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Universidad de Puerto Rico, R´ıo Piedras
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matem´aticas
San Juan, Puerto Rico
Apellidos:
No. estudiente:
Mate 4081 Examen III: 18 de mayo de 2015
Nombre:
Profesor: Dr. Luis A. Medina
INSTRUCCIONES
1. Esta prueba consiste de dos partes en 7 p´aginas.
2. Escriba su nombre y n´
umero de estudiante ahora.
3. Muestre su trabajo. Para recibir cr´edito, sus respuestas deben estar bien escritas, justificadas
y bien organizadas.
4. Por favor, apage el tel´efono celular y cualquier otro aparato electr´onico que pueda interrumpir
a otros tomando el examen.
5. Esta prueba es de 2 horas.
NO ESCRIBA DEBAJO DE ESTA LINEA
P´agina Valor Puntuaci´on
2
20
3
20
4
15
5
20
6
10
7
15
Total
90
´
Exito
1
1. Defina:
(a) Dominio Euclideano
(2 pts)
Respuesta: Un dominio integral R es un dominio Euclideano si existe un funci´on d :
R \ {0} → N ∪ {0} tal que:
i. Para a 6= 0, b 6= 0 ∈ R, d(a) ≤ d(ab).
ii. Dado a 6= 0, b 6= 0, existen q, r ∈ R tal que b = qa + r donde r = 0 o d(r) < d(a).
(b) Ideal Principal
(2 pts)
Respuesta: Un ideal I de anillo conmutativo R es principal si existe a ∈ R tal que
I = (a) = {ra | r ∈ R}.
(c) Dominio de Ideales Principales
(2 pts)
Respuesta: Un dominio integral R se llama dominio de ideales principales si todo ideal I
en R tiene la forma I = {ra | r ∈ R} para alg´
un a ∈ I.
2. Enuncie el Criterio de Eisenstein.
(2 pts)
Respuesta: Sea f (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + xn ∈ Z[x] y p un entero primo. Suponga
que
(a) p|ai para i = 0, 1, · · · , n − 1
(b) p2 no divide a a0 ,
entonces f (x) es irreducible en Q[x].
3. Cierto o Falso. Explique su respuesta. No se otorgar´an puntos a respuestas sin explicaci´
on.
(a) El ideal (x2 + 2) es maximal en Z5 [x]
(3 pts)
Respuesta: Cierto. El lector puede verificar que x2 + 2 6= 0 mod 5. Como el polinomio es de grado 2, entonces es irreducible y por lo tanto (x2 + 2) es maximal en Z5 [x].
(b) Suponga que R es un anillo, u ∈ R una unidad e I un ideal de R. Si u ∈ I, entonces
I = R.
(3 pts)
Respuesta: Cierto. Como u es una unidad, entonces existe v ∈ R, tal que uv = 1.
Luego, 1 = uv ∈ I. Como 1 ∈ I, entonces I = R.
(c) Supona que R = 3Z. Entonces 3 ∈ (3).
Respueta: Falso. Recuerde que (3) = {r · 3 | r ∈ R}.
(3) = {0, ±9, ±18, ±27, · · · }. Concluimos que 3 6∈ (3).
(3 pts)
Por lo tanto, en este caso
(d) El polinomio f (x) = x6 + 14x5 − 21x4 + 105x3 − 126x2 + 42x + 35 es irreducible en Q[x].
(3 pts)
Respuesta: Cierto. Aplique el Criterio de Eisenstein con p = 7.
2
4. Haga lo siguiente:
(a) Demuestre que Z7 [x]/(x2 + x + 3) es un cuerpo con 49 elementos.
(5 pts)
Demostraci´
on: Sea p(x) = x2 + x + 3. Note que
p(0) ≡
3
mod 7
p(1) ≡
5
mod 7
p(2) ≡
2
mod 7
p(3) ≡
1
mod 7
p(4) ≡
2
mod 7
p(5) ≡
5
mod 7
p(6) ≡
3
mod 7.
Como el grado de p(x) es 2 y como p(x) 6≡ 0 mod 7, entonces p(x) es irreducible en Z7 [x]
y por lo tanto (p(x)) es maximal. Concluimos que
Z7 [x]/(x2 + x + 3) = {[ax + b] | a, b ∈ Z7 y [x2 ] = [6x + 4]}
es un cuerpo. Como tenemos 7 valores para a y 7 valores para b, entonces el cuerpo tiene
49 elementos.
(b) Multiplique [2x + 5] · [4x + 3] en Z7 [x]/(x2 + x + 3).
(5 pts)
Respuesta: Note que
[2x + 5] · [4x + 3]
=
[8x2 + 26x + 15]
=
[x2 + 5x + 1]
=
[(6x + 4) + 5x + 1]
=
[4x + 5].
(c) Encuentre el inverso de [2x + 6] en Z7 [x]/(x2 + x + 3).
(10 pts)
Respuesta: Necesitamos [ax + b] tal que [ax + b] · [2x + 6] = [1]. Entonces,
[1]
=
[ax + b][2x + 6]
=
[2ax2 + (6a + 2b)x + 6b]
=
[2a(6x + 4) + (6a + 2b)x + 6b]
=
[(18a + 2b)x + 8a + 6b]
=
[(4a + 2b)x + a + 6b].
Por lo tanto, tenemos que resolver las congruencias
≡0
mod 7
a + 6b ≡ 1
mod 7.
4a + 2b
La soluci´
on a estas congruencias es a ≡ 5 mod 7 y b ≡ 4 mod 7. Concluimos que el
inverso de [2x + 6] es [5x + 4].
3
5. Encuentre gcd(x2 + x + 3, x3 + x + 3) en Z5 [x].
(15 pts)
Soluci´
on: Aplique el Algoritmo de la Divisi´on para escribir
x3 + x + 3 = q(x)(x2 + x + 3) + r(x),
con q(x) = x + 4 y r(x) = 4x + 1. Vuelva a aplicar el Algoritmo de la Divisi´on para escribir
x2 + x + 3 = q1 (x)(4x + 1) + r1 (x),
con q1 (x) = 4x + 3 y r1 (x) = 0. Como r1 (x) = 0, entonces el gcd se obtiene con el residuo
anterior. Concluimos que
gcd(x2 + x + 3, x3 + x + 3) = 4(4x + 1) = x + 4.
4
6. Construya un cuerpo con 125 elementos.
(10 pts)
Soluci´
on: Observe que si encontramos un polinomio p(x) de grado 3 que sea irreducible en
Z5 [x], entonces Z5 [x]/(p(x)) es un cuerpo con 53 = 125 elementos. Como el grado de p(x) es
3, entonces es suficiente verificar que el polinomio que escojamos no sea cero mod 5. Existen
varias soluciones para este problema. En este caso particular, escojeremos p(x) = x3 + x + 1.
Observe que
p(0) ≡
p(1) ≡
1
3
mod 5
mod 5
p(2) ≡
1
mod 5
p(3) ≡
1
mod 5
p(4) ≡
4
mod 5.
Como p(x) nunca es cero en Z5 , entonces p(x) es irreducible y por lo tanto Z5 [x]/(p(x)) es un
cuerpo con 125 elementos.
7. Demuestre que (9 + x − x2 + x3 ) es un ideal maximal de Q[x].
(10 pts)
Demostraci´
on: Note que si demostramos que f (x) = 9 + x − x2 + x3 es irreducible en Q[x], entonces (f (x)) es un ideal maximal de Q[x]. Ahora, observe que no podemos aplicar el Criterio
de Eisenstein directamente, pero si consideramos el polinomio
f (x + 1) = (x + 1)3 − (x + 1)2 + (x + 1) + 9 = x3 + 2x2 + 2x + 10
entonces el Criterio de Eisenstein con p = 2 implica que f (x + 1) es irreducible en Q[x]. Como
f (x + 1) es irreducible, entonces f (x) es irreducible. Concluimos que (9 + x − x2 + x3 ) es un
ideal maximal de Q[x].
5
8. Se puede demostrar que
F = Z2 [x]/(x2 + x + 1) = {[ax + b] | a, b ∈ Z2 y [x2 ] = [1 + x]}
es un cuerpo. Llame α = [x], entonces podemos escribir
F = {0, 1, α, 1 + α}
donde α2 + α + 1 = 0, lo cual es equivalente a α2 = α + 1, pues F es un cuerpo sobre Z2 . Haga
lo siguiente:
(a) Demuestre que F[X]/(X 2 + αX + 1)} es un cuerpo con 16 elementos.
(5 pts)
Demostraci´
on: Considere el polinomio p(X) = X 2 + αX + 1. Si demostramos que p(X) es
irreducible en F[X], entonces F[X]/(X 2 + αX + 1)} es un cuerpo con 42 = 16 elementos.
Como p(X) tiene grado 2, entonces para demostrar que p(X) es irreducible en F[X] es
suficiente verificar que este polinomio no es 0 en F. Para ´esto, observe que
p(0)
=
1
p(1)
=
1+α+1=α
p(α)
=
α2 + α2 + 1 = 2α2 + 1 = 1
p(α + 1)
=
(α + 1)2 + α(α + 1) + 1
=
(α2 + 2α + 1) + (α2 + α) + 1
=
2α2 + 3α + 2
=
α.
´
Como p(X) nunca es 0 en F, entonces concluimos que p(X) es irreducible en F[X]. Esto
es lo que queriamos demostrar.
(b) Multiplique [(α + 1)X + 1] con [X + α].
(5 pts)
Soluci´
on: Primero observe que
F[X]
= {[aX + b] | a, b ∈ F y X 2 = αX + 1}.
(X 2 + αX + 1)
Entonces,
[(α + 1)X + 1] · [X + α]
=
[(α + 1)X 2 + α2 + α + 1 X + α]
=
[(α + 1)X 2 + α],
=
[X(α2 + α) + 2α + 1],
=
[X + 1].
Muerto el Pollo.
porque α2 + α + 1 = 0
porque X 2 = αX + 1
6
9. Haga lo siguiente:
(a) Suponga que f (x), g(x) ∈ R[x] con R anillo conmutativo. Defina
(f (x), g(x)) = {a(x)f (x) + b(x)g(x) | a(x), b(x) ∈ R[x]}.
Demuestre que (f (x), g(x)) es un ideal de R[x].
(8 pts)
Demostraci´
on: Note que (f (x), g(x)) 6= ∅, pues 0 ∈ (f (x), g(x)) (¿por qu´e?). Ahora,
suponga que u(x), v(x) ∈ (f (x), g(x)). Entonces existen a1 (x), a2 (x), b1 (x), b2 (x) ∈ R[x]
tal que
u(x)
= a1 (x)f (x) + b1 (x)g(x)
v(x)
= a2 (x)f (x) + b2 (x)g(x).
Observe que
u(x) − v(x)
=
(a1 (x)f (x) + b1 (x)g(x)) − (a2 (x)f (x) + b2 (x)g(x))
=
(a1 (x) − a2 (x))f (x) + (b1 (x) − b2 (x)g(x).
O sea, u(x) − v(x) ∈ (f (x), g(x)). Finalmente, suponga que r(x) ∈ R[x]. Note que
r(x)u(x)
= r(x)(a1 (x)f (x) + b1 (x)g(x))
= r(x)a1 (x)f (x) + r(x)b1 (x)g(x).
Como r(x)a1 (x), r(x)b1 (x) ∈ R[x], entonces r(x)u(x) ∈ (f (x), g(x)). Concluimos que
(f (x), g(x)) es un ideal de R[x].
(b) Demuestre que (2, x) es un ideal maximal en Z[x].
(7 pts)
Demostraci´
on: Sea I = (2, x). Por la parte (a) sabemos que I es un ideal de Z[x].
Ahora, tome un polinomio arbitrario f (x) ∈ Z[x]. ¿C´omo se ver´a la clase f (x) + I?
Veamos.
Suponga que f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 con ai ∈ Z. Note que podemos
re-escribir f (x) como
f (x) = (an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 )x + a0 .
Pero x ∈ I = (2, x) e I es un ideal, por lo tanto (an xn−1 + an−1 xn−2 + · · · + a1 )x ∈ I
(absorci´
on). O sea,
f (x) + I = a0 + I.
Como a0 ∈ Z, entonces aplique el Algoritmo de la Divisi´on para escribir a0 = 2k0 + r0
donde r0 = 0, 1 dependiendo de la paridad de a0 . Ahora, 2 ∈ I = (2, x) y por lo tanto
2k0 ∈ I. Entonces,
f (x) + I = a0 + I = 2k0 + r0 + I = r0 + I.
Como f (x) es arbitrario, concluimos que Z[x]/(2, x) tiene solo dos clases laterales, i.e.
Z[x]
= {0 + I, 1 + I} ' Z2 .
(2, x)
O sea, Z[x]/(2, x) es un cuerpo. Como Z[x] es un anillo conmutativo con identidad y
como Z[x]/(2, x) es un cuerpo, entonces concluimos que el ideal (2, x) es maximal.
7