Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 / Syksy 2015 Harjoitus 1 / viikko 37 / loppuviikon kirjalliset Ratkaisuehdotuksia / MS-A0103, MS-A0105 Kirjallinen 1: • Kertaa ja kirjoita ylös Eulerin kaavan tarkka muotoilu. • Etsi ja kirjoita ylös de Moivren kaavan tarkka muotoilu. • Näytä, miten de Moivren kaava seuraa Eulerin kaavasta. • Johda de Moivren kaavan avulla sinin kolminkertaisen kulman kaava sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x . Vastaus • Lähteestä riippuen Eulerin kaavalla voidaan tarkoittaa eri tuloksia. Tässä haetaan nyt Eulerin kaavaa, joka liittyy kompleksilukuihin ja löytyy kurssimonisteesta. Eulerin kaava kirjoitetaan muodossa eiz = cos z + i sin z ∀z ∈ C , missä i2 = −1. Erityisesti Eulerin kaava pätee kaikilla reaaliluvuilla z. • De Moivren kaavan mukaan kaikilla z ∈ C ja n ∈ Z pätee (cos z + i sin z)n = cos(nz) + i sin(nz) , missä i2 = −1. Erityisesti de Moivren kaava pätee kaikilla z ∈ R. • Asetetaan Eulerin kaavassa z = nx (n ∈ Z, x ∈ C) ja käytetään potenssien laskusääntöjä, jolloin einx = (eix )n = ei(nx) ⇔ (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) . Huomaa, että tämä todistus ei tarkoita, että kokonaisluku n voitaisiin korvata millä tahansa reaaliluvulla, sillä kompleksiluvun ei-kokonaislukupotenssi ei ole yksikäsitteisesti määritelty. • Merkitään kompleksiluvun z = a + bi imaginaariosaa =(z) = b. Tällöin saadaan de Moivren kaavan ja trigonometrian peruskaavan avulla sin(3x) = = cos(3x) + i sin(3x) | de Moivren kaava 3 = = (cos x + i sin x) = 3 cos2 x sin x − sin3 x | sin2 x + cos2 x = 1 = 3 sin x − 4 sin3 x . 1 Kirjallinen 2: √ Määritä funktiolle f (x) = 3 1 + x ensimmäisen ja toisen kertaluvun Taylor-polynomit origossa kehitettynä. Kirjoita ensin näkyviin Taylor-polynomin yleinen määritelmä. Kirjoita näkyviin myös derivaattalaskujen välivaiheet. Liitä vastaukseesi kuva (käsin tai koneella piirretty), jossa funktion ja kysyttyjen Taylor-polynomien kuvaajat näkyvät samaan taR paan kuin ensimmäisen ennakkotehtävän MATLAB -kuvassa (animaation pysähdyttyä). Vastaus Funktion f kertaluvun n Taylor-polynomi on yleisesti muotoa Tn (x, x0 ) = n X f (k) (x0 ) k! k=0 (x − x0 )k , missä f (k) (x0 ) on funktion f kertaluvun k derivaatta kohdassa x0 ja f (0) (x0 ) = f (x0 ). √ Lasketaan nyt funktion f (x) = 3 1 + x ensimmäinen ja toinen derivaatta kohdassa x = 0. 1 1 f 0 (x) = (1 + x)−2/3 , f 0 (0) = 3 3 2 2 00 −5/3 00 f (x) = − (1 + x) , f (0) = − 9 9 Koska f (0) = 1, saadaan x 3 x x2 . T2 (x) = 1 + − 3 9 T1 (x) = 1 + 2 1 -4 -2 2 4 -1 -2 -3 Kuva 1: Sinisellä funktio f , jonka kohtaan x = 0 on sovitettu ensimmäisen ja toisen kertaluvun Taylor-polynomit. 2