‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬ ‫‪-2-‬‬ ‫השאלות‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫פרק ראשון – אלגברה והסתברות‬ ‫)‪ 40‬נקודות (‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 3 - 1‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות )‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪ .1‬מכונית א יצאה מעיר ‪ A‬ומכונית ב יצאה מעיר ‪ .B‬שתי המכוניות נסעו זו לקראת זו עד‬ ‫שנפגשו בנקודה ‪ ,C‬ושם עצרו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מכונית א יצאה לפני מכונית ב‪ .‬זמן הנסיעה של מכונית א היה גדול פי ‪ 2 4‬מזמן הנסיעה של‬ ‫מכונית ב‪ .‬מכונית א עברה ‪ 150‬ק"מ יותר ממכונית ב‪.‬‬ ‫למחרת המשיכה מכונית א לנסוע מ‪ C -‬עד שהגיעה ל‪ ,B -‬ומכונית ב המשיכה לנסוע מ‪ C -‬עד‬ ‫שהגיעה ל‪.A -‬‬ ‫ביום זה היה זמן הנסיעה של מכונית א שווה לזמן הנסיעה של מכונית ב‪.‬‬ ‫לשתי המכוניות מהירות קבועה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את המרחק מ‪ A -‬ל‪.B -‬‬ ‫ב‪ .‬ביום שלישי יצאו שוב שתי המכוניות זו לקראת זו‪ ,‬מכונית א מעיר ‪ B‬ומכונית ב מעיר ‪.A‬‬ ‫שתי המכוניות יצאו באותו זמן‪ ,‬ונסעו במהירות הקבועה שלהן‪ .‬הן נפגשו כעבור ‪ 6‬שעות‪.‬‬ ‫מצא את המהירות של כל אחת מן המכוניות‪.‬‬ ‫‪ .2‬נתונה סדרה חשבונית ‪.a1 , a2 , a3 … an‬‬ ‫נתון‪ ,an = 310 , a1 = 4 :‬הפרש הסדרה הוא ‪.3‬‬ ‫יצרו סדרה חדשה מכל האיברים של הסדרה הנתונה‪ .‬כל איבר בסדרה החדשה הוא הסכום‬ ‫של שני איברים עוקבים בסדרה הנתונה‪.‬‬ ‫הסדרה החדשה היא‪:‬‬ ‫‪a1 + a2 , a2 + a3 , a3 + a4 , ….‬‬ ‫א‪ .‬מצא את מספר האיברים בסדרה החדשה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח שהסדרה החדשה היא חשבונית‪ ,‬וחשב את סכומה‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בסדרה החדשה מחקו איברים על פי החוקיות הזאת‪ :‬את האיבר השני‪ ,‬האיבר השישי‪,‬‬ ‫האיבר העשירי וכן הלאה‪.‬‬ ‫המקומות של האיברים שנמחקו יוצרים סדרה חשבונית‪2 , 6 , 10 , … :‬‬ ‫כמה איברים נמחקו בסדרה החדשה?‬ ‫המשך בעמוד ‪3‬‬ ‫‪-3-‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬ ‫‪ .3‬ההסתברות של תלמיד כלשהו לעבור מבחן נהיגה היא ‪.(p > 0) p‬‬ ‫תלמיד ניגש למבחן‪ .‬אם הוא לא עובר את המבחן הוא ניגש שוב‪ .‬עד שיצליח לעבור את‬ ‫המבחן‪ .‬לתלמיד יש את אותו סיכוי לעבור את המבחן בכל פעם שהוא נבחן‪.‬‬ ‫ידוע שההסתברות שתלמיד יעבור את המבחן בפעם הראשונה גדולה פי‬ ‫‪27‬‬ ‫‪8‬‬ ‫מההסתברות‬ ‫שיעבור את המבחן רק בפעם הרביעית‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את ‪.p‬‬ ‫ב‪ .‬אם ידוע שתלמיד יעבור את המבחן לאחר ‪ 2‬מבחנים לכל היותר‪ ,‬מהי ההסתברות שיעבור‬ ‫רק בפעם השנייה?‬ ‫ג‪ .‬שני תלמידים ניגשים למבחן‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות ששני התלמידים יחד יזדקקו סך הכול ל‪ 3 -‬מבחנים בדיוק‪ .‬עד ששניהם‬ ‫יעברו את המבחן?‬ ‫פרק שני‬ ‫– גאומטריה וטריגונומטריה במישור )‪ 20‬נקודות(‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.4-5‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪ .4‬שני מעגלים נחתכים בנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫המיתר ‪ AD‬משיק למעגל השמאלי בנקודה ‪.A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫המיתר ‪ CB‬משיק למעגל הימני בנקודה ‪.B‬‬ ‫המשך המיתר ‪ CA‬חותך את המעגל הימני בנקודה ‪,E‬‬ ‫והמשך המיתר ‪ DB‬חותך את המעגל השמאלי בנקודה ‪.F‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪ .‬הוכח‪.∢AED + ∢FCA = 180° :‬‬ ‫ב‪ .‬הוכח‪ :‬המרובע ‪ CEDF‬הוא מקבילית‪.‬‬ ‫ג‪ .‬נתון‪ 4 :‬ס"מ = ‪ 9 , BD‬ס"מ = ‪.AC‬‬ ‫מצא פי כמה גדול שטח ‪ ∆ABC‬משטח ‪.∆BDA‬‬ ‫המשך בעמוד ‪4‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬ ‫‪-4‬‬‫‪ .5‬לפניך משולש ‪.ABC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪120°‬‬ ‫נתון‪AB = 2AC :‬‬ ‫‪∢BAC = 120°‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ h‬הוא הגובה לצלע ‪.BC‬‬ ‫א‪ .‬הבע באמצעות ‪ h‬את שטח המשולש ‪.ABC‬‬ ‫המשיכו את ‪ BC‬עד לנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪ .‬רדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪ ABC‬שווה‬ ‫לרדיוס המעגל החוסם את המשולש ‪.ADC‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את ‪.∢ADC‬‬ ‫ג‪ .‬נתון גם‪ .AD = h + 6 :‬חשב גם את ‪.h‬‬ ‫פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים‪,‬‬ ‫של פונקציות שורש‪ ,‬של פונקציות רציונאליות‬ ‫ושל פונקציות טריגונומטריות ) ‪ 40‬נקודות (‬ ‫ענה על שתיים מהשאלות ‪( 8 - 6‬לכל שאלה ‪ 20 −‬נקודות )‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .6‬נתונה הפונקציה ‪ f(x) = sinx − asinx‬בתחום ‪ a ,−π ≤ x < π‬הוא פרמטר חיובי‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬רשום את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לציר ה‪.x -‬‬ ‫ג‪ .‬הוכח שהפונקציה היא אי‪-‬זוגית‪.‬‬ ‫ד‪ .‬מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ה‪ .‬סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫ו‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ g(x) = sinx‬בתחום ‪.0 < x < π‬‬ ‫היעזר בסעיפים הקודמים והראה שהפונקציה )‪ g(x‬היא אי‪-‬שלילית‪.‬‬ ‫המשך בעמוד ‪5‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬דצמבר ‪ ,2014‬תשע"ה‪ ,‬מועד ד‪,‬‬ ‫מס' ‪+316 ,035806‬נספח‬ ‫‪-5-‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪ .7‬נתונה גזרה של רבע עיגול שמרכזו ‪ O‬ורדיוסו ‪.R‬‬ ‫בונים מלבן ‪ ABCD‬כך שהמעגל משיק לצלע ‪DC‬‬ ‫בנקודת האמצע שלה‪ ,‬והקדקודים ‪ A‬ו‪ B -‬נמצאים‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫על הרדיוסים‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫מבין כל האלכסונים של המלבנים ‪ ABCD‬שנוצרים באופן זה‪,‬‬ ‫‪C‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ R‬את אורך האלכסון הקצר ביותר‪.‬‬ ‫‪ .8‬נתונה הפונקציה‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+a‬‬ ‫‪,f(x) = √x2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ a‬הוא פרמטר חיובי‪.‬‬ ‫העבירו משיק לגרף הפונקציה‬ ‫בנקודה ‪( x = 0‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫המשיק עובר בנקודה )‪.(3,1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫א‪ .‬מצא את ‪.a‬‬ ‫ב‪ .‬מהו תחום ההגדרה של )‪? f(x‬‬ ‫ג‪ .‬חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק‪ ,‬על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישר ‪.x = 4‬‬ ‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ g(x‬מקיימת לכל ‪.g ′ (0) = 5 , g ′′ (x) = f(x) :x‬‬ ‫האם לפונקציה )‪ g(x‬יש נקודות קיצון ? נמק‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬