1. No category

MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Funktio
Esimerkki: Ulkolämpötilaa seurattiin minuutin välein, ja lämpötiloista piirrettiin oheinen kuvaaja.
Mitkä olivat alhaisin ja korkein lämpötila?
b)
Milloin lämpötila oli alhaisimmillaan ja milloin korkeimmillaan?
c)
Kuinka kauan lämpötilan muuttumista seurattiin?
d)
Kuinka monta kertaa lämpötila oli 25 oC?
lämpötila (oC)
a)
aika (h)
1
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Funktiota voi ajatella sääntönä, jonka mukaan jokin suure muuttuu. Ks. funktion täsmällinen määritelmä kirjasta s. 42. Funktiota voidaan kuvata esimerkiksi
• piirtämällä kuvaaja tai
• antamalla funktion määrittelylauseke.
Jos aika sallii, palaamme funktion täsmälliseen määritelmään myöhemmin.
2
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Esimerkki: Tarkastellaan funktiota f(x) = x2 ­ 1.
y = x2 ­ 1
y
f(2) = f(­√2 ) = x
3
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Funktioihin liittyviä käsitteitä
f(x) on funktion f arvo kohdassa x. Esimerkiksi f(2) on funktion f arvo kohdassa x = 2.
Sellainen muuttujan x arvo, jolla funktion arvoksi tulee 0, on funktion nollakohta.
Kaikki mahdolliset muuttujan x arvot muodostavat funktion määrittelyjoukon. Kaikki arvot, jotka funktio saa, muodostavat funktion arvojoukon.
Määrittelyjoukon ja arvojoukon merkinnät: Mf ja Af.
Hyviä tehtäviä: 153, 155­158, 161­163.
Hyviä tehtäviä: 165­169, 171­175.
4
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Määritelmä: Funktion kuvaaja on pisteiden (x, f(x)) muodostama käyrä.
y = x2 ­ 1
y
x
Muuttujan arvot ovat x:n arvoja ja funktion arvot ovat y:n arvoja.
Mf näkyy kuvaajasta x­akselilta ja Af y­akselilta.
5
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Määrittelyjoukon päätteleminen
Esimerkki: f(x) = x2 ­ 1
Voidaan sijoittaa x:n paikalle mikä tahansa luku.
⇒ Määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko eli Mf = R.
g(x) = √x
Muuttujan x paikalle voi sijoittaa vain ei­negatiivisia lukuja.
⇒ Määrittelyjoukko on ei­negatiivisten reaalilukujen joukko eli Mg = [0, ∞[.
Voidaan myös ilmoittaa määrittelyehto: x ≥ 0.
6
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Arvojoukon päätteleminen
y
Esimerkki: Kuvaajan avulla päätellään, että funktion f(x) = x2 ­ 1 arvojoukkoon kuuluvat ­1 ja sitä suuremmat luvut eli
y = x2 ­ 1
Af = [­1, ∞[.
x
Toinen tapa päätellä arvojoukko:
Olkoon y funktion mielivaltainen arvo. Tällöin
x2 ­ 1 = y
x2 = 1 + y
x = ±√1 + y .
Siis f saa arvon y, kun ±√1 + y . Tällainen lauseke on olemassa, kun neliöjuuren alla oleva lauseke on ei­negatiivinen. Siis on oltava y ≥ ­1 eli f(x) ≥ ­1.
Hyviä tehtäviä: 165­169, 171­175.
7
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Funktion täsmällinen määritelmä: Funktio on jokin sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A lukuun tasan yhden joukon B luvun. 1
­2
4
0
­2
A
5
3
B
Joukkoa A kutsutaan määrittelyjoukoksi ja joukkoa B maalijoukoksi. 8
MAA1 Funktio­oppia.notebook
September 10, 2015
Esimerkki: Tämä on erään funktion kuvaaja.
Tämä ei ole minkään funktion kuvaaja.
Hyviä tehtäviä: 152, 159, 164, 170.
9