1. No category

KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Oversigt
Forelæsning A4:
Matematiske modeller
Matematik og databehandling 2012
1
Matematisk modellering
2
Matematisk modeller
Matematiske modeller med hyppigt anvendte funktioner
Matematiske modeller for begrænset vækst
Henrik Holm & Thomas Vils Pedersen
Institut for Matematiske Fag
Michaëlis-Menten vækst
Logistisk vækst
Andre modeller for begrænset vækst
vils@life.ku.dk
Generelt om matematiske modeller
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
2
3
Hjemmearbejde og forelæsningslokale
4
Clicker-spørgsmål
8
4
t
6
8
4
10
6
x
2
12
0
12. september 2012 — Dias 1/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 2/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Matematisk modellering
Eksempel A.8.1: Indhegning af jord
Kort sagt: Benytte matematik til at beskrive og analysere problemer fra
virkeligheden.
Matematisk modellering – Problemformulering Indhegne så meget som
muligt med en given længde hegn. Kun hegn på 3 sider.
y
Matematisk modellering – Problemformulering
x
• Afgrænsning af virkeligheden.
• Hvad ønsker man at opnå viden om?
Klippevæg
Matematisk modellering – Beskrivelse og analyse af modellen
Matematisk modellering – Beskrivelse og analyse af modellen
• Oversættelse af problemformuleringen til “matematiksprog”.
Som regel ved at indføre variable og parametre.
• x og y : sidelængderne i rektanglet. L: længde hegn til rådighed.
• Matematisk analyse af problemet, dvs. løsning vha. matematiske
metoder.
• Maksimér A = xy
når 2x + y = L (dvs. y = L − 2x).
A(x ) = x (L − 2x ) har maks. for x = L4 og y = L2 med Amax =
L = 100 m giver x = 25 m, y = 50 m og Amax = 1250 m2 .
Matematisk modellering – Fortolkning af resultatet
L2
.
8
Matematisk modellering – Fortolkning af resultatet
• Oversættelse af den matematiske løsning til “virkelighedssprog”.
Fortolkning.
• To parallelle sider er 25 m; den tredje er 50 m; arealet er 1250 m2 .
• Beskriver modellen på rimelig vis virkeligheden?
Er løsningen fornuftig i forhold til det givne problem?
• Er antagelserne rimelige? (Klippevæggen retliniet, jorden flad, . . . )
Dias 3/29
Dias 4/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Matematiske modeller med hyppigt anvendte
funktioner
Michaëlis-Menten vækst
Anvendelseseksempel A.23:
• Model for lineær vækst y = ax + b
(se Anvendelseseksempel A.1: Udklækningstid for flueæg)
Reaktionshastighed
Substrat + Enzym → Reaktionsprodukt
Reaktionsproduktet dannes med hastigheden v givet ved
• Model for eksponentiel vækst y = be rx
(se Anvendelseseksempel A.4: Andemad)
• Model for potens vækst y = bx a
(se Anvendelseseksempel A.8: Stofskifte og kropsvægt)
v = vmax ·
Fællestræk ved modellerne i Anvendelseseksempel A.1, A.4 og A.8
• De giver en matematisk beskrivelse af en afgrænset situation fra
virkeligheden.
[S ]
[ S ] + KM
• Hver model omhandler to målestørrelser og udtrykker, hvordan den ene
størrelse afhænger af den anden.
• vmax er den maksimale hastighed,
• Vi beskriver hver af målestørrelserne med en variabel og udtrykker
sammenhængen mellem variablene ved et funktionsudtryk.
• KM er Michaëlis-Menten konstanten for reaktionen.
• [S ] er substratkoncentrationen,
• I modellerne indgår parametre, der som regel bestemmes ud fra en
række målinger.
Dias 5/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Bemærk Det er en teoretisk model (udledt fra teori) – ikke en empirisk
model (udledt fra målinger).
Aktivering
Det oplyses at KM = 2 og v = 0.8 vmax .
Bestem [S ].
Dias 6/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Michaëlis-Menten funktion (fortsat)
Definition A.8.1 Michaëlis-Menten funktion
En Michaëlis-Menten funktion er en funktion af formen
y (t ) =
• Halvmætningskonstanten t0 også kaldet
Michaëlis-Menten konstanten:
K
y (t 0 ) =
2
Kt
t + t0
hvor K og t0 er positive parametre.
så til t = t0 er 50% af bærekapaciteten nået.
Egenskaber y (t ) er voksende
To parametre
7t
Grafen for y (t ) = t +
t0
K og t0 :
for to værdier af t0 :
• Bærekapaciteten K : y (t ) vokser fra 0 = y (0) til K = limt →∞ y (t ).
Dias 7/29
Dias 8/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Michaëlis-Menten funktion (fortsat)
Michaëlis-Menten funktion (fortsat)
Halvmætningskonstanten:
8
Michaëlis-Menten modellen
y=
7
6
t0 = 1
5
t0 = 2
kan omformes til en lineær model:
1
y
=
t + t0
Kt
Kt
t + t0
=
1
K
+
t0 1
K
·
t
4
3
Konklusion
1
y
er en lineær funktion af 1t , dvs.
2
1
y
1
med
0
0
1
2
3
4
5
A=
6
t
= A·
t0
K
1
t
og
+B
B=
1
K
.
Dias 9/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 10/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anv. A.24: Optagelse af fosfor i jord (fortsat)
Mere avanceret brug af Michaëlis-Menten funktion
Matematisk model når der fra starten af er fosfor i det udyrkede areal:
En modificeret Michaëlis-Menten model
Anvendelseseksempel A.24:
Optagelse af fosfor i jord
S = S (P ) = Sstig ·
Spørgsmål Kan et udyrket areal mellem en landbrugsjord og et vandløb
hæmme udvaskningen af fosfor fra landbrugsjorden til vandløbet?
K L (P − D )
1 + K L (P − D )
− 50 D ,
hvor Sstig , KL og D er positive parametre.
• P: Koncentrationen af fosfor i vandet efter ligevægt med jorden.
• S:
Mængden af fosfor, som et kg jord har optaget fra vandet.
Matematisk model i “normale” situationer:
S = S (P ) = Smax ·
KL P
1 + KL P
= Smax ·
P
P + 1/KL
,
hvor Smax og KL er positive parametre.
Dvs. en Michaëlis-Menten model med “bærekapacitet” (øvre grænse) Smax
og halvmætningskonstant 1/KL .
Dias 11/29
Dias 12/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Definition A.8.2 Logistisk funktion
Logistisk vækst
En logistisk funktion er af formen
Anv.eks. A.25: Vægtforholdet mellem kerne og strå
Vægtforholdet kerne
vokser frem til modning . . . men på hvilken måde?
strå
Målepunkterne beskriver et S-formet forløb med begrænset vækst:
y (t ) =
K
1 + ce −rt
Tre parametre
K >0
y (t ) =
r >0
vækstraten
c>0
(ikke noget)
K = limt →∞ y (t )
Bærekapaciteten
Hvilken model kan vi prøve med?
bærekapaciteten
Funktionen
1.38
1 + 21.7 e −0.158 t
tilnærmer målepunkterne rimeligt godt.
Dias 13/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 14/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Logistisk funktion (fortsat)
Logistisk funktion (fortsat)
Halvmætningskonstanten t0
y (t 0 ) =
Variation af vækstraten r
y (t ) =
Vi vil bestemme t0 således at
K
2
Vi har y (t0 ) =
2
1 + 2e −rt
K
1 + ce −rt
=
y (t ) =
1.38
1 + 21.7 e −0.158 t
K
1 + e rt0 e −rt
=
1.38
1 + e −0.158(t −t0)
Aktivering Om en logistisk funktion y (t ) =
2
1 + ce −t
lim y (t ) = 15,
y (1 ) =
t →∞
Bestem parametrene K ,
Dias 15/29
=
ln c
.
r
Dermed er
K
1 + e −r (t −t0)
.7
t0 = ln0.21
≃ 19.5 så
158
Anv.eks. A.25: Kerne/strå
Variation af c
.
⇔ ce−rt0 = 1 ⇔ c = ert0 ⇔ t0 =
y (t ) =
y (t ) =
K
2
t0 og
15
,
2
=
1.38
1 + e −0.158(t −19.5)
K
1 + e −r (t −t0)
oplyses:
y (ln 3) = 10
r.
Dias 16/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Anvendelseseksempel A.7: Befolkningsvækst
Anvendelseseksempel A.26: Smagstest
• Sammenhæng mellem sukkerindholdet i friske blommer og
vurderingerne fra et panel af smagsdommere.
N (t ): befolkningstallet i USA i millioner i år t.
Data for perioden 1790 – 2000:
• x:
Sukkerindholdet i procent.
• p: Den procentdel af dommerne, der finder frugtens smag acceptabel.
• Målingerne beskrives rimeligt godt af den logistiske funktion
p (x ) =
100
1 + 1164.7 e −0.58 x
.
Bemærk at “bærekapaciteten” er 100%.
Observation I perioden 1790 – 1945 er væksten S-formet og begrænset.
Stemmer godt overens med den logistiske model
N (t ) =
187
1 + 47 e −0.032(t −1790)
[Data for perioden 1945 – 2000: Baby-boom efter 2. verdenskrig]
Dias 17/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Andre modeller for begrænset vækst
Generelt om matematiske modeller
y
Liebig-Wagners model
y (t ) =
at
b
+c
a+b
(0 ≤ t ≤ b )
(t ≥ b )
Dias 18/29
a+c +
Hvad er matematisk modeller og hvordan opstilles de?
c +
+
t
• En matematisk model er en beskrivelse af virkeligheden vha.
matematik.
b
• Der indgår normalt variable, parametre, funktioner mm.
Mitscherlich’s model
y (t ) = a(1 − e −t /b ) + c
• Modellen skal uddrage de væsentligste træk ved situationen.
• Så simpel, den kan analyseres – detaljeret nok til at afspejle de
vigtigste egenskaber.
• Teoretiske og empiriske modeller.
Hyperbolsk model
at
+c
y (t ) = t +
b
Dias 19/29
Dias 20/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Hjemmearbejde og forelæsningslokale
Generelt om matematiske modeller (fortsat)
Hvorfor og hvordan benyttes matematisk modeller?
Hjemmearbejde til på mandag
Hjemmearbejdet på kurset er ca. 10 timer om ugen.
• Virkelige problemstillinger er ofte for komplicerede at analysere.
• Modeller kan afsløre mangler i vores viden.
• Færdiggør Miniprojekt A.
• Estimere parametre dvs. kalibrere modellen.
• Hent Arbejdsplan B på hjemmesiden.
• Validere modellen: beskrives den virkelige problemstilling?
• Læs på stoffet til forelæsningen i matematik.
• Drage konklusioner ud fra modellen.
Reklame Mere matematik og flere modeller i kurserne
Forelæsningslokale
Fra på mandag har alle studieretninger forelæsninger i aud. 3-01 (A2-81.01).
• “Matematik og modeller” (M&M)
• “Matematik og optimering” (M&O)
Dias 21/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 22/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Clicker-spørgsmål
Spørgsmål 0
Hvad hedder KU’s rektor?
• Opsummerings-spørgsmålene i bogen er meget åbent formuleret.
(“Hvordan benytter man l’Hospitals regel?”)
• Modultestene er meget konkrete opgaver.
(“Bestem grænseværdien limx →0
e3x −ex
sin x
1
John Renner Hansen
2
Milena Penkowa
3
Morten Østergaard
4
Ralf Hemmingsen
”)
• De følgende spørgsmål ligger midt imellem.
Dias 23/29
Dias 24/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Spørgsmål 1
Spørgsmål 2
Om en funktion f (x ) oplyses det, at
Hvilke forudsætninger skal være opfyldt for at l’Hospitals regel
f (2 ) = 2 ,
f ′ (2 ) = 0 ,
f ′′ (2) = 1,
f ′′′ (2) = 1.
lim
x →a
f (x )
=
g (x )
Bestem Taylorpolynomiet f3 (x ) af orden 3 med udviklingspunkt a = 2 for
f (x ).
gælder?
(1) f3 (x ) = 2 + (x − 2) + 12 (x − 2)2 + 31 (x − 2)3
(1) f (a) = 0
og g (a) 6= 0
(2) f3 (x ) = 2 + 21 (x − 2)2 + 13 (x − 2)3
(2) f (a) = 0
og g (a) = 0
(3) f3 (x ) = 2 + 21 (x − 2)2 + 16 (x − 2)3
(3) f (a) = 0,
g (a) = 0 og g ′ (a) 6= 0
(4) f3 (x ) = 2 + (x − 2)2 + (x − 2)3
(4) f (a) = 0,
g (a) = 0 og g ′ (a) = 0
f ′ (a )
g ′ (a )
Dias 25/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Dias 26/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Spørgsmål 3
Spørgsmål 4
Bestem den Michaëlis-Menten funktion
y (t ) =
Det oplyses, at funktionen
f (x ) = x 2 + ax +
som opfylder
√
lim y (t ) = 6
2
t →∞
Kt
t + t0
og
,
y (2 ) = 3 .
har minimum i x = 1 for en vis værdi af a. Bestem a.
(4) a = 2
(3) y (t ) =
(4) y (t ) =
6
5
4
6t
t +2
3
2
3t
t +2
y(t)
(3) a =
(2) y (t ) =
√
t +3
2
√
(2) a = − 2
2t
6t
1
(1) y (t ) =
t +3
0
(1) a = −2
0
Dias 27/29
2
4
6
t
8
10
Dias 28/29
KØBENHAVNS UNIVERSITET
Spørgsmål 5
Afvigelsen
|f (x ) − fn (x )|
mellem en funktion f (x ) og Taylorpolynomiet fn (x ) af orden n med
udviklingspunkt a for f (x ) bliver generelt mindre
(1) jo mindre |x − a| er, og jo mindre n er
(2) jo mindre |x − a| er, og jo større n er
(3) jo større |x − a| er, og jo mindre n er
(4) jo større |x − a| er, og jo større n er
Dias 29/29