתרון
תהי - ℚקבוצת כל המספרים הממשיים הרציונליים .אז ℝ − ℚהיא קבוצת כל המספרים הממשיים
האי-רציונליים .לכל xממשי נגדיר:
x − 1, x ∈ ℚ
x∈ℝ −ℚ
0,
. f ( x) =
מהגדרה זו נובע כי לכל מספר ממשי x0השונה מ ,1 -הגבול ) lim f ( xאינו קיים .לעומת זאת,
x → x0
) . lim f ( x ) = 0 = f (1מכאן נובע כי הנקודה x = 1היא נקודת הרציפות היחידה של הפונקציה
x→1
). f ( x
1
x
.42אתר ואפיין את כל נקודות הרציפות והאי-רציפות של . f ( x ) = x sin
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 23פתרון
הפונקציה הנתונה היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת לכל xממשי ,למעט . x = 0לכן כל נקודה x ≠ 0
היא נקודת רציפות של הפונקציה הנתונה .הנקודה x = 0היא נקודת רציפות סליקה של פונקציה זו כי
1
קיים גבול סופי = 0 :
x
. lim x sin
x →0
.43תהי x = x0נקודת אי-רציפות מסוג שני בלי אסימפטוטה לשתי פונקציות ) f ( xו . g ( x ) -האם
ייתכן כי לפונקציה ) f ( x ) + g ( xהנקודה
x = x0היא נקודת אי -רציפות מסוג שני עם
אסימפטוטה? אם כן ,הבא דוגמה .אם לא ,נמק.
פתרון
1 1
1
1
1
המצב הזה אפשרי .דוגמה :יהיו − 2 sin , f ( x ) = 2 sin
x x
x
x
x
= ) . g ( xכאשר xשואף
1
x
ל, 0 -מימין או משמאל ,ערכי הפונקציה sin נודדות בין −1ו . 1 -מכאן נובע ערכי הפונקציות
) g ( x ) , f ( xנודדות בין ∞ −ו ∞ -כאשר xשואף ל, 0 -מימין או משמאל .לכן לפונקציה ) f ( x
ולפונקציה ) g ( xבנקודה x = 0אין גבול ,וכתוצאה מכך הישר x = 0אינו מהווה אסימפטוטה של
1
) f ( xושל ) . g ( xלעומת זאת ,לפונקצית הסכום
x
= ) f ( x ) + g ( xהישר x = 0כן משמש
אסימפטוטה אנכית.
.44הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xאשר מוגדרת בכל ציר ה , x -יש לה אינסוף נקודות אי-רציפות
קפיצה ולפונקציה ) f 2 ( xאין אף נקודת אי-רציפות .האם קיימת דוגמה כזו לפונקציה ) f ( x
אלמנטרית? נמק את תשובתך.
פתרון
נגדיר:
x
f ( x ) = (−1) כאשר x מסמן חלק שלם של . xמהגדרה זו נובע כי f ( x ) = 1בכל קטע
) [ 2k , 2k + 1ו f ( x ) = −1 -בכל קטע ) [ 2k + 1, 2k
כאשר kמספר שלם כלשהו .לכן ,לפונקציה
) f ( xיש אינסוף נקודות קפיצה . x = 0, ±1, ±2, ±3,...הפונקציה ) f 2 ( xמקבלת ערך 1לכל , x
כלומר היא פונקציה קבועה .לכן אין לה אף נקודת אי-רציפות.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 24 -
הפונקציה
x
f ( x ) = (−1) אינה פונקציה אלמנטרית .הדוגמה המבוקשת עם פונקציה ) f ( x
אלמנטרית אינה קיימת .נימוק :כל פונקציה אלמנטרית רציפה בכל נקודה בה היא מוגדרת ,לכן לא קיימת
פונקציה אלמנטרית ) f ( xאשר מוגדרת בכל ציר ה x -ויש לה אינסוף נקודות אי-רציפות.
.45הבא דוגמה של שתי פונקציות אלמנטריות ) g ( x ) , f ( xהמתאפסות בנקודה , x = 1עבורן
לפונקצית המנה
)f ( x
)g ( x
בנקודה x = 1יש אסימפטוטה חד-צדדית בכיוון מעלה.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות g ( x ) = ( x − 1) , f ( x ) = x − 1 + x − 1 :מתאפסות בנקודה . x = 1
2
פונקצית המנה שלהן היא:
2
, x >1
.
= x −1
g ( x)
x <1
0,
)f ( x
לפונקציה זו בנקודה x = 1יש אסימפטוטה מצד ימין בכיוון מעלה.
.46הבא דוגמה של שתי פונקציות ) f ( xו g ( x ) -אשר רציפות בכל התחום
)g ( x
)f ( x
ו-
∞ < −∞ < xולכל אחת מהמנות
)f ( x
)g ( x
יש אינסוף נקודות אי-רציפות.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות f ( x ) = sin x :ו . g ( x ) = cos x -פונקציות אלה מוגדרות ורציפות לכל
cos x
sin x
= tan xו-
xממשי ולכל אחת מפונקציות המנה
sin x
cos x
= cot xיש אינסוף נקודות אי -רציפות
שהן נקודות האיפוס של המכנה.
.47האם ייתכן שלשתי פונקציות ) f ( xו g ( x ) -שכל אחת מהן אינה רציפה בנקודה בנקודה
x = x0תהיה מכפלה ) f ( x ) g ( xהרציפה בנקודה זו?
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 25פתרון
מצב זה אפשרי .למשל ,תהי ) f ( x ) = x החלק השלם של ( xו . g ( x ) = 1 + x -פונקציות אלה
מוגדרות לכל xממשי .עבור כל אחת מהן הנקודה x = 0היא נקודת אי-רציפות .היות וf ( x ) = 0 -
בקטע 0 ≤ x < 1ו g ( x ) = 0 -בקטע , −1 ≤ x < 0מתקיים f ( x ) g ( x ) = 0 :בקטע . −1 ≤ x < 1
מכאן נובע כי פונקצית המכפלה ) f ( x ) g ( xרציפה בנקודה . x = 0
.48הוכח כי לפונקציה f ( x ) = x 3 + e xיש נקודת איפוס ,אחת לפחות.
פתרון
הפונקציה הנתונה רציפה לכל xממשי .ברור כי f ( x ) > 0כאשר x ≥ 0ו f ( x ) < 0 -כאשר
. x ≤ −1על פי תכונת הערך הביניים של פונקציה רציפה ,קיימת ) , x0 ∈ ( −1, 0כך ש. f ( x0 ) = 0 -
תרגילים בנושא " נגזרת ראשונה בנקודה ומושגים נלווים"
בפתרון התרגילים 49-53להלן יש להתבסס על הגדרות של נגזרת בנקודה ומושגים נלווים ועל תכונות
של גבולות .אין צורך בשימוש בחוקי גזירה ובטכניקות של גזירה.
.49א .על סמך ההגדרה של נגזרת בנקודה כמנת הפרשים ,הוכח ,כי הפונקציה f ( x ) = n x
כאשר n ≥ 2מספר טבעי ,אינה גזירה בנקודה . x = 0
ב .על סמך הגדרת המשיק לגרף של פונקציה ,הוכח כי לגרף y = n xבנקודה ) O ( 0, 0יש
משיק והוא ציר . y
פתרון
א.
אם n ≥ 2מספר זוגי ,הפונקציה f ( x ) = n xמוגדרת בתחום , x ≥ 0ואם n ≥ 2מספר אי-זוגי ,היא
מוגדרת בתחום ∞ < . −∞ < xבכל מקרה ,ניתן לחפש את הנגזרת בנקודה x = 0מצד ימין:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 26n
)f ( x ) − f (0
1
x
= lim+
= lim+ 1
x→0
x →0
1−
x−0
x
x n
1
היות ו> 0 -
n
. f +′ ( 0 ) = lim+
x→0
1 −עבור , n ≥ 2המכנה של השבר האחרון שואף ל 0 -והשבר שואף ל , ∞ -כאשר x
שואף ל 0-מימין .לכן הנגזרת ) f +′ ( 0אינה קיימת ,ומכאן הנגזרת ) f ′ ( 0אינה קיימת ,כלומר
f ( x ) = n xאינה גזירה בנקודה , x = 0לכל n ≥ 2טבעי .
ב.
יהי n ≥ 2מספר טבעי ,תהי f ( x ) = n xו-
)
(
) A x, f ( xנקודה על הגרף y = n xהשונה
מהנקודה ) . O ( 0, 0השיפוע של המיתר OAהוא:
f ( x ) − f (0) n x
1
=
= 1
1−
x−0
x
x n
שיפוע זה שואף ל ∞ -כאשר , x → 0 +ולכן המיתר OAשואף לחצי ציר ה y -העליון ,כאשר הנקודה A
הולכת ומתקרבת ל O -מצד ימין .מסקנה זו תקפה לכל n ≥ 2טבעי .אם nמספר אי-זוגי ,אז
הפונקציה f ( x ) = n xהיא פונקציה אי-זוגית ,ומהמסקנה דלעיל נובע כי כאשר הנקודה Aהולכת
ומתקרבת ל O -מצד שמאל ,המיתר OAשואף לחצי ציר ה y -התחתון . .בכך מקבלים ,שלכל n ≥ 2
טבעי ציר ה y -הוא המשיק לגרף של הפונקציה f ( x ) = n xבנקודה ) . O ( 0, 0
.50נתונה פונקציה
x≠0
x=0
n
1
x sin ,
f ( x) =
x
0,
כאשר nמספר טבעי . n = 1, 2,3,... :הוכח:
א .אם , n = 1אזי ) f ( xאינה גזירה בנקודה , x = 0ובנקודה ) O ( 0, 0לגרף שלה אין אף משיק חד-
צדדי.
ב .אם , n ≥ 2אזי ) f ( xגזירה בנקודה , x = 0ולגרף שלה בנקודה זו יש משיק
) y = 0ציר .( x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 27פתרון
א.
אם , n = 1אז
x≠0
x=0
1
x sin ,
. f ( x) =
x
0,
)f ( x ) − f ( 0
1
על פי הגדרת הנגזרת = lim sin ,
x→0
x
x
. f ′ ( 0 ) = lim
x→0
1
x
ערכי הפונקציה , sin כאשר , x → 0מימין או משמאל ,נודדים בין ) ( −1ו . ( +1) -לכן אף אחד
1
x
1
x
מהגבולות החד-צדדיים lim+ sin ו lim− sin -אינו קיים ,סופי או אינסופי .מכאן נובע כי
x →0
x →0
לפונקציה לא קיימות נגזרות חד-צדדיות בנקודה , x = 0ולגרף שלה לא קיימים משיקים חד-צדדיים
בנקודה ) . O ( 0, 0
מהנ"ל מסיקים שלפונקציה בנקודה x = 0אין נגזרת ,כלומר הפונקציה אינה גזירה בנקודה זו,
ולגרף הפונקציה אין משיק בנקודה ) . O ( 0, 0
ב.
אם n ≥ 2אז
)f ( x) − f ( 0
1
= x n −1 sin
x
x
1
x
כאשר . n − 1 ≥ 1במקרה זה . lim x n −1 = 0מכאן ,היות והפונקציה sin חסומה ,נובע כי
x→0
)f ( x ) − f (0
1
= lim x n −1 sin = 0
x →0
x
x
. f ′ ( 0 ) = lim
x→0
לכן הפונקציה ) f ( xגזירה בנקודה x = 0ולמשיק לגרף שלה בנקודה ) ( 0, 0יש שיפוע ,0
כלומר המשיק הוא ציר ה.( y = 0 ) x -
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 28הערה
במקרה , n ≥ 2הגרף של הפונקציה הנתונה ) f ( xבכל סביבה של הנקודה ) ( 0, 0חותך את
המשיק y = 0אינסוף פעמים.
דוגמה זו מראה כי הדעה שהגרף בסביבה די קטנה של נקודת ההשקה חייב להימצא מצד אחד של
המשיק או לעבור בנקודה זו מצד אחד לצידו השני של המשיק – דעה זו אינה נכונה .קיימת עוד אופציה
שלישית ,כאשר הגרף בכל סביבה של נקודת ההשקה מתנודד אינסוף פעמים סביב המשיק.
.51נתונה הפונקציה x
= ) . f ( xהאם פונקציה זו גזירה בנקודה ? x = 0אם כן,מהו ערך
הנגזרת? האם לגרף הפונקציה יש משיק בראשית הצירים? אם כן ,מהו?
פתרון
הפונקציה הנתונה מוגדרת בכל התחום ∞ < −∞ < xוהיא פונקציה זוגית .אם , x ≥ 0אז
. f ( x ) = xמכאן ומהתוצאות של תרגיל 49במקרה n = 2נובע כי הפונקציה x
= ) f ( xאינה
גזירה בנקודה , x = 0אבל בראשית הצירים לגרף של פונקציה יש משיק והוא ציר . y
.52הבא דוגמה של פונקציה אשר (1) :מוגדרת בכל ציר ה (2) , x -אינה גזירה בשלוש נקודות
לפחות (3) ,לגרף שלה יש משיק בכל נקודה.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריותx − 2 :
x −1 +
x +
= ) . f ( xפונקציה זו מוגדרת לכל x
ממשי ,היא גזירה בכל נקודה , xלמעט הנקודות . x = 0, x = 1, x = 2בנקודות אלה לגרף קיים
משיק המאונך לציר ה) x -ר' תרגיל .(51
.53א .מהן כל הנקודות של אי-גזירות של הפונקציה ? f ( x ) = sin xהאם בנקודות אלה לגרף של
הפונקציה יש משיק? אם כן ,מהו? נמק את תשובתך.
ב .אותה שאלה לגבי sin x
= ). f ( x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 29פתרון
א.
הפונקציה f ( x ) = sin xגזירה בכל נקודה , x ∈ ℝלמעט נקודות התאפסותה , x = kπכאשר k
מספר שלם כלשהו .בנקודות אלה לגרף הפונקציה יש שני משיקים חד-צדדיים שונים ,אחד בעל שיפוע 1
ושני בעל שיפוע ) . ( −1לכן לא קיים משיק לגרף של הפונקציה בנקודות הנ"ל.
ב.
הפונקציה sin x
= ) f ( xגזירה גם היא בכל נקודה , x ∈ ℝלמעט נקודות התאפסותה , x = kπ
כאשר . k = 0, ±1, ±2,...אבל בכל אחת מנקודות אלה לגרף הפונקציה קיים משיק המאונך לציר ה. x -
היות והפונקציה מחזורית במחזור , πמספיק להוכיח כי המשיק בראשית הצירים הוא ציר ה . y -נמצא
את גבול שיפועי החותכים העוברים דרך הנקודות )) ( x, f ( xו, ( 0, 0 ) -כאשר : x > 0
)f ( x) − f ( 0
sin x
sin x 1
1
= lim+
= lim+
⋅
= 1 ⋅ lim+
∞=
x →0
x →0
x→0
x
x
x
x
x
היות והפונקציה sin x
. lim+
x →0
= ) f ( xהיא פונקציה זוגית ,מהתוצאה לעיל נובע כי גם
)f ( x ) − f ( 0
)f ( − x ) − f (0
)f ( x ) − f ( 0
= − lim−
= − lim+
∞= −
x →0
x→0
x
−x
x
, lim−
x →0
כלומר ,שיפועי החותכים OBכאשר הנקודה Bעל גרף הפונקציה שואפת לראשית הצירים מצד ימין,
שואפים ל , ∞ -ומצד שמאל – ל . ( −∞ ) -מכאן נובע כי הפונקציה אינה גזירה בנקודה , x = 0אבל
לגרף שלה בנקודה ) ( 0,0יש משיק המאונך לציר ה , x -כלומר ציר ה. y -
תרגילים בנושא "הפונקציה הנגזרת וחוקי הגזירה"
.54בהנחה כי x 0 = 1לכל xממשי ,הוכח כי עבור כל nטבעי מתקיים:
)*(
n −1
( )′ = nx
x nלכל , x ∈ ℝ
בשתי דרכים שונות (1) :בשיטת האינדוקציה (2) ,על סמך בינום ניוטון.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 30פתרון
) (1הוכחה באינדוקציה
א .בדיקה עבור n = 1
מהגדרה גיאומטרית של נגזרת כשיפוע משיק לגרף של פונקציה נובע כי ( x )′ = 1לכל xממשי.
בהנחת כי x 0 = 1לכל xממשי ,מתקיים ( x )′ = 1 ⋅ x1−1 :לכל , x ∈ ℝכלומר הטענה )*( נכונה
עבור . n = 1
ב .מעבר מ n = k -ל: n = k + 1 -
) (
נניח כי הטענה )*( נכונה עבור n = kטבעי כלשהו ,כלומר נניח כי . x k ' = kx k −1בהסתמך על כך
)
(
נוכיח כי הטענה נכונה עבור n = k + 1כלומר . x k +1 ' = ( k + 1) x k ,על פי חוק גזירת המכפלה
( uv )′ = u ′v + uv′והנחת האינדוקציה ,מקבלים:
f ' ( x ) = kx k −1 ⋅ x + x k ⋅1 = kx k + x k = ( k + 1) x k
⇒ f ( x ) = x k +1 = x k ⋅ x
כלומר הטענה )*( נכונה גם עבור . n = k + 1
נכונה עבור n = 1וכי מנכונותה עבור n = kנובעת נכונותה עבור
סיכום :הוכחנו כי הטענה )*(
. n = k + 1לפי עיקרון האינדוקציה ,הטענה )*( נכונה לכל nטבעי.
) (2הוכחה על סמך בינום ניוטון
נוסחת הבינום של ניוטון היא:
)**(
= a n + Cn1 a n −1b1 + Cn2 a n − 2b 2 + . . . + Cnk a n − k b k + ... + b n
n
)(a + b
כאשר n, kמספרים טבעיים ו-
!n
! ) k !( n − k
=
)n ( n − 1)( n − 2 ) ... ( n − k + 1
k ( k − 1)( k − 2 ) ...1
n
k
= . Cnk =
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 31בהתבסס על הנוסחה )**( ועל הגדרת הפונקציה הנגזרת ,מוצאים עבור כל nטבעי:
⇒ f ( x ) = xn
x n + Cn1 x n −1h + Cn2 x n − 2 h 2 + ... Cnk x n − k h k + ... + h n − x n
= lim
h →0
h
)
− xn
h + Cn3 x n −3 h 2 + ... + Cnk x n − k h k −1 + ... + h n −1
n
)( x + h
= lim
h→0
h
2 n−2
n
+C x
n −1
(
)f '( x
h nx
h
= lim
h →0
= lim nx n −1 + Cn2 x n − 2 h + ... + Cnk x n − k h k −1 + ... + h n −1 = nx n −1
h →0
→0
ובכך מסתיימות הוכחת הטענה )*( על סמך בינום ניוטון.
.55נתונה הפונקציה f ( x ) = x + 2 + 2 x − 3המוגדרת בתחום ∞ < . −∞ < xמצא את
הפונקציה הנגזרת ) f ′ ( xותאר את התחום שלה.
פתרון
על פי הגדרת פונקציה של ערך מוחלט ,ניתן לפרט את הפונקציה הנתונה באופן הבא:
− x − 2 − 2 x + 3 = −3 x + 1,
f ( x ) = x + 2 − 2 x + 3 = − x + 5,
x + 2 + 2 x − 3 = 3 x − 1,
x ≤ −2
3
2
≤ −2< x
3
<x
2
מכאן נובע כי הפונקציה הנגזרת היא
x < −2
3
2
< −2< x
3
<x
2
−3,
. f ′ ( x ) = −1,
3,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 323
פונקציה זו מוגדרת לכל xממשי למעט x = −2ו-
2
= . xבנקודות אלה הפונקציה ) f ( xאינה גזירה,
כי
f −′ ( −2 ) = −3 ≠ f +′ ( −2 ) = −1
ו-
3
2
3
2
, f −′ = −1 ≠ f +′ = 3
3
2
3
2
ולכן ) f ′ ( −2ו f ′ -אינן קיימות .בכך ,התחום של הפונקציה הנגזרת הוא . ℝ \ −2,
.56הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xאשר מוגדרת ורציפה בכל תחום המספרים הממשיים
והפונקציה הנגזרת שלה ) f ′ ( xאינה מוגדרת באינסוף נקודות.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות . f ( x ) = sin x :פונקציה זו מוגדרת ורציפה לכל xממשי ,והנגזרת
שלה ) f ′ ( xאינה קיימת באינסוף נקודות , x = kπכאשר kמספר שלם כלשהו ,כי
f −′ ( kπ ) = −1 ≠ f +′ ( kπ ) = 1
) ( k = 0, ±1, ±2,..ולכן הנגזרת ) f ′ ( kπאינה קיימת .ניתן לוודא זאת בעזרת גרף של הפונקציה
. y = sin xבכל נקודה ) , ( kπ , 0כאשר kמספר שלם כלשהו ,למשיק מצד ימין יש שיפוע 1ולמשיק
מצד שמאל – שיפוע ) . ( −1מכאן ,המשיק בנקודות ) ( kπ , 0אינו קיים ,ובהתאם ) f ′ ( xאינה מוגדרת
בנקודות . ( k = 0, ±1, ±2, ±3,...) x = kπ
.57הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xאשר מוגדרת ורציפה לכל xממשי ,לגרף שלה יש משיק בכל
נקודה ,והפונקציה הנגזרת שלה אינה מוגדרת באינסוף נקודות.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריותsin x :
= ) . f ( xפונקציה זו מוגדרת ורציפה לכל xממשי .כפי
שהוכח בתרגיל -53ב' ,המשיק לגרף של פונקציה קיים בכל נקודה על הגרף ,כולל נקודות ) ( kπ , 0כאשר
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 33 , k = 0, ±1, ±2, ±3,...בהן המשיקים לגרף מקבילים לציר ה . y -משיקים אלה חסרי שיפוע ולכן
הפונקציה הנגזרת ) f ′ ( xאינה מוגדרת באינסוף נקודות . ( k = 0, ±1, ±2, ±3,...) x = kπ
.58תאר את תחום ההגדרה של
ln x
) f ( x ) = ( sin xומצא את הפונקציה הנגזרת ) . f ′ ( x
פתרון
בפונקציה הנתונה המשתנה xנמצאת הן בבסיס הן במעריך של החזקה כלומר היא מהווה ערבוב
פונקציה מעריכית ופונקצית חזקה .פונקציה זו ניתנת לייצוג כפונקציה אקספוננציאלית:
) = eln x⋅ln sin x
(
) ln ( sin x
ln x
. f ( x) = e
מייצוג זה נובע כי תחום ההגדרה של הפונקציה הנתונה נקבע על ידי התנאים:
x > 0
sin x > 0
.
הפתרון של מערכת זו הוא איחוד הקטעים 2kπ < x < 2kπ + πכאשר . k = 0,1, 2, 3,...
את הפונקציה הנגזרת ) f ′ ( xניתן למצוא בשתי דרכים.
דרך ראשונה :על פי הייצוג של ) f ( xכפונקציה אקספוננציאלית
כדי למצוא את הפונקציה הנגזרת ,נשתמש בכלל השרשרת וחוק גזירת המכפלה:
cos x
1
⋅ ln sin x + ln x
sin x
x
ln x
) ( ln x ⋅ ln sin x )′ = ( sin x
ln x⋅ln sin x
)′ = e
(
, f ′ ( x ) = e ln x⋅ln sin x
כאשר ) . k = 0,1, 2,3,... , x ∈ ( 2kπ , 2kπ + π
דרך שנייה :על פי הלוגריתמיזציה של הייצוג המקורי של ) f ( x
בתבנית המוצא
ln x
) f ( x ) = ( sin xנעבור משוויון שני צדדים לשוויון הלוגריתמים שלהם .נקבל:
) ln f ( x ) = ln x ⋅ ln ( sin x
לכל xבתחום ההגדרה של ) . f ( x
נגזור שוויון זה ביחס למשתנה . xעל פי כלל השרשרת וחוק גזירת המכפלה ,נקבל:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 341
cos x
⋅ ⋅ ln ( sin x ) + ln x
⇒
sin x
x
=
)f ′( x
)f ( x
cos x
1
⋅ f ′ ( x ) = f ( x ) ⋅ ⋅ ln ( sin x ) + ln x
sin x
x
cos x
ln x 1
⋅ = ( sin x ) ⋅ ⋅ ln ( sin x ) + ln x
sin x
x
כאשר xשייך לתחום ההגדרה של ) , f ( xכלומר ) . k = 0,1, 2, 3,... , x ∈ ( 2kπ , 2kπ + π
התקבלה אותה תשובה כמו בדרך הראשונה.
.59נתונה משוואה בשני נעלמים . x 2 − 2 x + y 2 + 4 y − 4 = 0ציין את הנקודות אשר בסביבתן
המשוואה אינה מגדירה פונקציה סתומה ) . y = y ( xנמק את תשובתך.
פתרון
ניתן לרשום את המשוואה הנתונה בצורה:
=9
2
) ( x − 1) + ( y + 2
2
משוואה זו מציגה מעגל בעל מרכז ) (1, −2ורדיוס . 3הנקודות ) ( 4, −2ו ( −2, −2 ) -הן נקודות קצה של
הקוטר האופקי של המעגל .אם קשת המעגל לא מכילה בתוכה אף אחת מנקודות אלה אז כל ישר
המקביל לציר ה y -חותך אותה בנקודה אחת בלבד או לא חותך כלל .קשת כזו מגדירה בדרך גרפית
את yכפונקציה של xבקטע מסוים .אם קשת המעגל מכילה בתוכה לפחות אחת מהנקודות הנ"ל ,אז
קיים ישר החותך אותה בשתי נקודות שונות .קשת כזו לא מגדירה אף פונקציה ) . y = y ( xלכן
הנקודות אשר בסביבתן המשוואה הנתונה אינה מגדירה פונקציה סתומה ) y = y ( xהן הנקודות
) ( 4, −2ו. ( −2, −2 ) -
.60עקום במישור מתואר על ידי המשוואה
. e xy + y 2 = 10מצא את משוואת המשיק לעקום זה
בנקודה ). ( 0,3
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 35פתרון
השיפוע של המשיק המבוקש הוא ) y′ ( 0כאשר ) y′ ( xהיא נגזרת של פונקציה סתומה ) y = y ( x
המוגדרת על ידי המשוואה הנתונה בסביבת הנקודה ) . ( 0, 3על סמך גזירת המשוואה הנתונה לפי , x
בהנחה ש , y = y ( x ) -מוצאים:
ye xy
2 y + xe xy
y′ = −
⇒ . e xy ( y + xy ′ ) + 2 y ⋅ y ′ = 0
מכאן ,היות ו , y ( 0 ) = 3 -מקבלים
3
1
=−
6
2
. y′ ( 0 ) = −
משוואת המשיק לעקום הנתון בנקודה ) ( 0, 3היא
1
)( x − 0
2
y −3 = −
או
1
x+3
2
.y=−
.61נתונה פונקציה . y = x 4 + x 2הוכח כי בתחום −∞ < x < 0יש לה פונקציה הפוכה ומצא את
התבנית המפורשת שלה.
פתרון
לפי התכונות הבסיסיות של פונקצית חזקה ,כל אחת מהפונקציות x 2ו x 4 -יורדת בתחום
. −∞ < x < 0לכן הפונקציה הנתונה y = x 4 + x 2יורדת בתחום זה .מכאן נובע כי לפונקציה הנתונה
בתחום −∞ < x < 0קיימת פונקציה הפוכה .למציאת הפונקציה ההפוכה ,נפתור את המשוואה
y = x 4 + x 2ביחס למשתנה , xתוך התחשבות בכך ש x 2 > 0 -ו . x < 0 -נקבל:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 36x4 + x2 − y = 0
−1 + 1 + 4 y
2
−1 + 1 + 4 y
2
= x2
x=−
בפתרון שהתקבל ) ∞ y ∈ ( 0,ו . x ∈ ( −∞, 0 ) -אם נחליף בו את yב x -ואת xב , y -נקבל:
−1 + 1 + 4 x
2
,y=−
כאשר ) ∞ x ∈ ( 0,ו . y ∈ ( −∞, 0 ) -זוהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה y = x 4 + x 2בתחום
. −∞ < x < 0
הערה 1
כדאי לשים לב כי תחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה נגדי לתחום פונקצית המקור שבו נמצאה
הפונקציה ההפוכה .אותו הדין לגבי קבוצות הערכים של פונקציות אלה.
הערה 2
ניתן למצוא את הפונקציה המבוקשת בדרך אחרת :קודם להחליף את שמות המשתנים במשוואה
הנתונה ,כך שתהיה :
x = y4 + y2 ⇒ y4 + y2 − x = 0
והתחומים ישתנו בהתאם , y ∈ ( −∞, 0 ) , x ∈ ( 0, ∞ ) :ואחר כך לפתור משוואה זו ביחס ל . y -נגיע
לאותה תשובה כמו קודם:
−1 + 1 + 4 x
2
.y=−
.62מצא את תחומי ההגדרה ,קבוצות הערכים והנגזרות של הפונקציות סקנס וקוסקנס:
1
1
= , csc x
cos x
sin x
= . sec x
פתרון
1
הפונקציה
cos x
= sec xמוגדרת לכל xממשי ,למעט + kπ
π
2
= xכאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 371
הפונקציה
sin x
= csc xמוגדרת לכל xממשי ,למעט x = kπכאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...
קבוצת הערכים של כל אחת מהפונקציות sec xו csc x -הוא איחוד הקרניים −∞ < y ≤ −1ו-
∞ < 1 ≤ yאו ,כלומר ,בקצרה . y ≥ 1 ,על סמך כלל השרשרת מוצאים:
1 ′
1
sin x
,
= ⋅ ( cos x )′
=−
2
cos x
cos 2 x
cos x
( sec x )′ =
1 ′
1
cos x
′
= − 2 ( sin x ) = − 2
sin x
sin x
sin x
( csc x )′ =
הערה :לאותן תוצאות ניתן ,כמובן ,להגיע על פי חוק הגזירה של מנת הפונקציות.
sin x
.63על סמך הגבול = 1
x →0 x
, limמצא את הגבולות הבאים:
א( ) .
sin x 2
x
, lim
x →0
sin x
, lim+
ב.
x →0
x
sin x
. sin
ג.
x→π π − x
פתרון
א.
( ) = lim sin ( x ) ⋅ x = lim sin ( x ) ⋅ lim x = 1⋅ 0 = 0
2
2
x2
x →0
sin x 2
x2
x →0
x →0
x
. lim
x →0
ב.
sin x
sin x 1
sin x
1
= lim+
⋅
= lim+
⋅ lim+
∞ = ∞ ⋅= 1
x →0
x
x
x x →0
x x →0 x
. lim+
x →0
ג.
sin t
=1
t →0 t
= lim
) sin (π − t
t
lim
t →0
=
π − x =t
sin x
x→π π − x
. sin
.64פונקציה סתומה ) y = y ( xמוגדרת על ידי המשוואה
x + y7 + y = 4
מצא את ) . y ′ ( 2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 38 -
פתרון
הפונקציה הסתומה היא פתרון המשוואה
y7 + y = 4 − x
ביחס ל . y -מהתכונות הבסיסיות של פונקציות חזקה נובע כי y 7 + yהיא פונקציה עולה של המשתנה
yהמקבלת כל ערך ממשי פעם אחת בלבד .לכן למשוואה דלעיל יש פתרון אחד ביחס ל y -עבור כל
xממשי .כלומר המשוואה הנתונה מגדירה פונקציה סתומה ) y = y ( xבכל התחום ∞ < . −∞ < xקל
לוודא כי . y ( 2 ) = 1על פי כלל מציאת הנגזרת של פונקציה סתומה ,מוצאים:
1
1
=−
7 ⋅1 + 1
8
=−
1
7 ⋅ ( y ( 2)) + 1
6
⇒ y′ ( 2 ) = −
1
7 y +1
6
. 7 y 6 y′ + y ′ = −1 ⇒ y ′ = −
.65נתונה פרבולה אשר ציר הסימטריה שלה נמצא על ציר ה x -ומשוואתה היא . y 2 = 3 x − 5
4
מצא את המשוואה של משיק לענף התחתון של הפרבולה העובר דרך הנקודה A , 0
3
הנמצאת על ציר ה. x -
פתרון
תהי ) ( x0 , y0נקודת ההשקה של המשיק המבוקש לפרבולה הנתונה .הקדקוד של הפרבולה הוא
5
3
הנקודה . , 0 על פי התכונה של המשיקים לפרבולה "שוכבת" ,קדקוד הפרבולה נמצא באמצע
הקטע בין הנקודה Aוהנקודה ) . ( x0 , 0
לכן מתקיים:
4
+x
5 3 0
= .
3
2
10 4 6
מכאן− = = 2 :
3 3 3
= . x0היות ונקודת ההשקה נמצאת על הענף התחתון של הפרבולה ,מוצאים:
. y0 = − y02 = − 3 x0 − 5 = − 3 ⋅ 2 − 5 = − 1 = −1
ובכן ,נקודת ההשקה היא ) . ( x0 , y0 ) = ( 2, −1שיפוע y ′של המשיק לפרבולה y 2 = 3 x − 5מקיים
את המשוואה
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 393
2y
= . 2 yy′ = 3 ⇒ y ′
בפרט ,שיפוע המשיק בנקודה ) ( x0 , y0 ) = ( 2, −1הוא
3
3
3
=
=−
2 y0 −2
2
= y0′
ומשוואת המשיק היא:
3
y + 1 = − ( x − 2) ⇒ 3 x + 2 y − 4 = 0
2
.
תרגילים בנושא "הקשר בין תכונות פונקציה ותכונות הפונקציה הנגזרת"
.66התלמיד התבקש להוכיח כי אם f '( x) = 0
לכל ) x ∈ ( a, bאז ) f ( xהיא פונקציה קבועה
בקטע ) . ( a, bהתלמיד הציע את ההוכחה הבאה " :לפי ההנחה f '( x ) = 0
לכל ) . x ∈ ( a, b
אם הפונקציה ) f ( xלא הייתה קבועה ,התבנית שלה הייתה מכילה משתנה , xוכאשר
בתבנית של פונקציה יש , xלא ניתן בזמן גזירתה לקבל f '( x ) = 0
לכל . xלכן ) f ( xהיא
פונקציה קבועה".
האם הוכחה זו תקינה? אם לא ,היכן השיקול השגוי?
פתרון
ההוכחה אינה תקינה .בהוכחה יש טיעון" :כאשר תבניתה של פונקציה מכילה משתנה , xלא יכולים
בגזירתה לקבל f '( x ) = 0
)
(
לכל ." xטיעון זה שגוי .דוגמה נגדית :תהי f ( x ) = sin π x כאשר
xהוא מספר ממשי כלשהו ו x -מסמן את החלק השלם של . xברור כי f ( x ) = 0לכל xולכן
f ′ ( x ) = 0לכל . x
.67הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xבעלת התכונות הבאות:
א f ( x ) .מוגדרת וגזירה לכל . f ( 0 ) = 1 , x ∈ ℝ
ב f ′ ( x ) = 0 .באינסוף נקודות.
ג f ( x ) .עולה במובן החזק בכל ה. ℝ -
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 40פתרון
דוגמה מתאימה היא . f ( x ) = x + cos xפונקציה זו מוגדרת וגזירה לכל x ∈ ℝומקבלת ערך 1
בנקודה . x = 0הנגזרת שלה f ′ ( x ) = 1 − sin xחיובית לכל xממשי ,למעט אינסוף נקודות מבודדות
+ 2 kπ
π
2
= , xכאשר . k = 0, ±1, ±2,...לכן הפונקציה f ( x ) = x + cos xעולה במובן החזק בכל
π
π
קטע + 2 ( k − 1) π , + 2kπ
2
2
לכל
kשלם .על פי כך ,בהיותה פונקציה רציפה ,היא עולה
במובן החזק בכל התחום ∞ < . −∞ < xיחד עם זאת ,כפי שכבר צוין f ′ ( x ) = 0 ,באינסוף נקודות.
הערה
הדוגמה מראה כי עליית הפונקציה בתחומה ,אף במובן החזק ,אינה גוררת בהכרח את חיוביות הנגזרת
בכל נקודה ונקודה בתחום .ייתכן אף כי הנגזרת מתאפסת באינסוף נקודות בתוך התחום.
.68נתונה פונקציה
n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...
2
)x − n
(
n
=
+ ,
2
2
). f ( x
הוכח כי:
א .הפונקציה ) f ( xמוגדרת ורציפה בכל ציר ה. x -
ב .הפונקציה ) f ( xגזירה בכל נקודה x ≠ nואינה גזירה באף נקודה , x = nכאשר nמספר שלם
כלשהו.
ג .הפונקציה ) f ( xעולה במובן החזק בכל התחום ∞ < . −∞ < x
פתרון
א.
לפי הנתון ,הפונקציה מוגדרת לכל xממשי ורציפה לכל xשאינו שלם .נראה כי היא רציפה גם לכל x
שלם .בכל נקודה , x = nכאשר nמספר שלם כלשהו ,מתקיים:
( x − n )2 n n
lim+ f ( x ) = lim+
=+
x→n
x→n
2
2 2
( x − ( n − 1) )2 n − 1 1 n − 1 n
= +
lim f ( x ) = lim−
+
=
x → n−
x→n
2
2 2
2
2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 41כלומר הגבולות החד-צדדיים בנקודה x = nשווים זה לזה .מכאן נובע כי קיים
n
)= f (n
2
= ) , lim f ( x
x→n
ולכן ) f ( xרציפה בנקודה . x = nבכך הוכח כי ) f ( xרציפה לכל xממשי.
ב.
מן הצגת הפונקציה הנתונה ) f ( xנובע כי היא גזירה לכל xשאינו שלם .נמצא נגזרות חד-צדדיות
של ) f ( xבנקודה , x = nכאשר . n = 0, ±1, ±2, ±3,...על סמך הצגת ) f ( xמקבלים:
)2 ( x − n
=0
2
x=n
) )2 ( x − ( n − 1
=1
x=n
2
= ) f +′ ( n
= ) f −′ ( n
היות ו , f +′ ( n ) ≠ f −′ ( n ) -הנגזרת ) f ′ ( nאינה קיימת ,כלומר ) f ( xאינה גזירה בנקודה , x = n
כאשר . n = 0, ±1, ±2, ±3,...
ג.
מההצגה של הפונקציה הנתונה ) f ( xנובע כי היא עולה במובן החזק בכל קטע , n ≤ x < n + 1
כאשר . n = 0, ±1, ±2, ±3,...מכאן ,היות והיא רציפה בכל התחום ∞ < , −∞ < xנובע כי הפונקציה עולה
במובן החזק בכל התחום ∞ < . −∞ < x
הערה
הדוגמה מראה כי פונקציה אשר עולה בכל התחום שלה ,אף במובן החזק ,עלולה לא להיות גזירה
באינסוף נקודות.
.69תהי . f ( x ) = sin x
א .מהן כל הנקודות של מקסימום מקומי של ) ? f ( x
ב .מהן כל הנקודות של מינימום מקומי של ) ? f ( x
ג .מהו ערך הנגזרת ) f ′ ( xבנקודות המקסימום ובנקודות המינימום?
ד .האם לפונקציה יש נקודות קיצון מוחלט? אם כן ,מהן?
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 42פתרון
מהתכונות הבסיסיות של הפונקציה sin xוהגדרת נקודות קיצון נובע כי:
א .נקודות מקסימום מקומי+ kπ :
π
2
= xכאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...
ב .נקודות מינימום מקומי x = kπ :כאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...
ג .בנקודות מקסימום , f ′ ( x ) = 0ובנקודות מינימום ) f ′ ( xאינה קיימת.
ד .כל מינימום מקומי הוא גם מינימום מוחלט ) ,(0וכל מקסימום מקומי הוא גם מקסימום
מוחלט ).(1
.70נתונה פונקציה
1
x ⋅ sin , x ≠ 0
. f ( x) =
x
0, x = 0
ענו על השאלות להלן ועל פי התשובות נסו לשער איך נראה הגרף של הפונקציה .השוו בין השערתכם
וצורת הגרף הממוחשב .
א .מהו התחום של ) ? f ( xהאם הפונקציה זוגית? אי-זוגית?
ב .מהן נקודות הרציפות ונקודות אי-הרציפות של ) ? f ( x
ג .מהן נקודות הגזירות ונקודות אי-הגזירות של ) ? f ( x
ד .כמה נקודות מקסימום מקומי יש ל ? f ( x ) -ומינימום מקומי ?
ה .האם יש ל f ( x ) -בתחום הגדרתה מקסימום מוחלט? ומינימום מוחלט?
ו.
האם הנקודה x = 0היא נקודת קיצון מקומי?
ז .האם הפונקציה ) f ( xהיא פונקציה מונוטונית )עולה או יורדת( בסביבה כלשהי של ? x = 0
ח .האם לפונקציה קיימות אסימפטוטות אנכיות?
ט .האם לפונקציה קיימות אסימפטוטות אופקיות?
פתרון
א.
הפונקציה הנתונה מוגדרת בכל התחום ∞ < . −∞ < xהיא פונקציה זוגית כי ) . f ( − x ) = f ( x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 43ב.
1
x
הפונקציה y = x sin היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת לכל . x ≠ 0לכן היא רציפה לכל . x ≠ 0
מכאן נובע כי הפונקציה הנתונה ) f ( xרציפה בכל נקודה . x ≠ 0בנקודה x = 0היא גם רציפה כי
1
) lim f ( x ) = lim x sin = 0 = f ( 0
x →0
x →0
x
↓0
sin t <1
בכך ,כל נקודה xבתחום של הפונקציה הנתונה ) f ( xהיא נקודת רציפות שלה .לפונקציה זו אין נקודות
אי-רציפות.
ג.
הפונקציה הנתונה גזירה בכל נקודה . x ≠ 0בנקודה זו היא לא גזירה כי למנת הפרשים
1
x sin − 0
1
x
=
= sin
x−0
x
)f ( x) − f (0
x−0
אין גבול כאשר x → 0ולכן הנגזרת ) f ′ ( 0אינה קיימת.
בכך ,כל נקודה x ≠ 0היא נקודת גזירות של הפונקציה הנתונה ) , f ( xוהנקודה x = 0היא נקודת אי-
גזירות שלה.
ד.
1
1
הפונקציה sin מתאפסת באינסוף נקודות
kπ
x
= xכאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...בין כל שתי
נקודות אפס עוקבות פונקציה זו רציפה והיא מחליפה סימן בכל נקודת אפס .אותן העובדות תקפות
1
x
לפונקציה . f ( x ) = x sin מעובדות אלה נובע שלפונקציה הנתונה יש אינסוף נקודות מינימום מקומי
ומקסימום מקומי.
ה.
היות ו sin t < t -לכל t ≠ 0מתקיים:
1
=1
x
1
x
⋅ x sin < xלכל . x ≠ 0
ולכן:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 44 −1 < f ( x ) < 1לכל . x ∈ ℝ
יחד עם זאת,
1
sin
1
x =1
, lim f ( x ) = lim x sin = lim
∞x →±
∞x →±
x
∞→±
1
x
x
כלומר הפונקציה ) f ( xמקבלת ערכים המתקרבים ל ,1-אבל לא מקבלת ערך 1באף נקודה .זה מעיד
שלפונקציה ) f ( xבתחום הגדרתה אין מקסימום מוחלט.
הפונקציה הנתונה היא פונקציה
זוגית ,לכן ניתן להתמקד בתחום . x ≥ 0כאשר
מקבלת ערכים חיוביים בלבד .בקטע
1
π
1
π
> xהפונקציה
≤ 0 ≤ xהפונקציה רציפה ולכן יש לה מינימום מוחלט אשר יהיה
1
1
) ר' גרף להלן(.
מינימום מוחלט שלה בכל התחום ∞ < . −∞ < xמינימום זה מתקבל בקטע
,
2π π
ו.
הנקודה x = 0אינה נקודת קיצון מקומי ,כי f ( 0 ) = 0ובכל סביבה של x = 0הפונקציה ) f ( x
מקבלת ערכים חיוביים וערכים שליליים.
ז.
הפונקציה ) f ( xלא עולה ולא יורדת באף סביבה של x = 0מהסיבה שצוינה בסעיף ז' לעיל.
ח.
לפונקציה הנתונה לא קיימות אסימפטוטות אנכיות כי אין לה נקודות אי-רציפות.
ט
הישר y = 1הוא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה הנתונה כאשר ∞ → xוכאשר ∞ x → −כי
lim f ( x ) = 1
∞x→±
)ר' חישוב בסעיף ה'(.
1
הגרף הממוחשב של הפונקציה
x
y = x sinתואם את תוצאות החקירה דלעיל.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 45 -
.71תהי ) f ( xפונקציה רציפה בכל תחום הגדרתה .לגבי כל טענה להלן יש לקבוע אם היא נכונה
או לא נכונה .את נכונות הטענה יש לנמק ואת אי-הנכונות להדגים בדוגמה נגדית מתאימה.
א .אם ) f ( xעולה בסביבה שלמה של הנקודה x = x0אז היא עולה גם בנקודה זו.
ב .אם ) f ( xעולה בנקודה x = x0אז היא עולה בסביבה מסוימת של . x = x0
ג .אם הנגזרת ) f ′ ( xמחליפה סימן בנקודה , x = x0אזי נקודה זו היא נקודת קיצון מקומי של
). f ( x
ד .אם x = x0היא נקודת קיצון מקומי של ) , f ( xאזי ) f ′ ( xמחליפה סימן בנקודה זו.
ה .אם f ′ ( x ) > 0לכל xבתחום הגדרתה של ) f ( xאזי ) f ( xעולה בתחום זה.
ו.
ז.
אם f ′ ( x ) > 0לכל ) x ∈ ( a, bאזי ) f ( xעולה בקטע ) . ( a, b
אם f ′ ( x ) = 0לכל xבתחום ההגדרה Dשל ) f ( xאזי f ( x ) = cלכל . x ∈ D
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 46ח .אם f ′ ( x ) = 0לכל ) x ∈ ( a, bאזי f ( x ) = cלכל ) . x ∈ ( a, b
פתרון
א .הטענה נכונה .היא נובעת מיידית מהגדרת המושגים" :פונקציה עולה בנקודה"" ,פונקציה עולה
בתחום".
ב .הטענה אינה נכונה .דוגמה נגדית :פונקציה
1
, x≠0
. f ( x) = x
0, x = 0
לפי הגדרה ) f ( xעולה בנקודה , x = 0במובן החזק .אבל הפונקציה אינה עולה באף סביבה
של , x = 0אף במובן החלש ,כי היא יורדת בכל אחד מהתחומים x > 0ו. x < 0 -
ג .הטענה נכונה .היא נובעת ממבחן הנגזרת הראשונה לנקודת קיצון.
ד .הטענה אינה נכונה .דוגמה נגדית:
1
x sin , x ≠ 0
f ( x) =
x
0, x = 0
הנקודה x = 0היא נקודת מינימום מוחלט של ) . f ( xכאשר x → 0מצד כלשהו )משמאל
או מימין( הנגזרת ) f ′ ( xמחליפה סימן אינסוף פעמים כלומר אין לה סימן קבוע לא מימין ולא
משמאל לנקודה . x = 0לכן אין לדבר על החלפת סימן של ) f ′ ( xבנקודה זו.
1
ה .הטענה לא נכונה .דוגמה נגדית:
x
∞<0< x
. f ( x ) = −פונקציה זו מוגדרת באיחוד הקרניים
1
. −∞ < x < 0,בתחום זה הפונקציה רציפה ולכל xבו מתקיים> 0 :
x2
= )f ′( x
אבל ) f ( xאינה עולה בכל התחום כי ,למשל. f (1) = −1 < f ( −1) = 1 ,
ו .הטענה נכונה .היא נובעת מהמשפט על תנאי מספיק של עליית פונקציה בתחום קשיר.
ז .הטענה לא נכונה .דוגמה נגדית:
x −1
x
2
. f ( x ) = sgn
פונקציה זו מוגדרת ורציפה באיחוד הקרניים −∞ < x < −1 :ו 1 < x < ∞ -וניתנת לפירוש הבא:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 47 −1, x < −1
x >1
1,
. f ( x) =
ברור כי f ′ ( x ) = 0לכל xבתחום ההגדרה של ) , f ( xאבל ) f ( xאינה פונקציה קבועה בכל
התחום.
ח .הטענה נכונה והיא נובעת מהמשפט על הקריטריון של פונקציה קבועה בתחום קשיר )קטע ,קרן(
נציין כי הדוגמה בסעיף ז' לעיל מראה כי קשירות התחום היא התנאי המכריע לנכונות הטענה.
.72חקרו את תכונות הפונקציה f ( x ) = esin xבשילוב נגזרת ראשונה ,על סמך תוצאות החקירה
שערו את צורת הגרף שלה והשוו אותו עם הגרף הממוחשב.
פתרון
הפונקציה f ( x ) = esin xמוגדרת ,רציפה וחיובית לכל xממשי .היא מחזורית במחזור . 2πלכן
מספיק לחקור אותה בקטע . 0 ≤ x ≤ 2πהפונקציה הנגזרת f ′ ( x ) = esin x ⋅ cos xמוגדרת לכל x
ממשי ומתקיים:
. f −′ ( 2π ) = f ′ ( 2π ) = 1 , f +′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 1
להלן טבלת החקירה של הפונקציה f ( x) = esin x , 0 ≤ x ≤ 2πבעזרת נגזרתה הראשונה
: f ′ ( x ) = esin x ⋅ cos x
2π
3π
, 2π
2
3π
2
π 3π
,
2 2
2
1
π
π
0,
2
0
x
+
0
−
0
+
1
)f ′( x
עולה
נקודת
יורדת
נקודת
עולה
1
)f ( x
מינימום
מקסימום
מקומי,
מקומי,
1
=
e
3π
f
2
π
f =e
2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 48סיכום על פי הטבלה:
• הפונקציה הנתונה חיובית בקטע 0 ≤ x ≤ 2πו. f ( 0 ) = f ( 2π ) = 1 -
•
π
π
הנקודה = xבה = e
2
2
f היא נקודת מקסימום מקומי של הפונקציה ) f ( xשהוא
גם המקסימום המוחלט שלה בקטע . 0 ≤ x ≤ 2π
•
•
3π
1
הנקודה
= xבה =
2
e
3π
2
f היא נקודת מינימום מקומי של הפונקציה ) f ( xשהוא
גם המינימום המוחלט שלה בקטע . 0 ≤ x ≤ 2π
לפונקציה אין אסימפטוטות.
הגרף הממוחשב בקטע 0 ≤ x ≤ 2πתואם את תוצאות החקירה.
הגרף השלם מתקבל על ידי שיכפול הגרף מקטע 0 ≤ x ≤ 2πלכל ציר ה , x -במחזור 2π
.
.73נתונה פונקציה
x≠a
x=a
) g ( x
,
f ( x ) = ( x − a)n
c,
כאשר n ≥ 1מספר טבעי a, c ,מספרים ממשיים קבועים ,הפונקציה ) g ( xגזירה בסביבה שלמה של
הנקודה x = aו. g ( a ) ≠ 0 -
הוכח כי :
א .הפונקציה ) f ( xאינה רציפה בנקודה . x = a
ב .הפונקציה ) f ( xגזירה בסביבת הנקודה
, x = aלמעט נקודה זו.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 49ג .הנקודה x = aהיא נקודת קיצון מקומי של ) f ( xאם ורק אם nהוא מספר זוגי.
ד .אם הנגזרת ) f ′ ( xמחליפה בנקודה x = aאת סימנה מחיובי לשלילי ,אזי הנקודה
x = aהיא
נקודת מינימום מקומי של ) . f ( x
ה .אם הנגזרת ) f ′ ( xמחליפה בנקודה x = aאת סימנה משלילי לחיובי ,אזי הנקודה
x = aהיא
נקודת מקסימום מקומי של ) . f ( x
פתרון
א.
מהנתונים נובע כי
∞ )= g (a) ⋅ ∞ = (±
1
n
)( x − a
= g ( a ) ⋅ lim+
x →a
)g ( x
n
)( x − a
, lim+ f ( x ) = lim+
x→a
x→a
כאשר הסימן בתשובה חיובי אם g ( a ) > 0ושלילי -אם . g ( a ) < 0מתוצאה זו נובע כי ) f ( xאינה
רציפה בנקודה . x = a
ב.
אם , x ≠ aאזי ) f ( xגזירה בסביבה )הנקובה( של
x = aכמנה של שתי פונקציות גזירות כאשר
הפונקציה במכנה לא מתאפסת ..בנקודה x = aהפונקציה הנתונה אינה רציפה ולכן אינה גזירה.
ג.
נתבונן בגבולות חד-צדדיים:
1
n
)( x − a
1
n
)( x − a
= g ( a ) lim+
x→a
= g ( a ) lim−
x→a
)g ( x
lim+ f ( x ) = lim+
)( x − a
)g ( x
f ( x ) = lim
n
x→a
)( x − a
n
x→a
−
x→a
lim−
x→a
כאשר . g ( a ) ≠ 0
אם nאי-זוגי ,אחד מהגבולות לעיל הוא ∞ והשני ) ∞ . ( −במצב זה ,לכל ערך של , cהערך f ( a ) = c
לא יכול להיות מינימום או מקסימום מקומי של ) . f ( x
אם nזוגי ו g ( a ) > 0 -אזי
∞ = ) . lim+ f ( x ) = lim− f ( x
x→a
x→a
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 50במצב זה ,לכל , cהערך f ( a ) = cהוא מינימום מקומי של ) . f ( x
אם nזוגי ו g ( a ) < 0 -אזי
∞. lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = −
x→a
x →a
במצב זה ,לכל , cהערך f ( a ) = cהוא מקסימום מקומי של ) . f ( x
בכך הוכח כי הנקודה x = aהיא נקודת קיצון מקומי של ) f ( xאם ורק אם nהוא מספר זוגי .בכך,
הטענה ג' נכונה.
ד.
אם הנגזרת ) f ′ ( xמחליפה בנקודה x = aאת סימנה מחיובי לשלילי ,אז הפונקציה ) f ( xעולה
משמאל ל x = a -ויורדת מימין ל . x = a -היות ולפונקציה הנתונה כל אחד מהגבולות החד-צדדיים
בנקודה x = aשווה ∞ או ) ∞ , ( −המצב הנ"ל אפשרי אם ורק אם
∞ = ) lim f ( x
x→a−
∞ = ) lim f ( x
x→a+
התנאים האלה גוררים כי הערך f ( a ) = cהוא מינימום מקומי של ) . f ( xהטענה ד' נכונה.
ה.
אם הנגזרת ) f ′ ( xמחליפה בנקודה x = aאת סימנה משלילי לחיובי ,אז הפונקציה ) f ( xיורדת
משמאל ל x = a -ועולה מימין ל . x = a -המצב הזה לפונקציה הנתונה אפשרי אם ורק אם
∞lim f ( x ) = −
x→a−
∞lim f ( x ) = −
x→a+
התנאים האלה גוררים כי הערך f ( a ) = cהוא מקסימום מקומי של ) . f ( xהטענה ה' נכונה.
הערה
במבט הראשון נראה כי הטענות ד' ,ה' בתרגיל 73נוגדות למבחן הנגזרת הראשונה לנקודת קיצון .לפי
מבחן זה ,אם הנגזרת מחליפה סימן בנקודה מסוימת מחיובי לשלילי או משלילי לחיובי ,אזי נקודה זו
היא ,בהתאם ,נקודת מקסימום מקומי או מינימום מקומי של הפונקציה .הטענות ד' ,ה' לא סותרות
מבחן זה כי בו דרושה רציפות הפונקציה בנקודה ,והפונקציה ) f ( xהנתונה בתרגיל הנוכחי אינה
רציפה בנקודה . x = aהדוגמה שבתרגיל מראה כי דרישת רציפות פונקציה חיונית לתקפות המבחן
הנ"ל.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 51 -
.74תהי ) f ( xמוגדרת וגזירה בתחום x > 0והנגזרת ) f ′ ( xשואפת ל 0 -כאשר ∞ → , x
כלומר
. lim f ′ ( x ) = 0
)*(
א.
∞→x
האם לפונקציה ) f ( xבהכרח מתקיים:
, lim f ( x ) = c
∞→x
כלומר האם ל f ( x ) -יש אסימפטוטה אופקית עבור ∞ → ? x
ב.
האם לפונקציה ) f ( xאשר לא רק גזירה אלא גם חסומה בתחום x > 0
התנאי )*( בהכרח
גורר כי ל f ( x ) -יש אסימפטוטה אופקית עבור ∞ → ? x
פתרון
א.
התשובה לשאלה היא שלילית .למשל ,הפונקציה f ( x ) = ln xמוגדרת וגזירה בתחום , x > 0
1
הנגזרת
x
= ) f ′ ( xמקיימת את התנאי )*( ,ובכל זאת לפונקציה אין אסימפטוטה אופקית כאשר
∞ → , xכי ∞ = . lim ln xדוגמה אחרת :הפונקציה f ( x ) = xמוגדרת ורציפה בתחום x ≥ 0
∞→x
וגזירה בתחום . x > 0הנגזרת
1
2 x
= ) f ′ ( xמקיימת את התנאי )*( ובכל זאת לפונקציה אין
אסימפטוטה אופקית כאשר ∞ → , xכי ∞ = x
. lim
∞→x
ב.
התשובה לשאלה בסעיף ב' גם היא שלילית .למשל ,הפונקציה
)( x
f ( x ) = sin
מוגדרת ורציפה בתחום x ≥ 0וגזירה בתחום . x > 0הפונקציה הנגזרת היא
)( x
cos
2 x
היות ו( x ) -
cosהיא פונקציה חסומה ו-
1
2 x
= ). f ′( x
שואפת ל 0 -כאשר ∞ → , xמתקיים:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 52, lim f ′ ( x ) = 0
∞→x
כלומר ,הנגזרת ) f ′ ( xמקיימת את התנאי )*( .אבל ,היות והפונקציה ) ( x
∞ → , xמבצעת אינסוף תנודות בין −1ו , 1 -הגבול ) lim f ( x ) = lim sin ( xאינו קיים כלל .לכן ל-
, f ( x ) = sinכאשר
∞→ x
∞→ x
) f ( xאין אסימפטוטה עבור ∞ → . x
.75הוכח כי למשוואה פולינומיאלית , ( 2k − 1) x 2 k +1 + ( 2k + 1) x 2k −1 + C = 0כאשר kמספר
טבעי ו C -מספר ממשי קבוע כלשהו ,יש שורש ממשי אחד בלבד.
פתרון
תהי
. f ( x ) = ( 2k − 1) x 2k +1 + ( 2k + 1) x 2k −1 + C
היות ו f ( x ) -רציפה בתחום ∞ < −∞ < xומתקיים:
∞ = ) , lim f ( x ) = −∞, lim f ( x
∞→ x
∞x →−
הפונקציה ) f ( xמתאפסת פעם אחת לפחות.
הפונקציה הנגזרת
f ′ ( x ) = ( 2k − 1)( 2k + 1) x 2k + ( 2k + 1)( 2k − 1) x 2k −2
)
(
= ( 2k − 1)( 2k + 1) x 2k −2 x 2 + 1
חיובית לכל xממשי ,למעט . x = 0מכאן נובע כי הפונקציה ) f ( xעולה בכל התחום ∞ < . −∞ < x
לכן ל f ( x ) -יש נקודת איפוס אחת בלבד .במילים אחרות למשוואה f ( x ) = 0יש שורש ממשי אחד
בלבד.
תרגילים בנושא
"נגזרות מסדר n ≥ 2והקשר בין תכונותיהן ותכונות הפונקציה"
.76האם קיימת פונקציה ) f ( xקעורה כלפי מטה או כלפי מעלה בכל התחום שלה ,כאשר הנגזרת
השנייה ) f ′′ ( xמתאפסת באינסוף נקודות?
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 53פתרון
כן ,פונקציה כזאת קיימת .אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות. f ( x ) = x 2 + 2 cos x :
הנגזרת השנייה f ′′ ( x ) = 2 − 2 cos xחיובית בכל קטע 2kπ < x < 2 kπ + 2πכאשר kמספר שלם
כלשהו .מכאן נובע כי הנגזרת הראשונה ) f ′ ( xעולה במובן החזק בכל קטע כזה ולכן ,בהיותה פונקציה
רציפה ,היא עולה במובן החזק בכל התחום ∞ < . −∞ < xמצב זה גורר כי הפונקציה
f ( x ) = x 2 + 2 cos xקעורה כלפי מעלה בכל התחום ∞ < . −∞ < xיחד עם זאת ,הנגזרת השנייה
f ′′ ( x ) = 2 − 2 cos xמתאפסת באינסוף נקודות x = 2kπכאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...
ex
.77על סמך חקירת תכונות הפונקציות
x−2
,בעזרת נגזרותיה הראשונה והשנייה ,שער את צורת
הגרף שלה .השווה בינו והגרף הממוחשב של אותה פונקציה.
פתרון
ex
הפונקציה
x−2
= ) f ( xמוגדרת לכל xממשי למעט . x = 2הנקודה x = 2היא נקודת אי-רציפות
מסוג שני כי
ex
∞=
x−2
lim+ f ( x ) = lim+
x →2
x →2
ex
= −∞,
x−2
. lim− f ( x ) = lim−
x→ 2
x →2
מתוצאות אלה נובע כי הישר x = 2הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
היות ומתקיים
ex
= ∞,
x →∞ x − 2
lim f ( x ) = lim
∞=
ex
x2 − 2 x
= lim
∞→x
)f ( x
∞→ x
x
lim
∞→x
לפונקציה לא קיימת אסימפטוטה אופקית או משופעת ב. ∞ -
לעומת זאת ,ב ( −∞ ) -לפונקציה קיימת אסימפטוטה אופקית y = 0כי
ex
=0
x→−∞ x − 2
. lim f ( x ) = lim
∞x→−
להלן טבלאות החקירה של ) f ( xבעזרת שתי הנגזרות ) : f ′′ ( x ) , f ′ ( x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 54)e x ( x − 3
2
)( x − 2
= )f ′( x
) ∞ ( 3,
3
) (2, 3
2
) ( −∞, 2
x
+
0
−
אין
−
)f ′( x
יורדת
אין
יורדת
)f ( x
עולה
מינימום
מקומי
f ( 3 ) = e3
x 2 − 6 x + 10
3
)( x − 2
⋅ f ′′ ( x ) = e x
) ∞ ( 2,
2
) ( −∞, 2
+
אין
−
קעורה כלפי
אין
קעורה כלפי
מעלה
x
) f ′′ ( x
)f ( x
מטה
סיכום החקירה:
•
הפונקציה חיובית בתחום x > 2ושלילית בתחום . x < 2אין נקודות התאפסות,
1
2
. f (0) = −
ב( −∞ ) -
•
לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית x = 2ואסימפטוטה אופקית y = 0
•
הפונקציה יורדת בכל אחד מהתחומים 2 < x < 3 , x < 2ועולה בתחום . x > 3
•
לפונקציה יש נקודת מינימום מקומי. f ( 3) = e3 , x = 3 :
•
הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום x < 2וכלפי מעלה – בתחום . x > 2אין נקודות פיתול.
ex
הגרף הממוחשב של הפונקציה
= yתואם את תוצאות החקירה לעיל.
x−2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 55 -
הערה :בסרטוט לעיל בתחום x < 0הגרף נראה כמתלכד עם ציר . xראיה זו אינה תואמת את
המציאות והיא נגרמה על ידי שימוש ביחידת מדידה קטנה בציר . yבמציאות הגרף בתחום x < 0אינו
נוגע בציר ה x -אלא הולך ומתקרב אליו מלמטה ,כאשר ∞ , x → −כלומר ציר זה מהווה אסימפטוטה
אופקית של הפונקציה עבור ∞) x → −כפי שצוין בסיכום החקירה(.
.78הוכח כי לפונקציה פולינומיאלית ממעלה רביעית
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 + a4 x 4 , a4 ≠ 0
יש רק שתי אפשרויות:
) f ( x ) (1קעורה בכיוון אחד בכל התחום ∞ < , −∞ < x
) (2ל f ( x ) -קיימות שתי נקודות פיתול.
פתרון
הנגזרת השנייה של הפונקציה הנתונה היא:
. f ′′ ( x ) = 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 , a4 ≠ 0
לפונקציה ) f ′′ ( xכפונקציה ריבועית יש רק שתי אפשרויות:
)(1
) f ′′ ( xשומרת על סימן קבוע בכל התחום ∞ < , −∞ < xאולי עם התאפסות בנקודה אחת,
או
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 56) f ′′ ( x ) (2מחליפה סימן בכל אחת משתי נקודות התאפסות שונות שלה בתחום ∞ < . −∞ < x
במקרה ) f ( x ) (1קעורה בכיוון אחד )כלפי מעלה או כלפי מטה( בכל התחום ∞ < . −∞ < x
במקרה ) f ( x ) (2בתחום ∞ < −∞ < xמחליפה את כיוון הקעירות בכל אחת משתי נקודות
ההתאפסות של ) . f ′′ ( xלכן נקודות אלה הן נקודות הפיתול של ) . f ( x
טענת התרגיל הוכחה במלואה.
.79הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית ) f ( xהמקיימת את התנאים הבאים:
) (1
, f ( −1) = 2
), f ′ ( −1) = 1 (2
) (3הנקודה x = −1היא נקודת פיתול של ) . f ( x
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות:
. f ( x ) = 2 + ( x + 1) + ( x + 1) = 4 + 4 x + 3x 2 + x 3
3
קיום התנאים ) (2) ,(1ברור .התנאי ) (3מתקיים כי הנגזרת השנייה f ′′ ( x ) = 6 + 6 xמחליפה סימן
בנקודה . x = −1
.80הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית ) f ( xהמקיימת את התנאים:
), f ( 2 ) = 1 (1
) ( n ) 2 = 0 (2
) (
fל, n = 1, 2, 3, 4,5 -
) (3הנקודה x = 2היא נקודת מינימום מקומי של ) . f ( x
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא:
6
). f ( x ) = 1 + ( x − 2
קיום התנאים ) (2),(1ברור .התנאי ) (3מתקיים כי ) f ( 2 ) = 1 ≤ f ( xלכל xממשי.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 57 -
.81הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת ,רציפה וגזירה בכל התחום ∞ < , −∞ < xאין לה אף
נקודת קיצון ,אבל יש לה אינסוף נקודות פיתול.
פתרון
הפונקציה f ( x ) = x + cos xעונה לדרישות שצוינו בתרגיל.
π
π
אכן ,הנגזרת הראשונה f ′ ( x ) = 1 − sin xחיובית בכל קטע + 2kπ , + 2 ( k + 1) π
2
2
, כאשר
. k = 0, ±1, ±2,...לכן ) f ( xעולה במובן החזק בכל אחד מהקטעים האלה .מכאן ,היות והפונקציה
f ( x ) = x + cos xרציפה בכל התחום ∞ < , −∞ < xנובע כי היא עולה במובן החזק בתחום זה .לכן,
אין לה אף נקודת קיצון .יחד עם זאת ,הנגזרת השנייה f ′′ ( x ) = − cos xמתאפסת באינסוף נקודות
+ kπ
+ kπ
π
= xכאשר . k = 0, ±1, ±2,...היות ובכל אחת מנקודות אלה ) f ′′ ( xמחליפה סימן ,הנקודות
π
= ( k = 0, ±1, ±2,... ) xהן נקודות פיתול של ) . f ( xבכך הוכח כי ל f ( x ) = x + cos x -יש
2
2
אינסוף נקודות פיתול.
.82א .הוכח:
) (1לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה n > 1אי-זוגית יש נקודת פיתול ,אחת לפחות.
) (2לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה nזוגית יש נקודת קיצון ,אחת לפחות.
) (3לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה n > 1יש נקודת פיתול או נקודת קיצון.
ב .חקור:
מהו המספר המקסימלי של נקודות קיצון לפולינום ממעלה ? n > 1
ונקודות פיתול?
פתרון
פונקציה פולינומיאלית ממעלה nהיא:
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
כאשר akמקדמים קבועים . an ≠ 0 ,פונקציה זו שקולה לפונקציה , an x nכאשר ∞ , x → ±במובן ש-
)f ( x
=1
an x n
. lim
∞x →±
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 58 -
מכאן נובע כי הסימן של פונקציה פולינומיאלית כאשר ∞ x → ±זהה לסימנו של האיבר הראשי . an x n
לכן לפונקציה פולינומיאלית ממעלה זוגית יש אותו סימן כאשר ∞ → xוכאשר ∞) x → −הזהה לסימנו
של המקדם ,( anולפונקציה פולינומיאלית ממעלה אי-זוגית יש סימנים נגדיים כאשר ∞ → xו-
∞) x → −הראשון זהה לסימנו של , anוהשני – נגדי לו(.
היות ופונקציה פולינומיאלית ממעלה אי-זוגית רציפה ואינה שומרת על סימן קבוע בתחום ∞ < , −∞ < x
קיימת נקודה , xאחת לפחות ,בה פונקציה זו מתאפסת ומחליפה סימן.
א.
נקודות הקיצון xkשל ) f ( xשייכות לקבוצת השורשים של המשוואה
)*(
. f ′ ( x ) = a1 + 2a2 x + ... + nan x n −1 = 0
נקודות הפיתול xmשל ) f ( xשייכות לקבוצת שורשי המשוואה
)**(
. f ′′ ( x ) = 2a2 + ... + n ( n − 1) an x n − 2 = 0
) (1אם n > 1הוא מספר אי -זוגי ,אזי המשוואה )*( שהיא משוואה פולינומיאלית ממעלה זוגית עלולה
להיות נטולת שורשים ממשיים ,כלומר ייתכן כי ל f ( x ) -אין אף נקודת קיצון .לעומת זאת ,למשוואה
)**( כמשוואה פולינומיאלית ממעלה אי-זוגית בהכרח יש שורש ממשי ,אחד לפחות ,אשר בו
) f ′′ ( xמחליפה סימן .שורש זה הוא נקודת פיתול של ) . f ( x
) (2אם nהוא מספר זוגי ,אזי למשוואה )*( שהיא משוואה פולינומיאלית ממעלה אי-זוגית בהכרח יש
שורש ממשי ,אחד לפחות ,אשר בו ) f ′ ( xמחליפה סימן .שורש זה הוא נקודת קיצון של ) . f ( x
לעומת זאת ,המשוואה )**( כמשוואה פולינומיאלית ממעלה זוגית עלולה להיות נטולת שורשים
ממשיים ,כלומר ייתכן כי ל f ( x ) -אין נקודות פיתול.
) (3מהתוצאות בסעיפים ) (2) ,(1לעיל נובע כי אם n > 1הוא מספר אי-זוגי ,אזי לפונקציה
פולינומיאלית כלשהי ממעלה nבהכרח יש נקודת פיתול .אם nהוא מספר זוגי ,אזי לפונקציה
פולינומיאלית כלשהי ממעלה nבהכרח יש נקודת קיצון .בכך ,לכל פונקציה פולינומיאלית ממעלה
n > 1בהכרח יש נקודת פיתול או נקודת קיצון.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 59ב.
המספר המקסימלי האפשרי של שורשים ממשיים שונים של משוואה פולינומיאלית כלשהי שווה
למעלתה .במקרה ולמשוואה יש מספר שורשים ממשיים שונים כמו מעלתה ,כל השורשים הם פשוטים
והפונקציה הפולינומיאלית שבאגף השמאל של המשוואה משנה את סימנה בכל נקודת התאפסותה.
היות ונקודות קיצון של הפונקציה הפולינומיאלית ממעלה n > 1נמצאות בין שורשי המשוואה )*( ממעלה
n − 1וכל נקודות הפיתול שלה – בין שורשי המשוואה )**( ממעלה , n − 2מהנ"ל נובע כי המספר
המקסימלי של נקודות קיצון של פונקציה פולינומיאלית ממעלה n > 1הוא ) ( n − 1ושל נקודות פיתול -
). ( n − 2
.83הבא דוגמה של פולינום ממעלה 4אשר יש לו 3נקודות קיצון ו 2-נקודות פיתול.
פתרון
דוגמה מתאימה היא
. f ( x ) = x4 − 2 x2
שתי הנגזרות הראשונות של פונקציה זו הןf ′ ( x ) = 4 x 3 − 4 x :
ו. f ′′ ( x ) = 12 x 2 − 4 -
הנגזרת הראשונה מתאפסת עם החלפת סימן בשלוש נקודות x = 0, x = −1, x = 1והנגזרת השנייה –
1
1
בשתי נקודות
,x = −
3
3
= . xבהתאם ל f ( x ) -יש שלוש נקודות קיצון ושתי נקודות פיתול.
.84א .הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xאשר מוגדרת ,רציפה וגזירה אינסוף פעמים בכל התחום
∞ < , −∞ < xבנקודה x = 2מתקיים( n ) 2 = 0 :
) (
fלכל nטבעי ,ו x = 2 -היא נקודת
קיצון של ) . f ( x
ב .משימה דומה למקרה כאשר x = 2היא נקודת פיתול של ) . f ( x
פתרון
א.
נגדיר
− 12
( x −2) , x ≠ 2
. f ( x ) = e
x=2
0,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 60מתבנית זו נובע מיידית כי x = 2היא נקודת מינימום מוחלט של ) . f ( x
אם נחשב את הנגזרות העוקבות של ) f ( xבנקודה , x = 2על פי הגדרתן ,נקבל:
f ′ ( 2 ) = 0, f ′′ ( 2 ) = 0, f ′′′ ( 2 ) = 0,..., f ( n ) ( 2 ) = 0,...
כלומר ,הנגזרת מכל סדר בנקודה x = 2קיימת ושווה ל .0-לפי התבנית של הפונקציה ,בכל נקודה
x ≠ 2היא גזירה אינסוף פעמים .בכך ,הפונקציה הנתונה גזירה אינסוף פעמים ולכן גם רציפה בכל
התחום ∞ < , −∞ < xבנקודה x = 2היא וכל נגזרותיה מתאפסות ,ו נקודה זו היא נקודת קיצון
)מינימום( של ) . f ( x
ב.
נגדיר:
1
−
( x − 2 ) ⋅ e ( x − 2 )2 , x ≠ 2
f ( x) =
x=2
0,
גם פונקציה זו גזירה אינסוף פעמים בכל נקודה בתחום ∞ < , −∞ < xוכל נגזרותיה בנקודה x = 2שוות
ל) 0-למסקנה זו מגיעים באותה דרך שצוינה ב -א'( .היות ו f ′ ( 2 ) = 0 -המשיק לגרף של הפונקציה
בנקודה ) ( 2, 0הוא ציר ה . x -אם , x > 2אז , f ( x ) > 0וגרף הפונקציה נמצא מעל למשיק .אם
, x < 2אז , f ( x ) < 0והגרף נמצא מתחת למשיק .כלומר בנקודה x = 2הגרף עובר מצד אחד של
המשיק לצידו השני .בכך הוכח כי x = 2היא נקודת פיתול של הפונקציה שהוגדרה בסעיף ב'.
.85הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xבעלת אינסוף נקודות פיתול בהן הנגזרת השנייה ) f ′′ ( xאינה
קיימת.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות:
. f ( x ) = 3 sin x
בכל נקודה , x = kπכאשר , k = 0, ±1, ±2, ±3,...לגרף של הפונקציה יש משיק המקביל לציר ה, y -
משיקים אלה חסרי שיפוע ,וזה מעיד שהנגזרת הראשונה ) f ′ ( xבנקודות אלה אינה קיימת ,וזה גורר את
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 61אי-קיום הנגזרת השנייה ) f ′′ ( xבהן .יחד עם זאת גרף הפונקציה בנקודות ) ( kπ , 0עובר מצד אחד של
המשיק לצידו השני .לכן כל הנקודות האלה הן נקודת פיתול של ) . f ( x
.86הבא דוגמה של פונקציה אשר מוגדרת ורציפה בכל ציר ה , x -יש לא אינסוף נקודות פיתול בהן
הנגזרת השנייה מתאפסת ואינסוף נקודות קיצון בהן הנגזרת השנייה לא קיימת.
פתרון
דוגמה מתאימה היא . f ( x ) = sin 3 x ⋅ 3 cos xפונקציה זו מוגדרת לכל xממשי ובהיותה פונקציה
אלמנטרית ,רציפה לכל xממשי .יש לה אינסוף נקודות פיתול .נקודות אלה הן נקודות ההתאפסות של
פונקציות sin xו , cos x -כלומר x = π kו+ kπ -
π
2
= xכאשר . k = 0, ±1, ±2, ±3,...בכל נקודה
) ( π k , 0גרף הפונקציה f ( x ) = sin 3 x ⋅ 3 cos xמשיק לציר ה x -ומתקיים:
. f (π k ) = f ′ (π k ) = f ′′ (π k ) = 0
π
בכל נקודה + kπ , 0 גרף הפונקציה f ( x ) = sin 3 x ⋅ 3 cos xמשיק לישר המקביל לציר הy -
2
π
והנגזרת + kπ
2
f ′′ אינה קיימת.
.87הבא דוגמה של פונקציה ) f ( xאשר בתחום הגדרתה משנה את כיוון הקעירות שלה פעמיים
ובכל זאת אין לה אף נקודת פיתול.
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא
1
)x ( x − 1
= ). f ( x
הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל אחד מהתחומים x > 1 , x < 0וקעורה כלפי מטה בתחום . 0 < x < 1
בכל זאת הנקודות x = 0, x = 1אינן נקודות פיתול כי הפונקציה אינה רציפה בנקודות אלה .ההגדרה של
נקודת פיתול של פונקציה כוללת דרישה של רציפותה בנקודה זו.
.88חקור :מהו האופי של הנקודה x = 0בפונקציה f ( x ) = n xכאשר nמספר טבעי כלשהו
הגדול מ?1-
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 62פתרון
תוצאות החקירה:
הנקודה x = 0היא נקודת מינימום מוחלט של . f ( x ) = n xבנקודה זו הפונקציה אינה גזירה ,אבל
לגרף שלה יש משיק אנכי ) x = 0ר' תרגיל .(49בכל נקודה x ≠ 0הפונקציה גזירה אינסוף פעמים .
היות והפונקציה הנתונה
1
n
f ( x ) = xהיא פונקציה זוגית בכל התחום ∞ < , −∞ < xהנגזרת השנייה
השנייה גם היא זוגית בתחום שלה ∞ < −∞ < x < 0 ∪ 0 < xותבניתה היא :
1 −2
11 n
. f ′′ ( x ) = − 1 xמכאן f ′′ ( x ) < 0 ,לכל x ≠ 0ולכן הפונקציה x
nn
f ( x ) = nקעורה כלפי
מטה הן מימין הן משמאל לנקודה . x = 0לכן נקודה זו אינה נקודת פיתול של הפונקציה.
כפי שכבר צוין ,נקודה זו היא נקודת קיצון מוחלט של הפונקציה הנתונה בה הגרף שלה משיק לציר הy -
)"נקודת חוד"(.
.89נתונה משפחת פונקציות f ( x ) = x n e − mxכאשר n = 2k + 1מספר טבעי אי-זוגי ו m -מספר
טבעי כלשהו.
הוכח :לכל פונקציה במשפחה יש נקודת קיצון מקומי אחת ושלוש נקודות פיתול .מהו סוג הקיצון?
פתרון
נציין כי כל פונקציה במשפחה הנתונה מוגדרת בכל התחום ∞ < . −∞ < xהנגזרות הראשונה והשנייה
של הפונקציה f ( x ) = x n e − mxהן:
) , f ′ ( x ) = x n −1e − mx ( n − mx
) ). f ′′ ( x ) = x n − 2 e − mx ( m 2 x 2 − 2nmx + n ( n − 1
היות ולפי הנתון ,המספר n − 1
הוא מספר זוגי ,הנגזרת הראשונה מתאפסת ומחליפה סימן מחיובי
n
n
לשלילי בנקודה יחידה
= ) xבנקודה x = 0אין החלפת סימן( .מכאן נובע כי הנקודה
m
m
נקודת הקיצון המקומי היחידה של כל פונקציה , f ( x ) = x n e − mxוהקיצון הוא מקסימום.
נקודות הפיתול של f ( x ) = x n e − mxנמצאות בין פתרונות המשוואה
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
= xהיא
- 63⇔ f ′′ ( x ) = x n − 2 e− mx ( m 2 x 2 − 2nmx + n ( n − 1) ) = 0
⇔ x = 0 ∨ m 2 x 2 − 2nmx + n ( n − 1) = 0
nm ± m 2 n n ± n
=
m2
m
=
)− m 2 n ( n − 1
2
) ( nm
nm ±
m2
= x = 0, x
n± n
קל לראות שהנגזרת השנייה ) f ′′ ( xמחליפה סימן בכל אחת מהנקודות
m
= xוגם בנקודה
) x = 0היות ולפי הנתון n − 2הוא מספר אי-זוגי( .לכן שלוש נקודות אלה הן ורק הן נקודות הפיתול של
הפונקציה . f ( x ) = x n e − mx
הגרף הממוחשב של בת המשפחה f ( x ) = x 3e−2 x
) ( n = 3, m = 2
תואם את תוצאות החקירה לעיל .בגרף רואים שלוש נקודות פיתול P1 , P2 , P3עם שיעורי ה x -בהתאם:
3± 3
2
3
2
3
2
= x = 0, xונקודת קיצון ,שהוא מקסימום מוחלט. M , f ,
.90מצא עקמומיות של הגרף y = cos xבכל נקודת קיצון ובכל נקודת פיתול.
פתרון
הנוסחה לחישוב העקמומיות של הגרף ) y = f ( xהיא
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 64 -
) f ′′ ( x
3
2
)
)( x
2
(
= .K
1+ f ′
נקודות הקיצון של f ( x ) = cos xהן , x = kπכאשר kמספר שלם כלשהו .בנקודות אלה מתקיים:
f ′ ( x ) x = kπ = − sin x x = kπ = − sin kπ = 0
f ′′ ( x ) x = kπ = − cos x x = kπ = − cos kπ = ±1
לכן ,העקמומיות של הגרף y = cos xבנקודות קיצון היא ,על פי הנוסחה לעיל. K = 1 ,
נקודות הפיתול של f ( x ) = cos xהן + kπ
π
2
= , xכאשר kמספר שלם כלשהו .בנקודות אלה
π
f ′ ( x ) x = π + kπ = − sin x x = π + kπ = − sin + kπ = ±1
2
2
2
π
f ′′ ( x ) x = π + kπ = − cos x x = π + kπ = − cos + kπ = 0
2
2
2
לכן ,העקמומיות של הגרף y = cos xבנקודות פיתול היא ,על פי הנוסחה לעיל. K = 0 ,
תרגילים בנושא "פונקציה קדומה"
.91מצא את הפונקציה הקדומה ) F ( xלפונקציה
sin x, − π ≤ x ≤ 0
π
f ( x ) = x,
≤0< x
2
π
π
< x ≤π
2 ,
2
המקיימת את התנאי . F ( 0 ) = −2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 65פתרון
הפונקציה המבוקשת היא
− cos x + C1, − π ≤ x ≤ 0
2
π
x
≤0<x
F ( x ) = + C2 ,
2
2
π
π
< x ≤π
2 x + C3 ,
2
כאשר Ckהם מספרים קבועים .מתנאי ההתחלה F ( 0 ) = −2נובע כי . C1 = −1לפי הגדרה
הפונקציה הקדומה ) F ( xשל הפונקציה הנתונה ) f ( xמקיימת את התנאי F ′ ( x ) = f ( x ) :לכל
] . x ∈ [ −π , πמכאן נובע כי ) F ( xגזירה בקטע ] [ −π , πולכן היא רציפה בקטע זה .על פי תנאי
הרציפות של ) F ( xבנקודות הפיצול מקבלים:
) (
) (
C2 = −2
⇒
π − π 2
π + π 2
π2
= + C2 = F
+ C3 C3 = −2 −
= F
8
2 8
2 4
F 0− = C1 − 1 = F 0+ = C2
−π ≤ x ≤ 0
π
2
≤0< x
< x ≤π
π
2
− cos x − 1,
2
x
⇒ F ( x ) = − 2,
2
π
π2
2
,
x
−
−
8
2
.92האם לפונקציה f ( x ) = sin xיש פונקציה קדומה ) ? F ( xאם כן-מהי?
פתרון
הפונקציה f ( x ) = sin xהיא פונקציה רציפה בכל התחום ∞ < . −∞ < xלכן יש לה אינסוף פונקציות
קדומות בתחום זה .ניתן להציג את ) f ( xבצורה הבאה:
2kπ ≤ x < ( 2k + 1) π
( 2k + 1) π ≤ x < ( 2k + 2 ) π
sin x,
f ( x) =
− sin x,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 66כאשר . k = 0, ±1, ±2,...הפונקציה
)( k = 0, ±1, ±2,...
2kπ ≤ x < ( 2k + 1) π
( 2k + 1) π ≤ x < ( 2k + 2 ) π
− cos x,
F ( x) =
2 + cos x,
מוגדרת וגזירה בכל התחום ∞ < −∞ < xולכל xבתחום זה מתקיים . F ′ ( x ) = f ( x ) :לכן ) F ( x
היא פונקציה קדומה ל . f ( x ) -כלל הפונקציות הקדומות עבור ) f ( xהוא , F ( x ) + Cכאשר Cקבוע
שרירותי.
.93האם הפונקציה F ( x ) = sin xיכולה לשמש פונקציה קדומה לפונקציה ) f ( xכלשהי בתחום
∞ < ? −∞ < xאם כן ,מהי ) ? f ( xאם לא ,מדוע?
פתרון
הפונקציה F ( x ) = sin xאינה גזירה באינסוף נקודות
)( k = 0, ±1, ±2,...
. x = kπ
לכן פונקציה זו אינה יכולה לשמש פונקציה קדומה לאף פונקציה המוגדרת בתחום ∞ < . −∞ < x
.94מצא את כל הפונקציות הקדומות ל-
−1, x < 0
x>0
1,
. f ( x) =
פתרון
ל f ( x ) -יש אינסוף פונקציות קדומות והן
− x + C1 , x < 0
x>0
x + C2 ,
, F ( x) =
כאשר C1 , C2קבועים שרירותיים בלתי תלויים זה בזה.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 67 -
.95האם קיימת פונקציה קדומה ל-
−1, x ≤ 0
f ( x) =
x>0
1,
אם כן ,מהי? אם לא ,מדוע?
פתרון
הפונקציה הנתונה ) f ( xמוגדרת בכל התחום ∞ < . −∞ < xאם ) F ( xפונקציה מוגדרת ורציפה בכל
התחום עם F ′ ( x ) = 1עבור x > 0ו F ′ ( x ) = −1 -עבור , x > 0אז בהכרח . F ( x ) = x + Cאבל
פונקציה זו אינה גזירה בנקודה x = 0ולכן השוויון F ′ ( 0 ) = f ( 0 ) = 1בלתי אפשרי .לכן אין פונקציה
קדומה לפונקציה הנתונה.
.96האם הפונקציה ) F ( xאשר מוגדרת לכל x ∈ ℝומקבלת רק שני ערכים 1ו ( −1) -יכולה
לשמש פונקציה קדומה לפונקציה ) f ( xכלשהי ב ? ℝ -נמק את תשובתך.
פתרון
כידוע פונקציה אשר רציפה בתחום קשיר חייבת לקבל כל ערך ביניים בין כל שני ערכיה .מכאן נובע כי
פונקציה אשר מקבלת רק שני ערכים בתחום ∞ < −∞ < xבהכרח אינה פונקציה רציפה בתחום זה.
היות ופונקציה קדומה היא פונקציה גזירה ולכן בהכרח פונקציה רציפה ,מהנ"ל נובע כי פונקציה ) F ( x
אשר מקבלת רק שני ערכים ב ℝ -אינה יכולה לשמש פונקציה קדומה לאף פונקציה ) f ( xב. ℝ -
cos x
.97מצא את כל הפונקציות הקדומות לפונקציה
sin x
= ). f ( x
פתרון
הפונקציה הנתונה מוגדרת באיחוד הקטעים
)
(
2kπ , ( 2k + 1) πכאשר . k = 0, ±1, ±2,...בתחום זה
יש לה אינסוף פונקציות קדומות
2π k < x < ( 2k + 1) π , k = 0, ±1, ±2,...
כאשר
Ckמסמן קבוע שרירותי בקטע )
F ( x ) = 2 sin x + Ck ,
(
2kπ , ( 2k + 1) πוקבועים אלה בקטעים שונים אינם תלויים זה
בזה.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 68 -
.98מצא את כל הפונקציות הקדומות לפונקציה x − 1
= ). f ( x
פתרון
הפונקציה מוגדרת בתחום . x ≥ 1בתחום זה
− x − 1, x ≤ −1
f ( x) =
x − 1, x ≥ 1
זאת פונקציה מפוצלת כי היא מתוארת על ידי שתי נוסחאות בשני קטעים,אבל הקטעים אינם צמודים זה
לזה .במצב זה ,היות והפונקציה הנתונה רציפה בכל אחד מקטעים אלה ,היא רציפה בכל נקודה
בתחומה .לכן קיימות לה אינסוף פונקציות קדומות המתוארות על ידי הנוסחה המפוצלת הבאה
x ≤ −1
x ≥1
3
2
− 3 ( − x − 1) + C1 ,
F ( x) =
2 ( x − 1)3 + C ,
2
3
כאשר C1, C2קבועים שרירותיים שאינם תלויים זה בזה.
.99מצא את כל הפונקציה הקדומות לפונקציה
x, x ≤ 1
2 x − 1, x > 1
. f ( x) =
פתרון
הפונקציה הנתונה מוגדרת ורציפה בתחום ∞ < . −∞ < x
לכן יש לה אינסוף פונקציות קדומות בתחום זה ,מן הצורה
x2
+ C1 , x ≤ 1
F ( x) = 2
x2 − x + C , x > 1
2
כאשר C2 , C1מספרים קבועים .היות ו F ( x ) -חייבת להיות רציפה בנקודה , x = 1יש לקיים את
1
1
או
התנאי+ C1 = 1 − 1 + C2 :
2
2
. C2 = C1 +לכן
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 69 x2
+ C1 , x ≤ 1
F ( x) = 2
x2 − x + C + 1 , x > 1
1
2
או
x2
, x ≤ 1
F ( x) = C + 2
x2 − x + 1 , x > 1
2
כאשר Cקבוע שרירותי.
.100
תהי ) f ( x ) = x החלק השלם של .( x
א.מצא את כל הפונקציות ) F ( xאשר מוגדרות ורציפות בכל התחום ∞ < −∞ < xומקיימות את
התנאי F ′ ( x ) = f ( x ) :לכל xממשי שאינו שלם.
ב .הראה כי ל f ( x ) = x -לא קיימת פונקציה קדומה באף קטע המכיל בתוכו )בתור נקודה
פנימית( ערך שלם של . x
פתרון
א .הפונקציה הנתונה מתוארת על ידי הנוסחאות:
. f ( x ) = n, n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...
הפונקציה המבוקשת היא
F ( x ) = nx + Cn , n < x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...
כאשר Cnהם מספרים קבועים .פונקציה זו תהיה רציפה ב , ℝ -אם יתקיים:
) (
) (
, F n + = F n − , n = 0, ±1, ±2, ±3,...
כלומר
. n 2 + Cn = ( n − 1) n + Cn −1 ⇒ Cn − Cn −1 = −n, n = 0, ±1, ±2,...
מכאן נובע כי
n = 0, ±1, ±2, ±3,...
)n ( n + 1
,
2
Cn = C0 − 1 − 2 − ... − n = C0 −
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 70כאשר C0מספר קבוע כלשהו.
לכן,
)n ( n + 1
+ C , n ≤ x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...
2
, F ( x ) = nx −
כאשר Cקבוע שרירותי שאינו תלוי ב . n -מהגדרה זו של פונקציות ) F ( xנובע כי
F ′ ( x ) = n, n < x < n + 1, n = 0, ±1, ±2, ±3,...
כלומר ) F ( xשתוארו לעיל הן הפונקציות המבוקשות בסעיף א'.
ב .אם ל f ( x ) = x -בקטע ) ( a, bיש פונקציה קדומה היא בהכרח נמצאת במשפחת פונקציות
) F ( xדלעיל בקטע זה .אבל לערכים שלמים של xהנגזרת ) F ′ ( xאינה קיימת כי
. F+′ ( n ) = n ≠ F−′ ( n ) = n − 1לכן ) F ( xאינה פונקציה קדומה ל f ( x ) = x -בכל תחום המכיל
בתוכו ערך שלם של . xאבל היא קדומה ל f ( x ) = x -בכל קטע ) ( n, n + 1כאשר nמספר שלם
כלשהו ובכל איחוד של קטעים כאלה .לכן ניתן לקרוא ל F ( x ) -פונקציה קדומה למקוטעין של
f ( x ) = x ב. ℝ -
.101
הבא דוגמא של פונקציה ) f ( xאשר מוגדרת לכל xממשי ,אי -רציפה בנקודה x = 0ועבורה
כן קיימת פונקציה ) F ( xהקדומה ל f ( x ) -בכל ה. ℝ -
פתרון
נגדיר:
2
1
x sin , x ≠ 0
F ( x) =
x
0,
x=0
1
x
פונקציה x 2 sin רציפה וגזירה אינסוף פעמים בכל נקודה . x ≠ 0בנקודה x = 0היא רציפה כי:
1
x
) . lim x 2 sin = 0 = f ( 0
x→0
היא גם גזירה ,פעם אחת לפחות ,בנקודה x = 0כי קיימת
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 71 -
1
x 2 sin
x = lim x sin 1 = 0
= lim
x →0
x →0
x
x
)f ( x) − f (0
x−0
F ′ ( 0 ) = lim
x →0
מתוצאה זו והגדרת ) F ( xנובע כי:
1
1
2 x sin − cos , x ≠ 0
. F′( x) =
x
x
0,
x=0
אם נגדיר
1
1
2 x sin − cos , x ≠ 0
f ( x) =
x
x
0,
x=0
נוכל להסיק מהתיאור של ) F ′ ( xדלעיל כי
) F ′ ( x ) = f ( xלכל xממשי ,כלומר ) F ( xהיא פונקציה קדומה ל f ( x ) -בכל ה . ℝ -הפונקציה
) f ( xרציפה בכל נקודה x ≠ 0ולא רציפה בנקודה x = 0כי הגבול ) lim f ( xאינו קיים .אי-קיום
x→0
1
x
גבול זה בא בעקבות כך שהערך של cos בתבנית של ) f ( xמתנודד אינסופית בין ) (-1ו ,1-ללא
שאיפות לאף גבול ,כאשר . x → 0בכך ,הפונקציה ) f ( xהיא פונקציה מבוקשת ,דהיינו פונקציה אי-
רציפה בעלת פונקציה קדומה ב. ℝ -
תרגילים בנושא "אינטגרל בלתי מסוים"
.102
תהיינה ) f ( x ) , g ( xשתי פונקציות רציפות בקטע . a ≤ x ≤ bהוכח כי לפונקציות אלה יש
אותו אינטגרל בלתי מסוים אם ורק אם ) f ( x ) = g ( xלכל ] . x ∈ [ a, b
פתרון
לפי הגדרה ,אינטגרל בלתי מסוים של פונקציה הוא אוסף של כל הפונקציות הקדומות שלה ,בפרט,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 72 -
2
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , ∫ g ( x )dx = G ( x ) + C
1
,
כאשר ) G ( x ) , F ( xהן פונקציות קדומות ל g ( x ) , f ( x ) -בהתאמה C1 , C2 ,קבועים שרירותיים,
בלתי תלויים .מכאן נובע כי
∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x )dx
⇕
] ∀x ∈ [ a, b
F ( x ) = G ( x ) + C,
⇕
] ∀x ∈ [ a, b
F ′ ( x ) = G′ ( x ) ,
⇕
] ∀x ∈ [ a, b
.103
f ( x) = g ( x),
על סמך ההגדרה של אינטגרל בלתי מסוים:
∫
א .הוכח כי . ln xdx = x ln x − x + C
∫
ב .מצא את . ln x dx
פתרון
א.
1
על סמך חוקי הגזירה מוצאים שלכל x > 0מתקיים− 1 + 0 = ln x :
x
⋅ . ( x ln x − x + C )′ = ln x + x
מכאן ,לפי הגדרה ,הפונקציה F ( x ) = x ln x − x + Cהיא פונקציה קדומה של
f ( x ) = ln xבתחום . x > 0מכאן ,לפי ההגדרה של אינטגרל בלתי מסוים נובע כי
∫
. ln xdx = x ln x − x + C
ב.
אם
x >1
0 < x <1
ln x,
f ( x ) = ln x =
− ln x,
אז פונקציה קדומה של ) f ( xהיא
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 73 x ln x − x,
F ( x) =
− x ln x + x − 2,
x ≥1
0 < x <1
כאשר הוספת המספר ) (-2בשורה השנייה נועדה להבטיח רציפות של ) F ( xבנקודה . x = 1
נציג את ) F ( xבצורה הבאה:
x ln x − ( x − 1) − 1,
x ⋅ ( − ln x ) + ( x − 1) − 1,
x ≥1
. F ( x) =
0 < x <1
את התבנית המפוצלת הזאת שקולה לתבנית
F ( x ) = x ln x − x − 1 − 1 ,
x>0
מכאן ,לפי ההגדרה של אינטגרל בלתי מסוים ,מסיקים כי
∫
, ln x dx = x ln x − x − 1 + C
כאשר Cמספר קבוע שרירותי )המספר ) ( −1כלול בו(.
.104
מצא את האינטגרל
∫ f ( x )dx
כאשר
x≤0
x>0
2 x ,
1 − x,
. f ( x) =
פתרון
) (
) (
הפונקציה הנתונה רציפה לכל xממשי כי ) . f 0+ = f 0− = 1 = f ( 0לכן ל f ( x ) -יש פונקציה
קדומה .למשל הפונקציה
2x
,
x ≤ 0,
F ( x ) = ln 2
1
x2
x
−
+
, x>0
2 ln 2
פונקציה קדומה ל , f ( x ) -כי ) F ( xרציפה ו F ′ ( x ) = f ( x ) -לכל xכולל . x = 0
לפי הגדרה,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 74 -
x≤0
x>0
.105
2x
+ C,
f ( x )dx = F ( x ) + C = ln 2
1
x2
x
−
+
+ C,
2 ln 2
2
x
האם האינטגרל ∫ e dx
∫
קיים? אם כן ,איך ניתן להציגו?
פתרון
הפונקציה
2
f ( x ) = e xרציפה בתחום ∞ < . −∞ < xלפי משפט היסוד של חשבון אינטגרלי לכל
פונקציה אשר רציפה בקטע או קרן יש בתחום זה פונקציה קדומה .לכן לפונקציה f ( x ) = e xיש
2
פונקציה קדומה ) . F ( xהבעיה היא בכך שפונקציה זו אינה פונקציה אלמנטרית ולא ניתן להציגה על ידי
תבנית המכילה מספר סופי של פונקציות אלמנטאריות .ניתן לראות אותה בדרך אחרת .נסמן בS ( x ) -
2
את שטח התחום שמתחת לגרף y = e xומעל לקטע בציר ה x -בין 0ו) x -ר' איור( .נציין כי
הפונקציה ) S ( xמוגדרת לכל xממשי ,זוגית ,כלומר ) S ( x ) = S ( − xו . S ( 0 ) = 0 -קיימות טבלאות
של ערכי הפונקציה ) S ( xהמחושבים בדרך נומרית.
על פי המשפט בחשבון אינטגרלי על הנגזרת
של שטח משתנה מתחת לגרף של פונקציה,
מתקיים:
2
S ′ ( x ) = f ( x ) = e xלכל . x ≥ 0
בכך הפונקציה ) S ( xהיא פונקציה קדומה
ל f ( x ) = e x -בתחום , x ≥ 0והפונקציה
2
הקדומה בכל התחום ∞ < −∞ < xהיא:
x≥0
x<0
S ( x ) ,
F ( x) =
− S ( x ) ,
בכך הוכח כי לפונקציה f ( x ) = e xקיימת פונקציה קדומה ולכן קיים עבורה אינטגרל מסוים
2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 75dx = F ( x ) + C
.106
x2
∫e
כאשר Cקבוע שרירותי ו F ( x ) -היא פונקציה שתוארה לעיל.
מצא את האינטגרלים הבאים:
א, xe − x dx .
2
∫
∫
ב, sin 5 x ⋅ cos xdx .
גdx .
x3
∫
x4 + 1
.
פתרון
בכל מקרה נציג פונקציה שמתחת לאינטגרל דרך נגזרת של פונקציה מורכבת ונשתמש בשוויון הנובע
מהגדרת האינטגרל ה בלתי מסוים:
∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) + C
.
א.
) (
1
1 − x2
− x2 ′
e
dx
=
−
e +C
∫2
2
. xe − x dx = −
2
∫
ב.
(
)
1
1
′
sin 6 x dx = sin 6 x + C
∫
6
6
)
′
1 4
= x 4 + 1 dx
x +1 + C
2
ג.
.107
∫
= , sin 5 x ⋅ cos xdx
(
1
∫2
= dx
x3
x4 + 1
∫
.
על סמך המשפט על אינטגרל בלתי מסוים של ) , f ( ax + bמצא
א , ∫ ( 2 x − 7 ) dx .בdx .
1
10
+1
2
) ( 5 − 3x
∫
,
ג. 3 (1 − 7x )dx .
∫
פתרון
לפי המשפט הנ"ל ,אם a, bמספרים קבועים ממשיים כלשהם ו a ≠ 0 -אז
1
∫ f ( ax + b ) dx = a F ( ax + b ) + C
⇒
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
א.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 7611
)2x − 7
(
= dx
+C
22
x11
x
dx
=
⇒ +C
∫
11
)∫ (2x − 7
10
10
ב.
dx
1
( 5 − 3x )2 + 1
∫
⇒ dx = ln x + x 2 + 1 + C
( 3 x − 5 )2 + 1 + C
1
∫
2
x +1
1
1
dx = ln 3x − 5 +
3
( 3 x − 5 )2 + 1
∫=
ג.
4
3
⇒ xdx = x 3 + C
4
∫ 3 (1 − 7 x )dx = − ∫ 3 ( 7 x − 1)dx
4
3
∫
4
3
3
1 3
3
= − ⋅ ( 7 x − 1) + C = − ( 7 x − 1) + C
7 4
28
תרגילים בנושא "אינטגרל מסוים "
חשב את ערכי האינטגרלים הבאים על פי הגדרתם באמצעות פונקציה קדומה:
.108
)
3
א− 1 dx .
2
1
2
∫(x
e
1
, ∫
ב− x dx .
x
1
,
0
גdx .
2
π
) ∫ ( cos x + sin x
0
פתרון
האינטגרל המסוים בגבולות a, bמאת פונקציה ) , f ( xבעלת פונקציה קדומה ) F ( xהוא מספר
המחושב לפי הנוסחה:
) = F (b ) − F ( a
b
a
b
) ∫ f ( x ) dx = F ( x
a
)הידועה בשם "נוסחת ניוטון-לייבניץ"( .על פי נוסחה זו מחשבים:
א.
1
x7 3
1 3
16
x − 3 x + 3x − 1 dx = − x5 + x3 − x = − + 1 − 1 = −
7 5
35
0 7 5
)
2
4
6
(
1
3
)
∫ = − 1 dx
0
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
1
2
∫(x
0
- 77ב.
2
e
e
4
x3
1
1
2
−
x
dx
=
−
2
x
+
x
dx
=
ln
x
−
x
x
+
∫ x
∫ x
3
3
1
1
1
e
e3
4
4 e3 1
4
= 1− e e + + − = 2 − e e +
3
3 3 3
3
3
ג.
π
π
π
0
0
2
2
2
∫ ( cos x + sin x ) dx = ∫ ( cos x + sin x + 2sin x cos x )dx = ∫ (1 + sin 2 x ) dx
0
π
1
1
1
1 1
= x − cos 2 x = π − cos
π − 0 − cos
2
0 = π − + = π
2
2 1
2 1
2 2
0
2
.109
על סמך תכונת האדפטיביות של אינטגרל מסוים חשב את האינטגרל
∫ x dx
כאשר x
−2
מסמן את הערך השלם של . x
פתרון
על פי התכונה הנ"ל והגדרת הפונקציה x מוצאים:
1
2
x dx + ∫ x dx + ∫ x dx
0
1
−1
0
∫
x dx +
−1
∫
2
= x dx
−2
∫
−2
2
1
0
−1
1
0
−1
−2
∫ ( −2 ) dx + ∫ ( −1) dx + ∫ 0 ⋅ dx + ∫ 1⋅ dx = −2 − 1 + 1 = −2
=
הערה
ניזכר ,כי הפונקציה x בקטע ] [ −2, 2אינה רציפה ולא קיימת עבורה פונקציה קדומה )ר' תרגיל 100
ב'( ,אבל זה לא מונע קיום של אינטגרל מסוים מעל קטע זה ואפשרות לחשב אותו כפי שנעשה לעיל.
.110
נתון כי פונקציה ) f ( xרציפה לכל xממשי ומתקיים:
x
∫ f ( t ) dt
= . ∀x ∈ ℝ , sin 2 3 x
0
מצא את ) . f ( x
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 78פתרון
מהנתון נובע כי
x
′
. ∀x ∈ ℝ , sin 3 x = ∫ f ( t ) dt
0
)
′
(
2
מכאן על פי המשפט על הנגזרת של אינטגרל מסוים עם גבול עליון משתנה וכלל השרשרת מקבלים:
) , ∀x ∈ ℝ , 2sin 3 x ⋅ cos 3 x ⋅ 3 = f ( x
כלומר f ( x ) = 3sin 6 x ,לכל xממשי.
.111
תהי ) f ( xפונקציה חיובית,רציפה ועולה בתחום
הפונקציה בקטע ][0,x
. x≥ 0
יהי ) S ( xהשטח מתחת לגרף של
כלומר,
x
S ( x) = ∫ f ( t )dt
0
עבור כל אחד מהמקרים א'-ג' להלן נא לחקור אם הוא ייתכן .אם כן ,הבא דוגמה מתאימה .אם
לא ,הסבר מדוע.
א= ∞ .
)S ( x
)f ( x
ב= c ≠ 0 .
ג= 0 .
, lim
∞→x
)S ( x
)f ( x
)S ( x
)f ( x
, limכאשר c
∞→x
מספר קבוע,
. lim
∞→x
פתרון
א.
מקרה זה ייתכן .למשל ,אם f ( x) = x2
אז
x3
3
x
x
= S ( x) = ∫ f ( t ) dt = ∫t2dt
0
ו-
0
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 79 -
1 3
x
1
)S ( x
3
= lim
=
∞= lim x
. lim
2
)x→∞ f ( x
x→∞ x
∞→3 x
x
ב.
x
x
0
0
מקרה זה גם ייתכן .למשל ,אם f ( x) = exאז S ( x) = ∫ f ( t ) dt = ∫ etdt = et = ex −1
0
ומתקיים:
1
= lim 1− x =1
x→∞
e
ex −1
x
e
= lim
∞→x
)S ( x
)f ( x
2
ג .אולי קשה לצפות למקרה כזה ,אבל גם הוא ייתכן .למשל ,אם
. lim
∞→x
x
f ( t ) = etאז S ( x) = ∫ et dt
2
0
ובעזרת כלל לופיטל לחישוב גבולות ומשפט על גזירת אינטגרל עם גבול עליון משתנה ,מקבלים:
x ( t 2 ) ′
∫ e dt
) ( x2
1
e
0
= lim
= lim
= lim
=0
2
∞→x
) x →∞ ( x
x →∞ 2 x
′
2
(x )
e
⋅ 2x
e
) (t 2
e dt
) ( x2
x
∫
0
e
= lim
∞→ x
)S ( x
)f ( x
נתונה הפונקציה
.112
x 2 ,
2 − x,
0 ≤ x ≤1
1< x ≤ 2
. f ( x) =
מצא את הממוצע האינטגרלי של פונקציה זו ואת הנקודות בהן הפונקציה
מקבלת ערך זה.
פתרון
לפי הגדרה ,הממוצע האינטגרלי של ) f ( xבקטע a ≤ x ≤ bהינו מספר
b
∫ f ( x ) dx
a
b−a
= .µ
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
. lim
∞→x
- 80לפי הנתון . b = 2, a = 0על סמך תכונת האדפטיביות של אינטגרל מסוים ,מוצאים:
1 1 5
= = +
3 2 6
2 2
1
)( x − 2
x3
= . ∫ f ( x ) dx = ∫ x 2 dx + ∫ ( 2 − x ) dx
−
3 0
2
0
0
1
1
2
5
מכאן ,הממוצע האינטגרלי של הפונקציה הנתונה הוא
12
5
19
= xו-
נקודות:
12
12
.113
2
1
= . µערך זה הפונקציה מקבלת בשתי
=.x
מצא ממוצע אינטגרלי של הפונקציה f ( x ) = ln xבקטע 1 ≤ x ≤ eואת
הנקודה בה הפונקציה מקבלת ערך זה.
פתרון
לפי הגדרה ,מוצאים:
b
e
0
1
1
e ln e − e − ln1 + 1
=
=
e −1
e −1
e
) ∫ f ( x ) dx ∫ ln xdx ( x ln x − x
= .µ
=
=
1
1
e −1
e −1
1
הנקודה xבה מתקבל ערך זה מקיימת את המשוואה:
e −1
.114
a
b−a
= . ln xמכאן:
1
e −1
x=e
הוכח כי הממוצע האינטגרלי של כל פונקציה אי-זוגית רציפה בקטע ] [ −a, a
הוא בהכרח .0
פתרון
לפי הגדרה
a
0
=0
2a
.115
=
b
∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx
−a
) a − ( −a
=
a
b−a
= .µ
הבא דוגמה של פונקציה פולינומיאלית זוגית לא קבועה אשר הממוצע האינטגרלי שלה בקטע
] [ −1,1הוא .0באילו נקודות בקטע ] [ −1,1הפונקציה מקבלת את הערך של הממוצע
האינטגרלי?
פתרון
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא . f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 2אכן,
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 81 -
1
= ∫ ( 5 x 4 − 3 x 2 ) dx = ( x 5 − x 3 ) = 1 − 1 = 0
1
− 3 x 2 ) dx
1
4
∫ (5x
−1
2
0
0
f ( x ) dx
=
b
∫
a
b−a
= .µ
את ערך הממוצע האינטגרלי ) (0הפונקציה f ( x ) = 5 x 4 − 3 x 2מקבלת בשלוש נקודות בתוך הקטע
3
3
= , x = 0, x
]: [ −1,1
5
5
.x=−
פונקציות ) f ( xו g ( x ) -רציפות בתחום ∞ < −∞ < xומקיימות לכל xאת התנאים הבאים:
.116
א, f ( x ) + g ( x ) = x 4 .
ב, f ( x ) < g ( x ) .
ג .השטח המשתנה הכלוא בין הגרפים ) y = f ( xו y = g ( x ) -מעל לקטע בין 0ו x -הוא
. S ( x ) = x2
מה הן הפונקציות ) f ( xו? g ( x ) -
פתרון
מהתנאים ב' ,ג' נובע כי
x 2 , x ≥ 0
−
=
g
t
f
t
dt
(
)
(
)
) 2
( ∫0
− x , x < 0
x
.
על ידי גזירת שוויון זה לפי , xמקבלים:
x≥0
x<0
2 x,
−2 x,
. g ( x) − f ( x) =
או . g ( x ) − f ( x ) = 2 x
תוצאה זו ותנאי א' מביאים למערכת:
f ( x ) + g ( x ) = x 4
לכל . x ∈ ℝ
g ( x ) − f ( x ) = 2 x
x4
x4
מכאן− x , g ( x ) = + x ,
2
2
= ) f ( xלכל . x ∈ ℝ
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 82b
.117
2
הוכח :אם ) f ( xרציפה בקטע ] [ a, bו∫ f ( x ) dx = 0 -
אזי f ( x ) = 0לכל ] . x ∈ [ a, b
a
פתרון
b
2
אם ∫ f ( x ) dx = 0
a
אז f 2 ( t ) dt = 0
x
∫
לכל ] . x ∈ [ a, b
a
מתנאי זה נובע כי
x 2
′
∫ f ( t ) dt = 0לכל ] . x ∈ [ a, b
a
x
)(1
היות והפונקציה ) f ( xרציפה בכל נקודה xבקטע ] , [ a, bמתקיים:
x 2
′
) ∫ f ( t ) dt = f 2 ( xלכל ] . x ∈ [ a, b
a
x
)(2
מ (2) ,(1) -נובע כי f 2 ( x ) = 0לכל ] , x ∈ [ a, bומכאן f ( x ) = 0 ,לכל ] . x ∈ [ a, b
π
.118
חשב את האינטגרל sin 2x dx
∫
.
−π
פתרון
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 83 -
על פי צורת הגרף )ר' איור( והמשמעות הגיאומטרית של האינטגרל כשטח מתחת לגרף של פונקציה,
מסיקים כי:
π
−1
) cos 2 x 02 = −2 ( cos π − cos 0
2
π
π
2
2
0
0
⋅ sin 2 x dt = 4 ∫ sin 2 x dt = 4 ∫ sin 2 xdt = 4
π
∫
−π
= −2 ( −1 − 1) = 4
.119
חשב את האינטגרלים של הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות שלהלן:
π
2
אcos xdx .
∫
π
2
1
דdx .
x −4
בsin xdx .
,
2
2
∫
π
−
2
1
∫
π
π
,
הdx .
−1
,
7
) (1 + x
2
π
−
x13
∫
גsin 2 xdx .
2
1
∫
וdx .
,
−1
−x
,
−
1
∫e
.
−1
פתרון
א .על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל ,מחשבים:
π
π
π
cos xdx = 2 ∫ cos xdx = 2sin x 02 = 2 sin − sin 0 = 2(1 − 0) = 2
2
0
2
π
2
∫
π
2
.
−
ב .האינטגרל של פונקציה אי-זוגית בקטע סימטרי הוא .0לכן
π
2
∫ sin xdx = 0
π
2
.
−
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 84ג .על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל ,מחשבים:
π
1
− sin 2 x 02
2
π
π
= x 02
2
π
π
2
2
xdx = 2 ∫ sin xdx = ∫ (1 − cos 2 x ) dx
2
0
2
∫ sin
π
0
2
π
1
− sin
π − sin
= 0
2 2 0
2
0
π
−
=
ד .על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל ,מחשבים:
1
1
1
1
1
1
1
∫dx = 2
∫ dx = 2
) dx = 2 ⋅ ( ln x − 4
0
x −4
x −4
x−4
0
0
3
9
= ln
4
16
∫
−1
= 2 ⋅ ( ln 3 − ln 4 ) = 2 ⋅ ln
ה .האינטגרל של פונקציה אי-זוגית בקטע סימטרי הוא .0לכן
dx = 0
1
x13
7
)
(
1 + x2
∫
.
−1
ו .על פי הזוגיות של הפונקציה מתחת לאינטגרל ,מחשבים:
(
)
1
= 2 −e−1 + e0 = 2 1 −
e
)
1
0
1
(
dx = 2 ∫ e− x dx = 2 −e− x
0
−x
1
∫e
.
−1
10
.120
א .חשב sin 2013 xdx
∫
,
−10
ב .הבא דוגמה של פונקציה זוגית ) f ( xאשר
אינה זהה לאפס בקטע ] [ −a, a
זאת מתקיים:
a
∫ f ( x )dx = 0
.
−a
פתרון
א .הפונקציה מתחת לאינטגרל היא פונקציה אי-זוגית ותחום האינטגרציה הוא קטע
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 8510
סימטרי .לכןsin 2013 xdx = 0 :
∫
.
−10
ב.
אחת מאינסוף דוגמאות אפשריות היא x
2a
π − sin
sin
0 = 0
π 0
0
.121
a
= x
0
π
a
sin
2a
π
π
a
. f ( x ) = cosפונקציה זו היא פונקציה זוגית ו-
= xdx
1
π
a
a
xdx = 2 ∫ cos
0
π
a
a
cos
∫
a
= f ( x )dx
−a
∫
−a
a
חשב את הגבולdx :
∫
a →∞ x 2 + x
. lim
1
פתרון
קודם נחשב את האינטגרל:
a
a
a
a
1
1
1
∫ x 2 + x dx = ∫ ( x + 1) x dx = ∫ x − x + 1 dx = ( ln x − ln x + 1 )1
1
1
1
1
a
x
a
a
1
= ln
− ln = ln
+ ln 2
= ln
a +1
a +1
2
x + 1 1
a
כאשר ∞ → , aהשבר
a +1
שואף ל .1-לכן
1
a
dx = ln1
+ ln 2 = ln 2
∫
a →∞ x 2 + x
0
. lim
1
.122
מצא את שטח התחום הכלוא בין גרף הפונקציה ) y = ( x + 1) ( x 2 − 2 xוהקטע
−1 ≤ x ≤ 2של ציר . x
פתרון
התחום מורכב משני חלקים :אחד מעל לציר xוהשני מתחתיו ) ר' איור( .נזכור כי בחישוב השטח של
תחום הנמצא מתחת לציר xהאינטגרל מופיע עם סימן מינוס.
.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 86 -
מחשבים:
0
x4 x3
S1 = ∫ ( x + 1) ( x − 2 x )dx = ∫ ( x − x − 2 x )dx = − − x 2
4 3
−1
−1
−1
1 1 5
= = − + − 1
4 3 12
0
2
0
2
3
2
x 4 x3
8
8
= S 2 = − ∫ ( x − x − 2 x )dx = − − − x 2 = − 4 − − 4
3
3
4 3
0
0
2
2
5 8 37
1
= +
=3
12 3 12
12
3
= S = S1 + S2
הערה
אם היינו מחשבים את השטח המבוקש על ידי אינטגרל אחד מעל הקטע , −1 ≤ x ≤ 2היינו מקבלים
2
x 4 x3
8
1 1
S = ∫ ( x − x − 2 x )dx = − − x 2 = 4 − − 4 − + − 1
3
4 3
4 3
−1
−1
8 5
27
1
=− + =−
= −2
3 12
12
4
2
2
3
התשובה שהתקבלה חסרה משמעות כי גודל השטח אינו יכול להיות מספר שלילי ,ואף ערכו המוחלט של
המספר בתשובה אינו תואם את גודל השטח האמיתי.
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 87 -
.123יהי Dתחום הכלוא בין הפרבולה y = x 2והישר . y = 4חשב את שטח התחום בשתי
דרכים (1) : :על ידי הטלתו על ציר (2 ) , xעל ידי הטלתו על ציר . y
פתרון
דרך ראשונה :ההטלה על ציר הx -
בהטלת התחום על ציר ה x -מתקבל קטע . −2 ≤ x ≤ 2השטח המבוקש הוא הפרש בין שטח
הריבוע בגובה 4אשר צלעו התחתונה היא הקטע ] [ −2, 2על ציר ה x -ושטח התחום מעל לקטע
זה ומתחת לגרף . y = x 2בהתאם לכך מוצאים:
16 32
2
=
= 10
3
3
3
2
= 16 −
2
x3
. S = 16 − ∫ x dx = 16 −
3
−2
2
−2
דרך שנייה :ההטלה על ציר הy -
בהטלת התחום על ציר הy -
. 0 ≤ y ≤ 4נתייחס לx -
הגרף
y = x2
מתקבל קטע
כפונקציה של . yאז
מתפצל לשני ענפים:
x = − yוy -
= ) xר' איור( .בהתאם כל
התחום מתפצל לשני תחומים סימטריים בעלי
אותו שטח.
בהתאם לכך מקבלים:
4
2 3
4
32
2
= ydy = 2 ⋅ y 2 = ⋅ 8
= 10
3 0 3
3
3
4
∫ S = S1 + S 2 = 2S 2 = 2
0
בשתי הדרכים התקבלה אותה תשובה.
.124
מצא את שטח התחום החסום על ידי הקווים
)( 0 ≤ y ≤ 1
. y = ( x + 1) , x = sin π y, y = 0
2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 88 -
פתרון
נחשב שטח על ידי הטלת התחום על ציר ה . y -לשם כך נפתור את משוואת הפרבולה )y = ( x + 1
2
ביחס ל. x -נקבל . x = ± y − 1 :על אותו חלק הפרבולה אשר חוסם את התחום הנתון משמאל השיעור
xגדול מ) (-1)-ר' איור( ולכן יש לבחור עבורו סימן פלוס בפתרון עבור xשהתקבל לעיל ,כלומר
y −1
=x
= . xבכך ,התחום כלוא בין העקומים y − 1
( 0 ≤ y ≤ 1 ) x = sin π yוהקטע −1 ≤ x ≤ 0של ציר ה. x -
כפי שרואים בתמונה הגרפית ,התחום כולו מתפצל לשני חלקים -משמאל לציר ה y -ומימין לציר ה. y -
בחישוב השטח של החלק שמשמאל יש לשים סימן מינוס לפני האינטגרל ,כי השטח נמצא בתחום
. x < 0בכך מקבלים:
1
2
2 1
= 1 − y dy = y − y y = 1 −
3
3 3
0
)
(
1
)
∫ = y − 1 dy
0
(
1
∫ S1 = −
0
השטח של החלק הימני של התחום הוא:
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
- 891
1
1 1 2
1
= S 2 = ∫ sin π ydy = − cos π y = +
π
0 π π π
0
1 2
השטח המבוקש הוא+ :
3 π
= . S = S1 + S2
באיור להלן מוצג תחום Dאינסופי החסום על ידי הישר y = 1והעקום
.125
1
x
ב Db -תחום חלקי סופי הנחתך מ D -על ידי ישר . ( b > 1) y = bיהי ) S ( bשטח התחום
. Dbנגדיר שטח Sשל התחום תחום Dכגבול של השטחים ) S ( bכאשר ∞ → . b
הוכח כי בהגדרה כזו לתחום Dיש שטח Sסופי ומצא אותו.
פתרון
העקום
1
= yמורכב משני ענפים :
x
1
הענף הימני
x
=⇐y
1
והענף השמאלי
−x
1
y2
=x
1
=.x=− 2 ⇐ y
y
התחום Dbמורכב משני חלקים סימטריים ביחס
לציר ה y -ולפי כך ניתן לחשב את שטחו כמו
כפליים שטח של חלקו הימני בהטלתו על ציר ה: y -
b
b
1
1
∫. S ( b ) = 2
⋅ dy = −2
= 2 1 −
2
y1
b
1 y
1
מכאן:
1
S = lim S ( b ) = lim 2 ⋅ 1 − = 2 (1 − 0 ) = 2
∞→b
b→∞
b
בכך הוכח כי לתחום אינסופי Dיש שטח סופי .2
אוסף תרגילים בנושאי אנליזה מרכזיים עם פתרונות
הוכן על ידי אלה שמוקלר ונעמי בוחניק במסגרת הפרויקט לכתיבת ספר באנליזה למורה
הטכניון2012 -
= . yנסמן
© Copyright 2024