Download Report

JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
1(41)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2006
3
Del I, 8 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 9 uppgifter med miniräknare
7
NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR
13
Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del 1 # 1
(2/0)
Lös ekvationen . . . . . .
Del 1 # 2
(1/0)
Rita linje . . . . . . . . .
Del 1 # 3
(2/1)
Linjärt ekvationssystem .
Del 1 # 4
(1/0)
Vilken av funktionerna . . .
Del 1 # 5
(2/0)
Chokladhjul . . . . . . . .
Del 1 # 6
(2/1)
Logotyp i cirkel . . . . . .
Del 1 # 7
(1/2)
Beräkna och förenkla . . .
Del 1 # 8
(0/1/⊗) Triangel . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
15
16
17
18
20
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
22
22
23
24
26
28
29
30
32
35
37
Del II: Digitala verktyg är
Del 1 # 9
(1/0)
Del 1 # 10
(2/0)
Del 2 # 11
(4/0)
Del 2 # 12
(2/1)
Del 2 # 13
(0/2)
Del 2 # 14
(0/2)
Del 2 # 15
(1/1)
Del 2 # 16
(0/2/⊗)
Del 2 # 17
(0/3/⊗)
Del 2 # 18
(3/4/⊗)
c G Robertsson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tillåtna
Utveckla och förenkla . . . .
Linje genom punkt . . . . . .
Triangel med parallell linje .
Lådagram . . . . . . . . . . .
Punkt ovanför linje . . . . . .
Linjaler . . . . . . . . . . . .
Ringmärkta havsörnar . . . .
Låda med volymen 2 000 cm3 .
Ekvationssystem . . . . . . .
Stoppsträcka . . . . . . . . .
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
2(41)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som
är lämpliga till respektive kurs.
1
Ma 1abc
Ma 2a
Ma 2bc
2 3 4 5
2
5
1 2 3 4
1 2 3 4
6
7
8
9
10
11
12
13
6 8 9 10
6 6 8 9 10 11
12
13
14 15 16 17 18
15
16 17
14
16 17 18
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
NpMaB ht 2006 Version 1
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och
med 31 december 2012.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS B
HÖSTEN 2006
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder
högst 60 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del
II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 18 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av 10
uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 18 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 44 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
13 poäng
Väl godkänd:
25 poäng varav minst 6 vg-poäng.
Mycket väl godkänd:
25 poäng varav minst 13 vg-poäng.
Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de
MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger
möjlighet att visa.
NpMaB ht 2006 Version 1
Del I
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får
tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
Lös ekvationen x 2 − 20 x + 36 = 0
(2/0)
2.
Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (0, 2) och har
Endast svar fordras
riktningskoefficienten − 3
(1/0)
3.
a)
 x + y = 15
Lös ekvationssystemet 
3 x + 2 y = 42
(2/0)
I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första
ekvationen i ekvationssystemet ovan.
b)
4.
Låt x vara priset i kronor för en korv. Tolka den andra ekvationen i ord.
(0/1)
Vilken av funktionerna A-F visas
som graf i figuren?
A)
y = x2
B)
y = −x2
C)
y = x2 +1
D)
y = x2 −1
E)
y = 1− x2
F)
y = −1 − x 2
Endast svar fordras
(1/0)
NpMaB ht 2006 Version 1
5.
Robin och Jennifer är på ett nöjesfält och spelar på Chokladhjulet. Hjulet är
indelat i 24 likadana delar som är numrerade från 1 till 24. Vid en spelomgång
snurras hjulet och det nummer som är vid pilen när hjulet stannat ger vinst.
a)
b)
6.
Robin påstår att det är lättare att vinna om de alltid spelar på
samma nummer.
Har Robin rätt eller fel? Förklara.
(1/0)
De planerar sedan att spela på tre nummer i samma spelomgång.
Jennifer påstår att det är lättare att vinna om de spelar på tre nummer intill
varandra, t.ex. 3, 4 och 5, än om de spelar på tre nummer som inte är intill
varandra.
Har Jennifer rätt eller fel? Förklara.
(1/0)
På en reklambyrå ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt
skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas.
Beräkna x och y.
(2/1)
Skiss
Färdig logotyp
NpMaB ht 2006 Version 1
7.
8.
Låt f ( x ) = (1 − x ) 2 − (1 + x ) 2
a)
Beräkna f ( 2)
(1/0)
b)
Förenkla uttrycket f ( a ) − f (b) så långt som möjligt.
(0/2)
x, y och z är yttervinklar till triangeln nedan.
Visa att x + y + z = 360°
(0/1/¤)
NpMaB ht 2006 Version 1
Del II
Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
10.
11.
Utveckla (2 x − 3)( x + 7) och förenkla uttrycket så långt som möjligt.
Endast svar fordras
(1/0)
Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 28) och har
riktningskoefficienten k = 0,2
(2/0)
I triangeln ABC är DE parallell med AB.
Figuren är inte skalenligt ritad
a)
Bestäm längden av sträckan AC.
(2/0)
b)
Bestäm längden av sträckan DE.
(2/0)
NpMaB ht 2006 Version 1
12.
Sara ville ta reda på hur vanligt det är att man skickar SMS i hennes klass.
I klassen går det 29 elever. En dag lämnade Sara ut lappar med frågan ”Hur många
SMS skickade du förra veckan?” Alla i klassen utom Sara svarade
på frågan.
Det lådagram som hon ritade över resultatet ser du här nedanför. Med
lådagrammet delas antalet elevsvar in i fyra lika stora delar. Till exempel så finns
en fjärdedel av elevsvaren mellan det minsta värdet och nedre kvartilen, se figur.
13.
a)
Bestäm variationsbredden.
Endast svar fordras
b)
Medelvärdet är 23 skickade SMS.
Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att
använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under
en vecka.
(1/0)
c)
Sara hade själv skickat 52 SMS.
Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med.
Figuren visar en del av ett koordinatsystem med linjen y = 2 x + 70
Vilka koordinater har punkten A?
(1/0)
(0/1)
(0/2)
NpMaB ht 2006 Version 1
14.
Firma Plastsaker & Sånt tillverkar bland annat linjaler. Varje vecka tillverkas
50 000 linjaler. Alla linjaler som tillverkades under en viss vecka såldes till en
kund i Lund.
Efter ett tag började firman få klagomål från kunden och beslöt att göra en
kvalitetskontroll i form av en stickprovsundersökning. Under en vecka
kontrollerades kvaliteten på var 200:e linjal som tillverkades. Man hittade
11 linjaler som var av dålig kvalitet.
Hur många av de linjaler som skickades till Lund kan antas ha varit av
dålig kvalitet?
15.
(0/2)
Sveriges största rovfågel är havsörnen. Uppskattningsvis 70 % av de svenska
havsörnarna är ringmärkta. Havsörnar som lever i par håller under hela sin
livslängd ihop med samma partner.
a)
Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av två ringmärkta fåglar.
(1/0)
b)
Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en
omärkt fågel.
(0/1)
NpMaB ht 2006 Version 1
16.
Kalle och Lisa ska tillverka var sin öppen låda. De har några kartongark i
A4-format med måtten 21,0 cm × 29,7 cm.
Först tar de var sitt ark och viker upp kortsidorna och sedan klipper de till två
remsor av ett annat ark och tejpar fast dem på långsidorna, se figuren. Bredden på
remsorna blir höjden på lådan. De vill båda tillverka en låda med volymen
2000 cm3. Efter en stunds pysslande har de gjort var sin låda.
Kalles remsor är bredare än Lisas.
Är det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med
volymen 2000 cm3?
17.
a)
b)
 y = 3x + 1
I ekvationssystemet 
är k en konstant.
 y = kx + 2
För vilket eller vilka värden på k saknar ekvationssystemet
lösning? Förklara.
 y = 3x + 1
I ekvationssystemet 
är a och b konstanter.
 y = ax + b
Hur många lösningar får ekvationssystemet för olika värden
på a och b? Förklara.
(0/2/¤)
(0/1)
(0/2/¤)
NpMaB ht 2006 Version 1
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du använder det matematiska språket
• Hur generell din lösning är
18.
I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då
föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar.
Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är
den sträcka bilen kör från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren reagerar
och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den sträcka som
bilen kör då föraren bromsar in och stannar, se figur.
Stoppsträckan s vid ett visst väglag kan beräknas enligt följande formel:
där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h.
•
Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för några
hastigheter, t.ex. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i
dina värden.
Hastighet
(km/h)
70
90
110
Reaktionssträcka
(m)
Bromssträcka
(m)
Stoppsträcka
(m)
Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen ca 50 meter framför
bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder.
•
Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter.
NpMaB ht 2006 Version 1
Enligt formeln för stoppsträckan s = 0,27v + 0,005v 2 hinner föraren inte stanna
före ett hinder som upptäcks då avståndet till hindret är 50 meter och föraren kör
med hastigheten 110 km/h.
•
Om bilen kan passera hindret och föraren fortsätter att bromsa, hur långt
bortom hindret stannar då bilen?
•
Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret?
Om du vill kan du ta hjälp av diagrammet nedan.
Reaktionssträcka och bromssträcka som funktion av hastigheten
•
Undersök och beskriv sambandet mellan den ursprungliga hastigheten
v1 km/h en bil har när en förare upptäcker ett hinder på 50 meters håll
och den hastighet v 2 km/h bilen har när den är vid hindret.
(3/4/¤)
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
13(41)
NpMaB ht 2006 Version 1
Del I
NpMaB
HT 2006 LÖSNINGAR
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får
Del
I: till
Digitala
verktyg är INTE tillåtna
tillgång
din miniräknare.
1(4)
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del 1 # 1
(2/0)
Lös ekvationen
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
Lös ekvationen x 2 − 20 x + 36 = 0
1.
(2/0)
Ekvationen är en 2:a gradsekvation. Lös ekvationen med pq-formeln som finns i
Algebra
2.
Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (0, 2) och har
FORMELSAMLINGEN.
Endast svar fordras
riktningskoefficienten − 3
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
 x + y = 15
2
2
2ab + b 2
3.(a − ba)) = aLös− ekvationssystemet

3 x + 2 y = 42
2
2
(a + b)(a − b) = a − b
2
p
 p
±   −q
2
2
I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första
ekvationen
ekvationssystemet
ovan.
0 = x2i −
20 + 36
|{z} |{z}
p=−20
q=36
b)
Låt x vara
en korv. Tolka den andra ekvationen i ord.
√ priset i kronor för√
Aritmetik
2
x1,2 = 3 ± 10 − 36 = 10 ± 64 = 10 ± 8
x1 = 18
Prefix
x2 = 2
x=−
(1/0)
(2/0)
(0/1)
Gx av=funktionerna
M och kx =A-F
c
m
n
p
µ
4. T a)
Vilken
Svar
18
2h visasd
1
2
graf i mega
figuren?kilo hekto deci centi milli mikro nano piko
terasomgiga
Kommentar
Alla
kan-2lösas med
pq-formeln
men om en av p eller q
6 2:a gradsekvationer
1012
109
10
103
102
10-1
10
10-3
10-6
10-9 10-12
2
y=x
saknasA)
kan ekvationen
lösas enklare utan pq-formel.
B)
C)
Potenser
y = −x2
y = x2 +1
D)
y = x2 −1 ax
x+ y
= a x− y
a a =a
2 ay
E)
y = 1− x
x y
F)
y = −1 − x 2 a x  a 
= 
a b = (ab) x
bx  b 
x
x x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
1
ax
Endast svar fordras
(1/0)
Logaritmer
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
y = 10 ⇔ x = lg y
x
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
2015-04-05
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får
tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
JENSENvuxutbildning
1.
14(41)
Lös ekvationen x − 20 x + 36 = 0
Del 1 # 2
2.
NpMaB ht2006
2
(1/0)
(2/0)
Rita linje
Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (0, 2) och har
Endast svar fordras
riktningskoefficienten − 3
Rita
linjen
. . .ekvationssystemet  x + y = 15
3.
a)
Lös

3 x + 2 y = 42
(1/0)
(2/0)
5
I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första
ekvationen i ekvationssystemet ovan. 4
3
b)
= 1den andra ekvationen i ord.
Låt x vara priset i kronor för en korv. ∆x
Tolka
2
1
-5
4.
-4
-3
-2
Vilken av funktionerna A-F visas
som graf i figuren?
A)
y = x2
B)
y = −x2
C)
y = x +1
-1
-1
(0/1)
∆y = −3
2
3
4
5
-2
-3
-4
-5
2
D)
y = x2 −1
Strategi
E)
y =första
1 − x 2 punkten på linjen, (0, 2)
1) Markera
2
F)
y =andra
−1 − x punkt.
2) Hitta
en
Tag 1 steg i x-led och -3 steg i y-led
3) Drag en linje genom de två punkterna
c G Robertsson
Endast svar fordras
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(1/0)
2015-04-05
1.
Lös ekvationen x 2 − 20 x + 36 = 0
(2/0)
vuxutbildning
JENSEN
NpMaB
ht2006
2.
Rita i ett
koordinatsystem en rät linje
som går
genom punkten (0, 2) och har
Endast svar fordras
riktningskoefficienten − 3
Del 1 # 3
3.
a)
(2/1)
15(41)
(1/0)
Linjärt ekvationssystem
 x + y = 15
Lös ekvationssystemet 
3 x + 2 y = 42
(2/0)
I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första
ekvationen i ekvationssystemet ovan.
b)
Låt x vara priset i kronor för en korv. Tolka den andra ekvationen i ord.
(0/1)
a)
4.
L
ös ekvationssystemet
Vilken
av funktionerna A-F visas
som
graf
i figuren?
Det finns två olika
metoder för att lösa linjära ekvationssystem med flera obekanta. För
ekvationssystem med
bara två obekanta är det betydelselöst vilken metod du väljer.
A)
y = x2
Substitutionsmetoden
är enkel och fungerar utmärkt för två obekanta.
2
B)
x + yy = − x = 15
3x
C) + 2yy = x 2 + 1= 42
Skriv om ekvation2 (1) till
D)
y = x −1
y
= 15 − x
2
E)
yy=i1ekvation
−x
Substitutera
(2) med hjälp av ekvation (3). Vi får
3x
2 42
F) + 2(15
y = −−1x)
− x=
3x + 30 − 2x = 42
x
= 12
Endast svar fordras
Med ekvation (3) och (4) kan y beräknas.
y
= 15 − 12
y
=3
Svar a)
x = 12 och y = 3
Svar b)
Ekvationen beskriver att priset för 3 korvar och 2 bröd är 42 kronor.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(1)
(2)
(3)
(1/0)(4)
2015-04-05

3 x + 2 y = 42
I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första
ekvationen i ekvationssystemet ovan.
b) vuxLåt
x vara priset i kronor förNpMaB
en korv. ht2006
Tolka den andra ekvationen i ord.
JENSEN
utbildning
Del 1 # 4
4.
(1/0)
Vilken av funktionerna . . .
Vilken av funktionerna A-F visas
som graf i figuren?
A)
y = x2
B)
y = −x2
C)
y = x2 +1
D)
y = x2 −1
E)
y = 1− x2
F)
y = −1 − x 2
Endast svar fordras
A
y = +x2
C y = +x2 + 1
x
B
(0/1)
16(41)
y = −x2
x
x
c G Robertsson
E y = +1 − x2
D y = +x2 − 1
Svar Alternativ C är korrekt,
(1/0)
x
F y = −1 − x2
x
x
y = x2 + 1.
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 5
5.
NpMaB ht2006
17(41)
2006 Version 1
(2/0)NpMaB htChokladhjul
Robin och Jennifer är på ett nöjesfält och spelar på Chokladhjulet. Hjulet är
indelat i 24 likadana delar som är numrerade från 1 till 24. Vid en spelomgång
snurras hjulet och det nummer som är vid pilen när hjulet stannat ger vinst.
NpMaB ht 2006 Version 1
Uppg.
Bedömningsanvisningar
5.
Poäng
Max 2/0
a)
Godtagbar förklaring med korrekt svar (”Robin har fel. Sannolikheten för
1
vinst är alltid
oavsett vilket nummer man satsar på.”)
24
Elevlösning
1 (0 g)påstår att det är lättare att vinna om de alltid spelar på
a)
Robin
samma nummer.
Har Robin rätt eller fel? Förklara.
De planerar sedan att spela på tre nummer i samma spelomgång.
Jennifer påstår att det är lättare att vinna om de spelar på tre nummer intill
varandra, t.ex. 3, 4 och 5, än om de spelar på tre nummer som inte är intill
varandra.
Har Jennifer rätt ellerNpMaB
fel? Förklara.
ht 2006 Version 1
Kommentar: Elevens svar ger inget underlag för att avgöra om Robin har rätt eller fel.
+1 g
(1/0)
b)
Uppg.
Bedömningsanvisningar
(1/0)
Poäng
Svar a) De olika utfallen är oberoende av varandra. I Skolverkets rättningsnorm finns
På en reklambyrå
ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt Max 2/0
Elevlösning
5.6.
följande
svar.2 (1 g)
skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas.
a)
Godtagbar förklaring med korrekt svar (”Robin har fel. Sannolikheten för
Beräkna x och y.
1
vinst är alltid
oavsett vilket nummer man satsar på.”)
24
(2/1)
+1 g
Kommentar: Eleven ger ett godtagbart svar trots att sannolikheten för vinst (1/24) ej
Svar
b) De
nämnts.
Elevlösning
1 (0olika
g) utfallen är oberoende av varandra. I Skolverkets rättningsnorm finns
följande svar.
b)
Godtagbar förklaring med korrekt svar (”Jennifer har fel, oavsett vilka tre
3
+1 g
nummer du väljer blir sannolikheten för vinst
= 0,125 = 12,5% ”)
24
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Skiss
Färdig logotyp
6.
Max 2/1
Kommentar: Elevens svar ger inget underlag för att avgöra om Robin har rätt eller fel.
Godtagbar bestämning av x
+1g
Godtagbar bestämning av y ( x = 45° , y = 22,5° )
Elevlösning 2 (1 g)
+1g
Har Robin rätt eller fel? Förklara.
(1/0)
b)
De planerar sedan att spela på tre nummer i samma spelomgång.
Jennifer påstår att det är lättare att vinna om de spelar på tre nummer intill
varandra, t.ex. 3, 4 och 5, än om de spelar på tre nummer som inte är intill
vux
JENSEN varandra.
utbildning
NpMaB ht2006
Har Jennifer rätt eller fel? Förklara.
Del 1 # 6
6.
(2/1)
18(41)
(1/0)
Logotyp i cirkel
På en reklambyrå ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt
skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas.
Beräkna x och y.
(2/1)
Skiss
Färdig logotyp
A
x
C
y
M
y
B
4(4)
Randvinkelsatsen finns i FORMELSAMLINGEN.
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab = cd
u = 2v
6 BMC = 90◦ vilket ger
BMC
är centrumvinkel
till randvinkeln 6 BAC och
Pythagoras
sats
Trigonometri
◦
6 BAC = x = 45 enligt randvinkelsatsen.
a
c2 = a 2 + b2
sin v =
c
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
b
cos v =
c
a
tan v =
b
6
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
19(41)
A
y
C
y
y
M
y
B
Enligt uppgiftens figur gäller att 6 MBA och 6 MCA är lika. 4MAB är likbent med två lika
vinklar y. 4MAC är också likbent med två lika vinklar y. För 6 BAC också kallad x gäller
att x = y + y vilket ger y = 22,5◦ .
Svar x = 45◦ och y = 22,5◦
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
20(41)
2006äkna
Version 1
(1/2)NpMaB htBer
och förenkla
Del 1 # 7
Låt f ( x ) = (1 − x ) 2 − (1 + x ) 2
7.
a)
a)
Beräkna f ( 2)
(1/0)
b)
Förenkla uttrycket f ( a ) − f (b) så långt som möjligt.
(0/2)
Beräkna f (2)
8.
x=2triangeln nedan.
x=2
x, y och z ärz yttervinklar
}| { z till
}| {
f (x) = (1 − x)2 − (1 + x)2
Visa att x + y + z = 360°
f (2) = (1 − 2)2 − (1 + 2)2 = −8
| {z } | {z }
(−1)2 =1
Svar
a) −8
Formler
(0/1/¤)
32 =9
till nationellt prov i matematik kurs 2
Förenkla f (a) − f (b)
b)
f (a) = (1 − a)2 − (1 + a)2
2
2
Algebra f (b) = (1 − b) − (1 + b)
Använd kvadreringsreglerna i FORMELSAMLINGEN.
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
x=−
2
Vi får
(1−a)2
p
 p
±   −q
2
2
(1+a)2
}|
{ z
}|
{
z
f (a) = 1 − 2a + a2 − (1 + 2a + a2 )
Aritmetik
f (a) = 1 − 2a + a2 − 1 − 2a − a2 ) = −4a
(1−b)2
Prefix
(1+b)
z }| { z }| {
f (b) = 1 − 2b + b2 − 1 + 2b + b2 = 2 + 2b2
T
G f (b)M = 1k− 2b +h b2 − 1d − 2b −
c b2 ) =
m−4b µ
− f (b)
−4a −hekto
(−4b) deci
= −4acenti
+ 4b =
4(b −
a)
teraf (a)giga
mega= kilo
milli
mikro
10
12
9
10
Svar b)
6
10
3
10
2
10
-1
10
10
-2
-3
10
-6
10
n
p
nano
piko
-9
10-12
10
4(b − a)
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Potenser
a xa y = a x+ y
ax
a
y
ax
= a x− y
a
x
(a x ) y = a xy
1
2015-04-05
a− x =
0
1
ax
1(4)
7.
Låt f ( x ) = (1 − x ) 2 − (1 + x ) 2
a)
Beräkna f ( 2)
(1/0)
JENSEN
utbildning
ht2006
b) vuxFörenkla
uttrycket f ( a ) − fNpMaB
som möjligt.
(b) så långt
Del 1 # 8
8.
(0/1/⊗)
21(41)
(0/2)
Triangel
x, y och z är yttervinklar till triangeln nedan.
(0/1/¤)
Visa att x + y + z = 360°
Inför vinklar x0 , y 0 och z 0 enligt figuren. Triangelns
vinkelsumma är 180◦ .
180◦
Det gäller
x0
y0
z0
Vi får
180◦
180◦
x+y+z
=
att
=
=
=
x0 + y 0 + z 0
z
180◦ − x
180◦ − y
180◦ − z
z0
= (180◦ − x) + (180◦ − y) + (180◦ − z)
= 3 · 180◦ − x − y − z
= 2 · 180◦ = 360◦
x
x0
y0
y
Vilket skulle visas.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
NpMaB ht 2006 Version 1
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
22(41)
Del II
Denna
består av 10 uppgifter
och är
är avsedd
att genomföras med miniräknare.
Del
II:delDigitala
verktyg
tillåtna
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del 1 # 9
9.
(1/0)
Utveckla och förenkla
Utveckla (2 x − 3)( x + 7) och förenkla uttrycket så långt som möjligt.
Endast svar fordras
Variant I
10. Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 28) och har
riktningskoefficienten k = 0,2
(2x − 3)(x + 7) = 2x · (x + 7) − 3 · (x + 7)
= (2x · x + 2x · 7) − (3 · x + 3 · 7)
= (2x2 + 14 x) − (3 x + 21)
= 2 x2 + 14 x − 3 x − 21
11. I triangeln ABC är DE parallell
med AB.
= 2 x2 + 11 x − 21
(1/0)
(2/0)
Variant II
(2x − 3)(x + 7) = (2x − 3) · x + (2x − 3) · 7
(2x · x − 3 · x) + (2x · 7 − 3 · 7)
(2x2 − 3 x) + (14 x − 21)
2x2 − 3 x + 14 x − 21
2x2 + 11 x − 21
Figuren är inte skalenligt ritad
Svar x2 + 11 x − 21
a)
Bestäm längden av sträckan AC.
b)
Bestäm längden av sträckan DE.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(2/0)
(2/0)
2015-04-05
Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
Utveckla (2 x − 3)( x + 7) och förenkla uttrycket så långt som möjligt.
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006 Endast svar fordras
Del 1 # 10
10.
2(4)
(2/0)
23(41)
(1/0)
Linje genom punkt
Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 28) och har
riktningskoefficienten k = 0,2
(2/0)
IFunktioner
FORMELSAMLINGEN på sidan 2 finns räta linjens ekvation.
11.
I triangeln ABC är DE parallell med AB.
Räta linjen
y = kx + m
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
Potensfunktioner
Med
k = 0,2 blir ekvationen
bh
2
Parallelltrapets
A=
h( a + b)
2
y = C ⋅ ax
(2/0)
Parallellogram
Cirkel
πd 2
4
O = 2πr = πd
A = πr 2 =
Prisma
v
⋅ 2 πr
360
v
br
A=
⋅ πr 2 =
360
2
V = Bh
c G Robertsson
Cylinder
(2/0)
A = bh
Cirkelsektor
b=
a > 0 och a ≠ 1
m=25
a)
Bestäm längden av sträckan AC.
Svar y = 0,2 · x + 25
Triangel
b)
Bestäm längden av sträckan DE.
A=
a≠0
Exponentialfunktioner
y = C ⋅ xya = 0,2 · x + m
Linjen går genom punkten (15, 28)
y=28
x=15
z}|{
z}|{
y
= 0,2 · xFiguren
+ |{z}
mär inte skalenligt ritad
Geometri
Andragradsfunktioner
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Pyramid
2015-04-05
Endast svar fordras
10. Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 28) och har
vuxutbildning
JENSEN
NpMaB ht2006
riktningskoefficienten
k = 0,2
Del 2 # 11
11.
(4/0)
(1/0)
24(41)
(2/0)
Triangel med parallell linje
I triangeln ABC är DE parallell med AB.
Figuren är inte skalenligt ritad
a)
a)
Bestäm längden av sträckan AC.
(2/0)
b)
Bestäm längden av sträckan DE.
(2/0)
Kalla sträckan AC för z. Pythagoras sats ger
z 2 = 142 + (5,4 + 2,3)2
z 2 = 196 + 59,29 = 255, 29
z = 15,978 . . .
Svar a)
Sträckan AC är 16 cm.
Kommentar Alla i uppgiften givna längder är givna med 2 siffror. Då är det också
lämpligt att ge svaret med 2 siffror, 15,798 är alltså olämpligt.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Kon
Klot
πr 2 h
4πr 3
V=
V=
3
3
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
25(41)
A = πrs
A = 4πr 2
(Mantelarea)
b) Trianglarna ABC och DEC är likformiga då de har två lika vinklar, en rät vinkel och
vinkel C. När två trianglar är likformiga gäller enligt FORMELSAMLINGEN följande.
Likformighet
Skala
Trianglarna ABC
och DEF är
likformiga.
Areaskalan = (Längdskalan)2
Volymskalan = (Längdskalan)3
a b c
= =
d e f
Kalla sträckan DE för u. Likformigheten ger
Topptriangel- och
u
5, 5
transversalsatsen
=
14
5,4 + 2,3
Om DE är parallell
14 · 5, 5
med AB
u gäller
=
= 10
7,7
DE CD CE
och
=
=
AB AC BC
Svar b) Sträckan DE är 10 cm.
CD CE
=
AD BE
Bisektrissatsen
AD AC
=
BD BC
Vinklar
u + v = 180°
Sidovinklar
w=v
Vertikalvinklar
L1 skär två parallella linjer L2 och L3
v=w
Likbelägna vinklar
u=w
Alternatvinklar
13-01-24
c G Robertsson
© Skolverket
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 12
12.
NpMaB ht2006
26(41)
NpMaB ht 2006
Version 1
(2/1)
Lådagram
Sara ville ta reda på hur vanligt det är att man skickar SMS i hennes klass.
I klassen går det 29 elever. En dag lämnade Sara ut lappar med frågan ”Hur många
SMS skickade du förra veckan?” Alla i klassen utom Sara svarade
på frågan.
Det lådagram som hon ritade över resultatet ser du här nedanför. Med
lådagrammet delas antalet elevsvar in i fyra lika stora delar. Till exempel så finns
en fjärdedel av elevsvaren mellan det minsta värdet och nedre kvartilen, se figur.
a)
13.
a)
Bestäm variationsbredden.
b)
Medelvärdet är 23 skickade SMS.
Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att
använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under
en vecka.
(1/0)
c)
Sara hade själv skickat 52 SMS.
Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med.
(0/1)
Figuren visar en
del av ett koordinatsystem
med linjen y = 2 x +värdet
70
variationsbredden
|
{z
} = |största{zvärdet} − minsta
|
{z
}
Vilka koordinater har
punkten A?
65−6=59
65
6
(0/2)
Svar a)
Endast svar fordras
(1/0)
59
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
a)
b)
Redovisad godtagbar metod, t.ex. ställer upp Pythagoras sats korrekt
+1 g
med korrekt svar (16 cm)
+1 g
Redovisad godtagbar metod, t.ex. använder likformighet korrekt
+1 g
med korrekt svar (9,8 cm)
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
+1 g
27(41)
NpMaB ht 2006 Version 1
12.
Max 2/1
Svar b) Median är lämpligast eftersom enstaka kraftigt avvikande värden inte
påverkar medianen. I Skolverkets rättningsnorm står följande.
a)
Korrekt svar (59)
+1 g
Uppg.
Bedömningsanvisningar
Poäng
11.
c)
b)
Godtagbart svar (”Eftersom fördelningen är sned så är medianen lämpligast
Max 4/0
att använda”)
+1 g
a)
Redovisad godtagbar metod, t.ex. ställer upp Pythagoras sats korrekt
+1 g
c)
Godtagbar
undersökning
kring
vad
som
kan
ske
med
medianen
Med jämt
antal personer,
28, blir medianen medelvärdet av de två mittersta talen.
med
korrekt
svar
(16 cm)
+1vg
g
om Saras
SMS
räknas
med (”Medianen kan ändras eller vara densamma”) +1
x1 , . . . , x13 , x14använder
, x , x , . . . , x28
b)
Redovisad
korrekt
+1 g
| {z 15} 16 likformighet
Elevlösning
1 (1 vg) godtagbar metod, t.ex.
median = (x15 + x14 )/2
med korrekt svar (9,8 cm)
+1 g
Med udda antal personer, 29, blir medianen mittersta talet som i detta fall är större än
den tidigare medianen.
12.
Max 2/1
x1 , . . . , x13 , x14 , x15 , x16 , . . . , x28 , x29
|{z}
a)
Korrekt svar (59)
+1 g
median = x15
Svar b)
c) Godtagbart
Medianen isvar
de tvåfallen
är fördelningen
lika endast då
de två
talen
är lika. I
(”Eftersom
är sned
så mittersta
är medianen
lämpligast
Skolverketsatt
rättningsnorm
använda”) står följande.
+1 g
c)
Godtagbar undersökning kring vad som kan ske med medianen
om Saras SMS räknas med (”Medianen kan ändras eller vara densamma”)
+1 vg
Elevlösning 1 (1 vg)
Kommentar: Eleven beskriver vad som sker kring medianen då ett extra värde till höger
tillkommit. Elevens val av tal i exemplet beskriver inte situationen i uppgiften men
exemplet förtydligar elevens förklaring.
Kommentar: Eleven beskriver vad som sker12kring medianen då ett extra värde till höger
tillkommit. Elevens val av tal i exemplet beskriver inte situationen i uppgiften men
exemplet förtydligar elevens förklaring.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
en fjärdedel av elevsvaren mellan det minsta värdet och nedre kvartilen, se figur.
b)
Medelvärdet är 23 skickade SMS.
Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att
använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under
en vecka.
(1/0)
JENSEN
utbildning
NpMaB ht2006
c) vuxSara
hade själv skickat 52 SMS.
Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med.
Del 2 # 13
13.
13.
(0/2)
28(41)
(0/1)
Punkt ovanför linje
Figuren visar en del av ett koordinatsystem med linjen y = 2 x + 70
Vilka koordinater har punkten A?
(0/2)
a)
Bestäm variationsbredden.
(1/0)
b)
Medelvärdet är 23 skickade SMS.
Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att
använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under
en vecka.
(1/0)
c)
Sara hade själv skickat 52 SMS.
Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med.
Endast svar fordras
Figuren visar en del av ett koordinatsystem med linjen y = 2 x + 70
Vilka koordinater har punkten A?
(0/1)
(0/2)
y = 130
120
120
z}|{
y = 2 · |{z}
x + 70
25
Punkten A har y-koordinaten 130. Vi söker x-koordinaten för punkten A men x-axeln är
inte graderad. Punkten på linjen med y-koordinaten 120 har samma x-koordinat som
punkten A. Stoppa in y = 120 i linjens ekvation y = 2 x + 70 och ut trillar x = 25.
Svar Koordinaterna för punkten A är (25, 130).
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 14
14.
NpMaB ht2006
29(41)
NpMaB ht 2006
Version 1
(0/2)
Linjaler
Firma Plastsaker & Sånt tillverkar bland annat linjaler. Varje vecka tillverkas
50 000 linjaler. Alla linjaler som tillverkades under en viss vecka såldes till en
kund i Lund.
Efter ett tag började firman få klagomål från kunden och beslöt att göra en
kvalitetskontroll i form av en stickprovsundersökning. Under en vecka
kontrollerades kvaliteten på var 200:e linjal som tillverkades. Man hittade
11 linjaler som var av dålig kvalitet.
Hur många av de linjaler som skickades till Lund kan antas ha varit av
dålig kvalitet?
(0/2)
15.
Sveriges
största rovfågel är havsörnen. Uppskattningsvis
% av de svenska
Veckans
produktion
50 000 70linjaler
havsörnarna är ringmärkta. Havsörnar som lever i par håller under hela sin
livslängdandel
ihop med samma partner. 1
Stickprovets
—
200
1
× 50 000
250 linjaler
Stickprovets storlek
200
Antal dåliga i stickprovet
11
Andel dåliga i stickprovet
Antal dåliga i veckans produktion
11
250
11
× 50 000
250
linjaler
—
2 200
linjaler
Svar Antalet dåliga i veckans produktion är 2 200 under antagandet att stickprovet är
representativt.
a)
Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av två ringmärkta fåglar.
(1/0)
b)
Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en
omärkt fågel.
(0/1)
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Efter ett tag började firman få klagomål från kunden och beslöt att göra en
kvalitetskontroll i form av en stickprovsundersökning. Under en vecka
kontrollerades kvaliteten på var 200:e linjal som tillverkades. Man hittade
11 linjaler som var av dålig kvalitet.
Hurvux
många
av de linjaler som skickades
tillht2006
Lund kan antas ha varit av
JENSEN
utbildning
NpMaB
dålig kvalitet?
Del 2 # 15
15.
(1/1)
30(41)
(0/2)
Ringmärkta havsörnar
Sveriges största rovfågel är havsörnen. Uppskattningsvis 70 % av de svenska
havsörnarna är ringmärkta. Havsörnar som lever i par håller under hela sin
livslängd ihop med samma partner.
a)
Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av två ringmärkta fåglar.
(1/0)
b)
Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en
omärkt fågel.
(0/1)
Uppgiften behandlar dragning ur två populationer, hanar ♂ och honor ♀. Sannolikheten
för att en fågel är ringmärkt är 0,7. Låt R beteckna ringmärkt fågel och O beteckna icke
märkt fågel. I träddiagrammet visas dragning av hane ♂ och därefter hona ♀. Med
P (RO) menas sannolikheten för att hanen är ringmärkt och honan icke ringmärkt med
P (OR) menas att sannolikheten för att hanen är icke ringmärkt och honan ringmärkt
population ♂
P (R) =
7
10
P (O) =
3
10
population ♀
P (R) =
P (RR) =
7
10
·
7
10
=
7
10
49
100
P (O) =
population ♀
3
10
P (RO) =
7
10
P (R) =
·
3
10
=
21
100
P (OR) =
3
10
·
7
10
=
7
10
21
100
P (O) =
3
10
P (OO) =
3
10
·
3
10
=
9
100
Resultatet av dragningen kan sammanfattas i följande tabell.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
♂
R
R
O
O
Svar a)
♀
R
O
R
O
31(41)
sannolikhet
0,49
0,21
0,21
0,09
Sannolikheten att få ett par där båda är ringmärkta är 0,49.
b) Sannolikheten att få ett par där hanen ♂ är märkt och honan ♀ icke märkt är 0,21
och sannolikheten att få ett par där hanen ♂ är icke märkt och honan ♀ märkt är 0,21.
Sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en icke ringmärkt fågel är
0,21 + 0,21 = 0,42.
Svar b)
0,42.
Kommentar Vi brukar skilja på dragning med återläggning och dragning utan
återläggning. I detta fall är denna skillnad icke aktuell då vi drar hane ♂ och hona ♀ ur
olika populationer och bara gör ett drag ur varje population. Skillnad mellan dragning
med respektive utan återläggning märks först vid andra draget.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 16
NpMaB ht2006
(0/2/⊗)
32(41)
Låda med volymen 2 000 cm3 .
NpMaB ht 2006 Version 1
16.
Kalle och Lisa ska tillverka var sin öppen låda. De har några kartongark i
A4-format med måtten 21,0 cm × 29,7 cm.
Först tar de var sitt ark och viker upp kortsidorna och sedan klipper de till två
remsor av ett annat ark och tejpar fast dem på långsidorna, se figuren. Bredden på
remsorna blir höjden på lådan. De vill båda tillverka en låda med volymen
2000 cm3. Efter en stunds pysslande har de gjort var sin låda.
Kalles remsor är bredare än Lisas.
Är det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med
volymen 2000 cm3?
17.
a)
b)
 y = 3x + 1
I ekvationssystemet 
är k en konstant.
 y = kx + 2
För vilket eller vilka värden på k saknar ekvationssystemet
lösning? Förklara.
 y = 3x + 1
är a och b konstanter.
I ekvationssystemet 
 y = ax + b
Hur många lösningar får ekvationssystemet för olika värden
på a och b? Förklara.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(0/2/¤)
(0/1)
(0/2/¤)
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
33(41)
x
bottenyta A
(29,7 − 2x) · 21,0
21,0
x
x
x
29,7 − 2 · x
1(4)
Lådans bottenyta A är
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
och med höjden x blir volymen
A = (29,7 − 2x) · 21,0
V = (29,7 − 2x) · 21,0 · x.
Välj x så att volymen blir 2 000 cm3 . Lös ekvationen
2 000 = (29,7 − 2x) · 21,0 · x.
Använd
pq-formeln som finns i FORMELSAMLINGEN och skriv på normaliserad form.
Algebra
Regler
Andragradsekvationer
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
x=−
2
p
 p
±   −q
2
2
Aritmetik
Prefix
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Potenser
a xa y = a x+ y
ax
a
y
= a x− y
(a x ) y = a xy
a− x =
1
ax
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
34(41)
2 000
= 29,7 · x − 2x2 .
21
2 000
21
2 000
29,7
2
x+
x −
42,0
| {z2 }
| {z }
p=−14,85
q=47,619
p
7,425 ± 7,4252 − 47,619 = 7,425 ± 2,4707
10,166
4,684
0 = −2x2 + 29,7 · x −
0 =
x =
x1 =
x2 =
10, 2
4,7
bottenyta A
20,3 · 21,0
bottenyta A
9,4 · 21,0
21,0
21,0
4,7
10, 2
4,7
20,3
4,7
10,2
9,4
10,2
Svar Det finns två olika möjliga lådor med volymen 2 000 cm2 , en med låga kanter och
stor bottenyta och en med höga kanter med liten bottenarea.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Kalles remsor är bredare än Lisas.
det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med
vux
JENSENÄr
utbildning
NpMaB ht2006
volymen 2000 cm3?
Del 2 # 17
17.
(0/3/⊗)
Ekvationssystem
 y = 3x + 1
I ekvationssystemet 
är k en konstant.
 y = kx + 2
För vilket eller vilka värden på k saknar ekvationssystemet
lösning? Förklara.
a)
 y = 3x + 1
är a och b konstanter.
I ekvationssystemet 
 y = ax + b
Hur många lösningar får ekvationssystemet för olika värden
på a och b? Förklara.
b)
35(41)
(0/2/¤)
(0/1)
(0/2/¤)
a)
y = 3x + 2
y = 3x + 1
Svar a)
k = 3.
Linjer med lika k är parallella och skär aldrig varandra. Lösning saknas då
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
b)
NpMaB ht2006
36(41)
Tre olika fall finns.
entydig lösning
lösning saknas
oändligt antal lösningar
k 6= 3
k = 3 och b 6= 1
k = 3 och b = 1
y = 3x + b
y = 3x + 1
y = 3x + 1
y = 3x + 1
k=
6 3
två icke parallella linjer skär varandra
entydig lösning
k = 3 och b 6= 1 två parallella skilda linjer skär icke varandra lösning saknas
k = 3 och b = 1 två identiska linjer ger att alla punkter på oändligt antal lösningar
linjen är lösning
Svar b)
Se ovan.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
vuxutbildning
JENSEN
NpMaB ht2006
• Hur väl
du motiverar dina slutsatser
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du använder det matematiska språket
Del 2
# 18
(3/4/⊗) Stoppsträcka
• Hur generell din lösning är
18.
37(41)
I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då
föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar.
Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är
den sträcka bilen kör från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren reagerar
och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den sträcka som
bilen kör då föraren bromsar in och stannar, se figur.
Stoppsträckan s vid ett visst väglag kan beräknas enligt följande formel:
där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h.
•
Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för några
hastigheter, t.ex. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i
dina värden.
Hastighet
(km/h)
70
90
110
Reaktionssträcka
(m)
Bromssträcka
(m)
Stoppsträcka
(m)
Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen ca 50 meter framför
bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder.
•
c G Robertsson
Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter.
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
38(41)
NpMaB ht 2006 Version 1
Enligt formeln för stoppsträckan s = 0,27v + 0,005v 2 hinner föraren inte stanna
före ett hinder som upptäcks då avståndet till hindret är 50 meter och föraren kör
med hastigheten 110 km/h.
•
Om bilen kan passera hindret och föraren fortsätter att bromsa, hur långt
bortom hindret stannar då bilen?
•
Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret?
Om du vill kan du ta hjälp av diagrammet nedan.
Reaktionssträcka och bromssträcka som funktion av hastigheten
•
c G Robertsson
Undersök och beskriv sambandet mellan den ursprungliga hastigheten
v1 km/h en bil har när en förare upptäcker ett hinder på 50 meters håll
och den hastighet v 2 km/h bilen har när den är vid hindret.
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
(3/4/¤)
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
39(41)
NpMaB ht 2006 Version 1
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du använder det matematiska språket
• Hur generell din lösning är
18. I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då
föraren
upptäcker ettäcka,
hinder,bromsstr
bromsar inäcka
och stannar.
• Beräkna
reaktionsstr
och stoppsträcka för några
hastigheter, t.ex. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i
Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är
dina värden.
den sträcka bilen kör från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren reagerar
Ifylld seroch
tabellen
på följande sätt.
trycker ut
på bromspedalen.
Den andra delen, bromssträckan, är den sträcka som
bilen kör då föraren bromsar in och stannar, se figur.
Hastighet Reaktionssträcka
Bromssträcka
Stoppsträcka
(km/h)
(m)
(m)
(m)
2
70
0, 27 · 70 = 18,9 0,005 · 70 = 24,5 18,9 + 24,5 = 43,8
90
0, 27 · 90 = 24,3 0,005 · 902 = 40,5 24,3 + 40,5 = 64,8
110
0, 27 · 110 = 29,7 0,005 · 1102 = 60,5 29,7 + 60,5 = 90,2
• Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter
Stoppsträckan
s vidanalytiskt
ett visst väglag
beräknas enligt följande formel:
Denna uppgift
kan lösas
eller kan
numeriskt/grafiskt.
Alternativ: analytiskt lösning. Stoppa in s = 50 i formeln för stoppsträckan och lös ut
v med pq-formeln.
50där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h.
z}|{
s
= 0,27 · v + 0,005 · v 2
|
{z
}
pq-formeln ger v
•
Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för några
0 =hastigheter,
0,27 · v +t.ex.
0,005
v 2 − 90
50 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i
70 ·km/h,
dina värden. alltså ordna så att koefficienten framför v 2 blir 1. Dividera alla
Normalisera ekvationen,
termer i ekvationen med 0,005.
Bromssträcka
Stoppsträcka
0 Hastighet
= v 2 + 54Reaktionssträcka
v − 10 000
√
(km/h)
(m)
(m)
(m)
v1,2 =70−27 ± 272 + 10 000
√
v1 =90−27 + 272 + 10 000 ≈ 76, 6
v2 ≈110−130, 6 negativ rot, ej intressant
Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen ca 50 meter framför
bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder.
c G Robertsson
•
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Alternativ:
40(41)
grafisk/numerisk lösning. Den ekvation som ska lösas är
högerled
vänsterled
z}|{
50
NpMaB ht2006
z
}|
{
= 0,27 · v + 0,005 · v 2 .
Använd grafritande miniräknare. Plotta vänsterled och högerled och bestäm
skärningspunkten.
Kommandon till Texas-räknare
Y=
mata in funktion
GRAPH
rita graf
WINDOW
välj fönster, standard är
Xmin = −10, Xmax = 10, Ymin = −10, Ymax = 10
i detta problem är det lämpligare med
Xmin = 0, Xmax = 100, Ymin = 0, Ymax = 100
TRACE
ger cursorns x− och y−koordinat på kurva
2ND CALC
välj intersect i denna uppgift för att bestämma skärningspunkt
stoppsträcka
m
s = 0,27 · v + 0,005 · v 2
100
75
50
s = 50
76,6 km/h
hastighet
70
90
110 km/h
Uppgiften gäller att bestämma för vilka hastigheter det är möjligt att stanna vid hindret.
Den högsta möjliga hastigheten v är 76,6 och den lägsta är 0 < v km/h. Hastigheten noll
är inte möjlig.
Svar Möjliga hastigheter är 0 < v ≤ 76,6 km/h.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB ht2006
41(41)
• Om bilen kan passera hindret och föraren fortsätter att bromsa, hur långt
bortom hindret stannar då bilen?
Enligt tabellen är stoppsträckan 90,2 meter, det är 40,2 meter efter hindret.
Svar 40,2 meter
• Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret?
Enligt uppgiften gäller att stoppsträckan s är
s =
0,27 · v
| {z }
reaktionssträcka
+ 0,005 · v 2 .
| {z }
bromssträcka
Antag att bilens hastighet vid hindret är u km/h. Enligt tidigare är bromssträckan efter
hindret 40,2 meter. Formeln för bromssträcka ger
40,2 = 0,005 · |{z}
u2
u=89,666
Svar Hastigheten vid hindret är 89,7 km/h.
• Undersök och beskriv sambandet mellan den ursprungliga hastigheten v1
km/h en bil har när en förare upptäcker ett hinder på 50 meters håll och den
hastighet v2 km/h bilen har när den är vid hindret.
Låt v vara utgångshastighet och u hastigheten vid hindret. Utgångspunkt för sambandet
u och v är
bromssträcka från u km/h
stoppsträcka bortom hindret
z
}|
{
z }| {
0,005 · u2 = 0,27 · v + 0,005 · v 2 − 50
som kan förenklas till
u2 = 54 · v + v 2 − 10 000.
Detta samband gäller för sådana v att högerledet är positivt. För v ≤ 0 gäller att lösning
saknas och för utgångshastigheter så låga att hindret inte passeras gäller att u = 0.
Svar

 lösning saknas
0
u =
 √
54v + v 2 − 10 000
:
:
:
v≤ 0
√
0 < v ≤ −27 + 272 + 10 000
√
−27 + 272 + 10 000 ≤ v
Kommentar
I Skolverkets rättningsnorm förekommer endast svaret
√
u = 54v + v 2 − 10 000 på deluppgiften undersök och beskriv sambandet mellan . . .
Skolverkets rättningsnorm behandlar alltså enbart fallet att bilen passerar hindret.
c G Robertsson
buggar ⇒ robertrobertsson@tele2.se
2015-04-05