Download Report

Fys. matem. menet. IIa
Harjoitus 2
Kevät 2015
(Palautetaan ke 28.1. klo. 16 mennessä, käsitellään ti 3.2. ja pe 6.2.)
1. Ratkaise aaltoyhtälö
1 ∂ 2u ∂ 2u
− 2 =0
c2 ∂t2
∂x
(x, 0) = ψ(x),
alueessa −∞ < x < ∞, t > 0, kun alkuehdot ovat u(x, 0) = 0, ∂u
∂t
missä funktio ψ(x) on nollasta eroava ainoastaan välillä [−, ].
2. Ratkaise L-pituisen kielen värähtelyjä kuvaava aaltoyhtälö
utt − c2 uxx = 0, 0 < x < L, 0 < t < ∞ ,
reunaehdoilla
u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 < t < ∞,
ja alkuehdoilla
u(x, 0) =
1
πc
sin(2πx/L), ut (x, 0) =
sin(4πx/L), 0 < x < L .
2
L
3. Ratkaise Fourier’n muunnoksen avulla kaksiulotteinen aaltoyhtälö
utt − c2 uxx − c2 uyy = 0
alueessa (x, y) ∈ R2 , 0 < t < ∞, alkuehdolla
x2 + y 2
u(x, y, 0) = exp(−
), ut (x, y, 0) = 0 ,
σ2
missä σ > 0. Jätä vastaus Fourier’n integraalin muotoon.
4. Polarisaatiofiltteri: Digitaalisissa järjestelmäkameroissa voidaan käyttää
aurinkoisella säällä pyöröpolarisaatiofiltteriä kuvan värien parantamiseksi.
Filtteri koostuu kahdesta kerroksesta, joista ensimmäinen päästää läpi vain
yhteen suuntaan polarisoitunutta valoa. Toinen kerros muuttaa tämän lineaarisesti polaroituneen valon ympyräpolaroituneeksi, jotta kameran polarisaatioon
perustuva automaattitarkennus toimisi oikein. Valon käyttäytymistä tässä kerroksessa voidaan mallintaa aaltoyhtälöllä
~ 2~u = 0 ,
~utt − c2 P ∇
missä P on diagonaalinen matriisi, joka kuvaa allonnopeuden riippuvuutta polarisaatiosuunnasta. Yksinkertaistuksena mallinnamme valon käyttäytymistä
matriisilla
 2

r 0 0
P = 0 1 0  ,
0 0 1
missä 0 < r < 1.
Tarkastellaan filtterin läpi z-suunnassa etenevää tasoaaltoa
~u(z, t) = ~ei(kz−ω(k)t) ,
missä ~ on etenemissuuntaa vastaan kohtisuora polarisaatiovektori. Filtteriin
saapuva valo on lineaarisesti polarisoitunutta, joten tasossa z = 0 pätee reunaehto
~u = ~i e−iωi t ,
missä polarisaatiovektori ~i = (1, 1, 0) ja ωi = cki on sisään tulevan valon
kulmataajuus. Vastaavasti filtteristä poistuva valo on ympyräpolarisoitunutta,
joten tasossa z = d pätee
~u(z = d) = ~o e−iωi t+iφ ,
missä polarisaatiovektori ~o = (eiπ/2 , 1, 0). Vakio φ on filtterissä tapahtuva
vaihesiirto ja d filtterin paksuus.
(a) Sijoita tasoaaltoyrite aaltoyhtälöön. Millä vaihenopeuksilla tasoaallon xja y-suuntaisesti polarisoituneet komponentit etenevät filtterin sisällä?
(b) Mikä on aaltoyhtälön yleinen ratkaisu z-suunnassa eteneville tasoaalloille?
* (c) Aseta annetut reunaehdot, ja ratkaise filtterin paksuus sisään tulevan
valon aallonpituuden funktiona, kun r = 1/2.
5. Kitaran äänenväri: Kitarankieltä voidaan mallintaa yksiulotteisella aaltoyhtälöllä
utt − v 2 uxx = 0 .
Kielen pituus on L ja se on päistään kiinnitetty, joten sille pätevät reunaehdot
u(0, t) = u(L, t) = 0 .
Oletetaan, että kitaristi näppää kieltä ajanhetkellä t = 0. Tällöin kielen muotoa voidaan arvioida funktiolla
dx/βL
x < βL
f (x) =
,
d(L − x)/(L − βL)
x > βL
missä d on kielen venymä ja β kuvaa näppäyskohtaa. Lisäksi kieli on hetkellä
t = 0 likimain paikoillaan, joten alkuehdot ovat
u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0 .
Ratkaise aaltoyhtälö näillä alku- ja reunaehdoilla. (2p.)
Ihminen hahmottaa äänenvärin ensimmäisten harmonisten monikertojen perusteella. Laske perustaajuuden (n=1) ja muutaman alimman monikerran
(n=2,3,4...) amplitudien itseisarvot, kun kieltä näpätään läheltä keskikohtaa (β=1/2), kaikuaukon keskikohdalta (β=0,26) tai läheltä kielen päätä
(β=1/10). Voit olettaa kielen venymäksi d=0,65cm ja pituudeksi L=65cm.
Mitä huomaat? (1p.)
(Vihje: Amplitudit kannattaa ehkä piirtää (n, A)-koordinaatistoon pylväinä,
jolloin muodostuu eräänlainen spektrogrammi.)