Download Report

JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
1(36)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2007
3
Del I, 8 uppgifter utan miniräknare
3
Del II, 9 uppgifter med miniräknare
6
NpMaB HT 2007 LÖSNINGAR
11
Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del 1 # 1
(2/0)
Lös ekvationerna . . . . . . .
Del 1 # 2
(1/0)
Startordning . . . . . . . . .
Del 1 # 3
(2/0)
Linjärt ekvationssystem . . .
Del 1 # 4
(1/2)
Förenkla så långt som möjligt
Del 1 # 5
(1/1)
Tre linjer . . . . . . . . . . .
Del 1 # 6
(0/1)
Inkast eller frispark . . . . . .
Del 1 # 7
(0/1)
Olikhet . . . . . . . . . . . .
Del 1 # 8
(0/2/⊗) Triangel . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
13
14
15
17
18
19
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
25
26
27
29
30
31
32
Del II: Digitala verktyg är
Del 1 # 9
(2/0)
Del 1 # 10
(3/2)
Del 2 # 11
(4/0)
Del 2 # 12
(1/1)
Del 2 # 13
(1/1)
Del 2 # 14
(1/2)
Del 2 # 15
(1/1/⊗)
Del 2 # 16
(0/3/⊗)
Del 2 # 17
(2/4/⊗)
c G Robertsson
tillåtna
Linje genom punkter .
Termos . . . . . . . .
Mast med linor . . . .
Skidhandskar . . . . .
Triangel i cirkel . . . .
Golfbollar . . . . . . .
Medelvärde och median
Liksidig triangel . . .
Dela lika . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
2(36)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
1
Ma 1
Ma 2
1
Ma 2bc 1
2
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17
9
14
3 4 5 6 7 2 9 10 11
16 17
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 16 17
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
NpMaB ht 2007 Version 1
Del I
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får
tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
2.
a)
Lös ekvationen x 2 − 6 x + 5 = 0
(2/0)
b)
Lös ekvationen 3x 2 − 27 = 0
(2/0)
Startordningen i skolans idolshow ska lottas och alla som ska uppträda står därför
på scenen i skolans aula. Det är nio olika uppträdanden och Jenny har ett av dessa.
Nio papperslappar med talen 1 till och med 9 (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta
i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att
dra en lapp.
Hon vill helst inte vara den första som ska uppträda.
Vad är sannolikheten att Jenny inte behöver uppträda först?
Endast svar fordras
3.
2 x + 5 y = 14
Lös ekvationssystemet 
3x + y = −5
4.
Förenkla så långt som möjligt
(1/0)
(2/0)
a)
(5 x − 3)( x + 4) − 17 x
(1/0)
b)
( x + 3) 2 − 3(3 + x)
(1/0)
NpMaB ht 2007 Version 1
5.
Figuren visar tre linjer i ett koordinatsystem. Två av dessa är parallella.
En av linjerna i figuren har ekvationen y = 2 x − 3. En annan linje har
ekvationen y = 0,5 x + 8
6.
a)
Bestäm en ekvation för den tredje linjen.
b)
Motivera ditt svar i a)
Endast svar fordras
(1/0)
(0/1)
Fasta situationer i fotboll är till exempel frispark och inkast. Vid båda dessa
tillfällen har spelet tillfälligt stannat upp och bollen ska åter sättas i spel. Vid en
fast situation satte en spelare bollen i rörelse. Bollen följde därefter en bana som
kan beskrivas med formeln
y = 2,0 + 0,62 x − 0,043 x 2
där y är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter längs marken från
den plats där spelaren befann sig.
Gjorde spelaren en frispark eller ett inkast? Motivera ditt svar.
(0/1)
NpMaB ht 2007 Version 1
7.
I figuren nedan är linjen y = 7 −
För vilka x gäller att 7 −
8.
3x
> 1?
4
3x
ritad.
4
Endast svar fordras
(0/1)
I den rätvinkliga triangeln ABC dras höjden h mot hypotenusan AB. Höjden
delar hypotenusan i två delar som i figuren betecknas med x och y.
Visa att h = x ⋅ y
(0/2/¤)
NpMaB ht 2007 Version 1
Del II
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
10.
En rät linje går genom punkterna (0, 3) och (2, 7)
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
b)
Bestäm linjens ekvation.
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
Ett företag som tillverkar en ny termosmodell undersöker termosens förmåga att
behålla temperaturen för olika drycker. Vid en mätning avtar temperaturen för
kaffe enligt sambandet y = f (t )
Diagrammet visar kaffets temperatur y °C som funktion av tiden t timmar efter det
att termosen fylldes med kaffe.
a)
Bestäm f (6)
Endast svar fordras
b)
Tolka vad f (6) betyder i detta sammanhang.
(1/0)
c)
Formulera en fråga om kaffet som kan besvaras med hjälp av lösningen till
ekvationen f (t ) = 50
(0/1)
f (6) − f (0)
6
d)
Beräkna
e)
Tolka vad
f (6) − f (0)
betyder i detta sammanhang.
6
(1/0)
(1/0)
(0/1)
NpMaB ht 2007 Version 1
11.
12.
En 30 meter hög mast är fastspänd med linor som går från masten snett ner till
marken. Den övre linan är 40 meter lång och har sitt fäste 5 meter under mastens
topp. Den undre linan har sitt fäste ytterligare 10 meter längre ner på masten. Den
är spänd parallellt med den övre linan. Masten står vinkelrätt mot marken.
a)
Hur långt ut från masten är den övre linan fäst i marken?
(2/0)
b)
Hur lång är den undre linan?
(2/0)
En företagare tillverkar skidhandskar i färgerna mörkblå, grå och svart. För att få
en bättre uppfattning om färgernas popularitet bland ungdomar så skickade han ut
en enkät.
Enkäten skickades ut till 500 ungdomar som går på en närbelägen gymnasieskola.
Av de 297 svaren som han fick in framgick att 19 % föredrar mörkblå, 41 % grå
och 40 % svarta handskar.
Eftersom bortfallet var stort gjorde han en undersökning av bortfallsgruppen. Han
ringde därför slumpvis upp 55 av de ungdomar som inte skickat in enkäten och då
svarade 10 av dem mörkblå, 23 grå och de övriga svart.
Kommentera resultatet av bortfallsundersökningen.
(1/1)
NpMaB ht 2007 Version 1
13.
I cirkeln nedan är AC en diameter.
Mätning i figur ej tillåten
14.
15.
a)
Hur stor är vinkeln x?
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Hur stor är vinkeln y?
Endast svar fordras
(0/1)
Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur
bagen.
a)
Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar?
(1/1)
b)
Hur stor är sannolikheten att Johanna får en boll av vardera färgen?
(0/1)
a)
Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än
medianen för talen.
Endast svar fordras
(1/0)
b)
16.
Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre
än medianen för talen? Motivera.
De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant,
bildar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm k så att denna triangel blir
liksidig.
(0/1/¤)
(0/3/¤)
NpMaB ht 2007 Version 1
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur generell din lösning är
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
17.
Ibland har man nytta av att kunna dela
ett glasspaket i tre lika stora delar. Det
finns en metod att göra detta med
enbart en kniv. Din uppgift är att undersöka metoden och visa att den fungerar.
Glasspaketet har formen av ett rätblock.
Vi börjar med att dela in glasspaketet i två lika stora delar.
Dela lika på två
Markera diagonalerna och markera en linje genom diagonalernas skärningspunkt A
parallellt med kortsidorna. Denna linje delar glasspaketet i två lika stora delar.
Ett glasspaket som har måtten 18 cm × 9 cm × 3,1 cm rymmer en halv liter glass.
Tänk dig nu ovansidan av detta glasspaket, med måtten 18 cm × 9 cm, inlagt i ett
koordinatsystem.
•
Bestäm ekvationer för de räta linjer som utgör diagonaler.
•
Bestäm skärningspunkten A genom att lösa ett ekvationssystem och visa att
den streckade linjen genom punkten A delar paketet i två lika stora delar.
NpMaB ht 2007 Version 1
Nu fortsätter vi med att visa en metod att dela ett glasspaket i tre lika stora delar.
Dela lika på tre
Markera en linje genom ett hörn och mitten av den motsatta långsidan. Denna
linje skär diagonalen i en punkt B. Dela paketet längs en linje som går genom B
parallellt med kortsidorna. Då får du en tredjedel. Den andra tredjedelen skär du
av på andra sidan med samma metod och samtidigt får du då också den sista
tredjedelen.
•
Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm skärningspunkten B för
glasspaketet som har måtten 18 cm × 9 cm på ovansidan.
Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar i detta fall.
(Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.)
•
Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar för alla glasspaket i form av
rätblock, oavsett vilka mått ovansidan har.
(Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.)
(2/4/¤)
NpMaB ht 2007 Version 1
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
11(36)
Del I
Denna del består
8 uppgifter
och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
NpMaB
HTav2007
LÖSNINGAR
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får
tillgång till din miniräknare.
Del
I: Digitala
verktyg
INTE
tillåtna
Observera
att arbetet med
Del II kan är
påbörjas
utan
tillgång till miniräknare.
Del 1 # 1
1.
(2/0)
Lös ekvationerna
1(4)
Ma2
Lös ekvationen x 2 − 6 x + 5 = 0
a)
(2/0)
Formler till nationellt
prov i matematik kurs 2
2
Lös ekvationen 3x − 27 = 0
b)
(2/0)
a) Ekvationen är en 2:a gradsekvation. Lös ekvationen med pq-formeln som finns i
Algebra
FORMELSAMLINGEN.
2.
Startordningen i skolans idolshow ska lottas och alla som ska uppträda står därför
på scenen i skolans aula. Det är nio olika uppträdanden och Jenny har ett av dessa.
papperslappar med talen 1 till och med 9 Andragradsekvationer
(ett tal på varje lapp) ligger hopvikta
i en
hatt.
Startordningen bestäms av talet på papperslappen.
Jenny är den första att
2
x 2 + px + q = 0
(a + bdra
)2 =
+ 2ab + b 2
enalapp.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
2
p
 p
Hon vill helst2 inte2 vara den första som ska uppträda.
x =− ±   −q
(a + b)(a − b) = a − b
2 först?
2
Vad är sannolikheten att Jenny inte behöver uppträda
Endast svar fordras
(1/0)
2
0 = x −6 +5
|{z} |{z}
p=−6 q=5
√
√
Aritmetik
x1,2 = 3 ± 32 − 5 = 3 ± 4 = 3 ± 2
x1 = 5
2 x + 5 y = 14
3.Prefix
Lös ekvationssystemet 
(2/0)
x2 = 1
3x + y = −5
Regler
Nio
SvarT a) Gx1 = 5Moch xk2 = 1 h
b)
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
102 6
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Ekvationen är en enkel 2:a gradsekvation,
0 = så
3xlångt
− 27.
4.
Förenkla
som möjligt
Normalisera ekvationen, dela alla termer med koefficienten framför x2 . Ekvationen blir
(1/0)
a) 0 =(5 xx−2 3−
)( x9 + 4) − 17 x
Potenser
som
efter omskrivning blir
b)x2 =( x +93) 2 − 3(3 + x)
(1/0)
x
1
a
y
med
a− x = x
= a x− y
(a x ) y = a xy
a x alösningen
= a x+ y
y
a
a
x1,2 = ±3
x
Svar b) x1 = 3 och axx2 = −3.
a
=
 
a xb x = (ab) x
bx  b 
c G Robertsson
1
an
=na
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
x
a0 = 1
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
12(36)
Kommentar Alla 2:a gradsekvationer kan lösas med pq-formeln men om en av p eller q
saknas kan ekvationen lösas enklare utan pq-formel.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
1.
a)
Lös ekvationen x 2 − 6 x + 5 = 0
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
b)
Lös ekvationen 3x 2 − 27 = 0
Del 1 # 2
2.
(1/0)
(2/0)
13(36)
(2/0)
Startordning
Startordningen i skolans idolshow ska lottas och alla som ska uppträda står därför
på scenen i skolans aula. Det är nio olika uppträdanden och Jenny har ett av dessa.
Nio papperslappar med talen 1 till och med 9 (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta
i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att
dra en lapp.
Hon vill helst inte vara den första som ska uppträda.
Vad är sannolikheten att Jenny inte behöver uppträda först?
Endast svar fordras
(1/0)
Alla lappar har samma sannolikhet. Sannolikheten att få ettan är 19 . Sannolikheten att
inte få ettan är 1 − 19 = 98
2 x + 5 y = 14
3.
Lös ekvationssystemet 
(2/0)
3x + y = −5
Svar 98
4.
Förenkla så långt som möjligt
a)
(5 x − 3)( x + 4) − 17 x
(1/0)
b)
( x + 3) 2 − 3(3 + x)
(1/0)
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Nio papperslappar med talen 1 till och med 9 (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta
i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att
dra en lapp.
Hon vill helst inte vara den första som ska uppträda.
Vadvux
är utbildning
sannolikheten att Jenny inte
behöverht2007
uppträda först?
JENSEN
NpMaB
Endast svar fordras
Del 1 # 3
(2/0)
14(36)
(1/0)
Linjärt ekvationssystem
Ma2
3.
2 x + 5 y = 14
Lös ekvationssystemet 
3x + y = −5
(2/0)
Det finns två olika metoder för att lösa linjära ekvationssystem med flera obekanta. För
ekvationssystem med bara två obekanta är det betydelselöst vilken metod du väljer.
4.
Förenkla så långt som
möjligt
Substitutionsmetoden
är enkel
och fungerar utmärkt för två obekanta.
a) 2x +
(5 x5y− 3)( x + 4) −=17
14x
3x + y
= −5
2
b) ekvation
− 3(3till
+ x)
( x + 3) (2)
Skriv om
y
= −5 − 3x
Substitutera y i ekvation (1) med hjälp av ekvation (3). Vi får
2x + 5(−5 − 3x) = 14
2x − 25 − 15x = 14
−13x
= 39
x
= −3
Med ekvation (3) och (4) kan y beräknas.
y
= −5 − 3 · (−3)
y
=4
(1/0)(1)
(2)
(1/0)
(3)
(4)
Svar x = −3 och y = 4
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
2 x + 5 y = 14
3.
Lösvux
ekvationssystemet 
JENSEN
utbildning
ht2007
5
3x + y = −NpMaB
Del 1 # 4
(1/2)
(2/0)
15(36)
Förenkla så långt som möjligt
Ma2
4.
a)
Förenkla så långt som möjligt
a)
(5 x − 3)( x + 4) − 17 x
(1/0)
b)
( x + 3) 2 − 3(3 + x)
(1/0)
variant 1
(5x − 3)(x + 4) − 17x
5x · (x + 4) − 3 · (x + 4) −17x
| {z } | {z }
5x2 +20x
2
3x+12
5x + 20x − 3x − 12 − 17x
5x2 − 12
a)
variant 2
(5x − 3)(x + 4) − 17x
(5x − 3) · x + (5x − 3) · 4 −17x
| {z } | {z }
5x2 −3x
2
20x−12
5x − 3x + 20x − 12 − 17x
5x2 − 12
Svar a)
5x2 − 12
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
1(4)
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
JENSENvuxutbildning
b)
NpMaB ht2007
16(36)
variant 1
IAlgebra
FORMELSAMLINGEN finns 1:a kvadreringsregeln
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
x=−
2
p
 p
±   −q
2
2
(x + 3)2 − 3(3 + x)
| {z } | {z }
9+3x
x2 +6x+9
2
Aritmetik
x + 3x
b)Prefix
variant 2
Faktorisera
T
Gut (xM+ 3) k
tera
10
12
h
2
giga
(x + 3)mega
− 3(3kilo
+ x)hekto
9
6
3
2
10 + 3)[(x
10 + 3)
10− 3] 10
(x
(x + 3)x
x2 + 3x
d
c
m
µ
n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
-1
-2
-3
-9
10-12
10
10
10
-6
10
10
Potenser
Svar
b) 5x2 + 3x
a xa y = a x+ y
a b = (ab)
x x
x
ax
ay
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
1
ax
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
lg x + lg y = lg xy
c G Robertsson
13-01-24
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 5
NpMaB ht2007
17(36)
2007 Version
(1/1)NpMaB htTre
linjer1
Ma2
5.
Figuren visar tre linjer i ett koordinatsystem. Två av dessa är parallella.
En av linjerna i figuren har ekvationen y = 2 x − 3. En annan linje har
ekvationen y = 0,5 x + 8
a)
Bestäm en ekvation för den tredje linjen.
b)
Motivera ditt svar i a)
Endast svar fordras
(1/0)
(0/1)
Svar a) Den tredje linjen har ekvationen y = 2 x + 8.
6.
Fasta situationer i fotboll är till exempel frispark och inkast. Vid båda dessa
tillfällen
har ekvationen
spelet tillfälligt stannat upp och bollen ska åter sättas i spel. Vid en
b) Linje
C har
fast situation satte en spelare bollen i rörelse. Bollen följde därefter en bana som
ykan
= beskrivas
2 x − 3 med formeln
eftersom linjen skär y-axeln där
y = −3 och endast en av linjerna skär negativa y-axeln.
y = 2,0 + 0,62 x − 0,043 x 2
Linje B är parallell med C och har därför samma k-värde. Linje A skär y-axeln där y = 8
Linje A
skär y-axeln
i samma
punkt,
linjernai meter
har alltså
däroch
y ärBhöjden
i meter över
marken
och xbåda
är avståndet
längssamma
markenm-värde.
från
den plats där spelaren befann sig.
Svar b)
se ovan.
GjordeMotiv
spelaren
en frispark eller ett inkast? Motivera ditt svar.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(0/1)
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 6
NpMaB ht2007
(0/1)
18(36)
Inkast eller frispark
Ma2
6.
Fasta situationer i fotboll är till exempel frispark och inkast. Vid båda dessa
tillfällen har spelet tillfälligt stannat upp och bollen ska åter sättas i spel. Vid en
fast situation satte en spelare bollen i rörelse. Bollen följde därefter en bana som
kan beskrivas med formeln
y = 2,0 + 0,62 x − 0,043 x 2
där y är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter längs marken från
den plats där spelaren befann sig.
Gjorde spelaren en frispark eller ett inkast? Motivera ditt svar.
(0/1)
Bollens bana är
x=0
z
}|
{
y
= 2,0 + 0,63 − 0,043 x2
|{z}
|
{z
}
y=2
noll
Svar Inkast eftersom bollen startar på höjden 2 meter över marken.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 7
NpMaB ht2007
19(36)
2007 Version 1
(0/1)NpMaB htOlikhet
Ma2
7.
3x
ritad.
I figuren nedan är linjen y = 7 −
4
För vilka x gäller att 7 −
3x
> 1?
4
Endast svar fordras
(0/1)
Grafisk lösning, snabbast och enklast för detta problem
8.
I den rätvinkliga triangeln ABC dras höjden h mot hypotenusan AB. Höjden
delar hypotenusan i två delar som i figuren betecknas med x och y.
y =7−
3x
4
1
8
(0/2/¤)
Visa att h = x ⋅ y
Svar x < 8
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
20(36)
Algebraisk lösning
Vid räkning med olikheter är det tillåtet att addera eller subtrahera samma tal från
bägge sidor i olikheten. Det är också tillåtet att multiplicera eller dividera bägge sidor i
olikheten med ett positivt tal. Olikheten är
3x
> 1
4
Samla x på ena sidan om olikhetstecknet och tal på andra sidan.
3x
6−
> 0
4
3x
6 >
4
Multiplicera bägge sidor med 4.
6 · 4 > 3x
Dividera bägge sidor med 3.
8 > x
7−
Svar x < 8
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
3x
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
För vilka x gäller att 7 −
> 1?
4
Del 1 # 8
(0/2/⊗)
21(36)
(0/1)
Endast svar fordras
Triangel
Ma2
8.
I den rätvinkliga triangeln ABC dras höjden h mot hypotenusan AB. Höjden
delar hypotenusan i två delar som i figuren betecknas med x och y.
(0/2/¤)
Visa att h = x ⋅ y
C
C
u
v
h
u
x
A
h
u
v
D
u
v
B
A
v
D
y
B
Vinklarna u och v är varandras komplementvinkel1 då u + v = 6 ACB = 90◦ . Trianglarna
ACD och CBD är likformiga då vinklarna i båda trianglarna är u, v och 90◦ . Två trianglar
är likformiga om två vinklar är lika. Likformigheten ger
h
x
=
y
h
som efter omskrivning ger
h2 = x · y
√
h =
x·y
vilket skulle visas.
En vinkel u är komplementvinkel till v när u + v = 90◦ . En vinkel u är supplementtvinkel till v när
u + v = 180◦ .
1
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
NpMaB ht 2007 Version 1
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
22(36)
Del II
Denna
består av 9 uppgifter
och ärär
avsedd
att genomföras med miniräknare.
Del
II:delDigitala
verktyg
tillåtna
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del 1 # 9
(2/0)
Linje genom punkter
Ma2
9.
En rät linje går genom punkterna (0, 3) och (2, 7)
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
b)
Bestäm linjens ekvation.
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
10. a)
Ett företag
somfigur
tillverkar en ny termosmodell undersöker termosens förmåga att
Svar
Vänster
behålla temperaturen för olika drycker. Vid en mätning avtar temperaturen för
y
kaffe enligtysambandet y = f (t )
9
9
8 visar kaffets temperatur y °C som funktion
8
Diagrammet
av tiden t timmar efter det
7 fylldes (2,
7
att termosen
med7)kaffe.
6
6
∆y = 4
5
5
4
4
(0,
3)
3
3
2
2 ∆x = 2
1
1
0
0
2(4)
x
x
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
b)
I FORMELSAMLINGEN finns ekvationen för räta linjen.
Funktioner
Räta linjen
Andragradsfunktioner
k=
y = kx + m
4
y2 − y1
x2 − x1
=
= 2
Potensfunktioner
a) k Bestäm
2 f (6)
y = ax 2 + bx + c
a≠0
Exponentialfunktioner
Endast svar fordras
Linjen gåra
y = Cb)
⋅x
y=2
z}|{
y
c)
genom punkten (0, 3).
a > 0 och a ≠ 1
y = C ⋅ ax
k=2
x=0
Tolka
vadz}|{
f (6) betyder i detta sammanhang.
z}|{
= k
x + m
|{z}
Formulera en fråga
om kaffet som kan besvaras med hjälp av lösningen till
m=3
ekvationen f (t ) = 50
Svar
b) y = 2 x + 3
Geometri
f (6) − f (0)
d)
Beräkna
6
c Triangel
G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Parallellogram
bh
A = e)
2
Tolka vad
A = bh
f (6) − f (0)
betyder i detta sammanhang.
6
(1/0)
(1/0)
(0/1)
(1/0)
2015-04-05
(0/1)
9.
En rät linje går genom punkterna (0, 3) och (2, 7)
a)
Rita linjen i ett koordinatsystem.
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
b)
Bestäm linjens ekvation.
Del 1 # 10
(3/2)
Endast svar fordras
(1/0)
23(36)
(1/0)
Termos
Ma2
10.
Ett företag som tillverkar en ny termosmodell undersöker termosens förmåga att
behålla temperaturen för olika drycker. Vid en mätning avtar temperaturen för
kaffe enligt sambandet y = f (t )
Diagrammet visar kaffets temperatur y °C som funktion av tiden t timmar efter det
att termosen fylldes med kaffe.
a)
Bestäm f (6)
b)
Tolka vad f (6) betyder i detta sammanhang.
(1/0)
c)
Formulera en fråga om kaffet som kan besvaras med hjälp av lösningen till
ekvationen f (t ) = 50
(0/1)
f (6) − f (0)
6
d)
Beräkna
e)
Tolka vad
c G Robertsson
Endast svar fordras
(1/0)
(1/0)
f (6) − f (0)
betyder i detta sammanhang.
6
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(0/1)
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
a)
NpMaB ht2007
24(36)
Bestäm f (6)
f (6) = 60
t=6
Svar a)
b)
Tolka vad f (6) betyder i detta sammanhang.
Svar b)
c)
Temperaturen efter 6 timmar.
Formulera en fråga
Svar c)
d)
f (6) = 60
Vid vilken tidpunkt t är kaffets temperatur 50◦ .
Beräkna . . .
60◦ − 85◦
f (6) − f (0)
=
≈ −4,2◦
6
6
Svar d)
e)
−4,2◦
Tolka vad. . .
Svar e)
Temperaturen sjunker i medeltal −4, 2◦ /h under de 6 första timmarna.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 11
NpMaB ht2007
25(36)
NpMaB ht 2007
Version
1 linor
(4/0)
Mast
med
Ma2
11.
En 30 meter hög mast är fastspänd med linor som går från masten snett ner till
marken. Den övre linan är 40 meter lång och har sitt fäste 5 meter under mastens
topp. Den undre linan har sitt fäste ytterligare 10 meter längre ner på masten. Den
är spänd parallellt med den övre linan. Masten står vinkelrätt mot marken.
a)
Hur långt ut från masten är den övre linan fäst i marken?
(2/0)
b)
Hur lång är den undre linan?
(2/0)
12.
a)
EnHur
företagare
långt tillverkar
ut . . . skidhandskar i färgerna mörkblå, grå och svart. För att få
en bättre uppfattning om färgernas popularitet bland ungdomar så skickade han ut
30
Använd
sats.
en Pythagoras
enkät.
2
40
= skickades
252 + x2 ut till 500 ungdomar som25går på en närbelägen gymnasieskola.
Enkäten
√
2 han
Av
som
fick in framgick att 19 % föredrar mörkblå, 41 % grå
x de=297 svaren
402 − 25
≈ 31
och
40
%
svarta
handskar.
Svar a) 31 meter.
15
Eftersom bortfallet var stort gjorde han en undersökning av bortfallsgruppen. Han
övre lina
40 meter
ringde därför slumpvis upp 55 av de ungdomar som inte skickat
in enkäten
och då
b)
Hur lång är den undre linan?
svarade 10 av dem mörkblå, 23 grå och de övriga svart.
undre lina z meter
Använd likformighet.
Kommentera resultatet av bortfallsundersökningen.
(1/1)
z
15
=
ger z = 24
0
40
25
x
0
Svar b) 24 meter.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
a)
Hur långt ut från masten är den övre linan fäst i marken?
b) vuxHur
lång är den undre linan?NpMaB ht2007
JENSEN
utbildning
Del 2 # 12
(1/1)
(2/0)
(2/0)
26(36)
Skidhandskar
Ma2bc
12.
En företagare tillverkar skidhandskar i färgerna mörkblå, grå och svart. För att få
en bättre uppfattning om färgernas popularitet bland ungdomar så skickade han ut
en enkät.
Enkäten skickades ut till 500 ungdomar som går på en närbelägen gymnasieskola.
Av de 297 svaren som han fick in framgick att 19 % föredrar mörkblå, 41 % grå
och 40 % svarta handskar.
Eftersom bortfallet var stort gjorde han en undersökning av bortfallsgruppen. Han
ringde därför slumpvis upp 55 av de ungdomar som inte skickat in enkäten och då
svarade 10 av dem mörkblå, 23 grå och de övriga svart.
Kommentera resultatet av bortfallsundersökningen.
svarsgrupp
andel
mörkblå 19%
grå
41%
svarta
40%
(1/1)
bortfallsgrupp, 55
antal andel
10
10/55 ≈ 18%
23
10/55 ≈ 42%
22
10/55 ≈ 40%
Svar Skillnader mellan svarsgruppen och udersökningen i bortfallsgruppen är
marginella.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 13
NpMaB ht2007
(1/1)
27(36)
Triangel i cirkel
Ma2bc
NpMaB ht 2007 Version 1
13.
I cirkeln nedan är AC en diameter.
Mätning i figur ej tillåten
a)
Hur stor är vinkeln x?
Endast svar fordras
(1/0)
b)
Hur stor är vinkeln y?
Endast svar fordras
(0/1)
4(4)
Uppgiften
behandlar trianglar inskrivna i en cirkel. Använd randvinkelsatsen som finns i
FORMELSAMLINGEN.
14. Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur
bagen.
Kordasatsen
a)
ab = cd
b)
15.
a)
Randvinkelsatsen
Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar?
u = 2v
Hur stor är sannolikheten att Johanna får en boll av vardera färgen?
(0/1)
Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än
Trigonometri
för talen.
Endast svar fordras
(1/0)
Pythagoras
sats
medianen
2
a
c 2 = b)
a 2 + bHur
måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet
sin v = för talen ska vara lägre
c
än medianen för talen? Motivera.
b
cos v =
c
a
tan v =
b
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
16. De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant,
bildar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm k så att denna triangel blir
liksidig.
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
d = ( x2 − x1) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
xm =
x1 + x2
och ym =
y1 + y2
(1/1)
(0/1/¤)
2015-04-05
(0/3/¤)
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
28(36)
a) Enligt randvinkelsatsen är vinklarna vid B och C lika stora då båda vinklar är
randvinklar till bågen mellan A och D.
B
68◦
C
A
68◦
D
Svar a)
x = 68◦
b) Enligt randvinkelsatsen är vinkeln vid D hälften av vinkeln vid mittpunkten M.
Bågen är A till C. Vinkeln vid M är 180◦ vilket ger att vinkeln vid D är 90◦ . Me två
kända vinklar i triangeln ACD kan vinkeln y beräknas enligt y = 180◦ − 90◦ − 68◦ = 22◦ .
B
68◦
180◦
C
68◦
22◦
A
M
90◦
D
Svar b)
y = 22◦
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Mätning i figur ej tillåten
a)
Hur stor är vinkeln x?
JENSEN
utbildning
b) vuxHur
stor är vinkeln y?
Del 2 # 14
NpMaB ht2007
(1/2)
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
29(36)
(0/1)
Golfbollar
Ma1
14.
Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur
bagen.
a)
Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar?
(1/1)
b)
Hur stor är sannolikheten att Johanna får en boll av vardera färgen?
(0/1)
Uppgiften behandlar dragning utan återläggning. Låt V beteckna vit boll och G beteckna
gul boll. I träddiagrammet visas de två första dragen vid dragning utan återläggning.
15. Pa)(VG)Ge
ett exempel
på fyra olika
tal så
att medelvärdet
är lägre
än draget gul
Med
menas
sannolikheten
för att
första
draget ger för
vit talen
boll och
andra
medianen
för
talen.
Endast
svar
fordras
(1/0)
och med P (GV) menas att sannolikheten för att första draget ger gul och andra draget
vit boll.
b)
Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre
än medianen för talen? Motivera.5V 3G
(0/1/¤)
P (V) =
16.
5
8
3
8
P (G) =
4V 3G
5V 2G
De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant,
2
bildar tillsammans
med
P (V) = 47 P
(G)x-axeln
= 37 en triangel. Bestäm k såPatt
(V)denna
= 75 triangel
P (G) =blir
7
liksidig.
P (VV) =
5
8
·
4
7
=
20
56
P (VG) =
5
8
·
3
7
=
15
56
P (GV) =
3
8
·
5
7
=
15
56
P (GG) =
(0/3/¤)
3
8
·
2
7
=
6
56
Resultatet av dragningen kan sammanfattas i följande tabell.
1:a bollen
V
V
G
G
2:a bollen
V
G
V
G
sannolikhet
20
5
= 14
56
15
56
15
56
6
56
20
56
=
5
.
14
Svar a)
Sannolikheten att få två vita bollar är
Svar b)
Sannolikheten att få en vit och en gul boll är
c G Robertsson
=
3
28
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
15
56
+
15
56
=
15
.
28
2015-04-05
14.
Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur
bagen.
a)
Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar?
(1/1)
JENSEN
utbildning
b) vuxHur
stor är sannolikheten attNpMaB
Johannaht2007
får en boll av vardera färgen?
Del 2 # 15
(1/1/⊗)
30(36)
(0/1)
Medelvärde och median
Ma2bc
15.
a)
b)
Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än
medianen för talen.
Endast svar fordras
(1/0)
Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre
än medianen för talen? Motivera.
(0/1/¤)
a)
16.
median 6 y = kx + 7 och y = − kx + 7 , där k är en positiv konstant,
De två räta linjerna
z}|{
0|
5 {z 7 med8} x-axeln
NpMaB
2007 Version
1 k så att denna triangel blir
bildar tillsammans
enhttriangel.
Bestäm
liksidig.
medelvärde =(0+5+7+8)/4=5
Uppg.
Svar a)
Bedömningsanvisningar
Exempelvis 0, 5, 7 och 8 har större median än medelvärde.
13.
b)
(0/3/¤)
Poäng
Max 1/1
Låt de fyra talen vara x1 < x2 < x3 < x4 . Medelvärdet ska vara lägre än medianen.
a)
Korrekt svar ( 68° )
+1 g
x 1 + x2 + x3 + x4
x2 + x3
<
4
2 }
svar
| b) Korrekt
{z
} ( 22° )| {z
medelvärde
+1 vg
median
Olikheten kan skrivas om enligt följande
x 2 + x3 x1 + x4
x2 + x3
+
<
14.
4
4
2
x2 + x3
x1 + x4
<
a)
Redovisad
t.ex. multiplicerar sannolikheter, även om
4 godtagbar ansats,
4
x1 + x4 < x 2 + x3 .
eleven multiplicerar
Max 1/2
5 4
5 5
⋅ istället för ⋅
8 7
8 8
+1g
med korrekt svar
+1 vg
Svar b) Medelvärdet
av x(5/14)
1 , x2 , x3 och x4 då x1 < x2 < x3 < x4 är lägre än medianen
när x1 + x4 < x2 + x3 .
b)
Redovisad godtagbar lösning (15/28)
+1 vg
Kommentar I Skolverkets rättningsnorm står följande.
15.
Max 1/1/¤
a)
Korrekt svar (t.ex. talen 2, 7, 8 och 9)
b)
Godtagbar förklaring (t.ex. ”sänk det minsta talet till dess att medelvärdet
blir lägre än medianen”)
+1 g
+1 vg
MVG-kvalitet
visar eleven i denna uppgift genom att:
Formulerar och utvecklar problem, ananvända generella metoder, t.ex. ansätta variabler
vänder generella metoder/modeller vid
för talen och ställa upp samband för medelvärde
problemlösning
och median.
c G
Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Analyserar och tolkar resultat, drar slutdra en korrekt slutsats, t.ex. att a + d < b + c för tasatser samt bedömer rimlighet
len a, b, c, d
Genomför bevis och analyserar matema- bevisa sin slutsats, t.ex. a + d < b + c , då
tiska resonemang
a<b<c<d
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt
redovisa välstrukturerat och tydligt med ett i hu-
15.
a)
Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än
medianen för talen.
Endast svar fordras
b)
Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre
JENSENvuxänutbildning
NpMaB ht2007
medianen för talen? Motivera.
Del 2 # 16
(0/3/⊗)
(1/0)
31(36)
(0/1/¤)
Liksidig triangel
Ma2
16.
De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant,
bildar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm k så att denna triangel blir
liksidig.
(0/3/¤)
y A (0, 7)
C ( −7
, 0)
k
B ( k7 , 0)
x
Triangelns sidor är alla lika långa och d. Med avståndsformeln (Pythagoras sats) kan
avståndet mellan A och B beräknas enligt
7
49
d2 = 72 + ( )2 = 49 + ( 2 )
k
k
Avståndet mellan B och C är
7
−7
14
d =
−( ) =
k
k
k
196
2
.
d =
k2
Vi får nu
196
49
=
49
+
k2
k2
147
= 49
k2
49
1
k2 =
=
147
3
1
k = √ .
3
1
Svar k = √
3
−1
Kommentar Notera att k = √ ger samma triangel.
3
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur generell din lösning är
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
JENSENvux
NpMaB ht2007
• utbildning
Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
Del 2 # 17
(2/4/⊗)
32(36)
Dela lika
Ma2
17.
Ibland har man nytta av att kunna dela
ett glasspaket i tre lika stora delar. Det
finns en metod att göra detta med
enbart en kniv. Din uppgift är att undersöka metoden och visa att den fungerar.
Glasspaketet har formen av ett rätblock.
Vi börjar med att dela in glasspaketet i två lika stora delar.
Dela lika på två
Markera diagonalerna och markera en linje genom diagonalernas skärningspunkt A
parallellt med kortsidorna. Denna linje delar glasspaketet i två lika stora delar.
Ett glasspaket som har måtten 18 cm × 9 cm × 3,1 cm rymmer en halv liter glass.
Tänk dig nu ovansidan av detta glasspaket, med måtten 18 cm × 9 cm, inlagt i ett
koordinatsystem.
•
Bestäm ekvationer för de räta linjer som utgör diagonaler.
•
Bestäm skärningspunkten A genom att lösa ett ekvationssystem och visa att
den streckade linjen genom punkten A delar paketet i två lika stora delar.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB
ht 2007 Version
NpMaB
ht20071
33(36)
Nu fortsätter vi med att visa en metod att dela ett glasspaket i tre lika stora delar.
Dela lika på tre
Markera en linje genom ett hörn och mitten av den motsatta långsidan. Denna
linje skär diagonalen i en punkt B. Dela paketet längs en linje som går genom B
parallellt med kortsidorna. Då får du en tredjedel. Den andra tredjedelen skär du
av på andra sidan med samma metod och samtidigt får du då också den sista
tredjedelen.
•
Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm skärningspunkten B för
glasspaketet som har måtten 18 cm × 9 cm på ovansidan.
Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar i detta fall.
(Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.)
•
Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar för alla glasspaket i form av
rätblock, oavsett vilka mått ovansidan har.
(Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.)
(2/4/¤)
NpMaB ht 2007 Version 1
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur generell din lösning är
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
Uppgiften
rymmer
konkreta
17. Ibland
har man
nytta avformuleringar
att kunna dela som måtten 18 cm × 9 cm. Alternativet är en
mer generell
formulering
somstora
b ×delar.
h. Ibland
ett glasspaket
i tre lika
Det är det lätt och lämpligt att arbeta konkret
men detfinns
kan en
också
dölja
struktur
på ett sätt som generell formulering inte gör.
metod
att göra
detta med
höjd
enbart
en
kniv.
Din
uppgift
är
under- fall bara ett tal som inte avslöjar någon
Exempelvis blir kvoten bredd i ett att
konkret
struktur.söka metoden och visa att den fungerar.
Glasspaketet har formen av ett rätblock.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Vi börjar med att dela in glasspaketet i två lika stora delar.
Dela lika på två
Markera diagonalerna och markera en linje genom diagonalernas skärningspunkt A
parallellt med kortsidorna. Denna linje delar glasspaketet i två lika stora delar.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
34(36)
Bestäm ekvationer för de räta linjer som utgör diagonaler.
Behandla det generella problemet, inför b som betckning för bredd och h för höjd.
y
y
h
h
y=
h
x
b
y =h−
0
0
b
x
h
x
b
0
0
b
x
Linjen från nedre vänstra hörnet (0, 0) till övre högra hörnet (b, h) är
h
x
b
och ekvationen från övre vänstra hörnet (0, h) till nedre högra (b, 0) är
h
y = h − x.
b
y =
Svar Med b = 18 och h = blir ekvationerna y = 21 x respektive y = 9 − 21 x.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
35(36)
Bestäm skärningspunkten A genom att lösa ett ekvationssystem . . .
y
h
A
0
0
b
x
De två ekvationerna är
y =
h
x
b
h
x
b
Lös ekvationssystemet. Eliminera y.
h
h
x = h− x
b
b
2h
x = h
b
b
x =
2
Med x känd kan y beräknas ur första ekvationen.
h b
h
y =
=
b 2
2
b h
Koordinaterna för A är
,
.
2 2
y = h−
Svar Med b = 18 och h = 9 blir koordinaterna för A (9; 4,5).
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2007
36(36)
Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm skärningspunkten B . . .
y
h
A
B
0
0
b/2
b
x
Linjen från nedre vänstra hörnet (0, 0) till övre högra hörnet (b, h) är
y =
h
x
b
b
och ekvationen från (0, h) till ( , 0) är
2
2h
y = h−
x
b
Lös ekvationssystemet. Eliminera y.
2h
h
x = h−
x
b
b
3h
x = h
b
b
x =
3
Med x känd kan y beräknas ur första ekvationen.
h b
h
y =
=
b 3
3
b h
Koordinaterna för B är
,
.
3 3
Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar för alla glasspaket . . .
I ovanstående lösning har inga speciella egenskaper hos paketets bredd b och höjd h
använts. Lösningen gäller alltså alla paket.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05