1. No category

MATEMA10K
Matematik for hhx C-niveau
BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN
Dette er en samling over alle de sætninger og beviser der er i bogen. Det er ment som supplerende
materiale især til de elever, der skal have matematik på B- eller A-niveau.
Beviserne i kun medtaget i begrænset omfang i selve bogen, idet de ikke er kernestof for
C-niveauet. Der vil til være enkelte tilføjelser her, som ikke er nævnt i bogen, men kan tænkes som
supplerende materiale til B- og A-niveauet (det gælder især kapitel 3 om polynomier)
Med venlig hilsen
Rasmus Axelsen
KAPITEL 2 – LINEÆRE FUNKTIONER
Sætning 1 side 37
For en lineær funktion f (x) = ax + b gælder at grafen er en ret linje og
1) Tallet b angiver skæringen med y-aksen
2) Tallet a angiver hældningen – dvs. man går 1 ud og a op
Bevis
Skæringen med y-aksen svarer til at x = 0. Derfor er skæringspunktet lig med funktionsværdien
f(0) = a∙0 + b = 0 + b = b
Hermed er den første del vist.
At vise at det er en ret linie med hældningen a, svarer til at vise at hver gang x forøges med 1,
(skrives x = 1), da forøges y med a, (skrives y = a.)
y
f(x+1)
Til en tilfældig x-værdi, er y-værdien f(x).
Når man går 1 til højre, så når man x + 1.
Funktionsværdien er her f(x+1).
Dette er vist på figuren
f(x)
y  ?
x  1
x
Hældningen er derfor
y = f(x + 1) – f(x)
= a∙(x+1) + b – ( ax + b)
= ax + a∙1 + b – ax – b
=a
x
indsæt at forskriften er f(x) = ax + b)
gang a ind i første parentes, og hæv minusparentesen ved at
ændre fortegn
reducer udtrykket ax – ax = 0 , b – b = 0.
tilbage er kun a
Derfor er y = a, og herved er sætningen bevist.
Sætning 2 side 42
Hvis grafen for en lineær funktion går igennem punkterne ( x0 , y 0 ) og ( x1 , y1 )
så kan forskriften bestemmes ud fra følgende to formler
1) a 
x+1
y1  y0
x1  x0
2) b  y0  a  x0
Kendes kun eet punkt og hældningen, så kan også man finde forskriften ved at sætte ind
i denne formel:
f ( x)  a  ( x  x0 )  y0
Bevis
Da punkterne ( x0 , y 0 ) og ( x1 , y1 ) ligger på grafen gælder der at
f ( x0 )  y 0 og f ( x1 )  y1
Nu sættes x-værdierne ind i forskriften
y 0  a  x0  b og y1  a  x1  b
b isoleres i begge ligninger ved at trække
hhv. a  x0 og a  x1 fra
b  a  x0  y 0 og b  a  x1  y1 1
(*)
Vi sætter nu de to udtryk lig hinanden
a  x0  y 0  a  x1  y1
Vi samler y’erne på den ene side, x på den anden side
ved at trække y0 fra og lægge ax1 til på begge sider.
y1  y 0  a  x1  a  x0
Sæt a uden for en parentes
y1  y 0  a  ( x1  x0 )
For at isolere a divideres med ( x1  x0 ) på begge sider, hvorved man får
y1  y0
x1  x0
Hermed er punkt 1 bevist . At begrunde formlen for b (punkt 2), er ret nem. Denne formel har vi
nemlig allerede fundet i linje 2 – se (*).
a
Den sidste del:
Vi ved at f(x) = a∙x + b. Nu indsætter vi den fundne formel for b
f ( x)  ax  b
f ( x)  ax  y 0  ax0
(indsæt b)
f ( x)  ax  ax0  y 0
(byt om på de to sidste led)
f ( x)  a ( x  x 0 )  y 0
(sæt a uden for en parentes)
Hermed er det ønskede vist
KAPITEL 3 ANDENGRADSPOLYNOMIER
hjælpesætning A (ikke med i bogen)
Andengradspolynomiet f ( x)  ax 2  bx  c kan omskrives til f ( x)  ax  2ba   4da
2
Bevis
Dette vises ved at regne baglæns – dvs. at gange parentesen ud og regne frem til den velkendte form:
2
b 
d

a x 
 
2a 
4a

Der tages udgangspunkt i det vi skal vise

b2
b  d
 a x 2  2  2 x  
2a  4a
4a

Her benyttes kvadratsætningen (a + b) = a + b + 2ab
2

b
b  b  4ac
 a x 2  2  x  
a 
4a
4a

2
2
b2
b
b 2 4ac

a
x


a
4a 4a
4a 2
b2
b 2 4ac
 ax 2 
 bx 

4a
4a 4a
4ac
 ax 2  bx 
4a
2
 ax  bx  c
 ax 2  a
 f ( x)
a ganges ind i parentesen og den sidste brøk deles op i
to brøker
Andet og tredje led reduceres med a
De to ens brøker med forskelligt fortegn går ud med
hinanden.
Den sidste brøk forkortes med 4a, hvorved det ønskede
fremkommer.
Sætning 4 side 60
For andengradspolynomiet f ( x)  ax 2  bx  c gælder:
Nulpunkterne bestemmes ved formlen x 
b d
2a
2
Det sidste led i parentesen forkortes med 2 og formlen
for diskriminanten indsættes i brøken til sidst
Hermed er det ønskede vist.
Hvis d > 0 så er der to nulpunkter
Hvis d = 0 så er der et nulpunkt
Hvis d < 0 så er der ingen nulpunkter
2
Bevis
Beviset tager udgangspunkt i formlen fra hjælpesætning A. Ved hjælp af denne kan vi
bestemmernulpunkterne:
f ( x)  0
At finde nulpunkter svarer til at løse f(x) = 0
2
b 
d

 a x 
0
 
2
a
4
a


Udtrykket for f(x) fra hjælpesætning A indsættes.
Herfra skal x isoleres
2
b 
d

 a x 
 
2a 
4a

Den sidste brøk lægges til på begge sider
2
b 
d

 x 
  2
2a 
4a

Der divideres med a på begge sider
b 
d
d

 x 


2
2a 
2a
4a

Man tager kvadratroden på begge sider og husker at
både den positive og den negative løsning skal med
 x
x
b
d

2a 2a
Nu hæves parentesen på venstre side og brøken
b d
2a
b
2a
trækkes fra på begge sider
Til sidst samles de to brøker på én brøkstreg idet de
har samme nævner.
Af løsningen her ses det at hvis d > 0, da er der to forskellige løsninger. Hvis d = 0, da får man den samme
løsning idet man hhv lægger 0 til og trækker 0 fra. Dvs. der kun er én løsning. Hvis d < 0, kan man ikke sætte
ind i den fundne formel, idet man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal og der er dermed ingen
løsninger i dette tilfælde. Hermed er det ønskede vist
Sætning 3 side 56
b d 
Toppunktet for andengradspolynomiet er givet ved T  
,

 2 a 4a 
Bevis
Hvis man betragter det simple polynomium f(x) = ax2, er det nemt at se at det har toppunkt i (0, 0).
Laver man herefter en parallelforskydning af hele parablen, så toppunktet flyttes fra (0,0) til
( x0 , y 0 ) , da bliver x erstattet med x – x0 og y med y – y0.
Derfor bliver forskriften ændret fra y = ax2 til
y – y0 = a(x – x0)2
y
= a(x – x0)2 + y0
f(x) = a(x – x0)2 + y0
(*)
ved en parallelforskydning af toppunktet.
x erstattes med x – x0 og y erstattes med y – y0.
Og samtidigt benyttes at y = f(x)
Her lægges y0 til på begge sider
Igen benyttes at y = f(x)
Fra hjælpesætning A ved vi at den generelle forskrift f(x) = ax2 + bx + c kan omskrives til følgende
form
2
b 
d

f ( x )  a x 
 
2a 
4a

(**)
Sammenholder vi nu de to formler (*) og (**), da kan vi se at det generelle polynomium
b d 
f(x) =ax2 + bx + c svarer til en parallelforskydning af toppunktet til (x0, y0) = 
,

 2a 4a 
Hermed er den ønskede formel vist. På andet år vil vi dog lave et meget smartere bevis.
Hjælpesætning B (ikke med i bogen)
Lad p og q være nulpunkterne for andengradspolynomiet f ( x)  ax 2  bx  c .
Da gælder
1) p  q 
2) p  q 
c
a
b
a
Bevis
Beviset benytter formlen for nulpunkterne i sætning 4. Først bevises punkt 1:
b d b d

2a
2a
b d b d

2a
 2b

2a
b

a
pq 
Dernæst bevises punkt 2
Her skrives de to rødder fra sætning 4
Da de to brøker har samme nævner, kan de sættes på fælles
brøkstreg.
De to kvadratrødder går ud med hinanden idet de har
forskelligt fortegn.
Hermed er brøken reduceret og til sidst kan der forkortes
med 2 i tæller og nævner.
b d b d

2a
2a
(b  d )  (b  d )

( 2a )  ( 2a )
pq 




b2  d
4a 2
b 2  (b 2  4ac)
4a 2
4ac
4a 2
c
a
De to rødder fra sætning 4 sættes ind.
Man ganger to brøker ved at gange tæller med tæller og
nævner med nævner.
I tælleren genkendes to tals sum gange to tals differens.
Dvs. at vi benytter den velkendte formel
2
2
(a + b)(a – b) = a – b
Samtidigt benyttes at ( d )  d
2
2
I tælleren indsættes at d = b – 4ac
2
2
Minusparentesen hæves og b og –b går ud.
Nu forkortes med 4a i tæller og nævner.
Sætning (ikke med i bogen)
Andengradspolynomiet f ( x)  ax 2  bx  c kan faktoriseres efter sine nulpunkter
(hvis der er nogle), således at
f ( x)  a( x  p)  ( x  q)
Bevis
Dette resultat bevises nemmest ved at gange parenteserne ud som kontrol og bruge resultaterne fra
hjælpesætning B.
Vi ganger de to parenteser sammen ved at gange hvert led i den ene
a ( x  p )( x  q )
 a ( x 2  qx  px  pq )
parentes med begge led i den anden
 a ( x 2  ( p  q ) x  pq )
Her samles de to x-led og x sættes uden for en parentes

c
b
 a x 2  
 x  
a
 a 

b
c

 a x 2  x  
a
a

b
c
 ax 2  a x  a
a
a
2
 ax  bx  c  f ( x)
Hermed er det ønskede vist.
Her indsættes de to resultater om rødderne p og q fra hjælpesætning B
Her hæves minusparentesen
Her ganges a ind på hvert led i parentesen
Hermed giver faktoriseringen netop forskriften f(x) som ønsket
KAPITEL 5 – EKSPONENTIELLE FUNKTIONER
Sætning 7 side 97
For en eksponentiel funktion f ( x)  b  a x gælder at
den relative tilvækst er konstant r = a – 1
Bevis
f ( x  1)  f ( x)
.
f ( x)
I denne indsættes forskriften for den eksponentielle funktion, herved får man:
f ( x  1)  f ( x)
r
Dette er definitionen på r
f ( x)
Den relative tilvækst er defineret helt generelt for alle funktioner som r 
b  a x 1  b  a x

bax
bax a bax

bax
b  a x  (a  1)

bax
b  a x  (a  1)

bax
 a 1
Forskriften indsættes
Vi bruger potensregnereglen an+m = an∙am, dvs. ax+1 = ax∙a1 = ax∙a
Vi sætter den fælles faktor b  a x udenfor en parentes
Da b  a x står i både tæller og nævner, kan det forkortes ud.
Hermed er det ønskede vist.
Sætning 8 side 98
Hvis grafen for en eksponentiel funktion går igennem punkterne (x0, y0) og (x1,y1)
så kan forskriften bestemmes ud fra følgende to formler
1) a  x1  x0
y1
y0
2) b  y0  a  x0
Bevis
At et punkt (x0, y0) ligger på grafen betyder at y0  b  a x0 og tilsvarende for det andet punkt
(x1, y1). Derfor kan vi skrive to ligninger op:
y 0  b  a x0
b
y0
a x0
og
og
y1  b  a x1
b
y1
a x1
Da b optræder i begge ligninger, så isoleres dette ved at
dividere henholdsvis ax0 og ax1 over på den anden side.
y0
y
 x11
x0
a
a
x1
y0  a
 y1
a x0
a x1 y1

a x0 y1
Da begge ligninger giver et udtryk for b, så kan de sættes
lig med hinanden.
Der ganges med ax1 på begge sider
Der divideres med y0 på begge sider
am
an
 a mn benyttes
a x1  x0 
y1
y0
Potensregnereglen
a  x1  x0
y1
y0
For at isolere a, tages den (x1 – x0)’te rod på begge sider
Sætning 11 side 108
For en voksende eksponentiel funktion er fordoblingskonstanten T2 
For en aftagende eksponentiel funktion er fordoblingskonstanten T½ 
ln(2 )
ln(a )
ln(½)
ln(a )
.
.
bevis
Vi beviser kun fordoblingskonstantens udseende, idet beviset for halveringskonstanten forløber
analogt til dette bevis. At T2 er fordoblingskonstant betyder at
f(x + T2) = 2f(x)
(overvej dette)
Enkeltlogaritmisk
koordinatsystem
2f(x)
f(x)
x
Vi tygger lidt på denne ligning:
x + T2
f ( x  T2 )  2  f ( x)
b  a x T2  2b  a x
Vi har indsat forskriften for f(x) = ba
a x T2  2  a x
Dernæst har vi forkortet med b på begge sider
x
x T2
a
2
ax
a x T2  x  2
a T2  2
ln( a )  ln( 2)
T2  ln( a )  ln( 2)
T2
T2 
ln( 2)
ln( a )
Nu divideres med a
x
an
 a nm
m
a
Her benyttes regnereglen
Vi reducerer eksponenten
For at isolere T2, bruger vi ln(x) på begge sider
x
Vi bruger regnereglen ln(a ) = xln(a)
Til sidst divideres med ln(a)
Hermed er det ønskede vist. Beviset for halveringskonstanten kører på samme måde, men tager
udgangspunkt i ligningen f(x+T½) = ½f(x).
Sætning 9 side 105
Grafen for en eksponentiel funktion er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Bevis
Dette bevis kræver at vi har styr på logaritmeregnereglerne. Da et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem har en logaritmisk y-akse, så beregnes logaritmen til y:
Den eksponentielle funktion har forskriften
y  bax
Nu bruges logaritmen på begge sider:
log( y )  log( b  a x )
 log( b)  log( a x )
 log( b)  x  log( a)
 log( a)  x  log( b)
 A x  B
Vi bruger regnereglen log(a∙b) = log(a) + log(b)
Vi bruger regnereglen log(ax) = x∙log(a)
(der byttes om på rækkefølgen)
Log(a) er bare et tal – kald det A. Tilsvarende kaldes log(b) = B
Med en logaritmisk y-akse og en almindelig x-akse, så har vi en ret linje.
KAPITEL 7 - POTENSFUNKTIONER
Sætning 13 side 116
Hvis grafen for en potensfunktion går igennem punkterne (x0, y0) og (x1,y1)
så kan forskriften bestemmes ud fra følgende to formler
 
a
ln  
ln
1)
y1
y0
x1
x0
2) b  y0  x0  a eller b 
y0
x0
a
3)
Bevis (ligner beviset for sætning 8)
At et punkt (x0, y0) ligger på grafen betyder at y0  b  a x0 og tilsvarende for det andet punkt
(x1, y1). Derfor kan vi skrive to ligninger op:
y 0  b  x0
b
y0
x0
a
y0
x0
x0
x1
a
x0
a
b
og
a
x1
x1
a
Da b optræder i begge ligninger, så isoleres disse ved at
dividere x0a og x1a over på den anden side
For at samle a-leddene, så ganges x1a over.
 y1
Hernæst divideres med y0
a
 y1
a
Udtrykket fra forrige side
y1
y1

y1
a
Da vi har to udtryk for b, så kan disse sættes lig hinanden
a
a
a
y 0  x1
y1  b  x1
og
y1

y0  x1
x0
a
Nu er de to led med a isoleret på venstre side
a
 ba n  ba
 x1 
y
   1
y0
 x0 
Potensregnereglen
 x a 
y 
ln   1    ln  1 
  x0  
 y0 


Nu skal eksponenten isoleres. Dette gøres ved i første omgang at bruge
ln(x) på begge sider.
x 
y 
a  ln  1   ln  1 
 x0 
 y0 
Nu bruges logaritmeregnereglen ln(ab) = b∙ln(a)
a
 
ln  
ln
y1
y0
x1
x0
Nu divideres med ln
n
n
benyttes
  , hvorved vi har isoleret a som ønsket.
x1
x1
For at finde formlen for b, tages udgangspunkt i anden linje i udregningerne
b
y0
x0 a
 y 0  x0
a
idet potensregnereglen
1
an
 a  n benyttes.
Hermed er det ønskede vist
Sætning 12 side 115
Grafen for en potensfunktion er en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
Bevis (ligner bevis for sætning 9)
Potensfunktioner har forskriften
y  b  xa
Nu bruges logaritmen på begge sider:
log( y )  log( b  x a )
 log( b)  log( x a )
 log( b)  a  log( x)
 a  log( x)  log( b)

Vi bruger regnereglen log(a∙b) = log(a) + log(b)
Vi bruger regnereglen log(ax) = x∙log(a)
(der byttes om på rækkefølgen)
Log(a) er bare et tal – kald det A. Tilsvarende kaldes log(b) = B
log( y )  A  log( x)  B
Da et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem har både logaritmisk y-akse og x-akse, så ses det vi får en
ret linje, hvorved det ønskede er vist.
KAPITEL 10 – RENTE- OG ANNUITETSREGNING
Sætning 20 side 142
Fremtidsværdien af en annuitet er givet ved formlen
An  y 
(1  r ) n  1
r
n ydelser
Bevis
En annuitet består af n ydelser til fast rente r til en fast terminsdato
som vist på tidslinjen.
An
y
Hvis der er n ydelser, så er der n-1 terminer mellem første og
sidste ydelse (se figur).
y
y
y …
y
n -1 terminer
Den første ydelse når at trække renter n – 1 gange, den næste n – 2 gange og så videre. Den sidste
ydelse trækker ikke renter, da værdien An opgøres umiddelbart efter den sidste ydelse.
Derfor kan An skrives som følgende sum
An  y  (1  r ) n1  y  (1  r ) n2    y  (1  r )  y
(*)
For at omskrive dette benyttes et smart trick:
Man ganger summen (*) med (1+r) og trækker de to udtryk fra hinanden. Det viser sig at give en
smart omskrivning (det er derfor det kaldes et trick, det er ikke noget man ellers kan se af formlen)
Derfor ganges begge sider af (*) med (1+r).


An  (1  r )  y  (1  r ) n1  y  (1  r ) n2    y  (1  r )  y  (1  r )
 y  (1  r ) n  y  (1  r ) n1    y  (1  r ) 2  y  (1  r ) (**)
(der er ganget ind i parentesen)
Nu trækkes de to udtryk fra hinanden, dvs. man beregner (**) – (*)

An (1  r )  An  y (1  r ) n  y (1  r ) n 1  y (1  r ) n  2    y (1  r )


y(1  r )
n 1
 y (1  r ) n  2    y (1  r )  y
 y (1  r ) n  y (1  r ) n 1  y (1  r ) n  2    y (1  r )

y(1  r )
 y (1  r ) n  y
Man har derfor følgende tilbage
n 1

 y (1  r )
n2

   y (1  r )  y


Nu ser vi at begge udtryk har alle de
midterste led til fælles.
Disse led reduceres ud, hvorved kun
det første og sidste er tilbage
An (1  r )  An  y(1  r ) n  y
An  An  r  An  y(1  r ) n  y
(der ganges ind i parentesen til venstre)
An  r  y(1  r ) n  y
(venstre side reduceres An og – An går ud)
An 
y (1  r ) n  y
r
(1  r ) n  1
r
Hermed er formlen bevist
An  y
(der divideres med r)
(y sættes udenfor en parentes, og dermed uden for brøken)
Sætning 21 side 143
Nutidsværdien af en annuitet er givet ved formlen
1  (1  r )  n
A0  y 
r
n -1 terminer
Bevis
Nutidsværdien er opgjort 1 termin før første ydelse.
Der er derfor n terminer mellem A0 og An, og derfor er
forskellen mellem de to, n rentetilskrivninger
A0
An
y
y
y
y …
n terminer
Derfor kan man skrive at
A0  (1  r ) n  An
A0 
An
(1  r ) n
A0  An  (1  r )  n
A0  y
(1  r ) n  1
 (1  r ) n
r
A0  y
(1  r ) n  (1  r )  n  1  (1  r )  n
r
A0  y
1  (1  r )  n
r
Hermed er den ønskede formel bevist.
(der divideres med (1+r)n )
(regnereglen
1
an
 a  n bruges på a = (1+r) )
(nu indsættes formlen for An fra tidligere)
( (1+r)n ganges op på begge led i tælleren)
(regnereglen an∙a-n = an-n = a0 = 1 benyttes på a = (1+r) )
y