1. No category

Matematiikka, MAA9
1. a) Ratkaise yhtälö tan x  3
(YOS10)
Kulma x on välillä [0, 360]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt:
1
1
b) sin x 
c) cos x 
(YOs11)
3
4
8
2. Kulmalle  [90°,360°] on voimassa sin  = 17. Määritä cos  ja tan .
3. a) Derivoi funktio f(x) = sin 2x + 3 cos 4x
b) Laske funktion f ( x) 
2  sin x

derivaatta pisteessä x 
2  cos x
2
(YOK08)
4. a) Sievennä lauseke (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)2.
b) Ratkaise yhtälö: cos 2x  3sin 2x .
n
, n  1, 2, 3,....
2n  1
a) Näytä, että an+1 > an, kun n = 1, 2, 3, ….
5. Lukujonon (an) termit ovat muotoa an 
(YOS11)
b) Määritä lim an
n 
1
6. a) Määritä aritmeettisen jonon sadas termi, kun kaksi ensimmäistä ovat 2 ja 13 .
b) Lukujono (an) määritellään rekursiivisesti yhtälöillä a1  3 , an+1 = an +2n.
Määritä jonon viisi ensimmäistä termiä. HUONO!!!!
7. Aritmeettisessa jonossa on 10 termiä, joiden summa on 60.
Määritä jonon ensimmäinen termi ja erotusluku, kun viides termi on 5.
8. a) Määritä luku x siten, että lukujono x, 2 x  1, 4 x , ... geometrinen
b) Kuinka monta termiä on vähintään otettava summaan 1+2+4+8+..., jotta sen arvo ylittäisi
100000?
1
1
9. Todista oikeaksi kaava : tan x + tan x = sin x · cos x
10. Määritä funktion f(x) = cosx - ½cos2x suurin ja pienin arvo.
Missä pisteissä suurin arvo saavutetaan?
(YOS10)
11. Laske neljällä jaollisten kolminumeroisten luonnollisten lukujen summa
12. Toipilaan tulee leikkauksen jälkeen kuntouttaa lihaksiaan harjoittelemalla tiettyä liikesarjaa
päivittäin kuukauden mittaisen kuntoutusjakson ajan.
Hän aloittaa 15 minuutin pituisella voimistelulla ja lisää suoritusaikaa kuntoutusohjelman
mukaan joka kerralla viidellä prosentilla.
a) Kuinka pitkän ajan hän voimistelee kuntoutusjakson 30. päivänä?
b) Kuinka paljon hän kaikkiaan käyttää aikaa voimisteluun kuntoutusjakson aikana?
Anna vastaukset minuutin tarkkuudella.
LISÄTEHTÄVÄ (”VANHA JUTTU – MUTTA KUITENKIN”)
Mies oli poikansa kanssa kiipeilemässä vaarallisella vuorella. Heidän otteensa lipesi, ja molemmat putosivat alas. Isä
kuoli vammoihinsa, mutta poika jäi henkiin ja hänet kiidätettiin sairaalaan. Sairaalassa kokenut kirurgi tuli katsomaan
poikaa ja totesi: ”En voi leikata tätä poikaa; hän on oma poikani.” Miten tämä on mahdollista?
RATKAISUT MAA9
1a)
b, c)
b, c)
2. Piirrä suorakulmainen kolmio, missä :n vastainen kateetti = 8 ja hypotenuusa = 17
Pythagoras: 82 + b2 = 172 ; b2 = 289 - 64 = 225 ; b = 15
15
8
koska   [90°, 360°] ja sen sini positiivinen, niin   [90°,180°]
cos  = 17 ja tan  = 15
3. a) f(x) = sin 2x + 3 cos 4x ; f ’(x) = 2 cos 2x - 3·4 sin 4x = 2 cos 2x - 12 sin 4x
b)
4a) (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)2
= sin2 x + 2sin x · cos x + cos2 x + sin2 x – 2sin x · cos x + cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x) = 2·1 = 2
b)
sin 2 x
1
 tan 2 x   2 x  18,4  n 180 , josta x  9,2  n  90 .
cos 2 x
3
5.
6. a) a = 2. d = 4/3 - 2 = -1/3 ; a100 = 2 + 99·(-2/3) = 2 - 66 = - 64
b) a1  3 , a 2  a1  2  2  3  4  7 , a 3  a 2  2  3  7  6  13 , a 4  a 3  2  4  13  8  21 ,
a 5  a 4  2  5  21  10  31
7.
s10 = 60

 a5 = 5
½(a + a + 9d)·10= 60 2a + 9d = 12 ||·1

;  a + 4d = 5
; d = 2 ; a + 8 = 5 ; a = -3

a + 4d = 5 ||·(-2)
8 a) Oltava vakiosuhde ts.
2x  1
4x

x
2x  1
4x 2  4x  1  4x 2
4x  1  0
1
x
4
b) S 
1 (1  2n )
lg100001
 100000  2n  100001  n lg 2  lg100001  n 
 16, 6
1 2
lg 2
Vastaus: Vähintään 17 termiä.
1
sin x
1
sin x cos x sin x sin x cos x cos x






tan x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x
cos x
sin x
cos x
sin x  cos x
1




cos x sin x sin x cos x
sin x cos x
sin x cos x
9. tan x 
2
2
2
2
10.
11. Ensimmäinen luku on 100 ja viimeinen 996. Luvut muodostavat aritmeettisen jonon,
jossa d = 4.
996  100  n  1  4
n  225
Eli lukuja on 225.
S 225 
100  996
 225  123300
2
Vastaus: 123 300
12. a) Toipilaan voimisteluajat minuutteina muodostavat geometrisen jonon.
Jonon ensimmäinen termi on 15, toinen 1,05 · 15, kolmas 1,052 · 15,...,n:s 1,05n-1 · 15 ja
a30 = 1,0529 · 15 ≈ 61,74 min.
Vastaus: 62 min.
b) Kokonaisaika on geometrinen summa
S30  15 
1  1,0530
= 996,58 (min)
1  1,05
Vastaus: 16 h 37 min.
INTEGRAALILASKENTA
1. Onko funktio F(x) = 6x2 + 4x + 2 funktion f(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 2 integraalifunktio?
(Perustele)
b)  sin 2 xdx
a) 2x(3x
+ 4)dx

2. Integroi
1
a)  (e  1)dx
x
3. Laske integraali
0
1
b)
1
 x  1 dx
0
a
4. Millä vakion a arvolla  (3x 2  4 x  5)dx = 3a + 6
1
5. Laske käyrien y = x2 - 4 ja y = 2x - x2 välisen äärellisen alueen ala.
3
6. Laske

|x – 1| dx.
0
4
7. Määritä graafisesti kuvion avulla ilman integrointia

1
2x  5
dx .
2
Tarkista integroimalla.
8. Käyrän y = 3x - x2 ja x-akselin välinen äärellinen alue pyörähtää x-akselin ympäri. Laske
syntyneen pyörähdyskappaleen tilavuus.
x
9. Integroi 
 ex dx

10. Määritä pinta-ala, jota rajoittaa käyrä y = 1,5 x , suora y = 7 – x ja x-akseli.
Piirrä kuvio.
RATKAISUT
MAA10
1. F(x) = 6x2
3
+ 2x2 + 2x + 2
V: EI OLE.
2x(3x + 4)dx = 
(6x2 + 8x)dx = 2x3 + 4x2 + C
2. a) 
b)

sin2x dx =
1
3. a)
1
2

2sin2x dx =
1
1
(–cosx) + C = – cosx + C
2
2
1
1
x
x
 (e  1)dx  /(e  x)  (e  1)  (1  0)  e
0
0
b)
1
0 x  1 dx =
1
/ ln | x  1 | =ln2 – ln1 = ln2
0
4. 1 (3x 2 4 x  5)dx = 1a x 3  2 x 2  5x = a3 - 2a2 – 5a - (1 - 2 - 5) = a3 - 2a2 – 5a + 6
a
a3 - 2a2 - 5a + 6 = 3a + 6 ; a3 - 2a2 - 8a = 0 ; a(a2 - 2a - 8) = 0 ; a = 0 tai a2 - 2a – 8 = 0 ;
a=4,a=-2
5. LP: y = x2 - 4 JA y = 2x - x2; x2 - 4 = 2x - x2 ; 2x2 - 2x - 4 = 0 ; x2 – x - 2 = 0 ; x = -1 , x = 2
SIJ: alaspäin aukeava paraabeli on ylempänä kuin ylöspäin aukeava paraabeli.
2
2
A = 1[(2 x  x 2 )  ( x 2  4)]dx = 1 (2 x  2 x 2  4)dx
2 3
x  4 x)
3
16
2
= (4 - 3 + 8) - (1 + 3 - 4)] =9
=  21 ( x 2 
3
6.

0
1
|x – 1| dx = 
0
3
(1 – x) dx + 
1
x2 3 x2
1 9
1
1
(x – 1) dx = / x 
+/
 x = 1   3  1  2
2 2
2
2
2
0
1 2
1
7 13

7. Integraalin arvo on kuviossa näkyvän puolisuunnikkaan pinta–ala 2 2  3 = 15
2
Vastaus: 15
y
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
8. LP; 3x - x2 = 0 ; x(3 - x) = 0 ; x = 0 tai x = 3
2 2
2
3
4
3
3
V=
0 (3x - x ) dx =  0 (9x - 6x + x )dx
243 243
81
3 3 3 4 1 5
=
3x - 2x + 5x = (81 - 2 + 5 - 0) = 10
0
/
9. Valitaan f = x ja g´= e-x ; f ´ = 1 ja g = -e-x
x
-x
-x
x
x
 xe dx = x · (-e- ) -  1·(e )dx = -xe - e + C
10.
Ratkaistaan integroimisrajat
käyrän, suoran ja x-akselin
leikkauspisteistä
1,5 x = 0, josta x = 0
2

1,5 x = 7 – x || · 2
3 x = 14 – 2 x || ( )
2
2
9 x = 196 – 56 x + 4 x
4 x – 65 x + 196 = 0
65  4225  3136
65  33
x=
=
, josta x = 4 tai x = 12,25 (jälkimmäinen juuri ei käy, koska
8
8
x ≤ 7)
7 – x = 0, josta x = 7
4
0,5
1,5
3 3 4
A = A 1 + A 2 = 1,5 x d x +
= x + 4,5 = 12,5
/
2
0
0