1. No category

Ensimmäisen, toisen ja korkeamman asteen yhtälö
1. Ratkaise yhtälö 26 − 5 x = 2 x + 14 .
2x + 5
2. Ratkaise yhtälö
= x −1 .
3
1
3. Ratkaise kaavasta s = 3 + vt + at 2
2
a) muuttuja a,
b) muuttuja v.
4. Ratkaise yhtälö 9 x 2 = 5 x .
5. Ratkaise yhtälö 48 − 3x 2 = 0 .
6. Ratkaise yhtälö 78 + 13x 2 = 5 .
7. Ratkaise yhtälö 37 = 11x 2 .
8. Ratkaise yhtälö 2 x 2 + 18 = 12 x .
9. Ratkaise yhtälö
a) (5 − 3 x)(2 x + 7) = 0 ,
b) (5 − 3 x)(2 x + 7) = 35 .
1
10. Ratkaise t kaavasta s = 3 + vt + at 2 .
2
2
11. Ratkaise neliöimällä yhtälö x + 2 x − 3 = 0 .
12. Ratkaise neliöimällä yhtälö x 2 − 4 x + 17 = 0 .
13. Ratkaise neliöimällä yhtälö 3x 2 − 18 x − 21 = 0 .
1
14. Ratkaise neliöimällä yhtälö x 2 − 3x = 8 .
2
3
2
15. Ratkaise yhtälö −2 x + 5 x + 6 x = 15 (Voit käyttää ryhmittelyä.).
16. Ratkaise yhtälö 2a 2 + ab − 6b2 = 0 muuttujan a suhteen ja käytä tulosta yhtälön vasemmalla
puolella olevan polynomin p(a,b) tekijöihin jakamiseen.
2
1
h
= + 3 , c) V = πx 2 ⋅ , x > 0
a) x = 3x − 7 , b)
17. Ratkaise tuntemattoman x suhteen:
x −1 a
3
F
. Ratkaise α .
18. Olkoon y =
m (α 0 − α ) 2 + α 0 (2α − α 0 ) + 4 β 2α 2
T R+r
19. Ratkaise r kaavasta =
.
t
r
3( x + 1)
20. Ratkaise yhtälö
= 1.
4
2x − 1 x + 2
21. Ratkaise yhtälö
=
.
2
3
1 k
−δ 2 .
22. Ratkaise δ kaavasta R =
2π m
23. Ratkaise h>0, kun A = πr r 2 + h2 .
24. Ratkaise yhtälö ( x + 3) 2 = 9 .
abm
.
25. Ratkaise m kaavasta F =
a−m
  15 x − 1 x − 3  
−
26. 15 1 − 
 = − ( 2x − 7) .
5  
  3
4π
27. Ratkaise ω yhtälöstä T =
.
(ω + ω 0 ) 2
6u + 4 2u − 3
−
= 0.
28. Ratkaise yhtälö
4u − 4 3u − 3
4 x
29. Ratkaise yhtälö − = 1 .
x 2
x −1
1− x
30. Ratkaise yhtälö 2
−
= 1.
x − 6x + 9 x − 3
31. Yhtälön x3 − 7 x + 6 = 0 yksi juuri on x = 1 . Määritä kaksi muuta juurta.
32. Luettele yhtälön −4 x5 + ax3 − x + 14 = 0 (a vakio) kaikki mahdolliset rationaalijuuret.
33. Ratkaise yhtälön −2 x 4 − x3 + 7 x 2 + x − 5 = 0 kaikki reaalijuuret (mahdollisissa likiarvoissa 2desim. tarkkuus). Luettele lisäksi kaikki mahdolliset ”rationaalijuuriehdokkaat” (ts. luvut,
joiden joukosta rationaalijuuria kannattaa etsiä).
x2 − x − 2
.
34. Sievennä
x−2
2 x 2 + 13 x − 7
.
35. Sievennä lauseke 2
x + 4 x − 21
x2 + 2x − 8
.
36. Supista lauseke
2 x 2 − 3x − 2
2 x 2 + 3x − 2
.
37. Supista
2 x3 + 4 x 2 + x + 2
x 4 − x 2 − 12
.
38. Sievennä lauseke 4
x − x3 + x 2 − 3x − 6
39. Ratkaise yhtälö 5 x3 + 3 x 2 − 32 x + 12 = 0 .
40. Ratkaise yhtälö 3x 4 − 2 x 2 = 0 .
41. Ratkaise yhtälö x 4 − 8 x 2 = −16 .
Eksponentti- ja logaritmiyhtälö
42. Ratkaise yhtälö 3e x = 9, 6 .
43. Ratkaise log x 7 = 3 .
44. Ratkaise yhtälö log 2 x = 2 .
45. Ratkaise yhtälö ln( x + e 2 − 3) = 2 .
a ⋅ b3
46. Laske log k
, kun log k a = 9, log k b = 2 ja log k c = 3 .
c
47. Ratkaise yhtälö ln( x − 3) = 0 .
48. Ratkaise lg x + lg(2 x + 1) = 0 .
49. Ratkaise lg( 2 x − 3) = 2 lg x − 1 .
50. Ratkaise yhtälö ln( x + 1) − 3 = 0 .
51. Ratkaise yhtälö (lg x) 2 = lg x 2 .
52. Ratkaise yhtälö 6,34 ⋅ lg( x − 3,80) = 4,32 .
53. Määritä log k
ab 2
, kun log k a = 2 , log k b = 3 ja log k c = −1 . Esitä lisäksi a muuttujan k
c
avulla.
54. Erään radioaktiivisen isotoopin puoliintumisaika on 12 h. Kuinka monta % ko. isotooppia on
jäljellä kolmen vuorokauden kuluttua ?
55. Mikä on sellaisen liuoksen vetyionikonsentraatio [H+], jonka pH=8,1?
56. Maapallon väkiluku vuoden 1994 alussa oli 5,5 miljardia. Väestön kasvunopeutta voidaan pitää
lähes suoraan verrannollisena väestön määrään, joten väestön määrää m voidaan kuvata mallilla
1
m(t ) = m0 e kt . Jos verrannollisuuskerroin k = 0,016 , missä a on vuosi, niin
a
a) mikä on maapallon väkiluku vuonna 2100?
b) kuinka monessa vuodessa maapallon väkiluku kaksinkertaistuu?
8r
57. Laske lausekkeen ln 3 3-numeroinen likiarvo, kun ln r = 5, ln s = 6, ln t = 7 .
st
58. Ratkaise eksponenttiyhtälö 9 x +1 + 3x = 8 . (Vihje: Sievennä ensin, ja merkitse sitten
väliaikaisesti 3x = u , jolloin saat ratkaistavaksesi toisen asteen yhtälön.)
Juuri- ja itseisarvoyhtälö
59. Ratkaise yhtälö
x + 2,00 = 312
, .
60. Ratkaise x + 2 = x .
61. Ratkaise yhtälö x + 2 = x − 2 .
62. Ratkaise 2 x − 1 = 1 − 2 − 2 x .
63. Ratkaise yhtälö 2 x + 5 = 7 .
64. Ratkaise yhtälö 6 − 2 x = x + 2 .
Epäyhtälö
65. Ratkaise epäyhtälö 3( −2 x + 1) > 8 x − 4 .
66. Ratkaise epäyhtälö 5 − x < 2 x + 1
1
67. Ratkaise epäyhtälö < 5 − 4 x
x
68. Ratkaise x: 4 x + 3 < x − 5 .
x2 − x − 2
> 0.
2−x
x3 − 4 x
< 0.
70. Ratkaise
1− x
x 2 + 3x + 2
≥0.
71. Ratkaise epäyhtälö 2
x + 2x − 3
69. Ratkaise
Yhtälöryhmä
5 x − 2 = y

.
72. Ratkaise yhtälöpari 
1
1
 y + 2 x − 3 2 = 0
x − 3z = −3
.
73. Ratkaise yhtälöpari
2x + z = 5
RS
T
3x − 2 y − 5 = 0
74. Ratkaise yhtälöpari 
.
 y − 3 = −4 x
75. Määritä kaksi lukua, joiden summa on 75 ja suhde
3 x = 1 − y
76. Ratkaise yhtälöpari 
.
6 x + 2 y = 2
 x + ay = 1
77. Ratkaise yhtälöparista 
ax − y = 2
x ja y .
e x − 2 y = 3
78. Ratkaise yhtälöpari 
.
ln(2 x − y ) = 2
 y − 3x = 5
79. Ratkaise yhtälöpari 
.
3x = 2 + y
3x + 5 = 2 y
80. Ratkaise yhtälöpari 
.
4 x + y = 3
x y
 2 + 3 = 1
81. Ratkaise yhtälöpari 
.
x − y = 3
 2
x + 2 y + z = 5

82. Ratkaise yhtälöryhmä 4 x − y + 2 z = −3 .
2 x + 3 y + 4 z = 3

 x + y = −1

83. Ratkaise yhtälöryhmä  y + z = 1 .
z + x = 3

x + 2 y + z = 5

84. Ratkaise yhtälöryhmä 3 x − y + z = 6 .
 x + 2 y − 3 z = 10

R|x + 2 y = −3z
| 5 7 .
85. Ratkaise yhtälöryhmä S y = − z
||2 x +63y +6 6z = 4
T
2
.
3
R|x + y = 0
86. Ratkaise yhtälöryhmä S x + 2 y + z = 0 .
|T3x + y + 2z = 8
x + y = 3

87. Ratkaise yhtälöryhmä  y + z = −2 .
 xz = 24

x − 3y + 2z = 0

.
88. Ratkaise yhtälöryhmä 3 x − y + z = −2
5 x − 10 y + 7 z = −2
