1. No category

Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Blandede og supplerende opgaver
Sammensætning af regnearterne ................................................. 60
Geometri ...................................................................................... 61
Statistik ........................................................................................ 67
Talfølger ...................................................................................... 74
Funktioner (1): Formler og funktioner ........................................ 76
Funktioner (2): Andengradsfunktioner og parabler .................... 79
Funktioner (3): Blandede opgaver .............................................. 81
Bogstavregning ........................................................................... 87
Procent og eksponentiel vækst .................................................... 90
Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente..................... 91
Lån og opsparing (2): Serielån .................................................... 92
Lån og opsparing (3): Annuitetslån ............................................ 93
Lån og opsparing (4): Opsparing ................................................ 98
Blandede og supplerende opgaver
Side 59
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Sammensætning af regnearterne
1: Afgør om disse udsagn er sande:
Du skal så vidt muligt svare uden at bruge regnemaskine.
a: 34 ⋅ 32 = 38
4
2
i:
86
= 84
2
8
n:
9
=
25
j:
86
= 83
82
o:
25 − 9 = 25 − 9
6
b: 3 ⋅ 3 = 3
c: 3 2 + 4 2 = 7 2
d: 58 : 52 = 56
e: 58 : 52 = 54
2
2
f: 5 − 2 = 3
k:
2
l:
g: (62 )3 = 66
52  5 
= 
42  4 
1
2
p: 16 = 16
2
1
2
q: 16 =
5−3 = 1 − 53
2: Skriv tallet som
et almindeligt tal:
16
2
r: 747 0 = 1
1
m: 5 = 3
5
−3
h: (6 2 )3 = 65
9
25
s: 747 0 = 0
3: Skriv tallet som
en 10-tals-potens:
a: 7 ⋅ 1012
a: 3,5 mia.
b: 2,45 ⋅ 10 9
b: 35.000.000.000.000
c: 5 ⋅ 10 −8
c: 0,000000058
4: Regn regnestykkerne.
Helst uden regnemaskine
a: 3 ⋅ 10 4 ⋅ 4 ⋅ 10 3
b:
15 ⋅ 10 6
5 ⋅ 10 2
5: Prøv om du både kan regne disse opgaver ved at lave mellemregninger og ved at taste hele
regnestykket ind på regnemaskinen i ”et hug”. Afrund selv til et passende antal decimaler.
a: 5 ⋅ 310 + 4 ⋅ 6 7
h:
5.248 + 12 3
b:
45
i: 17 ⋅ (2,4 + 0,8)10
p: 5 ⋅ 3 2,8 + 4 ⋅ 9,11,8
j: 25 ⋅ (1 − 0,07)19
q: 2,5 −5 + 6,4 −2
c:
d:
6.943 −
4
9.358
22 2
4
f:
2.749.512
2,78 3
6.044,5 

g:  978,2 −

27,5 

2.717 + 1,2812
o:
6
59 2 − 133
k:
51.898
(1 + 0,27) 25
39 − 0,4 −5
r:
13 2,5
l:
3,576
(1 − 0,035)16
s:
898 + 6 32.616
e: 2 ⋅ 4 9 + 3 ⋅ 27 4 − 8,5 ⋅ 48 2
5
m:
9
317
−1
58
3
n: 1 − 5
Blandede og supplerende opgaver
22,3
48,1
2, 5
48 − 3 19
1,8
t:
u:
17,2
21,9
9.548 ⋅ 0,2
1 − 1,2 −5
Side 60
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
a: Undersøg om siderne i
sekskanten er lige lange.
b: Undersøg om siderne i
ottekanten er lige lange.
5,8 cm
8,2 cm
5,8 cm
4,5 cm
4,5 cm
1: Tegningerne
viser en sekskant
og en ottekant.
9,0 cm
Geometri
5,8 cm
7,8 cm
8,2 cm
7,8 cm
5,8 cm
c: Beregn areal og omkreds
af begge figurerne.
d: Beregn vinklerne i de to figurer. Brug trigonometri.
e: Vurder om figurerne er helt regulære.
v=
I en regulær polygon (mangekant) men n sider
kan man beregne vinklerne med formlen til højre.
(n − 2) ⋅ 180 o
n
f: Undersøg om de vinkler, som du kan beregne med trigonometri,
passer med de vinkler, som du kan beregne med formlen.
2: Tegningen viser en pap-æske med sekskantede ender.
Æsken er 12 cm lang.
a: Vis at siderne i sekskanterne
er (næsten) lige lange.
d: Beregn rumfanget af æsken.
Der er 250 g chokolade i æsken.
Det fylder 75% af æskens rumfang. Resten er luft.
1,5 cm
1,5 cm
c: Beregn overfladearealet af hele æsken.
3,0 cm
b: Beregn arealet af sekskanten.
2,6 cm
3
e: Hvor mange cm fylder chokoladen?
f: Hvad er chokoladens massefylde.
2,6 cm
Lav opgave g og h sammen med en klassekammerat,
således at I laver en æske hver.
g: Tegn en udfoldning af æsken i naturlig størrelse.
Tilføj evt. nogle ”limflapper”.
Klip udfoldningen ud og fold æsken.
h: Tegn, klip og fold også æsken i dobbelt størrelse.
Længdeforhold 2 : 1 .
i: Sammenlign rumfang og overfladeareal af de to æsker.
Blandede og supplerende opgaver
Side 61
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Tegningerne viser tre figurer. Den ene er opdelt i retvinklede trekanter.
a: Opdel også de to andre figurer i retvinklede trekanter.
b: Find arealet af hver af de tre figurer. Tallene skal være i m2.
Du kan fx gøre det således:
- beregn så mange vinkler som muligt
- beregn de manglende sidelængder i de retvinklede trekanter
- beregn arealerne af de retvinklede trekanter
7,50 dm
- læg arealerne sammen
65º
65º
70º
125 cm
5,00 m
110º
3,60 m
146,3º
67,4º
6,50 m
4: Skitsen viser to huse, som begge er 18 m lange og 8 m brede.
Højden fra jorden og op til tagets underkant er 2,50 m på begge huse.
Taget på huset til venstre har en hældning på 25º.
Taget på huset til højre har en hældning på 45º.
a: Sammenlign højden fra jorden
og op til tagryggen på de to huse.
b: Sammenlign arealet af tagene på de to huse.
25º
45º
Blandede og supplerende opgaver
Side 62
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Bordkompagniet
Bordkompagniet
De tre øverste borde er regulære polygoner
(mangekanter). I en polygon med n sider
er vinkelsummen (n − 2) ⋅180o
Moderne borde til moderne mennesker
Tre- og seks-kantede borde
Begge borde
a: Find vinkelsummen i hver polygon.
har plads til
b: Find størrelsen af den enkelte vinkel
i hver af polygonerne.
Model Hexagona
Sidelængde 60 cm
c: Find diameteren af det runde bord.
6 personer
d: Find tegningernes målestoksforhold.
e: Tegn selv på mm-papir (nogle af)
bordene i målestoksforholdet 1:10.
f: Beregn først højden i den
ligesidede trekant.
Find derefter arealet af
det trekantede bord.
Der findes nogle (lidt spøjse) areal-formler
for regulære tre-, seks- og otte-kanter:
Trekant: A =
Sekskant: A =
3 2
⋅s
4
plads til 8 personer
hvor s er den halve omkreds, og
a, b og c er sidelængderne
Begge borde har
A = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c)
Otte-kantede og runde borde
g: Beregn også arealet af
det trekantede bord med Herons formel:
Model Triangula
Sidelængde 120 cm
Model Octagona
Sidelængde 60 cm
3⋅ 3 2
⋅s
2
Ottekant: A = 2 ⋅ (1 + 2) ⋅ s 2
hvor s er sidelængden i alle formlerne.
h: Kontroller først arealet af trekanten
med den øverste formel.
Find derefter arealerne af
de seks- og otte-kantede borde.
Model Circula
Omkreds 480 cm
i: Sammenlign bordarealet pr. person
ved de forskellige borde.
Alle bordpladerne er 26 mm tykke
og lavet af træ med en massefylde på 0,85 g pr. cm3.
j: Beregn vægten af (nogle af) bordpladerne.
Blandede og supplerende opgaver
Side 63
Matematik på AVU
6: Affaldskompagniet
Model A har form som en keglestub.
Model B har form som en pyramidestub.
a: Vurder om disse udsagn er rigtige:
- Model A rummer ca. ¼ kubikmeter.
- Model B rummer ca. ⅔ kubikmeter.
b: Find de præcise rumfang af begge
affaldsbeholdere målt i liter.
Firmaet laver også en "Model C"
Modellen har form som en keglestub,
men er noget større end Model A.
Diameter foroven er 82 cm, diameter
forneden er 68 cm og højden er 112 cm.
Opgaver til niveau F, E og D
Affaldskompagniet
Alt inden for affaldsbeholdere
Model A
Diameter top:
65 cm
Diameter bund: 55 cm
Højde:
90 cm
Model B
Mål top: 120 cm x 80 cm
Mål bund: 90 cm x 60 cm
Højde:
90 cm
c: Find rumfanget af Model C.
Giv svaret i både m3 og liter.
Firmaet laver også en "Model D"
Modellen har form som en pyramidestub,
hvor både top og bund er kvadrater.
Sidelængden foroven er 110 cm.
Sidelængden forneden er 85 cm.
Højden er 105 cm.
d: Find rumfanget af Model D. Giv svaret i både m3 og liter.
7: ABC-skålen
a: Vis at en ABC-skål med en radius
på 6,2 cm kan rumme ca. 0,5 liter.
ABC-skålen - et velformet produkt
Vores berømte ABC-skåle fås i mange
størrelser fra 0,5 liter op til 4 liter.
b: Vis at en ABC-skål med en radius
på 12,4 cm kan rumme ca. 4 liter.
c: Find diameteren i en ABC-skål der
kan rumme 1 liter.
d: Find radius i en ABC-skål der
kan rumme 2 liter.
Forestil dig en kæmpe-ABC-skål der kan
rumme ½ kubikmeter.
e: Hvad er radius i skålen?
Alle skålene er halvkugleformede og
udført i de absolut bedste materialer.
f: Undersøg om disse udsagn er rigtige (brug tallene for 0,5-liter-skålen og 4-liter-skålen):
- når man fordobler radius, så fire-dobler man overfladearealet.
- når man fordobler radius, så otte-dobler man rumfanget.
Blandede og supplerende opgaver
Side 64
Matematik på AVU
298 kr.
698 kr.
Maxi 100 cm x 62,5 cm x 25 cm
Køb alle tre på en gang for kun
d: Vis med et par eksempler, som
du selv finder på, at udsagnene
også gælder for andre figurer.
248 kr.
- når man forøger længdemålene
med 25%, så bliver rumfanget
næsten fordoblet.
80 cm x 50 cm x 20 cm
- når man forøger længdemålene
med 25%, så vokser overfladearealet med over 50%.
Midi
c: Vis ud fra resultaterne ovenfor at
disse udsagn er rigtige:
198 kr.
b: Find også overfladearealet af
hver af de tre forskellige
kufferter (regn i dm2).
64 cm x 40 cm x 16 cm
a: Find rumfanget af hver af de tre
forskellige kufferter (regn i liter).
☺☺☺
Mini
8: Kuffertkompagniet
Opgaver til niveau F, E og D
Kuffertkompagniet
Den, der bærer godt, rejser godt
e: Vis med eksempler at disse udsagn er rigtige:
- hvis man vil fordoble rumfanget, skal man forøge alle længdemål med 26%
- hvis man vil fordoble overfladearealet, skal man forøge alle længdemål med godt 41 %.
f: Prøv (det er svært!!) at give en forklaring på, hvorfor de forskellige udsagn er rigtige?.
9: Dåsekompagniet
a: Kontroller, at en "Lille" dåse kan
rumme ca. 1 dl.
b: Hvor høj er en "Mellem" dåse?
c: Hvad er radius i en "Stor" dåse?
De dejligste dåser fra Dåsekompagniet
Lille
Radius 24,1 mm
Højde 54,8 mm
Rumfang
1 dl
De mål, der er vist til højre, er
indvendige mål. Dåserne er lavet af
metal med en tykkelse på ca. ½ mm
og en massefylde på 2,8 g pr. cm3
Mellem
d: Find rumfang og vægt af det metal
der bruges til en "Lille" dåse.
Stor
e: Hvor mange dåser ("Lille") kan
man fremstille af:
- en kubikmeter metal?
- et ton metal?
Blandede og supplerende opgaver
Radius 30,4 mm
Højde
cm
Rumfang
2 dl
Radius
mm
Højde 87,0 mm
Rumfang
4 dl
Side 65
Matematik på AVU
10: Drikkeglas
Alle glassene har form som keglestubbe.
Målene er indvendige mål.
Opgaver til niveau F, E og D
Drikkeglas til enhver drik
Sodavand - rummer 25 cl
b: Hvor mange cl rummer "Øl"?
Radius foroven
Radius forneden
Højde
c: Hvor høj er "Det store"?
Øl - rummer
d: Lav et selv forslag til mål på et mindre glas
der kan rumme ca. 15 cl.
Radius foroven
2,7 cm
Radius forneden
Højde
3,8 cm
9,8 cm
a: Er det rigtigt at "Sodavand" rummer 25 cl?
e: Lav et selv forslag til mål på et (meget)
stort glas der kan rumme ca. 75 cl.
11: Oles olietanke
150 cm
Vi har også en tank
der passer til dig.
Kuglen
b: Find det udvendige rumfang af
hver af tankene?
130 cm
c: Til hvilken tank er der brugt mindst
materiale sammenlignet med, hvor
meget tanken kan rumme?
Ægget
50 cm
Firmaet laver også en "Kæmpekugle", der kan
rumme 3.500 liter. Den er lavet af samme slags
materiale som de viste tanke.
3,2 cm
4,4 cm
cm
Oles Olietanke
Alle målene er indvendige mål. Alle tankene
er lavet af materiale med en tykkelse på 6 cm.
d: Tegn på mm-papir tværsnit af de tre tanke
i målestoksforholdet 1:20 (husk "skallen").
cl
Det store - rummer 50 cl
Radius foroven
Radius forneden
Højde
a: Find rumfanget af hver af de viste olietanke
("Ægget" er sammensat af to halvkugler og
et cylinder-formet rør).
2,5 cm
3,5 cm
8,8 cm
120 cm
e: Find den indvendige radius
af "Kæmpekuglen"
g: Kæmpekuglen rummer ca.
dobbelt så meget som "Kuglen".
Er materialeforbruget også dobbelt så stort?
Blandede og supplerende opgaver
160 cm
f: Hvor meget materiale skal der bruges til
at fremstille "Kæmpekuglen"?
Røret
Side 66
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Statistik
1: Leverpostej
Lenes Leverpostej
Der står 500 g på alle bakker med Lenes Leverpostej.
Her er resultatet af en kontrol-vejning af nogle bakker:
498 g
491 g
481 g
480 g
499 g
472 g
486 g
487 g
504 g
512 g
500 g
469 g
508 g
462 g
470 g
492 g
485 g
475 g
479 g
496 g
493 g
516 g
497 g
501 g
488 g
500 g
KUN 16,95 kr.
0498 g
Vægt i gram
a: Hvor mange bakker er blevet vejet?
[460 ; 470[
b: Find mindsteværdi, størsteværdi
og variationsbredde.
[470 ; 480[
Hyppighed
Frekvens
[480 ; 490[
c: Find evt. middelværdien.
[490 ; 500[
d: Find medianen, 1. kvartil og 3. kvartil.
[500 ; 510[
e: Lav et boksplot.
[510 ; 520[
f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed
og frekvens som den viste?
I alt
g: Lav et histogram.
h: Sammenlign kg-prisen for den letteste og den tungeste bakke.
Hastighed i km/time
2: Hastigheds-kontrol
Boksplottet viser resultatet
af en hastigheds-kontrol.
Hastigheds-grænsen er 80 km/t.
a: Aflæs den laveste
og den højeste hastighed.
b: Aflæs median, 1. kvartil
og 3. kvartil.
70
80
90
100
110
120
130
140
c: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har overholdt hastighedsgrænsen.
d: Vurder hvor mange procent af bilerne, der har kørt over 100 km/t.
Ved en senere kontrol overholdt 50% af bilerne hastigheds-grænsen,
og alle hastigheder lå mellem 70 km/t og 105 km/t.
e: Hvilke oplysninger mangler du for at kunne lave et boksplot?
f: Prøv at skitsere et boksplot, selv om du mangler nogle oplysninger.
Blandede og supplerende opgaver
Side 67
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Husleje
Den øverste af tabellerne viser udviklingen
i huslejen i Udby Ungdomsboliger.
Den nederste tabel viser
forbrugerprisindekset.
a: Sammenlign udviklingen i huslejen
med udviklingen i forbrugerprisindekset i årene 2004 - 2006.
Efter 2006 er huslejen blevet reguleret i takt
med udviklingen i forbrugerprisindekset.
b: Beregn de manglende huslejer.
4: Cooper-test
Husleje pr. måned i Udby Ungdomsboliger
2004 2005 2006 2007 2008 2009
2.650 2.675 2.700
Forbrugerprisindeks (2000 = 100)
2004 2005 2006 2007 2008 2009
108,3 110,2 112,3
114,2
118,1
119,7
En Cooper-test er en kondi-test,
hvor deltagerne skal løbe så langt
som muligt på 12 minutter.
Tabellen herunder viser resultaterne
fra en Cooper-test på et idrætshold:
2.380 m
1.890 m
2.030 m
2.310 m
3.110 m
2.750 m
1.920 m
2.430 m
2.520 m
2.870 m
1.630 m
3.320 m
1.690 m
2.050 m
2.370 m
2.240 m
2.600 m
2.190 m
2.920 m
1.770 m
1.840 m
2.570 m
2.200 m
2.150 m
a: Hvor mange personer deltog i testen?
b: Find mindsteværdi, størsteværdi
og variationsbredde.
Distance i m
c: Find evt. middelværdien.
[1.600 ; 1.800[
d: Find medianen, 1. kvartil og 3. kvartil.
[1.800 ; 2.000[
e: Lav et boksplot.
[2.000 ; 2.200[
f: Lav og udfyld en tabel med hyppighed
og frekvens som den viste?
[2.200 ; 2.400[
g: Lav et histogram.
[2.600 ; 2.800[
h: Sammenlign boksplot og histogram.
[2.800 ; 3.000[
i: Udvid din tabel med en kolonne med
summeret frekvens.
[3.000 ; 3.200[
j: Sammenlign hastighederne i km/t
for den langsomste og den hurtigste deltager.
Blandede og supplerende opgaver
Hyppighed
Frekvens
[2.400 ; 2.600[
[3.200 ; 3.400[
I alt
Side 68
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Æg
Olfert har 40 høns. De lægger normalt ca. 160 æg om ugen.
Han bruger selv ca. fem æg om dagen og sælger resten.
Han vejer hver dag de æg, som hønsene lægger.
Her er resultatet for en dag:
48 g
75 g
51 g
63 g
58 g
70 g
67 g
64 g
56 g
60 g
45 g
69 g
61 g
73 g
65 g
57 g
58 g
54 g
62 g
53 g
76 g
77 g
47 g
71 g
74 g
Æg sorteres og sælges
efter disse størrelser:
Størrelser
for æg
Smal
Vægt i
gram (x)
x < 53
Medium
53 ≤ x < 63
Large
63 ≤ x < 73
XLarge
73 ≤ x
a: Hvor mange æg lægger hønsene normalt pr. dag?
b: Hvor mange æg lægger en høne i gennemsnit pr. dag?
c: Hvor mange procent af æggene sælges?
d: Hvor mange æg har hønsene lagt den dag,
hvor der er talt op?
e: Hvad vejer æggene i gennemsnit?
f: Lav en tabel, der viser æggenes fordeling,
på de forskellige størrelser.
Tabellen skal vise både hyppighed og frekvens.
g: Lav et diagram ud fra tabellen.
h: Lav et boksplot over æggenes vægtfordeling.
i: Olfert sælger en bakke medium-æg for 15 kr.
Hvad er kg-prisen? (cirkatal).
j: Hvad skal en bakke large-æg koste,
hvis kg-prisen skal være den samme?
k: Lav også en tabel, der viser æggenes fordeling
på de gamle størrelser (den nederste tabel).
Du behøver ikke at beregne frekvenser.
l: Kan du skrive nogle af intervallerne
i de to tabeller med firkantede parenteser ([ og ])
i stedet for med større end- og mindre end-tegn.
Blandede og supplerende opgaver
Æg blev tidligere
sortere således:
Størrelse
Vægt (x)
1
x < 45
2
45 ≤ x < 50
3
50 ≤ x < 55
4
55 ≤ x < 60
5
60 ≤ x < 65
6
65 ≤ x < 70
7
70 ≤ x
Side 69
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
6: Histogram → tabel → sumkurve
Histogrammet viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.
30%
20%
10%
10
20
30
40
50
60
a: Aflæs frekvenserne (cirka-tal) for de
forskellige aldersintervaller og skriv tallene
ind i tabellen til højre.
70
80
90
Alder
100 110
Frekvens
Sum. Fre.
[0 ; 15[
[15 ; 30[
b: Udregn de summerede frekvenser og skriv
tallene ind i tabellen til højre.
[30 ; 45[
c: Tegn ud fra tallene i tabellen en sumkurve
i koordinatsystemet herunder.
[60 ; 75[
[45 ; 60[
d: Aflæs (cirka-tal) median, 1. kvartil og 3. kvartil.
[75 ; 90[
e: Find evt. et cirka-tal for gennemsnitsalderen.
[90 ; 105[
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
10
20
30
Blandede og supplerende opgaver
40
50
60
70
80
90
100 110
Side 70
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
7: Sumkurve → tabel → histogram
Sumkurven viser befolkningens aldersfordeling i et område af en by.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
10
20
30
40
50
60
a: Aflæs de summerede frekvenser (cirka-tal)
for de forskellige aldersintervaller og skriv
tallene ind i tabellen til højre.
70
80
Alder
90
100 110
Frekvens
Sum. Fre.
[0 ; 15[
[15 ; 30[
b: Udregn frekvenserne og skriv tallene ind.
[30 ; 45[
c: Lav ud fra tallene i tabellen et histogram i
koordinatsystemet herunder.
[45 ; 60[
d: Sammenlign aldersfordelingen i denne opgave
med aldersfordelingen i sidste opgave.
Brug evt. median, kvartiler og/eller gennemsnit.
[60 ; 75[
[75 ; 90[
[90 ; 105[
30%
20%
10%
10
20
30
Blandede og supplerende opgaver
40
50
60
70
80
90
100 110
Side 71
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
8: Løn og flødeboller
Udby Flødebollefabrik har fem ansatte.
a: Find gennemsnitslønnen for
kvinderne på Udby Flødebollefabrik.
Der er to kvinder, som får 19.554 kr.
og 23.736 kr. om måneden.
b: Find gennemsnitslønnen for
mændene på Udby Flødebollefabrik
Der er tre mænd, som får 18.111 kr.,
24.422 kr. og 34.312 kr. om måneden.
c: Find gennemsnitslønnen for
alle ansatte på Udby Flødebollefabrik
Resten af spørgsmålene drejer sig om
lønningerne på Flødebollekompagniet.
Flødebollekompagniet har 180 ansatte.
Den seneste lønstatistik ser således ud:
d: Lav og udfyld en tabel med frekvens og
summeret frekvens, som nederst på siden.
Månedsløn i kr.
Kvinder
Mænd
e: Find et cirka-tal for både kvindernes
og mændenes gennemsnitsløn.
[15.000 ; 20.000[
24
7
[20.000 ; 25.000[
48
11
f: Hvor mange procent (cirka-tal) af de samlede
lønninger går til de kvindelige ansatte?
[25.000 ; 30.000[
22
16
[30.000 ; 35.000[
16
17
g: Hvor mange procent af de ansatte er kvinder?
[35.000 ; 40.000[
6
7
h: Tegn - i samme koordinatsystem - sumkurver
for både kvindernes og mændenes lønninger.
[40.000 ; 50.000[
2
4
i: Aflæs de to medianer på sumkurverne.
Månedsløn i kr.
Kvinder
Frekvens
Sum. fr.
Mænd
Frekvens
Sum. fr.
I alt
Frekvens
Sum. fr.
[15.000 ; 20.000[
[20.000 ; 25.000[
[25.000 ; 30.000[
[30.000 ; 35.000[
[35.000 ; 40.000[
[40.000 ; 50.000[
I alt
j: Hvordan man kan man se på sumkurverne, at kvindernes løn er lavere end mændenes?
k: Kan du forklare, hvorfor gennemsnits-tallene er større end median-tallene?
Blandede og supplerende opgaver
Side 72
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
9: Fravær
Kursisterne på et matematik-hold har haft 160 lektioner på et skoleår.
Tabellen viser, hvor mange lektioner de enkelte kursister har været fraværende:
12
16
29
28
43
19
54
17
26
62
45
31
27
8
5
33
21
18
48
9
11
22
a: Hvor mange kursister var der på holdet?
b: Find mindsteværdi, størsteværdi og variationsbredde.
c: Hvor mange kursister har været væk mere end en tredjedel af lektionerne?
d: Hvor mange procent af kursisterne har været væk mere end 25% af lektionerne?
e: Hvor mange procent af kursisterne har højst været væk 10% af lektionerne?
f: Hvor mange kursister har
i gennemsnit været til stede?
g: Find medianen, 1. kvartil
og 3. kvartil.
Fravær
Hyppighed
Frekvens
Summeret
frekvens
[0% ; 10%[
h: Lav et boksplot.
[10% ; 20%[
i: Lav og udfyld en tabel med
hyppighed, frekvens og
summeret frekvens
som den viste?
[20% ; 30%[
[30% ; 40%[
I alt
j: Lav et histogram.
k: Sammenlign evt. fraværet i opgaven med fraværet på dit eget hold.
10: Antal kursister
Tabellerne viser udviklingen
i antallet af kursister
på VUC Udby.
Indekstabellen er komplet,
med der mangler nogle
af tallene i den øverste tabel.
Antal kursister på VUC Udby fordelt på køn
2005
Mænd
128
Kvinder
2007
2008
114
177
2009
2010
135
184
247
Antal kursister på VUC Udby (indekstal)
a: Beregn de manglende
tal i den øverste tabel.
b: Lav selv tabeller for det
samlede antal kursister.
Både antal og indekstal
2006
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Mænd
100,0
94,5
89,1
96,9
105,5 112,5
Kvinder
100,0
89,4
81,3
92,9
111,6 124,7
c: Lav to diagrammer:
Et der viser antal kursister, og et der viser indekstallene.
Blandede og supplerende opgaver
Side 73
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Talfølger
1: Differensrækker (1)
I en differensrække er der altid er samme forskel (differens) mellem to nabotal.
Hvilke af disse talrækker er differensrækker?
a: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
b: 1, 2, 4, 8, 16, …
c: 1, 3, 7, 15, 31, …
d: 0, 3, 6, 9, 12, …
e: 1,10, 100, 1000, …
f: –20, –10, 0, 10, 20, …
2: Differensrækker (2)
a 1 + a 2 + a 3 + ......a n −1 + a n =
Man kan finde summen af de første led
i en differensrække med formlen til højre.
n ⋅ (a 1 + a n )
2
a: Kontroller at formlen passer for summen af disse to rækker:
1, 3, 5, 7, 9, 11
–20, –10, 0, 10, 20
Beregn disse summer vha. af formlen:
b: 1 + 2 + 3 + … + 10
c: 1 + 2 + 3 + …. + 100
d: 100 + 200 + …+ 1000
Kurt øver sig i at tage armbøjninger hver dag i en uge.
Første dag tager han 10 armbøjninger, anden dag
tager han 15 armbøjninger, tredje dag tager han 20 osv.
e: Hvor mange armbøjninger tager Kurt den sidste dag (dag nr. 7)?
f: Hvor mange armbøjninger tager Kurt i alt i løbet af ugen?
3: Differensrækker (3)
Formlen ovenfor er ikke så svær at forklare. Start med at tænke:
(Første led + sidste led) + (Andet led + næstsidste led) + ….
Prøv om du kan forklare formlen.
4: Talrækken 1, 1, 2, 3, 5…… kaldes Fibonacci-tal.
Man finder det næste tal ved at lægge de to foregående tal sammen: Fn = Fn −2 + Fn −1 .
Lav og udfyld en tabel som denne.
Hvad sker der med tallene i den nederste række?
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fn
Fn-1
Fn
Fn −1
Blandede og supplerende opgaver
Side 74
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Kvotientrækker (1)
En kvotientrække er en række tal på for formen: 1, a, a2, a3, …..
Undersøg selv hvad
ordet kvotient betyder!
Hvilke af disse talrækker er kvotientrækker?
a: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
b: 1, 2, 4, 8, 16, …
c: 1, 3, 7, 15, 31, …
d: 1, 3, 9, 27, 81, ….
e: 1, 10, 100, 1000, …
f: 1 ; 1,5 ; 2,25 ; 3,375 - …
6: Kvotientrækker (2)
Man kan finde summen af de første led
i en kvotientrække med formlen til højre
2
1 + a + a + ......a
n −2
+a
n −1
an −1
=
a −1
a: Kontroller at formlen passer for disse to rækker:
1, 2, 4, 8, 16, 32
1, 10, 100, 1000
En telefonkæde på et hold kan fx bygges op som vist:
Læreren ringer til tre personer, som hver ringer
til tre personer, som hver…
b: Forklar hvorfor kæden svarer til en kvotientrække.
c: Hvor mange personer vil der i alt være i den viste kæde,
hvis den udvides til fem led (læreren er første led)?
d: Undersøg hvor mange led, der skal være i kæden, for at den omfatter:
- mindst 1.000 personer
- mindst hele Danmarks befolkning (ca. 5,5 mio.)
I en anden telefonkæde ringer hver person kun til to andre personer.
e: Hvor mange mennesker er med i kæden, hvis den er på fem led?
f: Hvor mange led skal kæden være på, hvis den skal omfatte mindst 100 mennesker?
7: Kvotientrækker (3)
En indisk legende fortæller om, at man lægger et riskorn på første felt af et skakbræt,
to riskorn på andet felt, fire riskorn på tredje felt, otte riskorn på fjerde felt osv.
a: Hvor mange riskorn er der på sidste felt (felt nr. 64)?
b: Hvor mange riskorn er der i alt?
1
2
4
8
8: Kvotientrækker (4)
a: Forklar hvorfor rækken 1,
1 1 1
, , ,…. er en kvotientrække
2 4 8
b: Hvad bliver summen af tallene i rækken, hvis man gør rækken meget, meget lang?
Prøv både at bruge formlen ovenfor og at tænke praktisk.
Blandede og supplerende opgaver
Side 75
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
1: Rektangel – længde, bredde og areal
Rektangel
a: Find arealet af et rektangel med
længden 6 m og bredden 2 m.
A = l⋅b
længde
Forestil dig nogle forskellige rektangler
med længden 6 m og forskellige bredder.
Tegn evt. nogle af rektanglerne på papir i målestoksforhold 1:100.
bredde
Funktioner (1): Formler og funktioner
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem bredde og areal
for et rektangel med længden 6 m:
Bredde (b)
……
1
2
3
4
……
Areal (A)
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem b og A.
2: Cylinder – højde, radius og rumfang (1)
Cylinder
a: Find rumfanget af en cylinder med
radius 4 cm og højden 8 cm.
radius
højde
V = π ⋅r2 ⋅h
Forestil dig nogle forskellige cylindre
med radius 4 cm og forskellige højder.
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem højde og rumfang for en cylinder med radius på 4 cm:
Højde (h)
……
4
5
6
7
8
9
10
11
12
……
Rumfang (V)
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem h og V.
d: Hvad kaldes sammenhængen mellem h og V, når radius er fast?
Forestil dig også nogle forskellige cylindre med højden 8 cm og forskellige radiusser.
e: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem radius og rumfang for en cylinder med højden 8 cm:
Radius (r)
……
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
Rumfang (V)
f: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og V.
g: Hvad sker der med rumfanget, når man halverer radius. Fx fra 4 cm til 2 cm.
h: Hvad sker der med rumfanget, når man fordobler radius. Fx fra 4 cm til 8 cm.
Blandede og supplerende opgaver
Side 76
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
3: Hastighed, afstand og tid
a: Find hastigheden på en cyklist der kører 20 km på 50 min.
Hastighed
Forestil dig nogle forskellige cyklister, der alle
cykler så langt, som de kan, på 50 min.
v=
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen
mellem s og v for en cykeltur på 50 min.:
v er hastighed i km/t
s
⋅ 60
t
s er afstanden i km
Afstand (s)
10
15
20
25
30
t er tiden i minutter
Hastighed (v)
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem s og v.
Forestil dig også nogle forskellige cyklister, der alle cykler 20 km, men bruger forskellig tid.
d: Lav en tabel der viser sammenhængen mellem t og v for en cykeltur på 20 km:
Tid (t)
……
30
40
50
60
70
80
90
……
Hastighed (v)
e: Lav også en graf
f: Beskriv hvad der sker med hastigheden, når man fordobler tiden. Fx fra 40 min til 80 min.
g: Hvad kaldes sammenhængen mellem t og v?
4: BMI, vægt og højde (1)
BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for,
om en person evt. er under- eller overvægtig.
BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca. 24.
a: Find BMI for en person med vægten 70 kg
og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m.
Body Mass Indeks
BMI =
V
H2
V er vægt i kg
H er højde i m
Forestil dig en række forskellige personer,
der alle vejer 70 kg men har forskellig højde.
b: Lav og udfyld en tabel der viser sammenhængen mellem højde og BMI:
Højde (m) ……
1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95
……
BMI
c: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og BMI.
Bemærk: Grafen ligner måske en ret linje, men hvis du tager meget små og store
(og dermed urealistiske) højder med, så vil du se, at grafen buer en hel del.
Forestil dig også en række forskellige personer, der alle er 175 cm høje men har forskellig vægt.
d: Lav en tabel og en graf der viser sammenhængen mellem H og BMI.
e: Hvad kaldes sammenhængen mellem V og BMI, når højden er fast?
Blandede og supplerende opgaver
Side 77
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
5: Cylinder – højde, radius og rumfang (2)
Cylinder
a: Find rumfanget af en cylinder med
radius 5,7 cm og højden 9,8 cm.
radius
højde
V = π ⋅r2 ⋅h
b: En cylinder har rumfanget 333 cm3,
og radius 3,1 cm. Hvad er højden?
c: Formlen for rumfanget af en cylinder skal omskrives,
således at højden står alene, og således at radius står alene.
Hvilke af disse formler er rigtige?
h=
V
π ⋅r2
h=
π ⋅r2
V
h = V : π : r2
r=
V
π ⋅h
r=
2⋅V
r=
π ⋅h
V
2⋅ π ⋅h
Forestil dig nogle forskellige cylindre med rumfanget 500 cm3.
d: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem radius og højde:
Radius (r) i cm
……
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
……
Højde (h) i cm
e: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem r og h.
f: Lav en tilsvarende tabel og graf for en cylinder med et rumfang på 1 liter.
6: BMI, vægt og højde (2)
Body Mass Indeks
BMI (Body Mass Indeks) bruges som et mål for,
om en person evt. er under- eller overvægtig.
BMI skal helst være i intervallet fra ca. 19 til ca. 24.
BMI =
V
H2
V er vægt i kg
a: Find BMI for en person med vægten 70 kg
og højden 175 cm. Husk at omregne højden til m.
H er højde i m
b: Formlen for BMI skal omskrives,
således at V står alene, og således at H står alene.
Hvilke af disse formler er rigtige?
V = BMI ⋅ H 2
V = 2 ⋅ BMI ⋅ H
H=
V
2 ⋅ BMI
H=
V
BMI
H=
BMI
V
Forestil dig nogle forskellige personer med BMI = 19
c: Lav og udfyld en tabel der viser mulige sammenhænge mellem vægt og højde:
Vægt (V) i kg
……
50
60
70
80
90
100
……
Højde (H) i m
d: Lav også en graf der viser sammenhængen mellem V og H.
e: Lav i samme koordinatsystem en graf for personer med BMI = 24.
f: Hvilke kombinationer af vægt og højde svarer området mellem de to grafer til?
Blandede og supplerende opgaver
Side 78
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Funktioner (2): Andengradsfunktioner og parabler
7: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = x2
y = x2+ 3
y = x2− 5
y = x 2 − 2x − 5
Inden du tegner skal du - for hver funktion - lave og udfylde en x-y-tabel som denne:
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
8: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = 2x2
y = 2x2+ 2
y = 2x2− 6
y = 2 x 2 + 4x − 6
Start med at lave x-y-tabeller som i opgaven ovenover.
9: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = −x2
y = − x 2 + 2x + 3
y = −2 x 2
y = −2 x 2 − 4x + 6
Start med at lave x-y-tabeller som i opgaverne ovenover.
10: Funktioner på formen y = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c kaldes andengradsfunktioner.
b og c kan godt være 0, men a må ikke være 0!
Find a, b og c i (nogle af) funktionerne i opgaverne ovenfor.
11: Graferne for andengradsfunktioner er symmetriske buer, som kaldes parabler.
Graferne har et toppunkt.
Man kan finde toppunktets x-koordinat med formlen til højre:
x top =
−b
2⋅a
a: Find toppunkterne for disse andengradsfunktioner:
y = 2 x 2 − 4 x− 6
y = 2 x 2 + 8 x+ 6
y = −2 x 2 + 12 x − 10
b: Lav x-y-tabeller for hver funktion. Toppunkterne skal være midt i tabellerne.
xtop
x
y
c: Lav grafer for funktionerne. Helst i samme koordinatsystem.
Læg mærke til, at de alle har samme form men forskellig placering.
d: Find funktionernes nul-punkter (skæringspunkter med x-aksen)
Blandede og supplerende opgaver
Side 79
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
12: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = x 2 + 2 x− 3
y = x 2 + 6 x+ 8
y = − x 2 + 8 x− 7
Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave).
Find også nul-punkterne.
13: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
y = 0,5 x 2 + 2 x − 2,5
y = 0,5 x 2 − 4 x + 7
y = −0,5 x 2 + x + 4
Start med at finde x-koordinaten til parablens top-punkt (ligesom i sidste opgave).
Find også nul-punkterne.
14: Kasteparabler
Kasteparabler
Forestil dig at du kaster en sten.
Hvis du kan kaste med en fart på 20 m/s
og i en vinkel på 45°,
så vil stenen følge denne parabel:
y = −0,025 x 2 + x
Hvis man kaster en sten (eller en
anden genstand), vil stenen følge en
bane, der (stort set) er en parabel-bue.
a: Tegn i et koordinatsystem en graf
der svarer til stenens bane. Start med at
tegne og udfylde en tabel som denne:
x
0
5
10
o.s.v.
40
y
Hvis man kaster for stejlt opad, så
kommer stenen højt op, men den når
ikke så langt væk
Hvis man kaster for fladt, kommer
stenen heller ikke så langt væk.
Det længste kast fås ved at kaste
stenen i vinkel på 45°.
b: Hvor højt kommer stenen op i luften?
c: Prøv at indsætte en x-værdi større end 40.
Giver resultatet mening?
d: Indtegn også grafen for denne parabel:
y = −0,07 x 2 + 2,1 x
Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 65°.
e: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast?
f: Indtegn også grafen for denne parabel:
y = −0,015 x 2 + 0,45 x
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 2 m
y-akse: 1 cm = 2 m
Parablen svarer til et kast med samme fart og i en vinkel på 25°.
g: Hvor langt og hvor højt når stenen ved dette kast?
Blandede og supplerende opgaver
Side 80
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Funktioner (3): Blandede opgaver
15: Tegn - for x ≥ 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
g(x) = 25 − 1,5 ⋅ x
f(x) = 2 ⋅ x
h(x) =
x 1,5
2,5
Aflæs også skæringspunkterne (cirka-tal) mellem graferne.
16: Vinglas
r = 4 cm
1
3
V = ⋅ π⋅ r 2 ⋅ h
a: Vis at glasset kan rumme ca. 150 ml, når det er fyldt.
Husk at 1 cm3 = 1 ml (milliliter).
x
h = 9 cm
Tegning til højre viser et kegleformet vinglas.
Rumfanget af en kegle kan findes med denne formel:
Når glasset er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med
denne funktion:
y = 0,207 ⋅ x 3
hvor x er ”vinstanden” i cm og y er rumfanget i ml.
b: Hvor meget vin er der i glasset, når x = 6 cm?
c: Lav og udfyld en tabel som den viste:
Højde i cm (x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vin i ml (y)
d: Lav ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem.
e: Undersøg vha. grafen:
- hvor højt står vinen, når glasset rummer 100 ml?
- hvor højt står vinen, når glasset rummer 50 ml?
Forslag til akser:
x-akse: 1 cm = 1 cm
y-akse: 1 cm = 10 ml
- hvor højt står vinen, når glasset er halvt fyldt?
f: Overvej hvorledes du kunne have beregnet svarene fra e.
g: Vurder om disse påstande er rigtige:
- når man fordobler x, bliver y otte-doblet.
- når man tre-dobler x, bliver y 27-doblet?
…og hvis ”ja” hvorfor?
Blandede og supplerende opgaver
Side 81
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
17: Spand
Tegning til højre viser en spand med form som en keglestub.
Rumfanget af en keglestub kan findes med denne formel:
R = 15 cm
1
3
a: Vis at spanden kan rumme ca. 20 liter, når den er fyldt.
Husk at 1 liter = 1.000 cm3 = 1.000 milliliter.
Når spanden er delvist fyldt, kan indholdet beregnes med
denne funktion:
y = 0,00769 ⋅ x 3 + 3,23 ⋅ x 2 + 452 ⋅ x
x
h = 35 cm
V = ⋅ π⋅ h⋅ (R 2 + r 2 + R ⋅ r)
r = 12 cm
hvor x er ”vandstanden” i cm og y er rumfanget i liter.
b: Hvor meget vand er der i spanden, når x = 20 cm?
c: Tegn og udfyld en tabel som den viste:
Højde i cm (x)
0
5
10
15
20
25
30
35
Vand i ml (y)
d: Tegn ud fra tallene i tabellen en graf i et koordinatsystem.
1 cm (på papiret) = 2 cm (på spanden) på x-aksen og 1 cm = 1 liter =1.000 ml på y-aksen.
OBS: Grafen kan godt ligne en ret linie, men den buer lidt.
e: Hvor højt står vandet, når spanden er halvt fyldt?
18: Tegn - for x > 0 og i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) =
12
x2
g(x) =
12
x
h(x) =
12
x
x må ikke være 0, men prøv at komme så tæt på x = 0 som muligt, når du tegner.
Find også grafernes skæringspunkter.
19: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = 5 ⋅ 1,2 x
g(x) = 2 ⋅ 1,4 x
Aflæs også grafernes skæringspunkt (cirka-tal).
I opgave 5 og 6 skal
du også medtage
negative x-værdier.
20: Tegn - i samme koordinatsystem - graferne for disse funktioner:
f(x) = x 2
g(x) = x 2 + 25
Overvej om graferne kan skære hinanden.
NB: Disse funktioner er lidt spøjse - tænk dig godt om når du regner og tegner!
Blandede og supplerende opgaver
Side 82
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
21: Standselængde
(fortsættelse af en tidligere opgave).
Standselængden for en bil består af en reaktionslængde og en bremselænge.
Reaktionslængden er den strækning, som bilen når at køre, fra bilisten ser en forhindring,
til han/hun begynder at bremse. Den afhænger af hastigheden og bilistens reaktionstid.
Bremselængde
Reaktionslængde
Disse reaktionslængder svarer til en reaktionstid på 1 sekund:
Hastighed i km/time:
25
50
75
Reaktionslængde i meter:
7
14
21
o.s.v.
Bremselængden er den strækning, som bilen når at bevæge sig, fra bilisten begynder
at bremse til bilen holder helt stille. Bremselængden afhænger af hastigheden, men den
afhænger også af bilen, vejret og vejen. Man kan finde en typisk bremselængde med
funktionen g(x) = 0,004 ⋅ x 2 , hvor x er hastigheden i km/t og g(x) er bremselængden i m.
a: Kan du vise, hvordan reaktionslængderne i tabellen ovenfor er beregnet?
Og kan du evt. opstille en funktionsforskrift for reaktionslængden?
Ellers gå blot videre til næste spørgsmål.
b: Lav og udfyld en tabel som denne:
Hastighed i km/time (x)
0
25
50
o.s.v.
150
Reaktionslængde i meter f(x)
Bremselængde i meter g(x)
Standselængde i meter h(x)
c: Ved hvilken hastighed (cirka-tal) bliver bremselængden længere end reaktionslængden?
d: Kontroller at standselængden kan beregnes ved denne funktion:
h(x) = 0,004 ⋅ x 2 + 0,28 ⋅ x
e: Lav en graf for standselængden.
f: Aflæs på din graf (cirka-tal):
- hastigheden når standselængden er 50 m.
- hastigheden når standselængden er 120 m.
g: Husk at tabellen og grafen svarer til en reaktionstid på 1 sekund.
Kan du lave en ny tabel og en ny graf der svarer til en reaktionstid på ½ sek.?
h: Opstil evt. også en funktion for den nye graf.
Blandede og supplerende opgaver
Side 83
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
22: Olferts høns
Olfert skal lave en indhegning på
24 m2 til sine høns.
Indhegningen skal være firkantet
(rektangel eller kvadrat).
(fortsættelse af en tidligere opgave).
a: Hvor bred bliver indhegningen,
hvis den skal være 6 m lang?
b: Hvad bliver omkredsen,
hvis indhegningen er 6 m lang?
c: Lav og udfyld en tabel som denne:
Den ene side i meter (x)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 24 
Den anden side i meter  
 x 
Omkreds i meter (z)
d: Lav en graf der viser sammenhængen mellem x og z.
(Når du tegner grafen, skal du ikke bruge tallene i den midterste række).
Sammenhængen mellem x og z kan beskrives med denne funktion: z = 2 ⋅ x + 2 ⋅
24
x
e: Prøv at forklare hvorledes funktionen er bygget op.
f: Hvilken sidelængde (x-værdi), giver den mindste omkreds (z-værdi)?
23: Lav i samme koordinatsystem graferne for disse funktioner: y = x 0,5 og y = x 1 og y = x 1,5 .
Start med at lave og udfylde en tabel som denne:
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y = x 0,5
y = x1
y = x 1,5
Noget af graferne for den sidste funktion vil måske ikke kunne være i dit koordinatsystem.
OBS: Funktionerne og graferne opfører sig lidt ”mystisk” for små x-værdier.
Hvis du har godt tid eller bruger computer, kan du også udfylde denne tabel:
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
y = x 0,5
y = x1
y = x 1,5
Lav også grafer ud fra tallene i den sidste tabel.
Blandede og supplerende opgaver
Side 84
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
24: Tegn - i forskellige koordinatsystemer - graferne for (nogle af) disse funktioner:
Bemærk at: - der er x-y-tabeller til de fleste af funktionerne.
- x-værdierne er ikke ens i alle tabeller (tænk over hvorfor).
- alle graferne skal ligne hinanden men dog være lidt forskellige.
4
x
x
b: y =
-4
x
x
c: y =
4
+2
x
x
d: y =
4
−2
x
x
e: y =
4
x-2
x
4
x+2
x
4
+2
x-2
x
a: y =
f:
y=
g: y =
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-8
-4
-2
-1
-0,5
0,5
1
2
4
8
-6
-2
0
1
1,5
2,5
3
4
6
10
-10
-6
-4
-3
-2,5
-1,5
-1
0
2
6
-6
-2
0
1
1,5
2,5
3
4
6
10
y
y
y
y
y
y
y
h: Kan du - uden at beregne støttepunkter - tænke dig til, hvorledes graferne for disse
funktioner vil se ud:
4
4
4
y=
−2
y=
+2
y=
−2
x-2
x+2
x+2
Blandede og supplerende opgaver
Side 85
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
25: Vindmøller
En vindmølle laver meget mere elektricitet, når det blæser kraftigt.
For en bestemt type vindmølle gælder der denne funktion:
y = 0,6 ⋅ x 3,3
x er vind-hastigheden i meter pr. sekund (m/s),
y er elektricitets-mængden målt i kiloWatt (kW).
y kaldes også effekten.
a: Lav og udfyld en tabel som denne:
x
0
2
4
6
osv.
20
y
b: Lav en graf ud fra tallene i tabellen.
Du kan evt. nøjes med at medtage noget af grafen,
da der sjældent blæser mere end 12-15 m/s.
NB: Undersøg evt. selv hvad vindhastigheden typisk
er i Danmark.
Vindmøllen i denne
opgave står i en
vindmøllepark med
i alt 20 vindmøller.
c: Hvad er vindhastigheden, hvis effekten er 1.000 kW?
d: Forstil dig, at al elektriciteten fra vindmølleparken
går til lavenergi-pærer.
Hvor mange lavenergipærer er der elektricitet til,
hvis vindhastigheden er 8 m/s
Effekt kan måles i
kW eller i W.
1 kW = 1.000 W.
En lavenergi-pære
bruger typisk 9 W.
26: Buket-priser
En dame sælger blomster-buketter.
Hun tager normalt 60 kr. for en buket, og hun sælger normalt ca. 100 buketter pr. dag.
Hun har prøvet at sætte prisen ned til 50 kr. Så solgte hun ca. 110 buketter pr. dag.
Hun har også prøvet at sætte prisen op til 75 kr. Så solgte hun ca. 90 buketter pr. dag.
Hendes mand, som er matematik-lærer (og derfor meget, meget klog), siger,
at det tyder på, at prisen og antal buketter følger denne funktion y = 775 ⋅ x -0,5 .
x er prisen, og y er antal solgte buketter pr. dag.
Undersøg om hendes meget, meget kloge mand kan have ret. Lav evt. en graf for funktionen.
Blandede og supplerende opgaver
Side 86
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Bogstavregning
1: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a:
1
1
c− c+ 2 c
2
4
b:
a a
−
4 6
c:
1 2
+
x x
d:
3 3
+
z 2z
2: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: (3x + 5)(3x + 5)
b: (3x + 5)(3x − 5)
c: (3x − 5)(3x − 5)
d: (15d + 12)(2d − 3)
e: (2 + 4b)(3b − 6)
f: (8y + 0,5)(6y + 10)
3: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: (5a + 6)(2a − 3) + 4a + 8
b: 9b 2 + (3b + 5)(2b − 1) − 5b + 2
c: 2(y − 4) + (9y − 2)(y + 2) − y 2
d: (2a + 4)(3b − 4) − 5ab
4: Sæt mest muligt uden for parentes i disse udtryk:
a: 24 p − 8 q
b: 10 ⋅ x⋅ y + 20 ⋅ x⋅ z
c: 4 ⋅ b 2 + 8 ⋅ b⋅ c
d: 3 m + 15 n
e: 2 ab + 6 ac − 4 ad
f: 4 b 2 − 4 ab − 4 bc
5: Reducer disse udtryk:
6a2 + 9a
a:
3a
b:
6 xy− 4 xz + 2 x
2x
18 m 2 − 24 mn
c:
6m
d:
12 pq − 8 q 2 − 4 q
4q
6: Reducer (nogle af) disse udtryk:
a: z⋅ (2 z) 3 ⋅ 3
b:
a8
c:
d: x 5 ⋅ y 6 : x : y 2
e:
25 ⋅ b 8
f:
2
1
3
g:  a  + a 2
2
4
 
h:
Blandede og supplerende opgaver
12 ⋅ m 5
(2 m) 2
i:
( a)
8
3
c12
a2
9
Side 87
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
7: Løs (nogle af) disse ligninger - nogle af resultaterne er negative tal.
6,5 ⋅ (3,3 + 3x)
5,4
c:
3,36(x − 0,22)
= 0,84
2,4
3,2 + 4 x
2,4
f:
47,8 − x
+ 17,2 = 23,7
4,8
i:
7=
3(x + 4)
=7
2
c:
6(x + 2)
−1 = 0
17
2x
5
c:
9x
= 5 + 3x
2
a:
3,2 ⋅ (x + 4,4)
= 2,6
8
b: 9,75 =
d:
9,7 + x
− 3,6 = 0
3,5
e: 21,7 = 15,2 +
g:
22 + 3x
=2
5
h:
5,4 + x
− 1,6 = 0,4
0,8
1,75 ⋅ (84 + 10 x)
8
8: Løs disse ligninger - skriv resultatet som en brøk.
a: 10x + 8 = 3x + 12
b:
9: Løs (nogle af) disse ligninger:
a:
5x
= 6+x
3
b: 3 − 2 x =
d:
2x
3x
−2=
5
10
e:
3x
5x
+6=
−x
4
2
f:
2x
7x
+2=
− 2x
3
2
g:
3+ x 6-x
=
4
2
h:
14 − 5x 3x 3x + 1
+
=
3
2
2
i:
6x − 7 x 13 - 2x
− =
4
2
3
j:
27
=6
x
k: 2 =
l:
34,5
−5 = 0
3x
18
5x
10: Løs (nogle af) disse ligninger:
a: (x + 2) 2 = 49
b:
x+4 =7
c: (x − 5) 2 − 21 = 43
d: 4(x - 2) 2 = 169
e:
x + 84
=2
11
f:
9,8
=5
x2
h: 15 = 3,75 + 2,5 ⋅ 4 x
i:
(2,5 - x) 6 + 4 = 7
l:
x5
− 159 = 84
32
g:
3
j:
1,5 ⋅ x 3
= 148
5
x −7 =5
4
k:
Blandede og supplerende opgaver
x
+ 1,6 = 2,1
7
Side 88
Matematik på AVU
11: Brug denne formel
Opgaver til niveau F, E og D
12: Brug denne formel
2
y = 5,2 ⋅ x + 17,3
m = 3,2 ⋅ n − 7,5
til…
til…
a: …at finde y når: x = 4,8
a: …at finde m når: n = 15,4
b: …at finde x når: y = 92,4
b: …at finde n når: m = 13,1
13: Brug denne formel
14: Brug denne formel
3
f=
g
9,8
p=
q
+ 22,1
0,85
til…
til…
a: …at finde f når: g = 2,7
a: …at finde p når: q = 212
b: …at finde g når: f = 119,1
b: …at finde q når: p = 34,2
15: Brug denne formel
16: Brug denne formel
3
s=
r
+ 19,1
12,7
G=
6,8 ⋅ 4 f
9,1
til…
til…
a: …at finde s når: r = 5,2
a: …at finde G når: f = 146,2
b: …at finde r når: s = 50,9
b: …at finde f når: G = 7,6
17: Brug denne formel
18: Brug denne formel
R = P ⋅ (Q + 2,5) 2
W = U ⋅ 1,2 + V
til…
a: …at finde R når: P = 5,4 og Q = 2,4
til…
b: …at finde P når: R = 195 og Q = 6,3
b: …at finde U når: W = 13,5 og V = 15,9
c: …at finde Q når: R = 352 og P = 7,8
c: …at finde V når: W = 6,4 og U = 1,8
19: Brug denne formel
123
s = 2 + 17
r
til…
a: …at finde s når: r = 4,2
b: …at finde r når: s = 27,8
Blandede og supplerende opgaver
a: …at finde W når: U = 4,2 og V = 6,5
20: Brug denne formel
G = 1,9 ⋅ f 5 + 66,8
til…
a: …at finde G når: f = 3,2
b: …at finde f når: G = 876
Side 89
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Procent og eksponentiel vækst
1: Buspriser
1990
Tabellen viser udviklingen i priserne i kr. på
en kontantbillet, et 10-turs-kort og et månedskort
til bussen mellem Udby og Bredballe.
Kontantbillet
Månedskort
2010
15
10-turs-kort
a: Udfyld de tomme pladser i tabellen
ud fra disse oplysninger:
2000
38
175
295
275
415
- Fra 1990 til 2000 voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit med 3,9% om året.
- Fra 1990 til 2000 voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit med 3,4% om året.
- Fra 1990 til 2010 voksede prisen på et månedskort i gennemsnit med 3,9% om året.
b: Hvor mange procent voksede prisen på en kontantbillet i gennemsnit fra 2000 til 2010?
c: Hvor mange procent voksede prisen på et 10-turs-kort i gennemsnit fra 2000 til 2010?
d: Sammenlign prisudviklingen på et månedskort i første og anden halvdel af perioden.
e: Prisen på en kontantbillet forventes at stige med 3,5% i årene efter 2010.
Hvornår vil prisen nå 50 kr., hvis stigningen fortsætter?
2: Fugle på Sælø
a: Hvilken art er gået mest frem i antal?
b: Hvilken art er gået mest frem i procent?
(find procent-tallet)
c: Hvilken art er gået mest tilbage i antal?
d: Hvilken art er gået mest tilbage i procent?
(find procent-tallet)
Hvert 5. år tælles fuglene i reservatet på
Sælø. Det er umuligt at tælle præcist men
ved at tælle i mindre områder, kan man
regne ud, hvor mange fugle der cirka må
være på hele øen. Tabellen viser nogle
eksempler på ændringer i bestandene.
e: Hvor mange procent er antallet af
skalleslugere vokset i gennemsnit pr. år?
2005
2010
Klyde
90
75
f: Hvor mange procent er antallet af terner
vokset i gennemsnit pr. år?
Terne
120
140
g: Hvor mange procent er antallet af klyder
faldet i gennemsnit pr. år?
50
60
Edderfugle
240
210
Skallesluger
h: Hvor mange procent er antallet af edderfugle
faldet i gennemsnit pr. år?
Nu skal du gå ud fra, at udviklingen for hver art fortsætter (selv om det ikke er helt realistisk).
i: Hvor mange fugle vil der være af hver art i 2015?
j: Hvornår vil bestandene af hhv. terner og skalleslugere være fordoblede?
k: Hvornår vil bestandene af hhv. klyder og edderfugle være halverede?
Blandede og supplerende opgaver
Der er to svar
i hver opgave.
Side 90
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (1): Simpel og sammensat rente
1: Ebberød Bank (I)
Du skal gå ud fra, at der er 365 rentedage i et år,
og at alle de nævnte perioder er inden for samme år.
Find renterne når…
a: …der står 4.500 kr. på en anfordringskonto i 12 dage.
b: …der står 147.000 kr. på en guldkonto i 228 dage.
c: …der står 91.316 kr. på en sølvkonto i 4 dage.
d: …der står 12.490 kr. på en konto med
3 mdrs. opsigelse i 149 dage.
2: Ebberød Bank (II)
Ebberød Bank
Rentesatser på indlån
Anfordring .................. 0,5% p.a.
3 mdr. opsigelse ........ 1,5% p.a.
Sølvkonto................... 2,5% p.a.
Guldkonto .................. 4,0% p.a.
Alle konti har helårlig rentetilskrivning
Bemærk: For at opnå de nævnte høje
rentesatser skal der mindst indsættes:
- 20.000 kr. på en sølvkonto
- 50.000 kr. på en guldkonto
Regn med 365 rentedage i et år og find renterne når…
a: …der står 22.000 kr. på en sølvkonto i fra 12/6 til 29/6.
b: …der står 4.316 kr. på en anfordringskonto i fra 6/4 til 18/6.
c: …der står 60.000 kr. på en guldkonto i fra 31/10 til 15/1 året efter.
(gå ud fra at der er rentetilskrivning 31/12)
3: Ebberød Bank (III)
Olga Olsen - en lettere senil ældre dame - solgte for 6 år siden sit hus.
Overskuddet var 500.000 kr., som hendes bankrådgiver i Ebberød Bank
hjalp hende med at placere på en anfordringskonto.
a: Hvor meget står der nu på kontoen?
(regn med at pengene har stået i 6 hele kalenderår og brug sammensat rentesregning)
b: Hvad havde Olga fået i rente, hvis pengene var blevet placeret på en guldkonto?
c: Hvor meget har Olga mistet i rente
ved at vælge anfordringskontoen?
4: Forestil dig, at du optager et lån på 10.000 kr.
Lånet optages til nytår, og alle pengene betales
tilbage på en gang med renter efter præcis 3 år.
a: Beregn det beløb, som du skal betale tilbage,
hos hver af de långiverne, der er nævnt
i sammenligningen til højre.
b: Find den årlige nominelle rente hos Frisk.
c: Find den årlige nominelle rente hos Kapitalbutikken.
Blandede og supplerende opgaver
Sammenligning af
rentesatser på lån og kredit
Omegnsbanken ............... 16% pr. år
Renten tilskrives en gang årligt
Frisk Finansiering ......... 15% pr. år
Renten tilskrives hvert kvartal
Kapitalbutikken ............. 15% pr. år
Renten tilskrives hver måned
Side 91
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (2): Serielån
5: Benny låner 15.000 kr. Lånet er et serielån over 3 år med en
årlige rente på 10%. Han skal betale en ydelse om året.
a: Beregn det årlige afdrag.
b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
0
I virkeligheden betaler
man ofte hver måned.
Restgæld
15.000,00
1
2
I de første opgaver er
der helårlige terminer.
6.500,00
1.000,00
3
0,00
c: Hvor meget betaler Benny i alt på de 3 år? ..…og hvor meget udgør renterne?
d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
6: Gurli låner 40.000 kr. Lånet er et serielån over 4 år med en årlig rente på 15%.
a: Find det årlige afdrag.
b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
0
Ydelse
Restgæld
40.000,00
1
2
3
4
c: Hvor meget betaler Gurli i alt på de 4 år? …..og hvor meget udgør renterne?
d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
7: Et lån på 200.000 kr. afvikles som et serielån over 10 år med en årlig rente på 8%.
a: Beregn det årlige afdrag.
b: Beregn det første års rente.
c: Hvad er restgælden efter den 9. termin (den næstsidste)?
d: Beregn det sidste års rente.
e: Kan du beregne den samlede rente (betalt over alle 10 år) ud fra de tal, som du har?
Blandede og supplerende opgaver
Side 92
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (3): Annuitetslån
8: Oluf låner 25.000 kr. Lånet er et annuitetslån, med en årlig rente på 10%.
Han skal betale en ydelse om året. Ydelsen er på 10.000 kr.
a: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
0
1
Restgæld
25.000,00
2.500,00
7.500,00 10.000,00 17.500,00
2
10.000,00
3
10.000,00
Oluf skylder
stadig et lille
beløb efter 3 år
b: Hvor meget skylder Oluf efter 3 år?
Hvis Oluf lige præcis skal kunne betale sin gæld på 3 år, skal ydelsen sættes lidt op.
c: Vis - brug ydelsesformlen - at ydelsen skal være 10.052,87 kr.
d: Udfyld de tomme pladser i denne amortiseringstabel.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
0
1
Restgæld
25.000,00
2.500,00
10.052,87
2
10.052,87
3
10.052,87
e: Hvor meget betaler Oluf i alt på de 3 år? …..og hvor meget udgør renterne?
f: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
9: Gertrud låner 20.000 kr. Lånet er et annuitetslån over 4 år med en årlig rente på 15%.
a: Find den årlige ydelse - brug ydelsesformlen.
b: Udfyld de tomme pladser i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
0
1
Ydelse
Restgæld
20.000,00
3.000,00
2
3
4
c: Hvor meget betaler Gertrud i alt på de 4 år? …..og hvor meget udgør renterne?
d: Lav en eller flere grafiske afbildninger af lånets afvikling.
Blandede og supplerende opgaver
Side 93
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
10: Kurt køber bil.
Udby og Omegns Bank
Kurt køber en brugt bil til 68.000 kr.
Han kan lægge en udbetaling på 25%. Resten lånes.
Billån ............................ 6,0% p.a.
a: Hvor stor er udbetalingen?
Boliglån ....................... 9,0% p.a.
b: Hvor stort bliver lånet?
Oprettelsesgebyret lægges oven i lånet.
Forbrugslån ............. 12,0% p.a.
Kurt får lånet over 5 år til den vejledende rentesats.
c: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse).
Rentesatser på udlån
Rentesatserne er vejledende.
Oprettelsesgebyr:
1% af lånet. Dog mindst 500 kr.
d: Hvor meget betaler Kurt i alt tilbage?
11: Olfert køber også bil.
Selv om renten er oplyst
pr. år (p.a.), betaler man
sjældent en årlig ydelse.
Man betaler et beløb hver
måned.
Olfert køber en brugt bil til 49.000 kr.
Fordi han ingen udbetaling har, forlanger banken
en rente på 8,0% p.a. for et lån over 5 år.
a: Hvor stort bliver lånet med oprettelsesgebyr?
b: Find den årlige ydelse (regn med en årlig ydelse).
De præcise beregninger
er indviklede, men man
får udmærkede cirka-tal,
ved at regne med en årlig
ydelse.
c: Hvor meget betaler Olfert i alt tilbage?
12: Flere lån
Du tager et lån på 150.000 kr. i banken over 10 år.
Sammenlign den årlige ydelse på et boliglån og et forbrugslån.
Regn med de vejledende rentesatser.
13: Larsen Lån
a: Kontroller vha. ydelsesformlen
nogle af ydelserne på Larsen Lån.
Med et Larsen
b: Hvor meget kommer man i alt til at betale
tilbage, hvis man låner 8.000 kr. over 48 mdr.?
….og hvor meget udgør renterne?
Ydelse pr.
måned
Du skal låne 15.000 kr. over 6 år.
d: Sammenlign udgifterne ved et Larsen Lån
og et forbrugslån i Banken. Ved banklånet
skal du bruge den vejledende rentesats
og regne med en årlig ydelse.
Husk oprettelsesgebyr.
Blandede og supplerende opgaver
kan du købe alt det, du ikke har råd til.
Lånebeløb i kr.
c: Hvad koster det at låne 5.000 over 24 mdr.?
Lån
Antal måneder
12
24
2.000 183 100
36
72
4.000 367 200 145
48
59
60
51
117 102
6.000 550 300 217 176 152
8.000 733 399 289 235 203
10.000 917 499 362 294 254
Rente: 1,5% pr. måned - Ingen gebyrer
Side 94
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
14: Oluf og Gertrud køber hus.
Oluf og Gertrud køber et hus til 1.495.000 kr.
De kan få et realkreditlån på 80% af prisen.
Resten af pengene låner de i banken.
a: Hvor stort bliver realkreditlånet?
b: Hvor stort bliver banklånet?
Regn først på realkreditlånet over 20 år.
c: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet.
d: Det er næsten umuligt at lave hele
amortiseringstabellen i hånden, men udfyld
de første rækker i tabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
De kan vælge mellem to realkreditlån:
- et lån over 30 år til en rente på 7% p.a.
- et lån over 20 år til en rente på 6% p.a.
Banklånet er over 15 år. Renten er 9% p.a.
Restgæld
0
1
2
e: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 20 år?
…og hvor meget udgør renterne?
Regn nu på realkreditlånet over 30 år.
f: Beregn den årlige ydelse på realkreditlånet.
Men man får et
godt billede af
lånets afvikling
ved at regne med
en årlig ydelse og
se bort fra gebyrer
og kurstab.
g: Udfyld de første rækker i amortiseringstabellen herunder.
Termin
Rente
Afdrag
Ydelse
Rigtige realkreditlån er indviklede.
Man betaler hver
måned eller hvert
kvartal, man
betaler gebyrer,
og der er ofte et
såkaldt kurstab.
Restgæld
0
1
2
h: Hvor meget kommer Oluf og Gertrud i alt til at betale over de 30 år?
…og hvor meget udgør renterne?
Nu skal du også regne på banklånet.
i: Beregn den årlige ydelse på banklånet?
j: Hvor meget udgør renterne af denne ydelse?
k: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån),
hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 20 år?
Når man betaler renter,
får man et skattefradrag.
l: Hvad bliver den samlede årlige startydelse (begge lån),
hvis Oluf og Gertrud vælger et realkreditlån over 30 år?
Det betyder, at man skal
betale mindre i skat.
m: Sammenlign de årlige ydelser det første år,
når man indregner skattebesparelsen
(dette kaldes nettoydelse).
Skattebesparelsen er på
ca. 30% af renterne.
Blandede og supplerende opgaver
Side 95
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
15: Fix og Fidus
b: Prøv også at kontrollere et par ydelser
hos Fidus Finans - det er svært!
Man kan også låne andre beløb end dem,
som er nævnt i tabellerne.
c: Find den månedlige ydelse, hvis man
låner 7.000 kr. over 30 måneder
hos Fix Finans.
Fix Finans - vi fixer dig et lån
- og vi ta'r slet ingen gebyrer Ydelse pr.
måned
Lånebeløb i kr.
a: Kontroller vha. ydelsesformlen nogle af
ydelserne hos Fix Finans.
Antal måneder
12
24
2.000 189 106
4.000 378
36
78
48
60
65
58
211 157 130
115
6.000 567 317 235 196 173
8.000 756 423 314 261 230
10.000 946 529 392 326 288
Rente: 2% pr. måned
16: Med Fix og Fidus hos El-Kolossen
Du vil købe en Ida symaskine og låne
pengene over 12 måneder.
a: Hvor (Fix eller Fidus) er det billigst
at låne pengene?
Lån hos Fidus
b: Hvor meget kommer man i alt til
at betale tilbage hos Fix Finans?
…og hvor meget udgør renterne?
Ydelse pr.
måned
Du vil købe en WX computer og låne
pengene over 48 måneder.
d: Sammenlign omkostningerne ho
Fix Finans og Fidus Finans.
Du skal låne penge til både en Vaks
vaskemaskine og en Vaks tørretumbler.
- renten er kun 1% pr. måned -
Lånebeløb i kr.
c: Hvor meget kommer man i alt til
at betale tilbage hos Fidus Finans?
Finans - en fed fidus
Antal måneder
12
24
36
2.000 238 138 105
48
60
88
78
4.000 416 232 171 141 123
6.000 594 326 238 194 167
8.000 771 420 304 246 212
10.000 949 515 370 299 256
Oprettelsesgebyr: 400 kr. (tillægges lånet)
Adm.-gebyr: 25 kr. pr. md. (tillægges ydelsen)
e: Hvor er det billigst at låne pengene,
hvis du kan betale tilbage hurtigt?
f: Hvor er det billigst at låne pengene,
hvis du vil betale tilbage langsomt?
Du vil købe et Colora TV og låne pengene
over 24 måneder.
g: Hvad bliver den månedlige ydelse
hos Fix Finans?
h: Hvad bliver den månedlige ydelse
hos Fidus Finans?
Blandede og supplerende opgaver
EL-KOLOSSEN - kolossalt billigt
G7-phone
Ida Symaskine
Kun ........... 1.499 kr. Kun ........... 1.999 kr.
Colora TV
Vaks Vaskemaskine
Kun .......... 2.499 kr. Kun .......... 4.999 kr.
WX Computer
Vaks Tørretumbler
Kun .......... 5.999 kr. Kun .......... 2.999 kr.
Side 96
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
17: Fix Finans (fortsættelse af opgaverne på forrige side)
Tabellen herunder viser sammenhængen mellem lånebeløb og den månedlige ydelse,
hvis man låner penge hos Fix Finans og betaler tilbage over 12 måneder.
Renten er 2% pr. måned.
Lånebeløb i kr. (x)
Månedlig ydelse i kr. (y)
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
189
378
567
756
946
a: Sammenlign tallene i tabellen med tallene fra sidste side.
b: Tegn ud fra tallene en graf i et koordinatsystem.
1 cm = 1.000 kr. på x-aksen og 1 cm = 100 kr. på y-aksen.
c: Undersøg ud fra grafen:
- hvor meget skal man betale pr. måned, hvis man låner 5.000 kr.?
- hvor meget kan man låne, hvis man vil betale 650 kr. pr. måned?
d: Undersøg hvilken af disse funktioner, der kan beskrive tabellen og grafen:
y = 0,9456 ⋅ x
y = 10,58 ⋅ x
y = 0,09456 ⋅ x
e: Brug den rigtige funktion til at finde den månedlige ydelse på et lån på 15.000 kr.
(Forlæng evt. din graf.)
f: Integn også grafer for lån over 24 mdr., 36 mdr., 48 mdr., og 60 mdr.
Brug tallene fra sidste side. Tegn alle graferne i samme koordinatsystem.
g: Opstil funktioner for (nogle af) de grafer, som du lige har tegnet.
I opgaverne herunder skal du bruge gældsformlen og nogle af oplysninger fra de forrige sider.
18: Udby og Omegns Bank
Regn med de vejledende rentesatser.
a: Hvor stort et billån kan man få, hvis man
kan betale 12.000 kr. om året i 3 år?
b: Hvor stort et billån kan man få, hvis man
kan betale 30.000 kr. om året i 6 år?
c: Hvor stort et boliglån kan man få, hvis
man kan betale 18.000 kr. om året i 12 år?
d: Hvor stort et forbrugslån kan man få, hvis
man kan betale 6.000 kr. om året i 2 år?
Bemærk: De tal som du har beregnet ovenfor
er nok lån incl. oprettelsesgebyr.
Kan du finde ud af at trække
gebyrerne fra? Det er lidt drilsk!
Blandede og supplerende opgaver
19: Fix Finans
Hvor stort et lån kan man få hos
Fix Finans, hvis man kan betale…
a: …200 kr. om måneden i 60 mdr.?
b: …1.000 kr. om måneden i 2 år?
20: Realkreditlån
a: Hvor stort et lån (7% over 30 år)
kan man få, hvis man kan betale
48.000 kr. om året?
b: Hvor stort et lån (6% over 20 år)
kan man få, hvis man kan betale
36.000 kr. om året?
Side 97
Matematik på AVU
Opgaver til niveau F, E og D
Lån og opsparing (4): Opsparing
21: Anton indbetaler hvert år til nytår 10.000 kr. på en opsparingskonto.
Den 1. indbetaling sker i
Kontoen giver en rente på 5% p.a. Renten tilskrives til nytår.
starten af det 1. år.
a: Udfyld de tomme pladser i tabellen herunder.
Den 2. indbetaling sker i
starten af det 2. år o.s.v.
Indbetaling
Rente
Indsat
Opsparing
1
0,00
10.000,00
10.000,00
2
500,00
10.000,00
20.500,00
.
3
4
43.101,25
5
b: Hvor meget står der på kontoen efter 5 indbetalinger (kik i tabellen)?
c: Hvor stor en del af beløbet er renter?
d: Kan du også beregne tallet fra opgave b v.h.a. opsparingsformlen?
e: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger?
f: Hvor meget kan Anton hæve fra kontoen ved slutningen af det 10. år?
Der foretages ikke en 11. indbetaling - se evt. forklaring.
22: Agnes indbetaler hvert år til nytår 8.000 kr. på en opsparingskonto.
Kontoen giver en rente på 4% p.a. Renten tilskrives til nytår.
a: Udfyld de tomme pladser i denne tabel.
Indbetaling
Rente
Indsat
1
0,00
8.000,00
2
320,00
8.000,00
Opsparing
8.000,00
Hvis du f.eks.
indbetaler
penge i 5 år,
lader pengene
stå til
slutningen
af det 5. år .....
….og hæver pengene
(uden at foretage en
6. indbetaling), så skal
du selv lægge renterne
for det sidste år til.
3
4
b: Hvor mange penge vil der stå på kontoen efter 10 indbetalinger?
c: Hvor stor en del af dette beløb er renter?
23: Det er helt urealistisk at spare op i så lang tid, men beregn alligevel…
a: …hvor mange penge vil Anton (ovenfor) have efter 100 indbetalinger?
Du kan
ikke direkte
beregne
det hævede
beløb med
opsparingsformlen.
b: …hvor mange penge vil Agnes (ovenfor) have efter 100 indbetalinger?
c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter.
Blandede og supplerende opgaver
Side 98
Matematik på AVU
24: Du indbetaler 6.000 kr. på en konto hvert år til nytår.
Hvor meget vil der stå på kontoen efter 5 indbetalinger,
hvis….
a: …det er en anfordringskonto?
Opgaver til niveau F, E og D
Udby og Omegns Bank
Rentesatser på indlån
Anfordring.................... 0,5% p.a.
3 mdr. opsigelse .......... 1,5% p.a.
b: …det er en konto med 3 mdr. opsigelse?
Aktionærkonto(*) ........ 2,5% p.a.
c: …det er en aktionærkonto?
(gå ud fra, at du har de nødvendige aktier)
Børneopsparing(**) ....... 4,0% p.a.
(*)
Du skal have aktier for mindst
5.000 kr. (pålydende værdi).
25: Der indbetales årligt 12.000 kr. på en aktionærkonto.
Beløbet indbetales hvert år i 8 år ved årets start.
(**)
Du kan højst indsætte
3.000 kr. pr. år.
a: Hvor mange penge står der på kontoen efter den
sidste indbetaling?
I virkeligheden laver
man sjældent en
indbetaling om året.
Man indbetaler et
beløb hver måned.
Pengene står til slutningen af det 8. år, hvorefter de
hæves. Der laves ikke en 9. indbetaling.
b: Hvor mange penge kan der hæves?
26: Hvor mange penge ender der med at stå på en børneopsparing, hvis…
a: …der indsættes det maksimale beløb hvert år i 18 år?
b: …der indsættes 1.200 kr. hvert år i 14 år?
c: Beregn i begge tilfælde hvor stor en del af pengene der er renter.
De præcise
beregninger er mere
indviklede, men man
får udmærkede cirkatal, ved at regne med
en årlig indbetaling.
27: Studielån
Et studielån optages typisk over en årrække.
Man låner langsomt flere og flere penge, og der
tilskrives renter på samme måde som ved en opsparing.
Knud går først 4 år på VUC og
derefter 5 år på seminarium.
a: Hvor meget får Knud udbetalt i studielån,
mens han er under uddannelse?
Han tager hvert år et studielån
på 24.000 kr. Renten er 4% p.a.
b: Hvor stor er hans gæld da uddannelsen er slut?
Gå ud fra, at han får udbetalt penge en gang om året
og ved årets begyndelse.
Når uddannelsen er slut stiger renten til 5% p.a.
Man behøver ikke at betale tilbage det første år efter at
uddannelsen er slut, men der tilskrives naturligvis renter.
Derefter afvikles gælden som et annuitetslån.
c: Find den årlige ydelse, hvis annuitetslånet afvikles
over 9 år (sammenlign med det udbetalte lånebeløb).
Blandede og supplerende opgaver
Side 99