MAA9 – Koe 21.5.2013 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää! 1 . Ilmoita vastaus radiaaneina! 3 3 b) Määritä paljonko on cos . Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! 4 c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p 1. a) Ratkaise yhtälö sin x    2. a) Ratkaise yhtälö sin(5 x  )  0,3455 . Ilmoita vastaus radiaaneina! 6 b) Määritä lukujonon 1 1 , , 1, 2, 4 kolmaskymmenes jäsen 4 2 3. a) Geometrisessa jonossa a 4 = 25 ja a 7 = 3125. Määritä jonon kaksi ensimmäistä jäsentä.  b) Ratkaise yhtälö sin( x  )  sin(3 x) 2 4. Määritä funktion f (x) = 6p 6p x + cos x suurin ja pienin arvo suljetulla välillä 2      2 , 2  . Ilmoita tarkka vastaus ja likiarvovastaus kolmen desimaalin tarkkuudella. 6p 5. a) Jussi päättää juosta vuoden jokaisena päivänä . Jos hän juoksee ensimmäisenä päivänä 2 km, ja joka päivä matkaa pidennetään 50 metrillä, niin kuinka paljon Jussi juoksee vuoden aikana? b) Geometrisen jonon 1, 2, 4, … summa on 4095, montako jäsentä jonossa on? 6p 6. Tutki funktion f ( x)  2 x  cos 2 x kulkua. Ilmoita, onko sillä ääriarvokohtia ja jos on, mitkä ne ovat. Ilmoita lisäksi miten funktio kulkee (kasvava ja vähenevä) koordinaatistossa erilaisilla x-akselin väleillä 6p 7. Atlantin rannikolla veden korkeus muuttui erään vuorokauden aikana 9 3  (t  2) ). seuraavan funktion mukaisesti: h(t )   cos( 2 2 6 Funktiossa t on aika tunteina vuorokauden alusta lukien ja h on veden korkeus metreinä. Ilmoita mihin vuorokauden aikaan vesi oli korkeimmillaan. Ilmoita myös paljonko korkeus silloin oli! 6p 8. Puistossa on kaksi toisiaan vasten kohtisuorassa olevaa käytävää, käytävät A ja B. Lisäksi puistossa on koirien suosima puu, jonka etäisyys käytävästä A on 60 m ja käytävästä B 100 m. Käytävien väliin on muodostunut lyhin mahdollinen, luotisuora oikopolku, joka kulkee puun kautta. Minkä kulman tämä polku muodostaa käytävän A kanssa? Vastaus asteina! 6p MALLIKUVA teht. 8: TRIGONOMETRISIIN TEHTÄVIIN YKSIKKÖYMPYRÄT JA MUISTIKOLMIOT VASTAUKSEN PERUSTELUIKSI, MIKÄLI TARPEELLISTA! Vastaukset: 1. a) sin x   1 . Sini on negatiivinen, joten vastauskulmat III ja IV sektoreissa 3 (yksikköympyrä perusteluksi). Kyseessä ei ole muistikolmion kulma, joten käänteissini puolittain: 1 sin 1  x1  0, 6155  2 n 3 tai x2    0, 6155  2 n  2,5261  2 n sin x   b) Yksikköympyrän mukaan negatiivinen kosini, luetaan 45 asteen muistikolmiosta:  cos c)   180 :   1 rad  180  3 1  4 2 2,5  2,5 rad  180  2,5   143, 24 2. a) Sini neg. => vastaukset III ja IV sektoreissa. Käänteissini puolittain, niin saadaan: 5x    0,3528  2 n tai 5 x  6   6     0,3528  2 n 6 6 5 x  0,8764  2 n tai 5 x  3,3124  2 n : 5 5x    0,3528  2 n tai 5 x      0,3528  2 n x1  0,1753  2 2 n tai x2  0, 6625  n 5 5 b) Lukujono on geometrinen ja sen suhdeluku q = 2 an = a1 q n–1 3. a) ⟹ a30 = 1 29 · 2 =134217728 4 Ratkaisu an = a1 q n–1 3 a 1 q = 25 6 a 1 q = 3125 Jaetaan edellinen yhtälö jälkimmäisellä 3 q = 125 || 3 ⟺ q= 5 Sijoitetaan q:n arvo ensimmäiseen yhtälöön 25 1 1 125 a 1 = 25 || : 125 ⟺ a1 = = ⟺ a2 = 5 · = 1 125 5 5 1 Vastaus: a 1 = , a 2 = 1 5 b)  sin( x  )  sin(3 x) 2  x  2  3 x  2 n tai x  x  3x   2 x   x1   4  2  2  2    3 x  2 n  2 n tai x  3x     2 n tai 4 x    n tai x2   8    2 2  2 n n  2  2 n 4. Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä derivaatan nollakohdissa tai tarkasteluvälin päätepisteissä. x 1 f (x) = + cos x ⟹ f ’(x) = – sin x 2 2 3  1 1 – sin x = 0 ⟺ sin x = ⟺ x= +n·2 ∨ x= +n·2 4 4 2 2  Tarkasteluvälillä oleva derivaatan nollakohta: x = 4    f   =  = –1,11072… ≈ –1,111, pienin 2 2  2  1   f = + = 1,26246… ≈ 1,262, suurin 2 4 4 2    f = = 1,11072… ≈ 1,111 2 2 2 Vastaus: Suurin arvo on 1,262 ja pienin arvo –1,111 5. a) Aritmeettinen jono ja aritmeettinen summa: a1  2000m d  50m n  365  a365  2000  (365  1)  50  20200 Sn  365  puuttuu 2000  20200  4051500m  4051,5km 2 b)Jono on geometrinen ja peräkkäisten jäsenten osamäärä q = 2/1 = 4/2 = 2. Ensimmäinen a (1  q n ) 1(1  2 n ) jäsen a1 =1 ja summa s = 4095. Geometrisen jonon summa s = 1 = = (1  q) (1  2) 4095, josta saadaan yhtälö 1-2n =-4095, joka sievenee muotoon 2n = 4096. Ottamalla lg 4096 puolittain logaritmit saadaan n = = 12. lg 2 Vastaus: Jonossa on 12 jäsentä. ' 6. f ( x)  2  2sin 2 x . Ääriarvot derivaatan nollakohdista, joten muodostetaan yhtälö: 2  2sin 2 x  0  2sin 2 x  2  sin 2 x  1  2 x  x  4 n Tutkitaan derivaatan arvoja nollakohdan molemmin puolin: f ´(0)  2  2sin 0  2 posit.   f ´( )  2  2sin(2  )  2  2sin   2 posit.!! 2 2  2  2 n Eli derivaatalla on yksi nollakohta, mutta derivaatta saa sen molemmin puolin positiivisia arvoja. Alkuperäinen funktio f(x) on siis kasvava kaikkialla ja x   4   n ei ole ääriarvokohta, vaan terassikohta, joka toistuu x-akselilla piin välein. 7. h(t )  9 3  (t  2) 9 3  2  cos( )   cos( t  ) 2 2 6 2 2 6 6 3  (t  2)    (t  2) h´(t )   sin( )    sin( ) 2 6 6 4 6 Ääriarvot derivaatan nollakohdista:   4 sin(  (t  2)  )  0 :(  ) 4 6  (t  2) sin( )0 6  (t  2)  (t  2)   0  2 n tai    2 n 6 6 6  (t  2)  0  12 n tai  (t  2)  6  12 n :  t  2  0  12n tai t  2  6  12n t  2  12n tai t  8  12n t oli aika tunteina, joten tässä n täytyy ajatella tavallaan kellotaulun 12:sta tuntina, eli t=2+12n voidaan ajatella, että se on klo 2:00 tai klo 14:00, eli 2 aamulla tai 2 iltapäivällä. Sama tietenkin toiselle vastaukselle. Sijoitetaan nyt alkuperäiseen funktioon ja kokeillaan t=2 tai t=8 kumpi on min ja kumpi max. f(2)=6m, joka on suurempi arvo, eli vesi on korkeimmillaan klo 02:00 tai 14:00 ja korkeus on silloin 6m. 8. Nyt pikkukolmioista voidaan muodostaa, että polun pituus S=a+b Ratkaistaan a ja b kulman alfa avulla: 60 60  sin   a  a sin  100 100  cos   b  b cos  60 100  S ( )   sin  cos   60(sin  ) 1  100(cos  ) 1 Ääriarvot, eli tässä tapauksessa polun pituuden min. ja max. löytyvät derivaatan nollakohdista, joten ei muuta kuin derivoimaan: S´( x)  60(sin  ) 2 cos   100(cos  ) 2 (  sin  )  60 cos  100sin   sin 2  cos 2  Tästä nollakohdat: 60 cos  100sin  100sin  60 cos   0  2 2 sin  cos  cos 2  sin 2  3  60 cos3   100sin 3  :100  cos3   sin 3  5 3 3 3 sin  3 cos   sin  : cos   3   3  tan  tan 1 5 5 cos  5   40,1 3 Heitellään derivaatalle kokeiluarvoja nollakohdan molemmin puolin, jotta nähdään merkkikaaviotarkastelun avulla onko kyseessä polun pituuden S:n minimi vai maksimikohta: 60 cos 30 100sin 30   120  66, 666  53,33 sin 2 30 cos 2 30 60 cos 60 100sin 60 S´(60 )    40  346, 41  306, 41 sin 2 60 cos 2 60 Merkkikaavio on siis mallia: S´(30 )  40,1 S´(x) S(x) - + Ollaan siis löydetty polun pituuden minimikohta, kun polku leikkaa polun A 40,1 asteen kulmassa.