1. No category

Stavanger, 3. juli 2015
Det teknisknaturvitenskapelige fakultet
ELE620 Systemidentifikasjon, 2015.
Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra fagets nettside,
og for øvinger brukes It’s learning.
Innhold
4 Noen regneoppgaver.
4
1
4.1
Diskretisering av masse-fjær-demper-system . . . . . . . . . . .
2
4.2
Diskretisering av et førsteordenssystem . . . . . . . . . . . . . .
3
4.3
Stokastisk prosess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.4
Stokastisk regneøving med Grjotgard . . . . . . . . . . . . . . .
4
Noen regneoppgaver.
Hensikt med oppgaven er å gi god øving i å løse oppgaver av denne typen, som
er aktuelle til eksamen. Prøv gjerne å løse oppgavene uten hjelpemidler for å
få mer realistisk eksamensøving.
Karl Skretting, Institutt for data- og elektroteknikk (IDE), Universitetet i Stavanger (UiS), 4036 Stavanger.
Sentralbord 51 83 10 00. Direkte 51 83 20 16. E-post: karl.skretting@uis.no.
4.1
Diskretisering av masse-fjær-demper-system
Først litt oppsummering av notasjon og formler. Diskretisering av tilstandsrommodell (TRM) er å gå fra den kontinuerlige TRM til den diskrete TRM
som vist her
ẋ = Ax + Bu
y = Dx + Eu
→
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Dx(k) + Eu(k)
(1)
Eksakt diskretisering med nullteordens holdeelement gir følgende sammenheng
(2)
Φ = eAT = L−1 (sI − A)−1 t=T
Z
Γ=
0
T
n
1 o
eAτ dτ · B = L−1 (sI − A)−1 B s
t=T
(3)
Gitt følgende tidskontinuerlige modell for et masse-fjær-demper system:
m ẍ = −Kd ẋ − Kf x + F
(4)
der m er masse, Kd er dempekonstant, Kf er fjærkonstant, F er kraft og x er
posisjon. y = x er utgangsvariabel, pådraget er krafta u = F .
a. En kan i prinsippet velge tilstandsvariabler på uendelig mange måter,
men å velge tilstand en som posisjon x1 = x og tilstand to som fart
x2 = ẋ er mest hensiktsmessig. Skriv opp den kontinuerlige TRM som
svarer til (4). Det vil si, finn matrisene A, B, D og E i ligning (1)
b. Sett opp en diskret TRM basert på diskretisering av modellen i punkt
a med nullteordens holdeelement og Eulers forovermetode. Samplingsintervallet er T [sek].
c. Sett inn følgende tallverdier: m = 1, Kd = 3, Kf = 2, T = 0.05 og beregn
matrisene i den diskrete TRM fra punkt b.
d. Finn matrisene i den diskrete TRM med eksakt diskretisering med å
bruke Matlab.
e. Bruk tallverdier: m = 1, Kd = 3, Kf = 2, men ikke gi en tallverdi for
tidssteget T . Finn matrisene i den diskrete TRM med eksakt diskretisering med å bruke formlene (2) og (3).
f. Bruk T = 0.05 og finne tallverdiene for matrisene i punkt e. Stemmer
dette med resultatene for Matlab i punkt d. eller resultatene fra punkt
c. Forklar hvorfor og eventuelle forskjeller.
g. Finn en øvre grense for tidsteget i punkt e. Bruk tallverdier: m = 1,
Kd = 3, Kf = 2.
2
4.2
Diskretisering av et førsteordenssystem
Eksakt diskretisering av transferfunksjon, h(s) → h(z), er gitt ved
h
n
o
i
−1 h(s) h(z) = (1 − z )Z L
s
t=kT
−1
(5)
Vi har gitt følgende føsteordenssystem
h(s) =
1
y(s)
=
u(s)
2s + 1
(6)
Systemet skal diskretiseres med nullteordens holdeelement med samplingsintervall T = 0.25 sekund. Finn de tilsvarende diskrete z-transferfunksjonen,
h(z) = y(z)/u(z), med å bruke formel (5).
4.3
Stokastisk prosess
Gitt en diskret, stokastisk prosess realisert ved
x(k) = ax(k − 1) + e(k) + ce(k − 1) , |a| < 1 , x(k < 0) = 0
hvor e(k) er en sekvens av normalfordelte, statistisk uavhengige tilfeldige variable der
E[e(k)] = 0
2
σe
Re (l) = E[e(k)e(k − l)] =
0
l=0
l 6= 0
Vi kan regne prosessen for stasjonær i det området vi ser på her,
det vil si E[f (x(k))] = E[f (x(k − l))].
a. Vis at middelverdien til x(k) er null.
b. Vis at variansen til x(k) er
σx2 =
1 + 2ac + c2 2
σe .
1 − a2
Tips: Finn først Rxe (0).
3
4.4
Stokastisk regneøving med Grjotgard
Den dugende instrumentingeniøren Grjotgard har fått i oppgave å lage til et
oppsett for løpende måling av tilstanden til en viss industriell prosess, se fig.1.
Tilstandsvariabelen for denne prosessen er et differensialtrykk. Vi tenker oss
dette bygd opp av et middeltrykk overlagret en trykkvariasjon x(k) [m(illi)bar].
x(k) har variansen σx2 og har altså null middelverdi.
Industriell
prosess
w(k)
y(k)
?
-+
x(k)
C
Sensor
Figur 1: Måling av prosesstilstand
Grjotgard får tak i en sensor med skaleringskoeffisient C og med normalfordelt
og tilfeldig målestøy w(k) [mbar]. Målestøyen er ukorrelert med x(k). Middelverdien til målestøyen kan settes lik null siden målingen y(k) er presist
kalibrert. Variansen til w(k) er σw2 .
(Det er vanlig i datablad på sensorer å oppgi en presisjon ±p der en har at
p = 2σw . For normalfordelte variable er det da rundt 95% sannsynlig at den
virkelege prosesstilstanden ligger innenfor den målte verdi ±p.)
a. Finn et uttrykk for kovariansmatrisen Rz (τ ) til (tilstands)vektoren
x
z=
.
y
Beregn også verdien til Rz (0).
b. Finn korrelasjonskoeffisienten ρxy = √ Rxy
Rxx Ryy
. Kommenter.
c. Sensoren har presisjonen p = 2σw = 1 mbar. Standardavviket for variasjonene av prosesstilstanden er σx = 4 mbar, og C = 1.
Oppdragsgiveren til Grjotgard krever en korrelasjon på minst 99% mellom prosesstilstand og måling. Er dette oppfylt her?
4