1. No category

Flytninger og mønstre
FLYTNINGER OG MØNSTRE
AKTIVITET
BESKRIV MØNSTRE
I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og
Mange mønstre er dannet ud fra forskellige typer
Aktivitet for to personer.
mønstre i planen.
flytninger.
Materialer: Beskriv mønstre (AXX) og
Der findes mønstre overalt omkring os. Det er inden­
Du skal i dette kapitel undersøge egenskaber ved
vinkelmåler.
for kunst og arkitektur, men også i naturen,
flytningerne: spejling, drejning og parallelforskyd­
fx i bistader og søstjerner.
ning, og nogle af de sammenhænge der er mellem
DEL 1
Flytning inden for matematikken handler om at
de forskellige typer flytninger.
flytte en genstand eller en figur, uden at formen og
I arbejdet med flytninger og mønstre er begrebet
størrelsen på genstanden eller figuren ændrer sig.
symmetri vigtigt at kende til. De fleste dyr og men­
brugt samme begreber i beskrivelserne?
mm.
Hvorfor/Hvorfor ikke?
Du skal bruge et digitalt værktøj til mange af
opgaverne og undersøgelserne i dette kapitel.
MÅL, FAGORD OG BEGREBER
Målet er, at du:
Du skal arbejde med:
• ved hjælp af undersøgelser kan beskrive de
•spejling
tre typer flytninger – spejling, drejning og parallel­
•drejning
forskydning
•parallelforskydning
• kan kategorisere forskellige typer mønstre
•vektor
• kan anvende flytninger til at beskrive, undersøge
•symmetri
•rosetter
•friser
• fladedækkende mønstre.
• kan anvende forskellige metoder til at undersøge
flytninger og mønstre – både med og uden brug
af digitale værktøjer.
FORHÅNDSVIDEN
OPGAVE 1
A Beskriv med tegninger
og ord begreberne.
KON
GRU
ENS
LIGED
ANNET
HED
SPEJLINGSAKSE
MØNSTER
DREJ
NING
B Sammenlign jeres beskrivelser med et
af symmetrier i bygninger, kunst, tæpper, tapeter
analysere og designe forskellige mønstre.
figurer i mønstre
opgave 1 som muligt.
andet makkerpars beskrivelser. Har I
bruge din viden om flytninger og symmetrier til at
• kan analysere og beskrive flytninger af forskellige
I skal bruge så mange af begreberne fra
nesker er symmetriske, men der findes også masser
Den sidste del af kapitlet handler om, at du skal
og analysere mønstre
A Beskriv de forskellige figurer og mønstre.
I M SYMM
R
T
E
ETRIAKSE
SYMM SYSTE
T
ID NA
RALLELITET
A
P
R
F
L
Y
O
TNING
KO
TER
KOORDINA
PA R A L L E L F O
RSKYDNING
37
38
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
TEORI
TEORI
FLYTNINGER I PLANEN
SPEJLING
FLYTNING
SYMMETRI
Når du spejler den røde trekant i den grønne
I matematik forstås en flytning enten som en
Symmetri er et andet begreb, der er tæt knyttet
spejlingsakse, så flytter du den røde trekant over
spejling, en drejning eller en parallelforskydning.
til flytninger inden for matematikken. En figur
i den blå trekant.
Når en figur bliver udsat for en flytning, så bevarer
er symmetrisk, hvis der findes en flytning, der
den både form og størrelse. Den flyttede figur er
fører figuren over i sig selv. Man møder mange
kongruent med den oprindelige figur.
forskellige symmetriske figurer i naturen, kunst,
Hvert punkt i den oprindelige figur er flyttet over i
det tilsvarende punkt i den nye figur. Punkterne
navngives ofte ved, at punktet A i den oprindelige
figur kaldes A´ i den nye figur osv.
A
B
B
C
B´
B
arkitektur mv. Den mest almindelige symmetriske
A
A´
B´
figur er den, hvor figuren overføres i sig selv ved
en spejling i en enkelt spejlingsakse, der kaldes
C
en symmetriakse. Der findes også mange figurer,
A
A´
C´
som har flere forskellige symmetriakser.
C´
A´
C
C´
B´
OPGAVE 3
OPGAVE 4
Herunder er vist fem spejlinger. Men ved nogle af
A Spejl figuren i de
spejlingerne er spejlingsaksen indtegnet forkert.
blå, grønne og sorte
A Hvor er spejlingsaksen placeret rigtigt?
linjer:
1
B Tegn figurerne, hvor spejlingsaksen er tegnet
forkert og tegn den rigtige spejlingsakse.
1
2
2
OPGAVE 2
D Tegn på samme måde en figur, der er opbygget
Du skal bruge et digitalt værktøj.
A Tegn den viste figur, der er opbygget af regulære
femkanter.
3
af regulære
• trekanter.
• syvkanter.
• nikanter.
3
4
OPGAVE 5
Løs opgaven sammen
med din makker.
A Tegn en tilfældig firkant
5
og en tilfældig linje med
et digitalt værktøj.
B Spejl firkanten i linjen.
C Lav på tilsvarende måde en spejling på papir.
B Forklar, hvordan du har tegnet figuren.
Hvilke værktøjer har du brugt?
C Tegn figurens symmetriakser, hvor mange
har den?
E Sammenlign antallet af symmetriakser mellem
den regulære figur og den nye figur, der er dan­
net. Hvad opdager du? Se på dine tegninger, og
prøv at forklare, hvorfor det forholder sig sådan.
Beskriv, hvordan I har flyttet de enkelte punkter
i spejlingen.
D Brug jeres tegninger til at beskrive, hvad en
spejling er.
39
40
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
TEORI
Løs opgaverne med et digitalt værktøj.
TEORI
DREJNING
OPGAVE 6
PARALLELFORSKYDNING
Den røde trekant er flyttet over i den blå
ved en drejning på 90˚ mod uret om punktet
O. Dette punkt kaldes omdrejningspunkt eller
drejningscentrum. Det kan, som vist på
tegningerne herunder, ligge på figurens kant
(fx i en vinkelspids), inde i figuren eller uden
for figuren.
Du skal bruge et digitalt værktøj.
A´
En parallelforskydning er en flytning, hvor du
A Tegn trekant ABC, hvor
skubber en figur uden at dreje den.
vinkel A ligger i punktet (1, 3)
vinkel B ligger i punktet (3, 6)
Den røde trekant er flyttet i en bestemt afstand
vinkel C ligger i punktet (4, 1).
og retning. Dette er vist med de parallelle,
B Drej trekant ABC 90° mod uret om punktet
stiplede linjer mellem den røde og den blå
A
C´
trekant.
D(6, 2).
B
C Drej trekant ABC 180° mod uret om punktet
Figuren kan drejes med eller mod uret. Når
figuren drejes mod uret, så er drejningsvinklen
positiv, og når figuren drejes med uret, så er
drejningsvinklen negativ.
C
E(4, 1).
D Drej trekant ABC 300° med uret om punktet
F(4, 3).
E Drej trekant ABC 45° med uret om punktet
De viste røde figurer er drejet 90˚ mod uret.
G(–1, 3).
OPGAVE 8
AKTIVITET
A Beskriv, hvordan firkant ABCD er parallel­
BESKRIV OG TEGN
forskudt?
OPGAVE 7
C
Aktivitet for to personer.
B´
Løs opgaven sammen med din makker.
Materialer: Flytninger (AXX), vinkelmåler, et
A´
B
A
B´
C´
B
O
B´
digitalt værktøj og evt. gennemsigtigt papir.
I denne aktivitet skal I beskrive, hvordan forskel­
A
C
D´
lige figurer er flyttet, og makkeren skal tegne den
beskrevne figur og den flyttede figur i et digitalt
C´
værktøj.
D
O
A´
DEL 1
OPGAVE 9
I får hver udleveret et ark, hvorpå der er vist
Løs opgaven med din makker.
C
forskellige typer flytninger. Klip ud, så I hver
B´
har seks opgavekort. Makkeren må ikke kunne
A
B
O
B
A
B
se dem. “Beskriveren” trækker et opgavekort
og beskriver figuren og den viste flytning for
“Tegneren”, som skal tegne den oprindelige og
C´
C
A´
D
flyttede figur ud fra beskrivelsen. På nogle af
figurerne er alle oplysninger oplyst, og på andre
figurer skal “Beskriveren” selv analysere sig frem
til, fx hvor meget en figur er drejet med eller mod
C
A Tegn firkanten og lav en parallelforskydning i den
O
B´
A
B
A Tegn en tilfældig firkant og afsæt et tilfældigt
omdrejningspunktet.
B Drej figuren 120˚ mod uret.
I har flyttet de enkelte punkter i drejningen.
D Brug jeres tegninger til at beskrive, hvad en
A´
drejning er.
E Sammenlign jeres beskrivelse med et andet
makkerpars.
viste retning og den viste afstand med et digitalt
Sammenlign tegningen med opgavekortet, inden
værktøj.
I bytter roller.
B Lav samme flytning på papir. Beskriv, hvordan
C Lav samme drejning på papir. Beskriv, hvordan
C´
uret, og hvor drejningscentret ligger.
I har flyttet de enkelte punkter i parallelforskyd­
DEL 2
ningen.
A Hvorfor kunne det være svært at beskrive
C Brug jeres tegninger til at beskrive, hvad en
parallelforskydning er.
D Sammenlign jeres beskrivelse med et andet
makkerpars.
flytningen og tegne figurerne?
B Var der nogle begreber, I særligt brugte i jeres
beskrivelser? Hvilke?
41
42
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
TEORI
OPGAVE 10
OPGAVE 13
A Beskriv med vektorer, hvordan de mørke figurer
A Indsæt i et koordinatsystem punktet (1, 1).
er flyttet over i de lyse figurer i samme farve.
= 2 .
C Forskyd det nye punkt med samme vektor.
VEKTOR
En parallelforskydning kan beskrives ved hjælp af en
Her er eksempler på figurer, der er
vektor.
parallelforskudt.
B Forskyd punktet:
(1)
Gentag dette to gange mere, så du ender med at
have fem punkter.
En vektor kan defineres som en “pil”, dvs. et
D Angiv koordinaterne til hvert punkt.
linjestykke, der har en given længde og en given
E Beskriv sammenhængen mellem koordinaterne
og vektoren.
retning, og den beskrives ofte med små bogstaver
F Angiv koordinaterne for de næste tre punkter,
med en pil over.
hvis hvert punkt forskydes med
( 1)
= 2 .
OPGAVE 14
En vektor har to koordinater, der beskriver, hvor lang
vektoren er i x-aksens retning, og hvor lang den er i
( 2)
u= 4
y-aksens retning. Man skriver koordinaterne over
hinanden med x-koordinaten øverst og y-koordinaten
nederst. Det skrives ofte på denne måde:
OPGAVE 11
Tegn en tilfældig polygon med et digitalt værktøj.
( )
x
= y
Forskyd polygonen ved hjælp af vektorerne
herunder. Det er den nye figur, du hver gang skal
y
flytte videre.
A
x
( 3)
–3
= (–1 )
= 0
(3)
0
= ( 6)
= –2
( –3)
= –3
B Hvor ender figuren efter den sidste flytning?
Den vandrette skrivemåde
( –1 )
v = –5
= (x, y) benyttes også.
Pile med samme længde og samme retning er den
samme vektor uanset, hvor i planen de tegnes.
C Træk i et af hjørnerne i den polygon, du startede
med at tegne. Hvad sker der?
OPGAVE 12
Her er eksempler på nogle vektorer, hvor koordi­
A Afsæt i et koordinatsystem punkterne: A(2, 1);
naterne er angivet.
B(7, 1) og C(3, 4). Forbind punkterne, så der
dannes en trekant.
( )
5
= 3
D Forskyd den sidste trekant:
3
E Beregn længden af vektoren.
F Forskyd den sidste trekant:
5
( )
–6
= –3
–6
–3
( 0)
x= 5


Længden | a | af en vektor a med
()
x
koordinat­
sættet y kan beregnes med formlen:

|a| = x + y .
2
2
A Tegn firkant ABCD med et digitalt værktøj.
(3 )
= 4
C Beregn længden af vektoren.
B Forskyd trekanten:
BFirkant ABCD skal parallelforskydes, så punkt A
(0)
= –7
( –5)
= –2
flyttes over i punkt A´. Bestem vektoren.
C Skriv koordinaterne til punkt A´, B´, C´ og D´.
D Parallelforskyd firkant A´B´C´D´ så punkt A´ flyttes
over i punkt A´´. Bestem vektoren.
G Beregn længden af vektoren.
E Skriv koordinaterne til punkt A´´, B´´, C´´ og D´´.
H Skriv vektoren, så den sidste trekant ender, hvor
F Parallelforskyd firkant A´´B´´C´´D´´ så punkt A´´
den var fra start. Beregn længden.
flyttes over i punkt A´´´. Bestem vektoren, og
angiv koordinaterne til hver af vinkelspidserne i
firkant A´´´B´´´C´´´D´´´.
43
44
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
UNDERSØGELSE
Løs opgaverne sammen med din makker.
A Beskriv, hvilke figurer mønsteret er opbygget af.
I skal bruge et digitalt værktøj.
B Undersøg, hvilke typer flytninger der findes i
OPGAVE 15
C Forklar i en skærmoptagelse, hvordan I kan
FLERE SPEJLINGER
mønsteret.
Undersøgelse for to personer.
konstruere mønsteret. I skal i jeres forklaring
Materialer: Spejling (UXX) og et digitalt værktøj.
fokusere på, at bruge begreber vedr. flytninger.
I skal undersøge, hvordan I ved hjælp af spejlinger
D Vis jeres skærmoptagelse for to andre makker­
kan danne de andre flytninger - drejning og paral­
par. Sammenlign jeres måder at tegne mønsteret
lelforskydning.
på – er der flere måder, hvorpå det kan tegnes?
DEL 1
OPGAVE 17
SAMMENSÆTNING AF TO SPEJLINGER
I skal i denne del undersøge sammensætning af to
spejlinger. Når man sammensætter to spejlinger,
betyder det, at man først udfører den ene spejling
på en figur, og derefter udfører den anden spejling
v
på den flyttede figur. Her skal I undersøge følgende
tre tilfælde:
1. spejlingsakserne er sammenfaldende.
DEL 3
Det vil sige, at de to spejlingsakser ligger oven
TRE SPEJLINGSAKSER
i hinanden.
I denne del skal I undersøge forskellige tilfælde,
2. spejlingsakserne er parallelle.
3. spejlingsakserne skærer hinanden.
Start hver undersøgelse med at tegne en tilfældig
hvor der er tre spejlingsakser.
Beskriv to af jeres undersøgelser med en
skærmvideo og to af undersøgelserne med
firkant og de to spejlingsaksers placering, som I skal
skærmdump/billede med tilhørende lyd eller
undersøge. Beskriv hvert tilfælde med en skærm­
tekst. I skal blandt andet komme ind på, om
video, hvor I viser og forklarer,
A hvordan firkanten er flyttet efter de to spejlinger.
B hvilken flytning der ser ud til at være resultatet af
de to spejlinger.
at se det på. Betyder måden, hvorpå mønsteret
I skal vise jeres beskrivelser/præsentation for et
andet makkerpar. Diskuter i gruppen fordele og
GLIDESPEJLING
1. tre parallelle spejlingsakser,
spalte.
A Brug arket eller filen Spejling (UXX) til at under­
søge, hvordan I kan bruge glidespejling til at få
flyttet de forskellige figurer.
B Indtegn ved hver glidespejling spejlingsaksen og
skriv vektoren.
C Undersøg, om det er muligt at lave en glide­
spejling ved hjælp af tre spejlingsakser –
to parallelle og en vinkelret på de to parallelle.
spejlinger.
– drejning, parallelforskydning eller glidespejling.
Undersøg følgende tre tilfælde:
spejlingsaksens retning. Se tegningen øverst i næste
mønsteret.
C Tegn mønsteret ved udelukkende at bruge
spejlingerne resulterer i en af de andre flytninger
ulemper ved de forskellige præsentationsformer.
sætning af en spejling og en parallelforskydning i
B Undersøg, hvilke typer flytninger der findes i
D Farvelæg mønsteret så I viser forskellige måder
DEL 2
En glidespejling er en flytning, som er en sammen­
A Beskriv, hvilken figur mønsteret er opbygget af.
2. to parallelle spejlingsakser og en spejling­
sakse vinkelret på de to parallelle,
er farvelagt noget for det mønster, man ser?
Fx 3D-effekten.
E Forklar for et andet makkerpar, hvordan I brugte
det digitale værktøj til at løse opgaverne.
OPGAVE 16
A Hvilken figur er ovenstående mønster
opbygget af?
B Beskriv, hvordan mønsteret er tegnet.
C Tegn mønsteret.
3. tre linjer, der skærer hinanden i samme punkt
og 2, 4 eller 6 spejlinger.
OPGAVE 18
A Tegn et mønster, der indeholder trekanter, fir­
kanter, sekskanter, stjerner eller andre polygoner.
B Byt mønster med et andet makkerpar og beskriv,
hvordan mønsteret er tegnet.
45
46
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
OPGAVE 19
TEORI
TEORI
A Beskriv de to figurer. I beskrivelsen skal
anvendes begreberne: drejningssymmetri og
ROSETTEMØNSTER
spejlingssymmetri.
En roset er et mønster, der er dannet ud fra et
FRISER
En frise er et bånd med et mønster, hvor man skal forestille sig,
grundmotiv, der bliver gentaget et antal gange
at grundmotivet gentages uendeligt ved en parallelforskydning.
ved at dreje det med en bestemt vinkel om et fast
En frise er altid afgrænset af to parallelle linjer.
punkt, indtil det i alt er drejet 360˚. I de to roset­
Alle friser indeholder en parallelforskydning, men de kan også indeholde andre flytninger.
ter herunder er grundmotivet markeret med en
Der findes i alt fem forskellige typer af flytninger, der kan ses i friser:
mørkere farve.
De fem flytninger er:
Et rosettemønster kan have drejningssymmetri
eller både drejningssymmetri og spejlingssymmetri.
1. En parallelforskydning
(som alle friser har).
DREJNINGSSYMMETRI
Rosettemønsteret herunder har kun drejnings­
symmetri. På rosetten er 45˚ den mindste
drejningsvinkel, der fører grundmotivet over i sig
selv. Grundmotivet er drejet 8 gange.
2. En op/ned spejling.
Spejlingsaksen er frisens midterlinje.
45°
3. En højre/venstre spejling.
Spejlingsaksen står vinkelret på frisens
parallelle linjer.
DREJNINGSSYMMETRI
OG SPEJLINGSSYMMETRI
Rosettemønsteret herunder har både drejnings­
symmetri og spejlingssymmetri. På rosetten er 90˚
den mindste drejningsvinkel, der fører grundmo­
4. En drejning på 180° om punktet C.
tivet over i sig selv. Grundmotivet er drejet
C
4 gange.
B Find to forskellige rosettemønstre på nettet, og
analyser dem i et digitalt værktøj.
OPGAVE 20
Tegn et mønster, der har
A tre drejningssymmetrier.
B fem drejningssymmetrier.
C fire spejlingssymmetrier.
D seks spejlingssymmetrier.
E Beskriv drejningsvinklerne på de fire mønstre.
5. En glidespejling.
C
C
47
48
FLYTNINGER OG MØNSTRE
OPGAVE 21
FLYTNINGER OG MØNSTRE
1. TEORI
Arbejd sammen med din makker.
Arbejd sammen med din makker.
A Analyser friserne til højre og find
ud af, hvilke(n) flytning(er), der fører
en tesselation, er et mønster, der er opbyg­
I kan anvende filen “Friser”, og
analysere friserne i et digitalt værk­
tøj, eller I kan anvende arket Friser
FLADEDÆKKENDE MØNSTRE
Et fladedækkende mønster, også kaldet
grundmotivet over i sig selv.
OPGAVE 23
get af et grundmotiv, og hvor flytninger af
2. (Axx) og fx bruge gennemsigtigt
grundmotivet kan dække hele fladen.
I filen ”Fladedækkende mønstre” finder I de
to mønstre, der er vist i teoriboksen.
A Tegn eller beskriv for hvert mønster, hvilket
grundmotiv mønsteret er opbygget af.
B Vis på tegningerne, hvor der er symmetriakser og
omdrejningspunkter.
C Vælg hver et mønster og tegn en del af møn­
papir til at tjekke jeres bud på,
steret. Vis med en skærmvideo, hvordan I løste
hvilke flytninger frisen er opbygget
opgaven.
af.
D Byt videoer med et andet makkerpar, og diskuter
I jeres analyse skal I identificere
grundmotivet og se efter spejlings­
fordele og ulemper ved den måde, I har tegnet
de to mønstre på.
3. akser, drejningscenter og glide­
spejlinger.
OPGAVE 24
B Vælg tre af de analyserede friser,
A Tegn en figur med samme grundmotiv som vist
og forklar for et andet makkerpar,
herunder.
hvilke metoder I har brugt til at
analysere friserne. Diskuter fordele
og ulemper ved de forskellige
4. metoder.
OPGAVE 22
A Tegn tre forskellige friser med hver
deres flytning. Byt friser med din
makker, og analyser hinandens
friser.
5. Lav et mønster, hvor du kun
B bruger spejlinger af grundmotivet.
C parallelforskyder grundmotivet.
D drejer grundmotivet.
OPGAVE 25
NIS-TEGNING
ELEVER, DER SIDDER
OG TEGNER FRISER
PÅ PAPIR OG COMPUTER.
6. A Design dit eget fladedækkende mønster.
Mønsteret skal bestå af
1. mindst to forskellige geometriske figurer.
2. mindst to forskellige typer flytninger.
Du kan være evt. søge inspiration på nettet.
B Beskriv og vis, hvilket grundmotiv dit mønster
består af.
7. C Lav en beskrivelse af, hvordan mønsteret er
dannet. Hvilke forskellige typer flytninger er
der foretaget? Du kan fx lave en skærmvideo
eller en skriftlig beskrivelse med forklarende
illustrationer til.
49
50
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
TEMA
KORNCIRKLER
EVALUERING På denne side skal I enten bruge arket Begreber
DEL 2
og fagord – Flytninger og mønstre (EX) eller jeres
For hvert af de otte begreber, du lige har arbejdet
egen begrebsbog. I kan bruge relevante digitale
værktøjer.
med, skal du
A vise et eksempel eller en tegning.
B skrive din egen forståelse af begrebet.
DEL 1
I denne evalueringsopgave skal I arbejde to til
DEL 3
fire elever sammen.
A Tegn trekant ABC, hvor punkt A ligger i (1, 1),
A Lav otte kort. Skriv ét af følgende begreber
B Spejl trekant ABC i x-aksen og angiv koordi­
på hvert kort:
SPEJL
ING
Tema for to personer.
Materialer: Et dynamisk geometriprogram, billeder af korncirkler
DEL 1
DEL 3
A Lav en billedsøgning på internettet på
A Byt beskrivelse af korncirkel med et andet
“korncirkler” eller “crop circles”
B Udvælg i fællesskab et af billederne.
DEL 2
punkt B i (1, 4) og punkt C i (4, 1).
ING
N
REJ
D
G
N
I
N
YD
K
S
R
I
R
FO
L
SYMMET
E
L
L
PARA
VEKTOR
FLADEDÆKK
ENDE MØNS
TRE
ER
FRISE
T
T
E
S
O
R
R
par.
naterne til vinkelspidserne i den nye trekant
A´B´C´.
C Spejl trekant ABC i y-aksen og angiv koordi­
naterne til vinkelspidserne i den nye trekant
A´´B´´C´´.
D Sammenlign koordinatsættene til punkterne i
trekant A´B´C´ og A´´B´´C´´. Hvad opdager du?
E Angiv en flytning, der får trekant A´B´C´ til at
dække trekant A´´B´´C´´.
DEL 4
A Tegn firkant ABCD, hvor punkt A ligger i (3, 3),
punkt B ligger i (1, 2), punkt C ligger i (4, 4) og
punkt D ligger i (2, 1).
B Drej firkanten 20° mod uret omkring punktet
(0, 0). Hvor mange gange skal du foretage denne
drejning, før du har en roset? Kan du finde frem
B Tegn den beskrevne korncirkel.
B Læg kortene på bordet, så I kan se dem.
til dette uden at forsøge i et geometriprogram?
C Sammenlign jeres tegninger af korncirklerne
C Vælg på skift et kort, som I kan forklare.
Hvorfor/hvorfor ikke?
med det andet pars tegninger.
A Se nøje på billedet af den korncirkel, I har valgt.
Forklar begrebet for de andre i gruppen. Når
alle i gruppen har forstået begrebet, så læg­
C Flyt punkt C i firkant ABCD fra (4, 4) til (-4, -4).
Hvad sker der?
Led efter:
DEL 4
ges kortet til side. I skiftes til at trække et kort
●
• forskydninger
Design din egen korncirkel ud fra følgende regler:
og fortsætter til alle begreber er forklaret og
DEL 5
●
• spejlinger
• Korncirklen skal have minimum seks
forstået. Det kan være en god ide at skrive
A Tegn et fladedækkende mønster ud fra følgende
●
• drejninger
●
• parallelitet
B Skriv en matematisk beskrivelse af korncirklen.
C Konstruer i et dynamisk geometriprogram en
tilnærmet model af jeres korncirkel.
D Se på beskrivelsen af korncirklen I lavede under
spejlingssymmetrier.
• Der skal være ligedannede figurer, der ikke er
kongruente.
Print dit design ud og hæng det op i klassen.
stikord til de enkelte begreber undervejs.
D Hvis der er begreber, som I ikke kan forklare
eller forstå, så hænger I kortene med disse
begreber op på tavlen.
E Når alle grupper har forklaret de begreber, de
kan, så skal begreberne på tavlen forklares
punkt B. Hvis det er nødvendigt, da uddyb
for hele klassen. Det kan være en elev eller
beskrivelsen, så den er så præcis, at andre vil
læreren, der hjælper med at forklare begre­
kunne forstå den.
bet.
kriterier:
• Mønstret skal indeholde cirkler, men der må
ikke være cirkler i grundmotivet.
• Grundmotivet skal indeholde både trekanter og
firkanter.
B Skriv en matematisk beskrivelse af grundmotivet.
51
52
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
TRÆN 1 · FÆRDIGHEDER
TRÆN 2 · FÆRDIGHEDER
OPGAVE 1
OPGAVE 3
OPGAVE 1
Sandt eller falsk?
En vilkårlig firkant er ved en parallelforskydning
Sandt eller falsk?
B Beskriv vektoren, som femkanten fra 3. kvadrant
kan være blevet forskudt med, så den lander i
flyttet fra 3. til 1. kvadrant.
A Vælg koordinatsæt til vinkelspidserne i firkanten i
7
5
2
1
–4
–3
–2
–1
–1
1. kvadrant.
C Angiv koordinatsæt til vinkelspidserne i firkanten,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
der er parallelforskudt til 1. kvadrant.
OPGAVE 4
–4
2. kvadrant.
OPGAVE 3
–6
B ligger i (–2, 6) og C ligger i (–1, 4).
–7
B Drej trekanten 180° med uret omkring punktet
(1, 3) og kald den nye trekant A´B´C´.
A Den blå trekant er den røde trekants spejling i C Spejl A’B’C’ i linjen med ligningen y = 5 og kald
den nye trekant A´´B´´C´´.
x-aksen.
B Den grønne trekant er den røde trekants spejling D Angiv en vektor, der kan forskyde trekant ABC,
så den bliver en spejling af A´´B´´C´´.
i den røde linje.
D Den grønne trekant kan dække den røde tre­
OPGAVE 5
B ligger i (2, 4), C ligger i (2, 2) og D ligger i (4, 2).
skæringspunkt.
B Drej firkant ABCD 40° mod uret om punktet A, og
vinkelspidserne af den røde trekants spejling i
kald den nye firkant A´B´C´D´.
C Drej firkant A´B´C´D´ 40° mod uret om punktet A.
Hvor mange gange skal du foretage denne
y-aksen.
F Koordinatsættene (–1, 2), (–1, 7) og (2, 2)
drejning, før du har en roset? Begrund dit svar.
beskriver vinkelspidserne af en parallelforskyd­
OPGAVE 6
ning af den røde trekant.
punkt A med
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
–1
C Hvilken anden drejning ville have givet samme
–3
resultat, som du fik i opgave B?
–4
D Spejl trekant A´B´C´ i linjen y = –0,6x – 2 og kald
den nye trekant for trekant A´´B´´C´´.
E Angiv de vektorer, der kan forskyde punkterne A,
–6
B og C så de lander i hhv. A´´, B´´ og C´´.
A Den røde trekant er en glidespejling af den
grønne trekant.
B Den gule trekant er en spejling af den grønne
trekant i den skrå linje.
C Den blå trekant er en parallelforskydning af den
gule trekant.
D Den grønne trekant kan drejes om en af vinkel­
spidserne i den gule trekant, så den dækker den
E Den røde trekant kan ved spejling dække den
A Tegn trekant ABC, hvor punkt A ligger i (2, 2),
grønne trekant.
B ligger i (3, 4) og C ligger i (2, 0).
F Forskydes den blå trekant med
B Spejl trekanten i y-aksen og angiv koordinatsæt
gule trekant med
til vinkelspidserne i den nye trekant A´B´C´.
(1, –1) og angiv koordinatsæt til vinkelspidserne
= (–3, –4) og angiv
koordinatsæt til vinkelspidserne i den nye trekant
OPGAVE 4
A Tegn firkant ABCD, hvor punkt A ligger i (2, 2),
B ligger i (2, 5), C ligger i (6, 6) og D ligger i (5, 2).
B Drej firkant ABCD 80° mod uret om punktet A, og
kald den nye firkant A´B´C´D´.
C Drej firkant A´B´C´D´ 80° mod uret om punktet A.
Hvor mange gange skal du gentage denne
drejning, før du har en roset? Begrund dit svar.
OPGAVE 5
= (5, –1) og den
= (2, 1), så vil de to forskudte
figurer dække hinanden.
C Drej trekant A´B´C´ 90° med uret omkring punktet
i den nye trekant A´´B´´C´´.
tet (–3, –6) og kald den nye trekant for trekant
A’B’C’.
–2
røde trekant.
OPGAVE 2
= (7, 0).
B Drej trekant ABC 270° med uret omkring punk­
–1
A Tegn firkant ABCD, hvor punkt A ligger i (5, 5),
kant, hvis den drejes om den blå og røde linjes
E Koordinatsættene (–1, 1), (–4, 1), (–1, 6) beskriver
B ligger i (–2, 3) og C er en parallelforskydning af
–2
–5
C Den blå trekant kan dække den grønne trekant,
hvis den drejes om punktet (–2, –2).
A Tegn trekant ABC, hvor punkt A ligger i (–3, –4),
3
A Tegn trekant ABC, hvor punkt A ligger i (–2, 4),
–5
A´´´B´´´C´´´.
den figur, der er parallelforskudt til både 1. og
6
–4
–3
D Forskyd trekant A´´B´´C´´ med
D Angiv koordinatsæt til vinkelspidserne til
7
5
–2
2. kvadrant.
8
kan være blevet forskudt med, så den lander i
3
vil placere femkanten fra opgave A i både 1. og
9
B Beskriv vektoren som firkanten fra 3. kvadrant
4
–5
10
3. kvadrant.
6
–7 –6
1. kvadrant.
C Beskriv en vektor, der ved parallelforskydning
OPGAVE 2
A Tegn grundmotivet i frisen.
En vilkårlig femkant er ved en parallelforskydning
B Forklar, hvordan grundmotivet er flyttet, så
flyttet fra 3. til 1. kvadrant.
mønsteret fortsætter uendeligt.
A Vælg koordinatsæt til vinkelspidserne i femkanten
i 3. kvadrant.
A Tegn grundmotivet i frisen.
B Forklar, hvordan grundmotivet er flyttet, så
mønsteret fortsætter uendeligt.
53
54
FLYTNINGER OG MØNSTRE
FLYTNINGER OG MØNSTRE
TRÆN 1 · PROBLEMLØSNING
TRÆN 2 · PROBLEMLØSNING
OPGAVE 3
OPGAVE 1
OPGAVE 3
OPGAVE 1
Billedet viser et udsnit af en frise:
Ida har sat fliser op i sit køkken i dette mønster:
A
A
5
D
4
B
C
2
B´
D´
C´
C
3
A´
B´
B
1
A´
1
C´
2
3
4
5
6
7
8
9
A Tegn frisen i et dynamisk geometriprogram.
B Hvad er frisens grundmotiv?
C Hvilke typer flytninger er der i frisen?
Trekant A’B’C’ er en drejning af trekant ABC.
A Undersøg hvilket koordinatsæt omdrejning­
A Tegn de to firkanter og linjen i et dynamisk ge­
B Spejl firkant A´B´C´D’ i linjen.
C Undersøg, hvilken vektor hver af vinkelspidserne
–punkt A kommer til at ligge i spejlingen af
punktet A´.
–punkt B kommer til at ligge i spejlingen af
punktet B´.
–punkt C kommer til at ligge i spejlingen af
A Analyser flisemønsteret ved at beskrive
B Undersøg hvor mange grader trekanten er drejet.
OPGAVE 4
C Undersøg hvilken vektor hver af vinkelspidserne i
Undersøg om følgende hypoteser er sande eller
trekant ABC skal flyttes med, for at:
falske. Vis, hvordan du er kommet frem til dit svar.
– A kommer til at ligge i A´.
1. Ingen 6-kanter er fladedækkende.
symmetrier, drejninger og spejlinger i
– B kommer til at ligge i B´.
2. Alle regulære polygoner er fladedækkende.
• den enkelte flise (røde ramme).
– C kommer til at ligge i C´.
3. En 5-kant og en trekant kan sammen skabe et
• det fladedækkende mønster.
B Tegn et flisemønster, hvor du på samme måde,
punktet C´.
–punkt D kommer til at ligge i spejlingen af
punktet D´.
mønster, der er fladedækkende.
OPGAVE 2
Idas mor vil lave et tæppe af små stykker stof ud fra
tættest på at være fladedækkende med de to
kan sættes sammen til et nyt fladedækkende
mønsteret herunder.
grundmotiver, der er deri.
mønster.
Undersøg om følgende hypoteser er sande eller
falske. Vis, hvordan du er kommet frem til dit svar.
1. Alle polygoner er fladedækkende.
2. Alle 5-kanter er fladedækkende.
3. Alle 6-kanter er fladedækkende.
4. Mønsteret vist nedenfor er det, der kommer
som i det viste mønster, tegner en flise, der
Både den enkelte flise og det fladedækkende
mønster skal indeholde mindst to forskellige
OPGAVE 2
flytning? Vis hvordan.
spunktet har.
ometriprogram.
i firkant ABCD skal flyttes med, for at:
D Kan du fremstille frisen ved kun at bruge en type
typer flytninger.
C Beskriv, hvilke typer flytninger flisen og det
fladedækkende mønster har.
OPGAVE 4
Billedet viser et udsnit af en frise.
NIS TEGNING
A Tegn frisen.
B Hvad er frisens grundmotiv?
C Hvilke typer flytninger er der i frisen?
D Kan du fremstille frisen ved kun at bruge en type
flytning? Vis evt. hvordan.
A Tegn mønstrets grundmotiv ind i et dynamisk
geometriprogram.
B Beskriv, hvordan du kan tegne det vha. spejling,
drejning og parallelforskydning.
55