1. No category

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET
Tapani Matala-aho
9. joulukuuta 2015
Sisältö
1 Johdanto
3
2 Merkintöjä
4
2.1
Lukujoukot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Sekalaisia merkintöjä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Porrasfunktiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Tärkeitä kaavoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Kokonaislukurengas ℤ
9
3.1
Jaollisuus, alkuluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Jakoalgoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Eukleideen algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Kongruenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.5
Euler-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.6
Eräs kongruenssiryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.7
Kiinalainen jäännöslause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4 Kertomat, binomikertoimet
29
4.1
Palautuskaava, Pascalin kolmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2
𝑝-valuaatio kokonaisluvuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3
Binomisarja, Binomikehitelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n)
38
5.1
Perusteita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.2
Wolstenholmen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.3
(𝑝 − 1)! ja 𝑎𝑝−1 (mod 𝑝2 )/EI kokeeseen . . . . . . . . . . . . . . .
53
6 Polynomien kongruenssi
56
1
6.1
Sovelluksia lukujen kongruensseihin . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Summausmenetelmiä
61
63
7.1
Polynomialgebran sovelluksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
7.2
Teleskoopit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8 Fibonaccin ja Lucasin luvut
66
8.1
Rekursio ja Binet’n kaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.2
Matriisiesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.3
Generoiva sarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.4
Laajennus negatiivisiin indekseihin/Todistuksia EI kysytä kokeessa 75
8.5
Jaollisuustuloksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.6
𝑓𝑛 (mod 𝑘) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
8.7
𝑓𝑛 (mod 𝑝) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
9 Lucasin jonot/EI kysytä kokeessa
9.1
84
Rekursio ja ratkaisu yritteellä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Antiikin lukuja
84
88
10.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
10.2 Pythagoraan luvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
10.2.1 Geometrinen ratkaisu/Ei tule kokeeseen
. . . . . . . . . .
91
10.3 Heronin luvut/Ei tule kokeeseen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
11 Irrationaaliluvuista
94
12 Ketjumurtoluvut/EI kysytä kokeessa
101
13 Bernoullin luvut/Ei tule kokeeseen
105
13.1 Generoiva funktio ja sarja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2
13.2 Palautuskaava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
13.3 Potenssisummia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
14 𝑝-valuaatio/Todistuksia EI kysytä kokeessa
111
15 Bernoullin lukujen jaollisuudesta/Ei tule kokeeseen
114
16 Työkaluja
119
16.1 Hieman polynomialgebraa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
16.1.1 Polynomien nollakohdista . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
16.2 Lisää polynomialgebraa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
16.2.1 Symmetriset peruspolynomit . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
16.3 Formaaleista potenssisarjoista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
17 Osamääräkunta/EI kysytä kokeessa
131
3
LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES
802328A Lukuteorian perusteet (5 op) [=Aikaisempi Lukuteoria I (5op)]
Luennoilla tarkastelemme matematiikan ja erityisesti lukuteorian tutkimuksessa usein esiintyvien lukujen aritmeettisia ominaisuuksia sekä aiheeseen liittyviä
menetelmiä. Tutkittavia lukuja ovat esimerkiksi binomikertoimet, ketjumurtoluvut, potenssisummat sekä eräät matemaatikkojen Bernoulli, Fibonacci, Heron,
Lucas, Neper, Pythagoras, Wilson ja Wolstenholme mukaan nimitetyt luvut. Sovellettavista työkaluista mainittakoon generoivat sarjat, irrationaalisuustarkastelut, matriisiesitykset, rationaalilukujen ja polynomien kongruenssit, rekursiot ja
teleskoopit.
Pohjatietoina oletetaan 1. vuoden kurssit, erityisesti Lukuteoria ja ryhmät.
Aluksi tosin kerrataan nopesti ilman todistuksia kurssin Lukuteoria ja ryhmät
jaollisuuteen ja kongruenssiin liittyviä tuloksia, kappaleessa 3.
4
1
Johdanto
Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku,
vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi
nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä.
LÄHTEITÄ:
G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers.
Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications.
Number Theory Web American Mathematical Monthly
5
2
Merkintöjä
2.1
Lukujoukot
ℕ = {0, 1, 2, . . . , 𝐺𝑂𝑂𝐺𝑂𝐿10 , . . .} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}.
ℙ = {2, 3, 5, 7, 11, . . .} = {alkuluvut}.
ℤ = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = {kokonaisluvut}.
ℤ+ = {1, 2, 3, . . .} = ℕ∖{0} = {positiiviset kokonaisluvut}.
ℤ− = {−1, −2, −3, . . .} = ℤ∖ℕ = {negatiiviset kokonaisluvut}.
ℚ = {𝑚
∣ 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ+ } = {rationaaliluvut}.
𝑛
ℝ = {𝑥 ∣ 𝑥 =
∑∞
𝑘=𝑙
𝑎𝑘 10−𝑘 , 𝑙 ∈ ℤ; 𝑎𝑘 ∈ {0, . . . , 9}} = {reaaliluvut }.
ℂ = ℝ(𝑖) = {𝑎 + 𝑖𝑏∣ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑖2 = −1} = { kompleksiluvut}
ℂ ∖ ℚ = { Irrationaaliluvut }.
ℤ≥𝑚 = {𝑘 ∈ ℤ∣ 𝑘 ≥ 𝑚}. ℝ≤0 = {𝑟 ∈ ℝ∣ 𝑟 ≤ 0}, ...
ℚ∗ = ℚ ∖ {0}, ℝ∗ = ℝ ∖ {0}, ℂ∗ = ℂ ∖ {0},
2.2
Sekalaisia merkintöjä
Olkoot 𝑎, 𝑏 lukuja sekä 𝐴, 𝐽 lukujoukkoja:
𝑎𝐽 + 𝑏 = {𝑎𝑗 + 𝑏 ∣ 𝑗 ∈ 𝐽}
𝑎𝐽 = {𝑎𝑗 ∣𝑗 ∈ 𝐽}
𝐴𝐽 = {𝑎𝑗 ∣𝑎 ∈ 𝐴, 𝑗 ∈ 𝐽}
ESIM: 𝐽 = ℤ, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ+ , tällöin merkitään
𝑏 = 𝑛ℤ + 𝑏,
6
joka on jakojäännösluokka (mod n) ja
ℤ/𝑛ℤ = {𝑏 ∣ 𝑏 ∈ {0, 1, . . . , 𝑛 − 1}},
joka on jakojäännösrengas (mod 𝑛).
∃!
⇔ ∃ täsmälleen yksi.
𝐴 ⫋ 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊆ 𝐵 ja 𝐴 ∕= 𝐵.
#𝐴 = ∣𝐴∣ = Joukon 𝐴 alkioiden lukumäärä.
Olkoon 𝐴 = {𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 }, tällöin
∑
𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑎1 ) + ... + 𝑓 (𝑎𝑚 ),
𝑎∈𝐴
∏
𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑎1 ) ⋅ ⋅ ⋅ 𝑓 (𝑎𝑚 ).
𝑎∈𝐴
Jos 𝐴 = ∅, niin
∑
𝑓 (𝑎) = 0,
∏
𝑓 (𝑎) = 1
𝑎∈𝐴
𝑎∈𝐴
(tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli"
∑
𝑓 (𝑑) = 𝑓 (𝑑1 ) + ... + 𝑓 (𝑑𝑘 ),
𝑑∣𝑛
missä 𝑑𝑖 ∈ ℤ+ ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli"
∑
𝑓 (𝑝) =
𝑝∣𝑛
∑
𝑓 (𝑝).
𝑝∣𝑛,𝑝∈ℙ
"Tulo n. alkutekijöiden yli"
∏
𝑝∣𝑛
𝑓 (𝑝) =
∏
𝑓 (𝑝).
𝑝∣𝑛,𝑝∈ℙ
7
2.3
Porrasfunktiot
Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio)
⌊⌋:ℝ→ℤ
saadaan asettamalla
⌊𝑥⌋ = [𝑥] = max{𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑛 ⩽ 𝑥}
aina, kun 𝑥 ∈ ℝ.
Esimerkki 1. Jos 𝑥 ∈ ℝ≥0 , niin tällöin ⌊𝑥⌋ on 𝑥:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi
⌊−1.2⌋ = −2.
Määritelmä 2.2. Kattofunktio
⌈⌉:ℝ→ℤ
saadaan asettamalla
⌈𝑥⌉ = min{𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑥 ≤ 𝑛}
aina, kun 𝑥 ∈ ℝ.
Lause 2.1. Olkoon 𝑥 ∈ ℝ muotoa
𝑥 = 𝑘 + 𝑐,
𝑘 ∈ ℤ, 0 ≤ 𝑐 < 1.
(2.1)
Tällöin
𝑘 = ⌊𝑥⌋.
(2.2)
Edelleen
⌈𝑥⌉ = −⌊−𝑥⌋
⌊𝑥⌋ ≤ 𝑥 < ⌊𝑥⌋ + 1
∀𝑥 ∈ ℝ,
∀𝑥 ∈ ℝ
(2.3)
(2.4)
8
⌊𝑥 + 𝑘⌋ = ⌊𝑥⌋ + 𝑘
∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑘 ∈ ℤ,
⌊𝑥⌋ + ⌊𝑦⌋ ≤ ⌊𝑥 + 𝑦⌋
⌊𝑥⌋⌊𝑦⌋ ≤ ⌊𝑥𝑦⌋
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ,
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ≥0 .
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Todistus: Luennolla (2.2), loput laskareissa.
Merkintä:
{𝑥} = 𝑥 − ⌊𝑥⌋.
(2.8)
0 ≤ {𝑥} < 1
(2.9)
Huomataan, että
ja että {𝑥} antaa positiivisen luvun 𝑥 ∈ ℝ+ desimaaliosan.
Esimerkki 2.
{1.2} = 0.2
(2.10)
{−1.2} = 0.8
(2.11)
mutta
9
2.4
Tärkeitä kaavoja
𝑛
∑
𝑘=0
𝑛
∑
𝑘=0
𝑎𝑘 =
𝑘=
𝑛(𝑛 + 1)
;
2
𝑎𝑛+1 − 1
,
𝑎−1
𝑛 ( )
∑
𝑛 𝑘
𝑡 = (1 + 𝑡)𝑛 ,
𝑘
𝑘=0
(2.12)
𝑎 ∕= 1;
(2.13)
𝑛 ∈ ℕ.
(2.14)
𝑎𝑛 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑎 + 1).
𝑎𝑛 + 1 = (𝑎 + 1)(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 + ⋅ ⋅ ⋅ − 𝑎 + 1),
2 ∤ 𝑛.
𝐴𝑛 − 𝐵 𝑛 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴𝑛−1 + 𝐴𝑛−2 𝐵 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝐴𝐵 𝑛−2 + 𝐵 𝑛−1 ).
(2.15)
(2.16)
(2.17)
10
3
Kokonaislukurengas ℤ
3.1
Jaollisuus, alkuluvut
Määritelmä 3.1. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. Tällöin
⇔
𝑏∣𝑎
∃𝑐 ∈ ℤ :
𝑎 = 𝑏𝑐.
(3.1)
Kun 𝑏∣𝑎, niin 𝑏 jakaa (divides) 𝑎:n eli 𝑏 on 𝑎:n tekijä (factor) eli 𝑎 on 𝑏:n monikerta
(multiple). Käytetään merkintää 𝑏 ∤ 𝑎, kun 𝑏 ei jaa 𝑎:ta.
Lause 3.1. Jaollisuuden laskusääntöjä.
Olkoot 𝑘, 𝑚, 𝑛, 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ. Tällöin
±1∣𝑘,
0∣𝑘
±𝑘∣𝑘;
⇒
(3.2)
𝑘 = 0;
𝑘∣0;
𝑘∣1
⇒
𝑘 = ±1;
𝑘∣𝑚, 𝑚∣𝑛
𝑘∣𝑚, 𝑘∣𝑛
𝑘∣𝑚, 𝑘∣𝑛
(3.4)
⇒
𝑚∣𝑛, 𝑛∣𝑚
⇒
⇒
(3.3)
⇒
(3.5)
𝑛 = ±𝑚;
(3.6)
𝑘∣𝑛;
(3.7)
𝑘∣𝑟𝑚 + 𝑠𝑛;
(3.8)
𝑘∣𝑚 ± 𝑛;
(3.9)
11
⇒
𝑘∣𝑚, 𝑘∣𝑛
𝑘∣𝑚
⇒
𝑘∣𝑚ℎ ,
𝑘 2 ∣𝑚𝑛;
𝑘 ℎ ∣𝑚ℎ ,
(3.10)
∀ℎ ∈ ℤ+
(3.11)
Huom 1. Sääntö 3.5 otetaan aksiomiksi, sillä sen todistamiseen tarvitaan itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksia. Katso myöhemmin esitettävä renkaan yksikköryhmä.
Todistus. Kohta (3.6): Ehdoista 𝑚∣𝑛∣𝑚 saadaan
𝑛 = ℎ𝑚 = ℎ𝑙𝑛 ℎ, 𝑙 ∈ ℤ.
(3.12)
Tapaus 𝑛 ∕= 0. Tällöin
(1 − ℎ𝑙)𝑛 = 0
⇒
ℎ𝑙 = 1
⇒
⇒
ℎ = 𝑙 = ±1
𝑛 = ±𝑚.
(3.13)
(3.14)
Tapaus 𝑛 = 0. Koska 𝑛∣𝑚, niin
0∣𝑚
⇒
𝑚=0
⇒
𝑛 = ±𝑚.
(3.15)
Esimerkki 3.
0∣0,
0 ∤ 𝑎 ∕= 0.
(3.16)
Merkintöjä: Olkoot 𝑑, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑑 ≥ 2, tällöin
𝑑𝑠 ∣∣𝑛 ⇔ 𝑑𝑠 ∣𝑛 𝑗𝑎 𝑑𝑠+1 ∤ 𝑛,
𝑠 ∈ ℕ.
(3.17)
Olkoon 𝑘 ∈ ℤ, tällöin
𝑘ℤ = {𝑘𝑎∣ 𝑎 ∈ ℤ} =
(3.18)
𝑘:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli 𝑘:n monikerrat.
12
Esimerkki 4.
34 ∣∣162,
1ℤ = ℤ,
0ℤ = {0}.
(3.19)
Määritelmä 3.2. Olkoon 𝑞 ∈ ℤ annettu ja olkoon 𝑑∣𝑞, 𝑑 ∈ ℤ. Jos 𝑑 ∈ {1, −1, 𝑞, −𝑞},
niin 𝑑 on luvun 𝑞 triviaali tekijä. Jos 𝑑 ∈
/ {1, −1, 𝑞, −𝑞}, niin 𝑑 on luvun 𝑞 aito
tekijä.
Määritelmä 3.3. Luku 𝑞 ∈ ℤ on jaoton (irreducible) ⇔ Jos 𝑑∣𝑞, niin 𝑑 = ±1
tai 𝑑 = ±𝑞.
Siten jaottomalla kokonaisluvulla 𝑞 on vain triviaalit tekijät 1, −1, 𝑞, −𝑞.
Määritelmä 3.4. Luku 𝑝 ∈ ℤ, 𝑝 ≥ 2 on alkuluku (prime) ⇔
Jos 𝑑∣𝑝, niin 𝑑 = ±1 tai 𝑑 = ±𝑝.
Merkintä: Alkulukujen joukko
ℙ = {𝑝∣ 𝑝 𝑜𝑛 𝑎𝑙𝑘𝑢𝑙𝑢𝑘𝑢}.
Siten 𝑝 ∈ ℙ ⇔ 𝑝 on jaoton ja 𝑝 ≥ 2, joten
ℙ = {𝑝∣ 2, 3, 5, 7, 11, ..., 101, ...}.
Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor).
Määritelmä 3.5. Luku 𝑛 ∈ ℤ, on yhdistetty (composite) luku ⇔
𝑛:llä on ainakin 2 alkutekijää.
Esimerkki 5. −4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. −3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton.
Määritelmä 3.6. Luvun 𝑛 ∈ ℤ≥2 esitys
𝑛 = 𝑝𝑟11 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑝𝑟𝑡 𝑡 ,
𝑝𝑖 ∈ ℙ,
𝑟𝑖 ∈ ℤ+
(3.20)
on luvun 𝑛 luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization).
13
Jos, 𝑚/𝑛 ∈ ℚ∗ , niin
𝑚
= 𝑝𝑟00 𝑝𝑟11 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑝𝑟𝑡 𝑡 ,
𝑛
𝑝𝑖 ∈ ℙ,
𝑝0 = −1 𝑟𝑖 ∈ ℤ.
(3.21)
Esimerkki 6.
40
23 5
= 7 = 2−4 51
128
2
−1 = (−1)1 20 30 ,
3.2
(3.22)
Jakoalgoritmi
Lause 3.2. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ja 𝑏 ∕= 0. Tällöin
∃! 𝑞 ∈ ℤ ja ∃! 𝑟 ∈ ℕ :
0 ≤ 𝑟 < ∣𝑏∣.
𝑎 = 𝑞𝑏 + 𝑟,
(3.23)
Kun 𝑏 ∈ ℤ+ , niin
𝑞=
⌊𝑎⌋
𝑏
.
(3.24)
Esimerkki 7. 𝑏 = 3,
𝑎 = −13 = (−5) ⋅ 3 + 2,
𝑎 = 13 = 4 ⋅ 3 + 1,
⌊𝑎⌋
𝑞 = −5, 𝑟 = 2,
𝑞 = 4, 𝑟 = 1,
𝑏
= −5
(3.25)
⌊𝑎⌋
=4
(3.26)
𝑏
Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku 𝑎 luvulla 𝑏, on jakoalgoritmista saatu luku 𝑟
jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) 𝑎/𝑏 kokonaisosa (integral part)
on luku 𝑞, kun 𝑎/𝑏 ≥ 0 ja 𝑏 ≥ 1.
Määritelmä 3.8. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ annettu. Tällöin luku 𝑑 ∈ ℕ on lukujen 𝑎 ja 𝑏
suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli 𝑑 =syt(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏) mikäli
𝑑∣𝑎 ja 𝑑∣𝑏;
𝑐∣𝑎 ja 𝑐∣𝑏
[𝑌 𝑇 ]
⇒
𝑐∣𝑑.
[𝑆]
14
Jos (𝑎, 𝑏) = 1, niin sanotaan, että 𝑎 ja 𝑏 ovat keskenään jaottomia (relatively
prime) ja merkitään 𝑎 ⊥ 𝑏.
Esimerkki 8. a)
23 ⊥ 32
⇔ (23, 32) = 1
(3.27)
b)
(0, 𝑎) = ∣𝑎∣ ∀𝑎 ∈ ℤ,
(3.28)
(0, 0) = 0.
(3.29)
erityisesti
HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, että 𝑑 ∈ ℤ+ , jolloin
(0, 0) ∕ ∃ (Muutoin saadaan samat tulokset).
Määritelmä 3.9. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ annettu. Tällöin luku 𝑓 ∈ ℕ on lukujen 𝑎 ja
𝑏 pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli 𝑓 =pyj[𝑎, 𝑏] = [𝑎, 𝑏] mikäli
𝑎∣𝑓
ja 𝑏∣𝑓 ;
𝑎∣𝑔
ja 𝑏∣𝑔
[𝑌 𝐽]
⇒
𝑓 ∣𝑔.
[𝑃 ]
Esimerkki 9.
[0, 0] = 0
(3.30)
Lause 3.3. Olkoot
𝑎=
𝑚
∏
𝑖=1
𝑝𝑟𝑖 𝑖 ,
𝑏=
𝑚
∏
𝑝𝑠𝑖 𝑖 ,
𝑝𝑖 ∈ ℙ, 𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 ∈ ℕ.
𝑖=1
Tällöin
syt(𝑎, 𝑏) =
𝑚
∏
min(𝑟𝑖 ,𝑠𝑖 )
𝑝𝑖
,
(3.31)
𝑖=1
pyj(𝑎, 𝑏) =
𝑚
∏
max(𝑟𝑖 ,𝑠𝑖 )
𝑝𝑖
.
(3.32)
𝑖=1
15
Esimerkki 10. Olkoot 𝑎 = 3 ⋅ 52 ⋅ 7,
𝑏 = 32 ⋅ 5 ⋅ 7, nyt
𝑠𝑦𝑡(𝑎, 𝑏)𝑝𝑦𝑗(𝑎, 𝑏) = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7 = 𝑎𝑏.
(3.33)
Lause 3.4. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ+ , tällöin
𝑎𝑏 = syt(𝑎, 𝑏)pyj(𝑎, 𝑏) = (𝑎, 𝑏)[𝑎, 𝑏].
(3.34)
TOD: (Harj.) Osoita ensin, että
min(𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 ) + max(𝑟𝑖 , 𝑠𝑖 ) = 𝑟𝑖 + 𝑠𝑖 .
3.3
(3.35)
Eukleideen algoritmi
Jakoalgoritmin nojalla saadaan
E.A.=Eukleideen algoritmi.
E.A. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ+ annettu ja 1 ≤ 𝑏 < 𝑎.
𝑟0 = 𝑎, 𝑟1 = 𝑏
0 ≤ 𝑟1 < 𝑟0
𝑟0 = 𝑞1 𝑟1 + 𝑟2
..
.
0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1
𝑟𝑘 = 𝑞𝑘+1 𝑟𝑘+1 + 𝑟𝑘+2
..
.
0 ≤ 𝑟𝑘+2 < 𝑟𝑘+1
𝑟𝑛−2 = 𝑞𝑛−1 𝑟𝑛−1 + 𝑟𝑛
0 ≤ 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1
∃𝑛∈ℕ:
𝑟𝑛 ∕= 0, 𝑟𝑛+1 = 0
𝑟𝑛−1 = 𝑞𝑛 𝑟𝑛
𝑟𝑛 = syt(𝑎, 𝑏).
Tässä 𝑛 = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee
𝑛 ≤ 𝑎 − 1.
(3.36)
16
Myöhemmin todistetaan Fibonaccin lukujen avulla, että
𝑛 ≤ log 𝑎/ log((1 +
√
5)/2)).
(3.37)
Asetetaan nyt
⎛
𝑅𝑘 = ⎝
𝑟𝑘
𝑟𝑘+1
⎞
⎛
⎠ , 𝑄𝑘 = ⎝
⎞
1
⎠ , 𝑘 ∈ ℕ,
0
𝑞𝑘
1
(3.38)
jolloin
⎛
det 𝑄𝑘 = −1,
𝑄𝑘 −1 = ⎝
0
1
1 −𝑞𝑘
⎞
⎠.
(3.39)
Nähdään, että
E.A. ⇔ 𝑅𝑘 = 𝑄𝑘+1 𝑅𝑘+1 , ∀𝑘 = 0, . . . , 𝑛 − 1,
(3.40)
𝑅0 = 𝑄1 𝑄2 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑄𝑘 𝑅𝑘 .
(3.41)
jolloin pätee
Merkitään
⎛
𝑆0 = ⎝
𝑠0 𝑡0
𝑠1 𝑡1
⎞
⎛
⎠=⎝
1 0
0 1
⎞
⎠
(3.42)
ja
⎛
𝑠𝑘
𝑡𝑘
⎞
⎠ = 𝑄𝑘 −1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑄2 −1 𝑄1 −1 ,
𝑆𝑘 = ⎝
𝑠𝑘+1 𝑡𝑘+1
(3.43)
𝑅𝑘 = 𝑆𝑘 𝑅0 .
(3.44)
𝑆𝑘+1 = 𝑄−1
𝑘+1 𝑆𝑘
(3.45)
jolloin
Nyt
eli
⎛
⎝
⎛
⎞⎛
⎞
0
1
𝑠𝑘
𝑡𝑘
⎠=⎝
⎠⎝
⎠=
𝑡𝑘+2
1 −𝑞𝑘+1
𝑠𝑘+1 𝑡𝑘+1
𝑠𝑘+1 𝑡𝑘+1
𝑠𝑘+2
⎞
17
⎛
⎝
𝑠𝑘+1
⎞
𝑡𝑘+1
𝑠𝑘 − 𝑞𝑘+1 𝑠𝑘+1 𝑡𝑘 − 𝑞𝑘+1 𝑡𝑘+1
(3.46)
⎠
⇔ Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence):
⎧

⎨𝑠𝑘+2 = 𝑠𝑘 − 𝑞𝑘+1 𝑠𝑘+1 , 𝑘 = 0, 1, . . .
(3.47)

⎩𝑡𝑘+2 = 𝑡𝑘 − 𝑞𝑘+1 𝑡𝑘+1 , 𝑘 = 0, 1, . . .
Yhtälöstä (3.44) saadaan
𝑟𝑛 = 𝑠𝑛 𝑎 + 𝑡𝑛 𝑏,
(3.48)
syt(𝑎, 𝑏) = 𝑠𝑛 𝑎 + 𝑡𝑛 𝑏,
(3.49)
josta edelleen saadaan
Lause 3.5.
missä 𝑛 on E.A:n pituus.
Esimerkki 11. Olkoot 𝑎 = 909 ja 𝑏 = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla
saadaan
𝑞1 = 2,
𝑞2 = 1,
𝑞3 = 16,
𝑞4 = 6,
𝑟4 = 3,
𝑛 = 4.
(3.50)
Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.47) lähtien alkuarvoista (3.42). Laskemalla
saadaan
𝑠4 = 17,
𝑡4 = −50
⇒
𝑠4 𝑎 + 𝑡4 𝑏 = 3.
(3.51)
Seuraus 1. Olkoot 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ. Tällöin, jos
𝑎∣𝑏𝑐 ja 𝑎 ⊥ 𝑐,
(3.52)
𝑎∣𝑏.
(3.53)
niin
18
Seuraus 2. Olkoot 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ. Tällöin, jos
𝑎∣𝑐 ja 𝑏∣𝑐 ja 𝑎 ⊥ 𝑏,
(3.54)
𝑎𝑏∣𝑐.
(3.55)
niin
Seuraus 3. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ja 𝑝 ∈ ℙ. Tällöin, jos
𝑝∣𝑎𝑏,
(3.56)
𝑝∣𝑎 tai 𝑝∣𝑏.
(3.57)
niin
Seuraus 4. Olkoot 𝑎 ∈ ℤ, 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑘, 𝑛 ∈ ℤ+ . Tällöin
𝑝∣𝑎𝑛
⇒
⇒
𝑝∣𝑎
𝑝𝑘 ∣𝑎𝑛
⇒
𝑝𝑛 ∣𝑎𝑛 ;
𝑝∣𝑎𝑛 .
(3.58)
(3.59)
Määritelmä 3.10. Olkoot 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ∈ ℤ annettu. Tällöin luku 𝑑𝑚 ∈ ℕ on lukujen 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 suurin yhteinen tekijä eli 𝑑𝑚 =syt(𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ) = (𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ) mikäli
𝑎)
𝑑𝑚 ∣𝑎𝑖
𝑏)
𝑐∣𝑎𝑖
∀𝑖 = 1, ..., 𝑚;
∀𝑖 = 1, ..., 𝑚
⇒
𝑐∣𝑑𝑚 .
Huom 2. Olkoot 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ∈ ℤ pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli
𝑎𝑖 ⊥ 𝑎𝑗
∀𝑖 ∕= 𝑗.
(3.60)
(𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ) = 1.
(3.61)
Tällöin
19
Huom 3. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi
(6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3.
(3.62)
Määritelmä 3.11. Olkoot 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ∈ ℤ annettu. Tällöin luku 𝑓𝑚 ∈ ℕ on lukujen 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 pienin yhteinen jaettava eli 𝑓𝑚 =pyj[𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ] = [𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ] mikäli
𝑎)
𝑎𝑖 ∣𝑓𝑚
∀𝑖 = 1, ..., 𝑚;
𝑏)
𝑎𝑖 ∣𝑐 ∀𝑖 = 1, ..., 𝑚
⇒
𝑓𝑚 ∣𝑐.
Lause 3.6. Olkoon 𝑑𝑚 = (𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ), tällöin on olemassa sellaiset 𝑙1 , ..., 𝑙𝑚 ∈ ℤ,
että
𝑑𝑚 = 𝑙1 𝑎1 + ... + 𝑙𝑚 𝑎𝑚 .
(3.63)
Todistus: Induktiolla.
Perusaskel: 𝑚 = 2 ⇔ (3.49).
Induktio-oletus: Väite tosi, kun 𝑚 = 𝑘.
Induktioaskel: Olkoon 𝑚 = 𝑘 + 1.
1. Osoitetaan ensin, että
𝑑𝑘+1 = (𝑑𝑘 , 𝑎𝑘+1 ).
(3.64)
𝑑𝑘+1 ∣𝑎1 , ..., 𝑎𝑘 , 𝑎𝑘+1 ,
(3.65)
𝑑𝑘+1 ∣𝑑𝑘 ,
(3.66)
a.) Koska
niin
𝑑𝑘+1 ∣𝑎𝑘+1
eli on yhteinen tekijä.
b.) Jos
𝑐∣𝑑𝑘 , 𝑎𝑘+1 ,
(3.67)
20
niin
𝑐∣𝑎1 , ..., 𝑎𝑘 , 𝑎𝑘+1 .
(3.68)
𝑐∣𝑑𝑘+1 ,
(3.69)
Siten
joten on suurin tekijä. a.)+b.)⇒ 𝑑𝑘+1 = (𝑑𝑘 , 𝑎𝑘+1 ).
2. Induktio-oletuksesta saadaan, että
∃ ℎ𝑖 ∈ ℤ :
𝑑𝑘 = ℎ1 𝑎1 + ... + ℎ𝑘 𝑎𝑘
(3.70)
(𝑑𝑘 , 𝑎𝑘+1 ) = 𝑗1 𝑑𝑘 + 𝑗2 𝑎𝑘+1 .
(3.71)
ja
∃ 𝑗𝑖 ∈ ℤ :
Siten
𝑑𝑘+1 = (𝑑𝑘 , 𝑎𝑘+1 ) =
𝑗1 (ℎ1 𝑎1 + ... + ℎ𝑘 𝑎𝑘 ) + 𝑗2 𝑎𝑘+1 = 𝑙1 𝑎1 + ... + 𝑙𝑘+1 𝑎𝑘+1 .
(3.72)
Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen
lauseen väite on tosi.
3.4
Kongruenssi
Esimerkki 12. Huomataan, että
17 = 3 ⋅ 5 + 2,
12 = 2 ⋅ 5 + 2,
7 = 1 ⋅ 5 + 2, ...,
(3.73)
jolloin on sovittu merkinnästä
17 ≡ 2
(mod 5),
12 ≡ 7 ≡ 2
(mod 5).
(3.74)
21
Määritelmä 3.12. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ+ annettu ja 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. Jos
𝑛∣𝑎 − 𝑏,
(3.75)
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑛)
(3.76)
niin tällöin asetetaan
eli 𝑎 on kongruentti 𝑏:n kanssa modulo 𝑛. Edelleen, luku 𝑛 on kongruenssin (3.76)
modulus. Merkitään
𝑎 ∕≡ 𝑏 (mod 𝑛),
(3.77)
kun 𝑎 ei ole kongruentti 𝑏:n kanssa modulo 𝑛.
Huom 4. Työkaluja:
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑛)
𝑎≡0
⇔
𝑎−𝑏≡0
⇔
(mod 𝑛)
(mod 𝑛);
𝑛∣𝑎.
(3.78)
(3.79)
Lause 3.7. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio.
Olkoon 𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ. Tällöin pätee
𝑎 ≡ 𝑎;
𝑎≡𝑏
⇔
𝑎 ≡ 𝑏, 𝑏 ≡ 𝑐
(3.80)
𝑏 ≡ 𝑎;
⇒
𝑎 ≡ 𝑐;
(3.81)
(3.82)
kaikki kongruenssit (mod 𝑛).
Lause 3.8. Kongruenssin laskusääntöjä.
Olkoon 𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ, ℎ ∈ ℕ ja 𝑃 (𝑥) ∈ ℤ[𝑥]. Jos
𝑎 ≡ 𝑏, 𝑐 ≡ 𝑑,
(3.83)
22
niin
𝑟𝑎 + 𝑠𝑐 ≡ 𝑟𝑏 + 𝑠𝑑;
(3.84)
𝑎 ± 𝑐 ≡ 𝑏 ± 𝑑;
(3.85)
𝑎𝑐 ≡ 𝑏𝑑;
(3.86)
𝑎ℎ ≡ 𝑏 ℎ ;
(3.87)
𝑃 (𝑎) ≡ 𝑃 (𝑏);
(3.88)
kaikki kongruenssit (mod 𝑛).
Todistus. Käytetään työkaluja (3.78) ja (3.79) sekä jaollisuuden laskusääntöjä.
Kohta (3.84): Oletuksista (3.83) seuraa
𝑛∣𝑎 − 𝑏,
𝑛∣𝑐 − 𝑑
⇒
(3.89)
𝑟𝑎 + 𝑠𝑐 − (𝑟𝑏 + 𝑠𝑑) = 𝑟(𝑎 − 𝑏) + 𝑠(𝑐 − 𝑑) ≡ 0
(mod 𝑛),
(3.90)
jolloin tuloksen (3.78) nojalla saadaan väite.
Esimerkki 13.
𝑎 ≡ 𝑎 + 𝑙𝑛 (mod 𝑛) ∀𝑙 ∈ ℤ.
(3.91)
Lause 3.9. Muita tuloksia.
Olkoon 𝑛 ∈ ℤ+ , 𝑎, 𝑏, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑚 ∕= 0. Tällöin pätee
𝑚𝑎 ≡ 𝑚𝑏
(mod 𝑛),
𝑚⊥𝑛
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑛).
⇒
(3.92)
(3.93)
23
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚𝑛),
𝑎≡𝑏
𝑚 ∈ ℤ+ ,
⇒
(mod 𝑛).
(3.94)
(3.95)
Huom 5.
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑛)
⇔
(3.96)
𝑛∣𝑎 − 𝑏 ⇔ 𝑎 = 𝑏 + 𝑙 ⋅ 𝑛, jollakin 𝑙 ∈ ℤ
(3.97)
⇔ 𝑎 ∈ 𝑏 + 𝑛ℤ = 𝑏,
(3.98)
missä 𝑏 on edustajan 𝑏 määräämä jakojäännösluokka (mod 𝑛).
Lause 3.10. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja
Vice Versa.
B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑛)
⇔
𝑎 = 𝑏.
(3.99)
Siispä joukkoa
ℤ/𝑛ℤ = {𝑎∣𝑎 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛 − 1} = ℤ𝑛
(3.100)
kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset
𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏,
(3.101)
𝑎𝑏 = 𝑎𝑏.
(3.102)
Huom 6. Jakojäännösluokalle 𝑏 voidaan käyttää myös merkintää [𝑏] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka).
24
Huom 7. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä
0, 1, 2, ..., 𝑛 − 1 = −1 (mod 𝑛).
Esimerkki 14.
−1 + 1 = 𝑛 − 1 + 1 = 𝑛 = 0,
2−1 =
(−1)−1 = −1
1
𝑝+1
=
2
2
(mod 𝑝),
(mod 𝑛),
𝑝 ∈ ℙ𝑝≥3 .
(3.103)
(3.104)
Määritelmä 3.13. Olkoon 𝑅 ykkösellinen rengas. Joukko
𝑅∗ = {yksiköt} = {𝑢 ∈ 𝑅 ∣ ∃ 𝑢−1 ∈ 𝑅 : 𝑢𝑢−1 = 1}
(3.105)
on renkaan 𝑅 yksikköryhmä.
Esimerkki 15. Jos 𝑅 = 𝐾-kunta, niin
𝐾 ∗ = 𝐾∖{0}.
(3.106)
ℤ∗ = {±1}.
(3.107)
Lause 3.11. Joukko
{𝑎 ∈ ℤ𝑛 ∣ 𝑎 ⊥ 𝑛}
on renkaan ℤ𝑛 yksikköryhmä eli
ℤ∗𝑛 = {𝑎 ∈ ℤ𝑛 ∣ 𝑎 ⊥ 𝑛}.
(3.108)
Huomaa,että ehdosta 𝑎 ⊥ 𝑛 seuraa Eukleideen algoritmin seurauksen (3.49) nojalla, että
1 = 𝑠𝑚 𝑎 + 𝑡𝑚 𝑛,
(3.109)
missä 𝑚 on E.A:n pituus. Siten
𝑠𝑚 𝑎 ≡ 1
(mod 𝑛) ⇔ 𝑎 −1 = 𝑠𝑚 .
(3.110)
25
Erityisesti, jos 𝑝 ∈ ℙ, niin ℤ𝑝 on kunta ja
ℤ∗𝑝 = {𝑎 ∈ ℤ𝑝 ∣ 𝑎 ⊥ 𝑝} = {1, 2, ..., 𝑝 − 1}.
(3.111)
Määritelmä 3.14. Olkoon 𝑛 ≥ 2. Jos 𝑎 ⊥ 𝑛, niin 𝑎 on alkuluokka (mod 𝑛) ja
ℤ∗𝑛 = {𝑎 ∈ ℤ𝑛 ∣ 𝑎 ⊥ 𝑛}
on renkaan ℤ𝑛 kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring).
Määritelmä 3.15. Eulerin funktio 𝜑 : ℤ+ → ℤ+ saadaan asettamalla
𝜑(𝑛) = #{𝑘 ∈ ℤ+ ∣ 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑘 ⊥ 𝑛}
(3.112)
aina, kun 𝑛 ∈ ℤ+ .
Siten, ryhmän ℤ∗𝑛 kertaluku (order) on
#ℤ∗𝑛 = 𝜑(𝑛),
𝑛 ∈ ℤ≥2 .
(3.113)
Lemma 3.1.
𝜑(𝑀 𝑁 ) = 𝜑(𝑀 )𝜑(𝑁 ), ∀𝑀 ⊥ 𝑁.
Eli 𝜑 on multiplikatiivinen ja koska
)
(
1
𝑚
𝑚
, ∀𝑝 ∈ ℙ, ∀𝑚 ∈ ℤ+ ,
𝜑(𝑝 ) = 𝑝
1−
𝑝
(3.114)
(3.115)
niin saadaan
Lemma 3.2. Olkoon 𝑛 = 𝑝𝑎11 . . . 𝑝𝑎𝑘𝑘 , 𝑝𝑖 ∈ ℙ. Tällöin
) (
)
(
1
1
𝑎1
𝑎𝑘
𝜑(𝑛) = 𝑝1 . . . 𝑝𝑘
1−
... 1 −
𝑝1
𝑝𝑘
(3.116)
eli
)
∏(
1
𝜑(𝑛) = 𝑛
1−
.
𝑝
(3.117)
𝑝∣𝑛
26
3.5
Euler-Fermat
Lause 3.12. EULER-FERMAT: Olkoot 𝑎 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ≥2 annettu ja 𝑎 ⊥ 𝑛.
Tällöin
𝑎𝜑(𝑛) ≡ 1
(mod 𝑛).
(3.118)
Lause 3.13. FERMAT’N PIKKULAUSE: Olkoon 𝑝 ∈ ℙ annettu. Tällöin
𝑎𝑝−1 ≡ 1
(mod 𝑝),
𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (mod 𝑝),
jos 𝑝 ∤ 𝑎 ∈ ℤ;
∀ 𝑎 ∈ ℤ.
(3.119)
(3.120)
Olettaen (3.119) todistetaan (3.120):
Jos syt(𝑎, 𝑝) = 1, niin Pikku Fermat’n (3.119) nojalla
𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (mod 𝑝).
(3.121)
Jos 𝑝∣𝑎, niin
𝑎≡0
(mod 𝑝)
⇒
⇒
𝑎𝑝 ≡ 0
𝑎𝑝 ≡ 𝑎 (mod 𝑝).
(mod 𝑝)
(3.122)
(3.123)
27
3.6
Eräs kongruenssiryhmä
Lause 3.14. A) Olkoot 𝑝, 𝑞 ∈ ℙ ja 𝑝 ∕= 𝑞. Tällöin yhtälöistä
⎧

⎨𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑝)
(3.124)

⎩𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑞)
seuraa
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑝𝑞).
(3.125)
B) Olkoot 𝑚𝑖 ∈ ℤ ja 𝑚𝑖 ⊥ 𝑚𝑗 kaikilla 𝑖 ∕= 𝑗. Tällöin yhtälöistä
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚𝑖 ) ∀ 𝑖 = 1, ..., 𝑟
(3.126)
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑚𝑟 ).
(3.127)
seuraa
Todistus. A) kohta: Oletuksista (3.124) seuraa
𝑝∣𝑎 − 𝑏,
𝑞∣𝑎 − 𝑏.
(3.128)
Koska 𝑝 ⊥ 𝑞, niin Seurauksen 2 nojalla
𝑝𝑞∣𝑎 − 𝑏
⇔
𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑝𝑞).
(3.129)
B) kohta induktiolla.
Esimerkki 16. Olkoot 𝑝, 𝑞 ∈ ℙ ja 𝑝 ∕= 𝑞. Tällöin
𝑝𝑞−1 + 𝑞 𝑝−1 ≡ 1
3.7
(mod 𝑝𝑞).
(3.130)
Kiinalainen jäännöslause
Lause 3.15. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE.
Olkoot 𝑚1 , . . . , 𝑚𝑟 ∈ ℤ+ pareittain keskenään jaottomia ja olkoot 𝑎1 , . . . , 𝑎𝑟 ∈ ℤ
28
annettu. Tällöin yhtälöryhmän
⎧



𝑥 ≡ 𝑎1


⎨
..
.





⎩ 𝑥 ≡ 𝑎𝑟
(mod 𝑚1 ),
(3.131)
(mod 𝑚𝑟 )
ratkaisut ovat
𝑥 = 𝑥0 + 𝑙 ⋅ 𝑀, 𝑙 ∈ ℤ,
𝑀 = 𝑚1 . . . 𝑚𝑟 = 𝑚𝑘 𝑀𝑘 ,
(3.132)
missä
𝑥0 = 𝑛1 𝑀1 𝑎1 + . . . + 𝑛𝑟 𝑀𝑟 𝑎𝑟 ,
𝑛𝑘 𝑀𝑘 ≡ 1
(3.133)
(mod 𝑚𝑘 ).
(3.134)
Tod: Aluksi huomataan, että
𝑀𝑘 ⊥ 𝑚𝑘 ,
(3.135)
sillä, jos olisi
⇒
1 < 𝑑 = (𝑀𝑘 , 𝑚𝑘 )
𝑝∣𝑚𝑘 ,
𝑝∣𝑀𝑘 =
∏
𝑚𝑖
∃ 𝑝 ∈ ℙ : 𝑝∣𝑑
⇒
⇒
𝑝∣𝑚𝑖 , 𝑖 ∕= 𝑘
⇒
(3.136)
(3.137)
𝑖∕=𝑘
𝑝∣(𝑚𝑘 , 𝑚𝑖 ) Ristiriita.
(3.138)
Niinpä
𝑀𝑘 ∈ ℤ∗𝑚𝑘
⇔
⇒
∃ 𝑀𝑘
−1
:= 𝑛𝑘 ∈ ℤ∗𝑚𝑘
𝑛𝑘 𝑀𝑘 = 1 ∈ ℤ∗𝑚𝑘
(3.139)
(3.140)
29
⇔
𝑛𝑘 𝑀𝑘 ≡ 1
(mod 𝑚𝑘 ).
(3.141)
(mod 𝑚𝑘 ) ∀𝑗 ∕= 𝑘,
(3.142)
Seuraavaksi huomataan, että
𝑀𝑗 =
∏
𝑚𝑖 ≡ 0
𝑖∕=𝑗
joten laskemalla saadaan
𝑥0 = 𝑛1 𝑀1 𝑎1 + . . . + 𝑛𝑟 𝑀𝑟 𝑎𝑟 ≡
𝑛𝑘 𝑀𝑘 𝑎𝑘 ≡ 1 ⋅ 𝑎𝑘 = 𝑎𝑘
(mod 𝑚𝑘 ) ∀𝑘 = 1, ..., 𝑟
(3.143)
(3.144)
ja siten 𝑥0 on eräs ratkaisu.
Olkoon 𝑥 ratkaisu, tällöin
𝑥 − 𝑥0 ≡ 0
(mod 𝑚𝑘 ) ∀𝑘 = 1, ..., 𝑟.
(3.145)
Koska 𝑚𝑖 ⊥ 𝑚𝑗 ∀𝑖 ∕= 𝑗, niin Lauseen 3.14 kohdan B) nojalla
𝑥 − 𝑥0 ≡ 0
(mod 𝑚1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑚𝑟 )
(3.146)
eli
𝑥 ≡ 𝑥0
(mod 𝑀 ).
(3.147)
30
4
Kertomat, binomikertoimet
Määritellään luvun 𝑛 ∈ ℕ kertoma 𝑛! induktiivisesti asettamalla
Määritelmä 4.1.
0! = 1,
𝑛! = 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)!,
(4.1)
∀𝑛 ∈ ℤ+ .
(4.2)
Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (𝑎)𝑛 , seuraavasti.
Määritelmä 4.2. Olkoon 𝑎 ∈ ℂ. Tällöin
(𝑎)0 = 1,
(𝑎)𝑛 = (𝑎 + 𝑛 − 1) ⋅ (𝑎)𝑛−1 ,
(4.3)
∀𝑛 ∈ ℤ+ .
(4.4)
Erityisesti
(1)𝑛 = 𝑛!.
Määritelmä 4.3. Olkoot 𝑎 ∈ ℂ ja 𝑘 ∈ ℕ. Tällöin luvut
( )
𝑎
(−𝑎)𝑘
= (−1)𝑘
𝑘
𝑘!
(4.5)
(4.6)
ovat binomikertoimia "𝑎 yli 𝑘:n".
Tutkitaan erikoistapauksia.
Olkoon aluksi 𝑘 = 0. Tällöin
( ) ( )
𝑎
𝑎
(−𝑎)0
=
=
= 1 ∀ 𝑎 ∈ ℂ.
0!
𝑘
0
(4.7)
Kun 𝑘 ∈ ℤ+ , niin
( )
(−𝑎)(−𝑎 + 1) ⋅ ⋅ ⋅ (−𝑎 + 𝑘 − 1)
𝑎
= (−1)𝑘
=
𝑘
𝑘!
31
𝑎(𝑎 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 − 𝑘 + 1)
𝑘!
∀𝑎 ∈ ℂ.
(4.8)
Olkoon vielä 𝑎 = 𝑛 ∈ ℤ+ , jolloin
( )
𝑛
𝑛(𝑛 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑛 − 𝑘 + 1)
=
=
𝑘
𝑘!
𝑛(𝑛 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘)!
,
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
(4.9)
joten
( )
𝑛
𝑛!
=
𝑘
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
∀ 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛.
Jos 𝑘 ≥ 𝑛 + 1, niin
( )
𝑛
(−𝑛) ⋅ ⋅ ⋅ (−𝑛 + 𝑗) ⋅ ⋅ ⋅ (−𝑛 + 𝑘 − 1)
= (−1)𝑘
,
𝑘
𝑘!
missä 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1 ≥ 𝑛. Siten, kun 𝑗 = 𝑛, niin −𝑛 + 𝑗 = 0 ja
( )
𝑛
= 0 ∀𝑘 ≥ 𝑛 + 1.
𝑘
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Olkoon 𝑎 = −𝑛 ∈ ℤ− , jolloin
( )
−𝑛
𝑛(𝑛 + 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑛 + 𝑘 − 1)
=
= (−1)𝑘
𝑘!
𝑘
(−1)𝑘
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
,
𝑘!(𝑛 − 1)!
(4.13)
joten
(
−𝑛
𝑘
)
𝑘
= (−1)
(
)
𝑛+𝑘−1
∀𝑘 ≥ 0.
𝑘
(4.14)
32
4.1
Palautuskaava, Pascalin kolmio
Lause 4.1. Olkoon 𝑎 ∈ ℂ. Tällöin
(
) (
) ( )
𝑎+1
𝑎
𝑎
=
+
∀𝑘 ∈ ℕ.
𝑘+1
𝑘+1
𝑘
(4.15)
Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8),
jolloin
(
) ( )
𝑎
𝑎
+
=
𝑘+1
𝑘
𝑎(𝑎 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 − (𝑘 + 1) + 1) 𝑎(𝑎 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 − 𝑘 + 1)
+
=
(𝑘 + 1)!
𝑘!
𝑎(𝑎 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 − 𝑘 + 1)(𝑎 − 𝑘) 𝑎(𝑎 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 − 𝑘 + 1)
+
=
𝑘!(𝑘 + 1)
𝑘!
)
(
𝑎(𝑎 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 − 𝑘 + 1) 𝑎 − 𝑘
+1 =
𝑘!
𝑘+1
(𝑎 + 1)(𝑎 + 1 − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑎 + 1 − (𝑘 + 1) + 1)
=
(𝑘 + 1)!
(
)
𝑎+1
.
𝑘+1
(4.16)
Siis saatiin väitteen vasen puoli.
Erikoistapauksena saadaan
Lause 4.2.
(
) (
) ( )
𝑛+1
𝑛
𝑛
=
+
∀𝑘, 𝑛 ∈ ℕ.
𝑘+1
𝑘+1
𝑘
(4.17)
Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa.
Lause 4.3.
( )
𝑛
∈ ℤ+
𝑘
∀ 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ∈ ℕ.
(4.18)
Todistus. Induktio 𝑛:n suhteen.
Aluksi 𝑛 = 0, 1.
( ) ( ) ( )
0
1
1
=
=
= 1.
0
0
1
(4.19)
33
Induktio-oletus: Väite tosi, kun 𝑛 = 𝑙.
Induktioaskel: Olkoon 𝑛 = 𝑙 + 1. Tällöin
(
) (
) ( )
𝑙+1
𝑙
𝑙
=
+
∀ 1 ≤ 𝑘 + 1 ≤ 𝑙,
𝑘+1
𝑘+1
𝑘
missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli ∈ ℤ+ , joten
(
)
𝑙+1
∈ ℤ+ ∀ 1 ≤ 𝑘 + 1 ≤ 𝑙.
𝑘+1
(4.20)
(4.21)
Lisäksi
(
) (
)
𝑙+1
𝑙+1
=
= 1.
𝑙+1
0
(4.22)
Tuloksen (4.18) nojalla
(𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘 + 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑛 − 1)𝑛
∈ ℤ+ ,
𝑘!
(4.23)
𝑘!∣(𝑛 − 𝑘 + 1)(𝑛 − 𝑘 + 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑛 − 1)𝑛,
(4.24)
𝑘!∣(𝑚 + 1)(𝑚 + 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑚 + 𝑘) ∀𝑘, 𝑚 ∈ ℕ.
(4.25)
joten
mistä saadaan.
Lause 4.4.
Edelleen
Lause 4.5. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ, tällöin
( )
𝑝
𝑝 𝑘
∀ 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1.
(4.26)
Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla
𝑘!∣(𝑝 − 𝑘 + 1)(𝑝 − 𝑘 + 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1)𝑝,
(4.27)
Koska 𝑝 ⊥ 𝑘!, niin (4.27) johtaa relaatioon
𝑘!∣(𝑝 − 𝑘 + 1) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) = 𝑙 ⋅ 𝑘!,
(4.28)
34
jollakin 𝑙 ∈ ℤ. Siten
( )
𝑝
(𝑝 − 𝑘 + 1)(𝑝 − 𝑘 + 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1)𝑝
=
=
𝑘
𝑘!
𝑙 ⋅ 𝑝 ≡ 0 (mod 𝑝).
4.2
(4.29)
(4.30)
𝑝-valuaatio kokonaisluvuille
Tarkastellaan alkuluvun 𝑝 esiintymistä kokonaisluvussa 𝑘 (myöhemmin esitetään
𝑝-valuaation määritelmä rationaaliluvulle).
Määritelmä 4.4. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑘 ∈ ℤ ∖ {0}, 𝑟 ∈ ℕ ja
𝑝𝑟 ∣∣𝑘.
(4.31)
𝑣𝑝 (𝑘) = 𝑟.
(4.32)
Tällöin asetetaan
Kertaa vielä, että
𝑝𝑟 ∣∣𝑘
⇔
𝑘 = 𝑝𝑟 𝑐,
𝑝 ∕ ∣𝑐 ∈ ℤ ∖ {0}.
(4.33)
Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ ∖ {0}, tällöin
𝑣𝑝 (1) = 0;
(4.34)
𝑣𝑝 (𝑛) ≥ 0;
(4.35)
𝑣𝑝 (𝑛𝑚) = 𝑣𝑝 (𝑛) + 𝑣𝑝 (𝑚);
(4.36)
𝑣𝑝 (𝑛!) = 𝑣𝑝 (1) + 𝑣𝑝 (2) + ... + 𝑣𝑝 (𝑛),
𝑛 ≥ 1;
(4.37)
35
𝑛=
∏
𝑝𝑣𝑝 (𝑛) =
∏
𝑝𝑣𝑝 (𝑛) =
𝑝≤𝑛
𝑝∣𝑛
∏
𝑝𝑣𝑝 (𝑛) ,
𝑛 ≥ 1.
(4.38)
𝑝∈ℙ
Määritelmä 4.5. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑘 ∈ ℤ ∖ {0}, 𝑙 ∈ ℤ+ . Asetetaan tällöin
𝑤𝑝𝑙 (𝑘) = 1 jos 𝑝𝑙 ∣𝑘;
(4.39)
𝑤𝑝𝑙 (𝑘) = 0 jos 𝑝𝑙 ∤ 𝑘.
(4.40)
Lause 4.7. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑘 ∈ ℤ ∖ {0}, 𝑟 ∈ ℕ ja 𝑣𝑝 (𝑘) = 𝑟. Tällöin
𝑣𝑝 (𝑘) =
𝑟
∑
𝑤𝑝𝑖 (𝑘) =
𝑖=1
∞
∑
𝑤𝑝𝑖 (𝑘).
(4.41)
𝑖=1
Lause 4.8. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ+ ja
⌋
∞ ⌊
∑
𝑛
𝐴𝑝 =
,
𝑖
𝑝
𝑖=1
𝑝 ∈ ℙ.
(4.42)
Tällöin
𝑣𝑝 (𝑛!) = 𝐴𝑝 .
(4.43)
𝑝𝐴𝑝 𝑛! ∀𝑝∣𝑛!.
(4.44)
∏
(4.45)
𝑛! =
𝑝𝐴 𝑝 .
𝑝≤𝑛
Huomaa, että ⌊ 𝑛/𝑝𝑖 ⌋ = 0, kun 𝑝𝑖 > 𝑛. Siten summat 𝐴𝑝 ovat äärellisiä.
Todistus. Laskarit: Välillä [1, 𝑛] olevien luvulla 𝑝𝑖 jaollisten lukujen lkm=
⌊ ⌋
𝑛
+
𝑖
.
(4.46)
#{𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑝 ∣𝑘} =
𝑝𝑖
Toisaalta
#{𝑘 ∈ ℤ+ ∣ 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, 𝑝𝑖 ∣𝑘} = 𝑤𝑝𝑖 (1) + 𝑤𝑝𝑖 (2) + ... + 𝑤𝑝𝑖 (𝑛).
(4.47)
36
Esimerkiksi
⌊
1, ..., 1 ⋅ 𝑝, ..., 2 ⋅ 𝑝, ..., 𝑝 ⋅ 𝑝, ...,
⌋
𝑛
⋅ 𝑝, ..., 𝑛
𝑝
(4.48)
missä pätee
𝑤𝑝 (1) = 𝑤𝑝 (2) = ... = 𝑤𝑝 (𝑝 − 1) = 𝑤𝑝 (𝑝 + 1) = ... = 0
(⌊
𝑤𝑝 (𝑝) = 𝑤𝑝 (2𝑝) = ... = 𝑤𝑝
⌋ )
𝑛
𝑝 = 1.
𝑝
(4.49)
(4.50)
Siten
⌊
⌋
𝑛
;
𝑝
𝑤𝑝 (1) + 𝑤𝑝 (2) + ... + 𝑤𝑝 (𝑛) =
⌊
𝑤𝑝2 (1) + 𝑤𝑝2 (2) + ... + 𝑤𝑝2 (𝑛) =
(4.51)
⌋
𝑛
;
𝑝2
(4.52)
⌋
𝑛
,
𝑝𝑟
(4.53)
...
⌊
𝑤𝑝𝑟 (1) + 𝑤𝑝𝑟 (2) + ... + 𝑤𝑝𝑟 (𝑛) =
missä
𝑟
𝑟+1
𝑝 ≤𝑛<𝑝
⌊
,
⇒
⌋
𝑛
𝑝𝑟+1
= 0.
Lasketaan yhtälöt (4.51–4.53) puolittain yhteen, jolloin saadaan
⌊ ⌋ ⌊ ⌋
⌊ ⌋
𝑛
𝑛
𝑛
𝑣𝑝 (1) + 𝑣𝑝 (2) + ... + 𝑣𝑝 (𝑛) =
+
+ ... +
.
2
𝑝
𝑝
𝑝𝑟
Siten
⌋
∞ ⌊
∑
𝑛
𝑣𝑝 (𝑛!) =
= 𝐴𝑝 ,
𝑝𝑖
𝑖=1
𝑝 ∈ ℙ.
(4.54)
(4.55)
(4.56)
Edelleen
𝑛! =
∏
𝑝𝑣𝑝 (𝑛!) .
(4.57)
𝑝≤𝑛
Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla
∏
𝑛!
=
𝑝𝐵 𝑝 ,
𝑘!(𝑛 − 𝑘)! 𝑝≤𝑛
(4.58)
37
missä
⌋ ⌊ ⌋ ⌊
⌋
∞ ⌊
∑
𝑘
𝑛−𝑘
𝑛
−
−
.
𝐵𝑝 =
𝑖
𝑖
𝑖
𝑝
𝑝
𝑝
𝑖=1
(4.59)
⌊ 𝑎⌋ + ⌊ 𝑏⌋ ≤ ⌊ 𝑎 + 𝑏⌋
(4.60)
Tuloksen (2.6)
avulla saadaan
⌊
⌋ ⌊
⌋ ⌊
⌋ ⌊ ⌋
𝑘
𝑛−𝑘
𝑘
𝑛
𝑛
𝑘
+
≤
.
+ 𝑖− 𝑖 =
𝑖
𝑖
𝑖
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝𝑖
(4.61)
Siten 𝐵𝑝 ∈ ℕ ja
∏
𝑝𝐵𝑝 ∈ ℤ+ ,
(4.62)
𝑝≤𝑛
joka identiteetin (4.58) kanssa todistaa, että
( )
𝑛
∈ ℤ+ ∀ 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ∈ ℕ.
𝑘
4.3
Sarjaa
Binomisarja, Binomikehitelmä
∞ ( )
∑
𝑎 𝑘
(1 + 𝑡) =
𝑡 ,
𝑘
𝑘=0
𝑎
𝑎∈ℂ
(4.63)
sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon 𝑎 = 𝑛 ∈ ℕ, jolloin
𝑛
(1 + 𝑡) =
𝑛 ( )
∑
𝑛
𝑘=0
𝑘
𝑡𝑘 .
(4.64)
Asetetaan 𝑡 = 𝐴/𝐵, jolloin yhtälöstä (4.64) saadaan Binomikehitelmä:
𝑛 ( )
∑
𝑛 𝑘 𝑛−𝑘
(𝐴 + 𝐵) =
𝐴 𝐵
=
𝑘
𝑘=0
𝑛
∑
𝑘+𝑙=𝑛
𝑛! 𝑘 𝑙
𝐴 𝐵.
𝑘!𝑙!
(4.65)
(4.66)
0≤𝑘,𝑙≤𝑛
38
Kun, 𝑎 = −1 ja 𝑡 = −𝑥, niin saadaan Geometrinen sarja:
∞
∑
1
=
𝑥𝑘 .
1 − 𝑥 𝑘=0
(4.67)
Ja yleisemmin, jos 𝑎 = −𝑛 ∈ ℤ− ja 𝑡 = −𝑥, niin
)
∞ (
∑
1
𝑛+𝑘−1 𝑘
=
𝑥
(1 − 𝑥)𝑛
𝑘
𝑘=0
(4.68)
identiteetin (4.14) nojalla.
39
5
Rationaaliluvun jaollisuus (mod n)
5.1
Perusteita
Määritelmä 5.1. Rationaaliluku 𝐴 = 𝑎/𝑏 ∈ ℚ∗ on supistetussa muodossa, kun
𝑎 ⊥ 𝑏. Edelleen, den(𝐴) = 𝑏 on 𝐴:n nimittäjä.
Olkoon 𝑝 ∈ ℙ. Jokaisella 𝑎/𝑏 ∈ ℚ∗ on yksikäsitteinen esitys
𝑎
𝑐
= 𝑝𝑟 ,
𝑏
𝑑
𝑐 ∈ ℤ, 𝑑 ∈ ℤ+ , 𝑐 ⊥ 𝑑, 𝑝 ∤ 𝑐𝑑, 𝑟 ∈ ℤ.
(5.1)
Asetetaan nyt
Määritelmä 5.2. Rationaaliluku 𝑎/𝑏 (osoittaja) on 𝑝:llä jaollinen eli
𝑎
𝑝
⇔ 𝑟 ≥ 1.
𝑏
(5.2)
Edelleen
𝑎
≡0
𝑏
(mod 𝑝)
20
5 3
⇔
⇔
𝑎
𝑝
𝑏
(5.3)
Esimerkki 17.
20
≡0
3
(mod 5).
(5.4)
Esimerkki 18.
1+
1 1 1
50
+ + =
≡0
2 3 4
4!
(mod 5).
(5.5)
Laajennetaan Määritelmä 5.2 vapaastivalittavalle modulukselle 𝑛 ∈ ℤ≥2 .
Määritelmä 5.3. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ≥2 annettu ja olkoon rationaaliluvun 𝑎/𝑏 ∈ ℚ∗
alkutekijäesitys
𝑎
= ±𝑝𝑟11 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑝𝑟𝑘𝑘 ⋅ 𝑞1𝑣1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑞𝑙𝑣𝑙 ;
𝑏
(5.6)
𝑝𝑖 , 𝑞𝑗 ∈ ℙ 𝑟𝑖 ∈ ℤ+ , 𝑣𝑖 ∈ ℤ− ,
(5.7)
missä 𝑞𝑗 ∈
/ {𝑝1 , ..., 𝑝𝑘 }. Jos
𝑛 = 𝑝𝑠11 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑝𝑠𝑘𝑘 ,
𝑠𝑖 ∈ ℕ,
(5.8)
40
ja
0 ≤ 𝑠𝑖 ≤ 𝑟𝑖
∀𝑖 = 1, ..., 𝑘,
(5.9)
niin asetetaan
𝑎
.
ℚ𝑏
𝑛∣
(5.10)
ja sanotaan, että 𝑛 jakaa rationaaliluvun 𝑎/𝑏 (osoittajan).
Huom 8. Käytetään myös merkintää
𝑎
𝑛 .
𝑏
(5.11)
Huom 9.
𝑎
ℚ𝑏
𝑛∣
⇔
𝑛 ⊥ 𝑏,
𝑛∣ 𝑎.
(5.12)
ℤ
Määritelmä 5.4. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ≥2 annettu ja 𝑎/𝑏, 𝑐/𝑑 ∈ ℚ. Jos
𝑎 𝑐
𝑛 − ,
𝑏 𝑑
(5.13)
niin
𝑐
𝑎
≡
𝑏
𝑑
(mod 𝑛)
(5.14)
ja sanotaan, että luvut 𝑎/𝑏 ja 𝑐/𝑑 ovat kongruentteja (mod 𝑛).
Huom 10.
𝑎
≡0
𝑏
(mod 𝑛)
⇔
𝑎≡0
(mod 𝑛), 𝑏 ⊥ 𝑛.
(5.15)
Lause 5.1. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ≥2 ja 𝑎/𝑏, 𝑐/𝑑 ∈ ℚ sekä polynomi 𝑃 (𝑥) ∈ ℚ[𝑥]. Tällöin,
jos
𝑎
𝑐
≡
𝑏
𝑑
(mod 𝑛),
(5.16)
niin
𝑎
𝑐
𝑃( ) ≡ 𝑃( )
𝑏
𝑑
(mod 𝑛),
(5.17)
mikäli kongruenssi (5.17) on määritelty.
41
Lause 5.2. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ≥2 ja 𝑎/𝑏, 𝑐/𝑑 ∈ ℚ sekä rationaalifunktio 𝑅(𝑥) ∈ ℚ(𝑥).
Tällöin, jos
𝑎
𝑐
≡
𝑏
𝑑
(mod 𝑛),
(5.18)
niin
𝑎
𝑐
𝑅( ) ≡ 𝑅( )
𝑏
𝑑
(mod 𝑛),
(5.19)
mikäli kongruenssi (5.19) on määritelty.
Todistus.
Esimerkki 19.
20
= 22 ⋅ 51 ⋅ 3−1 ≡ 0
3
20
≡0
3
(mod 2 ⋅ 5);
(mod 20),
(5.20)
(5.21)
missä 𝑝1 = 2, 𝑝2 = 5, 𝑞1 = 3 ja 𝑟1 = 2, 𝑟2 = 1, 𝑣1 = −1.
Esimerkki 20.
1+
1 1 1
50
+ + =
≡0
2 3 4
4!
(mod 52 ).
(5.22)
Esimerkki 21.
1+
1 1 1
25
+ + ≡
2 3 4
7
(mod 53 ).
(5.23)
Esimerkki 22. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ, 𝑝 ∕= 5, tällöin
1
1
≡
𝑝+5
5
(mod 𝑝).
(5.24)
Huomaa, että kongruenssi (5.24) ei ole määritelty (mod 5).
Esimerkki 23. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ, tällöin
(2𝑝 − 1)(2𝑝 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 + 2)(𝑝 + 1) ≡
(𝑝 − 1)(𝑝 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ 1 = (𝑝 − 1)!
(mod 𝑝),
(5.25)
42
joten
( )
2𝑝
≡2
𝑝
(mod 𝑝).
(5.26)
Lause 5.3. Kongruenssi ≡ (mod 𝑛) on ekvivalenssirelaatio joukossa
𝑐
{ ∈ ℚ∣ 𝑑 ⊥ 𝑛}.
𝑑
Määritelmä 5.5. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ≥2 ja 𝑎/𝑏 ∈ ℚ annettu ja 𝑛 ⊥ 𝑏. Tällöin
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎/𝑏 = { ∈ ℚ∣ ≡
𝑑
𝑑
𝑏
(mod 𝑛)}
(5.27)
on edustajan 𝑎/𝑏 määräämä jakojäännösluokka (mod 𝑛) ja
ℚ𝑛 = {𝑎/𝑏∣ 𝑎/𝑏 ∈ ℚ, 𝑛 ⊥ 𝑏}.
Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations)
⎧

⎨ 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦,
(5.28)
(5.29)

⎩ 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑥𝑦
aina, kun 𝑥, 𝑦 ∈ ℚ𝑛 .
Lause 5.4. a) Laskutoimitukset
{
+ : ℚ𝑛 × ℚ𝑛 → ℚ𝑛 ,
(5.30)
ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita.
b). Nolla-alkio (zero) on
0={
𝑙𝑛
∣ 𝑙, 𝑑 ∈ ℤ,
𝑑
𝑑 ⊥ 𝑛}
(5.31)
ja vasta-alkio
−𝑥 = −𝑥 ∀ 𝑥 ∈ ℚ𝑛 .
(5.32)
c). Ykkösalkio (unity)
1={
𝑑 + 𝑙𝑛
∣ 𝑙, 𝑑 ∈ ℤ,
𝑑
𝑑 ⊥ 𝑛}
(5.33)
43
ja käänteisalkio (inverse)
𝑥
−1
= 𝑥−1
∀ 𝑥, 𝑥−1 ∈ ℚ𝑛 .
(5.34)
d) Kolmikko (ℚ𝑛 , +, ⋅) muodostaa ykkösellisen kommutatiivisen renkaan.
Lause 5.5. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ≥2 . Tällöin kuvaus
( )−1
𝐹 (𝑎/𝑏) = 𝑎 𝑏
(5.35)
𝐹 : ℚ𝑛 → ℤ𝑛
(5.36)
on rengasisomorfia eli ℚ𝑛 ∼
= ℤ𝑛 .
Todistusta EI kysytä kokeessa.
Todistus: Laskemalla saadaan
1)
(
)
(
)
𝑎 𝑐
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝐹
+
=𝐹
=
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
( )−1
( )−1 ( )−1
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑏𝑑
= (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑏
𝑑
=
( )−1
( )−1
𝑎 𝑏
+𝑐 𝑑
=
( )
( )
𝑎
𝑐
𝐹
+𝐹
,
𝑏
𝑑
(5.37)
joten 𝐹 on ryhmien (ℚ𝑛 , +) ja (ℤ𝑛 , +) välinen homomorfia.
2)
(
)
( )
𝑎 𝑐
𝑎𝑐
⋅
=𝐹
=
𝐹
𝑏 𝑑
𝑏𝑑
( )−1
( )−1 ( )−1
𝑎𝑐 𝑏𝑑
=𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
( ) ( )
𝑎
𝑐
𝐹
𝐹
.
𝑏
𝑑
(5.38)
44
3)
( )
𝐹 1 =𝐹
( )
( )−1
1
=1 1
= 1.
1
(5.39)
Kohtien 1),2) ja 3) nojalla 𝐹 : ℚ𝑛 → ℤ𝑛 on rengasmorfismi.
4) Asetetaan nyt
( )
𝑎
𝐹
= 0,
𝑏
(5.40)
( )−1
𝑎 𝑏
= 0.
(5.41)
missä 𝑏 ⊥ 𝑛, joten
Kerrotaan 5.41 puolittain alkiolla 𝑏, jolloin saadaan
( )−1
𝑎 𝑏
𝑏=0⋅𝑏
⇒
𝑎=0
⇒
𝑎≡0
(mod 𝑛)
⇒
𝑎
= 0. (5.42)
𝑏
Siten 𝐹 : ℚ𝑛 → ℤ𝑛 on injektio.
5) Olkoon vielä 𝑘 ∈ ℤ𝑛 . Tällöin, jos valitaan 𝑎 = 𝑘, 𝑏 = 1, niin
( )
( )
( )−1
𝑎
𝑘
𝐹
= 𝑘.
=𝐹
=𝑘 1
𝑏
1
(5.43)
Siispä 𝐹 : ℚ𝑛 → ℤ𝑛 on surjektio.
Kohtien 4) ja 5) nojalla
𝐹 : ℚ𝑛 → ℤ𝑛
on bijektio ja edelleen rengasisomorfia.
Siten ℚ𝑛 ja ℤ𝑛 voidaan samaistaa, jolloin merkitään
ℚ𝑛 ∋ 𝑎/𝑏 = 𝑎𝑏
−1
∈ ℤ𝑛 .
(5.44)
ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa ℚ7 . Aluksi saadaan
2
2+𝑙⋅7
≡
3
3
(mod 7) ∀𝑙 ∈ ℤ.
(5.45)
45
Valitaan 𝑙 = 4, jolloin
2
2+4⋅7
≡
= 10 ≡ 3
3
3
(mod 7).
(5.46)
Täten
2/3 = 3.
(5.47)
Toisaalta ℤ7 :ssa.
−1
2⋅3
= 2 ⋅ 5 = 10 = 3.
(5.48)
Lemma 5.1. Olkoon 𝐺 ryhmä ja 𝑎 ∈ 𝐺. Tällöin kuvaukset
𝜄 : 𝐺 → 𝐺,
𝜄(𝑥) = 𝑥−1
(5.49)
𝜏 : 𝐺 → 𝐺,
𝜏 (𝑥) = 𝑎𝑥
(5.50)
ja
ovat bijektioita.
Todistus: Asetetaan
−1
𝜄(𝑥1 ) = 𝜄(𝑥2 ) ⇔ 𝑥−1
1 = 𝑥2 ,
(5.51)
josta saadaan 𝑥1 = 𝑥2 . Siten 𝜄 on injektio.
Olkoon sitten 𝑦 ∈ 𝐺 annettu. Valitaan nyt 𝑥 = 𝑦 −1 , jolloin
𝜄(𝑥) = 𝜄(𝑦 −1 ) = (𝑦 −1 )−1 = 𝑦.
(5.52)
Täten 𝜄 on surjektio ja edelleen bijektio.
Seuraus: Olkoon
𝐻 = {𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 }
(5.53)
äärellinen ryhmä. Tällöin 𝜄(𝐻) = 𝐻 eli
−1
{𝑎−1
1 , ..., 𝑎𝑚 } = {𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 }.
(5.54)
46
ESIM: Olkoon 𝐻 = ℤ∗11 , missä
1−1 = 1, 2−1 = 6, 3−1 = 4, , 4−1 = 3, 5−1 = 9,
6−1 = 2, 7−1 = 8, 8−1 = 7, 9−1 = 5, 10−1 = 10.
(5.55)
Tällöin
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 =
1 ⋅ 2 ⋅ 2−1 ⋅ 3 ⋅ 3−1 ⋅ 5 ⋅ 5−1 ⋅ 7 ⋅ 7−1 ⋅ 10 = −1.
(5.56)
Lause 5.6. WILSONIN LAUSE: Olkoon 𝑝 ∈ ℙ. Tällöin
(𝑝 − 1)! ≡ −1
(mod 𝑝).
(5.57)
Lause 5.7. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ≥3 . Tällöin
1+
1
1 1
+ + ... +
≡0
2 3
𝑝−1
(mod 𝑝).
(5.58)
Todistus. Lemman 5.1 nojalla 𝜄(ℤ∗𝑝 ) = ℤ∗𝑝 eli
{1
Täten
−1
, ..., 𝑝 − 1
𝑝−1
∑
𝑎=1
𝑎
−1
−1
} = {1, ..., 𝑝 − 1}.
=
𝑝−1
∑
𝑏,
(5.59)
(5.60)
𝑏=1
Seuraavassa käytetään samaistusta (5.44). Yhtälön V.P. (vasen puoli)=
1/1 + 1/2 + ... + 1/𝑝 − 1 =
1 + 1/2 + ... + 1/(𝑝 − 1) = 1 + 1/2 + ... + 1/(𝑝 − 1).
(5.61)
47
Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)=
1 + ... + 𝑝 − 1 = 1 + 2 + ... + 𝑝 − 1 = 𝑝(𝑝 − 1)/2 = 0,
(5.62)
missä 𝑝∣𝑝(𝑝 − 1)/2, sillä 𝑝 ≥ 3. Ekvivalenssiluokkien (5.61) ja (5.62) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (5.58).
Lause 5.8. EULER-FERMAT: Olkoot 𝑎 ∈ ℤ, 𝑚 ∈ ℤ≥2 annettu ja 𝑎 ⊥ 𝑚.
Tällöin
𝑎𝜑(𝑚) ≡ 1
(mod 𝑚).
(5.63)
Todistus. Asetetaan 𝜏 (𝑥) = 𝑎⋅𝑥. Koska 𝑎 ∈ ℤ∗𝑚 , niin Lemman 5.1 nojalla 𝜏 (ℤ∗𝑚 ) =
ℤ∗𝑚 eli
{𝑎 ⋅ 𝑎1 , ..., 𝑎 ⋅ 𝑎𝜑(𝑚) } = {𝑎1 , ..., 𝑎𝜑(𝑚) }.
(5.64)
𝑎 ⋅ 𝑎1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑎𝜑(𝑚) = 𝑎1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝜑(𝑚)
(5.65)
𝑎𝜑(𝑚) 𝑎1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝜑(𝑚) = 𝑎1 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝜑(𝑚) ,
(5.66)
Siten
eli
josta
𝑎𝜑(𝑚) = 1.
(5.67)
SEURAUS:
Lause 5.9. FERMAT’N PIKKULAUSE: Olkoot 𝑎 ∈ ℤ, 𝑝 ∈ ℙ annettu ja 𝑝 ∤ 𝑎.
Tällöin
𝑎𝑝−1 ≡ 1
(mod 𝑝).
(5.68)
Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys.
Lause 5.10. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ≥3 ja 𝑟 ∈ ℤ+ . Tällöin
𝑝𝑟 −1
∏
𝑘 ≡ −1 (mod 𝑝𝑟 ).
(5.69)
𝑘=1,𝑝∤𝑘
48
Todistus. Olkoon 𝑎 ∈ ℤ∗𝑝𝑟 oma käänteisalkionsa eli
𝑎=𝑎
−1
⇔ 𝑎2 = 1.
(5.70)
Siten
𝑎2 − 1 = 0,
(5.71)
(𝑎 − 1)(𝑎 + 1) = 𝑙 ⋅ 𝑝𝑟 ,
(5.72)
𝑝∣𝑎 − 1 tai 𝑝∣𝑎 + 1.
(5.73)
𝑝∣𝑎 − 1 ja 𝑝∣𝑎 + 1,
(5.74)
𝑝∣2𝑎 ⇒ 𝑝∣𝑎.
(5.75)
josta
jollakin 𝑙 ∈ ℤ. Välttämättä
Jos
niin
Mutta 𝑎 ⊥ 𝑝, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset
1.)
𝑝∣𝑎 − 1 ja 𝑝 ∤ 𝑎 + 1
(5.76)
2.)
𝑝 ∕ ∣𝑎 − 1 ja 𝑝∣𝑎 + 1.
(5.77)
ja
Tapaus 1. Yhtälön (5.72) nojalla
𝑝𝑟 ∣𝑎 − 1 ⇒ 𝑎 = 1.
(5.78)
Tapaus 2. Yhtälön (5.72) nojalla
𝑝𝑟 ∣𝑎 + 1 ⇒ 𝑎 = −1.
(5.79)
Siten 𝑎 ∈ ℤ∗𝑝𝑟 on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun 𝑎 = ±1. Edelleen
ℤ∗𝑝𝑟 = {1, −1} ∪ 𝐵,
(5.80)
49
missä joukon
𝑚 = 𝜑(𝑝𝑟 ) − 2,
𝐵 = {𝑏1 , ..., 𝑏𝑚 },
(5.81)
alkioille pätee
𝑏𝑖
−1
∕= 𝑏𝑖 ,
𝑖 = 1, ..., 𝑚.
(5.82)
Täten
𝐵 = {𝑐1 , ..., 𝑐𝑚/2 , 𝑐1
−1
, ..., 𝑐𝑚/2
−1
}
(5.83)
ja siten
∏
𝑎 = 1(−1)𝑐1 𝑐1
−1
⋅ ⋅ ⋅ 𝑐𝑚/2 𝑐𝑚/2
−1
= −1.
(5.84)
𝑎∈ℤ∗𝑝𝑟
ESIM: 32 = 𝑝𝑟 . Jolloin
1 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 8 ≡ −1 (mod 32 ).
5.2
(5.85)
Wolstenholmen lause
Lause 5.11. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon 𝑝 ∈ ℙ≥5 . Tällöin
1+
1 1
1
+ + ... +
≡0
2 3
𝑝−1
(mod 𝑝2 ).
(5.86)
(Tätä todistusta EI kysytä kokeessa.)
Todistus, I tapa:
Tarkastellaan polynomia
𝐺(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥 − (𝑝 − 1)) ∈ ℤ[𝑥].
(5.87)
Aukaistaan tulo, jolloin
𝐺(𝑥) = 𝑥𝑝−1 − 𝑊𝑝−2 𝑥𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 𝑥𝑝−3 − ...
+𝑊2 𝑥2 − 𝑊1 𝑥 + 𝑊0 ,
(5.88)
50
missä 𝑊𝑖 ∈ ℤ. Välittömästi saadaan
𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥 − (𝑝 − 1)) =
𝑥𝑝 − 𝑊𝑝−2 𝑥𝑝−1 + 𝑊𝑝−3 𝑥𝑝−2 − 𝑊𝑝−4 𝑥𝑝−3 + ...
+𝑊2 𝑥3 − 𝑊1 𝑥2 + 𝑊0 𝑥,
(5.89)
johon sijoitetaan 𝑥 = 𝑦 − 1 ja siten
(𝑦 − 1)(𝑦 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑦 − (𝑝 − 1))(𝑦 − 𝑝) = (𝑦 − 1)𝑝
−𝑊𝑝−2 (𝑦 − 1)𝑝−1 + 𝑊𝑝−3 (𝑦 − 1)𝑝−2 − 𝑊𝑝−4 (𝑦 − 1)𝑝−3 + ...
+𝑊2 (𝑦 − 1)3 − 𝑊1 (𝑦 − 1)2 + 𝑊0 (𝑦 − 1).
(5.90)
Yhtälössä (5.90) V.P.=
(𝑦 − 𝑝)𝐺(𝑦) = (𝑦 − 𝑝)(𝑦 𝑝−1 − 𝑊𝑝−2 𝑦 𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 𝑦 𝑝−3 − ...
+𝑊2 𝑦 2 − 𝑊1 𝑦 + 𝑊0 ) =
𝑦 𝑝 − (𝑝 + 𝑊𝑝−2 )𝑦 𝑝−1 + (𝑝𝑊𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 )𝑦 𝑝−2
−(𝑝𝑊𝑝−3 + 𝑊𝑝−4 )𝑦 𝑝−3 + ...
−(𝑝𝑊2 + 𝑊1 )𝑦 2 + (𝑝𝑊1 + 𝑊0 )𝑦 − 𝑝𝑊0 .
(5.91)
Toisaalta yhtälön (5.90) O.P.=
( )
( )
(
)
𝑝
𝑝
𝑝−1
𝑝−1
𝑝
𝑦 −(
+ 𝑊𝑝−2 )𝑦
+(
+ 𝑊𝑝−2
+ 𝑊𝑝−3 )𝑦 𝑝−2
1
2
1
( )
(
)
(
)
𝑝
𝑝−1
𝑝−2
−(
+ 𝑊𝑝−2
+ 𝑊𝑝−3
+ 𝑊𝑝−4 )𝑦 𝑝−3
3
2
1
51
(
)
(
)
( )
𝑝
𝑝−1
2
+... + (
+ 𝑊𝑝−2
+ ... + 𝑊1
+ 𝑊0 )𝑦
𝑝−1
𝑝−2
1
−(1 + 𝑊𝑝−2 + ... + 𝑊1 + 𝑊0 ).
(5.92)
Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (5.91) ja (5.92), jolloin
𝑦𝑝 :
𝑦
𝑝−1
:
𝑝 + 𝑊𝑝−2
1 = 1,
(5.93)
( )
𝑝
=
+ 𝑊𝑝−2 ,
1
(5.94)
𝑦 𝑝−2 : 𝑝𝑊𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 =
( )
(
)
𝑝
𝑝−1
+ 𝑊𝑝−2
+ 𝑊𝑝−3 ,
2
1
(5.95)
𝑦 𝑝−3 : 𝑝𝑊𝑝−3 + 𝑊𝑝−4 =
( )
(
)
(
)
𝑝
𝑝−1
𝑝−2
+ 𝑊𝑝−2
+ 𝑊𝑝−3
+ 𝑊𝑝−4 ,
3
2
1
(5.96)
𝑦 1 : 𝑝𝑊1 + 𝑊0 =
(
)
(
)
( )
𝑝
𝑝−1
2
+ 𝑊𝑝−2
+ ... + 𝑊1
+ 𝑊0 ,
𝑝−1
𝑝−2
1
(5.97)
...
𝑦0 :
𝑝𝑊0 = 1 + 𝑊𝑝−2 + ... + 𝑊1 + 𝑊0 .
(5.98)
Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat:
𝑊𝑝−2
( )
𝑝
=
,
2
(5.99)
52
( ) (
)
𝑝
𝑝−1
=
+
𝑊𝑝−2 ,
3
2
(5.100)
( ) (
)
(
)
𝑝−2
𝑝
𝑝−1
=
+
𝑊𝑝−2 +
𝑊𝑝−3 , ...
4
3
2
(5.101)
2𝑊𝑝−3
3𝑊𝑝−4
(
(𝑝 − 2)𝑊1 =
) (
)
( )
𝑝
𝑝−1
3
+
𝑊𝑝−2 + ... +
𝑊2 ,
𝑝−1
𝑝−2
2
(𝑝 − 1)𝑊0 = 1 + 𝑊𝑝−2 + ... + 𝑊1 .
Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa
(
)
𝑝
𝑗𝑊𝑝−𝑗−1 =
+ ... ∀ 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝 − 1.
𝑗+1
(5.102)
(5.103)
(5.104)
Käytetään tulosta (4.26), jolloin
( )
𝑝
𝑝 2
(5.105)
ja siten
𝑗 = 1.
𝑝∣𝑊𝑝−2 .
(5.106)
Seuraavaksi
( )
𝑝
𝑝∣
ja 𝑝∣𝑊𝑝−2 ,
3
(5.107)
joten
𝑗 = 2.
𝑝∣𝑊𝑝−3 .
(5.108)
Edelleen
( )
𝑝
𝑝∣
,
4
𝑝∣𝑊𝑝−2
ja 𝑝∣𝑊𝑝−3 ,
(5.109)
joten
𝑗 = 3.
𝑝∣𝑊𝑝−4 .
(5.110)
53
...
𝑗 = 𝑝 − 2.
𝑝∣𝑊1 .
(5.111)
𝑝∣𝑊1 , 𝑊2 , ..., 𝑊𝑝−2 ,
(5.112)
Siten
josta tuloksen (5.103) kanssa seuraa
𝑗 = 𝑝 − 1.
(𝑝 − 1)𝑊0 ≡ 1 (mod 𝑝)
(5.113)
eli
𝑊0 ≡ −1 (mod 𝑝).
(5.114)
𝑊0 = (𝑝 − 1)!,
(5.115)
Mutta
joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle.
Sijoitetaan nyt 𝑥 = 𝑝 yhtälöön
𝑝−1
𝑝−1
∏
∑
𝐺(𝑥) =
(𝑥 − 𝑗) =
(−1)𝑖 𝑊𝑖 𝑥𝑖 ,
𝑗=1
𝑊𝑝−1 = 1,
(5.116)
𝑖=0
josta saadaan
𝑊1 = 𝑊2 𝑝 − 𝑊3 𝑝2 − ... + 𝑝𝑝−2 .
(5.117)
Koska 𝑝 ≥ 5, niin 𝑝∣𝑊2 ja siten
𝑝2 ∣𝑊1 .
Toisaalta
𝑊1 =
𝑝−1 𝑝−1
∑
∏
(5.118)
𝑖=
𝑗=1 𝑖=1,𝑖∕=𝑗
2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) + 1 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) + ...
+1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 3) ⋅ (𝑝 − 1) + 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 2) =
54
)
(
1
1 1
.
(𝑝 − 1)! 1 + + + ... +
2 3
𝑝−1
(5.119)
Siten
1 1
1
𝑝 1 + + + ... +
2 3
𝑝−1
2
(5.120)
II todistus Fermat’n pikkulauseelle. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑎 ∈ ℤ ja 𝑝 ∤ 𝑎. Tällöin
𝑎≡𝑗
(mod 𝑝),
(5.121)
jollakin 𝑗 = 1, 2, ..., 𝑝 − 1. Sijoitetaan 𝑥 = 𝑎 yhtälöön (5.116), jolloin
𝑎𝑝−1 − 𝑊𝑝−2 𝑎𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 𝑎𝑝−3 − ... + 𝑊2 𝑎2 − 𝑊1 𝑎 + 𝑊0
≡ 0 (mod 𝑝),
(5.122)
𝑊𝑝−2 , ..., 𝑊1 ≡ 0 (mod 𝑝).
(5.123)
missä
Siten
𝑎𝑝−1 ≡ −𝑊0 ≡ −(𝑝 − 1)! ≡ 1 (mod 𝑝).
5.3
(5.124)
(𝑝 − 1)! ja 𝑎𝑝−1 (mod 𝑝2 )/EI kokeeseen
Tiedetään, että
(𝑝 − 1)! ≡ −1 (mod 𝑝2 ),
(5.125)
kun 𝑝 = 5, 13, 563, ... (Wilsonin alkulukuja) ja
𝑎𝑝−1 ≡ 1 (mod 𝑝2 ),
(5.126)
kun 𝑝 = 1093, 3511, .... Mutta yleisellä tasolla kohtien (5.125) ja (5.126) jakojäännöksien (mod 𝑝2 ) käyttäytymistä ei tunneta.
55
Ehdon (5.126) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat’n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos 𝑝 ∈ ℙ≥3 ja
2𝑝−1 ∕≡ 1 (mod 𝑝2 ),
(5.127)
niin
𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 ∕= 𝑧 𝑝
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ+ .
(5.128)
Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (5.128)
pätee ilman lisäoletusta (5.127). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin.
Olkoon 𝑝 ∈ ℙ≥3 , tällöin Pikku Fermat’n nojalla tiedetään, että
2𝑝−1 − 1 = 𝑙 ⋅ 𝑝,
(5.129)
jollakin 𝑙 ∈ ℤ, joten on luonnollista tutkia Fermat’n osamääriä
𝑞𝑝 (2) =
2𝑝−1 − 1
∈ ℤ.
𝑝
(5.130)
Lause 5.12. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ≥3 . Tällöin
𝑞𝑝 (2) =
2𝑝−1 − 1
1 1
1
≡ 1 + + + ... +
𝑝
3 5
𝑝−2
(mod 𝑝).
Huomaa, että (5.131) on yhtäpitävää ehdon
(
)
1 1
1
𝑝−1
2
≡ 1 + 𝑝 1 + + + ... +
3 5
𝑝−2
(mod 𝑝2 )
(5.131)
(5.132)
kanssa.
Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan
𝑝−1 ( )
𝑝 ( )
∑
∑
𝑝
𝑝
𝑝
2 =
=2+
,
𝑖
𝑖
𝑖=0
𝑖=1
(5.133)
56
jossa tuloksen (4.26) nojalla
( )
𝑝
= 𝑝ℎ𝑖 ,
𝑖
(5.134)
jollakin ℎ𝑖 ∈ ℤ aina, kun 𝑖 = 1, ..., 𝑝 − 1. Edelleen
ℎ𝑖 =
(𝑝 − 1)(𝑝 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 𝑖 + 1)
≡
𝑖!
(−1)𝑖−1 (𝑖 − 1)!
(−1)𝑖−1
=
𝑖!
𝑖
(5.135)
(mod 𝑝)
eli
ℎ𝑖 =
(−1)𝑖−1
+ 𝑚𝑖 𝑝,
𝑖
(5.136)
jollakin 𝑚𝑖 = 𝑎/𝑏 ∈ ℚ, 𝑝 ∕ ∣𝑏. Siten (5.134) ja (5.136) antavat
( )
(
)
𝑝
(−1)𝑖−1
𝑝
=𝑝
+ 𝑚𝑖 𝑝 ≡ (−1)𝑖−1
(mod 𝑝2 ).
𝑖
𝑖
𝑖
Yhtälöiden (5.133) ja (5.137) nojalla
(
)
1 1
1
1
𝑝
2 ≡ 2 + 𝑝 1 − + − ... +
−
2 3
𝑝−2 𝑝−1
(mod 𝑝2 ).
(5.137)
(5.138)
Toisaalta
1
1
1 1
+ − ... +
−
=
2 3
𝑝−2 𝑝−1
(
)
1 1
1
2 1 + + + ... +
3 5
𝑝−2
)
(
1
1
1 1
− 1 + + + ... +
+
2 3
𝑝−2 𝑝−1
1−
(
1 1
1
≡ 2 1 + + + ... +
3 5
𝑝−2
)
(mod 𝑝2 )
tuloksen (5.86) nojalla. Yhdistämällä (5.138) ja (5.139) saadaan
(
)
1 1
1
𝑝
2 ≡ 2 + 2𝑝 1 + + + ... +
(mod 𝑝2 ),
3 5
𝑝−2
(5.139)
(5.140)
missä 𝑝 ⊥ 2, joten (5.132) seuraa.
57
Esimerkki 24. Olkoon 𝑝 = 7. Nyt
2𝑝−1 = 26 = 1 + 63 = 1 + 7 ⋅ 9 ≡
(5.141)
(
)
1 1
1+7 1+ +
3 5
(5.142)
(mod 72 ).
Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7).
6
Polynomien kongruenssi
Määritelmä 6.1. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ≥2 ja
𝑃 (𝑥) =
𝑛
∑
𝑝𝑘 𝑥𝑘 ∈ ℚ[𝑥],
𝑘=0
𝑄(𝑥) =
𝑛
∑
𝑞𝑘 𝑥𝑘 ∈ ℚ[𝑥],
𝑘=0
jolloin asetetaan
𝑃 (𝑥) ≡ 𝑄(𝑥) (mod 𝑛)
𝑝𝑘 ≡ 𝑞𝑘
(mod 𝑛)
⇔
∀𝑘 = 0, 1, ..., 𝑛.
(6.1)
Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia 𝑎 ∈ ℤ𝑛 . Huomaa, että kun 𝑝 ∈ ℙ, niin
ℤ𝑝 on kunta.
Määritelmä 6.2. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ≥2 ja 𝑎(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑑 𝑥𝑑 ∈ ℤ[𝑥]. Kuvaus
𝑟𝑛 (𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑑 𝑥𝑑 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑑 𝑥𝑑
𝑟𝑛 : ℤ[𝑥] → ℤ𝑛 [𝑥],
(6.2)
𝑟𝑛 (𝑎(𝑥)) = 𝑎(𝑥),
on reduktio (mod 𝑛).
58
Lause 6.1. Reduktio
𝑟𝑛 : ℤ[𝑥] → ℤ𝑛 [𝑥],
𝑟𝑛 (𝑎(𝑥)) = 𝑎(𝑥),
on rengasmorfismi.
Lause 6.2.
𝑎0 + ... + 𝑎𝑑 𝑥𝑑 = 𝑏0 + ... + 𝑏𝑑 𝑥𝑑 ⇔
𝑎0 + ... + 𝑎𝑑 𝑥𝑑 ≡ 𝑏0 + ... + 𝑏𝑑 𝑥𝑑
(mod 𝑛)
(6.3)
(6.4)
Lause 6.3. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon 𝑝 ∈ ℙ≥5 . Tällöin
1+
1
1 1
+ + ... +
≡0
2 3
𝑝−1
(mod 𝑝2 ).
(6.5)
Todistus. II tapa. Nojautuu Fermat’n pikkulauseeseen 5.9.
Tarkastellaan polynomeja
𝐺(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥 − (𝑝 − 1)) ∈ ℤ[𝑥];
(6.6)
𝐹 (𝑥) = 𝑥𝑝−1 − 1 ∈ ℤ[𝑥]
(6.7)
ja niiden reduktioita (mod 𝑝)
𝐺(𝑥), 𝐹 (𝑥) ∈ ℤ𝑝 [𝑥].
(6.8)
Välittömästi
𝐺(𝑗) = 0,
5.9
𝐹 (𝑗) = 0,
∀𝑗 = 1, 2, ..., 𝑝 − 1;
(6.9)
∀𝑗 = 1, 2, ..., 𝑝 − 1.
(6.10)
59
Kirjoitetaan
𝑝−1
𝑝−1
∏
∑
𝐺(𝑥) =
(𝑥 − 𝑗) =
(−1)𝑖 𝑊𝑖 𝑥𝑖 =
𝑗=1
𝑖=0
𝑥𝑝−1 − 𝑊𝑝−2 𝑥𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 𝑥𝑝−3 − ...
+ 𝑊2 𝑥2 − 𝑊1 𝑥 + 𝑊0 ,
𝑊𝑝−1 = 1. (6.11)
Koska polynomirenkaassa ℤ𝑝 [𝑥] ei-vakiopolynomilla on korkeintaan asteen verran
nollakohtia, niin Lauseen 16.2 nojalla saadaan polynomien identtisyys
𝐺(𝑥) = 𝐹 (𝑥).
(6.12)
Todistetaan (6.12). Tutkitaan polynomia
𝑐(𝑥) := 𝐺(𝑥) − 𝐹 (𝑥) =
− 𝑊 𝑝−2 𝑥𝑝−2 + ... − 𝑊 1 𝑥 + 𝑊 0 − 1 (6.13)
jonka aste deg 𝑐(𝑥) ≤ 𝑝 − 2 ja jolla on 𝑝 − 1 nollakohtaa 1, ..., 𝑝 − 1. Jos olisi
deg 𝑐(𝑥) ≥ 1, niin saataisiin ristiriita Lauseen 16.2 kanssa. Siten 𝑐(𝑥) on vakiopolynomi. Koska
𝑐(1) := 𝐺(1) − 𝐹 (1) = 0 − 0 = 0,
(6.14)
niin 𝐺(𝑥) = 𝐹 (𝑥).
Tuloksen (6.12) nojalla
𝑥𝑝−1 − 𝑊𝑝−2 𝑥𝑝−2 + 𝑊𝑝−3 𝑥𝑝−3 − ...
+𝑊2 𝑥2 − 𝑊1 𝑥 + 𝑊0 ≡ 𝑥𝑝−1 − 1
(mod 𝑝).
(6.15)
60
eli
𝑊𝑘 ≡ 0
(mod 𝑝), 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑝 − 2,
𝑊0 ≡ −1
(mod 𝑝).
(6.16)
Sijoitetaan nyt 𝑥 = 𝑝 yhtälöön (6.11), jolloin
𝑝−1
𝑝−1
∑
∏
(−1)𝑖 𝑊𝑖 𝑝𝑖 .
(𝑝 − 𝑗) =
(6.17)
𝑖=0
𝑗=1
Tällöin saadaan
𝑊1 = 𝑊2 𝑝 − 𝑊3 𝑝2 − ... + 𝑝𝑝−2 .
(6.18)
Koska 𝑝 ≥ 5, niin 𝑝∣𝑊2 ja siten
𝑝2 ∣𝑊1 .
Toisaalta
𝑊1 =
𝑝−1 𝑝−1
∑
∏
(6.19)
𝑖=
𝑗=1 𝑖=1,𝑖∕=𝑗
2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) + 1 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) + ...
+1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 3) ⋅ (𝑝 − 1) + 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 2) =
(
1 1
1
(𝑝 − 1)! 1 + + + ... +
2 3
𝑝−1
)
.
(6.20)
Siten
1 1
1
𝑝 1 + + + ... +
2 3
𝑝−1
2
(6.21)
Esimerkki 25. 𝑝 = 3.
2
∏
𝐺(𝑥) =
(𝑥 − 𝑗) = 𝑥2 − 𝑊1 𝑥 + 𝑊0 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2,
𝑗=1
)
(
1
𝑊1 = 3 = 2! 1 +
,
2
⇒
(
)
1
3
1 + 2 . (6.22)
61
Esimerkki 26. 𝑝 = 5.
4
∏
𝐺(𝑥) = (𝑥 − 𝑗) =
𝑗=1
𝑥4 − 𝑊3 𝑥3 + 𝑊2 𝑥2 − 𝑊1 𝑥 + 𝑊0 ,
𝑊3 = 4 + 3 + 2 + 1,
(6.23)
𝑊2 = 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2,
𝑊1 = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 1 ⋅ 3 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 2 ⋅ 3,
𝑊0 = 4!.
ja
(
1 1 1
𝑊1 = 50 = 4! 1 + + +
2 3 4
)
52 ⊥ 4!
,
⇒
(
)
1
1
1
. (6.24)
5 1 + + +
2 3 4
2
Lause 6.4. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ, tällöin
(𝑥 + 1)𝑝 ≡ 𝑥𝑝 + 1
(mod 𝑝).
(6.25)
polynomirenkaassa ℚ[𝑥].
Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla
𝑝 ( )
∑
𝑝 𝑘
(𝑥 + 1) =
𝑥 ≡
𝑘
𝑘=0
𝑝
𝑥𝑝 + 0 ⋅ 𝑥𝑝−1 + 0 ⋅ 𝑥𝑝−2 + ... + 0 ⋅ 𝑥 + 1 = 𝑥𝑝 + 1
(6.26)
(mod 𝑝).
Lause 6.5. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ≥2 ja 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ ℚ[𝑥] ja
𝑔(𝑥) ≡ ℎ(𝑥)
(mod 𝑛).
(6.27)
Tällöin
𝑓 (𝑔(𝑥)) ≡ 𝑓 (ℎ(𝑥))
(mod 𝑛).
(6.28)
62
Lause 6.6. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑟 ∈ ℕ. Tällöin
𝑟
𝑟
(𝑥 + 1)𝑝 ≡ 𝑥𝑝 + 1
(mod 𝑝).
(6.29)
polynomirenkaassa ℚ[𝑥].
⇔
Todistus. Induktiolla. 𝑟 = 1.
Lause 6.4.
Induktioaskeleessa lasketaan V.P.=
(𝑥 + 1)𝑝
𝑟+1
𝑟
𝑟
= ((𝑥 + 1)𝑝 )𝑝 ≡ (𝑥𝑝 + 1)𝑝
𝑟
≡ (𝑥𝑝 )𝑝 + 1 = 𝑥𝑝
𝑟+1
+ 1 (mod 𝑝)
(6.30)
(6.31)
=O.P. Kohdassa (6.30) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 6.5 sekä kohdassa (6.30) Lausetta 6.4.
Seurauksena saadaan
Lause 6.7. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑟 ∈ ℤ+ . Tällöin
( 𝑟)
𝑝
≡ 0 (mod 𝑝) ∀ 𝑘 = 1, ..., 𝑝𝑟 − 1.
𝑘
(6.32)
Lause 6.6 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille.
Lause 6.8. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑟 ∈ ℕ. Tällöin
𝑟
𝑟
(𝑥 + 𝑦)𝑝 ≡ 𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝
𝑟
(mod 𝑝)
(6.33)
polynomirenkaassa ℚ[𝑥, 𝑦].
Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen.
Lause 6.9. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑟 ∈ ℕ. Tällöin
𝑟
𝑟
𝑟
(𝑥1 + ... + 𝑥𝑚 )𝑝 ≡ 𝑥𝑝1 + ... + 𝑥𝑝𝑚
(mod 𝑝)
(6.34)
polynomirenkaassa ℚ[𝑥1 , ..., 𝑥𝑚 ].
63
6.1
Sovelluksia lukujen kongruensseihin
Määritelmä 6.3. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ ja
𝐴=
𝑐
𝑎
= 𝑝𝑟 ,
𝑏
𝑑
𝑝 ∕ ∣𝑐𝑑.
(6.35)
Tällöin asetetaan
𝑣𝑝 (𝐴) = 𝑟,
(6.36)
joka on luvun 𝐴 eksponentiaalinen 𝑝-valuaatio.
Siten, jos 𝑣𝑝 (𝐴) ≥ 0, niin 𝑝 ⊥ 𝑏 ja jos 𝑝∣𝐴, niin 𝑝 ⊥ 𝑏.
Sovelletaan Lausetta 6.9 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot.
Lause 6.10. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑟 ∈ ℕ ja 𝐴𝑖 ∈ ℚ, 𝑣𝑝 (𝐴𝑖 ) ≥ 0 aina, kun 𝑖 = 1, ..., 𝑚.
Tällöin
𝑟
𝑟
𝑟
(𝐴1 + ... + 𝐴𝑚 )𝑝 ≡ 𝐴𝑝1 + ... + 𝐴𝑝𝑚
(mod 𝑝).
(6.37)
Huomaa, että (6.37) on Pikku-Fermat’n yleistys.
Olkoot 𝑝 ∈ ℙ ja 𝑛 ∈ ℕ. Tiedetään, että 𝑝-kantakehitelmä
𝑛=
∑
𝑛𝑖 𝑝𝑖 ,
0 ≤ 𝑛𝑖 ≤ 𝑝 − 1
(6.38)
𝑖≥0
on yksikäsitteinen.
Lause 6.11. LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE.
Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ sekä
𝑛=
∑
𝑖≥0
𝑛𝑖 𝑝𝑖 ,
𝑘=
∑
𝑘𝑖 𝑝𝑖 ,
0 ≤ 𝑘𝑖 , 𝑛𝑖 ≤ 𝑝 − 1.
(6.39)
𝑖≥0
Tällöin
( ) ∏( )
𝑛
𝑛𝑖
≡
(mod 𝑝).
𝑘
𝑘𝑖
𝑖≥0
(6.40)
64
Todistusta EI kysytä kokeessa.
Todistus: Aluksi huomataan, että
(1 + 𝑥)𝑛 = (1 + 𝑥)𝑛0 (1 + 𝑥)𝑝𝑛1 (1 + 𝑥)𝑝
2
(1 + 𝑥)𝑛0 (1 + 𝑥𝑝 )𝑛1 (1 + 𝑥𝑝 )𝑛2 ⋅ ⋅ ⋅
2𝑛
2
⋅⋅⋅ ≡
(mod 𝑝)
(6.41)
Lauseen 6.6 nojalla. Sama binomikehitelmillä
𝑛 ( )
∑
𝑛
𝑘=0
𝑘
𝑥𝑘 ≡
𝑛0 ( )
𝑛1 ( )
𝑛2 ( )
∑
𝑛0 𝑖0 ∑
𝑛1 𝑝𝑖1 ∑
𝑛2 𝑝2 𝑖2
𝑥
𝑥
𝑥
⋅⋅⋅ =
𝑖
𝑖
𝑖
0
1
2
𝑖 =0
𝑖 =0
𝑖 =0
0
1
2
𝑝−1 ( )
𝑝−1 ( )
𝑝−1 ( )
∑
𝑛0 𝑖0 ∑ 𝑛1 𝑝𝑖1 ∑ 𝑛2 𝑝2 𝑖2
𝑥
𝑥
𝑥
⋅⋅⋅ =
𝑖
𝑖
𝑖
0
1
2
𝑖0 =0
𝑖1 =0
𝑖2 =0
(
)(
)(
)
∑ ∑
𝑛0
𝑛1
𝑛2
2
⋅ ⋅ ⋅ 𝑥𝑖0 +𝑖1 𝑝+𝑖2 𝑝 +...
𝑖0
𝑖1
𝑖2
0≤𝑗 0≤𝑖 ≤𝑝−1
𝑗
(mod 𝑝).
(6.42)
Tutkitaan V.P. polynomin termiä 𝑥𝑘 ja sen O.P. polynomin vastintermiä 𝑥𝑖0 +𝑖1 𝑝+𝑖2 𝑝
joka saadaan, kun
𝑘 = 𝑘0 + 𝑘1 𝑝 + 𝑘2 𝑝2 + ... = 𝑖0 + 𝑖1 𝑝 + 𝑖2 𝑝2 + ....
(6.43)
Luvun 𝑘 yksikäsitteisen 𝑝-kantaesityksen nojalla havaitaan, että 𝑖0 = 𝑘0 , 𝑖1 =
𝑘1 ,... . Täten vertaamalla kongruenssin (6.42) V.P. ja O.P. termejä 𝑥𝑘 , saadaan
kongruenssi
( ) ∏( )
𝑛
𝑛𝑖
≡
𝑘
𝑘𝑖
𝑖≥0
(mod 𝑝).
(6.44)
65
2 +...
,
Esimerkki 27. 𝑝 = 7, 𝑛 = 11 = 4 + 1 ⋅ 7, 𝑘 = 5 = 5 + 0 ⋅ 7, joten
( ) ( )( ) ( )( )
11
𝑛0
𝑛1
4 1
≡
=
= 0 ⋅ 1 = 0 (mod 7).
5
𝑘0
𝑘1
5 0
(6.45)
Esimerkki 28.
( 100
)
3 + 2 ⋅ 310 + 2
≡2
310 + 2
7
Summausmenetelmiä
7.1
Polynomialgebran sovelluksia
(mod 3)
(6.46)
ESIM: Lähdetään identiteetistä
(1 + 𝑥)𝑛 (1 + 𝑥)𝑚 = (1 + 𝑥)𝑛+𝑚 ,
(7.1)
josta
𝑛 ( )
∑
𝑛
𝑗=0
𝑗
𝑥
𝑗
𝑚 ( )
∑
𝑚
𝑙=0
𝑙
𝑙
𝑥 =
𝑛+𝑚
∑(
𝑘=0
)
𝑛+𝑚 𝑘
𝑥 .
𝑘
Caychyn kertosäännöllä
(
)
𝑛+𝑚
𝑛+𝑚
∑ (𝑛 + 𝑚)
∑ ∑ (𝑛)(𝑚)
𝑘
𝑥 =
𝑥𝑘 ,
𝑗
𝑙
𝑘
𝑘=0
𝑘=0
𝑗+𝑙=𝑘
(7.2)
(7.3)
josta
( )( ) (
)
𝑛 𝑚
𝑛+𝑚
=
𝑗
𝑙
𝑘
𝑗+𝑙=𝑘,0≤𝑗,𝑙≤𝑘
∑
(7.4)
Edelleen, asettamalla 𝑛 = 𝑚 = 𝑘, saadaan
) ( )
𝑚 ( )(
∑
𝑛
𝑚
2𝑚
=
;
𝑗
𝑚−𝑗
𝑚
𝑗=0
𝑚 ( )2
∑
𝑚
𝑗=0
𝑗
( )
2𝑚
=
.
𝑚
(7.5)
66
7.2
Teleskoopit
Teleskooppisumma
𝑛
∑
(𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 ) = 𝑎𝑛+1 − 𝑎0
(7.6)
𝑖=0
ja teleskooppitulo
𝑛
∏
𝑎𝑖+1
𝑎𝑖
𝑖=0
=
𝑎𝑛+1
𝑎0
(7.7)
soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen.
𝑛
∑
𝑛(𝑛 + 1)
2
(7.8)
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
(7.9)
𝑘=
𝑘=0
𝑛
∑
𝑘2 =
𝑘=0
𝑛
∑
3
(
𝑘 =
𝑘=0
𝑛
∑
𝑛(𝑛 + 1)
2
)2
(2𝑘 + 1) = (𝑛 + 1)2
(7.10)
(7.11)
𝑘=0
Johdetaan (7.11) valitsemalla 𝑎𝑘 = 𝑘 2 ja lähtemällä identiteetistä
𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 = (𝑘 + 1)2 − 𝑘 2 = 2𝑘 + 1.
(7.12)
Otetaan summat (7.12) molemminpuolin, jolloin
𝑛
∑
𝑘=0
(2𝑘 + 1) =
𝑛
∑
(𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 ) = 𝑎𝑛+1 − 𝑎0 = (𝑛 + 1)2 .
(7.13)
𝑘=0
Edelleen
2
𝑛
∑
𝑘=0
𝑘+
𝑛
∑
1 = (𝑛 + 1)2 ,
(7.14)
𝑘=0
josta saadaan (7.8). Valitsemalla 𝑎𝑘 = 𝑘 3 ja teleskopoimalla identiteettiä
𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘 = (𝑘 + 1)3 − 𝑘 3 = 3𝑘 2 + 3𝑘 + 1
(7.15)
67
päästään tulokseen (7.9). JNE.
Johdetaan vielä
∞
∑
𝑗−1
𝑗=0
𝑗!
=0
(7.16)
lähtemällä erotuksesta
1
𝑘
1
−
=
.
𝑘! (𝑘 + 1)!
(𝑘 + 1)!
(7.17)
Summataan (7.17) puolittain, jolloin saadaan
𝑛 (
∑
1
𝑘=0
1
−
𝑘! (𝑘 + 1)!
)
=
𝑛
∑
𝑘=0
𝑘
.
(𝑘 + 1)!
(7.18)
Yhtälön (7.18)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten
𝑛
∑
𝑘=0
josta raja-arvona saadaan
𝑘
1
=1−
,
(𝑘 + 1)!
(𝑛 + 1)!
∞
∑
𝑘=0
𝑘
=1
(𝑘 + 1)!
(7.19)
(7.20)
eli (7.16).
68
8
Fibonaccin ja Lucasin luvut
8.1
Rekursio ja Binet’n kaava
Määritelmä 8.1. Luvut 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio)
𝑓𝑛+2 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 ,
𝑛 ∈ ℕ,
(8.1)
muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut 𝑙0 = 2, 𝑙1 = 1 sekä palautuskaava
𝑙𝑛+2 = 𝑙𝑛+1 + 𝑙𝑛 ,
𝑛 ∈ ℕ,
(8.2)
muodostavat Lucasin luvut.
Siten Fibonaccin lukuja ovat
𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1, 𝑓2 = 1, 𝑓3 = 2, 𝑓4 = 3, 𝑓5 = 5, 𝑓6 = 8, 𝑓7 = 13, ...
(8.3)
ja Lucasin lukuja ovat
𝑙0 = 2, 𝑙1 = 1, 𝑙2 = 3, 𝑙3 = 4, 𝑙4 = 7, 𝑙5 = 11, 𝑙6 = 18, 𝑙7 = 29, ....
(8.4)
Ratkaistaan rekursio
𝑣𝑛+2 = 𝑣𝑛+1 + 𝑣𝑛 ,
𝑛 ∈ ℕ,
(8.5)
yritteellä
𝑣𝑛 = 𝑥𝑛 ,
𝑥 ∈ ℂ∗ .
(8.6)
Rekursiosta (8.5) saadaan
𝑥𝑛+2 = 𝑥𝑛+1 + 𝑥𝑛
jonka ratkaisut ovat
√
1+ 5
,
𝛼=
2
⇔
𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0,
√
1− 5
𝛽=
.
2
(8.7)
(8.8)
69
Lause 8.1. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ. Tällöin
𝐹𝑛 = 𝑎𝛼𝑛 + 𝑏𝛽 𝑛
(8.9)
on rekursion (8.5) ratkaisu.
Todistus. Suoraan laskemalla saadaan
𝐹𝑛+2 = 𝑎𝛼𝑛+2 + 𝑏𝛽 𝑛+2 = 𝑎(𝛼𝑛+1 + 𝛼𝑛 ) + 𝑏(𝛽 𝑛+1 + 𝛽 𝑛 ) =
𝑎𝛼𝑛+1 + 𝑏𝛽 𝑛+1 + 𝑎𝛼𝑛 + 𝑏𝛽 𝑛 = 𝐹𝑛+1 + 𝐹𝑛 .
(8.10)
Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa
𝑓𝑛 = 𝑎𝛼𝑛 + 𝑏𝛽 𝑛 ,
(8.11)
mistä saadaan
𝑓0 = 𝑎𝛼0 + 𝑏𝛽 0 ,
𝑓1 = 𝑎𝛼1 + 𝑏𝛽 1 .
(8.12)
Sijoitetaan alkuarvot 𝑓0 = 0 ja 𝑓1 = 1 yhtälöön (8.12), josta
√
√
1+ 5
1− 5
𝑎 + 𝑏 = 0, 𝑎
+𝑏
=1
(8.13)
2
2
√
√
ja siten 𝑎 = 1/ 5 ja 𝑏 = −1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan.
Lause 8.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet’n kaavoilla
((
√ )𝑛 (
√ )𝑛 )
1
1+ 5
1− 5
𝑓𝑛 = √
−
,
(8.14)
2
2
5
√ )𝑛 (
√ )𝑛
1+ 5
1− 5
+
.
2
2
(8.15)
1
𝑓𝑛 = √ (𝛼𝑛 − 𝛽 𝑛 ) ,
5
(8.16)
(
𝑙𝑛 =
Siis
70
𝑙𝑛 = (𝛼𝑛 + 𝛽 𝑛 ) ,
missä
√
1+ 5
𝛼=
,
2
√
1− 5
𝛽=
.
2
Huomaa, että
𝛼𝛽 = −1,
(8.17)
𝛼 + 𝛽 = 1,
𝛼−𝛽 =
(8.18)
√
5.
(8.19)
Lause 8.3.
𝑙𝑛 =
𝑓2𝑛
.
𝑓𝑛
(8.20)
Todistus. Suoraan laskemalla
𝑓2𝑛
𝛼2𝑛 − 𝛽 2𝑛
= 𝑛
= 𝛼𝑛 + 𝛽 𝑛 = 𝑙𝑛 .
𝑓𝑛
𝛼 − 𝛽𝑛
(8.21)
HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus), mutta eksplisiittisistä esityksistä (8.14) ja (8.15) saadaan likiarvo nopeasti.
Lause 8.4.
𝛼2𝑘
= √
5
⌊
𝑓2𝑘
𝛼2𝑘+1
= √
5
⌈
𝑓2𝑘+1
⌋
∀𝑘 ∈ ℕ,
(8.22)
⌉
∀𝑘 ∈ ℕ.
Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska
√
1+ 5
𝛼=
= 1.6180...,
2
(8.23)
(8.24)
ja 𝛼−1 = 𝛼 − 1 = 0.6180..., niin
√
1− 5
= 1 − 𝛼 = −0.6180....
𝛽=
2
(8.25)
√
∣𝛽 𝑛 / 5∣ < 1 ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
(8.26)
Siten
Tarkemmin laskareissa.
71
8.2
Matriisiesitys
Olkoon
⎞
⎛
𝑓 𝑓
1 1
⎠ = ⎝ 2 1⎠ .
𝔽=⎝
𝑓1 𝑓0
1 0
⎞
⎛
(8.27)
Lasketaan potensseja
⎛
𝔽2 = ⎝
⎛
𝔽3 = ⎝
2 1
1 1
3 2
2 1
⎞
⎛
⎠=⎝
⎞
⎛
⎠=⎝
𝑓3 𝑓2
𝑓2 𝑓1
𝑓4 𝑓3
𝑓3 𝑓2
⎞
⎠,
(8.28)
⎞
⎠.
(8.29)
Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että
𝑓−1 = 1, sillä tällöin pätee
𝑓1 = 𝑓0 + 𝑓−1 .
(8.30)
Nyt
⎛
𝔽0 = 𝕀 = ⎝
Lause 8.5. Olkoon
1 0
0 1
⎛
𝔽𝑛 = ⎝
⎞
⎛
⎠=⎝
𝑓1
𝑓0
𝑓0 𝑓−1
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛
𝑓𝑛
𝑓𝑛−1
⎞
⎠.
(8.31)
⎞
⎠.
(8.32)
Tällöin
𝔽𝑛 = 𝔽𝑛
∀𝑛 ∈ ℕ.
(8.33)
Todistus. Induktiolla. Tapaukset 𝑛 = 0 ja 𝑛 = 1 kohdista (8.27) ja (8.31).
Induktio-oletus: Identiteetti (8.33) pätee, kun 𝑛 = 𝑘.
Induktioaskel; Lasketaan
𝔽𝑘+1
⎛
⎞⎛
⎞
1 1
𝑓
𝑓𝑘
⎠ ⎝ 𝑘+1
⎠=
= 𝔽1 𝔽𝑘 = ⎝
1 0
𝑓𝑘 𝑓𝑘−1
(8.34)
72
⎞
⎞ ⎛
⎛
𝑓
𝑓
𝑓
+ 𝑓𝑘 𝑓𝑘 + 𝑓𝑘−1
⎠ = ⎝ 𝑘+2 𝑘+1 ⎠ = 𝔽𝑘+1 .
⎝ 𝑘+1
𝑓𝑘+1 𝑓𝑘
𝑓𝑘+1
𝑓𝑘
(8.35)
Lause 8.6. Olkoot 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ, tällöin
𝑓𝑛+𝑚+1 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑚+1 + 𝑓𝑛 𝑓𝑚 ,
(8.36)
2
2
𝑓2𝑚+1 = 𝑓𝑚+1
+ 𝑓𝑚
,
(8.37)
𝑓2𝑚 = 𝑓𝑚 (𝑓𝑚+1 + 𝑓𝑚−1 ).
(8.38)
Todistus. Sovelletaan identiteettiä
𝔽𝑛+𝑚 = 𝔽𝑛+𝑚 = 𝔽𝑛 𝔽𝑚 = 𝔽𝑛 𝔽𝑚 ,
(8.39)
jolloin
⎛
⎝
⎛
⎝
⎛
⎝
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛
𝑓𝑛+𝑚+1
𝑓𝑛+𝑚
⎞
⎠=
𝑓𝑛+𝑚 𝑓𝑛+𝑚−1
⎞⎛
⎞
𝑓𝑛
𝑓𝑚+1 𝑓𝑚
⎠⎝
⎠=
𝑓𝑛−1
𝑓𝑚 𝑓𝑚−1
𝑓𝑛+1 𝑓𝑚+1 + 𝑓𝑛 𝑓𝑚 𝑓𝑛+1 𝑓𝑚 + 𝑓𝑛 𝑓𝑚−1
𝑓𝑛 𝑓𝑚+1 + 𝑓𝑛−1 𝑓𝑚 𝑓𝑛 𝑓𝑚 + 𝑓𝑛−1 𝑓𝑚−1
(8.40)
(8.41)
⎞
⎠.
(8.42)
Vertaamalla matriisien (8.40) ja (8.42) vastinalkioita saadaan (8.36), josta edelleen saadaan (8.37) ja (8.38).
Lause 8.7. Olkoon 𝑛 ∈ ℕ, tällöin
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 − 𝑓𝑛2 = (−1)𝑛 .
(8.43)
73
Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (8.33), jolloin
𝑛
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛 1 1
=
.
𝑓𝑛 𝑓𝑛−1 1 0
(8.44)
Lause 8.8. Olkoon 𝑛 ∈ ℕ, tällöin lukujen 𝑓𝑛+2 ja 𝑓𝑛+1 Eukleideen algoritmin
pituus on 𝑛. Edelleen
syt(𝑓𝑛+1 , 𝑓𝑛 ) = 1.
(8.45)
Todistus. Olkoot 𝑎 = 𝑓𝑛+2 ja 𝑏 = 𝑓𝑛+1 , jolloin
𝑟0 = 𝑎, 𝑟1 = 𝑏
0 ≤ 𝑟1 < 𝑟0
𝑟0 = 𝑞1 𝑟1 + 𝑟2 = 1 ⋅ 𝑟1 + 𝑟2
0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1
sillä 𝑓𝑛+2 = 1 ⋅ 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛
𝑟1 = 𝑞2 𝑟2 + 𝑟3 = 1 ⋅ 𝑟2 + 𝑟3
0 ≤ 𝑟3 < 𝑟2
sillä 𝑓𝑛+1 = 1 ⋅ 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛−1
..
.
𝑟𝑘 = 𝑞𝑘+1 𝑟𝑘+1 + 𝑟𝑘+2 = 1 ⋅ 𝑟𝑘+1 + 𝑟𝑘+2
0 ≤ 𝑟𝑘+2 < 𝑟𝑘+1
sillä 𝑓𝑛+2−𝑘 = 1 ⋅ 𝑓𝑛+1−𝑘 + 𝑓𝑛−𝑘
..
.
𝑟𝑛−2 = 𝑞𝑛−1 𝑟𝑛−1 + 𝑟𝑛 = 1 ⋅ 𝑟𝑛−1 + 𝑟𝑛
1 = 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1 = 2
sillä 𝑓4 = 1 ⋅ 𝑓3 + 𝑓2
𝑟𝑛−1 = 𝑞𝑛 𝑟𝑛 = 2 ⋅ 1
siten
𝑟𝑛 = syt(𝑎, 𝑏) = 1.
(8.46)
Edelleen saadaan
𝑟𝑛 = 𝑠𝑛 𝑎 + 𝑡𝑛 𝑏
⇔
1 = 𝑠𝑛 𝑓𝑛+2 + 𝑡𝑛 𝑓𝑛+1 ,
(8.47)
missä 𝑠𝑛 ja 𝑡𝑛 saadaan palautuskaavoista
𝑠𝑘+2 = 𝑠𝑘 − 𝑞𝑘+1 𝑠𝑘+1 = 𝑠𝑘 − 𝑠𝑘+1 ,
(8.48)
74
𝑡𝑘+2 = 𝑡𝑘 − 𝑞𝑘+1 𝑡𝑘+1 = 𝑡𝑘 − 𝑡𝑘+1
∀ 0≤𝑘 ≤𝑛−2
(8.49)
lähtien alkuarvoista 𝑠0 = 𝑡1 = 1, 𝑠1 = 𝑡0 = 0.
ESIM: Olkoot 𝑛 = 5, 𝑓7 = 13, 𝑓6 = 8, jolloin 𝑞1 = ... = 𝑞4 = 1 ja 𝑞5 = 2. Siten
𝑠2 = 1, 𝑠3 = −1, 𝑠4 = 2, 𝑠5 = −3,... 𝑡5 = 5 ja
1 = (−3) ⋅ 13 + 5 ⋅ 8 = 𝑓5 𝑓6 − 𝑓4 𝑓7 .
(8.50)
Lause 8.9. Olkoon 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ+ annettu, tällöin Eukleideen algoritmin pituudelle 𝑛
pätee
𝑛 ≤ log 𝑎/ log((1 +
√
5)/2)).
(8.51)
Eukleideen algoritmissa
𝑟0 = 𝑎, 𝑟1 = 𝑏
0 < 𝑟1 < 𝑟0
𝑟0 = 𝑞1 𝑟1 + 𝑟2
..
.
0 < 𝑟2 < 𝑟1
𝑟𝑘 = 𝑞𝑘+1 𝑟𝑘+1 + 𝑟𝑘+2
..
.
0 < 𝑟𝑘+2 < 𝑟𝑘+1
𝑟𝑛−2 = 𝑞𝑛−1 𝑟𝑛−1 + 𝑟𝑛
0 < 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1
𝑟𝑛−1 = 𝑞𝑛 𝑟𝑛 + 0
osamäärien kokonaisosille pätee 𝑞𝑘 ≥ 1 kaikilla 𝑘. Täten
𝑟𝑛 ≥ 1 = 𝑓2 ,
(8.52)
𝑟𝑛−1 ≥ 2 = 𝑓3 ,
(8.53)
𝑟𝑛−2 ≥ 1 ⋅ 𝑟𝑛−1 + 𝑟𝑛 ≥ 𝑓3 + 𝑓2 = 𝑓4 .
(8.54)
75
Edelleen induktiolla saadaan
𝑟𝑛−ℎ ≥ 𝑓ℎ+2
∀ ℎ = 0, 1, ..., 𝑛
ja siten
𝑎 = 𝑟0 ≥ 𝑓𝑛+2 ≥ ((1 +
√
5)/2)𝑛 .
(8.55)
(8.56)
Epäyhtälön (8.56) todistus laskareissa.
8.3
Generoiva sarja
Olkoon
𝐹 (𝑧) =
∞
∑
𝑓𝑘 𝑧 𝑘
(8.57)
𝑘=0
sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi
summausindeksi 𝑘 = 𝑛 + 2, jolloin
𝐹 (𝑧) =
∞
∑
𝑓𝑛+2 𝑧 𝑛+2 + 𝑓1 𝑧 + 𝑓0 .
(8.58)
𝑛=0
Seuraavaksi käytetään rekursiota (8.1), jolloin
𝐹 (𝑧) = 𝑧
∞
∑
𝑓𝑛+1 𝑧 𝑛+1 + 𝑧 2
𝑛=0
𝑧
∞
∑
∞
∑
𝑓𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑓1 𝑧 + 𝑓0 =
𝑛=0
𝑘
𝑓𝑘 𝑧 + 𝑧
𝑘=1
2
∞
∑
𝑓𝑘 𝑧 𝑘 + 𝑓1 𝑧 + 𝑓0 =
𝑘=0
𝑧(𝐹 (𝑧) − 𝑓0 ) + 𝑧 2 𝐹 (𝑧) + 𝑧.
(8.59)
Yhtälöstä (8.59) saadaan ratkaisu
𝐹 (𝑧) =
𝑧
.
1 − 𝑧 − 𝑧2
(8.60)
76
Lause 8.10. Sarjalla
𝐹 (𝑧) =
∞
∑
𝑓𝑘 𝑧 𝑘
(8.61)
𝑘=0
on esitys rationaalifunktiona
𝐹 (𝑧) =
𝑧
.
1 − 𝑧 − 𝑧2
Määritelmä 8.2. Sarja
𝐹 (𝑧) =
∞
∑
(8.62)
𝑓𝑘 𝑧 𝑘
(8.63)
𝑘=0
on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio
𝐹 (𝑧) =
𝑧
1 − 𝑧 − 𝑧2
(8.64)
on Fibonaccin lukujen generoiva funktio.
Määritelmä 8.3. Polynomi
𝐾(𝑥) = 𝐾𝑓 (𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 1
(8.65)
on rekursion (8.1) karakteristinen polynomi.
Huomaa, että
𝐾𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽),
(8.66)
joten
𝐹 (𝑧) =
(1/𝑧)2
1/𝑧
1/𝑧
=
=
− 1/𝑧 − 1
𝐾(1/𝑧)
1/𝑧
𝑧
=
.
(8.67)
(1/𝑧 − 𝛼)(1/𝑧 − 𝛽)
(1 − 𝛼𝑧)(1 − 𝛽𝑧)
Jaetaan (8.67) osamurtoihin ja käytetään geometrisen sarjan summakaavaa, jolloin
1
𝐹 (𝑧) = √
5
(
1
1
−
1 − 𝛼𝑧 1 − 𝛽𝑧
)
=
∞
∞
∑
) 𝑘 ∑
1 ( 𝑘
𝑘
√ 𝛼 −𝛽 𝑧 =
𝑓𝑘 𝑧 𝑘 .
5
𝑘=0
𝑘=0
(8.68)
Vertaamalla sarjojen kertoimia saadaan jälleen Binet’n esitys (8.14).
77
8.4
Laajennus negatiivisiin indekseihin/Todistuksia EI kysytä
kokeessa
Lauseiden 8.11, 8.12, 8.13 ja 8.14 todistuksia ei vaadita kokeessa.
Sallitaan Fibonaccin lukujen palautuskaavassa
𝑓𝑘+2 = 𝑓𝑘+1 + 𝑓𝑘
(8.69)
negatiiviset indeksit, jolloin asettamalla 𝑘 = −1, −2, ..., saadaan
𝑓1 = 𝑓0 + 𝑓−1 ⇒ 𝑓−1 = 1,
(8.70)
𝑓0 = 𝑓−1 + 𝑓−2 ⇒ 𝑓−2 = −1,
(8.71)
𝑓−1 = 𝑓−2 + 𝑓−3 ⇒ 𝑓−3 = 2, ....
(8.72)
Sijoitetaan 𝑘 = −𝑛 rekursioon (8.69), jolloin
𝑓−𝑛 = −𝑓−(𝑛−1) + 𝑓−(𝑛−2) .
(8.73)
Lause 8.11.
𝑓−𝑛 = (−1)𝑛+1 𝑓𝑛
∀ 𝑛 ∈ ℕ.
(8.74)
Todistus. Induktiolla käyttäen rekursiota (8.73).
Äskeisen tuloksen nojalla Lause 8.5 laajenee myös negatiiviselle puolelle.
Lause 8.12. Olkoon
⎛
𝔽𝑛 = ⎝
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛
𝑓𝑛
𝑓𝑛−1
⎞
⎠.
(8.75)
Tällöin
𝔽𝑛 = 𝔽𝑛
∀𝑛 ∈ ℤ.
(8.76)
78
Todistus. 𝑛 ≥ 0 kts. Lause 8.5.
𝑛 ≤ 0.
Alkuaskel: 𝑛 = −1. Aluksi määrätään käänteismatriisi
⎞
⎛
0 1
⎠
𝔽−1 = ⎝
1 −1
(8.77)
ja toisaalta
⎛
⎞
⎛
⎞
0 1
𝑓0 𝑓−1
⎠.
⎠=⎝
𝔽−1 = ⎝
1 −1
𝑓−1 𝑓−2
(8.78)
Laskareissa loput.
Edelleen, Lauseet 8.6 ja 8.7 laaajenevat negatiivisiin indekseihin.
Lause 8.13. Olkoot 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ, tällöin
𝑓𝑛+𝑚+1 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑚+1 + 𝑓𝑛 𝑓𝑚 ,
(8.79)
2
2
𝑓2𝑚+1 = 𝑓𝑚+1
+ 𝑓𝑚
,
(8.80)
𝑓2𝑚 = 𝑓𝑚 (𝑓𝑚+1 + 𝑓𝑚−1 ).
(8.81)
Huomaa, että (8.79) on yhtäpitävä kaavan
𝑓𝑛+𝑚 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑚 + 𝑓𝑛 𝑓𝑚−1
(8.82)
kanssa.
Lause 8.14. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ, tällöin
𝑓𝑛+1 𝑓𝑛−1 − 𝑓𝑛2 = (−1)𝑛 .
(8.83)
79
8.5
Jaollisuustuloksia
Lause 8.15. Olkoot 𝑛, 𝑟, 𝑁, 𝑀 ∈ ℤ, tällöin
𝑓𝑛 ∣𝑓𝑟𝑛 ,
(8.84)
(𝑓𝑀 , 𝑓𝑁 ) = 𝑓𝑑
(8.85)
𝑓𝑀 𝑓𝑁 ∣𝑓𝑀 𝑁 .
(8.86)
ja jos (𝑀, 𝑁 ) = 𝑑, niin
ja jos 𝑀 ⊥ 𝑁 , niin
Todistus. Kohta (8.84). Relaatiosta (8.81) saadaan
𝑓2𝑛 = 𝑓𝑛 (𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛−1 ),
(8.87)
joten saadaan induktion alkuaskel
𝑓𝑛 ∣𝑓2𝑛 .
(8.88)
Sijoitetaan 𝑚 = 𝑟𝑛 yhtälöön (8.82), jolloin
𝑓(𝑟+1)𝑛 = 𝑓𝑛+1 𝑓𝑟𝑛 + 𝑓𝑛 𝑓𝑟𝑛−1 ,
(8.89)
jonka avulla saadaan induktioaskel ja siten (8.84) todistettua arvoilla 𝑟 ≥ 1.
Koska 𝑓0 = 0, niin 𝑓𝑛 ∣𝑓0 aina, kun 𝑛 ∈ ℤ. Tapaus 𝑟 ≤ 0 pienin säädöin vastaavasti.
Kohta (8.85). Nyt 𝑀 = 𝑑𝑚 ja 𝑁 = 𝑑𝑘, joillakin 𝑚, 𝑘 ∈ ℤ. siten kohdan (8.84)
nojalla
𝑓𝑑 ∣𝑓𝑀 ,
𝑓𝑑 ∣𝑓𝑁 .
(8.90)
Lauseen 3.5 nojalla on olemassa sellaiset 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ, että
𝑑 = 𝑟𝑁 + 𝑠𝑀,
(8.91)
80
joten jälleen kaavan (8.82) nojalla
𝑓𝑑 = 𝑓𝑟𝑁 +𝑠𝑀 = 𝑓𝑟𝑁 +1 𝑓𝑠𝑀 + 𝑓𝑟𝑁 𝑓𝑠𝑀 −1 .
(8.92)
Jos, nyt
𝑐∣𝑓𝑀 ,
𝑐∣𝑓𝑁 ,
(8.93)
𝑐∣𝑓𝑠𝑀 ,
𝑐∣𝑓𝑟𝑁 .
(8.94)
niin kohdan (8.84) nojalla
Täten kohdan (8.92) nojalla saadaan
𝑐∣𝑓𝑑 .
(8.95)
Kohdan (8.90) nojalla 𝑓𝑑 on yhteinen tekijä ja kohdan (8.95) nojalla suurin tekijä.
Kohta (8.86) laskarit.
𝑓𝑛 (mod 𝑘)
8.6
Tarkastellaan Fibonaccin jonoa (𝑓𝑛 ) = (𝑓𝑛 )∞
𝑛=0 (mod 𝑘).
ESIM:
(𝑓𝑛 ) ≡ (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...) (mod 2).
(8.96)
(𝑓𝑛 ) ≡ (0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, ...) (mod 3).
(8.97)
(𝑓𝑛 ) ≡ (0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1,
0, 1, 1, ...) (mod 5).
(𝑓𝑛 ) ≡ (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, ...) (mod 10),
(8.98)
(8.99)
81
𝑓15 = 𝑓30 = 𝑓45 = 𝑓60 ≡ 0, 𝑓61 = 𝑓62 ≡ 1 (mod 10).
(8.100)
Siten
𝑓3+𝑙 ≡ 𝑓𝑙
(mod 2),
∀ 𝑙 ∈ ℕ.
(8.101)
𝑓8+𝑙 ≡ 𝑓𝑙
(mod 3),
∀ 𝑙 ∈ ℕ.
(8.102)
𝑓20+𝑙 ≡ 𝑓𝑙
(mod 5),
∀ 𝑙 ∈ ℕ.
(8.103)
𝑓60+𝑙 ≡ 𝑓𝑙
(mod 10),
∀ 𝑙 ∈ ℕ.
(8.104)
Määritelmä 8.4. Jonon (𝑎𝑙 ) jakso on luku 𝐽 = 𝐽𝑎 ∈ ℤ+ , jolle pätee
𝑎𝑙+𝐽 = 𝑎𝑙
∀ 𝑙 ∈ ℕ.
(8.105)
Minimijakso= 𝑀 𝐽𝑎 = min{𝐽 ∈ ℤ+ ∣𝐽 = 𝑗𝑎𝑘𝑠𝑜}.
Olkoon 𝐽𝑓 = 𝐽𝑓 (𝑘) Fibonaccin jonon jakso (mod 𝑘).
Esimerkki 29.
𝑀 𝐽𝑓 (2) = 3, 𝑀 𝐽𝑓 (3) = 8, 𝑀 𝐽𝑓 (5) = 20, 𝑀 𝐽𝑓 (10) = 60.
(8.106)
Lause 8.16.
𝑀 𝐽𝑓 (𝑘) ≤ 𝑘 2
∀𝑘 ∈ ℤ≥2 .
(8.107)
(𝑓 𝑛 ) ⊆ ℤ𝑘 = {0, ..., 𝑘 − 1}
(8.108)
#ℤ2𝑘 = #{(𝑎, 𝑏)∣ 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ𝑘 } = 𝑘 2 ,
(8.109)
Todistus. Tarkastellaan jonoa
Koska
82
niin joukossa
{(𝑓𝑙 , 𝑓 𝑙+1 )∣ 𝑙 = 0, 1, ..., 𝑘 2 }
(8.110)
(𝑓𝑙 , 𝑓 𝑙+1 ) = (𝑓ℎ , 𝑓 ℎ+1 )
(8.111)
on sellaiset alkiot, että
ja 0 ≤ 𝑙 < ℎ ≤ 𝑘 2 . Olkoon 𝐽 = ℎ − 𝑙, tällöin
𝑓 𝑙+𝐽 = 𝑓 𝑙 ,
𝑓 𝑙+𝐽+1 = 𝑓 𝑙+1
(8.112)
∀ 𝑛 ∈ ℕ,
(8.113)
ja siten rekursion nojalla
𝑓 𝑛+𝐽 = 𝑓 𝑛
misså 1 ≤ 𝐽 ≤ 𝑘 2 .
Esimerkki 30.
𝐽𝑓 (10) = 60 < 102 .
8.7
(8.114)
𝑓𝑛 (mod 𝑝)
Binet’n kaavan (8.14) avulla
√ )𝑛 (
√ )𝑛 )
1 ((
𝑓𝑛 = √
1+ 5 − 1− 5
=
2𝑛 5
)
𝑛 ( )(
√ 𝑖 ( √ )𝑖
1 ∑ 𝑛
√
5 − − 5
=
2𝑛 5 𝑖=0 𝑖
1
√
2𝑛
(( )
( )
( )
( )
)
√
√ 3
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
⋅0+
⋅2 5+
⋅0+
⋅ 2 5 + ... ,
0
1
2
3
5
(8.115)
josta
𝑛−1
2
⌊ 𝑛−1
⌋(
2
𝑓𝑛 =
∑
𝑗=0
)
𝑛
5𝑗 .
2𝑗 + 1
(8.116)
83
Lause 8.17. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ≥7 .
1.) Jos,
5
𝑝−1
2
≡1
(mod 𝑝),
(8.117)
(mod 𝑝) ja 𝑀 𝐽𝑓 (𝑝) ≤ 𝑝 − 1.
(8.118)
niin
𝑓𝑝−1 ≡ 0
2.) Jos,
5
𝑝−1
2
≡ −1
(mod 𝑝),
(8.119)
niin
𝑓𝑝+1 ≡ 0
(mod 𝑝) ja 𝑀 𝐽𝑓 (𝑝) ≤ 2𝑝 + 2.
(8.120)
Kurssilla Lukuteoria A osoitetaan neliöjäännösteorian avulla, että
1.) (8.117) ⇔ 𝑝 = 5𝑚 ± 1.
2.) (8.119) ⇔ 𝑝 = 5𝑚 ± 2.
Todistus. Yhtälöstä (8.116) saadaan
𝑝−1
𝑝−1
2
𝑓𝑝 =
2 (
∑
𝑗=0
)
( ) ( )
( )
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝 𝑝−1
𝑗
5 =
+
5 + ... +
5 2 ,
2𝑗 + 1
1
3
𝑝
(8.121)
josta Lauseiden 3.13 ja 4.5 nojalla
𝑓𝑝 ≡ 5
𝑝−1
2
(mod 𝑝).
(8.122)
Edelleen asettamalla 𝑛 = 𝑝 + 1 yhtälöön (8.116) saadaan
𝑝
𝑝
2 𝑓𝑝+1 =
⌊2⌋ (
)
∑
𝑝+1
𝑗=0
(
) (
)
𝑝+1
𝑝+1
5 =
+
5 + ...
2𝑗 + 1
1
3
𝑗
(
)
𝑝 + 1 𝑝−1
+
5 2 .
𝑝
(8.123)
(
)
𝑝+1
(𝑝 + 1)𝑝(𝑝 − 1)
≡ 0 (mod 𝑝)
=
3
3⋅2
(8.124)
Tässä
84
ja yleisemminkin pätee
(
)
𝑝+1
≡ 0 (mod 𝑝) ∀ 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 − 1.
𝑘
(8.125)
Siten yhtälön (8.123) nojalla
2𝑓𝑝+1 ≡ 1 + 5
Merkitään 𝑎 = 5
𝑝−1
2
𝑝−1
2
(mod 𝑝).
(8.126)
, jolloin 𝑎2 ≡ 1 (mod 𝑝). Nyt Lauseen 5.10 todistuksen
nojalla 𝑎 ≡ ±1 (mod 𝑝).
1.) Olkoon 𝑎 ≡ 1 (mod 𝑝). Tällöin yhtälöiden (8.122) ja (8.126) nojalla
𝑓𝑝 ≡ 1,
𝑓𝑝+1 ≡ 1 (mod 𝑝).
(8.127)
Täten, ensin rekursion avulla
𝑓𝑝−1 ≡ 0 (mod 𝑝)
(8.128)
ja edelleen rekursion nojalla
𝑓𝑝−1+𝑙 ≡ 𝑓𝑙
(mod 𝑝) ∀𝑙 ∈ ℕ,
(8.129)
joten 𝐽𝑓 (𝑝) = 𝑝 − 1.
2.) Olkoon 𝑎 ≡ −1 (mod 𝑝). Tällöin yhtälöiden (8.122) ja (8.126) nojalla
𝑓𝑝 ≡ −1,
𝑓𝑝+1 ≡ 0 = 𝑓0
(mod 𝑝).
(8.130)
Täten
𝑓𝑝+2 ≡ −1 = −𝑓1
(mod 𝑝),
(8.131)
𝑓𝑝+3 ≡ −1 = −𝑓2
(mod 𝑝)
(8.132)
85
ja edelleen
𝑓2𝑝+1 ≡ −𝑓𝑝 ≡ 1 (mod 𝑝)
(8.133)
sekä
𝑓2𝑝+2 ≡ −𝑓𝑝+1 ≡ 0,
(mod 𝑝)
(8.134)
joten 𝐽𝑓 (𝑝) = 2𝑝 + 2.
Esimerkki 31. 𝑝 = 11 ≡ 1 (mod 5), jolloin
5
𝑝−1
2
= 55 ≡ 1 (mod 11).
(8.135)
Nyt 11∣𝑓10 ja MJ𝑓 (11) = 10 = 𝑝 − 1.
Esimerkki 32. 𝑝 = 29 ≡ −1 (mod 5) ja
5
𝑝−1
2
= 514 ≡ 1 (mod 29).
(8.136)
Nyt 29∣𝑓28 mutta MJ𝑓 (29) = 14 = (𝑝 − 1)/2.
Esimerkki 33. 𝑝 = 7 ≡ 2 (mod 5) ja
5
𝑝−1
2
= 53 ≡ −1 (mod 7).
(8.137)
Nyt 7∣𝑓8 ja MJ𝑓 (7) = 16 = 2𝑝 + 2.
86
9
Lucasin jonot/EI kysytä kokeessa
9.1
Rekursio ja ratkaisu yritteellä
Jono (𝑤𝑛 ) on ei-triviaali, jos ainakin yksi alkio 𝑤𝑛 ∕= 0.
Määritelmä 9.1. Olkoot 𝑟, 𝑠 ∈ ℂ, 𝑠 ∕= 0. Ei-triviaalia jonoa (𝑤𝑛 ), joka toteuttaa
palautuskaavan
𝑤𝑛+2 = 𝑟𝑤𝑛+1 + 𝑠𝑤𝑛 ,
𝑛∈ℕ
(10.1)
sanotaan Lucasin jonoksi.
Ratkaistaan rekursio (10.1) yritteellä
𝑤 𝑛 = 𝑥𝑛 ,
𝑥 ∈ ℂ∗ .
(10.2)
Kuten pykälässä 9. rekursiosta (10.1) saadaan
𝑥2 − 𝑟𝑥 − 𝑠 = 0,
(10.3)
jonka ratkaisut ovat
𝛼=
𝑟+
√
𝑟2 + 4𝑠
,
2
𝛽=
𝑟−
√
𝑟2 + 4𝑠
.
2
(10.4)
Määritelmä 9.2. Polynomi
𝐾(𝑥) = 𝐾𝑤 (𝑥) = 𝑥2 − 𝑟𝑥 − 𝑠 = (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽)
(10.5)
on rekursion (10.1) karakteristinen polynomi.
Lause 9.1. Olkoot 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ. Tällöin
𝑤𝑛 = 𝑎𝛼𝑛 + 𝑏𝛽 𝑛
(10.6)
on rekursion (10.1) ratkaisu.
87
1.) Olkoon 𝑟2 + 4𝑠 ∕= 0, tällöin 𝛼 ∕= 𝛽. Siten rekursion (10.1) kaikki ratkaisut ovat
muotoa (10.4), joillakin 𝑎, 𝑏 ∈ ℂ, jotka riippuvat jonon (𝑤𝑛 ) alkuarvoista 𝑤0 , 𝑤1 .
Olkoot erityisesti
𝐹𝑛 =
1
(𝛼𝑛 − 𝛽 𝑛 ) ,
𝛼−𝛽
(10.7)
jota sanotaan Fibonaccin muodoksi ja
𝐿𝑛 = 𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛 ,
(10.8)
jota sanotaan Lucasin muodoksi. Huomaa, että 𝛼𝛽 = −𝑠, 𝛼 + 𝛽 = 𝑟, 𝛼 − 𝛽 =
√
𝑟2 + 4𝑠 ja 𝐹0 = 0, 𝐹1 = 1, 𝐹2 = 𝑟, 𝐿0 = 2, 𝐿1 = 𝑟, 𝐿2 = 𝑟2 + 2𝑠.
Lause 9.2.
𝐿𝑛 =
𝐹2𝑛
.
𝐹𝑛
(10.9)
Todistus. Suoraan laskemalla
𝐹2𝑛
𝛼2𝑛 − 𝛽 2𝑛
= 𝛼 𝑛 + 𝛽 𝑛 = 𝐿𝑛 .
= 𝑛
𝐹𝑛
𝛼 − 𝛽𝑛
(10.10)
ESIM:Rekursion
𝑤𝑛+2 = 𝑤𝑛+1 − 𝑤𝑛
(10.11)
karakteristinen polynomi on
𝐾𝑤 (𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽),
missä
√
1+𝑖 3
𝛼=
,
2
√
1−𝑖 3
𝛽=
.
2
(10.12)
(10.13)
Siten rekursion (10.11) yleinen ratkaisu on muotoa (10.6).
a). Olkoot alkuarvot 𝑤0 = 2 ja 𝑤1 = 2, tällöin
√ (
√ )𝑛
√ (
√ )𝑛
3−𝑖 3 1+𝑖 3
3+𝑖 3 1−𝑖 3
𝑤𝑛 =
+
.
3
2
3
2
(10.14)
88
Toisaalta rekursiota (10.11) käyttäen saadaan
𝑤2 = 0, 𝑤3 = −2, 𝑤4 = −2, 𝑤5 = 0, 𝑤6 = 2, 𝑤7 = 2, ...
ja siten jono (𝑤𝑛 ) on jaksollinen!
2.) Tapaus 𝑟2 + 4𝑠 = 0 eli 𝛼 = 𝛽 (Ei kokeeseen). Tällöin lineaariyhdisteellä (10.6)
ei saada kaikkia ratkaisuja. Siis tarvitaan toisenlainen ratkaisuyrite, joka löytyy
luonnollisella tavalla generoivan sarjan avulla. Olkoon
𝑊 (𝑧) =
∞
∑
𝑤𝑘 𝑧 𝑘
𝑘=0
ja menetellään kuten kohdassa (9.42) eli saadaan
𝑊 (𝑧) =
∞
∑
𝑤𝑛+2 𝑧 𝑛+2 + 𝑤1 𝑧 + 𝑤0 =
𝑛=0
𝑧
∞
∑
𝑟𝑤𝑛+1 𝑧
𝑛=0
∞
∑
𝑧
𝑛+1
+𝑧
𝑟𝑤𝑘 𝑧 𝑘 + 𝑧 2
𝑘=1
2
∞
∑
𝑠𝑤𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑤1 𝑧 + 𝑤0 =
𝑛=0
∞
∑
𝑠𝑤𝑘 𝑧 𝑘 + 𝑤1 𝑧 + 𝑤0 =
𝑘=0
2
𝑟𝑧(𝑊 (𝑧) − 𝑤0 ) + 𝑠𝑧 𝑊 (𝑧) + 𝑤1 𝑧 + 𝑤0 .
(10.15)
Yhtälöstä (10.15) saadaan ratkaisu
𝑊 (𝑧) =
(𝑤1 − 𝑟𝑤0 )𝑧 + 𝑤0
.
1 − 𝑟𝑧 − 𝑠𝑧 2
Määritelmä 9.3. Sarja
𝑊 (𝑧) =
∞
∑
𝑤𝑘 𝑧 𝑘
(10.16)
𝑘=0
on lukujonon (𝑤𝑘 ) generoiva sarja ja funktio
𝑊 (𝑧) =
(𝑤1 − 𝑟𝑤0 )𝑧 + 𝑤0
.
1 − 𝑟𝑧 − 𝑠𝑧 2
(10.17)
on lukujonon (𝑤𝑘 ) generoiva funktio.
89
Muokataan nimittäjää karakteristisen polynomin avulla seuraavasti
1 − 𝑟𝑧 − 𝑠𝑧 2 = 𝑧 2 ((1/𝑧)2 − 𝑟/𝑧 − 𝑠) = 𝑧 2 𝐾(1/𝑧) =
𝑧 2 (1/𝑧 − 𝛼)(1/𝑧 − 𝛽) = (1 − 𝛼𝑧)(1 − 𝛽𝑧)
(10.18)
ja jaetaan (10.18) osamurtoihin.
II.) Tapaus 𝛼 = 𝛽. Nyt
𝑊 (𝑧) =
(𝑤1 − 𝑟𝑤0 )𝑧 + 𝑤0
𝐹
𝐸
+
=
,
2
(1 − 𝛼𝑧)
1 − 𝛼𝑧 (1 − 𝛼𝑧)2
(10.19)
missä
𝐸 + 𝐹 = 𝑤0 ,
𝐸𝛼 = 𝑟𝑤0 − 𝑤1 .
(10.20)
Siten
𝑊 (𝑧) = 𝐸
∞
∑
𝑘=0
𝛼𝑘 𝑧 𝑘 + 𝐹
∞
∑
(𝑘 + 1)𝛼𝑘 𝑧 𝑘 =
𝑘=0
∞
∑
𝑤𝑘 𝑧 𝑘 ,
(10.21)
𝑘=0
joten
𝑤𝑘 = (𝐸 + 𝐹 )𝛼𝑘 + 𝐹 𝑘𝛼𝑘 .
(10.22)
Tulos (10.22) antaa perustelun toiselle ratkaisuyritteelle
𝑤𝑘 = 𝑘𝑥𝑘 .
(10.23)
ESIM:Rekursion
𝑤𝑛+2 = 4𝑤𝑛+1 − 4𝑤𝑛
(10.24)
tapauksessa 𝑟2 + 4𝑠 = 0 eli 𝛼 = 𝛽. Nyt 𝛼 = −2, joten
𝑤𝑘 = 𝑎𝛼𝑘 + 𝑏𝑘𝛼𝑘 .
(10.25)
Olkoot nyt 𝑤0 = 1 ja 𝑤1 = −1, jolloin saadaan 𝑎 = 1 ja 𝑏 = −1/2 ja siten
1
𝑤𝑘 = (−2)𝑘 − 𝑘 (−2)𝑘 .
2
(10.26)
90
10
Antiikin lukuja
10.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut
Lukuja 𝑇𝑛 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑛 kutsutaan kolmioluvuiksi (triangular numbers).
Aritmeettisen sarjan summakaavalla ja binomikertoimen määritelmällä saadaan
(
)
𝑛+1
𝑇𝑛 =
kaikilla 𝑛 ∈ ℤ+ .
2
Lukuja □𝑛 = 𝑛2 kutsutaan neliöluvuiksi (square numbers).
Lukuja 𝒯𝑛 = 𝑇1 +𝑇2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑇𝑛 kutsutaan tetraedriluvuiksi (tetrahedral numbers).
Käyttämällä Pascalin kolmion palautuskaavaa (4.17) saadaan
)
𝑛 (
∑
𝑘+1
𝒯𝑛 =
=
2
𝑘=1
) (
)) (
)
𝑛 ((
∑
𝑘+2
𝑘+1
𝑛+2
−
=
. (10.1)
3
3
3
𝑘=1
10.2 Pythagoraan luvut
Määritelmä 10.1. Kolmikko (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℤ3≥1 on primitiivinen Pythagoraan lukukolmikko, mikäli syt(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1 ja
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 .
(10.2)
Tutkitaan ensin pariteettia. Oletetaan aluksi, että
2∣𝑎 ja 2∣𝑏,
mistä saadaan
2∣𝑐2 ⇒ 2∣𝑐, ristiriita.
Muut parit vastaavasti, eli ainakin kaksi luvuista on parittomia. Edelleen, jos olisi
𝑎 = 2𝑙 + 1 ja 𝑏 = 2𝑘 + 1 ⇒
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 ≡ 2
(mod 4), ristiriita.
91
Siis toinen luvuista 𝑎 ja 𝑏 on parillinen, muut parittomia. Olkoon vaikka
𝑎 = 2𝑙 + 1 ja 𝑏 = 2𝑘.
Nyt kaikille alkuluvuille 𝑝 pätee
𝑝∣𝑎 ja 𝑝∣𝑏 ⇒ 𝑝∣𝑐2 ⇒ 𝑝∣𝑐, ristiriita.
Vastaavasti muille pareille, joten
syt(𝑎, 𝑏) = syt(𝑎, 𝑐) = syt(𝑏, 𝑐) = 1.
Lähdetään yhtälöstä (23.7), joka on yhtäpitäävää yhtälön
𝑎2 = (𝑐 − 𝑏)(𝑐 + 𝑏)
kanssa Koska 2 ∤ 𝑎, niin
𝑎=
𝑟
∏
𝑝𝛼𝑖 𝑖
2 ∕= 𝑝𝑖 ∈ ℙ ∀𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑟.
𝑖=1
Valitaan
𝑝𝛼𝑖 𝑖 ∣𝑎
jolloin
𝑖
𝑝2𝛼
𝑖 ∣(𝑐 − 𝑏)(𝑐 + 𝑏).
Jos
𝑝𝑖 ∣𝑐 − 𝑏 ja 𝑝𝑖 ∣𝑐 + 𝑏
⇒
𝑝𝑖 ∣2𝑐 ja 𝑝𝑖 ∣2𝑏
⇒
𝑝𝑖 ∣𝑐 ja 𝑝𝑖 ∣𝑏, ristiriita.
Siis joko
2𝛼𝑖
𝑖
𝑝2𝛼
𝑖 ∣𝑐 − 𝑏 tai 𝑝𝑖 ∣𝑐 + 𝑏.
92
⇒𝑐−𝑏=
∏
2𝛼
𝑝𝑗 𝑗
=
(∏
𝑗∈𝐽
𝑐+𝑏=
∏
𝛼
𝑝𝑗 𝑗
)2
ja
𝑗∈𝐽
𝑙
𝑝2𝛼
𝑙
=
(∏
𝑙∈𝐿
𝑝𝛼𝑙 𝑙
)2
, missä
𝑙∈𝐿
𝐽 ∪ 𝐿 = {1, 2, . . . , 𝑟} 𝐽 ∩ 𝐿 = ∅.
Huomaa, että 𝑏 on parillinen ja 𝑐 pariton, eli
2 ∤ 𝑐 − 𝑏 ja 2 ∤ 𝑐 + 𝑏,
ja että syt(𝑐 − 𝑏, 𝑐 + 𝑏) = 1. Nyt siis on olemassa sellaiset luonnolliset luvut 𝑠 ja
𝑡, syt(𝑠, 𝑡) = 1, että
⎧

⎨𝑐 + 𝑏 = 𝑠 2
⇔

⎩𝑐 − 𝑏 = 𝑡2
𝑎2 = 𝑠2 𝑡2
⇔
⎧

⎨𝑐 =
𝑠2 +𝑡2
2

⎩𝑏 =
𝑠2 −𝑡2
2
ja
𝑎 = 𝑠𝑡.
Saadaan siis seuraava
Lause 10.1. Yhtälön
𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2
primitiiviset ratkaisut saadaan parametrimuodossa
⎧



𝑎 = 𝑠𝑡,


⎨
2
2
,
𝑏 = 𝑠 −𝑡
2





⎩𝑐 = 𝑠2 +𝑡2 ,
2
(10.3)
(10.4)
missä 𝑠, 𝑡 ∈ 2ℤ + 1, 𝑠 > 𝑡 ≥ 1 ja syt(𝑠, 𝑡) = 1.
93
Esimerkki 34. Olkoon 𝑡 = 1. Annetaan luvulle 𝑠 parittomia arvoja
𝑠=3
32 + 42 = 52
𝑠=5
..
.
52 + 122 = 132
..
.
𝑠 = 2𝑚 + 1
(2𝑚 + 1)2 + (4𝑇𝑚 )2 =
(2𝑚2 + 2𝑚 + 1)2 .
Esimerkki 35. Olkoon 𝑡 = 2𝑘 − 1 ja 𝑠 = 2𝑘 + 1. Nyt
⎧



𝑎 = 4𝑘 2 − 1,


⎨
𝑏 = 4𝑘,





⎩𝑐 = 4𝑘 2 + 1.
Saatiin siis ratkaisu, missä 𝑐 − 𝑎 = 2.
10.2.1 Geometrinen ratkaisu/Ei tule kokeeseen
10.3 Heronin luvut/Ei tule kokeeseen
Määritelmä 10.2. Luku 𝑚 ∈ ℤ on neliövapaa (square-free), jos ehdosta 𝑎2 ∣𝑚,
𝑎 ∈ ℤ, välttämättä seuraa 𝑎2 = 1.
Määritelmä 10.3. Neliövapaa luku 𝑛 ∈ ℤ+ on Heronin luku eli kongruentti
luku, jos ∃ sellaiset rationaaliluvut 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℚ+ , että
⎧

⎨𝐴2 + 𝐵 2 = 𝐶 2 ;
(10.5)
𝐴𝐵
.
2
+

⎩𝑛 =
Lause 10.2. Neliövapaa luku 𝑛 ∈ ℤ on kongruentti luku ⇔
on olemassa sellaiset kokonaisluvut 𝑑, 𝑠, 𝑡 ∈ ℤ+ , että
⎧

⎨𝑠, 𝑡 ∈ 2ℤ + 1, 𝑠 > 𝑡 ≥ 1, 𝑠 ⊥ 𝑡;
(10.6)

⎩4𝑛𝑑2 = 𝑠𝑡(𝑠2 − 𝑡2 ).
94
Todistus. "⇒":
Siis (10.5) toteutuu. Olkoon
𝑑 := 𝑝.𝑦.𝑗(den 𝐴, den 𝐵, den 𝐶),
𝑎 := 𝑑𝐴,
𝑏 := 𝑑𝐵,
𝑐 := 𝑑𝐶 ∈ ℤ+ , (10.7)
jolloin
⎧

⎨𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ;
(10.8)

⎩𝑠.𝑦.𝑡.(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 1.
Siten Lauseen 10.1 nojalla on olemassa sellaiset 𝑠, 𝑡 ∈ 2ℤ + 1, että 𝑠 > 𝑡 ≥ 1,
syt(𝑠, 𝑡) = 1 ja
⎧



𝑎 = 𝑠𝑡,


⎨
2
2
𝑏 = 𝑠 −𝑡
,
2





⎩𝑐 = 𝑠2 +𝑡2 .
2
(10.9)
Edelleen
𝑛=
1 𝑠𝑡 𝑠2 − 𝑡2
𝐴𝐵
=
⇒
2
2 𝑑 2𝑑
4𝑛𝑑2 = 𝑠𝑡(𝑠2 − 𝑡2 ).
(10.10)
"⇐":
Valitaan
Tällöin saadaan
⎧



𝐴 :=


⎨
𝐵 :=





⎩𝐶 :=
𝑠𝑡
;
𝑑
𝑠2 −𝑡2
;
2𝑑
𝑠2 +𝑡2
.
2𝑑
⎧

⎨𝐴2 + 𝐵 2 = ... = 𝐶 2 ,

⎩𝑛 = ... =
(10.11)
(10.12)
𝐴𝐵
.
2
Joten (10.5) toteutuu.
95
Esimerkki 36. Olkoot
3
𝐴= ,
2
Tällöin
𝐵=
20
,
3
𝐶=
41
.
6
⎧

⎨𝐴2 + 𝐵 2 = 𝐶 2 ,
(10.13)
(10.14)

⎩ 𝐴𝐵 = 5,
2
joten 𝑛 = 5 on Heronin luku.
Heronin lukuja:
5, 6, 7, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, ...
Huom 11. Heronin luvut liittyvät elliptisiin käyriin
𝑦 2 = 𝑥3 − 𝑛2 𝑥.
(10.15)
96
11
Irrationaaliluvuista
Määritelmä 11.1. Luku 𝛼 ∈ ℂ ∖ ℚ on irrationaalinen.
(Myös ei-rationaaliset 𝑝-adiset (𝑝 ∈ ℙ) luvut ovat irrationaalisia eli luku 𝛼 ∈
ℂ𝑝 ∖ ℚ on irrationaalinen, missä ℂ𝑝 on kompleksilukujen kuntaa ℂ vastaava 𝑝adisten lukujen kunta.)
Esimerkki 37.
√
I todistus. Jos, olisi
√
5=
5∈
/ ℚ.
𝑚
∈ ℚ,
𝑛
(11.1)
𝑚 ⊥ 𝑛,
(11.2)
niin
5𝑛2 = 𝑚2
⇒
⇒
52 ∣𝑚2 = 5𝑛2
5∣𝑚2
⇒
⇒
5∣𝑛2
5∣𝑚
⇒
(11.3)
5∣𝑛.
(11.4)
Selvästi tulokset (11.3) ja (11.4) ovat ristiriidassa valinnan
𝑚 ⊥ 𝑛 kanssa.
II todistus. Jos, olisi
√
5=
𝑚
∈ ℚ,
𝑛
𝑚 ⊥ 𝑛,
(11.5)
niin ∃ sellaiset luvut 𝑠, 𝑡 ∈ ℤ, että
1 = 𝑠𝑚 + 𝑡𝑛.
Siten
√
√
√
5 = 𝑠𝑚 5 + 𝑡𝑛 5 = 𝑠5𝑛 + 𝑡𝑚 ∈ ℤ
(11.6)
(11.7)
97
mutta
2<
√
5 < 3.
(11.8)
Ristiriita.
Määritelmä 11.2. Luku 𝑚 ∈ ℤ on neliövapaa (square-free), jos ehdosta 𝑎2 ∣𝑚,
𝑎 ∈ ℤ, välttämättä seuraa 𝑎2 = 1.
Tulos (11.1) yleistyy tulokseksi (Harjoitustehtävä 46)
Lause 11.1. Olkoon 𝐷 ∈ ℤ, 𝐷 ∕= 1, neliövapaa. Tällöin
√
𝐷∈
/ ℚ.
(11.9)
Lause 11.2. Olkoot 𝑛 ∈ ℤ≥3 ja 𝑟 ∈ ℚ+ . Tällöin
√
𝑛
1 + 𝑟𝑛 ∈
/ ℚ.
(11.10)
Todistus perustuu Wilesin tulokseen (5.128).
Esimerkki 38.
log 2
∈
/ ℚ.
log 3
(11.11)
Todistus. Jos olisi
log 2
𝑎
= ,
log 3
𝑏
𝑎, 𝑏 ∈ ℤ+ ,
(11.12)
niin
2𝑏 = 3𝑎
⇒
2∣3𝑎
⇒
2∣3
(11.13)
mikä on mahdotonta.
Esimerkki 39.
log 2 ∈
/ ℚ.
(11.14)
98
Ei todisteta. Todistus huomattavasti vaikeampi kuin Esimerkissä 38.
Tiedetään, että Neperin luvulle 𝑒 pätee
(
)𝑛 ∑
∞
1
1
𝑒 = lim 1 +
=
.
𝑛→∞
𝑛
𝑘!
𝑘=0
(11.15)
Lause 11.3. Neperin luku 𝑒 on irrationaalinen.
I Todistus. Olkoon siis vastaoletuksena
𝑒=
𝑎
∈ ℚ,
𝑏
𝑎, 𝑏 ∈ ℤ+ ,
𝑎 ⊥ 𝑏.
(11.16)
Valitaan sellainen kokonaisluku 𝑚, että
𝑚 ∈ ℤ+ ,
𝑏≤𝑚
(11.17)
ja merkitään
(
𝑚
∑
1
𝐴 = 𝑚! 𝑒 −
𝑘!
𝑘=0
)
.
(11.18)
Aluksi huomataan, että
Toisaalta
𝑚
∑
1
𝑚!𝑎
𝐴=
− 𝑚!
∈ ℤ.
𝑏
𝑘!
𝑘=0
(11.19)
∞
∑
1
𝐴 = 𝑚!
,
𝑘!
𝑘=𝑚+1
(11.20)
joten saadaan arviot
(
)
1
1
1
0 < 𝐴 = 𝑚!
+
+
+ ... =
(𝑚 + 1)! (𝑚 + 2)! (𝑚 + 3)!
1
1
1
+
+
+ ... =
𝑚 + 1 (𝑚 + 1)(𝑚 + 2) (𝑚 + 1)(𝑚 + 2)(𝑚 + 3)
(
)
1
1
1
1+
+
+ ... <
𝑚+1
𝑚 + 2 (𝑚 + 2)(𝑚 + 3)
(
)
1
1
1
1
1+
+
+ ... =
≤ 1. (11.21)
2
𝑚+1
𝑚 + 1 (𝑚 + 1)
𝑚
99
Siten 𝐴 ∈ ℤ ja 0 < 𝐴 < 1, jotka ovat ristiriidassa.
II Todistus.
𝑒−1 =
∞
∑
(−1)𝑘
𝑘=0
𝑘!
.
(11.22)
Olkoon siis vastaoletuksena
𝑒−1 =
𝑏
∈ ℚ,
𝑎
𝑎, 𝑏 ∈ ℤ+ ,
𝑎 ⊥ 𝑏.
(11.23)
Valitaan sellainen kokonaisluku 𝑚, että
𝑚 ∈ ℤ+ ,
𝑎≤𝑚
(11.24)
ja merkitään
(
𝐵 = 𝑚! 𝑒−1 −
𝑚
∑
(−1)𝑘
𝑘=0
)
𝑘!
.
(11.25)
Aluksi huomataan, että
Toisaalta
𝑚
∑
(−1)𝑘
𝑚!𝑏
𝐵=
− 𝑚!
∈ ℤ.
𝑎
𝑘!
𝑘=0
(11.26)
∞
∑
(−1)𝑘
.
𝐵 = 𝑚!
𝑘!
𝑘=𝑚+1
(11.27)
Käytetään alternoivien sarjojen ominaisuuksia. Olkoon
𝑟𝑛 > 𝑟𝑛+1 > 𝑟𝑛+2 > ... > 0,
𝑟𝑛 → 0,
(11.28)
ja
𝑠𝑛 := 𝑟𝑛 − 𝑟𝑛+1 + 𝑟𝑛+2 − 𝑟𝑛+3 + ....
(11.29)
0 < 𝑠𝑛 = 𝑟𝑛 − 𝑠𝑛+1 < 𝑟𝑛 .
(11.30)
Tällöin
100
Sovelletaan tulosta (11.30), kun 𝑟𝑛 =
1
.
𝑛!
Nyt esityksestä (11.27) saadaan
∞
∑
(−1)𝑘 ∣𝐵∣ = 𝑚! =
𝑘! 𝑘=𝑚+1
𝑚! (−1)𝑚+1 (𝑟𝑚+1 − 𝑟𝑚+2 + 𝑟𝑚+3 − 𝑟𝑚+4 + ...)
= 𝑚!𝑠𝑚+1 (11.31)
Siispä
0 < ∣𝐵∣ = 𝑚!𝑠𝑚+1 <
𝑚!𝑟𝑚+1 =
𝑚!
1
1
=
≤ . (11.32)
(𝑚 + 1)!
𝑚+1
2
Siten 𝐵 ∈ ℤ ja 0 < ∣𝐵∣ < 1, jotka ovat ristiriidassa.
Lause 11.4. Neperin luku 𝑒 on transkendenttinen eli ehdosta
𝑎𝑚 𝑒𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑒𝑚−1 + ... + 𝑎1 𝑒 + 𝑎0 = 0,
𝑎0 , ..., 𝑎𝑚 ∈ ℤ,
(11.33)
seuraa 𝑎0 = ... = 𝑎𝑚 = 0 aina, kun 𝑚 ∈ ℤ+ .
Siten 𝑒 ei toteuta kokonaislukukertoimista polynomiyhtälöä, jonka aste ≥ 1.
Todistetaan lievempi tulos
Lause 11.5. Neperin luku 𝑒 ei ole toisen asteen algebrallinen luku eli
𝑎𝑒2 + 𝑏𝑒 + 𝑐 ∕= 0,
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ,
𝑎𝑐 ∕= 0.
(11.34)
Todistus: Tehdään vastaoletus eli on olemassa sellaiset
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ, että
𝑎𝑒2 + 𝑏𝑒 + 𝑐 = 0,
𝑎𝑐 ∕= 0.
(11.35)
𝑎𝑐 ∕= 0,
(11.36)
Ehto (11.35) on yhtäpitävää ehdon
𝑎𝑒 + 𝑏 + 𝑐𝑒−1 = 0,
101
kanssa. Käyttämällä sarjaesityksiä, saadaan
(
𝑚
∑
1
𝑎
𝑘!
𝑘=0
)
(
+𝑏+𝑐
𝑚
∑
(−1)𝑘
)
=
𝑘!
𝑘=0
∞
∑
1
−𝑎
𝑘!
𝑘=𝑚+1
(
)
∞
∑
(−1)𝑘
−𝑐
𝑘!
𝑘=𝑚+1
(
)
, (11.37)
josta edelleen
( 𝑚
)
( 𝑚
)
∑ 1
∑ (−1)𝑘
𝐴 = 𝐴𝑚 := 𝑎𝑚!
+ 𝑏𝑚! + 𝑐𝑚!
𝑘!
𝑘!
𝑘=0
( ∞
)
( ∞ 𝑘=0)
∑ (−1)𝑘
∑ 1
− 𝑐𝑚!
. (11.38)
= −𝑎𝑚!
𝑘!
𝑘!
𝑘=𝑚+1
𝑘=𝑚+1
Aluksi huomataan, että 𝐴𝑚 ∈ ℤ ja
(
)
∞
∑
1
+ ∣𝑐∣𝑚!
≤
𝑘!
𝑘=𝑚+1
(
)
∣𝑎∣ + ∣𝑐∣
1
1
7
1+
+
+ ... ≤ , (11.39)
𝑚+1
𝑚 + 2 (𝑚 + 2)(𝑚 + 3)
9
∞
∑
1
∣𝐴𝑚 ∣ ≤ ∣𝑎∣𝑚!
𝑘!
𝑘=𝑚+1
)
(
jos valitaan 𝑚 ≥ 5 ja 𝑚 + 1 ≥ 3(∣𝑎∣ + ∣𝑐∣). Jos olisi
niin
𝐴𝑚 = 𝐴𝑚+1 = 𝐴𝑚+2 = 0,
(11.40)
⎧
(∑
)
(∑𝑚 1 )

𝑚 (−1)𝑘


+
𝑏
+
𝑐
= 0;
𝑎

𝑘=0 𝑘!
𝑘=0 𝑘!

⎨
(∑
)
(∑𝑚+1 1 )
𝑚+1 (−1)𝑘
𝑎
+
𝑏
+
𝑐
= 0;
𝑘=0
𝑘=0 𝑘!
𝑘!


(
)

(∑𝑚+2 1 )

∑𝑚+2 (−1)𝑘

⎩ 𝑎
= 0.
𝑘=0 𝑘! + 𝑏 + 𝑐
𝑘=0
𝑘!
(11.41)
Vähentämällä 1. yhtälö 2:sta ja vastaavasti 2. yhtälö 3:sta, saadaan
⎧

⎨𝑎 1 + 𝑐 (−1)𝑚+1 = 0;
(𝑚+1)!
(𝑚+1)!

⎩𝑎
1
(𝑚+2)!
+
𝑚+2
𝑐 (−1)
(𝑚+2)!
(11.42)
= 0.
102
Siten saataisiin 𝑎 = 𝑐 = 0. Ristiriita hypoteesin (11.40) kanssa. Siispä 𝐴ℎ ∕= 0,
jollakin 𝑚 ≤ ℎ ≤ 𝑚 + 2. Tällöin
𝐴ℎ ∈ ℤ,
0 < ∣𝐴ℎ ∣ < 1.
(11.43)
Ristiriita vastaoletuksen (11.35) kanssa.
103
12
Ketjumurtoluvut/EI kysytä kokeessa
Äärellisellä ketjumurtoluvulla (finite continued fraction) tarkoitetaan rationaalilauseketta
𝑎1
𝑏1 +
𝑎2
𝑏2 +...
,
+ 𝑎𝑛
𝑏𝑛
jolle käytetään seuraavia merkintöjä
( )
𝑎𝑘
𝑎1 𝑎2
𝑎𝑛
𝑛
𝕂𝑘=1
=
...
.
𝑏𝑘
𝑏1 + 𝑏2 + + 𝑏𝑛
(22.1)
Lause 12.1. Olkoot luvut 𝐴𝑛 ja 𝐵𝑛 annettu rekursioilla
𝐴𝑛+2 = 𝑏𝑛+2 𝐴𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 𝐴𝑛 ,
(22.2)
𝐵𝑛+2 = 𝑏𝑛+2 𝐵𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 𝐵𝑛
(22.3)
lähtien alkuarvoista 𝐴0 = 𝑏0 , 𝐵0 = 1, 𝐴1 = 𝑏0 𝑏1 + 𝑎1 ja 𝐵1 = 𝑏1 . Tällöin
( )
𝐴𝑛
𝑎𝑘
𝑛
∀ 𝑛 ∈ ℕ,
(22.4)
𝑏0 + 𝕂𝑘=1
=
𝑏𝑘
𝐵𝑛
kunhan 𝐵𝑛 ∕= 0.
Todistus. Induktiolla.
𝑛 = 0, jolloin
𝑉.𝑃. = 𝑏0 =
𝑏0
𝐴0
=
= 𝑂.𝑃..
1
𝐵0
𝑛 = 1, jolloin
𝑉.𝑃. = 𝑏0 +
𝑎1
𝑏 0 𝑏 1 + 𝑎1
𝐴1
=
=
= 𝑂.𝑃..
𝑏1
𝑏1
𝐵1
Induktio-oletus: Väite pätee, kun 𝑛 = 0, 1, ..., 𝑙, jolloin
𝑏0 +
𝑎1 𝑎2
𝑎𝑙
𝐴𝑙
𝑏𝑙 𝐴𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐴𝑙−2
...
=
=
.
𝑏1 + 𝑏2 + + 𝑏𝑙
𝐵𝑙
𝑏𝑙 𝐵𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐵𝑙−2
(22.5)
Korvataan 𝑏𝑙 muuttujalla 𝑥 ja merkitään
𝐾(𝑥) = 𝑏0 +
𝑎1 𝑎2
𝑎𝑙
...
,
𝑏1 + 𝑏2 + + 𝑥
(22.6)
104
jolle kohdan (22.5) nojalla pätee
𝐾(𝑥) =
𝑥𝐴𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐴𝑙−2
,
𝑥𝐵𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐵𝑙−2
(22.7)
kunhan 𝑥 ∕= 0 ja nimittäjä ∕= 0. Siten kohdista (22.6) ja (22.7) seuraa
( )
𝑎𝑙+1
𝑎𝑘
𝑙+1
𝐾(𝑏𝑙 +
) = 𝑏0 + 𝕂𝑘=1
=
𝑏𝑙+1
𝑏𝑘
(
)
𝑙+1
𝑏𝑙 + 𝑎𝑏𝑙+1
𝐴𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐴𝑙−2
(
)
=
𝑙+1
𝑏𝑙 + 𝑎𝑏𝑙+1
𝐵𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐵𝑙−2
𝑎𝑙+1
𝐴
𝑏𝑙+1 𝑙−1
𝑎𝑙+1
𝐵
𝑏𝑙+1 𝑙−1
+ 𝑏𝑙 𝐴𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐴𝑙−2
+ 𝑏𝑙 𝐵𝑙−1 + 𝑎𝑙 𝐵𝑙−2
𝐴𝑙+1
𝑎𝑙+1 𝐴𝑙−1 + 𝑏𝑙+1 𝐴𝑙
=
,
𝑎𝑙+1 𝐵𝑙−1 + 𝑏𝑙+1 𝐵𝑙
𝐵𝑙+1
=
(22.8)
missä on sovellettu rekursioita (22.2) ja (22.3) pariin otteeseen. Siten induktioaskel on osoitettu ja induktioperiaatteen nojalla väite pätee.
Määritelmä 12.1. Luku 𝐴𝑛 /𝐵𝑛 on äärettömän ketjumurtoluvun
( )
𝑎𝑘
∞
𝑏0 + 𝕂𝑘=1
(22.9)
𝑏𝑘
𝑛. konvergentti. Edelleen ketjumurtoluku (22.9) suppenee, mikäli raja-arvo
lim
𝐴𝑛
𝑛→∞ 𝐵𝑛
(22.10)
on olemassa. Tällöin sanotaan, että äärettömän ketjumurtoluvun (22.9) arvo on
raja-arvo (22.10).
Ääretöntä ketjumurtolukua (22.9) voidaan merkitä myös seuraavasti
𝑏0 +
𝑎1
𝑎1 𝑎2
.
... = 𝑏0 +
2
𝑏1 + 𝑏2 +
𝑏1 + 𝑏2𝑎+...
Usein tarkastellaan yksinkertaisia ketjumurtolukuja.
105
Määritelmä 12.2. Olkoot
𝑏0 ∈ ℕ,
𝑏𝑘 ∈ ℤ+ ,
𝑎𝑘 = 1,
∀ 𝑘 ∈ ℤ+ .
(22.11)
Tällöin ketjumurtoluku
[𝑏0 ; 𝑏1 , ..., 𝑏𝑛 ] = 𝑏0 +
𝕂𝑛𝑘=1
(
1
𝑏𝑘
)
(22.12)
on äärellinen yksinkertainen (simple) ketjumurtoluku ja vastaavasti
( )
1
∞
[𝑏0 ; 𝑏1 , ...] = 𝑏0 + 𝕂𝑘=1
(22.13)
𝑏𝑘
on ääretön yksinkertainen ketjumurtoluku.
ESIM: a) Olkoot
√
1− 5
,
𝛽=
2
√
5−1
𝛾 = −𝛽 =
,
2
0 < 𝛾 < 1.
(22.14)
Yhtälöstä
𝛽2 = 1 + 𝛽
(22.15)
saadaan
𝛽 3 = 𝛽 + 𝛽 2 = 1 + 2𝛽.
Edelleen
𝛽 4 = 2 + 3𝛽
ja induktiolla nähdään, että
𝛽 𝑛+1 = 𝑓𝑛 + 𝑓𝑛+1 𝛽
∀𝑛∈ℕ
(22.16)
∀𝑛∈ℕ
(22.17)
missä 𝑓𝑛 on Fibonaccin luku. Siten
𝑓𝑛
𝛽 𝑛+1
𝛾−
=−
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛+1
josta seuraa
𝑓
𝑛
𝛾 −
→ 0
𝑓𝑛+1 𝑛→∞
(22.18)
106
eli
√
𝛾=
𝑓𝑛
5−1
= lim
.
𝑛→∞ 𝑓𝑛+1
2
(22.19)
Merkitään nyt
𝐴𝑛 = 𝑓𝑛 ,
𝐵𝑛 = 𝑓𝑛+1 ,
(22.20)
jolloin
𝐴0 = 0,
𝐵0 = 1,
𝐴1 = 1,
𝐵1 = 1
(22.21)
ja
𝐴𝑛+2 = 𝐴𝑛+1 + 𝐴𝑛 ,
𝐵𝑛+2 = 𝐵𝑛+1 + 𝐵𝑛
∀ 𝑛 ∈ ℕ.
(22.22)
Olkoot vielä
𝑏0 = 0,
𝑎𝑛 = 1,
𝑏𝑛 = 1 ∀ 𝑛 ∈ ℤ+ .
Lause 12.2. Valinnoilla (22.20-23) saadaan
( )
𝑎𝑘
𝐴𝑛
𝑛
𝑏0 + 𝕂𝑘=1
=
∀𝑛∈ℕ
𝑏𝑘
𝐵𝑛
ja
√
𝐴𝑛
5−1
= lim
𝛾=
.
𝑛→∞
2
𝐵𝑛
(22.23)
(22.24)
(22.25)
Todistukseen tarvitaan enää rekursioiden (22.22) alkuarvojen tarkistus
𝐴0 = 0 = 𝑏0 ,
𝐵0 = 1,
𝐵1 = 1 = 𝑏1 ,
𝐴1 = 1 = 𝑏0 𝑏1 + 𝑎1
(22.26)
sekä raja-arvo
𝐴𝑛
𝑓𝑛
= lim
= 𝛾,
𝑛→∞ 𝐵𝑛
𝑛→∞ 𝑓𝑛+1
lim
(22.27)
joka tulee tuloksesta (22.19).
Huomaa, että tuloksen (22.25) nojalla saatiin laskettua arvo äärettömälle ketjumurtoluvulle
√
1
1+
1
1
1+ 1+...
=
5−1
.
2
(22.28)
107
Toisin sanoen, ensin määrättiin ketjumurtoluvun (22.28) 𝑛. konvergentti 𝐴𝑛 /𝐵𝑛 =
𝑓𝑛 /𝑓𝑛+1 ja laskettiin sen raja-arvo = 𝛾, joten Määritelmän 22.1 nojalla se on äärettömän ketjumurtoluvun (22.28) arvo.
Eräitä kehitelmiä:
𝑒=2+
𝜋=
2
2+
4
1+
,
3
4
3+ 4+...
12
,
2
3+ 2 2
3
5+ 7+...
𝑒 = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] = [2; 1, 2𝑘, 1]
𝜋 = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, ...]
13
Bernoullin luvut/Ei tule kokeeseen
13.1 Generoiva funktio ja sarja
Bernoullin luvut voidaan määritellä generoivan funktion avulla seuraavasti.
Määritelmä 13.1. Asetetaan
∞
∑ 𝐵𝑛
𝑇
=
𝑇 𝑛,
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1 𝑛=0 𝑛!
(12.1)
missä luvut 𝐵𝑛 ovat Bernoullin lukuja.
Siten Bernoullin luvut saadaan generoivan funktion
𝑇
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1
108
sarjakehitelmän kertoimista. Toisaalta yhtälön (12.1) sarja on Bernoullin lukujen
generoiva sarja. Merkitään
𝑆=
1
1
1
𝑇 + 𝑇2 + 𝑇3 + ...,
2!
3!
4!
jolloin yhtälön (11.1) nojalla
𝑇
𝑇
=
=
1
1 2
1 3
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1
1 + 1! 𝑇 + 2! 𝑇 + 3! 𝑇 + 4!1 𝑇 4 + ⋅ ⋅ ⋅ − 1
1
1+
1
𝑇
2!
+
1 2
𝑇
3!
+
1 3
𝑇
4!
+ ...
=
1
= 1 − 𝑆 + 𝑆2 − 𝑆3 + . . . .
1+𝑆
(12.2)
Nyt esimerkiksi
)2
1
1 2
𝑆 =
𝑇 + 𝑇 + ...
=
2!
3!
)2
(
1
1
1 1
2
𝑇
+ 𝑇 + ...
= 𝑇2 + 𝑇3 + ...,
2 6
4
6
(
2
(12.3)
joten kohdasta (12.2) saadaan
1
1
1
1
= 1 − 𝑇 − 𝑇2 − 𝑇3 − ...
1+𝑆
2
6
24
1
1
1
+ 𝑇2 + 𝑇3 + ⋅⋅⋅ − 𝑇3 + ⋅⋅⋅ =
4
6
8
1
1
1 − 𝑇 + 𝑇2 + 0 ⋅ 𝑇3 − ⋅⋅⋅ =
2
12
𝐵0 0 𝐵1 1 𝐵2 2
𝑇 +
𝑇 +
𝑇 + ....
(12.4)
0!
1!
2!
Täten
𝐵0 = 1,
1
𝐵1 = − ,
2
𝐵5 = 0,
1
1
𝐵2 = , 𝐵3 = 0, 𝐵4 = − ,
6
30
1
𝐵6 = , ....
(12.5)
42
(Tämä menetelmä on käytännössä suhteellisen nopea.)
Lause 13.1. Olkoon 𝑘 ∈ ℤ+ . Tällöin
𝐵2𝑘+1 = 0.
(12.6)
109
Todistus. Merkitään
𝐺(𝑇 ) =
𝑇
𝑇
𝑇 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) + 1
+ =
=
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1
2
2 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1
∞
∑
𝑔𝑛 𝑇 𝑛 ,
(12.7)
𝑛=0
jolloin
𝐺(−𝑇 ) =
−𝑇 𝐸𝑋𝑃 (−𝑇 ) + 1
−𝑇 1/𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) + 1
=
=
2 𝐸𝑋𝑃 (−𝑇 ) − 1
2 1/𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1
𝑇 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) + 1
= 𝐺(𝑇 ).
2 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) − 1
(12.8)
Yhtälön (12.8) nojalla 𝐺(𝑇 ) on parillinen eli
𝑔2𝑘+1 = 0 ∀ 𝑘 ∈ ℕ
(12.9)
ja yhtälön (12.7) nojalla
𝐺(𝑇 ) =
∞
∑
𝐵𝑛
𝑛!
𝑛=0
𝑇𝑛 +
𝑇
,
2
(12.10)
joten saadaan väite.
13.2 Palautuskaava
Johdetaan seuraavaksi tärkeä Bernoullin lukujen palautuskaava. Merkitään ensin
∞
∑
1 𝑛
𝑒 =
𝑇
𝑛!
𝑛=0
𝑇
ja
𝐵(𝑇 ) =
∞
∑
𝐵𝑛
𝑛=0
𝑛!
𝑇 𝑛.
Nyt määrittely-yhtälön (12.1) nojalla
𝑇 = (𝑒𝑇 − 1)𝐵(𝑇 ),
(12.11)
110
eli
∞
∞
∑
1 𝑙 ∑ 𝐵𝑘 𝑘
𝑇
𝑇 .
𝑇 =
𝑙!
𝑘!
𝑘=0
𝑙=1
(12.12)
Verrataan vastinpotenssien kertoimia, jolloin saadaan aluksi
𝑇1 :
1=
1 𝐵0
1! 0!
⇒
𝐵0 = 1.
(12.13)
Yleisemmin Caychyn kertosäännöllä saadaan
𝑇 𝑛≥2 :
0=
1 𝐵𝑘
,
𝑙!
𝑘!
𝑙+𝑘=𝑛,𝑙≥1
∑
(12.14)
missä 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛−1. Lavennetaan vielä 𝑛!:lla, jolloin palautuskaava saa seuraavan
implisiittisen muodon.
Lause 13.2. Olkoon 𝑛 ∈ ℤ≥2 . Tällöin
𝑛−1 ( )
∑
𝑛
𝐵𝑘 = 0.
𝑘
𝑘=0
(12.15)
Edelleen (12.15) voidaan esittää yhtäpitävästi eksplisiittisessä muodossa
((
)
(
)
𝑚+1
𝑚+1
−1
𝐵0 +
𝐵1 + ...
𝐵𝑚 =
𝑚+1
0
1
(
)
)
𝑚+1
+
𝐵𝑚−1
∀ 𝑚 ∈ ℤ+ , 𝐵0 = 1.
(12.16)
𝑚−1
Välittömästi nähdään, että
𝐵𝑚 ∈ ℚ ∀ 𝑚 ∈ ℕ.
(12.17)
13.3 Potenssisummia
Johdetaan seuraavassa potenssisummalle
𝑆𝑚 (𝑛) = 1𝑚 + 2𝑚 + ... + 𝑛𝑚 ,
𝑚 ∈ ℕ,
𝑛 ∈ ℤ+ ,
(12.18)
111
lauseke Bernoullin lukujen avulla. Nyt
𝑒0⋅𝑇 + 𝑒1⋅𝑇 + ... + 𝑒𝑛⋅𝑇 =
1+
∞
∑
𝑚=1
0𝑚
∞
∞
∑
∑
𝑇𝑚
𝑇𝑚
𝑇𝑚
+1+
1𝑚
+ ... + 1 +
𝑛𝑚
=
𝑚!
𝑚!
𝑚!
𝑚=1
𝑚=1
𝑛+1+
∞
∑
𝑆𝑚 (𝑛)
𝑚=1
𝑇𝑚
𝑚!
(12.19)
ja toisaalta
𝑒0⋅𝑇 + 𝑒1⋅𝑇 + ... + 𝑒𝑛⋅𝑇 =
𝑛
∑
𝑒𝑙𝑇 =
𝑛
∑
( 𝑇 )𝑙
𝑒
=
𝑙=0
𝑒(𝑛+1)𝑇 − 1
.
𝑒𝑇 − 1
𝑙=0
(12.20)
Yhdistetään tulokset (12.19) ja (12.20), jolloin
∞
∑
𝑒(𝑛+1)𝑇 − 1
𝑇𝑚
=
=
𝑛+1+
𝑆𝑚 (𝑛)
𝑚!
𝑒𝑇 − 1
𝑚=1
∞
∑ (𝑛 + 1)𝑙
𝑇 𝑒(𝑛+1)𝑇 − 1
=
𝐵(𝑇
)
𝑇 𝑙−1 =
𝑇
𝑒 −1
𝑇
𝑙!
𝑙=1
∞
∑
𝐵𝑘
𝑘=0
𝑘!
𝑇
𝑘
∞
∑
(𝑛 + 1)ℎ+1
ℎ=0
(ℎ + 1)!
𝑇 ℎ.
(12.21)
Vertaamalla identiteetin (12.21) kertoimia, saadaan
𝑆𝑚 (𝑛) = 𝑚!
∑ 𝐵𝑘 (𝑛 + 1)ℎ+1
,
𝑘!
(ℎ
+
1)!
𝑘+ℎ=𝑚
jonka nojalla pätee
Lause 13.3.
)
𝑚 (
1 ∑ 𝑚+1
𝑆𝑚 (𝑛) =
𝐵𝑘 (𝑛 + 1)𝑚+1−𝑘 .
𝑚 + 1 𝑘=0
𝑘
(12.22)
112
Tulkitaan lausekkeet 𝑆𝑚 (𝑛) polynomeiksi muuttujan 𝑛 suhteen. Yhtälön (12.22)
nojalla 𝑆𝑚 (𝑛) ∈ ℚ[𝑛].
ESIM:
𝑛(𝑛 + 1)
(12.23)
2
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
(12.24)
𝑆2 (𝑛) = 12 + 22 + ... + 𝑛2 =
6
𝑛2 (𝑛 + 1)2
𝑆3 (𝑛) = 13 + 23 + ... + 𝑛3 =
(12.25)
4
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)(3𝑛2 + 3𝑛 − 1)
𝑆4 (𝑛) = 14 + 24 + ... + 𝑛4 =
(12.26)
30
Esimerkin nojalla pätee mm. seuraavat jaollisuusrelaatiot
𝑆1 (𝑛) = 1 + 2 + ... + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1) ∣ 𝑆𝑚 (𝑛) 𝑚 = 1, ..., 4
(12.27)
ℚ[𝑛]
ja
2𝑛 + 1 ∣ 𝑆𝑚 (𝑛) 𝑚 = 2, 4.
(12.28)
ℚ[𝑛]
Todistetaan seuraavat pari relaatiota yleiselle indeksille.
Lause 13.4.
𝑛 + 1 ∣ 𝑆𝑚 (𝑛) ∀ 𝑚 ∈ ℤ+ ,
(12.29)
ℚ[𝑛]
(𝑛 + 1)2 ∣ 𝑆𝑚 (𝑛) ∀ 𝑚 ∈ 2ℤ+ + 1.
(12.30)
ℚ[𝑛]
Todistus. Suoraan tuloksesta (12.22) seuraa 𝑆𝑚 (𝑛) = 𝑅𝑚 (𝑛 + 1), missä
𝑅𝑚 (𝑥) = 𝑟𝑚+1 𝑥𝑚+1 + ... + 𝑟1 𝑥,
(
)
1
𝑚+1
𝑟1 =
𝐵𝑚 = 𝐵𝑚 .
(12.31)
𝑚+1
𝑚
Siten
𝑥∣𝑅𝑚 (𝑥) ∀ 𝑚 ∈ ℤ+
(12.32)
ja lisäksi
𝑥2 ∣𝑅2𝑗+1 (𝑥) ∀ 𝑗 ∈ ℤ+ ,
(12.33)
sillä tässä 𝑟1 = 𝐵2𝑗+1 = 0.
113
14
𝑝-valuaatio/Todistuksia EI kysytä kokeessa
Tarkastellaan alkuluvun 𝑝 esiintymistä rationaaliluvussa 𝐴 = 𝑎/𝑏.
Määritelmä 14.1. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ ja
𝐴=
𝑎
𝑐
= 𝑝𝑟 ∕= 0,
𝑏
𝑑
𝑝 ∕ ∣𝑐𝑑.
(13.1)
Tällöin asetetaan
𝑣𝑝 (𝐴) = 𝑟,
𝐴 ∕= 0.
Asetetaan lisäksi
𝑣𝑝 (0) = ∞,
missä symboli ∞ toteuttaa laskusäännöt
∞ + ∞ = ∞,
∞ + 𝑐 = ∞ ∀𝑐 ∈ ℂ,
𝑘 < ∞ ∀𝑘 ∈ ℝ.
(13.2)
Usein lukua 𝑣𝑃 (𝐴) kutsutaan eksponentiaaliseksi valuaatioksi tai 𝑝-adiseksi valuaatioksi (jonka avulla voidaan määritellä 𝑝-adinen itseisarvo).
Lause 14.1. Laskusääntöjä. Olkoon 𝑘 ∈ ℤ, tällöin
𝑣𝑝 (𝑘) ≥ 0.
(13.3)
Olkoot 𝐴, 𝐵 ∈ ℚ, tällöin
𝑣𝑝 (𝐴𝐵) = 𝑣𝑝 (𝐴) + 𝑣𝑝 (𝐵),
𝑣𝑝 (1/𝐵) = −𝑣𝑝 (𝐵),
(13.4)
(13.5)
𝑣𝑝 (𝐴/𝐵) = 𝑣𝑝 (𝐴) − 𝑣𝑝 (𝐵),
𝑣𝑝 (𝐴 + 𝐵) ≥ min{𝑣𝑝 (𝐴), 𝑣𝑝 (𝐵)},
(13.6)
(13.7)
jos lisäksi 𝑣𝑝 (𝐴) ∕= 𝑣𝑝 (𝐵), niin
𝑣𝑝 (𝐴 + 𝐵) = min{𝑣𝑝 (𝐴), 𝑣𝑝 (𝐵)}.
(13.8)
114
Todistetaan kohdat (13.7) ja 13.8).
Tapaus 𝐴𝐵 ∕= 0. Olkoot
𝛼
𝐴 = 𝑝𝑟 ,
𝛽
𝛾
𝐵 = 𝑝𝑠 ,
𝛿
missä
𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 ∈ ℤ ∖ {0},
𝛼 ⊥ 𝛽, 𝛾 ⊥ 𝛿,
𝑝 ∕ ∣𝛼𝛽𝛾𝛿.
Oletetaan vaikka, että 𝑟 ≥ 𝑠. Tällöin
(
)
𝛾
𝛼𝛿𝑝𝑟−𝑠 + 𝛽𝛾
𝑟−𝑠 𝛼
𝑠
𝐴+𝐵 =𝑝 𝑝
+
= 𝑝𝑠
,
𝛽
𝛿
𝛽𝛿
(13.9)
(13.10)
missä kohdan (13.3) nojalla
𝑣𝑝 (𝛼𝛿𝑝𝑟−𝑠 + 𝛽𝛾) = 𝑡 ≥ 0
(13.11)
sekä oletuksien (13.9) nojalla
𝑣𝑝 (𝛽𝛿) = 0.
(13.12)
Käytetään vielä tulon ja osamäärän tuloksia (13.4) ja (13.6), jolloin
𝑣𝑝 (𝐴 + 𝐵) = 𝑣𝑝 (𝑝𝑠 ) + 𝑣𝑝 (𝛼𝛿𝑝𝑟−𝑠 + 𝛽𝛾) − 𝑣𝑝 (𝛽𝛿) = 𝑠 + 𝑡 − 0 ≥
𝑠 = min{𝑟, 𝑠} = min{𝑣𝑝 (𝐴), 𝑣𝑝 (𝐵)}.
(13.13)
Täten saatiin kohta (13.7). Kohdassa (13.8) oletetaan lisäksi 𝑟 > 𝑠. Tällöin
𝑝 ∕ ∣𝛼𝛿𝑝𝑟−𝑠 + 𝛽𝛾
⇒
𝑣𝑝 (𝛼𝛿𝑝𝑟−𝑠 + 𝛽𝛾) = 𝑡 = 0.
(13.14)
Siten kohdassa (13.13) saadaan yhtäsuuruus
𝑣𝑝 (𝐴 + 𝐵) = 𝑠 + 𝑡 − 0 = 𝑠 = min{𝑟, 𝑠} = min{𝑣𝑝 (𝐴), 𝑣𝑝 (𝐵)}.
(13.15)
Kohdassa (13.7) tarvitaan vielä tapaus 𝐴𝐵 = 0.
a) 𝐴 = 𝐵 = 0, tällöin
𝑣𝑝 (𝐴 + 𝐵) = 𝑣𝑝 (0) = ∞ = min{𝑣𝑝 (𝐴), 𝑣𝑝 (𝐵)}.
(13.16)
115
a) 𝐴 ∕= 0, 𝐵 = 0, tällöin
𝑣𝑝 (𝐴 + 𝐵) = 𝑣𝑝 (𝐴) = min{𝑣𝑝 (𝐴), 𝑣𝑝 (𝐵)}.
(13.17)
Annetaan vielä kohdan (13.8) yleistys
𝑣𝑝 (𝐴1 + ... + 𝐴𝑘 ) ≥ min {𝑣𝑝 (𝐴𝑖 )}.
1≤𝑗≤𝑘
(13.18)
Määritelmä 14.2. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ annettu, tällöin
ℤ(𝑝) = {𝐴 ∈ ℚ∣ 𝑣𝑝 (𝐴) ≥ 0}
on 𝑝-kokonaislukujen (𝑝-integers) joukko.
Lause 14.2. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ, tällöin ℤ(𝑝) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas,
jonka yksikköryhmä on
ℤ∗(𝑝) = {𝐴 ∈ ℚ∣ 𝑣𝑝 (𝐴) = 0}.
Lause 14.3. Olkoot 𝑝 ∈ ℙ, 𝑘 ∈ ℤ+ ja 𝐴 = 𝑝𝑘 /(𝑘 + 1). Tällöin
𝑣𝑝 (𝐴) ≥ 0,
(13.19)
𝑣𝑝 (𝐴) ≥ 1
(13.20)
ja jos 𝑘 ≥ 2, niin
ja jos 𝑘 ≥ 3 ja 𝑝 ≥ 5, niin
𝑣𝑝 (𝐴/𝑝2 ) ≥ 0.
(13.21)
Todettakoon vielä, että kohdassa (13.19)
𝑝𝑘 /(𝑘 + 1) ∈ ℤ(𝑝)
ja kohdassa (13.20)
𝑝𝑘 /(𝑘 + 1) ≡ 0 (mod 𝑝).
116
15
Bernoullin lukujen jaollisuudesta/Ei tule kokeeseen
Bernoullin lukuihin liitty useita mielenkiintoisia jaollisuusominaisuuksia. Tutkitaan seuraavassa Bernoullin lukujen nimittäjien jaollisuutta.
Lause 15.1. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ, tällöin
𝑝𝐵𝑚 ∈ ℤ(𝑝)
∀𝑚 ∈ ℕ.
(14.1)
Todistus. Induktiolla, jolloin aluksi
𝐵0 = 1
⇒
𝑝𝐵0 = 𝑝 ∈ ℤ(𝑝)
∀𝑝 ∈ ℙ.
Relaation
(
)
( )
𝑚+1
𝑚+1
𝑚
=
𝑘
𝑚+1−𝑘 𝑘
(14.2)
ja tuloksen (12.22) nojalla
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) =
𝑚 ( )
∑
𝑚 𝐵𝑘 𝑝𝑚+1−𝑘
𝑘=0
𝑘
𝑚+1−𝑘
=
(
)
( )
𝑚
𝐵𝑚−2 𝑝3
𝑚 𝐵0 𝑝𝑚+1
+ ... +
+
𝑚−2
3
0 𝑚+1
(
)
𝑚
𝐵𝑚−1 𝑝2
+ 𝐵𝑚 𝑝.
(14.3)
𝑚−1
2
Yhtälön (14.3) termeille pätee
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) ∈ ℤ ⇒ 𝑣𝑝 (𝑆𝑚 (𝑝 − 1)) ≥ 0,
( )
( )
𝑚
𝑚
∈ ℤ ⇒ 𝑣𝑝
≥0
𝑘
𝑘
( 𝑚 )
(𝑝)
𝑝
Lause 13.3 ⇒ 𝑣𝑝
, ..., 𝑣𝑝
≥0
𝑚+1
2
Induktio-oletus
⇒
𝑣𝑝 (𝑝𝐵𝑚−𝑘 ) ≥ 0 ∀ 𝑘 = 1, ..., 𝑚.
Täten
(
( )
𝑚
𝑝𝑚
− ...
𝑣𝑝 (𝑝𝐵𝑚 ) = 𝑣𝑝 𝑆𝑚 (𝑝 − 1) −
𝑝𝐵0
0
𝑚+1
117
(
)
(
)
)
𝑚
𝑝2
𝑚
𝑝
−
𝑝𝐵𝑚−2 −
𝑝𝐵𝑚−1
≥
𝑚−2
3
𝑚−1
2
(
) ( 𝑘 )
𝑚
𝑝
min {𝑣𝑝 (𝑆𝑚 (𝑝 − 1)), 𝑣𝑝 (𝑝𝐵𝑚−𝑘 )𝑣𝑝
𝑣𝑝
}
1≤𝑗≤𝑘
𝑚−𝑘
𝑘+1
≥ 0.
(14.4)
ESIM.
1
1
2𝐵2 = 2 = ∈ ℤ(2) ,
6
3
1
1
3𝐵2 = 3 = ∈ ℤ(3) ,
6
2
𝑝
1
𝑝𝐵2 = 𝑝 = ∈ ℤ(𝑝) ∀𝑝 ∈ ℙ≥5 .
6
6
Merkitään nyt
𝐵𝑚 =
𝑁𝑚
,
𝐷𝑚
𝑁𝑚 ∈ ℤ,
𝐷𝑚 ∈ ℤ+ ,
𝑁𝑚 ⊥ 𝐷𝑚 .
Siten tulos
𝑝𝐵𝑚 ∈ ℤ(𝑝)
∀𝑝 ∈ ℙ
tarkoittaa, että
0 ≤ 𝑣𝑝 (𝐷𝑚 ) ≤ 1 ∀ 𝑝 ∈ ℙ
(14.5)
Joten ei ole sellaista alkulukua 𝑝, että
𝑝2 ∣𝐷𝑚 .
(14.6)
Määritelmä 15.1. Luku 𝑘 ∈ ℤ on neliövapaa (square free), jos ehdosta
𝑎2 ∣𝑘
ja 𝑎 ∈ ℤ+
seuraa, että 𝑎 = 1.
Tuloksen (14.6) nojalla saadaan
Lause 15.2. Bernoullin lukujen nimittäjät 𝐷𝑚 ovat neliövapaita.
118
Lause 15.3. Olkoon 𝑚 = 2𝑙 ∈ 2ℤ+ ja 𝑝 ∈ ℙ, tällöin
𝑝𝐵2𝑙 ≡ 𝑆2𝑙 (𝑝 − 1)
(mod 𝑝).
(14.7)
Todistus. Tapaus 𝑚 = 2 laskareissa. Olkoon nyt 𝑚 ≥ 4. Tällöin 𝐵𝑚−1 = 0, joten
yhtälön (14.3) nojalla
( )
𝑚
𝑝𝑚
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) =
𝑝𝐵0
+ ...
0
𝑚+1
(
)
𝑚
𝑝2
(14.8)
+
𝑝𝐵𝑚−2 + 𝑝𝐵𝑚 .
3
𝑚−2
Lauseen 14.1 nojalla
𝑝𝐵𝑚−𝑘 ∈ ℤ(𝑝)
∀ 2≤𝑘≤𝑚
ja tuloksen (13.20) nojalla
( 𝑘 )
𝑝
𝑣𝑝
≥ 1 ∀ 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚,
𝑘+1
joten
(
)
𝑚
𝑝𝑘
𝑝
𝑝𝐵𝑚−𝑘
𝑘+1
𝑚−𝑘
∀ 2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚.
(14.9)
Täten yhtälöstä (14.8) saadaan
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) ≡ 𝑝𝐵𝑚
(mod 𝑝).
(14.10)
Lause 15.4. Olkoon 𝑚 ∈ ℤ+ ja 𝑝 ∈ ℙ. Tällöin
𝑝 − 1∣𝑚
𝑝 − 1 ∕ ∣𝑚
⇒
⇒
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) ≡ −1
(mod 𝑝),
(14.11)
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) ≡ 0
(mod 𝑝).
(14.12)
Todistetaan kohta (14.11). Olkoon siis 𝑚 = 𝑎(𝑝 − 1), jollakin 𝑎 ∈ ℤ. Fermat’n
pikkulauseella saadaan
𝑆𝑚 (𝑝 − 1) = 1𝑚 + 2𝑚 + ... + (𝑝 − 1)𝑚 =
119
(
1𝑝−1
)𝑎
(
)𝑎
(
)𝑎
+ 2𝑝−1 + ... + (𝑝 − 1)𝑝−1 ≡
1𝑎 + 1𝑎 + ... + 1𝑎 = 𝑝 − 1 ≡ −1 (mod 𝑝).
Tapaus (14.12) sivuutetaan.
Yhdistämällä Lauseet 14.3 ja 14.4 saadaan
Lause 15.5. Olkoot 𝑚 ∈ 2ℤ+ ja 𝑝 ∈ ℙ. Tällöin
𝑝 − 1∣𝑚
𝑝 − 1 ∕ ∣𝑚
⇒
𝑝𝐵𝑚 ≡ −1
(mod 𝑝),
(14.13)
𝑝𝐵𝑚 ≡ 0
(mod 𝑝).
(14.14)
⇒
Seuraava tulos selvittää Bernoullin lukujen nimittäjien olemuksen.
Lause 15.6. Olkoon 𝑙 ∈ ℤ+ . Tällöin
𝐵2𝑙 = 𝐴2𝑙 −
∑
𝑞−1∣2𝑙,𝑞∈ℙ
1
,
𝑞
(14.15)
jollakin 𝐴2𝑙 ∈ ℤ.
Todistus. Olkoon
𝑅2𝑙 = {𝑞 ∈ ℙ∣ 𝑞 − 1∣2𝑙} = {𝑞1 , ..., 𝑞𝑟 }
ja merkitään
𝐴2𝑙 = 𝐵2𝑙 +
∑ 1
𝑞
𝑞∈𝑅
2𝑙
ja todistetaan, että rationaaliluku 𝐴2𝑙 on kokonainen.
a) Jos 𝑝 ∈ ℙ ∖ 𝑅2𝑙 , niin tuloksen (14.14) nojalla
𝑝𝐵2𝑙 ≡ 0 (mod 𝑝).
Siten
𝑣𝑝 (𝑝𝐵2𝑙 ) ≥ 1
⇒
𝑣𝑝 (𝑝) + 𝑣𝑝 (𝐵2𝑙 ) ≥ 1,
joten
𝑣𝑝 (𝐵2𝑙 ) ≥ 0.
(14.16)
120
Edelleen
(
𝑣𝑝 (𝐴2𝑙 ) ≥ min {𝑣𝑝 (𝐵2𝑙 ), 𝑣𝑝
1≤𝑗≤𝑟
)
1
} ≥ 0.
𝑞𝑗
(14.17)
b) Jos 𝑝 = 𝑞 ∈ 𝑅2𝑙 , niin tuloksen (14.15) nojalla
𝑞𝐵2𝑙 ≡ −1 (mod 𝑞)
(14.18)
eli 𝑞𝐵2𝑙 = −1 + ℎ𝑞, jollakin ℎ ∈ ℤ. Siten
𝑣𝑞 (𝑞) + 𝑣𝑞 (𝐵2𝑙 ) = 𝑣𝑞 (−1 + ℎ𝑞) = 0,
joten
𝑣𝑞 (𝐵2𝑙 ) = −1.
(14.19)
Tuloksen (14.19) nojalla
𝐷2𝑙 = 𝑞𝐶2𝑙 ,
𝐶2𝑙 ∈ ℤ,
𝑞 ∕ ∣𝐶2𝑙
Toisaalta tuloksesta (14.18) tulee
𝑞
𝑁2𝑙
𝑁2𝑙
+1=
+1=
𝐷2𝑙
𝐶2𝑙
𝑁2𝑙 + 𝐶2𝑙
≡ 0 (mod 𝑞),
𝐶2𝑙
(14.20)
josta saadaan
𝑞∣𝑁2𝑙 + 𝐶2𝑙 = 𝑞𝐿,
𝐿 ∈ ℤ.
(14.21)
Käyttämällä tulosta (14.21) lasketaan
𝐵2𝑙 +
missä 𝐿 ∈ ℤ,
𝐿
1
𝑁2𝑙 1
1 𝑁2𝑙 + 𝐶2𝑙
=
+ =
=
,
𝑞
𝐷2𝑙 𝑞
𝑞
𝐶2𝑙
𝐶2𝑙
(14.22)
𝑞 ∕ ∣𝐶2𝑙 . Niinpä
1
𝑣𝑝 (𝐵2𝑙 + ) ≥ 0.
𝑞
(14.23)
121
Valitaan vaikka 𝑝 = 𝑞1 , jolloin
1
𝑣𝑝 (𝐴2𝑙 ) ≥ min {𝑣𝑞1 (𝐵2𝑙 + ), 𝑣𝑝
2≤𝑗≤𝑟
𝑞1
(
)
1
} ≥ 0.
𝑞𝑗
(14.24)
Kohtien a) ja b) nojalla
𝑣𝑝 (𝐴2𝑙 ) ≥ 0 ∀ 𝑝 ∈ ℙ.
(14.25)
Täten vihdoin 𝐴2𝑙 ∈ ℤ.
Äskeisten tulosten nojalla nimittäjän käyttäytyminen tunnetaan siis hyvin. Valitettavasti osoittajista ei tiedetä läheskään yhtä paljon, mikä seuraavan Kummerin
tuloksen valossa olisi ratkaisevaa Fermat’n suuren lauseen tutkimuksessa.
Määritelmä 15.2. Alkuluku 𝑝 ∈ ℙ𝑝≥3 on säännöllinen (regular), jos
1) 𝑝 = 3 tai
2) 𝑝 ≥ 5 ja pätee
𝑝 ∕ ∣𝑁2 𝑁4 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑁𝑝−3 .
Muutoin 𝑝 on epäsäännöllinen (irregular).
Lause 15.7. Olkoon 𝑝 ∈ ℙ𝑝≥3 säännöllinen, tällöin
𝑥𝑝 + 𝑦 𝑝 ∕= 𝑧 𝑝
∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℤ+ .
(14.26)
Mainittakoon, että Andrew Wiles [Annals of Mathematics 141 (1995)] on todistanut Fermat’n väitteen (14.26) kaikille parittomille alkuluvuille. Wilesin todistus
perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin.
16
Työkaluja
16.1 Hieman polynomialgebraa
Olkoon 𝑅 ykkösellinen rengas. Tällöin
𝑅[𝑥] = {𝑃 (𝑥) ∣ 𝑃 (𝑥) =
𝑛
∑
𝑝𝑘 𝑥𝑘 ; 𝑝𝑘 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ ℕ}
(16.1)
𝑘=0
122
on 𝑅-kertoimisten polynomien joukko. Jos 𝑝𝑛 ∕= 0, niin polynomin aste deg 𝑃 (𝑥) =
𝑛, erityisesti deg 0(𝑥) = −∞. Pääpolynomiksi (monic polynomial) sanotaan polynomia, missä korkeimman potenssin kerroin 𝑝𝑛 = 1.
Määritelmä 16.1. Olkoot
𝑃 (𝑥) =
𝑛
∑
𝑝 𝑘 𝑥𝑘 ,
𝑘=0
𝑄(𝑥) =
𝑛
∑
𝑞𝑘 𝑥𝑘 ∈ 𝑅[𝑥],
𝑘=0
jolloin asetetaan
𝑃 (𝑥) = 𝑄(𝑥) ⇔ ∀𝑘(𝑝𝑘 = 𝑞𝑘 );
∑
𝑃 (𝑥) + 𝑄(𝑥) =
(𝑝𝑘 + 𝑞𝑘 )𝑥𝑘 ;
𝑘⩾0
𝑃 (𝑥)𝑄(𝑥) =
∑
(16.2)
𝑟 𝑘 𝑥𝑘 ,
𝑘⩾0
missä
𝑟𝑘 =
𝑘
∑
𝑖=0
𝑝𝑖 𝑞𝑘−𝑖 =
∑
𝑝𝑖 𝑞 𝑗 ,
(16.3)
𝑖+𝑗=𝑘
joka on Cauchyn kertosääntö.
Tällöin 𝑅[𝑥] on rengas, missä
0(𝑥) = 0 + 0 ⋅ 𝑥 + 0 ⋅ 𝑥2 + . . .
(16.4)
1(𝑥) = 1 + 0 ⋅ 𝑥 + 0 ⋅ 𝑥2 + . . .
(16.5)
on nolla-alkio ja
on ykkösalkio.
Olkoon 𝑅 = 𝐾 kunta. Tällöin polynomirengas 𝐾[𝑥] on kokonaisalue, jossa pätee
Jakoalgoritmi:
123
Olkoon 𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], 𝑎(𝑥)𝑏(𝑥) ∕= 0(𝑥) ja deg 𝑏(𝑥) ≤ deg 𝑎(𝑥). Tällöin
∃ 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] s.e.
[(𝐽.𝐴.)] 𝑎(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑏(𝑥) + 𝑟(𝑥),
deg 𝑟(𝑥) < deg 𝑏(𝑥).
(16.6)
Seuraus:
𝑝(𝛼) = 0, 𝛼 ∈ 𝐾 ⇔ (𝑥 − 𝛼) ∣ 𝑝(𝑥).
(16.7)
𝐾[𝑥]
Kokonaisalueen 𝐷 = 𝐾[𝑥] yksikköryhmä on 𝐾 ∗ . Joten polynomien 𝑎(𝑥) ja 𝑏(𝑥)
suurin yhteinen tekijä 𝑑(𝑥) = s.y.t.(𝑎(𝑥), 𝑏(𝑥)) voidaan valita pääpolynomiksi. Eukleideen algoritmin nojalla saadaan, että on olemassa sellaiset polynomit
𝑠(𝑥), 𝑡(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], että
𝑑(𝑥) = 𝑠(𝑥)𝑎(𝑥) + 𝑡(𝑥)𝑏(𝑥).
(16.8)
16.1.1 Polynomien nollakohdista
Lause 16.1. Olkoon 𝐾 kunta ja 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], 1 ≤ deg 𝑝(𝑥). Tällöin
𝑝(𝛼) = 0, 𝛼 ∈ 𝐾
⇔
𝑥 − 𝛼∣𝑝(𝑥) renkaassa 𝐾[𝑥].
Määritelmä 16.2. Jos 𝛼 ∈ 𝐾 ja
(𝑥 − 𝛼)𝑚 ∥𝑝(𝑥), 𝑚 ∈ ℤ+ ,
niin 𝑚 = 𝑚(𝛼) on polynomin 𝑝(𝑥) nollakohdan 𝛼 kertaluku. Nollakohtien lukumäärä 𝑛𝑝 on summa kertaluvuista eli
𝑛𝑝 = #{𝛼∣ 𝑝(𝛼) = 0} =
∑
𝑚(𝛼𝑖 ).
𝑝(𝛼𝑖 )=0
ESIM:
124
∙
a) Olkoon 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)3 (𝑥 + 1/2)5 . Polynomin 𝑝(𝑥) nollakohdat ovat
𝛼1 = 1 ja 𝛼2 = −1/2. Nollakohtien kertaluvut ovat 𝑚(𝛼1 ) = 3 ja 𝑚(𝛼2 ) =
5, ja nollakohtien lukumäärä 𝑛𝑝 = 3 + 5 = 8.
∙
b) Olkoon (𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1) ∈ ℝ[𝑥]. Nyt nollakohtien lukumäärä
𝑛𝑝 = 𝑚(−1) + 𝑚(1) = 2 < 4 = deg(𝑝(𝑥)).
Lause 16.2. Olkoon 𝐾 kunta ja 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], 𝑝(𝑥) ∕= 0(𝑥). Tällöin 𝑛𝑝 ≤ deg 𝑝(𝑥).
Lause 16.3. Olkoon 𝑝(𝑥) ∈ ℂ[𝑥], 𝑝(𝑥) ∕= 0(𝑥). Tällöin 𝑛𝑝 = deg(𝑝(𝑥)).
Seurauksena lauseesta saadaan
Lause 16.4. Olkoon 𝑞(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] pääpolynomeja, deg 𝑟(𝑥), deg 𝑞(𝑥) ≤ 𝐷,
ja olkoot olemassa sellaiset pisteet 𝑏1 , 𝑏2 , . . . 𝑏𝐷+1 , että 𝑏𝑖 ∕= 𝑏𝑗 , kun 𝑖 ∕= 𝑗, ja
𝑞(𝑏𝑖 ) = 𝑟(𝑏𝑖 ) kaikilla 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝐷 + 1.
Tällöin 𝑞(𝑥) = 𝑟(𝑥) polynomeina.
16.2 Lisää polynomialgebraa
16.2.1 Symmetriset peruspolynomit
Tutkitaan polynomi-identiteettiä
𝐹 (𝑥) =
𝑛
∏
𝑛
∑
(𝑥 − 𝑥𝑘 ) =
(−1)𝑛−𝑖 𝐴𝑖 𝑥𝑖 .
(7.1)
𝑖=0
𝑘=1
0. Sijoittamalla 𝑥 = 0, saadaan vakiotermeistä identiteetti
𝑛
𝐹 (0) = (−1)
𝑛
∏
𝑥𝑗 = (−1)𝑛 𝐴0 ,
𝑗=1
joten
𝐴0 =
𝑛
∏
𝑥𝑗 .
(7.2)
𝑗=1
125
(Tulolla (7.2) määritellään Normi.)
1. Lasketaan derivaatat yhtälössä (7.1) puolittain, jolloin
𝐷
𝑛
∏
(𝑥 − 𝑥𝑘 ) =
𝑘=1
1 ⋅ (𝑥 − 𝑥2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑛 ) + (𝑥 − 𝑥1 ) ⋅ (𝑥 − 𝑥3 ) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑛 ) + ...
+(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (𝑥 − 𝑥𝑛−1 ),
(7.3)
josta kohdassa 𝑥 = 0 saadaan
𝐷𝐹 (0) = (−1)𝑛−1 (𝑥2 𝑥3 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑥𝑛 + 𝑥1 𝑥3 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑥𝑛 + ...
+𝑥1 𝑥2 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑥𝑛−1 ).
(7.4)
Toisaalta
𝐷𝐹 (0) = (−1)𝑛−1 𝐴1
ja siten
𝐴1 =
𝑛
𝑛
∑
∏
𝑥𝑖 .
(7.5)
𝑗=1 𝑖=1,𝑖∕=𝑗
n-1. Myös
𝐴𝑛−1 =
𝑛
∑
𝑥𝑗
(7.6)
𝑗=1
on usein tarpeen (ja sen avulla määritellään Jälki(=Trace).) Yleisesti saadaan
𝐴𝑛−𝑘 =
∑
𝑥𝑗1 𝑥𝑗2 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑥𝑗𝑘 ,
(7.7)
1≤𝑗1 <𝑗2 <...<𝑗𝑘 ≤𝑛
joilla on yhteys
𝐴𝑛−𝑘 = 𝑠𝑘 (𝑥1 , ...𝑥𝑛 )
(7.8)
symmetrisiin peruspolynomeihin 𝑠𝑘 (elementary symmetric polynomials).
ESIM: a) 𝑛 = 4.
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )(𝑥 − 𝑥3 )(𝑥 − 𝑥4 ) = 𝑥4 − (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 )𝑥3 +
126
(𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + 𝑥1 𝑥4 + 𝑥2 𝑥3 + 𝑥2 𝑥4 + 𝑥3 𝑥4 )𝑥2
−(𝑥1 𝑥2 𝑥3 + 𝑥1 𝑥3 𝑥4 + 𝑥2 𝑥3 𝑥4 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 .
(7.9)
b) Wolstenholmen lauseen todistuksessa tarkasteltiin polynomia
𝑝−1
𝑝−1
∏
∑
𝐺(𝑥) =
(𝑥 − 𝑗) =
(−1)𝑖 𝑊𝑖 𝑥𝑖 ,
𝑗=1
𝑊𝑝−1 = 1,
𝑖=0
missä kohtien (7.2), (7.5) ja (7.6) nojalla
𝑊0 =
𝑝−1
∏
𝑗 = (𝑝 − 1)!,
𝑗=1
𝑊1 = 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) + 1 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 1) + ...
+1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 3) ⋅ (𝑝 − 1) + 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ (𝑝 − 2)
ja
𝑊𝑝−2
( )
𝑝
= 1 + 2 + ... + 𝑝 − 1 =
.
2
16.3 Formaaleista potenssisarjoista
Olkoon 𝑅 ykkösellinen rengas. Muodollista summaa
𝐴(𝑇 ) =
∞
∑
𝑎𝑘 𝑇 𝑘 ,
𝑎𝑘 ∈ 𝑅 ∀ 𝑘 ∈ ℕ,
𝑘=0
sanotaan formaaliksi potenssisarjaksi. Olkoon
𝑅[[𝑇 ]] = {𝐴(𝑇 ) =
∞
∑
𝑎𝑘 𝑇 𝑘 ∣ 𝑎𝑘 ∈ 𝑅 ∀ 𝑘 ∈ ℕ}
𝑘=0
𝑅-kertoimisten formaalien potenssisarjojen (formal power series) joukko, missä
asetetaan yhtäsuuruus, summa ja tulo seuraavasti.
127
Määritelmä 16.3. Olkoot
𝐴(𝑇 ) =
∞
∑
𝑘
𝑎𝑘 𝑇 ,
𝐵(𝑇 ) =
𝑘=0
∞
∑
𝑏𝑘 𝑇 𝑘 ∈ 𝑅[[𝑇 ]].
𝑘=0
Tällöin
𝐴(𝑇 ) = 𝐵(𝑇 ) ⇔ ∀𝑘(𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 );
∑
𝐴(𝑇 ) + 𝐵(𝑇 ) =
(𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 )𝑇 𝑘 ;
(11.1)
(11.2)
𝑘⩾0
𝐴(𝑇 )𝐵(𝑇 ) =
∑
𝑐𝑘 𝑇 𝑘 ,
(11.3)
𝑘⩾0
missä
𝑐𝑘 =
𝑘
∑
𝑎𝑖 𝑏𝑘−𝑖 =
𝑖=0
∑
𝑎𝑖 𝑏 𝑗 ,
(11.4)
𝑖+𝑗=𝑘
joka on Cauchyn kertosääntö.
Merkitään vielä
𝑎𝑘 𝑇 𝑘 = 0 ⋅ 𝑇 0 + 0 ⋅ 𝑇 + 0 ⋅ 𝑇 2 + . . . + 𝑎𝑘 𝑇 𝑘 + 0 ⋅ 𝑇 𝑘+1 + . . . .
Voidaan osoittaa, että 𝑅[[𝑇 ]] on ykkösellinen rengas, missä
0(𝑇 ) = 0 + 0 ⋅ 𝑇 + 0 ⋅ 𝑇 2 + . . . on nolla-alkio ja
1(𝑇 ) = 1 + 0 ⋅ 𝑇 + 0 ⋅ 𝑇 2 + . . . on ykkösalkio.
HUOM: a). Formaaleilla sarjoilla tutkitaan esimerkiksi rekursiojonojen algebrallisia ominaisuuksia. Formaali sarja EI ole funktio ja siksi symbolisen muuttujan
paikalle ei saa asettaa renkaan alkiota. Toisaalta, jos ensin tutkitaan sarjan suppeneminen pisteessä 𝑟 ∈ 𝑅, niin tällöin saadaan funktio, joka kuvaa alkion 𝑟
alkioksi 𝐴(𝑟) ∈ 𝑅.
b) Polynomit ovat formaalien sarjojen osajoukko eli 𝑅[𝑇 ] ⊆ 𝑅[[𝑇 ]]. Koska polynomi on äärellinen summa, niin muuttujan paikalle voi sijoittaa renkaan alkion.
Olkoon seuraavassa 𝑅 = 𝐾 kunta.
128
Määritelmä 16.4. Olkoon
𝐴(𝑇 ) = 𝑎ℎ 𝑇 ℎ + 𝑎ℎ+1 𝑇 ℎ+1 + . . . ,
𝑎ℎ ∕= 0,
(11.5)
tällöin sarjan 𝐴(𝑇 ) kertaluku (order) ord𝐴(𝑇 ) = ℎ .
Välittömästi saadaan, että
ord(𝐴𝐵) = ord(𝐴) + ord(𝐵),
ord(𝐴) = 0
⇔
𝑎0 ∕= 0.
(11.6)
(11.7)
Lause 16.5. Olkoon 𝐴(𝑇 ) ∈ 𝐾[[𝑇 ]] ja ord(𝐴) = 0. Tällöin on olemassa sellainen
𝐵(𝑇 ) ∈ 𝐾[[𝑇 ]], että
𝐴(𝑇 )𝐵(𝑇 ) = 1.
(11.8)
Toisaalta, jos (11.8) pätee joillekin 𝐴(𝑇 ), 𝐵(𝑇 ) ∈ 𝐾[[𝑇 ]], niin
ord(𝐴) = ord(𝐵) = 0.
(11.9)
Merkitään
𝐵(𝑇 ) =
1
,
𝐴(𝑇 )
mikäli (11.8) toteutuu ja sanotaan, että 1/𝐴(𝑇 ) on sarjan 𝐴(𝑇 ) käänteissarja
(inverse series).
Lauseen 3.1 todistus. Olkoon ord(𝐴) = 0 ja
𝐴(𝑇 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑇 + 𝑎2 𝑇 2 + ... ∈ 𝐾[[𝑇 ]],
𝑎0 ∕= 0.
(11.10)
Merkitään
𝐵(𝑇 ) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑇 + 𝑏2 𝑇 2 + ...,
(11.11)
jolloin yhtälöstä (11.8) saadaan
𝑎0 𝑏 0 = 1 ⇒ 𝑏 0 =
1
∈𝐾
𝑎0
(11.12)
129
𝑎0 𝑏 1 + 𝑎1 𝑏 0 = 0 ⇒ 𝑏 1 = −
𝑎1
1
𝑎1 𝑏0 = − 2 ∈ 𝐾,
𝑎0
𝑎0
(11.13)
...
𝑎0 𝑏𝑛 + 𝑎1 𝑏𝑛−1 + ... + 𝑎𝑛 𝑏0 = 0 ⇒
𝑏𝑛 = −
1
(𝑎1 𝑏𝑛−1 + ... + 𝑎𝑛 𝑏0 ),
𝑎0
(11.14)
josta saadaan 𝑏𝑛 ∈ 𝐾 laskettua. Siten 𝐵(𝑇 ) ∈ 𝐾[[𝑇 ]] ja (11.8) toteutuu.
ESIM: Olkoot
𝐴(𝑇 ) =
∞
∑
𝑇 𝑘,
𝐵(𝑇 ) = 1 − 𝑇 ∈ 𝐾[[𝑇 ]].
𝑘=0
Tällöin
𝐴(𝑇 )𝐵(𝑇 ) = (1 − 𝑇 )(1 + 𝑇 + 𝑇 2 + 𝑇 3 + . . . ) =
1 ⋅ 1 + (1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1)𝑇 + (1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1)𝑇 2 + ⋅ ⋅ ⋅ = 1
ja siten
(11.15)
∞
∑
1
=
𝑇 𝑘.
1−𝑇
𝑘=0
(11.16)
Määritelmä 16.5. Sarjojen
𝐴(𝑇 ) =
∞
∑
𝑎𝑘 𝑇 𝑘 ,
𝐵(𝑇 ) =
∞
∑
𝑏𝑘 𝑇 𝑘 ∈ 𝑅[[𝑇 ]]
𝑘=0
𝑘=0
yhdistetty sarja on
(𝐴 ∘ 𝐵)(𝑇 ) = 𝐴(𝐵(𝑇 )) =
∞
∑
𝑎𝑘 (𝐵(𝑇 ))𝑘 .
(11.17)
𝑘=0
ESIM: a) Olkoot
𝐴(𝑇 ) = 𝐵(𝑇 ) =
∞
∑
𝑇 𝑘,
𝑘=0
tällöin
(𝐴 ∘ 𝐵)(𝑇 ) = 𝐴(𝐵(𝑇 )) =
∞
∑
(𝐵(𝑇 ))𝑘 =
𝑘=0
∞
∑
(1 + 𝑇 + 𝑇 2 + . . . )𝑘 =
𝑘=0
130
1 + (1 + 𝑇 + 𝑇 2 + . . . ) + (1 + 𝑇 + 𝑇 2 + . . . )2 + ⋅ ⋅ ⋅ =
1 + 1 + 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + 1 + 1 + . . . )𝑇 + (1 + 1 + 1 + . . . )𝑇 2 + . . . ,
(11.18)
jonka kertoimet eivät suppene. Toisaalta tässä 𝐴(𝑇 ) = 𝐵(𝑇 ) = 1/(1 − 𝑇 ), jolloin
1−𝑇
−1
=
+ 1.
−𝑇
𝑇
(𝐴 ∘ 𝐵)(𝑇 ) = 𝐴(𝐵(𝑇 )) =
(11.19)
Nyt tuloksena ei ole potenssisarja (vaan Laurentin sarja). Siten yhdistetty sarja
ei aina ole olemassa.
Muodollista summaa
𝐿(𝑇 ) =
∞
∑
𝑙𝑘 𝑇 𝑘 ,
𝑙𝑘 ∈ 𝑅,
∀𝑘∈ℤ
𝑘=−∞
sanotaan formaaliksi Laurentin sarjaksi. Olkoon
∞
∑
𝑅((𝑇 )) = {𝐿(𝑇 ) =
𝑙𝑘 𝑇 𝑘 ∣ 𝑙𝑘 ∈ 𝑅 ∀ 𝑘 ∈ ℤ}
𝑘=−∞
𝑅-kertoimisten formaalien Laurentin sarjojen joukko, missä asetetaan yhtäsuuruus, summa ja yhdiste kuten formaaleilla potenssisarjoilla. Asetetaan vielä
𝑇𝑘
= 𝑇 𝑘−𝑙
𝑇𝑙
∀ 𝑘, 𝑙 ∈ ℤ,
(11.20)
jolloin tulo saadaan seuraavasti
𝐿(𝑇 )𝐾(𝑇 ) =
∑
𝑑𝑘 𝑇 𝑘 ,
(11.21)
𝑘
missä
𝑑𝑘 =
∑
𝑙𝑖 𝑘𝑗 ,
(11.22)
𝑖+𝑗=𝑘
joka yleistää Cauchyn kertosäännön (11.4). Tärkeitä formaaleja sarjoja ovat
Geometrinen sarja
∞
∑
𝑇𝑘
𝑘=0
131
Binomisarja,
∞ ( )
∑
𝑎 𝑘
𝐵𝐼𝑁𝑎 (𝑇 ) =
𝑇
𝑘
𝑘=0
Eksponenttisarja
∞
∑
1 𝑘
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 ) =
𝑇
𝑘!
𝑘=0
Sinisarja
𝑆𝐼𝑁 (𝑇 ) =
∞
∑
(−1)𝑘
𝑇 2𝑘+1
(2𝑘
+
1)!
𝑘=0
Kosinisarja
∞
∑
(−1)𝑘
𝐶𝑂𝑆(𝑇 ) =
𝑘=0
Logaritmisarja
𝐿𝑂𝐺(𝑇 ) =
(2𝑘)!
𝑇 2𝑘
∞
∑
(−1)𝑘+1
𝑇𝑘
𝑘
𝑘=1
Tangenttisarja
𝑇 𝐴𝑁 (𝑇 ) =
𝑆𝐼𝑁 (𝑇 )
𝐶𝑂𝑆(𝑇 )
Toisinaan tarvitaan useammanmuuttujan sarjoja, jolloin esimerkiksi kahdenmuuttujan tapauksessa Caychyn kertosääntö on
𝐴(𝑇 )𝐵(𝑆) =
∞
∑
𝑎𝑘 𝑇
𝑘
𝑘=0
∞ ∑
∑
∞
∑
𝑏𝑙 𝑆 𝑙 =
𝑙=0
𝑎𝑘 𝑏 𝑙 𝑇 𝑘 𝑆 𝑙 .
(11.23)
𝑛=0 𝑘+𝑙=𝑛
Lause 16.6.
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 + 𝑆) = 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 )𝐸𝑋𝑃 (𝑆),
𝐸𝑋𝑃 (−𝑇 ) =
1
,
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 )
𝐸𝑋𝑃 (𝑚𝑇 ) = 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 )𝑚 ,
(11.24)
(11.25)
𝑚∈ℤ
(11.26)
132
Todistus. Lähdetään määritelmästä ja käytetään ensin Binomikaavaa (4.27) ja
sitten Caychyn kertosääntöä (11.23), jolloin
( )
∞
∞
∑
(𝑇 + 𝑆)𝑛 ∑ 1 ∑ 𝑛 𝑘 𝑙
𝐸𝑋𝑃 (𝑇 + 𝑆) =
=
𝑇 𝑆 =
𝑛!
𝑛! 𝑘+𝑙=𝑛 𝑘
𝑛=0
𝑛=0
∞ ∑
∞
∞
∑
𝑇 𝑘 𝑆𝑙 ∑ 𝑇 𝑘 ∑ 𝑆𝑙
=
= 𝐸𝑋𝑃 (𝑇 )𝐸𝑋𝑃 (𝑆).
𝑘!
𝑙!
𝑘!
𝑙!
𝑛=0 𝑘+𝑙=𝑛
𝑘=0
𝑙=0
(11.27)
Lause 16.7. Olkoon 𝑚 ∈ ℤ ∖ {0}. Tällöin
(𝐵𝐼𝑁1/𝑚 (𝑇 ))𝑚 = 1 + 𝑇.
(11.28)
Voidaan siis merkitä
(1 + 𝑇 )
1/𝑚
= 𝐵𝐼𝑁1/𝑚 (𝑇 ) =
)
∞ (
∑
1/𝑚
𝑘=0
𝑘
𝑇 𝑘.
133
17
Osamääräkunta/EI kysytä kokeessa
Tarkennetaan hieman rationaalilukujen ja rationaalifunktioiden käsitteitä ja sitä
kautta niillä operointia.
Määritelmä 17.1. Olkoon 𝐷 kokonaisalue ja 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐷, 𝑏𝑑 ∕= 0. Asetetaan
relaatio
(𝑎, 𝑏) ∼ (𝑐, 𝑑)
⇔
𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
(19.1)
Lause 17.1. Relaatio ∼ on ekvivalenssirelaatio joukossa 𝐷 × (𝐷 ∖ {0}) = 𝒟.
Määritelmä 17.2. Ekvivalenssiluokille
[𝑎, 𝑏] = {(𝑐, 𝑑) ∈ 𝒟∣ (𝑐, 𝑑) ∼ (𝑎, 𝑏)}
sovitaan yhteenlasku
[𝑎1 , 𝑏1 ] + [𝑎2 , 𝑏2 ] = [𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 , 𝑏1 𝑏2 ]
(19.2)
ja kertolasku
[𝑎1 , 𝑏1 ][𝑎2 , 𝑏2 ] = [𝑎1 𝑎2 , 𝑏1 𝑏2 ]
(19.3)
aina, kun (𝑎1 , 𝑏1 ), (𝑎2 , 𝑏2 ) ∈ 𝒟.
Merkitään vielä
𝑎/𝑏 =
𝑎
= [𝑎, 𝑏] ja 𝑄(𝐷) = {𝑎/𝑏∣ (𝑎, 𝑏) ∈ 𝒟}.
𝑏
Voidaan todistaa, että
Lause 17.2. Kolmikko (𝑄(𝐷), +, ⋅) on kunta.
Sanotaan, että 𝑄(𝐷) on 𝐷:n osamääräkunta (quotient field, field of fractions).
Tällöin pätee rengasisomorfiatulos
𝑎
{ ∣ 𝑎 ∈ 𝐷} ∼
= 𝐷,
1
(19.4)
134
jonka nojalla voidaan merkitä 𝑎 = 𝑎/1. Edelleen
( )−1
𝑎 𝑏
𝑎1
𝑎
−1
𝑎𝑏 =
=
=
1 1
1𝑏
𝑏
(19.5)
ESIM: a) Olkoon 𝐷 = ℤ, joka on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta
𝑄(ℤ), jonka avulla rationaalilukujoukko saadaan määriteltyä tarkasti.
Määritelmä 17.3. Rationaalilukujen kunta ℚ = 𝑄(ℤ).
Nyt rationaalilukujen supistamis𝑎
𝑎𝑐
=
𝑏𝑐
𝑏
(19.6)
𝑑𝑎
𝑎
=
𝑏
𝑑𝑏
(19.7)
ja laventamislaki
seuraa suoraan määritelmästä 19.1.
b.) Olkoon 𝐾 kunta, jolloin polynomirengas 𝐷 = 𝐾[𝑥] on kokonaisalue.
Määritelmä 17.4. Rationaalifunktioiden kunta 𝐾(𝑥) = 𝑄(𝐾[𝑥]).
Tällöin pätevät ylläesitetyt supistussäännöt, jolloin mm.
𝑥+1
1
(𝑥2 − 1)𝑥
=
=1+ .
2
(𝑥 − 1)𝑥
𝑥
𝑥
(19.8)
c.) Olkoon 𝐾 kunta, jolloin formaalien sarjojen joukko 𝐷 = 𝐾[[𝑇 ]] on kokonaisalue. Tällöin saadaan osamääräkunta, joka on isomorfinen aikaisemmin määritellyn
formaalien Laurentin sarjojen kunnan kanssa eli
Lause 17.3.
𝐾((𝑇 )) ∼
= 𝑄(𝐾[[𝑇 ]]).
(19.9)
Näillä rakenteilla on seuraavat suhteet:
𝐾[𝑇 ] ⊂ 𝐾(𝑇 ) ⊂ 𝐾((𝑇 )),
𝐾[𝑇 ] ⊂ 𝐾[[𝑇 ]] ⊂ 𝐾((𝑇 )).
135
Määritelmä 17.5. Formaali derivaatta
𝐷 : 𝐾((𝑇 )) → 𝐾((𝑇 ))
on lineaarinen kuvaus, jolle pätee
𝐷𝑇 𝑘 = 𝑘𝑇 𝑘−1
∀ 𝑘 ∈ ℤ.
(19.10)
136