‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫פרק ‪ - 7‬עיונים נוספים בגרפים המילטוניים‬ ‫מבוא לפרק‪:‬‬ ‫בפרק זה‪ ,‬נמשיך את הדיון במעגלי ומסילות המילטון‪ .‬תחילה נגדיר ונכיר משפחה של גרפים‬ ‫המילטוניים‪ ,‬הקוביה ה‪ n -‬מימדית‪. Qn ,‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫יהא ‪ n‬מספר טבעי‪ .‬הקוביה ה‪ n -‬מימדית‪ Qn ,‬מהווה גרף המוגדר באופן הבא‪:‬‬ ‫}}‪ ai ∈ {0,1‬לכל ‪ , V (Qn ) = {(a1 , a2 ,....an ) |1 ≤ i ≤ n‬ושני קודקודים הם שכנים ב‪ Qn -‬אם ורק אם‬ ‫הווקטורים ה ‪ n‬מימדים של הקודקודים שלהם זהים פרט לבשיעור אחד‪.‬‬ ‫דוגמה ‪:‬‬ ‫הקובייה התלת מימדית ) ‪ ,( n = 3‬מפרק ‪.1‬‬ ‫נסמן את הקודקודים בהתאמה על ידי ‪:‬‬ ‫קודקוד מספר ייצוג כווקטור תלת מימדי‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(1,0,0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(1,1,0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(1,1,1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(1,0,1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(0,0,0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(0,1,0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫)‪(0,1,1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫)‪(0,0,1‬‬ ‫בדקי‪ ,‬למשל שהקודקודים ‪ 1‬ו‪ 5-‬הם שכנים זה לזה‪ .‬ובכן‪ ,‬הייצוגים המתאימים‪ (1,0,0) ,‬ו‪ , (0,0,0) -‬שונים‬ ‫זה מזה רק בשיעור הראשון שלהם‪ .‬כמו כן‪ 1 ,‬ו‪ 3 -‬אינם שכנים ‪,‬ואכן‪ ,‬הייצוג הווקטורי של ‪ (1,1,1) ,3‬הוא‬ ‫שונה מ‪ (1,0,0) -‬בשני מקומות‪.‬‬ ‫תרגילים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .1‬הוכיחי‪. V (Qn ) = 2 :‬‬ ‫‪ .2‬הוכיחי‪ Qn :‬גרף רגולרי מדרגה ‪. n‬‬ ‫טענה ‪7.1‬‬ ‫‪E (Qn ) = n2 n−1‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫ממשפט ‪ , 1.1‬מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪∑ deg v = 2 E (Qn‬‬ ‫‪ .‬מתרגילים ‪ , 1,2‬היות וכל אחד מ ‪ 2 n‬הקודקודים הוא‬ ‫‪v∈V‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫מערכיות ‪ , n‬מקבלים ) ‪ , n.2 n = 2 E (Qn‬זאת אומרת ‪.■ E (Qn ) = n2‬‬ ‫המילטוניות ‪: Qn‬‬ ‫נראה איך בונים מעגל המילטוני בקובייה‪ V (Q1 ) = {(0), (1)} .‬והצלע היחיד בו > )‪ < (0), (1‬מהווה‬ ‫מסילה המילטונית‪ .‬ניעזר במסילה זו כדי לבנות מעגל המילטוני ב ‪. Q2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪2‬‬ ‫})‪ . V (Q2 ) = {(0,0), (0,1), (1,1), (1,0‬נשים לב ששני הקודקודים הראשונים ברשימה של ) ‪ , V (Q2‬דהיינו‬ ‫)‪ - (0,0), (0,1‬הם עותקים של קודקודי ‪ Q1‬עם "קידומת" ‪ ,0‬בעוד ששני הקודקודים האחרונים של‬ ‫) ‪ V (Q2‬מהווים "תמונת ראי" של שנים הראשונים‪ ,‬אך ה"קידומת ‪ 0‬נהפכה ל‪ .1-‬בדרך זו‪ ,‬נוכל‬ ‫"להעתיק" את המסילה ההמילטונית של ‪ Q1‬פעם למחצית הראשונה של הרשימה של ) ‪ , V (Q2‬פעם‬ ‫למחצית השנייה של ) ‪ , V (Q2‬ולחבר את שתי החוליות באמצע‪- ,‬הרי )‪ (0,1), (1,1‬הם שכנים ב ‪. Q2‬‬ ‫יתר על כן‪ ,‬המסילה נסגרת למעגל‪ ,‬היות ושתי הקצוות‪ (0,0), (1,0) ,‬שונות רק ב"קידומת"‪.‬‬ ‫הענין מודגם באיור הבא‪ ,‬דרך המעגל ההמילטוני ‪. ABCDA‬‬ ‫באותה אופן‪ ,‬המעגל המילטוני ב ‪ Q2‬ניתן לשימוש ביצירת מעגל המילטוני ב‪: Q3 -‬‬ ‫הנה איך‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫חותכים את המעגל במקום כל שהוא על ידי מחיקת צלע וקודקוד קצה‪ .‬נשארת מסילת‬ ‫המילטון של ‪. Q2‬‬ ‫מוסיפים קידומת ‪ 0‬לכל ‪ 4‬הקודקודים ‪-‬נוצרה מסילה ביניהם‪.‬‬ ‫כהמשך לאותם ‪ 4‬הקודקודים‪ ,‬מעתיקים את אותה הסידרה בסדר הפוך‪ ,‬אלא עם קידומות ‪1‬‬ ‫במקום ‪ .0‬בכך‪ ,‬מסילה גם מחברת בין ‪ 4‬הקודקודים האחרונים‪.‬‬ ‫נשים לב שכמו המעבר מ‪ Q1 -‬ל‪ 2 , Q2 -‬הקודקודים האמצעיים זהים פרט לקידומות שלהם‪,‬‬ ‫והוא הדין ל‪ 2 -‬קודקודי הקצה‪ .‬לכן‪ ,‬נוצר מעגל המילטון מצירופם של ‪ 2‬החוליות יחד באמצע‬ ‫ובקצוות‪.‬‬ ‫לדוגמה‪:‬‬ ‫נצא מהמעגל המילטון > )‪ ABCDA- < (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0,0‬מהאיור‪.‬‬ ‫‪ .1‬חותכים אותו על ידי מחיקת הצלע )‪.(DA) (1,0), (0,0‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪3‬‬ ‫‪ .2‬מהמסילה > )‪, < (0,0), (0,1), (1,1), (1,0‬ממשיכים לפי ההוראות בסעיפים ‪ 2-4‬כדי ליצור את‬ ‫המעגל‬ ‫> )‪ , < (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (1,0,0), (0,0,0‬הרי הוא המעגל ‪:‬‬ ‫>‪< 5-8-7-6-2-3-4-1-5‬באיור הבא של ‪: Q3‬‬ ‫משפט ‪7.2‬‬ ‫‪ Q1 .1‬המילטוני למצחה‪.‬‬ ‫‪ Qn .2‬המילטוני עבור ‪. n ≥ 2‬‬ ‫באינדוקציה על ‪. n = V‬‬ ‫ את המקרים ‪, n = 1,23‬כבר הראינו מקודם‪.‬‬ ‫ נניח נכונות עבור ‪ , Qn -‬עלינו לבנות מעגל המילטון עבור ‪. Qn+1‬‬ ‫תרגיל‪ :‬המשיכי את ההוכחה!‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪4‬‬ ‫נפנה כעת לשאלה הבאה‪:‬‬ ‫ראינו בפרק ‪ 6‬שהגרף השלם מסדר ‪ K n , n‬הוא גרף המילטוני‪.‬‬ ‫השאלה היא‪ :‬כמה מעגלי המילטון זרים בצלעות )דהיינו ללא צלעות משותפות בין שני מעגלים‬ ‫⎞‪⎛n‬‬ ‫שונים( קיימים ב‪ . K n -‬בפרק ‪ 6‬שמנו לב שמעגל המילטון מכיל ‪ n‬צלעות בלבד מבין ⎟⎟ ⎜⎜ הצלעות‬ ‫⎠‪⎝2‬‬ ‫ב‪. K n -‬‬ ‫⎞‪⎛n‬‬ ‫⎟⎟ ⎜⎜‬ ‫‪⎝ 2⎠ = n −1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬מספר המעגלים השונים לא יכול לעלות על‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫תרגיל‪ :‬הוכיחי חסם זה בדרך אחרת‪ :‬דוני בקודקוד כל שהוא‪ ,‬בכמה מעגלי המילטון שונים זרים‬ ‫בצלעות הוא יכול להיות )לכל היותר(?‬ ‫⎥‪⎢ n − 1‬‬ ‫⎢ ? התשובה‬ ‫נחזור לשאלה‪ :‬כמה מעגלי המילטון זרים בצלעות קיימים? האם באמת קיימים‬ ‫⎦⎥ ‪⎣ 2‬‬ ‫היא חיובית‪ ,‬כפי שנראה במשפט הבא‪.‬‬ ‫נקדים בהגדרה‪:‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫•‬ ‫יהא ‪ G‬גרף‪ .‬זיווג מושלם ב‪ G -‬הוא תת גרף של ‪ G‬המכיל את כל קודקודיו וכך שאין לשתי‬ ‫צלעות ב‪ G -‬קודקוד משותף‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬לכל קודקוד של ‪ G‬יש "בן זוג" אחד ויחיד‪ ,‬כמו הדוגמה הבאה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪5‬‬ ‫נשים לב שלגרף ‪ G‬שרטטנו שלשה זיווגים מושלמים שונים‪ ,‬ויש עוד‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪6‬‬ ‫משפט ‪ 7.3‬יהא ‪ s‬טבעי‪ .‬אזי‪:‬‬ ‫‪ K 2 s +1 .1‬מכיל ‪ s‬מעגלים המילטוניים זרים בצלעות‪ .‬מעגלים אלה מכסים את כל צלעות‬ ‫‪. K 2 s +1‬‬ ‫‪ K 2 s .2‬מכיל ‪ s − 1‬מעגלים המילטוניים זרים בצלעות‪ .‬מעגלים אלה מכסים את כל צלעות ‪K 2 s‬‬ ‫פרט ל ‪ s‬צלעות‪ .‬צלעות אלו מהוות זיווג מושלם של ‪. K 2 s‬‬ ‫דוגמאות‪ :‬לפנינו דוגמאות של ‪ K n‬עבור ‪. 3 ≤ n ≤ 6‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Kn‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 = 2.1 + 1‬‬ ‫‪s =1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 = 2.2‬‬ ‫‪s=2‬‬ ‫מספר מעגלי המילטון‬ ‫איורים של המעגלים‬ ‫זיווג מושלם‬ ‫זרים בצלעות‬ ‫‪ABCA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫_______________‬ ‫‪ABCDA‬‬ ‫‪s −1 = 1‬‬ ‫‪ABCDE‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 = 2.2 + 1‬‬ ‫‪s=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪7‬‬ ‫של ‪ s = 2‬צלעות‪{ AC, BD} ,‬‬ _______________ ACEBD ,‫ צלעות‬s = 3 ‫של‬ ABCDEFA { AD, BE,CF} 2 ACEBFDA 8 ‫ עמוד‬- 7 ‫ פרק‬ 6 = 2.3 s=3 6 ‫תרגיל‪ :‬בדקי שהמשפט מבטיח שהחסם מלעיל למספר המעגלים האפשריים של ‪ , K n‬דהיינו‬ ‫⎥‪⎢ n − 1‬‬ ‫⎢ אכן מתקבל!‬ ‫⎦⎥ ‪⎣ 2‬‬ ‫הוכחת משפט ‪ 7.3‬סעיף ‪:1‬‬ ‫רעיון ההוכחה‪ :‬בונים מעגל המילטוני "בסיסי" אחד עבור ‪ 2s + 1‬הנקודות באיור הבא‪ .‬כל אחד מ‪-‬‬ ‫‪ s − 1‬ה"סיבובים" שלו ‪,‬כל פעם בזווית מרכזית של‬ ‫‪π‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ ,‬מניב מעגל המילטוני שהוא זר בצלעות לכל‬ ‫המעגלים הקודמים‪.‬‬ ‫נ סמן את ‪ 2s + 1‬קודקודי ‪ K 2 s +1‬על ידי ‪ . v0 , v1,....v2 s‬נבנה גרף איזומורפי לגרף ‪ K 2 s +1‬באופן הבא‪:‬‬ ‫נמקם את ‪ v0‬במרכז מעגל‪ ,‬ואת שאר הקודקודים ‪ v1 ,....v 2 s +1‬במרחקים שווים על היקף אותו מעגל‬ ‫כמודגם באיור‪) .‬נזכור ש ‪ K 2 s +1‬מכיל את כל הצלעות בין כל הקודקודים‪ ,‬אך‪ ,‬לשם הבהרת האיור‪ ,‬לא‬ ‫נראה את כולן(‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪9‬‬ ‫האיור מראה מעגל המילטוני אחד‪-‬המעגל > ‪ , < v0 , v1 , v 2 s , v 2 , v 2 s −1, ....v s , v s +1 , v0‬אותו נמסן על ידי ‪C1‬‬ ‫)בדקי שנוצר בכך מעגל המילטון(‪ .‬את מהמעגלים הבאים נקבל מהמעגל ‪ C1‬באופן הבא‪:‬‬ ‫לכל ‪ , 1 ≤ i ≤ s‬המעגל ‪ C i‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס )פרט לאינדקס ‪ ( v0‬על ידי ‪i − 1‬‬ ‫מודולו ‪ . 2s‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬המעגל ‪ C 2‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס )פרט ל ‪ ( v0‬על ידי ‪1‬‬ ‫מודולו ‪ , C 2 =< v0 , v 2 , v1 , v3 , v 2 s , ....v s +1 , v s + 2 , v 0 > . 2s‬וכמו כן‪,‬‬ ‫> ‪ , C 3 =< v0 , v3 , v 2 , v 4 , v 2s +1, ....v s +2 , v s +3 , v 0‬וכו' ‪.‬‬ ‫נשים לב‪:‬‬ ‫בכל מעגל ‪ , C i‬סכום האינדקסים של כל שני קודקודים שכנים )פרט ל ‪ ( v0‬חופף או ל‪ 2i -‬או ל‪2i − 1-‬‬ ‫מודולו ‪. 2s‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪ s‬מעגלי ההמילטון ‪ C1 ,...., C s‬זרים בצלעות‪.‬‬ ‫הוכחת הטענה‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪10‬‬ ‫כי‪ ,‬נניח בשלילה‪ ,‬נניח שקיימים שני מעגלי המילטון כאלה ‪ Ci , C k‬בעלי צלע משותפת ‪ . va vb‬אזי ‪ ,‬היות‬ ‫‪⎧2i‬‬ ‫ו‪ , va vb ∈ Ci -‬מתקיים )‪(mod 2s‬‬ ‫⎨ ≡ ‪ , a + b‬והיות ו‪ , va vb ∈ C k -‬מתקיים‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎩‬ ‫‪⎧2k‬‬ ‫)‪(mod 2s‬‬ ‫⎨ ≡ ‪.a+b‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎩‬ ‫)‪⎧a + b ≡ 2i(mod 2s‬‬ ‫⎨‬ ‫בכל מקרה נובע )‪) , 2i ≡ 2k (mod 2s‬בדקי למה‪-‬למשל‪ ,‬האם ייתכן )‪ ,(? ⎩a + b ≡ 2k − 1(mod 2s‬ולכן‬ ‫)‪ , i ≡ k (mod s‬זאת אומרת‪ ,‬המעגלים זהים‪.‬‬ ‫לבסוף‪ ,‬העובדה ש‪ s -‬המעגלים הזרים בצלעות מכסים את כל ‪ , K 2 s +1‬נובעת מספירה פשוטה!‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫הוכיחי‪ :‬אם קיימים ‪ s‬מעגלי המילטון של ‪ K 2 s +1‬הזרים בצלעות ‪ ,‬אזי הם מכסים את כל ‪. K 2 s +1‬‬ ‫הוכחת משפט ‪ 7.3‬סעיף ‪:2‬‬ ‫⎞ ‪⎛ 2s‬‬ ‫היות ול‪⎜⎜ ⎟⎟ K 2 s -‬‬ ‫⎠ ‪⎝2‬‬ ‫⎥ ⎞ ‪⎢ ⎛ 2s‬‬ ‫⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎢‬ ‫צלעות‪ ,‬עיון בערך השלם של החסם העליון מראה ‪⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ = ⎢ 2s(2s − 1) ⎥ = s − 1‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫⎣⎢ ⎥ ‪⎢ 2s‬‬ ‫‪4s‬‬ ‫⎢‬ ‫⎥‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪ .‬מכאן ‪,‬אין אפשרות ליותר מ‪ s − 1 -‬מעגלי המילטון זרים בצלעות ב‪. K 2 s -‬‬ ‫נצביע על ‪ s − 1‬מעגלי המילטון שונים ב‪ , K 2 s -‬ונראה שאכן הם אכן זרים בצלעות‪.‬‬ ‫בדומה לסעיף א' מקודם‪ ,‬נסמן את ‪ 2s‬קודקודי ‪ K 2 s‬על ידי ‪ . v1 ,....v 2 s‬נבנה גרף איזומורפי לגרף ‪K 2 s‬‬ ‫באופן הבא‪:‬‬ ‫נמקם את הקודקודים ‪ v1 ,....v 2 s‬במרחקים שווים על היקף מעגל כמודגם באיור‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪11‬‬ ‫האיור מראה מעגל המילטון אחד‪-‬המעגל > ‪ , < v1 , v 2 s , v 2 , v 2 s −1, ....v s + 2 v s , v s +1 , v1‬אותו נמסן על ידי ‪C1‬‬ ‫)בדקי שנוצר בכך מעגל המילטון(‪ .‬את מהמעגלים הבאים נקבל מהמעגל ‪ C1‬באופן הבא‪ :‬לכל‬ ‫‪, 1 ≤ i ≤ s − 1‬המעגל ‪ C i‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס על ידי ‪ i − 1‬מודולו ‪ . 2s‬כך‪ ,‬למשל‪,‬‬ ‫המעגל ‪ C 2‬מתקבל מ‪ C1 -‬על ידי הגדלת כל אינדקס על ידי ‪ 1‬מודולו ‪. 2s‬‬ ‫> ‪ , C 2 =< v 2 , v1 , v3 , v 2 s , ....v s +1 , v s + 2 , v 2‬וכמו כן‪ , C 3 =< v3 , v 2 , v 4 , v 2 s +1, ....v s + 2 , v s +3 , v3 > ,‬וכו' ‪.‬‬ ‫נשים לב‪ :‬בכל מעגל ‪ , C i‬סכום האינדקסים של כל שני קודקודים שכנים חופף ל‪ 2i -‬או ל‪ 2i − 1 -‬מודולו‬ ‫‪. 2s‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪ s − 1‬מעגלי ההמילטון ‪ C1 ,...., C s −1‬זרים בצלעות‪.‬‬ ‫כי‪ ,‬נניח בשלילה‪ ,‬נניח שקיימים שני מעגלי המילטון כאלה ‪ Ci , C k‬בעלי צלע משותפת ‪ . va vb‬אזי ‪ ,‬היות‬ ‫‪⎧2i‬‬ ‫ו‪ , va vb ∈ Ci -‬מתקיים )‪(mod 2s‬‬ ‫⎨ ≡ ‪ , a + b‬והיות ו‪ , va vb ∈ C k -‬מתקיים‬ ‫‪⎩2i − 1‬‬ ‫‪⎧2k‬‬ ‫)‪(mod 2s‬‬ ‫⎨ ≡ ‪.a+b‬‬ ‫‪⎩2k − 1‬‬ ‫בכל מקרה נובע )בדקי למה!!(‪ , 2i ≡ 2k (mod 2s) ,‬ולכן )‪ , i ≡ k (mod s‬זאת אומרת‪ ,‬המעגלים זהים‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪12‬‬ ‫בכך הוכחנו ש ב‪ s − 1 , K 2 s -‬מעגלי המילטונין זרים בצלעות‪.‬‬ ‫מספר הצלעות שנותרו הוא‪ ,‬אם כן‪:‬‬ ‫‪= s(2s − 1) − 2s( s − 1) = s‬‬ ‫)‪− 2s( s − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪424‬‬ ‫‪3‬‬ ‫סךהצלעות במעגלים‬ ‫⎞ ‪⎛ 2s‬‬ ‫⎟⎟ ⎜⎜‬ ‫⎠ ‪2‬‬ ‫{⎝‬ ‫‪.‬‬ ‫מספר הצלעות בגרף השלם‬ ‫טענה‪ s :‬הצלעות }‪ , {v1v2 s −2 , v2 v2 s −1 ,......., v s v s −1‬דהיינו אותם צלעות ‪ va vb‬כך ש‬ ‫)‪ a + b ≡ 2s − 1(mod s‬לא נמצאות באף אחד מבין המעגלים ‪. C1 ,...., C s −1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תרגיל!‬ ‫אם כך‪ s ,‬הצלעות }‪ {v1v2 s −2 , v2 v2 s −1 ,.......v s v s −1‬מהווית זיווג מושלם של‬ ‫‪■. K 2s‬‬ ‫טענה‪ :‬כל בניה של ‪ s − 1‬מעגלי המילטון זרות בצלעות ב‪ K 2 s -‬משאיר זיווג מושלם של ‪. K 2 s‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תרגיל!‬ ‫הדרכה‪ :‬דוני בקודקוד כל שהוא של ‪ K 2 s‬וכן במעגלי המילטון שעוברים דרכו‪....‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪13‬‬ ‫סיכום נושאים ומונחים מפרק ‪:7‬‬ ‫•‬ ‫הקובייה ‪Qn‬‬ ‫•‬ ‫המילטוניות הקובייה ‪Qn‬‬ ‫•‬ ‫זיווג מושלם‬ ‫•‬ ‫מספר המעגלים ההמילטוניים הזרים בצלעות ב‪K n -‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬פרק ‪ - 7‬עמוד ‪14‬‬