1. No category

www.mafyvalmennus.fi
Pitkän matematiikan kertaustehtävät
Kurssit 1-10
Tehtäväpaketti soveltuu erityisen hyvin koko pitkän matematiikan pakollisen oppimäärän kertaamiseen lyhyessä ajassa. Asioiden käsittelyjärjestys ja
kappalejako on tehty tätä tarkoitusta varten. Kappalejako eroaa lukiokurssien järjestyksestä ja numeroinnista.
Tehtäväpaketin laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Heidät tunnetaan muun
muassa yo-kirjoitusten mallivastauksista ja pistearviosta, jotka MAFY-valmennus
julkaisee aina yo-koepäivää seuraavaan aamuun mennessä. Teemu ja Antti ovat perustaneet MAFY-valmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla
ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta.
MAFY-valmennus on erikoistunut matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin ja toimii Helsingin seudulla. Palveluitamme ovat
• TKK-pääsykoekurssit
• arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit
• valmennuskurssit yo-kirjoituksiin
• yksityisopetus
Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla
ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä
voi odottaa.
Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta
www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla.
MAFY-valmennuksen yhteystiedot:
internet: www.mafyvalmennus.fi
s-posti:
info@mafyvalmennus.fi
puhelin: (09) 3540 1373
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
www.mafyvalmennus.fi
1
Funktiot ja yhtälöt
1.1
Potenssien laskutoimitukset
1.1. Sievennä lausekkeet
a) (ab)5
b) (−5x)2
d)
1.2
x 2
3
3
2
e) −
x
c) a2 a−3 a4
4
f)
(2x2 )
2x3
Rationaalilukujen laskutoimitukset
1.2. Laske yhteen- ja vähennyslaskut (ilman laskinta)
1 3
3
1
2
2
a) +
b) 2 − 1
c) + 5
2 5
7
4
9
3
a c
a c
x+1 2+x
+
e) −
f)
+
b d
b d
2
x
1.3. Laske kerto- ja jakolaskut (ilman laskinta)
1 3
3 1
2 5
a) ·
b) 2 · 1
c) :
2 5
7 4
9 3
d)
a c
2x − 3 5 + x
a c
·
e) :
f)
:
b d
b d
2
3x
+1.4. Sievennä lausekkeet kohdissa a) ja b).
2
3(x − 1)
1
1
1+x
+x
b) + 2 −
a)
6 − 6x
x x
x2
d)
1 − t2
1−t
x
y
c) Olkoon x =
ja y =
, sievennä lausekkeet ja .
2
2
t
2t
y
x
+1.5. Muodosta
2
3(x − 1) x
a) luvun
+
käänteisluku,
6 − 6x
2
b) luvun
x+1
x
−
vastaluku.
x
x−1
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
1
www.mafyvalmennus.fi
1.3
Polynomien laskutoimitukset
1.6. Sievennä annetut lausekkeet
a) 2x(5x3 + x2 − 3x − 10) − 3(2x4 − 6x3 + x2 − 1)
4x4 + 6x2 − 10x3
2x2
b) (x2 − 1)(x − 1)(x + 1)
c)
d) (6x + 5y)(−3y 2 + 2xy − 5x3 )
e) 2x(3x + 1)2
f) (x − 2)(2 − x)2
1.7. Jaa tekijöihin
a) x2 + x
b) 4x3 + 6x
c) z 3 + 2z 2 + z
+d) x3 + 4x2 + 3x + 12
+e) 2x2 − 4xy + 2y 2
+f) 5ax3 + 5a2 x − x2 − a
1.4
Prosenttilaskut
1.8. Laske
a) 5,1 % luvusta 2300,
b) 5,1 % luvusta a
Kuinka monta prosenttia
c) 5 on luvusta 250,
d) 300 on luvusta 250,
e) luku 60 on lukua 140 pienempi,
f) luku 140 on lukua 60 suurempi?
1.9. Tuotteen arvonlisäverollinen hinta saadaan, kun nettohintaan lisätään
22 % arvonlisäveroa. Mikä on nettohinta, kun tuote maksaa kaupassa 185,95 e?
Mikä on tuotteen hinta kuluttajalle, jos sen nettohinta on 73,73 e?
+1.10. a) Hintaa nostetaan p prosenttia. Mikä on uusi hinta?
b) Hintaa lasketaan q prosenttia. Mikä on uusi hinta?
+1.11.
a) 3 kg sokeria liuotetaan 7 litraan vettä. Mikä on liuoksen sokeripitoisuus
painoprosentteina?
b) Päärynöissä on 75 % vettä ja 5 % sokeria. Kuinka monta prosenttia
sokeria on päärynöissä, jotka on kuivattu siten, että vesipitoisuus on
25 %?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
2
www.mafyvalmennus.fi
1.5
Reaaliluvut
1.12. Esitä ilman itseisarvoa
a) | − 5|
b) |25|
d) |x + 3|, kun x ∈ R
c) |x|, kun x ∈ R
e) |x − 3|, kun x ∈ R
f) |2x − 7|, kun x ∈ R
1.13. Merkitse lukusuoralle seuraavat lukujoukot
a) x > 2,
b) x ≤ 5
c) −1 < x ≤ 4,
d) x < 0 tai 1 ≤ x < 3, kun x ∈ R
1.6
Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöt
1.14. Määritä kohta, jossa funktio f (x) = 9x + 4 saa arvon
a) 0 (nollakohta),
d) Ratkaise yhtälö
b) −1,
c) −5.
2x
5
x 7
+
= − .
3
18
9 6
1.15. Ratkaise yhtälö
a) x2 + x − 6 = 0,
b) −x2 + 5 = −2x2 − 4x,
c) 2x2 + 3x = 0,
d) 4x2 + 9 = 12x.
1.16. Kuinka monta reaalista ratkaisua on yhtälöllä
a) x2 − 2x + 6 = 0
b) 2x2 + 4x = −2
1
+1.17. Määritä vakio a siten, että yhtälöllä a2 x2 + 3x − 5 = 0 on
a
a) kaksi, b) yksi, c) ei yhtään reaalista ratkaisua
1.7
Verrannollisuus
1.18. Ratkaise verrantomuotoinen yhtälö
x
2
2 − 4x
3x + 1
x−1
5
a) =
b)
=
c)
=
6
5
2
5
x+1
4
1.19. Ilotulitusraketin ääni kuuluu 2 km:n etäisyydellä 6 sekunnin kuluttua
välähdyksestä. Kuinka kaukana raketti räjähtää, kun sen ääni kuuluu 13
sekunnin kuluttua välähdyksestä?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
3
www.mafyvalmennus.fi
1.20. Kappaleen paino(voima) on kääntäen verrannollinen maan keskipisteen ja kappaleen välisen etäisyyden neliöön. Maan säde on 6370 km. Kuinka monta prosenttia ihmisen paino on Mount Everestillä (korkeus 8850 m)
verrattuna painoon meren pinnan tasolla?
+1.21. Kappaleen gravitaatio (painovoima) toisen kappaleen kanssa on suoraan verrannollinen toisen kappaleen massaan ja kääntäen verrannollinen
kappaleiden välisen etäisyyden neliöön. Ihmisen gravitaatio maan pinnalla
on 850 N. Mikä on ihmisen gravitaatio kuun pinnalla? Kaiken kappaleen
massan voidaan tässä ajatella keskittyneen sen keskipisteeseen. Maan massa
on 5,97 · 1024 kg ja säde 6370 km. Kuun massa on 7,35 · 1022 kg ja säde 1740
km.
1.8
Ensimmäisen ja toisen asteen epäyhtälöt
1.22. Ratkaise ensimmäisen asteen epäyhtälöt
a) −3x + 4 < −6 + 2x,
b) 20x − 5 ≥ −10,
c) 12 − 3x 6= 0.
1.23. Ratkaise toisen asteen epäyhtälöt
a) 3x2 − 7x ≤ −2,
1.9
b) 10x − 4x2 < 6x,
c) −x2 + 7x − 10 > 0.
Korkeamman asteen yhtälöt ja epäyhtälöt
1.24. Ratkaise yhtälöt
a) 2x3 − 9x2 = −4x,
b) x4 + x2 − 2 = 0,
+c) x3 − 20 = −4x2 + 5x
1.25. Ratkaise epäyhtälöt
a) 2x3 − 9x2 ≥ −4x,
1.10
+b) x4 + x2 − 2 < 0,
+c) x3 − 20 > −4x2 + 5x
Rationaaliyhtälöt ja -epäyhtälöt
1.26. Ratkaise yhtälöt
2x − 1
−x3 − 3x2 − x + 1
x−1
= −x
=
b)
x+1
x−2
x2 + 2x − 1
1.27. Ratkaise epäyhtälöt
a)
a)
x2 + 2x
≥1
x
+b)
x−1
2x − 1
≤
x+1
x−2
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
4
www.mafyvalmennus.fi
1.11
Itseisarvoyhtälöt ja -epäyhtälöt
1.28. Ratkaise yhtälöt
a) |2x + 1| = 3
b) |x + 4| = −1
c) | − 3x + 1| = 4 − x
d) |x − 2| = |5x + 6|
1.29. Ratkaise epäyhtälöt
a) |3x − 2| ≥ 6
1.12
b) |x + 3| < |2 − 2x|
Yleinen juuri, juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt
1.30. Sievennä
r
√
√
4
3 27
a)
b) 32
c) 81a4
64
1.31. Merkitse murtopotenssina
√
5 2
√
1
c
4
3
a) a
b) √
c) √
3 5
4 7
b
c
1.32. Ratkaise yhtälöt
√
√
a) x + 1 = 5
b) x − 2 = −3
+d)
√
3
6x − x2 = x
√
x2 + 1 = 2x + 2
1.33. Ratkaise epäyhtälöt
√
√
a) 4 x + 3 ≤ 4 4 − 2x
1.13
c)
b)
√
3
3x2 + 1 ≤
√
3
1 − 5x
Eksponentti- ja logaritmifunktiot
1.34. Mikä on funktion määrittelyehto, kun f (x) on
a) ln(2x)
b) lg(x2 − 1)
c) log3 (5x + 4)
1.35. Kirjoita yhtäpitävänä yhtälönä ilman logaritmia
a) ln 5 = x
b) lg x = 8
c) log3 x = 4
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
5
www.mafyvalmennus.fi
1.14
Eksponenttiyhtälöt ja -epäyhtälöt
1.36. Ratkaise yhtälöt
a) 3x−1 = 81
b) 80 · 1,05n = 8800
1.37. Ratkaise epäyhtälöt
a) 5 · 4
x−2
< 5120
x
1
b)
≥ 812
3
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
6
www.mafyvalmennus.fi
2
Trigonometriset funktiot ja yhtälöt
2.1
Trigonometriset funktiot
2.1. Ilmoita kulmat radiaaneina
a) 90◦ b) 125◦ c) 30◦
d) 270◦
2.2. Muunna asteiksi
2π
π
17π
π
a)
b)
c)
d)
3
2
5
8
2.3. a) Laske sin x, cos x, tan x sekä kulma x.
− √12 , √12
x
1
b) Määritä pisteen P koordinaatit
P
60◦
1
2.4. Määritä funktion suurin ja pienin arvo, kun
a) f (x) = (sin x + cos x)(sin x − cos x),
b) f (x) = sin2 x + cos2 x + 2 sin x.
√
2.5. Laske lausekkeen sin x cos x arvo, kun 2 sin 2x = 3.
2.2
Trigonometriset yhtälöt
2.6. Ratkaise yhtälöt
a) sin x = 1
√
3
d) cos 3x = −
2
1
b) sin 2x = √
2
c) cos x = −1
e) tan x = 1
f) tan 4x =
√
3
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
7
www.mafyvalmennus.fi
2.7. Ratkaise yhtälöt
5π
4
a) sin α = sin 40◦
b) cos x = cos
d) 3 sin x = 2 cos x
+e) cos2 x = 2 sin x cos x
+++f) sin2 x + sin x cos x =
c) tan α = tan 60◦
√
3(sin x cos x + cos2 x) Vihje:1
1
Muokkaa yhtälö toisen asteen yhtälöksi ja tee tarvittava muuttujan vaihto. Lisävihje:
Neliöi diskriminantti.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
8
www.mafyvalmennus.fi
3
Geometria
3.1
Kulmat tasossa
3.1. Suorat L ja m ovat yhdensuuntaiset. Laske α ja β.
l
m
β
26°
α
3.2. Laske α.
70°
α
30°
3.3. Määritä viisikulmion kulmien summa jakamalla viisikulmio kolmioihin
sopivalla tavalla.
β
γ
α
ε
δ
3.4. Aseta kolmion kulmat suuruusjärjestykseen.
β
4
5
γ
α
6
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
9
www.mafyvalmennus.fi
3.2
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava
3.5. Mitkä alla olevista kolmioista ovat yhdenmuotoisia? Missä mittakaavassa
ne ovat yhdenmuotoisia?
E
B
2
4
F
55°
C
30°
A
H
D
3
95°
I
30°
G
3.6. Yhdenmuotoisten öljykanisterien tilavuudet ovat 4 litraa ja 20 litraa.
Pienemmän korkeus on 25 cm. Kuinka korkea on suurempi öljykanisteri?
3.7. Edellisen tehtävän öljykanisterit suojataan ruostumiselta maalaamalla
ne. Montako prosenttia vähemmän kuluu maalia pienemmän kanisterin maalaamiseen?
3.3
Pythagoraan lause
3.8. Onko kolmio suorakulmainen ja minkä sivujen välissä suora kulma on,
kun sivujen pituudet ovat:
a) 3, 4 ja 7
√
b) 2, 3 ja 5
3.9. Laske sivun AB pituus.
B
5
A
3.4
7
C
Suorakulmaisen kolmion trigonometria
3.10. Laske x:llä merkityn sivun pituus kahden desimaalin tarkkuudella tai
tarkkana arvona.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
10
www.mafyvalmennus.fi
b)
a)
5
x
c)
2
1
b)
7
8
α
α
25°
60°
30°
3.11. Laske kulma α.
a)
x
4
x
c)
4
3
2
α
3.12. Laske α 0,1 asteen tarkkuudella.
5
α
5
4
3.13. Aurinko paistaa 30◦ kulmassa vaakatasoon nähden. Lyhtypylväästä
lankeaa 6,1 metriä pitkä varjo vaakasuoralle maan pinnalle. Kuinka korkea
lyhtypylväs on?
3.5
Trigonometrian lauseita
3.14. Kolmion kaksi sivua ovat 3,0 cm ja 5,1 cm ja sivujen välinen kulma
130◦ . Mikä on kolmion pinta-ala?
3.15. Kolmiossa ABC sivun BC pituus on 4,0 m, kulma B on 95◦ ja kulma
C on 40◦ . Kuinka pitkä on sivu AB?
3.16. Kolmiossa ABC sivun AB pituus on 3,0 cm ja sivun AC pituus 4,1 cm.
Kulma C on 34 astetta. Laske kulma B.
3.17. Kolmiossa ABC sivun AB pituus on 3,3 cm ja sivun BC pituus 2,5 cm.
Kulma C on 50 astetta. Laske kulma B.
3.18. Kolmiossa kahden sivun pituudet ovat 3,0 cm ja 4,0 cm ja sivujen välinen kulma 120◦ . Kuinka pitkä on kolmas sivu?
3.19. Kolmion sivut ovat 4,0 cm, 2,9 cm ja 5,0 cm. Laske kolmion kulmat
yhden desimaalin tarkkuudella.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
11
www.mafyvalmennus.fi
3.20. Aurinko paistaa 40 asteen kulmassa vaakatasoon nähden. Pystysuorasta sähkötolpasta lankeaa varjo vaakasuoralle maalle. Auringon laskettua 30
asteen kulmaan, sähkötolpan varjo pitenee 3,0 metriä. Mikä on sähkötolpan
korkeus?
3.6
Ympyrä
3.21. Ympyrän säde on 20 cm. Kuinka pitkä on 50 asteen keskuskulmaa
vastaava kaari? Mikä on 50 asteen keskuskulmaa vastaava sektorin ala?
3.22. Pallon muotoinen teräskuula pudotetaan hiekkaan ja nostetaan pois.
Kuula jättää maahan kuopan, jonka syvyys on 4 cm ja halkaisija 16 cm. Mikä
on teräskuulan säde?
3.23. Kuinka kauas merelle näkee rannalla olevan tornin huipulta, joka on
150 metrin korkeudella meren pinnasta. Maapallon säde on 6370 km.
3.24. Ympyräkartion muotoisen pikarin korkeus on 200 mm ja suuaukon
halkaisija 60 mm. Pikarin sisään asetetaan pingispallo, jonka halkaisija on
40 mm. Kuinka kauas pingispallo jää pikarin pohjalta?
3.25. P on alla olevan ympyrän keskipiste. Laske kulmat α ja β.
β
•P
30°
α
3.7
Avaruusgeometria
3.26. Säännöllisen nelisivuisen pyramidin kaikki särmät ovat saman pituisia.
Laske vierekkäisten sivusärmien kulma.
3.27. Suorakulmaisen särmiön sivut ovat 3, 4 ja 5. Laske avaruuslävistäjän
pituus. Piirrä kuva.
3.28. Pellistä valmistetaan suoran ympyrälieriön muotoinen säilykepurkki.
Purkin tilavuus on 2 litraa ja korkeus 20 cm. Kuinka paljon yhden purkin
valmistamiseen tarvitaan peltiä?
3.29. Suoran ympyräkartion sisään on mahdutettu mahdollisimman suuri
suora ympyrälieriö, jonka korkeus on 20 cm. Kartion korkeus on 60 cm ja
pohjan halkaisija 20 cm. Laske lieriön tilavuus.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
12
www.mafyvalmennus.fi
3.30. Kuinka suuri osuus maapallon pinta-alasta on 66◦ pohjoisen leveyspiirin pohjoispuolella? Maapallon säde on 6370 km.
3.31. Kuinka suuri on teräskuulan tekemän kuopan tilavuus tehtävässä 3.22?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
13
www.mafyvalmennus.fi
4
4.1
Analyyttinen geometria
Lineaarinen yhtälöryhmä
4.1. Ratkaise yhtälöpari

(
 x − 2y − 4 = 0
2x + 3y − 19 = 0
b)
a)
1
− x + y + 7 = 0
−3x − y + 11 = 0
2
(
c)
2x − 3y − 2 = 3
−4x + 6y + 3 = −7
4.2. Ratkaise yhtälöryhmä


 x − y + 2z = 4
3x − 2y + z = 1


2x + y − z = 5
4.2
Suoran yhtälö
4.3. Suora kulkee pisteiden (3, 4) ja (5, 10) kautta. Mikä on suoran kulmakerroin?
4.4. Piirrä suora, jonka yhtälö on
a) y = 2x − 3 b) 2x − 3y + 2 = 0 c) 2x + 4 = 0 d) y − 5 = 0
4.5. Suoran kulmakerroin on 5 ja se leikkaa y-akselin pisteessä (0, 3). Mikä
on suoran yhtälö?
4.6. Määritä suoran yhtälö tehtävässä 4.3.
4.3
Kulmakertoimen ominaisuuksia
4.7. Osoita, että suorat 2x − 3y + 2 = 0 ja 6x + 4y − 7 = 0 ovat toisiaan
vastaan kohtisuorassa.
4.8. Suoran yhtälö on y = 3x − 5. Määritä tälle suoralle pisteen (−4, 3)
kautta piirretyn normaalin yhtälö.
4.9. Pystysuora suora L kulkee pisteen (3, 5) kautta. Määritä suoran L yhtälö
ja suoralle L pisteeseen (3, 5) piirretyn normaalin yhtälö.
4.10. Määritä sen suoran yhtälö, joka on yhdensuuntainen suoran 2x−5y = 3
kanssa ja kulkee pisteen (1, 2) kautta.
4.11. Määritä suoran kulmakerroin, kun sen suuntakulma on
a) 45◦
b) −30◦
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
14
www.mafyvalmennus.fi
4.12. Määritä suoran suuntakulma 0,1 asteen tarkkuudella, kun sen kulmakerroin on
1
a) 2
b) −
3
4.13. Määritä janan AB keskinormaalin yhtälö, kun A = (3, 1) ja B =
(−1, 7).
4.4
Ympyrä
4.14. Mikä on pisteiden (2, −3) ja (5, 1) välinen etäisyys?
4.15. Ympyrän yhtälö on (x − 3)2 + (y + 1)2 = 25. Mikä on ympyrän säde
ja keskipisteen koordinaatit?
4.16. Ympyrän keskipiste on (1, −2) ja säde 7. Määritä ympyrän yhtälö.
4.17. Määritä ympyrän keskipiste ja säde, kun ympyrän yhtälö on
3
a) x2 + y 2 − 4x + 2y − 4 = 0
b) x2 + y 2 − 3x + 4y − = 0
4
+4.18. Millä parametrin a arvoilla yhtälö x2 + y 2 − 2x − 4ay + 5a2 + 2a = 0
esittää ympyrää? [K04]
4.5
Pisteen etäisyys suorasta. Ympyrän tangentti.
4.19. Kuinka kaukana piste (5, 2) on suorasta y = 3x − 7?
4.20. Määritä pisteen (6, 1) kautta ympyrälle x2 + y 2 − 2x − 4y − 3 = 0
piirrettyjen tangenttien yhtälöt.
4.21. Määritä ympyrälle x2 + y 2 + 2x − 2y − 2 = 0 piirrettyjen suoran
2x + y − 2 = 0 suuntaisten tangenttien yhtälöt.
4.22. Ympyrän keskipiste on (2, 1) ja ympyrä sivuaa suoraa y = −x − 2.
Mikä on ympyrän yhtälö?
1
+4.23. Etsi yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on suoralla y = x ja joka
2
sivuaa x-akselia ja suoraa 4x+3y−24 = 0. Määritä kaikki tehtävän ratkaisut.
[K06]
4.6
Paraabeli
+4.24. Muodosta sen käyrän yhtälö, jonka pisteet ovat yhtä kaukana pisteestä (3, 2)ja suorasta y = −2.
4.25. Y -akselin suuntainen paraabeli kulkee pisteiden (−2, 0), (0, −2) ja
(1, 3) kautta. Määritä paraabelin yhtälö.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
15
www.mafyvalmennus.fi
4.7
Käyrien leikkauspisteet
4.26. Määritä suorien leikkauspiste, kun suorien yhtälöt ovat
a) −2x + y + 7 = 0 ja x + y − 3 = 0 b) y = 3x + 8 ja y = −2
c) y = −5x + 5 ja x = 2
d) y = 7 ja x = −3
4.27. Missä pisteissä suora x+3y−6 = 0 leikkaa ympyrää (x−3)2 +(y+1)2 =
18?
4.28. Missä pisteissä ympyrät (x−1)2 +(y−3)2 = 4 ja x2 +y 2 −4x−2y+4 = 0
leikkaavat toisensa?
4.29. Laske paraabelien y = x2 − 3 ja y = −x2 + 2x + 1 leikkauspisteiden
koordinaatit.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
16
www.mafyvalmennus.fi
5
Vektorit
5.1
Vektorikäsite, yhteenlasku ja kertominen luvulla
5.1. Määritä annettujen vektorien väliset kulmat
a) a
¯ ja c¯
b) ¯b ja c¯
c) a
¯ ja ¯b
55°
b
45°
a
80°
c
5.2. Ilmaise annetut vektorit vektorien a
¯, ¯b ja c¯ avulla. Kuvassa oleva kappale
on suuntaissärmiö.
a) EB
b) F H
c) DF
C
B
G
F
D
H
b
c
A
a
E
5.3. Vektorin a
¯ pituus on 5.
a) Kuinka pitkä on vektori t¯
a?
b) Määritä a
¯:n suuntainen yksikkövektori.
5.2
Vektorin komponentit
5.4. Jaa vektori 5¯
a −8¯b vektorien 2¯
a + ¯b ja a
¯ − ¯b suuntaisiin komponentteihin.
+5.5. Piste Q jakaa kolmion ABC sivun BC suhteessa 4 : 1. Missä suhteessa
jana AQ jakaa kolmion ABC sivulle AC piirretyn keskijanan?
5.6. Ovatko vektorit yhdensuuntaiset?
a) a
¯ = 5¯
u + 3¯
v ja ¯b = −15¯
u − 6¯
v
b) c¯ = 21¯
u − 3¯
v ja d¯ = −28¯
u + 4¯
v
5.7. Määritä parametri t siten, että vektorit a
¯ = 5¯i − 2¯j ja ¯b = 3¯i + t¯j ovat
yhdensuuntaiset.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
17
www.mafyvalmennus.fi
5.3
Vektorin pituus ja avaruusvektorit
5.8. Laske vektorin a
¯ = 5¯i − 2¯j pituus.
5.9. Määritä pisteiden A(2, −3, 7) ja B(−7, −2, 5) paikkavektorit, vektori AB
ja vektorin AB pituus.
5.10. Suunnikkaan kolme kärkeä ovat A(3, −7, 5), B(−5, 10, 8)ja C(−4, 6, 6).
a) Määritä suunnikkaan ABCD kärkipiste D.
b) Määritä a-kohdan suunnikkaan lävistäjien keskipisteet.
5.4
Suora ja taso
5.11. Onko piste B(10, 12, 17) pisteiden A(−5, 10, 14) ja C(40, 16, 23) kautta
kulkevalla suoralla?
5.12. Määritä jokin pisteiden A = (2, 3, 6) ja B = (4, −7, −3) kautta kulkevan suoran suuntavektori ja muodosta suoran parametriesitys. Määritä suoran ja xy-tason leikkauspiste.
5.13. Suora S1 on vektorin u¯ = 2¯i − ¯j + k¯ suuntainen ja kulkee pisteen
A(3, −2, 4) kautta. Suora S2 on vektorin v¯ = ¯i + 3¯j − k¯ suuntainen ja kulkee
pisteen B(4, 8, 0) kautta. Leikkaavatko suorat toisensa? Määritä leikkauspiste, jos sellainen on olemassa.
5.14. Ovatko pisteet P (3, −3, 15) ja Q(−3, −3, −5) pisteiden A(3, 0, −2),
B(1, −2, 3) ja C(7, 1, 5) määräämässä tasossa?
5.15. Suora on vektorin 3¯i + ¯j + 3k¯ suuntainen ja kulkee pisteen (2, 3, 7)
kautta. Määritä sen ja tason x + 2y + z = 1 leikkauspiste.
5.5
Pistetulo
5.16. Määritä vektorien a
¯ ja ¯b välinen kulma asteen kymmenesosan tarkkuudella, kun
a) a
¯ = 4¯i + 2¯j + 3k¯ ja ¯b = ¯i + ¯j + 2k¯
b) a
¯ = −3¯i + 7k¯ ja ¯b = 2¯i + 5¯j − 3k¯
5.17. Millä parametrin t arvolla vektorit a
¯ = 5¯i − 2¯j ja ¯b = 3¯i + t¯j ovat
kohtisuorat?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
18
www.mafyvalmennus.fi
5.18. Osoita, että pisteiden 2, 11 21 , 2 ja 4, 12 , −1 kautta kulkeva suora
on kohtisuorassa pisteiden (5, 2, 0), (1, 1, 1) ja (4, 1, 3) kautta kulkevaa tasoa
vastaan.
5.19. Määritä suorien 2x − y + 5 = 0 ja −5x + 7y − 10 = 0 välinen kulma
asteen sadasosan tarkkuudella. Määritä ensin suorien suuntavektorit.
5.20. Suora L kulkee origon ja pisteen P (3, 2, −7) kautta. Laske pisteen
E(10, 12, −10) etäisyys suorasta L. Mikä suoran L piste on lähinnä pistettä
E?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
19
www.mafyvalmennus.fi
6
6.1
Raja-arvot ja derivaatta
Raja-arvo
6.1. Määritä raja-arvot (Huom! Tämä on kurssin 13 asiaa.)
5x2 + 2x + 3
3x2 + 2
4x3 + 2x + 7
a) lim
c)
lim
b)
lim
x→∞
x→∞ 3x3 + 2x2
x→∞ x3 + 9x2 + x
2x2
√
d) lim x − x2 + 2x
x→∞
6.2. Määritä raja-arvot
2x2 − 3x − 2
3x2 + x
a) lim
b) lim 2
x→2
x→0 2x + 2x + 1
x−2
√
c) lim
x→1
x−1
x−1
x3 + 4x2 − 5x − 20
x→−4
x+4
+d) lim
6.2
Funktion jatkuvuus
(
x2 + 5 , kun x < 2
6.3. Onko funktio f (x) =
jatkuva kaikilla x:n reaa3x + 3 , kun x ≥ 2
liarvoilla?
6.4. a) Anna esimerkki epäjatkuvasta funktiosta.
(
2ax − 3 , kun x < 1
b) Määritä sellainen vakio a, että funktio f (x) =
on
x2 + a
, kun x ≥ 1
kaikkialla jatkuva.
6.3
Derivaatan määritelmä ja derivoituvuus
6.7. Määritä sellaiset vakiot a ja b, että funktio
(
b 2
x + (a − 2) , kun x > 2
f (x) = 2
ax − 2b
, kun x ≤ 2
on kaikkialla derivoituva.
6.8. Muodosta derivaatan määritelmän avulla funktion f (x) = x2 + 2x
a) derivaatta kohdassa x = 2,
b) derivaattafunktio f 0 (x).
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
20
www.mafyvalmennus.fi
6.4
Derivointi
6.9. Derivoi
a) 5x + 2x
b) 5x + 2x
2
2
2
5x2 + 2x
c)
2x2 + 1
1
(6x + 1)4
f) (−2x + 3) 3
g) 3 − 3x3
q
3
i) (x + 2)4
1
j) q
(x − 5)3
k)
e)
2
6.10. Derivoi
a) e2x
b) 2e2x
d) 5x
e) 5x
c)
2
1
x
h)
2x3
1
+ 5x
1
5
(4x + 2) 2
l) x2 + 8x
−1
1
3ex2 −2x
f) 42x · 23x
2 +2
6.11. Derivoi
a) ln(2x)
b) lg(2x)
6.12. Derivoi
a) sin 2x
−2
d)
√
d) ln x
c) (ln x)5
b) 3 cos x2
c) tan
x
2
cos2 x
sin x
6.13. Määritä korkeammat derivaatat, kun f (x) = cos 2x
a) f 00 (x)
b) f 000 (x)
c) f (4) (x).
d) cos x2 · sin x
6.5
e) tan x · cos x
f)
Derivaatan sovelluksia
6.14. Määritä käyrän y = x3 − 2x2 + x − 1 kohtaan x = 2 piirretyn tangentin
ja normaalin yhtälöt.
6.15. Määritä käyrälle y = −x2 + 2x + 5 pisteestä 32 , 6 piirrettyjen tangenttien yhtälöt.
1
2
6.16. Määritä funktion f (x) = x4 + x3 − 2x2 , x ∈ R ääriarvot.
2
3
6.17. Tutki funktion kulkua
x2 + 2x − 1
a) f (x) = x3 − 2x2 + x,
b) g(x) =
.
1 − 2x
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
21
www.mafyvalmennus.fi
ln x
suurin arvo.
x
6.19. Osoita oikeaksi epäyhtälö (x − 2)6 > 2 − 6x.
6.18. Määritä funktion f (x) =
6.20. Suorakulmion muotoisen levyn ympärysmitta on 100 cm. Mitkä ovat
levyn mitat, kun sen pinta-ala on mahdollisimman suuri?
6.21. Edellisen tehtävän 6.20 pinta-alaltaan suurimmasta mahdollisesta levystä leikataan jokaisesta kulmasta pois yhtä suuri neliön muotoinen palanen. Leikatusta levystä taitellaan kanneton suorakulmainen särmiö kuvan
mukaisesti. Mitkä ovat suorakulmaisen särmiön mitat, kun sen tilavuus on
mahdollisimman suuri? Anna vastaus 0,1 cm tarkkuudella.
6.22. Suoran ympyräkartion korkeus ja pohjaympyrän halkaisija ovat yhtä pitkät (d). Mitkä ovat tilavuudeltaan suurimman neliöpohjaisen suorakulmaisen särmiön mitat, joka voidaan asettaa kartion sisään? Särmiö asetetaan kartion sisään siten, että neliöpohja on yhdensuuntainen kartion pohjan
kanssa.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
22
www.mafyvalmennus.fi
7
Integraalilaskenta
7.1
Integraalifunktio
7.1. Osoita, että funktio x ln x − x on funktion ln x integraalifunktio.
7.2
Integroiminen
7.2. Määritä funktio f (x), kun f 0 (x) = x2 − 2x + 2 ja kuvaaja y = f (x)
kulkee pisteen (3, 9) kautta.
7.3. Määritä integraalifunktiot
Z
Z
1
√
dx
b) x−2 dx
a)
3
x
e)
Z
f)
sin x dx
Z
cos x dx
c)
Z
x
−1
ex dx
(x + 1)(x − 1)
dx
x2
[Vihje1 sivun alalaidassa]
g)
Z
Funktion f 0 (x)g(f (x)) integroiminen
7.3
7.4. Määritä integraalifunktiot
Z
Z
5
a) (2 − 5x) dx
b) 5e2x dx
d)
d)
dx
Z
Z
e)
3
sin x cos x dx
Z +g)
1+
7.4
1
5x + 3
2
Z
√
3x − 2 dx
c)
Z
f)
Z
(cos 2x − x sin x2 ) dx
x
dx
2x2 + 1
dx [Vihje2 sivun alalaidassa]
Määrätty integraali
7.5. Laske määrätyt integraalit
Z 3
Z 3
2
a)
x dx
b)
|2x − 4| dx
1
0
c)
Z
3
x2
Z
e dx +
1
1
2
ex dx
3
1
Laske auki ennen integrointia. Lisäohje: Laske kertolasku osoittajassa ja jaa saatu
polynomi termeittäin nimittäjällä.
2
Laske auki toinen potenssi ennen integrointia.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
23
www.mafyvalmennus.fi
7.6. Auto lähtee paikaltaan liikkeelle tasaisesti kiihtyen. Auton nopeus on
siten suoraan verrannolinen lähtöhetkestä kuluneeseen aikaan. Auton nopeus
5 sekuntia lähtöhetkestä on 15 m/s. Kuinka pitkän matkan auto on kulkenut
10 sekunnin kuluttua lähtöhetkestä? Ohje: Nopeus on matkan derivaatta, eli
v(t) = s0 (t), jossa v(t) on nopeus ja s(t) on kuljettu matka ajan funktiona.
7.5
Pinta-alojen laskeminen integroimalla
7.7. Laske käyrän y = x2 − 3x ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala välillä
[0, 5].
7.8. Laske käyrän y = ex , suoran y = 3 ja y-akselin rajaaman alueen pintaala integroimalla
a) muuttujan x suhteen
b) muuttujan y suhteen
7.9. Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y = sin x ja y = cos x,
π
suora x = sekä y-akseli.
2
7.6
Tilavuuksien laskeminen
7.10. Astian korkeus on 30 cm. Astian vaakasuora poikkileikkaus on suorakulmio, jonka sivumitat ovat x + 5 ja x + 10 senttimetriä mitattuna x
senttimetrin korkeudella astian pohjasta. Mikä on astian tilavuus?
+7.11. Näyttelyhallin pohja on ympyrä, jonka halkaisija on 100 m. Näyttelyhallin katto ja seinät muodostavat alla olevan kuvan mukaisen pinnan,
jossa halkaisijaa AB vastaan kohtisuorat leikkauskuviot ovat suorakulmioita,
joiden korkeuden suhde leveyteen on 1 : 2. Laske hallin tilavuus.
B
A
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
24
www.mafyvalmennus.fi
7.7
Pyörähdyskappaleen tilavuus
7.12. Laske sen kappaleen tilavuus, joka muodostuu, kun käyrän y = ex
välilllä [0, 2] oleva osa pyörähtää
a) x-akselin ympäri.
b) suoran y = 2 ympäri.
7.13. Käyrän y = 2x − 1 välillä x ∈ [0, 3] oleva osa pyörähtää y-akselin
ympäri. Laske muodostuvan kappaleen tilavuus integroimalla.
+7.14. Käyrän y = 2 ln(x + 1), 0 ≤ x ≤ e − 1, pyörähtäessä y-akselin
ympäri syntyy suppilomainen astia. Laske sen tilavuus. Ilmoita tarkka arvo
ja kaksidesimaalinen likiarvo.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
25
www.mafyvalmennus.fi
8
Lukujonot ja summat
8.1
Lukujono
8.1. Kirjoita lukujonon 5 ensimmäistä jäsentä.
a) a1 = 3, an+1 = 2an − 1
b) a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1
c) a1 = 5, an = a1 · 2n−1
d) a1 = 2, an = a1 + 3(n − 1)
8.2. Päättele lukujonon kaksi seuraavaa jäsentä ja yleinen jäsen an .
1
11
a) 3, 6, 9, 12, . . .
b) 1, 2, 4, 8, . . .
c) , 3, , 8, . . .
2
2
1
, −1, 3, −9, . . .
3
+8.3. Tutki onko lukujono aidosti monotoninen sekä onko se ylhäältä tai
alhaalta rajoitettu. n = 1, 2, 3, . . .
√
2n − 1
2n
1
c) an =
a) an =
b) an = 3 n
n
n+2
d) −1, 1, −1, 1, . . .
8.2
e) 1, 0, 1, 0, . . .
f)
Aritmeettinen lukujono ja summa
8.4. Tutki onko lukujono aritmeettinen
a) 1, 3, 5, 7, . . .
b) a1 = 3, an+1 = 3(an − 2)
8.5. Kuinka moni aritmeettisen jonon 3, 8, 13, . . . jäsenistä on pienempi kuin
1000?
8.6. Esitä summamerkinnän avulla ja laske aritmeettinen summa.
a) 2 + 5 + 8 + · · · + 77
b) 20 + 13 + 6 − 1 − · · · − 113
8.7. Aritmeettisen jonon 1. jäsen on 4 ja yksi sen jäsen on 247. Summa
4+· · ·+247 = 3514. Kuinka monta jäsentä on summassa ja mikä on lukujonon
perättäisten jäsenten erotus?
8.8. Elokuvateatterissa on viimeisellä penkkirivillä 56 paikkaa. Ensimmäisellä penkkirivillä on 22 paikkaa ja seuraavalla rivillä on aina 2 paikkaa enemmän.
a) Kuinka monta penkkiriviä on teatterissa?
b) Kuinka monta paikkaa on teatterissa?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
26
www.mafyvalmennus.fi
8.3
Geometrinen lukujono ja summa
8.9. Onko lukujono geometrinen?
an+1
1 1 1 1
b) a1 = 3, a2 = 1, an+2 =
a) − , , − , , . . .
2 4 8 16
an
1024
128
8.10. Geometrisen jonon 7. jäsen on
ja 4. jäsen on
. Laske jonon
2187
81
suhdeluku ja 1. jäsen.
8.11. Laske geometrinen summa, kun siihen otetaan
a) 15 ensimmäistä termiä lukujonosta
2 4
, ,...
7 7
b) 15 ensimmäistä termiä lukujonosta 7, −21, 63, . . .
c) 16 ensimmäistä termiä b-kohdan lukujonosta
8.12. Olli alkaa tallettaa pankkiin jokaisen vuoden alusssa 15000 e. Tilin
vuosikorko on lähdeveron jälkeen 2,13 %. Kuinka paljon tilillä on rahaa 15.
vuoden lopussa? Kuinka paljon Olli on saanut verotonta korkotuottoa tältä
ajalta?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
27
www.mafyvalmennus.fi
9
Todennäköisyyslaskenta
9.1. Korttipakassa on neljää maata (hertta, ruutu, risti ja pata), joissa kaikissa on 13 korttia. Ässä on 1 tai 14, jätkä on 11, rouva on 12 ja kuningas
13.
a) Mikä on todennäköisyys saada yhdellä nostolla kuningas?
b) Mikä on todennäköisyys saada kaksi kuningasta, kun nostetaan kaksi
korttia?
c) Mikä on todennäköisyys, että yhdellä nostolla tulee ässä tai hertta?
9.2. Radiossa kaksi eri radiokanavaa soittaa saman 3 minuutin pituisen kappaleen kerran kahden tunnin aikana. Kaksi radiota avataan samaan aikaan
ja näiltä eri kanavilta. Millä tn. molemmilta kanavilta kuuluu tämä sama
kappale?
9.3. Mikä on todennäköisyys saada kuudella nopanheitolla ainakin yksi kuutonen?
9.4. Kolikon säde on 10 mm. Mikä on todennäköisyys, että neliöruutuiselle
suurelle pöytäliinalle heitetty kolikko jää kokonaan ruudun sisään? Ruudun
sivun pituus on 30 mm.
9.5. Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä saadaan silmälukujen
summaksi enemmän kuin 7?
9.6. Susannalla on vaatekaapissaan 54 paitaa, 26 housut ja 108 kenkäparia. Kuinka monta erilaista vaateyhdistelmää (paita, housut, kengät) hän voi
valita kaapistaan?
9.7. Sukkulaviestiin valittiin 4 tyttöä ja 4 poikaa. Kuinka monta erilaista
juoksujärestystä voidaan muodostaa, jos
a) juoksijat voidaan järjestää miten tahansa,
b) kaikki tytöt ovat ennen poikia,
c) joka toinen on tyttö ja joka toinen on poika?
9.8. Kaverukset Erkki, Keijo ja Jorma ovat osallistuneet työpaikallaan arvontaan etelänmatkasta 20 muun henkilön kanssa. Kolme ihmistä voittaa
matkan. Millä tn. kaikki kolme kaverusta voittavat?
9.9. Korttipakka on samanlainen kuin tehtävässä 9.1.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
28
www.mafyvalmennus.fi
a) Mikä on tn. saada neloset (neljä samaa numeroa) viidellä kortilla?
b) Mikä on tn. saada värisuora (esim. ässä, 2, 3, 4, 5 tai 10, 11, 12, 13, ässä
eli peräkkäiset numerot ja samaa maata) viidellä kortilla?
9.10. Valtuustossa on 12 naista ja 11 miestä. Valtuustosta valitaan 4 hengen
työryhmä arpomalla. Millä tn.
a) kaikki ovat naisia,
b) ryhmässä on kaksi naista ja kaksi miestä,
c) ryhmässä on yksi nainen ja kolme miestä?
9.11. Jussi ja Paavo kuuluvat kahdeksan sepän veneilyseuraan. 8 hengen
seurasta valitaan 5 jäsentä viestikilpailun joukkueeseen. Millä todennäköisyydellä Jussi ja Paavo ovat joukkueessa peräkkäisillä osuuksilla, jos joukkue
ja järjestys arvotaan?
9.12. Laatikossa on kaksi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi palloa. Olkoon satunnaismuuttuja X nostossa saatujen mustien pallojen lukumäärä. Laske todennäköisyydet P(X = k), k =
0, 1, 2. Määritä odotusarvo E(X).
9.13. Matematiikan pääsykokeessa epäonnistuu 20 % ja fysiikan pääsykokeessa 15 %. Molemmissa kokeissa epäonnistuu 9 %. 1) Millä todennäköisyydellä matematiikan kokeessa epäonnistunut henkilö epäonnistuu myös fysiikan
kokeessa? 2) Millä todennäköisyydellä pyrkijä epäonnistuu ainakin toisessa
kokeessa?
9.14. Arpajaisissa, joissa on paljon arpoja, 30 % arvoista voittaa. Ostetaan
kuusi arpaa.
a) Millä todennäköisyydellä tulee 0, 1, 2, 3, 4 voittoa?
b) Millä todennäköisyydellä tulee enintään kaksi voittoa?
9.15. Eräässä keskikokoisessa etelä-suomalaisessa kaupungissa miesten keskipituus on 180,5 cm ja pituuden keskihajonta 6,1 cm. Oletetaan miesten
pituus normaalisti jakautuneeksi.
a) Millä todennäköisyydellä kyseisestä kaupungista satunnaisesti valitun
miehen pituus on alle 185 cm?
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
29
www.mafyvalmennus.fi
b) Kuinka monta prosenttia kyseisen kaupungin miehistä on lyhyempiä
kuin 170 cm?
c) Kyseisen kaupungin asukkaista valitaan 200 henkilön satunnaisotos.
Arvio kuinka monen miehen pituus tässä otoksessa on välillä 175 - 190
cm.
9.16. Yritys valmistaa palloja, joiden tilavuus on tarkoitus olla 5000 l. Enintään 65 litran poikkeama jompaan kumpaan suuntaan hyväksytään. Laske
tavoitteena olevan pallon halkaisija ja virherajojen mukaiset halkaisijat. Millä
tn. prosessissa syntyy hyväksyttäviä säiliöitä, kun halkaisijoiden poikkeamat
ovat normaalisti jakautuneet parametrein µ = 0 cm, σ = 1,75 cm.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
30
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 1 vastaukset
1.1. a) a5 b5
b) 25x
3
1.2. a)
11
10
b) 1
5
28
c) 5
1.3. a)
3
10
b) 3
1
28
c)
1.4. a) x2 − x +
1.5. a)
x2
x2
d)
9
c) a
2
1
4
8
9
d)
ad + bc
bd
2
15
d)
ac
bd
b) 0
4
− 2x + 1
e) −
b)
c)
x2
e)
8
x3
e)
ad
bc
f) 8x5
ad − bc
bd
f)
f)
x2 + 3x + 4
2x
6x2 − 9x
2x + 10
x
y
1
= 2t + 2 ja =
y
x
2t + 2
1
−x
1.6. a) 4x4 + 20x3 − 9x2 − 20x + 3
b) x4 − 2x2 + 1
c) 2x2 − 5x + 3
d) −30x4 − 25x3 y + 12x2 y − 8xy 2 − 15y 3
e) 18x3 + 12x2 + 2x f) x3 − 6x2 + 12x − 8
1.7. a) x(x + 1)
d) (x2 + 3)(x + 4)
b) 2x(2x2 + 3)
c) z(z + 1)2
e) 2(x − y)2
f) (x2 + a)(5ax − 1)
1.8. a) 117,3 b) 0,051a c) 2 % d) 120 % e) 57 % f) 133 %
1.9. 1) 152,42 e
1.10. a) 1 +
1.11. a) 30 %
p
100
2) 89,95 e
a
b) 1 −
q
100
a
b) 15 %
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
31
www.mafyvalmennus.fi
1.12. a) 5
(
x,
kun x ≥ 0
c) |x| =
−x, kun x < 0
b) 25
(
x + 3,
kun x ≥ −3
d) |x + 3| =
−x − 3, kun x < −3
(
x − 3, kun x ≥ 3
e) |x − 3| =
3 − x, kun x < 3
(
2x − 7, kun x ≥ 3 21
f) |2x − 7| =
7 − 2x, kun x < 3 21
1.14. a) x = −
4
9
b) −
5
9
c) x = −1 d) x = −
1.15. a) x = −3 tai x = 2
c) x = 0 tai x = −
b) ei reaalisia ratkaisuja
3
2
d) x =
1.16. a) ei reaalisia ratkaisuja
1.17. a) x > −
1.18. a) x = 2
9
20
b) x = −
2
5
b) x =
13
5
3
2
b) 1 ratkaisu
9
20
4
13
c) x < −
9
20
c) x = −9
1.19. Vastaus: 4,3 km etäisyydellä
1.20. Vastaus: 99,7 %
1.21. Vastaus: 140 N
1.22. a) x > 2
1.23. a)
b) x ≥ −
1
≤x≤2
3
1
4
b) x < 0 tai x > 1
1
tai x = 4
2
√
c) x = −4 tai x = ± 5
1.24. a) x = 0 tai x =
c) x 6= 4
c) 2 < x < 5
b) x = −1 tai x = 1
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
32
www.mafyvalmennus.fi
1
tai x ≥ 4
b) −1 < x < 1
2
√
√
c) −4 < x < − 5 tai x > − 5
1.25. a) 0 ≤ x ≤
1.26. a) x = −2 −
√
7 tai x = −2 +
√
7
b) Vastaus: yhtälöllä ei ole ratkaisuja
1.27. a) x ≥ −1 tai x 6= 0
b) x ≤ −2 −
√
7 tai − 1 < x ≤ −2 +
1.28. a) x = 1 tai x = −2
b) ei ratkaisua
d) x = −2 tai x = −
1.30. a)
√
b) 4 2
3
4
3
1.31. a) a 4
−4 +
d) x =
3
5
b) x < −
27
c) x = −3 tai x = 0 tai x = 2
7
1.33. a) −3 ≤ x ≤
1
3
1.34. a) x > 0
b) x < −1 tai x > 1
1.35. a) ex = 5
1
tai x > 5
3
c) c− 20
b) ei ratkaisua
√
3
5
tai x =
2
4
c) 3a
b) b− 3
1.32. a) x = 24
c) x = −
2
3
4
8
tai x ≥
3
3
1.29. a) x ≤ −
√
7 tai x > 2
5
b) − ≤ x ≤ 0
3
b) x = 108
c) x > − 54
c) x = 34
ln 110
lg 110
=
ln 1,05
lg 1,05
1.36. a) x = 5
b) x =
1.37. a) x < 7
b) x ≤ −8
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
33
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 2 vastaukset
2.1. a)
π
2
2.2. a) 120◦
b)
25π
36
b) 90◦
c)
π
6
d)
c) 612◦
3π
2
d) 22,5◦
1
1
3π
2.3. a) sin x = √ , cos x = − √ , tan x = −1 ja x =
4
2
2
2.4. a) pienin arvo −1, suurin arvo 1
√
3
2.5. sin x cos x =
4
2.6. a) x =
π
+ n · 2π
2
c) x = π + n · 2π
e) x =
π
+ nπ
4
b) x =
b) pienin arvo −1, suurin arvo 3
π
3π
+ nπ tai x =
+ nπ
8
8
d) x = ±
f) x =
5π
2π
+n·
18
3
π
π
+n·
12
4
2.7. a) α = 40◦ + n · 360◦ tai α = 140◦ + n · 360◦
c) α = 60◦ + n · 180◦
b)
√ !
1 3
,
2 2
b) x = ±
5π
+ n · 2π
4
d) x = 33,7◦ + n · 180◦
e) x = 26,6° + n · 180° tai x = ±90° + n · 360°
f) x =
3π
π
+ nπ tai x = + nπ
4
3
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
34
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 3 vastaukset
3.1. β = 26◦ ja α = 26◦
3.2. α = 80◦
3.3. Jaetaan viisikulmio kolmeen kolmioon, joiden kulmien summa on
3 · 180◦ = 540◦ .
3.4. β > γ > α
3.5. ∆ABC ∼ ∆GHI, mittakaava k = 4 : 3
3.6. 43 cm
3.7. 66 %
3.8. a) ei ole
b) On. Suora kulma kateettien
√
5 ja 2 välillä
√
3.9. 2 6
3.10. a) x =
5
2
b) x = 2,31
3.11. a) α = 30◦ tarkka arvo
c) x = 6,34
b) α = 68,0◦
c) α = 63,4◦
3.12. α = 47,2◦
3.13. h = 3,5 m
3.14. 5,9 cm2
3.15. 3,6 cm
3.16. kulma B = 49,8◦ tai kulma B = 130,2◦
3.17. kulma B = 95◦
3.18. 6,1 cm
3.19. 91,5◦ ; 53, 1◦ ja 35,4◦
3.20. 5,6 m
3.21. kaari 17 cm ja pinta-ala 170 cm2
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
35
www.mafyvalmennus.fi
3.22. 10 cm
3.23. 44 km
3.24. 115 mm
3.25. α = 60◦ ja β = 30◦
3.26. 60◦
√
3.27. 5 2
3.28. 910 cm2
3.29. 2,8 dm3
3.30. 4,3 %
3.31. 440 cm3
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
36
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 4 vastaukset
4.1. a) x = 2, y = 5
b) ei ratkaisuja
c) Ratkaisuja ovat kaikki suoran 2x − 3y − 5 = 0 pisteet.
4.2. x = 2, y = 4 ja z = 3
4.3. k = 3
4.4. a)
b)
c)
d)
4.5. y = 5x + 3
4.6. y = 3x − 5
2
3
4.7. k1 k2 = · −
= −1
3
2
1
5
4.8. y = − x +
3
3
4.9. Suoran L yhtälö on x = 3 ja normaalin y = 5.
2
8
4.10. y = x +
5
5
1
4.11. a) k = 1 b) k = − √ ≈ −0,5773
3
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
37
www.mafyvalmennus.fi
4.12. a) n. 63,4◦
b) n. −18,4◦
10
2
4.13. y = x +
3
3
4.14. 5
4.15. keskipiste (3, −1) ja säde 5
4.16. (x − 1)2 + (y + 2)2 = 49
4.17. a) keskipiste (2, −1) ja säde 3
b) keskipiste
√
3
, −2 ja säde 7
2
√
√
4.18. −1 − 2 < a < −1 + 2
(Ympyrän yhtälö keskipistemuodossa: (x − 1)2 + (y − 2a)2 = −a2 − 2a + 1,
josta vaaditaan r2 > 0, eli −a2 − 2a + 1 > 0)
√
3 10
4.19.
5
7
25
x− .
17
17
√
√
4.21. y = −2x − 1 + 2 5 tai y = −2x − 1 − 2 5
4.20. Tangentteja on kaksi. y = −x + 7 ja y =
4.22. (x − 2)2 + (y − 1)2 =
25
2
2
3
9
4.23. (x − 8) + (y − 4) = 16 tai (x − 3) + y −
=
2
4
2
2
2
1
3
9
4.24. paraabeli y = x2 − x +
8
4
8
4.25. y = 2x2 + 3x − 2
10 1
10
4.26. a)
b) − , −2
,−
c) (2, −5) d (−3, 7)
3
3
3
36 2
4.27. Leikkauspisteitä on kaksi: (0, 2) ja
,−
5
5
13 9
4.28. (1, 1) ja
,
5 5
4.29. (2, 1) ja (−1, −2)
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
38
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 5 vastaukset
5.1. a) 80◦
b) 45◦
b) ¯b − c¯
5.2. a) a
¯ + c¯
5.3. a) 5t
c) 125◦
c) −¯
a − ¯b + c¯
¯
b) 51 a
5.4. 5¯
a − 8¯b = −1 · (2¯
a + ¯b) + 7 · (¯
a − ¯b)
5.5. Piste P jakaa kysytyn keskijanan kärjestä B lukien suhteessa 8 : 1.
5.6. a) eivät ole
5.7. t = −
5.8.
b) ovat
6
5
√
29
5.9. OA = 2¯i − 3¯j + 7k¯
AB = −9¯i + ¯j − 2k¯
¯
¯
¯
OB
=
−7
√i − 2j + 5k
AB = 86
5.10. a) D = (4, −11, 3)
b) Suunnikkaan lävistäjätpuolittavat aina toisensa, joten niillä on sama keskipiste. Se on − 12 , − 12 , 11
.
2
5.11. B on suoralla AC. (Osoitettava, että löytyy t, jolla AB = tAC.)
5.12. Parametriesitys: v¯ = 2¯i − 10¯j − 9k¯


 x = 2 + 2t
y = 3 − 10t

 z = 6 − 9t
11
,
−
,
0
.
xy-tason leikkauspiste on 10
3
3
5.13. Suorat leikkaavat pisteessä (1, −1, 3). (Suorat leikkaavat toisensa, jos
u = OB + s¯
v .)
on olemassa s ja t, joilla OA + t¯
5.14. P on ja Q ei ole pisteiden A, B ja C määräämässä tasossa. (Yleisesti
piste R on ko. tasossa, jos on olemassa s ja t, joilla OR = OA + sAB + tAC.
Voidaan myös johtaa tasolle normaalimuotoinen yhtälö ax + by + cz + d = 0
ja tutkia toteuttavatko annetut pisteet tason yhtälön.)
5.15. − 13
, 5, 7
4 4 4
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
39
www.mafyvalmennus.fi
5.16. a) n. 24,5◦
5.17. t =
b) n. 125,1◦
15
2
5.18. Osoitettava, että suoran suuntavektori on kohtisuorassa molempia tason suuntavektoreita vastaan. Suuntavektorit voidaan valita monella eri tavalla — ainoa ehto on, että tason suuntavektorit ovat keskenään erisuuntaiset.
5.19. Suuntavektorit ovat ¯i+2¯j ja ¯i+ 75 ¯j. Suorien välinen kulma on n. 27,90◦ .
√
5.20. Lähin piste on (6, 4, −14). Pisteen E etäisyys suorasta L on 4 6.
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
40
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 6 vastaukset
5
2
b) 4
c) 0
d) −1
6.2. a) 5
b) 0
c)
1
2
d) 11
6.1. a)
6.3. f (x) on jatkuva kaikilla x:n reaaliarvoilla
(
1 , kun x = 0
6.4. a) esim. f (x) =
b) a = 4
0 , kun x 6= 0
6.7. a = 2, b = 1
6.8. a) 6
b) f 0 (x) = 2x + 2
6.9. a) 10x + 2
d) −
6x2 + 5
(2x3 + 5x)2
e) −
2
24
(6x + 1)5
4
f) − √
3
3 3 − 2x
18x2
g)
(3 − 3x3 )3
h) − p
(4x − 2)7
3
j) − p
2 (x − 5)5
k) −
10
6.10. a) 2e2x
b) 8xe2x
d) 5x ln 5
6.11. a)
1
x
b)
1
x ln 10
c)
2 +2
c)
1
2 cos2
e) cos x
x
2
4·
l) −
2
e) 2x · 5x
i)
1
x2
6.12. a) 2 cos 2x
c)
−4x2 + 10x + 2
c)
4x4 + 4x2 + 1
b) 100x + 60x + 8x
3
√
3
x+2
3
2x + 8
(x2 + 8x)2
2 − 2x
3ex2 −2x
f) 7 · 27x · ln 2
· ln 5
5(ln x)4
x
d)
1
2x
b) −6x sin x2
=
x
1 1
+ tan2
2 2
2
d) −2x sin x2 sin x + cos x2 cos x
f) −2 cos x −
cos3 x
cos x
= − cos x −
2
sin x
sin2 x
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
41
www.mafyvalmennus.fi
6.13. a) −4 cos 2x
b) 8 sin 2x
c) 16 cos 2x
1
7
6.14. tangentti y = 5x − 9, normaali y = − x +
5
5
6.15. y = 6 ja y = −2x + 9
6.16. maksimi f (0) = 0, minimit f (−2) = −5
1
ja f (1) = − 56
3
1
6.17. a) kasvaa, kun x ≤ tai x ≥ 1
3
1
vähenee, kun ≤ x ≤ 1
3
1
b) kasvaa, kun 0 ≤ x ≤ 1 ja x 6=
2
vähenee, kun x ≤ 0 tai x ≥ 1
6.18. suurin arvo f (e) =
1
e
6.19. epäyhtälö muotoon (x−2)6 +6x−2 > 0 ja sen jälkeen etsitään funktion
f (x) = (x − 2)6 + 6x − 2 pienin arvo.
6.20. 25 cm × 25 cm
6.21. 16,7 cm × 16,7 cm × 4,2 cm
√
√
2
2
1
6.22.
d×
d× d
3
3
3
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
42
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 7 vastaukset
7.1. Derivoi funktio f (x) = x ln x − x.
1
7.2. f (x) = x3 − x2 + 2x + 3
3
3 2
3√
3
7.3. a) x 3 + C =
x2 + C
2
2
d) ex + C
7.4. a) −
e) − cos x + C
1
(2 − 5x)6 + C
30
b)
1
b) − + C
x
c) ln |x| + C
f) sin x + C
g) x +
5 2x
e +C
2
c)
1
(sin 2x + cos x2 ) + C
2
1
d) − cos4 x + C
4
e)
2p
(3x − 2)3 + C
9
f)
g) x +
26
3
7.6. 150 m
79
7.7.
6
7.5. a)
1
+C
x
1
ln |2x2 + 1| + C
4
1
2
ln |5x + 3| −
+C
5
25x + 15
b) 5
c) 0
7.8. a) 3 ln 3 − 2
b) Ensin ratkaistaan x yhtälöstä y = ex ⇐⇒ x = ln y. Integroimisrajat y:n
suhteen ovat [1, 3].
√
7.9. 2 2 − 2
7.10. 17 dm3
7.11. 333000 m3
1
7.12. a) π(e4 − 1)
2
1 4
23
b) πe − 4πe2 + π
2
2
7.13. 18π
7.14. π(e2 − 4e + 5) ≈ 4,76
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
43
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 8 vastaukset
8.1. a) 3, 5, 9, 17, 33 b) 1, 1, 2, 3, 5 c) 5, 10, 20, 40, 80 d) 2, 5, 8, 11, 14
8.2. a) an = 3n, seuraavat 15, 18
b) an = 2n−1 , seuraavat 16, 32
21
5
, 13
c) an = n − 2, seuraavat
2
2
e) an =
d) an = (−1)n , seuraavat −1, 1
1 + (−1)n+1
1
, seuraavat 1, 0 f) an = · (−3)n−1 , seuraavat 27, −81
2
3
8.3. a) aidosti kasvava, alhaalta rajoitettu rajana 1, ylhäältä rajoitettu rajana
2
b) aidosti vähenevä, alhaalta rajoitettu rajana 1, ylhäältä rajoitettu rajana
3
1
c) ei monotoninen, alhaalta rajoitettu rajana 0, ylhäältä rajoitettu rajana
2
8.4. a) jono on aritmeettinen, d = 2
b) jono on aritmeettinen, d = 0
8.5. 200 jäsentä
P26
8.6. a) S26
n=1 (3n − 1), S26 = 1027
P=
20
b) S20 = n=1 (27 − 7n), S20 = −930
8.7. jäseniä on 28, erotus d = 9
8.8. a) 18 riviä
b) 702 paikkaa
8.9. a) jono on geometrinen, q = −
b) jono ei ole geometrinen
1
2
2
16
8.10. q = , a =
3
3
8.11. a) 9362
b) 25110589
c) −75331760
8.12. tilillä rahaa 267 428,84 e
korkotuotto 42 428,84 e
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
44
www.mafyvalmennus.fi
Harjoitustehtävien 9 vastaukset
9.1. a)
1
13
b)
1
221
c)
4
13
9.2. 0,063 %
9.3. 66,5 %
9.4.
1
9
9.5.
5
12
9.6. 151632
9.7. a) 40320
b) 576
c) 1152
9.8. 0,056 %
9.9. a) 0,024 %
9.10. a) 5,6 %
9.11.
b) 0,0015 %
b) 41,0 %
c) 22,4 %
1
7
9.12. P(X = 0) =
1
3
3
6
, P(X = 1) = , P(X = 3) = , E(X) =
10
5
10
5
9.13. 1) 45 %
2) 26 %
9.14. a) 11,8 %; 30,3 %; 32,4 %; 18,5 %; 6,0 %
b) 74,4 %
9.15. a) 0,77 b) 4,3 % c) 150
9.16. Halkaisija 212 cm, poikkeamahalkaisijat 211 cm ja 213 cm
hyväksyttäviä säiliöitä 40 %
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
45