1. No category

 Matematik for C‐niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse
1. Tal og bogstavregning ......................................................................................... 5 De elementære regnings‐arter og deres rækkefølge ........................................... 5 Brøker ................................................................................................................... 9 Regning med bogstavudtryk .............................................................................. 12 Talsystemet ........................................................................................................ 15 Intervaller ........................................................................................................... 17 Potenser og rødder ............................................................................................ 20 Ligninger ............................................................................................................. 24 Uligheder ............................................................................................................ 28 Formler ............................................................................................................... 32 2. Funktioner ......................................................................................................... 38 Koordinat‐systemet ............................................................................................ 38 Funktions‐begrebet ............................................................................................ 40 Grafisk billede .................................................................................................... 44 Nogle elementære funktioner ............................................................................ 51 Funktioners monotoniforhold ............................................................................ 55 Grafisk løsning af ligninger og uligheder ............................................................ 59 Generelt om funktioner ..................................................................................... 65 3. Lineære funktioner og deres grafer................................................................... 69 Ret linje gennem to punkter .............................................................................. 77 4. Procentregning .................................................................................................. 83 Regning med procenter ...................................................................................... 83 Ændring af et tal med en procentdel ................................................................. 84 Indekstal ............................................................................................................. 91 5. Rentesregning ................................................................................................... 97 Renteformlen ..................................................................................................... 97 Rentefod for forskellige tidsrum ...................................................................... 103 2 Gennemsnitlig vækstrate ................................................................................. 105 6. Opsparing og lån .............................................................................................. 108 Annuitets‐opsparing ......................................................................................... 108 Annuitets‐lån .................................................................................................... 114 7. Ensvinklede og retvinklede trekanter .............................................................. 120 Ensvinklede trekanter ...................................................................................... 120 Phytagoras sætning .......................................................................................... 123 Trekanters areal ............................................................................................... 125 Sinus og cosinus ............................................................................................... 127 Den retvinklede trekant ................................................................................... 129 Tangens ............................................................................................................ 133 8. Eksponentielle funktioner ............................................................................... 137 To vækstmodeller............................................................................................. 137 Eksponentielle funktioner ................................................................................ 142 Enkelt‐logaritmiske koordinat‐systemer .......................................................... 147 Bestemmelse af forskriften for en eksponentiel funktion ............................... 149 Logaritme‐funktionen ...................................................................................... 157 Eksponentielle ligninger ................................................................................... 161 Fordoblings‐konstant ....................................................................................... 163 Halverings‐konstant ......................................................................................... 167 9. Potensfunktioner og potensudviklinger .......................................................... 173 Potensfunktioner ............................................................................................. 173 Potensudviklinger ............................................................................................. 176 Dobbelt‐logaritmiske koordinat‐systemer ....................................................... 177 Bestemmelse af forskriften for en potensudvikling ......................................... 179 Procentvis ændring af den afhængige og den uafhængige variabel ................ 188 Potensligninger ................................................................................................ 190 10. Beskrivende statistik ..................................................................................... 191 Ugrupperede observationer ............................................................................. 191 3 Grupperede observationer ............................................................................... 199 Statistiske beskrivende størrelser for grupperede observationer .................... 208 4 1.Talogbogstavregning

De fire regningsarter  Regningsarternes hiearki  Parenteser, plus‐ og minusparenteser  Brøker  Bogstavregning  Talsystemet  Intervaller  Potenser og rødder  Ligninger  Uligheder  Formler Dette kapitel omhandler de grundlæggende regler for regning med tal og bogstaver, hvilket kaldes for aritmetik. Deelementæreregnings‐arterogderesrækkefølge
De fire elementære regnings‐arter er subtraktion med tegnet ‐ (minus). Resultatet af en subtraktion kaldes en differens. multiplikation med tegnet ∙ (gange). Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. division med tegnet : (divideret med). Resultatet af en division kaldes en kvotient. addition med tegnet + (plus). Resultatet af en addition kaldes en sum. 5 Man siger f.eks. at summen af 8 og 5 er 13 produktet af 6 og 7 er 42 differensen mellem 7 og 4 er 3 kvotienten mellem 12 og 6 er 2 differensen mellem 6 og 9 er ‐3 kvotienten mellem 2 og 8 er REGNINGS-ARTERNES RÆKKEFØLGE
Hvis der i et udtryk indgår flere regnings‐arter, skal de udføres i en bestemt rækkefølge. Man kaldes også dette for regnings‐arternes hiearki. Man regner f.eks. sådan 4∙6
3
21 og 10
18 ∶ 6
13 Det almindelige princip er følgende: Man ganger og dividerer inden man lægger til eller trækker fra. Disse regler er indbygget i lommeregneren, så udtryk som de ovenstående indtastes som de står: 4
6
3
18
og 10
6
Hvis der også optræder potenser, udregnes de før multiplikation og division: 4⋅2
5
27 Eksempel 1 4⋅3
12 ∶ 3
5
17,
5
4
9,10
3⋅5
6∶3
6
13,2 ⋅ 5
8,7
6
44 2 ⋅5
47 6 PARENTESER
Man bruger parenteser, når man vil ophæve den vedtagne rækkefølge af udregninger. Hvis man f.eks. ønsker at lægge sammen inden man ganger, så skriver man 4⋅ 3
7
40 og 17
3 ∶7
2 fordi man uden parenteser får 4⋅3
7
19 og 18
6∶3
16 Man bruger desuden parenteser i forbindelse med fælles faktorer for flere led. Vi udregner 24
9
15
18 Her går 3 op i alle tallene 24, 9 og 15 og man siger at 3 er en fælles faktor for tallene. Den kan derfor sættes uden for en parentes 24
9
15
18
3⋅ 8
3
5
3⋅6
18 Man kan også gange ind i en parentes. F.eks. giver disse to udregninger det samme: 5 ⋅ 10
3
5⋅7
35 og 5 ⋅ 10
5⋅3
35 Man siger at man har ganget ind i parentesen, når man skriver 5 ⋅ 10
3
5 ⋅ 10
6⋅ 7
2
6⋅7
5 ⋅ 3 Tilsvarende fås 6 ⋅ 2 7 Eksempel 2 Man sætter uden for en parentes sådan: 30
25
10
5⋅ 6
5
2
5⋅3
15 Man ganger ind i en parentes sådan: 2⋅ 9
7
5
2⋅9
2⋅7
2⋅5
18
14
10
22 I nogle udregninger har man brug for at fjerne parenteser og her skal man kende forskel mellem plusparenteser og minusparenteser. Plusparenteser er parenteser med tegnet + foran. Den slags parenteser kan fjernes uden videre. F.eks. 3
12
7
9
2
3
12
7
9
2 fordi man ved udregning får 12
venstre side: 3
15 højre side: 3
12
7
9
2
15 Minusparenteser har fortegnet foran. De fjernes ved at skifte fortegnet i alle led i parentesen. F.eks. 16
7
2
8
16
7
2
8 Eksempel 3 Plus og minusparenteser hæves sådan: 3
5
3⋅2
8
6
2⋅7
4⋅4
6⋅3
8
5
3
5
6
8
6
3⋅2
2
3
2⋅7
4⋅4
8
11
6⋅3
5
6
6
14
5
6
16
2
3
8 19 18
3 8 Brøker
Vi skal her gennemgå de gængse regneregler for brøker. Brøkregning har især interesse, når man skal regne på formler med bogstaver. I første omgang vil vi se på udregninger med rene tal. FORLÆNGNING OG FORKORTNING
Man forlænger en brøk med et tal, hvis tæller og nævner ganges med samme tal. Brøken ændrer ikke værdi ved forlængning. Vi forlænger 4⋅2
4
med2ogfår
7⋅2
7
8
14
8⋅3
8
med3ogfår
5⋅3
5
24
15
Man forkorter en brøk med et tal ved at dividere tæller og nævner med tallet. Brøken ændrer ikke værdi ved forkortning. F.eks. kan vi forkorte 21: 3
21
med3ogfå
15: 3
15
7
5
24: 12
24
med12ogfå
36: 12
36
2
3
ADDITION OG SUBTRAKTION
Brøker med samme nævner, lægges sammen og trækkes fra hinanden ved at lægge sammen og trække fra i tælleren og beholde nævneren: 5
9
8
9
5
8
9
13
17
,
9
8
6
8
17
6
8
11
8
9 Brøker med forskellige nævnere lægges sammen og trækkes fra hinanden, ved at finde en fællesnævner for brøkerne. Dette sker ved at forlænge hver brøk med passende tal, f.eks. er 7
5
3
4
7⋅4
5⋅4
3⋅5
4⋅5
28
20
15
20
28
1⋅2
9⋅2
15
18
2
18
15
20
43
20
5
6
1
9
5⋅3
6⋅3
13
18
MULTIPLIKATION
Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet, f.eks. 5⋅
7
2
5⋅7
2
35
3
, ⋅ 8
2
7
3⋅8
7
24
7
Et specialtilfælde, som vi senere skal bruge, er følgende: hvis man ganger en brøk med dens nævner, fås tælleren: 3
7
7⋅3
7
21
7
3 5
⋅6
6
5⋅6
6
30
6
5 7⋅
Tilsvarende fås at To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner: 4 2
⋅
5 3
4⋅2
5⋅3
8
1 3
, ⋅
15 7 8
1⋅3
7⋅8
3
56
10 DIVISION
Man dividerer en brøk med et tal ved at gange med tallet i nævneren. F.eks. er 10
7⋅6
10
∶6
7
10
42
5
21
2
∶7
3
2
3⋅7
2
21
Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk, f.eks.. 8 ∶
6
7
3 3
∶
4 5
7
6
8⋅7
6
56
6
28
3
3 5
⋅
4 3
3⋅5
4⋅3
15
12
5
4
8⋅
11 Regningmedbogstavudtryk
I bogstavregning lader man bogstaver stå istedet for tal. Eksempel 4 Udtrykket3 2
2
3
4
skal reduceres. Først ganges der ind i parentesen: 6
3
2
6
4
4 Så hæves parenteserne: 6
3
2
6
4
4
6
6
4
3
2
4
16
3
2
4
16
Eksempel 5 Hvis man er blevet vant til at reducere, kan man undvære nogle mellemregninger: 3
5
3
15
2
3
2
24
4
3
8
6
18
5
5
2
3
10
15
5 12 Eksempel 6 Sikkersoq har købt 5 appelsiner, 3 bananer og 2 citroner. 4 appelsiner koster 4 kr. stk. og man kan skrive bananer koster 6 kr. stk. og man kan skrive 6 citroner koster 5 kr. stk. og man kan skrive 5 Den samlede pris skrevet med bogstaver er: pris
5
3
2 og kan så udregnes at være: pris
5⋅4
3⋅6
2⋅5
20
18
10
48kr. Eksempel 7 Erneeraq har været inde i den samme butik som Sikkersoq og har købt 8 appelsiner, 10 bananer og 7 citroner. Hvor meget har de tilsammen købt for ? Den samlede pris skrevet med bogstaver er: pris
5
8
3
10
2
7
13
13
9 og kan så udregnes at være: pris
13 ⋅ 4
13 ⋅ 6
9⋅5
56
78
45
175kr. 13 Eksempel 8 ⋅
Arealet af en trekant kan skrives som: ⋅ , hvor er grundlinjen og højden. 5cm og Hvis man får at vide, at 1
⋅
2
7cm, hvad er så arealet ? 1
⋅ 5cm ⋅ 7cm
2
⋅
17.5cm I en anden trekant er 2cm og 1
⋅
2
10cm . Hvad er arealet ? 1
⋅ 2cm ⋅ 10cm
2
⋅
10cm Dette viser hvorfor det er praktisk at skrive udtryk med bogstaver: man udskifter bogstaverne med de tal som er gældende i den givne situation. Eksempel 9 Man skal reducere udtrykket 3
2
5
4
6
Først skal man finde en fællesnævner. Den mindste fællesnævner er 12. 2∙ 3
2
2∙6
6
4
3∙ 5
3∙4
15
12
12
6
3
4
3
15
12
3
19
12
14 Talsystemet
Tallene vi regner med, kan afsættes på en tallinje, hvor de positive tal afsættes til højre for 0 og de negative til venstre for 0. På tallinjen herover er kun afsat hele tal, men også brøker og decimalbrøker har deres plads på tallinjen. TYPER AF TAL
Man bruger forskellige betegnelser for de forskellige taltyper. De naturlige tal Et naturligt tal er et helt, positivt tal. Vi betegner mængden af disse tal med og skriver sådan: 1, 2, 3, 4, ⋯ De hele tal Samlingen af alle hele tal betegnes : ⋯
3, 2
1, 0, 1, 2, 3, ⋯ De hele tal består af de naturlige tal, de negative hele tal og det specielle tal 0, som hverken er positivt eller negativt. 15 De rationale tal Et rationalt tal er et tal, der kan skrives som en brøk med hele tal i tæller og nævner. Et par eksempler på rationale tal er 9
20
30
17
,
,
, 6
4
65
1
5
,
12
Vi ser, at hele tal er rationale. Desuden er endelige decimalbrøker rationale, fordi vi f.eks. kan skrive 0.7
243
100
7
,2.43
10
De rationale tal betegnes med ℚ, der står for 'quotient' , fordi en brøk kan opfattes som resultatet af en division. De fleste kvadratrødder er ikke rationale tal. F.eks. er √3 og √19 ikke rationale ‐ der findes ingen brøk, der præcis er lig med disse tal. De kaldes irrationale tal. De reelle tal Samtlige tal på tallinjen kaldes reelle tal. De omfatter de hele tal, de rationale tal og irrationale tal. Man skriver de reelle tal med symbolet . På intervalform skrives de rationale tal således: ∞; ∞ 16 Intervaller
Det er praktisk at indføre en skrivemåde for intervaller på tallinjen. Man deler intervaller op i begrænsede og ubegrænsede intervaller. BEGRÆNSEDE INTERVALLER
Et begrænset interval er et afsnit af tallinjen, der ligger mellem to givne tal, der kaldes intervallets endepunkter. Man kan vælge at medtage et eller begge endepunkter eller ingen af endepunkterne. Der er derfor fire forskellige typer af begrænsede intervaller, med hver sin skrivemåde. Eksempler: 5; 8 alletalmellem
5og8, men
5og8erikkemediintervallet. 2; 10 alletalfraogmed2til10, dvs. 2ermedog10erikkemediintervallet. 3; 8 alletalfra3tilogmed8, dvs. 3erikkemedog8ermediintervallet. 5; 9 alletalfraogmed5tilogmed9, dvs. 5ermedog9ermediintervallet. I almindelighed er der altså de fire intervaltyper: ;
, ;
, ;
, ;
Den første type interval kaldes et åbent interval, fordi de to endepunkter ikke er med i intervallet. De to næste typer kaldes halvåbne, fordi det ene endepunkt er med og det andet ikke er med i intervallet Den sidste type kaldes et lukket interval, fordi begge endepunkter er med i intervallet. 17 Man viser de forskellige typer af intervaller med nogle specielle symboler for endepunkterne. Endepunktet tegnes med en fyldt cirkel, hvis det er med i intervallet. Endepunktet tegnes med en tom cirkel, hvis det ikke er med i intervallet. Eksempel 10 Herunder ses nogle eksempler på begrænsede intervaller og den tilhørende skrivemåde. 18 UBEGRÆNSEDE INTERVALLER
Et ubegrænset interval på en tallinje består af alle de tal, der ligger til højre eller til venstre for et givent tal. Denne type intervaller skrives sådan: 7; ∞ alletal, dererstørreendellerligmed7 2; ∞ alletal, dererstørreend
2 ∞; 5 alletal, derermindreendellerligmed5 ∞; 3 alletal, derermindreend3 Symbolerne ∞ og ∞ læses 'uendelig' og ' minus uendelig'. De er ikke tal, men viser at intervallerne fortsætter i det uendelige til højre eller venstre på tallinjen. 19 Potenserogrødder
Vi skal se, at potenser og rødder er to sider af samme sag, idet rødder kan udtrykkes ved potenser. REGNEREGLER FOR POTENSER OG RØDDER
Herunder ses eksempler på regning med potenser af tallet 0 (nogle af regningerne forudsætter at ∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
1
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
Disse regneregler udtrykkes i bogstaver sådan: Potensregneregler
∙
20 Eksemplerne ovenfor demonstrerer kun regnereglerne for positive hele værdier af eksponenterne og . Man ønsker at reglerne skal gælde for alle hele eksponenter, dvs. også for eksponenten 0 og negative eksponenter. Eksponent 0 0 i den første regneregel at Det ses ved at indsætte ∙
⟺
∙
⟺
1 1 Negativ, hel eksponent 3 og I den første regel sætter vi ∙
⟺
3 og får ∙
⟺
∙
1⟺
1
Dette argument kan gennemføres for et hvilket som helst tal. så vi i almindelighed får at: 1
Der gælder f.eks. at 2
1
2
1
, 10
8
1
10
1
100000
1
2
1
0.00001 1
16 21 POTENSER MED BRØKEKSPONENT
Nu indføres potenser, hvor eksponenten ikke er et helt tal, men en brøk. Det er f.eks. potenser af typen 2 , 12.7
.
Man kan f.eks. betragte potensen Efter den sidste regel er Derfor må der gælde at √ På samme måde er Derfor må der gælde at √ Man definerer nu at: √ Således er 5
√5, 8
√8, 57
√57 Nu betragtes potenser med eksponenter der er brøker, hvis tæller ikke er 1. Som eksempel bruges regnereglen 22 på potensen Man får: Det sidste lighedstegn fås ved brug af definitionen på . Desuden gælder at √
√
Generelt defineres derfor √
Et eksempel er 7
7
√49
2.1779 Regnereglerne for de specielle potenser er sammenfattet herunder: 1
1
√
√
√ 23 Ligninger
I dette afsnit skal vi se på hvordan man løser førstegradsligninger med én ubekendt. En typisk problemstilling, der kan formuleres som en ligning er følgende: Det koster 15 kr. i gebyr at sende en pakke og 10 kr. pr. kg. Hvor tung en pakke kan man sende, hvis man har 575 kr. ? Man kan opstille følgende ligning 15
10 ∙
575 Dette er et eksempel på en førstegradsligning med een ubekendt. At løse ligningen vil sige at finde de værdier af , som passer i ligningen. OMFORMNINGS-REGLER FOR LIGNINGER
Når man skal løse en ligning, dvs. finde den eller de værdier af den ubekendte, der passer i ligningen anvendes en række omformnings‐regler. Når man bruger disse regler ændres løsningen ikke , men man kan skrive ligningen på en simplere form, der gør det nemt at se hvad løsningen er. Omformnings‐reglerne er: 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 24 Ligninger der fås af hinanden ved at bruge disse regler samt de almindelige reduktionsregler, kaldes ensbetydende, dvs. de har de samme løsninger. For at vise at to ligninger er ensbetydende bruger man tegnet ⇔ , som er en pil, der peger begge veje. Man skriver f.eks. 2
1 9⇔2
8 fordi begge ligninger har løsningen 4 De to ensbetydende ligninger fremgår af hinanden ved at bruge omformningsreglerne. I dette tilfælde: Den sidste ligning fremgår af den første ved at trække 1 fra på begge sider. Den første ligning fremgår af den sidste ved at lægge 1 til på begge sider. Eksempel 11 I dette eksempel vises hvordan man bruger omformnings‐reglerne til at forsimple en ligning. 3 4 2
1 2
10 3 ⇔Gang ind i parentesen på venstre side. 12 6
1 2
10 3 ⇔ Hæv parentesen på højre side. 12 6
1 2 10 3 ⇔ Reducer begge sider. 13 6
8 3 ⇔ Læg 6 til på begge sider. 13 6
6
8 3
6 ⇔ Reducer begge sider. 13
8 3 ⇔ Læg 8 til på begge sider. 13 8
8 8 3 ⇔ Reducer begge sider. 25 21 3 ⇔ Divider med 3 på begge sider 21 3
⇔ 3
3
7
Når man er vant til at løse ligninger, vil man ofte udelade nogle af mellemregningerne. F.eks. 7 2 5
3
22 3 2
1 ⇔ 7 10
6
22 6
3 ⇔ 13 10
19 6 ⇔ 32
16 ⇔ 2 Ligningen fra indledningen kan løses ved at bruge omformnings‐reglerne: 15
15
10 ∙
15
10
575 ⇔ 575
10
560 ⇔ 10
10
560
⇔ 10
15 ⟺ 56 Man kan derfor sende en pakke på 56 kg, hvis man har 575 kr. 26 Man kan også løse ligninger, hvor den ubekendte står i nævneren på en brøk. F.eks. 20
6 ⇔ 20
∙
6 ⟺ 20
6 ⟺ 20
6
6
⟺ 6
20
6
27 Uligheder
En ulighed opstår, når man mellem to tal eller bogstavudtryk sætter et ulighedstegn, dvs. et af følgende fire tegn: ∶ mindreend f.eks. 7 10 , 2
9 ∶ størreend f.eks. 5
11 , 1 4 3 ∶ mindreendellerligmed f.eks. 8 8 , 3
2 ∶ størreendellerligmed f.eks. 7 2 , 6
5 De to første er skarpe ulighedstegn, de to sidste er svage. Man benytter desuden ulighedstegn til at angive tal, der på tallinjen ligger mellem to bestemte tal, dvs. et interval. F.eks. 4
10hvilketlæses ∶ xliggermellem4og10inklusive At løse en ulighed vil sige at angive de værdier af ,som passer i uligheden, dvs. gør den sand. I uligheden 3
1 11 er 5 en løsning, fordi 5 passer: 3 ∙ 5 1 11 er sandt men 2 er ikke en løsning, da 3 ∙ 2 1 11 er falsk 28 Man kan måske se , at løsningerne er alle værdier af , som er større end eller lig med 4, dvs. løsningerne er 4 OMFORMNINGSREGLER FOR ULIGHEDER
Omformningsreglerne ligner dem for ligninger : 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 Men der er een vigtig ekstra regel: Når man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal man vende ulighedstegnet. Den ekstra regel kan forklares ved at se på nogle eksempler. Se på den sande ulighed 12
8 Hvis man ganger med 3 på begge sider eller dividerer med 2 på begge sider fås igen sande uligheder: 36
24og
6
4 29 Se på den sande ulighed
18
6 Hvis man ganger med 2 på begge sider eller dividerer med 3 på begge sider uden af vende ulighedstegnet fås: 36
12og
6
2 Disse to uligheder er falske. Man får sande uligheder ved at vende ulighedstegnet om: 36
12og
6
2 Dette forklarer hvorfor man skal vende ulighedstegnet om, når man ganger eller dividerer med et negativt tal. Eksempel 12 Vi løser et par simple uligheder, og vælger at skrive udregningerne op under hinanden: 2
4
9 ⟺ 2
13 ⇔ 2
2
13
⟺ 2
6.5 8
3
20 ⇔ 3
12 ⟺ 3
3
12
⟺ 3
4 30 Eksempel 13 Vi løser en ulighed ved at bruge omfornings‐reglerne: 4
3
3
2 5
4
12
3
10
4
12
5
2
⇔ 2 ⟺ 10 ⟺ Løsningerne er derfor alle tal som er mindre end eller lig med 2. Dette er den såkaldte løsningsmængde som kaldes for , og kan skrives ∞; 2 Løsningsmængden kan vises på en tallinje: 31 Formler
Vi har allerede set på formlen for trekantens areal: 1
∙
2
∙ Hvor er grundlinjen og er højden. Der findes andre nyttige formler fra geometri, som man bør kende. Cirkelarealet: Cirkelomkredsen: ∙
2 ∙ 3.14159 og er cirklens radius. Hvor 32 ∙2
Den krumme overflade på en cylinder: Volumen af cylinder: ∙
∙
Hvor er højden af cylinderen. For at finde hele overfladen af cylinderen skal man lægge arealet af de to cirkler i enderne sammen med arealet af den krumme overflade. I science kan man finde denne her slags formler: hvor er massefylde (densitet), er masse og er volumen af en eller anden genstand eller en væske. hvor er fart, er afstand og er tid. De bogstaver, der optræder i en formel kaldes også for formlens variable. 33 Formler kan omskrives. F.eks. kan formlen omskrives på disse måder: ∙
⟺ ∙
∙
∙
∙
⟺ ⟺ ⟺ Den størrelse som står alene på den ene side af lighedstegnet siges at være isoleret. Eksempel 14 Hvis en sten har massen 20g og massefylde 2
hvor stort er stenens volumen så ? 20g
2
10cm Eksempel 15 En cirkel har en omkreds 60cm . Hvor stor er cirklens radius ? 2 ∙ ⟺
2
60cm
2
2
9.55cm 34 Eksempel 16 En cirkel har arealet 25cm . Hvor stor er cirklens radius ? ⟺
∙
⟺
25
2.82cm Hvis man synes det er for indviklet at omskrive formler, kan man også sætte alle tal man kender ind først: ∙
25
3.14159 ∙
25
3.14159
⟺ ⟺ ⟺ 7.96
√7.96
2.82 Fordelen ved at omskrive til en færdig formel er, at man slipper for at lave hele udregningen forfra hver gang. 35 Kapiteloversigt 1 Regningsarternes rækkefølge 1. Potensopløftning og rodudragning. 2. Multiplikation og division. 3. Addition og subtraktion. Parenteser Parenteser sættes for at ophæve regningsarternes normale rækkefølge. Plusparenteser : fjernes uden videre. Minusparenteser: fjernes ved at skifte fortegn for leddene i parentesen. Brøker Regel Formulering
Forlængning af en brøk
Tæller og nævner ganges med samme tal Forkortning af en brøk
Tæller og nævner divideres med samme tal Multiplikation af en brøk med Tælleren ganges med tallet
et tal Multiplikation af en brøk med Tæller ganges med tæller og nævner en brøk med nævner Division af en brøk med et tal Nævneren ganges med tallet
Symbolsk ∙
∙
:
:
∙
∙
:
∙
∙
∙
∙
36 Division af et tal med en brøk Man ganger med den omvendte brøk ∶
∙
∙
Division af brøk med en brøk Man ganger med den omvendte brøk :
∙ ∙
∙
Talsystemet ∶de naturlige tal 1,2,3 ⋯ : de hele tal ⋯ , 3, 2, 1, 0, 1, 2,3, ⋯ ℚ : de rational tal Alle tal, der kan skrives som brøker : de reelle tal Alle tal på tallinjen Ligninger 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 Uligheder Omformningsreglerne er de samme som for ligninger, men hvis man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal man vende ulighedstegnet. 37 2.Funktioner








Koordinat‐systemet Funktionsbegrebet Regneforskrift for en funktion Definitions og værdimængde Elementære funktioner Monotoniforhold Grafisk løsning af ligninger og uligheder Generelt om funktioner Koordinat‐systemet
Det sædvanlige koordinat‐system i planen består af to tallinjer, der står vinkelret på hinanden i deres fælles nulpunkt. Den ene, ‐aksen. er orienteret mod højre, den anden ‐aksen opad. Ved hjælp af koordinat‐akserne kan punkter i planen forsynes med koordinatsæt (også kaldet koordinater) . Man nævner ‐koordinaten først. På fig. 1 er afsat nogle punkter og koordinaterne er angivet. Koordinatakserne deler planen i 4 dele, de såkaldte kvadranter. De nummereres i omløbsretning mod uret som vist på fig. 1 med romertal. 38 Figur 1. 39 Funktions‐begrebet
Vi forklarer funktionsbegrebet ved at se på nogle eksempler, der viser tankegangen og fastlægger bestemte udtryk. 1. Et taxifirma tager 20 kr. i startgebyr og 17 kr. pr. km for at køre. Hvad koster det at køre 8 km ? hvor langt kan man køre for 200 kr. ? 2. Der hældes kogende vand på en termokande (100 . Temperaturen af vandet aftager med 5 i timen. Hvor varmt er vandet efter 3 timer ? Hvornår er temperaturen faldet til 70 ? Den uafhængige variabel Begge eksempler indeholder en størrelse, vi frit kan vælge værdier for. Den kaldes den uafhængige variabel. Den uafhængige variabel er i de to eksempler: det kørte antal kilometer antal timer efter at vandet er hældt på kanden Man bestemmer selv, hvor langt man vil køre og man bestemmer selv, hvornår man vil måle temperaturen. 40 Den afhængige variabel Begge eksempler har også en størrelse, som ikke kan vælges frit. Den afhænger af den frit valgte variabel. Den størrelse, der ikke kan vælges frit kaldes den afhængige variabel og er i de to eksempler: Prisen for at køre et bestemt antal kilometer Vandets temperatur I hvert af eksemplerne er der tale om en funktion, Vi siger at : prisen er en funktion af kilometerantallet vandtemperaturen er en funktion af antallet af timer I almindelighed siger man at: den afhængige variabel er en funktion af den uafhængige. REGNEFORSKRIFT
De funktioner, vi skal arbejde med er stort set altid fastlagt ved deres regneforskrifter. Man kan finde regneforskriften ved at udskifte en fast værdi af den uafhængige variabel med et . 1. Hvis man kører 8 km med taxifirmaet skal man betale 20
8 ∙ 17
156kr. Hvis man kører km, skal man betale 20
∙ 17kr. Man siger så, at man har fundet en regneforskrift for funktionen. 41 Hvis angiver prisen, er sammenhængen mellem prisen og kilometer‐tallet : 20
∙ 17 Det er praktisk at give funktionen et navn, og man bruger tit bogstaverne , og til dette. Altså kan man skrive: 20
∙ 17 Hvis man kører 8 km med taxaen skriver man: 8
20
8 ∙ 17
156 og man siger at funktionsværdien af 8 er 156. Hvis man har 200kr. kan man regne ud, hvor langt man kan køre: 200
20
200
∙ 17 ⟺ 20
17 ⟺ 180
17 ⟺ 180
17
17
⟺ 17
10.59
Derfor kan man køre10.59km, hvis man har200kr. 42 2. Vandets temperatur i kanden falder med 5 i timer, så efter 3 timer er temperaturen 100
3⋅5
85 og efter timer er den 100
⋅ 5 på samme måde som før kan man navngive: 100
5∙ og 100
5∙ 70. Derfor gælder der at: En temperatur på 70 svarer til at 70
100
70
100
5∙
⟺ 5 ⟺ 30
5 ⟺ 30
5
5
⟺ 5
6
Det er derfor efter 6 timer at temperaturen er 70 43 Eksempel 1 En funktion er givet ved forskriften 5
2 Funktionsværdierne udregnes ved at erstatte med et tal. F.eks. fås funktionsværdierne af 3 og 4 sådan: 3
5∙3
4
5∙
2
4
17 2
18 Man kan opstille en tabel over funktionsværdier: 4 18 3 13 2
8
0
2
1
3
1
7
2 12 3
17
Grafiskbillede
Vi ser igen på eksemplet med funktionen , der angiver temperaturen af vandet i termokanden: 100
5∙ Som vist i eksempel 1 kan man opstille en tabel over sammenhørende værdier af og : 0 100 1 95 2
90
3
85
6
70
10
50
Vi afsætter disse punkter i et koordinat‐system, dvs. vi afsætter punkterne 0,100 ,
1,95 ,
2,90 ,
⋯ og trækker en streg igennem, som vist på fig. 2 44 Figur 2. Grafen kan også tegnes med CAS, det er nemmere end at tegne den ind på papir. Det viser sig at punkterne ligger på en ret linje, og hvis vi udvider tabellen med flere punkter vil de også ligge på samme linje. Den rette linje kaldes funktionens grafiske billede eller graf. 45 På fig 3. er vist grafen for funktionen , der angiver prisen for at køre km med taxifirmaet. Grafen er tegnet med CAS Figur 3. 46 DEFINITIONS- OG VÆRDIMÆNGDE
For funktionen ovenfor har det ingen mening at fortsætte grafen til venstre for ‐aksen ‐ man kan jo ikke køre et negativt antal kilometer. Man kan også vælge at begrænse sin kørsel til f.eks. 400km Altså bruges der kun ‐værdier mellem 0 og 400. Man siger at: Definitions‐mængden for er 0; 400 og man skriver Dm
0; 400 På samme måde med funktionen , der angiver temperaturen af vandet i kanden. Et negativt antal timer giver ingen mening. Hvis stuetemperaturen er 20 standser afkølingen , når vandet har denne temperatur, hvilket sker efter 16 timer. Derfor er definitionsmængden for alle tal mellem 0 og 16 inklusive : Dm
0; 16 I almindelighed har man følgende definition: Definition. Definitions‐mængden for en funktion består af alle de talværdier, som den uafhængige variabel kan have. Den kaldes for Dm . Definitions‐mængden angiver grafens udstrækning i ‐aksens retning 47 Det har også interesse at se på de værdier af som bruges. I eksemplet med taxikørslen, var køreturen blevet begrænset til 400km. 400
20
400 ∙ 17
6820kr. Da man jo mindst skal betale 20kr. er der brug for ‐værdier mellem 20kr. og 6820kr. Dette interval kaldes funktionens værdimængde og man skriver Vm
20; 6820 I almindelighed har man følgende definition: Definition. Værdimængden for en funktion består af alle de talværdier, som den afhængige variabel kan have. Den kaldes for Vm . Værdimængden angiver grafens udstrækning i ‐aksens retning 48 Eksempel 2 På fig. 4 er tegnet det grafiske billede af en funktion . Figur 4. Man kan aflæse definitions og værdimængden : Dm
Vm
1; 12 4; 6 Desuden kan man aflæse forskellige funktionsværdier, f.eks. 7
1, 12
6 2
2 , 49 Man har så følgende definition på en funktion: Definition En funktion er en forskrift, der opfylder følgende: Til hver værdi af i definitions‐mængden svarer præcis et tal i værdimængden. Tallet kaldes funktionsværdien af , og man skriver 50 Nogleelementærefunktioner
KVADRAT-FUNKTIONEN
Ved kvadratet på et tal forstås tallets 2. potens. Den såkaldte kvadrat‐funktion har forskriften og dens definitions‐mængde er alle reelle tal. Grafen ses på fig. 5, den kan tegnes med CAS. Grafen kaldes en parabel. Det ses at Vm
0; ∞ Parabler optræder mange stedet i naturen og i teknikken. Eksempelvis følger en bold som kastes, en riffelkugle og vandstrålen fra et springvand alle en parabel‐
formet bane. Parabler bruges også i konstruktionen af broer og andre former for bygningsværker. Figur 5. 51 KVADRATRODS-FUNKTIONEN
Alle positive tal har en kvadratrod. Kvadratroden af et positivt tal er det positive tal, der ganget med sig selv giver . F.eks. er √25
5fordi5 ∙ 5
25 og √49
7fordi7 ∙ 7
49 Desuden har 0 en kvadratrod: √0
0fordi0
0 Negative tal har ikke kvadratrødder, fordi et tal i 2. potens er positivt eller 0. Vi ser her på kvadratroden som funktion: √ Tabelværdier: 0 1 4 9 16 25 0
1
2
3
4
5
Grafen for kvadratrods‐funktionen ses på fig. 6 52 Figur 6. 53 RECIPROKFUNKTIONEN
At to tal er reciprokke betyder at de ganget med hinanden giver 1. Nogle eksempler på reciprokke tal er 2og0.5,
4og
0.25,5og0.2 det reciprokke tal til er 1
fordi ∙
1
1 På lommeregneren findes en reciproktast. Funktionens graf kan tegnes med CAS. Grafen ses på fig. 7. Den kaldes en hyperbel. De to dele af grafen kaldes for de to grene. Figur 7. 54 Funktionersmonotoniforhold
I dette afsnit indføres begreberne voksende, aftagende og konstant funktion og desuden forklares begrebet monotoni‐interval. Endelig skal vi se på funktioners såkaldte maksimum og minimum, dvs. mulige største‐ og mindsteværdier for funktioner. VOKSENDE, AFTAGENDE OG KONSTANT FUNKTION
Vi ser på den funktion, hvis graf er angivet på fig. 8. For denne funktion gælder: større og større ‐værdier giver større og større funktionsværdier ( ‐værdier). En sådan funktion kaldes voksende. Det ses, at hvis man går mod højre på ‐aksen gennem større og større tal, så vil ‐ værdierne også blive større og større. Figur 8. 55 På fig. 9 er tegnet grafen for en funktion, for hvilken der gælder: større og større ‐værdier giver mindre og mindre funktionsværdier ( ‐værdier). En sådan funktion kaldes aftagende. Hvis vi løber mod højre på ‐aksen gennem større og større tal, vil de tilsvarende ‐værdier blive mindre og mindre. Figur 9. Endelig kaldes en funktion konstant, hvis alle funktionsværdier er ens. Grafen er så en vandret linje. 56 MONOTONI-INTERVALLER
Man kan opdele definitions‐mængden i såkaldte monotoni‐intervaller, hvor funktionen er voksende, aftagende eller konstant. Den funktion, hvis graf ses på fig. 10 har tre monotoni‐intervaller, idet man vælger monotoni‐intervallerne så store som muligt: er voksende i 1; 5 og 9; 12 er aftagende i 5; 9 Figur 10. Når man opskriver funktionens monotoni‐intervaller og angiver om funktionen er voksende, aftagende eller konstant i intervallet, har vi anført dens monotoni‐
forhold. 57 Læg mærke til følgende: Monotoni‐intervaller aflæses udelukkende på ‐aksen. Funktionens værdier på ‐aksen indgår slet ikke. De punkter, hvor to monotoni‐intervaller støder sammen, medregnes til dem begge. MAKSIMUM OG MINIMUM
I mange tilfælde har en funktion en størsteværdi og/eller en mindsteværdi, også kaldet maksimum og minimum. På fig. 10 er den største funktionsværdi 6 og den mindste funktionsværdi er 3 Man siger at: har et maksimum på 6 som antages for 12 har et minimum på 3 som antages for 9 58 Grafiskløsningafligningeroguligheder
I dette afsnit skal vi se på hvordan man løser ligninger og uligheder grafisk, dvs. ved hjælp af figurer med funktioners grafer. De ligninger og uligheder vi tidligere har løst, blev løst algebraisk, dvs. ved udregning. GRAFISK LØSNING AF LIGNINGER
Vi demonstrerer ved hjælp af et par eksempler, hvordan grafisk løsning af ligninger foregår. Eksempel 3 Vi vil grafisk løse ligningen 0.5
3
3
10 Vi opfatter de to sider af lighedstegnet som regneforskrifter for funktioner og , dvs. vi sætter 0.5
3 3
10 så vi skal løse ligningen altså finde de tal, der giver de to funktioner samme værdi. De to funktioners grafer kan tegnes med CAS, som det er vist på fig. 11. Skæringen mellem de to linjer er fundet med den indbyggede skæringsfinder i det pågældende program. 59 Figur 11. 60 Eksempel 4 Vi ser på ligningen 4
2
1 som vi vil løse grafisk. Vi tegner graferne for de to funktioner 4 og 2
1 ved at finde tabelværdier eller ved at bruge CAS, som vist på fig. 12. Der er to skæringspunkter, som begge kan findes med den indbyggede skæringsfinder i programmet. Figur 12. 61 Eksempel 5 3 Vi vil grafisk løse ligningen når funktionen er fastlagt som en graf, se fig. 13. Vi kender altså ikke regneforskriften for funktionen . At løse ligningen 3 vil sige at finde de værdier af , der har en 3 og finder de funktionsværdi på 3. Vi tegner derfor en vandret linje ved steder, hvor linjen skærer grafen. Derefter går vi lodret ned og aflæser på ‐
aksen. 3,
Man finder da at løsningerne er: 7,
10 Man kan skrive ligningen og løsningerne sammenhængende: 3⟺
3 ∨ 7 ∨ 10 og som en løsningsmængde 3, 7, 10 . Figur 13. 62 GRAFISK LØSNING AF ULIGHEDER
Uligheder kan på tilsvarende måde løses grafisk. Her kommer et par eksempler. Eksempel 6 Vi vil løse uligheden 1
2
1
2
1
4 Vi indfører her igen betegnelser for de to funktioner i uligheden: 1
2
1
2
1 4 uligheden kan da skrives: Løsningerne til uligheden er så de ‐værdier, hvor funktionsværdierne for er mindre end for . Man kan også sige at man skal finde de ‐værdier, hvor grafen for ligger under grafen for . De to grafer er tegnet med CAS, se fig. 14 og skæringspunkterne er fundet med den indbyggede skæringsfinder i programmet. De to skæringspunkter er 2 og 3. Man kan se at grafen for ligger under grafen for i ‐ intervallet Løsningen til uligheden er derfor 2; 3 2; 3 63 Figur 14. 64 Genereltomfunktioner
En funktion kan være fastlagt på forskellige måder:  Som vi allerede har set, kan en funktion være defineret ved sin regneforskrift. I så fald kan man indtegne dens graf i et koordinat‐system. Det er mest den type af funktioner vi arbejder med i denne bog.  En funktion kan være fastlagt udelukkende ved sin graf uden at regneforskriften kendes. Funktionsværdier kan så (med usikkerhed) aflæses på grafen. Det kunne f.eks. være en graf, der viser udetemperaturen som funktion af klokkeslettet.  En funktion kan være fastlagt ved en tabel over værdier. Det kunne f.eks. være en tabel, der viser oliepriserne som funktion af årstallet.  En funktion kan være givet ved en algoritme, dvs. en regnemetode, der efter et vist antal skridt giver et resultat. Når en lommeregner f.eks. beregner kvadratroden af et tal, benytter den sig netop af en passende algoritme til dette. 65 Kapiteloversigt 2 Funktion Funktion : En funktion er en forskrift, hvor der til hver værdi af i definitions‐
mængdenDm svarer præcist et i værdimængden Vm . Tallet kaldes funktionsværdien af og betegnes . Definitions‐mængdenDm for funktionen består af de tal, som den uafhængige variabel kan antage. Definitions‐mængden angiver grafens udstrækning i ‐aksens retning. Værdi‐mængdenDm for funktionen består af de tal, som den afhængige variabel kan antage. Værdimængden angiver grafens udstrækning i ‐aksens retning. Elementære funktioner Kvadratfunktionen: Kvadratrodsfunktionen: Reciprokfunktionen: Dm
Vm
0; ∞ √ Dm
0; ∞ Vm
0; ∞ Dm
∖ 0 Vm
∖ 0 66 Monotoni‐forhold En funktion er voksende i et interval, hvis der til større og større ‐værdier i intervallet svarer større og større funktionsværdier. En funktion er aftagende i et interval, hvis der til større og større ‐værdier i intervallet svarer mindre og mindre funktionsværdier. En funktion er konstant i et interval, hvis der til alle –værdier i intervallet svarer samme funktionsværdi. De størst mulige intervaller på ‐aksen, hvor funktionen er enten voksende, aftagende eller konstant kaldes funktionens monotoni‐intervaller. Når man finder monotoni‐intervallerne og angiver om funktionen er voksende, aftagende eller konstant i et givent interval, siges det at man har bestemt monotoni‐forholdene. Maksimum og minimum En funktions maksimum er den størst optrædende ‐værdi for punkter på grafen (hvis den findes). En funktions minimum er den mindst optrædende ‐værdi for punkter på grafen (hvis den findes). 67 Grafisk løsning af ligninger og uligheder De ‐værdier, der hører til grafernes skæringspunkter. De ‐værdier, hvor grafen for ligger under grafen for . De ‐værdier, hvor grafen for ligger under eller på grafen for . De ‐værdier, hvor grafen for ligger over grafen for . De ‐værdier, hvor grafen for ligger over eller på grafen for . De ‐værdier, der svarer til skæringspunkter mellem grafen for og den vandrette linje . De ‐værdier, hvor grafen for ligger under den vandrette linje . De ‐værdier, hvor grafen for ligger over den vandrette linje . De ‐værdier, hvor grafen for ligger under eller på den vandrette linje . De ‐værdier, hvor grafen for ligger over eller på den vandrette linje . 68 3.Lineærefunktionerogderes
grafer
 Lineære funktioner, forskrift og hældning, tegning af graf  forskrift for ret linje gennem to punkter og forskrift for den tilhørende lineære funktion I forrige kapitel så vi på funktionerne og med disse forskrifter: 0.5
3 3
10 De er begge eksempler på lineære funktioner, der defineres således: Definition En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linje eller en del af en ret linje. 69 REGNEFORSKRIFT FOR LINEÆR FUNKTION
Det viser sig, at lineære funktioner har regneforskrifter af en bestemt type. Vi ser på funktionen med forskriften 3
1 Hældning Grafen er vist herunder. Vi lægger mærke til, at når vokser med 1, så vokser med 3. Dette skyldes tallet 3 i leddet 3 i forskriften. Der gælder altså følgende regel: Når vokser med 1, vokser funktions‐værdierne med 3 eller når man går 1enhed til højre på ‐ aksen, så går man 3 enheder opad på ‐aksen. Figur 1. 70 Vi har antydet dette ved at tegne en retvinklet trekant ved linjen. Den vandrette side har længden 1 og den lodrette har længden 3. Tallet 3 kaldes for hældnings‐koefficienten eller hældningen. Man bruger også navnet stigningstal eller stigning. Konstantled 3
1 kaldes konstantleddet, fordi det er Det sidste led 1i forskriften
konstant. Dette tal er det samme som 0 . Det ses ved at sætte 0 ind i forskriften: 0
3⋅0
1
1 Man kan derfor også sige, at konstantleddet angiver skæringspunktet med ‐
aksen, så linjen går gennem punktet 0, 1 på ‐aksen. Eksempel 1 På fig. 2 er tegnet graferne for de to lineære funktioner 2
5 og 2 Det gælder at: hældningen for er 2 hældningen for er 1 altså: hvis man går 1 enhed til højre på grafen for , går man 2 enheder ned. hvis man går 1 enhed til højre på grafen for , går man 1 enhed op. 71 Konstantleddene for de to funktioner er henholdsvis 5 og 2 svarende til funktionsværdierne 0
2⋅0
5
5 og 0
2
2 så graferne skærer ‐aksen i 0,5 og 0, 2 . Figur 2. Man siger at 2
5 og 2 er linjernes ligninger. Punkterne 2,1 og 4, 3 ligger på linjen med ligningen koordinaterne passer ind i linjens ligning. 2
5 , fordi Det betyder, at når og erstattes med tallene 2 og 1 eller med 4 og 3, er ligningen sand: 1
2⋅2
5 og 3
2⋅4
5 72 Regneforskrift for lineær funktion Sætning En lineær funktion har regneforskriften Tallet er hældnings‐koefficienten og er det tal, hvori funktionens graf skærer ‐aksen. Fortegn for hældningen Det gælder i almindelighed at:  Hvis hældningen er positiv, så er funktionen voksende og grafen går opad mod højre.  Hvis hældningen er negativ, så er funktionen aftagende og grafen går nedad mod højre.  Hvis hældningen er 0 er funktionen konstant og grafen er en ret linje parallel med ‐aksen. De to grafer på fig. 2 er eksempler på de to første punkter. 73 TEGNING AF GRAFEN FOR EN RET LINJE
Graferne for lineære funktioner, kan umiddelbart tegnes med CAS, men det er nyttigt at vide, hvordan man tegner grafen med håndkraft. Eksempel 2 Vi vil tegne grafen for funktionen med forskriften 3
5
0.2 eller med andre ord: vi vil tegne linjen med ligningen 3
5
0.2 Hverken hældningen eller skæringen er pæne tal. Det er vanskeligt at tegne grafen præcist på ternet papir med disse tal. Man kan derfor opstille en tabel, og se om man kan finde et punkt med hele koordinater: 0 0.2 1 0.8 2
1.4
3
2
Punktet 3,2 kan bruges som udgangspunkt. Se fig. 3 på næste side. Dahældningener , skalmangå1tilhøjreog opforatkommetil det næstepunkt. Men dette kan ikke gøres nøjagtigt. Derfor tager man et større skridt, og går istedet 5 til højre. Så skal man gå5 ⋅
3 opad. Man kan nu trække en streg mellem punkterne 3,2 og 8,5 . 74 Figur 3. Bestemmelse af hældning Det ses af eksempel 2, at hældningen for en ret linie kan findes ved hjælp af en retvinklet trekant, der er udspændt af to punkter på linjen. Siderne i trekanten er: lodret side: 3 vandret side: 5 og hældningen findes netop som: 3
5
75 I almindelighed kan man skrive at: lodretside
vandretside
Tegnet er sat foran brøken for at minde om, at linjer der går nedad mod højre har negativ hældning og derfor skal der være et foran brøken i de tilfælde. Eksempel 3 Hvis man har en bakke, se fig. 4, kan man finde hældningen på samme måde. figur 4. Hældningen af bakken er så 0.125 Man kunne komme med den indvending, at bakken kunne tegnes omvendt, og hældningen så skulle være negativ istedet. Men da bakken ikke er tegnet i et koordinatsystem, kan man ikke skelne mellem positive og negative hældninger i dette tilfælde. 76 Retlinjegennemtopunkter
Vi skal i dette afsnit se på hvordan man løser følgende problem: Find regneforskriften for en lineær funktion, når man kender to funktionsværdier. Det kan også udtrykkes sådan: Find ligningen for en ret linje, når man kender koordinaterne til to punkter. Regneforskriften for linjen er: Så man skal finde og . 77 FORMLER FOR a og b
4,3 og På fig. 5 herunder ses en ret linje , der går gennem punkterne 10,7 Figur 5. Vi ved fra før, at hældningen kan udregnes som: lodretside
vandretside
Altså skal man finde længden af den vandrette side og længden af den lodrette side, regnet med fortegn. Fra tegningen ses det at den vandrette side har længden 10
og den lodrette har længden7
3
4
6 4 78 Hældningen er derfor 2
3
4
6
Hvis man skriver det hele på een brøkstreg: 4
6
7 3
10 4
2
3
,
Hvis man kalder koordinaterne til det første punkt for ,
og koordinaterne til det andet punkt for , ses det at: ,
4,3 og 10,7 ,
Hældningen kan derfor skrives som: 7 3
10 4
4
6
2
3
Der gælder i almindelighed følgende: Sætning Den rette linje, der går gennem punkterne og ,
har med koordinaterne ,
hældningen 79 Vi mangler at finde . Den findes ved at isolere : ⟺
Man kan så indsætte et af de punkter der er kendt: I dette eksempel fås så: 3
2
∙4
3
8
3
3
1
3
Forskriften for linjen er så: 2
3
1
3
Man kan samle det hele i en sætning: Sætning Den rette linje,der går gennem punkterne med og , har forskriften koordinaterne ,
hvor
og Den lineære funktionen , der har den rette linje som graf, har forskriften 80 Eksempel 4 Find forskriften for den lineære funktion , hvis graf går gennem punkterne 3,8 og 5,13 Man finder først forskriften for linjen. De givne punkter navngives: ,
3,8 og 5,13 ,
13 8
5 3
8
5
2
2.5 2.5 ∙ 3
0.5 Forskriften for linjen er så: 2.5
0.5 og forskriften for den lineære funktion er: 2.5
0.5 81 Kapiteloversigt 3 Lineære funktioner Definition En lineær funktion er en funktion, hvis graf er en ret linje eller en del af en ret linje. Sætning En lineær funktion har regneforskriften Tallet er hældnings‐koefficienten og er det tal, hvori funktionens graf skærer ‐aksen. Ligning for ret linje gennem to punkter og forskriften for den tilhørende lineære funktion. Den rette linje, der går gennem punkterne med koordinaterne ,
og ,
har forskriften hvor
og Den lineære funktionen , der har den rette linje som graf, har forskriften 82 4.Procentregning
 Procentregning, tal som procent  Forøgelse, formindskelse med procent, formel for procentvis ændring  Indekstal Regningmedprocenter
Ordet 'procent' stammer fra latin ' pro cent' og betyder 'pr. hundrede' . Der gælder derfor at: 1%
1
100
0.01 F.eks. er 5%
5
100
0.05 23%
23
100
0.23 0.2
100
0.2%
130%
0.002 130
100
1.3
Brøker kan laves om til procental: 5
12
0.417
41.7% 24
10
2.4
240%
83 PROCENTDEL AF TAL, TAL SOM PROCENT AF TAL
Procentdel af et tal Man finder en given procent af et tal ved at gange tallet med den decimalbrøk, der hører til procenten. Eksempelvis fås: 18%af350
125%af82
0.3%af1744
0.18 ∙ 350
1.25 ∙ 82
0.003 ∙ 1744
63 102.5 5.232 Et tal som procentdel af et andet tal Hvis man ønsker at beregne, hvor mange procent et tal udgør af et andet, foregår det ved division: Hvormange%udgør3af4? Svar:
3
4
Hvormange%udgør7af14? Svar:
7
14
Hvormange%udgør75af15? Svar:
0.75
75
15
0.50
5
75% 50% 500% Ændringafettalmedenprocentdel
Det sker ofte at et givet tal (beløb, temperatur, vægt) skal ændres med en bestemt procent, dvs. skal øges med en bestemt procent eller formindskes med en bestemt procent. Man bruger den samme beregningsmetode i begge tilfælde. 84 Bemærkning om skrivemåde For at skabe ensartethed i skrivemåden for de forskellige formler bruges følgende notation: ∗
∗
%
100
dvs. at hvis man f.eks. har værdien20% , så er 20
100
∗
20 og 0.20 PROCENTVIS STIGNING
Ofte skal man betale en afgift, når man køber en bestemt ting. F.eks. er tobak, spiritus o.l. ofte belagt med en afgift. Formålet med den slags er dels at begrænse forbruget af "usunde" ting og dels af skaffe penge til statskassen. En udregning af prisen på f.eks. en pakke cigarer kunne se sådan ud: Pris uden afgift : 60kr. Afgift 20%af60
0.20 ⋅ 60
Pris med afgift : 60kr. 12kr.
12kr. 72 Udregningen kan skrives kortere : Pris med afgift : 60kr. 0.20 ⋅ 60kr.
72kr. 85 Udregningen kan faktisk skrives endnu kortere, hvis man laver en omskrivning: 60
0.20 ⋅ 60
1 ⋅ 60
1
0.20 ⋅ 60
0.20 ⋅ 60
1.20 ⋅ 60
72 Man kan sige det på denne måde: Man lægger 20% til et tal ved at gange tallet med 1
0.20
1.20 P å samme måde gælder: Man lægger 7% til et tal ved at gange tallet med 1
Man lægger 0.5% til et tal ved at gange tallet med 1
0.07
1.07 0.005
1.005 Det gælder således i almindelighed at: Manlæggerr ∗ %til et tal ved at gange med 1
Eksempel 1 I en butik skal prisen på et fjernsyn, der koster 2500kr. sættes op med 6%. Den nye pris bliver så: 2500 ⋅ 1
0.06
2500 ⋅ 1.06
2650kr. 86 En fabrik producerer5000 tons cement om året i 2012. Man regner med at fabrikken i 2014 skal producere 12% mere. I 2014 skal fabrikken så producere: 5000. 1
0.12
5000 ⋅ 1.12
5600 tons Hvis inflationen er 3% om året, betyder det at priserne på varer i gennemsnit stiger med 3% hvert år. Hvis en karton mælk i år koster 10kr., hvad koster den så næste år ? Næste år koster en karton mælk så: 10 ⋅ 1.03
10.3kr. PROCENTVIS FALD
Hvis man skal give rabat på en pris, har man brug for at formindske et tal med en procent. Hvis en vare koster 600kr. og der skal gives 16% rabat, kan man udregne prisen efter rabat sådan: 600
0.16 ⋅ 600
1 ⋅ 600
1
0.16 ⋅ 600
0.16 ⋅ 600
0.84 ⋅ 600
504kr. Man kan altså sige: Man trækker 16% fra et tal ved at gange med1
0.16
0.84 87 P å samme måde gælder: Man trækker 7% fra et tal ved at gange tallet med1
Man trækker 3.2% til et tal ved at gange tallet med1
0.07
0.93 0.032
0.968 I almindelighed: Mantrækkerr ∗ %fra et tal ved at gange med 1
Eksempel 2 Prisen på en computer, der koster 3000kr. , falder med 4%. Hvad er den nye pris ? Den nye pris er: 3000 ⋅ 1
0.04
3000 ⋅ 0.96
2880kr. Antallet af både i en havn falder med 8% om året. I 2012 var der 300både i havnen. Hvor mange både er der i 2013 ? I 2013 er der: 300 ⋅ 1
0.08
276 både i havnen 88 PROCENTVIS ÆNDRING
I de foregående afsnit har vi set, hvordan man forøger eller formindsker et tal med en bestemt procent. Man ganger det oprindelige tal med 1
Man kan sige sammenfattende at man ændrer et tal med ∗ % ved at gange tallet med 1
hvor er positiv ved vækst og negativ ved fald. For at kunne lave flere udregninger kaldes det tal man begynder med for begyndelsesværdien og det tal man slutter med kaldes for slutværdien. Hvis man f.eks. får at vide at en computer koster 2500kr. og prisen stiger med 3%, så er begyndelsesværdien 2500. Efter prisstingen er prisen 2500 ⋅ 1.03
2575kr. slutværdien er derfor 2575. Man kan derfor skrive at: slutværdien
begyndelsesværdien ⋅ 1
Man kan skrive dette kortere ved at indføre nogle bogstaver, og det hele kan formuleres som en sætning: 89 Sætning Hvis en størrelse ændres med en bestemt procent og er begyndelsesværdien er slutværdien er den procentvise ændring skrevet som decimaltal gælder at ⋅ 1
⋅ 1
Fra udtrykket kan man skrive to nye udtryk: ⋅ 1
⇔
1
og ⋅ 1
⇔
1
⟺
1 Eksempel 3 Prisen på en bil er sat ned med 8%. Nu koster den 45000kr. Hvad kostede den før ? 45000kr.og
0.08 90 B
45000
1 0.08
S
1
r
45000
0.92
48913kr. Eksempel 4 Huslejen for en lejlighed er steget fra 3000kr. om måneden til 3600kr. om måneden. Hvor mange % er huslejen steget ? B
3000S
1
3600
3000
3600 1
0.20 Huslejen er derfor steget med 20% Indekstal
Inden for økonomi og politik bruger man de såkaldte indekstal, der beskriver ændringer i priser, lønninger osv. gennem tiden. Ideen er at man sætter den størrelse, hvis udvikling man vil beskrive til 100 i det år man går ud fra, som kaldes for basisåret. De nye værdier udtrykkes i forhold til værdien i basisåret i procenttal, der er ganget med 100. Hvis en størrelse er vokset med 23% i forhold til basisåret udtrykkes dette ved indekstallet 123, en vækst på 45% giver et indekstal på 145, mens et fald på 14% giver et indekstal på 86. BEREGNING AF INDEKSTAL
Som eksempel ser vi på nyprisen for en bestemt slags bil målt i tusinde kr. Den har ændret sig med tiden på følgende måde: 91 År Pris i tusinde kr. 2008 350 2009
363
2010
400
2011
410
2012 450 Vi vil beskrive udviklingen med 2010 som basisår. Det er altså ud fra værdien på de 400 tusinde kr., som sættes til 100, at de andre års priser skal beregnes. Den procentdel som prisen i 2011 udgør af prisen i 2010 er 410
400
1.025
102.5% Indekstallet for 2011 er derfor 102.5 Den procentdel som prisen i 2009 udgør af prisen i 2010 er 363
400
0.9075
90.75% Indekstallet for 2009 er derfor 90.75 På samme måde udregnes indekstallene for de øvrige år i tabellen ved at divdere priserne med 400. Man får så følgende tabel: År Indekstal 2008 2009
87.5 90.75
2010
100
2011
102.5
2012 112.5 Procentvis ændring og procentpoint Man siger at væksten fra 2008 til 2011 er på 102.5
87.5
15 procentpoints. Hvis man vil bestemme den procentvise ændring må man regne som før: 92 102.5
87.5
1.171 så væksten i prisen fra 2008 til 2011 er på 17.1% Man kan selvfølgeligt også finde procentændringen direkte fra de absolutte tal: 410
350
1.171 Læg mærke til forskellen mellem procentvis ændring og ændring i procentpoints. BEREGNING AF ABSOLUTTE TAL
Som bruger af statistiske oplysninger er man ofte i den situation, at man skal finde de absolutte tal ud fra givne indekstal. Eksempel 1 I 1998 fik en medarbejder i et bestemt firma 105 kr. i timen for sit arbejde. Det blev aftalt at lønnen skulle følge udviklingen i priserne. Det betyder at hvis forbruger‐priserne f.eks. stiger med 5% på et år, så skal lønnen stige tilsvarende. Herunder ses forbruger‐prisindekset for 1995‐2003 for Grønland med basisår i 1995. Det opgøres for hvert halvår, de viste tal er for juli opgørelsen. År 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 indeks 100 101.1 101.7 102.8 103.5 105.3 108.7 112.9 115.0 Vi vil bruge forbruger‐prisindekset til at regne ud hvad lønnen var i årene 1999‐
2003. Man laver en ekstra række i skemaet og udregner for hvert år: 93 År 1995 1996 1997 1998 1999
2000
indeks 100 101.1 101.7 102.8 103.5 105.3
Lønkr. 105 105.71 107.52
2001 2002 2003
108.7 112.9 115.0
111.03 115.32 117.46
.
1999: .
1.0068 så priserne er steget med 0.68% fra 1998 til 1999 timelønnen skal være 105 ∙ 1.0068
2000: .
.
105.71kr. 1.024 så priserne er steget med 2.4% fra 1998 til 2000 timelønnen skal være 105 ∙ 1.024
107.52kr. På denne måde udfyldes alle felterne. Eksempel 2 Heilmann skulle i januar 2012 have nye el‐installationer i sit hus. I januar 2008 var timelønsprisen 170kr. hos den installatør han bruger. Han undersøgte om installatørens priser følger den almindelige prisudvikling for byggeri, eller om installatøren havde øget priserne mere end gennemsnittet. Heilmann brugte dette indeks over prisen for el‐arbejde: år indeks 2008 112.7 2009 114.0 2010
115.3
2011
119.8
2012 125.2 Han udregnede på samme måde som i eksempel 1, hvad timelønnen skulle være, idet timelønnen er afrundet til hele kroner: år indeks Timeløn kr. 2008
112.7
170 2009 114.0 172 2010
115.3
174
2011
119.8
181
2012 125.2 189 Heilmann kan så se af sin udregning, at timelønnen burde ligge omkring 189kr. i timen, hvis den skal følge gennemsnittet. 94 SKIFT AF BASISÅR
Det kan være praktisk at skifte basisår i en tabel med indekstal, for at lette overblikket. Herunder ses forbrugerpris‐indekset for Grønland med basisår 2008, idet det er tallene fra januar opgørelsen der er vist : År 2008 2009 2010 2011 2012
indeks 100 103.5 105.0 106.8 112.0
Hvis man nu er interesseret i perioden fra 2010 og frem, er det en fordel at vælge 2010 som nyt basisår. Det skal derfor have indeks 100 : År 2008 2009 2010 2011 2012
Gammelt indeks 100 103.5 105.0 106.8 112.0
Nyt indeks 100
Man kan så udregne de nye indekstal for år 2011 og 2012 på denne måde: Nyt indekstal for 2011 : Nyt indeks for 2012 : .
.
.
.
∙ 100
∙ 100
101.7 106.7 År 2008 2009 2010 2011 2012
Gammelt indeks 100 103.5 105.0 106.8 112.0
Nyt indeks 100 101.7 106.7
Fordelen ved dette er at man så kan aflæse procentændringen fra år 2010 og til de efterfølgende år direkte i tabellen. 95 Kapiteloversigt 4 Procentvis ændring Man lægger ∗ % til et tal ved at gange det med 1
Man trækker ∗ % fra et tal ved at gange det med 1
Sætning Hvis en størrelse ændres med en bestemt procent og er begyndelsesværdien er slutværdien er den procentvise ændring gælder at ⋅ 1
størrelsen 1
kaldes fremskrivnings‐faktoren. Desuden haves formlerne: 1
og
1 Indekstal For en størrelse vokser eller aftager indekstallet med samme procent som den absolutte størrelse, indekset hører til. 96 5.Rentesregning
 Renteformlen og dens anvendelser  Rentefod for forskellige tidsrum  Gennemsnitlig rentefod/gennemsnitlig vækstrate I dette afsnit arbejder vi med den grundlæggende rentesregning. Den handler om størrelser, der vokser med samme procent pr. år, måned, kvartal...Man skal bruge rodberegning i de tilfælde, hvor vækstraten er ukendt. Desuden skal vi se på hvordan man omregner rentefødder mellem forskellige tidsrum og hvordan man beregner den gennemsnitlige procentvise ændring. Renteformlen
Vi skal se på hvordan en bank i simple tilfælde beregner rente af det beløb, der står på en konto og derefter lægger renten over i det beløb, som stod der i forvejen. Forudsætningerne er følgende: En konto oprettes med et givent beløb som efterfølgende står urørt i en periode. Vi går ud fra at banken tilskriver renter een gang om året. Vi ønsker at beregne hvorledes beløbet på kontoen vokser med tiden. Det beløb, der indsættes kaldes begyndelseskapitalen. Det tidsrum, der går mellem to rentetilskrivninger i banken kaldes en termin. En termin er ofte 1 år ved opsparing. Ved tilbagebetaling af lån er en termin ofte år eller 3 måneder (også kaldet et kvartal). 97 UDLEDNING AF RENTEFORMLEN
Vi skal nu udlede en formel, der udtrykker en sammenhæng mellem de størrelser, der indgår i problemet, nemlig 1. Begyndelseskapitalen 2. Slutkapitalen efter terminer 3. Antallet af terminer n 4. Rentefoden som banken tilskriver rente med hver termin Vi viser med et eksempel hvordan man kommer frem til renteformlen. Man indsætter en startkapital på 5000kr. på kontoen og en termin er et år. Bankens rentefod er 4% p.a. (pro anno: pr. år). Derfor er
5000kr.og
0.04 5000kr. 5000
0.04 ∙ 5000
1
0.04 ∙ 5000
5200kr. 5200
0.04 ∙ 5200
1
0.04 ∙ 5200
5408kr. 5408
0.04 ∙ 5408
1
0.04 ∙ 5408
5624.32kr. Der er tilskrevet renter 3 gange og efter 3 terminer (3 år), står der 5624.32kr. på kontoen. Hvis man kigger godt efter kan man se, at det kan skrives på een linje: 5000 ∙ 1 0.04 ∙ 1
5624.32kr. 0.04 ∙ 1
0.04
5000 ∙ 1
0.04
98 Da man kan blive ved på den måde, kan man lave en sætning ud af det: Sætning (Renteformlen) Hvis en størrelse vokser med ∗ % pr. termin i terminer, er slutværdien givet ved ∙ 1
Størrelsen 1
hedder fremskrivnings‐faktoren pr. termin Størrelsen 1
kaldes fremskrivnings‐faktoren for terminer Selv om formlen kaldes for renteformlen, benyttes den i alle tilfælde, hvor en størrelse vokser eller aftager med en bestemt procent pr. termin. Der kan f.eks. være tale om væksten pr. kvartal i en produktion eller faldet pr. år i antallet af både i en havn. Når man bruger formlen på andet end penge, kaldes for vækstraten. Den fart som slutværdien vokser med afhænger af vækstraten. På fig 1. ses hvordan slutværdien afhænger af antallet af terminer for og vækstraterne 0.05 og 700 0.15 Da er et helt tal, skal man aflæse for de hele værdier af . 99 Figur 1. RENTEFORMLEN MED UKENDT SLUTVÆRDI
Eksempel 1 Zachariassen sætter75000kr. ind på en konto, der har en årlig rentefod på 5%.Hvor meget står der på kontoen efter 7 år ? 75000 0.05 7 ? 75000 ∙ 1
0.05
105532.53kr. 100 Eksempel 2 Filemonsen sætter 32000kr.ind på en konto, der har en halvårlig rentefod på 2%. Hvor meget står der på kontoen efter 4 år ? 32000 0.02 8 ? 32000 ∙ 1
0.02
37493.10kr NYE FORMLER UDLEDT FRA RENTEFORMLEN
Fra renteformlen kan udledes følgende nye formler: 1
1
log
log 1
101 RENTEFORMLEN MED UKENDT BEGYNDELSESVÆRDI
Eksempel 3 Hoffmeyer har på 9 år sparet 16309.66kr.op på en konto, der har en årlig rentefod på3%. Hvor meget satte han ind fra start ? ? 0.03 9 16309.66kr 16309.66
1 0.03
12500.00kr RENTEFORMLEN MED UKENDT RENTE
Eksempel 4 Olsen satte for 11 år siden 67000kr.ind på en konto med årlig rentetilskrivning. Idag står der 85000kr.Hvad er den årlige rentefod ? 67000 ? 11 85000kr. 85000
67000
1
0.022 Den årlige rentefod er derfor 2.2% 102 RENTEFORMLEN MED UKENDT ANTAL TERMINER
Eksempel 5 Broberg satte i sin tid 45000kr. ind på en konto, der har en årlig rentefod på 2.5 %. I dag står der 57603.80kr.på kontoen. Hvor mange år siden er det, at pengen blev sat ind ? 45000 0.025 ? 57603.80kr. log
log
log 1
log 1
.
0.025
10 Så det er 10 år siden at pengene blev sat ind. Rentefodforforskelligetidsrum
En kapital på 3000kr. forrentes i banken med 2% p.a. Efter 6 år er den vokset til 3000 ∙ 1.02
3378.49kr. Hvis man istedet har en rentefod på 1% pr. halvår i de 6 år, står beløbet i 12terminer, så med denne forrentning vokser det til 3000 ∙ 1.01
3380.48kr. Altså svarer 2% p.a. ikke til 1% pr. halvår. 103 Omregning fra lang til kort termin er rentefoden hørende til den lange termin. På 1 termin vokser kapitalen til ∙ 1
Hvis terminen er kortere, så er der terminer i det samme tidsrum, som før var 1 termin. Da man skal have den samme slutkapital må der gælde: ∙ 1
De to udtryk er lig med hinanden: ∙ 1
∙ 1
1
⟺ 1
1
√1
⟺ ⟺ 1 √1
er så rentefoden for den korte termin. Omregning fra kort til lang termin Tilsvarende kan man udregne hvad rentefoden for den lange termin er, hvis man kender rentefoden for den korte termin: ∙ 1
∙ 1
1
1
1
⟺ ⟺ 1 er rentefoden for den lange termin. 104 Eksempel 6 Et firma som tilbyder lån over internettet, har en månedlig rentefod på 1.8% Hvad svarer det til i årlig rentefod ? 0.018,
1
1
1
12,
0.018
1
? 0.2387
23.87% Som det ses af dette eksempel kan man altså blive vildledt af en lille rentefod, hvis terminen samtidigt er kort. Når man omregner til den lange termin på et år, som banker typisk bruger, er rentefoden meget høj. Eksempel 7 En størrelse vokser med 16% p.a. Hvad er den kvartalsvise rentefod ? ? ,
√1
4,
0.16
0.16 1
0.0378 den kvartalsvise rentefod er derfor 3.78% Gennemsnitligvækstrate
Mange størrelser vokser med forskellige vækstrater efterhånden som tiden går. Vi ser på en forenklet situation. Et firmas omsætning vokser i tre år sådan: 1. år med 3% , 2. år med 5%, 3 år med 10%. 105 Vi vil finde den konstante vækstrate omsætningen skal vokse med om året for at give den samme tilvækst som de uens vækstrater. Denne konstante procent kaldes den gennemsnitlige vækstrate. Hvis man kalder omsætningen første år for 3 år som: ∙ 1
0.03 ∙ 1
, kan man skrive omsætningen efter 0.05 ∙ 1
0.10
∙ 1.03 ∙ 1.05 ∙ 1.10 Hvis omsætningen var vokset med en konstant vækstrate i hvert af de tre år ∙ 1
bliver udtrykket
De to udtryk skal give det samme så: ∙ 1.03 ∙ 1.05 ∙ 1.1
∙ 1
1.03 ∙ 1.05 ∙ 1.1
1
√1.03 ∙ 1.05 ∙ 1.1
√1.03 ∙ 1.05 ∙ 1.1
1
⟺ ⟺ 1
⟺ 0.0596
5.96% Derfor vil en konstant tilvækst på 5.96% pr. år give den samme tilvækst som de uens tilvækster giver. Man kan lave tilsvarende udregninger for andre antal terminer og andre uens vækstrater. Der gælder så i almindelighed følgende: Gennemsnitlig vækstrate over terminer
Hvis vækstraterne er , , ⋯ , så er den gennemsnitlige vækstrate pr. termin 1
1
⋯ 1
‐1 106 Kapiteloversigt 5 Renteformlen Hvis en størrelse vokser med ∗ % pr. termin i terminer, er slutværdien givet ved ∙ 1
Rentefod for forskellige tidsrum er rentefoden for den korte termin er rentefoden for den lange termin er antallet af de korte terminer, der svarer til een af de lange. Omregning fra kort til lang termin: Omregning fra lang til kort termin: √1
1 1
1 Gennemsnitlig vækstrate over terminer Hvis vækstraterne er , , ⋯ , så er den gennemsnitlige vækstrate pr. termin 1
1
⋯ 1
‐1 107 6.Opsparingoglån
 Annuitets‐opsparing  Annuitets‐lån I dette afsnit ser vi på to praktiske anvendelser af rentesregning. Først drejer det sig om at spare penge op ved at lave lige store indbetalinger med lige lange mellemrum, for det andet om at optage et lån og derefter afdrage det med lige store ydelser med lige lange mellemrum. Annuitets‐opsparing
Vi tænker os at, at vi i en årrække hvert år indsætter et fast beløb på en konto i en bank, og vi går ud fra, at rentefoden i hele perioden er konstant. En opsparing af denne type kaldes en annuitets‐opsparing og saldoen på kontoen umiddelbart efter den sidste indbetaling kaldes annuitets‐opsparingens værdi. ET TAL-EKSEMPEL
Vi gennemregner et taleksempel for at nå frem til en formel, der forbinder størrelserne : :annuitets
opsparingensværdiefter indbetalinger. ∶ denårlige, fastebetaling ydelse ikr. ∶ denårligerentefod. ∶ antalletafindbetalinger. 108 På en konto med en rentefod på 3% indbetales på hver af datoerne 2.1. 2012, 2.1. 2013, 2.1. 2014, 2.1. 2015 et fast beløb på 7000kr. Vi ønsker at finde saldoen på kontoen umiddelbart efter den sidste indbetaling, dvs. saldoen d. 3.1 2015. Forløbet kan illustreres med dette skema: Betalingsdato 2.1.2012 2.1.2013 2.1. 2014 2.1. 2015 Værdi d. 3.1.2015 ydelse
7000 7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03
7000
7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03
7000 7000 ∙ 1.03 7000 ∙ 1.03 7000
7000
Skemaet skal forstås således: Den 2.1. 2012 indsættes 7000kr. Dette beløb forrentes i 3 år indtil 2.1.2015, hvor det efter renteformlen er vokset til 7000 ∙ 1.03 Den 2.1. 2013 indsættes igen 7000kr. og dette beløb forrentes i 2 år indtil d. 2.1.2015, hvor det er vokset til 7000 ∙ 1.03 Sådan fortsættes. Værdien af opsparingen fås ved at lægge tallene i nederste række sammen. Denne værdi kaldes for fordi der er lavet 4 indbetalinger. Man får: 7000
7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03
7000 ∙ 1.03 For at gøre udregningen nemmere, sættes 7000 uden for en parentes: 7000 ∙ 1
1.03
1.03
1.03 Tallene i parentesen kan udregnes og man får: 7000 ∙ 4.18363
29285.41kr. 109 DET ALMINDELIGE TILFÆLDE
Værdien af en annuitets‐opsparing kan udregnes med regneark, men man kan også udregne den vha. formel. Det viser sig at der gælder følgende sammenhæng: 1
1.03
1.03
1.03
1.03
1
0.03
1.08
1.08
1.08
På tilsvarende vis er 1
1.08
1.08
1.08
1
0.08
Hvis man bruger sammenhængen på eksemplet, kan man skrive : 7000 ∙
1.03
1
0.03
og i almindelighed har man følgende sætning: Sætning For en annuitets‐opsparing, hvor :annuitets
opsparingensværdiefter indbetalinger. ∶ denårlige, fastebetaling ydelse ikr. ∶ denårligerentefod. ∶ antalletafindbetalinger. gælder formlen: ∙
1
1
110 Der kommer nu et antal eksempler på hvordan man kan finde den fjerde størrelse i annuitets‐formlen, hvis de tre andre er kendt. Eksempel 1 Annuitets‐opsparingens værdi ukendt. Der sættes hvert år 2000kr. ind på en opsparingskonto og rentefoden er 1.7% p.a. Der indbetales 10 gange. Umiddelbart efter den 10. indbetaling er saldoen på kontoen 2000 ∙
1
0.017
0.017
1
21601.47kr. Eksempel 2 Ydelsen ukendt. Malik er lige fyldt 16 og vil gerne spare sammen til et kørekort og en brugt bil. Han ønsker at have rådighed over25000 kr., når han fylder 18 år. Han sætter hver måned et beløb ind på en opsparingskonto der har en månedlig rentefod på 0.25% . Hvor stor skal den månedlige indbetaling være ? De kendte størrelser indsættes: 25000
∙
1
0.0025
0.0025
1
Ligningen omskrives : 25000
∙
1.0025
0.0025
25000
25000
24.703
1
⟺ ∙ 24.703 ⟺ 1012.02kr. 111 Eksempel 3 Antal indbetalinger ukendt. Vi ønsker at spare 30000kr. sammen med årlige indbetalinger på 2000kr. Rentefoden er 2.3% p.a. Hvor mange indbetalinger skal man lave ? De kendte størrelser indsættes i annuitets‐formlen: 2000 ∙
1.023
1
0.023
30000 Ligningen kan løses grafisk, idet venstre og højresiden indtastes som funktioner i CAS: skal rundes opad til det nærmeste hele tal, så man skal lave indbetalinger. 14 112 Eksempel 4 Rentefod ukendt. Det oplyses, at en annuitets‐opsparing har en ydelse på 1800kr. pr. termin og løber over 20 indbetalinger og at dens værdi til slut er 65000kr. Hvor stor er rentefoden pr. termin ? De kendte størrelser indsættes i renteformlen: 65000
1800 ∙
1
1
Ligningen kan let løses grafisk, idet venstre og højresiden indtastes som funktioner i CAS: Hvoraf det ses at løsningen er 5.8% 113 Annuitets‐lån
Mange lån afvikles på den måde, at låntageren betaler et fast beløb hver termin (hver måned, hvert kvartal) til långiveren. Dette faste beløb kaldes ydelsen. En del af denne ydelse dækker de renter, der er løbet på siden sidste betaling, mens kun den resterende del, det såkaldte afdrag bruges til at gøre gælden mindre. Det beløb man skylder, efter at afdraget er trukket fra gælden, kaldes for restgælden. Det oprindelige gældsbeløb kaldes hovedstolen. Eksempel 5 Den 2.1.2012 optages et annuitetslån på 50000kr. Rentefoden pr. år er 8%og ydelsen er 6000kr. om året. Hver 2.1. betales ydelsen, og der foretages også rentetilskrivning på denne dato. Betalingen af ydelsen fortsætter indtil lånet er afviklet. Løbetiden er det antal terminer (år), der går, indtil lånet er tilbagebetalt. Vi ønsker at følge udviklingen i lånet for hver termin. Man kan opstille et skema, de første 3 terminer er vist herunder: termin gammel restgæld rente
gammelrestgæld
∙ 2.1.2013 50000.00
2.1.2014 48000.00
2.12015 45840.00
4000.00
3840.00
3667.20
2.1.2013 : rente
afdrag
afdrag
ydelse
rente
nyrestgæld
gammelrestgæld
afdrag 6000.00 2000.00
6000.00 2160.00
6000.00 2332.80
48000.00
45840.00
43507.20
50000 ∙ 0.08
4000.00 6000
2000 nyrestgæld
ydelse 4000
50000
48000 2000
2.1.2014 : rente
afdrag
48000 ∙ 0.08
6000
nyrestgæld
3840
50000
45840 3840 2160 2160
114 Dette skema kan laves som et regneark, og man får da følgende forløb for afviklingen af lånet: termin
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Restgæld
50000
48000
45840
43507,2
40987,78
38266,8
35328,14
32154,39
28726,74
25024,88
21026,88
16709,03
12045,75
7009,407
1570,159
rente
4000
3840
3667,2
3480,576
3279,022
3061,344
2826,251
2572,351
2298,14
2001,991
1682,15
1336,722
963,6598
560,7525
125,6128
ydelse
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
6000
afdrag
2000
2160
2332,8
2519,424
2720,978
2938,656
3173,749
3427,649
3701,86
3998,009
4317,85
4663,278
5036,34
5439,247
5874,387
ny restgæld
48000
45840
43507,2
40987,776
38266,79808
35328,14193
32154,39328
28726,74474
25024,88432
21026,87507
16709,02507
12045,74708
7009,406846
1570,159394
-4304,22785
Man ser at ved den 15. termin er den ny restgæld negativ i skemaet. Det skyldes så, at man i denne sidste termin har en restgæld + rente på 1695.77kr. Den sidste 15. ydelse skal derfor kun være 1695.77kr, så er lånet tilbagebetalt: 15
1570,159
125,6128
1.695,77
1570,159
0,000345043
GRYN-FORMLEN FOR ANNUITETS-LÅN
Man kan opstille formler, der beskriver annuitets‐lån. Vi indfører følgende betegnelser: ∶ det oprindeligegældsbeløb, hovedstolen ∶ rentefodenpr. termin kvartal, halvår, år … ∶ ydelsenpr. termin ∶ antalterminer 115 Disse størrelser er forbundet med hinanden i den såkaldte Gryn‐formel: Sætning (Gryn‐formlen). For et annuitets‐lån med hovedstol , rentefod , ydelse kr. pr. termin og løbetid terminer, gælder følgende formler, der er ensbetydende ∙
1
1
og
∙
1
1
Eksempel 6 Hovedstol ukendt. Paninnguaq har råd til at tilbagebetale et lån med en ydelse på 500kr. pr. måned i 2 år. Hendes far vil låne hende pengene og kræver 0.3% i rente om måneden. Vi vil bestemme, hvor meget Paninnguaq har råd til at låne, dvs. hovedstolen. 0.003,
500,
24 De kendte størrelser indsættes: 500 ∙
1
1
0.003
0.003
11561.47kr. Dette er det beløb, som Paninnguaq låner af sin far, men hun kommer i løbet af de 24 måneder til at betale ialt 24 ∙ 500 12000kr. 116 Eksempel 7 Ydelse ukendt. Vi optager et lån på 40000kr.med en rentefod på 6.5% pr. halvår. Løbetiden er 5 år med halvårlige ydelser. Vi ønsker at finde ydelsen pr. halvår. 40000,
0.065,
10 De kendte størrelser indsættes: 40000 ∙
1
0.065
1 0.065
5564.19kr. Eksempel 8 Løbetid ukendt. Der optages et lån på 35000kr. til en rentefod på 9% p.a. Desuden er ydelsen 4000kr. pr. år og der foretages rentetilskrivning og tilbagebetaling een gang om året. Passer en løbetid på 17 terminer med disse oplysninger ? 4000,
0.09,
17 Der indsættes i den første Gryn‐formel : 4000 ∙
1
1.09
0.09
34174.52kr. Efter 17 terminer er der derfor kun tilbagebetalt dette beløb og ikke hele hovedstolen på 35000kr. Men 18 terminer er nok fordi: 4000 ∙
1
1.09
0.09
35022.50kr. Man kan altså vurdere løbetiden ved at prøve sig frem, indtil man rammer et antal terminer, hvor det tilbagebetalte lige netop overstiger hovedstolen. Alternativt kan man lade være ubekendt og løse ligningen med CAS. 117 Eksempel 9 Rentefod ukendt. En bil sælges på afbetaling for en kontantpris på 175000kr. med en udbetaling på 15000kr. Der skal betales 3000kr.pr. måned i 5 år. Hvor stor er den månedlige rentefod ? 175000
15000
160000,
?,
3000,
60 De kendte størrelser indsættes: 3000
160000 ∙
1
1
Ligningen kan let løses grafisk: og man finder rentefoden til at være 0.00395
0.395% 118 Kapiteloversigt 6 Annuitets‐opsparing For en annuitets‐opsparing, hvor :annuitets
opsparingens værdi efter
indbetalinger. ∶ denfastebetalingpr. termin ∶ rentefodpr. termin. ∶ antalletafindbetalinger. gælder formlen: ∙
1
1
Annuitets‐lån (Gryn‐formlen). For et annuitets‐lån med hovedstol , rentefod , ydelse kr. pr. termin og løbetid terminer, gælder følgende formler, der er ensbetydende ∙
1
1
og
∙
1
1
119 7.Ensvinkledeogretvinklede
trekanter







Ensvinklede trekanter Phytagoras sætning Trekanters areal Enhedscirklen, sinus og cosinus Den retvinklede trekant, beregning af sider og vinkler Tangens Anvendelser Ensvinkledetrekanter
To trekanter kaldes ensvinklede, hvis deres vinkler er lige store. På fig. 1 er ∆
og ∆
ensvinklede, fordi vinklerne har samme gradtal: ,
,
Figur 1. 120 På figurer plejer man at markerede de vinkler der er lige store med samme signatur, som regel et antal buer på vinklen, evt. med en tværstreg. Man har den vedtagelse at vinkler navngives med store bogstaver og sider med små bogstaver. En trekantside, der ligger over for en bestemt side navngives med det tilsvarende lille bogstav. F.eks. ligger siden og vinklen over for hinanden. Vi navngiver også siderne i en trekant ved hjælp af vinkelspidserne. F.eks. kaldes siden også for og siden kaldes også . Længden af siden skrives | | eller . FORSTØRRELSE OG FORMINDSKELSE
Når to trekanter er ensvinklede og ikke helt ens, er den ene en forstørret udgave af den anden, dvs. trekanterne har samme form. På fig. 1 er ∆
fremkommet ved at forstørre ∆
til venstre med faktoren 1.5, dvs. hvis man ganger siderne i den lille ∆
med 1.5 får man siderne i ∆
. Omvendt fås siderne i den lille ∆
med 1.5 ved at dividere siderne i den store ∆
Vi har altså, at 1.5 ,
1.5 ,
1.5 Dette kan også skrives : 1.5,
1.5,
1.5 eller sådan: 1.5 121 Læg mærke til, at forstørrelses‐faktoren er forholdet mellem sammenhørende sider. Eksempel 1 På fig. 2 ses to ensvinklede trekanter, hvor vi vil finde de to ukendte sider. Forstørrelses‐faktoren findes fra sammenhørende sider: 4.25
2.5
1.7 For at gå fra den lille til den store trekant skal man gange med 1.7 For at gå fra den store til den lille trekant skal man dividere med 1.7 Man kan vise det på tegningen med pile. Figur 2. Man finder så at 2 ∙ 1.7
7
1.7
3.4 4.11 122 Phytagorassætning
Sætning I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med hypotenusens kvadrat. Kateterne er de to korte sider i den retvinklede trekant, mens den længste side, der ligger over for den rette vinkel kaldes hypotenusen. Med kvadrat mener vi 2.potens. Vi vil følge traditionen og kalde den rette vinkel i en retvinklet trekant for , så hypotenusen og dens længde kaldes for . De to spidse vinkler er og og kateterne er og . På fig. 3 er tegnet nogle forskellige retvinklede trekanter. Fig 3. Kateternes kvadrater : og Summen af kateternes kvadrater : Hypotenusens kvadrat : Man kan så formulere phytagoras sætning sådan: Phytagoras sætning I en retvinklet trekant , hvor 90°, er 123 Eksempel 2 Ved hjælp af phytagoras sætning kan man finde den tredje side i en retvinklet trekant, hvis to af siderne er kendt. 4 og Hvis de to kateter er kendt, f.eks. 7, kan vi finde hypotenusen . ⟺ 4
7
⟺ 16
49
⟺ 65 ⟺ √65 (den sidste dobbeltpil gælder fordi sidelængder er positive, derfor er der ingen negativ løsning at tage hensyn til.) Hvis en katete og en hypotenuse er kendt, kan man finde den anden katete. F.eks. er 17 og 35, så får man ⟺ 17
35 ⟺ 289
1225 ⟺ 1225
289
936 ⟺ 30.594 √926
Man kan med fordel lave nogle færdige formler for de forskellige sider: 124 Trekantersareal
Arealet af en trekant er som bekendt ∙ højde ∙ grundlinje en højde i en trekant er et linjestykke, der fra en vinkelspids står vinkelret på den modstående side. På fig. 4 er illustreret, hvorfor trekantens areal er 1
∙
2
∙ hvor er den grundlinje, der hører til højden . Trekantens areal er det halve af rektanglets areal, der jo er ∙ . Figur 4. En trekant har tre højder, der iøvrigt går igennem det samme punkt vist på fig. 5. Ved beregning af arealet er det ligegyldigt hvilken par af højder og grundlinjer man bruger. Figur 5. 125 En retvinklet trekant har arealet 1
∙
2
∙ hvor og er kateterne. Hvis trekanten er stumpvinklet, falder to af højderne uden for trekanten som vist på fig. 6. Figur 6. I dette tilfælde finder man trekantens areal som: 1
∙
2
∙|
|
1
∙
2
∙|
|
1
∙
2
∙|
| 126 Sinusogcosinus
Vi skal indføre to nye størrelser, sinus og cosinus, der er indbygget i lommeregneren og i CAS. Der kaldes de for sin og cos. Vi tegner en cirkel i et retvinklet koordinat‐system med centrum i 0,0 og radius 1, se fig. 7. Figur 7. Inde i cirklen lægges en vinkel på °, således at dens højre ben ligger på ‐aksens positive ben. Det venstre ben skærer cirklen i et punkt , som kaldes for vinklens retningspunkt. Størrelserne sinus og cosinus fastlægges ved følgende definition: Definition. Størrelserne cosinus og sinus.
Cosinus til en vinkel er ‐koordinaten til vinklens retningspunkt Sinus til en vinkel er ‐koordinaten til vinklens retningspunkt 127 På fig. 7. er vinklen 36.87°, og på lommeregner eller CAS findes at cos 36.87°
0.8 sin 36.87°
0.6 koordinaterne til retningspunktet er så 0.8,0.6 . Man kan også regne den anden vej. Hvis man får oplyst hvad cosinus eller sinus til en vinkel er, kan man finde vinklen. 0.68, så kan man taste sin
Hvis f.eks. sin
skrive det i CAS) og man finder så at sin
0.68
0.68 på lommeregneren (eller 42.84°. 0.23, så kan man Hvis man om en anden vinkel får at vide at cos
tilsvarende finde cos
0.23
76.70° Detførste tilfælde er vist på figur. 8 Figur 8. 128 Denretvinkledetrekant
Sinus og cosinus kan bruges til at beregne ukendte sider og vinkler i en retvinklet trekant, når nogle af de andre sider og vinkler i trekanten er kendt. På fig. 9 ses en lille retvinklet trekant som ligger inde i enhedscirklen og en større trekant
som rager udenfor. De to trekanter er ensvinklede. Den lille trekants hypotenuse har længden 1, og dens kateter har længderne sin og cos . Den store trekants hypotenuse har længden og dens kateter har længderne og . Da de to trekanter er ensvinklede, kan man finde forstørrelses‐faktoren: 1
Der må derfor gælde at ∙ sin
∙ cos
Figur 9. 129 Man kan regne videre på udtrykkene: ∙ sin
⟺ sin
∙ cos
⟺ cos
Man samler resultaterne i en sætning: Sætning I den retvinklede trekant cos
,
, hvor 90°, gælder sin
For at blive uafhængig af en bestemt navngivning, er det praktisk at formulere sætningen i ord. Til dette formål indføres følgende sprogbrug: vinkel og kateten er modstående vinkel og kateten er modstående fordi vinkel og katete ligger over for hinanden og vinkel og kateten er hosliggende vinkel og kateten er hosliggende fordi vinkel og katete ligger hos hinanden. 130 Sætningen ovenfor kan derfor formuleres i ord på denne måde: Sætning. I en revinklet trekant gælder for en spids vinkel cos
hosliggendekatete
,
hypotenusen
modståendekatete
hypotenusen
sin
Eksempel 3 3,
Vi ser på den retvinklede trekant med siderne 4,
5, se fig.10 Af formlen for sinus fås: 3
5
sin
Man kan så finde vinkel : På kort form: 0.6
sin
0.6 36.87° 36.87° sin
Derefter kan vinkel findes ved at bruge, at vinkelsummen er 180° i en trekant. 90°
90°
180° ⟺
90°
36.87°
90°
53.13° Beregningen er færdig, da alle sider og vinkler nu er kendt i trekanten. Figur 10. 131 Eksempel 4 20° og
I den retvinklede trekant oplyses at ukendte vinkler og sider, se fig. 11 7. Vi skal finde de Figur 11. Man finder straks at 90°
20°
70° Der er nu flere måder at gå frem på. Det letteste på sigt er at lave nogle færdige bogstavudtryk, som kan bruges direkte i beregningen af sider og vinkler. f.eks. fås cos
⟺
cos
∙ cos
⟺
7
cos 20°
cos
7.45 Tilsvarende kan man lave et andet sæt af formler: sin
⟺
∙ sin
∙ sin
⟺
7.45 ∙ sin 20°
sin
2.55 132 Hvis man bruger denne fremgangsmåde, kan man bruge phytagoras sætning til sidst som en kontrol, idet man undersøger om de beregnede sider passer ind: 7.45
2.55
7 Dette er sandt, hvilket sandsynliggør resultatet. Ydermere kunne man lave en målsat tegning og undersøge om det tegnede og det beregnede passer sammen. Tangens
Vi skal indføre endnu en trigonometrisk størrelse, det er praktisk at have til rådighed, nemlig tangens. Tangens til en vinkel forkortet tan og fastlægges ved at den er forholdet mellem sinus og cosinus : Definition Ved tangens til en vinkel forstås tan
sin
cos
På lommeregner og CAS finder man tangens med forkortelsen tan. Hvis man bruger definitionerne på sinus og cosinus i standardtrekanten hvor er den rette vinkel : sin
cos
tan
∶ ∙
, Da siden er modstående til og siden er hosliggende til kan man udtrykke definitionen i ord: Definition I en retvinklet trekant gælder for en spids vinkel tan
modstående katete
hosliggende katete
133 Eksempel 5 I den retvinklede trekant Først findes 90°
oplyses at 25°
25°,
76,
90°. 65°. Som før er det en fordel at lave nye formler, der kan bruges direkte: tan
⇔
∙ tan
∙ tan
⇔
tan
76 ∙ tan 25°
35.44 Der bruges nu een af formlerne cosinus: cos
76
cos 25°
83.86 Hvis man gør det på denne måde kan man bruge phytagoras sætning som kontrol: 35.44
76
83.86 Det er sandt, hvilket sandsynliggør resultatet. 134 Kapiteloversigt 7 Ensvinklede trekanter To trekanter kaldes ensvinklede, hvis deres vinkler er lige store. For de ensvinklede trekanter og ,
, hvor ,
gælder at: kaldes forstørrelses‐faktoren. For at komme fra den lille trekant til en store, skal man gange med . For at komme fra den store trekant til den lille, skal man dividere med . Phytagoras sætning I en retvinklet trekant , hvor 90°, er Trekanters areal Arealet af en trekant med højde og grundlinje er ∙
∙ Sinus og cosinus Cosinus til en vinkel er ‐koordinaten til vinklens retningspunkt Sinus til en vinkel er ‐koordinaten til vinklens retningspunkt Den retvinklede trekant I en revinklet trekant gælder for en spids vinkel cos
hosliggendekatete
sin
hypotenusen
tan
modstående katete
hypotenusen
modståendekatete
hosliggende katete
135 Formler for retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel For den retvinklede trekant ABC vist herunder kan skrives følgende udtryk: ∙ sin
⇔
∙ cos
⇔
∙ tan
⇔
sin
⇔ sin
⇔ cos
⇔ tan
cos
tan
sin
cos
tan
90°
Hvis man har en trekant med en anden navngivning, kan der skrives et nyt sæt af formler ved udskiftning af bogstaver: Hvis f.eks. trekanten hedder , med som den rette vinkel: ∙ sin
⇔
sin
⇔ sin
og tilsvarende for de andre formler. 136 8.Eksponentiellefunktioner






To vækstmodeller, lineær vækst og eksponentiel vækst Voksende og aftagende eksponentielle funktioner Enkelt‐logaritmiske koordinat‐systemer, graf for eksponentiel funktion Logaritmefunktionen Eksponentielle ligninger Fordoblings‐konstant og halverings‐konstant Vi skal i dette kapitel beskæftige os med størrelser, der ændrer sig med en konstant procent, når den uafhængige variabel ændres med en konstant absolut værdi. Tovækstmodeller
LINEÆR VÆKST
En pumpe fylder en beholder med vand, og på et tidspunkt er der 40 liter vand i beholderen. Pumpen pumper 10 liter vand pr. minut. En tabel over vandmængden i beholderen kan se sådan ud: Antal minutter 2
1 0 1 2 3 4 Antal liter 20 30 40 50 60 70 80 Det tidspunkt, hvor beholderen indeholder 40 liter vand har vi valgt som begyndelses‐tidspunkt og vandmængden 40 liter kaldes begyndelses‐værdien. Vandmængden i beholderen beskrives med en lineær funktion: 10
40 137 Grafen er en ret linje, se fig. 1. Når den uafhængige variabel øges med 1, så vokser den afhængige med den konstante tilvækst 10. Dette er vist på tegningen med de små trekanter. Figur 1. Hvis man istedet tager ‐skridt på 2 mod højre, så er tilvæksten 20 o.s.v Hvis man kalder ‐tilvæksten for ∆ og ‐tilvæksten for ∆ gælder der altså for en lineær funktion at: ∆
∙∆ eller i ord: en konstant absolut tilvækst i giver en konstant absolut tilvækst i . 138 EKSPONENTIEL VÆKST
I en virksomhed er lønnen for at lave et stykke arbejde på et tidspunkt (år 0)40kr. og aftalen er, at lønnen stiger med 10% om året. Fra kapitlet om procent og rentesregning ved vi, at man kan beregne lønnen sådan: Efter 1 år : 40 ∙ 1.10
44.00kr. Efter 2 år : 40 ∙ 1.10
48.40kr. Efter 3 år : 40 ∙ 1.10
53.24kr. osv., så vi får denne tabel : Antal år 2 1 løn 33.06 36.36 0 40 1
44.00
2
48.40
3
53.24
4 58.56 Renteformlen giver, at lønnen efter år kan beskrives med funktionen , der har forskriften 40 ∙ 1.10 Tallet 40 er som før begyndelses‐værdien. I tabellen ganges værdien i en rubrik med 1.10 for at få naboværdien til højre, f.eks. 40 ∙ 1.10
44.00,44.00 ∙ 1.10
48.40,
48.40 ∙ 1.10
53.24 Der gælder derfor at: når øges med 1, øges en fast procent‐tilvækst i med 10%, så til en fast absolut tilvækst i hører . Den absolutte tilvækst bliver derimod større og større, og det ses at grafen for krummer opad, se fig. 2 Den absolutte tilvækst fra år 1 til år 2 : 48.40
44.00
4.40 Den absolutte tilvækst fra år 3 til år 4 : 58.56
53.24
5.32 139 Figur 2. Fremskrivnings‐faktor, vækstrate og begyndelses‐værdi Vi betegner fremskrivnings‐faktoren med , så her er 1.10. Det er som nævnt det tal man skal gange hvert tal i tabellen med for at få den næste værdi til højre. Omvendt fås værdien i et felt til venstre ved at dividere med 1.10. Den konstante procentvise tilvækst på 10% kaldes for vækstraten , og den hænger sammen med fremskrivnings‐faktoren på denne måde: 1
1.10
1
0.1
10% Vi kan også skrive sådan: 1
I forskriften 40 ∙ 1.10 er tallet 40 værdien til tiden 0, dvs. det tal, hvori grafen for skærer ‐aksen. Derfor kaldes dette tal for begyndelses‐værdien. 140 Vores overvejelser samles i følgende definition: Definition En eksponentiel funktion har forskriften ∙
hvor er begyndelses ‐værdien er fremskrivnings‐faktoren, svarende til en ‐tilvækst på 1 1 er vækstraten En eksponentiel funktion har den egenskab, at en konstant absolut tilvækst ∆ , giver en konstant procent‐tilvækst for . Hvis man sammenligner den generelle forskrift for en eksponentiel funktion med renteformlen, ses det at renteformlen også er forskriften for en eksponentiel funktion. Den egenskab som nævnes i defintionen kan vises på denne måde: Hvis ∆
, så kan man skrive: ∆
∙
∙
∙
∙
eller ∙
Resultat af at gå fra til er altså at funktionsværdien ganges med Dette svarer så til en procent‐tilvækst på 100 ∙
. 1 % Som det ses, er procent‐tilvæksten uafhængig af hvilken ‐værdi man starter med. 141 Eksponentiellefunktioner
Eksempel 1 I en by var der300 mennesker i år 2011 og antallet af mennesker vokser med 15% pr. år. Forskriften for den funktion, der beskriver antallet af mennesker år efter 2011 er : 300 ∙ 1.15 her er: 1.15 fremskrivnings‐faktoren 1 1.15 1
15%vækstraten. 300begyndelsesværdien 0.15
Grafen ses på fig. 3. Figur 3. 142 På lommeregner eller CAS kan udregnes funktionsværdier: 3
300 ∙ 1.15
456.26
456 5
300 ∙ 1.15
603.416
603 Det betyder så, at i år 2011 + 5 = 2016, er der 603 mennesker. Hvis man er interesseret i at finde ud af, hvornår der er f.eks. 1100 mennesker kan man løse ligningen 1100
300 ∙ 1.15 med CAS, ved at indtaste både højre og venstre side som funktioner og finde skæringen mellem de to grafer. Man finder løsningen 9.296, så det er i år 2011 + 9 = 2020 at der er 1100 mennesker. Figur 4. 143 Eksempel 2 Antallet af den mængde rejer, som kan fiskes i et bestemt havområde var i 2010 på 25000 tons. Antallet af rejer, som kan fiskes i området falder med 12% pr. år. Begyndelsesværdien er Vækstraten er 12%
25000 0.012 og fremskrivnings‐faktoren bliver 1
1
0.12
0.88 Forskriften for den funktion, der beskriver antallet af fiskbare rejer år efter 2010 er derfor: 25000 ∙ 0.88 Grafen for funktionen ses på fig 5. Figur 5. 144 VOKSENDE OG AFTAGENDE EKSPONENTIELLE
FUNKTIONER
Som det fremgår af de foregående eksempler kan eksponentielle funktioner deles i to grupper: voksende og aftagende. Voksende eksponentielle funktioner har fremskrivnings‐faktor større end 1 og positive vækstrater: 1
0 Aftagende eksponentielle funktioner har fremskrivnings‐faktor mindre end 1 og negative vækstrater: 1
0 Funktionen i eksempel 1 er voksende og funktionen i eksempel 2 er aftagende, som det ses af de pågældende fremskrivnings‐faktorer og vækstrater. FREMSKRIVNINGSFAKTORER FOR FORSKELLIGE XTILVÆKSTER
Hvis ∆
1gælder: 1
∙
∙
∙
∙ Derfor kan man også kalde for fremskrivnings‐faktoren svarende til ∆
1 Hvis nu f.eks. ∆
3 kan man skrive: 3
Man kan så kalde ∙
∙
∙
∙
for fremskrivnings‐faktoren svarende til ∆
3 145 Eksempel 3 En størrelse vokser eksponentielt og har begyndelses‐værdien 12.7 Størrelsen vokser med 24% på 3 år. Vi vil finde forskriften. Det oplyses at vækstraten for 3 år er 24%. Fremskrivnings‐faktoren svarende til 3 årer derfor 1.24, dvs. 1.24 Denne ligning løses ved at bruge kubikroden: 1.24 ⇔
√1.24
1.074 Forskriften må så være: 12.7 ∙ 1.074 Vækstraten pr. år er: 1
0.074
7.4% Det ovenstående svarer i rentesregning til at omregne fra en lang til en kort termin. 146 Enkelt‐logaritmiskekoordinat‐systemer
Et enkelt‐logaritmisk koordinat‐system er et koordinat‐system med en almindelig (lineær) ‐akse, og en såkaldt logaritmisk ‐akse. På fig. 6 herunder ses grafen for funktionen med forskriften 3 ∙ 1.70 indtegnet i et enkelt‐logaritmisk koordinat‐system : Figur 6. 147 Man bemærker følgende:  der er kun positive tal på ‐aksen. Dette passer samme med at en eksponentiel funktionkun har positive funktions‐værdier.  Inddelingerne på ‐aksen er delt i nogle ens afsnit, som kaldes dekader. Den først dekade under ‐aksen har inddelinger for tallene: 0.1, 0.2, 0.3, ⋯ ,1 Den første dekade over ‐aksen har inddelinger for tallene: 1, 2, 3, ⋯ ,10 Den tredje dekade over ‐aksen har inddelinger for tallene: 10, 20, 30, ⋯ ,100 osv.  Grafen for i et enkelt‐logaritmisk koordinat‐system er en ret linje.  Koordinat‐systemet giver mulighed for at afbilde et meget stort interval af funktionsværdier og stadigt have overblik over grafen. Sætning En eksponentiel funktion har i et enkelt‐logaritmisk koordinat‐
system en graf, der er en ret linje. Der gælder også det omvendte: en graf, der i et enkelt‐
logaritmisk koordinat‐system er en ret linje, er graf for en eksponentiel funktion. 148 Den sidste del af sætningen er nyttig, hvis man skal afgøre om nogle givne datapunkter stammer fra en eksponentiel sammenhæng: Hvis datapunkterne med god tilnærmelse ligger på en ret linje, så er det sandsynligt at de stammer fra en eksponentiel sammenhæng. Bestemmelseafforskriftenforeneksponentiel
funktion
BESTEMMELSE AF FORSKRIFT VED BEREGNING
Forskriften for en eksponentiel funktion er fastlagt, hvis man kender to punkter som dens graf går igennem. Punkterne kan være nogen, man selv aflæser eller de kan være oplyst. Hvis 3
59 og 7
11 , så går dens graf gennem punkterne med koordinaterne 3,59 og 7,11 . Disse oplysninger kan puttes ind i en tabel: 3 59
4
59 ∙
5
59 ∙
6
59 ∙
7
11
Dermåaltsågældeat ∶ 11
59 ∙
√0.18644
så
11
59
0.18644 0.657 Begyndelses‐værdien findes ved at indsætte eet af de kendte punkter i den generelle forskrift: 59
Derfor er forskriften: ∙ 0.657 ⇔
59
0.657
208 208 ∙ 0.657 149 Forskriften ud fra to punkter som grafen går igennem Man kan opstille et sæt af formler, der giver mulighed for at finde forskriften direkte. ,
De to punkter som grafen går igennem kaldes ,
og I eksemplet ovenfor er f.eks. 3, 59 og 7, 11 Vi fandt at 11
hvoraf
59
4‐tallet i rod‐eksponenten er udregnet som 4
7
3, dvs. som så man kan også skrive Når er udregnet, indsættes ,
∙
∙
og i ligningen ⇔
og man får så: Sætning Hvis grafen for den eksponentielle funktion med forskrift ∙ går gennem punkterne udtrykkene: ,
og er og fastlagt ved ,
150 Eksempel 4 Vi vil finde forskriften for den eksponentielle funktion , når det oplyses at 2
450 og 8
840 Vi sætter ,
2, 450 og ,
8, 840 og bruger sætningen ovenfor: 840
450
840
450
1.1096 450
1.1096
365.49 Så forskriften er 365.49 ∙ 1.1096 Figur 7. Grafen for f i enkelt‐logaritmisk koordinat‐system 151 BESTEMMELSE AF FORSKRIFT MED CAS
Forskriften for en eksponentiel funktion kan findes med CAS. De følgende eksempler bygger på programmet "Graph". Selv om der er forskelle imellem programmerne er de alle opbygget på lignende måde, og derfor vil metoden med lidt tilpasning kunne bruges med andre programmer. Vi undersøger den samme funktion som i eksempel 4. Først skal koordinaterne til de givne punkter indtastes, det foregår i menupunktet "indsæt punktserie", se fig. 8 herunder. Figur 8. De givne koordinater skal indtastes under menupunktet "indsæt punktserie" Der kommer så en rude op med en tabel, hvor man kan indtaste værdier, se fig. 9, hvor værdierne er vist indtastet. 152 Figur9. De givne koordinater indtastes i tabellen Når værdierne er indtastet trykker man "OK" og ruden lukker. Man går så til menupunktet "indsæt tendenslinje", se fig. 10. Figur 10. 153 I ruden, som kommer frem , vælges den ønskede regressions‐type : Figur 11. Når man trykker "OK" lukker ruden og forskriften kan ses i ruden sammen med grafen (fig. 12). De to punkter, der indgår i beregningen er markeret med kryds. Figur 12. Regressions‐linje og punkter i koordinat‐systemet 154 REGRESSION MED CAS
Antag at man i et eksperiment har målt sammenhørende værdier af to størrelser og . Man ønsker at finde forskriften for den funktion, der bedst beskriver sammenhængen mellem de to størrelser. Der er to muligheder: 1. Man ved hvilken type funktion, derbedst beskriver sammenhængen og kan straks gå igang med at finde forskriften. 2. Man ved ikke hvilken type funktion, der bedst beskriver sammenhængen og må først finde ud af det. En almindeligt anvendt metode er at afbilde sammenhørende værdier i forskellige typer af koordinat‐systemer. I tilfælde 2 kan man gå frem efter dette skema: Type af koordinat‐
system Almindeligt, lineære akser Enkelt‐logaritmisk
Dobbelt‐
logaritmisk Punkter ligger tilnærmelsesvis på en ret linje Data beskrives af en lineær funktion. Data beskrives af en eksponentiel funktion. Data beskrives af en potensudvikling
Man skal bruge alle de tilgængelige datapunkter, når man laver regression. 155 Eksempel 5 I et eksperiment er målt følgende sammenhørende værdier af og : 2 445 3 505 4
570
5
590
6
683
7 766 8
830
Man ved at punkterne stammer fra en eksponentiel sammenhæng. Det bedste bud på den bagvedliggende funktion, fås nu ved at lave eksponentiel regression. Alle datapunkter indtastes i tabellen som vist i foregående afsnit. Når man derefter vælger "eksponentiel" under "indsæt tendenslinje", udregnes det bedste bud på hvad forskriften skal være, det er dette der kaldes for regression. Grafisk kan man tænke på den måde, at man finder den graf, der passer bedst imellem de givne datapunkter, dvs. den graf hvor flest muligt af punkterne ligger tæt på grafen. Regressions‐linjen og datapunkterne ses på fig. 13. Figur. 13Regressions‐linje og datapunkter 156 Logaritme‐funktionen
I et enkelt‐logaritmisk koordinat‐system er tallene på ‐aksen anbragt efter en logaritmisk skala. Denne betegnelse skyldes, at den er konstrueret ved hjælp af den såkaldte logaritme‐funktion. DEFINITION AF LOGARITME-FUNKTIONEN
Logaritme‐funktionen aniver, hvilke eksponenter som 10 skal opløftes til for at give et bestemt tal. F.eks. er 10
100, så 10 skal forsynes med eksponenten 2 for at give 100. Man siger så, at logaritmen af 100 er 2 og skriver log 100
2. På samme måde er 10
1000 gælder 1000. Da 10 skal opløftes til potensen 3 for at give logaritmen af 1000 er 3 , dvs. log 1000
3. Alle potenser at 10 er positive tal, så vi har logaritmen til et positivt tal er den potens som 10 skal opløftes til for at give tallet 157 Funktionen er indbygget i lommeregner og CAS, hvor den kaldes for "log". F.eks. findes at log 37
1.5682. Det betyder at så at 10
.
37 Tilsvarende er log 285
2.4585 fordi 10
log 0.7
0.1549 fordi 10
.
285 .
0.7 Hvis man omvendte kender logaritmen og ønsker at finde tallet selv bruges log
Hvis f.eks. det vides at log
2.46 så findes som log
2.46
288.403 158 GRAF FOR LOGARITME-FUNKTIONEN
Hvis vi vil tegne grafen for logaritme‐funktionen en tabel over værdier: log
0.1 1 1 0 5 0.699
10
1
15
1.176
log
, kan vi opstille 50
1.699 100 2 1000
3
Grafen er tegnet på fig. 14 Det ses af tabellen, at logaritme‐funktionen er langsomt voksende i intervallet 10; ∞ Figur 14. 159 EN REGNEREGEL FOR LOGARITMER
Der findes et antal regneregler for logaritmer, men vi vil nøjes med at anføre een af dem. På lommeregner eller CAS findes, hvis man afrunder til 4 decimaler at: log 4
1.8062 og 3 ∙ log 4
1.8062 Det ses altså at log 4
3 ∙ log 4 tilsvarende er log 2
1.5052 og 5 ∙ log 2
1.5052 så log 2
5 ∙ log 2 Dette gælder i almindelighed, og man har følgende sætning: Sætning For et positivt tal og alle gælder følgende regneregel log
∙ log
160 Eksponentielleligninger
Regnereglen fra sidste afsnit er nyttig, når man skal løse ligninger, hvor den ubekendte forekommer i eksponenten, de såkaldte eksponentielle ligninger. Eksempel 6 Vi vil løse ligningen 40 2
Ligningen omskrives: 40 ⇔ 2
log 40 ⟺ log 2
∙ log 2
log 40 ⇔ ∙ log 2
log 2
log 40
⇔ log 2
log 40
log 2
5.3219 Man kontrollerer løsningen: 2
.
40 det er sandt, og det er derfor den rigtige løsning som er fundet. 161 Eksempel 7 En produktion vokser med 13% om året og har en begyndelsesværdi på 48 tons. Vi vil beregne, hvor mange år der går, inden den er vokset til 125tons. Produktionen udvikler sig eksponentielt, og efter år er den 125 48 ∙ 1.13
Først divideres på begge sider: 48 ∙ 1.13
125 ⇔ 48 ∙ 1.13
48
125
⇔ 48
125
48
1.13
Man har så den samme type ligning som i eksempel 5 log 1.13
log
∙ log 1.13
log
∙ log 1.13
log 1.13
log
125
⇔ 48
125
⇔ 48
log 1.13
log
log 1.13
⇔ 7.831 og man undersøger løsningen ved at sætte den ind i den oprindelige ligning: 48 ∙ 1.13
.
125 hvilket viser sig at være sandt, og det er derfor den rigtige løsning, der er fundet. 162 Generelt udtryk Hvis man kigger nærmere på udregningerne i eksempel 7, kan man lave et generelt udtryk for løsningen til en eksponentiel ligning. En ligning på formen:
∙
har løsningen: log
log
En forelagt ligning kan da løses umiddelbart: 73 ∙ 1.17
631 ⇔
log
log 1.17
13.738 Fordoblings‐konstant
En eksponentielt voksende funktion vokser med den samme procent, for hver enhed, man går til højre på ‐aksen. Efter et bestemt antal enheder er funktions‐
værdierne fordoblet. Dette antal enheder kaldes for fordoblings‐konstanten og har symbolet . Hvis enhederne er tid, kaldes for fordoblingstiden. På fig. 15 på næste side, ses grafen for funktionen med forskriften 5 ∙ 1.122 2 har funktionsværdien 4. Det dobbelte af 4 er 8. Funktionsværdien 8 hører sammen med 4. Altså skal man gå 6 enheder frem på ‐aksen for at få fordoblet funktionsværdien, så 6. 163 Man kan aflæse den samme fordoblings‐konstant ved at tage udgangspunkt i 0 og den tilhørende funktionsværdi 5. Det dobbelte af 5 er 10. Funktionsværdien 10 hører sammen med 6. Igen ses det at 6. Figur 15. Andre sammenhørende par, der er valgt som ovenfor, vil give samme resultat, men nogle kan aflæses med større nøjagtighed end andre. 164 BEREGNING AF FORDOBLINGS-KONSTANT
Hvis funktionsværdien i er stor. Altså kan man skrive: , så er funktionsværdien i 2∙
dobbelt så Da man kan vælge et vilkårligt i beregningen, vælges for nemheds skyld 0 og man får: 2∙
0) Der indsættes i den generelle forskrift: ∙
og 2∙
0
2∙ De to udtryk sættes lig hinanden: ∙
2∙
⇔ 2 ⇔ log
∙ log
log 2 ⇔ log 2 ⇔ log 2
log
Sætning Fordoblings‐konstanten for en eksponentielt voksende funktion med forskriften ∙ er givet ved log 2
log
165 Eksempel 8 De eksponentielle funktioner og med forskrifterne 850 ∙ 1.12 27 ∙ 1.03 og har fordoblings‐konstanterne log 2
log 1.03
23.45 log 2
log 1.12
6.12 og Eksempel 9 Hvis man kender fordoblings‐konstanten kan vækstraten udregnes. 5. Hvis fordoblingstiden for en størrelse er 5 år, så er Hvis man kigger i udledningen af formlen for fordoblings‐konstanten, ses det at 2 dvs. at 2⇔
√2 Man kan nu udregne fremskrivningsfaktoren : √2
1.149 og vækstraten er så: 1.149
1
0.149
14.9% 166 Halverings‐konstant
En eksponentielt aftagende funktion aftager med den samme procent, for hver enhed, man går til højre på ‐aksen. Efter et bestemt antal enheder er funktions‐
værdierne halveret. Dette antal enheder kaldes for halverings‐konstanten og har symbolet . Hvis enhederne er tid, kaldes for halveringstiden. På fig. 16 , ses grafen for funktionen med forskriften 10 ∙ 0.7937 For 0 er funktionsværdien 10. Det halve af 10 er 5 og denne funktionsværdi hører sammen med 3. 3. Derfor er halverings‐konstanten Tilsvarende findes den samme værdi for ved at se på funktionsværdierne 4 og 2 og finde afstanden imellem de tilhørende . Figur 16. 167 BEREGNING AF HALVERINGS-KONSTANT
Hvis funktionsværdien i er , så er funktionsværdien i halvt så stor. Altså kan man skrive: 1
∙
2
Da man kan vælge et vilkårligt i beregningen, vælges for nemheds skyld 0 og man får: ∙
0) ∙
Der indsættes i den generelle forskrift: og 1
∙
2
1
∙ 2
0
De to udtryk sættes lig hinanden: ∙
1
∙
2
⇔
1
⇔ log
2
∙ log
log
1
⇔ 2
1
⇔ 2
log
log
log
Sætning Halverings‐konstanten for en eksponentielt aftagende er givet ved log
log
∙
funktion med forskriften 168 Eksempel 10 De eksponentielt aftagende funktioner 37 ∙ 0.87 125 ∙ 0.92 og har halverings‐konstanterne log
8.31 log 0.92
og log
4.98 log 0.87
Eksempel 11 Hvis man kender halverings‐konstanten, kan vækstraten udregnes. Fra udledningen af halverings‐konstanten ses at og man får så at 1
⇔
2
1
2
Hvis en størrelse har en halverings‐konstant på 15 måneder, hvor stor er så vækstraten pr. måned ? så vækstraten er 0.955
15
1
0.045
1
2
0.955 4.5% Derfor aftager størrelsen med 4.5% pr. måned 169 Kapiteloversigt 8 Eksponentiel funktion En eksponentiel funktion har forskriften ∙
hvor er begyndelses ‐værdien er fremskrivnings‐faktoren svarende til en ‐tilvækst på 1 1 er vækstraten En eksponentiel funktion har den egenskab, at en konstant absolut tilvækst ∆ , giver en konstant procent‐tilvækst for . Voksende og aftagende eksponentiel funktion Voksende eksponentielle funktioner har fremskrivnings‐faktor større end 1 og positive vækstrater: 1
0 Aftagende eksponentielle funktioner har fremskrivnings‐faktor mindre end 1 og negative vækstrater: 1
0 Enkelt‐logaritmiske koordinat‐systemer En eksponentiel funktion har i et enkelt‐
logaritmisk koordinat‐system en graf, der er en ret linje. Der gælder også det omvendte: en graf, der i et enkelt‐logaritmisk koordinat‐system er en ret linje, er graf for en eksponentiel funktion. 170 Forskriften ud fra to punkter Hvis grafen for den eksponentielle funktion med forskrift går gennem punkterne ved udtrykkene: ,
∙
og ,
er og fastlagt Logaritmefunktionen Logaritmen til et positivt tal er den potens som 10 skal opløftes til for at give 10000 tallet. F.eks er log 10000
4 fordi 10
For et positivt tal og alle gælder følgende regneregel: ∙ log
log
Eksponentielle ligninger En ligning på formen:
∙
har løsningen: log
log
171 Fordoblings og halveringskonstant Hvis ∙
er voksende
1 er fordoblings‐konstanten log 2
log
Hvis ∙
er aftagende
1 er halverings‐konstanten log
log
Hvis fordoblings‐konstanten er givet, kan fremskrivnings‐faktoren findes som √2 Hvis halverings‐konstanten er givet, kan fremskrivnings‐faktoren findes som 1
2
172 9.Potensfunktionerog
potensudviklinger









Potensfunktion, definitions‐mængde, værdimængde, graf Potensudvikling, graf Dobbeltlogaritmisk koordinat‐system Potensfunktioners og potensudviklinger i dobbelt‐log, bestemmelse af forskrift fra grafen Bestemmelse af forskrift ved beregning Bestemmelse af forskrift med CAS Potensregression Procentvise ændringer af afhængig og uafhængig variabel og deres sammenhæng Ligninger, hvori der indgår potensudviklinger Potensfunktioner
kaldes potensfunktioner. Den Funktioner med forskrifter af typen variable optræder som grundtal i potensen ‐ ikke at forveksle med eksponential‐funktionerne, der har forskrifter af typen . Vi vil nu se på potensfunktioner for forskellige værdier af : 1
∶ 2
√ Dm
1
∶ 2
√
∶ √
1
0; ∞ Dm
0; ∞ Dm
0; ∞ 173 Med hele eksponenter haves f.eks. : 2 ∶ 1 ∶ Dm
1
Dm
∖ 0 En del af disse funktioner et kendt fra tidligere kapitler. Den først er således kvadratrods‐funktionen og de to sidste er kvadrat‐funktionen og reciprok‐
funktionen. Som man ser, er der forskellige definitions‐mængder for potensfunktioner. Vi vedtager derfor, at den almindelige potensfunktion skal have en definitions‐mængde, der kan bruges uanset værdien af . Derfor sættesDm
0; ∞ På fig. 1 er tegnet graferne for nogle potensfunktioner med forskellige værdier af . Figur 1. 174 0 er en potensfunktion aftagende, og for Der gælder åbenbart at for er den voksende. 0 Dette ses let ved at omskrive : 1
som bliver mindre, når vokser. Tilsvarende 1
som også bliver mindre, når vokser. Omvendt når 0, idet f.eks. må bliver større når vokser. 0 da Det ses også at 0. Vi kan samle vores viden om potensfunktioner : Definition En potensfunktion er en funktion med en forskrift af typen 0 og ∈
hvor Der gælder endvidere at: Potensfunktionen er voksende for og Vm
0; ∞ 0 og aftagende for 0 175 Potensudviklinger
Hvis man ganger en positiv konstant på typen , fås en funktion med en forskrift af ∙
som kaldes en potensudvikling. Da der ganges med en positiv konstant, ændres værdimængden ikke og vi får følgende definition: Definition En potensudvikling er en funktion med en forskrift af typen ∙
hvor 0,
0 og ∈
Der gælder endvidere at: Potensudviklingen er voksende for 0 og aftagende for 0 og Vm
0; ∞ Konstanten virker som en skaleringsfaktor, der bestemmer potensfunktionens hældning. På fig. 2 ses grafen for potensfunktionen sammen med graferne for potensudviklinger, der er dannet ved at gange med forskellige konstanter. 176 Fig . 2 Potensfunktionen og potensudviklinger dannet ud fra Dobbelt‐logaritmiskekoordinat‐systemer
Fra kapitlet om eksponentielle funktioner kendes det enkelt‐logaritmiske koordinat‐system med en almindelig ‐akse og en logaritmisk ‐akse. I forbindelse med potensfunktioner og potensudviklinger er det praktisk at bruge et dobbelt‐logaritmisk koordinat‐system, hvor begge akser er logaritmiske. På fig 3. ses graferne for forskellige voksende og aftagende potensfunktioner afbildet i et dobbelt‐logaritmisk koordinat‐system. På fig 4. ses graferne for forskellige potensudviklinger afbildet i et tilsvarende koordinat‐system. Det ses at begge typer funktioner har grafer, som er rette linjer. 177 Fig 3. Voksende og aftagende potensfunktioner i dobbelt‐logaritmisk koordinat‐
system Fig. 4 Voksende og aftagende potensudviklinger i dobbelt‐logaritmisk koordinat‐
system 178 Sætning En potensfunktion og en potensudvikling har i et dobbelt‐
logaritmisk koordinat‐system en graf, der er en ret linje. Der gælder også det omvendte: en graf, der i et dobbelt‐
logaritmisk koordinat‐system er en ret linje, er graf for en potensfunktion eller en potensudvikling. Det er derfor præcis potensfunktioner og potensudviklinger der har grafer som er rette linjer i et dobbelt‐logaritmisk koordinat‐
system. I det følgende er det underforstået at alle metoder også kan bruges på potensfunktioner, selv om kun potensudviklinger er omtalt, da potensfunktioner jo er et specielt tilfælde af en potensudvikling, hvor 1. Bestemmelseafforskriftenforenpotensudvikling
GRAFISK BESTEMMELSE AF FORSKRIFT
Forskriften for en potensudvikling kan findes fra dens graf i et dobbelt‐
logaritmisk koordinat‐system ved opmåling, når grafen foreligger på et stykke dobbeltlogaritme‐papir. Forskriften for en potensudvikling er ∙ , og der er derfor 2 tal som skal findes, og . 1
∙1
og derfor kan aflæses direkte, såfremt punktet 1, er med på grafen. Hvis punktet ikke er med, kan grafen forlænges. 179 kan findes som hældningen af en trekant, der lægges ind i koordinatsystemet. Metoden ligner den, som blev brugt for lineære funktioners grafer til at finde hældningen. På fig. 5 ses grafen for en potensudvikling , som er tegnet på papir. Grafen går igennem 1, 1.6 , så 1.6. Ved opmåling findes at den lodrette katete i trekanten har længden 54mm og den vandrette har længden 76mm , så linjens hældning er 54
0.711 76
Forskriften for funktionen er derfor 1.6 ∙ . 180 Figur 5. Opmåling i dobbelt‐log koordinat‐system BESTEMMELSE AF FORSKRIFT VED BEREGNING
Hvis man kender to punkter, som grafen for en potensudvikling går igennem, kan forskriften bestemmes ved beregning. Hvis de to punkter kaldes for ,
og log
log
,
kan beregnes: log
log
I sidste afsnit blev tælleren og nævneren i brøken fundet ved opmåling på grafen, her bliver de regnet ud. Når er fundet kan beregnes ved at indsætte og isolere: ,
i den generelle forskrift 181 ∙
Man kan også bruge ,
⟺
og får så Eksempel 1 Grafen for en potensudvikling går gennem punkterne 1.5,2 og 7,6 . ,
1.5,2 og 7,6 ,
log
log
log
log
log 6
log 7
log 2
log 1.5
2
1.5 .
0.713 1.498 Forskriften er derfor 1.498 ∙
.
BESTEMMELSE AF FORSKRIFT MED CAS
Fremgangsmåden er den samme som blev vist i kapitlet med eksponentielle funktioner, men vises her igen. Eksempel 2 Vi undersøger den samme funktion som i eksempel 1. Man vælger menupunktet "indsæt punktserie" som vist herunder på fig.6 182 Figur 6. Der kommer så en rude op med en tabel, hvor man kan indtaste værdier, se fig. 7, hvor værdierne er vist indtastet. 183 Fig 7. I tabelruden indtastes koordinaterne Når værdierne er indtastet trykker man "OK" og ruden lukker. Man går så til menupunktet "indsæt tendenslinje", se fig. 8. Figur 8 184 I ruden som kommer frem, vælges den tendenslinje, der passer til den søgte funktionstype, i dette tilfælde "potens" , se fig. 9. Figur. 9 I ruden vælges den aktuelle funktionstype Når man trykker "OK" lukker ruden og forskriften kan ses i ruden sammen med grafen (fig. 10). De to punkter, der indgår i beregningen ses markeret med kryds. Figur 10. Forskriften er vist i kassen i øverste højre hjørne. 185 Tekniske bemærkninger: Hvis man ikke kan se grafen i ruden, går man ind under "zoom" og vælger "tilpas". Hvis man ikke kan se kassen med forskriften, går man ind under "akser" og "indstillinger" og vælger hvor kassen med forskriften skal placeres. Det er også her at man vælger om akserne skal være logaritmiske eller almindelige (lineære). REGRESSION MED CAS
Regression er omtalt tidligere under eksponentielle funktioner. Fremgangsmåden ved indtastning af punkter og valg af funktionstype er den samme som vist ovenfor. Eksempel 3 I et eksperiment har man varieret den uafhængige variabel i skridt af 0.5, startende fra 0.2og målt den tilhørende afhængige variabel . Resultaterne ses i den nedenstående tabel: 0.2 0.148 0.7 3.12 1.2
8.4
1.7
14.6
2.2 24.2 Hvis man afbilder punkterne i et koordinat‐system med almindelige (lineære) akser ses det umiddelbart, at de ikke kan stamme fra en lineær sammenhæng, da de ikke tilnærmelsesvis ligger på en ret linje. Hvis man prøver med en logaritmisk ‐akse, ses det, at de heller ikke kan stamme fra en eksponentiel sammenhæng. I et dobbelt‐logaritmisk koordinat‐system (fig. 11) ser punkterne ud til med god tilnærmelse at ligge på en ret linje, og det er da rimeligt at lave en potensregression på punkterne. 186 Figur 11. Datapunkterne ligger med god tilnærmelse på en ret linje i dobbelt‐log Derfor laves potens‐regression på punkterne, se fig. 12. Det ses at værdien er tæt på 1, så regressionslinjen er en god tilnærmelse til datapunkterne. Figur 12. 187 Procentvisændringafdenafhængigeogden
uafhængigevariabel
Vi ser på den generelle forskrift for en potensudvikling: ∙
Hvis den uafhængige variabel ændres med r* %, så svarer det til at gange med fremskrivningsfaktoren 1
∗
, hvor . Derfor kan man skrive: ∙ 1
∙
∙ 1
ifølge regnereglerne for potenser skal faktorerne i parentesen opløftes hver for sig: ∙ 1
∙
∙ 1
∙ 1
resultatet er altså at den gamle funktionsværdi bliver ganget med fremskrivningsfaktoren 1
. Dette svarer til en ændring i funktionsværdien på 1
1 . Eksempel 4 Potensudviklingen har forskriften .
6∙
Hvor mange % ændrer funktionsværdien sig, når ændres med 12% ? ∗
100
1
1
1
0.12
0.12 .
1
0.212
21.2% Funktionsværdien ændrer sig derfor med 21.2% , når ændres med 12% . 188 Tilsvarende undersøges hvad der sker med den afhængige variabel, når den uafhængige ændres med r* % . Hvis ændres med r* % , svarer det til at den uafhængige variabel bliver ganget med fremskrivningsfaktoren 1
. Samtidigt er den afhængige ganget med fremskrivningsfaktoren 1
som skal findes : ∙ 1
∙
∙ 1
Man opløfter hvert af faktorerne på højre side for sig: ∙ 1
∙
1
∙ 1
⟺ 1
1
√1
⟺ ⟺ 1 √1
Eksempel 5 Potensudviklingen har forskriften 6∙
Hvor mange % skal ændres for at ændre ∗
100
.
√1
0.20
1
.
med 20% ? 0.20 0.113
skal derfor ændres med 11.3% , for at ændre 11.3% med 20%. For potensudviklingen med forskriften
∙ gælder: når ændres med r* %, så ændres 1
1 med når ændres med r* %, svarer det til en ændring i på √1
1 189 Potensligninger
Eksempel 6 120 ∙
En potensudvikling har forskriften Vi vil løse ligningen . 247, idet vi forudsætter at 0 247
⟺ 120 ∙
247
120
⟺ 247
120
1.19779 og man kan undersøge om det er den rigtige løsning ved at indsætte i den første ligning. Hvis man indsætter 1.19779 i den første ligning, er den en løsning, men den kan ikke bruges, da det er forudsat at 0 I almindelighed har vi da: Løsningen til ligningen ∙
er og der gælder 0 190 10.Beskrivendestatistik





Ugrupperede observationer, observations‐sæt, hyppighed og frekvens Middeltal og typetal for ugrupperede observationer Summeret hyppighed, summeret frekvens, trappediagram Grupperede observationer Fraktiler, typeinterval, middeltal Man foretager i mange sammenhænge målinger eller registreringer af resultater. For at få overblik over det indsamlede materiale, behandles det på forskellige måder. Disse metoder hører til den beskrivende statistik. Ugrupperedeobservationer
OBSERVATIONS-SÆT, HYPPIGHED OG FREKVENS
Vi indfører de forskellige begreber med et eksempel. I en klasse er der 20 elever og for hver elev har man optalt hvor mange fraværsdage den pågældende havde i januar måned. Herved fremkom følgende tal : 01103020031022503212 Vi vil sige at vi har foretaget 20observationer, og vi vil kalde det ovenstående for et observations‐sæt med størrelsen20. Man skriver at 20 Det ses at observationen 2 forekommer 5 gange i observations‐sættet, dvs. der var 5 elever der havde 2 forsømmelsdage. Vi siger at "hyppigheden af 2 er lig med 5", og skriver at 2
5. 191 I almindelighed betegner tabellen herunder. Observation Hyppighed 0 7 hyppigheden af observationen , som vist i 1
4
2
5
3
3
5 1 Tabellen fastlægger funktionen , som vi kalder for observations‐sættets hyppigheds‐fordeling. Det bemærkes at summen af hyppighederne er lig med observations‐sættets størrelse. Man kan derfor sige at fordeler den samlede hyppighed på de enkelte observationer. Hvis man dividerer hyppigheden med observations‐sættets størrelse , fås frekvensen
af observationen som vist i tabellen herunder. Observation Frekvens
0 0.35 Her aflæses at 0
0.35
havde 0 dages fravær. 1
0.20
2
0.25
3
0.15
5 0.05 35%, hvilket fortæller at netop 35% af eleverne Tabellen fastlægger funktionen som kaldes observations‐sættets frekvens‐
fordeling. Definition Størrelsen af et observations‐sæt er antallet af observationer i sættet. Hyppigheden af en observation er antallet af gange forekommer i sættet Frekvensen
af en observation er den brøkdel af observationerne, der har størrelse , dvs. 192 Eksempel 1 Man kan tegne et såkaldt stolpediagram over hyppighedsfordelingen eller frekvensfordelingen, se fig. 1 herunder. Observationerne er afsat på ‐aksen og frekvenserne aflæses på ‐aksen. Figur 1. 193 MIDDELTAL OG TYPETAL
Observations‐sættets middeltal er gennemsnittet af observationerne, dvs. deres sum divideret med deres antal. Idet betegner middeltallet har vi: 0∙7
0∙
0 ∙ 0.35
7
20
1∙
1 ∙ 0.20
1∙4
4
20
2∙
2∙5
20
5
20
2 ∙ 0.25
3∙3
3∙
3
20
3 ∙ 0.15
5∙1
5∙
1
20
5 ∙ 0.15
1.4 Det ses heraf, at middeltallet kan findes ved for hver observation at gange det med sin frekvens og lægge sammen. Eleverne har altså i gennemsnit haft 1.4 fraværsdage i januar måned. Typetallet for observations‐sættet er den observation, som forekommer hyppigst (oftest). 0 er den observation, som forekommer oftest, og derfor er 0 typetallet for dette observations‐sæt. Hvis flere observationer begge har den højeste hyppighed, er de tilsvarende observationer begge typetal. Middeltal og typetal er to eksempler på statistiske beskrivende størrelser, også kaldet statistiske deskriptorer. De beskriver på en kort måde nogle væsentlige egenskaber ved observations‐sættet. 194 Definition Middeltallet (gennemsnittet) for et ugrupperet observations‐sæt er observationernes sum divideret med deres antal. Typetallet for et ugrupperet observations‐
sæt er den eller de observationer, der har den største hyppighed ‐ og dermed den største frekvens. SUMMERET HYPPIGHED, SUMMERET FREKVENS OG
TRAPPEDIAGRAM Tabellen i det gennemgående eksempel er herunder udvidet med to rækker: Observation Hyppighed Frekvens Summeret hyppighed Summeret frekvens 0
1
2
3
5 7
4
5
3
1 0.35 0.20 0.25 0.15 0.05 7
11
16
19 20 0.35 0.55 0.80 0.95 1.00 Summeret hyppighed Den summerede hyppighed
er antallet af elever som havde højst forsømmelsdage. 2 er altså antallet af elever, der havde højst 2 forsømmelsesdage. Dette tal fås ved at opsummere hyppighederne for de observationer, der er højst 2, dvs. 2
0
1
2
7 4 5 16 Selv om 'erne er enkelt‐tal og altså ikke intervaller, når man udregner , lader man alligevel have definitions‐mængden . 195 Grafen for ses på fig.2. Grafen er konstrueret således: for værdier af mindre end 0 er der ingen observationer, derfor er der en vandret streg ved 0 i dette område. 0
7 og derfor er 0,7 med på grafen. Mellem 0 og 1 er der ingen observationer, og den summerede hyppighed må da være den samme som for 0 i dette interval. Man kommer så hen til 1 og kurven hopper til 1,11 fordi 1
11. På den måde fortsættes mod højre. Figur 2.Grafen for H Hvis man forbinder de vandrette stykker og fjerner symbolerne for interval‐
endepunkterne, fås et såkaldt trappediagram. (fig. 3) 196 Figur 3.Trappediagram for H Summeret frekvens Den summerede frekvens
er brøkdelen af eleverne, der havde højst forsømmelsesdage. Når er et vilkårligt reeelt tal, kan fås på to måder: enten ved at summere 'erne eller ved at dividere med observations‐sættets størrelse . Eksempelvis kan 2 bestemmes på disse to måder: 2
0
1
2
0.35 0.20 0.25 0.80 2
16
2
0.80 20
20
På fig. 4 ses grafen for og på fig. 5 ses trappediagrammet for . 197 Figur 4. Grafen for F Figur 5. Trappediagram for F Definition Den summerede hyppighed
for et reelt tal er det antal af observationer, der højst er lig med . Den summerede frekvens for et reelt tal er den brøkdel af observationerne, der højst er lig med 198 Grupperedeobservationer
En virksomhed fremstiller solceller, se fig. 6 og tykkelsen af de producerede celler bliver målt løbende i produktionen. Figur 6. Målene varierer fra 0.01mmtil0.02mm hvilket er det samme som 10
20 I tabellen herunder ses resultatet af en tykkelsesmåling på 40 celler. Tykkelse i μm 10; 12
12; 14
14; 16
16; 18
18; 20
Interval‐
hyppighed (antal) 4 7 15 8 6 Interval‐
frekvens (%) 10
17.5
37.5
20.0
15.0
Summeret interval‐frekvens (%) 10 27.5 65.0 85.0 100.0 199 Tabellen er opbygget sådan: 1. spalte: De enkelte målinger grupperes i observations‐intervaller, der hver har en længde på på 2μm. Man kunne derfor også vælge at kalde det for interval‐inddelte observationer. Målingerne sorteres altid efter det princip, at højre interval‐endepunkt medregnes, men ikke venstre interval‐endepunkt. En tykkelse på 14μm er altså med i det andet interval, og ikke i tredje interval. 2. spalte: Interval‐hyppighederne angiver det antal observationer, som hvert interval indeholder. Der er altså 8 celler, som er mellem 16μm og til og med 18μm i tykkelse. 3. spalte: Interval‐frekvenserne angiver den brøkdel (procentdel) af observationerne, der ligger i hvert interval. I intervallet 12; 14 fås en brøkdel på 0.175
17.5%. Man kan også angive interval‐frekvenserne som decimalbrøk. 4. spalte: Ordet summeret angiver at den summerede interval‐frekvens er summen af interval‐frekvenserne til og med det aktuelle interval. Den angiver hvor mange procent af observationerne, der ligger under eller på en given grænse. Tallene fås ved at lægge interval‐frekvenserne sammen efterhånden: 10.0
17.5
27.5,
10.0
17.5
37.5
65osv. Da 65.0% er summen af de tre første interval‐frekvenser, er der 65.0% af talmaterialet, der ligger i disse intervaller eller: 65.0% af cellerne har tykkelser på 16μm eller derunder. 200 På samme måde ses det at: 27.5% af cellerne har tykkelser på højst 14μm. 85.0% af cellerne har tykkelser på højst 18μm. Summeret interval‐frekvens kaldes også kumuleret interval‐frekvens. HISTOGRAM
Oplysningerne i tabellen vises i et antal figurer, og det første vi ser på er histogrammet, der er vist på fig. 7. På ‐aksen er afsat interval‐endepunkterne og over hvert interval tegnes et rektangel, hvis areal svarer til interval‐frekvensen. Arealenheden angives normalt med en lille firkant i det ene hjørne af figuren. Hvis alle intervaller er lige brede (som på fig. 7) får rektanglerne højder, der svarer til interval‐frekvensen. I det tilfælde kan man så vælge at lave en procent‐
inddeling på ‐aksen, så interval‐frekvenserne kan aflæses der. Denne udgave er vist på fig. 8. Hvis intervallerne ikke er lige brede, bliver man nødt til at bruge den første slags. 201 Figur 7. ‐ enheden for intervalfrekvensen er angivet med firkanten foroven. Figur 8. ‐ intervalfrekvensen aflæses på y‐aksen. 202 SUMKURVE
Den summerede interval‐frekvens afbildes ved hjælp af den såkaldte sumkurve. I koordinat‐systemet afsættes de summerede interval‐frekvenser som funktionsværdier for de højre interval‐endepunkter, dvs. man afsætter 12,10% ,
14, 27.5% ,
16, 65.0% ,
18, 85.0% , 20, 100% og desuden punktet 10, 0% Sumkurven fremkommer så ved at forbinde de afsatte punkter med rette linjestykker, se fig. 9 Figur 9. 203 Procentdel under en given grænse Hvor mange % af cellerne har en tykkelse på højst17μm ? Ud for 17 på ‐aksen aflæses 75% på sumkurven, så 75% af cellerne har en tykkelse på 17μm eller derunder. (fig. 10) Procentdel over en given grænse Hvor mange % af cellerne har en tykkelse på mindst13μm ? Ud for 13μm på ‐aksen aflæses aflæses 19% på sumkurven, så 19% af cellerne har en tykkelse på 13μm eller derunder. Derfor må 81% være 13μm eller derover. (fig. 10) Figur 10. 204 Procentdel mellem to givne grænser Hvor mange % af cellerne har en tykkelse mellem 15μm og 19μm ? Vi aflæser på sumkurven (fig.11) at 93% af cellerne har en tykkelse under 19μm og 46% af cellerne har en tykkelse under 15μm. Så må der være 93%
19μm. 46%
47% som ligger i intervallet mellem 15μm og Figur. 11 205 Eksempel 1 På fig. 12 ses en sumkurve for et sæt af grupperede observationer. Det drejer sig om højden af en bestemt type planter, målt 3 måneder efter at de er blevet sået. Vi ønsker at tegne histogrammet. Figur. 12 Hvert af linjestykkerne på figuren svarer til et observations‐interval. Man kan lave en tabel over de summerede interval‐frekvenser: 206 Højder i cm Summeret interval ‐
frekvens i % 25; 30 30; 35
10% 30% 35; 40
45 % 40; 45
60 % 45; 50 50; 55 80 % 95% 55; 60 100 % Hvis man udregner forskellene imellem naboværdier af de summerede interval‐
frekvenser fås følgende tabel: Højder i cm Interval‐
frekvens 25; 30
30; 35 35; 40
40; 45
45; 50
50; 55 55; 60
10% 20% 15 %
20 %
15% 15 %
5%
Ud fra denne tabel kan man så tegne histogrammet, som ses på fig. 13 Figur 13. 207 Statistiskebeskrivendestørrelserforgrupperede
observationer
FRAKTILER OG KVARTILSÆT
Ordet fraktilbetyder brøkdel. Således er 40% ‐fraktilen den grænse, som 40% af observationerne ligger under. På sumkurven bestemmes den ved at finde det tal på ‐aksen, der svarer til 40% på ‐aksen. På sumkurven (fig. 14) ses det at 40% ‐ fraktilen er 14.7 Det betyder at 40% af tykkelserne er under 14.7μm. Nogle fraktiler har særlige navne:  25% ‐ fraktilen kaldes nedre kvartil eller 1. kvartil. 25% af observationerne har værdier under denne grænse.  50% ‐ fraktilen kaldes medianen eller 2. kvartil. 50% af observationerne har værdier under denne grænse.  75% ‐ fraktilen kaldes øvre kvartil eller 3. kvartil. 75% af observationerne har værdier under denne grænse. På sumkurven (fig. 14) ses aflæsningen af kvartilerne. 208 Figur 14.  Nedre kvartil er 13.7, dvs. 25% af cellerne har en tykkelse på 13.7μmeller derunder.  Medianen er 15.2, dvs. 50% af cellerne har en tykkelse på 15.2μm eller derunder.  Øvre kvartil er 17, dvs. 75% af cellerne har en tykkelse på 17μm eller derunder. På kort form skrives: kvartilsættet er 13.7, 15.2, 17 209 TYPEINTERVAL
Et observations‐sæts typeinterval er det interval, eller de intervaller, der har den største interval ‐ frekvens. For tykkelsesmålingerne er typeintervallet 14; 16 . MIDDELTAL
Vi kender ikke samtlige 40 cellers tykkelse, men kun de målinger, som fremgår af tabellen på side197. Vi går ud fra at de 4 celler i intervallet 10; 12 er jævnt fordelt i intervallet, så vi ikke begår nogen stor fejl ved at regne dem alle sammen til at have tykkelsen 11μm. Dvs. man regner dem for at have interval‐midtpunktets tykkelse. Disse 4 celler bidrager altså til den samlede tykkelse med 4 ∙ 11μm. De 7 celler i intervallet 12; 14 regnes alle for at have tykkelsen 13μm, så de bidrager til den samlede tykkelse med 7 ∙ 13μm. Sådan fortsættes ned gennem tabellen, så den samlede tykkelse af cellerne bliver : 4 ∙ 11
7 ∙ 13
15 ∙ 15
8 ∙ 17
6 ∙ 19
610μm Da der er 40 celler er middeltallet 610
40
15.25μm Vi kunne også vælge at bruge interval‐frekvenserne, hvor divisionen med 40 allerede er lavet, så middeltallet kan også beregnes sådan: 11 ∙ 10%
13 ∙ 17.5%
15.25 15 ∙ 37.5%
17 ∙ 20%
19 ∙ 15%
1525%
Beregning af middeltal for grupperede observationer 1. gang interval‐midtpunkterne med antallet af observationer i hvert interval (hyppighederne), læg sammen og divider med det samlede antal observationer. 2. Gang interval‐midtpunkterne med frekvenserne og læg sammen. 210 A absolut tal 93 afhængig variabel 41, 66 aftagende 55, 56, 57, 67, 73, 137, 145, 167, 172, 178 annuitets‐lån 108, 114, 119 annuitets‐opsparing 108, 110, 113 B basisår 92, 93, 95 basisår 91, 95 begyndelseskapital 97 begyndelses‐tidspunkt 137 begyndelses‐værdi 137, 139, 140, 146 beskrivende statistik 191 bogstavudtryk 12, 28, 132 C cirkelareal 32 cirkelomkreds 32 cosinus 120, 127, 128, 129, 133, 134, 135 cylinder 33 førstegradsligninger 24 G gennemsnitlig vækstrate 105, 107 graf 45, 54, 55, 57, 62, 65, 69, 81, 137, 149, 156, 173, 179 grafisk løsning 59, 63 grupperede observationer 199 GRYN‐formlen 115 H halverings‐konstant 167 halveringstid 167 hele tal 15, 16, 37 histogram 201 hosliggende 130, 134 hyperbel 54 hypotenuse 123, 124 hyppigheds‐fordeling 192 hældningen 71, 73, 74, 75, 76, 78 hældnings‐koefficient 71 højde 125, 135 I D definitionsmængde 47 dekade 148 differens 5 dobbelt‐logaritmisk koordinat‐system 177 E eksponentiel funktion 137, 141, 148, 149, 152, 155 eksponentiel regression 156 eksponentiel vækst 139 eksponentielle funktioner 137, 142 eksponentielle ligninger 137, 161, 171 endepunkter 17, 18, 203 enhedscirklen 129 enkelt‐logaritmiske koordinat‐systemer 137, 147, 170 ensbetydende 25 ensvinklede trekanter 120, 135 F fordoblings‐konstant 137, 163 fordoblingstid 163, 166 forkortning 9 forlængning 9 forstørrelse og formindskelse 121 forstørrelses‐faktor 122, 129 fraktil 208 frekvens‐fordeling 192 fremskrivnings‐faktor 99, 140, 142, 144, 145, 172 funktion 55, 70 fælles faktor 7 fællesnævner 10, 14 indekstal 83, 91, 92, 96 intervaller 17, 18, 19, 57, 58, 195, 200, 201 irrationale tal 16 kateterne 123 konstantleddet 71 koordinat‐system 38, 44, 65, 127, 147, 148, 151, 155, 157, 173, 178, 179, 186 koordinatsæt 38 kvadranter 38 kvadrat‐funktion 51 kvadratrod 52 kvotient 5 L ligning 24, 25, 72, 146, 162, 163 lineære funktioner 69, 70, 71, 74, 82 logaritme‐funktion 157 lukket interval 18 løbetiden 114, 117 M maksimum 55, 58, 67 medianen 208 middeltal 191, 194,210 minimum 55, 58, 67 minusparenteser 8 modstående 125, 130, 134 monotoniforhold 55 211 N naturligt tal 15 nedre kvartil 208 O observationer 191, 192, 194, 195, 196, 200, 206, 208 observations‐intervaller 200 observations‐sæt 191, 194 omformningsregler 24 S sinus 120, 127, 128, 131, 133, 134 skæringen 74, 143 statistiske beskrivende størrelser 194 stigning 71 stolpediagram 193 stumpvinklet 126 sum 5, 194 sumkurve 203, 206 summeret frekvens 195, 197 summeret hyppighed 191, 195 P parabel 51 parenteser 7, 8 phytagoras sætning 120, 123, 124, 133, 134,135 potenser 6, 20, 22, 23, 157 potensfunktioner 173, 174, 175, 177, 178, 179 potensligninger 190 potensudvikling 155, 176, 179, 180, 181, 182, 188 procent 83, 84, 87, 89, 96, 97, 99, 106, 137, 139, 141, 163, 167, 200, 201 procentvis fald 87 procentvis stigning 85 procentvis ændring 89 produkt 5 R rationalt tal 16 reciprokfunktionen 54 regneforskrift 41, 70 regnegler for logaritmer 160 regningsarternes rækkefølge 6 regression 155, 156 regression med CAS 155, 186 rentefoden 98, 112, 114 renteformlen 97, 107, 139 restgælden 114 ret linje gennem to punkter 77 retningspunkt 127, 135 retvinklet trekant 71, 75, 123, 124, 126, 129, 136 T tallinje 15, 19, 31 taltyper 15 tangens 120, 133 termin 97, 98, 99, 104, 105, 107, 113, 114, 115, 146 trappediagram 191, 196 trekanters areal 120, 125, 135 typeinterval 191, 210 typetallet 194 U uafhængige variabel 40, 41, 66, 137 ubegrænset interval 19 ugrupperede observationer 191 ulighed 28, 29, 30, 31 V voksende 55, 57, 67, 73, 145, 163, 172 voksende og aftagende eksponentielle funktioner 145 vækstrate 97, 99, 140, 142, 146, 166, 169 værdimængde 38, 48, 49, 66, 173 Ø øvre kvartil 208 Å åbent interval 17 212