4/09 - Noppa
Sarjat ja integraalit, kevät 2015 Peter Hästö 9. huhtikuuta 2015 Department of Mathematical Sciences Epäoleellinen integraali ˆ Mitä tarkoittaa 0 1 1 √ dx ja x ˆ 1 ∞ 1 dx? x2 Käytetään määritelmiseksi Riemann integraalia ja raja-arvoja. Peter Hästö University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 2/4 Epäoleellinen integraali ˆ Mitä tarkoittaa 0 1 1 √ dx ja x ˆ 1 ∞ 1 dx? x2 Käytetään määritelmiseksi Riemann integraalia ja raja-arvoja. Funktion 1 xs Peter Hästö integraalin suppeneminen väleillä [0, 1] ja [1, ∞). University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 2/4 Epäoleellinen integraali ˆ Mitä tarkoittaa 0 1 1 √ dx ja x ˆ 1 ∞ 1 dx? x2 Käytetään määritelmiseksi Riemann integraalia ja raja-arvoja. 1 xs integraalin suppeneminen väleillä [0, 1] ja [1, ∞). P Yhteys sarjoihin: olkoon f (x) := ∞ k=0 xk χ[k,k+1) (x). Silloin Funktion ˆ n f (x) dx = 0 n−1 X xk , k=0 joten määritelmien nojalla ˆ ∞ f (x) dx = 0 Peter Hästö ∞ X xk . k=0 University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 2/4 Suppenemistarkastelu Epäoleellisten integraalien suppenemista voi tarkastella samalla tavalla kuin sarjojen: I Positivistermiset sarjat = ei-negatiiviset funktiot I majoranttiperiaate = majoranttiperiaate I itseinen suppeneminen = itseinen suppeneminen Peter Hästö University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 3/4 Suppenemistarkastelu Epäoleellisten integraalien suppenemista voi tarkastella samalla tavalla kuin sarjojen: I Positivistermiset sarjat = ei-negatiiviset funktiot I majoranttiperiaate = majoranttiperiaate I itseinen suppeneminen = itseinen suppeneminen Tehtävä: vertaa sarjojen ja integraalien majoranttiperiaatetta. (Mitä samaa, mitä eroa?) Peter Hästö University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 3/4 Suppenemistarkastelu Epäoleellisten integraalien suppenemista voi tarkastella samalla tavalla kuin sarjojen: I Positivistermiset sarjat = ei-negatiiviset funktiot I majoranttiperiaate = majoranttiperiaate I itseinen suppeneminen = itseinen suppeneminen Tehtävä: vertaa sarjojen ja integraalien majoranttiperiaatetta. (Mitä samaa, mitä eroa?) Esimerkki todistuksesta (L 4.0.27) Peter Hästö University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 3/4 Epäoleellisuuskohdat Funktion epäoleellisuuskohdat ovat ne pisteet joiden ympäristössä funktio ei ole rajoitettu, sekä ±∞. Jokainen epäoleellisuuskohta pitää tutkia erikseen, kummaltakin puolelta! Esimerkki ˆ 2 Interaalit 0 Kuitenkin 1 dx ja x ˆ ˆ 0 1 dx eivät suppene. −2 x ˆ 2 − 1 1 dx + dx ≡ 0 x −2 x kaikilla > 0. ˆ 2 Suppeneeko integraali −2 Peter Hästö 1 dx? x University of Oulu 9. huhtikuuta 2015 4/4
© Copyright 2024