1. No category

Sammanfattning av Föreläsning 3
2(19)
Kovariansfunktion:
Reglerteori, TSRT09
Ru (τ ) = Eu(t)u(t − τ )T
Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet
Spektrum:
Φu ( ω ) =
∞
−∞
Ru (τ )e−iωτ dτ
Storleksmått (kovariansmatris):
Daniel Axehill
1
Ru = Ru (0) =
2π
Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
∞
−∞
Φu (ω ) dω
Vitt brus:
Φu (ω ) = konstant
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
3(19)
Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
4(19)
Vitt brus in på tillståndsform:
Spektralfaktorisering:
Varje spektrum kan tänkas genererat genom att vitt brus passerar ett
linjärt system.
y = Gu
⇒
Φy (ω ) = G(iω )Φu (ω )GT (−iω )
ẋ = Ax + Bv
v vitt brus med intensitet/spektraltäthet R.
Kovariansmatrisen Πx = Rx (0) ges av Lyapunovs ekvation:
AΠx + Πx AT + BRBT = 0
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
5(19)
1. paret A, C detekterbart (dvs den instabila delen av systemet
observerbar)
y = Cx + v2
2. paret A, NR1 NT stabiliserbart (den instabila delen ”styrbar från
bruset”)
v1 , v2 okorrelerade vita brus med spektraltätheterna R1 , R2 .
Optimal observatörsförstärkning:
så finns en lösning P ≥ 0 till den algebraiska Riccatiekvationen så
att alla egenvärden till A − KC har realdelar < 0.
K = PCT R2−1
där P ges av den algebraiska Riccatiekvationen:
Villkor 1 är precis kravet på att över huvud taget kunna stabilisera
observatören.
AP + PAT − PCT R2−1 CP + NR1 NT = 0
P är den resulterande kovariansen för skattningsfelet.
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
Villkor 2 är ett mera matematiskt-tekniskt krav.
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kommentar till Kalmanfiltret
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
7(19)
Man kan visa att Kalmanfiltret är den observatör som minimerar
kovariansmatrisen P för skattningsfelet x̃. Se appendix 5.1.
Man kan visa att Kalmanfiltret minimerar medelkvadratfelet
bland alla linjära kausala filter.
Om bruset är gaussiskt (normalprocesser) är Kalmanfiltret
optimalt även jämfört med alla olinjära filter. Skattningen av x(t)
blir det betingade väntevärdet, givet alla mätningar fram till
tiden t.
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
6(19)
Om R2 > 0, R1 ≥ 0 och
Kalmanfilter: Optimal observatör för
ẋ = Ax + Bu + Nv1 ,
När kan den algebraiska Riccatiekvationen lösas?
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sensorfusion
8(19)
Ofta måste man väga samman signaler från olika mätgivare
som har olika noggrannhet.
För navigationssystem i fartyg, flygplan, bilar,.... väger man
samman
• Lägesinformation: GPS, radiofyrar, optisk pejling,...
• Hastighetsinformation: dopplerradar, hjulrotationshastighet,
gyron (vinkelhastighet),...
• Accelerationsmätning: accelerometrar,....
• .......
En viktig poäng med denna sammanvägning är att en sensors
”dåliga sidor” kan hjälpas upp med en annan sensor som inte
har samma ”dåliga sidor”.
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sensorfusion
8(19)
Enkel sensorfusion: läge – hastighet
9(19)
w
Principfall med två oberoende skattningar x̂1 och x̂2 av samma
tillståndsvektor x.
x1, x2
Kovariansmatriser för skattningarna: P1 och P2 .
Rörelse i en dimension: x1 läge, x2 hastighet.
Fusion av de båda skattningarna till en enda x̂
Accelerationen varierar slumpvis kring noll: modelleras som vitt
brus, w.
x̂ = P((P1 )−1 x̂1 + (P2 )−1 x̂2 )
P = ((P1 )−1 + (P2 )−1 )−1
Läges- och hastighetsmätning: y1 respektive y2 .
Läge och hastighet mäts med mätfel v1 respektive v2 .
Kalmanfiltret gör den optimala sammanvägningen:
”sensorfusion”.
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
Enkel sensorfusion: läge – hastighet
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
9(19)
Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning
10(19)
w
10
x1, x2
10
2
lägesmätning till lägesskattning
hastighetsmätning till lägesskattning
10
0
10
Modell:
10
ẋ =
0 1
0
x+
w
1
0 0
10
R1 = 1,
R2 =
r1 0
0 r2
−4
−2
10
0
10
2
10
−5
10
−2
10
0
10
2
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
x̂1 ≈ y1 + 0 · y2
Dålig lägesmätning
& bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
x̂1 ≈ 0 · y1 +
w, v okorrelerade
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
0
−2
10
y = x+v
5
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
y2
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kalmanfilter: Bodediagram - Lägesskattning
10
10
2
lägesmätning till lägesskattning
10
5
10
0
10
−2
10
0
10
2
10
lägesmätning till hastighetsskattning
−5
10
−2
10
0
10
10
2
0
−2
−5
−10
10
−2
10
0
10
10
2
−4
10
−2
10
0
10
2
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
Dålig lägesmätning
& bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
x̂1 ≈ y1 + 0 · y2
x̂1 ≈ 0 · y1 +
x̂2 ≈
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning
d
dt y1
+ 0 · y2
x̂2 ≈ 0 · y1 + y2
y2
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
10
lägesmätning till hastighetsskattning
hastighetsmätning till hastighetsskattning
0
10
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
10(19)
Kalmanfilter: Bodediagram - Sammanfattning
2
5
lägesmätning till lägesskattning
hastighetsmätning till lägesskattning
5
10
10
0
10
0
10
10
0
−2
10
10
10
−2
−5
−4
10
−5
−2
10
10
−10
10
−2
10
0
10
2
10
−4
10
5
−2
10
0
10
2
0
10
2
10
10
lägesmätning till hastighetsskattning
10
−2
10
0
10
2
10
hastighetsmätning till hastighetsskattning
0
10
0
10
−2
10
−5
Bra lägesmätning & dålig hastighetsmätning (r1 liten, r2 stor):
x̂2 ≈
d
dt y1
+ 0 · y2
10
−10
10
−4
−2
10
0
10
2
10
10
−2
10
0
10
2
10
Dålig lägesmätning & bra hastighetsmätning (r1 stor, r2 liten):
x̂2 ≈ 0 · y1 + y2
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
Alltså: Hög brusintensitet på en mätning ⇒ Filtret ”litar inte” så
mycket på den mätningen (relativt sett).
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
10(19)
hastighetsmätning till hastighetsskattning
0
10
10
10
−4
5
0
−2
10
Kalmanfilter: Bodediagram - Hastighetsskattning
hastighetsmätning till lägesskattning
10
10
10
10(19)
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
10(19)
DEL II: LINJÄR REGLERTEORI
11(19)
Det slutna systemet
12(19)
Föreläsning 4: Det slutna systemet
Det kanoniska blockschemat
Föreläsning 5: Regulatorstrukturer
Stabilitet för det slutna systemet
Föreläsning 6: LQ-reglering
Känslighet
Föreläsning 7: Att forma kretsförstärkningen
Robusthet
Föreläsning 11-12: Specifikationer och begränsningar
Önskemål
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
Det slutna systemet: viktiga signaler
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
13(19)
Det slutna systemet: viktiga överföringsfunktioner 14(19)
u, styrsignalen
Överföringsfunktioner:
z, det vi vill styra
”Det kanoniska blockschemat”
w
wu
n
r, referenssignal,
det vi vill att z skall vara
y, utsignal, det vi mäter
Störningar
• wu , störning på
ingången
• w, störning på
utgången
• n, mätstörning
r
Fr
Σ
u
Σ
G
z
Σ
−Fy
S = (I + GFy )
r
−1
Su = (I + Fy G)−1
T = (I + GFy )
−1
Fr
Σ
u
Σ
G
n
z
Σ
−Fy
GFy
Signalsamband:
z = Gc r + Sw − Tn + GSu wu
u = Su Fr r − Su Fy (w + n) + Su wu
Ofta är y = z + n
För linjära system har u formen u = Fr (s)r − Fy (s)y
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
Gc = (I + GFy )−1 GFr
y
w
wu
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
y
Stabilitet för det slutna systemet
15(19)
z = Gc r = (I + GFy )−1 GFr r
(1)
Om G och Fy representeras av styr- och observerbara
tillståndsbeskrivningar går det att visa att det återkopplade systemet
i (1) också blir styr- och observerbart. Om man kontrollerar alla fyra
överföringsfunktionerna
kommer man därför att hitta alla poler till systemet (och kan speciellt
kontrollera stabiliteten).
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Robusthet
Hur stora modellfel ΔG kan man ha utan att stabiliteten i det slutna
systemet äventyras?
Om
ΔG T ∞ < 1
Då blir
z0 = (I + Δz )z,
Δz = S0 ΔG ,
S0 = (I + G0 Fy )−1
S = (I + GFy )−1
Tolkning: S är förstärkningen från modellfel till signalfel.
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Önskemål
18(19)
I − Gc liten ⇒ Reglerstorheten ska följa referenssignalen.
S liten ⇒ Systemstörningar och modellfel ger liten inverkan på
reglerstorheten (utsignalen).
T liten ⇒ Mätstörningar ger liten inverkan på reglerstorheten
så är det slutna systemet fortfarande stabilt.
(utsignalen) och så att modellfel inte äventyrar stabiliteten.
Gru och Gwu små ⇒ Insignalen u ska vara måttlig.
Detta är i sin tur uppfyllt om
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
G0 = ( I + Δ G ) G
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
17(19)
1
|T (iω )| <
,
|ΔG (iω )|
för modellen G. Antag att sanna systemet är
Eftersom G0 ej känd måste S0 i praktiken approximeras av
GSu , S, Su , Su Fy
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
16(19)
I praktiken känner man inte systemet exakt. Låt
Betrakta det slutna systemet som ett system med insignaler wu , w
och utsignaler u, y (för tillfället är alltså r = 0, n = 0).
S
y
GSu
wu
=
w
Su −Su Fy
u
Känslighet
Men notera att
S+T = I
alla ω
Gc = GGru
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Sensorfusion för platooning
19(19)
Tillgängliga mätningar:
Sensorer i bilen via CAN-bussen (t.ex. hastighet).
GPS.
Avstånd till fordonet framför via radar.
Andra bilars tillståndsskattning via Wifi.
Fusionera till en tillståndsskattning (hastighet, position, mm.) med
Kalmanfilter.
Daniel Axehill
Reglerteori 2014, Föreläsning 4 (ver. 1.15)
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET