Luento 13
Säätötekniikan perusteet Luento 13: Tilasäätö 13.4.2015 LUT Energy Electricity | Energy | Environment Luennon 13 sisältö Hitaiden aikavakioiden kompensointi PI- ja PIDsäädöllä Tilamallista siirtofunktioksi Tilamallin stabiilius Tilatakaisinkytkentä Säädettävyys Tilaestimaattori Tarkkailtavuus Referenssisignaali tilasäädössä Integroiva säätö LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Prosessin hitaan aikavakion kompensointi PI-säätimellä 2. kertaluvun systeemille G1 s K 1 sT1 1 sT2 voidaan virittää PI-säädin kompensoimalla prosessin hidas napa T2 (T2 > T1). K P 1 sTI GPI s sTI PI-säätimen integrointiaikavakioksi valitaan TI = T2 Nyt avoimen piirin siirtofunktio on GPI s G1 s K P 1 sTI K sTI 1 sT1 1 sT2 LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology KPK sTI 1 sT1 Prosessin hitaiden aikavakioiden kompensointi PID-säätimellä 3. kertaluvun systeemin G2 s K 1 sT1 1 sT2 1 sT3 hitaat aikavakiot T2 ja T3 (T1 < T3 < T2) voidaan kompensoida PIDsäätimellä, valitsemalla integrointiaikavakioksi T2 ja deriviointiaikavakioksi T3. GPID s G2 s K P 1 sTI 1 sTD K 1 sT1 1 sT2 1 sT3 sTI KPK sTI 1 sT1 Huomaa, että PID-säätimen siirtofunktio poikkeaa aiemmin esitetystä. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkki. Prosessin hitaiden napojen kompensointi Tarkastellaan 3. kertaluvun systeemiä 1 0,1s 1 s 1 2 s 1 Säätämättömän takaisinkytketyn systeemin askelvasteessa suuri jatkuvuustilan virhe. Asettumisaika (2 %) noin 5 s. Valitaan säätäjäksi PID-säädin, jolla saadaan jatkuvuustilan virhe kompensoitua. Valitaan säätimen aikavakioiksi TI = 2 s ja TD = 1 s, jolloin saadaan prosessin hitaat aikavakiot kompensoitua. Step Response 0.7 System: Gc Time (seconds): 4.92 Amplitude: 0.518 0.6 0.5 Amplitude G s 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology 1 2 3 4 5 Time (seconds) 6 7 8 9 Esimerkki. Prosessin hitaiden napojen kompensointi Root Locus Valitaan säätäjän vahvistukseksi aluksi KP = 1 Havaitaan kuvaajista, että systeemi on hitaampi kuin ennen säätöä. Havaitaan lisäksi juuriurasta ja Bodesta, että vahvistusta on varaa kasvattaa. 3 Imaginary Axis (seconds-1) 2 1 0 -1 Step Response -2 1 System: G_tot1 Settling time (seconds): 7.52 0.9 -3 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Real Axis (seconds -1) 0.8 Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 87.1 deg (at 0.499 rad/s) 0.7 20 Magnitude (dB) 0 0.5 0.4 -20 -40 -60 -80 0.3 -100 -90 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 12 Time (seconds) Phase (deg) Amplitude 0.6 -135 -180 LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology -1 10 0 10 1 10 Frequency (rad/s) 2 10 3 10 Esimerkki. Prosessin hitaiden napojen kompensointi Valitaan säätäjän vahvistukseksi KP = 10 Prosessin asettumisaika on alle 1 s, ylitystä alle 5 %. Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/s) , Pm = 65.5 deg (at 4.55 rad/s) Step Response 40 1.4 System: G_tot1 Peak amplitude: 1.04 Overshoot (%): 4.32 At time (seconds): 0.63 Magnitude (dB) 1.2 20 System: G_tot1 Settling time (seconds): 0.843 -40 -80 -90 0.6 0.4 0.2 0 -20 -60 0.8 Phase (deg) Amplitude 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Time (seconds) 1 1.2 1.4 -135 -180 10 -1 10 0 1 10 Frequency (rad/s) LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology 2 10 10 3 Tilamalli Lineaarisen, aikainvariantin SISO-systeemin (yksi tulo ja yksi lähtö) dynamiikkaa kuvaavat systeemiyhtälöt (tilayhtälö ja lähtö) tilamalli voidaan kirjoittaa xt Ax t Bu t yt Cx t Du t Dynaaminen systeemi tulo u(t) Tilat x(t) lähtö y(t) LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilamallista siirtofunktioksi Laplace-muunnetaan systeemiyhtälöt xt Ax t Bu t yt Cx t Du t Jolloin saadaan sX s Y s AX s CX s BU s DU s LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilamallista siirtofunktioksi Ratkaistaan tilayhtälöstä X(s) sX s AX s BU s ( sI A ) X s B U s X s ( sI A ) 1 B U s ja sijoitetaan lähdön yhtälöön Y s CX s DU s Y s C( sI A) 1 BU s DU s Y s C( sI A) 1 B D U s Siirtofunktio on siis Y s Gs C(sI A) 1 B D U s Tilamallin stabiilius Siirtofunktioita käsitellessä todettiin, että systeemin stabiilius määräytyy systeemin napojen sijainnista. Ja navathan ovat siirtofunktion nimittäjäpolynomin eli karakteristisen polynomin nollakohdat. Edellisellä kalvolla johdimme tilayhtälön ja siirtofunktion yhteydeksi Y s Gs C(sI A) 1 B D U s Yhtälöstä voidaan päätellä, että siirtofunktion nimittäjä on (sI - A) => Systeemin navat ja täten myös stabiilius määräytyvät tilamatriisista A. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilamallin stabiilius Tilayhtälöiden yhteydessä ei yleensä puhuta systeemin navoista, kuten siirtofunktiolla, vaan systeemin ominaisarvoista. Systeemin karakteristinen yhtälö on det( I A ) 0 Josta voidaan ratkaista ominaisarvot . LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkki Tarkastellaan RLC-piiriä, jonka tilamalli on iL uC RL L 1 C 1 iL L 1 uC RC C iL y 0 1 uc a) Muodosta systeemille siirtofunktio. b) Määritä systeemin ominaisarvot. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology 1 L u 0 U RL iL iL uC RC x1 di dt x2 uC x2 duC dt x1 x2 di dt L C du C dt RL i L L iL C RL x1 L 1 x1 C uC uC L u L uC RC C 1 1 x2 u L L 1 x2 RC C LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilatakaisinkytkentä Tilatakaisinkytkennässä muodostetaan nimensä mukaisesti takaisinkytkentä systeemin tiloista x(t). Säätölaki on x1 x2 u Kx k1 k 2 kn xn Millainen lohkokaavio/simulointidiagrammi takaisinkytketylle systeemille voidaan piirtää? LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilatakaisinkytkentä Vertaa tilatakaisinkytkennän säätölakia esim. PIDsäätimeen. x1 x2 u Kx k1 k 2 kn xn Mitä säädin käytännössä tekee? Mitä mallista puuttuu, jos verrataan aiemmin tarkasteltuihin säätöpiireihin? LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilatakaisinkytkentä Sijoitetaan säätölaki u (t ) x t Ax t Bu t xt Ax t B Kx(t ) tilayhtälöön Kx t A BK x t Säädetyn systeemin karakteristinen yhtälö on nyt det I ( A BK ) 0 Määrätään halutut ominaisarvot ja verrataan niitä edelliseen yhtälöön => Saadaan laskettua K. Miten halutut ominaisarvot määräytyvät? Tilatakaisinkytkentä Miten määrätään halutut navat? Säädetyn systeemin ominaisarvot eli navat määrätään sen perusteella, miten systeemin halutaan käyttäytyvän. Saako olla ylitystä ja kuinka paljon? Kuinka nopea systeemin täytyy olla? Saadaan halutut vaimennusvakio ja ominaiskulmataajuus ja näiden avulla napojen sopiva sijainti kompleksitasossa. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Säädettävyys Jotta systeemiä voidaan säätää tilatakaisinkytkennän avulla, on sen oltava säädettävä. Säädettävyys tarkoittaa sitä, että systeemin tilat voidaan säätösignaalilla u saada mistä hyvänsä alkutilasta x0 mihin tahansa haluttuun tilaan x. Systeemi on täydellisesti säädettävä jos ja vain jos säädettävyysmatriisin Qc B AB A 2 B ... A n 1B rangi on n (n on systeemin kertaluku) eli matriisissa on n lineaarisesti riippumatonta riviä tai saraketta. Säädettävyys SISO – systeemin säädettävyys voidaan käytännössä todeta, jos säädettävyysmatriisin determinantti on nollasta poikkeava det Q c 0 Täydellisesti säädettävän systeemin ominaisarvot voidaan siirtää tilatakaisinkytkennällä mihin tahansa kohtaan kompleksitasossa. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkki Tarkastellaan nopeussäädettyä DC-moottoria, jossa on vakio ankkurijännite ja säädettävä magnetointijännite. La Ra ua= vakio J La e Ra K u Moottorille voidaan tehdä seuraavanlainen lohkokaavio u K1 uk 1 Lk s+Rk ik K LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology T 1 Js Esimerkki Moottorille voidaan muodostaa tilamalli x2 K1 u Lk Rk x1 Lk x1 K x1 J Tilat on valittu niin, että x1 on magnetointivirta ik ja x2 on pyörimisnopeus . Tulosignaali u on magnetointijännite u. Moottorin parametrit ovat Rk 3, Lk 1, K / J 2, K1 • 1. Tilayhtälö matriisimuodossa x 3 0 2 0 x 1 0 u LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkki Moottorin karakteristinen yhtälö on det I A det 0 3 0 0 2 0 det 3 0 2 3 0 Josta ominaisarvoiksi saadaan 1 2 0 3 Muutetaan systeemin dynamiikkaa tilatakaisinkytkennällä niin, että säädetyn systeemin ominaisarvoiksi saadaan 1 2 2 2 LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Esimerkki Takaisinkytketyn systeemin karakteristinen yhtälö on 0 det I ( A BK ) 0 2 0 3 0 2 0 0 3 k1 2k 2 3 0 2 0 k1 k2 0 0 1 k1 0 3 k1 2 0 Ja haluttu karakteristinen yhtälö on 2 2 2 4 4 LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology 0 k2 k2 0 0 Esimerkki Laitetaan takaisinkytketyn systeemin karakteristinen ja haluttu karakteristinen yhtälö yhtä suuriksi ja ratkaistaan tilatakaisinkytkennän kertoimet 2 3 k1 2k 2 2 4 4 Tilatakaisinkytkennän kertoimiksi saadaan k1 1 k2 2 Matlabissa kertoimien määrittämiseen voi käyttää komentoa acker(A,B,p), missä A ja B ovat tilamatriiseja ja p on vektori halutuista navoista. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilaestimaattori Systeemin tiloja ei aina voida mitata. Tällöin tilat lasketaan systeemin tulon ja lähdön avulla käyttäen tilaestimaattoria. Systeemin tilat lasketaan yhtälöstä xˆ Axˆ Bu L y Cxˆ Du D on useimmiten 0 Mikäli systeemi on tarkkailtava, voidaan L valita niin, että estimaattorilla on haluttu dynamiikka. Estimaattorin dynamiikalla tarkoitetaan sitä, kuinka nopeasti estimointivirhe saadaan poistettua. Tilaestimaattorin dynamiikka on suunniteltava säädön dynamiikkaa nopeammaksi, jotta säätölaki määräisi koko systeemin dynamiikan. LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology Tilasäätö Tilasäätö sisältää takaisinkytkennän systeemin lähdöstä sekä tilaestimaattorin. x(t) Prosessi x Ax bu Säätölaki ensori -K Sensori c y(t) Estimaattori x Ax bu L y cx LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology xt Ax t Bu t yt Cx t Du t Kun y Cxˆ Mallia ei tarvitse korjata Tarkkailtavuus Jotta systeemin tiloja voidaan estimoida tilaestimaattorilla, on sen oltava tarkkailtava. Tarkkailtavuus tarkoittaa sitä, että systeemin tilat x hetkellä t voidaan laskea, kun tunnetaan lähtö y ja u ennen ajanhetkeä t. Systeemi on täydellisesti tarkkailtava, jos ja vain jos tarkkailtavuusmatriisin Qo T T T C | A C | A T 2 T C | ..... A T n 1 CT rangi on n (n on systeemin kertaluku) eli matriisissa on n lineaarisesti riippumatonta riviä tai saraketta. SISOsysteemillä käytännössä det Q o 0 Referenssisignaali tilasäädössä Jos tilasäätöön halutaan lisätä referenssisignaali, säätölaki on ut ar t Kx t Parametri a viritetään niin, että systeemin jatkuvuustilan vahvistukseksi saadaan 1. Gs Y s U s 0 0 C sI A 1 B s 0 x' = Ax+Bu y = Cx+Du a Step 0 a G0 a x State-Space K K*u LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology 1 G0 C C Scope Integroiva säätö Tilatakaisinkytkentä on käytännössä P-säätö. Jos systeemin lajityyppi on 0 (ei napoja origossa), säädettyyn systeemiin jää jatkuvuustilan virhettä. Säätösysteemiin voidaan lisätä integroiva säätö, joka näkyy tilayhtälössä ylimääräisenä tilamuuttujana xI xI cx r xI e missä r on referenssisignaali ja e on virhe. Tilayhtälö ja säätölaki ovat nyt xI x u 0 c xI 0 A x K1 K 0 xI x 0 u b 1 0 r LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology t 0 edt Integroiva säätö Integroivalle säädölle voidaan tehdä kuvan mukainen simulointimalli x_I' r 1 s x_I Integrator -KK_1 u x' = Ax+Bu y = Cx+Du State-Space K_0 K*u LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology x C C Scope Mitä pitäisi osata luennosta 13? Hitaiden aikavakioiden kompensointi PI- ja PIDsäädöllä Tilamallista siirtofunktioksi Tilamallin stabiilius Tilatakaisinkytkentä Säädettävyys Tilaestimaattori Tarkkailtavuus Referenssisignaali tilasäädössä Integroiva säätö LUT Energy Energy Technology | Electrical Engineering | Environment Technology
© Copyright 2024