1. No category

Mat. B (Sådan huskes fomlerne)
Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Her er tilføjet bemærkninger til nogle af formlerne
Indhold
BRØKER .......................................................................................................................................................................................... 1
PARENTESER ................................................................................................................................................................................... 2
EKSPONENTER ................................................................................................................................................................................ 2
LOGARITMER .................................................................................................................................................................................. 3
GEOMETRI....................................................................................................................................................................................... 3
Areal af trekant...................................................................................................................................................................... 3
Ens- vinklede trekanter .............................................................................................................................................................. 3
Ret- vinklet trekant. Pythagoras, ............................................................................................................................................. 3
ANDENGRADSPOLYNOMIET ............................................................................................................................................................ 4
DIFFERENTIALREGNING .................................................................................................................................................................. 5
INTEGRAL / ................................................................................................................................................................................... 6
STAMFUNKTION .............................................................................................................................................................................. 6
VÆKST ............................................................................................................................................................................................ 6
Brøker
Disse regler kan læres ved at træne med http://mahf.dk/tdc/bType2.htm
Regel
Det hele tal ganges ind i
tælleren
Helt tal gange brøk
Brøk divideret med
helt tal
Helt tal divideret
med brøk
Brøk divideret med brøk
Forkorte en brøk
Forlænge en brøk
Brøk plus brøk med
samme nævner
Brøk minus brøk med
samme nævner
Find fællesnævner
for 2 brøker
© PeterSoerensen.dk
Det hele tal ganges ind i
nævneren
Man dividerer med en
brøk ved at gange med
den omvendte
Man dividerer med en
brøk ved at gange med
den omvendte
Tæller og nævner
divideres med samme
tal
Tæller og nævner
ganges med samme tal
Tæller plus tæller og
behold den fælles
nævner
Tæller minus tæller og
behold den fælles
nævner
De to nævnere ganges
med hinanden
:
Eksempel
a k a

b
b
a c ac
 
b d bd
a
a
:k 
b
bk
2 3 2 6


7
7
7
2 3 23 6
 

7 5 7  5 35
2
2
2
:3

7
7  3 21
k
Tæller gange tæller og
nævner gang nævner
Brøk gange brøk
Formel
k :
a
b
k
3
b
a
3:
7
2
 3
2
7
=
21
2
ad
a c

:
bc
b d
2 3
2  5 10
:


7 5
7  3 21
a
a/k

b
b/k
6
6/3 2


21 21 / 3 7
a
ak

b
bk
2 23 6


7 7  3 21
a c ac
 
b b
b
2 3 23 5
 

7 7
7
7
a c ac
 
b b
b
a c ad bc
 

b d bd bd
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
side
1/6
Ligninger
Disse regler kan læres ved at træne med http://lyngbydata.dk/matematik/ligninger.htm
Regel sagt på
en anden måde
Regel
Man må lægge samme størrelse til på
begge sider af lighedstegnet.
Eksempel
Man må flytte en størrelse
over på den anden side af

lighedstegnet, hvis man skifter
fortegn på størrelsen
Man må trække damme størrelse fra på
begge sider af lighedstegnet

Man må gange med samme størrelse
på begge sider. Dog ikke med nul.
Man må dividere med samme
størrelse på begge sider
3x
= 2x + 7
3x – 2x = 7
2
x5  9
3

2
3 x  35  39
3
2x + 15 = 27

7x = 35
x=5
Parenteser
Disse regler kan læres ved at træne med http://lyngbydata.dk/matematik/parentes.htm
Formel
Eksempel
Tallet ganges med
hvert led i parentesen
k (a  b)  ka  kb
7(10  2)  70  14
Tal gange
parentes
Regel
(3x – 5)(2x+1)
Hvert led i den ene
Parentes gange
ganges med hvert led i
parentes
den anden
Minus parentes
(a  b)(c  d )  ac  ad  bc  bd
= 6x² + 3x -10x – 5
= 6x² – 7x – 5
-(x-5)
Man kan hæve en
minus parentes ved at
skifte fortegn i alle led
-(a-b) = -a + b
= -1(x-5)
= -x + 5
Eksponenter
Formel
p
q
a ·a = a
Eksempel
3
Formel
4
5 ·5 =
p+q
5·5·5 · 5·5·5·5 =
53+4
Eksempel
(a )  a
p q
a
-p
=
1
ap
=
1
a
pq
3 4
(5 ) = 53·53·53·53 =
·
53 4 = 512
5-3 =
1
53
5-1 =
1
5
57-3
(a·b)
p
p
= a ·b
(5·7)3 = 5·5·5·7·7·7 =
53 · 73
p
a
-1
a1 = a
© PeterSoerensen.dk
:
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
51 = 5
side
2/6
Logaritmer
Formel
Eksempel
Log(5 · 3) = Log(5) + Log(3)
Log(a·b) = Log(a) + Log(b)
Log(a/b) = Log(a) - Log(b)
Log(ax) = x·Log(a)
Ligningen
y=ax
Log( 5/3 )
= Log(5) - Log(3)
Log(53)
= 3·Log(5)
Ligningen
har løsningen
10000=10x
har løsningen
Geometri
Disse regler kan læres ved at træne med http://lyngbydata.dk/matematik/trekanter6.htm
Bogstaver
Formler
Areal
af
trekant
Eksempler
T = Areal =
½ højde · grundlinje
T = ½·h·g
Ensvinklede
trekanter
k = skalafaktor
= forstørrelsesfaktor
T = ½·10·15 = 75
k=
= 1,5
b1 = 1,5 · 4 = 6
b1 = k · b
Symboler m.m.
c=
Formler
Pythagoras
Retvinklet
trekant.
= 8
Eksempel
Pythagoras
Kvadratet på
hypotenusen er lig
summen af
kateternes kvadrat.
Pythagoras,
Forkortelser:
Hyp:
Hypotenusen
hosl.k: Hosliggende katete
hyp2 = hosl.k2 + modst2
5² = 4² + 3²
modst: Modstående katete
© PeterSoerensen.dk
:
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
side
3/6
p(x) =ax2 + bx + c
Andengradspolynomiet
d = b²- 4ac
Diskriminanten
Toppunkt: (xo , yo) =
(
b
2a
,

d
)
4a
Hvis man ikke kan huske toppunktsformlen til
delprøven uden hjælpemidler, kan man bemærke,
at grafen er vandret ved toppunktet og løse
ligningen:
p’(x) = 0
 2ax+b = 0

2ax = -b

x=
y-værdien til toppunktet kan man derefter finde
ved at indsætte x-værdien i regneforskriften.
Rødder / nulpunkter
b d
2a
Her kan det være en hjælp at huske på, at
formlen også skal passe, når d=0, altså når
toppunktet ligger på x-aksen.
Formlen fremkommer ved at tilføje
til
formlen for toppunktets x-værdi.
a fortæller om parablen er glad
Hvis a>0, vender grenene opad. Fx x², hvor a=1
c er skæring med y-aksen
Det kan man se ved at indsætte 0 i stedet for x i
regneforskriften: p(0) = a02 + b0 + c = c
Fortegnet for c er derfor let at aflæse af grafen.
b er hældning ved y-aksen
d fortæller om parablen skærer x-aksen
d < 0, c > 0, b<0.
Glad graf: a > 0
d > 0, c > 0, b<0.
Trist graf: a < 0
© PeterSoerensen.dk
:
Det kan man se ved at differentiere:
p’(x) = 2ax+b og hældningen ved y-aksen er
p’(0) = 2a· 0+b = b
Fortegnet for b er derfor let at aflæse af grafen
Hvis d>0 er der 2 skæringer med x-aksen,
svarende til 2 rødder/nulpunkter.
Hvis d=0, er der et fællespunkt svarende til én
rod.
Hvis d<0 er der ingen fællespunkter med x-aksen
og således ingen rødder/nulpunkter.
Man skal vide, at når der ikke er nogen
fællespunkter med x-aksen, så er der ingen
rødder, og så er d<0.
Man skal også vide, at når grafen er ”glad”, så er
a>0.
Man skal vide, at når der er 2 fællespunkter med
x-aksen, så er der 2 rødder og så er d>0.
Man skal også vide, at når grafen er ”trist”,
så er a<0
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
side
4/6
Differentialregning
(f+g)'(x) = f ‘(x) + g ‘(x)
Ledvis differentiation
(f - g) '(x) ) = f ‘(x) - g ‘(x)
(k·f(x))' = k ·f ‘(x) , fx: (5x³)´= 5·3x² =15x²
(k·x)'
=
k ,
fx: (3x)´= 3
n ≠ 0: (xn)' = n·xn-1 ,
fx: (x³)´= 3x²
Ledvis differentiation
Denne formel siger, at hvis man ganger et
udtryk eller en funktion med et tal, så skal
man også gange differentialkvotienten med
tallet for at finde differentialkvotienten på
produktet. Fx (5·x³’ = 5·(x³)’ = 5·3x² =15x²
Grafen for den lineære funktion f(x) = 3x
har overalt hældningen 3
Denne formel er meget vigtig.
Formlen kan også udtrykkes således:
(xa) = a·xa-1 , a ≠ 0
n ≠ 0: (k xn)' = k·n·xn-1 ,
=
(x2 - 3x + 1/x)'
(ex)’
=
(k·ex)’
=
Ln’ (x)
0,5x
fx: (5x³)´=15x² Denne formel er en direkte konsekvens af de
nærmeste to ovenstående formler.
0, 5
=
1
2 x
= 2x - 3 - x -2
Denne formel er faktisk en anvendelse af
formlen 2 rum højere oppe, hvor n=0,5
Denne formel er faktisk en anvendelse af
formlen 3 rum højere oppe, hvor n = -1
Dette er et eksempel på anvendelse af
ovenstående formler.
ex
ex
k·ex ,
=
fx (5ex)’ = 5ex
, x>0
er lig sin egen differentialkvotient.
Denne formel er en direkte konsekvens af
ovenstående formel og den 3. øverste formel
på denne side.
Ln er kun defineret for x>0
Ligning for linje gennem
(xo , yo ) med hældning a
y - yo = a(x – xo)
I overensstemmelse med
Ligning for tangent
gennem (xo , yo )
y - yo = f '(xo)(x – xo)
Samme formel, da f ’(x) = a
Tangent til f(x)=x²
gennem (3,9)
f '(x)=2x og f '(3)=6
© PeterSoerensen.dk
Ligning: y - 9 = 6(x- 3)
:
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
side
5/6
Integral
Stamfunktion
/
∫ f(x) dx
f(x)
Fordi (2 x² + k )’ = 4x
4x
2 x² + k
4x + 3
2 x² + 3 x + k
3
3x +k
Fordi (3 x + k )’ = 3
6x²
2 x³ + k
Fordi (2 x³ + k )’ = 6x²
x³
¼ x4 + k
Fordi (¼ x4 + k)’ = x³
5
5x³+6x²-4x+3
/4 x4 +2x³-2x²+3x + k
1
xⁿ , n ≠ -1
/n+1 xn+1 + k
x-1 = 1/x ,
x>0
Ln(x) + k
x-1 = 1/x ,
x<0
Ln(-x) + k
x≠0
Ln(|x|) + k
x-1 = 1/x ,
ex
ex + k
For x>0:
∫1/x
For x<0:
∫ /x dx
1
dx = ln(x) +k
= ln(-x) +k
Fordi (2 x² + 3x + k )’ = 4x + 3
Fordi (5/4 x+2x³-2x²+3x+k)’ = 5x³+6x²-4x+3
1
n
n+1
Fordi ( /n+1 x
+ k)’ = x
Denne formel er vanskelig at forklare.
Den skal man bare huske.
Bemærk Ln(x) er kun defineret for x>0.
Denne formel er vanskelig at forklare.
Den skal man bare huske. Bemærk, at når
x<0 så er –x>0 og Ln(x) er defineret.
Denne formel er en sammenfatning af de to
ovenstående formler.
x
x
Fordi (e + k)’ = e
Denne formel er faktisk den samme som den
4 rum højere oppe.
Denne formel er faktisk den samme som den
4 rum højere oppe.
Arealet af det grå
område er
Vækst
Lineær vækst
Regneforskrift
a
Eksponentiel vækst
y  ax  b
a
( y2  y1 )
( x2  x1 )
Tænk på en taxa
til a kr pr km og
b kr i startgebyr.
Km-pris =
y  ba x
a  ( x2  x1 ) (
y2
)
y1
Startgebyr = pris i
alt minus prisen
for kørte km.
b
a er ændring i y, b er funktionsnår x vokser 1
værdien, når x=0
:
K = K0·(1+r)n
Hvis fx (x2-x1)=7, skal gælde y2= y1· a7
Formlen passer fordi
a=
 a7=
 y2= y1· a7

Fordi
a er fremskrivningsfaktoren for
y, når x vokser 1.
a=(1+r)
T2 =
© PeterSoerensen.dk
Svarende til
Log(2)/Log(a)
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
r er rentefod/vækstrate
b er funktionsværdien når x=0.
T2 er ændring i x, svarende til fordobling af y.
T½ er ændring i x svarende til halvering af y.
T½ =
Log(½)/Log(a)
side
6/6
© PeterSoerensen.dk
:
Matematik B, hf, FORMLER , som skal kunnes til første delprøve Opdateret 23/2-14
side
7/6