1. No category

‫מתמטיקה ‪ 4‬יח"ל שאלון ‪ 850‬בחינות חזרה‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫בחינה מספר ‪4 .................................................................................................................................. 1‬‬
‫בחינה מספר ‪6 .................................................................................................................................. 2‬‬
‫בחינה מספר ‪8 .................................................................................................................................. 3‬‬
‫בחינה מספר ‪11................................................................................................................................. 4‬‬
‫בחינה מספר ‪12................................................................................................................................. 5‬‬
‫בחינה מספר ‪14................................................................................................................................. 6‬‬
‫בחינה מספר ‪16................................................................................................................................. 7‬‬
‫בחינה מספר ‪18................................................................................................................................. 8‬‬
‫בחינה מספר ‪21................................................................................................................................. 9‬‬
‫בחינה מספר ‪22................................................................................................................................ 11‬‬
‫בחינה מספר ‪24................................................................................................................................ 11‬‬
‫בחינה מספר ‪26................................................................................................................................ 12‬‬
‫בחינה מספר ‪28................................................................................................................................ 13‬‬
‫בחינה מספר ‪31................................................................................................................................ 14‬‬
‫בחינה מספר ‪32................................................................................................................................ 15‬‬
‫בחינה מספר ‪34................................................................................................................................ 16‬‬
‫בחינה מספר ‪36................................................................................................................................ 17‬‬
‫בחינה מספר ‪38................................................................................................................................ 18‬‬
‫בחינה מספר ‪41................................................................................................................................ 19‬‬
‫בחינה מספר ‪42................................................................................................................................ 21‬‬
‫בחינה מספר ‪44................................................................................................................................ 21‬‬
‫בחינה מספר ‪46................................................................................................................................ 22‬‬
‫בחינה מספר ‪48................................................................................................................................ 23‬‬
‫בחינה מספר ‪51................................................................................................................................ 24‬‬
‫בחינה מספר ‪52................................................................................................................................ 25‬‬
‫‪2‬‬
‫תשובות סופיות‪54.............................................................................................................................. :‬‬
‫בחינה ‪54.......................................................................................................................................:1‬‬
‫בחינה ‪54.......................................................................................................................................:2‬‬
‫בחינה ‪55.......................................................................................................................................:3‬‬
‫בחינה ‪55.......................................................................................................................................:4‬‬
‫בחינה ‪56.......................................................................................................................................:5‬‬
‫בחינה ‪56.......................................................................................................................................:6‬‬
‫בחינה ‪57.......................................................................................................................................:7‬‬
‫בחינה ‪57.......................................................................................................................................:8‬‬
‫בחינה ‪58.......................................................................................................................................:9‬‬
‫בחינה ‪58..................................................................................................................................... :11‬‬
‫בחינה ‪59..................................................................................................................................... :11‬‬
‫בחינה ‪59..................................................................................................................................... :12‬‬
‫בחינה ‪61..................................................................................................................................... :13‬‬
‫בחינה ‪61..................................................................................................................................... :14‬‬
‫בחינה ‪61..................................................................................................................................... :15‬‬
‫בחינה ‪61..................................................................................................................................... :16‬‬
‫בחינה ‪62..................................................................................................................................... :17‬‬
‫בחינה ‪62..................................................................................................................................... :18‬‬
‫בחינה ‪63..................................................................................................................................... :19‬‬
‫בחינה ‪63..................................................................................................................................... :21‬‬
‫בחינה ‪64..................................................................................................................................... :21‬‬
‫בחינה ‪66..................................................................................................................................... :22‬‬
‫בחינה ‪67..................................................................................................................................... :23‬‬
‫בחינה ‪68..................................................................................................................................... :24‬‬
‫בחינה ‪71..................................................................................................................................... :25‬‬
‫‪3‬‬
‫בחינה מספר ‪1‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות ה‪ , 5-‬ה‪ 7-‬וה‪ 16 -‬הוא אפס‪.‬‬
‫כמו כן ידוע כי סכום שלושת האיברים הראשונים הוא ‪.132‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את האיבר השלילי הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא כמה איברים יש לחבר (החל מהאיבר הראשון) כדי לקבל סכום ‪.211‬‬
‫‪ .2‬בתיבה ריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסונים '‪ B'D‬ו‪.A'C'-‬‬
‫האלכסונים נפגשים בנקודה ‪ O‬כך שנוצר המשולש ‪.BOD‬‬
‫נתון כי‪BOD  23 :‬‬
‫וכי אורך מקצוע הבסיס של התיבה הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את היקף המשולש ‪.BOD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הזווית שנוצרת בין הצלע ‪ OD‬של המשולש ‪BOD‬‬
‫ומישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬כמות עצים ביער גדלה בצורה מעריכית לפי אחוז ריבוי של ‪ 15%‬לשנה‪.‬‬
‫בשנת ‪ 1991‬נספרו כמות עצים מסוימת ביער‪.‬‬
‫בשנת ‪ 2111‬כרתו ‪ 31,111‬עצים ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪ ,‬בשנת ‪ ,2115‬נספרו ביער ‪ 753365‬עצים‪.‬‬
‫מצא כמה עצים היו ביער בשנת ‪.1991‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  ln x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי גרף הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪. g ( x)  ln x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הנקודה ‪ A‬נמצאת על גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והנקודה ‪ B‬נמצאת על גרף הפונקציה‬
‫)‪ . g ( x‬ידוע כי לנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬אותו שיעור ‪.  xA  xB  , x‬‬
‫מצא את שיעור ה‪ x -‬של שתי הנקודות אם ידוע כי המשיקים לגרפים של הפונקציות‬
‫בנקודות אלו מקבילים‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f  x   e2x :‬ו‪. g  x   e2x -‬‬
‫מעבירים אנך לציר ה‪ x -‬את הישר ‪  a  0  x  a‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪S1‬‬
‫אנך זה יוצר את השטחים ‪ S1‬ו‪. S 2 -‬‬
‫‪xa‬‬
‫ידוע כי השטח ‪ S1‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪ . S 2‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪S2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪5‬‬
‫בחינה מספר ‪2‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬הראה כי בסדרה הנדסית שבה ‪ 2n‬איברים היחס בין סכום האיברים העומדים‬
‫במקומות האי‪-‬זוגיים לבין סכום כל איברי הסדרה תלוי במנת בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית שבה מספר זוגי של איברים ידוע כי סכום כי האיברים העומדים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים קטן פי ‪ 4‬מסכום כל איברי הסדרה‪ .‬האיבר הראשון בסדרה זו קטן ב‪ 2-‬ממנת‬
‫הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב נוסחה לאיבר כללי של סדרה זו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.324‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים את‬
‫האלכסונים '‪ AB‬ו‪ AC'-‬כך שנוצר המשולש '‪.AB'C‬‬
‫הזווית שבין האנך לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ ABC‬והאנך לצלע '‪B'C‬‬
‫במשולש '‪ AB'C‬היא ‪ . 40‬אורך גובה המנסרה הוא ‪ 14‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את שטח המשולש '‪.A'B'C‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את נפח המנסרה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪e3 x‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪12 x 2  1‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  a sin 2 x  5sin x  ax :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫ידוע כי הישר‪ y  ax  2 :‬חותך את גרף הפונקציה בנקודה שבה‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא נקודה על גרף הפונקציה בתחום הנתון שבה שיפוע המשיק הוא‪. m  2 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם קיימות נקודות נוספות בתחום הנתון ששיפוע המשיק דרכן הוא ‪? 2‬‬
‫נמק את תשובתך‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫כתוב את משוואת המשיק העובר דרך הנקודה שמצאת‪.‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו ‪-‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ g ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ידוע כי הגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫(שימו לב – נקודת החיתוך אינה מופיעה באיור הסמוך)‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את שתי הפונקציות‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל ע"י הגרפים של‬
‫שתי הפונקציות‪ ,‬ציר ה‪ y -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪7‬‬
‫בחינה מספר ‪3‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬ההפרש של סדרה חשבונית שווה למנה של סדרה הנדסית עולה‪.‬‬
‫האיבר הראשון בסדרה ההנדסית הוא ‪ 6‬וידוע כי סכום ‪ 2‬האיברים הראשונים בסדרה‬
‫החשבונית שווה לסכום שני האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית‪ .‬האיבר השלישי בסדרה‬
‫ההנדסית גדול פי ‪ 2‬מהאיבר השלישי בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את שלושת האיברים של הסדרה החשבונית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא כמה איברים יש לחבר בסדרה החשבונית החל מהאיבר הראשון כדי לקבל את‬
‫הסכום‪.61 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את מיקומו הסידורי של איבר בסדרה ההנדסית הגדול פי ‪ 12‬מהאיבר האחרון‬
‫שחּובר בסכום הסדרה החשבונית שחישבת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה ריבוע בעל אורך צלע ‪. a‬‬
‫אורך מקצועות הפירמידה הוא ‪ . 3a‬מעבירים את האלכסון ‪ AC‬ועליו מסמנים‬
‫‪ CE 1 ‬‬
‫את הנקודה ‪E‬המחלקת אותו ביחס של‪  1:3 :‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ AE 3 ‬‬
‫מהקדקוד ‪ S‬מעבירים את הקטע ‪.SE‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪ SE‬וגובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שטח המעטפת של הפירמידה הוא‪560 :‬‬
‫‪8‬‬
‫סמ"ר‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬ו‪-‬‬
‫‪ .3‬נתונה שתי הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫א‪ .‬קבע אילו מהמשפטים הבאים נכונים ואלו שגויים‪ .‬נמק זאת ע"י חישוב מתאים ותקן‬
‫במשפטים השגויים את הטעות‪.‬‬
‫(‪ )1‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫(‪ )2‬לשתי הפונקציות יש נקודת קיצון מאותו סוג ובעלות שיעור ‪ x‬זהה‪.‬‬
‫(‪ )3‬לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה זהים‪.‬‬
‫(‪ )4‬לשתי הפונקציות יש אסימפטוטות אנכיות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בוחרים באקראי שתי נקודות‪ ,‬אחת על כל גרף‪ ,‬כך ששיעור ה‪ x -‬שלהן זהה‪.‬‬
‫הוכח כי מכפלת שיעורי ה‪ y -‬של כל זוג נקודות כאלו שווה ל‪.1-‬‬
‫‪. g ( x) ‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f  x   4sin 2 x  2 :‬בתחום ‪0  x  ‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מעבירים את הישר ‪ . y  k‬היעזר בסקיצה ומצא לאילו ערכי ‪ k‬הישר יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה בשתי נקודות בדיוק‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫העבירו ישר המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום המוחלט שלה‪ .‬כמו כן העבירו‬
‫מנקודה זו אנך לציר ‪. x‬‬
‫מצא את שטח המלבן הנוצר על ידי הצירים‪ ,‬המשיק והאנך‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  e2 x1  2ex  2 :‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫הנקודה ‪ A‬היא נקודת המינימום של הפונקציה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את שיעורי הנקודה ‪.A‬‬
‫מחברים את הנקודה ‪ A‬עם ראשית הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬כתוב את משוואת הישר המחבר את הנקודה ‪ A‬עם הראשית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר וציר ה‪ x -‬אם ידוע כי גרף הפונקציה‬
‫חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  1.7‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪9‬‬
‫‪A‬‬
‫בחינה מספר ‪4‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬לפניך שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית‪. 2 x  23 , x 16 , x  5 :‬‬
‫א‪ (i) .‬מצא את ‪. x‬‬
‫)‪ (ii‬מצא את הפרש הסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי‪ . a12  0 :‬מצא את ‪a1‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪ .‬האיבר האחרון בסדרה הוא‪. an  308 :‬‬
‫מצא את סכום כל האיברים החיוביים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה תיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫מעבירים את האלכסונים ‪ BD‬ו‪ BD'-‬כך שמתקיים‪. DBD'  ABD   :‬‬
‫אורך האלכסון ‪ BD‬יסומן ב‪. a -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬ו‪  -‬את‪:‬‬
‫(‪ )1‬אורך התיבה – ‪.AB‬‬
‫(‪ )2‬רוחב התיבה – ‪.AD‬‬
‫(‪ )3‬גובה התיבה – '‪.AA‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ ‬אם ידוע כי נפח התיבה הוא ‪. 0.64a3‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ערכה של דירה יורד מדי שנה באחוז קבוע של ‪.6%‬‬
‫ידוע כי ערך הדירה לאחר ‪ 11‬שנים מיום מכירתה נמוך ב‪ ₪ 35,111-‬ממחירה המקורי‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את המחיר ההתחלתי של הדירה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא לאחר כמה שנים ערך הדירה ירד מתחת ל‪.₪ 31,111-‬‬
‫‪11‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪sin mx :‬‬
‫‪m‬‬
‫מתאפסת כאשר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ m) , 1  m  3 , y  cos x ‬פרמטר)‪ .‬הנגזרת של הפונקציה‬
‫‪.x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. m‬‬
‫ב‪.‬‬
‫האם הנקודה שבה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  ‬היא נקודת קיצון? אם כן קבע את סוגה‪ .‬אם לא נמק‬
‫מדוע‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא כמה נקודות קיצון מקומיות יש לגרף הפונקציה בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪ a ) , f  x   4 5x  6  ax :‬פרמטר) ‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הפרמטר ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודת קיצון הקצה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך נקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ה‪.‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והמשיק שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x‬‬
‫מורידים אנך מהמשיק אל נקודת קיצון הקצה של הפונקציה שמצאת בסעיף ג'‪.‬‬
‫חשב את השטח הנוצר בין גרף הפונקציה ‪ f  x ‬והמשיק‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪11‬‬
‫בחינה מספר ‪5‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬באחת ממדינות המזרח היה מלך שאהב משחקי חשיבה‪ .‬לכבוד יום הולדתו הכין לו השר‬
‫הבכיר שבממלכתו משחק מיוחד המכיל ‪ 25‬משבצות ו‪ 2-‬חיילי משחק‪ .‬המלך‪ ,‬מרוב התלהבות‬
‫ושמחה לא ידע כיצד לגמול לשר החכם ושאל אותו מה ירצה בתמורה‪.‬‬
‫השר סרב לקבל דבר על מתנתו עד שלבסוף החליט המלך לתת לשר מחצית מכל אוצרות‬
‫הממלכה המונים כ‪ 41-‬מיליון אבנים יקרות‪ .‬לאחר ששמע על כך השר‪ ,‬הוא החליט לאתגר את‬
‫המלך והעלה את ההצעה הבאה‪ :‬תן לי אבן יקרה אחת והכפל אותה בכל משבצת שבמשבצות‬
‫המשחק באופן הבא‪ :‬כנגד המשבצת הראשונה ‪ -‬אבן אחת‪ ,‬כנגד השנייה ‪ -‬שתי אבנים‪ ,‬כנגד‬
‫השלישית ‪ -‬ארבע אבנים וכן הלאה‪ ...‬המלך הסכים להצעה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫כמה אבנים המלך ייתן לשר כנגד המשבצת האחרונה במשחק?‬
‫ב‪.‬‬
‫העזר בכמות האבנים שברשותו של השר וקבע האם הצעתו שוות‪-‬ערך יותר מהחלטת‬
‫המלך לתת לו מחצית מאוצרות הממלכה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סמוך לפני שנתן המלך את האבנים לשר‪ ,‬הציעה בתו של המלך הצעה נוספת והיא‪ :‬תן‬
‫עבור כל משבצת זוגית ‪ 2n‬אבנים‪,‬‬
‫כאשר ‪ n‬הוא מספר המשבצת‪ .‬האם כדאי למלך לקבל את הצעת בתו או להישאר עם‬
‫ההצעה המקורית של השר?‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה צלעות‪.‬‬
‫מעבירים את הגובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ ASB‬וכן את הגובה ‪ CD‬בבסיס ‪.ABC‬‬
‫זווית הבסיס של פאה צדדית היא ‪ 50‬ושטח המעטפת הוא‪ 89.38 :‬סמ"ר‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אורך מקצוע הבסיס של המנסרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין הקטע ‪ SD‬ומישור בסיס הפירמידה ‪.ABC‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין המקצוע ‪ SC‬ובסיס הפירמידה‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  tan 2 x  8sin 2 x :‬בתחום‪. 0.25  x  0.25 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3 x  6 x  6 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הוכח כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מגדירים פונקציה נוספת‪ . g  x    f  x  :‬קבע לגבי כל טענה האם היא נכונה או‬
‫שגויה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .i‬לשתי הפונקציות אותו תחום הגדרה‪.‬‬
‫‪ .ii‬שתי הפונקציות חותכות את הצירים באותן הנקודות‪.‬‬
‫‪ .iii‬שתי הפונקציות עולות בכל תחום הגדרתן‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪b‬‬
‫נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪x -‬‬
‫‪. f ( x)  7  ax ‬‬
‫היא‪. y  18x  9 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬ו‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ y -‬שחותך את גרף הפונקציה בנקודה ‪ A‬ואת משוואת המשיק‬
‫בנקודה ‪ B‬כמתואר באיור‪ .‬אורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪.18‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את משוואת הישר הנ"ל אם ידוע כי הנקודה ‪ A‬נמצאת מימין לנקודת החיתוך של‬
‫גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק והישר‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪13‬‬
‫בחינה מספר ‪6‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה הנדסית אינסופית יורדת ‪ an‬ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫‪2‬‬
‫גדול פי‬
‫‪3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 1‬מסכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים‪.‬‬
‫מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫מחברים כל שני איברים בסדרה הנתונה ויוצרים סדרה חדשה ‪. bn‬‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬גם היא הנדסית יורדת ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫הראה כי סכום הסדרה ‪ bn‬שווה לסכום הסדרה ‪. an‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סכום שתי הסדרות יחד הוא ‪ .1111‬מצא את האיבר הראשון בסדרה ‪. an‬‬
‫‪ .2‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה ריבוע מעבירים את האלכסונים '‪ AC‬ו‪.B'D-‬‬
‫האלכסונים נחתכים בנקודה ‪ O‬שבתוך התיבה‪.‬‬
‫מהנקודה ‪ O‬מעבירים את הקטע ‪ OE‬כך ש‪ E-‬היא אמצע המקצוע ‪ .AD‬ידוע כי‬
‫אורך מקצוע הבסיס של התיבה הוא ‪ 8‬ס"מ ואורך אלכסון התיבה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אורך גובה התיבה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את אורך הקטע ‪.OE‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬שני בנקים מציעים שתי תכניות חיסכון כלהלן‪:‬‬
‫בנק א' מציע תכנית חיסכון ל‪ 8-‬שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב‪.81%-‬‬
‫בנק ב' מציע תכנית חיסכון ל‪ 6-‬שנים שבסופה סכום הקרן יגדל ב‪.61%-‬‬
‫א‪.‬‬
‫באיזה בנק אחוז הריבית השנתית גבוה יותר?‬
‫‪14‬‬
‫ב‪.‬‬
‫דני משקיע סכום כסף ‪ k‬לפי תכנית חיסכון של בנק א' ובתום התוכנית הוא מעביר‬
‫את הסכום שעומד לרשותו לתכנית החיסכון של בנק ב'‪ .‬רפי משקיע סכום כסף זהה ‪k‬‬
‫לפי תכנית חיסכון של בנק ב' ובתום התכנית הוא מעביר את הסכום שעומד לרשותו‬
‫לתכנית החיסכון של בנק א'‪.‬‬
‫למי יהיה סכום גדול יותר בתום שתי התכניות? נמק את תשובתך והראה חישוב‬
‫מתאים‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ k , f  x   x3  k 3 x  8 :‬פרמטר‪.‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה ‪. x  2.741‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ , k‬עגל למספר שלם‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הראה כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה נמצאת גם היא על ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫העזר בסקיצה וקבע כמה פתרונות יהיו למשוואה הבאה‪. x3  9 3 x  8 :‬‬
‫‪e x  eax‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ e3  1 ‬‬
‫‪. 1 ,‬‬
‫ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה‪ :‬‬
‫‪4e2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והישר‪. y  0.1x :‬‬
‫חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬הישר‪ ,‬ציר ‪ y‬והאנך‪. x  2 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪15‬‬
‫בחינה מספר ‪7‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מקיימת את כלל הנסיגה‪. a1  1 , an1  3n  an  7 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫חשב את ‪ 5‬האיברים הראשונים וקבע האם הסדרה היא חשבונית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי לכל ‪ n‬טבעי מתקיים‪. an 2  an  3 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב נוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. a1  a3  a5  .......  a17 :‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים בבסיס‬
‫העליון '‪ A'B'C‬את התיכונים ‪ B'E , A'D‬ו‪ C'F-‬אשר נחתכים בנקודה ‪.M‬‬
‫מהנקודה ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ MC‬ו‪ MB-‬כך שנוצר המשולש ‪.MCB‬‬
‫גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה‪.‬‬
‫חשב את הזווית שבין האנך לצלע ‪ BC‬במשולש ‪ MCB‬למישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬שתי מכוניות המוצעות למכירה עולות‪ :‬מכונית א' ‪ ₪ 61,111 -‬ומכונית ב'‪.₪ 85,111-‬‬
‫ידוע כי ערך מכונית ב' יורד ב‪ 4%-‬בכל שנה וערך מכונית א' יורד ב‪ 2.5%-‬בכל שנה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא בעוד כמה שנים יהיו המחירים של שתי המכוניות זהים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫סיגל רוצה לקנות מכונית ולרשותה עומד סכום של ‪.₪ 41,111‬‬
‫איזו מכונית תוכל לקנות סיגל קודם ולאחר כמה שנים מיום הצעתן?‬
‫‪16‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .4‬שיפוע המשיק לגרף הפונקציה‪ f ( x)  3 x2  6 x  k :‬בנקודה שבה‪ x  1 :‬הוא‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪e‬‬
‫‪e‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫הוכח על סמך הסקיצה את אי‪-‬השוויון הבא‪ e2 :‬‬
‫‪sin 2 x  1‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x 2  6 x 1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. 0.25  x  1.75 :‬‬
‫מעבירים משיק ‪ AB‬דרך נקודת המקסימום של הפונקציה ומעלים אנך לציר ה‪x -‬‬
‫מנקודת החיתוך הראשונה של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון המסומנת ב‪ C -‬כך‬
‫שנוצר המלבן ‪.ABCO‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬יסומן ב‪( S1 -‬המקווקו)‪.‬‬
‫השטח הכלוא בין צלעות המלבן‪ ,‬גרף הפונקציה וציר ה‪ y -‬יסומן ב‪. S 2 -‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את משוואת הצלע ‪ AB‬של המלבן‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫חשב את היחס‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪17‬‬
‫בחינה מספר ‪8‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית ‪ a1 , a2 , a3 ..an‬ידוע כי סכום ארבעת האיברים הראשונים וסכום‬
‫האיברים ה‪ 6-‬עד ה‪ 9-‬הם מספרים נגדיים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח‪. a5  0 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתון‪ . a3  a11  24 :‬מצא את‪ a1 :‬ואת ‪. d‬‬
‫מגדירים סדרה חשבונית חדשה ‪ bn‬המקיימת‪. bn  2an  3 :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ערך האיבר השלילי הראשון בסדרה ואת מיקומו הסידורי‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונות שתי פירמידות ריבועיות ישרות‪ SABCD :‬ו‪.S'A'B'C'D'-‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס בפירמידה הראשונה הוא ‪ a‬וגובהה הוא ‪. 2a‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס בפירמידה השנייה הוא ‪ 2a‬וגובהה הוא ‪. a‬‬
‫א‪.‬‬
‫קבע לאיזו פירמידה יש נפח גדול יותר‪.‬‬
‫כעת משנים את הגובה של כל פירמידה כך שנפחן יהיה זהה והוא‪. a 3 :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את יחס בין המקצוע הצדדי של הפירמידה ‪SABCD‬‬
‫ובין המקצוע הצדדי של הפירמידה '‪.S'A'B'C'D‬‬
‫ג‪.‬‬
‫דנה טוענת כי היות ונפח שתי הפירמידות זהה אזי גם שטח הפנים שלהן‬
‫זהה‪ .‬האם דנה צודקת? הוכח את טענתך באמצעות חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  e2 x  ae x  b :‬‬
‫גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '( x)  f ''( x)  8 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  16 x  7  16ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln  x 2  6 x  7  :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהן האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לציר ה‪? y -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות‪. f ( x)  3 x , g ( x)  2  6 x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודת החיתוך של הגרפים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים וציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪19‬‬
‫בחינה מספר ‪9‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬המספרים‪ x  13 , x  9 , 2x  3 :‬הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית עולה‬
‫שכל איבריה חיוביים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (i‬כתוב את נוסחת האיבר הכללי בסדרה זו‪.‬‬
‫)‪ (ii‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה שסכומם הוא ‪.18751‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ידוע כי האיבר האחרון בסדרה הוא ‪ . an  511‬מצא את סכום ‪ 7‬האיברים האחרונים‬
‫בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬בתיבה '‪ ABCDA'B'C'D‬שבסיסה מלבן מעבירים את האלכסון '‪ B'D‬בבסיס העליון‪.‬‬
‫מאמצע האלכסון ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ DM‬ו‪ BM-‬כך שנוצר המשולש ישר הזווית‬
‫‪.BMD  BMD  90‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ 5a‬ואורך הקטע ‪ DM‬הוא ‪. 4a‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ a‬את אורך המקצוע ‪.AD‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מעבירים את הקטע ‪ .AM‬חשב את זווית ‪.MAD‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את ‪ a‬אם ידוע כי שטח המשולש ‪ MAD‬הוא ‪ 125‬סמ"ר (עגל למספר שלם)‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬כמות אצות בים מתרבה בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי לאחר ‪ 41‬שנים כמות אצות מכפילה את‬
‫עצמה‪ .‬כדי לצמצם את כמות האצות מבצעים עבודות ניקיון מדי שנה ובהן מנקים כ‪ 211-‬ק"ג‬
‫אצות‪ .‬בחוף מסוים היו בשנת ‪ 1991‬כ‪ 1211-‬ק"ג אצות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את קצב גידול האצות השנתי‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא כמה אצות יהיו בחוף המסוים בשנת ‪ 1993‬לאחר הניקיון באותה שנה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  cos2 x  cos x  2 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '  x   4e2 x  9e x  2 :‬‬
‫ידוע כי שיעור ה‪ y -‬של נקודת המינימום הוא‪. y  ln 4  10 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫מעבירים מנקודת המינימום אנך לציר ה‪ x -‬ומנקודת הקיצון השנייה ישר המקביל לציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים וגרף הפונקציה‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪21‬‬
‫בחינה מספר ‪10‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה הסדרה ההנדסית הבאה‪ a1 , a2 , a3 , ..... , a2n :‬שמנתה היא ‪. q‬‬
‫בונים סדרה חדשה מריבועי כל האיברים הסדרה באופן הבא‪. a12 , a22 , a32 , ..... , a22n :‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים בסדרת הריבועים ובין סכום כל‬
‫האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‬
‫בסדרה הנתונה תלוי רק באיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫בסדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה ‪ 641‬ידוע כי סכום ‪ 11‬האיברים הראשונים כאשר‬
‫מעלים אותם בריבוע גדול פי ‪ 321‬מסכום ‪ 11‬האיברים הראשונים העומדים במקומות האי‪-‬‬
‫זוגיים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫מחברים את כל איברי הסדרה החל מאיבר ‪ an‬כלשהו‪ .‬ידוע כי סכום זה קטן פי ‪ 16‬מסכום‬
‫הסדרה המקורי‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר ‪. an‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬הן‬
‫בהתאמה אמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪.A'C'-‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ AE‬ו‪ AF-‬כך שנוצר המשולש ‪.AEF‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס של המנסרה הוא ‪ 11‬ס"מ וגובה המנסרה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורכי הצלעות של המשולש ‪.AEF‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין גובה המנסרה '‪ AA‬לבין מישור המשולש ‪.AEF‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪ y   sin x  1  cos x :‬בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬כמה פתרונות יש למשוואה‪  sin x  1  cos x  1 :‬בתחום הנתון?‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות הבאות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. g  x   5 2 x  2.6 , f  x    x  2 ‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה‪. h  x   f  x   g  x  :‬‬
‫כתוב מפורשות את הפונקציה )‪ h( x‬ואת תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה ‪. h  x ‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ‪. h  x ‬‬
‫ה‪ .‬מצא עבור אלו ערכים של ‪ k‬יחתוך הישר ‪ y  k‬את גרף הפונקציה ב‪ 3-‬נקודות שונות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪. f '( x)  ‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪ x  2 :‬היא‪. y  4  x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫באיור שלפניך מתוארים גרף הפונקציה )‪ f ( x‬והמשיק בתחום‪. x  0 :‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה‪ ,‬המשיק‪ ,‬ציר ה‪ x -‬והישר ‪. x  e‬‬
‫‪2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪23‬‬
‫בחינה מספר ‪11‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונות שתי הסדרות הבאות‪ :‬סדרה חשבונית‪ a1 , a2 , a3 , .... :‬וסדרה הנדסית‪. b1 , b2 , b3 , ... :‬‬
‫ידוע כי האיבר הראשון בשתי הסדרות שווה‪.‬‬
‫האיבר השלישי בסדרה ההנדסית גדול פי ‪ 4‬מהאיבר הראשון בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ההנדסית אם ידוע כי היא אינה עולה‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון גם כי האיבר החמישי בסדרה ההנדסית שווה לאיבר הרביעי בסדרה החשבונית‪.‬‬
‫הוכח כי הפרש הסדרה החשבונית גדול פי ‪ 5‬מהאיבר הראשון‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכל סדרה יש ‪ 11‬איברים‪ .‬הסכום של כל האיברים של שתי הסדרות יחד הוא ‪.-212‬‬
‫מצא את האיבר הראשון של שתי הסדרות‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים ‪.  AC  BC ‬‬
‫מעבירים גבהים למקצוע ‪ SC‬במישורי הפאות ‪ SAC‬ו‪ SBC-‬כך שהזווית הנוצרת‬
‫בין מישורים אלו היא ‪ . ADB  42‬ידוע כי אורך המקצוע ‪ AB‬הוא ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫‪DC 2‬‬
‫הגובה ‪ AD‬בפאה ‪ SAC‬מחלק את המקצוע ‪ SC‬ביחס‪ :‬‬
‫‪SD 3‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך הגובה ‪.AD‬‬
‫ב‪ .‬חשב את זווית הראש בפאה ‪.SAC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח משולש הבסיס ‪.ABC‬‬
‫‪24‬‬
‫‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונות שתי כמויות התחלתיות זהות‪ ,‬האחת גדלה בצורה מעריכית והשנייה קטנה בצורה‬
‫מעריכית‪ .‬לשתי הכמויות אחוז גדילה‪/‬דעיכה קבוע והוא ‪.5%‬‬
‫א‪ .‬האם הזמן שבו הכמות הראשונה תגדל לכמות הכפולה מהכמות ההתחלתית שלה שווה‬
‫לזמן שבו תקטן הכמות השנייה למחצית מהכמות ההתחלתית שלה? נמק והראה חישוב‬
‫מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬ללא קשר לנתון הקודם‪ ,‬הראה כי כדי ששתי הכמויות יגיעו ליעדיהן באותו הזמן אז‬
‫הבסיסים שלהן ‪  q1 , q 2 ‬צריכים להיות מספרים הופכיים‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. y  ln  x 2  2 x  1 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהי האסימפטוטה של הפונקציה המקבילה לציר ה‪? y -‬‬
‫ג‪ .‬מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ‪ 4‬גרפים‪ , III , II , I :‬ו‪ .IV-‬איזה מהגרפים מתאים לפונקציה הנתונה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ה‪ .‬העזר בגרף שבחרת וכתוב את תחומי השליליות של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ y  sin x  x :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫א‪ .‬האם יש לפונקציה נקודות קיצון פנימיות בתחום הנתון? הוכח‪.‬‬
‫ב‪ .‬מורידים אנך מגרף הפונקציה לציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  2 :‬‬
‫מעבירים ישר המקביל לציר ה‪ x -‬מהנקודה שמאפסת את הנגזרת‪.‬‬
‫הראה כי השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬המסומנים בסרטוט שווים‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪25‬‬
‫בחינה מספר ‪12‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪150 , 144 , 138 , .....‬‬
‫‪ .1‬נתונים שני טורים חשבוניים‪:‬‬
‫‪90 , 93 , 96 , .....‬‬
‫‪ .‬לשני הטורים אותו מספר איברים‪.‬‬
‫ידוע כי סכום האיברים האחרונים של שני הטורים (האיבר האחרון מהטור הראשון והאיבר‬
‫אחרון מהטור השני) הוא אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מספר האיברים שבכל טור‪.‬‬
‫מחברים את ‪ n‬האיברים הראשונים מהטור הראשון יחד עם ‪ n‬האיברים הראשונים מהטור‬
‫השני‪ .‬ידוע כי חיבור הסכומים הוא ‪.3481‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ n‬אם ידוע שהוא קטן מ‪.21-‬‬
‫‪ .2‬נתונה קובייה '‪.ABCDA'B'C'D‬‬
‫מעבירים את האלכסון '‪ A'C‬בבסיס העליון‪ .‬מהנקודה ‪ E‬שעל האלכסון '‪ A'C‬מותחים‬
‫את הקטע ‪ CE‬השווה באורכו לקטע ‪ .A'E‬כמוכן מורידים גובה ‪ EF‬ממישור‬
‫הבסיס העליון '‪ EF( .A'B'C'D‬מאונך ל‪ .)A'C'-‬הנקודה ‪ F‬נמצאת על האלכסון‬
‫הראשי ‪ .A'C‬נסמן‪A'CE   :‬‬
‫‪. A'F  m ,‬‬
‫הבע באמצעות ‪ ‬ו‪ m -‬את נפח הקובייה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬לפניך הפונקציה הבאה‪. f ( x)  ln 1  ln x  :‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬הוכח כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x cos x  x :‬בתחום‪. 3  x  3 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ (i) .‬הראה כי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪ x -‬מאפסות את הנגזרת של‬
‫הפונקציה‪.‬‬
‫)‪ (ii‬קבע אלו נקודות מנקודות החיתוך הן נקודות קיצון ואלו אינן נקודות קיצון ומצא‬
‫את סוג הקיצון בכל מקרה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 6  5x ‬‬
‫‪. f '( x)  ‬‬
‫‪5‬‬
‫ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‪. x  1.2 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה )‪ , f ( x‬גרף הפונקציה‪ g ( x)  10 x :‬וציר ה‪. x -‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪27‬‬
‫בחינה מספר ‪13‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה הנדסית שבה ‪ 12‬איברים סכום כל איברי הסדרה גדול פי ‪ 3‬מסכום האיברים כאשר‬
‫מחליפים את סימני כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה‪.‬‬
‫ידוע כי ההפרש בין האיבר החמישי לאיבר הרביעי בסדרה הוא ‪.8‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את סכום כל האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪ABC  90‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות ‪ F ,E‬ו‪ G-‬הן בהתאמה אמצעי המקצועות '‪ A'C' ,B'C‬ו‪ AB-‬כמתואר באיור‪.‬‬
‫מסמנים את מידות הבסיס ‪. AB  5t , BC 12 t :ABC‬‬
‫הזווית שבין הקטע ‪ GE‬ובין מישור הבסיס ‪ ABC‬היא‪. 36.86 :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪ GF‬ובין מישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪ t‬אם ידוע כי אורך הקטע ‪ GF‬הוא‪ 3825 :‬ס"מ‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬כמות חומר רדיואקטיבי קטנה בצורה מעריכית לפי אחוז קבוע ‪ p‬מדי שעה‪.‬‬
‫ביום מסוים היו ‪ k‬גרם מהחומר‪ .‬לאחר ‪ 3‬שעות הוסיפו עוד ‪ k‬גרם לכמות שנותרה ולאחר ‪3‬‬
‫שעות נוספות מתברר שנשארו ‪ k‬גרם מהחומר‪ .‬מצא את ‪.p‬‬
‫‪28‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f ( x)  6 x  e :‬ו‪. g ( x)  ae  e  b -‬‬
‫ידוע כי לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה אותו שיעור ‪ x‬וכי שתיהן נפגשות על ציר ה‪. y -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי לשתי הפונקציות תחומי עלייה וירידה משותפים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ f ( x) ‬בתחום‪. x  0 :‬‬
‫מעבירים את הישרים‪ x  4 , x  k , x  k 2 , x  k 3 :‬כמתואר )‪. (k  4‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬את השטחים‪ S1 :‬ו‪. S 2 -‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי ההפרש‪ S2  S1 :‬אינו תלוי ב‪ k -‬וחשב את ערכו‪.‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי השטח ‪ S 2‬גדול פי ‪ 3‬מהשטח ‪. S1‬מצא את ‪. k‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪29‬‬
‫בחינה מספר ‪14‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת לפי כלל הנסיגה הבא‪. an1  an  2  3n  2 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪ (i‬הבע את ‪ an  2‬באמצעות ‪. an‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (ii‬מצא את מיקומו הסידורי של איבר הגדול ב‪ 652-‬מהאיבר העומד שני מקומות לפניו‪.‬‬
‫הנוסחה לסכום ‪ n‬האיברים הראשונים של אחת מהסדרות המיוצגות ע"י כלל הנסיגה‬
‫הנ"ל היא‪. Sn  1.5  3n  n2  n  1.5 :‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. a6  a7  a8  ....  a11 :‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מהו האיבר הראשון של הסדרה המיוצגת ע"י כלל הנסיגה ונוסחת הסכום הנ"ל?‬
‫‪ .2‬בתיבה ריבועית וישרה '‪ ABCDA'B'C'D‬מסמנים את אורך הגובה ב‪. h -‬‬
‫מעבירים את הקטעים '‪ AC , AB‬ו‪ B'C-‬כך שנוצר המשולש ‪AB'C‬‬
‫כמתואר באיור‪ .‬הזווית הנוצרת בין אנך לצלע ‪ AC‬במשולש ‪AB'C‬ומישור‬
‫הבסיס ‪ ABCD‬היא ‪. ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬ו‪  -‬את אורך מקצוע הבסיס של התיבה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬ו‪  -‬את נפח התיבה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2x  1‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪x 1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪. y  ln‬‬
‫מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫כתוב את האסימפטוטות האנכיות של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫הראה כי גרף הפונקציה יורד בכל תחום הגדרתו‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫‪5 x 2  66 x  440‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫א‪ .‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? האם יש לפונקציה אסימפטוטה אנכית?‬
‫ב‪ .‬האם הפונקציה חותכת את הצירים בתחום‪ ?  0 :18 :‬נמק ע"י חישוב‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מגדירים פונקציה נוספת‪ g  x  :‬המקיימת‪ . g  x    f  x  :‬לפניך מספר טענות‬
‫המתייחסות לפונקציה ‪ g  x ‬קבע אלו מהטענות הבאות נכונות ואלו שגויות‪ .‬נמק ע"י‬
‫הסבר או חישוב מתאים‪.‬‬
‫‪ g  x  .i‬חיובית בכל התחום ‪.  0 :18‬‬
‫‪ .ii‬ל‪ g  x  -‬אותן נקודות קיצון (אותם שיעורים ואותו סוג) כמו ‪. f  x ‬‬
‫‪ .iii‬ל‪ g  x  -‬אותו תחום הגדרה כמו ל‪. f  x  -‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)   cos 2 x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬מצא את שיעורי ה‪ x -‬של הנקודות המקיימות‪ f '( x)  0 :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫ידוע כי הנקודה המקיימת ‪ f '( x)  0‬אשר אינה קיצון נמצאת על ציר ה‪. x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫ג‪ .‬באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה והצירים‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪31‬‬
‫בחינה מספר ‪15‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  0  q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a2  a5  a6  a9  a10 , ..... . V  a3  a7  a11  ..... :‬‬
‫נתון כי‪. T  6V :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫ב‪ .‬פי כמה קטן ‪ V‬מסכום כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים בסדרה?‬
‫‪1‬‬
‫ג‪ .‬מצא את האיבר הראשון אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫מאמצעי המקצועות הצדדיים מעבירים קטעים כך שנוצר המלבן ‪.EFGH‬‬
‫ידוע כי שטח מלבן זה הוא ‪ 48‬סמ"ר וכי אורך האלכסון שלו הוא ‪ 11‬ס"מ‪.‬‬
‫הזווית ‪ HSF‬היא בת ‪. 50‬‬
‫א‪ .‬מצא את מידות הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ב‪ .‬מצא את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את שטח הפנים של הפירמידה‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫‪. 1365‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי בשנת ‪ 1981‬הייתה המנייה שווה ‪ k‬שקלים‪.‬‬
‫המנייה גדלה באחוז קבוע של ‪ 2%‬לשנה עד לשנת ‪ 1992‬ומשם צנחה בקצב של ‪ 5%‬לשנה‬
‫במשך ‪ 8‬שנים נוספות‪ .‬לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת ‪.2111‬‬
‫אדם הרוצה לקנות את המנייה שנת ‪ 2111‬נוכח לדעת כי מחירה הוא ‪. 1.5k‬‬
‫מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר הצניחה שלה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬נתונות הפונקציות הבאות‪ f ( x)  x  cos x :‬ו‪. g ( x)  x  sin x -‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ההפרש‪ f ( x)  g ( x) :‬שווה ל‪. cos 2x -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות בתחום‪.   x   :‬‬
‫ג‪ .‬ישר ‪  0  t  1 , x  t‬חותך את הגרפים בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ומהן מעבירים משיקים‬
‫לפונקציות‪ .‬ידוע כי ההפרש בין שיפוע המשיק של גרף הפונקציה )‪ g ( x‬לשיפוע המשיק‬
‫של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬הוא ‪ .1‬מצא את כל הערכים האפשריים עבור ‪. t‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬נתונות הפונקציות‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f  x  ‬‬
‫‪k‬‬
‫ו‪-‬‬
‫‪2x  5‬‬
‫‪. g  x ‬‬
‫‪y‬‬
‫גרף הפונקציה )‪ g ( x‬חותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה שבה ‪. y  0.4‬‬
‫א‪ .‬מצא את הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של שני הגרפים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים והישר ‪. x  1‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪33‬‬
‫בחינה מספר ‪16‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית שבה מספר זוגי של איברים נתון כי סכום ריבועי האיברים העומדים‬
‫במקומות ה‪ 4-‬וה‪ 5-‬שווה לריבוע האיבר העומד במקום ה‪ .6-‬האיבר הראשון אינו אפס‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הטענות הבאות‪:‬‬
‫‪. a1  4d .i‬‬
‫‪. S9  0 .ii‬‬
‫האיבר העומד במקום ה‪ 6-‬גדול ב‪ 2-‬מהאיבר העומד במקום ה‪.5-‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ a1‬ואת ‪. d‬‬
‫ג‪ .‬מצא את מספר איברי הסדרה אם ידוע כי סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים‬
‫הוא ‪.514‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתונה מנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‬
‫‪ .  AC  BC ‬מאמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪ AB-‬מעבירים את הקטע ‪.EF‬‬
‫ידוע כי מקצוע הבסיס ‪ AB‬הוא ‪ k‬והוא קטן פי ‪ 2‬משוק הבסיס ‪.AC‬‬
‫נסמן‪. FCE   :‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪  -‬את נפח המנסרה‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את נפח המנסרה אם ידוע כי‪ 2EF  CE :‬וכי שטח הבסיס ‪ ABC‬הוא‪. 15 :‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬לגרף הפונקציה‪ f ( x)  ax 2  ebx :‬יש נקודת קיצון‪a, b  0 .  2, 4e  :‬‬
‫‪2‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ a‬ו‪ b -‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון הנוספות של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪ .‬מעבירים ישר‪ . y  k :‬באיזה תחום ערכים צריך להימצא ‪ k‬כדי שהישר יחתוך את גרף‬
‫הפונקציה ב‪ 4-‬נקודות שונות?‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f  x   x  4 9  x :‬‬
‫א‪ .‬מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה (מקומיות וקצה) וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ג‪ .‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪ .‬על סמך הסעיפים הקודמים קבע כמה פתרונות יש למשוואה הבאה‪x  4 9  x  k :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪. k  2 .i‬‬
‫‪. k  1 .ii‬‬
‫ה‪ .‬קבע איזה מבין הגרפים הבאים מתאר את הנגזרת של הפונקציה‪ .‬נמק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה הבאות‪:‬‬
‫‪ f ( x)  cos2 x‬ו‪ g ( x)  sin 2 x  cos x -‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודות החיתוך של הגרפים בתחום הנתון‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים‪ .‬השתמש בזהות‪cos 2  cos2   sin 2  :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪35‬‬
‫בחינה מספר ‪17‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה הסדרה הבאה‪ . 4 , 12 , 36 ,...., an :‬מוסיפים לכל איבר בסדרה זו שישית מהאיבר‬
‫הבא אחריו ויוצרים סדרה חדשה ‪ bn‬כך‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪, b2  a2  3 , b3  a3  4 , ...... , bn  an  n1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪. b1  a1 ‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי היחס בין סכום ‪ n‬האיברים הראשונים של הסדרה ‪ an‬ובין סכום ‪ n‬האיברים‬
‫‪2‬‬
‫הראשונים של הסדרה ‪ bn‬הוא‬
‫‪3‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬מצא שני איברים סמוכים בסדרה ‪ bn‬שסכומם מהווה‬
‫‪9‬‬
‫מ‪. a8 -‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABC‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫בפירמידה זו מעבירים גובה ‪ SD‬בפאה הצדדית ‪ SBC‬כך שנוצר המשולש ‪.SAD‬‬
‫ידוע כי משולש זה הוא שווה שוקיים ובו נסמן‪. SA  AD  2m :‬‬
‫הזווית הנוצרת בין הגובה ‪ SD‬ומישור הבסיס תסומן ב‪. SDA   -‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגובה ‪ SD‬בפאה ‪ SBC‬שווה באורכו למקצוע הבסיס ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬מה ניתן לומר על המשולשים‪ SAB‬ו‪ SAD-‬במקרה זה?‬
‫ג‪ .‬הבע באמצעות ‪ m , ‬את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של ‪ 3%‬לשנה‪.‬‬
‫בשנה מסוימת נספרו ‪ 2311‬עופות בשמורה‪ ,‬לאחר ‪ 5‬שנים הוסיפו לשמורת הטבע ‪ 1111‬עופות נוספים‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא כמה עופות יהיו בשמורה לאחר ‪ 5‬שנים נוספות‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫ב‪ .‬מצא תוך כמה שנים יהיה מספר העופות בשמורה זהה לזה שמצאת בסעיף א' אילולא‬
‫היו מוסיפים את ‪ 1111‬העופות הנוספים‪ ,‬אלא אם הייתה גדילה רציפה‪.‬‬
‫‪ .4‬לפניך הפונקציות הבאות‪ f ( x)   cos x :‬ו‪. g ( x)  cos x  1 -‬‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬מוגדרת בתחום ‪ 0.5  x  1.5‬והפונקציה )‪ g ( x‬מוגדרת בתחום‬
‫‪. 0  x  2‬‬
‫א‪ .‬האם הגרפים חותכים את ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון? הראה חישוב מתאים‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם הגרפים חותכים זה את בתחום הנתון? אם כן מצא את נקודות החיתוך‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגה‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ארבעה איורים‪ III , II , I :‬ו‪.IV-‬‬
‫קבע על סמך הסעיפים הקודמים איזה איור מתאר את הגרף של )‪ f ( x‬ואיזה מתאר את‬
‫הגרף של )‪ . g ( x‬נמק‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שלוש פונקציות‪:‬‬
‫‪. g  x   4 x .II . f  x   2 x .I‬‬
‫‪. h  x   242 x .III‬‬
‫א‪ .‬סרטט את הסקיצה וקבע איזה גרף מתאר כל פונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ B , A‬ו‪( C-‬נקודות החיתוך שבין הגרפים)‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח המסומן באיור‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪37‬‬
‫בחינה מספר ‪18‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונות שתי סדרות החשבוניות הבאות‪ an :‬שהפרשה הוא ‪ d1‬ו‪ bn -‬שהפרשה הוא ‪ . d 2‬ידוע‬
‫כי‪. d1  2d2 :‬‬
‫סכום ‪ 51‬האיברים הראשונים של שתי הסדרות שווה והאיבר העומד במקום ה‪ 21-‬בסדרה ‪an‬‬
‫גדול ב‪ 1-‬מהאיבר העומד במקום ה‪ 37-‬בסדרה ‪. bn‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את הפרש הסדרה ‪. d1 - an‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ידוע כי האיבר ‪ a10‬קטן ב‪ 1-‬מ‪ 5-‬פעמים האיבר ‪. b50‬‬
‫מצא את ‪ a1‬ואת ‪. b1‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש שווה שוקיים‬
‫‪  AC  BC ‬מעבירים את האלכסונים '‪ AB‬ו‪ CB'-‬כך שנוצר המשולש ‪.AB'C‬‬
‫ידוע כי הזווית שבין אנך למקצוע ‪ AC‬במשולש ‪ ABC‬ואנך למקצוע ‪AC‬‬
‫במשולש ‪ AB'C‬היא ‪( 45‬האנכים נפגשים על המקצוע ‪ AC‬בנקודה ‪.)E‬‬
‫זוויות הבסיס ‪ ABC‬הן‪ABC  CAB  75 :‬‬
‫‪. ACB  30 ,‬‬
‫גובה המנסרה הוא ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא את אורך המקצוע ‪.AC‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין האלכסון '‪ CB‬למישור הבסיס‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  x  ln 3 x  2ln 2 x  :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי נגזרת הפונקציה היא‪. f '( x)  ln3 x  5ln 2 x  4ln x :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את התחום בו הפונקציה עולה‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫ג‪ (i) .‬מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫)‪ (ii‬מצא את התחום בו הפונקציה חיובית‪.‬‬
‫ד‪ .‬לפניך ‪ 4‬גרפים‪ .‬קבע איזה מהם מתאר את הפונקציה )‪ f ( x‬ונמק את בחירתך‪ .‬שים לב‪:‬‬
‫תשובה ללא נימוק לא תחשב‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ y   cos x  k  :‬בתחום‪. 0  x  2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה חותכת את ציר ה‪ x -‬בנקודה שבה‬
‫‪3‬‬
‫‪.x‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪ k‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודת המקסימום שאיננה מוחלטת בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם יש לגרף הפונקציה נקודות מינימום שאינן מוחלטות? אם כן מהן?‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪ x 2 :‬‬
‫‪5 x 2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪. f  x ‬‬
‫‪f  x‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪. x  3‬‬
‫ב‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ‪ , f  x ‬המשיק וציר ה‪. y -‬‬
‫‪x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪39‬‬
‫בחינה מספר ‪19‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬אדם המעוניין לקנות רכב קיבל שתי הצעות מחיר‪.‬‬
‫ההצעה הראשונה‪ :‬לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 1111‬ובכל תשלום שאחריו סכום הגדול‬
‫ב‪ ₪ 511-‬מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ההצעה השנייה‪ :‬לשלם בתשלום הראשון ‪ ₪ 7211‬ובכל תשלום שאחריו סכום הקטן ב‪₪ 451-‬‬
‫מהתשלום הקודם‪.‬‬
‫ידוע כי מספר התשלומים בהצעה השנייה קטן ב‪ 4-‬ממספר התשלומים שבהצעה הראשונה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫כמה תשלומים יצטרך לשלם לפי כל הצעה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מה מחיר הרכב?‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬הוכח את הטענה‪ :‬תיכון במשולש חוצה אותו לשני משולשים שווי שטח‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬הקטע ‪ AD‬הוא תיכון במשולש ‪ .ABC‬הראה כי‪. SABD  SACD :‬‬
‫במנסרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה הוא משולש ישר זווית ‪ABC  90‬‬
‫‪‬‬
‫הנקודות ‪ F‬ו‪ G-‬מחלקות את מקצוע הבסיס ‪ BC‬לשלושה חלקים שווים‪.‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע המקצוע '‪ .B'C‬ידוע כי אורך הקטע ‪ EF‬הוא ‪ 11‬ס"מ ואורך‬
‫המקצוע ‪ BC‬הוא ‪ 24‬ס"מ‪ .‬שטח המשולש ‪ AFG‬הוא ‪ 41‬סמ"ר‪.‬‬
‫ב‪ .‬איזה משולש הוא המשולש ‪ ?EFG‬מצא את זוויותיו‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את גובה המנסרה‪.‬‬
‫ד‪ .‬היעזר בטענה שהוכחת בסעיף א' ומצא את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫(רמז‪ :‬התבונן במשולש ‪ ABF‬ומצא את הצלע ‪ AB‬באמצעות שטחו)‪.‬‬
‫ה‪ .‬חשב את שטח המעטפת של המנסרה‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬אדם מפקיד סכום של ‪ ₪ 121,111‬לפי ריבית דריבית של ‪ 12%‬בשנה‪.‬‬
‫כעבור ‪ t‬שנים הוא משך את כל הסכום שעמד לרשותו והפקיד אותו ל‪ t -‬שנים נוספות‬
‫בתכנית חיסכון חדשה לפי ריבית דריבית של ‪ .15%‬בתום תקופה זו עמד לרשותו סכום של‬
‫‪.₪ 331,252‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ‪. t‬‬
‫לאחר תקופה זו הוא מפקיד את סכום הכסף הסופי בתכנית לפי ריבית דריבית מסוימת‪.‬‬
‫לאחר ‪ 5‬שנים עמד לרשותו סכום של ‪.₪ 821,772‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את אחוז הריבית החדש‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  ln 3 x  3ln x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מה הוא תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬עם הפונקציה‪. g ( x)  ln x :‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה‪. f  x   3 x  4 x :‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪.‬‬
‫מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה‪. x -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה ברביע הראשון‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪x‬‬
‫השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬יסומן ב‪. S1 -‬‬
‫מעבירים ישר ‪ x  k‬אשר יוצר את השטח ‪ S 2‬כמתואר‪.‬‬
‫‪f  x‬‬
‫מצא את ‪ k‬אם ידוע כי‪. S1  S2 :‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪41‬‬
‫בחינה מספר ‪20‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי ע"י הנוסחה‪. a1  k , an1  8n  an  3 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫הבע באמצעות ‪ k‬את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי סדרת האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים וסדרת האיברים העומדים‬
‫במקומות‬
‫הזוגיים הן חשבוניות ומצא את הפרשן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את סכום ‪ 21‬האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬נתונות שתי פירמידות ישרות שבסיסן מלבן‪ SABCD :‬ו‪.S'A'B'C'D' -‬‬
‫הקטעים ‪ SH‬ו‪ S'H'-‬הם בהתאמה הגבהים של שתי הפירמידות‪.‬‬
‫ידוע כי‪ AB  2k , BC  k , HS  3k :‬וכי‪. A'B'  3k , B'C'  k , H'S'  2k :‬‬
‫א‪.‬‬
‫לפניך מספר טענות‪ ,‬קבע אלו מהן נכונות ואלו שגויות‪ ,‬נמק את קביעותיך‪.‬‬
‫(‪ )1‬לשתי הפירמידות אותו הנפח‪.‬‬
‫(‪ )2‬בשתי הפירמידות הזווית שבין מקצוע צדדי לבסיס הפירמידה שווה‪.‬‬
‫(‪ )3‬אורך מקצוע צדדי בפירמידה ‪ SABCD‬גדול יותר מאורך מקצוע צדדי‬
‫בפירמידה '‪.S'A'B'C'D‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מצא את הערך של ‪ k‬עבורו סכום הנפחים של שתי הפירמידות יהיה שווה‬
‫לנפחה של קובייה בעלת אורך מקצוע של ‪ 4‬ס"מ‪.‬‬
‫פרק שני – חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 66 23‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬ערכן של שתי חלקות אדמה יורד בצורה מעריכית‪.‬‬
‫ידוע כי בזמן שערכה של אדמה א' מגיע למחצית מערכה המקורי‪ ,‬ערכה של אדמה ב' מגיע ל‪-‬‬
‫‪ 31%‬מערכה המקורי‪ .‬לאחר ‪ 51‬שנים אדמה א' מאבדת ‪ 61%‬מערכה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את אחוז הדעיכה של אדמה ב'‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ידוע כי לאחר ‪ 111‬שנים ערכן של שתי האדמות שווה‪ .‬ערכה המקורי של אדמה ב' הוא‬
‫‪.₪ 111,111‬‬
‫מצא את ערכה המקורי של אדמה א'‪.‬‬
‫‪x2  6 x  7‬‬
‫‪ .4‬לפונקציה‪:‬‬
‫‪eax 1‬‬
‫‪ f ( x) ‬יש קיצון בנקודה שבה‪. x  1 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. a‬‬
‫ב‪.‬‬
‫האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .5‬נתונות הנגזרות הבאות‪. g '( x)  sin 2 x , f '( x)  sin 2 x  cos x  k :‬‬
‫ידוע כי לפונקציות )‪ f ( x‬ו‪ g ( x) -‬יש משיק משותף בנקודה שבה‪. x  1.5 :‬‬
‫‪y‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את ערך הפרמטר ‪. k‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ידוע כי משוואת המשיק המשותף היא‪. y  1 :‬‬
‫הראה כי‪ f  x    cos2 x  sin x :‬ו‪. g  x   sin 2 x -‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫באיור שלפניך מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות בתחום‪. 0  x  1.5 :‬‬
‫חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים בתחום הנתון‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪43‬‬
‫בחינה מספר ‪21‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪. a1  6 , an 1 ‬‬
‫‪an  3‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה ‪ bn‬המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫א‪.‬‬
‫הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא הנדסית ומצא את מנתה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כתוב נוסחה ל‪ bn -‬באמצעות ‪ n‬בלבד‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. b1  b2  b3  b4  .....  b10 :‬‬
‫‪ .2‬בתיבה הריבועית '‪ ABCDA'B'C'D‬שלפניך מעבירים את אלכסון הבסיס העליון '‪.B'D‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F-‬נמצאות על אמצעי המקצועות '‪ A'B‬ו‪ B'C'-‬כך שהקטע ‪ EF‬חותך את‬
‫האלכסון'‪ B'D‬בנקודה ‪.O‬‬
‫מקצים נקודה נוספת – ‪ - G‬הנמצאת על הגובה '‪ DD‬כך ש‪. DG  a :‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ GO‬ו‪ DO-‬כך שנוצר המשולש ‪.DOG‬‬
‫אורך מקצוע הבסיס הוא ‪ k‬וגובה התיבה הוא ‪. h‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ k‬ו‪ a -‬את שטח המשולש ‪.DOG‬‬
‫‪a‬‬
‫עבורו מתקיים‪. SDOG  SD'OG :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את היחס‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪,‬‬
‫פונקציות מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬מספר העופות בשמורת טבע גדל לפי אחוז קבוע של ‪ p‬אחוזים לשנה‪ .‬בשנה מסוימת‬
‫נספרו ‪ 3111‬עופות בשמורה‪ ,‬לאחר ‪ 4‬שנים הוסיפו לשמורה ‪ 1111‬עופות נוספים‪.‬‬
‫‪ )1‬מצא את אחוז הגידול השנתי ‪ p‬אם ידוע כי לאחר ‪ 4‬שנים נוספות היו בשמורת‬
‫‪ 5647‬עופות‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא לאחר כמה שנים יהיו ‪ 5647‬עופות אילולא היו מוסיפים את ‪ 1111‬העופות‬
‫הנוספים‪.‬‬
‫‪44‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫ב‪ .‬הישר ‪ x  6‬הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה‪:‬‬
‫‪x2  m‬‬
‫‪ )1‬מצא את ערך הפרמטר ‪ m‬וכתוב את הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן‪.‬‬
‫‪ )3‬מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ )4‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ .‬פתור את המשוואה הבאה‪. ln  x  e   ln x e  ln 2  0.5 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתונה הפונקציה‪. f ( x)  ln  x  e   ln x e :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה‪. x  e :‬‬
‫‪ .5‬הנגזרת של הפונקציה )‪ f ( x‬היא‪. f '( x)  cos x  sin x :‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי הפונקציה המקורית עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫הוכח כי הנגזרת )‪ f '( x‬והפונקציה המקורית )‪ f ( x‬מקיימות את המשוואה‪:‬‬
‫‪. f ( x)  f '( x)  2sin x  1‬‬
‫ב‪ .‬מגדירים פונקציה חדשה )‪ g ( x‬באופן הבא‪. g ( x)  f ( x)  f '( x) :‬‬
‫‪.i‬‬
‫מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר ה‪y -‬‬
‫של הפונקציה )‪. g ( x‬‬
‫‪.ii‬‬
‫מצא את נקודת המקסימום הנמצאת ברביע הראשון והקרובה ביותר לציר ה‪y -‬‬
‫של הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫כתוב את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות שמצאת‪.‬‬
‫‪.iii‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪45‬‬
‫בחינה מספר ‪22‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדקנה רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬נתונה סדרה הנדסית אינסופית ‪ a1 , a2 , a3 , .....‬שמנתה היא ‪.  q  0 , q  1 , q‬‬
‫נגדיר את הסכומים הבאים‪. T  a1  a3  a6  a8  a11  a13 , ..... . V  a2  a7  a12  ..... :‬‬
‫נתון כי‪. V  0.3T :‬‬
‫א‪ .‬מצא את מנת הסדרה ‪. q‬‬
‫מחליפים את הסימנים של כל האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים ומתקבלת סדרה‬
‫חדשה שסכומה הוא ‪.12‬‬
‫ב‪ .‬מצא את האיבר הראשון בסדרה המקורית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מעלים את כל איברי הסדרה בריבוע‪ .‬חשב את סכום הסדרה כעת‪.‬‬
‫‪ .2‬לפניך מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית ‪.  ABC  90‬‬
‫ידוע כי הפאה הצדדית ‪ AA'B'B‬היא ריבוע וכי אורך המקצוע ‪ BC‬גדול פי ‪ 3‬מ‪.AB-‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ G-‬נמצאות על אמצעי המקצועות '‪ B'C‬ו‪ AB-‬בהתאמה‪.‬‬
‫מעבירים את הקטעים ‪ A'E ,A'G‬ו‪.GE-‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזווית הנוצרת בין הקטע ‪ GE‬ומישור הבסיס‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזויות הנוצרת בין הקטע ‪ GE‬ומישור הפאה ‪.AA'B'B‬‬
‫ג‪ .‬נתון כי‪ . EGA'  69 :‬חשב את זווית ‪.EA'G‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬כוורת דבורים ידוע כי בכל ‪ 11‬שעות כמות הדבורים גדלה פי ‪.1.5‬‬
‫‪ )1‬מצא באיזה אחוז גדלה כמות הדבורים בכל שעה‪.‬‬
‫מוציאים לאחר ‪ 11‬שעות ‪ 3111‬דבורים וידוע כי נשארו ‪ 1511‬דבורים‪.‬‬
‫‪ )2‬חשב כמה דבורים היו בתחילה בכוורת‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  x3  e2 x :‬‬
‫‪ )1‬מצא את הנקודות המקיימות‪ f '( x)  0 :‬וקבע כמה מהן הן נקודות קיצון‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫‪ )2‬מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )3‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫‪ )4‬בכמה נקודות חותך הישר ‪ y  0.01‬את גרף הפונקציה?‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪:‬‬
‫‪ln  x  a ‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את‪:‬‬
‫‪ .i‬תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .ii‬הנקודה המקיימת ‪. y '  0‬‬
‫‪ .iii‬נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫‪ .iv‬האסימפטוטה האנכית של הפונקציה‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי גרף הפונקציה עולה רק בתחום‪ . x  e  2 :‬מצא את ‪. a‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום ‪. x  1‬‬
‫ד‪ .‬נתון הישר‪ . y  k :‬מצא בסקיצה את תחום הערכים של ‪ k‬עבורו לישר ולגרף‬
‫הפונקציה לא תהיה אף נקודה משותפת‪.‬‬
‫‪ a , y ‬פרמטר חיובי‪. a  1 ,‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬גזור את הפונקציה הבאה‪. y  e  x  1 :‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות‪. f ( x)  xe x , g ( x)  -e x :‬‬
‫‪y‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  0  , x  a‬החותך את הגרפים של שתי הפונקציות‬
‫והישר‪.‬‬
‫ויוצר את השטח המתואר הכלוא בין הגרפים של שניהם‪ ,‬ציר ה‪y -‬‬
‫‪x‬‬
‫ידוע כי שטח זה שווה ל‪ . 2e 2 -‬מצא את ‪. a‬‬
‫‪S  2e‬‬
‫)‪g( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪47‬‬
‫בחינה מספר ‪23‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון ‪ -‬סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת ע"י הכלל‪. a1  3 , an1  3an  10n  5 :‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה המקיימת לכל ‪ n‬טבעי‪. bn  an  5n :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫חשב את האיבר ‪. b5‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חשב את הסכום‪. b2  b4  b6  .....  b12 :‬‬
‫‪ .2‬נתונה פירמידה ישרה ‪ SABCD‬שבסיסה מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי מקצוע הבסיס ‪ BC‬שווה באורכו לגובה הפירמידה ויסומן ב‪. t -‬‬
‫כמו כן נתון כי אלכסון הבסיס ‪ AC‬גדול פי ‪ 4‬מהמקצוע ‪.BC‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ t‬את אורך המקצוע ‪.AB‬‬
‫ב‪ .‬הורד גובה ‪ SH‬למקצוע ‪ BC‬במישור הפאה ‪ SBC‬וחשב‬
‫ג‪ .‬את הזווית הנוצרת בינו לבין מישור הבסיס ‪.ABCD‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזויות שבין שני מקצועות צדדיים שאינם סמוכים‪.‬‬
‫ה‪ .‬מעבירים גובה ‪ SH‬בפאה ‪ SBC‬לבסיס ‪ .BC‬מסמנים את פגישת התיכונים בפאה ב‪N-‬‬
‫מעבירים קטע היוצא מנקודת פגישת האלכסונים שבמישור הבסיס ‪ ABCD‬לנקודה ‪.N‬‬
‫חשב את הזווית שהוא יוצר עם הבסיס‪.‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬אדם מפקיד ‪ k‬שקלים בתוכנית חיסכון לפי ריבית שנתית של ‪ .p%‬לאחר ‪ 5‬שנים הוא‬
‫מושך מהחיסכון ‪ k‬שקלים ולאחר ‪ 5‬שנים נוספות מתברר כי הצטבר בפיקדון שלו סך‬
‫הכול ‪ .₪ 2.5k‬מצא את ‪.p‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה הבאה‪. y  ln x  :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .i )1‬מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?‬
‫‪ .ii‬יש לגרף הפונקציה אסימפטוטה מקבילה לציר ‪ ? y‬אם כן מצא אותה‪.‬‬
‫‪ )2‬מצא את נקודת הקיצון של גרף הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫‪ )3‬כתוב את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה הבאה‪. f ( x)  e2 x  ae x  b :‬‬
‫גוזרים את הפונקציה פעמיים וידוע כי כאשר ‪ x  ln 23‬הנגזרות מקיימות‪. f '( x)  f ''( x)  12 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. a‬‬
‫משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה מסוימת היא‪. y  22 x  28  22ln 2 :‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעור ה‪ x -‬של נקודת ההשקה‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. b‬‬
‫ד‪ .‬האם הפונקציה חותכת את ציר ה‪ ? x -‬אם כן מצא את הנקודות‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.5‬‬
‫א‪ .‬נתונה הפונקציה‪. y   x cos x  2 x sin x  2cos x :‬‬
‫הוכח כי הנגזרת של הפונקציה היא‪. y '  x 2 sin x :‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫באיור שלפניך נתונה הפונקציה‪ f ( x)  x 2 sin x :‬בתחום‪.   x   :‬‬
‫ב‪ .‬הראה כי גרף הפונקציה עובר בראשית הצירים‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪49‬‬
‫בחינה מספר ‪24‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪ .1‬סדרה מוגדרת ע"י כלל הנסיגה הבא‪:‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪4  7an‬‬
‫‪. bn ‬‬
‫מגדירים סדרה חדשה לפי‪:‬‬
‫‪an‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית ומצא את הפרשּה‪.‬‬
‫‪. a1  2 , an 1 ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫חשב את הסכום הבא‪. b2  b4  b6  .....  b22 :‬‬
‫‪ .2‬נתונה קובייה '‪ .ABCDA'B'C'D‬מעבירים את האלכסונים '‪ A'C‬ו‪ B'D'-‬בבסיס העליון‬
‫ומסמנים ב‪ E-‬את פגישתם‪ .‬מהנקודה ‪ E‬מעבירים את הקטעים ‪ AE, BE, CE‬ו‪DE-‬‬
‫כך שנוצרת הצורה המרחבית ‪.ABCDE‬‬
‫א‪ .‬איזו צורה היא ‪ ? ABCDE‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שנוצרת בין הקטע ‪ AE‬ומישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הנפח הכלוא בתוך הקובייה ומחוץ לצורה ‪.ABCDE‬‬
‫אם ידוע כי שטח הפנים של הקובייה הוא ‪ 384‬סמ"ר‪.‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .3‬נתונה הפונקציה‪f ( x)  x  a x :‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪ . (a  0‬לפונקציה יש נקודת קיצון שבה‪:‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫מצא את ‪. a‬‬
‫כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה‪.‬‬
‫הנקודה שבה ‪ x  2‬היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה )‪ f ( x‬עם‬
‫גרף הפונקציה‪. g ( x)  x 2  2x  kx  2x :‬‬
‫ג‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ד‪ .‬מצא נקודה נוספת שבה הגרפים נחתכים‪.‬‬
‫‪51‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  m sin x  k cos2 x :‬‬
‫מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה ‪ x  ‬שמשוואתו היא‪. y  6 x  6  7 :‬‬
‫א‪ .‬מצא את ערכי הפרמטרים ‪ k‬ו‪. m -‬‬
‫ב‪ .‬מצא את נקודות הקיצון בתחום‪. 0.5  x  1.5 :‬‬
‫ג‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה וקבע עפ"י הסקיצה בכמה נקודות גרף הפונקציה חותך‬
‫את ציר ה‪ x -‬בתחום הנ"ל‪.‬‬
‫‪ .5‬באיור מתוארים הגרפים של הפונקציות‪ f ( x)  ln  e x  1 :‬ו‪g ( x)  ln  e2 x  e3 x  -‬‬
‫בתחום‪. x  0 :‬‬
‫א‪ .‬הראה כי הגרפים נחתכים על ציר ה‪. y -‬‬
‫‪y‬‬
‫מעבירים ישר ‪  a  1 , x  a‬המאונך לציר ה‪ x -‬אשר חותך את‬
‫הגרפים של שתי הפונקציות ויוצר את השטח ‪( S‬ראה איור)‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ערכו של ‪ a‬עבורו מתקיים‪. S  4 :‬‬
‫‪S‬‬
‫)‪f ( x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪xa‬‬
‫)‪g ( x‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪51‬‬
‫בחינה מספר ‪25‬‬
‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬
‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬
‫פרק ראשון –סדרות וטריגונומטריה במרחב( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שאלה אחת מבין השאלות ‪ 33 13 ( 1-2‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬
‫‪ .1‬בסדרה חשבונית שבה ‪ 2n‬איברים ידוע כי סכום כל האיברים גדול ב‪ 66-‬מפעמיים סכום‬
‫האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪.‬‬
‫א‪ .‬הוכח כי ‪. dn  66‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי הפרש הסדרה הוא ‪ .3‬הבע באמצעות ‪ a1‬את סכום ‪ n‬האיברים הראשונים‪.‬‬
‫ג‪ .‬סכום ‪ n‬האיברים הראשונים הוא ‪ .187‬מצא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה‬
‫ואת מיקומו הסידורי בסדרה‪.‬‬
‫‪ .2‬במנסרה משולשת וישרה '‪ ABCA'B'C‬שבסיסה משולש שווה צלעות מעבירים בבסיס‬
‫העליון '‪ A'B'C‬את התיכונים ‪ B'E , A'D‬ו‪ C'F-‬אשר נחתכים ב‪.M-‬‬
‫מהנקודה ‪ M‬מעבירים את הקטעים ‪ MA‬ו‪ MB-‬כך שנוצר המשולש ‪.MAB‬‬
‫גובה המנסרה שווה באורכו למקצוע בסיס המנסרה ויסומן ב‪. 2a -‬‬
‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את אורך הקטע ‪.MA‬‬
‫ב‪ .‬חשב את הזווית שבין הקטע ‪ MA‬ומישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את הזווית שבין הגובה למקצוע ‪ AB‬במישור ‪MAB‬‬
‫לבין מישור הבסיס ‪.ABC‬‬
‫ד‪ .‬חשב את הזווית שבין ‪ MA‬והפאה ‪.AA'B'B‬‬
‫ה‪ .‬הבע באמצעות ‪ a‬את שטח הפנים של המנסרה‪.‬‬
‫פרק שני –חדו"א של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬פונקציות חזקה עם מעריך רציונאלי‪ ,‬פונקציות‬
‫מעריכיות ופונקציות לוגריתמיות( ‪ 33 13‬נקודות)‬
‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-5‬לכל שאלה – ‪ 33 13‬נקודות)‪.‬‬
‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬תיבדקנה רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬ערך מנייה מסוימת גדל בצורה מעריכית‪ .‬ידוע כי בשנת ‪ 1995‬הייתה המנייה שווה ‪ k‬שקלים‪.‬‬
‫המנייה גדלה באחוז קבוע של ‪ 5%‬לשנה עד לשנת ‪ 2111‬ושם צנחה בקצב של ‪ 8%‬לשנה במשך ‪6‬‬
‫שנים נוספות‪ .‬לאחר מכן גדלה המנייה בקצב שנתי קבוע עד לשנת ‪.2111‬‬
‫אדם הרוצה לקנות את המנייה בשנת ‪ 2111‬נוכח לדעת כי מחירה הוא ‪. k‬‬
‫מצא באיזה אחוז עלתה המנייה לאחר צניחתה‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫ב‪ .‬נתונה הפונקציה‪. f ( x)  32 x  2  31 x :‬‬
‫‪ )1‬מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה‪. y -‬‬
‫‪ )2‬הוכח כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה‪. x -‬‬
‫‪ )3‬מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה‪.‬‬
‫*הערה‪ :‬אין קשר בין סעיפים א' ו‪-‬ב'‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‪ f ( x)  tan x  kx :‬בתחום‪. 0  x   :‬‬
‫א‪ .‬מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬
‫הפונקציה‪ g ( x)  tan 2 x  kx :‬חותכת את הפונקציה )‪ f ( x‬בשתי נקודות החיתוך שלה עם‬
‫ציר ה‪ x -‬בתחום הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪. k‬‬
‫ג‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה )‪ f ( x‬בתחום הנתון וקבע את סוגן‪.‬‬
‫ד‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה )‪. f ( x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬באיור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציה‪:‬‬
‫‪3x  1‬‬
‫א‪ .‬מצא את נקודת החיתוך של הפונקציות הנמצאת ברביע הראשון‪.‬‬
‫ב‪ .‬מעבירים אנך לציר ה‪ x  a - x -‬הנמצאת מימין לנקודת החיתוך שמצאת בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪ f ( x) ‬והישר‪. y  x :‬‬
‫האנך החותך את הגרפים ויוצר את השטחים ‪ S1‬ו‪ S 2 -‬המתוארים האיור‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫ג‪ .‬מצא את הערך של ‪ a‬עבורו השטח ‪ S 2‬יהיה שווה ל‪.  ln 7 -‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪x .‬‬
‫ד‪ .‬עבור ערך ה‪ a -‬שמצאת בסעיף הקודם חשב את יחס השטחים‪:‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪xa‬‬
‫‪S2‬‬
‫בהצלחה!‬
‫‪53‬‬
:‫תשובות סופיות‬
:1 ‫בחינה‬
. n  6 .‫ ג‬a10  4 .‫ ב‬a1  50 , d  6 .‫ א‬.1
8.1 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬51 .‫ א‬.2
.‫ עצים‬111,111 .3
. x  4 e .‫ ד‬. 1,0  ,  e,1 .‫ ג‬. f '( x) 
1
 0 :‫ מתקבל‬.‫ ב‬. x  1 .‫ א‬.4
2 x ln x
. a  ln 2 .5
:2 ‫בחינה‬
n 1
. a5 , a6 .‫ ג‬an  3
.‫ב‬
Sn ( o )
S2 n


.‫ סמ"ק‬2251 .‫ב‬
1
1
.  x  :‫יורדת‬
6
2

a1 q 2 n 1
q 2 1

a1 q
2n
1
.‫ א‬.1
q 1
.‫ סמ"ר‬161.68 .‫ א‬.2
1 3 e 
 1 e1.5 
1
1
x  , x  :‫ עולה‬.‫ג‬. Max  ,
 , Min  ,
 .‫ ב‬. x ‫ כל‬.‫ א‬.3
6
2
2 4 
6 4 
y
.‫ סקיצה בצד‬.‫ה‬
x

1
q 1

.  0,1 .‫ד‬


2
 ,   3  .‫ ב‬f ( x)  2sin x  5sin x  2 x , a  2 .‫ א‬.4
2


. y  2 x  3 .‫ ד‬.‫ אין פתרונות נוספים למשוואה בתחום הנתון‬.‫ לא‬.‫ג‬
. S  ‫ יחידות שטח‬1.76 .‫ ב‬a  2 , f ( x) 
54
2
1
.‫ א‬.5
, g ( x) 
x 1
x2
‫בחינה ‪:3‬‬
‫‪ .1‬א‪ .8 , 11 , 12 .‬ב‪ 5 .‬ג‪.6 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ a 8.5 .‬ב‪ 6.9 .‬ג‪. a  2 .‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ )1‬לא נכון‪ .‬תחום ההגדה של )‪ f ( x‬הוא‪ x  0 , x  1 :‬ותחום ההגדרה של )‪g ( x‬‬
‫הוא‪. x  0 :‬‬
‫‪ )2‬לא נכון‪ .‬לשתי הפונקציות נקודת קיצון שבה ‪ x  e‬אך עבור )‪ f ( x‬מדובר במינימום‬
‫ועבור )‪ g ( x‬מדובר במקסימום‪.‬‬
‫‪ )3‬לא נכון‪ .‬עבור )‪ : f ( x‬עולה‪ x  e :‬יורדת‪ . x  1 , 0  x  e :‬ועבור )‪ : g ( x‬עולה‪:‬‬
‫‪ 0  x  e‬יורדת‪. x  e :‬‬
‫‪ )4‬נכון‪.‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪ y ‬ו‪-‬‬
‫ב‪ .‬לגבי כל נקודה נאמר כי שיעור ה‪ y -‬שלה הוא‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ln x‬‬
‫‪x ln x‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪‬‬
‫נכפול‪ 1 :‬‬
‫‪ln x x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 5 ‬‬
‫‪ .4‬א‪.  0, 2  ;  , 0  ;  , 0  .‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫‪ 12 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪. min  0, 2  ; max  , 2  ; min  , 6  ; max  , 2  .‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בצד ד‪ 6  k  2 .‬וגם ‪ . k  2‬ה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬א‪ A 1,  e  2  .‬ב‪ y    e  2  x .‬ג‪4.744 .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ S‬יחידות שטח‪.‬‬
‫בחינה ‪:4‬‬
‫‪ .1‬א‪ d  11 (ii) x  50 )i( .‬ב‪ a1  121 .‬ג‪. S  2156 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ a tan )3( a sin  )2( a cos  )1( .‬ב‪. 53.13 .‬‬
‫‪ .3‬א‪ ₪ 75,858.5 .‬ב‪ .‬לאחר ‪ 15‬שנים‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ m  2 .‬ב‪ .‬פיתול‪ .‬הנגזרת חיובית לפניה ואחריה‪ .‬ג‪ 2 .‬נקודות‪ .‬ד‪.  0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‬‬
‫‪ .5‬א‪f  x   4 5x  6  x , a  1 .‬‬
‫ב‪. x  1.2 .‬‬
‫ה‪ 1.48 .‬יחידות שטח ‪. S ‬‬
‫‪55‬‬
‫‪27‬‬
‫‪54‬‬
‫ג‪ .  1.2,1.2  .‬ד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪32‬‬
‫‪32‬‬
‫‪.y‬‬
‫בחינה ‪:5‬‬
‫‪ .1‬א‪ a25  16,777, 216 .‬ב‪ .‬לפי הצעת השר יהיו לו ‪ 33,554,431‬אבנים ולפי הצעת המלך‬
‫יהיו לו ‪ 21,111,111‬אבנים‪.‬‬
‫ג‪ .‬הסדרה שתתקבל לפי הצעת הבת היא‪ 4,16,64,..., 224 :‬וסכומה הוא‪.22,369,620 :‬‬
‫כדאי למלך לקבל את הצעת בתו‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ 11 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 5.21 .‬ס"מ‪ .‬ג‪ . 61 .‬ד‪. 42 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬א‪ .  0,0  ,  0.23 ,0  .‬ב‪. Min  ,  27  , Max   , 27  .‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪ . x  0.25 .‬ד‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 26 x‬‬
‫‪ .4‬א‪ . x  0 .‬ב‪ .  64,0  ;  6,0  .‬ג‪ .‬הנגזרת‪ 0 :‬‬
‫‪6 x5/6‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ה‪ .i .‬נכון‪ .ii .‬לא נכון‪ .‬החיתוך עם ציר ה‪ y -‬שונה‪ .iii .‬לא נכון‪.‬‬
‫‪ f '  x  ‬בת‪.‬ה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .5‬א‪, a  2 , b  4 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪f ( x)  7  2 x ‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ x  2 .‬ג‪ 11.54 .‬יחידות שטח ‪. S  6  ln 256 ‬‬
‫בחינה ‪:6‬‬
‫‪a q 2 n 1  q ‬‬
‫‪bn1 a2 n1  a2 n 2‬‬
‫‪a q 2 n  a q 2 n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 2 n 2 1 2 n 1  1 2 n 2‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  0.6 .‬ב‪ q 2 .‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪a2 n 1  a2 n‬‬
‫‪a1q‬‬
‫‪ a1q‬‬
‫‪a1q‬‬
‫‪1  q ‬‬
‫‪a1 1  q ‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪a a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ 1 22 ‬‬
‫ג‪ 1  S( an ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫‪1  q 1  q  1  q‬‬
‫‪S(bn ) ‬‬
‫ד‪. a1  200 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ 4 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 4.47 .‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬בנק ב'‪ .‬ב‪ .‬לשניהם אותו הסכום שכן אין משמעות לסדר‪. k  a18  a26  k 1.8 1.6  k 1.6 1.8  2.88k :‬‬
‫‪ .4‬א‪ . k  9 .‬ב‪ . Max  1,16  ; Min 1,0  .‬ג‪ .‬עולה‪ , x  1 , x  1 :‬יורדת‪. 1  x  1 :‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ה‪.2 .‬‬
‫‪e x  e2 x‬‬
‫‪ .5‬א‪, a  2 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ f ( x) ‬ב‪ 1.52 .‬יחידות שטח ‪. S ‬‬
‫‪56‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:7‬‬
‫‪ .1‬א‪ a1  1 , a2  -5 , a3  4 , a4  -2 , a5  7 .‬ג‪Sn ( o )  1.5n2  0.5n .‬‬
‫ד‪. S9( o )  117 .‬‬
‫‪. 73.89 .2‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬לאחר ‪ 22.46‬שנים‪ .‬ב‪ .‬מכונית א' ולאחר ‪ 16‬שנים‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪, k  1 .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 x 2  6 x 1‬‬
‫ב‪ 1, e  .‬‬
‫‪f ( x) ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪y‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ .‬ניתן לראות עפ"י הגרף כי ערך הפונקציה )‪ f ( x‬נמצא בתחום ‪. 0  f ( x)  e2‬‬
‫‪S1 3  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬א‪ y  1 .‬ב‪ 1.538 .‬‬
‫‪S2 3  2‬‬
‫‪.‬‬
‫בחינה ‪:8‬‬
‫‪ .1‬ב‪ a1  12 , d  3 .‬ג‪. b5  3 .‬‬
‫‪19‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬א‪ VS'A'B'C'D'  a3  VSABCD  a3 .‬ב‪ .‬פי‬
‫‪82‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .3‬א‪ a  4 .‬ב‪x  ln 2 .‬‬
‫‪ 4‬ג‪ .‬דנה טועה ‪. PSA' B 'C ' D '  9a 2  PSABCD  7a 2‬‬
‫ג‪ b  5 .‬ד‪.  0,0  .‬‬
‫‪ .4‬א‪ x  1 , x  7 .‬ב‪ . x  7, 1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  7 :‬יורדת‪. x  1 :‬‬
‫ד‪ .III .‬הסבר‪ :‬באיורים ‪ I‬ו‪ II-‬גרף הפונקציה לא בתחום‪ .‬באיור ‪ IV‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬נשווה את הפונקציות ונקבל‪x  2  6 x :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫או‪. x  x  2  0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫נסמן‪( x 6  t :‬ואז‪ ) x  x   x 6   t 2 :‬ונקבל את המשוואה‪t  t  2  0 :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫שפתרונה הרלוונטי הוא‪ t  1 :‬ולכן‪. x 6  1  x  1 :‬‬
‫נמצא את הערך ונמצא את שיעור ה‪ . f (1)  3 1  1 : y -‬לכן הנקודה היא‪. 1,1 :‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות וציר ה‪: y -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  x  x dx    2  x  x dx  2 x  7  4‬‬
‫‪ 2x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪6 3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  0 ‬‬
‫‪7 4‬‬
‫‪28‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪57‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
:9 ‫בחינה‬
. S7*  61,034,375 .‫( ג‬i)(ii) an  5n1 a6 , a7 .‫ ב‬x  14 .‫ א‬.1
. a  5 .‫ ג‬70.6 .‫ ב‬a 7 .‫ א‬.2
.‫ ק"ג אצות‬653.48 .‫ ב‬a  1.017 .‫ א‬.3
.  ,0  ,  0, 2  .‫ א‬.4


. Max  0, 2  , Min  , 2.25  , Max  , 0  , Min 1 23  , 2.25 , Max  2 , 2  .‫ב‬
3


y
.‫ד‬
.0  x 


2

2
,   x  1  :‫יורדת‬
 x   , 1   x  2 :‫ עולה‬.‫ג‬
3
3
3
3
1
 1
. S  ‫ יח"ש‬3.17 .‫ ג‬Max  ln ,  ln16  2  .‫ ב‬f ( x)  2e2 x  9e x  2 x .‫ א‬.5
8
 4
x
:10 ‫בחינה‬
a12  q 2 n  1
. a5  20 .‫ ג‬q  0.5 .‫ב‬
Sn ( s )
Sn ( o )

q2 1
 a1 .‫ א‬.1
a1  q 2 n  1
q2 1
. 19.84 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬5 ,‫ ס"מ‬13 ,‫ ס"מ‬13 .‫ א‬.2
y

  5

.  0,1 ,  ,1.29  ,  , 1.29  , 1.5 , 0  .‫ ב‬.  0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‫ א‬.3
6
  6

x
.‫ פתרונות‬2 .‫ ד‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ג‬
. x ‫ כל‬, h  x    x  2 
2 5
2 x  2.6 .‫ ב‬.  2,0  ,
 1.3,0 .‫ א‬.4
. 0  k  9 .‫ ה‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ ד‬. Max  1,9  ; Min  2,0  .‫ג‬
y
.‫ יחידות שטח‬6  4ln 2 .‫ ב‬f ( x) 
x
58
4
.‫ א‬.5
x
‫בחינה ‪:11‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  2 .‬ג‪. a1  2 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ 11.16 .‬ס"מ‪ .‬ב‪ 53.13 .‬ג‪ 47.27 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬הכמות השנייה תגיע ליעדה לפני הראשונה ‪ . 13.5  14.2 ‬ב‪ .‬נשווה את שני הביטויים של‬
‫‪ln 0.5 ln 2‬‬
‫זמן ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ln a1 ln a2‬‬
‫או‪. ln a1   ln a2 :‬‬
‫ע"י הוצאת ‪ ln‬נקבל‪ a1  a2  1 :‬והרי שמכפלת מספרים הופכיים היא ‪.1‬‬
‫‪ .4‬א‪x  1 .‬‬
‫ב‪ x  1 .‬ג‪ .‬עולה‪ x  1 :‬יורדת‪x  1 :‬‬
‫ד‪ .I .‬הסבר‪ :‬באיור ‪ II‬תחומי העלייה והירידה הפוכים‪ .‬באיורים ‪ III‬ו‪ IV-‬יש אסימפטוטה‬
‫מיותרת‪ .‬ה‪. x  1 ,  2  x  0 .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬אין נקודות קיצון‪ ,‬הנקודה‪  ,   :‬היא נקודת פיתול‪.‬‬
‫ב‪ .‬השטח המתקבל הוא‪ S  0.5 2  2  2.934 :‬יחידות שטח‪.‬‬
‫בחינה ‪:12‬‬
‫‪ .1‬א‪ n  81.‬ב‪. n  16 .‬‬
‫‪.  m sin 2 cos   .2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .3‬א‪( . 0  x  e .‬שימו לב כי תנאי ת‪.‬ה‪ .‬הם‪ 1  ln x  0 :‬וגם ‪.) x  0‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ 0 .‬‬
‫‪x 1  ln x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1x‬‬
‫‪1  ln x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ - f '( x) ‬ולכן הפונקציה יורדת בת‪.‬ה‪.‬‬
‫ג‪ . 1, 0  .‬ד‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .4‬א‪ 0,0 ,  2 ,0  ,  2 ,0  .‬‬
‫ב‪(ii)  0,0  , Max  2 ,0  , Min  2 ,0  .‬פיתול‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬נעזר באינטגרל הכללי ונקבל‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ dx    6  5 x  5 dx  ‬‬
‫‪5 c‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪5  5  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. f ( x)    ‬‬
‫‪ 5 6  5x 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫נציב את הנקודה‪ 1.2, 0  :‬ונקבל‪. 0   6  5 1.2  5  c  c  0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן הפונקציה היא‪. f ( x)   6  5 x  5 :‬‬
‫ב‪ .‬יש לחלק את השטח לשני חלקים‪.‬‬
‫החלק הראשון כלוא בין גרף הפונקציה )‪ g ( x‬וציר ה‪ x -‬והחלק השני כלוא בין גרף‬
‫‪59‬‬
‫הפונקציה )‪ f ( x‬וציר ה‪ . x -‬נמצא תחילה את נקודת החיתוך של הגרפים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫נשווה‪  6  5x  5  x10 :‬ונעלה בחזקת ‪ 11‬את המשוואה‪  6  5 x   x :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   6  5 x  5    x10 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪10‬‬
‫פתרון המשוואה הוא‪( x  1 :‬בדקו!) וזה הוא הגבול עבור כל שטח‪ .‬נחשב כל שטח בנפרד‪:‬‬
‫נמצא את הגבול התחתון של שטח זה ע"י‪. 10 x  0  x  0 :‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x  10 x  10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪S1   g ( x)dx   x dx  11 ‬‬
‫‪ 0  .‬‬
‫‪   11  11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 10  0 ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הגבול העליון של שטח זה נתון בגוף התרגיל ולכן נקבל‪:‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0    1   1‬‬
‫‪f ( x)dx    6  5 x  dx ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 5 5 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ 6 6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪10 1‬‬
‫‪5‬‬
‫השטח המבוקש הוא‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪11 6‬‬
‫‪66‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪S2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ S  S1  S2 ‬יחידות שטח‪.‬‬
‫בחינה ‪:13‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  2 .‬ב‪ a1  1 .‬ג‪. S6( p)  2730 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ 4.875t .‬ב‪ 39.1 .‬ג‪. t  8 .‬‬
‫‪.14.82% .3‬‬
‫‪ .4‬א‪ . a  12 , b  12 .‬ב‪ .‬עולות‪ x  ln 6 :‬יורדות‪. x  ln 6 :‬‬
‫‪ .5‬א‪ S1  2ln k  ln16 , S2  2ln k .‬ב‪S2  S1  ln16 .‬‬
‫ג‪. k  8 .‬‬
‫בחינה ‪:14‬‬
‫‪ .1‬א‪ an2  an  8  3n  4 )ii( a4 )i( .‬ב‪. S611  265458 .‬‬
‫ג‪. a1  5 .‬‬
‫‪h 2‬‬
‫‪2h 3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪tan ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .3‬א‪ . x   , x  1 .‬ב‪. x   ,1 .‬ג‪.  2, 0  .‬ד‪ .‬מתקבל‪ 0 :‬‬
‫‪. y' ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 x  1 x  1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫ה‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ x  0 , x  0 .‬אסימפטוטה אנכית‪.‬‬
‫ב‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪61‬‬
. Min  4, 495.27  ; Max  2, 491.77  .‫ג‬
y
x
.‫ נכון‬.iii
.‫ יחידות שטח‬S 
.‫ לא נכון‬.ii
.‫ נכון‬.i .‫ה‬
.‫ סקיצה בצד‬.‫ד‬
1
1
 7 11
.‫ ג‬f ( x)   sin 2 x  cos x .‫ ב‬x  ,
.‫ א‬.5
,
2
2
2
6
6
:15 ‫בחינה‬
1
.‫ א‬.1
2
.‫ סמ"ר‬823 .‫ ג‬.‫ ס"מ‬21.44 .‫ ב‬.‫ ס"מ‬16-‫ ס"מ ו‬12 .‫ א‬.2
. a1  1024 .‫ ג‬.5 ‫ פי‬.‫ ב‬q 
. 5.95%-‫ ב‬.3
. t1,2 
 3
  
 
  3

.‫ ג‬.   , 6.05  ,   ,1.11 ,  ,1.11 ,  , 6.05  .‫ ב‬.4
12 12
 4
  4
 4
  4

2
.‫ יחידות שטח‬ln5 13  1.674 .‫ ג‬ 2, 2  .‫ ב‬g ( x) 
.‫ א‬.5
2x  5
 5
,
:16 ‫בחינה‬
. n  36 .‫ ג‬a1  8 , d  2 .‫ ב‬.1
.‫סמ"ק‬
15
15k 3 tan 
.‫ ב‬V 
.‫ א‬.2
8
3
1
 x2
4

. Max  2,  , Min  0, 0  .‫ ב‬f ( x)  x 2e 4 , a  1 , b  0.25 .‫ א‬.3
e

y
.0  k 
x
4
.‫ ה‬.‫ סקיצה בצד‬.‫ ד‬ 0, 0  .‫ג‬
e
.‫ קצה‬Min  9, 0  ,‫ קצה‬Min  0, 0  ; Max  6,3.22  .‫ב‬
. 0  x  9 .‫ א‬.4
.B .‫ ה‬.‫ שני פתרונות‬k  1 .‫ אין פתרון‬k  2 .‫ ד‬. 6  x  9 :‫ יורדת‬, 0  x  6 :‫ עולה‬.‫ג‬
.‫ יחידות שטח‬S  1.5
61
3
 1.299 .‫ב‬
2
2 1 
,  .‫ א‬.5
 3 4
 0,1 , 
‫בחינה ‪:17‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 3n 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪a1q n 1  q6‬‬
‫‪bn1 an 1  6 an  2 a1q  6 a1q‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  3 .‬‬
‫ב‪ .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪an  16 an 1‬‬
‫‪a1q n1  16 a1q n a1q n 1 1  q6‬‬
‫‪31‬‬
‫‪6 3n 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪31‬‬
‫‪‬‬
‫‪S( an ) n‬‬
‫‪S(bn ) n‬‬
‫‪.‬‬
‫ג‪. b5 , b6 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ SD  AB  4m cos  .‬ב‪ .‬המשולשים חופפים‪ .‬ג‪. 2 3m cos  .‬‬
‫‪ .3‬א‪ 4251 .‬עופות‪ .‬ב‪ 21.77 .‬שנים‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬כן‪. g ( x) :  , 0  , f ( x) :  0.5 ,0  , 1.5 ,0  .‬‬
‫‪ 2 1   4 1 ‬‬
‫‪ . ‬ג‪. Max  ,1 .‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫ב‪ .‬כן‪ .‬‬
‫‪2  3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫ד‪ .‬איור ‪ . g ( x) - I‬איור ‪ . f ( x) - II‬ניתן לאמת זאת עפ"י הסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .5‬ב‪ A 1, 4  , B 1 , 2.52  , C  0,1 .‬ג‪ S  1.03 .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫בחינה ‪:18‬‬
‫‪ .1‬א‪ d1  4 .‬ב‪. a1  52 , b1  95 .‬‬
‫‪ .2‬א‪ 11 .‬ס"מ‪ .‬ב‪. 26.56 .‬‬
‫‪ .3‬ב‪. x  1 , e4  x  e1 .‬‬
‫ג‪ 2 (i) .‬נקודות והן‪ . 1, 0  ,  e2 , 0  :‬הנקודה שבה‪ x  0 :‬לא קיימת עקב ת‪.‬ה‪.‬‬
‫(‪. x  1 , x  e2 )ii‬‬
‫ד‪ – III .‬בראשית הצירים יש חור ולא אסימפטוטה‪ .‬שאר הנתונים כפי שהתקבלו בסעיפים הקודמים‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪ y   cos x  0.5 , k  0.5 .‬ב‪.  ,0.25 .‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪ .‬לא – כל נקודות המינימום הן מוחלטות‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ .5‬א‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ y  2‬ב‪ 4.56 .‬יחידות שטח ‪. S ‬‬
‫‪62‬‬
‫בחינה ‪:19‬‬
‫‪ .1‬א‪ 12 .‬לפי הראשונה ו‪ 8-‬לפי השנייה ב‪.₪ 45111.‬‬
‫‪ .2‬ב‪ .‬משולש שווה שוקיים‪ 66.42, 47.15 .‬ג‪84 .‬‬
‫ס"מ‪ .‬ד‪ 11 .‬ס"מ‪ .‬ה‪ 60 84 .‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .3‬א‪ t  4 .‬ב‪. p  20% .‬‬
‫‪ .4‬א‪. x  0 .‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪,0 .‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ e ,0 ,  e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ . 1,0  ,‬ג‪. Min  e, 2  , Max  e1 , 2  .‬‬
‫‪y‬‬
‫ד‪ .‬סקיצה בצד‪ .‬ה‪. 1,0  ,  e2 , 2  ,  e2 , 2  .‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬כל ‪. x‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫ב‪.  0, 0  ,  , 0  ,   , 0  .‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪ 8 ‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪ 3‬‬
‫ג‪. k     0.2296.. .‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:20‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬האיבר הראשון הוא‪ . a1  k :‬נציב ‪ n  1‬בכלל הנסיגה ונקבל‪. a2  8 1  k  3  11  k :‬‬
‫נציב ‪ n  2‬בכלל הנסיגה ונקבל‪. a3  8  2  11  k   3  k  8 :‬‬
‫נציב ‪ n  3‬בכלל הנסיגה ונקבל‪. a4  8  3   k  8  3  19  k :‬‬
‫ב‪ .‬נכתוב כלל נסיגה המקשר בין ‪ an‬ל‪ an  2 -‬ונראה כי הוא קבוע‪ .‬נציב ‪ n  1‬בכלל הנסיגה‬
‫הנתון ונקבל‪. an2  8  n  1  an1  3 :‬נציב את ‪ an1  8n  an  3‬ונפשט‪:‬‬
‫‪. an2  8  n  1  8n  an  3  3  an  8‬‬
‫קיבלנו את הכלל‪ . an 2  an  8 :‬לכן‪ . an2  an  8 :‬ההפרש בין שני איברים העומדים‬
‫במקומות הזוגיים בסדרה הוא גודל קבוע (‪ )8‬וכן ההפרש בין שני איברים העומדים במקומות‬
‫האי‪-‬זוגיים בסדרה‪ .‬לכן שתי סדרות אלו הן חשבוניות והפרשן הוא ‪.8‬‬
‫ג‪ .‬נחלק את הסכום של ‪ 21‬האיברים לסכום של ‪ 11‬איברים העומדים במקומות הזוגיים וסכום‬
‫של ‪ 11‬איברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים‪ .‬נכתוב סכום לכל קבוצה‪.‬‬
‫סדרת האיברים העומדים במקומות האי‪-‬זוגיים היא חשבונית שבה‪ . a1  k , d  8 :‬סכומה‬
‫‪10‬‬
‫הוא‪ . S10   2k  8  9   10k  360 :‬סדרת האיברים העומדים במקומות הזוגיים היא‬
‫‪2‬‬
‫חשבונית שבה‪ . a2  11  k , d  8 :‬סכומה הוא‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ . S10   2 11  k   8  9   470  10k‬נחבר את הסכומים ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. S20  470  10k  10k  360  830‬‬
‫סכום ‪ 21‬האיברים הראשונים בסדרה הוא ‪.831‬‬
‫‪ .2‬א‪ )1( .‬נכון‪ .‬הנפח הוא‪ )2( . V  2k 3 :‬לא נכון‪ .‬הזוויות המתקבלות הן‪. 69.56 , 51.67 :‬‬
‫(‪ )3‬נכון‪ .‬מתקבל‪ . k 10.25  k 6.5 :‬ב‪. k  3 16 .‬‬
‫‪63‬‬
‫‪ .3‬א‪ .3.13% .‬ב‪.₪ 25,919 .‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬א‪ . a  1 .‬ב‪ .‬כן‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪48‬‬
‫‪. 11, 2‬ג‪ .‬עולה‪ 1  x  11 :‬יורדת‪. x  1 , x  11 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e3‬‬
‫‪y‬‬
‫ד‪ .  1,0  ,  7,0  ,  0, 7e  .‬ה‪ .‬סקיצה בצד‪.‬‬
‫‪ .5‬א‪ k  0 .‬ג‪ S  1.5  1 .‬יחידות שטח‪.‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:21‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪bn 1‬‬
‫א‪ .‬כדי להוכיח כי סדרה היא הנדסית יש להראות‪ :‬קבוע ‪‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪ .‬לשם כך נבטא תחילה את‬
‫‪an 1  3‬‬
‫‪ bn 1‬באמצעות ‪ an‬ע"י הצבת ‪  n  1‬בנוסחה הנתונה עבור ‪: bn‬‬
‫‪an 1‬‬
‫‪. bn 1 ‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪3‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪. bn 1 ‬‬
‫‪ an 1 ‬ולכן‪:‬‬
‫מכלל הנסיגה נאמר כי‪:‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪an  5‬‬
‫נצמצם את הביטוי ע"י מכנה משותף במונה ונקבל‪:‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪2an  3an  15‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a 5‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪5a  15‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ . bn 1  n‬כעת יש להראות כי המנה‬
‫‪2an‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪an  5‬‬
‫‪an  5‬‬
‫גודל קבוע שאינו תלוי ב‪. n -‬‬
‫‪5an  15‬‬
‫‪an  5an  15  5  an  3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2an‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נחבר את הביטוי‪ 2.5 :‬‬
‫‪. n 1 ‬‬
‫‪an  3‬‬
‫‪bn‬‬
‫‪2 an  an  3 2  an  3‬‬
‫‪an‬‬
‫‪bn 1‬‬
‫‪bn‬‬
‫היא‬
‫קיבלנו כי המנה היא קבועה ולכן הסדרה הנדסית‪ .‬מנת הסדרה היא‪. q  2.5 :‬‬
‫ב‪ .‬לאחר שגילינו כי הסדרה ‪ bn‬היא הנדסית נוכל לכתוב את נוסחת האיבר הכללי שלה‪.‬‬
‫מנת הסדרה היא‪ q  2.5 :‬ואת האיבר הראשון נמצא ע"י הצבה של‪ n  1 :‬בכלל הנתון‪:‬‬
‫‪a1  3 6  3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.5‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ . b1 ‬נוסחת האיבר הכללי תהיה‪. bn  1.5  2.5n1 :‬‬
‫ג‪ .‬כדי לחשב את הסכום המבוקש נעזר בעובדה שהסדרה ‪ bn‬היא הנדסית‪ .‬יש לחשב את‬
‫סכום ‪ 11‬האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית הנ"ל כאשר מחליפים את הסימנים של כל‬
‫האיברים העומדים במקומות הזוגיים ולכן‪. b1  1.5 , q*  2.5 , n  10 :‬‬
‫נמצא את הסכום‪  4086.74 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.5  2.5  1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2.5  1‬‬
‫‪64‬‬
‫‪.S ‬‬
‫*‬
‫‪10‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ DOG‬אינו ישר זווית ואינו שווה שוקיים‪ .‬ניתן לחשב את שטחו בשתי דרכים‪:‬‬
‫‪ .1‬נבטא את האורכים של שתיים מצלעותיו‪ ,‬נמצא את הזווית שבניהן ונעזר בנוסחה‪:‬‬
‫‪. S  12 ab sin ‬‬
‫‪ .2‬נמצא את השטח של המשולשים '‪ ODD‬ו‪ D'OG-‬ונחסר את שטחיהם‪.‬‬
‫היות ומציאת הזויות שבין כל זוג צלעות במשולש אינה מלאכה פשוטה‪,‬‬
‫נבחר בדרך השנייה‪ .‬ידוע כי‪. DD'  h :‬‬
‫נמצא את אורך הקטע '‪ OD‬בריבוע הבסיס העליון‪.‬‬
‫לפי הנתונים נבחין כי ‪ EF‬הוא קטע אמצעים במשולש '‪.A'B'C‬‬
‫נסמן ב‪ M-‬את פגישת האלכסונים בריבוע ונשים לב כי‪. B'O  MO :‬‬
‫נמצא את האלכסון '‪ B'D‬ונחלק אותו ל‪ 4-‬חלקים‪ .‬הקטע ‪ D'O‬הוא ‪1.75‬‬
‫מהאלכסון והקטע ‪ B'O‬הוא ‪.1.25‬‬
‫נחשב את '‪ B'D‬ע"י משפט פיתגורס‪. B'D'  A'D'2  D'C'2  k 2  k 2  k 2 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫לכן‪k :‬‬
‫‪. D'O  k 2 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪D'O  D'D‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h 3kh‬‬
‫‪‬‬
‫‪k ‬‬
‫‪. SODD' ‬‬
‫המשולש '‪ ODD‬הוא ישר זווית ושטחו הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2 2 4 2‬‬
‫המשולש '‪ OGD‬הוא גם ישר זווית ושטחו הוא‪:‬‬
‫‪D'O  D'G‬‬
‫‪3‬‬
‫‪h  a 3k  h  a ‬‬
‫‪. SOGD' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫שטח המשולש ‪ DOG‬מתקבל ע"י החיסור‪:‬‬
‫‪3kh 3k  h  a  3ka‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫'‪. SDOG  SODD'  SOGD‬‬
‫ב‪ .‬נחבר משוואה לפי הנתון ונקבל‪:‬‬
‫‪a 1‬‬
‫‪ a  h  a  2a  h ‬‬
‫‪‬‬
‫‪h 2‬‬
‫‪ .3‬א‪ 12.96 .2 .5% .1 .‬שנים‪.‬‬
‫‪e2 x‬‬
‫ב‪, m  6 .1 .‬‬
‫‪x2  6‬‬
‫‪3ka 3k  h  a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪. f ( x) ‬‬
‫‪ e6 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Max  2,  4  , Min  3,  .2‬‬
‫‪2e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.4  0,   .3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ . y ' ‬ג‪x  ln 2 .‬‬
‫‪ .4‬א‪ . x  e .‬ב‪ .‬מתקבל‪ 0 :‬‬
‫‪2e‬‬
‫‪x  x  e‬‬
‫‪ .5‬ב‪.i .‬‬
‫‪ 0.5 ,3‬‬
‫‪‬‬
‫‪2  1 .ii‬‬
‫‪ 0.75 ,‬‬
‫‪.y‬‬
‫‪. y  0.746 x  4.172 .iii‬‬
‫‪65‬‬
‫‪.‬‬
‫בחינה ‪:22‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬א‪ q  .‬ב‪ a1  16 .‬ג‪. S  288 .‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬ניצור משולש שבו נמצאת הזווית הנדרשת‪ .‬נוריד גובה ‪ EH‬ונתבונן במשולש ‪.EGH‬‬
‫המשולש הוא ישר זווית כי ‪ EH‬מאונך למישור הבסיס‪.‬‬
‫כדי למצוא את הזווית הנדרשת )‪ (EGH‬יש למצוא יחס בין שתי צלעות בתוך‬
‫משולש זה‪ .‬מהנתון כי ‪ BC‬גדול פי ‪3‬‬
‫מ‪ AB-‬נבחר לסמן‪ AB  x :‬ואז‪. BC  3x :‬‬
‫נבטא את היתר בבסיס ‪ ABC‬ע"י פיתגורס‪:‬‬
‫‪. AC  AB2  BC2  9 x2  x2  x 10‬‬
‫נשים לב כי הנקודות ‪ G‬ו‪ H-‬הן אמצעי המקצועות ‪ AB‬ו‪ ,BC-‬מה שגורר כי ‪ GH‬הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫קטע אמצעים במשולש הבסיס ולכן‪. GH  AC  x 10  x 2.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫עד כה ביטאנו צלע אחת במשולש ‪ GHE‬באמצעות ‪ . x‬את הצלע הנוספת נבטא ע"י‬
‫היעזרות בנתון כי‪ ABB'A' :‬ריבוע‪ .‬לפי הסימון שלנו נקבל כי‪. AB  BB'  x :‬‬
‫הקטע המורד ‪ EH‬שווה בגודלו לגובה המנסרה‪. EH  x :‬‬
‫לאחר שמצאנו קשר בין שתי צלעות ניתן לחשב את הזווית הנדרשת‪:‬‬
‫‪EH‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪tan EGH ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ EGH  32.31‬‬
‫‪GH x 2.5‬‬
‫‪2.5‬‬
‫ב‪ .‬נטיל את ‪ GE‬על מישור הפאה ‪ .AA'B'B‬נשים לב כי היות ובסיס המנסרה הוא משולש‬
‫ישר זווית אז המקצוע '‪ B'C‬מאונך למישור הפאה ‪ AA'B'B‬ולכן גם הקטע ‪ .B'E‬נתבונן‬
‫במשולש ‪ .EB'G‬יש למצוא את זווית ‪ B'GE‬וזאת נבצע ע"י מציאת יחסים בשתי צלעות‬
‫שבו‪ .‬הנקודה ‪ E‬היא אמצע '‪ B'C‬ולכן‪( B'E  1.5x :‬לפי הסימון שלעיל)‪.‬‬
‫את אורך הקטע ‪ B'G‬נמצא ע"י משפט פיתגורס בפאה ‪ AA'B'B‬כאשר‪:‬‬
‫‪. BG  0.5x , BB'  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪. B'G  BG  BB'  0.25x  x  x 1.25 :‬‬
‫‪B'E‬‬
‫‪1.5 x‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נחשב את הזווית‪ B'GE  53.3 :‬‬
‫‪. tan B'GE ‬‬
‫‪B'G x 1.25‬‬
‫‪1.25‬‬
‫ג‪ .‬המשולש '‪ EGA‬הוא משולש כללי‪ .‬כדי למצוא את הזווית המבוקשת נוריד גובה ‪ A'M‬ל‪EG-‬‬
‫ונפצל את החיפוש לשני משולשים‪ .‬נמשיך בעיקרון של ביטוי צלעות במשולש זה ע"י ‪ x‬ונחשב‬
‫את שני חלקי הזווית‪ .‬נשים לב כי‪( GA'M  21 :‬המשולש ‪ A'MG‬ישר זווית)‪.‬‬
‫את הצלע ‪ A'E‬נבטא ממשולש ‪ A'B'E‬שבבסיס העליון באמצעות פיתגורס ונקבל‪:‬‬
‫‪. A'E  A'B'2  B'E2  x2  2.25x2  x 3.25‬‬
‫במישור הפאה ‪ AA'B'B‬מתקיים‪. B'G  A'G  x 1.25 :‬‬
‫נבטא את ‪ A'M‬במשולש שלנו‪. A'M  x 1.25 sin 69  1.04 x :‬‬
‫‪66‬‬
‫נמצא את זווית ‪. cos EA'M  A'M  1.04 x  1.04  EA'M 54.62  :EA'M‬‬
‫‪A'E x 3.25‬‬
‫‪3.25‬‬
‫לכן הזווית המבוקשת היא‪. GA'E  75.6 :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .3‬א‪ .1 .‬ב‪ 3111 .2 .4.1%-‬דבורים‪.‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ . x  0, 1.5 .1 .‬נקודת הקיצון היא‪. Min  1.5, 3 e3  :‬‬
‫‪8 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4 y  0 .2‬שתי נקודות‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪. x  a , x  1  a .i .‬‬
‫ד‪k  e .‬‬
‫ב‪a  2 .‬‬
‫‪ .5‬א‪ y '  xe x .‬ב‪. a  2 .‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. x  1  a .iv.  0,‬‬
‫‪ .iii.  e  a, e  .ii‬‬
‫‪ ln a ‬‬
‫ג‪ .‬סקיצה‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫בחינה ‪:23‬‬
‫‪ .1‬א‪bn1  3bn .‬‬
‫ב‪b5  648 .‬‬
‫ג‪. S  1594320 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬קל לחשב זאת באמצעות משפט פיתגורס‪. AB  AC2  BC2  16t 2  t 2  t 15 :‬‬
‫ב‪ .‬נוריד גובה ‪ SH‬במישור הפאה ‪ SBC‬למקצוע ‪.BC‬‬
‫נסמן את נקודת פגישת האלכסונים במישור הבסיס ב‪ M-‬ונבחין כי ‪MH‬‬
‫‪15‬‬
‫הוא קטע אמצעים במשולש ‪ ABC‬ולכן אורכו הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫כעת ניתן לחשב את הזווית במשולש ‪ MHS‬והיא‪:‬‬
‫‪SM‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 15 ‬‬
‫‪ SHM  27.31‬‬
‫‪. tan SHM ‬‬
‫‪MH t 2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪. MH  t‬‬
‫ג‪ .‬נתבונן במשולש ‪ ASC‬ונחשב את הזווית ‪ .ASC‬מחצית מהאלכסון היא‪. AM  2t :‬‬
‫נחשב את הזווית ‪ ASM‬במשולש ‪:ASM‬‬
‫‪AM 2t‬‬
‫‪. tan ASM ‬‬
‫‪  2  ASM 63.43 ‬‬
‫‪SM t‬‬
‫הזווית המבוקשת היא‪. ASC  2 ASM  126.86 :‬‬
‫ד‪ .‬נקודת פגישת התיכונים מחלקת את ‪ SH‬ביחס של ‪ 1:2‬כך ש‪ . SN  2HN :‬נתבונן במשולש‬
‫‪ SMH‬שמידותיו ידועות מסעיף ב'‪ .‬יש לחשב את זווית ‪.NMH‬‬
‫כדי לבצע זאת נוריד גובה ל‪ MH-‬מהנקודה ‪ N‬והוא ‪.NO‬‬
‫‪NO HO HN 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ידוע לפי משפט תלס כי‪ :‬‬
‫‪SM HM SH 3‬‬
‫‪67‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪1‬‬
‫ולכן‪ NO  t :‬וכן‪:‬‬
‫‪MH   t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נחשב את הזווית במשולש ‪:NOM‬‬
‫‪NMH  14.47‬‬
‫‪ .3‬א‪16.63% .‬‬
‫‪‬‬
‫‪MO ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪NO‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. tan NMH ‬‬
‫‪ 3 15 ‬‬
‫‪MO t 3‬‬
‫‪15‬‬
‫ב‪3 Min 1,1 .2 x  0 .ii x  0 .i.1 .‬עולה‪x  1 :‬‬
‫יורדת‪. 0  x  1 :‬‬
‫‪ .4‬א‪ a  7 .‬ב‪ x  ln 2 .‬ג‪ b  10 .‬ד‪ .‬לא‪.‬‬
‫‪11.74 .5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ S  2  2  4‬יחידות שטח‪.‬‬
‫בחינה ‪:24‬‬
‫‪.1‬‬
‫א‪ .‬יש להראות כי ההפרש ‪ bn1  bn‬הוא גודל קבוע‪.‬‬
‫נבטא את ‪ bn 1‬באמצעות ‪: an‬‬
‫‪7  3an‬‬
‫‪8an  12  21an‬‬
‫‪4  7an 1‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪8a  12  21an 12  13an‬‬
‫‪. bn 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪an 1‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫‪2an  3‬‬
‫נראה כי החיסור קבוע‪:‬‬
‫‪12  13an 4  7an 12  13an  3  4  7an  12  13an  12  21an 8an‬‬
‫‪2‬‬
‫‪bn1  bn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3an‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫קיבלנו גודל קבוע שאינו תלוי ב‪ n -‬ולכן הסדרה ‪ bn‬היא חשבונית והפרשה הוא ‪. d  2‬‬
‫‪3‬‬
‫ב‪ .‬יש לחשב את סכום ‪ 11‬האיברים העומדים במקומות הזוגיים של הסדרה החשבונית ‪. bn‬‬
‫‪4‬‬
‫‪11   1  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪2  2   5 10   267 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2   3 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪. S11 p  ‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬הצורה היא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע‪ .‬כל הקטעים‪ AE , BE , CE :‬ו‪ DE-‬שווים‬
‫והבסיס ‪ ABCD‬הוא ריבוע לפי הנתון‪.‬‬
‫ב‪ .‬נסמן את מקצוע הקובייה ב‪( 2x -‬מומלץ לסמן כך ולא ב‪ x -‬כדי להקטין את‬
‫השימוש בשברים בעת ביטוי צלעות אחרות)‪ .‬נטיל את ‪ AE‬על מישור הפאה‬
‫'‪ .ADD'A‬נשים לב כי הנקודה ‪ G‬היא אמצע '‪ .A'D‬הקטע ‪ EG‬שווה למחצית‬
‫'‪ A'B‬במישור הבסיס העליון (קטע אמצעים)‪ . EG  x :‬נבטא את ‪ AG‬ע"י‬
‫משפט פיתגורס במשולש ‪ AA'G‬שבמישור הפאה ‪.AA'D'D‬‬
‫(נזכיר כי‪ A'G  x :‬ו‪ AA'  2x -‬מהנתון כי מדובר בקובייה)‪.‬‬
‫נקבל‪. AG  AA'2  A'G 2  4 x2  x2  x 5 :‬‬
‫‪68‬‬
‫הזווית המבוקשת היא‪:‬‬
‫‪GE‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ GAE  24.1‬‬
‫‪AG x 5‬‬
‫‪5‬‬
‫ג‪ .‬הנפח המדובר מתקבל ע"י חיסור של נפח הקובייה מנפח הפירמידה‪.‬‬
‫‪. tan GAE ‬‬
‫נפח הקובייה הוא‪ Vcube   2 x   8 x3 :‬ונפח הפירמידה הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪S‬‬
‫‪ H  2x   2x 8 3‬‬
‫‪ ABCD‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. Vpyramid‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫הנפח הנדרש הוא‪. V  Vcube  Vpyramid  8x3  x3  5 x3 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫שטח הפנים של הקובייה הוא‪ . Pcube  6  2 x   24 x 2 :‬נשווה ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . 24 x2  384 ‬לכן הנפח הנדרש הוא‪ 341 :‬סמ"ק ‪. V  5  43 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ x  ‬יורדת‪:‬‬
‫‪ .3‬א‪ a  2 .‬ב‪ .‬עולה‪:‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪ln 2‬‬
‫‪ .4‬א‪. m  6 , k  7 .‬‬
‫‪ x  ‬ג‪ k  1 .‬ד‪.  0, 0  .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ .  0.5 , 6  ,  0.5 ,6  , 1.5 , 6  .‬ג‪ .‬בשתי נקודות‪.‬‬
‫‪ .5‬ב‪. a  2 .‬‬
‫‪69‬‬
‫בחינה ‪:25‬‬
‫‪ .1‬ב‪ S  22a1  693 .‬ג‪. a9  1 .‬‬
‫‪.2‬‬
‫א‪ .‬נתבונן במשולש הבסיס העליון '‪ A'B'C‬ונביע באמצעות ‪ a‬ע"י משפט פיתגורס את אורך‬
‫הגובה ‪ C'F‬והקטע '‪ .MA‬היות וכל הגבהים הם גם תיכונים‪ ,‬נחשב את אורך הגובה ‪.C'F‬‬
‫הנקודה ‪ M‬היא מפגש תיכונים ולכן ‪ C'M‬הוא שני שלישים מ‪ C'F-‬ושווה ל‪.MA'-‬‬
‫אורך ‪ C'F‬הוא‪. C'F  A'C'2 - A'F2  4a 2  a 2  a 3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪. MA'  C'F  a‬‬
‫לכן '‪ MA‬הוא‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫כעת נתבונן במשולש הישר זווית ‪ MA'A‬שבו ‪ AA'  2a‬ונביע את ‪.MA‬‬
‫‪4a 2‬‬
‫‪16 4a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪ 2.3a :‬‬
‫‪. MA  A'A  A'M  4a ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬ניתן לחשב את הזווית המבוקשת ע"י יצירת משולש ‪ MOA‬כאשר ‪O‬‬
‫פגישת תיכונים במשולש ‪ .ABC‬יחד עם זאת‪ ,‬נשים לב כי הזווית‬
‫המבוקשת –‪ MAO‬מתחלפת עם זווית '‪ AMA‬במשולש זה‪.‬‬
‫היות ומידות המשולש הנ"ל ידועות נקצר את השלבים ונחשב אותה שם‪.‬‬
‫'‪AA‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪. tan ‬‬
‫נקבל כי‪ 2 3  3    60 :‬‬
‫‪MA' a 3‬‬
‫ג‪ .‬נשים לב תחילה כי המשולש ‪ MAB‬הוא שווה שוקיים‪ .‬הקטעים ‪ MA‬ו‪ MB-‬שווים‪.‬‬
‫נוריד גובה ‪ MH‬למקצוע הבסיס ‪ AB‬וניצור את המשולש ‪.MOH‬‬
‫הקטע ‪ MO‬שווה באורכו לגובה המנסרה והקטע ‪ OH‬הוא שליש מהגובה למקצוע ‪AB‬‬
‫במשולש ‪ ABC‬ואת אורכו נוכל למצוא על סמך הביטויים שבוצע בסעיף א'‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪. HO  MF  C'F ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫נתבונן במשולש ‪ MOH‬ונחשב את הזווית המבוקשת‪:‬‬
‫‪MO 2a‬‬
‫‪ a  2 3    73.9‬‬
‫‪. tan ‬‬
‫‪HO‬‬
‫‪3‬‬
‫ד‪ .‬כדי לחשב את הזווית הנ"ל נתבונן במשולש ‪ .AMF‬המשולש הוא ישר זווית מכיוון ש‪MF-‬‬
‫מאונך ל‪ .AF-‬הזווית המבוקשת היא זווית ‪ .MAF‬ידוע מהסעיפים הקודמים כי‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪MF‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ MF ‬וכן‪:‬‬
‫‪sin ‬‬
‫‪ 3 ‬‬
‫‪ MA ‬ולכן‪   14.47 :‬‬
‫‪MA 4a 4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪71‬‬
‫ה‪ .‬נחשב תחילה את שטח מעטפת המנסרה‪ .‬היות ומדובר במנסרה שבסיסה הוא משולש‬
‫שווה צלעות נוכל בקלות לחשב את השטח של פאה צדדית אחת והוא‪:‬‬
‫‪ S  2a  2a  4a 2‬ולכן‪ . M  3S  12a 2 :‬שטח הבסיס שווה למחצית ממכפלת צלע‬
‫‪1‬‬
‫בגובה שלה‪. S   2a  a 3  a 2 3 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכן שטח הפנים הוא‪. P  M  2S  12a 2  2a 2 3  a 2 12  2 3  15.46a 2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Min  , 3 243  .3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬ב‪ 6.6%-‬ב‪y   x ln81  7 .1 .‬‬
‫‪ .4‬א‪. x  0.5 .‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‪. k    1.27 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪. Max  0,0  , Min  0.15 , 0.07  , Max  0.84 , 3.9  , Min  , 4  .‬‬
‫‪ .5‬א‪ 1,1 .‬ב‪. a  5 .‬‬
‫‪y‬‬
‫‪S1‬‬
‫ג‪ 5.955 .‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫‪x‬‬