1. No category

FUNKTIO JA SEN KUVAAJA
Funktio
Funktio eli kuvaus on matematiikan ja sen sovellusten keskeisimpiä käsitteitä. Funktio liittyy tilanteisiin, joissa käsitellään suureiden välisiä riippuvuuksia.
Esimerkki 1.
Kaava T = 2π
funktiona
l
esittää heilurin heilahdusaikaa T heilurin pituuden l
g
( g = 9,81 ) . Tässä tapauksessa heilurin pituus on muuttuja ja heim
s2
lahdusaika on funktion arvo. Kun muuttujan l arvo on annettu, funktion T arvo
on täysin määrätty.
Esimerkki 2.
l (m)
T (s)
0
0,5
1,0
1,5
2,0
0
1,4
2,0
2,5
2,8
Yhtälössä y = x 2 − 2 on y esitetty muuttujan x funktiona. Tässä x on muuttuja ja
y on funktion arvo kohdassa x.
x
0
0,5
1,0
1,5
2,0
y
0
-1,75
-1,0
0,25
2
Funktio eli kuvaus f joukolta X joukolle Y on sääntö, joka liittää joukon X jokaiseen
alkioon x joukon Y yksikäsitteisen alkion y = f (x).
X
Y
Joukkoa X nimitetään funktion f määrittelyjoukoksi ( M f ) ,
joukkoa Y funktion f maalijoukoksi ja joukkoa
f
f (X ) = { f (x) | x ∈ X }
funktion f arvojoukoksi ( Af ) . Alkiota y = f ( x) kutsutaan
x
y = f(x)
funktion f arvoksi pisteessä x tai alkion x kuvaksi kuvauksessa f.
Funktio f : X → Y
Funktion f nollakohdalla tarkoitetaan sellaista muuttujan x arvoa, joka toteuttaa ehdon f ( x ) = 0 .
Esimerkki 3.
2x
. Määritä funktion arvot
x +1
pisteissä −1, 0, 2, t ja ( x + 1) .
Olkoon funktio h( x) =
h(−1) =
h(0) =
h(2) =
2 ⋅ ( −1)
( −1)
2
+1
2 ⋅ ( 0)
( 0)
2
+1
2 ⋅ ( 2)
2
= −1
=0
=
4
5
( 2) + 1
2 ⋅ (t )
2t
h(t ) = 2
= 2
(t ) + 1 t + 1
2 ⋅ ( x + 1)
2x + 2
2x + 2
h( x + 1) =
= 2
= 2
2
( x + 1) + 1 x + 2 x + 1 + 1 x + 2 x + 2
Esimerkki 4.
2
Määritä funktion g ( t ) = 2t 2 − 3t + 1 nollakohdat.
Funktion g nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö 2t 2 − 3t + 1 = 0 .
x=
3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅1
2⋅2
x = 1 tai x =
Funktion g nollakohdat ovat 1 ja
1
2
1
.
2
Esimerkki 5.
Määritä funktioiden f ( x ) = ( x − 1) ja g ( t ) = 9 − t 2 määrittely- ja
2
arvojoukot.
Funktion f muuttuja x voi saada mitä tahansa reaalilukuarvoja, joten määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko ( \ ) . Näillä muuttujan x arvoilla funktio f saa
arvoja nollasta ylöspäin, sillä neliö ( x − 1) ei voi saada negatiivisiä arvoja. Ar2
vojoukko on tällöin positiivisten reaalilukujenjoukko ([ 0, ∞[ ) . Nyt funktio f voidaan ilmaista kuvauksena määrittelyjoukolta arvojoukolle.
f : \ → \+ .
Funktion g muuttuja t voi saada arvoja −3 ≤ t ≤ 3 , sillä juurrettava ei voi tulla
negatiiviseksi. Määrittelyjoukko on tällöin [ −3,3] . Näillä muuttujan t arvoilla
funktio g saa arvoja [ 0,3] , suurimman arvonsa muuttujan t arvolla 0 ja pienimmän muuttujan t arvolla −3 tai 3 . Arvojoukko on [ 0,3] . Funktio g kuvauksena
g : [ −3,3] → [ 0,3] .
Esimerkki 6.
Olkoon X = {1,2,3,4} ja Y = {a, b, c}.
a) Ehdot f(1) = a, f(2) = b, f(3) = b ja f(4) = c määrittelevät kuvauksen
f : X → Y, sillä joukon X jokaisella alkiolla x on yksikäsitteinen kuva f(x)
joukossa Y. Edelleen
f(X) = { f(1), f(2), f(3), f(4)} = {a, b, b, c} = {a, b, c} = Y.
X
Y
f
1
a
2
3
4
b
c
b) Ehdot g(1) = a, g(2) = b ja g(3) = b eivät määrittele funktiota g : X → Y, sillä arvoa g(4) ei ole määritelty.
c) Ehdot g(1) = a, g(2) = b, g(3) = b ja g(4) = d eivät määrittele funktiota
g : X → Y, sillä arvo g(4) ei kuulu joukkoon Y.
d) Ehdot g(1) = a, g(1) = b, g(2) = b, g(3) = b ja g(4) = c eivät määrittele
funktiota g : X → Y, sillä g(1) ei ole yksikäsitteinen.
Funktioiden f : X → Y ja g: Y → Z yhdistetty funktio g o f : X → Z määritellään ehdosta
(g o f )(x) = g( f (x)) (x ∈ X ).
Funktiota f nimitetään yhdistetyn funktion g D f sisäfunktioksi ja funktiota g sen ulkofunktioksi.
X
Y
Z
f
g
x•
• g(f(x))
•
f(x)
gof
Esimerkki 7.
Olkoon X = {1,2,3,4}, Y = {5,6,7} ja Z = {8,9} ja olkoot f : X → Y ja
g : Y → Z ehtojen f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 7, f(4) = 7 ja g(5) = 8, g(6) = 9,
g(7) = 9 määräämät funktiot:
X
Y
f
1
2
3
4
Z
g
5
6
7
8
9
Tällöin on voimassa:
(g o f)(1) = g(f(1)) = g(5) = 8,
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(6) = 9,
(g o f)(3) = g(f(3)) = g(7) = 9,
(g o f)(4) = g(f(4)) = g(7) = 9,
(g o f)(X) = { (g o f)(x) | x ∈ X } = {8,9,9,9} = {8,9} = Z.
Esimerkki 8.
Funktioille f : R → R, f (x) = x2 + x ja g : R → R, g(x) = 2x + 1 on voimassa:
( g o f )(0) = g( f (0)) = g(02+0) = g(0) = 2⋅0+1 = 1,
( f o g )(0) = f (g(0)) = f (2⋅0+1) = f (1) = 12+1 = 2 ja
( g o f )(x) = g( f (x)) = g(x2+x) = 2(x2+x) + 1 = 2x2+2x+1.
Koska siis ( g o f )(0) ≠ ( f o g )(0), niin g o f ≠ f o g ja vaihdantalaki g o f = f o g ei ole yleisesti
voimassa. Funktioiden yhdistäminen on kuitenkin liitännäistä eli h o (g o f ) = (h o g) o f aina, kun
kyseiset yhdistetyt funktiot on määritelty.