1. No category

Matematisk analys III, VT14
Frågor för den muntliga tentan
MATEMATISKA INSTITUTIONEN
STOCKHOLMS UNIVERSITET
Avd. Matematik
Annemarie Luger
Del A
Envariabelanalys
1. Definiera gränsvärde av en funktion då x → +∞ och då x → a.
Visa att f (x)g(x) → 0 om f (x) → 0 och g(x) är begränsad.
2. Definiera gränsvärde av en funktion då x → +∞ och då x → a.
Formulera och bevisa summa-, produkt- och kvotreglerna.
Endast ett av fallen x → +∞ eller x → a behöver behandlas.
3. Definiera gränsvärde av en funktion då x → +∞ och då x → a.
Formulera och bevisa sammansättningsregeln och instängningsregeln.
Endast ett av fallen x → +∞ eller x → a behöver behandlas.
4. Definiera supremum och infimum.
Visa, utgående från supremumaxiomet, att en monoton funktion har ett gränsvärde
(egentligt eller oegentligt) då x → +∞.
5. Definiera gränsvärde av en funktion då x → +∞ och då x → b.
Visa följande standardgränsvärden
x
= 0 a > 1,
x→+∞ ax
lim
ln x
= 0,
x→+∞ x
lim
lim x ln x = 0.
x→0+
6. Definiera gränsvärde av en funktion då x → a.
Visa följande standardgränsvärde
sin x
=1
x→0 x
lim
och använd det för att beräkna
lim
x→0
arcsin x
x
7. Definiera gränsvärde av en funktion då x → a.
Visa följande standardgränsvärden
ln(1 + x)
= 1,
x→0
x
lim
ex − 1
= 1.
x→0
x
lim
8. Definiera kontinuitet.
Visa att om en funktion f är kontinuerlig i intervallet [a, b], så antar f sitt största
och sitt minsta värde där.
Bolzano-Weierstrass sats kan användas utan bevis.
1
9. Definiera derivata av en funktion.
Härled formeln för derivatan av
cos x,
arccos x,
tan x.
a−b
Formeln cos a − cos b = −2 sin a+b
2 sin 2 får användas utan bevis.
10. Definiera derivata av en funktion.
Härled formeln för derivatan av
ex
och
ln x.
11. Definiera derivata av en funktion.
Formulera och bevisa summa-, produkt- och kvotreglerna för derivator.
12. Definiera derivata av en funktion.
Formulera och bevisa sats om derivata av en invers.
13. Definiera egenskap växande och avtagande.
Formulera och bevisa satsen om sambandet mellan derivata och monotonitet.
Medelvärdessatsen kan användas utan bevis.
14. Definiera egenskap lokal extrempunkt.
Visa att om en funktion f har lokalt maximum eller minimum i en punkt a, så
gäller under vissa förutsättningar att derivatan av f i a är noll.
15. Definiera begreppen integrerbar funktion och Riemannintegral.
16. Definiera begreppet integrerbar funktion.
Visa att om f är monoton i [a, b], så är f integrerbar där.
17. Formulera och bevisa integralkalkylens två medelvärdessatser.
18. Formulera och bevisa analysens huvudsats.
19. Formulera och bevisa Maclaurins formel (i en variabel).
20. Formulera och bevisa entydighetssatsen för Maclaurinutveckling (i en variabel).
Flervariabelanalys
21. Definiera begreppen partiell derivata och differentierbarhet.
Visa att om en funktion är differentierbar, så är den kontinuerlig och har partiella
första derivator.
22. Definiera begreppen partiell derivata och differentierbarhet.
Visa att om en funktion är av klass C 1 , så är den differentierbar.
Endast fallet 2 variabler behöver behandlas.
23. Definiera riktningsderivata och gradient.
Formulera och bevisa sats om samband mellan riktningsderivata och gradient.
2
24. Formulera och bevisa Taylors formel av andra ordningen.
25. Definiera begreppen positivt och negativt definit, indefinit samt positivt och negativt semidefinit kvadratisk form.
Formulera och bevisa sats om hur den kvadratiska formen i Taylorutvecklingen
avgör karaktären hos en stationär punkt .
26. Definiera begreppen integrerbar funktion och Riemannintegral för funktioner av 2
variabler (över en rektangel och över ett godtyckligt område). Förklara begreppet
Riemannsumma.
27. Formulera satsen om variabelbyte i dubbelintegraler. Ge ett resonemang som
troliggör satsen. Resonemanget skall särskilt förklara funktionaldeterminantens
roll.
Del B
1. Redogör för egenskaper hos kontinuerliga funktioner.
2. Redogör för begreppet invers funktion och några egenskaper hos den inversa funktionen f −1 (i relation till egenskaper hos f ).
3. Formulera intervallinkapslingsatsen och skissa beviset.
Satsen har använts vid flera tillfällen i kursen, redogör för några.
4. Formulera Bolzano-Weierstrass sats och skissa beviset.
Satsen har använts vid flera tillfällen i kursen, redogör för några.
5. Formulera medelvärdessatsen och skissa beviset.
Redogör för satsens betydelse inom teorin.
6. Formulera satsen om mellanliggande värden och skissa beviset.
Redogör för satsens betydelse inom teorin.
7. Hur kan man använda derivatan f 0 för att dra slutsatser om f ?
Redogör för några sådana resultat.
8. Redogör för Riemannintegralen av en funktion av en variabel.
9. Redogör för egenskaper hos kontinuerliga funktioner i flera variabler.
10. Redogör för begreppet differentierbarhet hos en funktion av flera variabler och
sätt det i relation till andra egenskaper (t.ex. kontinuerlig, partiellt deriverbar,
C 1 , begränsad....)
11. Redogör för begreppet gradient och riktningsderivatan och deras geometrisk betydelse.
12. Förklara metoden för optimeringsproblem med bivillkor.
13. Redogör för nödvändiga och tillräckliga villkor för lokala extrempunkter.
14. Redogör för begreppet dubbelintegral.
15. Redogör för generaliserade dubbelintegraler.
16. Redogör för multipelintegraler.
3