1. No category

MAT-02450 Fourier’n menetelmät
Merja Laaksonen, TTY 2014
"!
#"
1.1.2014
Sisältö
1 Johdanto
1.1 Peruskäsitteitä . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Parillinen ja pariton funktio
1.1.2 Heavisiden funktio . . . . .
1.1.3 Diracin deltafunktio . . . .
1.1.4 Skaalaus- ja siirto-operaatiot
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
7
9
10
12
2 Fourier-sarjat
2.1 Fourier’n teoreema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sarjan eksponenttimuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Aputuloksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Integraaleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kertoimien määrittely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Pari esimerkkiä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Fourier-sarjan hyödyntäminen summan laskemisessa
2.6 Lineaarisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Sarjan suppeneminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Gibbsin ilmiö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 *Tasainen suppeneminen . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Funktion jatkaminen, sini- ja kosinisarjat . . . . . . . . . . .
2.9 Sarjan derivointi ja integrointi termeittäin . . . . . . . . . .
2.10 Sarjan kolmas esitysmuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Jaksollisen funktion spektri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Parsevalin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
17
18
18
20
22
26
26
28
29
31
32
35
38
39
41
3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT)
3.1 Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Jonojen ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Nopea Fourier-muunnos (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
49
50
4 Fourier-muunnos
4.1 Fourier-muunnoksen määritelmä . . . .
4.2 Sinc-funktio . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia . .
4.4 Impulssifunktioon liittyviä muunnoksia
4.5 Fourier-muunnoksen spektrit . . . . . .
4.6 Parsevalin yhtälö . . . . . . . . . . . .
54
54
58
59
71
73
75
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Aikadiskreetti Fourier-muunnos (DTFT)
77
6 Näytteenottotaajuus
79
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
82
A Taulukko. Muutama Fourier-muunnoskaava.
87
B Ekskursio kompleksilukuihin ja trigonometriaan
B.1 Muutamia trigonometrisia identiteettejä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
90
Hakemisto
91
1 Johdanto
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
3
1 Johdanto
Insinöörimatematiikassa esiteltiin potenssisarjat ja opittiin, että tietyin ehdoin funktiot voidaan
esittää Maclaurinin (tai Taylorin) sarjana esimerkiksi
"n
1 !
X
! "
!1
1 3 1 5
!
" x 2n!1 :
sin x D x ! x C x ! C " " " D
3
5
2n
!
1
nD0
Sarjojen suppeneminen on tärkeä käsite. Tulos ei pidä paikkansa, jos muuttuja x ei kuulu suppenemisvälille. Välin sisäpisteissä (joskus myös päätepisteissä) derivointi/integrointi termeittäin
tuottaa uuden suppenevan sarjan, jonka summa on alkuperäisen funktion derivaatta/integraali.
Sarjojen perusrakenteeseen kuuluvat potenssit
1; x; x 2 ; x 3 ; : : : ; x n ; : : :
ja niiden edessä indeksistä n riippuvat kertoimet. Fourier-sarja on kehitelmä jaksolliselle funktiolle f , jonka jaksona on T D 2!
, ja potenssien tilalla on sinifunktiota seuraavasti
!
A0 C
1
X
nD1
!
"
An sin n!x C !n :
!
Varsinaisen kehitystyön teki ranskalainen fyysikko Fourier Joseph Fourier (1768-1830) ). Hän
oli kiinnostunut lämmönjohtumisesta. Näiden käyttökohteita ovat esimerkiksi osittaisdifferentiaaliyhtälöt, yleensä värähtelyyn liittyvät sovellukset sekä signaalinkäsittely.
Trigonometriset funktiot ja niiden identiteetit ovat tarpeellisia, joten lukijan on syytä kerrata
niitä, jos ne eivät ole hallussa. Kompleksiluvut tulevat automaattisesti mukaan, kun pyöritetään
sini- ja kosinifunktioita. Monisteen lopussa on liitteenä lyhyt ekskursio niihin sekä kokoelma
trigonometrisia identiteettejä. Monisteessa muuttuja on reaalinen ja lähtöfunktiot ovat reaalisia. Paikoitellen käytetään apuna kompleksilukuja ja funktion arvot voivat olla kompleksisia.
Lukijalta ei vaadita kompleksimuuttujan funktioiden teorioita vaan asiat käydään läpi insinöörimatematiikan pohjalta.
Monisteessa on pääasiat ja muutamia esimerkkejä. Lisää materiaalia löytyy useista kirjoista.
Esimerkiksi Glyn Jamesin Advanced Modern Engineering Mathematics on sopiva oheismateriaaliksi. Muita kirjoja seuratessasi katso tarkkaan määritelmät eri käsitteille. Niissä on eroja.
Tällä kurssilla käytetään tämän monisteen mukaisia määritelmiä.
Jos mahdollista, niin koeta löytää käyttöösi (symbolinen)-ohjelmisto, joka piirtää kuvia ja laskee laskuja. Ne helpottavat ymmärtämistä ja auttavat laskujen tarkistamisessa. Esimerkiksi sarjoissa ensimmäiset 10 termiä ja niiden kuvaaja riittävät kertomaan, onko laskusi mahdollisesti
oikein.
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
4
1.1 Peruskäsitteitä
Funktio f on jaksollinen (periodic), jos on olemassa sellainen vakio T ¤ 0, että jokaista
reaalilukua t kohti
!
"
!"
f t CT Df t :
Vakio T on jakso. Jos T on jakso, niin myös mT; m 2 Z on jakso. Mutta jos mT; m 2 Z on
jakso, niin siitä ei voi päätellä, että T olisi jakso. Useimmiten nimenomaan pienin positiivinen
jakso (ns. perusjakso) on kiinnostava, jos sellainen on olemassa. Sovitaan, että oletusarvona
jakso T on positiivinen ja jos nimenomaan tarvitaan negatiivista arvoa, niin se ilmaistaan !T .
t
T
2T
Kuva 1. Jaksollinen funktio.
Määritelmään perustuen jaksollisella funktiolla pitäisi olla jokin arvo jokaisessa reaaliakselin
pisteessä. Tämän aihealueen funktioilla on usein epäjatkuvuuskohtia, joissa yksittäistä arvoa ei
ole tai se on jätetty avoimeksi. Arvolla ei ole kovin suurta merkitystä Fourier’n menetelmien
teoriassa. Sellaiseen voidaan aina sopia jokin yksittäinen arvo. Tässä tekstissä on luovuttu liiasta tarkkuudesta ja välillä epäjatkuvuuskohdissa on arvo ja välillä ei.
#Esimerkki 1.1. Sini ja kosini ovat jaksollisia funktioita, joiden perusjakso on 2". Etsitään
funktion
!"
!
"
f W f t D sin !t C ' ; ! > 0:
!"
!
"
jakso T . Jotta jokaista muuttujan t arvoa kohti f t D f t C T eli
!
"
!
"
sin !t C ' D sin !.t C T / C '
on oltava
!
"
D sin !t C ' C !T
!T D n2"; n 2 Z
eli
2"
:
!
Luku nolla ei kelpaa jaksoksi, joten pienin positiivinen jakso
T Dn
T D
2"
:
!
#
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
5
/ M e / 2014
Taajuus (frequency) kertoo montako kertaa jakso toistuu yhden t :n yksikön (usein sekunti)
aikana, joten
1
1
taajuus D
D :
jakso
T
1
Esimerkiksi sinin jakso on 2", joten sen taajuus on 2!
$ 0:159 (Siis ei välttämättä kokonaisluku). Kun muuttujan arvo muuttuu yhden yksikön verran (esimerkiksi sekunnin) sini on tehnyt
16% yhdestä jaksostaan. Puhutaan myös kulmataajuudesta (circular frequency)
kulmataajuus D 2" " taajuus D
2"
:
T
Sinin kulmataajuus on 1. Jos on käytössä negatiiviset jaksot, niin taajuuskin on negatiivinen.
Tällöin taajuuden itseisarvo kertoo, montako kertaa jakso toistuu. Usein taajuuden yksikkönä
on 1=s eli Hz (hertsi) ja kulmataajuuden yksikkönä on rad=s.
!"
!
"
#Esimerkki 1.2. Funktion f W f t D sin !t C ' taajuus on
1
!
1
D 2! D
T
2"
!
ja kulmataajuus
2"
2"
D 2! D !:
T
!
#
On yleistä, että sana "kulma" jätetään pois ja puhutaan vain taajuuksista olettaen, että on selvää
kumpaa taajuutta tarkoitetaan.
Määritelmä 1.1. Funktion f vasemmanpuoleiselle raja-arvolle kohdassa t D a käytetään lyhennettyä merkintää
! "
!"
!
"
f a! D lim! f t D lim f a ! h :
t !a
h!0C
Vastaavasti sen oikeanpuoleiselle raja-arvolle kohdassa t D a käytetään lyhennettyä
merkintää
! "
!"
!
"
f aC D lim f t D lim f a C h :
t !aC
h!0C
Niitä kutsutaan yhteisellä nimellä toispuoleisiksi raja-arvoksi.
#Esimerkki 1.3. Funktio f W
8
t
!" < ;
f t D jt j
:0;
8
ˆ 1;
kun t ¤ 0; <
D
0;
ˆ
:
kun t D 0
!1;
kun t > 0;
kun t D 0;
kun t < 0
on epäjatkuva kohdassa t D 0. Sillä on äärelliset toispuoleiset raja-arvot
! "
! "
f 0C D 1 ja f 0! D !1:
Funktion nimi on signum eli kyseessä on etumerkkifunktio.
#
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
6
/ M e / 2014
#
$
Määritelmä
f , joka on määritelty välillä a; b , on paloittain jatkuva vä#
$ 1.2. Funktio
lillä a; b , jos f .aC /, f .b ! / ovat olemassa äärellisinä ja f .c C / D f .c ! / D f .c/ aina
kun c 2 .a; b/ lukuunottamatta äärellistä määrää mahdollisia poikkeuksia. Poikkeukset
ovat epäjatkuvuuskohtia, joissa on äärelliset toispuoleiset raja-arvot.
Huomautus. Tällä määritelmällä rajataan pois rajoittamattomat funktiot eli epäjatkuvuuskohdat ovat hyppyepäjatkuvuuskohtia sekä sellaiset funktiot, jotka oskilloivat niin, ettei raja-arvoa
ole olemassa.
Määritelmä 1.3. Jos funktion f n:s derivaatta f .n/ on olemassa ja jatkuva, niin funktion
sanotaan olevan n kertaa jatkuvasti derivoituva.
#
$
#Esimerkki 1.4. Kuvassa 2 esitetty funktio on määritelty välillä a; b ja sillä on yksi epäjatkuvuuskohta t D c, jossa sillä on toispuoleiset äärelliset raja-arvot. Funktio ei ole jatkuva,
mutta on paloittain jatkuva. Epäjatkuvuuden vuoksi funktio ei ole derivoituva kohdassa t D c.
b
a
t
t
a
c
Kuva 2. Epäjatkuva ja ei-derivoituva.
c
b
Kuva 3. Jatkuva ja ei-derivoituva.
#
$
Kuvassa 3 esitetty funktio on määritelty välillä a; b ja on siellä jatkuva. Kohdassa t D c erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot ovat erit (vrt. kuvan 2 punaisten suorien kulmakertoimet),
#
joten funktio ei ole siinä derivoituva.
#
$
Lause 1.1. Olkoon T -jaksoinen
#
$funktio f paloittain jatkuva välillä 0; T . Tällöin sillä
on integraali yli välin d; d C T ja
Z
d CT
d
!"
f t dt D
Z
T
0
!"
f t dt:
Todistus. Integraalin olemassaolo on selvä, kun jaetaan väli osiin epäjatkuvuuskohtien mukaan
ja integroidaan paloittain. Tulokseen eivät vaikuta hyppykohdissa määritellyt funktion arvot.
Hajotetaan integraali kolmeen osaan seuraavasti
Z
d
d CT
!"
f t dt D
Z
d
0
!"
f t dt C
Z
T
0
!"
f t dt C
Z
d CT
T
!"
f t dt:
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
7
/ M e / 2014
Tehdään oikeanpuoleisimpaan integraalin sijoitus x D t ! T , jolloin saadaan tulos
Z
d CT
d
!"
f t dt D
D
D
Z
0
d
Z
T
!"
f t dt C
!"
f t dt !
0
Z
T
!"
f t dt:
0
Z
T
0
Z
d
0
!"
f t dt C
!"
f t dt C
Z
d
0
Z
0
d
!
"
f x C T dx
! "
f x dx
Siis integroitaessa jakson yli välin voi valita vapaasti. Viisaasti toimittaessa valitaan sellainen
väli, joka yksinkertaistaa laskuja.
1.1.1 Parillinen ja pariton funktio
Määritelmä 1.4. Funktio f on parillinen, jos jokaista määrittelyjoukon arvoa t kohti
!"
!
"
f t Df !t :
Funktio g on pariton, jos jokaista määrittelyjoukon arvoa t kohti
!"
!
"
g t D !g ! t :
Huomautus. Jos määrittelyjoukko ei ole symmetrinen origon suhteen, niin selvästikään funktio
ei ole parillinen eikä pariton.
t0
t0
Kuva 4. Parillinen funktio.
t0
t
t
t0
Kuva 5. Pariton funktio.
#Esimerkki 1.5. Parillisia funktioita ovat esimerkiksi
!"
cos t ; t 2 ; t 4 C t 2 C 1:
Parittomia ovat esimerkiksi
!"
sin t ; t; t 3 C t:
!"
Monet funktiot eivät ole kumpaakaan esimerkiksi f W f t D t 3 C 1.
#
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
8
/ M e / 2014
MENETELMÄT
Huomautus. Kannattaa myös huomata seuraavat parillisuus/parittomuussäännöt:
Parillinen
"
Parillinen D
Parillinen,
Pariton
"
Pariton
Parillinen,
Pariton
"
Parillinen D
Pariton,
Parillinen C
Parillinen D
Parillinen,
Pariton
Pariton.
Pariton C
D
D
Osoitetaan niistä yksi esimerkkinä. Jos f on parillinen ja g pariton funktio, niin tulo
!
" !
"
!" !
! ""
!" !"
f ! t g ! t D f t " ! g t D !f t g t ;
mikä osoittaa, että tulo toteuttaa parittoman funktion määritelmän.
Lisäksi derivoitaessa pariteetti vaihtuu toiseksi. Siis
!"
!
"
!"
!
" !
"
!
"
f t D f ! t ) f 0 t D f 0 ! t " ! 1 D !f 0 ! t :
Näistä on hyötyä, kun integroidaan symmetrisen välin yli parillinen funktio Pnen eli
Z a
Z 0
Z a
!"
!"
!"
Pnen t dt D
Pnen t dt C
Pnen t dt
!a
D
D
Z
Z
!a
0
a
0
ja pariton funktio Pton
Z a
Z
!"
Pton t dt D
D
D
Z
Z
D0
!
Pnen ! y
a
D2
!a
0
Z
0
0
!a
0
a
0
a
"
! dy C
! "
Pnen y dy C
Z
a
0
!"
Pnen t dt
!"
Pton t dt C
!
Pton ! y
a
"!
"!
Z
a
0
! "
!Pton y dy C
a
0
!"
Pnen t dt
!"
Pnen t dt
!"
Pton t dt
"
! dy C
Z
Z
a
0
Z
a
0
!"
Pton t dt
!"
Pton t dt
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
9
/ M e / 2014
1.1.2 Heavisiden funktio
Monissa insinööritieteiden sovelluksissa pakotetaan funktio epäjatkuvaksi. Tällaisen tilanteen
mallintamiseen englantilainen sähköinsinööri Heaviside ( Oliver Heaviside (1850-1925) ) määritteli funktion, jota kutsutaan Heavisiden askelfunktioksi tai yksikköaskelfunktioksi. Jatkossa
käytetään siitä lyhennelmää H (Maple-ohjelmistossa sen nimi on "Heaviside" ).
Heavisiden funktiolla on tarkalleen kaksi arvoa
(
!"
0; t < 0
H t D
1; t > 0:
1
H(t)
t
Kuva 6. Heavisiden askelfunktio, jossa on
hyppy (askel) kohdassa t D 0.
! "
Huomautus. Useimmiten käytännössä ei ole merkitystä, onko H 0 nolla, yksi tai jotain muuta
(esim 1/2); olennaista on hetkellä t D 0 tapahtuva hyppy. Tässä tekstissä on valittu se tulkinta,
ettei hyppykohdassa ole arvoa.
Askel siirtyy toiseen paikkaan, kun määritellään
(
!
"
0; t < a
H t !a D
1; t > a:
H(t
1
a)
t
a
b
Kuva 7. Heavisiden askelfunktio, jossa on
hyppy kohdassa t D a (kohta t D b tarpeeton ).
Heavisiden askelfunktioita
voidaan yhdistellä esimerkkinä lauseke
(
!
"
!
"
1; a < t < b
H t !a !H t !b D
0; muulloin:
1
H(t
a) H(t
b)
t
a
b
!
"
!
"
Kuva 8. Erotus H t !a !H t !b
(vrt. edellinen kuva ).
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
10
/ M e / 2014
Tasapulssifunktio
(
!"
1; jt j < T
rectT t D
0; jt j > T:
1
t
Selvästi
!"
!
"
!
"
rectT t D H t CT !H t !T :
T
T
!"
Kuva 9. Tasapulssi rectT t .
1.1.3 Diracin deltafunktio
Useissa sovelluksissa tarvitaan sellainen pakottava funktio, joka tapahtuu yhtäkkiä ja vain
hyvin lyhyen aikaa. Matemaattisesti sitä on
mallinnettu impulssifunktiona, jonka arvo
keskittyy tarkalleen yhteen pisteeseen. Sitä
kuvataan usein nuolella ylöspäin vrt. vieressä
oleva kuva.
A
t
a
Kuva 10. Impulssifunktio.
Impulssifunktio ei ole perinteinen funktio, joka saa arvon A hetkellä t D a ja on muulloin nolla.
Se on yleistetty funktio, jonka johtamiseksi määritellään ensin pulssifunktio
8
ˆ
ˆ0;
!" <
' t D A=T;
ˆ
ˆ
:
0;
A/T
t < a ! T =2
a ! T =2 % t < a C T =2
a
a–T / 2
t & a C T =2:
t
a+T / 2
Kuva 11. Pulssifunktion kuvaaja.
Pulssin korkeus on A=T ja sen kesto on T aikayksikköä, joten pinta-ala pulssifunktion kuvaajan
ja aika-akselin välillä on A eli
Z
1
!1
!"
' t dt D
Z
aCT =2
a!T =2
A
dt D A:
T
Annetaan seuraavaksi keston eli muuttujan T arvon lähestyä nollaa siten että pinta-ala pulssifunktion kuvaajan ja aika-akselin välillä pysyy vakiona A. Tällöin "pölkyn" leveyden T pienentyessä sen korkeus A=T kasvaa eli matemaattisesti
Z 1
A
lim
D 1 ja
lim
'.t / dt D A:
T !0C T
T !0C !1
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
11
Raja-arvoprosessin tuloksena saadaan impulssifunktio, jonka arvo on A vain hetkellä t D a.
Impulssifunktiota, jonka arvo on yksi, kutsutaan yksikköimpulssifunktioksi tai Diracin deltafunktioksi ja sitä merkitään ı.t ! a/.
Diracin deltafunktiolla on ominaisuudet:
!
"
1. ı t ! a D 0, aina kun t ¤ a,
2.
Z
1
!1
!
"
ı t ! a dt D 1,
! "
1 !"
3. ı at D
ı t .
jaj
Jos funktio f on jatkuva kohdassa t D a, niin saadaan tulos
Z 1
!" !
"
! "
4.
f t ı t ! a dt D f a ;
!1
jota kutsutaan impulssifunktion seulontaominaisuudeksi (sifting property). Sen avulla
voidaan eristää, siivilöidä tai seuloa funktion arvo yhdessä pisteesssä.
#Esimerkki 1.6. Seulontaominaisuuden perusteella
Z !
%" & 1
!" %
"&
cos t ı t !
dt D cos
D :
3
3
2
0
#
Kun impulssifunktion
arvo on A, se voidaan esittää Diracin deltafunktion avulla yksinkertaises!
"
ti Aı t ! a .
Huomautus. Samaistetaan ilmaisut
!" !
"
! " !
"
f t ı t !a Df a ı t !a ;
missä f oletetaan jatkuvaksi kohdassa t D a. Perusteluna todetaan, että
!" !
"
! " !
"
1. f t ı t ! a D 0 D f a ı t ! a , aina kun t ¤ a,
2.
Z
1
!1
!" !
"
! "
f t ı t ! a dt D f a D
Z
1
!1
! " !
"
f a ı t ! a dt:
On erittäin olennaista ymmärtää, ettei impulssifunktio ole funktio perinteisessä mielessä. Sen
ominaisuudet ovat kuitenkin sellaiset, että varovasti/huolella käytettynä sillä on käytännöllinen
merkitys, jota ei voida muulla tavalla saavuttaa. Impulssifunktioita ei voi geometrisesti havainnoida ja se pitää vain hyväksyä edellä olleen johtamisen tuloksena.
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
12
/ M e / 2014
Diracin deltafunktion määritelmän perusteella
(
Z t
! "
0; t < 0
ı u du D
1; t > 0:
!1
Integraalille ei voida määrittää arvoa tarkalleen kohdassa t D 0. Arvo määräytyy sen mukaan,
onko impulssikohta mukana integroimisvälillä vai ei, ja se vaatii omat sopimukset.
Toisaalta
!"
H 0 t D 0; t ¤ 0:
Hyppyhetkellä t D 0 funktio H ei ole derivoituva. Funktiot ı ja H eivät ole jatkuvia, eikä ı
edes ole perinteinen vaan yleistetty funktio. Ns. perinteisen integraalin eli Riemannin integraalin määritelmässä vaaditaan, että funktio on jatkuva. Myöskin derivaatan määritelmässä vaaditaan, että funktio on jatkuva ja sitä nämä funktiot eivät kaikkialla ole. Myöskään ei ole selkeää
määritelmää, milloin kaksi yleistettyä funktiota ovat samat.
Otetaan silti varovaisesti käyttöön tulokset
Z t
! "
!"
ı u du D H t
!1
ja
!"
d !"
H t Dı t :
dt
Todistus tarvitsee enemmän teoriaa, jota löytyy mm. Jamesin kirjasta ja siellä on osoitettu nämä
väitteet paikkansa pitäviksi.
#Esimerkki 1.7. Olkoon
!"
!"
f t D H t 3e !2t :
! "
! "
Kohdassa t D 0 toispuoleiset raja-arvot ovat f 0! D 0 ja f 0C D 3. Funktion yleistetty
derivaatta (ohitetaan tarkemmat perustelut) on
!"
!"
!"
!"
!"
f 0 t D !H t 6e !2t C ı t 3e !2t D !H t 6e !2t C 3ı t :
!"
!"
Termi 3ı t "hoitaa f :n hyppäyksen arvosta nolla arvoon 3, kun origo ohitetaan". Termi !H t 6e !2t ;
#
missä t ¤ 0, on perinteinen paloittain määritetty derivaatta.
1.1.4 Skaalaus- ja siirto-operaatiot
Kerrataan vielä esimerkkeinä, miten funktion f kuvaaja muuttuu tietyillä operaatioilla. Aloitetaan tavallisella sinifunktiolla
t
1
2π
!"
!"
Kuva 12. Funktio sellaisenaan y D f t D sin t .
1.1 Peruskäsitteitä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
13
/ M e / 2014
t
2
2π
!"
Kuva 13. Venytetään y-akselin suunnassa kaksinkertaiseksi y D 2f t .
t
2
2π
!
"
Kuva 14. Siirtyy vasemmalle 2:n yksikön verran y D f t C 2 .
Miksi juuri vasemmalle? Hetkellä t D !2 ollaan samassa vaiheessa kuin alkuperäinen on hetkellä t D 0.
2π / 3
t
2π
! "
Kuva 15. Kutistuu t -akselin suunnassa kolmasosaan y D f 3t .
1
2π / 3
t
2π
!
"
Kuva 16. Edellinen siirtyy oikealle 1:n yksikön verran y D f 3t ! 3 .
Tarkastellaan lähemmin viimeistä siirtoa, jossa
!
"
! !
""
! "
f 3t ! 3 D f 3 t ! 1 D f 3u ;
missä u D t ! 1 eli t D u C 1 ts. uudessa koordinaatistossa y-akseli, joka sijaitsee kohdassa
u D 0 sijaitsee t -akselilla kohdassa t D 1. Siksi se "näyttää kuin vanha funktio olisi siirretty
oikealle 1:n verran". Huomaa erityisesti, että siirto ei ole 3:n verran!
2 Fourier-sarjat
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
14
/ M e / 2014
2 Fourier-sarjat
2.1 Fourier’n teoreema
Johdannossa esiteltiin, että Fourier-sarja on kehitelmä jaksolliselle funktiolle f , jonka jaksona
. Fourier esitti, että funktio on esitettävissä (ihan näin ei ole, vaan jotain rajoituksia
on T D 2!
!
on ) sarjana
1
X
!
"
A0 C
An sin n!t C !n ;
nD1
missä termit An ja !n ; n D 0; 1; 2; 3; : : : ovat indeksistä n riippuvia vakioita. Siis funktio voitaisiin hajottaa
termien summaksi. Vakiota A0 voidaan kutsua tasakomponentiksi
"
! värähtelevien
ja A1 sin !t C !1 on ensimmäinen harmoninen komponentti. Sen (kulma)taajuus
!D
Yleisesti termi
2"
:
T
!
"
An sin n!t C !n
on n:s harmoninen komponentti ja sen taajuus on n!. Kerroin An on sen amplitudi ja !n
termi, mikä vaikuttaa aallon viivästykseen tai ennakoituvuuteen verrattuna samantajuiseen siniaaltoon (vrt. siirto oikealle ja vasemmalle ). Sinin yhteenlaskukaavan perusteella
!
"
! " !
"
! "
!
"
An sin n!t C !n D An cos !n sin n!t C An sin !n cos n!t :
Merkitään
(
! "
an D An sin !n
! "
bn D An cos !n :
ja mukavuussyistä (selviää myöhemmin ) A0 D a20 . Näin sarjakehitelmä voidaan esittää muodossa
(
1 '
!
"
!
"
a0 X
an cos n!t C bn sin n!t :
C
2
nD1
Ylläolevasta rakenteesta, missä an ja bn tunnetaan, saadaan tarvittaessa jokaisen harmonisen
komponentin amplitudi
q
An D an2 C bn2
ja vaihesiirtoon vaikuttava termi !n .
Miksi ihmeessä selkeä siisti viiva erotellaan äärettömän (teoriassa ääretön määrä; käytännössä
äärellinen määrä) monen värähtelevän viivan summaksi?
#Esimerkki 2.1. Esimerkiksi jousen värähtelyä kuvaavassa differentiaaliyhtälössä (tuttua aiemmilta kursseilta! )
!"
!"
!"
!"
mx 00 t C cx 0 t C kx t D f t ;
missä massa m on jousen (jousivakio k ) varassa, c on tietty positiivinen vakio ja x on massan
sijainti ajan funktiona. Funktio f kuvaa ulkopuolista voimaa. Kun c 2 !4mk < 0, homogeenisen
DY:n ratkaisu on
%
! "
! "&
x.t / D e ˛t C1 cos ˇt C C2 sin ˇt ;
2.1 Fourier’n teoreema
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
15
missä
p
4mk ! c 2
c
ja ˇ D
:
˛D!
2m
2m
Jos ulkopuolisena voimana on jaksollinen funktio f ja se hajotetaan harmonisiin komponentteihin, niin DY:n ratkaisu koostuu HY:n ratkaisusta, joka vaimenee ajan kuluessa, sekä harmonisista komponenteista, joiden amplitudit paljastavat, mikä komponentti hallitsee värähtelyä.
Jos vaimentavaa tekijää ei ole eli c D 0, niin homogeenisen DY:n ratkaisu on
! "
! "
x.t / D C1 cos ˇt C C2 sin ˇt ;
missä
r
k
:
m
Jos ulkopuolinen voima f sisältää harmonisen komponentin, jolla on taajuutena sama ˇ niin
#
ratkaisuun tulee termi, joka kasvattaa amplitudia ajan kuluessa (resonanssi !).
ˇD
Jotta sarjakehitelmä olisi sama kuin funktio, niin sarjan pitää olla suppeneva. Sarjateoriasta
muistetaan, että sarja suppenee jos ja vain jos sen osasummien muodostama lukujono suppenee.
Fourier-sarjan osasumma
(
N '
! " a0 X
!
"
!
"
SN t D
C
an cos n!t C bn sin n!t
2
nD1
on funktio (muuttujana t ), joten kyseessä on funktiojonon suppeneminen kohti funktiota S eli
!"
!"
lim SN t D S t ;
N !1
jota kutsutaan rajafunktioksi. Ongelmia liittyy siihen, minkälainen lähtöfunktion f pitää olla,
jotta sarja suppenee, minkälaisesta suppenemisesta on kulloinkin kyse ja mikä on rajafunktio S?
Useimmat käytännön sovelluksissa tarvittavat funktiot ovat sen verran "kilttejä", ettei näihin
teoreettisiin kysymyksiin jouduta. Seuraavassa määritelmässä annettavat ehdot antavat eräänlaisen takuun, että teoria on kunnossa. Jos ehdot eivät toteudu, niin se ei tarkoita, etteikö suppenevaa sarjaa voisi olla olemassa.
Määritelmä
2.1. Jaksollinen funktio toteuttaa Dirichlet’n ehdot, jos
"
a " Se on paloittain jatkuva (ja rajoitettu).
b Yhden jakson alueella funktiolla on äärellinen määrä erillisiä lokaaleja eli paikallisia
ääriarvokohtia.
Saksalainen matemaatikko Dirichlet ( Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859 ) )
tutki alunperin lukuteoriaa, mutta myös Fourier-sarjojen teoriaa ja muita matemaattisen analyysin aiheita. Nämä Dirichlet’n ehdot sulkevat pois ns. "hankalia funktioita".
2.1 Fourier’n teoreema
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
16
/ M e / 2014
Lause 2.1. Jos T-jaksoinen funktio f toteuttaa Dirichlet’n ehdot, niin sille löytyy Fouriersarja
(
1 '
! " a0 X
!
"
!
"
fO t D
C
an cos n!t C bn sin n!t ;
2
nD1
missä ! D
2!
T
2
an D
T
sekä
Z
d CT
d
!"
!
"
f t cos n!t dt
2
bn D
T
ja
Z
d CT
d
!"
!
"
f t sin n!t dt:
Rajafunktiona ei aina ole lähtöfunktio f . Kun sarjaan sijoitetaan t D t0 , niin se suppenee
(pisteittäin) kohti sen kohdan toispuoleisten raja-arvojen keskiarvoa. Toispuoleiset raja-arvot
ovat samat, jos funktio on siinä kohdassa jatkuva. Yhteenvetona
8 ! "
ˆ
ˆf t0
! " < ! "
fO t0 D f t ! C f !t C "
0
0
ˆ
ˆ
:
2
, kun f on jatkuva kohdassa t D t0
, kun f on epäjatkuva kohdassa t D t0 :
Siksi on hyvä erottaa sarjan määrittelemä funktio ja funktio, jolle sarja on kehitetty. Funktio f
ja fO ovat kuitenkin lähes kaikkialla samat.
Käytännössä tarvitaan äärellinen määrä termejä ( siis osasumma ), joilla korvataan funktio, jolloin arvot ovat epätarkkoja. Tärkeää onkin ymmärtää ja tietää, kuinka nämä osasummat myötäilevät lähtöfunktiota. Asiaan palataan kappaleessa Suppeneminen.
On myös syytä tietää, että vaikka suppeneva sarja näyttäisi Fourier-sarjalta, niin se todista mitään. On mahdollista, että se ei ole minkään funktion F-sarja ts. kertoimet sinin ja kosinin edessä
eivät ole määritelmän mukaiset. Alla on esimerkki tällaisesta sarjasta.
#Esimerkki 2.2. Sarja
S.t / D
1
X
sin.k t /
kD2
ln.k/
näyttää muodoltaan Fourier-sarjalta, mutta se ei sitä ole. Sarja on kyllä suppeneva, mutta ei ole
minkään funktion F -sarja. Voidaan todistaa yleisesti (ei vaikea, mutta ohitetaan), että jos sarja
(
1 '
!
"
!
"
a0 X
C
an cos n!t C bn sin n!t
2
nD1
on Fourier-sarja, niin sarja
1
X
bk
kD1
k
2.2 Sarjan eksponenttimuoto
suppenee. Esimerkkisarjassa bk D
MAT-02450 F OURIER ’ N
1
ln.k/
MENETELMÄT
17
/ M e / 2014
ja sarja
1
X
kD2
1
k ln.k/
hajaantuu integraalitestin perusteella, joten sarja S.t / ei voi olla F-sarja.
#
2.2 Sarjan eksponenttimuoto
Ennenkuin lähdetään perustelemaan Fourier-sarjan kertoimien an ja bn kaavoja, otetaan esille
sarjan (kompleksinen-)eksponenttimuoto. Se on usein erittäin käyttökelpoinen kuten lukija
myöhemmin tulee huomaamaan. Vaihdetaan sini- ja kosinifunktiot eksponenttimuotoon (vrt.
liite). Sarja
(
1 '
!
"
!
"
! " a0 X
O
C
an cos n!t C bn sin n!t
f t D
2
nD1
(
1 '
a0 X
e j n!t C e !j n!t
e j n!t ! e !j n!t
D
C
an
C bn
2
2
2j
nD1
(
1 '
an C jbn !j n!t
a0 X an ! jbn j n!t
C
e
C
e
D
2
2
2
nD1
Merkitään
'
1
Huom. D !j
j
(
:
a0
2
an ! jbn
D
;
n D 1; 2; 3; : : :
2
an C jbn
D
D cn" ; n D 1; 2; 3; : : :
2
c0 D
cn
c!n
missä cn" on luvun cn liittoluku (siis imaginääriosan edessä eri merkki). Näin saadaan sarjalle
esitysmuoto
(
1 '
1
X
X
!"
j n!t
!j n!t
O
f t D c0 C
cn e
C c!ne
D
cn e j n!t :
nD1
nD!1
#Esimerkki 2.3. Eksponenttimuodosta päästään helpohkosti trigonometriseen muotoon
'
( X
1
1
1
1
X
X
! "
! "& X
! "
!j j nt
!j j nt
2 %
2
e
D
2Re
e
D
Re ! j cos nt C sin nt D
sin nt :
n
n
n
n
nD!1
nD1
nD1
nD1
n¤0
#
2.3 Aputuloksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
18
2.3 Aputuloksia
Otetaan käyttöön Kroneckerin delta ( Leopold Kronecker, (1823 – 1891) ).
Määritelmä 2.2. Kroneckerin delta ık!j on symboli, jolla on kokonaisluvuista k ja j
riippuen kaksi arvoa
(
1;
kun k D j;
ık!j D
0;
kun k ¤ j:
#Esimerkki 2.4. Summa
1
X
"
0
1!
1
0
0
1
0
0
1
1
D !1 C 0 C 1 C 2 C 3 C 4 C " " " C k C " " " D 0 C 3 :
ı
C
ı
k
k!3
k
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
kD!1
Kumpikin Kroneckerin delta poimii summasta tarkalleen yhden termin.
#
2.3.1 Integraaleja
Ensimmäisenä on hyvä käydä läpi muutamien jaksollisten funktioiden määrättyjä integraaleja,
joissa jakso
2"
T D
:
!
Oletetaan myös, että m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja, jos ei toisin sanota. Jos m tai n
ovat nollia, niin tilanne yksinkertaistuu.
1.
2.
3.
4.
5.
Z
Z
Z
Z
Z
d CT
!
"
cos n!t dt D T ın :
d CT
!
"
sin n!t dt D 0:
d CT
!
"
!
"
1
cos n!t cos m!t dt D T ın!m :
2
d CT
!
" !
"
1
sin n!t sin m!t dt D T ın!m :
2
d CT
!
"
!
"
sin n!t cos m!t dt D 0:
d
d
d
d
d
Osoitetaan ne tosiksi. Se on hyvää jumppaa, jotta jatkossa tällaiset laskut sujuvat.
2.3 Aputuloksia
1.
MAT-02450 F OURIER ’ N
Z
d CT
d
!
"
cos n!t dt D
b) Jos n ¤ 0, niin
Z
d CT
d
d CT
d
ˇ
ˇT
ˇ
dt D ˇ t D T:
0
!
"
!
"
! "
ˇ
ˇ T sin n!t
!
"
sin
n2"
sin
0
cos n!t dt D ˇˇ
D
!
D 0:
n!
n!
n!
0
d CT
d
!
"
sin n!t dt D
Z
T =2
!
"
sin n!t dt D 0:
!T =2 „ ƒ‚ …
pariton
Oletetaan, että n ¤ 0 ja m ¤ 0. Tapauksia on kaksi.
a) Jos n D m, niin
Z
d CT
d
Z
d CT
d
(
Z '
!
"
!
"
1 T
cos n!t dt D
1 C cos 2n!t dt
2 0
0
!
"!
ˇT
sin 2n!t
1
1 ˇˇ
tC
D T:
D ˇ
2 0
2n!
2
T
2
'
(
!
"
!
"
1
cos .n ! m/!t C cos .n C m/!t dt
0 2
!
"
!
"!
ˇT
sin .n ! m/!t
sin .n C m/!t
1 ˇˇ
!
"
!
"
D ˇ
C
D 0:
2 0
n!m !
nCm !
Z
!
"
!
"
cos n!t cos m!t dt D
T
Oletetaan, että n ¤ 0 ja m ¤ 0. Tämä on hyvin samanlainen kuin kohta 3. Tapauksia on
kaksi.
a) Jos n D m, niin
Z
d CT
d
!
" !
"
sin n!t sin m!t dt D
b) Jos n ¤ m, niin
Z
d CT
d
5.
Z
!
"
!
"
cos n!t cos m!t dt D
b) Jos n ¤ m, niin
4.
Z
Tämän näkee suoraan
Z
3.
19
/ M e / 2014
Tapauksia on kaksi.
a) Jos n D 0, niin
2.
MENETELMÄT
!
"
!
"
sin n!t sin m!t dt D
Z
T
0
Z
T
0
!
"
1
sin2 n!t dt D " " " D T:
2
'
(
!
"
!
"
1
cos .n ! m/!t ! cos .n C m/!t dt D " " " D 0:
2
Tämän näkee suoraan
Z
d
d CT
!
"
!
"
sin n!t cos m!t dt D
Z
T =2
!
"
!
"
sin n!t cos m!t dt D 0:
ƒ‚
…
!T =2 „
pariton
2.4 Kertoimien määrittely
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
20
/ M e / 2014
Kerrataan myös osittaisintegroinnin kaava
Z
b
ˇ
ˇb ! " ! " Z
!" !"
ˇ
f t g t dt D ˇ f t g t !
b
0
a
a
a
!" !"
f t g 0 t dt:
Insinöörimatematiikassa on ollut vain reaalifunktioiden integrointia, mutta kovin korkeaan teoriaan ei jouduta funktion ollessa muotoa
!"
!"
!"
z t D u t C j v t ; t 2 R;
missä u ja v ovat reaalifunktioita. Tällöin funktion z integraalilla reaalisen muuttujan t suhteen
tarkoitetaan
Z
Z
Z
!"
!"
!"
z t dt D u t dt C j v t dt:
Erityisesti, kun m 2 Z ja T D
Z
d CT
e
j m!t
d
dt D
Z
d CT
d
2!
!
!
"
cos m!t dt C j
Z
d CT
d
!
"
sin m!t dt D T ım C 0 D T ım :
Integrointi toimii myös, jos pidetään kirjainta j muodollisesti vain vakiona eli
Z
d
d CT
8 ˇ
ˇ d CT
ˆ
ˆ
ˇ
ˆ
t D T;
<ˇ
e j m!t dt D dˇd CT
ˇ
ˆ
ˆ
1
ˆ
e j m!t D
: ˇˇ
j m!
d
Siis
Z
d CT
d
e j m!d
j m!
%
&
e j m2! ! 1 D 0;
e j m!t dt D T ım ; m 2 Z:
kun m D 0;
kun m ¤ 0:
(1)
2.4 Kertoimien määrittely
Oletetaan, että
fO.t/ D
1
X
ck e jk!t ;
kD!1
. Kerrotaan yhtälö puolittain termillä e !j n!t ,
missä lähtöfunktio f on T -jaksoinen ja ! D 2!
T
jolloin
1
1
X
X
!j n!t
jk!t !j n!t
O
f .t /e
D
ck e
e
D
ck e j.k!n/!t :
kD!1
kD!1
2.4 Kertoimien määrittely
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
21
/ M e / 2014
Integroidaan sen jälkeen muuttujan t suhteen puolittain jakson yli
Z
d CT
f .t /e
!j n!t
dt D
d
D
Täten
1
cn D
T
Z
ck
1
X
ck T ık!n D T cn :
kD!1
.1/
Z
1
X
kD!1
d CT
d CT
e j.k!n/!t dt
d
f .t /e !j n!t dt:
d
Yhteenvetona sarjan eksponenttiesitysmuoto on
1 %
1
&
X
X
!"
j n!t
!j n!t
O
f t D c0 C
cn e
C c!n e
D
cn e j n!t ;
nD!1
nD1
missä
1
cn D
T
Erotellaan kertoimen cn D
2
2cn D
T
ja
Z
d
d CT
Z
d CT
d
!"
f t e !j n!t dt;
n D 0; ˙1; ˙2; ˙3; : : :
an ! jbn
; n & 1; reaaliosa ja imaginääriosa, jolloin
2
!"
2
f t e !j n!t dt D
T
Z
d CT
d
!"
!
"
2
f t cos n!t dt !j
T
Z
d CT
d
!"
!
"
f t sin n!t dt
1 %
!
"
!
"&
! " a0 X
O
C
an cos n!t C bn sin n!t ;
f t D
2
nD1
missä
an
bn
2
D
T
2
D
T
Z
Z
d CT
d
d CT
d
!"
!
"
f t cos n!t dt;
!"
!
"
f t sin n!t dt;
n D 0; 1; 2; 3; : : :
n D 1; 2; 3; : : :
Jatketaan ylläolevan trigonometrisen sarjan kanssa ja palataan vähän myöhemmin eksponenttiesitysmuotoon.
2.5 Pari esimerkkiä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
22
/ M e / 2014
2.5 Pari esimerkkiä
#Esimerkki 2.5. Määritetään Fourier-sarja 2"-jaksoiselle funktiolle f , joka on määritelty yhtälöillä
ˇˇ
!"
f !t D t 2"C t; ! " kun ˇt ˇ < ";
f t C 2" D f t :
t
−5π
−3π
π
−π
3π
5π
#
$
Kuva 17. Funktion f kuvaaja välillä ! 5"; 5" .
Jakso T D 2" ja taajuus ! D
2
a0 D
2"
Z
2!
T
D 1. Sijoitetaan tiedot kaavoihin ja väännetään kerroin
ˇ '
(
!2
"
2" 3
1 ˇˇ ! 1 3 1 2
2" 2
t C t dt D ˇ
t C t D
D
.
" !! 3
2
3"
3
!!
!
Muiden kertoimien laskeminen on hieman työläämpi, koska niissä tarvitaan osittaisintegrointia.
Kerroin (n & 1)
Z
"
! "
1 !!2
t C t cos nt dt
an D
" !!
'Z !
(
Z !
! "
! "
1
2
D
t cos nt dt C
t cos nt dt
"
!! „ ƒ‚ …
!! „ ƒ‚ …
parillinen
pariton
ˇ! ' 2
(
Z !
ˇ
!
"
! " 2t
! "
! "
t
2
2
2 ˇ
2
sin nt C 2 cos nt ! 3 sin nt
D
t cos nt dt D ˇ
" 0
" 0
n
n
n
D
Kerroin
bn
"n
4!
!1 :
2
n
1
D
"
Z
!
!!
!2
" ! "
t C t sin nt dt
1
D
"
'Z
(
! "
t sin nt dt
!! „ ƒ‚ …
pariton
parillinen
ˇ '
(
Z
! "
! "
! "
2 ˇˇ !
1
t
2 !
t sin nt dt D ˇ
! cos nt C 2 sin nt
D
" 0
" 0
n
n
D !
"n
2!
!1 :
n
!
! "
t sin nt dt C
!! „ ƒ‚ …
2
Z
!
2.5 Pari esimerkkiä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
23
/ M e / 2014
Fourier-sarja
(
1 '
"n
! " 2!
"n
! "
! " "2 X
4!
O
! 1 cos nt !
C
! 1 sin nt :
f t D
2
3
n
n
nD1
Kuvassa 18 on ylläolevan sarjan osasumman S10 kuvaaja
# ja kuvassa
$ 19 siihen on lisätty alkuperäisen funktion kuvaaja. Kuvaajat on piirretty välille ! 15; 15 .
f(t)
S10(t)
t
−3π
−5π
π
−π
3π
5π
t
−5π
−3π
−π
π
3π
5π
Kuva 19. Funktio ja osasumma S10 .
Kuva 18. Osasumma S10 .
Kuvassa 19 näyttää siltä, että osasumma korvaa melko hyvin funktion
!
"kohdissa, joissa se on
jatkuva. Funktiolla f on hyppäysepäjatkuvuuskohdat t D t0 D 2k C 1 "; k D 0; ˙1; ˙2; : : :
Niissä toispuoleiset raja-arvot ovat
! "
! "
f t0! D " 2 C " $ 13:01;
f t0C D " 2 ! " $ 6:73:
Niiden keskiarvo " 2 on likimain 9:87. Tarkastellaan
epäjatkuvuuskohtaa t D ", ja
# lähemmin
$
piirretään funktion ja osasumman kuvaajia välillä 2; 4 . Seuraavissa neljässä kuvassa on Cmerkki pisteessä ."; a/, a $ 9:87. Sarjan osasummat lähestyvät sitä.
f(t)
f(t)
S2(t)
S5(t)
a
a
3
t
2
π
3
4
t
2
Kuva 20. Funktio ja osasumma S2 .
π
4
Kuva 21. Funktio ja osasumma S5 .
f(t)
f(t)
S20(t)
S100(t)
a
a
3
t
2
π
4
Kuva 22. Funktio ja osasumma S20 .
3
t
2
π
4
Kuva 23. Funktio ja osasumma S100 .
2.5 Pari esimerkkiä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
24
/ M e / 2014
Erityisesti kuvassa 23 on selvästi outoa "tutinaa" epäjatkuvuuskohdassa, vaikka osasumman
termien lukumäärä on jo niin suuri, että luulisi sen olevan jo melko hyvä approksimoinaan läh#
töfunktiota. Tätä ilmiötä tarkastellaan lähemmin kappaleessa Gibbsin ilmiö.
#Esimerkki 2.6. Määritetään Fourier-sarja 2"-jaksoiselle funktiolle f , joka on määritelty yhtälöillä
ˇˇ
!"
ˇt ˇ < ";
f !t D t 2";
kun
!"
f t C 2" D f t :
f(t)
t
−3π
−5π
π
−π
3π
5π
#
$
Kuva 24. Funktion f kuvaaja välilllä ! 5"; 5" .
Funktio f on parillinen ja jatkuva. Kuvaajassa on kärjet kohdissa
!
"
t D t0 D 2k C 1 "; k D 0; ˙1; ˙2; : : :
Jakso T D 2" ja taajuus ! D
Kerroin
2
a0 D
2"
Kerroin (n & 1)
an
Kerroin
bn
Fourier-sarja
Z
2!
T
D 1.
ˇ!
ˇ
1
1 3
2" 3
2" 2
t 2 dt D ˇˇ
t D
D
:
" !! 3
3"
3
!!
!
1
D
"
Z
1
D
"
Z
!
! "
2
t cos nt dt D
"
!!
2
Z
!
0
! "
"n
4!
t 2 cos nt dt D " " " D 2 ! 1 :
n
!
! "
t 2 sin nt dt D 0:
!! „ ƒ‚ …
pariton
1
! " "2 X
"n
! "
4!
O
f t D
C
!
1
cos
nt :
3
n2
nD1
#
$
Kuvassa 25 sarjan osasumman
kuvaaja
on
piirretty
välillä
!
15;
15
. Sen vieressä ja alla on
#
$
tarkennettu tilannetta välille ! 1; 4 , jotta nähdään, kuinka hyvin sarjan osasummat mukautuvat ääriarvokohtiin. Verrattuna edelliseen esimerkkiin sarjan osasummat ovat hyvin pian lähellä
funktiota, lukuunottamatta kärkiä.
2.5 Pari esimerkkiä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
25
/ M e / 2014
f(t)
S1(t)
f(t)
S5(t)
t
−15
15
Kuva 25. Funktio ja osasumma S5 .
t
−1
2
π
4
Kuva 26. Funktio ja osasumma S1 .
f(t)
S3(t)
f(t)
S10(t)
t
−1
2
π
4
Kuva 27. Funktio ja osasumma S3 .
t
−1
2
π
4
Kuva 28. Funktio ja osasumma S10 .
#
#Esimerkki 2.7. Lasketaan esimerkin 2.5 kertoimet vertailun vuoksi kompleksilukujen avulla
eli kaavalla
Z
2 d CT ! " j n!t
an C jbn D
f t e
dt:
T d
Vakiotermi a0 lasketaan kuten edellä. Siis, kun n & 1
Z
"
1 !!2
t C t e j nt dt
an C jbn D
" !!
!
t 2 C t j nt 2t C 1 j nt
2
e ! ! "2 e C ! "3 e j nt
jn
jn
jn
!
!
"
!
"n
!
"2
2 !" C1
!1
!" !"
" 2 C " 2" C 1
2
2
! ! "2 C ! "3 !
C
D
! ! "3
! "2
"
jn
jn
jn
jn
jn
jn
!
!
"n
!1
2"
4"
! ! "2
D
"
jn
jn
ˇ
1 ˇˇ !
D
" ˇ!!
D
"n
"n
4!
2!
!
1
;
!
1
!
j
n2
n
2.6 Lineaarisuus
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
26
/ M e / 2014
josta saadaan kertoimet
an D
"n
4!
!
1
;
n2
bn D !
"n
2!
!1 :
n
#
2.5.1 Fourier-sarjan hyödyntäminen summan laskemisessa
Fourier-sarjan tiedetään suppenevan pisteittäin. Yleensä tiedetään myös arvo, mitä kohti sarja
suppenee. Tällöin voidaan laskea tiettyjen sarjojen summia.
#Esimerkki 2.8. Esimerkiksi edellä saatiin tulos
"n
1 !
X
! "
!1
1 2 "2
t !
D
cos
nt ; jt j % ":
4
12
n2
nD1
Lähtöfunktio oli jatkuva,! joten
" epäjatkuvuuskohtia ei ole. Sijoitetaan sellaisia muuttujan t arvoja
väliltä Œ!"; "#, että cos nt saadaan yksinkertaistettua ja saadaan tuloksia
1
X
1 2 "2
"2
1
D " !
D
n2
4
12
6
nD1
"n
1 !
X
!1
"2
!
D
n2
12
nD1
!
"
sijoitus t D " ;
!
"
sijoitus t D 0 :
2.6 Lineaarisuus
Lause 2.2. Olkoon T-jaksoinen funktio f lineaarikombinaatio kahdesta T -jaksoisesta
funktiosta g ja h, joille löytyy Fourier-sarja eli
!"
!"
!"
f t D c1 g t C c2 h t ;
missä c1 ja c2 ovat vakioita. Tällöin
!"
!"
!"
fO t D c1 gO t C c2 hO t :
Todistus. Olkoon
1 %
! " a0 X
!
"
!
"&
C
gO t D
an cos n!t C bn sin n!t
2
nD1
#
2.6 Lineaarisuus
MAT-02450 F OURIER ’ N
ja
MENETELMÄT
27
/ M e / 2014
1 %
!
"
!
"&
! " ˛0 X
O
˛n cos n!t C ˇn sin n!t :
C
h t D
2
nD1
Määritellään funktiolle f Fourier-sarja laskemalla kertoimet
An
2
D
T
Z
d CT
d
2
D c1
T
Z
!"
!
"
2
f t cos n!t dt D
T
d CT
d
Z
d CT
d
!"
!
"
2
g t cos n!t dt C c2
T
Z
%
!"
! "&
!
"
c1 g t C c2 h t cos n!t dt
d CT
!"
!
"
h t cos n!t dt
d
D c1 an C c2 ˛n
ja
Bn
2
D
T
Z
2
D c1
T
d CT
d
Z
!" !
"
2
f t sin n!t dt D
T
d CT
d
Z
d CT
d
!"
!
"
2
g t sin n!t dt C c2
T
D c1 bn C c2 ˇn :
Z
% !"
! "&
!
"
c1 g t C c2 h t sin n!t dt
d CT
d
!" !
"
h t sin n!t dt
Täten
1 %
! " c1 a0 C c2 ˛0 X
!
"
!
" !
"
!
"&
fO t D
c1 an C c2 ˛n cos n!t C c1 bn C c2 ˇn sin n!t
C
2
nD1
1
1 %
%
X
X
!
"
!
"&
!
"
!
"&
˛0
a0
an cos n!t C bn sin n!t C c2 C c2
˛n cos n!t C ˇn sin n!t
D c1 C c1
2
2
nD1
nD1
!"
!"
O
D c1 gO t C c2 h t :
#Esimerkki 2.9. Jaksollinen kanttiaalto on funktio f , joka on määritelty yhtälöillä
ˇˇ
!"
!"
ˇt ˇ < ";
f !t D signum
t
;
kun
"
!"
f t C 2" D f t :
1
π
π
t
1
#
$
Kuva 29. Funktion f kuvaaja välillä ! 3"; 3" , kun hyppykohdat jätetään arvotta.
2.7 Sarjan suppeneminen
Sen Fourier-sarja on
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
28
/ M e / 2014
1
!
"
!"
4X 1
O
sin .2n ! 1/t :
f t D
" nD1 2n ! 1
Muutetaan kanttiaaltoa seuraavanlaiseksi
! "&
! " 1%
1 C signum t ;
g t D
2"
!
!"
g t C 2" D g t :
ˇˇ
kun ˇt ˇ < ";
1
t
π
π
#
$
Kuva 30. Funktion g kuvaaja välillä ! 3"; 3" , kun hyppykohdat jätetään arvotta.
Funktion g Fourier-sarja on muotoa
1
! " 1%
! "& 1
!
"
2X 1
O
gO t D
1Cf t D C
sin .2n ! 1/t :
2
2 " nD1 2n ! 1
#
2.7 Sarjan suppeneminen
Kun funktio f toteuttaa Dirichlet’n ehdot, Fourier-sarjan
(
1 '
!
"
!
"
a0 X
C
an cos n!t C bn sin n!t
2
nD1
kertoimien raja-arvot
2
lim an D lim
n!1
n!1 T
Z
2
lim bn D lim
n!1
n!1 T
Z
ja
T
f .t / cos.n!t / dt D 0
0
T
0
f .t / sin.n!t / dt D 0:
Todistus perustuu siihen, että kun n kasvaa rajatta, sini ja kosini värähtelevät kiihkeästi välillä
Œ!1; 1#. Pinta-alaa syntyy yhtä paljon symmetrisesti t -akselin molemmille puolille. Kuvassa 31
on sinisellä piirrettynä yksi esimerkki. Tarkempi todistus ohitetaan.
2.7 Sarjan suppeneminen
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
29
/ M e / 2014
t2cos( 40t )
t2
t2
t
π
−π
#
$
Kuva 31. Funktioiden g W g.t / D t 2 cos.40t / ja g W g.t / D ˙t 2 kuvaajat välillä ! "; " .
Näin ollen sarjan yleinen termi
lim
n!1
'
(
!
"
!
"
an cos n!t C bn sin n!t D 0;
mikä on välttämätön ehto yleensäkin sarjan suppenemiselle. Se ei kuitenkaan takaa suppenemista. Sen todistus (jälleen) ohitetaan, mutta koetetaan vähän ymmärtää siihen liittyviä asioita.
2.7.1 Gibbsin ilmiö
Epäjatkuvuuskohdassa, jossa sarjakehitelmän arvo lähestyy toispuoleisten raja-arvojen !keskiarvoa, tapahtuu osasummissa "outoa liioittelua. Tätä ilmiötä kutsutaan Gibbsin ilmiöksi Josiah
Willard Gibbs (1839-1903) . Gibbs oli amerikkalainen tiedemies; alana fysiikka, kemia ja matematiikka.
Seuraavissa kuvissa on piirretty edellä olleen esimerkin 2.5 epäjatkuvuuskohdan ympäristöön
sekä funktio että sarjan osasumma. Kirjaimella a on merkitty funktion toispuoleisten rajaarvojen keskiarvo.
f(t)
S100(t)
f(t)
S1000(t)
a
a
t
3
π
3.5
Kuva 32. Funktio ja osasumma S100 .
t
3
π
3.5
Kuva 33. Funktio ja osasumma S1000 .
Fourier-sarjan osasumman antama arvio hypyn itseisarvon suuruudelle on noin 18% suurempi, kuin se todellisuudessa on. Tarkemmat perustelut liioittelulle ja sen suuruudelle eivät kuulu
opintojakson vaatimuksiin. Riittää, että tietää ilmiön olemassaolosta ja sen suuruusluokasta.
2.7 Sarjan suppeneminen
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
30
Seuraavassa kappaleessa, joka ei kuulu kurssin vaatimuksiin, on hieman avattu, minkälaisesta
matemaattisesta käsitteestä on kyse.
Kiinnostuneille tiedoksi, että liioittelu (noin 9% ylös ja alas ) muodostuu tarkemmin seuraavasti.
Lukua
!"
sin t
dt $ 1:851937052
t
0
kutsutaan Wilbraham-Gibbsin
vakioksi. Merkitään sitä kirjaimella G. Maple tuntee sen yh! "
distelmänä Si " . Tarkastellaan epäjatkuvuuskohdan lähellä osasumman
Z
!
N %
! " a0 X
!
"
!
"&
SN t D
C
an cos n!t C bn sin n!t
2
nD1
raja-arvoja seuraavasti. Merkitään epäjatkuvuuskohdassa t D t0 toispuoleisten raja-arvojen erotusta
! "
! "
f t0C ! f t0! D d:
Tällöin (todistus ohitetaan)
! "
! "
! " f t0C C f t0!
;
lim SN t0 D
N !1
2
'
(
! "
T
lim SN t0 C
D f t0C C G 0 " d;
N !1
2N
lim SN
N !1
missä
G0 D
'
T
t0 !
2N
(
! "
D f t0! ! G 0 " d;
G 1
! $ 0:0894898722
"
2
.Siis "SE" noin 9%/:
Gibbsin ilmiön korjaamiseksi voidaan tehdä korjausliikkeitä esimerkkinä $-approksimaatio,
jossa sarjan osasumman termeihin lisätään ylimääräinen indeksistä n riipppuva kerroin. Uusi
funktio
N
%
!
"
!
"&
! " a0 X
C
$n an cos n!t C bn sin n!t ;
gWg t D
2
nD1
missä
$n D
sin
! n! "
N
n!
N
; n D 1; 2; : : : ; N:
Funktion g kuvaaja värähtelee epäjatkuvuuskohdan ympärillä vaimeammin kuin oikean osasumman SN . Ohitetaan senkin perustelu. Lisää tietoa löytyy Googlella, kun hakusanana on
"sigma approximation".
2.7 Sarjan suppeneminen
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
31
/ M e / 2014
2.7.2 *Tasainen suppeneminen
Tarkastellaan suppenemista tietyllä välillä I . Sanotaan, että funktiojono fn suppenee pisteittäin kohti funktiota f , jos jokaisella välin I arvolla x toteutuu
! "
! "
lim fn x D f x :
n!1
Tällöin muuttujan arvo x on kiinnitetty ja sen jälkeen n kasvaa rajatta. Tämä ei kuitenkaan takaa sitä, että suppeneminen sujuu "kiltisti".
#Esimerkki 2.10. Katsotaan esimerkkinä funktiojonoa
! "
!
"n
# $
fn x D nx 1 ! x ; x 2 0; 1 ; n D 1; 2; 3; : : :
eli jono on muotoa
!
"
!
"2
!
"3
!
"n
x 1 ! x ; 2x 1 ! x ; 3x 1 ! x ; : : : ; nx 1 ! x ; : : :
# $
Kun kiinnitetään muuttujan arvo x D a 2 0; 1 D I , niin kyseessä on lukujono
!
"
!
"2
!
"3
!
"n
a 1 ! a ; 2a 1 ! a ; 3a 1 ! a ; : : : ; na 1 ! a ; : : :
! "
Jos a on nolla tai yksi, niin jono on nollajono. Jos a 2 0; 1 , niin jonon yleisen termin raja-arvo
!
"n
l’H
na
a
lim na 1 ! a D lim !
lim !
"!n D
"!n !
" D 0:
1
n!1
n!1 1 ! a
" 1 " n!1 ! 1 ! a
ln 1 ! a
! "
Siis funktiojono suppenee pisteittäin kohti vakiofunktiota f W f x D 0. Piirretään kuvia funktiojonon jäsenistä eri indeksin n arvoilla. Kuvassa 34 on funktioiden f1 ; f3 ; f5 ; f7 ; f9 kuvaajat
ja sen vieressä oikealla kuvassa on f50 ; f100 ; f150 . Jo kuvat kertonevat, ettei prosessi etene "kiltisti" kohti vakiota nolla.
0.3
0.3
f1
f9
f7
f5
f3
t
0.2
0.6
1
Kuva 34. Funktiojonon jäsenien kuvaajia.
t
0.2
0.6
1
Kuva 35. Funktiojonon jäsenien kuvaajia.
Kuvista näkyy, että viivat lähestyvät t -akselia, mutta lähellä origoa tapahtuu jyrkkä nousu ylöspäin. Lukijalla varmaankin herää kiinnostus tutkia funktioiden maksimiarvon raja-arvoa indeksin n kasvaessa rajatta. Maksimiarvo löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivaatta on
! "
!
"n
!
"n!1
!
"n!1 !
"
fn0 x D n 1 ! x ! n2 x 1 ! x
Dn 1!x
1 ! x ! nx :
2.8 Funktion jatkaminen, sini- ja kosinisarjat
Sen nollakohdat ovat 1 ja
fn
'
1
nC1
(
1
,
nC1
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
32
/ M e / 2014
joista jälkimmäinen on etsimämme maksimikohta. Maksimiarvo
'
(n '
(nC1
n
1
1
1
D
1!
D 1!
! $ 0:3678794412; kun n ! 1:
nC1
nC1
nC1
e
#
Yleisesti pisteittäin suppenemista vahvempi suppeneminen on tasainen suppeneminen. Sanotaan, että funktiojono fn suppenee tasaisesti kohti funktiota f välillä I , jos
ˇ ! "
! "ˇ
lim sup ˇfn x ! f x ˇ D 0;
n!1 x2I
missä sup tarkoittaa pienintä ylärajaa (supremum ). Edellä olevassa esimerkissä ehto ei toteutux2I
nut, joten se ei ollut tasaisesti suppeneva.
Gibbsin ilmiössä on samankaltaisesta tilanteesta kysymys. Sarjan osasummat suppenevat pisteittäin, mutta osasummat eivät suppene tasaisesti.
2.8 Funktion jatkaminen, sini- ja kosinisarjat
!
"
Oletetaan, että funktio f on määriteltynä vain äärelliselle välille 0; T ja sille tarvitaan Fouriersarja. Sarjaa varten tarvitaan jaksollinen funktio. Tällöin löytyy heti kolme yksinkertaista ratkaisua (muitakin löytyy).
1. Tulkitaan funktio f yhden jakson määrittäväksi funktioksi ja tehdään siitä kopioimalla
jaksollinen funktio g. Tällöin uudella funktiolla
on jaksona T . Viereisessä kuvassa on piirretty
punaisella alkuperäinen funktion palanen, jota
on kopioitu sellaisenaan oikealle ja vasemmalle.
t
T
Kuva 36. Jatko.
2. Funktiota voidaan myös jatkaa parillisesti,
jolloin määritellään
( !"
#
$
!"
f t ;
t 2 0; T ;
!
"
#
$
g t D
f !t ;
t 2 ! T; 0 ;
!
"
!"
g t C 2T D g t :
T
T
t
2T
Kuva 37. Parillinen jatko.
Jaksona on 2T . Alkuperäinen
#
$ palanen (punainen) on kopioitu vasemmalle muodostaen parillisen funktion välille ! T; T , jonka jälkeen yhdistelmää on kopioitu vasemmalle ja oikealle.
2.8 Funktion jatkaminen, sini- ja kosinisarjat
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
33
/ M e / 2014
Tällöin sen sarjakehitelmässä kertoimet bn D 0 ja sarja on muotoa
1
! " a0 X
!
"
O
C
f t D
an cos n!t :
2
nD1
! "
Sarjan termeissä esiintyy vain kosini tai vakio ( cos 0 D 1 ), mistä syystä sitä sanotaan funktion kosinisarjaksi.
3. Vastaavasti jatko parittomasti tarkoittaa
funktiota g, joka on määritelty yhtälöillä
8 !"
!
$
ˆ
f t ;
t 2 0; T ;
<
!"
g t D 0;
t D 0;
ˆ
!
"
#
"
:
!f ! t ;
t 2 ! T; 0 ;
!
"
!"
g t C 2T D g t :
2T
t
T
T
Kuva 38. Pariton jatko.
Jaksona on 2T . Alkuperäinen
#
$palanen (punainen) on kopioitu vasemmalle muodostaen parittoman funktion välille ! T; T , jonka jälkeen yhdistelmää on kopioitu vasemmalle ja oikealle.
Kun f on jatkettu parittomaksi tai se on alunperin jaksollinen pariton funktio, niin sen sarjakehitelmässä kertoimet an D 0. Tällöin sarja on muotoa
1
!" X
!
"
O
f t D
bn sin n!t
nD1
ja sitä sanotaan funktion sinisarjaksi.
Katsotaan esimerkin valossa näiden eroja.
!
"
#Esimerkki 2.11. Jos tarvitaan vain suoran y D t pätkää välillä 0; " ja sille Fourier-sarjaa,
niin on kolme yksinkertaista vaihtoehtoa rakentaa jaksollinen funktio, jossa on osana tarvittava
suoranpalanen.
"
1. Suoranpalasen
!"
g t D t; 0 < t < ";
jatkeen Fourier-sarja on
!
"
1
!" " X
sin 2nt
gO t D !
:
2 nD1
n
g(t)
S5(t)
t
−2π −π
π
2π
Kuva 39. Jaksollinen funktio g.
t
−2π −π
π
2π
Kuva 40. Funktio g ja osasumma S5 .
2.8 Funktion jatkaminen, sini- ja kosinisarjat
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
34
/ M e / 2014
"
2. Suoranpalasen parillisen jatkeen
!"
!
"
!"
h t D jt j; !" < t < "; h t C 2" D h t ;
Fourier-sarja on
"
1 !
! "
!" "
2 X .!1/n ! 1
O
cos
nt
ht D C
2
" nD1
n2
(Kosinisarja).
h(t)
S5(t)
t
−2π −π
π
t
−2π −π
2π
Kuva 41. Jaksollinen funktio h.
π
2π
Kuva 42. Funktio h ja osasumma S5 .
"
3. Suoranpalasen parittoman jatkeen
!"
!
"
!"
r t D t; !" < t < "; r t C 2" D r t ;
Fourier-sarja on
"n
1 !
X
!"
! "
!1
rO t D !2
sin nt
n
nD1
(Sinisarja).
r(t)
S5(t)
t
−2π −π
π
2π
Kuva 43. Jaksollinen funktio r.
t
−2π −π
π
2π
Kuva 44. Funktio h ja osasumma S5 .
Kysymys: Miksi rO on sinisarja, mutta gO ei ole?
#
$
Verrataan vielä näiden kolmen vaihtoehdon eroja ja tarkennetaan piirustusväliä välille 0; " ,
koska jatkeet eivät varsinaisesti kiinnosta.
g(t)
S5(t)
h(t)
S3(t)
r(t)
S5(t)
t
π
Kuva 45. Osasumma hO W S3 .
t
π
Kuva 46. Osasummat gO W S5 ja rO W S5 .
2.9 Sarjan derivointi ja integrointi termeittäin
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
35
Kuvassa 45 osasumma ottaa aika hyvin suoran muodon. Päätepisteissä on pientä heittoa. Kuvassa 46 osasummien kuvaajat värähtelevät enemmän vaikkakin termien lukumäärä on suurempi.
Kuvissa esiintyvät osasummat ovat tarkalleen seuraavat
gO W S5 D
! " 1
! " 1
! " 1
! " 1
! "
"
! sin 2t ! sin 4t ! sin 6t ! sin 8t ! sin 10t ;
2
2
3
4
5
!"
! "
"
4
4
hO W S3 D ! cos t !
cos 3t ;
2 "
9"
! " 2
! " 2
! "
!"
! " 2
rO W S5 D 2 sin t ! sin 2t C sin 3t ! sin 4t C sin 5t :
3
4
5
Kysymys: Mikä selittää sen, että hO näyttää näistä soveltuvimmilta tähän käyttöön?
#
2.9 Sarjan derivointi ja integrointi termeittäin
!"
Potenssisarjan, jonka summa suppenemisvälillä on f t , derivointi ja integrointi termeittäin
tuottaa sarjan, joka suppenee kohti funktion f derivaattaa tai integraalifunktiota (integroimisvakio määritettävä erikseen) avoimella suppenemisvälillä. Välin päätepisteet on tarkistettava
erikseen. Fourier-sarjoilla tämä ei ole yhtä yksinkertaista.
Vaikka funktiossa f olisi hyppykohtia, niin sen määrätty integraali
Z t
!"
!"
I t D
f t dt
a
on jatkuva funktio. Toisaalta vaikka funktio olisi jatkuva, niin sen derivaatta ei sitä välttämättä
ole. Siksi ei ole hämmästyttävää, että derivointia todennäköisemmin integointi termeittäin tuottaa uuden Fourier-sarjan. Tässä kappaleessa esitetään kaksi lausetta, mutta niiden todistukset
ohitetaan.
Lause 2.3. Dirichlet’n ehdot toteuttavan jaksollisen funktion f Fourier-sarja voidaan
integroida termeittäin. Tuloksena saatava sarja suppenee kohti f :n integraalifunktiota.
Huomautus. Ensinnäkin integraalifunktioita on ääretön määrä. Ne eroavat toisistaan integroimisvakion verran. Toiseksi integroinnin tuloksena saatu sarja ei välttämättä ole Fourier-sarja.
#Esimerkki 2.12. Katsotaan esimerkin avulla mitä tämä tarkoittaa. Esimerkissä 2.11 olleen
jatketun funktion g
!"
g !t D t;" kun! 0" % t < ";
g t C" Dg t
2.9 Sarjan derivointi ja integrointi termeittäin
Fourier-sarja on
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
36
!
"
1
!" " X
sin 2nt
:
gO t D !
2 nD1
n
Kun integroidaan sarja termeittäin, saadaan tuloksena sarja
!
"!
!
"
Z
1
1
X
cos 2nt
"
" X sin 2nt
!
dt D t C
C C:
2
2 nD1
n
2
2n
nD1
Olettaen, että sarja suppenee kohti funktion g integraalifunktiota saadaan tulos
!
"
1
X
cos 2nt
1 2
"
C C:
t D tC
2
2
2n2
nD1
#
$
Integrointivakio lasketaan valitsemalla, jokin hyvä muuttujan t arvo väliltä 0; " . Valitaan tässä
tilanteessa 0. Sijoitetaan se yhtälöön
1
X
1
0D
CC
2
2n
nD1
eli
C D!
1
1X 1
1 "2
"2
D
!
"
D
!
2 nD1 n2
2 6
12
.katso esim. 2:8/:
Termi a20 t D !2 t ei kuulu Fourier-sarjaaan, joten integroinnin tuloksena saatu sarja ei ole
Fourier-sarja. Järjestellään termejä siirtämällä kyseinen termi vasemmalle. Jäljelle jäävä sarja
!
"
1
2
X
!"
cos 2nt
"
fO t D !
C
12 nD1 2n2
on jaksollisen funktion f
!" 1
"
f t D t 2 ! t; kun 0 % t < ";
2
2
!
"
!"
f t C" Df t
Fourier-sarja. (Tarkista tulos laskemalla funktion f Fourier-sarjan termit an ja bn määritelmän
mukaisesti.)
#
Lause 2.4. Dirichlet’n ehdot toteuttavan jaksollisen funktion f Fourier-sarja voidaan
derivoida termeittäin. Tuloksena saatu sarja suppenee kohti funktion f derivaattaa, jos
ja vain jos funktio f on jatkuva kaikkialla ja sen derivaatalle löytyy Fourier-sarja.
Huomautus. Jos f 0 toteuttaa Dirichlet’n ehdot, niin sille löytyy Fourier-sarja.
2.9 Sarjan derivointi ja integrointi termeittäin
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
37
#Esimerkki 2.13. Esimerkissä 2.11 ollut parillisesti jatkettu funktio h
!"
h!t D jt j;
" kun
! "! " % t < ";
h t C 2" D h t
on jatkuva kaikkialla. Kuvaajassa on kärkiä, joiden kohdalla funktio ei ole derivoituva. Muualla
h on derivoituva. Näin ollen derivaatta on
(
!
"
!
"
1;
kun
2n"
<
t
<
2n
C
1
";
!
"
h0 t D
!1; kun 2n ! 1 " < t < 2n"; n 2 Z:
Se on selvästikin jaksollinen kanttiaalto, joka toteuttaa Dirichlet’n ehdot, joten sille löytyy sarjakehitelmä.
Funktion h Fourier-sarja on
1
!
"
!" " X
!4
O
ht D C
!
"2 cos .2n ! 1/t
2 nD1 " 2n ! 1
ja sen derivointi termeittäin tuottaa sarjan
!
"
!
"
1
1
X
!!
""
4 2n ! 1
4 X sin .2n ! 1/t
!
" ;
!
"2 sin 2n ! 1 t D
"
2n
!
1
"
2n
!
1
nD1
nD1
mikä on kanttiaallon sarjakehitelmä kuten kuuluukin.
#
#Esimerkki 2.14. Esimerkissä 2.11 ollut parittomasti jatkettu funktio r
!"
r !t D t; " kun! !" " % t < ";
r t C 2" D r t
ei ole jatkuva kaikkialla. Sen derivaatta
!"
!
"
r 0 t D 1; t ¤ 2k ! 1 ";
!"
jolle löytyy Fourier-sarja b
r 0 t D 1. Jos sitä etsitään derivaattasarjan kautta, niin huonosti käy;
nimittäin. . . Funktion r Fourier-sarja on
"n
1 !
X
! "
!"
!1
sin nt
rO t D !2
n
nD1
ja sen derivointi termeittäin tuottaa sarjan
"n
1
1 !
X
X
! "
!
"n
! "
!1 n
cos nt D !2
! 1 cos nt ;
!2
n
nD1
nD1
joka ei suppene. (Piirrä sen osasummien kuvaajia!)
#
2.10 Sarjan kolmas esitysmuoto
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
38
2.10 Sarjan kolmas esitysmuoto
Tähän mennessä on käytetty kahta muotoa, jotka on helppo muuntaa toiseksi. Nyt haetaan se
kolmas hyväksi havaittu esitysmuoto. Kompleksiset kertoimet toteuttavat
ˇ ˇ
ˇ ˇ 1q
ˇcn ˇ D
an2 C bn2 D ˇc!n ˇ
2
! "
! "
arg cn D ! arg c!n :
ja
! "
#
$
Merkitään vaihekulmaa arg cn kirjaimella %n . Valitaan se väliltä ! "; " (ei oteta monikäsitteisyyttä mukaan). Vaihekulman ollessa ˙" valitaan tilanteen mukaan toinen. Kompleksiluvut
voidaan esittää muodossa
ˇ ˇ
ˇ ˇ
cn D ˇcn ˇe j"n ja c!n D ˇcn ˇe !j"n
ja
(
1 '
X
!"
j
n!t
!j
n!t
fO t D c0 C
cn e
C c!n e
nD1
'
1
!
"(
X
ˇ ˇ j !n!t C"n "
!j n!t C"n
ˇ
ˇ
D c0 C
cn e
Ce
nD1
D c0 C
1
X
ˇ ˇ
ˇcn ˇ2 cos .n!t C %n / :
nD1
Johdannossa esitettiin, että sarja oli ajateltu siniaaltojen summana. Kosiniaalto on muuten sama
kuin siniaalto, mutta niillä on vaihe-eroa eli
&
%
%"
! "
"&
! ˛ D ! sin ˛ !
:
cos ˛ D sin
2
2
Jatketaan tämän kosiniaallon kanssa eikä vaihdeta sitä historian mukaisesti siniaaltoon.
Kerätään vielä kolme käyttökelpoista esitysmuotoa Fourier-sarjalle
(
1 '
! " a0 X
!
"
!
"
O
f t D
C
an cos n!t C bn sin n!t
2
nD1
D
1
X
cn e j n!t
nD!1
D c0 C
1
X
nD1
An cos .n!t C %n / ;
missä
2cn D an !bn j;
2c!n D an Cbn j;
ˇ ˇ q
An D 2ˇcnˇ D an2 C bn2 ;
! "
%n D arg cn :
2.11 Jaksollisen funktion spektri
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
39
/ M e / 2014
#Esimerkki 2.15. Etsitään Fourier-sarja funktiolle s, joka on määritelty yhtälöillä.
(
!"
t; 0 < t < "
s t D
0; !" < t < 0
!
"
!"
s t C 2" D s t
π
t
−2π
−π
π
3π
#
$
Kuva 47. Funktion s kuvaaja välillä ! 2"; 4" .
Sen sijaan, että lähdettäisiin rakentamaan sarjaa laskemalla kertoimet, huomataan, että
!"
!"
! " t C jt j
r t Ch t
s t D
D
; !" < t < ";
2
2
missä r ja h ovat esimerkissä 2.11 määritellyt funktiot, joiden Fourier-sarjat ovat jo olleet esillä.
Näin ollen
!"
!"
!
"
!
"n
1
1
! " rO t C hO t
! " 1X
! "
2 !1
"
1 X 2 .!1/n ! 1
sO t D
D C
cos
nt
C
!
sin
nt :
2
4
2 nD1
n2 "
2 nD1
n
Sarjat voidaan laskea yhteen termeineen
!
!
"n
!
"n
1
!" " X
! "
! "
!1 !1
!1
sO t D C
cos nt !
sin nt :
4 nD1
n2 "
n
Sarjan eksponenttimuoto on
1
X
!" "
sO t D C
4 nD!1
n¤0
"n
!
"n !
!1 !1
!1
Cj
e j nt :
2n2 "
2n
„
ƒ‚
…
!
Dcn
Toinen reaalinen esitysmuoto sarjalle on
1
ˇ ˇ
!" " X
2ˇcn ˇ cos .nt C %n / :
sO t D C
4 nD1
Sen täsmällinen esitys ei kuitenkaan käsipelissä näytä mukavalta. Lukijaakin varmasti houkuttelisi ottaa tietokoneohjelmisto esille ja pyörittää kertoimia ja vaihekulmia numeerisesti : : : Ja
niin me tehdään, mutta ensin vähän lisää asiaa.
#
2.11 Jaksollisen funktion spektri
Kun funktio esitetään Fourier-sarjakehitelmänä, niin sarjan termien eli harmonisten komponenttien taajuudet ovat perustaajuuden
2"
!0 D
T
2.11 Jaksollisen funktion spektri
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
40
/ M e / 2014
monikertoja. Perustaajuus !0 on ajateltu positiiviseksi ja negatiiviset taajuudet !n!0 vastaavat matemaattisessa
mallissa negatiivisia
ˇ ˇ
! "indeksejä. Jokaista taajuutta vastaa oma amplitudi
ˇ
ˇ
An D 2 cn ja vaihetermi %n D arg cn . Näin ollen ne kaikki sisältävät tietoa funktiosta.
Näitä esitetään amplitudi- ja vaihespektrien avulla. Spektri tarkoittaa suureen jakautumista
komponentteihin taajuuden suhteen. Amplitudispektri on lukujono
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
: : : ; ˇc!3 ˇ; ˇc!2 ˇ; ˇc!1 ˇ; ˇc0 ˇ; ˇc1 ˇ; ˇc2 ˇ; ˇc3 ˇ; : : :
ja vaihespektri on lukujono
: : : ; !%3 ; !%2 ; !%1 ; %0 ; %1 ; %2 ; %3 ; : : : :
Spektrit monesti piirretään kuvina (rastilla/pallolla/ilman) seuraavasti
| cn |
ω
−7ω0
−5ω0
−3ω0
−ω0
ω0
3ω0
5ω0
7ω0
5ω0
7ω0
Kuva 48. Amplitudispektri.
arg(cn)
−7ω0
−5ω0
−3ω0
π
ω
−ω0
ω0
3ω0
−π
Kuva 49. Vaihespektri.
Tarvittava tieto saadaan symmetrian vuoksi jo koordinaatiston oikealta puolelta. Reaalimaailmassa ei ole negatiivisia taajuuksia (paitsi, jos jostain syystä niin mallinnetaan). Tässä niitä
ˇ ˇ
käytetään matematiikan helpottamiseksi. Kun todellinen amplitudi An D 2ˇcn ˇ, niin näyttää
kuin se olisi jakautunut tasan plus- ja miinuspuolelle.
#Esimerkki 2.16. Olkoon perustaajuus !0 D 1. Signaalin spektrit on laskettu ja esitetty seuraavissa kuvissa. Oletetaan, että cn D 0; n D ˙4; ˙5; : : :
2.12 Parsevalin lause
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
41
/ M e / 2014
| cn |
arg(cn)
3
2
1.5
1
−3ω0
−ω0
0.1 ω
ω0
−3ω0
ω0
−ω0
3ω0
ω
3ω0
−π
Kuva 50. Amplitudispektri.
Kuva 51. Vaihespektri.
Tällöin
!"
1
fO t D !1 C 2 " 3 cos .t ! 2/ C 0 " cos .2t C 0/ C 2 "
cos .3t C 1:5/
10
1
D !1 C 6 cos .t ! 2/ C cos .3t C 1:5/ :
5
#
2.12 Parsevalin lause
Esimerkiksi signaalin f , jonka jakso on T , keskimääräiseksi tehoksi sanotaan lukua
1
T
Z
d CT
d
!"
f 2 t dt:
Joissain yhteyksissä saatetaan tarvita keskimääräistä arvoa kahden eri funktion tulolle. Katsotaan seuraavaksi, miten nämä arvot saadaan laskettua Fourier-sarjojen avulla.
Lause 2.5 (Tulolause). Olkoot f ja g jaksollisia funktioita, joilla on sama jakso T ja
joiden Fourier-sarjat ovat muotoa
1
X
!"
O
f t D
cn e j n!t
nD!1
Tällöin
1
T
Z
d
d CT
ja
1
X
!"
gO t D
&n e j n!t
nD!1
missä ! D
1
1
X
X
!" !"
"
f t g t dt D
cn &n D
cn" &n :
nD!1
nD!1
2"
:
T
2.12 Parsevalin lause
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
42
/ M e / 2014
Todistus. Funktiot g ja gO ovat samoja lukuunottamatta yksittäisiä epäjatkuvuuskohtia, joten
integroitaessa tietyn välin yli arvot ovat samat eli toinen voidaan korvata toisella. Olettaen, että
termeittäin integrointi on sallittua saadaan tulos
1
T
Z
d CT
d
!" !"
1
f t g t dt D
T
1
D
T
D
D
Z
d CT
!" !"
f t gO t dt
d CT
!"
f t
d
Z
d
1
X
nD!1
1
X
nD!1
1
T
Z
1
X
nD!1
d CT
d
c!n &n D
&n e j n!t
!
dt
!
! " j n!t
f t e
dt &n
1
X
cn" &n :
nD!1
Kun ylläolevassa summassa vaihdetaan summausindeksi n D !k, niin huomataan, että summa
on aivan sama yleisen termin ollessa muotoa cn &n" . Tämä on varmastikin selvää jo ihan siksi,
että f :n ja g:n järjestyksellä tulossa ei ole merkitystä.
Lause 2.6 (Parsevalin lause). Olkoon f jaksollinen funktio, jonka jakso on T ja jonka
Fourier-sarja on
1
X
!"
2"
fO t D
cn e j n!t ; missä ! D
:
T
nD!1
Tällöin
1
T
Z
d CT
d
1
X
ˇ ˇ2
!"
ˇ cn ˇ :
f 2 t dt D
nD!1
Kaavaa kutsutaan myös Parsevalin yhtälöksi.
Todistus. Tämä on suora seuraus Tulolauseesta.
Koska cn D
an !bn j
2
, saadaan tulos
2
2
ˇ ˇ2 ˇ ˇ2
ˇcn ˇ D ˇc!n ˇ D cn c!n D an ! bn j " an C bn j D an C bn
2
2
4
ja edelleen koska b0 D 0 , Parsevalin yhtälö on muotoa
1
T
Z
d CT
d
1
!"
a02 X an2 C bn2
f t dt D
C
:
4
2
nD1
2
2.12 Parsevalin lause
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
43
/ M e / 2014
!
"
#Esimerkki 2.17. : : : Jatketaan esimerkkiä 2.15, jossa 2"-jaksoiselle funktiolle signaalille s
(
!"
t; 0 < t < "
s t D
0; !" < t < 0
!
"
!"
s t C 2" D s t
etsittiin Fourier-sarjan eksponenttimuoto
1
X
!" "
sO t D C
4 nD!1
n¤0
"n
!
"n !
!1 !1
!1
Cj
e j nt :
2
2n "
2n
„
ƒ‚
…
!
Dcn
ˇ ˇ2
Signaalin s tehospektriksi sanotaan hajotelmaa, jossa on termit ˇcnˇ esitetty taajuustasossa.
| cn |2
0.6
0.3
−10
−5
−1
1
5
ω
10
Kuva 52. Signaalin s (perustaajuus on 1) tehospektri välillä Œ!10; 10#.
ˇ ˇ2
Termit ˇcn ˇ lähestyvät nollaa indeksin n (eli harmonisten komponenttien taajuuden n! ) kasvaessa rajatta. Jos lasketaan kuvan kolme suurinta arvoa yhteen saadaan tulos
1
X
ˇ ˇ2
ˇcn ˇ $ 1:319492642:
nD!1
Signaalin s keskimääräinen teho on
Z !
Z !
!"
1
1
1
2
s t dt D
t 2 dt D
2" !!
2" 0
2"
ˇ
2
ˇ! 3
ˇ t D " $ 1:644934068:
ˇ 3
6
0
Voidaan sanoa, että ensimmäisen harmonisen komponentin ja vakiotermin osalle keskittyy noin
1:319492642
100 $ 80:216
1:644934068
prosenttia signaalin tehosta. Jos otetaan kolme harmonista komponenttia vakiotermin lisäksi
saadaan prosenttiosuudeksi
3
X
ˇ ˇ2
ˇcn ˇ
nD!3
1:644934068
100 $
1:502549956
100 $ 91:344:
1:644934068
#
3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT)
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
44
/ M e / 2014
3 Diskreetti Fourier-muunnos (DFT)
3.1 Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä
Useimmiten insinöörillä ei ole käytössään tunnettua funktiota, joka mallintaisi ilmiötä, vaan lukujono, joka on tuloksena mittauksesta. Tällöin tarvitaan diskreetti muunnos.
Jaksolliselle funktiolle f , joka toteutti Dirichlet’n ehdot, löytyi Fourier-sarja ja se eksponenttimuodossa on
1 %
1
&
X
X
!"
fO t D c0 C
cn e j n!t C c!n e !j n!t D
cn e j n!t ;
nD!1
nD1
missä
Z
1 d CT ! " !j n!t
f t e
dt; n D 0; ˙1; ˙2; ˙3; : : :
cn D
T d
Kertoimet cn , n D 0; ˙1; ˙2; : : : muodostavat lukujonon, jota kutsutaan äärelliseksi Fouriermuunnokseksi. Sana äärellinen viittaa äärelliseen jaksoon T . Tavallisessa Fourier-muunnoksessa
(lisää seuraavassa luvussa) jaksollisuutta ei vaadita ts. jakso on ääretön.
Insinöörillä ei välttämättä ole tietoa jaksollisuudestakaan. Tällöin täytyy vain toimia kuten tilanteessa, jossa funktio oli määritelty äärelliselle välille, joka on se aika, mikä kuluu mittaukseen.
Välin ulkopuolella oletetaan funktion jatkuvan jaksollisena.
#
$
!
Tarkastellaan väliä 0; T ja jaetaan se tasavälisesti N :ään osaväliin välin pituus
alarajana siis ovat
!
"
N !1 T
T 2T
0; ;
;:::;
:
N N
N
T
N
"
, joiden
Funktion f arvot oletetaan tunnetuiksi
(otoksena
saatu) näissä osavälien päätepisteissä. Funktio
! "
! "
oletettiin jaksolliseksi, joten f 0 D f T . Teoriassa
Z
1 T ! " !j n!t
cn D
f t e
dt:
T 0
Muodostetaan integraalista Riemannin summa, jossa funktion arvot lasketaan osavälin alkupisT
eli
teessä (t D tk ) ja välin pituus 't D N
N
!1
X
kD0
N
!1
X
! " !j n!t
k
f tk e
't D
f
kD0
'
(
kT !j n! kT T
N
e
:
N
N
Merkitään kertoimelle cn saatua likiarvoa symbolilla dn eli
(
(
N !1 '
N !1 '
1 X
kT !j n! kT T
1 X
kT !j n! kT
N
N :
c n $ dn D
f
e
D
f
e
T
N
N
N
N
kD0
kD0
Yksinkertaistetaan vielä merkintöjä, niin että merkitään oletettuja, otoksena saatuja, funktion
arvoja jonona
(
'
kT
; k D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1
gk D f
N
3.1 Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä
ja korvataan ! luvulla
2!
,
T
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
45
jolloin
N !1
1 X
2!
dn D
gk e !j nk N ; n D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1:
N
kD0
Merkitään summaa
N
!1
X
Gn D
kD0
2!
gk e !j nk N ; n D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1;
joka edellä vielä jaettiin kokonaisluvulla N .
Näin otoksena saatua alkuperäistä lukujonoa
vastaa lukujono
˚
) ˚ )N !1
g0 ; g1 ; g2 ; : : : ; gN !1 D gk kD0
˚
) ˚ )N !1
G0 ; G1 ; G2 ; : : : ; GN !1 D Gn nD0 ;
jota kutsutaan diskreetiksi Fourier-muunnokseksi (DFT). Kun G-jonon jäsenet jaetaan jonon
jäsenten lukumäärällä N , saadaan arvio Fourier-sarjan kertoimille cn .
Huomautus. Joukko ja lukujono ovat eri asia. Käytetään kuitenkin joukkojen merkintää (aaltosulut) mukavuussyistä. Kun joukon merkinnöin puhutaan jonosta, niin jono on joukko, jossa
järjestys säilyy ja jäsenien lukumäärä ei muutu.
Huomautus. Termi
&
%
2!
2! n k
e !j nk N D e !j N
on mielenkiintoinen. Palautellaan peruskursseilta mieleen kompleksilukujen juurenotto; nimittäin yhtälön
zN D 1
ratkaisut ovat
% 2! &k
z D e j N ; k D 0; 1; : : : ; N ! 1:
Juuret sijaitsevat kompleksitasossa yksikköympyrän kehällä tasaisin välein. Juurien summa voidaan laskea geometrisen summan (suhdetermi q ) kaavalla
N
!1 %
X
kD0
j 2!
N
e
„ƒ‚…
Dq
&k
D
N
!1
X
kD0
1 ! qN
q D
D 0:
1!q
k
Vastaavasti (erona vain n eksponentissa) G-jonon termi
%
e !j
2!n
N
&k
; k D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1
käy läpi tasaisin välein läpi kompleksitason yksikköympyrän pisteitä .e !j 2! n D e j 2! D 1/.
3.1 Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
46
˚ )N !1
˚ )N !1
Katsotaan seuraavaksi, kuinka jonosta Gn nD0 saadaan jono gk kD0 . Summa
N
!1
X
Gn e
j nk 2!
N
nD0
D
N
!1 ' N
!1
X
X
D
N
!1
X
D
N
!1
X
nD0
gm e
!j nm 2!
N
mD0
gm
mD0
' NX
!1
e
(
2!
e j nk N
!j n 2!
N .m!k/
nD0
gm
mD0
N
!1 %
X
e !j 2!
.m!k/
N
nD0
(
&n
:
Indeksit m ja k toteuttavat epäyhtälön
joten kerroin
gm
.m!k/
N
N
!1 %
X
e
ˇ
ˇ
0 % ˇm ! k ˇ % N ! 1;
on kokonaisluku vain jos m ! k D 0. Kun m D k, niin summattava termi
!j 2!
N .m!k/
nD0
&n
N
!1
X
D gk
nD0
1 D gk N .
Kun m ¤ k, niin summattava termi
gm
N
!1 %
X
nD0
!j
e
„
2!
N .m!k/
ƒ‚
Dq¤1
Näin ollen saadaan tulos
N
!1
X
nD0
Gn e
j nk 2!
N
D
N
!1
X
…
gm
mD0
eli
&n
D gm
N
!1 %
X
e
1!1
1 ! qN
D
D 0:
1!q
1!q
!j 2!
N .m!k/
nD0
&n
D 0 C 0 C " " " C Ngk C 0 C " " " C 0 D Ngk ;
N !1
1 X
2!
Gn e j nk N D gk ;
N nD0
!
"
jolla määritellään diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksena IDFT toimiva
jono.
Yhteenvetona vielä
Gn D
N
!1
X
kD0
2!
gk e !j nk N ; n D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1
!
"
DFT
ja
N !1
1 X
2!
gk D
Gn e j nk N ; k D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1:
N nD0
!
IDFT
"
3.1 Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
47
Muunnokset eivät ole yksikäsitteisiä. Tässä tekstissä on valittu samanlaiset kuin Matlabissa ja
Jamesin kirjassa. Erona voi olla esimerkiksi jakaminen luvulla N toisin päin tai symmetrinen
normalisointi
N !1
1 X
2!
gk e !j nk N ; n D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1
Gn D p
N kD0
ja
N !1
1 X
2!
Gn e j nk N ; k D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1:
gk D p
N nD0
Kannattaa tarkistaa ohjelmistoista ja oheismateriaaleista, mitä muunnoskaavoja ne käyttävät.
Olennaista on, että ne toimivat parina. Niiden sovellukset myöskin muuttuvat hieman riippuen
siitä millä luvulla summia kerrotaan.
#Esimerkki 3.1. Olkoon
!"
f t D 1 C 2t; 0 % t < 4:
Funktion oletetaan olevan jaksollinen, jaksona T D 4. Otetaan funktiosta otoksia N D 4 kpl
eli yhden välein. Tällöin jono
˚ )3
˚
) ˚
)
gk kD0 D g0 ; g1 ; g2 ; g3 D 1; 3; 5; 7 :
Lasketaan sille diskreetti Fourier-muunnos termeittäin
G0 D
G1 D
G2 D
3
X
kD0
3
X
kD0
3
X
kD0
(k X
'
3
!j 2!"0
4
D
gk D 1 C 3 C 5 C 7 D .1 C 5/ C .3 C 7/ D 16
gk e
kD0
'
(k X
3
! "k
!j 2!"1
4
gk e
D
gk !j D 1!3j !5C7j D .1!5/!j.3!7/ D !4C4j
kD0
(k X
'
3
!
"k
!j 2!"2
4
D
gk ! 1 D 1 ! 3 C 5 ! 7 D .1 C 5/ ! .3 C 7/ D !4
gk e
kD0
'
(k X
3
3
X
! "k
!j 2!"3
4
G3 D
gk e
D
gk j D 1C3j !5!7j D .1!5/Cj.3!7/ D !4!4j:
kD0
Siis jono
kD0
*
+
˚
)
1
1
1
1
dn nD0 D G0 ; G1 ; G2 ; G3 D 4; !1 C j; !1; !1 ! j :
4
4
4
4
Verrataan seuraavaksi jonon jäseniä niihin arvoihin, mitä ne approksimoi eli lähtöfunktion Fouriersarjan eksponenttiesityksen kertoimiin ck . Fourier-sarja on
%
&
1 sin n ! t
1
1
X
X
!"
2
4j j n ! t X !4j !j n ! t
8
O
2 :
D5C
e 2 C
e
f t D5!
" nD1
n
"
n
"
n
nD1
nD1
˚
Näin ollen jono
)3
+
*
˚ )3
˚
)
4j 2j 4j
:
cn nD0 D c0 ; c1 ; c2 ; c3 D 5; ; ;
" " 3"
3.1 Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
48
/ M e / 2014
Selvästikään muunnos dn ei anna hyvää likiarvoa oikeille kertoimille cn. Tihennetään otosväliä
ja valitaan N D 12. Lasketaan tuloksia tietokoneella. (Käsipelissä alkaa mennä kohtuuttomaksi). Otetaan ensin itseisarvot
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ˇ ˇ
ˇdn ˇ 4:67 1:29 0:667 0:470 0:384 0:343 0:333 0:343 0:384 0:470 0:667 1:29
ˇ ˇ
ˇcn ˇ 5: 1:27 0:636 0:423 0:318 0:254 0:212 0:182 0:159 0:141 0:127 0:116
ja sitten vaihekulmat
n
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
! "
arg dn 0 1:83 2:09 2:36 2:62 2:88 3:14 !2:88 !2:62 !2:36 !2:09 !1:83
! "
arg cn 0 1:57 1:57 1:57 1:57 1:57 1:57 1:57
1:57
1:57
1:57
1:57
Ne eivät ole samat kuten ei kuulukaan olla.
ˇ ˇKyse oli arviosta. Jotain yhteistä ja ˇjotain
ˇ erikoisˇ
ˇ
ˇ
ta niissä kuitenkin on. Puolessa välissä cn -arvot jatkavat vähenemistä, mutta dn ˇ kasvaa ja
likiarvoilla näyttäisi vielä että peilikuvana. Se vaatii lisätarkasteluja, joita tutkitaan teoreettisesti seuraavassa kappaleessa. Vaihekulmissa on suuri hyppäys #positiivisesta
negatiiviseen, mutta
$
siinä tuli kulman " ylitys ja vaihekulmat on valittu väliltä ! "; " , joten ympyrän kehällä
muutos ei ole suuri. Piirretään spektrejä molemmista.
| dn |
| cn |
4.67
5
ω
ω
ˇ ˇ
Kuva 53. ˇdn ˇ; n D 0; ˙1; ˙2; : : : ; ˙11.
arg(!n)
ˇ ˇ
Kuva 54. ˇcn ˇ; n D 0; ˙1; ˙2; : : : ; ˙11.
π
arg(cn)
π/2
ω
ω
−π/2
−π
! "
Kuva 55. arg dn ; n D 0; ˙1; ˙2; : : : ; ˙11.
! "
Kuva 56. arg cn ; n D 0; ˙1; ˙2; : : : ; ˙11.
#
3.2 Jonojen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
49
/ M e / 2014
3.2 Jonojen ominaisuuksia
Jaksollisuus
Laajennetaan jonoja antamalla indekseille arvoja 0; ˙1; ˙2; : : : Lähtöfunktio f oletettiin jaksolliseksi, joten
(
'
(
'
kT
.k C N /T
Df
C T D gk :
gkCN D f
N
N
Diskreetti Fourier-muunnosjono on myös jaksollinen eli
GnCN D
N
!1
X
gk e
!j.nCN /k 2!
N
kD0
D
N
!1
X
kD0
2!
gk e !j nk N e„!jk2!
ƒ‚ … D Gn ; n 2 Z:
D1
Symmetria
Esimerkissä näkynyt symmetria on yleisesti paikkansa pitävä eli kun 1 % n % N ! 1
GN !n D
joten
N
!1
X
gk e
!jk.N !n/ 2!
N
kD0
D
N
!1
X
gk e
j nk 2!
N
e
!j nN 2!
N
kD0
D
N
!1
X
kD0
2!
gk e j nk N D Gn" ;
ˇ
ˇ ˇ ˇ
!
"
! "
ˇGN !n ˇ D ˇGn ˇ ^ arg GN !n D ! arg Gn :
Jaksollisuuden perusteella
G!n D GN !n D Gn" :
˚ )
Funktion f parillisuudesta ei tiedetä mitään, joten jonon gk jäsenillä ei yleisesti pidä paikkansa vastaava symmetria. Yhteenvetona
gkCN D gk
GnCN D Gn
(jaksollisuus)
GN !n D Gn" ; n; k 2 Z:
(symmetria)
Jakaminen positiivisella kokonaisluvulla N ˚ei vaikuta
jaksollisuuteen ja symmetriaan,
)
˚ ) eli ominaisuudet ovat ˚yhtälailla
voimassa jonolla dn . Ominaisuuksista johtuen jono dn ei kerro
)
mitään jonosta cn puolivälin jälkeen, joten käytännössä loppuosa pitää tiputtaa pois. Asiasta
on lisää kappaleessa Näytteenottotaajuus.
Jaksollisuus ja symmetria on otettava huomioon, jos G-jonoa muokataan esimerkiksi nollaamalla siitä jäseniä (suodatus). Esimerkiksi jos G3
0, niin myös GN !3
0. Jos näin ei
tehdä, jono ei voi olla DFT-jono ja käänteismuunnos on mitä sattuu.
3.3 Nopea Fourier-muunnos (FFT)
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
50
3.3 Nopea Fourier-muunnos (FFT)
Kurssin vaatimuksiin ei kuulu FFT-algoritmi (Fast Fourier Transformation). Se on vain työkalu,
jolla tietokoneet laskevat diskreetit muunnokset ja niiden käänteismuunnokset nopeasti. Diskreetin muunnoksen laskeminen on hidasta, jos käytetään suoraan määritelmiä. Vuonna 1965
J.W Cooley ja J.W. Tukey kehittivät algoritmin, joka laskee aikaa vievät summat
N
!1
X
kD0
2!
gk e !j nk N ; n D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1
välttäen samojen termien yhteenlaskuja useampia kertoja. Algoritmeja on olemassa useampia,
mutta perusidea on sama. Jo 1800-luvulla Gauss (Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) )
on laskenut näitä lukuteoriassa. Todellinen hyöty saatiin vasta tietokoneiden myötä laskemisen
nopeuduttua.
Jos lasketaan summat kylmästi
niin kompleksilukujen kertolaskuja on
!
" määritelmän mukaisesti,
2
#
N
ja
yhteenlaskuja
N
N
!
1
kappaletta.
Jos
N
D
2
,
niin algoritmilla kertolaskuja tarvitaan
!
"1
Jamesin kirjan perusteella 2 N & ja yhteenlaskuja N & kpl.
Ohjelmistoissa saattaa olla vaatimus, että laskentapisteitä on jokin kakkosen potenssi eli N D
2# . Siis tarkista ennen käyttöä tai valitse lukumääräksi kakkosen potenssi.
#Esimerkki 3.2. Katsotaan esimerkkinä, kuinka tapauksessa N D 8 D 23 laskuja voi lyhentää. Oletetaan, että jono
˚ )N !1 ˚ )7
gk kD0 D gk kD0
on annettu. Kaavan mukaan diskreetti Fourier-muunnos lasketaan
Gn D
7
X
kD0
! "k
2!
gk q n ; n D 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; missä q D e !j 8 :
Matriisitulona
2
3 2 0
q
G0
6 G1 7 6 q 0
6 7 6 0
6 G2 7 6 q
6 7 6 0
6 G3 7 6 q
6 7D6 0
6 G4 7 6 q
6 7 6 0
6 G5 7 6 q
6 7 6
4 G6 5 4 q 0
q0
G7
q0 q0
q1 q2
q2 q4
q3 q6
q4 q8
q 5 q 10
q 6 q 12
q 7 q 14
q0
q3
q6
q9
q 12
q 15
q 18
q 21
q0
q4
q8
q 12
q 16
q 20
q 24
q 28
q0
q5
q 10
q 15
q 20
q 25
q 30
q 35
q0
q6
q 12
q 18
q 24
q 30
q 36
q 42
32 3
q0
g0
7 76 7
q 7 6g1 7
6 7
q 14 7
7 6g2 7
21 7 6 7
q 7 6g3 7
6g4 7 :
q 28 7
7
6 7
6 7
q 35 7
7 6g5 7
42 5 4 5
q
g6
49
q
g7
Kerroinmatriisi tarvitsee laskea vain kerran, joten voidaan olettaa, että se on jo laskettu. Muunnoksen laskemiseen tarvitaan kertolaskuja 49 kpl ja yhteenlaskuja 56 kpl.
Lähdetään laskemaan, mutta harkiten. Sovelletaan tietoja q 4 D !1 ja q 8 D 1. Esitetään potenssi
m muodossa
m D 8s C r; r D 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7:
3.3 Nopea Fourier-muunnos (FFT)
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
51
!
"
Lukuteoriasta tuttu jakoalgoritmi ja m mod 8 Tällöin
! "s
!
"s
q m D q 8sCr D q 8 q r D q r D q 4s1 Cr1 D ! 1 1 q r1 ; missä s1 2 f0; 1g; r1 2 f0; 1; 2; 3g:
Näitä sievennyksiä on käytetty aina, kun on mahdollista seuraavissa toimenpiteissä. Tuloksena
saadaan lyhennetty versio edellä esitetystä matriisilaskusta. Ensin erotellaan parilliset ja parittomat indeksit omiksi summikseen seuraavasti
Gn D
7
X
kD0
3
3
! n "k X
! n "2k X
! "2kC1
gk q
D
g2k q
C
g2kC1 q n
:
kD0
kD0
Käydään läpi termeittän, kun n D 0; 1; : : : ; 7, ja merkitään summat Sj .
G0 D
3
X
g2k C
G1 D
3
X
G2 D
3
X
3
X
! "k
! 2 "k
g2k q
Cq
g2kC1 q 2 D S2 C S3 .
G3 D
3
X
G4 D
3
X
G5 D
3
X
g2k q
G6 D
3
X
G7 D
3
X
3
3
3
X
!
"k
! "k X
! "k X
!
"k
g2kC1 ! 1 D S4 ! S5 .
g2k q 12 C
g2kC1 q 6 q 12 D
g2k ! 1 ! q 2
kD0
kD0
kD0
kD0
kD0
kD0
kD0
kD0
3
X
kD0
g2kC1 D S0 C S1 .
kD0
3
3
3
X
X
! 4 "k X
! "
!
"k
!
"k
2 4 k
2
g2k q
C
g2kC1 q q
D
g2k ! 1 C q
g2kC1 ! 1 D S4 C S5 .
kD0
kD0
kD0
3
3
3
X
! "k X
! "k X
!
"k
!
"k
g2k q 6 C
g2kC1 q 3 q 6 D
g2k !q 2 Cq 3
g2kC1 !q 2 D S6 CS7 .
kD0
g2k !
!
3
X
kD0
"
10 k
kD0
C
kD0
3
3
X
! 10 "k X
! 2 "k
! "k
g2kC1 q q
D
g2k q
!q
g2kC1 q 2 D S2 ! S3 .
5
kD0
kD0
!
g2k q
"
14 k
!
"
Nyt näkyy, että uusia ei enää tarvita.
g2kC1 D S0 ! S1 .
3
X
C
3
X
kD0
kD0
kD0
kD0
kD0
3
3
! 14 "k X
! 2 "k 3 X
!
"k
g2kC1 q q
D
g2k !q !q
g2kC1 !q 2 D S6 !S7 .
7
kD0
kD0
Kolme viimeistä ovat edellisten liittolukuja, mutta sitä ei sovelleta, vaan lasketaan seuraavia
summia ja erotuksia. Erotellaan summat Sj kahden bi :n summaksi
S0 D
S4 D
3
X
kD0
3
X
kD0
!
" !
"
g2k D g0 C g4 C g2 C g6 D b0 C b2 .
!
"k !
" !
"
g2k ! 1 D g0 C g4 ! g2 C g6 D b0 ! b2 .
3.3 Nopea Fourier-muunnos (FFT)
S2 D
S6 D
S1 D
3
X
kD0
3
X
kD0
3
X
kD0
S5 D q
S3 D q
S7 D q
2
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
52
"
"
!
! "k !
g2k q 2 D g0 ! g4 C q 2 g2 ! g6 D b4 C b6 .
!
"k !
"
!
"
g2k ! q 2 D g0 ! g4 ! q 2 g2 ! g6 D b4 ! b6 .
"
!
" !
g2kC1 D g1 C g5 C g3 C g7 D b1 C b3 .
3
X
kD0
3
X
%!
" !
"&
!
"
!
"k
g2kC1 ! 1 D q 2 g1 C g5 ! g3 C g7 D q 2 b1 ! b3 .
%!
"
!
"&
!
"
! "k
g2kC1 q 2 D q g1 ! g5 C q 2 g3 ! g7 D q b5 C b7 .
kD0
3
X
3
kD0
%!
"&
"
"
!
!
!
"k
g2kC1 ! q 2 D q 3 g1 ! g5 ! q 2 g3 ! g7 D q 3 b5 ! b7 .
Ei perehdytä sen tarkemmin, miten ylimääräiset q:n potenssit rakentuvat. Säännönmukaisuutta
niissäkin on.
Jos esimerkiksi
˚
) ˚
)
gk D 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ;
!
otoskoko N D 8 ja termi q D e !j 4 D
vasti
1!j
p
2
ja q 2 D !j niin ensin yhdistellään termejä seuraa-
g0 D 1 b0 D 1 C 5 D 6
g4 D 5 b4 D 1 ! 5 D !4
g2 D 3 b2 D 3 C 7 D 10
g6 D 7 b6 D q 2 .3 ! 7/ D 4j
g1 D 2 b1 D 2 C 6 D 8
g5 D 6 b5 D 2 ! 6 D !4
g3 D 4 b3 D 4 C 8 D 12
g7 D 8 b7 D q 2 .4 ! 8/ D 4j
Sitten vaihdetaan hieman paikkoja ja lasketaan seuraavat
3.3 Nopea Fourier-muunnos (FFT)
b0 D 6
S0 D 6 C 10 D 16
b2 D 10
S4 D 6 ! 10 D !4
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
53
b4 D !4 S2 D !4 C 4j
b6 D 4j
S6 D !4 ! 4j
b1 D 8
S1 D 8 C 12 D 20
b3 D 12
S5 D q 2 .8 ! 12/ D 4j
p
! p
3!
b5 D !4 S3 D q.!4 C 4j / D e !j 4 4 2e j 4 D 4 2j
p
3! p
3!
b7 D 4j S7 D q 3 .!4 ! 4j / D e !j 4 4 2e !j 4 D 4 2j
Jälleen vaihdetaan hieman paikkoja ja lasketaan seuraavat
S0 D 16
G0 D 16 C 20 D 36
S1 D 20
G4 D 16 ! 20 D !4
S4 D !4
G2 D !4 C 4j
S5 D 4j
G6 D !4 ! 4j
p
p
S2 D !4 C 4j G1 D !4 C 4j C 4 2j D !4 C 4.1 C 2/j
p
p
p
S3 D 4 2j
G5 D !4 C 4j ! 4 2j D !4 C 4.1 ! 2/j
p
p
S6 D !4 ! 4j G3 D !4 ! 4j C 4 2j D !4 ! 4.1 ! 2/j
p
p
p
S7 D 4 2j
G7 D !4 ! 4j ! 4 2j D !4 ! 4.1 C 2/j
Näin on saatu DFT-muunnosjono
˚
p
p
p
p )
) ˚
Gn D 36; !4C4.1C 2/j; !4C4j; !4!4.1! 2/j; !4; !4C4.1! 2/j; !4!4j; !4!4.1C 2/j ;
!
"
ja lopuksi dn D 18 Gn
)
(
p
p
p
p
˚ )
1 1
1 1! 2
1 1 1! 2
1 1
1 1C 2
9 1 1C 2
;! C
j; ! C j; ! !
j; ! ; ! C
j; ! ! j; ! !
j; :
dn D
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
Laskuihin tarvittiin yhteensä 3 " 8 yhteen-/vähennyslaskua ja 5 kertolaskua.
#
Vastaavalla tavalla toimitaan isompien otoskokojen kanssa. Aina jaetaan pienempiin osiin (puolet ja puolet). Vaiheita vain tulee enemmän.
4 Fourier-muunnos
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
54
/ M e / 2014
4 Fourier-muunnos
4.1 Fourier-muunnoksen määritelmä
Tähän mennessä on oletettu, että funktio on jaksollinen.
siitä vaatimuksesta. Juoh Nyt luovutaan
i
T T
ni lähtee siitä, että ensin funktiosta leikataan väliltä ! 2 ; 2 palanen. Sitä jatketaan, jolloin
saadaan jaksollinen funktio, jolle löytyy Fourier-sarja. Tähän asti toimitaan siis kuten edelläkin. Kun sarja on löydetty, niin sen jälkeen kasvatetaan jakson pituutta T ja tarkastellaan, mitä
tapahtuu. Kun T kasvaa rajatta "äärettömyyteen" niin jaksona on koko reaaliakseli, jolloin oikeastaan jaksoa ei ole tai on vain yksi ääretön mittainen jakso.
Lähtöfunktiona on jaksoton funktio f . Sen ei tarvitse olla jatkuva. Merkitään g:llä T -jaksoista
funktiota, joka on rakennettu jatkamalla funktion f palasta
h T Ti
!"
:
f t ; t2 ! ;
2 2
f(t)
T
2
t
T
2
Τ
Kuva 57. Funktion f kuvaaja, josta ikkunoidaan alue.
g(t)
t
T
2
T
2
Τ
Kuva 58. Funktion g kuvaaja, jossa ikkunan kuvaa on toistettu.
Funktiolle g löytyy Fourier-sarja, joka on eksponenttimuodossa
1
X
!"
gO t D
cn e j n!0 t ;
nD!1
missä
1
cn D
T
Perustaajuus
Z
T
2
! T2
! "
f u e !j n!0 u du;
!0 D
2"
:
T
n D 0; ˙1; ˙2; ˙3; : : :
4.1 Fourier-muunnoksen määritelmä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
55
Sarjassa kahden peräkkäisen termin taajuuden erotus on '! D !0 : Jos T kasvaa (rajatta), niin
taajuus pienenee (kohti nollaa) ja taajuusakselilla (vrt. spektrikuvat) viivat lähestyvät toisiaan
ja voidaan "kuvitella" niiden muodostavan jatkuvan muuttujan !. Siis
lim !0 D lim '! D 0:
T !1
T !1
Fourier-sarja gO on sama kuin funktio g lähes kaikkialla, joten
!"
!"
!"
lim gO t ' lim g t D f t :
T !1
T !1
Sarja
(
Z T2
1 '
X
!"
! " !j n! u
1
0
gO t D
f ue
du e j n!0 t
T
T
!2
nD!1
D
1 'Z
X
T
2
! T2
nD!1
(
! " !j n! u
2" 1
0
f ue
du e j n!0 t
T 2"
'Z T
(
1
2
! " !j n!0 u
1 X j n!0 t
D
e
f ue
du '!:
2" nD!1
! T2
Merkitään
! "
GT ! D
jolloin
Z
T
2
! T2
! "
f u e !j!u du;
1
!"
"
1 X j n!0 t !
gO t D
e
GT n!0 '!:
2" nD!1
Annetaan jakson pituuden T kasvaa rajatta, jolloin '! ! 0. Tällöin tietyin ehdoin ( kunhan f
on riittävän säännöllinen : : :) saadaan tulos
'Z 1
(
Z 1
1
! " !j!u
"
1
1 X j n!0 t !
j!t
f u e
du d!:
e
GT n!0 '! D
e
$!!0 2"
2"
!1
!1
nD!1
!"
lim gO t D lim
$!!0
Siis
!"
1
f t '
2"
Z
1
e
j!t
!1
'Z
1
!1
(
! " !j!u
f ue
du d!:
Oikealla olevaa kaksinkertaista integraalia kutsutaan funktion f Fourier- integraaliksi. Kuten
sarjoissakin kyseessä ei ole yhtäsuuruus (siksi merkintä ' ) jokaista muuttujan t arvoa kohti.
Funktion f jatkuvuuskohdissa ne ovat samat, mutta epäjatkuvuuskohdissa integraali antaa toispuolisten raja-arvojen keskiarvon.
Huomautus. Arvoa
lim
a!1
Z
a
!a
! "
f x dx
4.1 Fourier-muunnoksen määritelmä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
56
kutsutaan Cauchyn
(CPA) (Cauchy principal value). Edellä lähtötilanteessa oli
$
# pääarvoksi
symmetrinen väli ! T2 ; T2 ja parametrin T annettiin kasvaa rajatta, jolloin väli laajeni reaaliakseliksi. Siis kyseessä on CPA. Yleisesti epäoleellisten integraalien
Z 1
! "
I D
f x dx
!1
suppenemistarkasteluissa ei voi antaa välin laajentua yhtäaikaisesti äärettömyyksiin. Siellä on
tutkittava kumpikin pää erikseen eli
I D
Z
1
!1
! "
f x dx D lim
a!!1
Z
c
! "
f x dx C lim
b!1
a
Z
c
b
! "
f x dx:
Jos epäoleellinen integraali I suppenee, niin sen arvo on sama kuin Cauchyn pääarvo. Mutta
ei toisin päin. On helppo löytää funktioita, !joilla
" Cauchyn pääarvona on äärellinen luku, mutta
integraali hajaantuu (—ja komeasti vrt. f x D x, jolloin Cauchyn pääarvo on nolla, mutta
pinta-alat positiivisella ja negatiivisella puolella kasvavat rajatta.)
Lause 4.1 (Dirichlet’n ehdot Fourier-integraalille). Jos funktio f on sellainen, että
' sillä on äärellinen määrä paikallisia ääriarvokohtia ja epäjatkuvuuskohtia millä
tahansa äärellisellä välillä,
' epäoleellinen integraali
Z
1
!1
ˇ ! "ˇ
ˇf t ˇ dt
!
"
suppenee eli sillä on äärellinen arvo ,
niin Fourier-integraali suppenee kohti funktiota f niissä pisteissä, joissa on f on jatkuva.
Epäjatkuvuuskohdissa Fourier-integraali suppenee kohti funktion f toispuoleisten rajaarvojen keskiarvoa.
Tämän pitkän johdon jälkeen voidaan määrittää funktion f Fourier-muunnos
˚ ! ")
˚ )! "
! "
F f t DF f ! DF ! D
Z
1
!1
! "
f u e !j!u du;
ja Fourier-integraali määrittää Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksen
F
!1
˚ ! ")
˚ )! "
!"
1
F ! D F !1 F t D f t D
2"
Z
1
!1
! "
F ! e j!t d!:
Nämä muunnokset tulkitaan Cauchyn pääarvoina. Muistetaan myös, että muunnoksen ja käänteismuunnoksen kaavoissa esiintyvän funktion f arvot ovat samat vain jatkuvuuskohdissa.
! "
Huomautus. Jamesin kirjassa! on" tehty valinta, että käytetään merkintää F j! sen sijaan,
että käytettäisiin merkintää F ! , jota tässä käytetään. Motiivina kirjan tekijällä on Fouriermuunnoksen yhteys Laplace-muunnokseen, jossa muuttujana on
s D $ C j!; $; ! 2 R:
4.1 Fourier-muunnoksen määritelmä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
57
/ M e / 2014
Huomautus. Muunnoksen laskeminen voi sujua tuttujen laskukaavojen perusteella, kun tulkitaan j vain symboliksi ja integroimismuuttuja on reaalinen, koska
Z 1
Z 1
Z 1
! "
! " !j!u
! "
! "
! "
! "
F ! D
f ue
du D
f u cos !u du ! j
f u sin !u du:
!1
!1
!1
Käänteismuunnoksen laskeminen määritelmän mukaan voi olla jo integrointia, joka vaatisi lisää
teoriaa. ( Kurssin harjoitus- ja tenttitehtävät valitaan aina sellaisiksi, että insinöörimatematiikan tiedot oletetaan pohjalle; ei enempää! ). Tällöin kannattaa hyödyntää valmiiksi laskettuja
muunnoksia ja tunnistaa niistä, minkä funktion Fourier-muunnoksesta on kyse. (Näin pääsääntöisesti toimitaan.)
#Esimerkki 4.1. Etsitään Fourier-muunnos funktiolle
!"
!"
f W f t D H t e !at ; a > 0:
Pinta-ala funktion ja t akselin välillä on
Z
t
1
!1
ˇ ! "ˇ
ˇf t ˇ dt D lim
b!1
Z
b
e !at dt
'0
(
1 !ab 1 0
1
D lim ! e
C e D :
b!1
a
a
a
Kuva 59. Funktion f kuvaaja.
Se on äärellinen. Lisäksi funktiolla f on epäjatkuvuuskohtia ja paikallisia ääriarvokohtia äärellinen määrä, joten Dirichlet’n ehdot toteutuvat ja muunnos on olemassa. Siis
Z 1
Z 1
! "
! " !j!u
F ! D
f ue
du D
e !au e !j!u du
!1
0
ˇ
!
"
ˇ b !1
!u aCj!
ˇ
D lim ˇ
e
b!1 0 a C j!
&
1
!1 % !ba !jb!
e e
! e0 D
:
b!1 a C j!
a C j!
D lim
#
Vaatimus, että epäoleellinen integraali
Z
1
!1
ˇ ! "ˇ
ˇf t ˇ dt
!
suppenee on melko kova, koska"monet funktiot eivät sitä toteuta esim, polynomifunktiot, trigonometriset, eksponenttifunktiot . Todellisuudessa signaalit harvoin ovat sellaisia, että ne olisivat
toiminnassa "negatiivisesta ikuisuudesta hamaan tulevaisuuteen", vaan niillä on jokin äärellinen
aika.
#Esimerkki 4.2. Etsitään Fourier-muunnos funktiolle
(
!"
1; kun 0 % t % 2
f Wf t D
0; muulloin.
4.2 Sinc-funktio
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
58
/ M e / 2014
Tällöin
! "
F ! D
ja
Z
2
0
! "
ˇ2
!j!2
0
j!
!j!
ˇ
2
sin
!
!1
!e
C
e
e
!
e
e !j!u D
D e !j!
D e !j!
e !j!u du D ˇˇ
j!
j!
!
0 j!
!¤0
! "
F 0 D
Z
2
0
1 du D 2:
#
4.2 Sinc-funktio
Eräänlaista pulssia kuvaamaan on määritelty sinc-funktio
!"
! " 8
sin
t
<
!"
sin x
;
D
sinc t D lim
t
x!t
:
x
1;
t ¤0
t D 0:
t
!"
! "
Kuva 60. Funktion f W f t D sinc 30t kuvaaja.
Kun sini esitetään Maclaurinin sarjakehitelmänä, niin
! "
!
"k
!
"k
1
1
X
X
sin x
!1
!1
x 2kC1
1
1
1
!
"
!
" x 2k D 1 ! x 2 C x 4 ! x 6 C ! " " " ;
D
D
x
3Š
5Š
7
2k C 1 Š x
2k C 1 Š
kD0
kD0
mistä on helppo nähdä, että sinc on jatkuva kohdassa t D 0 (ja raja-arvoa ei oikeastaan tarvita).
Määritelmän jälkeen esimerkin 4.2 lopputulos voidaan yksinkertaistaa muotoon
! "
F .!/ D 2e !j! sinc ! :
Kirjallisuudessa näkee muitakin määritelmiä sinc-funktiolle, joten jälleen on hyvä tarkistaa mitä
kulloinkin käytetään. Usein tarvitaan funktiota
!"
Si t D
Z
t
0
!
"k
! "
1
X
!1
sin x
!
"!
" t 2kC1 :
dx D
x
2k C 1 Š 2k C 1
kD0
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
59
Funktiota ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, mutta yllä olevana suppenevana sarjana kyllä. Kompleksianalyysin tulosten perusteella tiedetään myös, että
! "
Z 1
sin x
"
dx D :
x
2
0
Nimi Si on mm. ohjelmistojen käyttämä ja se tulee yksinkertaisesti sanoista The Sine Integral.
#Esimerkki 4.3. Lasketaan vielä yhtenä esimerkkinä muunnos tasapulssille
(
% !
!"
"
!
"&
!"
A;
jt j < T
f t D A rectT t D A H t C T ! H t ! T D
0;
jt j > T:
A
t
T
T
#
$
Kuva 61. Tasapulssi, jonka korkeus on A välillä ! T; T .
! "
F ! D
Z
1
!1
DA
! "
F 0 D
Näin ollen
Z
e
! "
f u e !j!u du D
! "
T j!
1
!1
!e
j!
! "
!T j!
! "
f u du D
Z
Z
T
Ae
!j!u
!T
ˇ
ˇ T !1 !u!j! "
ˇ
e
du D A ˇ
!T j!
!¤0
! "
sin T!
e jT ! ! e !jT !
D 2AT
D 2AT
2j " !T
T!
T
!T
A du D 2AT:
! "
! "
F ! D 2AT sinc T! :
#
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
Seuraavaksi luetellaan Fourier-muunnoksen perusominaisuuksia, jotka ovat hyödyllisiä työkaluja systeemien suunnittelussa ja analysoinnissa. Merkitään
n ! "o! "
! "
F f t ! DF ! ;
n ! "o! "
! "
F g t ! DG ! ;
t; ! 2 R; ja a; b 2 C:
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
60
1. Lineaarisuus
n !"
! "o! "
! "
! "
F af t C bg t ! D aF ! C bG !
Tämä perustuu puhtaasti integraalien laskulakeihin. Siis
Z 1%
n !"
! "o! "
! "
! "& !j!u
F af t C bg t ! D
af u C bg u e
du
!1
Da
Z
1
!1
! "
f u e !j!u du C b
! "
! "
D aF ! C bG ! :
Z
1
!1
! "
g u e !j!u du
2. Skaalausominaisuus
' (
n ! " o! "
1
!
F f at ! D
F
; a¤0
jaj
a
Osoitetaan ominaisuus todeksi, kun funktio f on jatkuva. Sen jälkeen on helppo yleistää tulos
paloittain jatkuville funktioille. Tehdään integraaliin
Z
1
!1
muuttujan vaihdos y D au seuraavasti.
! "
f au e !j!u du
' Jos a > 0, niin integraalin yläraja ja alaraja eivät muutu.
' Jos a < 0, niin integraalin yläraja ja alaraja muuttuvat vasta-arvoikseen. Vaihdetaan niiden roolit, jolloin rajat pysyvät samoina mutta integraali muuttuu vastakkaismerkkiseksi.
Siis
Z 1
!1
! "
! "
f au e !j!u du D signum a
Z
1
! "
y 1
1
f y e !j! a dy D
a
jaj
!1
Erityisesti, jos a D !1, niin nähdään, että
n !
"o! "
!
"
F f !t ! DF !! :
Z
' (
! " !j ! y
1
!
f y e a dy D
F
:
jaj
a
!1
1
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
61
/ M e / 2014
#Esimerkki 4.4. Etsitään Fourier-muunnos funktiolle
!"
!"
!
"
g W g t D 5H t e !at C 2H ! t e at ; a > 0:
5
Merkitään
2
t
jolloin
Kuva 62. Funktion g kuvaaja.
!"
!"
f t D H t e !at ;
! "
F ! D
1
:
a C j!
Skaalausominaisuutta ja lineaarisuutta käyttäen nähdään, että
! "
G ! D 5F .!/ C 2F .!!/ D
5
2
7a ! 3j!
C
D 2
:
a C j!
a ! j!
a C !2
#
3. Derivointi ajan suhteen
Vaatimuksena on, että funktion f pitää olla jatkuva ja lauseen 4.1 ehdot ovat voimassa sekä
funktiolle f , että sen derivaatalle f 0 . Oletetaan lisäksi, että
lim f .t / D 0:
jt j!1
Tällöin
n ! "o! "
! "
F f 0 t ! D j!F !
Perustellaan ominaisuus
n ! "o! " Z
F f0 t ! D
1
!1
! "
f 0 u e !j!u du
ˇ
Z
ˇ 1 ! " !j!u !
"
ˇ
! ! j!
D ˇ f ue
!1
! "
D I C j!F ! ;
missä
1
!1
! "
f u e !j!u du
ˇ
% ! "
ˇ N ! " !j!u
!
" j!N &
!j!N
ˇ
I D lim ˇ f u e
D lim f N e
!f !N e
:
N !1 !N
N !1
!
"
Koska limN !1 f ˙ N D 0, saadaan I D 0. Näin ollen
n ! "o! "
! "
F f 0 t ! D j!F ! :
CPA
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
62
/ M e / 2014
Sovelletaan ylläolevaa tulosta edelleen (induktiolla). Oletetaan, että lauseen 4.1 oletukset ovat
voimassa funktiolla f ja sen jokaisella derivaatalla
f .k/"; k D 1; 2; : : : ; n. Lisäksi oletetaan, että
!
f ja sen jokainen derivaatta f .k/ ; k D 1; 2; : : : ; n ! 1 ovat jatkuvia ja limjt j!1 f .k/ .t / D 0:
Tällöin saadaan kaava
F
*
+
d n ! " ! " ! "n ! "
f t
! D j! F ! :
dt n
#Esimerkki 4.5. Olkoon
!"
!"
!
"
g t D H t e !at C H ! t e at ; a > 0:
„ ƒ‚
! " … „ ƒ‚
! "…
Df t
1
Df !t
t
Tällöin
! "
G ! D
1
1
2a
C
D 2
:
Kuva 63. Funktion g kuvaaja.
a C j!
a ! j!
a C !2
! "
!"
!
"
Funktio g on jatkuva, kun sovitaan, että g 0 D 1. (Yhdelmällä f t C f ! t ei ollut mitään
arvoa, kun t D 0.) Derivoidaan g ajan suhteen
!"
!"
!
"
g 0 t D !aH t e !at C aH ! t e at ; t ¤ 0:
Sen muunnos on
n ! "o! "
! "
!
"
F g 0 t ! D !aF ! C aF ! ! D
! "
!a
a
2aj!
C
D 2
D
j!G
! :
a C j!
a ! j!
a C !2
Sama tulos saadaan, jos sovelletaan suoraan ominaisuutta 3. Kumpi on yksinkertaisempi?
#
#Esimerkki 4.6. Etsitään Fourier-muunnos funktiolle
!"
f W f t D H.t /t e !at ; a > 0:
Se on jatkuva ja toteuttaa Dirichlet’n ehdot. Sovelletaan derivointiominaisuutta eli muunnetaan
yhtälö
%
&
f 0 .t / D H.t / e !at ! at e !at D H.t /e !at ! aH.t /t e !at
puolittain taajuusmaailmaan, jolloin saadaan tulos
j!F .!/ D
1
! aF .!/
a C j!
eli
F .!/ D
1
.a C j!/2
#
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
63
4. Siirto-ominaisuudet
n !
" o! "
! "
F f t ! a ! D e !ja! F !
˚
! ") ! "
!
"
F e jbt f t
! D F ! !b
!
!
"
aikasiirto .
"
taajuussiirto .
Aikasiirto-ominaisuutta saatetaan kutsua myös aikaviiveominaisuudeksi ja taajuussiirto-ominaisuutta modulaatio-ominaisuudeksi. Näiden perustelut on syytä käydä läpi, jotta ne eivät ole
vain kaavoja, vaan että jokainen näkee miksi näin on. Siis
Z 1
n !
"o! "
!
"
F f t !a ! D
f u ! a e !j!u du
. sijoitus: u D y C a/
D
D
Z
Z
De
!1
1
!1
1
!1
F e
jbt
Z
! "o ! "
f t
! D
D
Z
! "
f y e !j!y e !j! a dy
!j! a
ja
n
! "
f y e !j!.yCa/ dy
1
!1
1
!1
Z
1
!1
! "
! "
f y e !j!y dy D e !j! a F !
! "
e jbu f u e !j!u du
! "
!
"
f u e !j.!!b/u du D F ! ! b :
#Esimerkki 4.7. Esimerkissä 4.3 laskettiin muunnos tasapulssille
(
% !
!"
!"
"
!
"&
A;
f t D A rectT t D A H t C T ! H t ! T D
0;
A
t
T
T
!
"
Kuva 64. Tasapulssi, jonka korkeus on A välillä ! T; T .
Tuloksena saatiin
! "
! "
F ! D 2AT sinc T! :
Jos tarvitaan muunnos tasapulssille
% !"
!"
!
"&
g t D " H t ! H t ! 2" ;
jt j < T
jt j > T:
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
64
/ M e / 2014
π
t
2π
!
"
Kuva 65. Tasapulssi, jonka korkeus on " välillä 0; 2" .
!"
niin on hyvä huomata, että se on saatu siirtämällä tasapulssia " rect! t oikealle ":n verran.
Täten
!"
!
"
g t D " rect! t ! "
ja aikasiirto-ominaisuuden perusteella
! "
! "
! "
G ! D e !j!! F ! D e !j!! 2" 2 sinc "! :
#
Seuraava esimerkki on tärkeä, kun viestin f lähettäminen sellaisenaan ei ole mahdollinen ja
sitä varten tarvitaan kantoaalto.
#Esimerkki 4.8. Oletetaan tunnetuksi f ja sen muunnos F . Muodostetaan signaali g kertomalla f kosinifunktiolla, jonka taajuus on ˛, eli
!"
!"
! "
g t D f t cos ˛t :
Saadun signaalin muunnos on lineaarisuuden ja taajuussiirto-ominaisuuden perusteella
+
* j˛t
! ") 1 ˚
! ") 1 !
" 1 !
"
! "
1 ˚
e C e !j˛t ! "
f t D F e j˛t f t C F e !j˛t f t D F !!˛ C F !C˛ :
G ! DF
2
2
2
2
2
F(ω)
G(ω)
ω
ω
−α
α
Kuva 66. Kuvat kuvitellusta F :stä ja sen perusteella G:stä.
Huomaa, miten aikatasossa kosinilla kertominen vaikuttaa taajuustasossa. Kaikki tieto funktiosta f säilyy. Kuvaaja siirtyy origon ympäristöstä kohdan t D ˛ ympäristöön puolikkaalla
kerrottuna. Muista, että negatiiviset taajuudet ovat vain matematiikan helpottamiseksi.
Tehtävä. Jos tehdään samoin funktiolle g ja rakennetaan funktio
!"
!"
! "
!"
! "
k t D g t cos ˛t D f t cos2 ˛t ;
! "
niin minkälainen on taajuustasossa K ! :n kuva?
#
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
65
Tehtävä. Etsi F-muunnos funktiolle
!"
!" ! "
g t D f t sin ˛t ;
ja kirjoita tulos alla olevaan muunnoskaavaan
n !"
! "o! "
F f t cos ˛t ! D
n !"
! "o! "
F f t sin ˛t ! D
1
F
2
!
"
!
"
! ! ˛ C 21 F ! C ˛ ;
5. Konvoluutio-ominaisuus
Jatkuvien funktioiden f ja g konvoluutiolla tarkoitetaan funktiota
Z 1
Z 1
!"
!
" ! "
! " !
"
.f ( g/ t D
f t ! x g x dx D
f x g t ! x dx:
!1
!1
Konvoluutiohin liittyvät muunnokset ovat
n
! " o! "
! " ! "
F .f ( g/ t ! D F ! G ! ;
n ! " ! "o! "
! "
1
F f t g t !
D
.F ( G/ ! :
2"
Osoitetaan niistä ylempi aloittamalla tulosta taajuustasossa eli
Z
Z 1
! " ! "
! " 1
! "
!j u!
F ! G ! DF !
g.u/e
du D
g.u/e !j u! F ! du
D
D
Z
Z
!1
1
!1
1
!1
!1
Z
n !
"o
g.u/F f t ! u du D
Z
1
!1
!
1
!1
Z
1
!1
!
"
g.u/f t ! u e !jt ! du dt
!
"
g.u/f t ! u du e !jt ! dt D
n
! "o
D F .f ( g/ t :
Z
1
!1
%
! "& !jt !
.f ( g/ t e
dt
% !"
!"
!"
!
"&
!"
#Esimerkki 4.9. Olkoon f t D t H t !H t !1 ja g t D rect1 t . Piirrä kuvat! Etsitään
niiden konvoluutio
Z 1
!"
!"
!
" ! "
k t D .f ( g/ t D
f t ! x g x dx:
Se joudutaan antamaan paloina.
!1
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
66
' Jos t < !1 tai t > 2 , niin
Z 1
!"
k t D
0 dx D 0:
!1
' Jos !1 < t < 0, niin
Z
!"
k t D
' Jos 0 < t < 1, niin
Z
!"
k t D
' Jos 1 < t < 2, niin
Z
!"
k t D
t
!1
!
t
t !1
1
t !1
"
.t C 1/2
:
! x C t dx D
2
!
"
1
! x C t dx D :
2
!
"
1 ! .t ! 1/2
! x C t dx D
:
2
Siis, kun taajuustasossa kaksi funktiota F ja G kerrotaan keskenään, niin tulo ei ole Fouriermuunnos aikatason funktioiden f ja g tulosta vaan niiden konvoluutiosta.
#
#Esimerkki 4.10. Tarkastellaan systeemiä, jota kuvaa differentiaaliyhtälö
!"
!"
!"
!"
y 00 t C 5y 0 t C 6y t D f t ;
!"
missä systeemiin vaikuttava ulkopuolinen voima f W f .t / D cos t . Oletuksena on, että aika
t > 0.
Dy on helppo ratkaista perinteisillä menetelmillä ja sen ratkaisu
!"
!"
sin t C cos t
!2t
!3t
y.t / D C1 e
C C2 e
C
:
10
Muunnetaan differentiaaliyhtälö taajuustasoon
! "2 ! "
! "
! "
! "
j! Y ! C j!5Y ! C 6Y ! D F !
ja sievennetään muotoon
%
eli
Kerroinfunktiota
! "
G ! D
& ! "
! "
! ! 2 C j!5 C 6 Y ! D F !
! "
Y ! D
!! 2
! "
1
F !
C j!5 C 6
!1
j2
1
!
"!
"D!
"!
"
D
2
! ! 5j! ! 6
! ! 2j ! ! 3j
2 C j! 3 C j!
kutsutaan systeemin siirtofunktioksi. Hajotetaan G kahden rationaalifunktion summaksi (osamurtokehitelmä)
1
!1
1
"!
"D
C
;
G.!/ D !
2 C j!
3 C j!
2 C j! 3 C j!
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
67
josta nähdään, että
g.t / D H.t /e !2t ! H.t /e !3t :
! "
! " ! "
Muunnetaan taajuustason yhtälö Y ! D G ! F ! aikatasoon, jolloin
y.t / D
Z
1
!1
g.t ! x/f .x/ dx:
Lasketaan konvoluutio
Z 1%
&
! "
y.t / D
H.t ! x/e !2.t !x/ ! H.t ! x/e !3.t !x/ cos x dx
!1
D
Z
1
!1
De
!2t
De
!2t
H.t ! x/e
Z
t
e
!1
2x
!2.t !x/
! "
cos x dx !
! "
cos x dx ! e !3t
Z
t
!1
Z
1
!1
! "
H.t ! x/e !3.t !x/ cos x dx
! "
e 3x cos x dx
ˇ
ˇ
ˇ t 2x %
ˇ t e 3x %
! "
! "&
! "
! "&
!3t ˇ
ˇ e
2
cos
x
C
sin
x
!
e
3
cos
x
C
sin
x
ˇ
ˇ
!1 5
!1 10
!"
!"
!"
! "&
1%
4 cos t C 2 sin t ! 3 cos t ! sin t
10
p
!"
!"
!
"
1
1
2
D
cos t C
sin t D
cos t ! "=4
10
10
10
D
Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista helposti perinteisillä menetelmillä, joten DY:n ratkaisemiseen tätä ei tarvita. Insinöörit käyttävät näitä apuna systeemin suunnittelussa, koska taajuustasossa laskut ovat yksikertaisia. Vaikka Maple laskee konvoluution helposti, niin sitäkään
tässä
p
2 !j!=4
ei tarvita. Kunhan asiassa mennään syvemmälle, niin tässä riittäisi laskea G.1/ D 10 e
.
Katso esimerkki 4.19.
#
6. Symmetriaominaisuus
n ˚ )! "o! "
n ! "o! "
!
"
F F f t ! D F F t ! D 2"f ! ! :
Toisinaan tätä ominaisuutta kutsutaan myös
! " duaalisuusominaisuudeksi. Huomaa,
! " että lähtöfunktio f on muunnettu taajuustasoon F ! . Sitten se ajatellaan "aikatasoon F t " ja muunnetaan uudestaan. Huh! Tässä sotkeutuu roolit, joten tarkkuutta!
Perustellaan ominaisuus. Fourier-käänteismuunnoksen perusteella
Z 1
! "
!"
1
e j!t F ! d!
f t D
2" !1
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
eli
!
"
2"f ! t D
eli
!
"
2"f ! ! D
Z
1
e
MAT-02450 F OURIER ’ N
Z
!1
!j u!
!1
1
MENETELMÄT
/ M e / 2014
68
! "
e !j!t F ! d!
n ! "o! "
! "
F u du D F F t ! :
Muistetaan, että vaikka ominaisuudessa käytetään yhtäsuuruusmerkkiä, niin lähtöfunktion f
epäjatkuvuuskohdissa käänteismuunnoksen f arvot eivät ole samoja kuin lähtöfunktiolla, jos
ne lasketaan kyseisen kaavan avulla.
Kun muunnospareja merkitään nuolella molempiin suuntiin, niin ne eivät ole vaihdannaisia eli
!"
! "
!"
!
"
f t $ F ! ja F t $ 2"f ! ! :
Huomautus. Pidä kiinni muuttujien roolista; t , kun ollaan aikatasossa ja !, kun ollaan taajuustasossa. Jos poikkeat näistä, niin kirjoita aina näkyviin kummasta on kyse. Pelkkä iso/pieni
kirjain funktion nimessä ei selvästikään riitä.
#Esimerkki 4.11. Aloitetaan siitä, että meillä on aikatasossa sinc-pulssi
!"
! "
f t D sinc 3t ;
joka halutaan muuntaa taajuustasoon.
Huomautus. Sen laskeminen määritelmän perusteella jää laskematta, jos pohjalla on vain peruskurssien asiat. Peruskurssien tiedoilla se onnistuu, jos käytössä on tulos
Z 1
"
sin.x/
dx D :
x
2
0
Muistellaanpa sitten että, minkä funktion muunnos oli sinc-funktio. Sehän liittyi tasapulssiin eli
˚
! ") ! "
! "
F rectT t
! D 2T sinc T! :
Symmetriaominaisuuden perusteella
˚
! ") ! "
!
"
F 2T sinc T t
! D 2"rectT ! ! :
Tasapulssi on parillinen, joten
Näin ollen
˚
! ") ! "
! "
F 2T sinc T t
! D 2"rectT ! :
˚
! ") ! " 1 ˚
! ") ! "
F sinc 3t
! D F 2 " 3 " sinc 3t
!
6
D
! "
1
" 2"rect3 !
6
! "
"
rect3 !
3
"
!
"&
"% !
H !C3 !H ! !3 :
D
3
D
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
69
/ M e / 2014
Vertailun vuoksi vielä
!"
! "
! "
! "
"
1
rect3 t $ sinc 3! ja sinc 3t $ rect3 ! :
6
3
1
1
6
−π
3
3
ω
t
!"
Kuva 67. Aikatasossa 16 rect3 t .
π
! "
Kuva 68. Taajuustasossa sinc 3! :
π
3
1
ω
t
−π
π
3
3
! "
Kuva 69. Aikatasossa sinc 3t .
! "
Kuva 70. Taajuustasossa !3 rect3 ! :
#
#Esimerkki 4.12. Aloitetaan aikatasossa tasapulssista
!"
!"
!
"
f t DH t !H t !6 :
Sen muunnos on
! "
! "
F ! D e !j 3! 6sinc 3! :
Muunnetaan
n
% !
! "o! "
!
"
"
! "&
F e !j 3t 6 sinc 3t ! D 2"f ! ! D 2" H ! C 6 ! H ! :
6
1
ω
t
6
!"
!
"
Kuva 71. Aikatasossa H t ! H t ! 6 .
−π
π
ˇ
! "ˇ
Kuva 72. Taajuustasossa ˇe !j 3! 6sinc 3! ˇ.
4.3 Fourier-muunnoksen ominaisuuksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
70
/ M e / 2014
2π
6
t
−π
ω
π
6
ˇ
! "ˇ
Kuva 73. Aikatasossa ˇe !j 3t 6sinc 3t ˇ.
% !
"
! "&
Kuva 74. Taajuustasossa 2" H ! C 6 ! H ! :
#
#Esimerkki 4.13. Aloitetaan aikatasossa signaalista
% !"
!"
!
"&
f t Dt H t !H t !6 :
Sen muunnos on
! "
6je !j 3! ! C e !j 3! ! e j 3!
F ! D e !j 3!
!2
Ajatellaan se aikatasoon ja muunnetaan se eli
*
F e
!j 3t
!
"
raakaa työtä .
+
% !
!
"
"
! "&
6je !j 3t t C e !j 3t ! e j 3t ! "
!
D
2"f
!
!
D
!2"!
H
!
C
6
!
H
! :
t2
18
6
ω
t
−π
6
ˇ ! "ˇ
Kuva 76. Taajuustasossa ˇF ! ˇ.
!"
Kuva 75. Aikatasossa f t .
12π
18
t
−π
π
π
ˇ ! "ˇ
Kuva 77. Aikatasossa ˇF t ˇ.
ω
6
!
"
Kuva 78. Taajuustasossa 2"f ! ! .
#
4.4 Impulssifunktioon liittyviä muunnoksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
71
4.4 Impulssifunktioon liittyviä muunnoksia
Etsitään muunnoksia, joihin liittyy Diracin deltafunktio. Tällöin Dirichlet’n ehdot eivät aina ole
voimassa. Siitä huolimatta edetään (varovaisesti) määritelmien mukaisesti.
#Esimerkki 4.14. Etsitään Fourier-muunnos funktiolle
!"
!
"
f Wf t Dı t !a :
Määritelmän mukaan
Z
1
!1
ˇ ! "ˇ
ˇf t ˇ dt D
Z
1
!1
!
"
ı t ! a dt D 1:
Se on äärellinen. Lisäksi funktiolla f on epäjatkuvuuskohtia ja paikallisia ääriarvokohtia äärellinen määrä, joten sikäli Dirichlet’n ehdot toteutuvat. Siis
Z 1
! "
!
"
F ! D
ı u ! a e !j!u du D e !j! a :
!1
#
#Esimerkki 4.15. Etsitään Fourier-muunnos funktiolle
!"
f W f t D A:
Se ei toteuta Dirichlet’n ehtoja, mutta jatketaan ja käytetään symmetriaominaisuutta. Jos
!"
!"
g t D Aı t ;
niin sen muunnos
G.!/ D Ae !j!#0 D A:
Täten
n ! "o! "
! "
!
"
! "
F ! D F G t ! D 2"g.!!/ D 2"Aı ! ! D 2A"ı ! :
#
#Esimerkki 4.16. Etsitään Fourier-muunnos sini- ja kosinifunktioille. Ne eivät toteuta Dirichlet’n ehtoja, mutta jatketaan kuten edellisessä esimerkissä . Ensin todetaan, että
!
"
!
"
!
"
ı t ! a $ e !j! a ja e !jt a $ 2"ı ! ! ! a D 2"ı ! C a :
Täten
n e jat C e !jat o! "
! "o! "
!
F cos at ! D F
2
o! " 1 n
o! "
1 n
D F e jat ! C F e !jat !
2
2
% !
"
!
"&
D" ı !!a Cı ! Ca
n
4.4 Impulssifunktioon liittyviä muunnoksia
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
72
n
n e jat ! e !jat o! "
! "o! "
F sin at ! D F
!
2j
1 n jat o! "
1 n !jat o! "
F e
! !
F e
!
2j
2j
!
"
!
"
"ı ! C a
"ı ! ! a
!
D
j
j
% !
"
!
"&
D j" ı ! C a ! ı ! ! a :
D
#
#Esimerkki 4.17. Kompleksianalyysin teorioilla (ohitetaan) voidaan laskea käänteismuunnos
8
1
ˆ
;
kun t > 0;
Z 1
<
n 1 o! "
2
1
1 jt u
!1
F
t D
e du D
0;
kun t D 0;
ˆ
j!
2" !1 j u
: 1
! 2 ; kun t > 0:
Näin ollen
!"
2
signum t $
:
j!
!"
Lisäksi H.t / D 12 signum t C 21 , josta saadaan muunnospari
H.t / $
#Esimerkki 4.18. Funktiolla
! "
! "
1 2
1
1
C 2"ı ! D
C "ı ! :
2 j!
2
j!
#
!"
!"
f t D H t e !at ; a > 0
on hyppäysepäjatkuvuuskohta (kuva 59 ) origossa, joten ominaisuutta 3 ei voida soveltaa. Jos
sovelletaan varovaisesti yleistettyä derivaattaa, niin
!"
!"
!"
f 0 t D !aH t e !at C ı t e !at :
Olettaen, että ominaisuutta 3 voidaan nyt käyttää saadaan yhtlö
! "
! "
j!F ! D !aF ! C 1
eli
mikä on oikea tulos.
! "
F ! D
1
;
a C j!
#
4.5 Fourier-muunnoksen spektrit
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
73
#Esimerkki 4.19. Olkoon (vrt. esimerkki 4.10, jossa G on erään systeemin siirtofunktio)
! "
1
"!
":
G ! D!
2 C j! 3 C j!
Kun käytössä on Diracin deltafunktio ja
% !
! "
"
!
"&
! "
cos at $ " ı ! C a C ı ! ! a D F ! ;
kerrotaan muunnokset taajuustasossa ja muunnetaan tulo aikatasoon määritelmän perusteella
eli lasketaan
Z 1
Z 1
! " ! " j!t
! " % !
"
!
"&
1
1
G ! F ! e d! D
G ! " ı ! C a C ı ! ! a e j!t d!
2" 1
2" 1
D
Nähdään, että
Merkitään
missä
Tällöin
&
"
! "
1% !
G ! a e !jat C G a e jat :
2
! ""
!
"
1
"!
" DG a :
G !a D !
2 ! ja 3 ! ja
ˇ ! "ˇ ˇ !
"ˇˇ
ˇ
ˇ ˇ
r D ˇG a ˇ D ˇG ! a ˇ
! "
G a D re j' ;
% ! "&
% !
"&
ja ' D arg G a D ! arg G ! a :
&
!
"
!
"
1 % ! " jat
e j.at C'/ C e !j.at C'/
G a e C G ! a e !jat D r
D r cos at C ' :
2
2
Esimerkissä 4.10 laskettiin konvoluutiolla epähomogeenisen DY:n eräs ratkaisu. Todenna, että
saat saman tuloksen, kun tässä sijoitat a D 1.
#
4.5 Fourier-muunnoksen spektrit
Esimerkeissä 4.1 ja 4.3 laskettiin muunnokset
ja
n !"
o! "
! "
F H t e !at ! D F ! D
1
a ! j!
D 2
a C j!
a C !2
n
! "o! "
! "
! "
F A rectT t ! D G ! D 2AT sinc T! :
!
"
!
"
Toisen funktion arvot ovat imaginaarisia Im ¤ 0 ja toisen reaalisia Im D 0 . Reaalifunktion kuvaaja voidaan piirtää, joten tasapulssin muunnoksen kuvaaja taajuustasossa on selvä.
Kompleksitasossa luvut voidaan esittää muodossa
4.5 Fourier-muunnoksen spektrit
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
74
/ M e / 2014
! " ˇ ! "ˇ j arg !F .!/"
F ! D ˇF ! ˇe
;
ˇ ! "ˇ
!
"
missä ˇF ! ˇ ja arg F .!/ ovat reaalimuuttujan ! reaaliarvoiset funktiot. Fourier-sarjojen
eksponenttiesitysten kohdalla oli esillä vastaavat amplitudi- ja vaihespektrit. Niissä taajuus ! oli
diskreetti. Nyt taajuusmuuttuja on jatkuva. Piirretään vielä kuvaajat näistä spektreistä esimerkin
4.1 muunnoksesta, kun a D 3 eli
o! "
n !"
! "
!3t
! DF ! D
F H t e
missä
! "
1
D r ! e j".!/ ;
3 C j!
%! &
! "
! "
1
ja % ! D ! arctan
r ! Dp
:
3
32 C ! 2
1
3
θ(ω)
π
2
r(ω)
ω
ω
π
2
Kuva 79. Muunnoksen F amplitudispektri.
Kuva 80. Muunnoksen F vaihespektri.
Kun signaali f on aikatasossa reaalinen ( tosielämää ), niin sen muunnos
Z 1
Z 1
Z 1
! "
! " !j!u
! "
! "
! "
! "
F ! D
f u e
du D
f u cos !u du ! j
f u sin !u du
!1
toteuttaa yhtälön
Z 1
Z
! "
! " !j.!!/u
F !! D
f u e
du D
!1
Täten
!1
1
!1
! "
! "
f u cos !u duCj
!1
Z
1
!1
! " ! "
! ""
f u sin !u du D F ! :
ˇ !
"ˇ ˇ ! "ˇ
ˇF ! ! ˇ D ˇF ! ˇ
eli muunnoksen amplitudi on parillinen funktio. Jos signaali f on aikatasossa lisäksi parillinen
funktio, niin
%
&
%
&
Im F .!!/ D Im F .!/ D 0;
jolloin
!
"
! "
F !! DF !
eli muunnos F on reaalinen ja parillinen. Entä jos f on reaalinen ja pariton?
Kun taajuus ! on tarpeeksi suuri, niin muunnoksen amplitudi pienenee kohti nollaa (reaali- ja
imaginaariosat lähestyvät nollaa). Se karkeasti kuvaillen seuraa siitä, että sini ja kosini tuottavat kiivaan värähtelyn ja pinta-alaa tulee yhtäpaljon positiivisena ja negatiivisina, ottaen vielä
huomioon, että f on tietyt ehdot toteuttava funktio. Siksi suuri osa tietoa signaalin f "muodosta" sisältyy jo pieneen osaan taajuusakselia origon molemmilla puolilla.
4.6 Parsevalin yhtälö
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
75
/ M e / 2014
4.6 Parsevalin yhtälö
Fourier-sarjojen yhteydessä osoitettiin, että T -jaksoiselle reaaliselle funktiolle f on voimassa
Parsevalin yhtälö
Z
1
X
ˇ ˇ2
1 d CT 2 ! "
ˇcn ˇ ;
f t dt D
T d
nD!1
missä cn on funktion f Fourier-sarjan termin e j n!t kerroin. Vastaava tulos jaksottomalle reaalifunktiolle f on
Z
1
! "
1
f u du D
2"
!1
2
Z
1
!1
ˇ ! "ˇ2
ˇF ! ˇ d!
!
"
Parsevalin yhtälö .
Todistetaan Parsevalin yhtälö. Aluksi johdetaan soveltamalla konvoluutio-ominaisuutta seuraava tulos
Z 1
Z 1
n ! "o! "
! " !j!u
! "
!
" ! "
1
1
2
2
f u e
du D F f t ! D
.F ( F / ! D
F ! ! x F x dx:
2"
2" !1
!1
Sijoitetaan siihen ! D 0, jolloin
Z 1
Z 1
!
" ! "
! "
1
2
F ! x F x dx:
f u du D
2" !1
!1
!
"
! ""
Muunnos F toteuttaa F ! x D F x , joten
Z 1
Z 1
ˇ ! "ˇ2
! "
1
2
ˇF ! ˇ d!:
f u du D
2" !1
!1
Jaksollisille funktioille määriteltiin myös keskimääräinen teho. Jaksottomilla funktioilla käytetään energian käsitettä, joka on Parsevalin yhtälön molemmilla puolilla oleva luku eli
Z
1
! "
1
ED
f u du D
2"
!1
2
Z
1
!1
ˇ ! "ˇ2
ˇF ! ˇ d!
!
"
Energia .
Funktiota, jossa muuttujana on taajuus ja jonka arvon määrittelee lauseke
ˇ ! "ˇ2
1 ˇˇ ! "ˇˇ2
F !
tai ˇF ! ˇ ;
2"
!
"
kutsutaan signaalin f energian spektraalitiheydeksi ja sen kuvaajaa energiaspektriksi.
!"
! "
#Esimerkki 4.20. Edellä esimerkissä 4.11 laskettiin signaalille f W f t D sinc 3t muunnos
n
! "
! "o! " "
F sinc 3t ! D rect3 ! :
3
4.6 Parsevalin yhtälö
MAT-02450 F OURIER ’ N
Signaalin kokonaisenergia
Z
ED
MENETELMÄT
76
/ M e / 2014
Z 1ˇ
%
! "ˇˇ2
! "&2
1
ˇ"
sinc 3t
dt D
ˇ rect3 ! ˇ d!:
2" !1 3
!1
1
Valitaan integraaleista se, kumpi on helpompi laskea eli
1
ED
2"
Z
3
!3
6" 2
"
"2
d! D
D :
9
18"
3
#
!"
!"
#Esimerkki 4.21. Lähtösignaali f W f t D 16 rect3 t muunnettuna taajuustasoon on
! "
F .!/ D sinc 3! :
Taajuustasossa sen energia on jakautunut seuraavan kuvan mukaisesti
Signaalin kokonaisenergia
ω
2π
3
2π
3
Kuva 81. Taajuustasossa energian jakauma.
Taajuuteen ! D
1
2"
Z
2!
3
! 2!
3
2!
3
'
(
!" 2
1
ED
rect3 t
dt
!1 6
Z 1
ˇ
! "ˇ
1
ˇsinc 3! ˇ2 d! D 1 :
D
2" !1
6
Z
1
asti on keskittynyt energiaa
ˇ
! "ˇ
ˇsinc 3! ˇ2 d! D 2
2"
1
D
9"
1
D
9"
Z
! "
sin2 3!
d!
.3!/2
2!
3
0
! " Z
ˇ 2!
ˇ 3 sin2 3!
! ˇˇ
C
!
2!
3
0
0
!
! "
3 sin 6!
d!
!
ˇ 2!
Z
ˇ 3
! "
! "
ˇ
sin 3! sinc 3! C 3
!3 ˇ
0
0
4!
! " !
sin x
dx
x
! "&
1 %
! .0 " 0 ! 0 " 1/ C Si 4"
3"
! "
Si 4"
D
$ 0:1583232233:
3"
D
Se on
kokonaisenergiasta.
! "
6 Si 4" " 100
% $ 94:99393400%
3"
#
5 Aikadiskreetti Fourier-muunnos (DTFT)
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
77
5 Aikadiskreetti Fourier-muunnos (DTFT)
Edellä diskreetti Fourier-muunnos yhdistettiin
˚ ! ") jaksollisen funktion Fourier-sarjaan. Nyt tilanne
on vastaava ja käytössä on vain jono f kh funktion f (jaksottoman) arvoja tasaisin välein
h. Jonon avulla pitäisi saada arvio funktion f muunnoksesta F taajuustasossa.
Teoreettisesti jono kattaa aika-akselin kokonaan eli k käy läpi kaikki kokonaisluvut. Oletetaan,
että funktiolla on Fourier-muunnos, joka toteutuu (varmasti), jos Dirichlet’n ehdot ovat voimassa.
Fourier-muunnos funktiosta f on integraali
Z
! "
F ! D
1
!1
Rakennetaan sitä vastaava Riemannin summa
1
X
kD!1
!"
f t e !j!t dt:
! "
f tk e !j!tk 'tk ;
jossa aika-akseli on jaettu tasaisin välein h molempiin suuntiin aloittaen nollasta ja funktion
arvot kullakin välillä määritetään välin alarajalla, jolloin jakoa vastaava Riemannin summa on
muotoa
1
X
! "
f kh e !j!kh h:
kD!1
Funktiota
1
X
! "
! "
O
F ! Dh
f kh e !j!kh
kD!1
!
"
DTFT
sanotaan aikadiskreetiksi Fourier-muunnokseksi (Discrete-Time Fourier Transformation, DTFT).
Toisinsanoen signaali on diskreetti jono ja muunnoksen tuloksena on funktio, jossa muuttuja !
on jatkuva.
#Esimerkki 5.1. Valitaan h D 1 ja
(
! "
ak ;
x k D
0;
k & 0;
k < 0;
missä jaj < 1; k 2 Z:
Tällöin
1
1
1
X
X
! "
! " !j!k X
! !j! "k
k
!j!k
XO ! D
x k e
D
a e
D
ae
D
kD!1
kD0
kD0
ˇ
ˇ ˇ ˇ
1
; kun ˇae !j! ˇ D ˇaˇ < 1:
!j!
1 ! ae
Tuloksena on funktio, jossa jatkuvana muuttujana on taajuus !.
#
5 Aikadiskreetti Fourier-muunnos (DTFT)
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
78
Huomautus. Usein kirjallisuudessa summaa
1
X
! "
! "
O
X ! D
x k e !j!k
kD!1
kutsutaan aikadiskreetiksi
Fourier-muunnokseksi. Tämä johtuu erilaisista käytännöistä. Tällöin
! "
signaalin arvo x k on jonon jäsen ja indeksi k ilmaisee paikan, mutta ei välttämättä aikaa t ,
vaan ajanhetki on kh. Kyseessä on skaalausominaisuus x.t / D f .ht /, jolloin yhteys muunnosten välillä on
! "
1 O %! &
O
:
X ! D F
h
h
Käytännössä näytteenottohetki alkaa ajankohdasta
# t" D 0 ja mittaus lopetetaan jonain ajanhetkenä t D b. Tällöin aika-akselilla ollaan välillä 0; b . Muualla oletetaan funktion arvo nollaksi.
Otetaan näytteitä N kappaletta tasaisin välein. Merkitään otosväliä h D Nb , jolloin jono
n oN !1 n ! " ! " ! "
!
"o
D f 0 ; f h ; f 2h ; : : : ; f .N ! 1/h :
gk
kD0
Kun otetaan huomioon jonon nollat, saadaan summaksi
N
!1
N
!1
X
X
! "
! " !j!kh
O
F ! Dh
f kh e
Dh
gk e !j!kh :
kD0
kD0
! "
! "
Summa FO ! approksimoi signaalin f muunnosta F ! . Se, kuinka hyvin, vaatii jälleen lisätarkasteluja.
Huomataan, että
'
(
N
!1
N
!1
X
X
! "
2"
!j .!C 2!
kh
/
O
h
F !C
Dh
gk e
Dh
gk e !j!kh e !j 2!k D FO ! :
h
kD0
kD0
Siis FO on jaksollinen jaksona
2"
;
h
mitä oikea F ei ole. Jos jakso jaetaan N :ään osaväliin ja otetaan arvoja funktiosta FO tasavälein,
niin nähdään, että
'
(
N
!1
N
!1
X
X
2"
2!
2!
kh
!j .n hN
/
O
O
Dh
gk e !jk n N D hGn ;
Fn D F n
Dh
gk e
hN
kD0
kD0
missä Gn diskreetin muunnoksen yhteydessä määritelty summa, jonka laskeminen on nopeaa
FFT:n avulla. Siis jono
n
FOn
oN !1
nD0
n
oN !1
:
D hGn
nD0
Lisäksi samat symmetriat ja jaksollisuudet aiheuttavat sen, että vain noin puolet jonosta on
käyttökelpoista. Seuraavassa kappaleessa puhutaan lisää näistä ongelmista.
6 Näytteenottotaajuus
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
79
/ M e / 2014
6 Näytteenottotaajuus
˚ )N !1
Molemmissa otoksiin perustuvissa muunnoksissa tarvittiin FFT:llä laskettava jono Gn nD0 ,
jolla on jaksollisuus- ja symmetriaominaisuudet. Näiden ominaisuuksien vuoksi jono tietyn rajan jälkeen tuottaa vain peilikuvaa edellisistä.
# "
Kun aikaväli 0; b , jaetaan N :ään osaväliin ja otosvälinä on h D b=N , niin taajuustasossa
muuttuja on välillä
"
"
2" !
2" !
N !1 %! %
N !1
!
b
b
eli
'
(
2"
2"
2"
!
<!<
D jonon G jakso :
h
h
h
Näytteenottotaajuudeksi sanotaan otosvälin (aikatasossa) käänteislukua h1 .
Jos halutaan, että kulmataajuuksilla
!!m < ! < !m
saadaan luotettavia arvioita, pitäisi otosjonosta saatavan korkeimman kulmataajuuden olla suurempi kuin 2!m . Siis ehtona on
2!m <
1
2"
, !m <
" 2":
h
2h
Rajataajuutta
1
yksikkönä Hz
2h
sanotaan Nyquistin taajuudeksi (Harry Nyquist, (1889 – 1976) ). Jos puhutaan kulmataajuudesta, niin !Nyq D 2"fNyq D !h , yksikkönä rad=s.
fNyq D
Pelkkä "haluan kulmataajuuteen !m asti luotettavaa tietoa ja valitsen h D "=!m " ei riitä. Siitä
kertoo seuraava esimerkki.
#
"
#Esimerkki 6.1. Otetaan näytteitä aikavälillä 0; 16 . Valitaan h D 0:5 ja N D 32. Nyquistin
taajuus on 1 Hz eli kulmataajuutena !Nyq D 2". Lasketaan FFT:tä käyttäen amplitudispektri
2
1
ω
12
6
Kuva 82. Amplitudispektri välillä 0 % ! %
.31#2!/
0:5#32
$ 12:17:
6 Näytteenottotaajuus
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
80
/ M e / 2014
Kuvassa vihreä viiva on puolivälissä, jonka oikealla puolella olevat spektrit ovat vain kopioita.
Tulosten perusteella pääteltäisiin, että suurimmat amplitudit ovat taajuuksilla ! $ 1:96, jossa jc5 j $ 1:95 ja arg.c5 / $ –1:29 sekä ! $ 3:14, jossa jc8 j $ 0:95 ja arg.c8 / $ 0:07.
Valitsemalla nämä arvioitaisiin, että
! "
!
"
!
"
fO t $ 3:9 cos 1:96t ! 1:29 C 1:9 cos 3:14t C 0:07 :
Oikea f on ollut
jota siis emme oikeasti tiedä.
!"
! "
!
"
f t D 4 sin 2t C 2 cos 3" t ;
f (t)
^
f (t)
t
16
Kuva 83. Todellinen ja "arvio", joka selvästi on virheellinen.
#
"
Tehdään samat toiminnot, mutta pienennetään otosväliä. Otetaan näytteitä aikavälillä 0; 16 .
Valitaan h D 0:25 ja N D 64. Nyquistin taajuus on 2 Hz eli kulmataajuutena !Nyq D 4". Lasketaan FFT:tä käyttäen amplitudispektri
2
1
ω
12
Kuva 84. Amplitudispektri välillä 0 % ! %
24
.63#2!/
0:25#64
$ 24:74:
Tulosten perusteella pääteltäisiin, että suurimmat amplitudit ovat taajuuksilla ! $ 1:96, jc5 j $
1:95 ja arg.c5 / $ –1:28 sekä ! $ 9:425, jc24 j $ 0:98 ja arg.c24 / $ 0:008 . Valitsemalla nämä
korkeimmat amplitudit arvioitaisiin, että
!"
!
"
!
"
fO t $ 3:9 cos 1:96t ! 1:28 C 1:96 cos 9:425t C 0:008 :
6 Näytteenottotaajuus
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
81
/ M e / 2014
f (t)
^
f (t)
t
16
Kuva 85. Todellinen ja "arvio", joka on selvästi parempi kuin edellä.
#
!
"
Kun esimerkin kosinifunktiosta cos 3" t otetaan näytteitä kohdissa t D k 12 saadaan jono
*
'
(+31
*
'
(+31
*
'
(+
1
"
1 31
cos 3" k
D cos 2"k ! k
D cos "k
;
2
2
2 kD0
kD0
kD0
mistä näkyy, että se on sama kuin tulisi taajuudella ". Tätä sanotaan laskostumiseksi. Otosten
lukumäärä on sellainen, että ainakin kaksi eri harmonista komponenttia sopii aineistoon.
!
"
Katsotaan laskostumista vielä vähän tarkemmin. Olkoon f .t / D cos at C b funktio, josta
otetaan N näytettä h:n välein. Jos ! on jokin sellainen taajuus, että
!
"
cos ! " kh C c D f .kh/; 8k D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1;
niin
cos
'%
2" n &
kh C c
!˙
h
(
%
&
D cos ! " kh ˙ 2" nk C c ; n 2 Z;
%
&
D cos ! " kh C c D f .kh/; 8k D 0; 1; 2; : : : ; N ! 1:
Lisäksi
%
&
%
&
cos ! ! " kh ! c D cos ! " kh C c
Näin ollen kertoimen a paikalle sopivat kaikki luvut muotoa
!˙
2" n
2" n
^ !! ˙
;
h
h
n 2 Z:
Valinnan jälkeen määräytyy c:n merkki.
Jotta laskostumista ei tapahtuisi, pitäisi myös tietää, että signaalin kaikki harmoniset komponentit ovat taajuusalueen sisällä eli ulkopuolella on amplitudit nollia. Mutta, kun signaalista
tiedetään vain ne arvot, mitä niistä on mitattu. Selvää epävarmuutta: : : mutta niiden kanssa insinööri joutuu elämään. Näistä asioista tulee varmasti lisää ammattiaineissa.
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
82
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
Esillä on ollut neljä erilaista tapausta. Lähtöfunktio voi olla jaksollinen tai jaksoton ja aikamaailmassa muuttuja voi olla jatkuva tai diskreetti (otos). Näissä neljässä eri tapauksessa taajuusmaailman muuttuja on jatkuva tai diskreetti.
Katsotaan
!
" esimerkin avulla näitä kaikkia tapauksia ja valitaan sellainen yksinkertainen funktio
signaali , joka sopii kaikkiin. Aina tämä ei ole mahdollista.
#Esimerkki 7.1. Otetaan lähtöfunktioksi (signaaliksi)
!"
!"
!
"
f t DH t !H t !" :
' Oletetaan ensin, että lähtöfunktio on jaksollinen jaksona T D 3" eli
(
!"
1; 0 < t < "
f t D
0; " < t < 3"
!
"
!"
f t C 3" D f t
Jätetään avoimeksi funktion arvo epäjatkuvuskohdissa kuten aiemminkin.
1
t
3π
π
T=3π
Kuva 86. Funktion f kuvaaja.
Etsitään sille Fourier-sarja
!
! 2! "
"
'
(
'
(!
1
!" 1 X
sin n 2!
!1
C
cos
n
2
2
3
3
cos n t C
sin n t
:
fO t D C
3 nD1
"n
3
"n
3
Hyödyllisempi lienee muoto
'
(
1
X
!"
2
fO t D c0 C
An cos n t C %n ;
3
nD1
missä
q
1
1
c0 D ; An D an2 C bn2 D
3
"n
r
! 2" "
!
"
2 ! 2 cos n
; ja %n D arg an ! jbn :
3
Kertoimen An arvot kertovat, mitkä harmoniset komponentit ovat vahvimpia. Likiarvoina
A1 $ 0:55; A2 $ 0:28; A3 D 0; A4 $ 0:14; A5 $ 0:11; A6 D 0; A7 $ 0:08; A8 $ 0:07; : : :
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
83
Alla on piirretty amplitudispektri, mistä on jätetty vasen puoli pois. Vasemmalla on oikean puolen peilikuva.
ω
2
4
6
8
10
12
14
Kuva 87. Amplitudispektri taajuudesta nolla alkaen.
Valitaan sarjaan mukaan termit n:n arvon 5 asti.
1
t
π
3π
Kuva 88. Funktion f ja osasumman kuvaaja.
Siis lähtötilanne on aikajatkuva ja taajuustasossa (kulma)taajuudet 2n=3 ovat diskreettejä. Niitä jokaista vastaa laskettu arvo esimerkiksi amplitudi (vrt. kuva 87 ).
' Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa lähtöfunktio oletetaan jaksottomaksi ts.
(
!"
1; 0 < t < ";
f t D
0; muulloin:
1
t
π
Kuva 89. Funktion f kuvaaja.
Tälle on määritelty Fourier-muunnos
% "! &
! "
!j !
!
2
F ! De
:
"sinc
2
Sen arvot ovat kompleksilukuja, mutta niiden itseisarvot ja ˇvaihekulmat ovat reaalisia ja
! "ˇ2
niistä voidaan piirtää kuvaajat. Piirretään amplitudin neliön ˇF ! ˇ kuvaaja.
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
84
|F(ω)|2
ω
4
2
2
4
6
Kuva 90. Amplitudin neliön kuvaaja.
Amplitudin neliön kuvaajasta nähdään, miten signaalin energia jakautuu eri taajuuksille ja
voidaan laskea, että taajuuksien nollasta neljään alueelle osuu noin 95 prosenttia signaalin
energiasta. Laskut sujuvat ohjelmistoilla eli
R 4 ˇ ! "ˇ2
ˇF ! ˇ d!
95 $ R !4
" 100:
1 ˇˇ ! "ˇˇ2
F ! d!
!1
Tässä oli tilanne, jossa jatkuvasta aikamuuttujasta tuli jatkuva taajuusmuuttuja.
' Siirrytään diskreettiin aikamuuttujaan, joka vastaa näytteiden ottamista tietyn välein. Tällöin käytännössä ei ole esitysmuotoa funktiolle, koska sitä ei tunneta. On vain lukujono,
joka on saatu ottamalla näytteitä tasaisin välein.
Otetaan N D 32 näytettä ajanjakson T D 3" aikana tasaisin välein h D T =N D
3"=32 $ 0:2945. Valinta on tehty, jotta voidaan vertailla edellisiä tuloksia. Epätietoisuuden vallitessa valitaan h ja N sopivasti ja mittauksen kestoksi tulee T D N h.
Lukujono
n
o n ! "o31
n
o
gk D f kh
D 1; : : : ; 1; 0; : : : ; 0 :
„ ƒ‚ … „ ƒ‚ …
kD0
11kpl
21kpl
Etsitään jonon avulla sarjakehitelmälle approksimaatiota tai voimakkaimpia harmonisia
komponentteja. Lasketaan (FFT) summat
31
X
! "
2! nk
Gn D
f kh e !j 32 ; n D 0; 1; : : : ; 31:
kD0
ˇ ˇ
Jos kiinnostaa vain harmoniset komponentit, niin riittää laskea itseisarvot ˇGn ˇ ja etsiä
suurimmat "piikit". Jos lisäksi halutaan sarjan eksponenttiesitysmuodon kertoimille cn
approksimaatio, niin jaetaan saadut itseisarvot luvulla N . Näin saadaan arviot
˚ˇ ˇ)
˚
ˇcn ˇ $ 0:344; 0:280; 0:133; 0:01; 0:075; 0:051; 0:011; 0:047; 0:031; 0:012; 0:037;
0:022; 0:013; 0:033; 0:018; 0:015; 0:031; 0:015; 0:018; 0:033; 0:013;
) 0:022;
0:037; 0:012; 0:031; 0:047; 0:011; 0:051; 0:075; 0:01; 0:133; 0:280
Mitä erikoista liittyy sinisellä kirjoitettuihin arvoihin?
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
85
/ M e / 2014
Oikeiden kertoimien arvot vaimenevat kohti nollaa aaltoillen.
mukaan kompo! Otetaan
"
nentit nollasta viiteen. Lasketaan myös vaihekulmat %n D arg Gn . Näin saadaan sarjalle
arvio
(
'
5
X
ˇ ˇ
!"
2"
fO t $ c0 C
2ˇcn ˇ cos n t C %n
T
nD1
eli
!"
!
"
!
"
fO t $ 0:344 C 0:562 cos 32 t ! 0:982 C 0:266 cos 43 t ! 1:96 C
!
"
!
"
!
"
t
!
1:767
:
0:021 cos 36 t C 0:196 C 0:151 cos 83 t ! 0:785 C 0:102 cos 10
3
S5
Arvio
1
t
Kuva 91. Sarjan osasumma ja sille arvio.
Tehtävä. Kokeile, miten tilanne muuttuu, jos harmonisten komponenttien taajuudet eivät
olekaan samoja n 32 kuin todellisessa Fourier-sarjassa. Valitse jokin h ja vaihda T D N h,
. Piirrä kuva ja vertaa lähtöfunktioon.
jolloin diskreetit taajuudet ovatkin n 2!
T
Tässä muuntamisen tuloksena on diskreetistä jonosta aikamaailmassa saatu uusi diskreetti
!
"
jono taajuusmaailmaan. Muunnosta sanotaan diskreetiksi Fourier-muunnokseksi DFT .
' Pysytään edelleen diskreetissä aikamuuttujassa, eli käytössä on edellä otettu jono
n
o n ! "o31
n
o
gk D f kh
D 1; : : : ; 1; 0; : : : ; 0 :
„ ƒ‚ … „ ƒ‚ …
kD0
11kpl
21kpl
! "
Tämän jonon avulla löytyy Fourier-muunnokselle F ! arvio
31
X
! "
! "
O
F ! Dh
f kh e !j!kh :
kD0
|F(ω)|
^
|F(ω)|
ω
21.33
Kuva 92. Funktioiden F ja FO itseisarvot.
21.33
7 Yhteenvetoesimerkki muunnoksista
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
86
/ M e / 2014
!
$
21:33.
Siis
vähän
kymmenen
jälkeen
kuvassa
Arvio eli FO "on jaksollinen, jaksona 2!
h
vihreä viiva alkaa tulla arvoja, jotka eivät enää approksimoi funktiota F .
Tätä muunnosta, jossa diskreetistä jonosta aikamaailmassa saadaan taajuusmailmassa funktio,
! jossa
" taajuusmuuttuja on jatkuva, kutsutaan diskreettiaikaiseksi Fourier-muunnokseksi
DTFT .
Huomautus. Jos taajuusmailmassa tarvitaan vain näytteitä funktion F arvoista, niin sama
jono
31
X
! "
2! nk
Gn D
f kh e !j 32 ; n D 0; 1; : : : ; 31;
kD0
joka edellä laskettiin FFT:llä, toimii tässäkin mutta hieman toisin. Kun sen arvot kerrotaan
otosvälillä h, niin jono
n
o
hGn
on sama kuin jono funktion
31
X
! "
! "
FO ! D h
f kh e !j!kh
kD0
arvoja kohdissa
!Dn
2"N
2
2"
Dn
D n ; n D 0; 1; 2; : : : ; 31:
Nh
N 3"
3
Tarkistus
' (
31
31
X
X
! "
! "
2
2!
2 3!
f kh e !j 32 k n D hGn :
FO n
Dh
f kh e !j n 3 k 32 D h
3
kD0
kD0
|hGn|
^
|F(ω)|
ω
21.33
˚
)
Kuva 93. Kuva yhden jakson osalta. Jonon hGn jäsenten välille on vedetty viiva.
Näissä esimerkeissä ajanjakso, jolla otoksia poimittiin oli 3", ja otosten määrä oli 32,
jolloin näytteiden väli aikamaailmassa on h D 3"=32. Taajuusmaailmassa FO :n jakso on
2!
, jolloin taajuuden !h jälkeen tulevat FO :n arvot ovat vain peilikuvia edellisistä, joten ne
h
eivät enää mallinna alkuperäistä funktiota F .
#
A Taulukko. Muutama Fourier-muunnoskaava.
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
A Taulukko. Muutama Fourier-muunnoskaava.
Kaavoissa a > 0.
!"
f t
! "
F !
!"
H t e !at
1
a C j!
!"
H t t e !at
1
!
"2
a C j!
e !ajt j
a2
2a
C !2
!"
A rectT t
! "
2AT sinc T!
!"
sinc t
! "
"rect1 !
1
!"
ı t
! "
2"ı !
1
!"
signum t
2
j!
!"
H t
! "
1
C "ı !
j!
1
t
! "
!j"signum !
! "
cos at
! "
sin at
% !
"
!
"&
" ı !Ca Cı !!a
% !
"
!
"&
"j ı ! C a ! ı ! ! a
87
B Ekskursio kompleksilukuihin ja trigonometriaan
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
88
B Ekskursio kompleksilukuihin ja trigonometriaan
Trigonometria ja kompleksiluvut ovat perusasioita, jotka pitäisi olla jokaisella hallussa. Tässä
on lyhyt kertaus tärkeistä asioista.
Kompleksiluku on muotoa
z D a C bj; a; b 2 R;
missä j on imaginaariyksikkö. Toiset käyttävät kirjainta i , mutta tekniikan puolella j on hyvä
valinta. Imaginaariyksikkö toteuttaa yhtälön
j 2 D !1:
Kompleksiluvut voidaan havainnollistaa kompleksitasossa, joka on tietyin osin verrattavissa
reaaliseen xy-tasoon.
y
Im
(x, y)
z
r
r
θ
x
θ
Re
−θ
z*
Kuva 94. Reaalinen taso.
Kuva 95. Kompleksitaso.
!
"
Reaalimaailmassa origokeskisen r-säteisen ympyrän kehäpisteen x; y koordinaatit
(
! "
x D r cos %
! "
y D r sin % :
Kompleksitasolla origokeskisen r-säteisen ympyrän kehäpiste z on esitettävissä muodossa
! "
! "
z D r cos % C jr sin % :
Kulmaa % kutsutaan kompleksiluvun z vaihekulmaksi tai argumentiksi ja merkitään
! "
arg z D %:
Kompleksiluvun liittoluku
!
"
!
"
! "
! "
z " D r cos ! % C jr sin ! % D r cos % ! jr sin % :
Kompleksiluvun itseisarvolla jzj tarkoitetaan luvun etäisyyttä origosta eli
p
ˇ p
ˇ
jzj D ˇa C bj ˇ D a2 C b 2 D zz " D r:
B Ekskursio kompleksilukuihin ja trigonometriaan
Eulerin kaava
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
89
! "
! "
e j" D cos % C j sin %
on tärkeä kaava. Perustelut sille löytyy sarjateoriasta. Sitä hyödyntäen
ˇ ˇ
z D ˇz ˇe j arg.z/ D re j" :
Insinöörille Eulerin kaava luo hyvän työkalun, koska laskuissa eksponenttiesityksellä laskeminen on monesti yksikertaisempaa kuin trigonometristen funktioiden manipulointi. Monet mekaaniset laskusäännöt (mutta eivät kaikki) toimivat tuttuun tapaan kuten reaalimaalimassa. Esimerkiksi
! j" "k
e j" e j' D e j."C'/ ;
e
D e jk" ; k 2 Z:
Eulerin kaavan perusteella
8
ˆ
< e j"
! "
! "
D cos % C j sin %
ˆ
: e !j" D cos !% " ! j sin !% ";
jolloin
8
! "
ˆ
< e j" C e !j" D 2 cos %
ˆ
: e j" ! e !j"
! "
D 2j sin % :
Näin ollen täysin reaaliset sini ja kosini voidaan esittää muodossa
8
'
(
! "
1
ˆ
j"
!j"
ˆ
e Ce
cos % D
ˆ
ˆ
<
2
ˆ
ˆ
! "
ˆ
ˆ
: sin %
'
(
1
j"
!j"
D
e !e
:
2j
Trigonometristen funktioiden tietyt arvot on hallittava mm. koululaisen kolmioista
!
!!
! 4
p
2 !
1
!
!
!
!!
! 4
1
2
"
"
"
"
"
"
""##
"! #
"6
#
p
#
#
3
2
#
#
"!
" 3
#
#
!#
3 #
1
1
luettavat arvot ja ne tilanteet, joissa yksikköympyrän kehäpiste sijaitsee akseleilla; esimerkkinä
tyypilliset
(
!
"n
! "
! "
1;
kun n on parillinen
D !1
ja
sin n" D 0:
cos n" D
!1; kun n on pariton
B.1
Muutamia trigonometrisia identiteettejä
MAT-02450 F OURIER ’ N
MENETELMÄT
/ M e / 2014
B.1 Muutamia trigonometrisia identiteettejä
! "
! "
1. sin2 x C cos2 x D 1;
!
"
! "
2. sin ! x D ! sin x ,
!
"
! "
4. sin x C " D ! sin x ,
!
"
! "
6. sin " ! x D sin x ;
(
'
! "
"
! x D sin x ,
8. cos
2
!
"
! "
3. cos ! x D cos x ,
!
"
! "
5. cos x C " D ! cos x ;
!
"
! "
7. cos " ! x D ! cos x ;
'
(
! "
"
9. sin
! x D cos x ,
2
!
"
! "
! "
! "
! "
10. cos x ! y D cos x cos y C sin x sin y ;
!
"
! "
! "
! "
! "
11. cos x C y D cos x cos y ! sin x sin y ;
!
"
! "
! "
! "
! "
12. sin x C y D sin x cos y C cos x sin y ;
!
"
! "
! "
! "
! "
13. sin x ! y D sin x cos y ! cos x sin y ,
! "
! "
! "
14. sin 2x D 2 sin x cos x ,
! "
! "
! "
! "
! "
15. cos 2x D cos2 x ! sin2 x D 2 cos2 x ! 1 D 1 ! 2 sin2 x ,
(
'
(
'
! "
! "
x!y
xCy
cos
,
16. sin x C sin y D 2 sin
2
2
'
'
(
(
! "
! "
x!y
xCy
17. sin x ! sin y D 2 sin
cos
,
2
2
'
(
'
(
! "
! "
xCy
x!y
18. cos x C cos y D 2 cos
cos
,
2
2
'
(
'
(
! "
! "
xCy
x!y
19. cos x ! cos y D !2 sin
sin
,
2
2
'
(
! "
! " 1
!
"
!
"
20. sin x cos y D
sin x ! y C sin x C y ,
2
'
(
! "
! " 1
!
"
!
"
21. cos x cos y D
cos x ! y C cos x C y ,
2
'
(
!
"
!
"
! "
! " 1
cos x ! y ! cos x C y .
22. sin x sin y D
2
90
Hakemisto
$-approksimaatio, 30
rectT , 10
aikadiskreetti Fourier-muunnos (DTFT), 77
aikaviiveominaisuus, 63
amplitudispektri, 40
Cauchyn pääarvo (CPA), 56
DFT, jaksollisuus, 49
DFT, symmetria, 49
DFT:n käänteismuunnos (IDFT), 46
Diracin deltafunktio, 11
Dirichlet’n ehdot Fourier-integraalille, 56
Dirichlet’n ehdot Fourier-sarjalle, 15
diskreetti Fourier-muunnos (DFT), 45
duaalisuusominaisuus, 67
energia, 75
energian spektraalitiheys, 75
energiaspektri, 75
Eulerin kaava, 89
Fourier-integraali, 55
Fourier-muunnoksen käänteismuunnos, 56
Fourier-muunnoksen ominaisuuksia, 59
Fourier-muunnoksen spektri, 74
Fourier-muunnos, 56
Gibbsin ilmiö, 29
harmoninen komponentti, 14
Heavisiden askelfunktio, 9
impulssifunktio, 10
jakso, 4
jaksollinen funktio, 4
jatkuvasti derivoituva, 6
kantoaalto, 64
keskimääräinen teho, 41
konvoluutio, 65
kosinisarja, 33
Kroneckerin delta, 18
kulmataajuus, 5
laskostuminen, 81
lineaarisuus, 26, 60
modulaatio-ominaisuus, 63
näytteenottotaajuus, 79
nopea Fourier-muunnos (FFT), 50
Nyquistin taajuus, 79
osittaisintegrointi, 20
paloittain jatkuva, 6
parillinen ja pariton funktio, 7
parillinen jatkaminen, 32
pariton jatkaminen, 33
Parsevalin lause, 42
Parsevalin yhtälö, 42, 75
pisteittäin suppeneminen, 16
sarjan eksponenttimuoto, 17
sarjan kolmas muoto, 38
seulontaominaisuus, 11
signum-funktio, 5
siirto-ominaisuudet, 63
sinc-funktio, 58
sinisarja, 33
skaalausominaisuus, 60
spektri, 40
suppeneminen pisteittäin, 16, 31
symmetriaominaisuus, 67
symmetrinen normalisointi, 47
symmetrinen väli, 8
taajuus, 5
tasainen suppeneminen, 32
tasakomponentti, 14
tasapulssi, 10
tehospektri, 43
toispuoleiset raja-arvot, 5
Tulolause, 41
vaihespektri, 40
Wilbraham-Gibbsin vakio, 30
yksikköaskelfunktio, 9
yksikköimpulssifunktio, 11
yleistetty funktio, 10