‫אלגברה לינארית ב ‪ -‬הרצאות‬ ‫מההרצאות של מר' מני אקא‬ ‫מרכז הבינתחומי הרצליה‬ ‫סמסטר ב'‪ ,‬שנה א'‪2009 ,‬‬ ‫תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא‬ ‫ראשון‪11 ,‬אפריל‪2010 ,‬‬ ‫עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר‬ ‫‪http://idc.gadi.cc/compsci/‬‬ ‫הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן‬ ‫סטודנט לתואר מדעי המחשב‬ ‫תוכן העניינים‬ ‫שיעור ‪1.............................25.02.10 – 1‬‬ ‫מרחבים וקטורים‪1...............................‬‬ ‫העתקות לינארית ))‪1............Linear maps‬‬ ‫גרעין ותמונה של העתקה לינארית‪6........‬‬ ‫שיעור ‪1.............................11.03.10 – 3‬‬ ‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה לינארית‬ ‫‪1‬‬ ‫כיצד נקבעת העתקה לינארית‪2..............‬‬ ‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה כללית ‪4‬‬ ‫שיעור ‪6.............................18.03.10 – 4‬‬ ‫על ייצוג העתקה )כללית( העזרת‬ ‫מטריצות‪6..........................................‬‬ ‫מטריצות מעבר ודומיין מטריצות‪8...........‬‬ ‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‪12..........‬‬ ‫שיעור ‪) 08.04.10 – 5‬אחרי פסח(‪13.........‬‬ ‫נושאי הקורס‪13..................................‬‬ ‫סיכום קצרה על העתקות לינאריות‪13......‬‬ ‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‪16..........‬‬ ‫מציאת ערכים עצמיים וקטורים עצמיים‬ ‫של מטריצות ‪18..................................‬‬ ‫להתעלם מדף הזה ‪20...........................(:‬‬ ‫‪21..................................Quick Reference‬‬ ‫אינדקס‪22.............................................‬‬ ‫שיעור ‪25.02.10 – 1‬‬ ‫מני אקא‪amenny@idc.ac.il ,‬‬ ‫‪ 70%‬מרתגילים הטובים – ‪ 10%‬מהציון‪.‬‬ ‫מבחן אמצע מגן – ‪.10%‬‬ ‫תרגיל מפורסם ברביעי‪-‬חמישי ומגישים ביום א' שבוע וחצי אחרי‪.‬‬ ‫ספרות‬ ‫אוניברסיטה פתוחה – אלגברה לינארית ‪ – I‬בפקרים האחרונים‪.‬‬ ‫אוניברסיטה הפתוחה – אלגברה לינארית למדעי הטבע‪.‬‬ ‫‪Google: Linear Algebra MIT course‬‬ ‫שעות קבלה – בתיאום מראש‬ ‫רביעי – ‪8:00-10:00‬‬ ‫שישי – ‪8:30-10:00‬‬ ‫לשלוח מייל‪.‬‬ ‫מרחבים וקטורים‬ ‫} ‪{ ‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪ℝn ={a1 ,... , an  ∣ a i∈ℝ }= ⋮ ∣ a i ∈ℝ‬‬ ‫‪an‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫מרחבים וקטורים כלליים יותר‪:‬‬ ‫•‬ ‫מרחבי פונקציות‬ ‫•‬ ‫פולינומים‬ ‫•‬ ‫מרחב המטריצה‬ ‫)תזכורת בהמשך(‬ ‫העתקות לינארית ) ‪(Linear maps‬‬ ‫)שם אחר‪ :‬טרנספורמציות לינארית – ‪(Linear transformation‬‬ ‫‪ .1‬פונקציות וקטוריות‬ ‫כמאור‪,‬‬ ‫‪ ℝn‬זוהי קבוצה ‪ .‬ניתן להגדיר פונקציות בין‬ ‫כלומר ‪ f‬לוקחת וקטור ב‪ ℝn -‬לוקטור ב‪ℝn -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f :ℝ‬‬ ‫‪n ℝn‬‬ ‫טווח‬ ‫תחום‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫א(‬ ‫‪F : ℝ 2  ℝ3‬‬ ‫ב(‬ ‫‪3‬‬ ‫ג(‬ ‫ד(‬ ‫‪ x , y , z  ↦  x y , x−z ‬‬ ‫‪G :ℝ  R‬‬ ‫‪ B :V V‬היא העתקת הניסוח ב‪.2-‬‬ ‫‪ V‬מ"ו‪,‬‬ ‫‪ w ∈V‬עובר ע"י ‪ B‬לוקטור ‪V‬‬ ‫כלומר‪ ,‬וקטור‬ ‫‪ V =ℝ2‬אז‬ ‫ה(‬ ‫למשל‪,‬‬ ‫ו(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ז(‬ ‫‪f :ℝ 2  ℝ 2‬‬ ‫ח(‬ ‫‪g :ℝ  M 2 ℝ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h :ℝ  M 2 ℝ‬‬ ‫‪‬‬ ‫ט(‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ x , y  ↦  x  y , 3x5y , 2y ‬‬ ‫‪. 2w∈V‬‬ ‫‪ x , y  ↦2x , 2y‬‬ ‫‪B :ℝ 2 ℝ 2‬‬ ‫‪a , b ↦ 4a7b , a−b ‬‬ ‫‪H :ℝ ℝ‬‬ ‫‪ x , y  ↦  x sin y  , x 2 y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪‬‬ ‫↦ ‪a , b‬‬ ‫‪‬‬ ‫↦ ‪a , b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ab b‬‬ ‫י(‬ ‫] ‪d :ℝ n [ x ]ℝn [ x‬‬ ‫כ(‬ ‫} פולינום מעל ‪ ℝ‬ממעלה קטנה שווה ל‪Rn [ x ]={n-‬‬ ‫‪p  x  ↦ p '  x‬‬ ‫נדבר על הרכבת פונקציות – בקצרה )נחזור לזה(‪.‬‬ ‫‪ℝ2  F  R3 G ℝ2‬‬ ‫‪ x , y  ↦ F ↦  x y , 3x5y , 2y  ↦ G ↦ 4x6y , x− y‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫פונקציות "הולכות" מקבוצה לקבוצה‪ .‬אבל מרחב וקטור זו לא סתם קבוצה!‬ ‫נתבונן ב‪)-‬ב(‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪G :ℝ ℝ‬‬ ‫‪v =3,4,1‬‬ ‫‪G v =7,2‬‬ ‫‪w=0,0,1‬‬ ‫‪G w=0,−1‬‬ ‫‪v w=3,4,2‬‬ ‫‪G v ‬‬ ‫‪ w =GV   G W =7,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫‪" G‬מכבדת" את תכונת חיבור הוקטורי‪.‬‬ ‫‪7V= 21,28,7‬‬ ‫‪G 7V= 4,9,14‬‬ ‫קיבלנו ש‪G 7V=7⋅G V  -‬‬ ‫‪" G‬מכבדת" את הכפל בסקלר‪.‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫יהיו ‪ V,W‬מרחבים וקטורים‪ .‬פונקציה‬ ‫‪ F :V  W‬תקרא העתקה לינארית אם‪:‬‬ ‫‪ v 1, v 2∈V‬מתקיים ‪F v 1v 2 = F  v 1 F  v 2‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫לכל‬ ‫‪.2‬‬ ‫לכל סקלר‬ ‫‪ ∈ℝ‬ולכל‬ ‫‪ v ∈V‬מתקיים ‪F  v = F  v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫תכונות בסיסיות‬ :‫ העתקה לינארית אז‬T :V W ‫תהי‬ T  0v = 0w .1 T −v =−T v  .2 :‫טענה‬ :‫ זה נובע פשוט מההגדרה‬.(2)-‫נתחיל ב‬ :‫הוכחה‬ T −v =T −1⋅V  =  −1T v =−T v  ‫לינאריות‬ :‫עתה נוכיח את‬ T  0v =T  0v 0v  =  T  0v T  0v  )1) ‫לינאריות‬ T  0  = 0w :‫נעביר עגף ונקבל‬ 0v0v = 0v .‫תרגיל אופייני הוא לבדוק האם עתקה הוא לינארית‬ ‫אם העתקה לא מעבירה את וקטור האפס לוקטור האפס‬ :‫הערה‬ .‫אז הוא בוודאי לא לינארית‬ ‫ העתקה לינארית‬.5 T  vw =T v T w ∀ v , w∈V T  v = T  v ∀ ∈ℝ , ∀ v ∈V f v =2sin 2 , 8 v = 2,2 f 3 2,2=6sin6 , 216 ≠ 3⋅ f  2,2=6sin2 , 24  x , y  , x ' , y ' ∈ℝ2 ‫העתקה לינארית ונקח‬ F  x , y  x ' , y ' =F  x x ' , y y '  = xx ' y y ' ,3x3x '5y5y ' , 2y2y '  F  x , y F  x ' , y ' = x y , 3x5y , 2y x ' y ' , 3x ' 5y ' , 2y '  = x x '  y y ' , 3x3x '3y5y , 2y2y '  3 .‫א‬ ‫אקסיומת השנייה‪:‬‬ ‫‪F  x , y = F  x , y = x y , 3  x5  y2  y‬‬ ‫‪ F  x , y= x y ,3x5y , 2y‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לינארית‬ ‫ג‪.‬‬ ‫לינארית‬ ‫ד‪.‬‬ ‫לינארית‬ ‫ה‪.‬‬ ‫לא‪.‬‬ ‫ו‪.‬‬ ‫לא‪.‬‬ ‫ז‪.‬‬ ‫לינארית‪.‬‬ ‫ח‪.‬‬ ‫לינארית‪ ,‬כי‪:‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫‪ p  x q  x ' = p '  xq '  x ‬‬ ‫‪⋅p  x  '= p '  x‬‬ ‫ט‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ℝ ℝ‬‬ ‫‪ x , y  ↦ x , y 1, x y ‬‬ ‫‪ 0, ↦0,1,0≠0‬ומהטענה שראינו נובע שזו לא העתקה לינארית‪.‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫תמונה של צירוף לינארי‬ ‫תהי‬ ‫‪ . T :V W‬לכל‬ ‫‪ v ∈V‬הוקטור ‪ w=T v ‬נקרא התמונה של ‪.v‬‬ ‫מה התונה של צ"ל‪:‬‬ ‫יהיו ‪ v 1 ,... , v n ∈V‬ויהיו ‪ v =1 v1 ...n v n‬צירוף לינארי‪.‬‬ ‫נרצה לדעת מיהו‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 T v 1 2 T v 2...n T v n ‬‬ ‫‪T  v=T 1 v 1...n v n‬‬ ‫באינדוקציה מההגדרה‬ ‫נסביב במקרה ‪n=2‬‬ ‫= ‪T  v  v ' ‬‬ ‫‪ T  v  v '  =  T v T  v ' ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫תהי‬ ‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‪.‬‬ ‫אם‬ ‫‪ v 1 ,... , v n ∈V‬תלויים לינארית‬ ‫אז‬ ‫‪ T  v 1 , ... , T v n ∈W‬גם כן תלויים לינארית‪.‬‬ ‫בדף הבא‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫מהנתון‪ ,‬קיימים‬ ‫‪ 1 , ... , n‬שלא כולם אפסים כך ש‪. 1 v 1... n v n=0 -‬‬ ‫נפעיל את ‪ T‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪ 1T v 1...n T  v n=T 1 v 1... n v n=T  ‬‬ ‫‪0 =0‬‬ ‫מכיוון שלא כל ה‪-  -‬ות הן אפס‪ ,‬נובע ש‪ T  v 1 , ... , T  v n  -‬תלויים לינארית‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫חשובה‪:‬‬ ‫העתקת האפס‪ .‬יהיו ‪ V,W‬מרחב וקטורי ונגדיר‬ ‫זו העתקה לינארית‪.‬‬ ‫‪T :V W‬‬ ‫‪v ↦ 0w‬‬ ‫‪) ‬תרגול(‬ ‫‪0 =T vw=T  vT w=0 ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ההפך לא נכון‪ .‬כלומר את‬ ‫‪ T : V W‬העתקה לינארית‬ ‫ו‪ v 1 ... v n∈V -‬בת"ל אז לאו דווקא נובע ש‪ T  v 1 , ... , T  v n  -‬בת"ל‪.‬‬ ‫למשל‪ ,‬העתקת אפס‪.‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫תהי‬ ‫‪ T :V W‬ויהי‬ ‫‪ℝ2 ℝ2‬‬ ‫‪ x , y  0,0‬‬ ‫‪ v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪.V-‬‬ ‫אם ידוע מיהם ‪ , T  v 1 , ... , T v n ‬כלומר‪) ,‬במילים אחרות(‪ ,‬אם ידוע‬ ‫תמונה של בסיס‪ ,‬אז אני יכול לדעת לאן ‪ T‬מעבירה כל וקטור‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫עמ' ‪ 12‬של ציפי‪.‬‬ ‫יהי‬ ‫‪v 1=1,0,0‬‬ ‫‪v 2 =1,1,0‬‬ ‫‪ v 3=1,1,1‬בסיס ל‪. ℝ3 -‬‬ ‫נתונה ‪ T :ℝ3  ℝ 2‬וידוע ש‪T  v 1=−1,1 -‬‬ ‫צריך למצוא את‬ ‫‪ T 8,11,7‬לכל‬ ‫‪T  v 2=3,0‬‬ ‫‪T  v 3=0,1‬‬ ‫‪. a ,b ,c‬‬ ‫ראשית‪ ,‬נמצא איך נכתב לפי איברי הבסיס‪.‬‬ ‫‪8,11,7=c 1 1,0,0 c 2 1,1,0c 3 1,1,1= c1c 2c 3 ‬‬ ‫‪c 3=7‬‬ ‫‪c 2=4‬‬ ‫‪c 1=−3‬‬ ‫‪T 8,11,7 = T −3v 14v 27v 3 ‬‬ ‫=‬ ‫‪ −3T v 1 4T v 2 7T v 3‬‬ ‫לינאריות‬ ‫‪= −3 −1,14 3,07 0,1‬‬ ‫‪= ...‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫יהי‬ ‫‪ . v ∈V‬נכתוב את ‪ V‬בצ"ל של‬ ‫נבדוק מהו‬ ‫‪: T V ‬‬ ‫‪: v 1 ,... , v n‬‬ ‫‪V =1 v1 ...n v n‬‬ ‫= ‪T V =T 1 v 1... n v n‬‬ ‫‪ 1 T  v1 ...n T v n ‬‬ ‫לינאריות‬ ‫מכיוון ש‪ T  v 1 , ... , T v n  -‬ידוע לי‪ ,‬אני יכול לחשב את‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ T V ‬מהביטוי האחרון‪.‬‬ ‫‪V =ℝn‬‬ ‫אם כל‬ ‫הדוגמאות‪:‬‬ ‫‪ W =ℝ m‬תהי ‪ A‬מטריצה‬ ‫שנסמנה ב‪. T A -‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪v = Av‬‬ ‫‪⋮n‬‬ ‫⋮‬ ‫צריך לבדוק‬ ‫‪ m×n‬אז היא מגדירה העתקה לינארית‬ ‫‪. T A : ℝn ℝ m‬‬ ‫‪v ↦ Av‬‬ ‫‪ A  m×n‬‬ ‫?‬ ‫= ‪T A v w‬‬ ‫‪ T A  vT a  w‬‬ ‫?‬ ‫מה כתוב כאן?‬ ‫= ‪A vw‬‬ ‫‪ Av Aw‬‬ ‫וזה ראינו בסמסטר קודם‪.‬‬ ‫?‬ ‫וזה שקול למה שאנחנו יודעים ‪A v = A v‬‬ ‫= ‪T A  v ‬‬ ‫‪ T A v ‬‬ ‫“?” כי צריך לבדוק אם זה לינארי‪.‬‬ ‫בתרגול‪:‬‬ ‫דוגמאות מסיכומים של ציפי – ‪.12-15‬‬ ‫גרעין ותמונה של העתקה לינארית‬ ‫גרעין = ‪ ,kernel‬תמונה = ‪image‬‬ ‫תהי‬ ‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‪ .‬נגדיר‪:‬‬ ‫‪ .1‬הגרעין )‪ (kernel‬של ‪ T‬הוא‬ ‫‪ {v∈V ∣ T v =‬וימסומן בתור‬ ‫}‪0‬‬ ‫‪. Ker T ‬‬ ‫‪ .2‬התמונה של ‪ T‬מוגדרת להיות‬ ‫} ‪. ImT ={w ∈W ∣ ∃ v∈V s.t.Tv=w }={T v ∣ v ∈V‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T :ℝ  ℝ‬‬ ‫‪T  x , y= x , 0‬‬ ‫נבדוק מהו ‪.kerT‬‬ ‫}‪kerT ={ x , y ∣ T  x , y = 0,0‬‬ ‫} ‪={ x , y ∣  x , 0=0,0‬‬ ‫ציר ה‪={ x , y ∣ x=0 }=y-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫} ‪ImT ={T  x , y ∣ x , y ∈ℝ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫} ‪={ x ,0 ∣  x , y ∈ℝ‬‬ ‫ציר ה‪={ x ,0 ∣ x ∈ℝ }=x-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫“דוגמה"‪:‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .mxn‬ראינו שהיא מגדירה העתקה‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪T A: ℝ  ℝ‬‬ ‫‪. v ↦ Av‬‬ ‫‪ker T A ={v∈ℝ n ∣ T A v =‬‬ ‫‪0 }={v ∈ℝ n ∣ Av=‬‬ ‫} מרחב האפס {=‪0 }=null  A‬‬ ‫של מטריצה ‪A‬‬ ‫בשפה של מערכות משוואות ‪ kerT A‬אלו בדיוק הפתרונות של מערכת‬ ‫המשוואות ההומוגנית ש‪ A-‬מגדירה‪.‬‬ ‫‪n‬‬ ‫} ‪Im T A ={ Av ∣ v ∈ℝ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪= Av = 1 v 1 ⋯n v n‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫⋮‬ ‫‪1‬‬ ‫⋮ ⋮‬ ‫‪v1 ⋯ vn‬‬ ‫⋮ ⋮‬ ‫משפטים‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ kerT‬תת מרחב של ‪ V‬ו‪ ImT-‬תת מרחק של ‪.W‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫משפט "שימור האנרגייה" משפט הדרגה והאפסות‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪dim  KerT dim  ImT =dimV‬‬ ‫הוכחת ‪:1‬‬ ‫א( ‪ kerT ⊆V‬תת מרחב‪.‬‬ ‫נשתמש הבוחן לתת מרחב‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ .1‬צ"ל ש‪0 ∈kerT -‬‬ ‫‪) T  0 =‬לכל העתקת הלינארית(‪.‬‬ ‫כלומר יש להראות ש‪0 -‬‬ ‫כבר ראינו‪.‬‬ ‫‪ .2‬סגירות לחיבור‪ :‬אם‬ ‫‪ v , w∈kerT‬אז צ"ל ‪v w∈ kerT‬‬ ‫= ‪T  vw ‬‬ ‫‪ T v T  w=0 0=0‬‬ ‫לינאריות‬ ‫= ‪T  v ‬‬ ‫‪  T v = 0 =0‬‬ ‫‪ .3‬סגירות לכפל בסקלר‪:‬‬ ‫ב(‬ ‫‪ ImT ⊆W‬תת מרחב‪:‬‬ ‫לינאריות‬ ‫} ‪ImT ={w ∣∃ v ∈, T  v=w‬‬ ‫‪) T 0 v =0w‬תמיד(‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ 0w∈Im‬כי‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ w 1, w 2∈ ImT‬צ"ל‬ ‫‪w 1w 2 ∈ ImT‬‬ ‫‪∃v 2 , T v 2 =w 2 ∃ v 1 ,T v 1 =w 1‬‬ ‫= ‪T  v 1v 2 ‬‬ ‫‪ T  v 1T v 2 =w 1w 2‬‬ ‫לינאריות‬ ‫כלומר‪ ,‬מצאנו וקטור ב‪) V-‬הוקטור‬ ‫‪ w 1w 2‬נמצא ב‪.ImT-‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ ( v 1, v 2‬שתמונתו‬ ‫‪ w 1w 2‬ולכן‬ ‫ג( צ"ל ‪ w ∈ ImT‬אז‬ ‫הוכחה‪ :‬מהנתון‪ ,‬קיים‬ ‫‪  w∈ ImT‬לכל‬ ‫‪ v ∈V‬כך ש‪T  v=w -‬‬ ‫נתבונן ב‪ ,  V -‬תמונה היא‪:‬‬ ‫= ‪T  V ‬‬ ‫‪  T V = w‬‬ ‫לינאריות‬ ‫כלומר‬ ‫‪∈ℝ‬‬ ‫‪  w‬אכן נמצא בתמונה‪.‬‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫שיעור ‪11.03.10 – 3‬‬ ‫)באדיבות ז'רמי אבוהי(‬ ‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה לינארית‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪T  x , y , z = x y , x− z ‬‬ ‫המטרה למצוא‬ ‫כלומר למצוא‬ ‫‪ A∈ M 2×3 ℝ‬כך שלכל ‪ x ∈ℝ3‬מקיים ‪. T x = A x‬‬ ‫‪ A∈ M 2×3 ℝ‬כך ש‪. T =T A -‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪1 1 0 x = x y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1 0 −1 z‬‬ ‫‪x −z‬‬ ‫נמצא אותה ע"י ניחוש‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ננסה למצוא דרך כללית יותר ושנוכל להכליל אותה למציאת מטריצה ביחס‬ ‫לבסיסים כלליים‪ .‬נשים לב שעמודות‪:‬‬ ‫העמודה השנייה‬ ‫העמודה הראשונה‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T 0=1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T 1=1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪T 0= 0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תהי ‪ T :ℝn  ℝm‬העתקה לינארית‪ .‬אז קיימת מטריצה ‪ A∈ M m×n ℝ‬כך‬ ‫שלכל‬ ‫‪‬‬ ‫הערה‪:‬‬ ‫העמודה השלישית‬ ‫‪ . T x = A x , x ∈ℝn‬יתר על כן‪ A ,‬היא מטריצה שעמודיה הן‬ ‫⋮ ⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪Te1 Te2 ⋯ Te n‬‬ ‫⋮ ⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪‬‬ ‫שימו לב שיש פה שימוש בבסיס הסטנדרטי‪ .‬זה אמור להעלות תהיות‬ ‫למה היה קורה אם היינו משתמשים בבסיס אחר‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫יהי‬ ‫=‪, e 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪e n‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪ e 1 , ... , e n‬זהו הבסיס הסטנדרטי‬ ‫של התחום של ‪ ,T‬שהוא ‪. ℝn‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ x = ⋮ ∈ℝ‬כלשהי‪.‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫נשים לב לעובדה הבאה‪:‬‬ ‫נפעיל את ‪ T‬ונקבל‬ ‫‪x = x 1 e 1 x 2 e 2 ...x n e n‬‬ ‫* = ‪T x = T  x 1 e 1... x n e n = x1 T e 1 ... x n T e n‬‬ ‫נתבונן במטריצה ‪ A‬שבעמודה ה‪ i-‬שלה היא ‪. T e i ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫זו אכן מטריצה מסדר ‪m×n‬‬ ‫‪: A x‬‬ ‫נבדוק מהו‬ ‫*=‪= x 1⋅T e 1...x n⋅T en‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫⋮‬ ‫‪xn‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪Te 1 ⋯ Te n‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪‬‬ ‫‪= Tx‬‬ ‫סה"כ קיבלנו‬ ‫‪ T x = A x‬לכל‬ ‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬ ‫‪x ∈ℝ‬‬ ‫כיצד נקבעת העתקה לינארית‬ ‫תהי ‪ T :V W‬והי‬ ‫} ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪.V-‬‬ ‫אם ידועות לנו תמונות איברי ‪ B‬אז ניתן לדעת תמונה של כל צ"ל שלהם‪.‬‬ ‫כלומר‪ ,‬תמונת ‪ T‬לכל וקטור ב‪.V-‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪ T :V W‬ו‪ S :V W -‬העתקות לינאריות‪ ,‬והי‬ ‫אז‬ ‫‪S=T‬‬ ‫‪‬‬ ‫⇔ ‪S V i =T V i ‬‬ ‫‪ ‬לכל‬ ‫כלומר‪ ,‬זו אותה‬ ‫העתקה‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪.V-‬‬ ‫‪i=1, 2,... , n‬‬ ‫כלומר הן מסכימות‬ ‫על איברי הבסיס‬ ‫⇐ טריביאלי‪ S=T .‬אומר שלכל‬ ‫‪, v ∈V‬‬ ‫‪S  v=T v ‬‬ ‫‪ S  v i=T v i ‬לכל ‪i=1, 2,... n‬‬ ‫ובפרט‬ ‫⇒ יהי‬ ‫‪ v ∈V‬כלשהו‪ .‬אז קיימים‬ ‫‪ a 1 , ... , a n∈ℝ‬כך ש‪v =a1 v 1...a n v n -‬‬ ‫‪T v  = T a 1 v1 ...a n v n  = a1 T  v1 ...a n T  v n ‬‬ ‫=‬ ‫‪ a1 S  v1 ...a n S  v n  = S a1 v 1...a n v n  = S v ‬‬ ‫לינאריות‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫מצאו העתקה לינארית‬ ‫‪ ‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪‬‬ ‫‪= Te 1 Te 2‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪4 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T :ℝ2 ℝ2‬כך ש‪T e 1 = 2 -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T  x , y=2x− y , 4x y ‬‬ ‫תשובה‪ :‬כל העתקה מהצורה‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪2 * x‬‬ ‫‪4 * y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שימו לב שמצאנו שאת ‪ e 2‬אני יכול לשלוח לאיפה שבא לי‪ ,‬באופן מתמטי ‪-‬‬ ‫אני יכול לבחור את תמונת ‪ e 2‬בחופשיות‪.‬‬ ‫‪T :ℝ2 ℝ2‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪T e 1 = 2‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪T e 2 = 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪T e 1 = 2‬‬ ‫‪T :ℝ2  ℝ2‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪126 =3 24=3T e =T 30 = 66‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אין מצב‬ ‫‪ V‬מ"ו ו‪ v 1 ,... , v n -‬בסיס ל‪ .V-‬יהי‬ ‫‪ v ∈V‬וקטור כלשהי‪.‬‬ ‫יש ל‪ V-‬כתיבה יחידה בצירוף לינארי של‬ ‫‪. v 1 ,... , v n‬‬ ‫כלומר אם ‪ v =a1 v 1...a n v n‬אז ה‪- a i -‬ים יחידים תלויים רק ב‪.v-‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫⋮‬ ‫‪an‬‬ ‫נתחיל ביחידות‪:‬‬ ‫נניח שקיימת שתי העתקות‬ ‫ששתיהן מקיימות‬ ‫‪T v i =wi‬‬ ‫‪S :T W ,T :V W‬‬ ‫‪, 1≤i≤n‬‬ ‫‪S v i =wi‬‬ ‫‪1≤i≤n‬‬ ‫נשים לב שבפרט זה אומר ש‪ S-‬ו‪ T-‬מסכמות על איברי הבסיס ‪. v 1 ,... , v n‬‬ ‫מהמשפט האחרון נובע ש‪ .S=T-‬כלומר הוכחנו יחידות‪.‬‬ ‫הוכחת הקיום‪:‬‬ ‫נגדיר ‪ T‬כזו‪ .‬ראשית נגדיר ‪ T  v i=wi‬לכל ‪. 1≤i≤n‬‬ ‫עתה נרצה להגדיר את‬ ‫‪ T  v‬לוקטור כללי‬ ‫‪. v ∈V‬‬ ‫יהי ‪ V‬וקטור כלשהו ‪v =a1 v 1...a n v n‬‬ ‫כאשר‬ ‫‪ a 1 , ... , a n‬נקבעו ביחידות לפי הוקטור ‪.v‬‬ ‫היחידות של ‪ a 1 , ... , a n‬את האפשרות לתגור‪.‬‬ ‫{‬ ‫‪a 1 T  v 1  ⋯  an T v n‬‬ ‫║‬ ‫║‬ ‫‪a 1 w1‬‬ ‫‪ ⋯ ‬‬ ‫‪an w n‬‬ ‫≝ ‪T  v‬‬ ‫‪ T‬מוגדר היטב מכווין שהמקדמים‬ ‫‪ a 1 , ... , a n‬תלויים רק בוקטור ‪.v‬‬ ‫נותר לנו להוכיח ש‪ T-‬לינארית‪ .‬נתחיל בלהראות שהיא מכבדת חיבור‪:‬‬ ‫יהי‬ ‫‪ v , u∈V‬וקטורים כלשהם ב‪ .V-‬צ"ל‬ ‫נכתוב את‬ ‫‪ai ∈ℝ‬‬ ‫‪. T  vT w=T vw‬‬ ‫‪ v u , u , v‬כצירופים לינאריים של ‪. v 1 ,... , v n‬‬ ‫‪b i∈ℝ‬‬ ‫‪v =a1 v 1...a n v n‬‬ ‫‪u=b 1 v 1...b n v n‬‬ ‫‪v u= a1b 1 v 1...a nbn  v n‬‬ ‫עתה נבדוק‬ ‫‪T v T  w:=a1 w1 ...a n w nb 1 w1...v n w n ‬‬ ‫‪=a1 b1  w1... an b n w n‬‬ ‫‪T  vu :=a 1b 1 w1... an b n w n‬‬ ‫כלומר ‪ T‬שומרת על פעולת חיבור‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪v‬‬ ‫נוסיף עוד פס להוכחה‪:‬‬ ‫‪T  v j  ≝ 0⋅w10⋅w 2...1 w j 0⋅w j ...0⋅wn=w j‬‬ ‫‪v j = 0⋅v 10⋅v 2...1⋅v j 0⋅v v1...0⋅v n‬‬ ‫שתי הגדרות מסכימות‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ℝ‬‬ ‫‪ℝ ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1,2,3‬‬ ‫‪ ,1,2,3‬‬ ‫‪ ,1,2,3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T e3‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x 1 11‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z 3 33‬‬ ‫‪A y 2 22 y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ImT =S ° 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪Te 1‬‬ ‫‪Te 2‬‬ ‫‪     ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A 0=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A 1=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A 0=2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪A y = x 2  y 2 z 2 =  x yz  2‬‬ ‫‪ T  v i=0‬לכל ‪ .i‬כלומר ‪ w i=0‬לכל ‪ .i‬מה נקבל?‬ ‫‪T  v = a1 w1...a n wn =a1 ‬‬ ‫‪0 ...an ‬‬ ‫‪0 = ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪v =a1 v 1...a n v n‬‬ ‫כלומר נקבל את העתקת האפס‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫במרחב בו ‪ ,w=v‬נוכל לבחור למשל את ‪. w i=v i‬‬ ‫כלומר נרצה למצוא ‪ T‬כך ש‪. T  v i=v i -‬‬ ‫במרחב הזה נקבל את העתקה הזהות‪.‬‬ ‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה כללית‬ ‫) לא דווקא מ‪ ℝn -‬ל‪( ℝm -‬‬ ‫הסבר‪:‬‬ ‫יהי ‪ V, W‬מרחבים וקטורים‪ .‬מהי ‪? T :V W‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪:ℝ4 [ x ]  ‬‬ ‫‪M 3×3  R‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3,‬‬ ‫‪2,‬‬ ‫‪1, x , x x x‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 2 3‬‬ ‫‪ A = 4 5 6 = w1=w2 =...=w5‬אז נקבל ‪ T‬שמקיימת ‪T  v i= A‬‬ ‫‪7 8 9‬‬ ‫‪T  x3x 2 = T  x 3T x 2  = A3A = 4A‬‬ ‫נבנה משהו טכני שמכליל בנייה שסיימנו‪:‬‬ ‫תהי‬ ‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‪.‬‬ ‫יהי } ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס סדור ל‪,V-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫} ‪ C={w 1 , ... , w n‬בסיס סדור ל‪.W-‬‬ ‫אני רוצה למצוא מטריצה ‪ A‬שתקיים‬ ‫‪[v ] B ↦ [Tv ]C‬‬ ‫כפל ב‪A-‬‬ ‫‪A[v ]B = [ Tv ]C‬‬ ‫‪ [v ]B‬לכל ‪.v‬‬ ‫‪‬‬ ‫למטריצה כזו נקרא המטריצה המייצגת את ‪ T‬לפי הבסיסים ‪ B‬ו‪C-‬‬ ‫‪B‬‬ ‫מטריצה כזו אכן קיימת ונסמן אותה ב‪[T ]C -‬‬ ‫בניית ‪ : [T ]BC‬מבדיקה מהירה נגלה שמטריצה צריכה להיות מבסדר‬ ‫‪. m×n‬‬ ‫כלומר‪ ,‬יש לה ‪ n‬עמודות שכל אחת בגודל ‪ .m‬נגדיר את ‪ [T ]BC‬להיות המטריצה‬ ‫שעמודה ה‪ i-‬שלה היא‬ ‫‪[ ][ ] [ ] ‬‬ ‫‪ , [Tv i ]C‬כלומר‪:‬‬ ‫‪⋯ Tv n‬‬ ‫ואכן קיבלנו מטריצה‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫‪. m×n‬‬ ‫‪C‬‬ ‫יהי‬ ‫‪. ℝ3 [ x ]=V =W‬‬ ‫יהי‬ ‫} ‪ B1={1, x , x 2, x 3‬בסיס ו‪ B 2={1, 1 x , xx 2, x2x 3 } -‬בסיס‪.‬‬ ‫תהי ‪ D‬העתקה הזהות‪ .‬נמצא‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Tv 2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪Tv 1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ [ D]B‬ו‪. [ D]B -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D :ℝ‬‬ ‫‪3[ x ] ℝ‬‬ ‫] ‪3 [x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪[ D] = [ D1]B [ D x ]B [ D  x 2 ]B [ D  x 3]B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0⋅10⋅x0⋅x 20⋅x 3‬‬ ‫‪= 1⋅10⋅x0⋅x 20⋅x 3‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪= 2x‬‬ ‫‪= 3x2‬‬ ‫‪D 1‬‬ ‫‪D x ‬‬ ‫‪D  x2 ‬‬ ‫‪D  x 3‬‬ ‫‪[ D]B = [ D1] B [ D1 x ]B [ D  xx 2]B [ D x 2x 3 ]B‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫‪= 1⋅10⋅1 x 0⋅ x x 20⋅ x 2 x 3‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫‪1 −1 1‬‬ ‫‪0 2 −1‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 12x‬‬ ‫‪= 2x3x 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪D1‬‬ ‫‪D1 x‬‬ ‫‪D x x 2 ‬‬ ‫‪D  x 2x 3 ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪C‬‬ ‫] ‪[T‬‬ ‫שיעור ‪18.03.10 – 4‬‬ ‫תזכורת שוב על וקטור הקואורדינטות‪.‬‬ ‫‪ V‬מ"ו‬ ‫} ‪ B={v 1 ,... v n‬בסיס ל‪.V-‬‬ ‫אפשר לחשוב על וקטור הקואורדינטות כהעתקה‬ ‫‪, V ℝn‬‬ ‫‪ , V ⟼[V ] B‬וזו העתקה לינארית‪.‬‬ ‫‪[v ]B[w] B =[ v w ]B : v , w∈V‬‬ ‫מה זה אומר? לכל‬ ‫לכל‬ ‫‪, ∈ℝ‬‬ ‫‪: v ∈V‬‬ ‫כדאי לזכור‪ :‬לכל‬ ‫‪, i ∈ℝ‬‬ ‫‪: v i ∈V‬‬ ‫‪[v ] B=[ v ]B‬‬ ‫‪1 [v 1 ]B...n [v n ] B=[1 v 1...1 v 1 ]B‬‬ ‫על ייצוג העתקה )כללית( העזרת מטריצות‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫תהי‬ ‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‬ ‫} ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪,V-‬‬ ‫} ‪ C={w 1 , ... , w n‬בסיס ל‪W-‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫אז קיימת מטריצה שמסומנת ב‪ [T ]C -‬המקיימת ‪[Tv ]C =[T ]C [V ] B‬‬ ‫יתר על כן‪,‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫יהי‬ ‫‪B‬‬ ‫] ‪* [T ]C =[ [Tv1 ]C [Tv 2 ]C ⋯[Tv n ]C‬‬ ‫‪ v ∈V‬כלשהי‪ .‬נכתוב את ‪ V‬לפי הבסיס ‪:B‬‬ ‫‪ v =a1 v 1...a n v n‬עבור ‪1 , ... , n ∈ℝ‬‬ ‫כלומר‬ ‫][‬ ‫‪a‬‬ ‫⋮ =‪[V ]B‬‬ ‫‪an‬‬ ‫כמובן שנגדיר את‬ ‫‪ [T ]BC‬להיות כמו ב‪.*-‬‬ ‫מהגדרת כפל מטריצת‬ ‫][‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪[T ]BC [V ]B = [[Tv1 ]C ⋯[Tv n ]C [ ⋯ = a 1 [Tv 1 ]C ...a n [Tv n ]C‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪= [T a1 v 1...a n v n ]C = [Tv ] C‬‬ ‫שימו לב של‪ [T ]BC -‬יש ‪ n‬עמודות ) ‪ ( n=dimV‬ויש לה ‪ m‬שורות ) ‪.( m=dimW‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫באותם תנאים וסימונים של המשפט הקודם‪:‬‬ ‫אם מטריצה ‪ A‬מסדר‬ ‫‪ n×m‬מקיימת‬ ‫‪ A[v ] B =[Tv ]C‬אז ‪. A=[T ]CB‬‬ ‫זה בדיוק אומר שיש יחידות במשפט הקודם‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫= ‪= A[V 1 ] B‬‬ ‫אז ‪ [Tv 1 ]C‬‬ ‫מכיוון ש‪ A-‬מקיימת את‬ ‫= ‪Ai e i= A[V i ] B‬‬ ‫באופן דומה ‪ [Tvi ]C‬‬ ‫מסקנה‪:‬‬ ‫תהיינה‬ ‫‪, T :V W‬‬ ‫=‬ ‫עמודה‪A‬ה‪[ i-‬‬ ‫] של‬ ‫][‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫‪= A‬‬ ‫]‬ ‫עמודה ‪1‬‬ ‫של ‪A‬‬ ‫[‬ ‫‪B‬‬ ‫כלומר ‪A=[T ]C‬‬ ‫‪S :W U‬‬ ‫‪ B‬בסיס ל‪ C ,V-‬בסיס ל‪ D ,W-‬בסיס ל‪.U-‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪[S °T ]D =[ S ] D [T ]C‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫נראה ששני הצדדים מקיימים שאם ניתן להם לפעול על ‪[V ]B‬‬ ‫הם יחזירו את ‪. S [T  v] D‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪[S °T  v] D =[S °T ] D [v ] B‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫מהגדרת‬ ‫ומצד שני‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ [S °T ]D‬היא מקיימת ‪[S °T  v] D=[S °T ]D [V ]B‬‬ ‫‪[S ]CD [T‬‬ ‫‪]CB [V ]B = [ S ]CD [Tv ]C = [S Tv] D = [S °T v ]D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[Tv ]C‬‬ ‫ראינו שישנה מטריצה יחידה המקיימת תנאי זה‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ולכן ‪[S °T ]D =[ S ] D [T ]C‬‬ ‫•‬ ‫‪[T ]C [V ] B =[Tv ]C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫•‬ ‫‪[Tv ]C =A[V ] B ⇒ A=[T ]BC‬‬ ‫•‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ⇐[S ]D [T ]C ,[S °T ] D‬יש שוויון בינהן‬ ‫‪7‬‬ ‫העתקת הזהות ממרחב וקטורי ‪ V‬לעצמו‬ ‫} ‪ B={v 1 ... v n‬בסיס שלו‪ .‬אז‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫יהי ‪ V‬מ"ו‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫העמודה הראשונה הוא‬ ‫][‬ ‫‪=e1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋯‬ ‫‪0‬‬ ‫][‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋯‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪[ I ]BB‬‬ ‫=‪[ I  v i] B=[v 1 ]B‬‬ ‫‪v 1=a1 v 1...an v n‬‬ ‫העמודה ה‪:j-‬‬ ‫לכן‬ ‫‪I‬‬ ‫][‬ ‫] [‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪=e j‬‬ ‫⋯‬ ‫‪0 c‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫= ‪[ I  v j ] = [v j ]B‬‬ ‫= ‪[ I ]BB e i ⋯ en‬‬ ‫מטריצת‬ ‫היחידה‬ ‫מטריצות מעבר ודומיין מטריצות‬ ‫בדוגמת הגזירה שראינו בשיעור הקודם ובדוגמאות שנראת ‪ /‬ראינו בתרגול‪,‬‬ ‫ראינו שמטריצת הייצוג תלויה מאוד באיזה בסיסים בחרנו ע"מ לייצג אותו‪.‬‬ ‫עתה נדבר רק על העתקות ממרחב וקטורי לעצמו‪ .‬העתקות אלו נקראות אנדומורפיזים‪.‬‬ ‫למשל בהעתקת הגזירה‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪[ D] E‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪ℝ3 [ x ] ‬‬ ‫] ‪ ℝ3 [ x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪[ D ] E‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫אלו מטריצות שונות‪ .‬מה הקשר בינהן?‬ ‫נשים לב שאם‬ ‫‪, T :V V‬‬ ‫‪I :V V‬‬ ‫‪T=I°T‬‬ ‫‪T =T ° I‬‬ ‫‪8‬‬ .(‫ )כלשהם‬V ‫ בסיסים של‬C-‫ ו‬B ‫ והיו‬T :V V ‫ מ"ו ותהי‬V ‫יהי‬ C B B :‫טענה‬ C [T ]C = [ I ]C [T ]B [ I ]B ‫נשתמש במה שלמדנו על ייצוג הרכבת העתקות‬ B B C B C C :‫הוכחה‬ C [ I ]C [T ]B [ I ] B = [ I °T ]C [ I ]B = [ I °T ° I ]C = [T ]C .‫ל‬.‫ש‬.‫מ‬ . [Tv ]C ‫[ הם נותנים‬V ]C ‫ פשוט מראים שכאשר שני הדצצים פועלים על‬:‫תרגיל‬ :2 ‫הוכחה‬ T  x , y=5x y , x5y  , T :ℝ2  ℝ2 ‫ תראו שאם‬/ ‫ראיתם‬ :‫דוגמה‬   E 5 1 ( E={1, e  ,0,1} ) [T ]E = 1 5   [T ]BB = 6 0 0 4 ‫אז‬ ‫{ אז‬1,1 ,1,−1} ‫ הבסיס‬B ‫ואם‬ :‫מה שנעשה אחרי פסח‬ (4)           5 1 1 = 5 = [Te ] 1 E 1 5 0 1 6 0 1 = 6 = [Tv] B 0 4 0 0   = [T ] 5 1 1 5 E E   = [ I ]BE [T ] BB [ I ] EB = [ I ]BE 6 0 0 [ I ]EB = [[ I e 1]B [ I e 2 ]B ] = [[1,0]B [0,1]B ] 4 ‫נמצא מיהם‬ 1,0= a 1,1 b 1,−1=ab , a−b ab=1 a−b=0 2a=1 a= 12 b= 12 0,1=ab , a−b ab=0 a−b=1 2a =1 a= 12 b=− 12 9 ‫‪‬‬ ‫נמצא את‬ ‫בדיקה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪[ I ]E = [[ I 1,1] E [1,−1] E ] =  [1,1]E [1,−1]E  = 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 1 =1 0‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫= ] ‪I =[I ] =[ I ] [ I‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪5 1 = 1 1 6 0 2 2 = 1 1 ⋅3 3 = 5 1‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫‪1 −1 0 4 1 − 1‬‬ ‫‪1 −1 2 −2‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫למטריצה ‪ [ I ]CB‬כאשר ‪ B‬ו‪ C-‬בסיסים‬ ‫נקרא מטריצות מהעבר מהבסיס ‪ B‬לבסיס ‪.C‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫מכווין שאנו מתרכזים כרגע בהעתקות ממרחב וקטורי לעצמו‪,‬‬ ‫סימון‬ ‫מקובל להשתמש בסימון‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫הערה‪:‬‬ ‫= ‪[T ]B‬‬ ‫‪ [T ]BB‬‬ ‫יהי ‪ V‬מ"ו ‪ B‬ו‪ C-‬בסיסים אז‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ [ I ]C‬הפיכה ומתקיים ש‪= [ I ]B -‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ [ I ]CB ‬‬ ‫‪[ I ]CB⋅[ I ]CB =[ I ]CC =I‬‬ ‫‪ T :T V‬אז ‪ [T ]BC‬מטריצה ריבועית‪.‬‬ ‫שימו לב שאם‬ ‫ראינו שיש קשר הדוק בין ‪ [T ]BB‬ל‪ [T ]CC -‬והוא נתון ע"י מטריצות המעבר‪.‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪[T ]C =[ I ]C [T ]B [ I ]B‬‬ ‫* אז רואים שיש קשר הדוק בין ‪ [T ]BB‬ל‪ [T ]CC -‬ונרצה לתת לו שם‪.‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫מטריצות ריבועיות ‪ A‬ו‪ B-‬נקראות דומות )‪(Similar‬‬ ‫אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך ש‪B=P−1 A P -‬‬ ‫ראינו ש‪ [T ]BB -‬ו‪ [T ]CC -‬דומות‪.‬‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫היחס "דומות" הוא יחס שקילות על מטריצות‪.‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫‪ A‬דומה לעצמה‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪A= A A I‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ A‬דומה ל‪ B-‬אז ‪ B‬דומה ל‪P B P A ⇔ B= P A P :A-‬‬ ‫אם‬ ‫‪, B=P−1 A P‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪C=Q B Q‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪C=Q −1 P‬‬ ‫אז ‪A P Q= PQ −1 A P Q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪10‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪T  x , y=5x y , x5y ‬‬ ‫}‪B={1,1 ,1,−1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪[T ] =‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪[T ] =‬‬ ‫‪‬‬ ‫}‪A={1,1 , 0,1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪det=24 tr=10 [T ]E = 1 5‬‬ ‫‪6 0‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪6 1‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪det=24 tr =10‬‬ ‫‪det=24 tr=10‬‬ ‫‪[T‬‬ ‫‪1,1]A=6,6=6 4,10⋅0,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6,0‬‬ ‫‪[T‬‬ ‫‪0,1] A =1,5=11,14⋅0,1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1,4‬‬ ‫טענה ‪:1‬‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫למטריצת דומות יש אותה דטרמינטה‪.‬‬ ‫יהיו‬ ‫‪ B=P A P−1‬כאשר ‪ P‬הפיכה‪.‬‬ ‫‪∣P∣ = ∣P A P−1∣ = ∣P∣∣A∣∣‬‬ ‫∣‪P−1∣ = ∣P∣∣P∣−1⋅∣A∣=∣A‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫טענה ‪:2‬‬ ‫טענת עזר‪:‬‬ ‫“הוכחה"‪:‬‬ ‫‪∣P∣‬‬ ‫למטריצות דומות יש אותה עקבה = ‪.trace‬‬ ‫‪tr  AB=tr  BA‬‬ ‫נובע מנוסחה לכל מטריצות‪) ....‬נסו שוב(‪.‬‬ ‫הוכחת טענה‪ :‬יהיו‬ ‫‪ B=P A P−1‬כאשר ‪ P‬הפיכה‪.‬‬ ‫‪tr  ‬‬ ‫‪P A P  = tr  P PA = tr  A‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫טענה ‪:3‬‬ ‫טענת עזר‪:‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫למטריצות דומות יש אותה דרגה ואותה אפיסות ) אפיסות =‬ ‫אם ‪ P‬מטריצה הפיכה אז‬ ‫‪( dimNull  A‬‬ ‫‪rank  PB=rank  B=rank  BP ‬‬ ‫הוכחת ט"ע‪ :‬ראינו‪ .‬נראה שוב אחרי פסח‪.‬‬ ‫הוכחת ט' ‪:3‬‬ ‫‪, B=P A P−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪rank  B =rank  P A P =rank  AP =rank  A‬‬ ‫ומשפט המימד יש לה אותו אפסיות‪.‬‬ ‫סיכום‪:‬‬ ‫יהיו ‪ A, B‬מטריצות דומות‪.‬‬ ‫אז‬ ‫∣‪∣A∣=∣B‬‬ ‫‪tr  A=tr  B‬‬ ‫‪rank  A=rank  B‬‬ ‫‪dimnul  A=dimnul B‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪              ‬‬ ‫‪5 1‬‬ ‫‪1 5‬‬ ‫נדבר שוב על ‪: T  x , y=5x y , x5y ‬‬ ‫‪a 0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪0 b 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a 0 0 =b 0‬‬ ‫‪0 b 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪[T ]EE‬‬ ‫‪a 0 x =a ax‬‬ ‫‪0 b y‬‬ ‫‪by‬‬ ‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‬ ‫)הקדמה לאחרי פסח(‬ ‫∣‪‬‬ ‫‪=  x−52−1 = 0‬‬ ‫‪x−5 −1‬‬ ‫‪−1 x−5‬‬ ‫‪∣‬‬ ‫‪ . x=6,4‬מחפש י"ע עבור הע"ע ‪:6‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 −1 x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫=‬ ‫‪−1 1 y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪4−5 −1 x = 0 =  x−52−1 = 0‬‬ ‫‪−1 4−5 y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1 −1 x = 0 =  x−52−1 = 0‬‬ ‫‪−1 −1 y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מצאנו בסיס של‬ ‫נקר אלו‬ ‫‪ ℝ2‬המורכב מוקטורים עצמיים ביחס לפעולות ‪!!T‬‬ ‫}‪ B={1,1 , 1,−1‬ונקבל‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪6 0‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫=‪ e‬אלכסונית ‪[T ]BB =‬‬ ‫‪¿ B [T 1,−1]B‬‬ ‫‪[¿ ]= 6 0‬‬ ‫‪0 4‬‬ ‫‪B‬‬ ‫¿=‪[T ] B‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪61,1= 6 1,1 0 1,−1‬‬ ‫‪T 1,−1=4,−4=01,14 1,−1‬‬ ‫אחרי פסח‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫נלכסן מטריצות‬ ‫לדבר על‬ ‫‪ ℝn‬באופן גאומטרי‪ :‬מיתקיים‪ ,‬זוויות‪ ,‬וכו"‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫שיעור ‪) 08.04.10 – 5‬אחרי פסח(‬ ‫נושאי הקורס‬ ‫‪ .1‬העתקות לינאריות‬ ‫‪ .2‬ערכים עצמיים ולכסון מטריצות‬ ‫‪ .3‬היבט הגאומטריים האלגברה הלינארית המרחב האויקלידי ה‪ n-‬מימד‪.‬‬ ‫סיכום קצרה על העתקות לינאריות‬ ‫‪ V,W‬מ"ו‪ . T :V W .‬לינארית אם‪:‬‬ ‫•‬ ‫‪ T  vw =TvTw‬לכל‬ ‫•‬ ‫‪ T  v = T v ‬לכל‬ ‫‪v , w∈V‬‬ ‫‪v ∈V ,∈ℝ‬‬ ‫ועוד‬ ‫‪T  0 =‬‬ ‫* ‪0‬‬ ‫*‬ ‫‪ImT ={Tv ∣ v ∈V }, KerT ={v ∣ Tv=‬‬ ‫}‪0‬‬ ‫משפט המימד‪:‬‬ ‫‪dimV =dimKerT dimImT‬‬ ‫‪ .1‬למדנו שמטריצה ‪ A∈ M m×n ℝ‬משרה העתקה לינארית שסומנו ב‪-‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪T A v = Av‬‬ ‫‪ .3‬למדנו ש‪, kerT A=nul  A -‬‬ ‫‪ImT A=col  A‬‬ ‫‪ T =T A‬כאשר‬ ‫‪ .4‬למדנו שאם ‪ T : ℝn ℝm‬לינארית אז‬ ‫‪ .5‬למדנו שאם‬ ‫‪ .6‬למדנו שאם‬ ‫‪ T :V  W‬חח"ע ועל אז הוא נקראת איזומורפיזם‪.‬‬ ‫‪ T :V V‬אז ‪ T‬חח"ע ⇔‬ ‫‪ .7‬ייצוג העתקות כללית‪:‬‬ ‫‪kerT ={‬‬ ‫}‪0‬‬ ‫‪T :T  W‬‬ ‫‪ B .8‬בסיס ל‪ V, C-‬בסיס ל‪ .W-‬הגדרנו‬ ‫וראינו ש‬ ‫‪‬‬ ‫] ‪[T ]BC =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C‬‬ ‫‪. [Tv ]C =[T ]BC [V ] B‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪A= Te 1⋯ Te n‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪n‬‬ ‫‪T A: ℝ ℝ‬‬ ‫ואם בנוסף‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ D , S :W  V‬בסיס ל‪ V-‬אז‬ ‫‪ .9‬קראנו למטריצה‬ ‫‪) [ I ]CB‬כאשר‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪[S °T ]D =[ S ]D [T ]C‬‬ ‫‪ I :V V‬העתקת הזהות‪ ,‬ו‪ B-‬ו‪ C-‬בסיסים של ‪.(V‬‬ ‫מטריצת מעבר מ‪ B-‬ל‪:C-‬‬ ‫‪ .1‬הראנו ש‪ → I =[I ]CB -‬מטריצת הזהות‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫והראנו ש‪I =[I ]B [ I ]C =[ I ] B -‬‬ ‫דימיון מטריצות‬ ‫‪ .1‬נאמר ש‪ A-‬דומה ל‪ V-‬אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ D‬כך ש‪A P -‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪B=P‬‬ ‫‪ .2‬למדנו שיחס הדמיון הוא יחס שקילות‪.‬‬ ‫‪ .3‬משפט‪ :‬יהיו ‪ A,B‬מטריצות דומות אז‪:‬‬ ‫‪, tr  A=tr  B‬‬ ‫∣‪, ∣A∣=∣B‬‬ ‫‪, rank  A=rank  B‬‬ ‫‪dimNul  A=dimNul  B‬‬ ‫יהיו עוד דברים‪.‬‬ ‫‪ .4‬נאמר ש‪ A-‬לכסינה )או ניתנת ללכסון – ‪(diagonalizable‬‬ ‫אם ‪ A‬דומה למטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫במילים אחרות‪ A ,‬לכסינה אם קיימת ‪ P‬הפיכה כך ש‬ ‫‪ .5‬תזכורת‪ :‬מטריצה אלכסונית מהצורה‬ ‫‪‬‬ ‫‪a1 0 0 0‬‬ ‫‪0 a2 0 0‬‬ ‫‪0 0 ⋱ 0‬‬ ‫‪0 0 0 an‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P−1 A P‬מטריצה אלכסונית‪.‬‬ ‫= ‪diag a 1 , ... , a n ‬‬ ‫‪ .6‬ברור שמטריצה אלכסונית היא לכסינה )כי היא דומה לעצמה(‪.‬‬ ‫לעומת זאת‪ ,‬מטריצה לכסינית הם לא בהכרח אלסונית‪.‬‬ ‫‪ .7‬לא כל מטריצה היא לכסינה‪ ,‬לדוגמה‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫לא לכסינה – נראה בהמשך‪.‬‬ ‫מה הדוגמה העיקרית למטריצות דומות‪:‬‬ ‫תהי‬ ‫‪) T :V V‬בשלב זה אנחנו מתרכזים בעתקות מאותו מרחב לעצמו(‪.‬‬ ‫והיו ‪ B‬ו‪ C-‬בסיסים ל‪.V-‬‬ ‫סימון‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪[T ]B :=[T ]B‬‬ ‫‪14‬‬ ‫הדוגמה היא‬ ‫‪ [T ]B‬דומה ל‪ . [T ]C -‬מדוע?‬ ‫‪C‬‬ ‫רוצים ‪<= P−1 [T ]B P=[T ]C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪[ I ]C [T ]B [ I ] B =[T ]C‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ P=[ I ]B‬נקבל ש‪P [T ]B P=[T ]C -‬‬ ‫כלומר אם נגדיר‬ ‫מטרית חלק ‪) 2‬של נושאי הקורס( היא ללמוד ללכסן מטריצות‪.‬‬ ‫•‬ ‫להבין מתי אפשר ומתי אי אפשר‪.‬‬ ‫•‬ ‫איך ללכסן אם אפשר‪.‬‬ ‫•‬ ‫למה זה טוב‪.‬‬ ‫נאמר שאפשר ללכסן את ‪ A‬אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך ש‪ P−1 A P -‬אלכסונית‪.‬‬ ‫למטריצה ‪ P‬נקרא מטריצה המלכסנת של ‪.A‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה לכסינה ותהי ‪ P‬מטריתה המלכסנת אותה‪.‬‬ ‫למשל‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫המשך‪:‬‬ ‫מצאו את‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נסמן ‪=D‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A= 1 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪ P‬אז‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−  5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪A P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪. A1000‬‬ ‫‪‬‬ ‫ואז‬ ‫‪1−  5‬‬ ‫‪1  5‬‬ ‫‪1  5‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋱‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a1 0‬‬ ‫‪0 a2‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪P−1 A P=diag a1 ,... , an ‬‬ ‫ולכן *=‪An = P D P−1n‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪P D P = A <= D=P A P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪*= P D P  P D P  ... P D P =P D P‬‬ ‫למשל במקרה שלנו‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  5 k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1−  5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪P‬‬ ‫=‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫תרגיל‪ :‬מצאו נוסחה לסדרת פיבונצ'י מהנתונים לעיל‪.‬‬ ‫מה זה וקטור‬ ‫‪ v ∈V‬שיעביר מתקיים‬ ‫‪15‬‬ ‫המקום ה‪ i-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋮‬ ‫‪a‬‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪[v ] B=a ei‬‬ ‫‪v = 0v10v 2...avi 0v i1...0v 4 = av i‬‬ ‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬ ‫תהי‬ ‫‪. T :V V‬‬ ‫נאמר שוקטור‬ ‫≠‪0‬‬ ‫‪ v ∈V‬‬ ‫הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי‬ ‫*‬ ‫‪ a∈R‬אם‬ ‫‪Tv=av‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נאמר ש‪ a∈ℝ -‬ערך עצמי של ‪ T‬אם קיים ‪ v ≠0‬שהוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.a‬‬ ‫‪ T : V  V‬העתקת האפס‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫אז כל וקטור‬ ‫למה?‬ ‫תהי‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫≠‪ 0‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪.0‬‬ ‫‪0=Tv=0v‬‬ ‫‪ T =T A‬כאשר‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נבדוק‪:‬‬ ‫משפט‪:‬‬ ‫‪= 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= A‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 −1‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪−1 4 4‬‬ ‫‪ A= 2‬אז הוקטור‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪TA‬‬ ‫תהי ‪ T :V V‬לינארית‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫הוא ו"ע עם ע"ע ‪.6‬‬ ‫ערכים עצמיים‬ ‫אם קיים בסיס ‪ B‬ל‪ V-‬המורכב מוקטורים עצמיים של ‪v 1 ,... , v n T‬‬ ‫אז מטריצת הייצוג של ‪ T‬ביחס לבסיס ‪ B‬הוא אלכסונית ואם נסמן‬ ‫‪ [T ]B =diag  a1 , ... , a n ‬אז ‪ a i‬הוא הערך עצמי המתאים לוקטור ‪. v i‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫אם‬ ‫אז‬ ‫הוכחה‪:‬‬ ‫} ‪ C={w 1 , ... , w n‬בסיס של ‪ V‬כך ש‪[T ]C =diag b1 ,... , bn  -‬‬ ‫‪ w i‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪. b i‬‬ ‫נתחיל ב‪ (1)-‬אז ‪ B‬הוא בסיס של וקטורים עצמיים‬ ‫‪ v 1 ,... , v n‬עם ערכים עצמייים‬ ‫‪ a 1 , ... , a n‬בהתאמה‪ .‬כלומר‪ ,‬מתקיים ש‪ v 1 ,... , v n -‬בסיס ל‪V-‬‬ ‫ו‪, T  v 1=a1 v 1 -‬‬ ‫נבדוק מהי‬ ‫‪, … , T  v 2=a2 v 2‬‬ ‫‪: [T ]B‬‬ ‫] [] [‬ ‫‪. T  v n a n v n‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪[T ]B = Tv1 . .. Tv n‬‬ ‫⋮‬ ‫⋮‬ ‫‪16‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪T v 1=a2 v 1‬‬ ‫‪ = a1 v 1  ... n v n‬‬ ‫?‬ ‫‪=a1 e 1‬‬ ‫][‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫=] ‪[T v1‬‬ ‫באופן דומה‬ ‫][‬ ‫‪0‬‬ ‫‪[T v1 ]B= ⋮ =a i e i‬‬ ‫‪ai‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בסה"כ מקבלים‬ ‫‪=diag a1 , ... , a n ‬‬ ‫]‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪⋱ 0‬‬ ‫‪0 an‬‬ ‫‪a1 0‬‬ ‫‪0 a2‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫[‬ ‫= ‪[T ]B‬‬ ‫סיימנו את )‪:(2) .(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫נבדוק איך ‪ T‬פועלת על ‪ . w i‬ידוע לי ש‪=b i ei -‬‬ ‫‪0‬‬ ‫⋮‬ ‫‪bi‬‬ ‫⋮‬ ‫‪0‬‬ ‫=העמודה ה‪ i-‬של ‪[Tw 1]C =[T ]C‬‬ ‫ומהגדרת וקטור קואו' )מהתרגילון( מקבלים ‪. Tw i =bi wi‬‬ ‫כלומר‪ w i ,‬היא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ע"ע‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪. bi‬‬ ‫נאמר ש‪ T :V  V -‬נתנת ללכסון אם קיים בסיס ‪ B‬כך ש‪ [T ]B -‬אלכסונית‪.‬‬ ‫בעצם ראינו ש‪ T-‬ניתנת ללכסון אם"ם קיים בסיס ל‪ V-‬שמורכב מוקטורים עצמיים‬ ‫של ‪.T‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה‬ ‫‪ . n×n‬נרצה ללכסן את ‪) A‬ז"א למצוא‬ ‫‪ P−1 A P‬אלכסונית(‪.‬‬ ‫נתבונן בהעתקה ‪. T A : ℝn ℝ n‬‬ ‫נשים לב ש‪ [T A]E = A -‬כאשר ‪ E‬הבסיס הסטנדרטי‪.‬‬ ‫נשים לב שאם נצליח ללכסן את ‪, T A‬‬ ‫כלומר נמצא בסיס ‪ B‬של ‪ℝn‬‬ ‫כך ש‪ T A -‬אלכסונית‪.‬‬ ‫נקבל ש‪ [T A]B =[ I ]EB [T A ] EE [I ] BE -‬אלסכונית‬ ‫= ‪ P−1 A P‬כאשר ‪. P=[ I ]BE‬‬ ‫כלומר‪ ,‬ללכסן את ‪ A‬זה כמו ללכסן את ‪. T A‬‬ ‫לכן מהמשפט שהראנו כדי ללכסן את ‪ A‬עלינו למצוא בסיס של וקטורים עצמיים‬ ‫של ‪. T A‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪. n×n‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ v ≠0‬וקרא וקטור עצמי של ‪ A‬עם ערך עצמי‬ ‫בהינתן מטריצה ‪ A‬ריבועית‬ ‫לסיכום‪:‬‬ ‫צריך למצוא בסיס של‬ ‫‪ a∈ℝ‬אם ‪. Av=av‬‬ ‫‪ , n×n‬ע"מ ללכסון אותה‬ ‫‪ ℝn‬שמורכב מוקטורים עצמיים של ‪.A‬‬ ‫מציאת ערכים עצמיים וקטורים עצמיים של מטריצות‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ . n×n‬איך נמצא מיהם הערכים העצמיים של ‪?A‬‬ ‫אנחנו מחפשים‬ ‫נעביר אגף‪:‬‬ ‫‪ x ∈ℝ‬כך שקיים‬ ‫‪ v ≠0‬המקיים ‪. Av= xv‬‬ ‫‪ xI − Av=0‬‬ ‫‪0=xv− Av = xIv− Av =  xI − A v‬‬ ‫זה קורה אם ורק אם‪:‬‬ ‫‪ v .1‬הוא פתרון לא טריביאלית למערכת המשוואות ההומוגנית ש‪ xI − A -‬מייצגת‪.‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫∣‪0=∣xI− A‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪v ∈nul  xI − A‬‬ ‫לסיכום‪:‬‬ ‫הערכים העצמיים של ‪ A‬הם כל ה‪ x ∈ℝ -‬המקיימים ‪. ∣xI− A∣=0‬‬ ‫למטריצת ‪ xI − A‬קוראים המטריצה האופיינית של ‪ A‬ולפולינום‬ ‫קוראים הפולינום האופייני של ‪.A‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫∣‪∣xI − A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A= −7 8‬‬ ‫‪−6 7‬‬ ‫המטריצה האופיינות של ‪ A‬הוא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪xI − A= x 0 −A= x7 −8‬‬ ‫‪x−7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הפולינום האופייני של ‪:A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= x 0x−1‬‬ ‫∣‬ ‫‪−8 = x7 x 748=x 2−4948= x 2−1‬‬ ‫‪x−7‬‬ ‫∣‬ ‫‪x7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שימו לב שזה פולימום מתוקן‪ ,‬כלומר המקדם העליון שלו הוא ‪.1‬‬ ‫שימו לב שהמקדם האחרון החופשי הוא ∣‪. ∣A∣=−12∣A‬‬ ‫והמקדם של ‪ x‬הוא ‪. −trA‬‬ ‫מיהם הערכים העצמיים של ‪?A‬‬ ‫אלו כל ה‪ x ∈ℝ -‬כך ש‪ ∣xI − A∣=x 2−1=0 -‬כלומר ‪. x=±1‬‬ ‫לפי מה שראינו‪ ,‬לכל ערך עצמי שמצאנו נוכל למצוא לפחות וקטור עצמי אחד‪.‬‬ ‫אז נעשה זאת‪:‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪. 1I−A v=‬‬ ‫ראינו שעבור ‪ ,x=1‬קיים וקטור ‪ v ≠0‬כך ש‪0 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8 −8‬‬ ‫‪6 −6‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 17 −8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1−7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ v 1= 1‬פתרון המשוואות‪.‬‬ ‫קל לראות‪/‬מדרגים ש‪-‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ v 1= 1‬הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.1‬‬ ‫נבדוק‪Av 1=1 v 1 :‬‬ ‫‪  =  =1  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−7 8 1‬‬ ‫‪−6 7 1‬‬ ‫שימו לב שגם‬ ‫‪, a , a‬‬ ‫‪, 2,2‬‬ ‫‪ a≠0‬וקטורים עצמיים‪.‬‬ ‫נמצא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.x=1‬‬ ‫‪‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 −8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−6 7‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  =  ‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1I− A= 6 −8‬‬ ‫‪6 −8‬‬ ‫‪6 −8‬‬ ‫‪‬‬ ‫כלומר‬ ‫‪  =   = −1  ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪A= −7 8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪ v 2‬וקטור עצמי עם ע"ע ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−7 8 4‬‬ ‫‪−6 7 3‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫קיבלנו ש‪ B={v 1, v 2 } -‬הם בסיס המורכב מו"ע של ‪ A‬אז אפשר ללכסן את ‪!!A‬‬ ‫‪ = P AP‬‬ ‫‪P = [T ] = [ [ v ] [v ] ] = ‬‬ ‫מיזו ‪ ?P‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⋅‬‬ ‫‪  = ad −bc‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪P‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪3−4 ‬‬ ‫ולכן יתקיים ‪  =    ‬‬ ‫או ‪  =    ‬‬ ‫‪  =  ‬‬ ‫למשל ‪ ‬‬ ‫‪ A=‬להסיק נוסחה לאיבר הכללי של‬ ‫לעשות אותו דבר שעשינו עבור ‪‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪[ I ]B [T A ]E [ I ]E = [T A ] B = 1‬‬ ‫‪1 4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2 E‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪d −b‬‬ ‫‪−c a‬‬ ‫‪−3 4‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪1 E‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫‪3 −4‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−3 4 −7 8 1 4‬‬ ‫‪1 −1 −6 7 1 3‬‬ ‫‪1 4 1 0 −3 4‬‬ ‫‪1 3 0 −1 1 −1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−3 4‬‬ ‫‪−1431 1 −1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫‪−7 8‬‬ ‫‪−6 −7‬‬ ‫‪431‬‬ ‫‪1 4 1‬‬ ‫‪1 3 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫נוסחת פיבונצ'י‪.‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪431‬‬ ‫‪−7 8‬‬ ‫‪−6 −7‬‬ (: ‫להתעלם מדף הזה‬ ↦ [ 1 −1 2 3 A = 2 −2 3 5 1 −1 0 1 ] −2R 1 R 2  R 2  −1R 1 R 3  R 3 20 [ 1 −1 2 3 0 0 −1 −1 0 0 −2 −2 ] −2R 2 R3  R 3  [ 1 −1 2 3 0 0 −1 −1 0 0 0 0 ] ‫‪Quick Reference‬‬ ‫ערכים עצמיים‬ ‫ע"ע הופך מטריצה רגולרי לסינגולרי )אפשר לבדוק ככה(‬ ‫במטריצה ‪ nxn‬יהיו בד"כ ‪ n‬ערכים עצמיים‪ ,‬שהסכוםם =‪ ,tr‬והכפלתם = ‪det‬‬ ‫במטריצה מאונכת יהיו ‪ 2‬ע"ע מורכבים‪ .‬במשולשית אולי ו"ע יחיד‪.‬‬ ‫במטריצה ‪:2x2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪det  A− I = −tr  A⋅det  A‬‬ ‫אם מוסיפים ‪  I‬למטריצה‪ ,‬ע"ע נשאר יגדל ב ‪ I‬‬ ‫העתקה לינארית‬ ‫בהינתן בסיס קלט‬ ‫‪ v 1 ... v n‬ובסיס פלט ‪w 1 ... w n‬‬ ‫למצוא את ‪:A‬‬ ‫עמוד ‪:1‬‬ ‫‪T  v=a‬‬ ‫‪m , 1 wm‬‬ ‫‪1,1 w 1a2,1 w 2...a‬‬ ‫‪21‬‬ ‫וו"ע נשאר אותו דבר‪.‬‬ ‫אינדקס‬ ‫ג‬ ‫גרעין‪6....................................................‬‬ ‫ד‬ ‫דומות‪10.................................................‬‬ ‫ה‬ ‫העתקה לינארית‪2.....................................‬‬ ‫העתקות לינארית‪1....................................‬‬ ‫העתקת האפס‪5........................................‬‬ ‫ו‬ ‫וקטור עצמי‪16..........................................‬‬ ‫ט‬ ‫טרנספורמציות לינארית‪1...........................‬‬ ‫מ‬ ‫מלכסנת‪15..............................................‬‬ ‫ע‬ ‫ערך עצמי‪16............................................‬‬ ‫פ‬ ‫פונקציה‪..................................................‬‬ ‫הולכות‪2..............................................‬‬ ‫העתקה לינארית ‪2.................................‬‬ ‫ת‬ ‫תמונה‪6...................................................‬‬ ‫תמונה של צירוף לינארי‪4...........................‬‬ ‫‪22‬‬