‫מופשטת ‪ 2‬תשע"ד‪ -‬תרגיל ‪13‬‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫נניח שהמרחב הוקטורי 𝑉 כמודול מעל ]𝑥[‪ ℂ‬הוא סכום ישר של מודולים צקלים שהמאפסים שלהם‬ ‫הם‪ .(𝑥 + 1)2 , (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)2 , (𝑥 4 − 1) :‬קבע מהם הגורמים האינווריאנטים ומיהם המחלקים‬ ‫הראשוניים‪.‬‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫( = 𝐴‪ .‬חשב את צורת ג'ורדן והצורה הרציונלית קנונית שלה מעל ‪.ℚ‬‬ ‫יהי )‬ ‫‪−2 −2 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2 0 −1 −2‬‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫הוכח כי המטריצות הבאות הן צמודות‪:‬‬ ‫‪0 −4 −7‬‬ ‫‪−8 15 −13‬‬ ‫)‬ ‫‪−4 7‬‬ ‫‪−7‬‬ ‫‪2 −5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−4 −1 −4 0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(=𝐴‬ ‫( = 𝐵‪),‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−2 4‬‬ ‫‪9 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫קבע את כל צורות ג'ורדן של מטריצות עם פולינום אופייני ‪.(𝑥 − 2)3 (𝑥 − 3)2‬‬ ‫תרגיל ‪5‬‬ ‫הראה שאם 𝐴 = ‪ 𝐴2‬אז 𝐴 צמודה למטריצה אלכסונית אם ‪0‬ים ו‪1‬ים על האלכסון‪.‬‬ ‫תרגיל ‪6‬‬ ‫‪𝑛>1‬‬ ‫א‪ .‬קבע את צורות ג'ורדן של מטריצות מגודל 𝑛 × 𝑛 מעל ‪ ℚ‬שכל הערכים בהן הוא ‪.1‬‬ ‫ב‪ .‬קבע את צורות ג'ורדן של מטריצות מגודל 𝑛 × 𝑛 מעל 𝑝‪ ℤ‬שכל הערכים בהן הוא ‪.1‬‬ ‫פתרונות‬ ‫תרגיל ‪1‬‬ ‫]𝑥[𝐹‬ ‫‪𝐹[𝑥]⁄‬‬ ‫⊕ > ‪⁄< (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)2‬‬ ‫לפי הנתונים‪< 𝑥 4 − 1 > :‬‬ ‫𝑥( ‪.𝑉 ≅ 𝐹[𝑥]⁄‬‬ ‫⊕‬ ‫> ‪< + 1)2‬‬ ‫אפשר להוציא מפה את המחלקים הראשוניים (לפי יחידות הפירוק)‪:‬‬ ‫)𝑖 ‪(𝑥 + 1)2 , (𝑥 − 1), (𝑥 + 𝑖)2 , (𝑥 − 𝑖)2 , (𝑥 − 1), (𝑥 + 1), (𝑥 + 𝑖), (𝑥 −‬‬ ‫ונסדר ברשימות‪:‬‬ ‫‪(𝑥 + 1)2‬‬ ‫‪x+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אזי הגורמים האינווריאנטים‪:‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(𝑥 − 𝑖)2‬‬ ‫)𝑖 ‪(𝑥 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(𝑥 + 𝑖)2‬‬ ‫𝑖‪𝑥+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1, (𝑥 + 𝑖)(𝑥 − 𝑖)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) , (𝑥 + 𝑖)2 (𝑥 − 𝑖)2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2‬‬ ‫תרגיל ‪2‬‬ ‫צורת ג'ורדן )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0 −1‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫צורה רציונלית קנונית )‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 −1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.(1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תרגיל ‪3‬‬ ‫צורת גורדן שלהם )‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.(0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תרגיל ‪4‬‬ ‫נעבור על כל האפשרויות למחלקים ראשוניים‪:‬‬ ‫א‪ (𝑥 − 2)3 , (𝑥 − 3)2 .‬נותן מטריצה‬ ‫‪3 1‬‬ ‫)‪0 3‬‬ ‫ב‪ (𝑥 − 2), (𝑥 − 2)2 , (𝑥 − 3)2 .‬נותן מטריצה‬ ‫‪2 1 0‬‬ ‫‪0 2 1‬‬ ‫‪0 0 2‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫ג‪ (𝑥 − 2), (𝑥 − 2), (𝑥 − 2), (𝑥 − 3)2 .‬נותן מטריצה‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫(‬ ‫ד‪ .‬וכולי‪...‬‬ ‫תרגיל ‪5‬‬ ‫מהנתון‪ 𝐴 ,‬הוא שורש של הפולינום )‪ 𝑥 2 − 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 1‬ולכן הפולינום המינימלי של 𝐴 מחלק אותו‪.‬‬ ‫אם ‪ 𝐴 = 0‬או 𝐼 = 𝐴 אז ברור שהטענה מתקיימת‪ .‬אז נניח שהיא לא כזו ואז בהכרח הפולינום‬ ‫המינימלי שלה שווה ל )‪ .𝑥(𝑥 − 1‬אם כן‪ ,‬בלוקי ג'ורדן האפשריים הם רק )‪ 𝐽1 (1), 𝐽1 (0‬ולכן בהכרח‬ ‫המטריצה אלכסונית (כל הבלוקים הם מגודל ‪ )1‬ועל האלכסון יופיעו רק ‪0‬ים ו‪1‬ים‪.‬‬ ‫תרגיל ‪6‬‬ ‫א‪ .‬הפולינום האופיני של מטריצה כזו הוא )𝑛 ‪ )*( 𝑥 𝑛−1 (𝑥 −‬ולכן יש ‪ 𝑛 − 1‬בלוקים )‪ 𝐽1 (0‬ובלוק‬ ‫אחד )𝑛( ‪ .𝐽1‬ולכן צורת גורדן }𝑛 ‪.𝑑𝑖𝑎𝑔{0, … ,0,‬‬ ‫𝑛 ⋯ 𝑛‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬אם 𝑛|𝑝‪ :‬נשים לב ש ‪ .𝐴 = [ ⋮ ⋱ ⋮ ] = 𝑛𝐴 = 0‬ולכן הפולינום המינימלי הוא 𝑥‬ ‫𝑛 ⋯ 𝑛‬ ‫והמטריצה היא })‪.𝑑𝑖𝑎𝑔{0, … ,0, J2 (0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם 𝑛 ∤ 𝑝 אז 𝑝 ו‪ 𝑛 -‬זרים (כלומר ש )𝑝𝑑𝑜𝑚(‪ )𝑛 ≡ 1‬והמטריצה מקיימת 𝐴 = 𝐴 ולכן‬ ‫הפולינום המינימלי הוא )‪ 𝑥(𝑥 − 1‬ושוב צורת גורדן היא }‪.𝑑𝑖𝑎𝑔{0, … ,0,1‬‬ ‫‪𝑥 − 1 ⋯ −1‬‬ ‫⋮ ( בצע את הפעולות הבאות‪:‬‬ ‫⋱‬ ‫(*) רמז‪ :‬לחישוב הדטרמיננטה של ) ⋮‬ ‫‪−1 ⋯ 𝑥 − 1‬‬ ‫חסר את השורה הראשונה מכל שאר השורות‪.‬‬‫‪-‬הוסף לעמודה הראשונה את כל שאר העמודות‪.‬‬