1. No category

Lena Alfredsson
Kajsa Bråting
Patrik Erixon
Hans Heikne
Matematik
5000
Kurs 5 Blå lärobok
Natur & Kultur
M5000 Kurs 5 Bla.indb 1
2013-07-11 15:34
NATUR & KULTUR
Box 27 323, 102 54 Stockholm
Kundtjänst: Tel 08-453 85 00, order@nok.se
Redaktion: Tel 08-453 86 00, info@nok.se
www.nok.se
Order och distribution: Förlagssystem,
Box 30 195, 104 25 Stockholm
Tel 08-657 95 00, order@forlagssystem.se
www.fsbutiken.se
Projektledare: Irene Bonde
Textredaktör: Mats Karlsson/Devella HB
Bildredaktör: Erica Högsborn
Grafisk form och omslag: Graffoto AB och Åsa Lundbom
Layout: Måns Björkman/Typ & Design och
Mats Karlsson/Devella HB
Sättning: Mats Karlsson/Devella HB
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering är förbjuden,
utöver lärares begränsade rätt att kopiera för undervisningsbruk
enligt avtal med Bonus Presskopia och den mycket begränsade rätten
till kopiering för privat bruk.
Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän
åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli
skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
© 2013 Lena Alfredsson, Jonas Björk, Lars-Eric Björk,
Hans Brolin, Kajsa Bråting, Patrik Erixon, Hans Heikne,
Anna Palbom och Natur & Kultur, Stockholm
Tryckt i Lettland 2013
Första utgåvans första tryckning
ISBN 978-91-27-42633-7
M5000 Kurs 5 Bla.indb 2
2013-07-11 15:34
Välkommen till Matematik 5000
Matematik 5000 är en läroboksserie för gymnasieskolan och vuxenutbildningen. Den är inriktad
på färdigheter, förståelse, kommunikation och
problemlösning och erbjuder stora möjligheter till
en varierad undervisning.
Varje kapitel avslutas med:
Matematik 5000 ger eleverna goda förutsättningar att utveckla de förmågor och nå de kunskapsmål som beskrivs i den nya ämnesplanen.
• K
an du det här? och Diagnos som tillsammans
Denna bok, Kurs 5 Blå lärobok, riktar sig främst
till elever som studerar på teknikprogrammet eller
naturvetenskapsprogrammet.
Hur är boken upplagd?
• T
eoriavsnitten utgår ofta från konkreta exempel
som framställs och förklaras på ett sätt som
ger eleverna möjlighet att förstå och upptäcka
matematiken.
Teorin avslutas med flera lösta exempel som
belyser det viktigaste.
Därefter kommer övningsuppgifter i tre nivåer,
a, b och c, i stigande svårighetsgrad.
• Aktiviteterna ger stora möjligheter att variera
undervisningen. De finns i fyra olika kategorier:
Upptäck, Undersök, Diskutera och Laborera.
De flesta är avsedda för arbete i grupp. I varje
kapitel finns dessutom en kort Inledande aktivitet som introducerar delar av kapitlets innehåll.
• I Teman finns teori och uppgifter anpassade
till naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet och i Historik, med tillhörande
uppgifter, sätts matematiken in i ett historiskt
sammanhang.
• På många sidor blandas uppgifter av standard-
karaktär, uppgifter anpassade främst till teknikoch naturvetenskapsprogrammet och uppgifter
som kräver matematisk problemlösning.
• E
n Aktivitet som uppmuntrar till kommunika-
tion: Sant eller falskt?
• E
n kort Sammanfattning av kapitlet.
ger eleverna en god möjlighet till egen kunskapskontroll. I Kan du det här? kan eleverna i par
eller smågrupper värdera sina kunskaper om
matematiska begrepp och strategier och
i Diagnos kan de enskilt testa sina grundläggande kunskaper.
• O
m en elev behöver repetera delar av kapitlet
finns Repetitionsuppgifter i slutet av boken.
Repetitionsuppgifterna är texten till de lösta
uppgifterna i bokens teoriavsnitt.
• T
vå olika varianter av Blandade övningar av-
slutar varje kapitel. Den första innehåller endast
uppgifter från det aktuella kapitlet. Den andra
innehåller även uppgifter från tidigare kapitel.
Blandade övningar består av tre delar: Utan
räknare, Med räknare och Utredande uppgifter.
I Svarsdelen finns ledtrådar och lösningar till
många uppgifter.
Till läroboken finns en lärarhandledning med
kommentarer, ytterligare aktiviteter och övningsuppgifter samt en provbank.
Med Matematik 5000 inbjuder vi lärare och elever till en variation av arbetssätt och arbetsformer
och erbjuder många olika möjligheter för eleverna
att utveckla sina matematiska förmågor.
Mer information om läromedlet och digitalt material
finns på www.nok.se/matematik5000
Lycka till med matematiken!
önskar Hans, Kajsa, Lena och Patrik
FÖRORD
M5000 Kurs 5 Bla.indb 3
3
2013-07-11 15:34
Innehåll
1. Diskret matematik I
2. Diskret matematik II
6
Centralt innehåll 66
Inledande aktivitet: Hittar du mönstret?
Centralt innehåll 6
Inledande aktivitet: Hur många? 7
Lådprincipen 8
Multiplikations- och additionsprincipen 11
Permutationer 15
Kombinationer 19
Kommer du ihåg sannolikhetslära? 23
Kombinatorik och sannolikhetslära 26
Tema: Poker och Yatzy 28
Binomialsatsen 30
Historik: Pascals triangel 32
1.2 Mängdlära 35
45
1.3 Grafteori 46
Inledning 46
Historik: Fyrfärgsproblemet 49
Några klassiska problem 50
Träd 54
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 57
Sammanfattning 1 58
Kan du det här? 1 60
Diagnos 1 61
Blandade övningar kapitel 1 62
4
M5000 Kurs 5 Bla.indb 4
67
2.1 Talteori 68
1.1 Kombinatorik 8
Mängder – Grundbegrepp 35
Mängdoperatorer 39
Venndiagram 41
Aktivitet: Undersök –
Kan du rita utan att lyfta pennan?
66
Delbarhet och primtal 68
Gemensamma och icke gemensamma faktorer 71
Aktivitet: Upptäck – Räkna med rester 74
Kongruens och moduloräkning 75
Historik: Diofantiska ekvationer och Fermats stora sats
Talsystem med olika baser 80
Tema: RSA-kryptering 82
79
2.2 Talföljder 84
Inledning 84
Aktivitet: Undersök – Sierpińskis triangel 87
Rekursionsformler 88
Aritmetiska talföljder 90
Geometriska talföljder 92
Aktivitet: Undersök – Hur högt blir trädet? 95
Ekonomiska, natur- och samhällsvetenskapliga
tillämpningar 96
Aktivitet: Laborera – Hur högt studsar bollen? 101
Historik: Fibonaccis talföljd 102
2.3 Induktionsbevis 103
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 2 109
Kan du det här? 2 110
Diagnos 2 111
Blandade övningar kapitel 2 112
Blandade övningar kapitel 1–2 114
108
INNEHÅLL
2013-07-11 15:34
3. Derivator och integraler
118
4. Differentialekvationer
Centralt innehåll 118
Inledande aktivitet: Finn grafen 119
Centralt innehåll 174
Inledande aktivitet: Bestäm en funktion
3.1 Derivator 120
Grundläggande begrepp 176
Historik: Newton 179
Differentialekvationer och primitiva funktioner 180
Verifiering av en lösning 182
4.2 Differentialekvationer av första ordningen 184
Differentialekvationen y ¢ + ay = 0 184
Den inhomogena ekvationen y ¢ + ay = f ( x) 188
3.2 Extremvärden 137
Tillämpningar och problemlösning 137
Historik: Den första läroboken 144
3.3 Integraler 145
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt? 162
Sammanfattning 3 163
Kan du det här? 3 164
Diagnos 3 165
Blandade övningar kapitel 3 166
Blandade övningar kapitel 1–3 170
145
Aktivitet: Upptäck – Riktningsfält 191
Riktningsfält 192
Historik: Euler och hans stegmetod 196
4.3 Matematiska modeller med differentialekvationer 198
Enkla förändringsmodeller 198
Blandningsproblem 200
Avsvalning 202
Fritt fall med luftmotstånd 203
Tillväxt med begränsningar 204
Lösning med digitala verktyg 206
Aktivitet: Diskutera – Sant eller falskt?
Sammanfattning 4 211
Kan du det här? 4 212
Diagnos 4 213
Blandade övningar kapitel 4 214
Blandade övningar kapitel 1–4 218
5. Omfångsrika problemsituationer
Repetitionsuppgifter
Register
M5000 Kurs 5 Bla.indb 5
210
224
237
Svar, ledtrådar och lösningar
INNEHÅLL
175
4.1 Inledning 176
Repetition 120
Några bevis 126
Tangenter och linjär approximation 128
Förändringshastigheter och derivator 130
Aktivitet: Laborera – Ballongen 136
Primitiva funktioner, integraler och areaberäkningar
Geometriska sannolikheter 150
Partiell integration 151
Volymberäkning med skivmetoden 154
Historik: Kepler och vintunnornas geometri 157
Volymberäkning med cylindriska skal 158
Generaliserade integraler 160
174
242
283
5
2013-07-11 15:34
1
DISKRET MATEMATIK I
Centralt innehåll
✱ Begreppen permutation och kombination.
✱ Metoder för beräkningar av antalet
kombinationer och permutationer.
✱ Begreppet mängd, operationer på
mängder, mängdlärans notationer
och Venndiagram.
✱ Begreppet graf, olika typer av grafer
och dess egenskaper samt några
kända grafteoretiska problem.
✱ Strategier för matematisk problemlösning.
✱ Matematiska problem med anknytning till
matematikens kulturhistoria.
I kapitel 3 ska vi arbeta med area, omkrets och
volym, skala och likformighet samt trigonometri.
M5000 Kurs 5 Bla.indb 6
2013-07-11 15:34
894789475849
89478947584
112
777
1
482398678567
7547
55
238876744
15343274
Inledande aktivitet
HUR MÅNGA?
Diskret matematik är en gren av matematiken som sysslar med objekt som är åtskilda
från varandra och som går att räkna upp.
1 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas
av sifforna 1,2 och 3 om varje siffra
bara får förekomma en gång?
Skriv upp alla talen.
b) Hur många tvåsiffriga tal kan bildas
av siffrorna 4 och 7 om varje siffra får
förekomma flera gånger?
Skriv upp alla talen.
c) Du ska bilda en summa av ett av de
tresiffriga och ett av de tvåsiffriga
talen i uppgift a) och b).
Hur många olika summor kan du få?
M5000 Kurs 5 Bla.indb 7
2 a) Hur många tresiffriga tal kan bildas
av sifforna 1, 2 och 3 om varje siffra
får förekomma flera gånger?
b) Hur många tresiffriga tal kan bildas
av sifforna 8, 9 och 0 om varje siffra
får förekomma flera gånger?
3 a) Hur många fyrsiffriga tal finns det?
b) Hur många fyrsiffriga tal finns det
som är delbara med 11?
2013-07-11 15:34
1.1 Kombinatorik
Lådprincipen
kombinatorik
Kombinatorik är den gren av matematiken som handlar om hur vi kan
välja ut, ordna och kombinera olika föremål.
Frågorna ”Hur många…” och ”På hur många sätt…” är vanliga.
Vi visar några generella verktyg som kan användas för att lösa
kombinatoriska problem.
Exempel
lådprincipen
Om en brevbärare ska lägga 6 brev i 5 brevlådor, så måste åtminstone en
brevlåda innehålla två eller flera brev. Detta är ett exempel på lådprincipen.
Om brevbäraren istället har 16 brev att lägga i de 5 lådorna så kommer
åtminstone en brevlåda att innehålla 4 eller flera brev.
Motivering:
16 = 5 ∙ 3 + 1 (3 brev i varje låda och ytterligare 1 brev)
Lådprincipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone
en låda innehålla två eller fler av föremålen.
Om n ∙ k + 1 föremål ska placeras i n lådor, så måste åtminstone
en låda innehålla k + 1 eller fler av föremålen.
I detta kapitel betecknar n och k positiva heltal.
Det är förvånande att denna enkla princip kan användas för att lösa så
många olika problem. Som problemlösare ska du försöka identifiera vad
som är ”låda” respektive ”föremål”. Tyvärr är detta inte alltid så lätt!
8
M5000 Kurs 5 Bla.indb 8
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:34
1101
Visa att i en grupp på 13 personer har minst två personer
födelsedag i samma månad.
Lådor:
Årets 12 månader
Föremål: De 13 födelsedagarna
Placera de 13 födelsedagarna i de 12 månaderna.
Enligt lådprincipen innehåller då åtminstone en månad
två eller flera födelsedagar.
1102
Visa att om fem punkter placeras i en liksidig triangel med
sidan 6 cm, så finns det minst två punkter vars avstånd
är högst 3 cm.
Triangeln delas i fyra kongruenta liksidiga deltrianglar
med sidan 3 cm.
Lådor:
De fyra deltrianglarna (n = 4)
Föremål: De fem punkterna (n + 1 = 5)
Placera de fem punkterna i de
fyra deltrianglarna.
Enligt lådprincipen innehåller
då minst en triangel två eller fler
punkter. Avståndet mellan två
sådana punkter är högst 3 cm.
1103
T ex
T ex
6 cm
6 cm
Storstockholm har 1 510 000 invånare. Vi antar att en människa
har färre än 500 000 hårstrån på huvudet. Visa att åtminstone
4 av dessa invånare har exakt samma antal hårstrån.
Lådor:
500 000 st, dvs 0, 1, 2, . . ., 499 999 hårstrån
Föremål: 1 510 000 stockholmare
Eftersom 1 510 000 > 500 000 ∙ 3 + 1 så säger lådprincipen
att åtminstone en låda innehåller minst 3 + 1 föremål. Det
innebär att minst 4 stockholmare har samma antal hårstrån
på huvudet.
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 9
9
2013-07-11 15:34
1104 I en låda ligger enfärgade, osorterade
strumpor i färgerna svart, vit, blå och grå.
Hur många strumpor måste man ta ur
lådan för att vara säker på att få ett par
av samma färg?
1105 Visa att det i en klass på 32 elever finns
åtminstone två som har födelsedag på
samma datum i någon månad.
1106 Visa att om fem punkter placeras i en
kvadrat med sidan 2 cm, så finns det
två punkter vars avstånd är högst √2 cm.
1107 Till en nordisk skolkonferens kom det
sammanlagt 31 elever från Sverige, Norge,
Danmark, Finland och Island.
a) Vilket tal är n (antalet ”lådor”)?
b) Visa att något land representeras av
minst 7 elever.
1108 EU-parlamentet består av 754 personer från
27 olika stater.
Visa att minst 28 personer kommer från
samma stat.
1111 En låda innehåller 50 tröjor i fyra olika
färger.
Förklara varför det är
a) minst 13 tröjor av samma färg
b) minst 14 tröjor av samma färg om man
vet att det finns exakt 8 röda tröjor.
1112 År 2010 fanns 7,2 miljoner invånare i
Sverige, som var 20 år eller äldre.
Av dessa hade 47 % en månadsinkomst
före skatt som var mindre än 20 000 kr.
Visa att det år 2010 fanns åtminstone
160 svenskar som hade exakt på kronan
samma månadsinkomst.
1113 Enligt SCB hade Sverige 9 551 781 invånare
den 30 november 2012. Det finns en dag på
året (även skottår)då åtminstone x svenska
invånare har födelsedag.
Bestäm x.
1114 Visa att om 10 punkter placeras i en liksidig
triangel med sidan 6 cm, så finns det två
punkter vars avstånd är högst 2 cm.
1115 I ett rum finns det n gifta par.
1109
Hur många av dessa 2n personer måste
väljas ut för att man ska vara säker på att
få minst ett gift par? Motivera.
I en skål ligger 8 röda och 5 blå kulor.
Hur många kulor måste du slumpvis
ta upp för att säkert få två av
a) samma färg
b) olika färg
c) varje färg?
1110 En musiker övar 110 timmar under en
period på 12 dagar.
Visa att hon övar sammanlagt åtminstone
19 timmar under två på varandra följande
dagar. (Hon övar i hela timmar.)
10
M5000 Kurs 5 Bla.indb 10
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:34
Multiplikations- och additionsprincipen
Exempel 1
När Alma ska träna har hon
följande kläder att välja på:
◗
linne, kortärmad tröja eller
långärmad tröja
◗
korta byxor, knälånga byxor
eller långa byxor
◗
löparskor eller inomhusskor.
Vi visar med ett träddiagram på hur många olika sätt hon kan klä sig.
kort
linne
korta
knä
långa
korta
knä
Tröja
lång
långa
korta
knä
långa
Byxor
Skor
löp inom
löp inom löp inom
löp inom
löp
inom löp inom
löp inom
löp inom löp inom
Diagrammet visar att Alma kan klä sig på 18 olika sätt. Utan träddiagram
kan vi tänka att hon har tre val att göra: 3 olika tröjor, 3 olika byxor och
2 olika skor. Detta ger beräkningen 3 ∙ 3 ∙ 2 = 18.
multiplikationsprincipen
Multiplikationsprincipen
Den regel inom kombinatoriken som ger det totala antalet möjliga
kombinationer när flera val görs oberoende av varandra kallas
multiplikationsprincipen.
Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra val kan göras
på q sätt, så kan de båda valen utförda efter varandra göras på
p ∙ q sätt.
En förutsättning för detta är att det första valet inte påverkar
det andra valet.
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 11
11
2013-07-11 15:34
MENY
Förrätt:
Exempel 2
På en restaurang kan man välja förrätt
och huvudrätt eller huvudrätt och
efterrätt för 200 kr.
Erik undrar på hur många sätt man
kan välja två rätter.
Soppa
Sallad
Huvudrätt: Fis
k
Kött
Vegetariskt
Efterrätt: G
lass
Tårta
Paj
Välj förrätt oc
h huvudrätt
eller huvudrät
t och efterrätt
för 200 kr
Multiplikationsprincipen ger att:
Förrätt + Huvudrätt kan väljas på 2 ∙ 3 = 6 olika sätt.
Huvudrätt + Efterrätt kan väljas på 3 ∙ 3 = 9 olika sätt.
Sammanlagt finns det alltså 6 + 9 = 15 olika sätt att välja 2 rätter
på restaurangen.
Allmänt gäller:
Additionsprincipen
Om man ska välja 1 föremål från en mängd med p olika föremål
eller från en mängd med q olika föremål, så kan detta ske på p + q
olika sätt.
Obs! En förutsättning är att mängderna inte har något föremål
gemensamt.
1116
När William ska köpa en surfplatta står han inför tre val trots att
han har bestäm vilket märke kan ska köpa.
Det finns tre olika skärmstorlekar och liten eller stor hårddisk.
Båda hårddiskarna finns till alla skärmar och surfplattorna finns i
färgerna svart, rött, grönt, blått eller vitt.
Hur många olika surfplattor har William att välja på?
Han står inför tre valsituationer där antalet valmöjligheter är
3, 2 respektive 5. Inget val påverkar det andra.
Antalet varianter av surfplattor är 3 ∙ 2 ∙ 5 = 30.
12
M5000 Kurs 5 Bla.indb 12
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1117
Conrad ska välja en karamell ur vardera
skålen.
a) På hur många sätt kan detta ske?
b) På hur många sätt kan detta ske
om han vill ha minst en röd karamell?
a) Multiplikationsprincipen ger 4 ∙ 5 = 20 sätt.
b) Den runda röda kan kombineras med de 5 fyrkantiga
karamellerna, vilket ger 5 sätt.
Den fyrkantiga röda kan kombineras med de 4 runda
karamellerna, vilket ger 4 sätt.
Här måste vi minska med 1 sätt eftersom ”två röda” ingår i
båda fallen ovan.
Additionsprincipen ger 5 + 4 – 1 = 8 sätt.
1118 I en klass går det 11 pojkar och 15 flickor.
På hur många sätt kan man välja
a) en elevrepresentant
b) två elevrepresentanter, en pojke och
en flicka?
1121 Hur många fyrsiffriga pinkoder finns det?
1122 Lubna ska låna ljudböcker på biblioteket.
Hon väljer mellan fem deckare, tre självbiografier och fyra fantasyböcker.
På hur många sätt kan hon välja
1119 Lukas som ska köpa en cykel ställs inför
flera val.
◗ Herr eller damcykel?
◗ Vilket av fem märken?
◗ Mountainbike, streetcykel eller racer?
◗ 3, 5, 7, 18 eller 21 växlar?
◗ Pakethållare eller inte?
◗ Vilken av fyra färger?
Lukas leker med tanken på att alla varianter
kan kombineras med varandra.
Hur många cyklar har han då att välja på?
1120 När man spelar på V75 ska man välja vilken
häst som vinner i sju olika lopp. Vid ett
tillfälle startade 9, 10, 9, 9, 11, 10 respektive
10 hästar i de olika loppen.
a) en bok
b) tre böcker med en i varje genre
c) två böcker i olika genrer?
1123 Sex personer är med i utlottningen av två
lika stora vinster. Det är herr och fru Alm,
herr och fru Olsson samt herr och fru Raciz.
På hur många sätt kan de två vinsterna
fördelas om åtminstone en av personerna
i familjen Alm vinner?
1124 Hur många olika svenska bilregistreringsskyltar för bilar kan man göra enligt
modellen ”först 3 bokstäver och sedan
3 siffror”?
Bokstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö används inte.
På hur många olika sätt kan man skriva en
V75-rad till den spelomgången?
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 13
13
2013-07-11 15:35
1125 En kokbok innehåller 50 förrätter,
100 huvudrätter och 50 efterrätter.
På hur många sätt kan man ur boken
komponera en två- eller trerättersmiddag
som innehåller en huvudrätt?
1126 En myra kryper kortaste vägen från A till B
längs kubens kantlinjer.
A
B
1130 I sin garderob har Kim
Hur många vägar kan myran krypa?
1127 I en av två parallellklasser går 17 killar och
9 tjejer. I den andra klassen går 13 killar och
15 tjejer. En elev från vardera klassen ska
utses till elevrepresentanter.
På hur många olika sätt kan detta ske om
a) båda representanterna ska vara killar
b) en kille och en tjej ska utses
c) åtminstone en tjej ska utses?
1128 Evy har gjort en tipspromenad med
16 frågor som ska besvaras med
1, X eller 2.
Hon påstår att
a) det finns fler än 16 miljoner olika
möjligheter att skriva en sådan tipsrad.
Stämmer det?
b) det bara finns 17 tipsrader med minst
15 rätt. Stämmer det?
Motivera dina svar.
1129 Ett binärt tal skrivs med enbart nollor
och ettor. T ex 5310 = 110101två
Hur många binära tal med sex eller färre
siffror finns det?
14
M5000 Kurs 5 Bla.indb 14
◗ 1 röd, 1 blå, 1 vit och 1 grön skjorta
◗ 2 par blå jeans, ett par grå finbyxor och
ett par chinos
◗ 1 par stumpor vardera av färgerna röd,
blå, svart och vit
◗ 1 par boots, 1 par sneakers och ett par
svarta lackskor.
På hur många sätt kan han klä sig, om
a) alla skjortor, byxor, strumpor och skor
kan användas tillsammans
b) bootsen bara kan användas till jeans
eller chinos
c) han bara kan ha svarta strumpor till
lackskorna och alltid vit skjorta till
finbyxorna?
På fredag ska Kim på födelsedagsfest till sin
faster som fyller 34 år.
d) Vad tycker du han ska ha på sig?
1131 Visa att ett val bland p föremål följt av
ett val bland q föremål alltid leder till
fler valmöjligheter, än ett val bland
p + q föremål, förutsatt att p ≥ 2 och q > 2.
1132 Hur många binära tal mindre än 256 börjar
och/eller slutar med två ettor?
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
Permutationer
Exempel 1
Johannes har en spellista som innehåller 10 favoritlåtar. Om han trycker
”shuffle” (blandning) spelas varje låt en gång i slumpartad ordning.
permutation
Varje sådant ordnat urval utan upprepning kallas en permutation.
Varje låt på listan spelas endast en gång.
På hur många olika sätt kan listans låtar spelas?
När den första låten ska väljas finns det 10 valmöjligheter. Den andra låten
kan sedan väljas på 9 sätt och den tredje på 8 sätt osv.
Antalet möjliga sätt blir då enligt multiplikationsprincipen
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3 628 800
Antalet permutationer av 10 föremål (element) kan skrivas 10!
10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
n -fakultet
Produkten av alla heltal från 1 till n kallas n-fakultet och betecknas n!
Allmänt gäller:
Antalet permutationer
av n element
Exempel 2
Antalet permutationer av n element är
n ! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
där n är ett positivt heltal.
Om endast 3 låtar ska väljas från listan med 10 låtar kan detta göras på
10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 olika sätt.
Antalet permutationer (ordnade urval) av 3 låtar bland 10 låtar kan
skrivas
10!
10!
=
P(10, 3) = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7! =
7!
(10 ‒ 3)!
7!
Vi förlänger med 7!
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 15
15
2013-07-11 15:35
Allmänt gäller:
Antalet permutationer
av k element bland n
Antalet permutationer av k element bland n givna element är
n!
P ( n, k ) = n ∙ (n – 1) ∙ … ∙ (n – k + 1) =
(n − k)!
Elementen väljs endast en gång och med hänsyn till ordningen.
Två specialfall:
Om vi väljer n element av n får vi
P(n, n) = n! = n! = n! om vi definierar 0! = 1
(n ‒ n)! 0!
Om vi väljer 0 element av n får vi
P(n, 0) = n! = 1 med tolkningen: ”noll element kan väljas på ett sätt”.
n!
1133
A
B
C
Julia ska sätta upp förstoringar av tre fotografier i sitt rum. De ska hänga på rad.
a) Utgå från det tre fotona A, B och C och gör en lista över de olika permutationerna.
b) Hur många permutationer finns det?
c) Julia lägger till fem foton och har nu åtta att välja på. På hur många sätt kan då
tre foton hängas upp?
a) A B C
BAC
CBA
ACB
BCA
CAB
b) Antalet permutationer av 3 element är
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Svar: Det finns 6 permutationer.
c) Antalet permutationer av 3 element bland 8 är
P (8, 3) = 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336 eller P (8, 3) = 8! = 8! = 336
(8 ‒ 3)! 5!
Svar: På 336 olika sätt.
16
M5000 Kurs 5 Bla.indb 16
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1134
Hur många olika ”ord” kan man bilda av bokstäverna i ordet
a) KEMI
b) MATTE
a) Fyra bokstäver kan ordnas på 4! = 24 olika sätt.
(De flesta orden saknar dock betydelse.)
b) Fem bokstäver kan ordnas på 5! = 120 olika sätt.
Eftersom det finns två T i ordet MATTE kommer flera
av de 120 orden att vara lika.
Två bokstäver kan ordnas på 2! = 2 sätt så antalet olika
ord ges av
5! = 120 = 60
2!
2
Svar: a) 24 ord
1135
b) 60 ord
Tolka och beräkna
a) P (6, 6)
b) P (8, 5)
c) P (8, 1)
d) P (8, 0)
a) P (6, 6) är antalet permutationer (ordnade urval) av 6 element.
P (6, 6) = 6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720
b) P (8, 5) är antalet permutationer när man väljer 5 element av 8.
P (8, 5) = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6 720
eller
P (8, 5) =
8! = 8! = 6 720
(8 – 5)!
3!
c) P (8, 1) är antalet sätt att välja 1 element bland 8.
P (8, 1) = 8
d) P (8, 0) är ”antalet sätt att välja 0 element bland 8”.
P (8, 0) = 1
På många räknare finns verktyg för beräkning av n! och P (n, k).
T ex 9 nPr 4 ger att P (9, 4) = 126
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 17
17
2013-07-11 15:35
1136 Sju personer ska skriva sitt namn på en lista.
På hur många sätt kan listan se ut om man
tar hänsyn till namnens inbördes ordning?
1144 a) Hur många olika ”ord” kan man bilda av
bokstäverna i ordet BANAN?
b) Hur många av orden i uppgift a) börjar
med AN?
1137 Beräkna utan räknare
a) 4!
b)
c) 2! ∙ 3!
11!
(11 ‒ 2)!
d)
100!
(100 ‒ 1)!
1138 I styrelsen till en idrottsförening ska man
välja ordförande, sekreterare och kassör.
På hur många sätt kan dessa väljas om
styrelsen består av
a) 6 personer
1145 Tolv damer och tolv herrar kommer till en
danskurs.
a) Först hälsar alla på varandra genom att
ta i hand. Hur många handskakningar
innebär detta?
b) Sedan bildas danspar av en dam och
en herre. Hur många olika danspar kan
bildas?
1146 a) Bestäm värdet på k utan räknare då
5 ∙ 9! + 5 ∙ 8! = k ∙ 8!
b) 12 personer?
1139 Beräkna och tolka
a) P (9, 3)
c) P (15, 1)
b) P (4 ,4)
d) P (100, 0)
1140 En vanlig kortlek innehåller 52 olika kort.
På hur många sätt kan man dra fem kort om
man tar hänsyn till ordningen och
a) lägger tillbaka kortet efter varje dragning
b) inte lägger tillbaka korten?
1141 Hur många tresiffriga tal
a) finns det
b) med endast jämna siffror finns det
c) med endast udda siffror finns det,
om varje siffra endast får förekomma
en gång?
1142 a) Teckna och beräkna antalet
permutationer av tre element bland fem.
b) Visa att a ∙ n! + a(n + 1)! kan skrivas
a ∙ n!(n + 2).
1147 I ett klassrum med 30 bänkar och 30 elever
säger läraren:
”Vi prövar en ny placering varje dag.”
Hur många läsår dröjer det innan alla
tänkbara placeringar är prövade?
(Vi antar att ett läsår har 200 dagar.)
1148 Ett spelbolag har ett spel, där det gäller att
bland åtta deltagare i en tävling tippa de n
första i rätt ordning.
Hur stort måste n minsta vara, om antalet
olika tipsrader ska bli mer än 1 000?
1149 Visa att P (n, n) = P (n, n – 1) genom att
a) förenkla båda uttrycken
b) använda multiplikationsprincipen.
b) Förklara vad du beräknat i a).
1143 Hur många fyrsiffriga koder finns det med
a) siffrorna 0, 6, 8, 9
b) olika siffror
c) siffrorna 3, 5, 5, 9
18
M5000 Kurs 5 Bla.indb 18
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
Kombinationer
Exempel 1
Vi återvänder till exemplet med Julias fotografier (se uppgift 1133).
Den här gången ska hon välja ut tre fotografier av totalt fyra. Vi skriver
upp permutationerna av tre av fotografierna A, B, C och D:
ABC
ABD
ACD
BCD
ACB
ADB
ADC
BDC
BAC
BAD
CAD
CBD
BCA
BDA
CDA
CDB
CAB
DAB
DAC
DBC
CBA
DBA
DCA
DCB
I den första kolumnen finns alla permutationer av A, B och C, i den andra
alla permutationer av A, B och D, i den tredje alla permutationer av A, C
och D och i den sista alla permutationer av B, C och D.
Men nu är vi inte längre intresserade av i vilken ordning fotografierna ska
hänga på väggen. Vi är bara intresserade av vilka tre fotografier Julia väljer
ut. Varje kolumn motsvarar då en av Julias valmöljigheter.
I varje kolumn finns 3! = 6 permutationer av de tre fotografierna
överst i kolumnen. Antalet val får vi om vi delar det totala antalet
permutationer (24) med 6.
Antal permutationer av 3 element bland 4 P(4, 3)
=
=
Antal sätt att ordna 3 element
3!
=
kombination
4!
(4 – 3)!
3!
=
1∙2∙3∙4
4!
=4
=
1∙2∙3∙1
3!(4 – 3)!
Varje urval, utan hänsyn till ordningen, kallas en kombination.
()
Antalet kombinationer av 3 element av 4 betecknas C (4, 3) eller 4
3
som läses ” 4 över 3”.
Allmänt gäller:
Antalet kombinationer av k element bland n element är
Antalet kombinationer
()
n
n!
C ( n, k ) = k =
k !(n − k)!
Elementen väljs utan hänsyn till ordningen.
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 19
19
2013-07-11 15:35
Exempel 2
()
Hur tolkar vi och hur beräknar vi 8 ?
3
()
8!
8∙7∙6
8 =
=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=
= 56
3
3!(8 – 3)! 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 1 ∙ 2 ∙ 3
Tre faktorer i
både täljare
och nämnare.
Varje gång vi väljer 3 element bland 8 så blir 5 element kvar. Antalet sätt
att välja 3 element bland 8 är alltså lika många som att välja 5 element
bland 8.
()
8 = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 56
5
1∙2∙3∙4∙5
Symmetri
()
n
Talen k har den viktiga symmetriegenskapen
( kn ) = ( n –n k )
()
På många räknare finns ett verktyg för n
k
T ex 8 nCr 3 ger att 8 = 56
3
()
1150
Beräkna
a)
a)
b)
( )
20
3
b)
( )
15
13
( )
( ) ( )
( )
()
c)
P(30,4)
4!
d)
P(5,5)
5!
20 = 20 ∙ 19 ∙ 18 = 1 140
3
1∙2∙3
15 = 15 = 15 ∙ 14 = 105
13
2
1∙2
Vi utnyttjar symmetrin.
30
c) P(30,4) = 4 = 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27 = 27 405
4!
1∙2∙3∙4
5
d) P(5,5) = 5
5!
20
M5000 Kurs 5 Bla.indb 20
=1
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1151
Agnes har 30 pocketböcker i sin bokhylla. 10 av dem är på
engelska och resten är på svenska. Hon ska låna ut sex böcker
till en kompis som vill ha två engelska böcker.
På hur många sätt kan Agnes välja böckerna hon ska låna ut?
Svenska
Engelska
Antal pocketböcker
20
10
Antal att låna ut
4
2
Antal sätt
( )
( )
20
4
10
2
Multiplikationsprincipen ger antalet urval med 4 svenska och 2
engelska böcker.
( )( )
20 ∙ 10 = 20 ∙ 19 ∙ 18 ∙ 17 ∙ 10 ∙ 9 = 218 025
4
2
1∙2∙3∙4
1∙2
Svar: Det finns 218 025 urval med 4 svenska och 2 engelska
böcker.
1152
Poker spelas med en vanlig kortlek som har 13 valörer i 4 färger
och klöver ).
(spader , hjärter , ruter
En pokerhand har fem kort.
a) Hur många pokerhänder finns det?
b) Hur många pokerhänder innehåller minst ett hjärterkort?
a) Vi söker antalet kombinationer (oordnade urval) av 5 kort
bland 52.
( )
52 = 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 = 2 598 960
5
1∙2∙3∙4∙5
Svar: Det finns 2 598 960 olika pokerhänder.
b) Vi börjar med att beräkna antalet pokerhänder som inte
innehåller något hjärterkort alls.
Antalet kort som inte är hjärter är 52 – 13 = 39
Vi söker antalet kombinationer av 5 kort bland 39.
( )
39 = 39 ∙ 38 ∙ 37 ∙ 36 ∙ 35 = 575 757
5
1∙2∙3∙4∙5
Antalet händer med minst ett hjärter =
= Totala antalet händer – Antalet händer utan hjärter =
( )( )
= 52 – 39 = 2 598 960 – 575 757 = 2 023 203
5
5
Svar: Det finns 2 023 203 olika pokerhänder som innehåller
minst ett hjärterkort.
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 21
21
2013-07-11 15:35
( )
a) 100
99
( )
20
b) 18
( )
c) 10
0
1155 I en skål ligger fyra kulor med olika färger.
På hur många sätt kan man dra två kulor ur
skålen
42nd Street
3rd Avenue
1154 Beräkna utan räknare
Lexington Avenue
( )
c) 25
4
Park Avenue
( )
b) 10
7
Madison Avenue
( )
a) 10
3
Chrysler building
5th Avenue
1153 Beräkna
41st Street
40th Street
39th Street
38th Street
37th Street
You
36th Street
35th Street
a) om ingen hänsyn tas till ordningen
34th Street
b) om hänsyn tas till ordningen?
1156 En person är ledig två dagar varje vecka.
Hur många olika sätt finns det att ordna
ledigheten om han inte vill vara ledig både
lördag och söndag?
1157 Lasse ska göra en bukett. Han har 15 olika
blommor att välja bland.
På hur många sätt kan han välja blommor
till buketten om den ska bestå av
a) 10 blommor
b) 5 blommor
c) Kommentera resultatet i a) och b).
1158 Ett test består av två delar med totalt 24
frågor. Del A innehåller 8 frågor och del B
16 frågor. För att få godkänt krävs att totalt
minst 10 frågor är rätt, varav minst 4 rätt på
del A.
På hur många sätt kan man få precis 10 rätt
och bli godkänd?
1159 Lena ska bjuda 7 personer till en fest. Hon
väljer bland 12 kompisar, där Nils och Erik
ingår. Hon vet att det inte är lyckat att bjuda
dem på samma fest.
1160 På Manhattan i New York är gatorna i
kvarteren parallella. Anta att du ska gå från
korsningen 5th Avenue och 35th Street till
Chrysler building.
På hur många sätt kan du då gå den
kortaste vägen?
1161 Ett innebandylag med 23 ungdomar och
tre tränare har fått tio biljetter till en
A-lagsmatch. De undrar på hur många sätt
de kan lotta ut de tio biljetterna om minst
en tränare ska med.
Erik föreslår beräkningen:
C(3, 1) ∙ C(25, 9)
Filip föreslår beräkningen:
C(26, 10) – C(23, 10).
Förklara hur Erik respektive Filip kan ha
tänkt. Har någon av dem tänkt rätt?
1162 Linn bakar tio cupcakes som kan dekoreras
på fyra olika sätt.
På hur många sätt kan dekorationerna
fördelas?
På hur många sätt
kan hon göra sitt val
om hon tar hänsyn
till detta?
22
M5000 Kurs 5 Bla.indb 22
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
Kommer du ihåg sannolikhetslära?
Vi repeterar och definierar några begrepp inom sannolikhetsläran.
utfall
händelse
Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpmässigt försök.
En mängd av de möjliga utfallen kallas en händelse.
utfallsrum
Mängden av alla utfall som är möjliga i ett försök kallas utfallsrum.
slumpförsök
Ett slumpförsök är en händelse som har minst två möjliga utfall och
där det i förväg är omöjligt att säga vilket som kommer att inträffa.
sannolikhet
Sannolikheten för en händelse är det tal mot vilket den relativa frekvensen
närmar sig då antalet försök växer. Sannolikheten för en händelse H skrivs
P ( H ) och 0 ≤ P ( H ) ≤ 1. I situationer där man beskriver chanser och
risker anges sannolikheten ofta i procent.
likformig
sannolikhetsfördelning
Om ett försök har en likformig sannolikhetsfördelning betyder detta att alla
utfallen som är möjliga har samma sannolikhet. I ett sådant försök kan
sannolikheten för en händelse H beräknas exakt
P (H) =
antalet gynnsamma utfall
antalet möjliga utfall
Exempel 1
Vi tar på måfå en kula ur skålen.
Hur stor är sannolikheten för händelsen att kulan är svart?
Utfallsrummet är de 10 kulorna i skålen,
dvs antalet möjliga utfall är 10.
De gynsamma utfallen är händelsen att kulan är svart,
dvs antalet gynsamma utfall är 7.
P (svart) = 7 = 0,7
10
Antag att vi vill ta flera kulor ur skålen, utan att lägga tillbaka någon kula.
Hur ska vi tänka då?
Denna nya situation är ett exempel på en beroende händelse.
Sannolikheten för de olika utfallen när vi tar den andra kulan
beror på utfallet då vi tog den första kulan.
beroende
händelser
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 23
Händelser där den ena händelsens sannolikhet påverkas av om den
andra händelsen har inträffat eller inte kallas beroende händelser.
23
2013-07-11 15:35
Exempel 2
Vi tar på måfå två kulor ur skålen.
Hur stor är sannolikheten att vi får en svart och en blå kula?
Vi redovisar flerstegsförsöket i ett träddiagram.
7
10
6
9
3
9
3
10
7
9
kula 1
2
9
kula 2
Två grenar i diagrammet ger en svart och en blå kula. I ett träddiagram är
sannolikheten för en gren produkten av sannolikheterna längs grenen.
P (en svart och en blå) = P (svart, blå) + P (blå, svart) =
7 3
3 7
7
7
14
7
∙ +
∙ =
+
=
=
10 9 10 9 30 30 30 15
Vid problemlösning kan det ibland vara en bra metod att beräkna
sannolikheten för komplementhändelsen till den efterfrågade händelsen.
komplementhändelse
Exempel 3
Komplementhändelsen (med avseende på en given händelse) är mängden
av de utfall som inte ingår i den givna.
Vi tar på måfå fyra kulor ur skålen.
Hur stor är sannolikheten att åtminstone en kula är blå?
Händelsen A: ”åtminstone en blå kula”, består av utfallen en blå, två blå
och tre blå kulor. Här är det enklast att beräkna
P ( A) = 1 – P (B)
där B är komplementhändelsen ”alla fyra kulorna är svarta”.
P (B) = P (fyra svarta) = P (svart, svart, svart, svart) =
P ( A) = P (åtminstonde en blå) = 1 – P (B) = 1 –
24
M5000 Kurs 5 Bla.indb 24
7 6 5 4
1
∙ ∙ ∙ =
10 9 8 7
6
1 5
=
6 6
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1163 Ett lyckohjul har omkretsen indelad i 64
lika stora delar, numrerade från 1 till 64.
1168
Hur stor är sannolikheten att vinna om
man får en vinst för alla tal delbara med
a) 5
b) 7
c) 13 ?
Andel av
invånarna
A
0,35
2,7 %
B
0,65
9,4 %
Varav arbetslösa
Arbetslösheten i en kommun redovisas i
tabellen.
1164 Erik skjuter mot ett mål. Sannolikheten för
träff i första skottet är 0,6.
Vid träff i första skottet blir Erik lugn och
sannolikheten för träff i andra skottet är
därför 0,7. Vid bom i första skottet blir Erik
nervös och sannolikheten för träff i andra
skottet är därför 0,5.
Område
Vad är sannolikheten att en slumpvis vald
invånare är arbetslös?
1169 Jenny tar slumpvis fyra
kulor utan återläggning
ur skålen.
Rita ett träddiagram och beräkna
sannolikheten att Erik med två skott
Beräkna sannolikheten att åtminståne en
kula är
a) träffar båda
a) gul
b) blå
b) missar båda
c) får en träff.
1165 Du tar på måfå två kulor
ur skålen. Hur stor är
sannolikheten att
1170 Om en äldre person får en viss bakterieinfektion är sannolikheten för dödsfall
0,10. På ett sjukhus fick tre äldre patienter
denna infektion.
Vad är sannolikheten att
a) alla tre överlever
a) den andra kulan är röd om den första
var röd?
b) en av de tre avlider
c) minst en avlider?
b) du får två röda kulor?
c) du får en kula av varje färg?
1166 Antag att du spelar kort med en vanlig
kortlek. När en av dina motspelare drar ett
kort ur leken råkar du se att kortet är rött
och att det är en knekt, en dam eller en kung.
1171 Sannolikheten att det ska regna en
slumpvis vald dag i juli månad på en viss
plats är 0,2.
Var ligger felet i följande slutsats?
”Sannolikheten att det ska regna
två dagar i följd i juli på denna
plats är 0,2 ∙ 0,2 = 0,04”.
Hur bedömer du sannolikheten att kortet är
hjärter dam?
1167 En trädgårdsmästare sätter 120 tulpanlökar.
Av dessa ska 70 ge röda tulpaner och ha
grobarheten 90 %. Resten av lökarna ska ge
gula tulpaner med grobarheten 80 %.
Vad är sannolikheten att en
a) slumpvis vald lök gror
b) lök som gror, ger en gul tulpan?
1172
skål 1
skål 2
skål 3
Ta på måfå en kula ur skål 1 och lägg den i
skål 2. Ta sedan på måfå en kula ur skål 2
och lägg den i skål 3. Ta till slut på måfå
en kula ur skål 3.
Vad är sannolikheten att denna sista kula
är blå?
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 25
25
2013-07-11 15:35
Kombinatorik och sannolikhetslära
I detta avsnitt beräknar vi antalet möjliga och antalet gynsamma utfall
med hjälp av våra kunskaper i kombinatorik.
1173
På en hylla finns åtta matematikböcker, fyra blå och fyra gröna.
Vi väljer på måfå fem böcker från hyllan.
Vad är sannolikheten att två är blå och tre är gröna?
()
8
Bland åtta böcker kan man välja fem på 5 sätt.
8∙7∙6∙5·4
Antal möjliga utfall är 8 =
= 8 ∙ 7 = 56
5
1∙2∙3∙4∙5
()
()
()
Bland fyra blå böcker kan man välja två på 4 sätt.
2
Bland fyra gröna böcker kan man välja tre på 4 sätt.
3
()()
4∙3 4∙3∙2
Antal gynsamma utfall är 4 ∙ 4 =
∙
= 24
2
3
1∙2 1∙2∙3
Sannolikheten = antal gynnsamma utfall
antal möjliga utfall
P (2 blå och 3 gröna) =
24 3
=
56 7
Svar: Sannolikheten för två blå och tre gröna böcker är 3/7.
26
M5000 Kurs 5 Bla.indb 26
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1174 I en påse finns det nio burkar läsk, fem med
apelsinsmak och fyra med colasmak.
A
C
A
A
C
C
A
C
A
1178 Effekten av en ny medicin undersöktes i
10 olika tester. I 6 av testerna ansågs
medicinen ha en positiv effekt. Antag att
man slumpvis väljer ut 3 av testerna.
Du tar på måfå upp sex burkar ur påsen.
Vad är sannolikheten att
Beräkna sannolikheten att du får
a) alla visar positiv effekt
a) fyra med apelsinsmak och två med
colasmak
b) 2 visar positiv effekt
c) minst ett visar positiv effekt?
b) tre burkar av varje.
1175 Ur en vanlig kortlek tar Anja 18 svarta
kort och lägger i en hög. Sedan tar hon två
röda kort och lägger in i högen. Efter att
ha blandat korten tar Anja upp två kort ur
högen.
Hur stor är sannolikheten att hon får upp
just de båda röda korten?
1176 I sin plånbok har Emil 4 sedlar med valören
500 kr och 5 sedlar med valören 100 kr.
När Emil ska betala 1 300 kr tar han på
måfå upp 5 sedlar ur plånboken.
Visa att Emil har nästan 50 % chans att ta
upp rätt belopp.
1177 På ett fat ligger 21 vita, 32 rosa och 17 gröna
godisbilar. Du tar slumpvis 3 bilar från fatet.
Vad är sannolikheten att
a) alla 3 är rosa
b) 2 är rosa och en är vit
c) alla 3 har olika färg
d) minst en är vit?
1179 En Lottorad består av 7 valda nummer av 35
möjliga. Hur stor (eller liten?) är chansen
att en lottorad har
a) 7 rätt
b) 6 rätt
c) 3 rätt?
1180 Elevrådet på en skola består av fyra pojkar
och fem flickor. Vid ett tillfälle valde man
genom lottning ut två elevrådsmedlemmar
som skulle diskutera en fråga med
skolledningen.
När en pojke och en flicka från elevrådet
kom till mötet sa rektorn:
”Vilken tur att det blev en pojke och en flicka
vid lottningen.”
Eleverna svarade då:
”Det var inte bara tur, det var det mest
sannolika.”
Undersök om eleverna hade rätt.
1181 I var och en av fem burar finns en svart och
två vita möss. Man tar slumpvis en mus från
varje bur.
Beräkna sannolikheten för att minst en av
dem är
a) svart
b) vit
1182 En pokerhand innehåller fem kort från en
vanlig kortlek med 52 kort.
Vad är sannolikheten att en pokerhand har
a) minst ett ess
b) två par (t ex två ess och två sjuor)
c) fyrtal?
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 27
27
2013-07-11 15:35
Tema
Poker och Yatzy
Poker spelas med en vanlig kortlek som har 52 kort. I kortleken finns
4 färger (hjärter, ruter, spader och klöver) och varje färg finns i 13 valörer.
En pokerhand består av fem kort.
Exempel 1
Två par i poker betyder 2 kort av en valör och 2 kort av en annan valör,
samt 1 kort av en tredje valör.
Hur många pokerhänder med två par finns det?
( )
Först ska vi välja 2 valörer av 13. Det kan göras på 13 sätt.
2
Sedan ska vi välja 2 färger av 4 för den ena valören.
Det kan göras på 4 sätt.
2
()
Därefter ska vi välja 2 färger av 4 för den andra valören.
Det kan göras på 4 sätt.
2
Det sista kortet kan väljas på 4 ∙ 11 = 44 olika sätt eftersom 2 valörer
inte får väljas.
Antalet pokerhänder med två par är 13 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 44 = 123 552
2
2
2
()
( ) () ()
Exempel 2
Yatzy är ett tärningsspel, där man kastar fem
vanliga tärningar. I spelet får man kasta tre
gånger, men vi ska undersöka utfallen vid
ett kast. Vi kallar det ett yatzykast.
Ett par i Yatzy betyder 2 tärningar med samma valör (samma antal prickar)
och 3 tärningar med andra valörer. De tre tärningar som inte ingår i paret
måste ha olika valörer, annars får man ett två par eller en kåk.
Hur många yatzykast med ett par finns det?
Först ska vi välja 1 valör av 6. Det kan göras på 6 sätt.
()
Sen ska vi välja 2 tärningar av 5. Det kan göras på 5 sätt.
2
De tre sista tärningarna måste ha olika valörer.
De kan väljas på P(5, 3) sätt.
Antalet yatzykast med ett par är 6 ∙ 5 ∙ P(5,3) = 3 600.
2
()
28
M5000 Kurs 5 Bla.indb 28
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
När man beräknar antalet pokerhänder/yatzykast
med t ex ett par, ska de händer/kast som är bättre
(t ex två par) inte inkluderas i antalet.
1 Hur många olika
pokerhänder finns
det?
4 Hur många pokerhänder har kåk, dvs 3 kort i
en valör och 2 kort i en annan valör?
5 Beräkna sannolikheten att du i en pokerhand
får
a) ett par
d) fyrtal
g) färg
b) två par
e) stege i färg
h) kåk.
c) triss
f) stege
Stämmer sannolikheterna med händernas
rangordning i poker?
2 Hur många pokerhänder har
a) ett par, dvs 2 kort i en valör och 3 kort av
andra valörer
b) tretal (triss), dvs 3 kort i en valör och 2 kort
i andra valörer
c) fyrtal, dvs 4 kort i en valör och 1 kort i en
annan valör.
3 Hur många pokerhänder har
6
Hur många utfall finns det vid ett yatzykast?
7 Hur många av utfallen vid ett yatzykast har
a) fyrtal, dvs 4 tärningar visar lika
b) tretal, dvs 3 tärningar visar lika
c) två par, dvs 2 tärningar visar en valör och
2 tärningar en annan valör och den sista
tärningen en tredje valör
a) stege i färg (straight flush), dvs 5 kort i rad i
samma färg, där ess kan vara både 1 och 14
d) kåk, dvs 3 tärningar i en valör och
2 tärningar i en annan valör
b) stege, dvs 5 kort i rad, men inte i samma
färg
e) stege, dvs 5 tärningar som visar 1 – 5 eller
5 tärningar som visar 2 – 6
c) färg, dvs 5 kort i samma färg?
f) yatzy, dvs alla tärningarna visar lika?
8 Hur stor är sannolikheten att du i ett
yatzykast får
a) ett par
d) fyrtal
b) två par
e) kåk
c) tretal
f) stege
g) yatzy?
I spelstaden Las Vegas spelas det
mycket poker, kanske också Yatzy.
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 29
29
2013-07-11 15:35
Binomialsatsen
binom
Ett binom är ett polynom som består av endast två termer.
Vi ska studera utvecklingar av ett binom a + b upphöjt till
ett naturligt tal n. Utvecklingarna av (a + b)n för
n = 0, 1, 2, 3 och 4 visas nedan. Resultatet på en rad får vi
genom att multiplicera föregående rad med (a + b).
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 +2ab + b2
(a + b)3 = a3 +3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
Du kanske ser ett mönster? Hur bör t ex utvecklingen av (a + b)5 se ut?
Enligt utvecklingarna ovan bör (a + b)5
◗
innehålla 6 termer
◗
börja med a5 och sluta med b5
◗
ha termer där summan av exponenterna är 5.
(a + b)5 = a5 +__ a4 b + __a3 b2 + __a2 b3 + __ab4 +__ b5
Hur får vi de utelämnade koefficienterna? Vi kan räkna hur många gånger
de olika termerna (före förenkling) förekommer i
(a + b)5 = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b)
◗
Termen a5 får vi när vi multiplicerar ett a från varje parentes.
Det kan bara ske på ett sätt.
◗
Termen a4 b får vi när vi multiplicerar fyra a och ett b från de fem
parenteserna.
Det kan göras på fem sätt: aaaab aaaba aabaa abaaa baaaa.
Att välja fyra a från fem parenteser kan göras på lika många sätt
som man kan välja ett b från fem parenteser.
Det kan göras på 5 = 5 = 5 sätt.
4
1
() ()
◗
Termen a3 b2 får vi när vi multiplicerar tre a och två b från de fem
parenteserna.
Det kan göras på 5 = 5 = 10 sätt.
3
2
() ()
30
M5000 Kurs 5 Bla.indb 30
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
Koefficienterna till utvecklingen ges av antalet sätt att välja b.
()
()
()
()
()
()
(a + b)5 = 5 a5 + 5 a4 b + 5 a3 b2 + 5 a2 b3 + 5 ab4 + 5 b5
1
0
2
3
4
5
(a + b)5 = a5
+
5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4
+
b5
Utvecklingen av (a + b)n redovisas i binomialsatsen.
() ()
()
()
(a + b)n = n an + n an – 1b + ... + n an – kb k + ... + n b n
0
1
k
n
Binomialsatsen
( )( )
Koefficienterna n , n osv i utvecklingen kallas binomialkoefficienter.
0
1
()
n!
En binomialkoefficient är ett tal av formen n =
k
k!(n – k)!
där n och k är naturliga tal och 0 ≤ k ≤ n.
binomialkoefficient
För att underlätta binomialutveckligar har man samlat det enklaste
biniomialkoefficienterna i en tabell, som kallas Pascals triangel.
Pascals triangel
1
1
1
1
1
2
3
4
1
5
1
3
6
10
( 20 )
1
1
4
10
1
5
1
( 10 )
( 00 )
( 11 )
2
2
(
(
1)
2)
3
3
3
3
(
(
(
(
0)
1)
2)
3)
4
4
4
4
( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 44 )
( 50 ) ( 51 ) ( 52 ) ( 53 ) ( 54 ) ( 55 )
Lägg märke till att varje tal i Pascals triangel är summan av de båda
närmaste talen i raden ovanför, vilket beskrivs med Pascals formel.
Pascals formel
() ( ) ( )
n = n− 1 + n− 1
k
k
k−1
1≤k≤n−1
Pascals formel kan ses som ett specialfall av additionsprincipen:
Antalet kombinationer (oordnade urval) av k föremål bland n
är summan av de kombinationer där ett visst föremål ingår
och de kombinationer där föremålet inte ingår.
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 31
31
2013-07-11 15:35
() ( ) ( )
( ) ( )
Vi bevisar Pascals formel n = n – 1 + n – 1
k
k
k–1
1≤k≤n–1
genom att utgå från högerledet HL = n – 1 + n – 1 =
k
k–1
=
(n – 1)!
(n – 1)!
(n – 1)!
(n – 1)!
+
=
+
=
k!(n – 1 – k)!
(k – 1)!(n – 1 – (k – 1))!
k!(n – 1 – k)!
(k – 1)!(n – k)!
=
(n – k)(n – 1)!
k ∙ (n – 1)!
(n – k)(n – 1)!
k(n – 1)!
+
=
+
=
k!(n – k – 1!(n – k))
(k – 1)! ∙ k(n – k)!
k!(n – k)!
k!(n – k)!
=
n(n – 1)! – k(n – 1)! + k(n – 1)!
n(n – 1)!
n!
=
=
= n = VL
k
k!(n – k)!
k!(n – k)!
k!(n – k)!
()
Historik
Pascals triangel
Triangelformade tabeller över binomialkoefficinterna var kända inom indisk, arabisk,
persisk och kinesisk matematik för över tusen
år sedan. Blaise Pascal var dock den förste som
undersökte och bevisade dess egenskaper.
Tabellen brukar därför kallas Pascals triangel.
Blaise Pascal (1623 – 1662) var en fransk
matematiker, fysiker och filosof. I matematiska
skrifter beskrev han teorier om bl a geometri,
sannolikhetslära, talföljder och serier. Pascal
konstruerade även en räknemaskin och gjorde
grundläggande fysikaliska försök där han mätte
tryck med kvicksilverbarometrar. Hans namn
Pascal står som måttenhet för tryck.
32
M5000 Kurs 5 Bla.indb 32
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1183
Bestäm de tre första termerna i utvecklingen av (x + y)6
med hjälp av
a) Pascals triangel
b) binomialsatsen
a) Koefficienterna för utvecklingen är enligt Pascals triangel
1 6 15 20 15 6 1
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + …..
()
()
()
b) Första termen = 6 x6 = x6
0
Andra termen = 6 x5y = 6x5y
1
Tredje termen = 6 x4y2 = 6 ∙ 5 x4y2 = 15x4y2
2
1∙2
1184
Bestäm med binomialsatsen de tre första termerna i utvecklingen
av (a – 2b)12
(a – 2b)12 = (a + (–2b))12
Första termen = a12
( )
( )
Andra termen = 12 a11(–2b)1 = 12a11(–2b) = –24a11b
1
Tredje termen = 12 a10(–2b)2 = 66a10 ∙ 4b2 = 264a10 b2
2
1185
Bland de fem bokstäverna A, B, C, D och E ska olika
kombinationer med fyra olika bokstäver väljas ut.
Detta kan ske på 5 = 5 sätt.
4
()
a) I hur många av dessa urval ingår bokstaven A?
b) I hur många urval saknas bokstaven A?
a) Tillsammans med A ska tre av de fyra övriga bokstäverna
väljas. Antal kombinationer där A ingår = 4 = 4.
3
()
b) Saknas A måste de övriga fyra bokstäverna ingå.
Antal kombinationer där A saknas = 4 = 1.
4
()
Vi ser att resultatet stämmer med Pascals formel:
5 = 4 + 4
4
4
3
() () ()
1.1 KOMBINATORIK
M5000 Kurs 5 Bla.indb 33
33
2013-07-11 15:35
1186 Beräkna utan räknare
( )
a) 10
2
( )
b) 10
0
( )
( )
c) 10
1
d) 10
9
1187 Utveckla med hjälp av Pascals triangel
a) (x + y)3
c) (x + 2y)5
1195 Visa att
() ( ) ( )
b) n = n – 1 + n – 1
3
3
2
b) (x – 3y)5
1189 Bestäm tredje och fjärde termen i
utvecklingen av
a) (x – y)7
b) (2x + y)5
a) (2x – y)5
a) n ∙ (n – 1)! = n!
b) (x + y)4
1188 Bestäm de tre första termerna i
utvecklingen av
a) (x + 3y)5
1194 Undersök om termen 80x3y2 ingår i
utvecklingen av följande uttryck.
b) (2a + 3b)10
1190 Martin har en anställning där han arbetar
tre dagar varje vecka.
a) På hur många sätt kan tre av veckans
sju dagar väljas ut?
1196 Formulera en uppgift med kombinatorik
som handlar om årets månader i en
vardaglig situation och som uppfyller
likheten
12 = 11 + 11
3
4
4
( ) ( ) ( )
1197 Visa att
() (
() (
)
k + k + 1 + ... + n = n + 1
k
k+1
k
k
)
b) I hur många av urvalen ingår lördag?
c) I hur många av urvalen saknas lördag?
0
N
V
1191 EU består av 27 medlemsländer. Till ett
möte ska en representant från fem olika
medlemsländer bjudas in.
Ö
S
Finland
a) På hur många sätt kan de fem länderna
väljas ut?
Sverige
b) I hur många urval ingår Sverige?
Storbritannien
c) I hur många urval saknas Sverige?
1192 Rad n = 8 i Pascals triangel ser ut så här:
1 8 28 56 70 56 28 8 1
a) Hur ser nästa rad i Pascals triangel ut?
b) I utvecklingen av (a + b)10 finns två
termer med koefficienten 120.
Vilka termer är det?
1193 Bestäm koefficienten för
Irland
Lettland
Litauen
Danmark
Nederländerna
Belgien
Luxemburg
Frankrike
Portugal
Spanien
Estland
TyskPolen
land
Tjeckien
Österrike
Slovakien
Ungern
Slovenien
Rumänien
Bulgarien
Italien
Grekland
a) x y i utvecklingen av (x + y)
4 7
11
b) x 4 y 3 i utvecklingen av (x – 3y)7
34
M5000 Kurs 5 Bla.indb 34
500 km
Malta
Cypern
1.1 KOMBINATORIK
2013-07-11 15:35
1.2 Mängdlära
Mängder – Grundbegrepp
När vi i dagligt tal säger ”en grupp demonstranter”, ”heltal”,
”spelarna i ett fotbollslag” eller ”trianglar”, så är det olika
exempel på vad som i matematiken kallas mängder.
mängd
element
En mängd är en uppsättning objekt som kallas mängdens
element. Objekten kan vara konkreta föremål eller abstrakta begrepp.
En mängd får inte innehålla samma element flera gånger.
Mängder brukar anges med stora bokstäver och elementen med små.
tillhör, ∈
tillhör inte, ∉
Att ett element a tillhör en mängd M skrivs a ∈ M.
Att ett element b inte tillhör mängden M skrivs b ∉ M.
En mängd i matematiken måste vara så väldefinierad att det är möjligt att
avgöra om ett element tillhör mängden eller inte.
Exempel 1
Mängder kan beskrivas på flera olika sätt.
Ett sätt är att beskriva mängden med
en bild eller i vanlig text t ex:
”P är mängden av alla heltal
större än 3 och mindre än 9.”
P
5
8
4
7
6
Ett annat sätt att beskriva mängden är genom uppräkning inom
mängdklamrar:
P = {4, 5, 6, 7, 8}
Det spelar ingen roll i vilken ordning elementen skrivs.
Ett tredje sätt är en beskrivning med mängdbyggaren, t ex
P = {n|n är ett heltal och 3 < n < 9}
som utläses ”P är mängden av alla heltal n större än 3 och mindre än 9”.
grundmängd
En mängd som innehåller alla element som kan komma ifråga i en viss
situation kallas en grundmängd. Om vi t ex arbetar med heltal, så är det
lämpligt att som grundmängd välja de hela talen Z.
Med hjälp av en grundmängd kan vi uttrycka oss mer matematiskt när
vi definierar nya mängder, tex mängden P i exempel 1 kan skrivas
P = {n|n ∈ Z, 3 < n < 9}
tom mängd
Den mängd som inte innehåller några element kallas den tomma mängden
och betecknas ∅.
Mängden D = {x|x2 = 5 och x ∈ Z} saknar element, eftersom det inte
finns någon heltalslösning till ekvationen x2 = 5. Vi kan skriva D = ∅.
1.2 MÄNGDLÄRA
M5000 Kurs 5 Bla.indb 35
35
2013-07-11 15:35
Exempel 2
Låt A = {2, 5, 7}, B = {5, 7, 2} och C = {2, 5}
Då gäller att
delmängd
A = B eftersom elementen får räknas upp i vilken ordning som helst.
C ⊆ A vilket utläses ”C är en delmängd av A” (alla element i C finns i A).
C ⊂ A vilket utläses ”C är en äkta delmängd av A”
(alla element i C finns i A, men mängderna är inte lika).
Exempel 3
Vilka är delmängderna till mängden M = {1, 2, 3}?
Antalet element i en delmängd till M kan vara 0, 1, 2 eller 3.
(
(
(
(
)
)
)
)
0 element kan väljas på 3 sätt. Detta ger delmängden ∅.
0
1 element kan väljas på 3 sätt. Delmängderna är {1}, {2}, {3}.
1
2 element kan väljas på 3 sätt. Delmängderna är {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
2
3 element kan väljas på 3 sätt. Delmängden är {1, 2, 3} .
3
Antalet delmängder är 1 + 3 + 3 + 1 = 8
Att antalet delmängder är 8 kan vi även inse på följande sätt:
För varje element i M finns två möjligheter. Det tillhör eller det tillhör inte
någon delmängd. Eftersom M har 3 element är antalet delmängder 23 = 8.
Antal delmängder
En mängd med n element har totalt 2n delmängder.
Observera att varje mängd är en delmängd av sig själv och att den tomma
mängden ∅ är en delmängd till varje mängd.
Vissa talmängder som används ofta har standardbeteckningar.
De naturliga talen N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
De hela talen Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
De rationella talen Q = {Alla tal a /b, där a och b ∈ Z och b ≠ 0}
De reella talen R = {Alla rationella och irrationella tal}
De komplexa talen C = {Alla tal a + ib där a och b ∈ R och i är den
imaginära enheten}
36
M5000 Kurs 5 Bla.indb 36
1.2 MÄNGDLÄRA
2013-07-11 15:35
Observera att de naturliga talen N ingår som en delmängd i de hela talen Z
och att Z ingår som en delmängd av Q osv. De reella talen R ingår som en
delmängd i de komplexa talen C.
Vi kan alltså skriva
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
2
2i
C
7/9
Q
R
– 2/3
π
1201
– 13
0
Z
–1
1
N
7
–8
Låt A = {x|x är ett positivt heltal och x < 5}
a) Räkna upp elementen i A.
b) Hur många delmängder med två element har A?
Räkna upp dem.
c) Hur många delmängder har A totalt?
a) De positiva heltalen är 1, 2, 3, 4, 5, 6…
Vi ska välja de heltal som är mindre än 5.
A = {1, 2, 3, 4}
b) Vi ska (utan hänsyn till ordning) välja 2 element bland 4.
4∙3
= 6.
Antalet kombinationer är 4 =
2
1∙2
Delmängderna är {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3,}, {2, 4}, {3, 4}.
()
c) Det totala antalet delmängder är 24 = 16.
1202 Vilka beskrivningar ger väldefinierade
mängder?
A Alla månader med 31 dagar.
B Alla rika personer i Sverige.
C Alla heltal större än 12.
D Alla rektanglar med omkretsen 24 cm.
1.2 MÄNGDLÄRA
M5000 Kurs 5 Bla.indb 37
1203 Sant eller falskt? Motivera.
a) 5/6 ∈ R.
b) –5/6 ∈ Z.
c) Både 5 och 5i ingår i mängden C.
d) √8 ingår i mängderna R, Q, Z och N.
37
2013-07-11 15:35
1204 Sätt symbolen ∈ eller ∉ istället för
Motivera.
a) 7
{2, 5, 9, 17}
b) –5
{x|x ∈ Z}
c) 91
{x|x är ett primtal}
d) 6
{x|x är en faktor i 128}
e) 36
{3, 6, 9, 12, 15, ...}
f) 0
∅
.
1205 Beskriv mängden med ord
a) A = {1, 4, 9, 16, 25}
b) B = {a, b, c, d, e, f}
c) C = {Stockholm, Malmö, Göteborg}
d) D = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}
1206 Räkna upp elementen i mängden
a) alla positiva, udda heltal mindre än 12
b) de tre största primtalen mindre än 20
c) {n|n ∈ Z, – 4 < n < 4}
d) {x|(x – 2)(2x – 1)(2x + 1) = 0}
e) alla tvåsiffriga tal med siffersumman åtta.
1207 Skriv med mängdbyggaren {x|...}
a)
B
123456
1210 Hur många delmängder har
a) {a, b, c, d, e,}
b) {x|x ∈ N, 2 < x < 10}
1211 Två mängder är givna
A = {Alla positiva, udda heltal mindre
än 10}
B = {alla positiva, jämna heltal mindre
än 10}
Är det sant att A har dubbelt så många
delmängder som B? Motivera ditt svar.
1212 Hur många mängder X uppfyller
a) X ⊆ {a, b, c}
b) {1, 2} ⊆ X ⊆{1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A = {5, 10, 15, 20, 25, ...}
1208 Låt M = {Carl, David, Eva, Fanny}
Hur många delmängder till M har
a) 3 element
b) 2 element?
1209 Skriv mängden som en lista inom
mängdklamrar.
a) Mängden A består av alla jämna heltal
större än 100.
b) Mängden B består av alla lösningar till
ekvationen x3 = 4x.
38
M5000 Kurs 5 Bla.indb 38
1213 En mängd innehåller n element.
För vilket värde på n är antalet delmängder
med 4 element 6 gånger så stort som antalet
delmängder med 2 element?
1214 a) Beräkna summan av talen på några
olika rader i Pascals triangel.
Ser du något mönster?
b) Visa att summan av talen på rad n
i Pascals triangel är
n + n + ... + n = 2 n
0
1
n
() ()
()
1.2 MÄNGDLÄRA
2013-07-11 15:35
Mängdoperatorer
A
2
B
4
8
6
2
9
A = {2, 4, 6, 8, 9}
5
8
7
B = {2, 5, 7, 8}
Vi visar fyra viktiga och vanliga sätt att utföra operationer på mängder.
snittet
unionen
mängddifferens
komplementet
1. Vi bildar en mängd av alla element som ingår både i A och i B.
Den nya mängden kallas snittet eller skärningsmängden av A och B.
Vi skriver A ∩ B = {2, 8}
2. Vi bildar en mängd av alla element som ingår i A eller B eller i båda.
Den nya mängden kallas unionen eller föreningsmängden av A och B.
Vi skriver A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Lägg märke till att elementen 2 och 8, som finns i båda mängderna,
inte upprepas och att vi får skriva talen i vilken ordning vi vill.
3. Vi bildar en mängd av alla element som ingår i A men inte i B.
Den nya mängden kallas mängddifferensen av A och B.
Vi skriver A \ B = {4, 6, 9}
Lägg märke till att B \ A = {5, 7}
4. Vi låter grundmängden G = {x|x är ett positivt heltal, x < 13}.
Vi bildar en mängd av alla element som ingår i G men inte i A.
Vi kallar den nya mängden för komplementet till A med avseende på G.
Vi skriver A = G \ A = {1, 3, 5, 7, 10, 11, 12}
I många fall är grundmängden så självklar att den inte behöver skrivas
ut, t ex när det framgår av sammanhanget att grundmängden är N eller Z.
1. Snittet A ∩ B = {x |x ∈ A och x ∈ B}
Sammanfattning
2. Unionen A ∪ B = {x |x ∈ A och/eller x ∈ B}
3. Mängddifferensen A \ B = {x |x ∈ A och x ∉ B}
4. Komplementmängden till A är
1.2 MÄNGDLÄRA
M5000 Kurs 5 Bla.indb 39
A = {x |x ∈ G och x ∉ A}
39
2013-07-11 15:35
1215
Låt A = {3, 5, 7, 9} och B = {2, 4, 5, 7, 8} och bestäm elementen
i mängden S = (A ∪ B) \( A ∩ B).
A ∪ B= {2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} och A ∩ B= {5, 7}
S = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = {alla element i A ∪ B som inte ingår i A ∩ B}
S = {2, 3, 4, 8, 9}
1216 Låt A = {a, b, c, d}, B = {b, d, f, h} och
C = {a, c, e}. Bestäm mängderna
1221 S = {x|x är en svensk medborgare}
T = {x|x är en tjej}
a) A ∩ B
c) A ∪ C
e) A \ B
b) B ∩ C
d) C ∪ C
G = {x|x går i gymnasiet}
f) B \ A
A = {x|x är 18 år}
1217 Låt grundmängden G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ange följande mängder om A = {0, 2, 4, 6}
och B = {2, 3, 5}.
a) A ∩ B
c) (A ∩ B)
b) A ∪ B
d) A ∩ B
1218 Bestäm komplementet till A med avseende
på grundmängden
G = {1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 15, 21, 45}
a) A = {3, 7, 15, 21}
b) A = {x|x ∈ G och är ett primtal}
c) A = {x|x ∈ G och x är delbart med 3}
d) A = {x|x ∈ G och 3x ∈ G}
1219 Låt grundmängden vara postiva heltal samt
P = {x|x primtal}
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}
T = {3, 6, 9, 12, 15, ...}
Ange mängderna
a) A
c) P ∩ A
b) P ∩ T
d) A ∩ T
Beskriv mängden i ord
a) S ∩ T ∩ G ∩ A
d) A \ T
b) T ∩ (G ∪ A)
e) S ∪ (T ∩ A)
c) T ∩ G ∩ A
f) T ∪ G ∪ A
1222 Vad blir mängden P ∩ (Q ∪ R) lika med, om
a) P ⊂ R
b) R = ∅
c) Q = R?
1223 Sätt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} och C = {2, 4, 6, 8}
samt bestäm mängderna
a) (A ∩ B) ∪ C
b) (B ∪ C) ∩ (A ∪ C)
c) (A ∩ B) ∪ (C ∩ ∅)
1224 Låt A och B vara delmängder av grundmängden G = {1, 2, 3, ..., 9, 10}. Med |A|
menar vi antalet element i mängden A.
Undersök om det finns mängder A och B
sådana att
a) | A| = 4, |B| = 6 och | A ∩ B| = 3
1220 Låt A = {likbenta trianglar},
B = {liksidiga trianglar}
C = {rätvinkliga trianglar}
Är det sant att C ⊂ A\ B? Motivera.
40
M5000 Kurs 5 Bla.indb 40
b) | A| = 4, |B| = 5 och | A ∪ B| = 5
c) | A| = 7, |B| = 5 och | A ∩ B| = 1
d) | A| = 7, |B| = 5 och | A ∪ B| = 4
1.2 MÄNGDLÄRA
2013-07-11 15:35
Venndiagram
Sambandet mellan två eller tre mängder kan tydligt visas i ett
sk Venndiagram. För fler än tre mängder blir diagrammet svårläst.
Den brittiske logikern John Venn (1834 – 1923) har gett namn åt
diagrammet.
Exempel 1
Figuren visar
Grundmängden G = {månghörningar}
Delmängden A = {trianglar}
Delmängden B = {rektanglar}.
disjunkta mängder
A
B
G
Mängderna A och B har inget
gemensamt element och kallas
disjunkta.
I Venndiagrammet ser vi att mängderna inte överlappar varandra.
På mängdlärans språk kan vi säga att snittet är tomt och skriva
A ∩ B = ∅.
Exempel 2
Figuren visar
Grundmängden G = {positiva heltal}
Delmängden A = {ensiffriga tal}
Delmängden B = {primtal}.
A
B
G
Mängderna A och B har gemensamma
element.
I Venndiagrammet ser vi att mängderna överlappar varandra.
Den färgade delen är snittmängden A ∩ B.
A ∩ B = {ensiffriga primtal} = {2, 3, 5, 7}.
De vanligaste mängdoperationerna visas i Venndiagram så här:
A
B
A
A∩B
A
A
1.2 MÄNGDLÄRA
M5000 Kurs 5 Bla.indb 41
B
A∪B
A
B
A\B
41
2013-07-11 15:35
Ibland kan vi använda
Venndiagram för att svara på
frågan ”Hur många?”
Exempel 3
I ett basketlag med 15 spelare
kan 11 spela anfall och 8 kan
spela försvar. Hur många kan
spela både anfall och försvar?
A = {alla som kan spela anfall}
B = {alla som kan spela försvar}
antal element, IM I
För antalet element i mängden M inför vi beteckningen |M|.
Då är | A| = 11, |B| = 8 och | A ∪ B| = 15
Vi vet att mängderna inte är disjunkta eftersom | A| + |B| >15
Mängderna A och B måste ha gemensamma element.
A
B
Ett Venndiagram visar hur
vi får | A ∩ B|.
A∩B
Hela antalet = antalet i A + antalet i B – antalet som ingår i både A och B
| A ∪ B| = | A| + |B| – | A ∩ B|
15 = 11 + 8 – | A ∩ B|
| A ∩ B| = 4
4 spelare kan spela både anfall och försvar.
inklusion – exklusion
42
M5000 Kurs 5 Bla.indb 42
Detta sätt att räkna kallas principen om inklusion och exklusion.
Vi tar med (inkluderar) elementen i A och B men tar bort (exkluderar) de
element som hör till både A och B.
1.2 MÄNGDLÄRA
2013-07-11 15:35
1225
Vid en gymnasieskola kan eleverna på naturvetenskapsprogrammet välja att läsa en eller flera av kurserna
matematik 5, kemi 2 och fysik 2.
90 elever valde matematik, 82 kemi och 80 fysik. 30 elever valde
matematik och kemi, 36 matematik och fysik, 34 kemi och fysik
och 14 valde alla tre kurserna.
a) Hur många valde bara matematik?
b) Hur många valde bara kemi?
c) Hur många valde bara fysik?
d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon kurs?
Vi ritar ett Venndiagram med följande
tre mängder:
M
M = {alla elever som valde matematik}
K = {alla elever som valde kemi}
F = {alla elever som valde fysik}
K
F
Fyll i antalen i de olika områdena i figuren så här:
Steg 1:
Fyll först i det antal som valde alla tre kurserna.
Steg 2:
Utnyttja sedan antalen i M ∩ K, M ∩ F och K ∩ F.
Steg 3:
Utnyttja antalen i hela M, K och F.
M
K
14
M
K
16
14
22 20
F
F
Steg 1
Steg 2
M
K
16
32
14
22 20
24
F
38
Steg 3
Figuren i steg 3 ger nu direkt
a) 38 elever valde bara matematik.
b) 32 elever valde bara kemi.
c) 24 elever valde bara fysik.
d) I diagrammet i steg 3 ser vi att
38 + 16 + 14 + 22 + 24 + 20 + 32 = 166 elever valde en
eller flera kurser.
Antalet elever som inte valde någon av kurserna: 200 – 166 =34
1.2 MÄNGDLÄRA
M5000 Kurs 5 Bla.indb 43
43
2013-07-11 15:35
1226 Rita av Venndiagrammet och skugga A ∩ B.
a)
c)
A
B
A
b)
d)
B
A
B
A
B
1231 Till en miljökonferens kom 50 gymnasieelever. På konferensen kunde de bl a höra
föredrag om vindkraft, luftföroreningar och
regnskogar. Av eleverna gick 21 på föredrag
om vindkraft, 22 om luftföroreningar
och 19 om regnskogar. 7 gick både på
vindkraft och luftföroreningar, 8 på både
vindkraft och regnskogar samt 4 på både
luftföroreningar och regnskogar. 3 elever
gick på alla tre föredragen.
Hur många elever hörde
1227 Rita av Venndiagrammet och skugga
B
A
a) fördrag bara om regnskogar
b) inget av fördragen?
1232 I Venndiagrammet är
G = {alla fyrhörningar}
B = {alla rektanglar}.
C
G
A
a) A ∩ B ∩ C
c) ( A ∪ B) ∩ C
b) ( A ∪ B ∪ C)
d) ( A ∪ B ∩ C).
B
1228 Mängden A innehåller 15 element,
mängden B 12 element och snittet A ∩ B
innehåller 8 element.
Hur många element finns det i A ∪ B?
1229 Av 100 kontrollerade föremål hade 13
färgfel och 10 måttfel. 7 hade både färgfel
och måttfel.
C
D
Ange den mängd som bör innehålla
a) parallellogram
c) parallelltrapetser
b) kvadrater
d) romber.
Motivera.
1233 I figuren är grundmängden C de komplexa
talen. Q är de rationella talen och Z är de
hela talen.
Rita ett Venndiagram.
Hur många av de 100 föremålen
a) hade endast färgfel
b) hade endast ett fel
C
c) var felaktiga
Z
d) var felfria?
1230 Beskriv med symboler den färgade delen av
Venndiagrammet.
a)
b)
A
B
C
44
M5000 Kurs 5 Bla.indb 44
A
B
Q
Beskriv med mängder, mängdoperationer
och symboler var i figuren talet ska placeras
a) 9/3
b) 51/3
c) –2,5
Motivera.
C
1.2 MÄNGDLÄRA
2013-07-11 15:35
Aktivitet
UNDERSÖK
Kan du rita utan att lyfta pennan?
Materiel: Kopia av denna sida.
1
2 A
B
a) Undersök vilka av figurerna du kan rita
utan att lyfta pennan. Du ska börja och
sluta i samma punkt och du ska
passera varje sträcka precis en gång.
b) Studera de figurer du kunde rita respektive
inte kunde rita utan att lyfta pennan.
Undersök om du kan rita figurerna utan att
lyfta pennan. Du ska börja och sluta i samma
punkt och du ska passera varje punkt precis
en gång, men du behöver inte passera alla
sträckor.
Försök att formulera en regel.
Ledtråd: Räkna antalet sträckor från
punkterna.
1.2 MÄNGDLÄRA
M5000 Kurs 5 Bla.indb 45
45
2013-07-11 15:35
1.3 Grafteori
Inledning
Grafteori är ett område inom den diskreta matematiken.
Här har ordet graf en annan betydelse än vad vi sedan
tidigare är vana vid. I diskret matematik är en graf en
struktur av hörn som är sammanbundna med kanter.
Grafen intill har 4 hörn och 5 kanter.
Exempel 1
Köningsbergs broar
Redan för ca 250 år sedan visade
Leonard Euler (1707 – 1783)
lösningen på ett välkänt grafteoretiskt problem.
I Köningsberg (nuvarande
Kaliningrad) fanns då sju broar
mellan två öar och fastlandet.
Kan man göra en promenad där man börjar och slutar på samma ställe och
på promenaden går över varje bro exakt en gång?
Vi ritar först en schematisk bild. Därefter överför vi denna till en graf där
fastlandet och öarna är 4 hörn och broarna är 7 kanter.
C
C
A
B
A
B
D
Problemet kan nu formuleras:
D
Kan man rita hela grafen och passera varje kant en gång och komma
tillbaka till startpunkten – utan att lyfta pennan?
Euler visade redan på 1700-talet att svaret är nej!
Han kom fram till att en liknande promenad endast är möjlig om grafen är
sammanhängande och om det utgår ett jämnt antal kanter från varje hörn.
En sådan promenad kallas en Eulerkrets eller Eulerslinga.
Eftersom grafteori är ett relativt nytt område inom matematiken kan
begrepp och definitioner variera i litteraturen.
46
M5000 Kurs 5 Bla.indb 46
1.3 GRAFTEORI
2013-07-11 15:35
Exempel 2
Vi definierar ytterligare några begrepp.
Grafen intill har 5 hörn och 8 kanter.
Kanter som korsar varandra har ingen
förbindelse med varandra. Det är bara
i hörnen man kan gå från en kant till
en annan.
A
väg
En väg passerar inte samma kant
mer än en gång. Den är inte sluten.
E
B
T ex vägen A – B – C – D – B.
D
C
A
krets
En krets passerar inte samma kant,
mer än en gång. Den är sluten.
E
B
Tex kretsen B – C – D – B – E – A – B.
D
Eulerkrets
C
För en Eulerkrets gäller att alla kanter måste passeras.
I grafen kan vi rita Eulerkretsen A – B – C – D – E – B– A.
A
A
E
B
D
E
B
D
C
C
A
stig
En stig passerar inte samma kant
eller samma hörn mer än en gång.
Den är inte sluten.
E
B
T ex stigen A – B – C – E – D.
D
C
A
cykel
En cykel passerar inte samma kant
eller samma hörn mer än en gång.
Den är sluten.
E
B
Tex cykeln B – C – D – E – B .
D
1.3 GRAFTEORI
M5000 Kurs 5 Bla.indb 47
C
47
2013-07-11 15:36
1301
Vilket/vilka av begreppen väg, stig, krets eller cykel beskriver
promenaden i grafen? Motivera.
b)
a)
c)
a) Väg och stig.
d)
c) En krets.
Motivering:
Den är inte sluten och
passerar inte samma hörn
eller kant flera gånger.
b) En väg.
Motivering:
Den är sluten och passerar
samma hörn, men inte
samma kant flera gånger.
d) Krets och cykel.
Motivering:
Den är inte sluten och
passerar samma hörn,
men inte samma kant
flera gånger.
Motivering:
Den är sluten och passerar
inte samma hörn eller kant
flera gånger.
1302
Rita en Eulerkrets i grafen.
En Eulerkrets är sluten och går genom samtliga hörn.
Den kan passera samma hörn flera gånger, men
varje kant får bara passeras en gång.
1303 Hur många hörn och hur många kanter
har grafen?
a)
b)
1304 Vilket/vilka av begreppen väg, stig, krets
eller cykel beskriver promenaden i grafen?
48
M5000 Kurs 5 Bla.indb 48
a)
c)
b)
d)
1305 Rita av figurerna och rita en Eulerkrets i
grafen om det är möjligt.
a)
c)
b)
d)
1.3 GRAFTEORI
2013-07-11 15:36
1306 Grafen är en modell av Köningsbergs broar
(se sid 46).
C
A
B
D
a) Undersök om det finns någon bro man
kan ta bort som gör att det finns en
Eulerkrets i grafen.
b) Ge ett exempel på hur man kan lägga till
en eller flera broar som gör att det finns
en Eulerkrets i grafen.
c) Förklara hur man utan att rita kan
avgöra om det finns en Eulerkrets i
grafen.
Historik
Fyrfärgsproblemet
A
B
D
C
Hur många färger krävs för att färglägga varje
tänkbar karta så att inga angränsande länder har
samma färg?
Två länder är angränsande om de har en
gemensam gräns, men inte bara i en punkt.
Många har försökt konstruera en karta som kräver
fem färger. Ingen har lyckats.
Till sist krävde deras bevisteknik så omfattande
undersökningar av ett stort antal enskilda fall att
endast en dator kunde klara av det.
Fyrfärgsproblemet är ett exempel på de många
diskreta problem som är lätta att förstå men
mycket svåra att bevisa. Om det finns ett kort
bevis för fyrfärgsproblemet vet vi inte ...
Sommaren år 1976 löstes fyrfärgsproblemet av två
matematiker, Kenneth Appel och Wolfgang Haken,
vid universitetet i Illinois, USA. Deras bevis blev en
besvikelse för många matematiker.
Efter 1 200 timmars datorkörning med 10 miljarder
olika logiska beslut kom de fram till sitt resultat:
fyra färger är tillräckligt!
Deras bevis upptog nästan 200 sidor i en tidskrift.
Inledningsvis visade de med lådprincipens hjälp
att varje plan karta kan färgläggas med sex eller
färre färger.
1.3 GRAFTEORI
M5000 Kurs 5 Bla.indb 49
49
2013-07-11 15:36
Några klassiska problem
Exempel 1
Hamiltoncykeln
I mitten av 1800-talet presenterade den irländske matematikern
William Hamilton (1805 – 1865) en leksak (ett spel) som innehöll frågan:
”Kan man i en graf hitta en sluten stig (en cykel) som går genom alla hörn
utan att passera något hörn mer än en gång?”
I grafen ovan finns en cykel som går genom alla hörn
exakt en gång.
Hamiltoncykel
En sådan cykel har fått namnet Hamiltoncykel.
I grafen till höger är det inte möjligt att hitta
en Hamiltoncykel.
Vad krävs för att en graf ska ha en Hamiltoncykel?
Frågan är mycket svår att besvara och än så länge
finns inget fullständigt svar.
Exempel 2
50
M5000 Kurs 5 Bla.indb 50
En handelsresandes problem
Tänk dig att en försäljare som bor i Lidköping ska åka till Götene,
Skara och Skövde. I vilken ordning ska han besöka städerna för att få
så kort resväg som möjligt?
1.3 GRAFTEORI
2013-07-11 15:36
Detta är ett klassiskt problem som brukar kallas en handelsresandes
problem.
Vi ritar en graf, där hörnen är de fyra städerna och kanterna är sträckorna
mellan städerna.
Götene
Lidköping
24
18 km
m
24 k
40
km
49 k
m
km
Skara
27 km
Skövde
Vi skriver upp alla tänkbara resvägar från Lidköping och deras längd.
Lid – Ska – Göt – Skö – Lid
Lid – Ska – Skö – Göt – Lid
Lid – Göt – Ska – Skö – Lid
Lid – Göt – Skö – Ska – Lid
Lid – Skö – Göt – Ska – Lid
Lid – Skö – Ska – Göt – Lid
131 km
115 km
118 km
115 km
131 km
118 km
Vi ser att det finns sex resvägar och tre olika reslängder.
Antalet växer snabbt om antalet hörn (städer) blir fler.
Vid n städer är antalet resvägar (n – 1)(n – 2) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = (n – 1)!
Antalet resvägar
Antalet slutna resvägar mellan n hörn då alla hörn har möjlig
förbindelse med varandra är (n – 1)!
Varje resväg kan göras i två riktningar, där reslängden är densamma.
Antalet reslängder är (n – 1)!/2.
När hörnen (städerna) är många tar det lång tid att beräkna längden av
alla resvägar även för en dator.
Finns det någon metod att hitta den kortaste vägen utan att beräkna alla?
Svaret är att det finns ingen metod som alltid fungerar. Ofta använder man
”närmaste granne-metoden” som ger en kort resväg, men inte säkert
den kortaste.
I vårt exempel ger denna metod:
◗ Närmaste granne till Lidköping är Götene eller Skara.
Vi väljer Götene, 24 km.
◗ Närmaste granne till Götene är Skara, 18 km.
◗ Närmaste granne till Skara är Lidköping, men vi måste till Skövde, 27 km.
◗ Närmsta vägen tillbaka är 49 km.
24 km + 18 km + 27 km + 49 km = 118 km
1.3 GRAFTEORI
M5000 Kurs 5 Bla.indb 51
51
2013-07-11 15:36
Den handelsresandes problem kan överföras till många situationer.
Ett antal moment ska utföras och problemet är i vilken ordning de ska
göras för att minimera tex sträckan, tiden eller kostnaden.
1307
Rita en Hamiltoncykel i grafen.
1308
Lösning:
1310 En artist ska ut på turné i Sverige. Hon
börjar turnen i sin hemstad och ska sedan
besöka nio städer till.
Vi förutsätter att hon åker närmaste vägen
mellan alla städer.
b) Rita av grafen och rita en Hamiltoncykel
i grafen.
1309
A
12
14
B
18
18
a) Hur många möjliga resvägar finns för
turnen?
b) Hur många olika reslängder finns för
turnen?
c) Spelningen i en stad blir inställd innan
turnen startar.
Hur påverkar det antalet resvägar?
1311 Den relativa kostnaden för att transportera
varor mellan knutpunkterna A, B, C, D och
E visas i grafen.
A
24
D
40
16
a) resvägen A – B – C – D – A ger
b) resvägen ”närmaste granne-metoden”
ger om man startar i A.
52
M5000 Kurs 5 Bla.indb 52
55
Beräkna sträckan som
40
30
C
E
B
22
28
17
a) Cykeln i grafen är inte en Hamiltoncykel.
Förklara varför.
C
42
38
22
D
Bestäm med ”närmaste granne-metoden”
den lägsta kostnaden för en transport från A
via alla punkter tillbaka till A.
1.3 GRAFTEORI
2013-07-11 15:36
1312 Rita av grafen och rita en Hamiltoncykel i
grafen om det är möjligt.
a)
c)
1313 Chris som bor i Canberra i Australien
har tänkt resa runt till Tokyo, Peking och
Calcutta. Han tycker inte om att flyga så
han vill att den sammanlagda flygtiden ska
bli så kort som möjligt.
Flygesor
Canberra ⇔ Calcutta
b)
d)
Flygtid
25 h
Calcutta ⇔ Peking
9h
Tokyo ⇔ Canberra
24 h
Peking ⇔ Tokyo
8h
Canberra ⇔ Peking
18 h
Calcutta ⇔ Tokyo
16 h
a) Rita en graf som visar städerna som
hörn och flygtiderna som kanter.
b) Beräkna den sammanlagda flygtiden
för två olika resvägar.
c) Vilken resväg ska han välja? Motivera.
1.3 GRAFTEORI
M5000 Kurs 5 Bla.indb 53
53
2013-07-11 15:36
Träd
Exempel 1
Nya el-ledningar ska dras mellan fem byar. På hur många sätt kan
detta göras?
Figurerna visar två sätt att sammanbinda de fem byarna.
En sammanhängande graf utan cykler kallas för ett träd.
uppspännande träd
I vårt exempel ingår alla hörnen i grafen, dvs grafen ”spänner över”
alla hörn och kallas då ett uppspännande träd.
Vi börjar med att studera antalet sätt att skapa förbindelse mellan tre byar.
Vi ser att det finns 3 sätt när antalet byar är tre.
Antalet sätt växer snabbt då antalet byar ökar. Det finns 16 sätt att
sammanbinda fyra byar utan cykler och i vårt inledande exempel med
fem byar är antalet sätt 125.
Den engelske matematikern Arthur Cayley (1821 – 1895) kom fram till:
Antalet sätt
Exempel 2
Antalet sätt att sammanbinda n hörn (utan cykler) är n n − 2
Minimalt uppspännande träd
Figuren visar de planerade kostnaderna
(i miljoner kr) för att sammanbinda varje
par av byar med ledningar.
D
E
C
A
54
M5000 Kurs 5 Bla.indb 54
B
A−B
15
A−C
18
A−D
8
A−E
11
B−C
9
B−D
14
B−E
15
C−D
17
C−E
18
D−E
12
1.3 GRAFTEORI
2013-07-11 15:36
kantens vikt
Vi visar en metod som minimerar kostnaden för att sammanbinda
byarna. Värdena i tabellen brukar kallas kanternas vikter.
Vi börjar med att dra den ledning som kostar minst (lägst vikt),
dvs mellan A och D (8 miljoner kr).
Sedan drar vi den ledning som kostar näst minst, dvs mellan B och C
(9 miljoner kr).
Vi fortsätter att dra den billigaste ledningen, så länge den inte bildar
en sluten krets med de tidigare ledningarna. Vi fortsätter alltså med
AE (11 miljoner kr) och till sist BD (14 miljoner kr).
Obs! Ledningen DE (12 miljoner kr) dras inte, eftersom då bildas
en sluten krets.
Den minsta kostnaden för att sammanbinda byarna
är (8 + 9 + 11 + 14) miljoner kr = 42 miljoner kronor.
Kruskals algoritm
Den här metoden ger alltid den minsta kostnaden (lägsta vikten).
Detta bevisades år 1956 av den amerikanske matematikern
Joseph Kruskal. Metoden kallas för Kruskals algoritm.
Kruskals algoritm kan användas i många sammanhang vid
t ex olika typer av ledningsdragning.
1314
5
b) Beräkna den sammanlagda
vikten av kanterna i trädet du
ritat.
3
a) Utgå från figuren och rita ett
minimalt uppspännande träd.
6
9
8
12
5
3
a) Ett uppspännande träd går genom
alla hörn utan att bilda en sluten
krets. Trädet bildas av kanten med
lägsta vikten 3, sen kanten 5 (inte
kanten 6 eftersom då bildas en
sluten krets) och till sist kanten 8.
8
b) 3 + 5 + 8 = 16
1.3 GRAFTEORI
M5000 Kurs 5 Bla.indb 55
55
2013-07-11 15:36
1315 a) Bestäm antalet hörn och kanter i
följande träd.
1319 Inom kemin använder man träd för att göra
modeller av t ex alkaner.
A
Alkaner är kemiska föreningar som endast
består av kol- och väteatomer. I modellen är
varje hörn en kolatom och varje kant är en
bindning mellan två kolatomer.
B
En kolatom kan binda en, två, tre eller
maximalt fyra andra kolatomer.
C
Namn
Formel
Metan
CH4
Etan
C2H6
b) Rita ett träd med fyra hörn och bestäm
antalet kanter.
Propan
C3H8
c) Rita ett träd med fyra kanter och bestäm
antalet hörn.
Butan
C4H10
d) Skriv en formel för sambandet mellan
antalet hörn och kanter i ett träd.
1316
För alkaner med fyra kolatomer eller fler
kan strukturen för samma ämne se olika ut.
Det olika strukturerna kallas för isomerer.
5
3
8
Observera att t ex
inte är isomerer,
utan samma molekyl.
a) Rita de möjliga uppspännande träden
och beräkna kanternas sammanlagda
vikt för varje träd.
b) Av hexan C6H14 finns det fem isomerer.
Rita trädstukturen för dessa.
1317 Rita och beräkna vikten av ett minimalt
uppspännande träd till figuren.
b)
5
c) Hur många strukturisomerer finns det
av heptan C7 H16?
1
1
och
a) Av pentan C5H12 finns det tre isomerer.
Rita trädstukturen för dessa.
b) Vilket träd kallas minimalt uppspännande träd?
a)
Strukturformel
2
6
3
4
5
2
4
3
6
1318 Bestäm n om antalet sätt att sammanbinda
n städer utan cykler är större än 1 miljon.
56
M5000 Kurs 5 Bla.indb 56
1.3 GRAFTEORI
2013-07-11 15:36
Aktivitet
DISKUTERA
Sant eller
falskt?
Diskutera i par eller grupp. Sant eller falskt?
Motivera svaret!
1 Antalet permutationer för ett givet urval är
alltid större än antalet kombinationer.
2 A ∩ B och A ∪ B kan aldrig vara lika i en
sluten graf.
3 Om antalet kanter från ett hörn i en sluten graf
är udda finns det ingen Eulerslinga i grafen.
()
4 7 betyder antalet sätt man kan välja
3
3 element av 7 med hänsyn till i vilken
ordning de väljs.
5 I en skål ligger fem kulor, 2 gula och 3 blå.
Sannolikheten att få 2 gula om man, utan att
titta, tar 2 kulor är lika stor som sannolikheten
att få 3 blå om man tar 3 kulor.
6 n(n – 1)! kan skrivas n!
7 Utvecklingen av (a + b)n ger efter förenkling
bl a termerna nbn och (n – 1)an – 1
8
A
9 Om 80 % av medlemmarna i en motionsförening går på gym och 70 % går på
gruppträning, så går hälften av medlemmarna
på både gym och gruppträning.
10 Om A ∪ B = 18, |A ∩ B|= 7 och |B \ A| = 5
så gäller |A\ B |= 11.
11 6 personer kan sätta sig på 6! sätt kring ett
bord med 6 platser.
12
Du tar slumpvis kulor ur skålen.
Antalet resvägar som börjar och slutar i
A och passerar alla hörn en gång är ca 40 000.
1 DISKRET MATEMATIK I
M5000 Kurs 5 Bla.indb 57
Du måste ta fler kulor för att vara säker på
att få två av samma färg än två av olika färg.
57
2013-07-11 15:36
Sammanfattning 1
Kombinatorik
Lådprincipen
Om n + 1 föremål ska placeras i n lådor,
så måste åtminstone en låda innehålla
två eller fler av föremålen.
Om n · k + 1 föremål ska placeras i n lådor,
så måste åtminstone en låda innehålla
k + 1 eller fler av föremålen.
Multiplikationsprincipen
Om ett första val kan ske på p sätt och ett andra
val kan göras på q sätt, så kan de båda valen göras
på p · q sätt.
Kombinationer
Antalet kombinationer (oordnade urval) av
k element bland n element är
n!
n =
k
k!(n – k)!
()
Exempel:
3 personer av 8 kan väljas utan hänsyn till
ordningen på 8 olika sätt.
3
8!
8!
8·7·6
8 =
=
=
= 56
3
3!(8 – 3)! 3! · 5! 1 · 2 · 3
()
()
Glöm inte symmetriegenskapen:
8 = 8 = 8
3
8–3
5
Det första valet får inte påverka det andra valet.
() ( ) ()
Additionsprincipen
Sannolikheter
Om man ska välja 1 föremål från en grupp med
p olika föremål eller från en grupp med q olika
föremål, så kan detta ske på p + q sätt.
Permutationer
Antalet permutationer (ordnade urval) av
n element är n! (n-fakultet).
Exempel:
5 personer kan bilda en kö på 5! olika sätt.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Antalet permutationer (ordnade urval) av
k element bland n element är
n!
P (n, k) =
(n – k)!
Exempel:
3 personer av 8 kan väljas med hänsyn till
8!
olika sätt.
ordningen på P (8, 3) =
(8 – 3)!
8!
P (8, 3) =
= 8 · 7 · 6 = 336
5!
58
M5000 Kurs 5 Bla.indb 58
Vid likformig sannolikhetsfördelning gäller
antalet gynnsamma utfall
P (H) =
antalet möjliga utfall
Binomialsatsen
() ()
()
(a + b)n = n an + n an – 1 b + ... + n an – k b k +
1
0
k
n
bn
... +
n
()
()
Talen n kallas binomialkoefficienter.
k
Pascals formel
() ( ) ( )
n = n–1 + n–1
k
k
k–1
1≤k≤n–1
Exempel:
I en skål ligger fem kulor, en röd och fyra blå.
Antalet sätt att välja fyra kulor: 5 = 5.
4
Antalet sätt då en röd ingår: 4 = 4.
3
Antalet sätt då en röd inte ingår: 4 = 1.
4
5
Kontroll med Pascals formel:
= 4 + 4
4
4
3
()
()
()
() () ()
1 DISKRET MATEMATIK I
2013-07-11 15:36
Mängdlära
Inkludera och exkludera
Mängder
En mängd är en samling objekt (element).
En mängd kan beskrivas på olika sätt:
Z är mängden av de hela talen.
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z = {x|x är ett heltal}
A ⊆ B betyder att A är en delmängd av B.
A ⊂ B betyder att A är en äkta delmängd av B.
(A och B är inte lika).
Exempel :
Mängden A innehåller 17 element, mängden B
12 och snittet till mängderna A och B 10 element
dvs |A| = 17 |B| = 12 och |A ∩ B| = 10
Då är antalet element i unionen
A ∪ B = 17 + 12 – 10 = 19
Vi inkluderar (tar med) elementen i A och B och
exkluderar (tar bort) elementen i A ∩ B.
Grafteori
Grundmängden G är den mängd som innehåller
alla element som kan komma i fråga i en viss
situation.
En krets är en sluten väg, dvs den passerar inte
samma kant flera gånger.
Den tomma mängden ∅ saknar element och är
en delmängd av varje mängd.
En cykel är sluten stig, dvs den passerar inte
samma kant och inte samma hörn flera gånger.
En mängd med n element har totalt 2n delmängder.
En Hamiltoncykel passerar alla hörn i grafen.
Mängdoperationer och Venndiagram
En handelsresandes problem
1 Snittet A ∩ B = {x|x ∈ A och x ∈ B}
2 Unionen A ∪ B = {x|x ∈ A och/eller x ∈ B}
3 Mängddifferensen A \ B = {x|x ∈ A och x ∉ B}
4 Komplementmängden till A
A = {x|x ∈ G och x ∉ A}
A
B
A∩B
A
Antalet resvägar mellan n hörn i en graf, där alla
hörn är sammanbundna med varandra och man
startar och slutar på samma ställe, är (n – 1)!
Antalet reslängder är (n – 1)!/2.
En av de kortaste resvägarna hittar man med
”närmaste granne metoden”.
A
B
A∪B
B
En Eulerkrets passerar alla kanter i grafen.
Träd
Sammanhängande grafer utan cykler kallas
för träd. Om trädet når till alla hörn kallas det
ett uppspännande träd.
Antalet sätt att sammanbinda n hörn (utan cykler)
är n n−2.
A
Kruskals algoritm
A\B
Kruskals algoritm ger lägsta kostaden / vikten
för ett uppspännande träd i en graf.
A
Algoritmen:
Börja med kanten med lägst vikt och fortsätt sedan
med den som nu har lägst vikt osv. Hoppa över de
kanter som bildar en sluten krets. Sluta när alla
hörn är sammanbundna.
Summera vikterna på kanterna i grafen.
1 DISKRET MATEMATIK I
M5000 Kurs 5 Bla.indb 59
59
2013-07-11 15:36
Kan du det här? 1
Moment
Begrepp som du ska kunna
använda och beskriva
Kombinatorik
Permutation
Kombination
()
”n över k” n
k
n-fakultet n!
Utfall och slumpförsök
Beroende händelse och
komplementhändelse
Du ska ha strategier för att kunna
•använda lådprincipen, multiplikationsprincipen och additionsprincipen
•beräkna antalet permutationer
respektive kombinationer för olika urval
•beräkna sannolikheter vid likformig
sannolikhetsfördelning
•lösa kombinatoriska problem.
Binomialsatsen och
binomialkoefficient
Mängdlära
Mängd och element
Grundmängd, tom mängd och
delmängd
Snittet, unionen,
mängddifferensen och
komplementet
Venndiagram
•ange om ett element tillhör en
väldefinierad mängd
•kunna beskriva en mängd på olika sätt
•beräkna antalet delmängder av en given
mängd
•avgöra vilka element som tillhör
snittet, unionen, mängddifferensen
och komplementet
•använda principen om inklusion och
exklusion för enklare tillämpningar.
Grafteori
Graf, hörn och kant
Köningsbergs broar
Väg, stig, krets och cykel
Eulerkrets
•känna till några klassiska grafteoretiska
problem och lösningen på dessa (om det
finns någon)
•rita och beräkna totala vikten av ett
minimalt uppspännande träd.
Hamiltoncykel
Den handelsresandes problem
Träd och uppspännande träd
Kruskals algoritm
60
M5000 Kurs 5 Bla.indb 60
1 ALGEBRA OCH
1 DISKRET
LINJÄRA
MATEMATIK
MODELLERI
2013-07-11 15:36
Diagnos 1
Mängdlära
Kombinatorik
1 I en skål ligger tre röda och sju gröna äpplen.
Hur många måste du slumpvis ta för att säkert
få två av
a) samma färg
b) olika färg?
2 Isik kommer ihåg att första siffran i hans
fyrsiffriga pinkod är 2.
Hur många sådana pinkoder finns det om
a) han vet att alla siffror i pinkoden är olika
b) han inte kommer ihåg mer än att första
siffran är en tvåa?
3 Beräkna utan räknare
a) 4! · 2!
c) C(5, 2)
b) P(5, 2)
d) 101
99
( )
4 På en arbetsplats ingår alla åtta anställda i en
utlottning av tre vinster. Varje person kan bara
få en vinst.
På hur många sätt kan vinsterna fördelas om
a) alla vinster är likadana
b) det finns en 1:a, en 2:a och en 3:e vinst?
5 Klas ska köpa läsk och snacks till en fest. Han
ska välja tre av fem läsksorter och två sorters
snacks av popcorn, chips, ostbågar eller nötter.
På hur många olika sätt kan han välja sitt
inköp?
6 Utveckla
a) (1 + a)6
b) (2x – y)5
7 Sant eller falskt?
a) 7 ∈ {x|x primtal och x < 10}
b) {1, 2, 3} ⊆ {1, 2}
c) Mängden {4, 6} har fyra delmängder.
d) {x|x2 + 9 = 0 och x ∈ R} = ∅
8 Låt A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} och
C = {5, 6, 7}.
Grundmängden G = {x|0 < x < 10 och x ∈ Z}
Bestäm
a) A ∩ B
c) B \C
b) B ∪ C
d) (A ∪ B) ∩ C
9 Beskriv med symboler det skuggade området.
A
B
C
10 I en undersökning deltog 500 personer varav
310 kvinnor. Av dessa 310 var 110 under 25 år.
60 personer var män som var 25 år eller äldre.
a) Hur många var under 25 år i
undersökningen?
b) Mängden män och mängden kvinnor är
disjunkta. Vad betyder det?
Grafteori
11 Vad menas med en Eulerkrets?
12 a) Hur många vägar måste minst dras för att
sammanbinda sex städer?
b) Hur många vägar måste dras om sex städer
ska ha direktförbindelse med varandra?
Om du behöver repetera kan du fortsätta med Repetitionsuppgifter på sid 237.
1 DISKRET
ALGEBRAMATEMATIK
OCH LINJÄRA
I MODELLER
M5000 Kurs 5 Bla.indb 61
61
2013-07-11 15:36
Blandade övningar kapitel 1
Del I
Utan räknare
1 I en godispåse ligger 10 röda, 10 gröna och
10 gula karameller av samma typ. Du tar,
utan att titta, karameller ur påsen.
Hur många måste du ta för att vara säker på att
få minst 5 av samma färg?
d) B ∩ C
b) B \C
e) A ∩ B ∩ C
c) A ∩ C
f) |A ∪ B ∪ C|
B
b) innehåller bara nya batterier
c) innehåller minst ett gammalt batteri?
A
B
( )
( )
n
n–2
a) n
3
c)
b) n + 1
2
d) n + 1
n–1
8 Hur många permutationer kan man göra av de
fyra symbolerna, om de ska placeras på rad?
c)
a) ✚
b)
A
a) är möjliga
()
( )
3 Beskriv med symboler den färgade delen av
Venndiagrammet.
a)
Hur många sådana urval
7 Utveckla
2 Låt A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e, f} och
C = {a, c, d, g}. Bestäm
a) A ∪ B
6 I en låda med åtta nya batterier har det hamnat
två gamla som ska slängas. Du tar tre batterier
ur lådan.
♥✸▼
b) ✚ ♥ ✚ ✸
✚♥✚♥
d) ✸ ▼ ✸ ✸
9 Varför är alla fakulteter utom 1! jämna tal?
4 Har grafen en
a) Hamiltoncykel
b) Eulerkrets?
Motivera.
5 I skolcafeterian kan man köpa ett mellanmål
för 25 kr. Man får då antingen en dryck och
en smörgås eller en dryck, en yoghurt och
en frukt.
Det finns te, kaffe eller saft, tre olika smörgåsar,
fyra yoghurtsmaker och äpple eller banan att
välja på.
På hur många sätt kan man välja sitt
mellanmål för 25 kr?
62
M5000 Kurs 5 Bla.indb 62
10 Visa att
( ) ( )
( ) ( )
m
m
a) m2 = 2 2 + 1
b) 2n = 2 2n – 1
n
n–1
för alla n ≥ 1.
11 A och B är mängder.
a) Beskriv innebörden av mängddifferensen
(A ∪ B)\(A ∩ B) med ord.
b) Vad innebär (A ∪ B)\(A ∩ B) = ∅?
12 Går det att hitta mängder A, B och C som
uppfyller
A ∪ C = B ∪ C, A\C = B \C och A ≠ B
1 ALGEBRA OCH
1 DISKRET
LINJÄRA
MATEMATIK
MODELLERI
2013-07-11 15:36
17 Utveckla
Med räknare
2
13 En träningsgrupp i fotboll består av
20 utespelare och en målvakt.
På hur många sätt kan ett 11-mannalag
väljas ut om man inte tar hänsyn till att de tio
utespelarna helst vill spela på vissa positioner?
14 Hedvig kastar 4 tärningar.
a) (3x2 – y3)
c) (x – y)4
b) (a + 2b)3
d) (z2 + 3u)5
6
6
18 Utveckla och förenkla uttrycket (x + h) – x
h
19 Rita och beräkna totala vikten av ett minimalt
uppspännande träd som sammanbinder A – F.
A
Hur stor är sannolikheten att hon får
a) åtminstone en sexa
4
9
b) exakt tre sexor?
1
F
B
5
3
8
15 En undersökning inför en friluftsdag, i årskurs 4,
visar elevernas val.
2
10
65 % vill åka skidor
11
15
E
55 % vill åka skridskor
14
7
25 % vill åka både skidor
och skridskor.
D
20
G
A
B
b) Hur många procent av eleverna vill varken
åka skidor eller skridskor?
() ()
16 a) Visa att 9 = 9
3
6
b) Beskriv en vardaglig situation där
() ()
9 och 9 är lika.
3
6
1 DISKRET
ALGEBRAMATEMATIK
OCH LINJÄRA
I MODELLER
M5000 Kurs 5 Bla.indb 63
C
12
+
a) Rita ett Venndiagram som presenterar
undersökningen.
13
6
Del II
C
G = {alla trianglar}
A = {likbenta trianglar}
a) Var bör de liksidiga trianglarna finnas?
b) Var bör de rätvinkliga trianglarna finnas?
c) Vilka trianglar är det färgade omådet?
Motivera dina svar.
63
2013-07-11 15:37
21 Människans DNA består av en 1,5 m lång
spiral med miljarder baspar (”stegpinnar”)
med beteckningarna AT, TA, CG och GC.
Bokstäverna A, T, C och G står för adenin,
tymin, cytosin och guanin. I DNA-spiralen
finns ca 30 000 gener insprängda.
Ordningen mellan basparen, tagna i grupper
om tre, talar om vilket protein som ska byggas.
Så ger t ex sekvensen TAC TTG TTT CAC
ett visst protein.
a) Hur många”ord” med tre bokstäver kan
skrivas med det genetiska alfabetet
A, T, C och G?
b) Hur många av orden med tre bokstäver
innehåller exakt ett A?
c) En gen som beskriver hur ett visst protein
ska byggas innehåller 200 ord med tre
bokstäver. På hur många sätt kan en sådan
gen vara uppbyggd?
22 En familj på fem personer cyklar efter varandra
på en smal landsväg.
a) På hur många sätt kan familjemedlemmarna
placera sig?
b) På hur många sätt kan de placera sig om
det yngsta barnet ska cykla näst först eller i
mitten?
23 I en klass med 28 elever är 13 flickor.
a) På hur många sätt kan två flickor och
två pojkar väljas ut till en tävling?
b) Hur stor är sannolikheten att det blir just
två flickor och två pojkar om fyra elever
slumpmässigt väljs ut ur klassen?
24 Hörnen i figuren är
sammanbundna till
ett träd.
a) På hur många sätt kan hörnen i figuren
sammanbindas utan att cykler bildas?
b) Rita små figurer som visar samtliga sätt
att sammanbinda hörnen.
25 Skriv talen 1, 2, 3, 4, 5 och 6 på lappar och
välj fyra av lapparna.
Visa att minst ett par av dessa lappar ger
summan 7.
26 De 29 eleverna i en gymnasieklass fick efter
sommarlovet ange om de jobbat, pluggat
respektive rest utomlands på lovet.
13 elever hade jobbat, 11 hade varit utomlands
och 9 hade pluggat. 3 hade rest och pluggat,
4 hade jobbat och pluggat och 5 hade jobbat
och rest. En elev hade gjort alla tre sakerna.
Hur många av eleverna hade varken jobbat,
pluggat eller rest?
27 I den förenklade utvecklingen av (x + 2y)13
finns en term k · x2y11.
Bestäm talet k.
64
M5000 Kurs 5 Bla.indb 64
1 ALGEBRA OCH
1 DISKRET
LINJÄRA
MATEMATIK
MODELLERI
2013-07-11 15:37
33 Tolv länder är inbjudna till en konferens.
Varje land representeras av tre personer.
Första dagen hälsar alla, utom de från samma
land, på varandra en gång med att ta i hand.
Hur många handhälsningar görs denna dag?
34 Visa att i en decimalutveckling av ett bråk,
5
t ex = 0,714 285 714 285 …
7
kommer en grupp av decimaler att upprepas.
35 Varje lördag säljer Jönssons bageri nybakade
rågbullar, sesambullar, tekakor, gifflar och
surdegsbullar.
28 På stryktipset innebär en rad att man tippar
resultatet i 13 fotbollsmatcher. Man väljer
1, X eller 2 (hemmavinst, oavgjort eller
bortavinst) för varje match.
På hur många sätt kan man köpa ett dussin
(12 st) av det nybakade brödet?
Hur många rader måste man tippa för att
säkert få minst 5 rätt av 13?
29 Faktorisera
a) n! – ( n – 1)!
b) ( n + 2)! – 2 · n!
30 Rita mängderna A, B och C i ett Venndiagram
så att de uppfyller
A ∩ B ∩ C = ∅, B \ A = ∅ och ∅ ⊂ ( A ∩ C ).
31 Bridge spelas med en vanlig kortlek. En
bridgehand har 13 kort.
a) Hur många bridgehänder finns det?
b) Hur många bridgehänder har fördelningen
4 – 3 – 3 – 3 , dvs 4 av en färg och 3 av de
övriga?
c) Hur många bridgehänder innehåller minst
ett hjärterkort?
32
Visa med ett Venndiagram att
a) A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
b) A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
1 DISKRET
ALGEBRAMATEMATIK
OCH LINJÄRA
I MODELLER
M5000 Kurs 5 Bla.indb 65
36 Till en golftävling kommer 18 personer. Första
dagen ska de spela tillsammans tre och tre.
a) På hur många sätt kan grupperna
(3-bollarna) arrangeras?
b) Den största sponsorn kräver att de
4 bäst rankade spelarna inte ska spela
tillsammans. På hur många sätt kan
grupperna arrangeras om man tar hänsyn
till detta?
65
2013-07-11 15:37
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
Svaren står med svart text. Ledtrådar och lösningar med blå text.
1
1111 a) Lådor: 4 färger
Föremål: 50 tröjor
50 > 4 · 12 + 1
1104 5
1105 Lådor: månadens dagar (max 31)
Föremål: 32 personer
32 personer på 31 dagar
betyder att åtminstone
2 personer har samma födelsedatum någon månad.
1106
2 cm
2 cm
Lådor: 4 kvadrater med sidan
1 cm
Föremål: 5 punkter
Minst en kvadrat får 2 eller
flera punkter. Maximalavståndet mellan dessa är
lika med diagonalens längd,
2 cm.
1107 a) Lådor: n = 5 länder
b) Föremål: 31 elever
31 = 5 · 6 + 1
(6 elever från varje land och
ytterligare 1 elev)
Minst ett land måste vara
representerat av
6 + 1 = 7 elever eller fler.
1108 Lådor: 27 stater
Minst ett land måste vara
representerat av
27 + 1 = 28 personer eller fler.
b) 9
c) 10
1110 Lådor: 6 st 2-dagars perioder
Föremål: 110 timmar
110 > 6 · 18 + 1
Under minst en 2-dagars period
måste hon ha övat 18 + 1 = 19
timmar eller mer.
242
M5000 Kurs 5 Bla.indb 242
1112 3 384 000 > 20 000 · 160 + 1
1113 x = 26 097
Ledtråd:
9 551 781 > x · 366 + 1
1114 Triangeln delas i 9 kongruenta
deltrianglar med sidan 2 cm.
Minst en triangel får 2 punkter
eller fler. Avståndet mellan
dem är högst 2 cm.
1115 n + 1
Motivering:
Låt varje gift par svara mot en
låda. Placera ut personerna i de
n lådorna.
Då krävs minst n + 1 personer
för att säkert få ett gift par.
1118 a) 26 sätt
b) 165 sätt
1119 1 200 cyklar
Lösning:
2 · 5 · 3 · 5 · 2 · 4 = 1 200
1120 8 019 000 sätt
1121 10 000 pinkoder
1122 a) 12 sätt
Föremål: 754 personer
754 > 27 · 27 + 1
1109 a) 3
b) Lådor: 3 färger
Föremål: 42 tröjor
42 > 3 · 13 + 1
b) 60 sätt
c) 47 sätt
1123 9 sätt
Lösning:
Herr Alm kan kombineras med
de fem andra och Fru Alm kan
kombineras med de fem andra.
Herr Alm tillsammans med
Fru Alm kommer med två
gånger. 5 + 5 – 1 = 9
1124 12 167 000
Ledtråd:
23 bokstäver kan användas.
1125 260 00 middagar
Ledtråd:
Summan av antalet tvårätters
och antalet trerätters middagar.
1126 6 vägar
Lösning:
3·2·1=6
1127 a) 221 sätt
b) 372 sätt
c) 507 sätt
Ledtråd:
Beräkna det totala antalet
sätt att utse två representanter och minska det med
antalet sätt att utse två
killar.
1128 a) Ja.
Motivering:
Det finns
316 = 43 046 721 sätt.
b) Nej.
Motivering:
Det finns 33 tipsrader
(16 ∙ 2 + 1) med minst 15 rätt.
1129 64 tal
1130 a) 192 sätt
b) 176 sätt
Ledtråd:
Minska med antalet sätt då
bootsen används till finbyxor.
c) 166 sätt
Lösning:
192 – 1 · 1 · 4 · 4 – 1 · 1 · 4 · 3 + 2 =
= 166
1131 Visa att pq > p + q om p ≥ 2
och q > 2 och båda är heltal.
pq > p + q ⇔ pq – p > q
⇔ p(q – 1) > q ⇔ p >
Eftersom
q
q–1
3
q
= 1,5
>
q–1 3–1
gäller att p > 1,5
alltså för p ≥ 2.
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:44
1132 49
Lösning:
Binära tal med högst 7 siffror är
mindre än 256.
25 = 32 tal börjar med två ettor
och 25 = 32 tal slutar med två
ettor. De tal som både börjar
och slutar med två ettor räknas
alltså två gånger.
Det är 23 + 22 + 21 + 20 där
23 är antalet sjusiffriga sådana
tal och 22 antalet sexsiffriga
sådana tal osv.
32 + 32 – 15 = 49
1136 5 040 sätt
Ledtråd:
Beräkna 7!
1137 a) 24
b) 6 ord
1145 a) 276 handskakningar
b) 144 danspar
1146 a) k = 50
b) a · n! + a(n + 1)! =
= a · n! + a · n!(n + 1) =
= a · n! + a · n! · n + a · n! =
= a · n!(n + 2) VSV
1147 1,3 · 1030 läsår
1148 n = 4
Motivering:
P (8, 3) = 336 och
P (8, 4) = 1 680
n!
= n!
(n – (n – 1))!
1153 a) 120
Lösning:
10
10 · 9 · 8
=
= 120
3
1·2·3
d) 100
( (
1138 a) 120 sätt
Lösning:
6 · 5 · 4 = 120
b) 1 320 sätt
1139 a) P (9, 3 ) = 504 är antalet sätt
att välja 3 element av 9 med
hänsyn till ordningen.
b) P (4, 4) = 24 är antalet
permutationer av 4 element.
c) P (15, 1) = 15 är antalet sätt
att välja 1 element av 15.
d) P (100, 0) = 1 är ”antalet
sätt att välja 0 element av
100”.
1140 a) 380 204 032
Lösning:
525 = 380 204 032
b) 120
Ledtråd:
10
10
=
3
7
( ( ( (
c) 12 650
1154 a) 100
Ledtråd:
Använd symmetrin.
b) 190
c) 1
1155 a) 6
b) 12
1156 20 sätt
Lösning:
7
–1
2
((
b) 311 875 200
Lösning:
52 · 51 · 50 · 49 · 48 =
= 311 875 200
1157 a) 3 003 sätt
b) 3 003 sätt
c) 60
1142 a) P (5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60
b) Det finns 60 sätt att välja
3 element bland 5 med
hänsyn till ordningen.
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
M5000 Kurs 5 Bla.indb 243
1144 a) 30 ord
c) 12
b) P (n, n) = P (n, n – 1) · 1
c) 12
b) 100
b) 10 000
1149 a) P (n, n) = n!
P (n, n – 1) =
b) 110
Ledtråd:
Förkorta med 9!
1141 a) 900
1143 a) 24
c) Antalet sätt att välja
10 blommor bland 15 är
lika många som antalet sätt
att välja 5 blommor bland
15.
När man väljer 10 blir 5 kvar.
1158 560 560 sätt
Ledtråd:
8
16
Beräkna
·
4
6
((( (
1159 540 sätt
Ledtråd:
Beräkna antalet sätt att välja
7 personer av 12 och minska
med det antal där både Nils
och Sally ingår.
( (
1160 10 = 120 sätt
3
Ledtråd:
Välj ut 3 av 10 förflyttningar
som ska vara åt höger på kartan.
1161 Filip har rätt.
Filips beräkning:
Det totala antalet urval minskat
med antalet urval utan någon
tränare.
C (26, 10) – C (23, 10) =
= 4 167 669
Erik har fel.
Eriks beräkning:
Han börjar med att välja en
tränare och väljer sedan 9 av
de 25 övriga personerna.
C (3, 1) · C (25, 9) = 6 128 925
Erik får för många sätt eftersom
han använder multiplikationsprincipen felaktigt. Den
förutsätter att det första valet ej
påverkar det andra valet.
1162 286 sätt
Förklaring:
Vi placerar ett streck mellan
kakor med olika dekorationer.
Det krävs 3 streck för att skilja
de fyra dekorationerna åt.
Vi får en rad med 13 symboler,
10 kakor och 3 streck.
3 streck fördelas på 13 platser
13
på
= 286 olika sätt.
3
( (
1163 a) 12 = 3
64 16
b) 9
64
4
c)
= 1
64 16
243
2013-07-11 15:44
1164 a) 0,42
c) 0,38
Lösning:
0,6 · 0,3 + 0,4 · 0,5 = 0,38
c) 0,21 (0,2086…)
1 2 598 960
d) 0,66 (0,6634…)
2 a) 1 098 240
Lösning:
1 valör av 13.
2 färger av 4.
3 andra valörer av 12 som kan
ha 4 olika färger
4
12
13
·
·
· 43
2
3
1
b)
1
10
c) 3
5
b) 0,5
1
6
Ledtråd:
Det finns 6 möjliga utfall.
1179 a)
b)
1168 7,1 % (0,070 55)
((
b) 1
Sannolikheten för en flicka och
en pojke är det mest sannolika
20 5
eftersom
= > 50 %.
36 9
1170 a) 0,73 (0,729)
b) 0,24 (0,243)
c) 0,27
1171 Händelserna är inte obereonde.
Sannolikheten för regn ökar,
om det regnade dagen innan.
((
9
6
Antalet gynnsamma utfall:
4
5
·
2
4
(( ((
b) 10/21 ≈ 0,48
1 ≈ 0,005
190
1176 Antalet gynnsamma utfall =
Antalet möjliga utfall
=
( ( · ( ( = 60 ≈ 0,48
126
( 95 (
Nästan 50 % chans.
1181 a) 0,87 (0,868 3…)
b) 0,996 (0,995 8…)
1182 a) 0,34 (0,341 1…)
1172 1/6 (0,166…)
5
3
196
≈ 0,000 029
6 724 520
1180 Ja, eleverna har rätt.
Motivering:
En flicka och en pojke kan
väljas på 5 · 4 = 20 sätt.
Två elever kan väljas på
9
= 36 sätt.
2
1169 a) 0,93
Ledtråd:
Beräkna komplementhändelsen.
4
2
1
≈ 0,000 000 15
6 724 520
716 625
c)
≈ 0,107
6 724 520
b) 40/103 ≈ 0,39
1174 a) 0,36
Ledtråd:
Antalet möjliga utfall:
1178 a) 0,17 (0,1666…)
c) 0,97 (0,9666…)
1167 a) 86 % (0,858…)
1175
Tema Poker och Yatzy
b) 0,19 (0,1902…)
1165 a) 1
4
1166
1177 a) 0,09 (0,0906…)
b) 0,2
b) 0,048 (0,047 5…)
Ledtråd:
Antalet gynnsamma utfall är
13
4
4
44 =
·
·
·
2
2
2
1
= 123 552
( (( (( (( (
c) 0,000 24
Ledtråd:
Antalet gynnsamma utfall
är 624.
( (( (( (
b) 54 912
Lösning:
1 valör av 13.
3 färger av 4.
2 andra valörer av 12 som kan
ha 4 olika färger
4
12
13
·
·
· 42
3
2
1
( (( (( (
c) 624
Lösning:
1 valör av 13.
4 färger av 4.
1 kort med annan valör
4
48
13
·
·
4
1
1
( (( (( (
3 a) 40
Lösning:
10 stegar i 4 färger.
10 · 4
b) 10 200
Lösning:
10 stegar och varje kort kan
väljas i fyra färger.
Antalet minskas med färgstegarna.
10 · 45 – 40
c) 5 108
Lösning:
4 färger gånger 5 valörer i
samma färg minskat med
stegarna i färg.
13
4·
– 10
5
(( ( (
4 3 744
Lösning:
1 av 13 valörer till paret.
1 av 12 valörer till trissen.
2 av 4 färger i en valör.
3 av 4 färger i en valör.
13 12 4 4
·
·
·
1
2 3
1
( (( (((((
244
M5000 Kurs 5 Bla.indb 244
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:44
5 a)
1 098 240
≈ 0,423
2 598 960
b)
123 552
≈ 0,048
2 598 960
c)
54 912
≈ 0,021
2 598 960
d)
624
≈ 0,000 24
2 598 960
e)
40
≈ 0,000 015
2 598 960
f)
10 200
≈ 0,0039
2 598 960
g)
5 108
≈ 0,0020
2 598 960
3 744
h)
≈ 0,0014
2 598 960
Rangordning efter sannolikhet:
•Stegeifärg(straightflushinkl
royal straight flush)
•Fyrtal
•Kåk
•Färg
•Stege
•Triss
•Tvåpar
•Ettpar
Denna rangordning gäller i poker.
6 7 776
Lösning:
65
7 a) 150
Lösning:
1 valör av 6.
4 tärningar av 5.
1 tärning av annan valör.
6 5
·
·5
1 4
((((
b) 1 200
Lösning:
1 valör av 6.
3 tärningar av 5.
2 tärningar av annan valör,
men inte samma.
6
5
·
·5·4
1 3
((((
c) 1 800
Lösning:
2 valörer av 6.
4 tärningar av 5.
Permutation av 4 tärningar.
där de visar lika 2 och 2.
1 tärning av annan valör.
6 5
4!
·
·
·4
2 4 2! · 2!
d) 300
Lösning:
1 valör av 6 till paret.
1 valör av 5 till trissen.
3 tärningar av 5 till trissen
(de andra till paret).
6 5 5
·
·
1 1 3
((((((
e) 240
Lösning:
5! + 5!
f) 6
8 a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3 600
7 776
1 800
7 776
1 500
7 776
150
7 776
300
7 776
240
7 776
6
7 776
1186 a) 45
b) 1
1192 a) 1 9 36 84 126
126 84 36 9 1
Ledtråd:
Varje tal är summan av de
båda närmaste talen i raden
ovanför.
≈ 0,463
≈ 0,231
≈ 0,193
b) 120a7b3 och 120a3b7
≈ 0,019
≈ 0,039
1193 a)
((
≈ 0,000 77
c) 10
d) 10
1187 a) (x + y) =
= x 3 + 3x 2y + 3xy2 + y3
b) (x + y)4 =
= x4+ 4x3y + 6x2y2+ 4xy3+ y4
1188 a) x , 15x y och 90x y
Ledtråd:
Andra termen: 5x4 · 3y
Tredje termen: 10x 3 · (3y)2
4
3 2
1194 a) Ja.
Motivering:
5 · (2x)3 · (–y)2 = 80x 3y2
2
b) Ja.
Motivering:
5 · (2x)3 · y2 = 80x 3y2
2
c) Nej.
((
((
1195 a) (n – 1)! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1)
n · (n – 1)! = 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n = n!
b) HL =
n−1
n−1
+
=
=
2
3
b) x 3, –15x4y och 90x 3y2
(
1189 a) 21x 5y2 och –35x4y3
b) 103 680a8 b2 och
414 720a7b3
Ledtråd:
Tredje termen:
45(2a)8 · (3b)2
Fjärde termen:
120(2a)7 · (3b)3
(117 ( = (114 (= 330
b) – 945
Ledtråd:
7 · x4 · (–3y)3
3
≈ 0,031
3
5
( 37 ( = 35
b) 6 = 15
(2(
c) ( 6 ( = 20
3
27
1191 a) ( ( = 80 730
5
26
b) ( ( = 14 950
4
26
c)
( 5 ( = 65 780
1190 a)
( (
(
=
(n – 1)(n – 2)(n − 3) (n – 1)(n – 2)
+
=
1·2·3
1·2
=
(n – 1)(n – 2)(n − 3) 3(n – 1)(n – 2)
+
=
6
3·2
=
n(n – 1)(n – 2) − 3(n − 1)(n – 2) + 3(n − 1)(n − 2)
=
6
=
n
n(n – 1)(n − 2)
= VL
=
6
3
((
((((
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
M5000 Kurs 5 Bla.indb 245
245
2013-07-11 15:44
1196 Adam planerar att arbeta
4 månader nästa år.
Visa att summan av antalet
urval där juli ingår och antalet
där juli inte ingår är lika med
antalet sätt som 4 månader av
12 kan väljas ut.
1197 Ledtråd:
Tillämpa Pascals formel
upprepade gånger på
n+1
k+1
(
(
1202 A, C och D ger väldefinierade
mängder, men inte B eftersom
begreppet rik inte är väldefinierat.
1203 a) Sant.
Motivering:
5/6 ∈ Q och Q ⊂ R
b) Falskt.
Motivering:
Mängden Z innehåller bara
de hela talen.
c) Sant.
Motivering:
5 ∈ N och N ⊂ C
och 5i ∈ C.
d) Falskt.
Motivering:
8 tillhör R,
men inte mängderna
Q, Z och N.
1204 a) ∉
Motivering:
7 ingår inte i mängden.
b) ∈
Motivering:
– 5 är ett heltal.
c) ∉
Motivering:
91 är delbart med 7 och 13
och är alltså inget primtal.
d) ∉
Motivering:
128 är inte delbart med 6.
e) ∈
Motivering:
Mängden består av de
positiva heltalen som är
delbara med 3.
246
M5000 Kurs 5 Bla.indb 246
f) ∉
Motivering:
0 ingår inte i den tomma
mängden eftersom den inte
innehåller några element.
1205 a) A är mängden av de 5 första
kvadrattalen.
b) B är mängden av de 6 första
bokstäverna i alfabetet.
c) C är mängden av Sveriges
tre största städer.
d) D är mängden av de 7 minsta
positiva heltalen som är
delbara med 7.
1206 a) {1, 3, 5, 7, 9, 11}
1213 n = 9
Ledtråd:
Förenkla och lös ekvationen
n
n
=6·
2
4
(( ((
1214 a) Summan på rad
n = 2 är 4
n = 3 är 8
n = 4 är 16
Summan på rad n är 2 n.
b)
( 0n ( är antalet delmängder
med 0 element.
( 1n ( är antalet delmängder
med 1 element.
b) {13, 17, 19}
osv
c) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
( nn ( är antalet delmängder
d) {–0,5 ; 0,5 ; 2}
e) {17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80}
1207 a) B = {x|x ∈ N och 0 < x < 7}
b) A = {x|x = 5(n + 1) och n ∈ N}
1208 a) 4 delmängder.
Motivering:
3 element bland 4 kan väljas
på 4 = 4 sätt.
3
((
b) 6 delmängder.
Motivering:
2 element bland 4 kan väljas
på 4 = 6 sätt.
2
((
1209 a) A = {102, 104, 106, 108, ...}
b) B = {–2, 0, 2}
1210 a) 25 = 32
b) 27 = 128
1211 Ja.
Motivering:
Mängden A består av 5 element
och har 25= 32 delmängder.
Mängden B består av 4 element
och har 24= 16 delmängder.
1212 a) 8 mängder.
b) 16 mängder.
Motivering:
X är alla mängder som
innehåller 1, 2 och någon
delmängd av {3, 4, 5, 6}.
med n element.
VL = summan av antalet
delmängder till en mängd
med n element = 2 n = HL.
1216 a) {b, d}
b) ∅
c) {a, b, c, d, e}
d) {a, c, e}
e) {a, c}
f) {f, h}
1217 a) {2}
b) {0, 2, 3, 4, 5, 6}
c) {0, 1, 3, 4, 5, 6}
d) {3, 5}
Ledtråd:
A ={1, 3, 5}
1218 a) A ={1, 5, 8, 10, 11, 45}
b) A ={8, 10, 15, 21, 45}
c) A ={1, 5, 7, 8, 10, 11}
d) A ={3, 8, 10, 11, 21, 45}
1219 a) A ={2, 4, 6, 8, ...}
b) P ∩ T = {3}
c) P ∩ A = {2}
d) A ∩ T = {6, 12, 18, 24, ...}
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:44
1220 Nej, det är inte sant.
Motivering:
Det finns rätvinkliga trianglar
som inte är likbenta.
A
B
B
b) Alla tjejer som går i
gymnasiet och/eller är 18 år.
A
c)
c) Alla 18-åriga killar som går i
gymnasiet.
A
d) Alla 18-åriga killar.
d)
e) Alla som är svenska
medborgare och/eller är
18-åriga tjejer.
B
A
B
1227 a)
1222 a) P
C
b) P ∩ Q
c) P ∩ Q (P ∩ R)
b)
1223 a) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B
A
d) Mängden C
Motivering:
Romber tillhör mängden
parallellogrammer men
inte mängden rektanglar.
b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
c) {1, 3, 5, 7}
C
1224 a) Ja.
Motivering:
Tre element ska ingå i både
A och B.
T ex {1, 2, 3, 4} och
{2, 3, 4, 5, 6, 7}
c)
d) Nej.
Motivering:
| A| = 3 och | B| = 5
Unionen mellan dessa
mängder kan inte innehålla
mindre än 5 element.
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
M5000 Kurs 5 Bla.indb 247
b) 51/3 ∈ C \Q
Motivering:
51/3 är inte ett rationellt tal
som kan skrivas a/b.
C
d)
b) Ja.
Motivering:
Om mängden A är en
delmängd av mängden B.
T ex {1, 2, 3, 4} och
{1, 2, 3, 4, 5}
c) Nej.
Motivering:
Grundmängden måste
innehålla minst 11 element
eftersom 1 element ska ingå
i både A och B, 4 element
ska ingå i endast B och
6 element ska ingå i endast A.
1233 a) 9/3 ∈ Z
Motivering:
9/3 = 3
B
A
B
A
c) – 2,5 ∈ Q\ Z
Motivering:
– 2,5 tillhör de rationella
talen, men inte de hela talen.
C
1228 19 element
Lösning:
15 + 12 – 8 = 19
1229
1303 a) 3 hörn och 5 kanter.
b) 6 hörn och 7 kanter.
100
6
7
Färgfel
a) 6
c) 16
b) 9
d) 84
1230 a) A ∩ (B ∪ C)
b) A\(B ∪ C)
b) Mängden B ∩ C
Motivering:
Kvadratertillhörmängden
rektanglar (två par
parallella sidor och räta
vinklar) och kvadrater
tillhör mängden romber
(alla sidor lika långa).
c) Mängden D
Motivering:
Parallelltrapetser har inga
gemensamma element med
de övriga om de definieras
som fyrhörningar med exakt
ett par parallella sidor.
B
A
b) 4 elever
1232 a) Mängden A
Motivering:
Kvadrater,rektanglaroch
romber är delmängder av
mängden parallellogrammer.
b)
1221 a) Alla 18-åriga svenska tjejer
som går i gymnasiet.
f) Alla som är är tjejer
och/eller går i gymnasiet
och /eller är 18 år.
1231 a) 10 elever
1226 a)
3
Måttfel
1304 a) Väg och stig.
Motivering:
Den är inte sluten och
passerar inte samma hörn
eller kant flera gånger.
b) Kretsochcykel.
Motivering:
Den är sluten och passerar
inte samma hörn eller kant
flera gånger.
247
2013-07-11 15:44
c) Väg.
Motivering:
Den är inte sluten och
passerar samma hörn,
men inte samma kant
flera gånger.
d)Krets.
Motivering:
Den är sluten och passerar
samma hörn, men inte
samma kant flera gånger.
1305 a)
1316 a)
1312 a)
3+5=8
b) Det finns ingen Hamiltoncykel i grafen.
3 + 8 = 11
c)
d) Det finns ingen Hamiltoncykel i grafen.
1313 a)
b) Trädet med lägst vikt, dvs 8.
1317 a) Vikten är 6.
1
Canberra
d) Det finns
ingen Eulerkrets i grafen.
Calcutta
2
25
24
9
b)
8 + 5 = 13
c)
3
18
16
b) Vikten är 7.
1
1306 a) T ex ta bort bron mellan
A och B.
b) T ex lägga till en bro mellan
A och C samt lägga till en bro
mellan B och D.
c) Det finns en Eulerkrets om
grafen är sammanhängande
och det utgår ett jämnt antal
kanter från varje hörn.
1308 a) Det är inte en Hamiltoncykel
eftersom cykeln inte går
genom alla hörn.
b)
2
8
Peking
b) 25 + 9 + 8 + 24 = 66
25 + 16 + 8 + 18 = 67
c) Det spelar nästan inte
någon roll vilken resväg han
väljer. Flygtiden är ungefär
densamma.
Motivering:
Det finns (4 – 1)! = 6 resvägar
men bara 3 reslängder (total
flygtid).
Den tredje reslängden är
18 + 9 + 16 + 24 = 67
1315 a) A: 2 hörn och 1 kant.
B: 7 hörn och 6 kanter.
C: 6 hörn och 5 kanter.
1309 a) 66
b) 64
4
Tokyo
1318 n > 8
Motivering:
n = 8 ger 86 = 262 144 sätt
n = 9 ger 97 = 4 782 969 sätt
1319 a)
b)
b) T ex:
1310 a) (10 – 1)! = 362 880
3 kanter
b) 181 440
c) Antalet resvägar minskar till
en niondel av 362 880.
1311 143
Lösning:
22 + 17 + 22 + 42 + 40 = 143
c) T ex:
5 hörn
d) Antalet hörn =
= antalet kanter + 1.
248
M5000 Kurs 5 Bla.indb 248
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:45
c) 9 stycken.
5 60
Ledtråd:
5 · 4
3
2
(( ((
6 a) 1 + 6a + 15a2 + 20a3 +
+ 15a4 + 6a5 + a6
b) 32x 5 – 80x4y + 80x 3y2 – 40x 2y3
+ 10xy4 – y5
7 a) Sant.
Motivering:
7 är ett primtal mindre än 10.
b) Falskt.
Motivering:
Delmängden kan inte innehålla fler element än mängden.
c) Sant.
Motivering:
En mängd med 2 element har
22 delmängder.
d) Sant.
Motivering:
Ekvationen saknar reella
lösningar.
8 a) A ∩ B = {4}
b) B ∪ C = {4, 5, 6, 7}
c) B \C = {1, 2, 3, 8, 9}
d) (A ∪ B) ∩ C = {5, 6}
Diagnos 1
1 a) 3
b) 8
2 a) 504
Lösning:
9 · 8 · 7 = 504
9 A\(B ∪ C)
10 a) 240
b) Mängderna har inget
gemensamt element.
b) 20
11 En promenad i en graf som börjar
och slutar på samma ställe och
passerar alla kanter precis en
gång.
c) 10
12 a) 5 vägar
b) 1 000
3 a) 48
d) 5 050
Ledtråd:
101
101
=
2
99
( ( ( (
4 a) 56
Ledtråd:
8
3
((
b) 336
b) 15 vägar
Lösning:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
Blandade övningar kapitel 1
1 13
2 a) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}
b) B \ C = {b, e, f}
c) A ∩ C = {a, c}
d) B ∩ C = {c, d}
e) A ∩ B ∩ C = {c}
f) |A ∪ B ∪ C| = 7
3 a) B \ A
b) (A ∪ B)
4 a) Ja.
Motivering:
Det finns en promenad som
börjar och slutar i samma hörn
och passerar alla hörn precis
en gång.
b) Nej.
Motivering:
Det finns ingen promenad som
börjar och slutar i samma hörn
och passerar alla kanter precis
en gång.
5 33 sätt
Lösning:
3 · 3 + 3 · 4 · 2 = 33
( 103(= 120 urval
b) 8 = 56 urval
(3 (
6 a)
c) 64 urval
− 2)
( 3n ( = n(n – 1)(n
6
n + 1 (n + 1)n
b) (
=
2 (
2
n
n(n – 1)
=
c) (
n – 2(
2
n+1
n
+
1)n
d) (
=
n – 1(
2
7 a)
(
8 a) 4! = 24
b) 4! = 12
2!
c) 4! = 6
2! · 2!
d) 4
9 Alla n! > 1! innehåller faktorn 2.
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
M5000 Kurs 5 Bla.indb 249
249
2013-07-11 15:45
10 a) HL = 2
=2·
( m2 ( + ( m1 ( =
17 a) 9x4 – 6x 2y3 + y6
m(m – 1)
+m=
2
2
( (
18 6x5 + 15x4 h + 20x 3h2 + 15x 2 h3 +
+ 6xh4 + h5
19
24 a) 16
Lösning:
4 4 – 2 = 42 = 16
b)
A
1
F
B
3
(
n
Symmetriegenskapen hos ( (
k
kan uttryckas som
( 2nn– 1( = ( 2nn ––11( för n ≥ 1.
2n
Alltså är ( ( =
n
2n – 1
2n – 1
2n – 1
=(
+
=2
n–1( ( n–1( ( n–1(
d) z10 + 15z8u + 90z6 u2 +
+ 270z4u3 + 405z2u4 + 243u5
5
b) Pascals formel ger
2n
2n – 1
2n – 1
=
+
n
n–1
n
( ( (
( (( (
c) x4 – 4x 3y + 6x 2y2 – 4xy3 + y4
= m – m + m = m = VL
2
23 a) 8 190
Lösning:
13
15
·
= 8 190
2
2
b) 0,4
b) a3 + 6a2 b + 12ab2 + 8b3
2
för n ≥ 1.
11 a) Alla element som tillhör
antingen A eller B, men inte
både A och B.
b) Om (A ∪ B)\(A ∩ B) = ∅
innebär detta att A och B är
lika.
12 Ja, t ex A = {1, 2, 3, 4},
B = {1, 2, 3} och C = {3, 4, 5, 6}
( (
20
13
= 184 756
10
b) 5/324 ≈ 0,015
15 a)
40 %
B
25 %
30 %
A = {alla som vill åka skidor}
B = {alla som vill åka skridskor}
b) 5 %
16 a)
( 93 ( = 91 ·· 82 ·· 73 =
((
b) I en grupp på nio personer ska
man välja tre personer som får
göra en resa. Det kan göras på
9
= 84 sätt. Det finns lika
3
9
= 84 att välja de
många sätt
6
sex personer som inte får resa.
250
M5000 Kurs 5 Bla.indb 250
((
7
Total vikt = 18
D
20 a) Mängden B.
Motivering:
De liksidiga trianglarna är en
delmängd av de likbenta
trianglarna A.
c) De likbenta och rätvinkliga
trianglarna.
Motivering:
Det färgade området är snittet
av likbenta trianglar, A, och
rätvinkliga trianglar, C.
21 a) 43 = 64
9·8·7·6·5·4
9
=
=
6
1·2·3·4·5·6
((
C
b) Mängden C.
Motivering:
De rätvinkliga trianglarna har
gemensamma element med
mängden likbenta trianglar, A,
men är inte en delmängd av A.
14 a) 52 % (0,5177…)
A
E
b)
( 13 ( · 3 = 27
2
c) 64200
22 a) 5! = 120
b) 48
Lösning:
4! + 4! = 48
25 Det finns tre talpar med summan 7.
Om vi tar 4 tal får vi åtminstone
ett sådant par.
26 7 elever
Lösning:
R
J
4
4
1
2
5
3
3
P
Totalt 29 – 22 = 7
27 159 744
28 3 rader
Motivering:
Korrekttipsradmåsteinnehålla
minst 5 stycken 1:or, X eller 2:or.
Tippar man en rad med 13 stycken
1:or, en rad med 13 stycken X och
en rad med 13 stycken 2:or, har en
av raderna minst 5 rätt.
29 a) (n – 1)!(n – 1)
b) n!(n2 + 3n)
30
B
A
C
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
2013-07-11 15:45
( (
4
13
13
b) ( ( · ( ( · 3 · ( ( =
1
4
3
31 a) 52 ≈ 6,35 · 1011
13
= 2 453 880
( (( (
c) 52 – 39 ≈ 6,27 · 1011
13
13
2
2103 a) Sant.
Motivering:
710 slutar på noll och är
därför delbart med 5.
b) Sant.
Motivering:
216 slutar på 16 som är
delbart med 4.
32 Båda leden ger samma
Venndiagram.
a)
c) Falskt.
Motivering:
402 är delbart med 3 eftersom siffersumma är 6 och
alltså delbar med 3.
B
A
C
d) Falskt.
Motivering:
202 är ett jämnt tal, men
siffersumman är inte delbar
med 3.
b)
B
A
C
33 594 handhälsningar
34 Anta att vi är intresserade av
att veta om någon grupp av
n decimaler kommer att upprepa
sig. En grupp med n decimaler
kan bildas på 10n olika sätt.
En decimalutveckling med
x decimaler innehåller x – n + 1
grupper med n decimaler.
Enligt lådprincipen kommer
därför minst en grupp med
n siffror att upprepa sig när
x – n + 1 > 10n, dvs om vi
decimalutvecklar med fler än
10n + n – 1 decimaler.
35 1 820 sätt
Förklaring:
Vi placerar ett streck mellan de
olika bullarna. Det krävs 4 streck
för att skilja de fem bullsorterna
åt. Vi får en rad med 16 symboler,
12 bullar och 4 streck.
4 streck fördelas på 16 platser
16
= 1 820 olika sätt.
på
4
( (
36 a) 190 590 400 sätt
2104 a) Nej.
21 = 3 ∙ 7
b) Ja, 23 är ett primtal.
c) Nej.
52 = 2 ∙ 2 ∙ 13
d) Nej.
87 = 3 ∙ 29
2105
150
15
3
10
5
2
5
2106 a) Ja.
Motivering:
A innehåller alla
faktorer i 15 (= 3 ∙ 5).
b) Nej
Motivering:
A innehåller bara en av
faktorerna i 16 (= 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2).
2107 a) 2 091 = 3 ∙ 17 ∙ 41
b) 6 045 = 3 ∙ 5 ∙ 13 ∙ 31
2108 a) Ja, 2n – 1 är udda.
Motivering:
2n är ett jämnt tal om n är
ett heltal, alltså är 2n – 1
udda.
b) Ja, 2n – 2 är jämnt.
c) Nej, det kan inte avgöras.
Motivering:
Om n är jämnt så är n – 1
udda.
Om n är udda så är n – 1
jämnt.
d) Nej, det kan inte avgöras.
2109 Lösning:
Det finns flera möjliga svar
eftersom 105 = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7.
T ex:
Två barn 7 år och 15 år eller
tre barn 3 år, 5 år och 7 år eller
fyra barn 1 år, 3 år, 5 år och 7 år.
Kommentar:
En ung mamma gör att 5 år och
21 år eller 3 år och 35 år är
mindre sannolika.
2110 T ex 7 och 14
Ledtråd:
Talet måste innehålla 7 som
en faktor.
2111 Lösning:
m2 – 1 (8k + 1)2 – 1
=
=
8
8
64k2 + 16k +1 – 1
=
=
8
= 8k2 + 2k = 2(4k2 + k)
vilket är jämnt eftersom
(4k2 + k) är ett heltal.
2112 8 712 585 st
Lösning:
Ett tal A med n siffror kan
skrivas
A = a ∙ 10n där 0,1 ≤ a < 1.
A = a ·10n = a ∙ 10 n =
= a ∙ 100,5n
vilket är ett tal vars heltalsdel
har hälften så många siffror om
n är jämnt.
17 425 170/2 = 8 712 585
2113 a) Lösning:
a delbart med 4 ger att
1 200 + a = 4 ∙ 300 + 4k =
= 4(300 + k)
vilket är delbart med 4.
b) Ledtråd:
Visa att, om k = 2n + 1, så är
3k delbart med 3 men inte
med 2.
b) 5 045 040 sätt
SVAR, LEDTRÅDAR OCH LÖSNINGAR
M5000 Kurs 5 Bla.indb 251
251
2013-07-11 15:45
sammansatt tal 68
sannolikhet 23
sannolikhetslära 23, 26
SGD 71
SGF 71
Sierpińskis triangel 87
slumpförsök 23
skalmetoden 158
skivmetoden 154
snitt 39
stig 47
största gemensamma delare 71
största gemensamma faktor 71
största värde 137
summatecken 90
talföljd 84
aritmetisk 90
Fibonaccis 102
geometrisk 92
talsystem 80
binärt 80
hexadecimalt 80
oktalt 80
talteori 68
tangent 128
terrasspunkt 137
tillhör 35
tillhör inte 35
tillväxt med begränsningar 204
tom mängd 35
träd 54
träddiagram 24
union 39
uppspännande träd 54
utfall 23
utfallsrum 23
utvecklas form 80
Personer:
Appel, Kenneth 49
Brahe, Tycho 157
Euler, Leonard 46
Gauss, Carl Friedrich 79
Haken ,Wolfgang 49
l’ Hospital, Guillaume François A. 144
Kepler, Johannes 157
Leibniz, Gottried Wilhelm 144
Newton, Sir Isaac 144, 179
Fibonacci, Leonardo 102
Wiles, Andrew 79
Venndiagram 41
verifiering av en lösning 182
volymberäkning 154
skalmetoden 158
skivmetoden 154
väg 47
växande funktion 122
Yatzy 28
KÄLLFÖRTECKNING TILL BILDER
Siffrorna anger sida och bildens placering på sidan
Foton:
Alfredsson, Lena 16:1-3,
Bonde, Irene 136
Heikne, Hans 10, 18, 26, 27, 50, 106,
126, 142, 161, 166, 170, 176:2, 181,
201, 202, 218
IBL Bildbyrå AB, Stockholm
Abbey, Michael 205
Abreu, César Lucas 12
AGE photostock 96
Ardea 208
Bibikov, Walter 222
Brignell, Chris 217
Buettner, Jens 149
China Photo Press 199
Coppola, Iris 15
Derby, Erin 130-131
Dinodia 51:4
Easy Photostock 11, 14
Eriksson, Per- Olov 195
Escudero, Patrick 72
Eugen 209
Eyevine 42
Fleck, Elfride 215
284
M5000 Kurs 5 Bla.indb 284
Grill, Tom 103
Image Source 97
Jianzhu 100
Kalium 51:1
Korach, Mujo 132
Levene, David 115
Lilja, Torbjörn 176:1
Maslennikov, André 227
Masterton, Ian 51:2
Mathieson, Greg 83
Melba 219
Militsova, Olga 65:2
Nature Picture Library 174-175
Norenlind, Nils- Johan 187
Pasieka, Alfred 56
Photo Researchers 101
Preis, Miriam 117
Rex Features 116, 216,
Schederin, Roger 124
Sience Photo Library 6-7, 32, 57, 78,
108,118-119, 144:1-2, 157:1-2, 162,
178, 179, 200, 210
Topic Photo Library 51:3, 168
Valkonen, Jorma 82, 86
Victoria and Albert Museum 98
Ward, A 73
Whalberg, Per 125
Xinhua 135:2
Nordic Photos Bildbyrå
Andersson, Mikael 133
Wildcard Images 134
Kungliga Vetenskapsakademin 197
Scanpix Bildbyrå
Edwartz, Lasse 135:1
Shutterstock
Adriyanov, Ilya 123
Deng, Songquang 29
JDS 66-67
Nmid 64
Orr, Paul 112
Sashkin 80
Urrra 189
Wierinnk, Ivonne 22
Zadorozhnyi, Viktor 224-225
Illustrationer:
Johan Hesselstrand 8, 46, 133, 143
Matematiska illustrationer:
Mats Karlsson
REGISTER
2013-07-11 15:46