1. No category

A RKIMEDES ’ HÆVN
Benjamin Randeris Johannesen
E-mail: benjamin@imf.au.dk
Institut for Matematiske Fag
Aarhus Universitet
15. september 2010
1/ 28
A RKIMEDES
Sted: Syrakus.
Født: ca. 287 f.Kr.
Død: ca. 212 f.Kr.
Han lagde hele sin kærlighed
og alle sine ambitioner i de
renere spekulationer, hvor der
ikke kan være nogen
henvisning til livets vulgære
behov.
– P LUTARK
2/ 28
En af de største
matematikere gennem tiden
2/ 28
Planen for i aften
3/ 28
Planen for i aften
Arkimedes’ liv
1 Myter og renommé
Heureka!
Matematiker af sjæl
2 Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
3/ 28
Planen for i aften
Arkimedes’ liv
1 Myter og renommé
Heureka!
Matematiker af sjæl
2 Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
Arkimedes’ hævn
3 Problemet
Hvad handler det om?
Detaljerne
4 Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
3/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Heureka!
Matematiker af sjæl
4/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Heureka!
Matematiker af sjæl
“Forstyr
ikke mine
cirkler !”
5/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
6/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
6/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
6/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
7/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
Voluminet af en pyramide?
7/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
8/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
4 3
πr
3
Vc = πr 2 · 2h
Vb =
= 2πr 3
Vb
2
=
Vc
3
8/ 28
Myter og renommé
Matematiske problemer
4 3
πr
3
Vc = πr 2 · 2h
Vb =
= 2πr 3
Vb
2
=
Vc
3
Cirklen og π
Arealer og voluminer
Kuglen og cylinderen
Ab = 4πr 2
Ac = 2πr · h + 2πr 2
= 6πr 2
2
Ab
=
Ac
3
8/ 28
Kædebrøker
Kædebrøker
Rationale tal (brøker):
7
1
1
= 1 + 9 = 1 +
9
1+
7
1
1
=1+
=1+
1
1+ 7
1 + 3+1 1
(2)
2
16/9 = 1 +
2
7
Irrationale tal (ikke brøker):
π = 3 + 0, 1415 . . . = 3 + =3+
1
1
0,1415...
=3+
1
7, 0625 . . .
1
1
=3+
7 + 0, 0625 . . .
7 + 15+1
1
1+···
9/ 28
Kædebrøker
Kædebrøker
Irrationale tal (ikke brøker):
√
√
1
=1+
2=1+ 2−1=1+ √1
2−1
=1+
1
√
1+ 2
1
1
√
=1+
1
2 + 2+···
2 + ( 2 − 1)
9/ 28
Kædebrøker
Kædebrøker
Irrationale tal (ikke brøker):
√
√
1
=1+
2=1+ 2−1=1+ √1
2−1
1
√
1+ 2
1
1
√
=1+
1
2 + 2+···
2 + ( 2 − 1)
√
Konvergenter til 2 (de første tre):
=1+
[1] = 1
[1, 2] = 1 +
[1, 2, 2] = 1 +
1
2
1
2+
1
2
9/ 28
Kædebrøker
Kædebrøker
Irrationale tal (ikke brøker):
√
√
1
=1+
2=1+ 2−1=1+ √1
2−1
1
√
1+ 2
1
1
√
=1+
1
2 + 2+···
2 + ( 2 − 1)
√
Konvergenter til 2 (de første tre):
=1+
[1] = 1
1
3
=
2
2
7
1
=
[1, 2, 2] = 1 +
1
5
2+ 2
[1, 2] = 1 +
9/ 28
Arkimedes’ kvadrat
Pauseøvelse:
Arkimedes’ kvadrat
(Ostomachion)
På hvor mange måder kan man
lave et kvadrat med alle
brikker?
10/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Hvad handler problemet om?
11/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Kvæg.
11/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Kvæg, kvæg.
11/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Kvæg, kvæg, kvæg!
11/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Rigtig mange kvæg...
11/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Rigtig mange kvæg... MUH!
11/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
For at tælle Solgudens kvæg skal du være
snedig. De græssede i fordoms tid på Siciliens
thrakiske gulv, hyrdet i fire flokke alt efter farve.
Den første flok var snehvid, den næste med
huder som ibenholt, den tredje var brun, den
sidste var broget.
12/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
I hver flok var der prægtige tyre, givet
ved følgende forhold: tæl halvdelen af
de sorte, og læg dertil en tredjedel.
Tilføj da alle de brune, og så ved du
hvor mange hvide tyre der er.
De sorte tyre overgik også de brune i
antal; med en fjerdedel samt en
femtedel af de brogede.
For at kende de sidste tyre – plettede
hver og en – tæl da igen de brune, og
føj dertil en sjettedel samt en
syvendedel af de hvide.
W =
B=
D=
1 1
+
2 3
1 1
+
4 5
1 1
+
6 7
B+Y
D+Y
W +Y
13/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Om antallet af køer siges der om de hvide, at de i
forhold til de sorte tyre og de sorte køer udgjorde
nøjagtigt en tredjedel plus en fjerdedel.
w=
1 1
+
3 4
(B + b)
De sorte køer talte nok en kvart samt endnu en
1 1
femtedel af de brogede kvæg når de sammen med
b=
+
(D + d)
4 5
tyrene græssede.
De brogede køer udgjorde en femtedel samt en
sjettedel af samtlige brune kvæg.
1 1
d=
+
(Y + y )
5 6
Endelig talte de brune køer en halv tredjedel samt
1 1
y=
+
(W + w)
en syvendedel af den snehvide flok.
6 7
14/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Sig da hvor mange høveder Solguden ejede af
både fuldfede tyre og køer af alle farver og ingen
vil betvivle dine talkundskaber. Om end du selv
da endnu ikke regnes blandt de vise.
15/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Sig da hvor mange høveder Solguden ejede af
både fuldfede tyre og køer af alle farver og ingen
vil betvivle dine talkundskaber. Om end du selv
da endnu ikke regnes blandt de vise.
15/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Sig da hvor mange høveder Solguden ejede af
både fuldfede tyre og køer af alle farver og ingen
vil betvivle dine talkundskaber. Om end du selv
da endnu ikke regnes blandt de vise.
15/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Men kom! Indse nu det følgende: Når
end Solgudens hvide tyre mødte de
sorte udgjorde de en kæmpe flok af
lige stor længde og bredde og fyldte
ganske Thrakien ud.
W + B = k2
16/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Men kom! Indse nu det følgende: Når
end Solgudens hvide tyre mødte de
sorte udgjorde de en kæmpe flok af
lige stor længde og bredde og fyldte
ganske Thrakien ud.
W + B = k2
16/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Men kom! Indse nu det følgende: Når
end Solgudens hvide tyre mødte de
sorte udgjorde de en kæmpe flok af
lige stor længde og bredde og fyldte
ganske Thrakien ud.
W + B = k2
“Kvadratproblemet”
16/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Men når de brune tyre blandedes
med de brogede yndede de at samles
i rækker der sammen udgjorde en
perfekt trekant hvori ingen tyr
manglede en plads.
Y +D =
i(i + 1)
2
17/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Men når de brune tyre blandedes
med de brogede yndede de at samles
i rækker der sammen udgjorde en
perfekt trekant hvori ingen tyr
manglede en plads.
Y +D =
i(i + 1)
2
17/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Men når de brune tyre blandedes
med de brogede yndede de at samles
i rækker der sammen udgjorde en
perfekt trekant hvori ingen tyr
manglede en plads.
Y +D =
i(i + 1)
2
“Trekantsproblemet”
17/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Prøv da, min ven, om du kan slutte hvordan
disse forhold tallene giver. Så kan du bade i
hæder og ære thi da er du sandelig vis!
18/ 28
Problemet
Løsningen
Hvad handler det om?
Detaljerne
Prøv da, min ven, om du kan slutte hvordan
disse forhold tallene giver. Så kan du bade i
hæder og ære thi da er du sandelig vis!
18/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
19/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
19/ 28
Problemet
Løsningen
W =
742
Y,
297
B=
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
178
Y,
99
D=
1580
Y,
891
20/ 28
Problemet
Løsningen
W =
742
Y,
297
B=
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
178
Y,
99
D=
1580
Y,
891
og derfor
W = 2226m,
B = 1602m,
D = 1580m,
Y = 891m.
20/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
21/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
4893246
7206360
m, b =
m,
4657
4657
3515820
5439213
d=
m, y =
m.
4657
4657
w=
22/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
4893246
7206360
m, b =
m,
4657
4657
3515820
5439213
d=
m, y =
m.
4657
4657
w=
Med m = 4657n bliver
(w, b, d, y ) = (7206360n, 4893246n, 3515820n, 5439213n)
22/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
4893246
7206360
m, b =
m,
4657
4657
3515820
5439213
d=
m, y =
m.
4657
4657
w=
Med m = 4657n bliver
(w, b, d, y ) = (7206360n, 4893246n, 3515820n, 5439213n)
og
(W , B, D, Y ) = (10366482n, 7460514n, 7358060n, 4149387n).
22/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
W + B = k 2.
23/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
W + B = 17826996n = k 2 .
23/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
W + B = 17826996n = 22 · 3 · 11 · 29 · 4657n = k 2 .
23/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
W + B = 17826996n = 22 · 3 · 11 · 29 · 4657n = k 2 .
Med n = 3 · 11 · 29 · 4657q 2 bliver W + B et kvadrattal:
W + B = 22 · 32 · 112 · 292 · 46572 q 2 = k 2 .
23/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
24/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
Omskrevet får vi
i 2 + i = 2(Y + D) eller (2i + 1)2 = 8(Y + D) + 1.
24/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
Omskrevet får vi
i 2 + i = 2(Y + D) eller (2i + 1)2 = 8(Y + D) + 1.
Vi har altså
(2i + 1)2 = 8 · 11507447n + 1.
24/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
Omskrevet får vi
i 2 + i = 2(Y + D) eller (2i + 1)2 = 8(Y + D) + 1.
Vi har altså
(2i + 1)2 = 8 · 11507447n + 1.
Med n = 3 · 11 · 29 · 4657q 2 fra før:
(2i + 1)2 = 8 · 11507447 · 3 · 11 · 29 · 4657 · q 2 + 1
24/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
Omskrevet får vi
i 2 + i = 2(Y + D) eller (2i + 1)2 = 8(Y + D) + 1.
Vi har altså
(2i + 1)2 = 8 · 11507447n + 1.
Med n = 3 · 11 · 29 · 4657q 2 fra før:
(2i + 1)2 = 8 · 11507447 · 3 · 11 · 29 · 4657 · q 2 + 1
= 410286423278424q 2 + 1.
24/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
Omskrevet får vi
i 2 + i = 2(Y + D) eller (2i + 1)2 = 8(Y + D) + 1.
Vi har altså
(2i + 1)2 = 8 · 11507447n + 1.
Med n = 3 · 11 · 29 · 4657q 2 fra før:
p2 = (2i + 1)2 = 8 · 11507447 · 3 · 11 · 29 · 4657 · q 2 + 1
= 410286423278424q 2 + 1.
24/ 28
Problemet
Løsningen
Y +D =
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
i(i + 1)
.
2
Omskrevet får vi
i 2 + i = 2(Y + D) eller (2i + 1)2 = 8(Y + D) + 1.
Vi har altså
(2i + 1)2 = 8 · 11507447n + 1.
Med n = 3 · 11 · 29 · 4657q 2 fra før:
p2 = (2i + 1)2 = 8 · 11507447 · 3 · 11 · 29 · 4657 · q 2 + 1
= 410286423278424q 2 + 1.
Dette giver
p2 − 410286423278424q 2 = 1.
24/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Det viser sig, at x 2 − 2y 2 = 1, findes den uforkortelige brøk
√
blandt konvergenterne til 2, dvs. blandt
x
y
[1] = 1
1
3
=
2
2
7
1
=
[1, 2, 2] = 1 +
1
5
2+ 2
17
1
=
[1, 2, 2, 2] = 1 +
1
12
2 + 2+ 1
[1, 2] = 1 +
2
..
.
25/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Dette gælder generelt, så når p2 − 410286423278424q 2 = 1,
findes den uforkortelige brøk qp blandt konvergenterne til
√
410286423278424
26/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Dette gælder generelt, så når p2 − 410286423278424q 2 = 1,
findes den uforkortelige brøk qp blandt konvergenterne til
√
410286423278424
Vi kan altså finde p og q og der er også begrænsninger for,
hvor længe vi skal lede.
26/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Dette gælder generelt, så når p2 − 410286423278424q 2 = 1,
findes den uforkortelige brøk qp blandt konvergenterne til
√
410286423278424
Vi kan altså finde p og q og der er også begrænsninger for,
hvor længe vi skal lede.
Bare rolig, der findes metoder, der gør det lettere at finde
konvergenterne, ligesom der findes en helt teori om emnet.
26/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Heureka!
27/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Med q kan vi udregne n og husk, at
(w, b, d, y ) = (7206360n, 4893246n, 3515820n, 5439213n)
og
(W , B, D, Y ) = (10366482n, 7460514n, 7358060n, 4149387n)
27/ 28
Problemet
Løsningen
De første skridt
“Kvadratproblemet”
“Trekantsproblemet”
Enderne mødes
Med q kan vi udregne n og husk, at
(w, b, d, y ) = (7206360n, 4893246n, 3515820n, 5439213n)
og
(W , B, D, Y ) = (10366482n, 7460514n, 7358060n, 4149387n)
Løsningen på vores problem er så
w + b + d + y + W + B + D + Y.
27/ 28
Problemet
Løsningen
S PØRGSMÅL ?
28/ 28