‫‪-2-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬ ‫ההששאאללו ותת‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות‬ ‫)‪ 40‬נקודות (‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 0-8‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות )‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪ .0‬סוחר קנה מספר מסוים של מזגנים‪ ,‬כולם באותו מחיר‪.‬‬ ‫כאשר פרק אותם הסוחר מן המשאית התקלקלו שישה מן המזגנים‪ ,‬ולכן הוא נאלץ למכור‬ ‫את ששת המזגנים האלה ב‪ 51% -‬מן המחיר שקנה אותם‪.‬‬ ‫את שאר המזגנים מכר הסוחר ברווח של ‪ 21%‬מן המחיר שקנה אותם‪.‬‬ ‫ממכירת כל המזגנים הוא קיבל סך הכול ‪ 38,821‬שקלים‪.‬‬ ‫אילו היה מוכר את כל המזגנים ברווח של ‪ ,21%‬הוא היה מקבל ‪ 33,411‬שקלים‪.‬‬ ‫א‪ .‬באיזה סכום קנה הסוחר כל אחד מן המזגנים?‬ ‫ב‪ .‬חשב כמה מזגנים סך הכול קנה הסוחר?‬ ‫‪ .4‬מעגל שמרכזו בנקודה )‪ M(3,5‬חותך את ציר ה‪y-‬‬ ‫‪y‬‬ ‫בנקודה )‪ A(0,1‬וגם בנקודה ‪( B‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫א‪ .‬מצא את שיעורי הנקודה ‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‪ BD :‬הוא קוטר במעגל‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.D‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה ‪.D‬‬ ‫ד‪ .‬המשיק שמצאת בסעיף ג חותך את ציר ב‪ x-‬בנקודה ‪.E‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫חשב את שטח המשולש ‪.ADE‬‬ ‫‪ .8‬בקבוצה גדולה של תלמידי תיכון (בנים ובנות) נערך סקר שבדק כמה תלמידים עוסקים‬ ‫בספורט‪ 01% .‬מן המשתתפים בסקר היו בנות‪ .‬ידוע כי ‪ 31%‬מן הבנים שהשתתפו בסקר‬ ‫עוסקים בספורט‪.‬‬ ‫נמצא שמבין משתתפי הסקר‪ ,‬מספר הבנות שאינן עוסקות בספורט גדול פי ‪ 2‬ממספר הבנים‬ ‫שאינם עוסקים בספורט‪.‬‬ ‫א‪ .‬בוחרים באקראי תלמיד (בן‪/‬בת) שהשתתף בסקר‪.‬‬ ‫(‪ )0‬מה ההסתברות שנבחרה בת שעוסקת בספורט?‬ ‫(‪ )4‬ידוע שנבחרה בת‪ .‬מהי ההסתברות שהיא עוסקת בספורט?‬ ‫ב‪ .‬בוחרים באקראי ‪ 5‬תלמידים (בנים‪/‬בנות) מבין המשתתפים בסקר‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שלפחות ‪ 2‬מהם עוסקים בספורט?‬ ‫המשך בעמוד ‪8‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬ ‫‪-3‬‬‫פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נקודות(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.2-5‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחבתך‪.‬‬ ‫‪ .2‬נתון מלבן ‪.MNPQ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫המשיכו את הצלע ‪ QM‬עד לנקודה ‪.T‬‬ ‫הקטע ‪ QT‬הוא יתר במשולש ישר זווית ‪.QRT‬‬ ‫קדקוד המלבן ‪ N‬מונח על הניצב ‪.RT‬‬ ‫‪N‬‬ ‫הניצב ‪ QR‬חותך את צלע המלבן ‪ PN‬בנקודה ‪( K‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪R‬‬ ‫א‪ .‬הוכח כי ‪.PK ∙ KN = QK ∙ KR‬‬ ‫נתון‪ 01.5 :‬ס"מ = ‪ 01 , QM‬ס"מ = ‪, QK‬‬ ‫‪ 4‬ס"מ = ‪.KN < PK , KR‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את אורך ‪.PK‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את אורך ‪.PQ‬‬ ‫ד‪ )0( .‬הוכח כי ‪∆QRT ~∆KRN‬‬ ‫(‪ )4‬חשב את אורך ‪.QT‬‬ ‫‪ .5‬בציור שלפניך מקבילית ‪.ABCD‬‬ ‫‪E‬‬ ‫נתון‪ 00 :‬ס"מ = ‪AD‬‬ ‫‪ 42‬ס"מ = ‪AB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∢BAD = 54°‬‬ ‫‪A‬‬ ‫א‪ .‬חשב את אורך האלכסון ‪.AC‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את גודל הזווית ‪.CAD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ג‪ AE .‬הוא אנך ל‪ ,AB -‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫‪ 08‬ס"מ = ‪.AE‬‬ ‫חשב את היקף המשולש ‪.EAD‬‬ ‫המשך בעמוד ‪2‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬ ‫‪-4‬‬‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות‬ ‫רציונאליות ושל פונקציות שורש ) ‪ 40‬נקודות (‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 0-3‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪ .0‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪x2 −2x+2‬‬ ‫‪x−1‬‬ ‫= )‪.f(x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה‪ .‬קבע את סוגן‪.‬‬ ‫ה‪ .‬איזה מהגרפים ‪ I-III‬שלפניך יכול להיות גרף הנגזרת של הפונקציה? נמק‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪II‬‬ ‫‪III‬‬ ‫‪ .7‬נתונה הפונקציה ‪ b , y = −x 2 − 6x + b‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫א‪ )0( .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת המקסימום של הפונקציה‪.‬‬ ‫(‪ )4‬נתון כי שיעור ה‪ y-‬של נקודת המקסימום של הפונקציה‬ ‫‪x‬‬ ‫הוא ‪ .2‬מצא את הערך של ‪.b‬‬ ‫הצב ‪ b = −5‬וענה על סעיף ב‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה‪ ,‬על ידי הישר ‪, y = 4‬‬ ‫על ידי ציר ה‪ x -‬ועל ידי ציר ה‪( y-‬השטח המקווקו בציור)‪.‬‬ ‫המשך בעמוד ‪5‬‬ ‫‪-5-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,4102‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+802 ,185312‬נספח‬ ‫‪ .3‬נתונות שתי פונקציות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f(x) = − 3 x 2 + 8 , g(x) = 6 x 2 + 2‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫בתחום הכלוא בין הגרפים של שתי הפונקציות חוסמים‬ ‫‪D‬‬ ‫)‪g(x‬‬ ‫משולש ‪.BCD‬‬ ‫הצלעות ‪ DC‬ו‪ CB -‬מקבילות לצירים‪,‬‬ ‫‪B‬‬ ‫הקדקוד ‪ D‬נמצא על גרף הפונקציה )‪,f(x‬‬ ‫והקדקודים ‪ B‬ו‪ C -‬נמצאים על גרף הפונקציה )‪g(x‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫נסמן את שיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ B‬ב‪.t -‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שיעורי הנקודות ‪ C ,B‬ו‪.D -‬‬ ‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את שטח המשולש ‪.BCD‬‬ ‫ג‪ .‬מצא את ‪ t‬שעבורו שטח המשולש ‪ BCD‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫בהצלחה !‬ ‫‪x‬‬ ‫‪C‬‬