A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Correction du TD P8 – Thermodynamique – Eléments de statique des fluides et sont dans le cyclohexane, on peut donc écrire l’équation de la statique des fluides incompressibles, avec l’axe orienté vers le haut. Exercices d’entraînement 1 L’expérience de crève tonneau de Pascal De la même manière, et sont dans l’eau. Par Notons le point à la surface de l’eau dans le tube et un conséquent : point dans l’eau sur la surface supérieure du tonneau. Ces deux points étant dans l’eau, on peut appliquer la relation de la statique des fluides incompressibles : Enfin, et sont au contact de l’atmosphère, par conséquent . En reportant ces expressions dans les équations (1) et (2) : Comme et , on a : or la masse d’eau contenue dans le tube est donc : Le tonneau crève si . On a Ainsi : soit : On cherche , or encore en utilisant la définition de , Soit : d’où Application numérique : Vérification : dans l’hypothèse où les deux liquides ont la même masse volumique (que de l’eau par exemple), on trouve bien les deux surfaces à la même altitude. Application numérique : 2 Tube en U contenant deux liquides non miscibles 3 Mesure de la masse volumique d’un liquide Figure 1 : Tube en U contenant deux liquides non miscibles Soit un point à l’interface entre les deux liquides et l’altitude des différents points. Figure 2 : Tube en U contenant trois liquides non miscibles TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 1 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Notons un point à l’interface air-eau, un point à l’interface eau-mercure, un point à l’interface mercureéthanol, un point à l’interface éthanol-air et l’altitude des différents points (axe orienté vers le haut). Appliquons la loi fondamentale de la statique des fluides incompressibles dans le champ de pesanteur entre deux points aux extrémités d’un même liquide : Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Faisons de même au sein de la croûte épaissie : Les points et sont en contact avec l’atmosphère, donc sont à la même pression. D’autre part, les points et sont sur la surface de compensation isostatique, donc sont à la même pression. On tire donc la relation : Faisons la somme de ces trois équations : Application numérique : Application numérique : 2.2.2. Altiplano L’épaisseur est de 4 . On a donc : Application en géologie 1. Croûte épaissie Application numérique : 1.1.Relation entre racine et altitude Résultat numérique en accord avec la géométrie. 2.2.3. Diminution d’altitude La nouvelle altitude est nouvelle racine : ce qui conduit à une La nouvelle épaisseur de la croûte est l’épaisseur effectivement enlevée est donc : et Figure 3 : modélisation géologique Appliquons l’équation de la statique des fluides incompressibles au sein de la croûte normale et du manteau lithosphérique sous-jacent, et en choisissant l’altitude zéro au point et en orientant l’axe vers le haut. : TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 2 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Application numérique : Comme (atmosphère) et isostatique), on a : On constate donc qu’une érosion visible se traduit par une diminution totale de croûte 6,6 fois plus grande ! or (compensation , on a donc : 2.2.4. Chaîne hercynienne L’érosion est de 7000 m, donc on a une tranche de 6,6 fois 7 km = 46 km de roche qui a disparu. e1 = 46 km 2.3.2. Croûte amincie 2.2.5. Pression p1 Les roches qui affleurent aujourd’hui étaient donc à cette profondeur. La pression qui y régnait était donc de : On a : Application numérique : 2.3.3. Comblement du bassin 2.2.6. Température des roches Le comblement du bassin entraîne une disparition de La température augmente de 30° C par km. On a donc une l’antiracine (les sédiments qui se déposent comble le bassin température T = (25 + 30 46)°C = 1400 °C. Les roches mais provoque l’enfoncement de la croûte en même temps). sont donc de natures métamorphique et plutonique Il faut donc une épaisseur de sédiment de : (granites) (voir les cours de géologie !). 2.3. Croûte amincie 2.3.1. Antiracine Le temps nécessaire au dépôt de sédiment est donc de : Application numérique : 9,2 millions d’années Figure 4 : Modélisation géologique En appliquant l’équation de la statique des fluides incompressibles au niveau de la croûte amincie, on a : De même, au niveau de la croûte normale, on a : TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 3 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Analyse à partir d’un document Modèles d’atmosphère 5 Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 6 1. Atmosphère isotherme Atmosphère non isotherme 1.1. Evolution isotherme Dans l’approximation des gaz parfaits, la masse volumique de l’air est : On a donc : qui s’intègre compte tenu des conditions proposées en : Analyse du document : Le modèle de l’atmosphère isotherme ne semble ici applicable qu’entre les altitudes et . 1.2. Application numérique Dans les autres domaines, la température peut être considérée comme suivant une loi affine de l’altitude : entre 2. Atmosphère de température variable et En lisant sur le graphe dans cette gamme : 2.1. Nouvelle expression de la pression L’équation différentielle devient : On en déduit : entre entre et et En lisant sur le graphe dans cette gamme : 2.2. Application numérique On en déduit : 2.3. Ecart relatif Hypothèses de travail : Reprenons les hypothèses de travail classiques : - Atmosphère considérée comme un gaz parfait Sa masse molaire est Le champ de pesanteur est uniforme sur une verticale Résolution générale : - Expression de la masse volumique TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 4 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Ainsi : - - Equation différentielle : - Résolution : Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Pour et et A ce stade, l’atmosphère n’est pas considérée comme Avec (calcul à partir de l’expression du cas précédent). isotherme. Notons la température avec les équations établies précédemment. Analyse graphique : Le tracé des courbes dans le cas d’une atmosphère isotherme à la température du sol ou dans le cacs étudié est présenté figure suivante. On intègre entre une origine et une altitude quelconque Trois cas : - Pour A première vue, il y a peu d’écart. Faisons toutefois un agrandissement dans la zone des faibles pressions : Avec - et Pour Modèle de l’atmosphère isotherme : On constante qu’il y a une modification d’un facteur 3 dans le domaine des faibles pressions. Avec et l’expression du cas précédent). (calcul à partir de TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 5 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Résolution de problème 7 Masse du dioxyde de carbone terrestre Première approche : autour de la loi des gaz parfaits Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 La température n’est pas non plus uniforme. Prenons une valeur de en moyenne (il fait froid en altitude…) Le rayon terrestre doit être connu des étudiants en géologie : Les étudiants en géologie savent que avec Analyser : Décomposer le problème en des problèmes plus simples Réaliser : On peut commencer à dégager quelques questions On aurait alors : préliminaires : pour connaître la masse de dioxyde de carbone dans l’atmosphère, il faut connaître la masse de l’atmosphère et la proportion de dioxyde de carbone dans l’atmosphère. Analyser : Expliciter la modélisation choisie, Déterminer Ainsi : et énoncer les lois qui seront utilisées S’approprier : identifier les grandeurs pertinentes, leur attribuer un symbole La masse de Le problème fait référence à l’atmosphère. On peut dans un premier temps imaginer travailler sur la loi des gaz parfaits. est : Les grandeurs physiques qui a priori vont sembler utiles sont : le volume de l’atmosphère, la pression moyenne Soit milliards de tonnes de l’atmosphère, la quantité de matière de l’atmosphère, sa température moyenne . Valider : Exercer son esprit critique sur la pertinence Notons la proportion molaire de dioxyde de carbone dans d’un résultat l’air : L’estimation semble plutôt bonne (le site wikipédia donne milliairds de tonnes) En appliquant la loi des gaz parfaits : Evaluer la masse de dioxyde de carbone de l’atmosphère terrestre. S’approprier : Evaluer quantitativement les grandeurs Le raisonnement sera clairement explicité. Les données numériques nécessaires à la résolution de ce problème inconnues et non précisées peuvent être recherchées sur internet. La valeur trouvée Il reste à donner des valeurs numériques réalistes. devra être validée par une recherche bibliographique. Le volume de l’atmosphère n’est pas parfaitement défini puisqu’il n’y a pas de limite réelle à l’atmosphère. On peut dans un premier temps estimer qu’à plus de il n’y a plus une quantité significative d’air. La surface au sol est de où est le rayon terrestre. Le volume est donc de . Même si ce n’est pas l’expression réelle du volume d’une coque, il s’agit d’une bonne approximation dans la mesure où . La pression de l’atmosphère terrestre suit une évolution exponentielle avec l’altitude (dans le modèle de l’atmosphère isotherme. Il est difficile de donner une estimation de la pression moyenne. Une première idée consiste à dire que la pression moyenne est la moitié de la pression au sol : . TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 6 A. Guillerand – BCPST 1 A Feuille d’exercices Deuxième approche : autour de la statique des fluides Lycée Hoche – Versailles – 2014/2015 Réaliser : Analyser : Décomposer le problème en des problèmes plus On aurait alors : simples On peut commencer à dégager quelques questions préliminaires : pour connaître la masse de dioxyde de carbone dans l’atmosphère, il faut connaître la masse de l’atmosphère et la proportion de dioxyde de carbone dans l’atmosphère. La quantité de matière d’air vaut donc : Analyser : Expliciter la modélisation choisie, Déterminer et énoncer les lois qui seront utilisées S’approprier : identifier les grandeurs pertinentes, leur la quantité de attribuer un symbole Le problème fait référence à l’atmosphère. On peut dans un deuxième temps imaginer travailler sur la notion de force La masse de pressante s’exerçant à la surface de la terre. : : Les grandeurs physiques qui a priori vont sembler utiles sont : la pression qui s’exerce au niveau du sol, la surface au sol, la masse totale d’air dans l’atmosphère (la quantité de matière totale d’air dans l’atmosphère, la masse molaire de l’air) Notons l’air : la proportion molaire de dioxyde de carbone dans Soit 32 milliards de tonnes Valider : Exercer son esprit critique sur la pertinence Par définition de la pression, la pression atmosphérique à la d’un résultat surface de la terre est la force qu’exerce l’atmosphère sur la L’estimation semble plutôt bonne (le site wikipédia donne surface de la terre divisée par cette surface. Or dans le milliairds de tonnes) champ de pesanteur cette force est le poids de la totalité de Cette seconde méthode semble meilleure que la première l’atmosphère. car elle fait appel à moins d’hypothèses Hypothèses dans le cadre de la première méthode : pression moyenne, température moyenne, hauteur limite de S’approprier : Evaluer quantitativement les grandeurs l’atmosphère, formule approché du volume d’une coque inconnues et non précisées Hypothèses dans le cadre de la deuxième méthode : Il reste à donner des valeurs numériques réalistes. uniforme, La surface au sol est de où est le rayon Remarque : en réalité la formule de la force pressante terrestre. Le rayon terrestre doit être connu des étudiants en utilisée est valable dans le cadre de pression uniforme sur géologie : une surface plane (ce qui n’est pas le cas ici, mais l’étude La pression de l’atmosphère au niveau du sol pourra être serait très complexe pour un résultat à peine amélioré) prise à bar. Les étudiants en géologie savent que avec La masse molaire de l’air sera prise égale à TD P8 : Thermodynamique – Eléments de statique des fluides : correction des exercices 7