‫פרק ‪5‬‬ ‫כל‬ ‫מטריצה הפוכה‬ ‫הזכ‬ ‫‪5.1‬‬ ‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬ ‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ m n‬ו־ ‪ x‬וקטור עם ‪ n‬קואורדינאטות‪ .‬הפעולה ‪ Ax‬מגדירה טרנספורמציה ממרחב‬ ‫‪Rn‬‬ ‫למרחב ‪ :Rm‬הטרנספורמציה הזאת מתאימה לכל וקטור‬ ‫‪2 Rn‬‬ ‫‪x‬‬ ‫וקטור ‪= y 2 Rm‬‬ ‫פעולה הפוכה לפעולה הנ״ל‪ ,‬כלומר על טרנספורמציה שמתאימה לכל וקטור ‪2 Rm‬‬ ‫‪ :Ax‬נחשוב על‬ ‫‪ y‬וקטור אחד ויחיד‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫ממרחב ‪ :Rn‬טרנספורמציה הזאת מוגדרת ע״י מטריצה‪ ,‬נגיד ‪ B‬שמקיימת את השוויון ‪ :B y = x‬מסתבר‬ ‫שלא לכל מטריצה ניתן לבנות פעולה הפוכה שמקיימת את הדרישות הנ״ל‪ .‬ניקח לדוגמא מטריצה‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪1 27‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪:A = 6643 4775 ; x = 4 5‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪5 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אוסף וקטורים‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שמ‬ ‫‪x1 + 2 x2 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪y = Ax = 3x1 + 4x2 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5x1 + 6x2‬‬ ‫מרכיב מישור במרחב ‪ R3‬ולכן למערכת ‪ Ax = y‬אין פתרון לכל‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ y‬שלא שייך למישור הזה‪ .‬אז בדוגמא‬ ‫הזאת לא ניתן לקיים את הדרישה ״לכל״ כלפי פעולה הפוכה‪ .‬ניקח עכשיו מטריצה‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪1 3 55‬‬ ‫‪:A = 4‬‬ ‫‪2 4 6‬‬ ‫עבור מטריצה הזאת למערכת ‪ Ax = y‬יש אין סוף פתרונות ולכן גם פה לא נוכל לבנות פעולה הפוכה‪.‬‬ ‫משתי דוגמאות הנ״ל נובע שנוכל לבנות פעולה הפוכה רק למטריצה ריבועית‪ .‬אז בפרק הזה נדבר רק‬ ‫על מטריצות ריבועיות‪ .‬נראה איזה תנאים אלגבריים אמורה לקיים מטריצה ‪ :B‬מטריצה ‪ A‬מקיימת את‬ ‫השוויון‬ ‫‪Ax = y‬‬ ‫‪85‬‬ ‫)‪(5.1‬‬ ‫‪.5.1‬‬ ‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬ ‫ומטריצה ‪ B‬מקיימת את השוויון‬ ‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬ ‫‪By = x‬‬ ‫)‪(5.2‬‬ ‫לכל ‪ :x; y 2 Rn‬משוויונים האלה נובע שמתקיים שוויון‬ ‫‪AB y = y‬‬ ‫כל‬ ‫לכל וקטור ‪ y‬וגם מתקיים שוויון‬ ‫‪BAx = x‬‬ ‫לכל וקטור ‪ :x‬מפה מייד נובע )ראה תרגיל ‪ ( 1‬שמטריצות ‪ A; B‬מקיימות את השוויון‬ ‫‪AB = BA = I‬‬ ‫)‪(5.3‬‬ ‫הזכ‬ ‫כאשר ‪ I‬מטריצת היחידה‪.‬‬ ‫נסכם את הדיון שניהלנו בשתי הגדרות הבאות‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.1.1‬מטריצה ריבועית ‪ Ann‬נקראת הפיכה אם למערכת משוואות ‪= y‬‬ ‫לכל וקטור ‪:y 2 Rn‬‬ ‫‪ Ax‬יש פתרון אחד ויחיד‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫מהגדרה הזאת מייד נובע שמטריצה הפיכה אם ורק אם קבוצת וקטורי עמודות שלה בלתי תלויה‬ ‫ליניארית‪ .‬בעזרת דרגה של מטריצה ניתן לנסח תנאי להפיכות גם כך‪ .‬מטריצה ‪ Ann‬הפיכה אם ורק‬ ‫אם ‪:rankA = n‬‬ ‫הגדרה ‪ 5.1.2‬תהי ‪ A‬מטריצה הפיכה‪ ,‬כלומר למערכת ‪ Ax = y‬יש פתרון אחד ויחיד לכל ‪ :y 2 Rn‬מטריצה‬ ‫‪ B‬שמקיימת את השוויון ‪= x‬‬ ‫השוויון ‪:AB = BA = I‬‬ ‫‪ B y‬נקראת מטריצה הפוכה של מטריצה ‪ :A‬מטריצות ‪ A; B‬מקיימות את‬ ‫נסמן מטריצה הפוכה של מטריצה ‪ A‬כ־‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ :A‬אז‪ ,‬מטריצה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ A‬מקיימת את השוויונים‬ ‫שמ‬ ‫‪AA 1 = A 1 A = I‬‬ ‫נצייו שאם למטריצה ‪ A‬קיימת מטריצה ‪ B‬כך ש־ ‪= BA = I‬‬ ‫‪ Ax = y‬ניתן לעבור למערכת ‪ BAx = B y‬ומערכת הזאת היא בעצם ‪ :x = B y‬זה מראה שלמערכת‬ ‫‪ Ax = y‬יש פתרון אחד ויחיד לכל וקטור ‪:y‬‬ ‫‪ AB‬אז ‪ A‬מטריצה הפיכה כי ממערכת‬ ‫‪#‬‬ ‫דוגמה ‪ 5.1.1‬תהי‬ ‫נבדוק ש־‬ ‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬ ‫‪#‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫"‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫"‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ad bc c‬‬ ‫‪86‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫נביא מספר דוגמאות לחשיוב זריז של מטריצה הפוכה‪.‬‬ ‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬ ‫כאשר ‪bc 6= 0‬‬ ‫‪.5.1‬‬ ‫‪ :ad‬לשם כך נחשב‬ ‫‪#‬‬ ‫"‬ ‫‪= 1 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪ab + ab‬‬ ‫‪ad bc‬‬ ‫‪ad bc‬‬ ‫‪cd cd‬‬ ‫"‬ ‫‪= ad 1 bc‬‬ ‫‪#‬‬ ‫"‬ ‫כל‬ ‫‪3‬‬ ‫דוגמה ‪ 5.1.2‬תהי‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:::‬‬ ‫‪b :::‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪.. 7‬‬ ‫‪. 7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪1=w‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6 .‬‬ ‫‪6 ..‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪::: w‬‬ ‫‪0 0‬‬ ‫‪:::‬‬ ‫‪:::‬‬ ‫‪1=a 0‬‬ ‫‪0 1=b‬‬ ‫מטריצה אלכסונית ו־ ‪ :a b : : : w 6= 0‬קל לראות ש־‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪:::‬‬ ‫"‬ ‫‪) ad‬יש פרופורציה בין קואורדינאטות( ולכן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫‪ ad 1 bc d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c d‬‬ ‫קבוצת עמודות של מטריצה ‪ A‬תהיה תלויה ליניארית כאשר ‪bc = 0‬‬ ‫במקרה הזה מטריצה ‪ A‬לא הפיכה‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬ ‫‪0‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫אם ‪ :a b : : : w = 0‬אז אחת מעמודות של מטריצה ‪ A‬וקטור אפס ולכן המטריצה לא הפיכה‪.‬‬ ‫דוגמה ‪ 5.1.3‬נוכיח שאם ‪ A; B‬מטריצות הפיכות ‪ n n‬אז גם מטריצה ‪ AB‬הפיכה ו־‬ ‫‪= AIA = AA = I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‬ ‫‪BB‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=A‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪B 1A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪: (AB‬‬ ‫)‪(AB‬‬ ‫נדון עכשיו איך לחשב מטריצה הפוכה באופן כללי‪ .‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ :n n‬לפי הגדרה של מטריצה‬ ‫הפוכה נחפש מטריצה ‪ X‬שמקיימת את השוויון ‪= I‬‬ ‫שמ‬ ‫‪ AX‬כאשר ‪ I‬מטריצת יחידה ‪ :n n‬אנחנו בעצם‬ ‫כבר למדנו איך לעשות את זה כאשר דיברנו על שיטת גאוס־ג׳ורדן )ראה דוגמה )‪ .( (4.2.9‬נחזור פה על‬ ‫התהליך הזה שוב‪.‬‬ ‫‪#‬‬ ‫דוגמה ‪ 5.1.4‬תהי מטריצה‬ ‫"‬ ‫‪1 3‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪AX = I‬‬ ‫ברור שמטריצה ‪ X‬צריכה להיות ‪ :2 2‬נסמן‬ ‫נחשב‬ ‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬ ‫‪#‬‬ ‫‪#‬‬ ‫"‬ ‫‪x1 x3‬‬ ‫‪x2 x4‬‬ ‫‪x3 + 3x4‬‬ ‫‪2x3 + 4x4‬‬ ‫=‪X‬‬ ‫‪x1 + 3x2‬‬ ‫‪2x1 + 4x2‬‬ ‫‪87‬‬ ‫"‬ ‫= ‪AX‬‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫נחפש מטריצה הפוכה ‪ X‬של מטריצה ‪ :A‬לפי הגדרה מטריצה ‪ X‬מקיימת את השוויון‬ ‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬ ‫הגדרה וחישוב של מטריצה הפוכה‬ ‫‪.5.1‬‬ ‫אז‪ ,‬נפתור שתי מערכות משוואות‬ ‫‪8‬‬ ‫‪<x3‬‬ ‫‪+ 3x = 0‬‬ ‫‪2x + 4x = 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪<x1‬‬ ‫‪+ 3x = 1‬‬ ‫‪:2x + 4x = 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫&‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לשתי מערכות האלה יש אותה מטריצת מקדמים ־ מטריצה ‪ :A‬לכן נוכל לפתור אותן בו זמנית כאשר באגף ימין‬ ‫נכתוב וקטורים של מקדמים חופשיים של המערכות האלה‪:‬‬ ‫כל‬ ‫‪#‬‬ ‫אז נפתור את המערכות האלה‪:‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1 R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫! ‪R2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪#‬‬ ‫‪2 3=2‬‬ ‫‪1 1=2‬‬ ‫מפה נובע ש־‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪0 2‬‬ ‫‪#‬‬ ‫"‬ ‫‪R 2 ! R 2 2R 1‬‬ ‫"‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪R 1 ! R 1 3R 2‬‬ ‫"‬ ‫" ‪#‬‬ ‫‪= 3=2‬‬ ‫‪1=2‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫;‬ ‫‪x4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1=2‬‬ ‫"‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫"‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫"‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫"‬ ‫‪x1‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫ולכן‪,‬‬ ‫‪#‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪0 1‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫"‬ ‫‪#‬‬ ‫‪2 3=2‬‬ ‫‪1 1=2‬‬ ‫"‬ ‫=‪X‬‬ ‫באופן כללי אלגוריתם לחישוב של מטריצה הפוכה ניתן לנסח כך‪:‬‬ ‫] ‪! [I jA‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Gauss Jordan‬‬ ‫] ‪[AjI‬‬ ‫)‪(5.4‬‬ ‫שמ‬ ‫האלגוריתם הזה הוא בעצם פתרון של מערכת משוואות ולכן‪ ,‬אם בשלב כלשהו של אלגוריתם )‪(5.4‬‬ ‫מתקבלת שורת אפסים באגף שמאל אז מטריצה הפוכה לא קיימת‪.‬‬ ‫בעזרת מטריצה הפוכה ניתן לכתוב נוסחה לפתרון של מערכת משוואות לינארית עם מטריצת מקדמים‬ ‫ריבועית כאשר יש למערכת הזאת פתרון יחיד‪ .‬אם‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫‪Ax = b‬‬ ‫מערכת משוואות שמקיימת את התנאים הנ״ל‪ .‬ע״י הכפלת שני אגפים שלה במטריצה‬ ‫נוסחה לפתרון והיא‬ ‫‪x=A b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬ ‫‪88‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ A‬מתקבלת‬ ‫פרק ‪ .5‬מטריצה הפוכה‬ ‫‪5.2‬‬ ‫‪.5.2‬‬ ‫תרגילים‬ ‫תרגילים‬ ‫‪ .1‬תהי ‪ :Ann‬הוכח שאם ‪ Ax = x‬לכל וקטור ‪ x 2 Rn‬אז ‪:A = I‬‬ ‫הדרכה‪ :‬הסבר מדוע מהשוויון הנתון נובע ש־ ‪:AI = I‬‬ ‫‪ .2‬הוכח שמטריצה הפוכה של מטריצה משולשת עליונה עם איבירם באלכסון שונים מאפס גם מטריצה‬ ‫כל‬ ‫משולשת עליונה‪.‬‬ ‫‪ .3‬חשב מטריצה הפוכה של מטריצות הבאות‬ ‫)מטריצות של משולש ‪( Pascal‬‬ ‫‪3‬‬ ‫הזכ‬ ‫‪07‬‬ ‫‪0777‬‬ ‫‪0775‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7 61 1‬‬ ‫‪1 05 66‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪; 641 1 0775 ; 66‬‬ ‫‪61 2‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 2 1 4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ונסה להכליל את התוצאות‪.‬‬ ‫‪ .4‬חשב מטריצה הפוכה של מטריצות הבאות‬ ‫‪3‬‬ ‫ות‬ ‫וי‬ ‫)מטריצות ‪( Hadamard‬‬ ‫‪H2 5‬‬ ‫‪H2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 1 1 17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7; H = 4‬‬ ‫= ‪5; H‬‬ ‫‪H =4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1 175‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫רמז לדרך זריזה‪ :‬חשב את ‪:H T H‬‬ ‫שמ‬ ‫ות‬ ‫ור‬ ‫אלכס גולדוורד ולביא קרפ‬ ‫‪89‬‬