1. No category

pit
o
n
e
t
Mi haiten?
par
Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan
kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki
yo-kokeessa tarvittavat asiat.
n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja
ratkaisujen avulla.
n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita.
n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen!
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
1
23.3.2011
YLIOPPILASTUTKINTOLAUTAKUNTA
MATEMATIIKAN KOE
LYHYT OPPIMÄÄRÄ
Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.
1. a) Ratkaise yhtälö 4 x + (5 x − 4) = 12 + 3 x.
1
b) Sievennä lauseke x 2 + x − ( x 2 − x) ja laske sen arvo, kun x = .
2
c) Ratkaise yhtälöpari
x − 2y = 0

 x − 3 y = 1.
2. a) Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on 2 ja hypotenuusan pituus 5. Laske
kolmion terävien kulmien suuruudet asteen tarkkuudella.
b) Sievennä lauseke
(
)
2
x −1 + 2 x.
c) Laske x − y , kun x = 2 ja y = 5.
3. a) Määritä sellainen vakio a, että x = 2 toteuttaa yhtälön x 2 − 4ax + 4a 2 = 0.
b) Positiivinen luku a kasvaa 20 % ja pienenee tämän jälkeen 17 %. Onko tulos suurempi
vai pienempi kuin alkuperäinen luku a ? Kuinka monta prosenttia alkuperäisestä luvusta
muutos on?
4. Muinaiset egyptiläiset laskivat ympyrän pinta-alan sellaisen neliön alana, jonka sivun pituus
8
on ympyrän halkaisijasta.
9
a) Laske tällä säännöllä ympyrän ala, kun sen halkaisija on 5.
b) Onko edellä saatu ala liian suuri vai liian pieni? Kuinka suuri virhe on prosentteina?
Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.
2
Alla on taulukoituina
erään arvot
funktion
arvot
n välein1,1].
välillä
0,1:välillä
[−1,1]. Hahmottele
5. Alla on5.taulukoituina
erään funktion
n välein
Hahmottele
funktion funktion
0,1:
5. Alla on taulukoituina erään funktion
arvot 0,1: n välein[−välillä
[−1,1]. Hahmottele funktion
kuvaaja
ja määritä
sen
avulla likimääräisesti
funktion derivaatta
kohdassa
kuvaaja ja
määritä
avulla
likimääräisesti
funktionfunktion
derivaatta
kohdassakohdassa
x = 0. x x= =0.0.
kuvaaja
ja sen
määritä
sen
avulla likimääräisesti
derivaatta
x
−1, 0
−0,9
−0,8
−0, 7
−0, 6
f ( x)x
x
1, 0
0,−−
00
1, 0
−0,9
1,−05
0,9
−0,8
2,18
−0,8
−0, 7
3,34
−0, 7
4,51
−−0,0,66
f ( x)
f ( x)
0, 0,5
00
0,−00
1,−05
0, 4
1, 05
2,18
−0,3
2,18
3,34
−0, 2
3,34
4,51
−0,1
4,51
0, 0
f ( xx)
x
0,5
5,−−64
0,5
0, 4
6,−−0,
72
4
0,3
7,−−0,3
70
−0, 2
8,59
−0, 2
0,1
9,36
−−0,1
10,
0,0,00
00
f ( x)
f ( x)
5,0,1
64
5, 64
6,0,722
6, 72
7,0,3
70
7, 70
8,59
0, 4
8,59
9,36
0,5
9,36
10,00
00
10,
f ( x)x
x
0,1
10,51
0,1
0, 2
10,89
0, 2
0,3
11,14
0,3
0,44
11,0,27
0,5
11,0,5
28
f ( x)
f ( xx)
10,51
0, 6
10,51
10,89
0, 7
10,89
11,14
0,8
11,14
11,2727
11,0,9
11,
1,28
028
11,
f ( x)x
x
0, 6
11,19
0, 6
0, 7
11,0,01
7
0,8
10,0,8
74
0,9
10,0,9
40
10,1,1,
00
00
f ( x)
f ( x)
11,19
11,19
11, 01
11, 01
10, 74
10, 74
10, 40
10, 40
10,0000
10,
A4-kokoisen
kartanmittakaava
mittakaava
on1:20
1:20
000.
Karttapienennetään
pienennetään
kopiokoneella
A5-kokoi6. A4-kokoisen
kartan mittakaava
on 1:20 on
000.
Kartta
pienennetään
kopiokoneella
A5-kokoi6.6. A4-kokoisen
kartan
000.
Kartta
kopiokoneella
A5-kokoiseksi,
jolloin
senpinta-ala
pinta-ala
pienenee
puoleen,
muttasäilyy.
muoto
säilyy.
Mikäononpienennetyn
pienennetyn
seksi, jolloin
sen
pinta-ala
pieneneepienenee
puoleen,puoleen,
mutta muoto
Mikä
onMikä
pienennetyn
seksi,
jolloin
sen
mutta
muoto
säilyy.
kartanmittakaava?
mittakaava?
kartan mittakaava?
kartan
Eräässäkokeessa
kokeessa
annettiin
suoritusten
arvosanoiksi
5taitai6.6.prosentNäidenprosentprosent7. Eräässä
annettiinannettiin
suoritusten
arvosanoiksi
0, 1, 2, 3,
tai
6.4,5Näiden
7.7. kokeessa
Eräässä
suoritusten
arvosanoiksi
0,0,4,
1,1,52,2,
3,3,4,
Näiden
tiosuudet
olivatseuraavat:
seuraavat:
tiosuudettiosuudet
olivat seuraavat:
olivat
arvosana
arvosanaarvosana
0
1 00 211
322
433
544
65 5
osuus
5,80 17,54
10,99 24,78
17,54 19,95
24,78 15,48
19,95 5,46
15,48
osuus osuus
5,80 10,99
5,80
10,99
17,54
24,78
19,95
15,48
66
5,46
5,46
Laskekeskiarvo
kokeenkeskiarvo
keskiarvo
keskihajonta.
Laske kokeen
ja keskihajonta.
Laske
kokeen
jajakeskihajonta.
Alla
olevan
kuvionruutu
kukin
ruutuväritetään
väritetään
satunnaisesti
toisistariippumatta
riippumatta
jokoruskeruske8. Alla olevan
kuvion
1kuvion
kukin
väritetään
satunnaisesti
ja toisista
joko ruske8.8. Alla
olevan
11kukin
ruutu
satunnaisesti
jajariippumatta
toisista
joko
aksitai
taisiniseksi.
siniseksi.
aksi tai siniseksi.
aksi
Millätodennäköisyydellä
todennäköisyydellä
saadaan
kuvion22shakkilautakuvio?
shakkilautakuvio?
a) Millä todennäköisyydellä
saadaan saadaan
kuvion
2kuvion
shakkilautakuvio?
a)a)Millä
Millätodennäköisyydellä
todennäköisyydellä
mikäänvaakarivi
vaakarivi
oleyksivärinen?
yksivärinen?
b) Millä todennäköisyydellä
mikään vaakarivi
ei
ole yksivärinen?
b)b)Millä
mikään
eieiole
KUVA:ruutu.pdf
ruutu.pdf
KUVA: ruutu.pdf
KUVA:
Kuvio 1
Kuvio 2
3
9. Olkoon f ( x) = − x3 + x + 2 ja g ( x) = x3 − x − 2. Millä muuttujan x arvoilla on
f ´( x) > g´( x) ?
10. Suorakulmion yhtenä sivuna on x -akselin väli [−a, a ], missä 0 < a < 2. Suorakulmion kaksi
10.
kärkeä ovat paraabelilla y = 4 − x 2 . Millä luvun a arvolla suorakulmion pinta-ala on suurin?
11. Radioaktiivisen näytteen aktiivisuudeksi mitattiin 25, 0 kBq ja viisi vuorokautta myöhem11.
min 16, 2 kBq. Laske puoliintumisaika ja näytteen aktiivisuus kymmenen vuorokautta ennen ensimmäistä mittausta. Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti, ja puoliintumisaika on aika, jonka kuluessa aktiivisuus vähenee puoleen.
12. Havaintopisteestä A nähtiin trombi merellä suunnassa 133,8 ja havaintopisteestä B sa12.
ma trombi suunnassa 205, 0. Suunnat on ilmoitettu pohjoissuunnasta lähtien myötäpäivään. Pisteiden A ja B koordinaatit ovat (6 670 801, 2 549 572) ja (6 670 015, 2 554 955)
koordinaatistossa, jonka x -akseli suuntautuu pohjoiseen ja y -akseli itään ja jonka yksikkönä on metri. Laske trombin sijainnin koordinaatit.
x
6 671 000
KUVA: kartta.pdf
6 669 000
6 667 000
2 550 000
2 552 000
2 554 000
y
http://kansalaisen.karttapaikka.fi/ (17.5.2010)
4
13.
13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon en13. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on
21 10 ja toinen termi 12. Geometrisen jonon ensim= . Monennestako termistä lähtien geometrisen
simmäinen termi on 2 ja suhdeluku q21
mäinen termi on 2 ja suhdeluku q  .20
Monennestako termistä lähtien geometrisen jonon
20
jonon termi on suurempi kuin vastaava aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava
termi on suurempi
kuin
vastaava
aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava epäyhtälö ja
epäyhtälö
ja etsi sille
ratkaisu
kokeilemalla.
etsi sille ratkaisu kokeilemalla.
14.
a) Säätiöllä
Säätiöllä on
on 1,8
miljoonaneuron
euronpääoma,
pääoma,jonka
jonka
vuosittainen
tuotto
1,8 miljoonan
4 prosenttia.
14.
14. a)
vuosittainen
tuotto
on on
5, 45,prosenttia.
Eräänä vuonna
vuonna säätiö
säätiö on
on päättänyt
päättänyt siirtää
siirtää tuotosta
tuotosta 30
prosenttia pääomaan
pääomaan ja
ja jakaa
jakaa lolopus30 prosenttia
Eräänä
euroneuron
suuruista
apurahaa
opiskeluun
ulkomailla
sekä 14
yhtä14
suurta tuotosta
kaksikaksi
21 000
pusta
tuotosta
suuruista
apurahaa
opiskeluun
ulkomailla
sekä
21 000
ta matka-apurahaa.
Kuinka suuria
matka-apurahat
ovat?
yhtä
suurta matka-apurahaa.
Kuinka
suuria matka-apurahat
ovat?
b)
Kuinka
suureksi
säätiön
miljoonan
euron
pääoma
kasvaa
viidessävuodessa,
vuodessa,
tuotto
1,8
b) Kuinka suureksi säätiön 1,8 miljoonan euron pääoma kasvaa viidessä
josjos
tuoton on
jokaisena
vuotena
pääomasta
ja vuosittain
pääomaan
siirretään
5, 4 5,prosenttia
30 proto
jokaisena
vuotena
pääomasta
ja vuosittain
pääomaan
siirretään
4 prosenttia
senttia
tuotosta?
prosenttia
tuotosta?
30
15. Laske avaruuden kulman  BAC suuruus asteen tarkkuudella, kun A 
 (4,5,
(4,5,6)
15.
6) ja
= (1, 2,3), B =
CC
 (9,8,7).
ja
= (9,8, 7).
www.mafyvalmennus.fi
Arviomme tehtävien pisteytyksestä
on merkitty sinisellä tekstillä
Lyhyt matematiikka, kevät 2011
Mallivastaukset, 23.3.2011
Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu
Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Hän on tarkastanut matematiikan ja fysiikan yo-kokeita koko tämän
ajan. Teemu Kekkonen ja Antti Suominen toimivat opettajina MA-FY Valmennus Oy:ssä. Nämä mallivastaukset ovat MA-FY Valmennus Oy:n omaisuutta.
MA-FY Valmennus Oy on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan
valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat
• TKK-pääsykoekurssit
• yo-kokeisiin valmentavat kurssit
• yksityisopetus
Vuoden 2010 keväästä alkaen olemme julkaisseet internet-sivuillamme kaiken
palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja
rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa.
Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön ja omien yo-vastausten tarkistamista varten. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata
MA-FY Valmennuksen internet-sivuilta www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää näitä mallivastauksia oppimateriaalina lukiokursseilla.
MA-FY Valmennus Oy:n yhteystiedot:
internet: www.mafyvalmennus.fi
s-posti:
info@mafyvalmennus.fi
puhelin: (09) 3540 1373
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
www.mafyvalmennus.fi
1. a)
4x + (5x − 4) = 12 + 3x
4x + 5x − 4 = 12 + 3x
9x − 3x = 12 + 4
6x = 16 k· : 6
16
x=
1p
6
4 (2
x=2
6
2
x=2
1 p (2 p)
3
b)
Täydet pisteet myös
vastauksesta
x2 + x − (x2 − x) = x2 + x − x2 + x
= 2x.
1 p (3 p)
Kun x = 12 , saa lauseke arvon
2x = 2 ·
1
2
= 1.
1 p (4 p)
c)
x − 2y = 0 k · (−1)
x − 3y = 1
(1)
(2)
−x + 2y = 0
x − 3y = 1
−y = 1 k · (−1)
y = −1
1 p (5 p)
(3)
Sij. (3) yhtälöön (1).
x − 2 · (−1) = 0
x+2=0
x = −2
Vastaus: x = 2, y = −1
1 p (6 p)
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1
8
__
3
www.mafyvalmennus.fi
2. a)
2
5
α = 23,578 . . . °
α ≈ 24°
sin α =
1p
2
5
β = 66,421 . . . °
β ≈ 66°
cos β =
Vastaus: Terävät kulmat ovat 24° ja 66°.
1 p (2 p)
b)
√
√
√ 2
√
√
( x − 1)2 + 2 x = x − 2 x + 12 + 2 x
=x+1
1 p (3 p)
1 p (4 p)
c)
x = 2, y = 5
|x − y| = |2 − 5|
= | − 3|
=3
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
2 p (6 p)
2
www.mafyvalmennus.fi
3.
a)
Sijoitetaan x = 2 yhtälöön
x2 − 4ax + 4a2 = 0
22 − 4a · 2 + 4a2 = 0
4a2 − 8a + 4 = 0 k : 4
1p
2
a − 2a + 1 = 0
p
−(−2) ± (−2)2 − 4 · 1 · 1
a=
2·1
2±0
a=
2
a=1
2 p (3 p)
b)
Muutosten jälkeen tulos on (a > 0) a · 1,20 · 0,83 = 0,996a < a.
1 p (5 p)
1 p (4 p)
Muutos on 0,996a − a = −0,004a. Prosentteina muutos on
−0,004a
= −0, 004 = −0, 4%
a
Vastaus: Tulos on pienempi kuin alkuperäinen. Muutos on -0,4 %.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
3
www.mafyvalmennus.fi
4.
a) Ympyrän halkaisija on d = 5. Egyptiläisten neliön sivun pituus on tällöin
8
a= d
9
8
= ·5
9
40
= .
9
1p
Egyptiläisten neliön pinta-ala on siten
A n = a2
2
40
=
9
1600
=
81
= 19,753 . . .
≈ 19,75
Vastaus: Pinta-ala on 19,75.
2 p (3 p)
b) Ympyrän pinta-ala on
Ay = πr2
2
d
=π
2
2
5
=π
2
= 19,634 . . .
Egyptiläisten meneltelmällä pinta-ala oli An = 19,753 . . ., joten An > Ay .
1 p (4 p)
Pinta-alan virhe on
19,735 . . . − 19,634 . . .
An − Ay
=
Ay
19,634 . . .
= 0,00601 . . .
≈ 0,6%
Vastaus: Ala on liian suuri. Virhe on 0,6 %
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
2 p (6 p)
4
www.mafyvalmennus.fi
5. Piirretään pisteet (x, y)-koordinaatistoon millimetripaperille. Saadaan
käyrä y = f (x).
2 p kuvaajasta
1 p (3 p) tangentista
Määritetään funktion derivaatta f 0 (0) käyrän y = f (x) kohtaan x = 0 piirretyn tangentin kulmakertoimena.
1 p (4 p)
y2 − y1
x 2 − x1
11,8 − 6
=
0,3 − (−0,7)
= 5,8
k=
Vastaus: Funktion derivaatta kohdassa x = 0 on f 0 (0) = 5,8.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
2 p (6 p)
5
www.mafyvalmennus.fi
6. A4- ja A5-kokoiset kartat ovat yhdenmuotoisia. Merkitään pinta-aloja
A1 on A4:n pinta-ala,
A2 on A5:n pinta-ala.
Tehtävänannon mukaan
1
A2 = A1
2
A2
1
= .
A1
2
k : A1
1p
Karttojen pinta-alojen suhde on vastinpituuksien neliö, eli
2
A2
x2
=
A1
x1
2
x2
1
=
1 p (2 p)
x1
2
r
x2
1
+)
= (−
k · x1
x1 r
2
r
1
1
x2 =
x1 k :
2
√2
1 p (3 p)
x1 = 2x2 .
Merkitään vastinpituuksien suhdetta luonnon ja A4-kartan välillä
x1
√ L
2x2
L
x2
L
x2
L
x2
L
=
=
=
=
≈
x1
. Tällöin
L
√
1
, sij. x1 = 2x2
20000
√
1
k: 2
1 p (4 p)
20000
1
√
20000 · 2
1
1 p (5 p)
28284,27 . . .
1
28000
Vastaus: Pienennetyn kartan mittakaava on 1 : 28000.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
6
www.mafyvalmennus.fi
7.
Keskiarvo on
5,80 · 0 + 10,99 · 1 + 17,54 · 2 + 24,78 · 3 + 19,95 · 4 + 15,48 · 5 + 5,46 · 6
5,80 + 10,99 + 17,54 + 24,78 + 19,95 + 15,48 + 5,46
= 3,1037
2p
≈ 3,10.
1 p (3 p)
x=
Keskihajonta on
v
u
u 5,80 · (0 − 3,1037)2 + 10,99 · (1 − 3,1037)2 + 17,54 · (2 − 3,10379)2 . . .
u
u +24,78 · (3 − 3,1037)2 + 19,95 · (4 − 3,1037)2 . . .
u
t +15,48 · (5 − 3,1037)2 + 5,46 · (6 − 3,1037)2
s=
5,80 + 10,99 + 17,54 + 24,78 + 19,95 + 15,48 + 5,46
= 1,560879 . . .
2 p (5 p)
≈ 1,56.
Vastaus: Keskiarvo on 3,10 ja keskihajonta on 1,56.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
7
www.mafyvalmennus.fi
8.
Merkitään todennäköisyyksiä
P(”1 ruutu on ruskea”) = r = 21 ,
P(”1 ruutu on sininen”) = s = 12 .
a) Kuvion 2 mukainen shakkilauta koostuu 9 ruudusta, joista jokainen voi
olla vain tietyn värinen. Eli suotuisia väritysvaihtoehtoja on vain yksi.
Kaikkiaan 9 ruutua voidaan värittää kahdella värillä 29 :llä tavalla. Todennäköisyydeksi saadaan
1p
1
P (”kuvio 2”) = 9
2
1
=
512
= 0,001953 . . .
1 p (2 p)
≈ 0,20%.
Vastaus: Todennäköisyys on 0,20 %.
1 p (3 p)
b) Merkitään tapahtumaa
A on ”Vaakarivi on yksivärinen”, eli
A on ”Vaakarivi on ruskea tai sininen”
Täydet pisteet myös murtolukuna annetusta vastauksesta.
Tämän todennäköisyys on
P (A) = P (r ja r ja r tai s ja s ja s)
1 1 1 1 1 1
= · · + · ·
2 2 2 2 2 2
1
= .
4
Tapahtuman A vastatapahtuma A on ”Vaakarivi ei ole yksivärinen”. Tämän
todennäköisyys on
P (A) = 1 − P (A)
1
=1−
4
3
= .
4
1 p (4 p)
Kysytty tapahtuma on
B on ”Mikään vaakarivi ei ole yksivärinen”, eli
B on ”Kaikki vaakarivit ovat ei-yksivärisiä”.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
8
www.mafyvalmennus.fi
Tämän todennäköisyys on
P (B) = P (A ja A ja A)
3 3 3
= · ·
4 4 4
27
=
64
= 0,421875
≈ 42,2%.
Vastaus: Todennäköisyys on 42,2 %.
2 p (6 p)
Täydet pisteet myös murtolukuna annetusta vastauksesta.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
9
www.mafyvalmennus.fi
9.
f (x) = −x3 + x + 2
g(x) = x3 − x − 2
f 0 (x) = −3x2 + 1
g 0 (x) = 3x2 − 1.
1p
Ratkaistaan epäyhtälö
f 0 (x) > g 0 (x)
−3x2 + 1 > 3x2 − 1
−6x2 + 2 > 0 k : (−2)
3x2 − 1 < 0.
1 p (2 p)
Nollakohdat ovat
3x2 − 1 = 0
3x2 = 1 k : 3
1
x2 =
3r
1
x=±
3
x = ±0,57753 . . .
x ≈ ±0,58.
2 p (4 p)
1 p (5 p)
Vastaus: f 0 (x) > g 0 (x), kun −0,58 < x < 0,58.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
10
www.mafyvalmennus.fi
10.
1p
Suorakulmion leveys on a − (−a) = 2a. Suorakulmion korkeus on 4 − a2 .
Suorakulmion pinta-ala on tällöin
A(a) = 2a(4 − a2 )
= −2a3 + 8a , missä 0 < a < 2.
1 p (2 p)
Etsitään A(a):lle suurin arvo derivaatan avulla. Pinta-alan derivaatta on
A0 (a) = −6a2 + 8.
1 p (3 p)
Lasketaan derivaatan nollakohdat.
A0 (a) = 0
−6a2 + 8 = 0
6a2 = 8 k : 6
8
a2 =
6
4
2
a =
3 r
4
+)
a = (−
3
a = 1,154 . . .
a ≈ 1,15
1 p (4 p)
Muodostetaan A(a):n kulkukaavio.
A0 (1) = −6 · 12 + 8 = 2 > 0
A0 (1,5) = −5,5 < 0.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
11
www.mafyvalmennus.fi
1 p (5 p)
Vastaus: Pinta-ala on suurin arvolla a = 1,15.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
12
www.mafyvalmennus.fi
11. Merkitään q:lla kerrointa, jonka mukaisesti aktiivisuus vähenee vuorokaudessa. Edelleen merkitään
a0 on aktiivisuus alussa,
an on aktiivisuus n vuorokauden kuluttua.
Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti, joten
an = a0 · q n , missä 0 < q < 1.
(1)
1p
Aktiivisuus tarkastelujakson alussa ja viiden vuorokauden kuluttua on
a0 = 25,0 (kBq) ja
a5 = 16,2 (kBq).
(2)
(3)
Yhtälöstä (1) saadaan
a5 = a0 · q 5 k Sij. (2) ja (3)
16,2 = 25,0 · q 5 k : 25,0
16,2
q5 =
25,0
r
16,2
q= 5
25,0
1 p (2 p)
q = 0,916885 . . .
Puoliintumisaika vuorokausina saadaan ehdosta
a0
an =
k Sij. (1)
2
n
a0 q = a0 · 0,5
q n = 0,5 k lg() (q > 0)
lg q n = lg 0,5
n lg q = lg 0,5 k : lg q
lg 0,5
n=
lg q
lg 0,5
n=
lg 0,916885 . . .
n = 7,988059 . . .
n ≈ 7,99 (vrk)
2 p (4 p)
Aktiivisuus 10 vrk ennen ensimmäistä mittausta on
a0 · q −10 = 25,0 · 0,916885 . . .−10
= 59,5374 . . .
≈ 59,5 (kBq)
Vastaus: Puoliintumisaika on 7,99 vuorokautta.
Aktiivisuus 10 vrk ennen 1. mittausta oli 59,5 kBq.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
2 p (6 p)
13
www.mafyvalmennus.fi
12.
Nimetään x- ja y-akselit toisin päin kuin tehtävänannossa, eli pohjoiseen
osoittava akseli on y-akseli ja itään osoittava akseli on x-akseli. (Huomautus
lukijalle: Näin koordinaatiston ja laskelmien merkinnöistä saadaan tavanomaisemmat ja laskutyö helpottuu.) Kun akselit on nimetty uudestaan, ovat
havaintopisteiden koordinaatit
A = (2549572, 6670801)
B = (2554955, 6670015)
Trombi on pisteessä P. Lasketaan suorien s1 ja s2 kulmakertoimet.
Suoran s1 suuntakulma α on
α = 90° − 133,8° = −43,8°.
Kulmakerroin on
k1 = tan α
= tan(−43,8°)
= −0,9589 . . .
Suoran s2 suuntakulma on β.
γ = 205° − 180°
= 25°
β = 90° − 25°
= 65°
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
14
1 p kuvaajasta selityksineen.
www.mafyvalmennus.fi
Kulmakerroin on
k2 = tan β
= tan 65°
= 2,1445 . . .
1 p (2 p)
Merkitään P:n koordinaatteja (x0 , y0 ):lla. Suoran s1 kulmakerroin pisteiden
P ja A avulla lausuttuna on
yA − y0
k1 =
k · (xA − x0 )
xA − x0
k1 xA − k1 x0 = yA − y0
(1)
Lausutaan vastaavasti suoran s2 kulmakerroin.
y0 − yB
k2 =
k · (x0 − xB )
x0 − xB
k2 x0 − k2 xB = y0 − yB
Yhdistetään yhtälöt (1) ja (2) yhtälöpariksi.
k1 xA − k1 x0 = yA − y0
k2 x0 − k2 xB = y0 − yB
(2)
1 p (3 p)
k1 xA − k1 x0 + k2 x0 − k2 xB = yA − yB
(k2 + k1 )x0 = yA − yB − k1 xA + k2 xB k : (k2 + k1 )
yA − yB − k1 xA + k2 xB
1 p (4 p)
x0 =
k2 + k1
Sijoitetaan arvot, saadaan
6670801 − 6670015 + 0,959 . . . · 2549572 + 2,144 . . . · 2554955
x0 =
2,144 . . . + 0,958 . . .
x0 = 2553544,931 . . .
x0 ≈ 2553545
1 p (5 p)
Ratkaistaan y0 yhtälöstä (1).
y0 = −k1 xA + k1 x0 + yA
= k1 (x0 − xA ) + yA
= −0,9589 . . . · (2553544,93 − 2549572) + 6670801
= 6666991,096 . . .
≈ 6666991.
Tehtävänannon koordinaatistossa x- ja y-akselit olivat toisin päin, joten
Vastaus: Tehtävänannon koordinaatistossa
trombi on pisteessä P = (6666991, 2553545).
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
15
www.mafyvalmennus.fi
13. Merkitään aritmeettista jonoa an :llä.
a1 = 10
a2 = 12
d = an+1 − an = a2 − a1 = 12 − 10 = 2
Yleinen jäsen on
an = a1 + (n − 1)d
= 10 + (n − 1) · 2
= 10 + 2n − 2
= 2n + 8
1p
Merkitään geometristä jonoa bn :llä.
b1 = 2
21
q=
20
Yleinen jäsen on
n−1
21
bn = q
· b2 =
· 2.
20
Tutkitaan, millä n:n arvolla toteutuu epäyhtälö
n−1
1 p (2 p)
bn > an
21
20
n−1
· 2 > 2n + 8.
1 p (3 p)
Ratkaistaan epäyhtälö kokeilemalla.
n = 95
95−1
21
· 2 > 2 · 95 + 8
20
196,25 . . . > 198 epätosi
n = 97
97−1
21
· 2 > 2 · 97 + 8
20
216,37 . . . > 202 tosi
96−1
21
· 2 > 2 · 96 + 8
20
206,06 . . . > 200 tosi
n = 96
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
2 p (5 p)
16
www.mafyvalmennus.fi
Näin ollen bn > an arvosta n = 96 lähtien.
Vastaus: Geometrisen jonon termi on aritmeettisen
jonon termiä suurempi 96. termistä lähtien.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
17
www.mafyvalmennus.fi
14. a)
K = 1800000 e
p = 5,4 (%)
Tuotto eräänä vuonna on
p
· K = 0,054 · 1800000
100
= 97200 (e)
Tuotosta 30 % siirrettiin pääomaan, joten (100 - 30) % = 70 % jaettiin
apurahoina. Euroina apurahojen määrä on
97200 e · 0,7 = 68040 e
1p
Matka-apurahoihin jäi
68040 e − 2 · 21000 e = 26040 e
1 p (2 p)
Siten yhden matka-apurahan suuruus oli
26040 e
= 1860 e
14
Vastaus: Matka-apurahat olivat 1860 euron suuruisia.
1 p (3 p)
b) Pääoman tuotto on 5,4 %, josta 30 %:n osuus siirretään vuosittain pääomaan. Pääoma kasvaa siis vuosittain
5,4% · 0,30 = 1,62%
Korkotekijäksi saadaan
1,62
100
= 1,0162
q =1+
1 p (4 p)
Pääoma viiden vuoden kuluttua on
K5 = K · q 5
= 1800000 · 1,01625
= 1950601,069 . . .
≈ 1950000 (e)
1 p (5 p)
Vastaus: Pääoma kasvaa viidessä vuodessa 1,95 miljoonaan euroon.
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
1 p (6 p)
18
www.mafyvalmennus.fi
15.
A = (1, 2, 3) B = (4, 5, 6) C = (9, 8, 7)
Kulma BAC on sama kuin vektorien AB ja AC välinen kulma.
AB = (4 − 1)¯i + (5 − 2)¯j + (6 − 3)k¯
= 3¯i + 3¯j + 3k¯
AC = (9 − 1)¯i + (8 − 2)¯j + (7 − 3)k¯
= 8¯i + 6¯j + 4k¯
1p
1 p (2 p)
Vektorien väliselle kulmalle pätee
AB · AC
|AB| · |AC|
¯ · (8¯i + 6¯j + 4k)
¯
(3¯i + 3¯j + 3k)
√
cos(AB, AC) = √
32 + 32 + 32 · 82 + 62 + 42
3·8+3·6+3·4
√
√
cos(AB, AC) =
27 · 116
1 p (4 p)
cos(AB, AC) = 0,96490 . . .
<
)(AB, AC) = 15,22515 . . . °
1 p (5 p)
<
)(AB, AC) ≈ 15°
cos(AB, AC) =
Vastaus: <
)BAC = 15°
1 p (3 p)
1 p (6 p)
TKK-pääsykoekurssit — abikurssit — yksityisopetus
19