1. No category

fs10
10.-klasseprøven
Matematik
Maj 2014
1På rejse til VM i fodbold
2VM-fodbolden Brazuca
3Brasilien og Danmark
4Fodboldkampe og odds
5Korde i en cirkel
1
På rejse til VM i fodbold
Ane og Bjarne planlægger at rejse til Brasilien for at se to
kampe ved VM i fodbold. Herunder kan du se planen for
Ane og Bjarnes rejse med fly fra København til São Paulo i
Brasilien.
Afgang (lokal tid)
Ankomst (lokal tid)
København
Tirsdag den 24. juni kl. 14:35
London
Tirsdag den 24. juni kl. 15:30
London
Tirsdag den 24. juni kl. 18:40
Madrid
Tirsdag den 24. juni kl. 22:10
Madrid
Onsdag den 25. juni kl. 00:35
São Paulo
Onsdag den 25. juni kl. 07:25
Kilde: Google Maps
Kilde: http://www.travelmarket.dk
1.1
Hvor lang tid skal Ane og Bjarne ifølge planen vente i London?
Tidsforskellen mellem København og São Paulo er fem timer.
Når klokken er 14:00 i København, er den 09:00 i São Paulo.
1.2
Hvor lang tid går der fra afgang i København til ankomst i São Paulo?
Inden Ane og Bjarne rejser til Brasilien, køber de
billetter til åbningskampen og en gruppekamp.
Tabellen til højre viser, hvad en billet til forskellige
kampe koster i amerikanske dollar (USD).
1.3 Du skal vise med beregning, at Ane og Bjarnes billetter
til de to kampe i alt koster 1340 USD.
Ane og Bjarne betaler 7377,91 danske kroner (kr.) for
billetterne.
1.4
Hvilken kurs for USD er brugt i Ane og Bjarnes betaling?
Kamp
Pris
Åbningskampen
495 USD
Gruppekampe
175 USD
Ottendedelsfinaler
220 USD
Kvartfinaler
330 USD
Semifinaler
660 USD
Bronzekampen
330 USD
Finalen
990 USD
Ane og Bjarne har tilsammen 50 000 kr. til turen. De skal bruge pengene til fodboldbilletter,
flybilletter, hotelovernatninger, mad og lommepenge. Prisen for flybilletter er 8117 kr. pr. person.
Hotelovernatning for dem begge koster 1059 kr. pr. nat, og Ane og Bjarne forventer at bruge
ca. 1000 kr. tilsammen om dagen til lommepenge og mad.
1.5
Du skal udarbejde et budget for turen og undersøge, hvor mange dage Ane og Bjarne har råd til
at opholde sig i Brasilien. Brug evt. regnearksfilen BUDGET_MAJ_2014.
Budget fodboldtur
Fodboldbilletter
Flybilletter
Hotelovernatninger
Mad og lommepenge
I alt
2
Antal
Pris pr. stk.
(kr.)
2
I alt
(kr.)
7377,91
8117
1059
1000
VM-fodbolden Brazuca
Brazuca er navnet på den fodbold, som fodboldspillerne skal
bruge ved VM i Brasilien. I skemaet herunder kan du se mål
på fodbolde i forskellige størrelser.
Størrelse
Omkreds
3
57-59 cm
4
63,5-66 cm
5
69,5 cm
Kilde: Adidas
Kilde: FIFA
Ane ved, at Brazuca fodbolden har størrelse 5.
2.1
Du skal vise med beregning, at Brazucafodbolden har en diameter på ca. 22 cm, når omkredsen
er 69,5 cm.
Ane påstår, at fodbolde i størrelse 5 har et rumfang på fem liter.
2.2
Har Ane ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.
3
Danmark
Brasilien og Danmark
Brasilien
Danmarks befolkningstal er ca. 5,5 millioner, og Brasiliens
befolkningstal er ca. 201 millioner.
3.1
Hvor mange gange er Brasiliens befolkningstal større end
Danmarks befolkningstal?
Kilde: Google Maps
2
2
Danmarks areal er ca. 43 000 km , og Brasiliens areal er ca. 8 516 000 km . I Danmark bor der
2
ca. 128 mennesker pr. km .
3.2
Du skal vise med beregning, at antallet af mennesker pr. km2 i Brasilien er mindre end antallet af
2
mennesker pr. km i Danmark.
I Københavns Kommune bor der ca. 570 000 mennesker. København er den eneste kommune i
Danmark, hvor der bor mere end 500 000 mennesker.
3.3
Hvor stor en procentdel af Danmarks befolkning bor i Københavns Kommune?
I Brasilien bor ca. 43 % af befolkningen i byer med over 500 000 mennesker.
3.4
Hvor mange mennesker i Brasilien bor i byer med over 500 000 mennesker?
Du kan bruge filen ALDERSFORDELING_MAJ_2014
til opgave 3.5.
Tabellen til højre viser befolkningens aldersfordeling i
Brasilien og i Danmark.
3.5
Tegn et eller to diagrammer, der viser aldersfordelingen i
Brasilien og i Danmark, og sammenlign aldersfordelingen
i de to lande.
Aldersintervaller
] 0; 10]
]10; 20]
]20; 30]
]30; 40]
]40; 50]
]50; 60]
]60; 70]
]70;110]
Brasilien Danmark
15 %
18 %
18 %
16 %
13 %
10 %
6%
4%
11 %
12 %
12 %
12 %
15 %
14 %
12 %
12 %
Kilde: Demographics of Brazil og Danmarks Statistik
Medianen for den danske befolknings alder er ca. 42 år.
3.6
Hvor stor er medianen cirka for den brasilianske befolknings alder, og hvad viser medianerne om
forskellen på aldersfordelingen i Danmark og Brasilien?
Diagrammet herunder viser udviklingen i befolkningstallet i Brasilien og Danmark fra 1961 til
2010.
Befolkningstal i Brasilien 200 000 000 Befolkningstal i Danmark 20 000 000 180 000 000 18 000 000 160 000 000 16 000 000 Brasilien 140 000 000 14 000 000 120 000 000 12 000 000 100 000 000 10 000 000 80 000 000 8 000 000 Danmark 60 000 000 4 000 000 20 000 000 2 000 000 1970 1980 1990 2000 Danmark 6 000 000 40 000 000 0 1960 Brasilien 2010 0 årstal Kilde: Demographics of Brazil og Danmarks Statistik
Brasiliens befolkningstal var i 1961 ca. 75 millioner.
3.7
I hvilket årstal var befolkningstallet i Brasilien dobbelt så stort som i 1961?
3.8
Du skal vise, at Brasiliens befolkningstal i gennemsnit er vokset med ca. 2 % om året fra 1961 til
2010. Brug evt. et it-værktøj.
3.9
Undersøg, hvornår Danmarks befolkningstal ser ud til at blive dobbelt så stort som i 1961.
4
Kampplan
Ved fodbold-VM i Brasilien deltager 32 lande, som er inddelt i otte
grupper med lige mange lande i hver gruppe.
4.1
Du skal vise med en beregning, at der er fire lande i hver gruppe.
De fire lande i hver gruppe skal spille en kamp mod hvert af de
andre lande i deres gruppe.
4.2
Hvor mange kampe skal der i alt spilles i de otte
grupper.
Bjarne spiller 300 kr. på, at Brasilien bliver
verdensmester i fodbold. Odds på, at Brasilien
bliver verdensmester, er 4,33.
Boksen til højre forklarer, hvordan odds har
betydning for, hvor stor en gevinst en spiller kan
vinde.
4.3
Hvor mange penge får Bjarne i gevinst, hvis
Brasilien bliver verdensmester?
Formlen i den gule boks til højre viser, hvordan
Danske Spil beregner odds.
4.4
Hvor stor er P(A), når odds på, at Brasilien
bliver verdensmester, er beregnet til 4,33?
Kilde: FIFA
Indsats, odds og gevinst
Indsatsen er det beløb, en spiller satser på
et bestemt resultat af fx en fodboldkamp.
Odds er det tal, som indsatsen bliver
ganget med, når man beregner gevinsten.
Gevinsten, er det beløb, som bliver
udbetalt til dem, der har spillet på det
rigtige resultat.
Et eksempel:
En spiller satser 50 kr. på, at en kamp
ender uafgjort.
Odds på, at kampen ender uafgjort, er
2,12.
Gevinsten, der bliver udbetalt, hvis
kampen ender uafgjort, er
50 kr. · 2,12 = 106 kr.
odds =
1
⋅ 0,85
P(A)
P(A) er Danske Spils vurdering af
sandsynligheden for hændelsen A.
Ane og Bjarne skal se kampen mellem England og Italien. Der er følgende odds på kampen:
2,80 på, at England vinder.
3,25 på, at kampen ender uafgjort.
2,50 på, at Italien vinder.
Bjarne påstår, at hvis de spiller 100 kr. på hvert af de tre mulige resultater, vil de være sikre på at
tjene penge.
4.5
Har Bjarne ret i sin påstand? Du skal begrunde dit svar.
5
Korde i en cirkel
Skitsen viser en cirkel og en trekant, der er tegnet ved hjælp
af to radier og en korde i cirklen.
5.1
korde
6 cm
4 cm
4 cm
radius
radius
Tegn cirklen og trekanten med de mål, der står på skitsen, og
mål centervinklen. Hvis du bruger et it-værktøj til tegningen,
behøver enheden ikke være i centimeter.
centrum
centervinkel
Du kan bruge et it-værktøj og/eller formlen i den gule boks
til at finde længden af en korde i en cirkel.
Skitse
5.2
Hvor stor er længden af korden i en cirkel,
hvor radius er 4 cm, og centervinklen er 80°?
5.3
Undersøg, om formlen gælder, hvis centervinklen, v, er
180°.
5.4
Hvor stor skal centervinklen, v, være for, at korden og
radius i cirklen er lige store? Du skal begrunde dit svar.
k = 2 r sin
1
2
v
k er kordens længde
r er længden af radius
v er centervinklens størrelse
For at bevise formlen i den gule boks bruger Ane
tegningen til højre. Ane ved, at linjestykket h både er
vinkelhalveringslinje og højde i trekanten.
k
h
Ane påstår, at vinkelhalveringslinjen, h, halverer korden, k.
5.5
1_ v
2
r
_1
2v
r
Forklar, hvorfor Ane har ret i sin påstand.
Ane skriver regneudtrykket under cirklen.
5.6
Forklar, hvorfor Anes regneudtryk er rigtigt.
sin
5.7
Du skal vise, hvordan Ane kan omskrive regneudtrykket til
formlen i den gule boks.
( v) =
1_
2
1_
2k
_
r
Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001