1. No category

 Lærervejledning Foreløbig version til de to første kapitler Talsystemet og at gange Kernebogen s. 5 -­‐ 25 Fælles Mål Eleven kan anvende flercifrede naturlige Eleven har viden om naturlige tals tal til at beskrive antal og rækkefølge opbygning i titalssystemet Eleven kan udvikle metoder til Eleven har viden om strategier til multiplikation og division med multiplikation og division naturlige tal Eleven kan udføre beregninger med de Eleven har viden om beregninger med fire regningsarter inden for naturlige de fire regningsarter inden for de tal, herunder beregninger vedrørende naturlige tal, herunder anvendelse af hverdagsøkonomi regneark Hvad vil det sige at gange? Vi har valgt over for eleverne at anvende det dagligdags kendte udtryk gange for en multiplikation, idet det gør det nemmere, når vendinger som ”et antal gange ” og lignende indgår i forklaringer. I det følgende anvender vi dog det professionelle mere præcise ord multiplikation. Det er i den sammenhæng vigtigt at være opmærksom på, at der er forskellige fremtrædelsesformer af multiplikation. Multiplikation kan opfattes som: • En geometrisk repræsentation fx som et arealforhold ”Der er 4 gange 6 sodavand i kassen”. • Et mængdeforhold ”Der er fire poser med 17 stk.” Et forhold fx ”Ida har 4 gange så mange bolsjer som Lau”. • Gentaget addition fx 7 + 7 + 7. Gentaget addition er ofte den første erfaring med multiplikative processer, eleverne viser. På sigt skal eleverne gerne erfare, at en sådan gentaget addition kan gøres mere hensigtsmæssig ved at betragte den som en multiplikationsproces. I den sammenhæng er det centralt, at eleverne så tidligt som muligt opdager, at division er den modsatte regneproces. • Der er 9 rækker med 5 brikker i hver række. • 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 (fortløbende addition) 2 •
•
5-­‐10-­‐15-­‐20-­‐25-­‐30-­‐35-­‐40-­‐45 (5-­‐tabellen) 9 * 5 = 45 (matematisk symbolsprog) Er multiplikation svært? I addition arbejder man med samme objekter fx lægger man 7 æbler sammen med 15 æbler. I multiplikation er to forskellige variable. Det kan eksemplificeres med ”jeg har 3 kroner og får 4 kroner mere” altså objektet kroner. Hvorimod der ved multiplikationen ” vi er 3 personer med 4 kroner hver” er tale om to forskellige objekter – både kroner og personer. Denne forskel har nogle forskere beskrevet som en højere abstraktion. Det er også den almindelige erfaring, at fortløbende addition synes at være mange eleves begyndende multiplikationstænkning fremfor en egentlig multiplikation. Den kommutative lov Den kommutative lov siger, at faktorernes orden er ligegyldig – en pointe ikke alle elever har tilegnet sig endnu i 4. klasse. En af årsagerne kan være, at man opfatter fx 4 * 12 og 12 * 4 som to forskellige situationer. Der er forskel på, om man fx til en fødselsdag vælger, at uddele 4 slikposer med 12 stykker slik i hver pose eller 12 poser med 4 stykker slik i hver. Multiplikation med 0, 10 og 100 Dette kapitel sætter fokus på at gange med 0, 10 og 100. At gange med 0, 10 og 100 bør bygge på en grundlæggende forståelse af titalssystemet og 0, 10 og 100´s funktion i dette talsystem. Det er derfor vigtigt, at eleverne ikke kun støtter sig til mekaniske huskeregler og udenadslære, som ”man ganger med 10 ved at sætte et 0 bag på”. Denne form for fokus på memoteknik kan medføre, at eleverne løber ind i problemer, fordi den indlærte regel ikke slår til ved fx 1,25 * 10. Det er bedre, at eleverne indser at hver position i tallet bliver ti gange større og i denne sammenhæng efterlader en tom plads til enerne. Til at fremme forståelsen af, hvad det vil sige at gange med 0, kan det være en god idé for eleverne at diskutere indholdet af sætninger, som ”ingen gange har jeg fem”, ”ingen gange har jeg 75” eller ”jeg har ingen rækker med 75 i hver”. Således bliver de abstrakte regneudtryk 0 * 5 = 0 og 0 * 75 = 0 gjort mere håndgribelige. Gangetabellerne Der har en overgang været taget afstand fra det at træne gangetabeller. Vi er fortalere for, at tabellerne skal automatiseres, så godt de kan. Vær dog opmærksom på, at elever som viser tegn på talblindhed kan have usædvanligt svært ved det. Generelt er det dog en rimelig paratviden. Viden om gangetabellen er en forudsætning for hurtigt overslag og vil understøtte en fornuftig balance mellem hovedregning og lommeregnerregning. Det er dog vigtigt i denne sammenhæng at skelne mellem mekanisk indlærte multiplikationstabeller og forståelse af selve begrebet multiplikation. 3 Indlæring af gangetabellen kræver mange gentagelser for at blive operationel. Der findes et hav af forskellige tabellege, som både kan laves i skolen og i hjemmet, og hvor fokus er på at øve tabellerne. Det er vigtigt at have for øje, at målet er, at eleverne bliver i stand til at anvende multiplikation i forskellige situationer og med stigende grad af abstraktion. Gangetabellen er midlet til det -­‐ ikke et mål i sig selv. Algoritmer I 4. klasse skal eleverne fortsat udvikle egne beregningsmetoder i arbejdet med de naturlige tal. Det er vigtigt, at eleverne får mulighed for at udvikle deres egen algoritme for bedre at opnå den fulde forståelse for, hvad der sker undervejs, når der regnes. Som konsekvens heraf viser vi ikke en bestemt standardalgoritme. På Viden om siderne tages i stedet forskellige multiplikationsalgoritmer op til diskussion. Der er således mulighed for at tage udgangspunkt i de algoritmer, der er vist på side 23 i kernebogen eller man kan lade eleverne undersøge hjemme, hvilke algoritmer forældrene anvender. Det kan være end særlige god ide, at se på opstillinger hvor man spalter fx gangestykket 127 * 5 op, så 127 * 5 bliver til 100 * 5 + 20 * 5 + 7 * 5. Det kan visualiseres på forskellig måde med gitre og skemaer – fx den italienske gittermetode. Eksempel: Illustration af gittermetoden se s.37 i gammel lærervejledning 4 Intro Om klassesamtalen Der kan være store forskelle i viden om multiplikationstabellen. Det kan være en god ide at undersøge dette, inden man begynder kapitlerne. Man kunne tage tabellen op og se på, om der var mønstre i hundredetavlen fx hvor ligger 2-­‐tabellen, 5 tabellen, 3-­‐
tabellen osv … som opstart på klasseaktiviteten på introsiden. Det kunne fx være på en stor hundredetavle i en skolegård eller ved at lægge hundredetavlen med talkort på en gang, i en aula eller lignende. Eleverne skal så fungere som brikker, og placere sig på tal, som indgår i en bestemt tabel, så de oplever mønstrene på egen krop. Der bør også være opmærksomhed på, hvorvidt eleverne kan genkende en multiplikationsproces i en eller anden virkelighedsramme. Det kan ske ved at eleverne selv giver eksempler på en regnehistorie, som indeholder 4 * 3. Kom evt. ind på forskellen mellem, at fem personer har 2 kr. hver og så 2 personer har fem kr. hver. Brugen af lommeregner kunne også indgå – ”hvordan er det nu, man bruger den, når man ganger”. Foretag nogle sjove beregninger på lommeregneren med eleverne fx 11 * 11 og 111 * 111 og fortsæt. Skriv evt. en række tal på tavlen, som er en blanding af flere tabeller og lad eleverne finde tal, som hører sammen og hvorfor. ”Her er tallene 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 14” ”Kan du samle nogle af tallene, som hører sammen i samme tabel?” Om fotografiet Hvor mange sko er der på hver hylde? Lad eleverne fortælle om de kan se, hvad det er for sko (bowling). De har måske prøvet at have skoene på. Viser fotoet alle de sko, der er i bowlinghallen? Hvorfor ikke – eller hvorfor? Er der et bestemt system skoene ligger i? (skoene bliver større og større fra oven og ned fra str. 4 til str. 7) Hvordan vil I tælle skoene? Lad eleverne komme frem med en god måde at tælle det samlede antal. Hvad skal regnes med? (Man kan kun se noget af skoene til højre – aftal om de er med). Lad dem tælle hver især og se om de er enige. Spørg ind til deres forretningsgang og tællemåde. (Der er 76 sko). Hvordan vil I regne jer til svaret? Lad eleverne hver især notere deres udregningsmetode. Saml derefter op i plenum på deres forskellige bud på udregningsmetoder. Diskuter i fællesskab, hvilke udregningsmetode der er hurtigst og mest hensigtsmæssig. Bemærk, om nogen regner 2 * 8 * 5 -­‐ 4 (2 par sko mangler). 5 Hvor mange par sko kan der ses i alt? Kom ind på ordet par -­‐ hvad betyder det? Få dem arbejdet ind i retningen af at antallet af par kan omregnes til sko ved at gange med to. (38 x 2 sko) Hvor mange par sko vil der være, hvis der er ti gange så mange? Antallet er nu aftalt. Lad eleverne lægge 76 sammen 10 gange på lommeregner. De kan evt. gætte og kontrollere på lommeregner. Er der mon et system? Måske er der elever der ved hvad det vil sige at gange med 10. Lad dem prøve at forklare deres fremgangsmåde. Om klasseaktiviteten Eleverne skal hver især undersøge tabelmønstre i hundredetavlen. Se tidligere beskrivelser. Eleverne kan blandt andet se på, hvordan nogle tal går igen i flere tabeller og nogen indgår slet ikke. De kan på opdagelse i særlige mønstre og forsøge at gennemskue sammenhænge. De kan farvelægge talmønstrene og lave en udstilling af det. Supplerende Gangetabel Udlever en gangetabel, hvor der mangler en række tal – eleverne skal forsøge at finde de manglende tal. De svagest præsterende elever kan få hjælp af lommeregnere. Tabel-­‐bingo Hver elev skal fremstille en bingoplade. Eleverne vælger, hvilke af de nedenstående tal de ønsker på deres bingoplade. Eleverne skal skrive et tal i hver rubrik. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,24,25,27,28,30,32,35,36,40,42,45,49,54,56,
63,64,72,81 Billede af bingoplade Fremstil to sæt talkort fra 0 – 9. Læreren trækker to kort fra bunken og siger gangestykket, der fremkommer, højt fx 4 * 7. Eleverne har lommeregner eller en gangetabel til rådighed. De elever, der har produktet 28, lægger en markør på sin plade eller sætter et kryds over tallet med blyant. Fortsæt indtil en af eleverne får banko. Tabelmemory Spilles parvis. 6 Fremstil 16 sæt talkort, hvor de otte indeholder gangestykker, og de andre otte er resultatet af gangestykkerne. Eleverne fordeler kortene tilfældigt på bordet og trækker på skift to kort. Kan de pares, så gangestykke og resultat passer sammen, har man et stik. Det giver lov til at trække to nye kort. Passer kortene ikke sammen er det den andens tur. Den, der har flest stik til sidst, har vundet. FLERE EKSEMPLER 7 Musikfestivalen Kernebogen s. 6 -­‐9 Læringsmål Eleven • kan anvende titalssystemet til at beskrive et større antal. • kan identificere positioner som enere, tiere, hundreder, tusinder m.m. • kan veksle mellem enere, tiere, hundreder og tusinder. • afrunde til nærmeste 100 og 1000. Faglige og metodiske kommentarer Kapitlet indledes med et scenarie om Musikfestivalen, hvor der er fokus på større tal og positionssystemet. Eleverne skal arbejde med pladsernes betydning i et naturligt tal – som en indledning til udvikling af regnestrategier inden for multiplikation og division. Der vil for en del elever være tale om stof, de kender til, men der vil også være en del, som har brug for at få det repeteret. Vi tager udgangspunkt i tælleapparater og den måde et sådant apparat virker. Har man adgang til et sådant – mekanisk eller elektronisk -­‐ kan det måske være motiverende at medbringe det til klassen. Det kan være en god ide sammen at tælle videre fra ”nogle skarpe hjørner”. Spørg ind til, hvad der sker når man trykker på én mere på et tælleapparat, hvor der står 9, 99, 999, 9999 måske 1009 osv. Bemærk, at der kan være elever, som ikke er klar over, at den første rude i tælleapparat er den yderste til højre. Hvilket er modsat læseretningen, som går fra venstre mod højre. Eleverne kommer ind i problemstillinger, hvor de skal veksle såvel tiere, hundreder og tusinder til større tal. Eleverne skal kunne omsætte 23 tiere til 2 hundreder og 3 tiere. De skal kunne omsætte 49 hundreder til 4 tusinde og 9 hundrede osv. I den sammenhæng kan det være en god ide at inddrage konkrete materialer, som har været brugt tidligere som fx pengesedler/mønter. Afrunding tages op i forbindelse med en diskussion om nøjagtighed. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 -­‐ 2 Eleverne skal sammenligne og tage stilling til tallenes størrelse. Tallene er valgt, så de ligger tæt på hinanden, så eleverne kan se hvordan pladsen i tallet har betydning for størrelsen. Der indgår opgaver, hvor eleven skal beregne forskellen mellem tallene og derfor have udviklet subtraktive strategier. Der lægges ikke op til standardopstillinger men snarere hovedregning og talmanipulation, hvor man kløver tallene fornuftigt og ser på mulige regnemetoder. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 8 De følges op af opgaver, som undersøger elevenes evne til at bruge positionerne til at skabe tal og antal samt læse og skrive tallene. I opgave 2b skal eleverne skrive et tal som kan passe til ca. 5000 besøgende. Ordet ca. indeholder ikke en klar definition, men et typiske svar vil være tal som er + -­‐ 50. Opgave 3 Opgaven sætter fokus på, hvordan et naturligt tal vokser på de forskellige positioner. Der er elever, som undrer sig over, at tusindepladsen forøges med ”kun” 1, når man lægger 1000 til. Opgave 4 Eleverne skal forholde sig til forskellen mellem store tal og forsøge at tænke i regnestrategier fx en fylde op metode. Fra 19 373 op til 19 976 er der sket en stigning på 6 hundreder, 0 tiere og 3 enere dvs. at der er kommet 603 gæster ind. Opgave 5 Eleverne skal demonstrere at de kan afrunde naturlige tal til nærmeste 10, 100 og 1000. De skal desuden ind i overvejelser om afrundet svar overfor præcise svar. Lad dem gå ind i situationer hvor afrundet svar er ”godt nok”. At svare på hvad der er bedst afhænger af situationen. Skal man fx vide om der er plads til alle på festivalen kan et svar i tusinde være godt nok. Skal man svare på, hvor mange penge der er kommet ind i entreindtægter vil et præcist antal måske være bedre. IT regneark: Musikfestivalen På ark 1 skal eleverne afrunde besøgstal til nærmeste 100 og 1000 samt tegne et diagram over besøget. På ark 2 skal eleverne arbejde med funktionen Autosum. En vigtig erfaring eleverne vil gøre sig er, at et dokument kan bestå af flere ark. Opgave 6 -­‐ 9 Nogle elever kender sikkert en flippermaskine – de har måske endda prøvet en. Det kan være værd at bringe sådanne erfaringer ud i klassen. Vi bygger fagligt videre på arbejdet med positioner knyttet til pointgivning på flippermaskinerne, når kuglen rammer forskellige forhindringer på dens vej mod mål. Det fagligt centrale i scenariet er, at man kan ramme fx hundredeforhindringen mere end 10 gange fx 13 gange. Det kræver så en oversættelse til 1 tusinde og 3 hundreder. Eleverne skal således kunne håndtere en sådan veksling mellem pladserne i et naturligt tal. IT-­‐regneark: Flippermaskinen På ark 1 kan eleverne få regnearket til at udregne point på spil på flippermaskinen. På ark 2 anvender eleverne autosum til at samle point sammen. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 9 Udfordringen Vi ser på forskel mellem store tal og lægger op til, at eleverne selv finder strategisk gode måder at fylde tal op på fra fx 11 653 op til 20 000 i stedet for at foretage en standardopstilling med at låne. I det her tilfælde skal eleverne kunne kløve tallet 20 000 til fx 19 999 + 1. Eleverne kan fylde op fra position til position og ender med resultatet 07 346 – som tillægges den ene vi fjernede i starten. Det endelige svar er så 7347. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 10 Nødhjælpen Kernebogen s. 10 -­‐ 13 Læringsmål Eleven • kan opfatte multiplikation som gentaget addition af det samme tal. • kan omsætte multiplikationsprocesser til divisionsprocesser. • kan genkende forskellige multiplikationsprocesser i virkeligheden. • har udviklet en forretningsgang ved beregninger ved enkle multiplikationer af flercifrede tal. • kan gennemskue forskellige multiplikationsalgoritmer. • kan multiplicere med 0, 10 og 100. Faglige og metodiske kommentarer Arbejdet med antalsbestemmelse, der med fordel kan foretages ved hjælp af multiplikation, er omdrejningspunktet for dette scenarie. Der tages udgangspunkt i fortløbende addition. Indledende lægges der op til, at eleverne arbejder med optælling ved at tælle antallet af dåser i en række og derefter multiplicere med antallet af rækker i de tre forskellige rammetyper. For den blå ramme kan man tænke det som 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 (fortløbende addition) 6-­‐12-­‐18-­‐24-­‐30-­‐36-­‐42-­‐48 (tabelkundskaber) 8 * 6 = 48 (matematisk symbolsprog) Eleverne bliver i dette afsnit introduceret til multiplikation som en kommunikativ regneoperation. I gennem arbejdet vil eleverne få mulighed for at gøre sig erfaringer med at faktorernes orden er ligegyldig, da 8 * 6 = 6 * 8. En indsigt nogle elever stadig kan have svært ved. Det er basal viden, at eleverne har kendskab til de små tabeller. Hvis nogle elever finder det svært at forestille sig dåserne, så kan det en god ide at bruge konkrete materialer fx centicubes. Eleverne kan også tegne dåserne som krydser på kvadratpapir. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 – 2 I disse opgaver arbejdes der med fortløbende addition samt elevernes tabelkundskaber. Regnearket K4+ 03 bygger videre på at eleverne skal opnå fortrolighed med enkelte grundlæggende funktioner. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 11 Opgave 3 Denne opgave har flere løsningsmuligheder fx 1 * 16, 2 * 8, 4 * 4. I denne opgave vil der være elever, der kan finde på at arbejde den modsatte vej og derfor foreslår at dividere. Dette kan være en oplagt lejlighed til at tale om multiplikation og division som modsatte regningsarter. Opgave 4 Denne opgave har flere løsningsmuligheder fx 1 * 36, 2* 18, 3* 12, 6 * 6. Det kan være en god ide at lade eleverne argumentere for, hvorfor nogle løsningsmuligheder er bedre end andre. Spørg fx klassen, hvilken en ramme de ville anbefale Nødhjælpen at vælge og hvorfor. Opgave 5 Der bliver i denne opgave sat fokus på at gange med en faktor – blandt andet faktor 10. Vær i den sammenhæng opmærksom på, at eleverne ikke bare sætter et nul ”bag på” som en udenadslære de ikke forstår. Spørg ind til, hvad det vil sige at gange med 10, så fokus er på deres forståelse af denne regneproces. Lad fx eleverne afprøve ”systemet med at gange med 10” ved at bruge lommeregneren og foretage forløbende multiplikation. I opgave b arbejdes der den ”modsatte vej”. Nogle elever vil derfor foreslå at dividere. I denne situation vil det være relevant at tale om division og multiplikation som modsatte regningsarter og fokus bør derfor være på forskellige beregningsmåder. • 2 rammer (72 : 36, 36 + 36, 2 * 36) • 4 rammer (144 : 36, 36 + 36 + 36 + 36, 72 + 72, 2 *72, 4 *36) • Osv. Opgave 6 -­‐ 7 Der er flere måder at løse denne opgave på. Det kan være hensigtsmæssigt at opdele dåserne i rektangler og derefter tælle sammen. Opgaven her lægger op til en samtale om regningsarternes hierarki. Det kan være en hjælp for en af eleverne at bruge konkrete materialer, udregninger eller tegninger til at forklare deres løsningsforslag fx 4 * 3 + 5 * 7 + 3 * 4 + 5 * 6. Bemærk, at man i opgave b i 1. udgaven har skrevet 1 * 6 som burde være 1 * 7. Ret det evt. i bogen eller accepter en løsning der passer til det skrevne. Der følges op af en opgave, hvor eleverne bundter i enheder af 36 svarende til den grønne ramme. Et eksempel på division som det modsatte af en multiplikationsproces. Opgave 8 Vi udvider opfattelsen af multiplikation ved at tilføre ekstra faktorer i regnestykkerne. Vi har her at gøre med regnestykket 3 * 2 som udvides til 3 * 2 * 8. Og derefter en udvidelse med et tocifret tal svarende til 3 * 4 * 12. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 12 Opgave 9 – 11 Eleverne skal her finde frem til en regnestrategi, som involverer gangestykker med flercifrede tal der ikke blot kan beregnes som hovedregning. Som grundregel er det befordrende for indsigten i en gangealgoritme, at man skitserer sig til et resultat, før man formaliserer det. Det anbefales, at eleverne kløver tallene fx at de tænker på regnestykket 37 * 7 som 30 * 7 + 7 * 7. Det er årsagen til, at vi forsøger at vise scenariet med melsække lagt i særlig rækkefølge. En skitse kunne være Illustration af rektangel delt op i en side med 30 og 7 – samt en side med 7. Inden i rektanglet står der henholdsvis 210 og 49. Sørg for at eleverne rationaliserer deres tegning af melsække så det blot er prikker eller endnu nemmere at det fx er en tern. I opgave 11 beskriver vi igen den modsatte handling, at resultatet kendes men at multiplikationsstykket skal findes. Udfordringen I udfordringen bedes eleverne om at videreudvikle deres algoritme og skitser til multiplikation af tocifrede tal ganget med flercifrede tal. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 13 Feriecentret Kernebogen s. 14 – 17 Læringsmål Eleven • kan anvende store dele af multiplikationstabellen. • har viden om den kommutative lov (a * b = b * a). • genkende forskellige multiplikationsprocesser i virkeligheden. • kan anvende og gennemføre multiplikation og addition i samme regneudtryk (den distributive lov). Faglige og metodiske kommentarer Eleverne skal primært opleve sammenhængen mellem division og multiplikation og arbejde med regneoperationernes hierarki. Det er centralt for elevernes indlæring, at de får forståelse for, at man kun kan multiplicere, når det drejer sig om gruppering af ens elementer. Det samme gør sig gældende for division. I dette scenarie vil eleverne opleve den kommutative lov og forskellen i de to muligheder. Fx (2 * 12) sovepladser i 12-­‐sengshytter og (12 * 2) sovepladser i 2-­‐
sengshytter. Det vil blive suppleret af øvelser i, hvordan den distributive lov virker altså at a(b + c) = ab + ac. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 I opgave a skal eleverne kunne orientere sig på oversigtskortet af feriecentret og finde ud af, hvor mange af hver slags hytte, der er. Nogle elever vil vælge at lave fortløbende addition fx 12 + 12 = 24 sovepladser, hvor andre vil sige 2 hytter á 12 sovepladser = 2 * 12 = 24 sovepladser. Opgaven kalder på evner til at overskue information og fremkalde den nødvendige information. I opgave b anbefaler vi brug af digitale værktøjer fx lommeregner. Det er dog vigtigt, at eleverne er klar over, hvorvidt deres lommeregner har indbygget rigtige regnehierakiske beregninger eller ej. Lad eventuelt eleverne først afprøve deres lommeregner. Opgave 2 Dette er en åben opgave og derfor er der også flere løsningsmuligheder. Opgaven lægger op til forskellige overvejelser om fordelingen af elever og lærere i hytterne. Opgave 3 I opgave a og b vil eleverne (med rette) kunne blive i tvivl om de skal gange eller dividere. I dette tilfælde vises det at gange og division hænger tæt sammen. De kan fx Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 14 løse opgave a ved at sige 48 : 6 = 8 eller ved at spørge hvad skal jeg gange med 6 for at få 48 altså 6 * x = 48. Opgave 4 Denne tegning kan fremstilles såvel som på computer. Til de elever, som synes, det er en uoverskuelig opgave, findes der et hjælpe-­‐kopiark. Opgave 5 Denne opgave ligger meget op til faglig læsning i forhold til hvordan eleverne læser informationerne på siden og orienterer sig på siden. De skal samtidig kunne trække på deres viden fra de foregående opgaver om antallet af hytter og sengepladser. Denne viden skal de bruge når de færdiggør skemaet. IT regneark: Feriecentret Eleverne kan anvende regnearket til at udregne sengepladser. Opgave 6 Ligesom i opgave 3 er det her gældende, at eleverne kan løse opgaven ved hjælp af såvel gange som division. De kan sige 48 : 4 = 12 eller 4* antal hytter = 48 så må antallet af 4-­‐sengshytter være 12. Opgave 7 I opgave a og b handler skal eleverne anvende de regnehierakiske regler. De skal vide, at man skal gange, før man lægger til. De skal således opdage, at Madsen har glemt denne regneregel. Han har bare regnet fra venstre mod højre og sagt 2 * 12 er 24, 24 + 20 er 44 og 44 * 4 er 176. Det rigtige svar er 104. De kan evt. undersøge beregningen på lommeregner fx om der kommer forskellige svar. Opgave 8 I denne opgave skal eleverne holde styr på de forskellige informationer, de har fået oplyst omkring hytter, antal sengepladser og så udvidelsen af feriecentret. Nogle vil have brug for at blive gjort opmærksomme på, at det kan være hensigtsmæssigt at bruge tegningen fra opgave 4 og skemaet fra opgave 5. Andre vil lynhurtigt kunne se, at det er svarene fra opgave 5. b der blot skal lægges sammen og hvortil de 48 nye sovepladser skal lægges oveni. Opgave 9 Eleverne bruger deres viden om hvordan de beregner sengepladser til en ny situation, som en form for repetition. Der kan være tvivl om der i opgave b er tale om at de tænkte udvidelse har fundet sted eller om det er det feriecenter der er oplyst fra begyndelsen af scenariet. Begge svar kan være rigtige – det er kun et spørgsmål hvad eleverne vælger. Udgangspunktet er at udvidelsen ikke har fundet sted men blot har været en plan fra lejrchefens side. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 15 Udfordringen Udfordringen i denne opgave ligger dels i, at eleverne skal løse opgaven ved hjælp af regnearket Hytteleje og dels i det åbne spørgsmål b, hvor eleverne selv skal tage stilling til, hvordan Madsen bedst muligt kan tjene 5000 kr. ekstra. Der er således mange svarmuligheder til opgave b. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 16 Aktiviteter Tænk sig hvis der var kæmper til Materialer: Målebånd, lommeregner, regnearket ”Kæmpen” Det er første gang eleverne ser mærket med et stort M. Det er for at signalerer at der i opgaven er elementer af modelleringskompetencen. Eleverne skal forsøge at beregne sig til mål på kæmpen som synes troværdige. Det gør du ud fra det fodaftryk som er skitseret i bogen. Arbejdet består i at se at der en vis proportionalitet mellem elevens egen fods størrelse og kæmpens fods størrelse. Det typiske, eleverne gør, er at måle med deres egen fod eller sko, hvor mange gange den kan være på fodaftrykket. Det vil svare til ca. 5 gange med den fodstørrelse der almindeligvis er hos en 4. klasses elev. Det kan være en god ide at medbringe fodaftrykket i form af et udklip fx fra en borddug så eleverne rent fysisk får fodaftrykket udleveret. Når først eleverne finder denne proportionalitetsfaktor, kan arbejdet gå med mange andre mål, som man vil finde ved først at måle på sig selv og så gange op til Kæmpens størrelse. Erfaringerne siger, at eleverne kan blive ganske grebet at denne aktivitet, så det kan være nødvendigt at aftale en tidsbegrænsning for, hvor mange mål der skal indgå i beskrivelsen af kæmpen. Nogle elever har måske bemærket at folk med samme højde godt kan have forskellige længder fod – hvilket gør modellen der regnes efter lidt ustabil. Lad det evt. indgå i en afsluttende snak med eleverne. Der vil givet være elever som ønsker at tegne og dekorere denne her Kæmpe evt. give ham navn og skrive om ham. I regnearket Kæmpen kan eleven foretage beregninger af mål på Kæmpen. Fremstil jeres eget ti-­‐talsystem Her skal eleverne opfinde et nyt ”hemmeligt talsprog”. De bevarer grundtallet 10 og navnene på tallene så i første omgang er det udelukkende cifrenes udseende der laves om. Der skal altså ske en oversættelse fra de nye tegn til de gamle traditionelle tegn. Gør eleverne opmærksom på, at det er en god ide, hvis de ti cifre: • er nemme at huske og gengive. • er forskellige, så man ikke blander dem sammen. Eleverne skal fremstille en plustabel og en gangetabel samt en tallinje fra 0 – 20. Når eleverne efterfølgende skal regne i dette nye tegnsprog, vil de opdage, at det kan være en hjælp at have disse i nærheden, når der regnes. Som en udvidelse kan man overveje, om nogle elever vil stille sig den udfordring, at cifrene får nye navne. Gangerier og lommeregner Materialer: Lommeregner, regnearket ”Gangerier” Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 17 Bent 23/8/14 21:57
Deleted: I denne spilleaktivitet berører eleverne indirekte arbejdet med kubiktal og kubikrod gennem en undersøgende og legende tilgang med lommeregneren. Læg mærke til hvilke strategier eleverne anvender, er der tale om et kvalificeret gæt eller et gæt ud i den blå luft? Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 18 Eftertanken Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: • De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. • Et EVA-­‐ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. • Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Påstanden I eftertankeopgaven Påstanden skal eleverne arbejde med tankegang-­‐ og ræsonnementskompetencen. Eleverne skal tage stilling til rigtigheden af hver af de tre påstande. De skal altså for hvert spørgsmål overveje argumenter for om påstanden er altid rigtig, nogle gange rigtig og aldrig rigtig. • Første påstand er altid rigtig, så længe vi arbejder med de rationale tal. • Anden påstand må også være rigtig, idet vi ved, at x * 0 = 0. • Hvis der er mange faktorer i gangestykket 3 * 4 * 5 * 6 * 0. • Tredje påstand er måske lidt mere besværlig. Hvis det kun er de naturlige tal, som indgår, er svaret at det nogle gange er rigtigt. Hvis man tænker på alle tænkelige situationer med tal, er der mange flere fx 0,5 * 200. Giv en historie I eftertankeopgaven ”Giv en historie” skal eleverne arbejde med problembehandlingskompetencen ved at opstille et problem omkring gange. Der sættes fokus på deres forståelse af den kommutative lov. Vis det I eftertankeopgaven ”Vis det” skal eleverne arbejde med kommunikationskompetencen. De indleder med at skaffe sig et overblik over gangestykker, der giver 336. Opløst i primtalsfaktorer er det 7 * 3 * 24. Eleverne kan således selv afgøre sværhedsgraden af det gangestykke de vil vise på en film fx 2 * 168 eller 21 * 16. De kan anvende deres mobiltelefon eller Ipad evt. kameraer fra skolen. Huskeren Eleven formulerer med egne ord deres viden og færdigheder inden for at gange. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 19 At dele Kernebogen s. 27-­‐43 Fælles Mål Eleven kan udvikle metoder til Eleven har viden om strategier til multiplikation og division med naturlige multiplikation og division tal Eleven kan udføre beregninger med de Eleven har viden om beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, fire regningsarter inden for de naturlige herunder beregninger vedrørende tal, herunder anvendelse af regneark hverdagsøkonomi Division og multiplikation er modsatte regningsarter. Hvor multiplikation kan forstås som gentaget addition, kan division ses som gentaget subtraktion.. Division hænger altså sammen med multiplikation, hvilket kan få elever til at tro, at egenskaberne ved begge regningsarter kan direkte overføres – hvilket ikke passer. Til eksempel gælder den kommutative lov ved multiplikation men ikke ved division. 12 : 3 er ikke det samme som 3 : 12. Der er forskel i svaret på problemstillingen 12 stykker slik skal deles mellem 3 børn, og 3 stykker slik der deles mellem 12 børn. Desuden vil der altid med multiplikation blive et resultat inden for de hele tal, mens det ikke er tilfældet med division. Det er vigtigt at være opmærksom på, at mange elever anvender multiplikative strategier, når de dividerer. Det kan der være flere forklaringer på: • De mestrer multiplikation. Da der er tale om modsatrettede regningsarter kan det i nogle tilfælde være hurtigere og derfor mere hensigtsmæssigt at løse ved hjælp af multiplikation. • De blander ofte multiplikation og division sammen. Vi siger fx ”12 delt med 3, 12 divideret med 3, og hvor mange gange går 3 op i 12?”. Denne type af formuleringer lægger umiddelbart op til, at eleverne tænker ”3,6,9,12 – fire gange går 3 op i 12 altså 12 divideret med 3 er 4”. Eleverne anvender således en multiplikativ tankegang til at løse problemet 12 : 3. Dele eller dividere? Det er muligt at stille spørgsmål, som variationer af den samme problemstilling fx 24 : 3 = 8. Hvad er 24 divideret med 3? Hvad skal 24 deles med for at få 8? Hvad bliver 3 * 8? Hvad skal man gange 3 med for at få 24? Osv. Det kan være væsentlig, at eleverne oplever disse sprogbrug og kan genkende dem som divisionsopgaver. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 20 Der ligger en særlig overvejelse knyttet til sprogbrugen dele og division. Vi har valgt at kalde kapitlet ”at dele”, idet det er det man oftest i dagligdagstale omtaler som en divisionsproces. Det ville dog være mere præcist at tale om ”at dividere”, idet en deling af et tal kan foregå på mange måder. Med sprogbrugen at dividere beskriver man altså den særlig deling af et tal, hvor delene er lige store. Hvad er en division? I 4.klasse tager arbejdet med division typisk udgangspunkt i hverdagssituationer, som alle kender fx dele en pose slik, en pizza eller nogle penge. Fokus er på at dele retfærdigt eller dele lige. I en sådan sammenhæng mestrer de fleste elever en divisionsproces. Division kan opfattes som henholdsvis at opdele og at måle. Herunder følger forskellige eksempler på, hvad der menes med delings-­‐ og målingsdivision med og uden rest. Ordet til rest er valgt fremfor ordet til overs, fordi ”til rest” læner sig bedst op af det faglige udtryk, trods det ikke bruges i dagligdagssproget. Delingsdivison med og uden rest: Lau og Lykke skal dele 18 lakridser. Hvor mange får de hver? Carla og August skal fordele 9 cd´er mellem sig. Hvor mange får de hver? (Med rest som er udelelig – man har ikke glæde af en ½ cd) Abdul og Ronan har 9 kr. Hvor mange får de hver? (Med rest der er delelig, idet den resterende ene krone kan veksles til øre) Målingsdivision med og uden rest: Andrea skal hente 24 kasser med sodavandsis. Hun kan tage 4 kasser ad gangen. Hvor mange gange skal hun gå for at hente isene? Hichem har en beholder med 12 liter vand. Han skal hælde det på 2 liter dunke. Hvor mange dunke skal han bruge? Rosa tager fem kort af gangen af et spil kort på 52 og lægger de 5 kort i hver sin bunke. Hvor mange bunker får hun? (Her bliver der to kort i overskud, som er en rest, der ikke kan bruges) Division – den svære regningsart? Det er et ofte stillet spørgsmål, hvor meget eleverne skal kunne udføre/kunne regne på papir, når nu den nye teknologi breder sig, som den gør. Som det ser ud i de forenklede fælles mål 2014, er der stadig forventning om en vis kunnen i en sådan færdighed, men at det skal neddrosles i omfang og sværhedsgrad. I forlængelse af dette kan man som underviser fra tidligere fremkalde erindringer om uendelige mange lektioner til at indstudere sådanne færdigheder, idet det blev opfattet ganske vanskeligt af mange elever. Tiden kan måske bruges bedre. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 21 Inden man igangsætter formaliseringen af en mulig procedure for at dividere, bør eleverne have oplevet og afprøvet mange repræsentationsformer, som de kan bruge til at illustrere og skitsere regneprocessen. Her følger tre måder at repræsentere problemstillingen 24 divideret med 3. Som situation: 3 børn skal dele 24 bolcher. De får 8 bolcher hver. Som tegning: Tegning af tre bunker med hver 8 bolcher Som beregning: 24 : 3 = 8 Sådanne repræsentationsformer skal give eleverne en grundlæggende forståelse for processerne og være nogle af de mentale billeder, eleverne skal skabe sig, når de skal overskue en division. Algoritmer På Viden om siderne tages forskellige divisionsalgoritmer op til diskussion. Der er mulighed for at tage udgangspunkt i disse algoritmer, eller man kan lade eleverne undersøge hjemme, hvilke algoritmer forældre og evt. bedsteforældre anvender. Det centrale er, at eleverne kan gå ind i et valg af procedure – der er ifølge Fælles Mål ikke tilsigtet læring i standardalgoritmer. Divisonalgoritmer har mange udformminger – søg evt. selv på nettet og find eksempler. Trods denne forskellighed er der træk ved de fleste af algoritmerne, som er identiske. Eksempel: 87 : 3 = 29 Opgaven kan ved delingsdivision komme til at hedde: ”Tre personer skal dele 87 kr. Hvor mange kroner får de hver?” Det vil sige, at de kan få 10 kr. to gange og 1 kr. kan de få 9 gange. Deleprocessen ser således ud: 87 – 30 = 57 (De får 10 kr. hver) 57 – 30 = 27 (De får igen 10 kr. hver) 27 – 27 = 0 (De får 9 kr. hver) Den samme tænkning med ”at dele” ud af mulige enere, tiere, hundreder osv og at foretage vekslinger går igen i de fleste algoritmer. Prøv selv. Det er vores opfattelse, at en algoritme som består af en blanding af papirregning, overslagsregning og hovedregning kan være hensigtsmæssig. Det omtaler vi som notatregning. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 22 Intro
Om klassesamtalen Undersøg hos elevene, hvordan de opfatter en deling af noget. Hvor de støder ind på at noget eller nogen, der skal deles op. Isolér de situationer hvor der udelukkende er tale om at dele lige. Diskuter, hvad der menes med det og lad eleverne komme med eksempler på både en lige deling og en anden deling. Om fotografiet Hvor mange æg er der? Lad eleverne forklare, hvordan de kan finde frem til resultatet. Kom ind på sammenhængen mellem division og multiplikation. Snak om hvordan viden om gangetabeller kan være en hjælp til at finde frem til resultatet. Hvor mange 6-­‐bakker kan fyldes? Spørg ind til elevernes forretningsgang. Det kan være en god ide, at eleverne har mulighed for at konkretisere opgaven fx ved at kunne manipulere med 36 centicubes og så dele dem ud i bunker af 6. Hvor mange æg bliver der til rest, hvis I skal fylde dem i 10-­‐bakker? Følg op på det med rest. Hvad forstår eleverne ved ordet til rest? Lad eleverne komme med andre eksempler på rest. Hvilken slags æggebakke vil der være tale om, hvis der er 9 fyldte? Observér hvilke strategier eleverne anvender. Det er her mest hensigtsmæssig at anvende multiplikative strategier, men det kan også for nogle eleverne være nødvendigt konkret at dele fx 72 centicubes ud i 9 bunker. Hvor mange æg er der i alt, hvis man har 5 fyldte æggebakker med 15 i hver? Eleverne skal her blive opmærksomme på, at der skal anvendes multiplikative strategier i denne opgave. Det kan lede til en snak om division og multiplikation er modsatrettede regningsarter. Lad evt. eleverne lave opgaven om til en dele opgave. Om klasseaktiviteten Eleverne skal hver især have en håndfuld centicubes og komme med sit umiddelbare gæt på antallet af centicubes. Lad derefter eleverne selv arbejde med at dele dem i bunker med lige mange i hver. Lad dem forsøge sig frem og se hvordan de angriber problemstillingen. Det kan være en god ide for nogle elever at tegne de forskellige muligheder, så de bedre kan huske, hvor mange forskellige måder centicuberne kan inddeles på. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 23 Bent 23/8/14 21:58
Deleted: Ved at gøre sig nogle erfaringer med at dele centicubes i bunker udsættes eleverne for nogle situationer, som får dem til at reflektere over, at nogle tal kan deles på mange måder, andre på få måder. Således stifter de altså indirekte bekendskab med divisor-­‐
begrebet og får en indledende forståelse af, at hvor nogle tal har få divisorer, der har andre mange. Da det kun er en indledende øvelse, er det ikke vigtigt, at eleverne fordyber sig men i højere grad synliggør deres viden. Det forventes ikke, at klassen som sådan ”opdager” primtallene og deres egenskaber. Opsummér med eleverne hvordan de har inddelt i bunker og tal evt. om hvilke vanskeligheder, de havde undervejs og ved løsningen osv. Supplerende aktiviteter Gangetabel Udlever en gangetabel, hvor der mangler en række tal – eleverne skal forsøge at finde de manglende tal. De svage elever kan få hjælp af lommeregnere. Kortspil Man kan også indlede kapitlet med, at eleverne selv medbringer forskellige kortspil fx Sorteper. Eleverne kan så i grupper prøve at spille spillene og gøre sig erfaringer med forskellige gruppestørrelser til spillene og dermed afprøve forskellige delesituationer. Snakken kan derefter gå på, hvad man skal gøre, når alle ikke umiddelbart kan få lige mange kort. Er det rimeligt at nogle har flere kort end andre? Skal vi tage kort fra, inden vi deler ud? Hvilke kort? Er det overhovedet sjovt at spille Sorteper, hvis man kun er to spillere? Osv. Penge Tag en håndfuld mønter (der må meget gerne være mønter af forskellig værdi altså både 50 øre, 1 kr., 2 kr., 5 kr., 10 kr. og 20 kr.) Eleverne skal tælle, hvor mange penge der er og tale om: • hvad det vil sige at dele lige? • hvad det vil sige at dele retfærdigt? • kan pengene deles lige mellem 2-­‐3-­‐4-­‐5-­‐6-­‐7-­‐8-­‐9 personer? • hvornår bliver der rest? Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 24 Idrætsdagen Kernebogen s. 28-­‐31 Læringsmål Eleven • ved, at division er opdeling i lige store mængder • har viden om, at divison er det modsatte af at gange • kan genkende forskellige divisionsprocesser ud fra hverdagssituationer • kender forskellen mellem division med rest og uden rest • kan anvende og genkende situationer som delings-­‐ og målingsdivision Faglige og metodiske kommentarer I dette afsnit skal eleverne arbejde med de overvejelser, man kan gøre sig, når man ved sportsaktiviteter skal inddele i forskellige holdstørrelser og hvordan man skal forholde sig til restbegrebet/problematikken. Eleverne bliver introduceret til såvel målingsdivision som delingsdivision. I scenariet fokuseres der på at undersøge, hvordan holddannelser til idrætsdage kan gøres med og uden rest. Vi har valgt dette emne som opstart på division, idet de fleste elever har været med til en idrætsdag, har prøvet forskellige former for holddannelser i idrætsundervisningen eller har nemt ved at forestille sig situationen. Eleverne kender således til problemet med at dele i lige store hold og med at blive til overs (rest). Scenariet holder sig inden for division med enkle tal. Arbejdet smidiggøres betydeligt, hvis eleverne har en rimelig paratviden om gangetabellen. Svage præsterende elever kan have brug for konkrete materialer eller en lommeregner. Man anvender som regel udtrykket ”går op” om en division – om at der ikke bliver en rest. Tal med eleverne om det til en indledning. I dette skal eleverne vide, at man selvfølgelig kan dele/dividere alle tal med alle tal – det er i første omgang kun et spørgsmål om rest. Skulle nogle elever komme ind på, om man må dividere med 0, må man forklare sig – og ikke kun svare, at det må man ikke. Her er det en god ide fx at spørge ”Hvad skal jeg gange 0 med for at få 3” eller ” når 0 børn deler 8 kr. hvor mange penge får de så?” -­‐ og det kan jo ikke lade sig gøre. Rent praktisk giver det ikke mening at dele noget i nulbunker. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 -­‐ 2 Vi indleder med en kort præsentation af klassen 4.a, som det hele handler om. En del af problematikken bliver at fordele eleverne på pigehold og drengehold, så det ”går op”. Da alle hold nødvendigvis må være lige store for at gøre spillet retfærdigt, kan det illustrere division med og uden rest. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 25 I opgave to skal eleverne således dele eleverne ud på hold for at se, hvor mange hold der kan blive og hvor mange der bliver tilbage. Vi har kaldt det ”til rest” selv om vi er klar over det ikke er gængs sprogbrug. Vi har valgt dette kompromis for at smidiggøre senere matematiksprog om division. Det kan for nogle elever måske være en hjælp rent fysisk at have fx brikker med ansigter på, som repræsenterer de 26 elever fra 4. a. De kan så dele dem i bunker for et afklare restproblemet. Opgave 3 Deltagere pr. hold Antal hold Rest I denne opgave skal eleverne finde 3 8 2 divisorer i 26 – altså undersøge de 4 6 2 faktorer som giver tallet 26. Der kan 5 5 1 måske være elever, der ved, at en 6 4 2 division som 26 : 4 kan beregnes på 7 3 5 lommeregner – og giver værdien 6,5. 8 3 2 Til de elever kan man tale om 9 2 8 forskellen mellem de hele tal og så 10 2 6 dele af hele tal. Det er fx umuligt i denne situation at tale om en ½ person. Det kan være en god ide, at eleverne systematiserer deres besvarelse som her. Opgave 4 I denne opgave er hovedfokus på det Gudrun Malmer i sin ALP-­‐test kalder niveau 1. At kunne hente relevant information. Vi beder eleverne indledningsvis om at orientere sig i skemaet, idet det er den information, de skal forholde sig til i de næste opgaver. Opgave 5 – 6 Disse opgaver omhandler problemstillingen at undgå, at der er elever, som ikke kommer på et hold på idrætsdagen. Måske har nogle af eleverne oplevet det. I denne sammenhæng har eleverne fået lov at vælge den sportsgren, de ville, men det kan som sagt resultere i, at det ikke går op med holdenes størrelser. Nogle elever kan have vanskeligheder med at orientere sig i de oplysninger, der skal anvendes til at løse opgaven. Man skal både opfatte holdenes størrelse i de tre sportsgrene og antallet af personer, som har valgt sportsgrenen. Der kan være brug for at indsamle og notere oplysningerne fra bogen for at overskue de relevante informationer. Det kan fx gøres ved, at eleverne tegner hvor mange, der er på hvert hold på de forskellige sportsgrene og derefter tegner skemaet fra bogen og udfylder det. Der skal nu fokuseres på antal drenge – og holdstørrelse af sportsgren. Det kan virke lidt omstændeligt, men det kan også antyde en notatteknik for eleven for at overskue information i forbindelse med tekstopgaver i matematik. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 26 I det efterfølgende forfølges mulighederne for at blande og ændre på holdene, så man minimerer risikoen for at få elever til rest. IT og regneark: Idrætdagen I regnearket Idrætdagen kan eleven få udregnet holdstørrelse og rest som supplement til opgave 5. Opgave 7 – 8 Begge disse to opgaver omhandler dannelse af håndboldhold. Hvor opgave 7 er en lukket opgave med et rigtigt svar, åbnes der i opgave 8 op for flere svarmuligheder. I opgave 8 må eleverne selv bestemme antallet af håndboldshold og der ud fra afgøre, hvor mange elever der i alt er tilstede, når der skal være henholdsvis 4 og 5 elever til rest. Udfordringen Opgavens hensigt er målingsdivision, men eleverne kan anvende division såvel som multiplikation for at løse opgaven. Det kan give eleverne bedre mulighed for at kunne forestille sig løsningen, hvis du lader dem tegne opgaven. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 27 Freddys bageri Læringsmål Eleven • ved, at division er opdeling i lige store mængder. • har viden om, at division er det modsatte af at gange. • kan genkende forskellige divisionsprocesser ud fra hverdagssituationer. • forstår, at division kan opfattes som et minusstykke, hvor man trækker det samme tal fra et bestemt antal gange. • kan anvende forskellige divisionsalgoritmer ud fra egne valg. • kan anvende division som både delings-­‐ og målingsdivision. Faglige og metodiske kommentarer Dette scenarie supplerer det forrige ved at arbejde med situationer fra virkeligheden, hvori der indgå divisionsprocesser. Vi øger divisionens sværhedsgrad mod behovet for at have en eller anden divisionsalgoritme for at kunne overskue beregningen. Det kan muligvis være en hjælp, at eleverne eller blot nogle af elever inddrager lommeregneren til hjælp. Det er afgørende, at eleverne får forståelse af, hvornår og hvordan man kan støde ind i problemstillinger i virkeligheden, som involverer brugen af division. Det er ikke noget ukendt fænomen, at elever ved tidligere tiders megen fokus på træning af regler og forretningsgange undlod ovenstående referencer til virkeligheden, så man ofte hørte elever i de ældste klasser stille spørgsmålet ”skal jeg gange eller dividere”. Vi går ikke ind i en større formalisering af divisonsalgorimer i selve scenariet – det foreslår vi i stedet sker ved gennemgang af Viden om, hvor der som i forrige kapitel er en præsentation af mange forskellige forslag til mulig ”papirregning”. I videoen ”Viden om At dele” kan man se algoritmerne gennemgået. Hvis man vil arbejde med denne del skal der anbefales selvstændig tid samt behov for at vedtage hvor svært et divsionstykke, man mener ”en normalelev” i klassen skal præstere med papirregning. Komplicerede divisonsstykker bør nok foregår på lommeregner, men der kan selvfølgelig være elever, som ønsker at udfordre sig selv her. Gå evt. på nettet og find youtube film af ”division” og undersøg de mange forskellige traditioner, der er rundt om i verden. Kommentarer til opgaver og IT Opgave 1 Vi indleder med et par simple beregningsopgaver, som bør være enkle for de fleste elever. Her er divisionsscenariet at finde stk. pris -­‐ hvilket eleverne må kunne nikke genkendende til i andre sammenhænge. Observér hvilke løsningsstrategier eleverne anvender. Prøver de sig frem? Gætter de? Tegner de mønter, hvor 20 kr. deles i fire bunker? Eller siger de 20 : 4? Eller … Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 28 Opgave 2 Der kan være elever, som har svært ved at forstå, hvad der ligger i ordet ”sammenlign”. Det er et af de førfaglige ord, som man måske skal inddrage i klassens samlede sprogbrug – og måske have taget op inden man igangsætter scenariet. Når man sammenligner noget, undersøger man, om der kan være en forskel af en eller anden art. Det kan være størrelsen på to pinde – den ene er større end den anden. Det kan være prisen på noget osv. I denne opgave skal man undersøge, hvad der bedst kan betale sig – en situation som eleverne sikkert kan forestille sig i andre sammenhænge. Det er ganske simpel hovedregning, men vi har som sagt sat mere fokus på, hvad det er man skal gøre end på beregningens kompleksitet. Opgave 3 – 4 Den første opgave er en opvarmning til, at tal kan blive store og være umiddelbart vanskelige at klare ved brug af brikker og hovedregning. Mange elever vil i denne opgave anvende en multiplikativ tankegang, idet de ved, at der er 10 æsker fyldt med 8 cupcakes i hver. I opgave 4 antyder vi, at der kan være brug for et notat på papir, ligesom bagermesterne gør. Vi har ikke angivet bagemester Freddys metode, idet vi gerne ser eleven selv går på opdagelse i en mulig forretningsgang i at dele 192 : 8. Man kan her overveje at inddrage lommeregneren til kontrol i kombination med elevernes notatregning. Vi kan som med tidligere anbefale, at man kløver tallet på fornuftig vis (hvad kan være forskellig fra elev til elev). Det kunne være, at en opdeling 100 + 90 + 2 var en mulighed, men det er ikke umiddelbart enkelt, idet det involverer vekslinger som 100 : 8 giver 12 og 4 til rest. Man kunne i stedet tænke i noget som 8 går op i fx 160 + 32 som giver 20 + 4 altså 24. Man vil også kunne bruge en form for subtraktionsmetode. • Først tager vi 80 cupcakes – det svarer til 10 æsker – så er der 112 cupcakes tilbage. • Så tager vi 80 cupcakes mere – det svarer til 10 æsker – så er der 32 cupcakes tilbage. • Så deler vi de sidste 32 cupcakes – det svarer til 4 æsker. • Sammenlagt bliver det 24 æsker – uden noget til rest. Lad endelig eleverne bruge god tid til opgaven og måske sammenligne metoder på tværs af klassen. Opgave 5 -­‐ 6 Disse opgaver illustrerer en målingsdivision, som svarer til, at man foretager en gentagen subtraktion. Vi kombinerer det med opgaver, som involverer brug af multiplikation i opgave 6, så eleven oplever disse regningsarter som to sider af samme sag. Opgave 7 I denne opgave arbejdes der blandt andet med halvering og division med rest, der tælles med. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 29 Opgave 8 I denne opgave arbejdes der med fordobling. Udfordringen På den viste tallinje er illustreret tanken bag ved fortløbende subtraktion eller mere præcist en målingsdivision. Eleven skal her kunne beskrive en regnehistorie i stil med ”I en beholder er der 40 dl saft. Det skal hældes på flasker, hvor der kan være 8 dl. Det giver 5 flasker saft”. Regnefortællingerne i den anden opgave er en fortsættelse af dette blot ud fra en symbolisering af en division. Til sidst rettes der fokus på, hvorfor den kommutative lov ikke gælder ved division. Eleverne skal vise ved hjælp af fx tegning hvorfor 4 dL : 2 ikke er det samme som 2 dL : 4. Der er flere forskningsresultater, der tyder på, at mange elever selv meget sent i grundskoleforløbet ikke har indset denne væsentlige forskel. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 30 Aktiviteter Lommeregneren og det gode gæt Materialer: Lommeregner, tre terninger Faglige og metodiske kommentarer Vi har valgt spillesituationen som grundlag for leg og læring omkring division. Det skyldes, at der gennem spillene opstår mulighed for, at eleverne sætter sig ind i opgaveløsninger på en helt anden motiverende facon. I ”Lommeregneren og det gode gæt” skal eleverne sætte deres færdigheder og hukommelse omkring division og gangetabeller på spil. Vi sætter fokus på det kvalificerede gæt og lægger samtidig vægt på, at hovedregning er en central og moderne vigtig færdighed i matematik. Der sendes også et signal om, at det er i orden at være tæt på uden at være helt præcis – eller måske snarere turde gætte, hvis man ikke lige kan gennemskue det nøjagtige resultat. Man kan evt. udvide spillet med flere terninger eller ved at anvende 10-­‐sidede terninger. I forbindelse med inddragelse af 10-­‐sidede terninger skal man være opmærksom på at nul kan forekomme som divisor. Eleverne skal inden de går i gang have styr på, hvad der i spillet menes med det ”Store tal” og det ”Lille tal”. Begræns spillet på en eller anden måde fx ved at sige bedst af ti slag eller noget i den stil. Lommeregneren og flest brikker Materialer: Lommeregner, brikker, 2 terninger Faglige og metodiske kommentarer Eleverne skal i ”Lommeregeneren og flest brikker” arbejde med opdeling i lige store mængder – og samtidig få erfaringer med, at nogle antal har mulighed for mange måder at blive opdelt på i lige store mængder. En øvelse som er i familie med den efterfølgende aktivitet omkring fænomenet ”divisor i” et tal. Et eksempel: Elev A får terningskastet 4 og 5 – som multipliceret giver 20. Eleven tager nu 20 brikker, som ligger i en stor bunke foran begge spilerne. De 20 brikker deles på så mange måder hun kan gennemskue her som divisionsstykkerne 20 : 4, 20 : 5, 20 : 10 og 20 : 2. Dvs hun kan notere sig 4 point. Det kan drøftes om 20 : 1 er et resultat, så der er tale om den samlede mængde – lad eleverne selv træffe dette valg Hun lægger nu brikkerne tilbage og beder sin makker om at slå med terningerne. Vælg også i denne aktivitet en elle anden form for tidsbegrænsning. Eleverne vil undervejs opleve, at der er gode slag og dårlige slag fx vll et slag som to seksere være et godt slag, mens et slag som to enere ikke giver noget. Det er Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 31 afgørende, om man tidligere har vedtaget, at 20 : 1 er et resultat eller ej. I så fald vil 1:1 kunne indgå som 1 point ellers ikke. Division og taltavle Materialer: Taltavle til 49, lommeregner Faglige og metodiske kommentarer Der ligger en sporglig finulighed i ”divisor i” til forskel fra udtrykket ”en divisor”. Der kan være lidt uklarhed i sprogbrugen og de faglige definitioner, som man som lærer bør være opmærksom på. Divisor anvendes i flæng om både det tal, man dividerer med fx a : b, hvor b er divisoren og om de tal, som går op i et tal uden rest. Som eksempel kan nævnes, at 24 har følgende divisorer 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24. Det kan være lidt forvirrende. Vi har bemærket, at der for at skelne, er faglitteratur, som anvender ”divisor i” et tal ,som vi har taget til os for at skelne. Dvs. at tallet 5 indgår i 24 : 5 som divisor men det er ikke en ”divisor i” tallet, idet der opstår en rest ved divisionen. Ovenstående er ikke meningen, at eleverne skal udsættes for, men blot en faglig kommentar, så man som lærer kan være forberedt, hvis diskussionen opstår. Det skal siges, at det kan være et lidt større arbejde at gennemføre denne analyse, men på mange måder opnår eleverne et godt talkendskab, som de kan profitere af senere. Hvis de tænker tilbage på øvelsen med at undersøge hundredetavlen for tabelmønstre kan de anvende resultaterne herfra i denne opgave. Appler til at eleverne får øje på mønstre hele tiden og måske deler dem i klassen, så hvert tal ikke skal opfattes som en ny opgave. Eleverne vil blandt andet opleve, at primtallene er karakteriseret ved kun at have 1 og tallet selv som divisor i tallet – altså netop kun to divisorer. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 32 Eftertanken Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: • De tre kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. • Et EVA-­‐ark, som er en diagnostisk test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. • Elevernes egen faglige logbog, hvor de formulerer deres viden. Hvorfor det? I eftertankeopgaven ”Hvorfor det?” skal eleverne arbejde med kommunikationskompetencen og ræsonnementskompetencen. I ordet forklaring lægger vi også en forventning om, at eleverne anvender argumenter, så det ikke kun er ren beskrivelse. Man skal ikke underkende vanskelighederne af at give sådanne sproglige forklaringer, idet man meget ofte gør ting og har viden, som giver problemer at sprogliggøre. Der ligger imidlertid megen læringsværdi i at prøve, ud over at det er en del af en matematisk færdighed, så er der værdi for læreren i at lytte til dette forståelsesniveau. I forbindelse med opgave a vil dette ofte være eksemplets kraft, som viser, at den kommutative lov kke gælder for division. De kan også bruge lommeregner og vise resultaternes forskellighed. De mange svar I eftertankeopgaven ”De mange svar” skal eleverne arbejde med en åben opgave knyttet til problembehandlingskompetencen. Her kan eleverne trække på deres løsning af opgaverne på Aktivitetssiderne Vis det I eftertankeopgaven ”Vis det” skal eleverne arbejde med kommunikationskompetencen. Har de løst den tilsvarende opgave i foregående kapitel kan de anvende den tekniske tilgang igen – nu blot med division. Huskeren Eleven formulerer med egne ord deres viden og færdigheder inden for emnet At dele. Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 33 Kontext+ 4 Foreløbig lærervejledning til ”At dele” 5. juli 2014 Side 34