1. No category

Reglerteori, TSRT09
Föreläsning 11: Exakt linjärisering och prestandagränser
Torkel Glad
Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan
2(33)
Fasplan: figur som visar tillståndens banor i tillståndsrummet
(främst i 2D).
t=10s
10
8
6
4
2
x2
”Starta systemet från ett gäng
initialtillstånd och rita hur tillstånden varierar i x1 -x2 -planet”.
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−5
0
x1
5
10
Givet ett linjärt system ẋ = Ax och matrisen A:s egenvektorer
och egenvärden så kan systemets fasplan skissas, utan att
faktiskt starta systemet från ett antal initialtillstånd.
Kan ofta användas för att beskriva ett olinjärt systems beteende
”tillräckligt nära” en jämviktspunkt.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Olika typer av jämviktspunkter
3(33)
Tvåtangentnod
Entangentnod och stjärnnod
(två reella e.v. lika tecken)
(sammanfallande e.v.)
Sadelpunkt
Fokus och centrum
(två reella e.v. olika tecken)
(komplexa egenvärden)
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Samband linjärt – olinjärt: nära jämviktspunkt
Om det linjära systemet
ẋ = Ax
har en jämviktspunkt av typen en/tvåtangentnod, fokus eller
sadelpunkt för x = 0 så har det olinjära systemet
ẋ = Ax + g(x),
|g(x)|/|x| → 0, x → 0
samma kvalitativa uppförande nära origo (så snart lösningen
befinner sig ”tillräckligt nära”).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
4(33)
Föreläsning 11
5(33)
Syntes för olinjära system.
Exakt linjärisering.
Begränsningar och konflikter.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Syntes för olinjära system
6(33)
Linjär design, olinjär verifikation.
Olinjär IMC.
Prediktionsreglering.
Optimal styrning.
Exakt linjärisering.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Linjär design, olinjär verifikation
7(33)
Bestäm en jämviktspunkt.
Gör linjärisering kring jämviktspunkten.
Använd linjära metoder (t.ex. LQG) för att ta fram en linjär
regulator för det linjäriserade systemet.
Simulera det olinjära systemet med den linjära regulatorn.
Verifiera att det fungerar tillfredsställande.
Använd eventuellt analysmetoder (t.ex. beskrivande funktion)
för att kontrollera att olinjäriteterna inte ger problem.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Prediktionsreglering: MPC
8(33)
För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat
linjärkvadratiskt problem
Z ∞
min
0
(xT Q1 x + uT Q2 u) dt
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
|ui (t)| ≤ ai ,
|xj (t)| ≤ bj
I MPC införs två förenklingar av problemet:
Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall.
Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis
konstant styrsignal (även tidskont. MPC förekommer dock).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Prediktionsreglering: MPC
8(33)
För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat
linjärkvadratiskt problem
min
Z T
0
(xT Q1 x + uT Q2 u) dt
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
|ui (t)| ≤ ai ,
|xj (t)| ≤ bj
I MPC införs två förenklingar av problemet:
Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall.
Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis
konstant styrsignal (även tidskont. MPC förekommer dock).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Prediktionsreglering: MPC
8(33)
För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat
linjärkvadratiskt problem
T
min ∑(xT Q1 x + uT Q2 u) dt
0
x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t)
|ui (t)| ≤ ai ,
|xj (t)| ≤ bj
I MPC införs två förenklingar av problemet:
Gör optimeringen över ett ändligt rullande intervall.
Gör problemet tidsdiskret genom att använda en styckvis
konstant styrsignal (även tidskont. MPC förekommer dock).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Prediktionsreglering: MPC
8(33)
För många tillämpningar vore det naturligt att lösa ett modifierat
linjärkvadratiskt problem
T
min ∑(xT Q1 x + uT Q2 u) dt
0
x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t)
|ui (t)| ≤ ai ,
|xj (t)| ≤ bj
Insignal- och tillståndsbivillkor möjliga.
Principen fungerar även för olinjära system.
Det är förhållandevis svårt att beräkna en explicit återkoppling,
redan i det linjära fallet.
Se även kurserna ”Industriell reglerteknik” och ”Optimal styrning”.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Optimal styrning
Minimera
9(33)
Z ∞
L(x, u)dt
0
för systemet
ẋ = f (x, u)
Mycket kraftfull metod för att beräkna
regulatorer.
I vissa (special-) fall analytisk lösning, i
andra fall numerisk.
Extremt beräkningstungt.
MPC kan ses som ett approximativt sätt att
lösa optimalstyrningsproblem på.
Goddards
raketproblem
Se kursen ”Optimal styrning”.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Mekanik
x1 läge, x2 hastighet:
ẋ1 = x2
10(33)
x2
m=1
u
x1
ẋ2 = −k(x1 ) − b(x2 ) + u
där
k(x1 ) är en olinjär lägesberoende kraft
(”fjäder”, gravitation, mm).
b(x2 ) är en olinjär hastighetsberoende kraft
(”dämpning”, friktion).
u insignal.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Mekanik
10(33)
x2
x1 läge, x2 hastighet:
m=1
u
x1
ẋ1 = x2
ẋ2 = −k(x1 ) − b(x2 ) + u
Testa med
u = ū + k(x1 ) + b(x2 )
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Mekanik
10(33)
x2
u = ū + k(x1 ) + b(x2 )
m=1
u
x1
ger ett linjärt system
ẋ1 = x2
ẋ2 = ū
med en ny ”virtuell” insignal ū.
Systemet är ”exakt linjäriserat”!
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan
11(33)
x1 hastighet, x2 motordragkraft:
ẋ1 = −D(x1 ) + x2
ẋ2 = −x2 + u
där
D(x1 ) är kraften från luftmotståndet.
u är motorpådraget.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan
11(33)
x1 hastighet, x2 motordragkraft:
ẋ1 = −D(x1 ) + x2
ẋ2 = −x2 + u
Hur ska man här välja u för att ”exakt linjärisera”
systemet?
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan
11(33)
x1 hastighet, x2 motordragkraft:
ẋ1 = −D(x1 ) + x2
ẋ2 = −x2 + u
Hur ska man här välja u för att ”exakt linjärisera”
systemet?
Inte lika rättframt... En mer generell teori
behövs!
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Två ”nivåer” av exakt linjärisering
12(33)
Exakt insignal-utsignal-linjärisering: Återkoppla så att
sambandet mellan referens/insignal och y blir exakt linjärt.
Exakt tillståndslinjärisering: Återkoppla så att hela
tillståndsbeskrivningen blir exakt linjär (eventuellt i
transformerade variabler).
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Styrsignalaffin form
13(33)
Ett olinjärt system på formen
ẋ = f (x) + ug(x)
y = h(x)
där f , g och h antas vara (potentiellt olinjära) oändligt många gånger
deriverbara funktioner. u och y antas (här) vara skalärer.
Vi kräver alltså en viss förenklande struktur på hur u kommer in i
systemet.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Hur beror y på u?
14(33)
ẋ = f (x) + ug(x)
y = h(x)
För att kunna linjärisera relationen mellan u och y vill vi få ett explicit
uttryck för den. y = h(x) innehåller det inte. Derivera!
ẏ = hx f + uhx g
Hittat relationen om hx g 6≡ 0.
ÿ = (hx f )x f + u(hx f )x g
y(3)
Hittat relationen om (hx f )x g 6≡ 0.
= ((hx f )x f )x f + u((hx f )x f )x g
Hittat relationen om ((hx f )x f )x g 6≡ 0.
y(4) = . . .
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Relativt gradtal
15(33)
ẋ = f (x) + ug(x)
y = h(x)
Derivera utsignalen y m.a.p. tiden. Då är relativt gradtal
antalet gånger utsignalen måste deriveras innan ett direkt
beroende av insignalen uppkommer.
minsta ν för vilket y(ν) = rν (x) + usν (x) med sν (x) 6≡ 0.
Starkt relativt gradtal, om dessutom sν (x) 6= 0, ∀x.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Lie-derivator och relativt gradtal
16(33)
En kompaktare notation kan fås genom att införa
L f = f1
∂
∂
+ . . . + fn
∂x1
∂xn
där Lf kallas för Lie-derivatan i riktningen f .
Definition: Det relativa gradtalet är det minsta heltalet ν sådant att
Lg Lfν−1 h 6≡ 0.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt insignal-utsignal-linjärisering
17(33)
Betrakta ett system med starkt relativt gradtal ν. Då gäller
y(ν) = Lfν h + uLg Lfν−1 h,
där Lg Lfν−1 h 6= 0
Sambandet mellan en ny ”virtuell” insignal ū och utsignalen y kan
göras linjärt genom att välja
u=
1
(ū − Lfν h)
Lg Lfν−1 h
Det linjära sambandet blir
y(ν) = ū
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt tillståndslinjärisering
18(33)
Linjärisera inte bara insignal-utsignal-relationen, utan hela
tillståndsbeskrivningen.
Sats: Om systemet
ẋ = f (x) + ug(x)
y = h(x)
har starkt relativt gradtal = n =dim(x) så finns en (olinjär)
tillståndsåterkoppling som gör systemet exakt linjärt i tillstånden
z1 = y, z2 = ẏ, . . . zn = y(n−1)
Bevis...
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Det finns ett ”men”...
19(33)
...och det uppstår om det relativa gradtalet ν < n.
ż1 = z2
ż2 = z3
..
.
żν = ū
żν+1 = ψ1 (z, (ū − ξ )/η )
..
.
żn = ψn−ν (z, (ū − ξ )/η )
y = z1
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Det finns ett ”men”...
19(33)
...och det uppstår om det relativa gradtalet ν < n.
ż1 = z2
ż2 = z3
..
.
żν = ū
żν+1 = ψ1 (z, (ū − ξ )/η )
..
.
żn = ψn−ν (z, (ū − ξ )/η )
y = z1
”Nolldynamik”...
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Nolldynamik
20(33)
ż1 = z2
ż2 = z3
.
.
.
żν = ū
żν+1 = ψ1 (z, (ū − ξ )/η )
.
.
.
żn = ψn−ν (z, (ū − ξ )/η )
y = z1
Olinjär dynamik som inte syns i utsignalen.
Potentiellt problem: instabilitet
Ibland kan man bli av med nolldynamiken genom att välja en
annan utsignal.
Linjärt: nolldynamikens egenvärden är överföringsfunktionens
nollställen.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Undvik nolldynamik
21(33)
Om y = h(x) kan väljas kan man undvika nolldynamik genom att se
till att relativa gradtalet = antalet tillståndsvariabler.
Kriterium:
2 tillstånd: Lg h = 0
3 tillstånd: Lg h = 0, Lg Lf h = 0
osv.
Partiella differentialekvationer ⇒ Svårt. (Men ibland görbart)
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Exakt linjärisering: Farthållning i flygplan
22(33)
x1 hastighet, x2 motordragkraft:
ẋ1 = −D(x1 ) + x2
ẋ2 = −x2 + u
Hur ska man här välja u för att ”exakt linjärisera”
systemet?
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Slutligen
23(33)
Bara möjlig för vissa klasser av system.
Ofta komplicerade beräkningar.
Styrsignalbegränsning en svårighet.
Robusthet svår att analysera (olinjär teori...).
Trots det åtskilliga framgångsrika tillämpningar.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Slut på Olinjära delen
Åter till Begränsningar och konflikter för linjära
system (Kap 7)
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
DEL II: LINJÄR REGLERTEORI
25(33)
Föreläsning 4: Det slutna systemet
Föreläsning 5: Regulatorstrukturer
Föreläsning 6: LQ-reglering
Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen
Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Begränsningar och konflikter
26(33)
Kompromiss mellan S och T, Bodes relation.
Hur liten kan S bli?
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kompromiss mellan S och T
27(33)
S+T = 1
S och T är entydigt bestämda av kretsförstärkningen GFy .
För ett litet tal ε gäller approximativt
1
ε
|T | < ε ⇔ |GFy | < ε
|S| < ε ⇔ |GFy | >
d.v.s. |S| och |T | kan inte vara ”små” samtidigt.
Typiskt önskemål: S liten vid låga frekvenser och T liten vid
höga frekvenser.
Hur snabbt kan man gå från ”litet S” till ”litet T”?
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Hur snabbt kan |GFy | ändras?
28(33)
|GFy |
1
ǫ
1
ǫ
ω0
ωc
ω1
ω
Hur litet kan ω1 − ω0 bli?
Ett samband mellan amplitud och fas hos överföringsfunktioner (t.ex.
GFy ) förhindrar oss att göra en godtyckligt brant övergång...
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Bodes relation
29(33)
Sats: Låt f (x) = log |G(iex )|. Under antagandena i Sats 7.1 (sid
200) gäller att
arg G(iω ) ≤
1
π
Z ∞
d
−∞
dx
f (x) · ψ(x − log ω )dx
där viktsfunktionen ψ ges av
ψ(x) = log
ex + 1
| ex − 1 |
Olikheten håller med likhet om G(s) saknar nollställen i HHP.
Notera att satsen ger en övre gräns på fasen, som beror på
amplitudkurvans derivata.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Bodes relation mellan tummen och pekfingret
30(33)
Approximativt kan Bodes relation skrivas som
<
arg G(iω )F(iω ) ≈
d
π
· log |G(iω )F(iω )|
2 d log ω
{z
}
|
”Lutningen” i bodediagrammet.
för överföringsfunktionen G(iω )F(iω ) (kretsförstärkningen).
Konsekvens: Snabbt avtagande |G(iω )F(iω )| ger dålig fas.
Fasen kring ωc måste enl. nyquistkriteriet vara bättre än −180◦ ,
d.v.s. amplitudkurvan får inte falla snabbare än ”lutning −2”
kring ωc om systemet ska vara stabilt.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Begränsningar på S, Bodes integral
31(33)
Antag att kretsförstärkningen GFy har M poler i höger halvplan:
pi ; i = 1, . . . , M och att |GFy | avtar åtminstone som |s|−2 då
|s| → ∞. Då gäller skalärt
Z ∞
0
M
log |S(iω )|dω = π ∑ Re(pi )
i=1
Flervariabelt:
Z ∞
0
M
log | det S(iω )| dω = π ∑ Re(pi )
i=1
där | det S| = σ1 · · · σm . Konsekvens för största singulära värdet:
Z ∞
0
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
log σ̄(S(iω ))dω ≥
π M
Re(pi )
m i∑
=1
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Invariansegenskap hos S
32(33)
Bodes integralsats
1
S
10
0
10
−1
10
0
1
2
3
4
5
w
6
7
8
9
10
Känslighet |S(iω )| < 1 vid vissa frekvenser måste betalas igen med
|S(iω )| > 1 vid andra. Är GFy instabil blir situationen värre.
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Konsekvenser av Bodes integral
33(33)
Stabila system: Känsligheten kan inte vara < 1 vid alla
frekvenser.
Poler till GFy i höger halvplan försämrar känsligheten.
Återbetalning av log |S(iω )| måste ske inom tillgänglig
bandbredd!
Obs! Vi förutsätter att GFy avtar minst som |s|−2 för stora s.
Ren LQ-återkoppling åstadkommer |S| < 1 vid alla frekvenser
men där avtar GFy bara som |s|−1 . (Man antar ideal mätning)
Torkel Glad
Reglerteori 2015, Föreläsning 11
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET