1. No category

Säätötekniikan perusteet
Luento 2: Järjestelmän matemaattinen malli
19.1.2015
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment
Kertausta viime viikosta
Mitä on säätötekniikka ja mihin sitä
tarvitaan?
Säätöpiiriin liittyviä peruskäsitteitä.
Mitä säädöllä voidaan tehdä?
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment
Mitä säädöltä odotetaan?
Systeemi on stabiili!
Tämän lisäksi:
Kuinka nopea systeemin pitää olla?
Saako lähtösuureessa olla ylitystä, saako se
värähdellä?
Paljonko ylitystä saa olla ja kauanko lähtö saa
värähdellä?
Paljonko oloarvo saa poiketa asetusarvosta?
Häiriönsieto?
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Luennon 2 sisältö:
Järjestelmän matemaattinen malli
Mihin tarvitaan matemaattista mallia?
Miten järjestelmän matemaattinen malli
muodostetaan?
Mikä on tilamalli?
Miten tilamalli muodostetaan?
Miten tilamuuttujat valitaan?
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Mihin säätötekniikassa tarvitaan
matemaattista mallia?
Säätämättömän systeemin analysointiin (stabiilius,
nopeus, ylitys, värähtely, jatkuvuustilan virhe)
Säätösuunnittelu
Säädetyn systeemin analysointiin
Systeemin simulointiin
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Järjestelmän matemaattinen esitys
Matemaattinen malli kuvaa systeemin tulon ja lähdön keskinäisen suhteen.
Klassisessa säätöteoriassa käytetään lineaarisia differentiaaliyhtälöitä, esim.
Jousimassasysteemi, tulona voima F, lähtönä paikka x
b
F-voima
mx (t ) bx (t ) kx (t )
m
k
F (t )
x-paikka
Säiliö, tulona tilavuusvirta q, lähtönä pinnankorkeus h
q [m3/s]
A ht
qt
h
Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden derivaattatermien kertoimet ovat vakioita
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
SISO- ja MIMO-systeemit
MIMO-systeemi (Multiple-input, multiple-output)
Dynaamisella järjestelmällä on yleisesti useita tulo- ja
lähtösignaaleja
MIMO
SISO-systeemi (Single-input, single-output)
Säätöteknisessä mielessä monet järjestelmät voidaan
kuvata yhden tulo- ja yhden lähtösignaalin systeeminä.
SISO
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Matemaattisen mallin
muodostaminen
1. Määrittele systeemi ja sen suureet. Mitkä ovat tulo ja
lähtösuureet?
2. Määritä systeemiä koskevat lainalaisuudet (Ohm,
Kirchhoff, Newton, taseyhtälö)
3. Onko systeemi lineaarinen tai linearisoitavissa? Mitä
oletuksia joudutaan tekemään?
4. Muodosta systeemille differentiaaliyhtälö(t) tai tilamalli
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkkejä dynaamisista systeemeistä
1. Mekaaniset systeemit
Systeemikomponentit lineaarisessa liikkeessä:
F-voima
1. Massa
F
M
Ma
M
d 2x
dt 2
x-paikka
2. Vaimennin
b
F-voima
F
dx
bv b
dt
x-paikka
3. Jousi
k
F-voima
F
x-paikka
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
k x
Esimerkkejä
1. Mekaaniset systeemit
Jousimassasysteemi
Muodostetaan järjestelmälle voimatasapainon yhtälö
(Newton II), jonka mukaan kappaleeseen vaikuttavien
voimien summa = massa * kiihtyvyys
b
Fi
F b
dx
dt
2
kx
M
d xt
dt 2
F-voima
M
k
x-paikka
Systeemille saadaan 2. asteen differentiaaliyhtälö
M x b x k x
F
(ks. Myös harjoitus 1, tehtävä 1 ja noppa: muu materiaali)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkkejä dynaamisista systeemeistä
2. Sähköiset piirit
Systeemikomponentit sähköisissä piireissä:
i-virta
R
1. Vastus
uR
R i
u-jännite
2. Kondensaattori
C
uC
1
C
uL
di
L
dt
i-virta
idt
u-jännite
3. Induktanssi
L
i-virta
u-jännite
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkkejä
2. Sähköiset piirit
RC-piiri
Kirchoff:
ui u R u C
ui
R i (t ) uo
0
Eliminoidaan virta
duc
C
dt
duo
i
C
dt
du
ui R C o u o
dt
du
RC o uo ui
dt
0
RC-piiriä kuvaa 1. asteen differentiaaliyhtälö. (ks. Noppa => Muu
materiaali)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkkejä
2. Sähköiset piirit
RLC-piiri
Kirchoff:
ui u R u L uC
ui
R i L
di
uo
dt
0
Eliminoidaan virta
duc
du
C o
dt
dt
duo
d 2uo
ui RC
LC 2
dt
dt
d 2uo
du
LC 2 RC o uo
dt
dt
i
C
uo
ui
RLC-piiriä kuvaa 2. asteen differentiaaliyhtälö. (ks. Myös noppa =>
muu materiaali)
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Tilamalli
Suuren kertaluvun differentiaaliyhtälöitä on hankala käsitellä.
Tilayhtälötekniikassa differentiaaliyhtälöt pilkotaan useaksi 1.
kertaluvun differentiaaliyhtälöksi, jotka esitetään
differentiaaliyhtälöryhmänä.
Jokainen 1. kertaluvun diffis kuvaa yhden tilamuuttujan
riippuvuuden muista tilamuuttujista ja systeemin tulosta.
Tilamuuttuja voi olla esim. virta, jännite, paikka, nopeus,…
Tilamuuttujaksi valitaan usein systeemin lähtö ja sen
eriasteiset derivaatat
Systeemin kertaluku määrää tilamuuttujien määrän
14
Tilamalli
Systeemiyhtälöt:
Tilayhtälö
Lähtö
x(t ) f (x(t ), u(t ), t )
y (t ) g (x(t ), u(t ), t )
Dynaaminen systeemi
tulot u(t)
lähdöt y(t)
Tilat
x(t)
Aikainvariantin systeemin (ajan suhteen
muuttumattoman) systeemiyhtälöt ovat
xt
f x t ,u t
yt
g x t ,u t
15
Tilamalli
Lineaarisen ja aikainvariantin systeemin systeemiyhtälöt
voidaan esittää muodossa
xt
Ax t
Bu t
yt
Cx t
Du t
Yhden tulon ja yhden lähdön systeemillä (SISO – single
input, single output) tulo ja lähtö ovat skalaareja
xt
Ax t
Bu t
yt
Cx t
Du t
Usein D = 0 eli lähtö ei riipu suoraan tulosta.
16
Esimerkki
Jousi-massa-vaimennin
b
F-voima
M
k
x-paikka
z - paikka
M z bz
kz
F
2. kertaluvun systeemi => 2 tilamuuttujaa
Valitaan tilamuuttujiksi systeemin lähtö ja sen derivaatta eli
massakappaleen paikka ja nopeus
x1 t
zt
x2 t
dz (t )
dt
z (t )
17
Esimerkki
Jousi-massa-vaimennin
Muodostetaan tilayhtälöt eli kirjoitetaan yhtälöt
tilamuuttujien derivaatoille
x1
z
x2
x2
k
z
M
z
b
z
M
1
F
M
k
x1
M
b
x2
M
1
F
M
Systeemin lähtö on y = z = x1
Systeemiyhtälöt ilmoitetaan yleensä matriisimuodossa
0
1
0
x1
x1
k
b
1 u
x2
x2
M
M
M
y
z
x1
1 0
x1
x2
18
Esimerkki
RCL-piiri
Tarkastellaan sivun 13 RLC-piiriä, jota kuvaa 2. asteen
differentiaaliyhtälö
d 2uo
LC 2
dt
RC
duo
dt
uo
ui
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
Esimerkki
RCL-piiri
Sähköisissä piireissä tilamuuttujiksi valitaan usein kondensaattorin jännite
uC ja käämin virta iL (tilamuuttujilla on tällöin fysikaalinen merkitys)
x1
uC
x2
iL
iC
Tilayhtälöt
x1
x2
uo
uo
du o
C
dt
1
x2
C
RC
1
1
Cu o C
uo
uo
ui
LC
LC
LC
RC
1
1
R
1
uo
uo
ui
x2
x1
L
L
L
L
L
LUT Energy Energy Technology |
Electrical Engineering | Environment
Technology
1
ui
L
Esimerkki
RCL-piiri
Lähtö
y
uo
x1
Ja systeemiyhtälöt matriisimuodossa
0
x1
1
L
x2
1
C
R
L
0
1 u ,
L
x1
x2
y
x1
1 0
x2
Tai vielä ‘tiiviimmin’ esitettynä
0
x
1
L
1
C x
R
L
0
1 u
L
,
y
1 0x
Yhteenveto
Mitä pitäisi osata?
Mihin tarvitaan matemaattista mallia?
Miten järjestelmän matemaattinen malli
muodostetaan?
Tilamallin muodostaminen
Mikä on tilamalli?
Miten tilamuuttujat valitaan?
Miten tilamalli muodostetaan?
LUT Energy
Electricity | Energy | Environment