1. No category

Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Sammensætning af regnearterne
Plus, minus, gange og division.................................................... 19
Negative tal ................................................................................. 20
Parenteser og brøkstreger ............................................................ 22
Potenser og rødder....................................................................... 24
Sammensætning af regnearterne
Side 18
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Plus, minus, gange og division
Eksempler på opgaver
Udregn: 8 − 5 + 6 − 4 + 2
Udregn: 6 − 4 + 8 + 2 − 5
Man regner forfra og får:
8−5+6−4+2 =
Man regner forfra og får:
6−4+8+2−5 =
3+6−4+ 2 =
9−4+2 =
2+8+2−5
10 + 2 − 5
5+2 = 7
12 − 5 = 7
Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.
Man kan bytte rundt på tallene i et plus-minus-regnestykke, som man vil, men regnetegnene skal
følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” plus foran det forreste tal).
Forestil dig at:
- du skal have 8 kr., 6 kr. og 2 kr.,
- du skal af med 5 kr. og 4 kr.
Du vil ende med at have 7 kr. uanset hvilken rækkefølge tingene sker i.
(I praksis kan du naturligvis få et problem, hvis du skal af med penge først, og du ingen har).
Man kan også tænke således: 8 − 5 + 6 − 4 + 2 = 8 + 6 + 2 − 5 − 4 = 16 − 9 = 7 .
Her samler man plus-tallene og minus-tallene i hver sin ende af regnestykket.
Eksempler på opgaver
Udregn: 4 ⋅ 6 : 3 ⋅ 5 : 2
Udregn: 5 ⋅ 4 : 2 ⋅ 6 : 3
Man regner forfra og får:
4⋅6 : 3⋅5 : 2 =
Man regner forfra og får:
5⋅ 4 : 2⋅6 : 3 =
24 : 3 ⋅ 5 : 2 =
8⋅5 : 2 =
20 : 2 ⋅ 6 : 3 =
10 ⋅ 2 : 3 =
40 : 2 = 20
60 : 3 = 20
Regnestykkerne ovenfor er ens. Tallene er blot skrevet i forskellig rækkefølge.
Man kan bytte rundt på tallene i et gange-divisions-regnestykke som man vil, men regnetegnene
skal følge med tallene (der står normalt et ”usynligt” gange foran det forreste tal).
Sammensætning af regnearterne
Side 19
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
I lange regnestykker skal man gange og dividere før man lægger sammen og trækker fra.
Eksempler på opgaver
Udregn: 4 ⋅ 5 + 8 : 2
Udregn: 7 − 12 : 4 + 8 ⋅ 3 : 6 − 5
Man får:
4⋅5 + 8: 2 =
20 + 4 = 24
Man får:
7 − 12 : 4 + 8 ⋅ 3 : 6 − 5 =
7 −3+ 4−5 = 3
På en god regnemaskine (en matematik-regner) kan du indtaste opgaverne, som de står.
En mindre god regnemaskine vil typisk give 14, hvis man indtaster opgaven til venstre.
Hvis opgaverne er lange - som den til højre - kan det være en fordel at skrive dem op således:
7 − 12 : 4 + 8 ⋅ 3 : 6 − 5 =
7 − 3 + 4 − 5=3
Så kan man f.eks. let se, at 4-tallet i anden linie er resultatet af 8 ⋅ 3 : 6 .
Negative tal
Negative tal er tal, der er mindre end nul. Tallene er ikke så svære at forstå,
hvis man tænker på temperaturer under frysepunktet eller overtræk på en bankkonto.
Der findes specielle regneregler for negative tal.
Nogle af dem er lette at forklare ud fra praktiske eksempler.
Andre er svære at forklare. Du må blot acceptere, at de gælder.
5
0
-5
Eksempler på opgaver
Udregn: 5 − 8
Udregn: 5 + ( −8)
Man får:
Man får:
5 + (−8) = −3
5 − 8 = −3
10
-10
Opgaverne ligner hinanden, men de bør tænkes lidt forskelligt.
I opgaven til venstre trækker du et positivt tal fra et andet positivt tal, men resultatet er negativt.
Forestil dig, at du har 5 kr. på en Dankort-konto og betaler en vare til 8 kr. med kortet.
Så vil der være -3 kr. på kontoen (overtræk).
I opgaven til højre lægger du et positivt og et negativt tal sammen.
Forestil dig, at har 5 kr. på en konto og -8 kr. (overtræk) på en anden konto.
Du finder det samlede beløb ved at lægge tallene sammen.
Sammensætning af regnearterne
Side 20
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Eksempler på opgaver
Udregn: 6 − ( −4)
Udregn: − 3 − ( −7)
Man får:
6 − (−4) = 10
Man får:
− 3 − (−7) = 4
fordi 6 − (−4) svarer til 6 + 4
fordi − 3 − (−7) svarer til − 3 + 7
Når man trækker et negativt tal fra, skal man reelt lægge til,
fordi to minusser efter hinanden giver plus.
-5
0
Tænk på et minus-stykke som en beregning af forskellen på to tal.
Tegningen til højre viser, at forskellen på -4 og 6 er 10.
5
10
Når man ganger og dividerer med negative tal gælder disse regler
+ ⋅ − = −
− ⋅ + = −
og
+ : − = −
− : + = −
og
− ⋅ − = +
− : − = +
Eksempler på opgaver
Udregn: 3 ⋅ ( −5) =
Udregn: (−24) : 4
Man får:
3 ⋅ (−5) = −15
Man får:
(−24) : 4 = −6
på grund af regnereglen:
+ ⋅ − = −
Forestil dig, at der på 3 forskellige
bankkonti alle ”står” -5 kr. (overtræk).
I alt ”står” der -15 kr. på de 3 konti.
på grund af regnereglen:
− :+ = −
Forestil dig, at en gæld på 24 kr.
deles i 4 lige store gælds-portioner.
Hver portion bliver en gæld på 6 kr.
Eksempler på opgaver
Udregn: - 4 ⋅ ( −2) =
Udregn: ( −20) : ( −5)
Man får:
− 4 ⋅ ( − 2) = 8
Man får:
(−20) : (−5) = 4
på grund af regnereglen:
− ⋅ − = +
Dette eksempel er svært at forklare.
Sammensætning af regnearterne
på grund af regnereglen:
− : − = +
Forestil dig, at en gæld på 20 kr. skal
deles i mindre gælds-portioner på 5 kr.
Der bliver 4 gælds-portioner.
Side 21
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Lig med, større end og mindre end
Du kender lighedstegnet. Man skriver 2 + 2 = 4 , fordi 2 + 2 er lig med 4.
Man kan også skrive 5 + 1 = 8 − 2 eller 117,2 = 117,2 .
Der findes også et tegn for større end og et tegn for mindre end. De ser således ud:
7 > 5 betyder at
3 < 8 betyder at
7 er større end 5
3 er mindre end 8
Det er faktisk det samme tegn, men det vender hver sin vej.
Tegnet åbner sig altid imod det største tal.
Der er også tegn for større end eller lig med og mindre end eller lig med.
De ser sådan ud: ≥ og ≤ .
Parenteser og brøkstreger
Hvis der er parenteser i lange regnestykker, skal parenteserne udregnes først.
Eksempler på opgaver
Udregn: 4 ⋅ (8 − 3)
Udregn: 6 + (4 ⋅ 3 − 2) : 5
Man får:
4 ⋅ (8 − 3) = 4 ⋅ 5 = 20
Man får:
6 + (4 ⋅ 3 − 2) : 5 = 6 + (12 − 2) : 5 =
6 + 10 : 5 = 6 + 2 = 8
En brøkstreg betyder det samme som et divisions-tegn.
Hvis der er regnestykker over eller under brøkstregen, skal de udregnes før man dividerer.
Hvis der er brøkstreger i lange regnestykker, skal de - ligesom parenteser - udregnes først.
Eksempler på opgaver
Udregn:
5+7
9−6
Man får:
5 + 7 12
=
=4
9−6 3
Sammensætning af regnearterne
Udregn: 3 +
8⋅3
−5
6
Man får:
3+
8⋅3
24
−5 = 3+
−5 = 3+ 4−5 = 2
6
6
Side 22
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Eksempler på opgaver
Skriv 4 +
5+7
9−6
uden brøkstreg.
Man får:
4 + (5 + 7) : (9 − 6)
I opstillingen med brøkstreg vil mellem12
regningen hedde 4 + .
3
I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningen hedde 4 + 12 : 3 ,
og det er naturligvis det samme.
Skriv 18 : (10 − 4) − 3 med brøkstreg.
Man får:
18
−3
10 − 4
I opstillingen uden brøkstreg vil mellemregningen hedde 18 : 6 − 3 .
I opstillingen med brøkstreg vil mellem18
regningen hedde
−3,
6
og det er naturligvis det samme.
Matematikere synes normalt, at opstillinger med brøkstreger er de ”pæneste”,
men hvis man skal indtaste regnestykkerne i et regneark eller på en regnemaskine,
kan det være nødvendigt at skrive vandret. I eksemplet til venstre kan man fx taste
4 + ( 5 + 7 ) ÷ ( 9 − 6 ) = på regnemaskinen.
Eksempler på opgaver
Skriv
6⋅ 4 ⋅2
3⋅8
uden brøkstreg.
Man får:
6⋅4⋅2
= 6⋅4⋅2:3:8
3⋅8
Skriv 8 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 : 10 på en brøkstreg.
Man får:
8 ⋅ 5 ⋅ 2 : 4 : 10 =
8⋅5⋅ 2
4 ⋅ 10
I eksemplet til venstre skal man dividere med 24, fordi 3 ⋅ 8 = 24 , men resultatet bliver
det samme, hvis man først dividerer med 3 og derefter dividerer med 8.
Eksempler på opgaver
Kurt køber fem dage om ugen dagens ret og et glas juice?
Kantinepriser
Hvor meget betaler han i alt om ugen?
Skriv både et regnestykke med parentes
og et regnestykke uden parentes.
Dagens ret ......... 20 kr.
Man kan enten skrive 5 ⋅ (20 + 4) = 5 ⋅ 24 = 120 kr.
eller man kan skrive 5 ⋅ 20 + 5 ⋅ 4 = 100 + 20 = 120 kr.
Sammensætning af regnearterne
Juice, pr. glas ..... 4 kr.
Tænk selv over, hvorfor
regnestykkerne er ens.
Side 23
Matematik på AVU
Eksempler til niveau G
Potenser og rødder
Hvis man ganger det samme tal med sig selv mange gange, kan man skrive det som en potens.
Eksempler på opgaver
Skriv 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 som en potens.
Skriv 5 7 som et almindeligt gangestykke.
Udregn også resultatet.
Udregn også resultatet.
Man får:
Man får:
6⋅6⋅6⋅6 = 6
4
Man siger seks i fjerde.
5 7 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 78.125
Man siger fem i syvende.
På regnemaskinen trykkes 6 ^ 4 = for at
beregne resultatet. Man får: 1.296.
Eksemplerne viser at resultaterne af potens-udregninger ofte bliver meget store.
Bemærk at ”potens-knappen” også kan se således ud: yx på regnemaskinen.
Den mest almindelige potens-beregning er at sætte i anden potens.
De fleste regnemaskiner har en ”i anden-knap”. Den ser således ud: x2 .
For at finde 5 ⋅ 5 = 5 2 tastes 5 x2 og man får 25.
Bemærk: (−5) 2 giver også 25, fordi (−5) ⋅ (−5) = 25 , men det er vigtigt at huske parentesen.
Rødder er det modsatte af potenser.
Eksempler på opgaver
Find
16
16 kaldes for kvadratroden af 16.
Man får
16 = 4
fordi 4 2 eller 4 ⋅ 4 er 16.
Find
3
8
3
8 kaldes både for den tredje rod af 8
og for kubikroden af 8.
Man får
3
8=2
fordi 2 3 eller 2 ⋅ 2 ⋅ 2 er 8.
Man skulle tro, at 16 også kan være − 4 , fordi (−4) 2 er 16 (husk regnereglen:
− ⋅ − = + ).
Men hvis man vil have det negative tal med, skriver man normalt ± 16 . Og − 16 betyder − 4 .
Regnemaskiner kan beregne kvadratrødder med denne knap x .
Regnemaskiner kan også beregne kubikrødder, men metoden varierer fra maskine til maskine.
Sammensætning af regnearterne
Side 24