1. No category

MATHS — DEVOIR SURVEILLÉ N◦ 6
PC
21/03/2015
Ce devoir se compose d’un problème et d’un exercice totalement
indépendants. Calculatrices interdites.
Problème
Questions préliminaires
1 Énoncer la formule de changement de variable dans une intégrale sur un intervalle quelconque.
2 Énoncer le théorème de dérivation des intégrales dépendant d’un paramètre pour une fonction
Z
f : x ∈ I 7→
J
g (x, t )dt où I et J sont des intervalles de R.
3 Énoncer le théorème de convergence dominée.
Première partie
On considère les intégrales suivantes :
1
Z
I1 =
0
dt
1
Z
,
p
1− t2
4 Justifier l’existence des intégrales
I2 =
t dt
,
p
1− t2
0
1
Z
I3 =
0
t 2 dt
p
1− t2
I 1 et I 2 et les calculer.
5 Justifier l’existence de
6
I 3 et la calculer en introduisant la fonction ϕ : u 7→ sin u .
Z 1
cos (xt )
On considère la fonction f : x 7→
dt .
p
0
1− t2
a. Démontrer que f est définie sur R.
b. Démontrer que f est de classe C 2 sur R.
c. Démontrer, en effectuant une intégration par parties, que
x f 00 (x) + f 0 (x) + x f (x) = 0.
∀x ∈ R,
On se donne une fonction q , définie et de classe C 1 sur l’intervalle I = [1, +∞[ telle que
7
∀x ∈ I ,
q 0 (x) É 0
et on considère une fonction z de classe C 2 sur I et solution de l’équation différentielle
z 00 (x) + q(x)z(x) = 0.
¢2
a. On note u : x 7→ q(x)z 2 (x) + z 0 (x) . Démontrer que la fonction u est décroissante sur I .
¡
b. En déduire que s’il existe un réel q0 > 0 tel que
∀x ∈ I ,
q(x) Ê q 0 ,
alors z est bornée sur I .
Soit y une fonction définie et de classe C 2 sur I = [1, +∞[ vérifiant
8
∀x ∈ I , x y 00 (x) + y 0 (x) + x y(x) = 0
p
et z la fonction définie sur I par z(x) = x y(x).
Déterminer une fonction q telle que
∀x ∈ I ,
z 00 (x) + q(x)z(x) = 0
9 Démontrer qu’il existe un réel M > 0 tel que
M
| f (x)| É p
x
∀x ∈ I ,
où f est la fonction définie dans la question 6 de cette partie.
1
Deuxième partie
2
Soit y une fonction définie
µ ¶et de classe C sur ]0, +∞[ à valeurs réelles. On considère alors la fonction z définie
sur ]0, +∞[ par z(t ) = y
10 Démontrer que
1
.
t
y est une solution sur ]0, +∞[ de l’équation différentielle
4x 4 y 00 (x) − y(x) = 0
(E 1 )
si et seulement si z est une solution sur ]0, +∞[ de l’équation différentielle
4t z 00 (t ) + 8z 0 (t ) − t z(t ) = 0
(E 2 )
11 a. Démontrer qu’une série entière
u(t ) =
+∞
X
a n t n à coefficients réels (a n ) et de rayon de convergence non
n=0
nul R satisfait
∀t ∈] − R, R[,
4t u 00 (t ) + 8u 0 (t ) − t u(t ) = 0,
u(0) = 1
si, et seulement si,
∀p ∈ N,
a 2p+1 = 0,
a 2p =
1
4p (2p + 1)!
b. Déterminer le rayon de convergence et expliciter la somme de la série entière obtenue en 11a à l’aide des
fonctions usuelles.
12 Déterminer une solution
y de (E 1 ) sur ]0, +∞[ autre que la fonction nulle telle que
y(x)
−→ 0.
x x→+∞
Exercice
Un immeuble est constitué de trois étages.
Dans le hall de l’immeuble on peut accéder à un ascenseur qui dessert chaque étage.
Cinq personnes montent ensemble dans l’ascenseur.
On suppose que chacune d’elles souhaite monter à l’un des trois étages de manière équiprobable et indépendamment des quatre autres.
On suppose également que l’ascenseur dessert les étages demandés dans l’ordre et qu’il ne revient pas en arrière.
On note X 1 la variable aléatoire égale au nombre de personnes s’arrêtant à l’étage numéro 1,
X 2 la variable aléatoire égale au nombre de personnes s’arrêtant à l’étage numéro 2
et X 3 celle égale au nombre de personnes s’arrêtant à l’étage numéro 3.
1 a. Reconnaître la loi de
X 1 . Décrire l’ensemble X 1 (Ω) des valeurs prises par X 1 . Donner P(X 1 = k) pour
chaque k appartenant à X 1 (Ω).
b. Donner E(X 1 ) et V(X 1 ).
c. Expliquer pourquoi X 2 et X 3 suivent la loi de X 1 .
2 a. Justifier que
X 1 + X 2 + X 3 = 5.
b. En déduire la probabilité P ((X 1 = 0) ∩ (X 2 = 0)).
c. Montrer que la probabilité que l’ascenseur ne s’arrête qu’une fois est
1
.
81
d. Les événements (X 1 = 0) et (X 2 = 0) sont-ils indépendants ?
On considère la variable aléatoire Z égale au nombre d’arrêts de l’ascenseur. D’après 2c on a P(Z = 1) =
3 Déterminer l’ensemble
4
1
.
81
Z (Ω) des valeurs prises par Z .
Soit Y1 la variable aléatoire de Bernoulli égale à 1 si l’ascenseur s’arrête au premier étage et à 0 sinon.
On définit de même les variables aléatoires Y2 et Y3 pour les étages 2 et 3.
a. Justifier que P(Y1 = 0) = P(X 1 = 0).
b. En déduire P(Y1 = 1) puis Y1 . On admet que Y2 et Y3 suivent la même loi que Y1 et qu’elles ont donc la
même espérance.
c. Exprimer Z en fonction de Y1 , Y2 et Y3 . Calculer E(Z ) et vérifier que E(Z ) =
2
211
.
81